Норина Т.В. Уравнения математической физики. Учебное пособие


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Пермский государственный университет





Т.В.

Норина



УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

ФИЗИКИ


Допущено методическим советом П
ермского государственного университета

в качестве учебного пособия для студентов

механико
-
математического факультета











Пермь 21

2

УДК 517

ББК 22.311


Н 82



Н 82

Норина Т.В.

Уравне
ния математической физики: учеб.

пособие/
Т.В.Норина; Перм.
гос. ун
-
т.


Пермь 21.


19с.: ил.

ISBN

978
-
5
-
7944
-
1533
-
9


Учебное пособие является сокращенным изложением курса
уравнений математической физики.
Содержит разделы теории
линейных уравнений с частными производными второго порядка
различных типов а также
изложение некоторых вопросов

прикладного
характера и общей теории. Достаточно подробно
рассматриваются

основные методы решения задач: Фурье функций

Грина потенциалов.

Материал книги соответствует учебной программе курса для
специальностей механико
-
математических факультетов
университетов.

УДК 517

ББК 22.311



Печатается по решению редакционно
-
издательского совета
Пермского государственного универси
тета


Рецензенты:

к
афедра высшей математики Пермского государстве
нного
технического университета (
зав
. кафедрой

проф
.
 д
-
р

ф
из.
-
м
ат.

наук
А.Р.Абдуллаев
);

д
-
р ф
из.
-
м
ат.

наук проф
.

кафедры информационных
систем и математических методов в экономике Пермског
о
университета П.М
.

Симонов
.




ISBN

978
-
5
-
7944
-
1533
-
9




© Норина Т.В. 21

3


СОДЕРЖАНИЕ


1.

КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ


6

1.1.

Основные положения

................................
...........................

6

1.2.

Дифференциальные операторы

................................
..........

7

1.3.

Преобразование уравнений  порядка

..............................

7

1.4.

Определение типа урав
нения для уравнения 
порядка с двумя переменными

................................
..................

11

1.5.

Приведение уравнений  порядка с двумя
независимыми переменными к каноническому виду

..............

11

2.

ПОСТАНОВКА НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ


16

2.1.

Задача о равновесии мембраны

................................
........

16

2.2.

Задача о колебании мембраны

................................
..........

22

2.3.

Задача о малых поперечных колебаниях струны

............

24

2.4.

Задача о продольном колебании стержня

........................

28

2.5.

Задача о распространении тепла

................................
......

31

2.6.

Другие уравнения математической физики

....................

33

3.

ОБЩИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ



35

3.1.

Принципы суперпозиции

................................
..................

35

3.2.

Принцип Дюамеля

................................
.............................

36

3.3.

Понятие корректно поставленной задачи

........................

38

3.4.

Пример Адамара
................................
................................
.

39

3.5.

Теорема Ковалевской

................................
........................

40

3.6.

Задача Коши. Характеристики

................................
..........

41

4.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ


48

4.1.

Задача

Коши для одномерного волнового уравнения.
Формула Даламбера

................................
................................
....

48

4.2.

Задача Коши для волнового уравнения в пространстве
R
3
. Формула Кирхгофа

................................
...............................

52

4.3.

Физическое толкование формулы Кирхгофа

..................

57

4.4.

Задача Коши для волнового уравнения в
R
2
. Метод
спуска

................................
................................
...........................

60

4.
5.

Корректность постановки задач для гиперболических
уравнений

................................
................................
.....................

62

4

5.

ЗАДАЧА О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ



66

5.1.

Постановка

задачи

................................
.............................

66

5.2.

Общие свойства собственных функций и
собственных значений

................................
................................

66

5.3.

Одномерная задача Штурма


Лиувилля о
собствен
ных значениях

................................
..............................

69

5.4.

Свойства собственных функций и собственных
значений задачи Штурма

Лиувилля

................................
........

72

5.5.

Уравнение Бесселя

................................
.............................

73

5.6.

Ортогональность функции Бесселя

................................
..

77

5.7.

Задача на собственные значения для многомерного
пространства. Решение задачи Дирихле

для уравнения
Гельмгольца

................................
................................
.................

78

6.

МЕТОД ФУРЬЕ


81

6.1.

Схема метода Фурье для однородных краевых
условий

................................
................................
.........................

81

6.2.

Решение смешанной задачи для однородного
уравнения гиперболического типа

................................
............

84

6.3.

Колебания струны жестко закрепленной на концах.
Физическое то
лкование решения

................................
..............

87

6.4.

Теорема существования регулярного решения
классической краевой задачи для уравнения колебания
струны

................................
................................
..........................

90

6.5.

Схема Фурье для неоднородных граничных условий

....

93

6.6.

Интеграл энергии

................................
...............................

96

6.7.

Единственность решения основной смешанной

задачи о колебаниях струны

................................
....................

100

7.

УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

103

7.1.

Принцип максимума

................................
........................

103

7.2.

О единственности и устойчивости первой смешанной
задачи

................................
................................
.........................

105

7.3.

Решение смешанной краевой задачи методом Фурье

..

106

7.4.

Функция влияния мгновенного источника

....................

108

7.5.

Неоднородная смешанная краевая задача

.....................

110

7.6.

Зад
ача Коши

................................
................................
.....

112

8.

УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

118

5

8.1.

Гармонические функции. Фундаментальное решение
уравнения Лапласа

................................
................................
....

118

8.2.

Постановка краевых задач для уравнений
эллиптического типа

................................
................................
.

121

8.3.

Формулы Грина

................................
................................

122

8.4.

Свойства гармонических функций

................................
.

124

8.5.

Теоремы о гармонических функциях

............................

125

8.6.

Метод Фурье решен
ия задачи Дирихле для кольца.
Интеграл Пуассона

................................
................................
....

131

9.

ФУНКЦИЯ ГРИНА

137

9.1.

Функция Грина задачи Неймана

................................
....

138

9.2.

Функция Грина задачи Дирихле

................................
.....

138

9.3.

Свойства функции Грина задачи Дирихле

....................

139

9.4.

Преобразование инверсии

................................
...............

143

9.5.

Функция Грина для шара

................................
................

144

9.6.

Функция Грина для полупространства

..........................

146

9.7.

Интеграл Пуассона для шара

................................
..........

147

9.8.

Внешняя задача Дирихле для шара

................................

150

9
.9.

Преобразование Кельвина

................................
...............

152

10.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА

157

10.1.

Ньютонов потенциал

................................
.......................

157

10.2.

Логарифмический потенциал

................................
.........

158

10.3.

Определение интегралов типа потенциалов
..................

159

10.4.

Приз
наки равномерной сходимости интегралов типа
потенциалов

................................
................................
...............

162

10.5.

Свойства объемного потенциала

................................
....

164

10.6.

Свойства потенциала дв
ойного слоя

..............................

169

10.7.

Свойства потенциала простого слоя. Разрыв
нормальной производной потенциала простого слоя

...........

173

10.8.

Метод
сведения краевых задач к интегральным
уравнениям

................................
................................
................

175

10.9.

Теоремы существования решений краевых задач

........

180

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

186


6

1.

КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ В
ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

1.1.

Основные положения

Соотношение связывающее независимые переменные
 искомую функцию

и ее частные
производные (до
-
го порядка включительно)

называют
уравнением в частных производных
-
го порядка
(
):


Обозначим
.

Далее будем рассматривать
уравнения второго порядка линейные относительно старших
производн
ых т.е. уравнения вида




(1)

Уравнение (1) называется

квазилинейным
 если
;

линейным относительно старших производных
 если
.

Если

и функция

является линейной функцией относительно
 то
уравнение (1) является
линейным уравнением
:



(2)


7

Если в уравнении (2)
 то уравнение является
однородным
 в противном случае
неоднородн
ым.

1.2.

Дифференциальные операторы

При записи уравнений в частных производных будут
использованы дифференциальные операторы

,



оператор Лапласа:



в декартовой прямоугольной системе коорди
нат

,



в цилиндрической системе координат


,




(
3
)



в сферической системе координат





(
4
)

1.3.

Преобразование уравнений  порядка

Предполо
жим что для всех

матрица


в уравнении (1)

является невырожденной.

Проведем невырожденное
преобразование

координат
:


8



или
,
,



(
5
)

с
якобиан
ом

преобразования:

.

Замен
и
м переменные в производных по правилам
дифференцирования сложной функции

.

.






(
6
)

,

.



(
7
)

Подставляем (
6
) и (
7
) в уравнение (1)
:

,



(
8
)

где
.
Коэффициенты уравнения
при
старших производных в уравнении
(
8
) составляют матрицу

и связаны следующи
м матричным
соотношением в каждой фиксированной точке
:

.




(
9
)

Это соотношение совпадает с формулами преобразования
коэффициентов квадратичной формы при невырожденном
преобразовании. Соответственно уравнения

второго порядка в
частных производных будем классифицировать в зависимости
от свойств собственных значений матрицы коэффициентов при
старших производных в уравнении (1).


9

Симметричная матрица

в фиксированной точке

имеет

вещественных собственных значений которые
определяются из соотношения

,




(
10
)

где
E



единичная матрица.

Будем говорить что уравнение (1) в
точке

принадлежит к
типу

,

если
соотношение (
10
) имеет


положительных


отрицательных и


нулевых собственных значений. Уравнение (1) принадлежит к
типу

на некотором точечном множестве если оно
принадлежит к типу

в каждой точке данного
множества. Если
 то тип уравнения один и тот же во
всем пространстве.

Если
 то ранг матрицы


и ее
сигнатура

не

меня
ю
тся. В этом случае тип уравнения
(1) есть инвариант относительно невырожденного
преобразования переменных (
5
). Отсюда следует что
существует матрица

такая что

,

где



собственн
ые значения матрицы
.

Определим

 где

Предположим что

(невырожденная матрица).

В
соответствии с формулой (9)




10



Таким образом в каждой точке

можно найти такое
невырожденное преобразование которое приводит уравнение
(1) типа

к виду


(
11
)



гиперболический тип
,



эллиптический тип
,



параболический тип
.

Для дифференциальных уравнений в частных
производных различают три основных типа задач:

1.

Задача Коши (начальная задача)

для уравнений
гиперболического и парабол
ического типов: задают начальные
условия область задания

совпадает со всем пространством
граничные условия отсутствуют.

2.

Краевая задача

для уравнений эллиптического типа:
задаются граничные условия на границе

области
,
начальные условия отсутствуют.

3.

Смешанная краевая задача

для уравнений гиперболического
и параболического типов: задаются начальные и граничные
условия область

не совпадает со всем пространством.


11

1.4.

Определение типа уравнения для
уравнения  порядка с двумя
переменными

Для линейного относительно старших производных
уравнения второго порядка с двумя переменными тип уравнения
определяется и в случае переменных коэффициентов. Запишем
уравнение с перемен
ными коэффициентами в виде


(1
2
)


Соотношение знаков

зависит от знака:

.




(1
3
)




уравнение (18) гиперболического типа (1 1 );




уравнение (18) параболического типа (1  1);




уравнение (18) эллиптического типа (2  ) .

Если
 то тип уравнения может изменяться при
переходе через линию


инию параболического
вырождения).

1.5.

Приведение уравнений  порядка с
двумя независимыми переменными к
каноническому виду

Рассмотрим линейное уравнение с двумя независимыми
переменными:


(
14
)


12

Проведем преобразование координат:

,




(
15
)

при этом для якобиана преобразования должно выполняться
.


Введем функцию относительно новых переменных




(1
6
)

По правилам дифференцирования сложной функции


(17
)

После подстановки (1
7
) в (
14
) получаем уравнение

,

(1
8
)

коэффициенты которого вычисляются по формулам
:




(
19
)




тип уравнения не
изменяется.


13

Потребуем чтобы в преобразованном уравн
ении (1
8
)
коэффициенты

и

обращались в ноль. Это приводит к
необходимости решения
характеристического

уравнения:

.

(
20
)

Предположим что

и
. Решив
квадратное
уравнение (
20
) получим

.



(
21
)

Решение уравнений в частных производных первого
порядка (
21
) сведем к решению обыкновенного
дифференциального уравнения. По общей теории решения
уравнений

и

эквивалентны. Таким
образом из (
21
) получаем

,





(
22
)

а это приводит к обыкновенному дифференциальному
уравнению



(
23
)

соответствующему уравнению (
14
) которое называется
характерис
тическим
 а его интегралы


характеристиками
уравнения (
14
). Уравнение (
23
) является квадратным
относительно дифференциалов переменных. Рассмотрим
следующие варианты его решения:

1)

Пусть



гиперболический

тип
 при этом

или
. Потребуем
. Уравнение (
23
) имеет
два различных решения
:

,
 которые
являются характеристиками уравнения (
14
). Введем новые
переменные







(
24
)


14

и проведем замену в уравнении (
14
) по формулам (1
7
) или (1
9
).
Преобразованное уравнение примет вид

.




(
25
)

Если провести дальнейшие преобразования переменных по
формулам
,
 то получим

.



(
26
)

Уравнения (
25
) и (
26
) являются уравнениями
гиперболического типа с двумя переменными записанными в
канонической форме.

2)

Пусть



параболический
тип

при этом

или
. Уравнение (
23
) имеет одно решение
. Замена переменных







(2
7
)

приводит уравнение (
14
) к каноническому виду уравнения
параболического типа:


.




(2
8
)

Проверим это. Из уравнения характеристик в виде (
21
) и
соотношения

получим

,

.

Тогда коэффициенты в уравнении (1
8
):


(согласно выбору
),

,

.

3)

Пусть


эллиптический

тип


и
.


15

Уравнение (
23
) имеет комплексные корни

.

Положим:
,
,
.

Решение

подставляем в характеристическое
уравнение (
23
) приравниваем
к
нулю вещественную и мнимую
части уравнения:

следовательно
.

,

следовательно

.

Квадратичная форма
,
 т
.
е
.

,
,
,

одновременно следовательно
,

. Канонический
вид уравнения эллиптического типа с двумя переменными:


.



(29)

16

2.

ПОСТАНОВКА НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ

2.1.

Задача о равновесии мембраны

Мембрана


свободно изгибающаяся натянутая пленка.
Считаем что мембрана однозначно проектируется на область
 при этом любая точка мембраны под действием
силы может перемещать
ся только в направлении оси
(рис.1)
.




уравнение поверхности мембраны
,




допустимое положение (начальное положение).



Рис. 1


Рассмотрим силы действующие на мембрану
.

a)

Внешняя распре
деленная

по поверхности сила (действует в
направлении оси
)

,




(1)

где



внешняя распределенная сила




сила
сопротивления пропорциональная
.

Работа внешней распределенной по всей области силы из
начального положения

в действительное положение
:



17

.

(2)

b)

Внутренняя сила

натяжения мембраны изменяет п
лощадь
мембраны. Ее работа пропорциональна изменению площади при
переходе от состояния

к состоянию
,



натяжение мембраны:

.


(3)

c)

Сила на границе

складывается из

собственно
распределенной силы и силы пропорциональной отклонению
точек границы
:



,




(4)

где



коэффициент упругого закрепления. Работа всех сил
на границе
:

.

(5)

Потенциальная энергия мембраны
.
Получаем


Предположив что рассматриваться будут только малые
отклонения мембраны от плоскости заменим квадратные корни
в первом интеграле их разложением в степенной ря
д по малому
аргументу сохра
нив два первых члена разложения

.
При этом выражение
потенциальной энергии преобразуется к виду


18


(6)

Наложим на мембрану некоторое виртуальное
(возможное)

перемещение


системы (бесконечно малое
изменение ее конфигурации согласующееся со связями
наложенными на нее). При значении параметра

система
будет находиться в истинном положении. Введем функцию
 соответствующ
ую потенциальной энергии мембраны в
некотором возможном положении:







(7)

.

Разложим (7) в ряд по степеням

.
Для в
ычисления коэффициентов разложения запишем
производные для отдельных под
ы
нтегральных выражений:

,
,


19


Получили следующее разложение потенциальной энергии:

(8)

Согласн
о принципу возможных перемещений в
действительном положении равновесия тело имеет минимум
потенциальной энергии из всех возможных значений. Применим
условие минимума в стационарной точке
к выражению (8)
:


для
.

,

.


(9)

Предположим что

,
,
,

,
,
,
.

Это позволит

для преобразования (9)
использовать формулу
Остроградского
.

Получили уравнение равновесия мембраны в интегральной
форме которое должно выполняться для
:

.

(10)


20


Предположим что
перемещения

границы

исключены
т
.
е
.
граница жестко закреплена в некотором первоначальном
состоянии

(рис.2)
:

.





(11)


Рис.2
.

Жесткое закрепление мембраны


Такие условия называютс
я краевыми условиями
I

рода
,

или
условиями Дирихле. При этом возможные перемещения
должны также
удовлетворят
ь

условию

.






(12)

Следовательно уравнение (1) запишется в виде

.




(13)

Это соотношение должно

выполняться для
 поэтому
получаем уравнение равновесия неоднородной мембраны в
дифференциальной форме:

.


(14)

Теперь можно сформулировать

I

краевую задачу (задачу
Дирихле)
:

,


(14)


.







(11)

При

для

уравнение (14) является уравнением
эллиптического типа.


21


Рассмотрим случай когда перемещения границы

возможны

(рис.3)
.


Рис.3. Упругое за
крепление мембраны


При этом один из вариантов возможных перемещений

.

Такое предположение приводит от уравнения (1) к тому же
уравнению (14). Но уравнение (1) должно выполняться и для
 которая удовлетвор
яет условию
. Поэтому с
учетом (14) получаем условие равенства нулю интеграла в
правой части уравнения (1) а
,

следовательно
,
.


Обозначим
,
.




.





(1
5
)

В этом случае формулируем
III

краевую задачу

(с условием
упругой заделки на границе
):

,


(14)

.





(1
5
)

Если упругая заделка на границе отсутствует то в условии
(1
5
)


и на границе будет выполняться условие
II

рода
условие Неймана (задана функция пропорциональная
распределенной по границе силе):


22

.






(1
6
)

Если граница свободна от закрепления то
.

II

краевая задача (задача Неймана)
:

,


(14)

.







(16)

В случае однородной мембраны
. Тогда
уравнение (14) преобразуется к виду





(1
7
)



уравнение равновеси
я однородной мембраны.


2.2.

Задача о колебании мембраны

При движении (колебании) мембраны искомая функция
отклонения будет зависеть еще и от времени

Соответственно в задаче появятся производные
.
Зададим начальные

условия:

,





(18)

.




(19)

Внешняя распределенная нагрузка теперь может
изменяться во времени и будет включать в себя инерционную
составляющую поэтому проводим замену в уравнении (14):

.




(20)

,
,
.

(21)

При

и

для

уравнение (21) является
уравнением гиперболического типа.

В случае однородной

2
3

мембраны
. Обозначим
. Тогда
уравнение (21) примет вид

.



(22)

Если сила сопротивления внешней среды
пропорциональна скорости
 то уравнение примет вид


.



(23)

Приведем формулировки некоторых задач для уравнения
гиперболического типа (21)
изучать

которы
е

будем в данном
классическом курсе уравнений математической физики.

I

смешанная краевая задача

,
,
,

(21)

,





(18)

,





(19)

.







(11)

II

смешанная краевая задача

,
,
,

(21)

,





(18)

,





(19)

.







(1
6
)

III

смешанная краевая задача

,
,
,

(21)

,





(1
8)

,





(19)

.






(1
5
)


24

Задача Коши

,
,
,

(21)

,





(18)

.





(19)

2.3.

Задача о малых поперечны
х
колебаниях струны

Струна


тонкая нить которая может свободно
изгибаться т.е. не оказывает сопротивления изменению ее
формы н
е связанному с изменением длины.




отклонение точки с координатой

от прямолин
ейного
положения в момент времени

(рис.4).


Рис.4. К выводу уравнения колебания струны


Уравнение колебания струны можно получить записав
уравнение колебания мембраны (21) для одномерного
пространства. В данном разделе выведем ура
внение колебания
струны используя закон изменения количества движения.

Рассмотрим отрезок струны
. Предпол
ожим
 что в
процессе колебаний струна получает только малые отклонения
от прямолинейного положения. Соответственно выполняет
ся
условие
. Тогда из выражения




25

следует что длина отрезка струны не меняется в процессе
колебаний следовательно сила натяжения

не меняется во
времени.

В случае
малых

отклонений
одн
ородной

струны
натяжение

не зависит от координаты
 т.е.
:

◄ Проектируем силу натяжения на ось
:
.

Сумма сил натяжения на участке
:
,
соответственно

 а значит

.►

Составляем п
роекци
ю

силы натяжения на ось
:

.

Действующие силы на отрезке
:

a)

сила натяжения
,

b)

внешние распределенные силы с плотностью
.

Количество движения участка длиной
:
 где



линейная плотность струны
(масса единицы длины струны). Изменение количества
движения произвольного участка

в произвольный
отрезок времени

равно импульсу действующих сил:


(
24
)



26


.

В силу произвольности пределов интегрирования
подынтегральное выражение должно равняться нулю. Получаем
дифференциальное уравнение малых поперечных колебаний
неоднор
одной струны в среде с сопротивлением
пропорциональным отклонению и с учетом внешней
распределенной вынуждающей силы:

.


(2
5
)

В случае однородной струны

,

.


(26)

Уравнение малых вынуж
денных поперечных колебаний
однородной струны в среде без сопротивления

.




(27)

Уравнение малых свободных поперечных колебаний
однородной струны

.





(28)

Для ограниченной струны сформулируем граничные
усл
овия на концах

и
.

Краевые условия
I

рода
.
Концы

струны перемещаются по
заданным законам:

,

.


(29)

Однородные условия (4) соответствуют жесткой заделке концов.

Краевые условия
II

рода
. На границе заданы нормальные
производные искомой функции пропорциональные заданным
на границе силам
:


27

,

.


.

,


.


(
30)

Однородные условия соответствуют свободным концам (в
смысле свободного перемещения концов в поперечном
направлении).

Краевые условия
III

рода

описывают упругую заделку
концов струны:

,
,




.


(31)

,

.


(32)

В качестве примеров сформулируем некоторые задачи о
колебаниях однородной струны.

Задача Коши (начальная задача)

,
.

.


28

I

смешанная краевая задача

,


.

.

.

II

смешанная краевая задача

,


.

.

.

III

смешанная краевая задача

,


.

.
.

.

2.4.

Задача о продольном колебании
стержня

Стержень


это тело цилиндрической формы (в частности
призматической) для растяжения или сжатия которого надо
приложить известное усилие. Критическая нагрузка сжатия
определя
ется по формуле Эйлера
:

. Предполагаем
что сечение

при продольных колебаниях перемещается
параллельно себе оставаясь плоским

(рис.5)
.


29


Рис.5. К выводу уравнения колебания стержня


Каждая физическая точка ст
ержня в течение всего
процесса характеризуется одной и той же геометрической
координатой


переменной Лагранжа



величина
смещения сечения

с координатой

в момен
т времени
 отсчитываемая от невозмущенного состояния стержня. Для
малых отклонений
.

Относительное удлинение (деформация) стержня:
.

По закону Гука суммарная
упругая
сила
,

действующая

в
сечении стержня
.

Равнодействующая сил
упругости
:


(
33
)

a)

Внешняя сила распределенная по объему

с плотностью

(действует вдоль оси стержня):

.





(
34
)

b)

Сила ине
рции


плотность материала стержня

.




(
35
)

По принципу Даламбера

п
риравняем к нулю сумму всех
сил действующих на участок
:


30




Дифференциальное уравнение упруг
их продольных
колебаний неоднородного стержня:

.

(
36
)

Для однородного стержня
 тогда

,

,
,
.

(
37
)

Пусть на границе

действует вдоль оси стержня сила
. Тогда по закону Гука

.

Получаем краевое условие
II

рода (условие Неймана):

.




(
38
)

В случае свободной границы

.






(
39
)

Пусть на границе

действует вдоль оси стержня сила
. Тогда по закону Гука

.

Получаем краевое условие
III

рода:

,
.


(
40
)

В случае границы
:

.




(
41
)


31

2.5.

Задача о распространении тепла

Пусть в области

с границей

нужно определить
температуру

в каждой точке

в любой момент
времени
. Свойства неоднородной среды определяются
физическими величинами:



плотность



теплоемкость




теплопроводность.

К
о
личество тепла
 проходящее в единицу времени
через единицу площади поверхности (плотность теплового
потока)
,

определяется

п
о закону Фурье:


,




(
42
)

где



внешняя нормаль к поверхнос
ти. Если тело получает
тепло то
,



плотность источников (поглотителей)
тепла.

Вычислим количество тепла полученного произвольной
областью

с границей

за произв
ольный отрезок
времени
:

.

Количество тепла затраченного на изменение
температуры тела от

до
:




Уравнение баланса тепла
 или

.(
43
)

Применим формулу Остроградского:


32

,

при

,

.

(
44
)

В силу произвольности пределов интегрирования
получаем дифференциальное

уравнение распространения тепла
в неоднородной среде:

,
,
.


(
45
)

В случае распространения тепла в однородной среде

,
.



(
46
)

Уравнение (
45
) является уравнением параболического типа.

При

постановк
е

задач для уравнения теплопроводности
(
45
) требуется сформулировать краевые и начальное условия.

I

краевое условие


на границе задана температура





.




(
47
)

II

краевое усл
овие


на границе задан тепловой поток (в
соответствии с законом Фурье)

.




(
48
)

В случае теплоизолированной границы
.

III

краевое условие


на границе конвективный теплообмен с
внешней средой температура кот
орой
,



коэффициент
теплообмена.

.

.



(
49
)


33

Начальное условие


задана начальная температура

,

.



(
50
)

Если темпе
ратура в теле не меняется со временем

(
стационарна
)
 то искомая функция

не зависит от времени
и уравнения (
45
) и (
46
) принимают вид

,
,



(
51
)

,

.





(
52
)

Это уравнения эллиптического типа для них формулируются
краевые задачи начальное условие отсутствует.

2.6.

Другие уравнения математической
физики

Уравнение Гельмгольца
:


.

Уравнения газогидродинамики
:

Пусть




вектор скоростей движения
жидкости



ее плотность



коэффициент Лямэ



давление



интенсивность источников



интенси
вность массовых сил
.




уравнение неразрывности
.

Уравнение движения идеальной жидкости или газа :




уравнение Эйлера
.

Уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости:




уравнение Навье

Стокса.

Для потенциального движения
.

Уравнения Максвелла
:




телеграфное уравнение
.


34

У
равнение для компонент векторов напряженностей
электростатического

и магнитного

полей
:




уравнения электростатики
.




уравнения магнитостатики
.

Уравнение Шредингера
:

Квантовая частица массы

движется во внешнем силовом
поле с потенциалом
,



волновая функция частицы
такая что

есть вероятность того что частица будет
находиться в окрестности

точки

в момент времени
.

 где



постоянная Планка
.


35

3.

ОБЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

3.1.

Принципы суперпозиции

Принципы суперпозиции для линейных задач рассмотрим
на примере смешанной краевой задачи для уравнения
гиперболического типа в одномерном пространстве.
Сформулируем задачи
раз
личающиеся неоднородностями в
правы
х частях уравнения и начальных условиях:

,
.

(1)

Однородные краевые условия:






(2)

Начальные условия:

,
,
.


(3)

П
рин
цип 1

Если
,



решения смешанных задач (1)
(2) (3) то функция
,

будет
решением задачи

,

,
,

,
.

Принцип 2

Если
,




решения однородного
уравнения с однородными граничными условиями:

,
,
 то линейная комбинация решений

будет решением той же задачи
.



36

Принцип 3

(обобщенный)

Если




решение однородного
уравнения с однородными граничными условиями
,
,
 то ряд

(если он
сходится и допускает почленное применение операторов
,
,
) будет решением этой же задачи
.

Принцип 4

(обобщенный)

Если функция
,
,



является решением задачи
,
,
,



интеграл

сходится равномерно
,



операторы
,
,

можно вносить под знак интеграла

то функция

также является
решением этой задачи.

3.2.

Принцип Дюамеля

Сформулируем принцип который позволит записать
решение задачи
Коши для дифференциального неоднородного
уравнения
,

используя решение задачи Коши для
соответствующего однородного уравнения с неоднородным
начальным условием. Пусть требуется решить задачу Коши

,
,
,
,



(
4
)

где



дифференциальный оператор по пространственным
переменным
. Сформулируем сопутствующую задачу

,
,
,
.


(
5
)

Решения задачи (
4
) и сопутствующей ей задачи (
5
)
связаны
принципом Дюамеля
:

Если



решение однородного уравнения с
неоднородными начальными условиями (
5
) то функция


37







(
6
)

будет решением задачи (
4
).


Докажем что (
6
) является решением (
4
) при
выполнении соотношений (
5
). Дифференцируем (
6
):

,

,

,

.


Варианты применения принци
па:

a)

Для уравнения параболического типа




основная задача





сопутствующая задача.

b)

Для обыкновенного дифференциального уравнения




основная задача





сопут
ствующая задача
.


38

3.3.

Понятие корректно поставленной
задачи

Пусть заданы два метрических пространства
,

с метрикой
. Оператор
:
,
.
Требуется решить операторное уравнение то есть определить
 если
:

,
.




(
7
)

Определение

Задача (
7
) называется корректно поставленной (по
Адамару) в па
ре пространств
 если

д
ля

решение

1)

с
уществует
,

2)

е
динственно
,

3)

устойчиво т.е. решение


непрерывно зависит от
правой части
 подробнее:



.

Определение


Если существует непрерывный обратный оператор
 то решение существует единственно (
) и
непрерывно (непрерывен оператор
).

Приведем пример оператора задачи для уравнения в
частных производных. Фазовое пространство изменения
переменных определим так:
,
,
. В уравнении используем линейный операт
ор
гиперболического типа
.
Сформулируем смешанную краевую задачу для уравнения
гиперболического типа
:




39

Оператор задачи определим как
.
Требуется

найти решение
 непрерывно
зависящее от
 т
.
е
.

решить операторное
уравнение
.

3.4.

Пример Адамара

В качестве примера некорректно поставленной задачи
приведем начальную задачу Коши для уравнения
эллиптического т
ипа. Пусть заданы две задачи Коши для
уравнения Лапласа
раз
личающиеся начальным условием:


(
8
)



(
9
)

Сформулируем задачу для
:


.



(
10
)

Решением задачи
(
10
) является функция
.

Начальные условия задач (
8
) и (
9
)
при

раз
личаются на малую величину:

,

тогда

как разность решений этих задач бесконечно большая:

.

Пример
Адамара показывает что начальная задача Коши
для уравнения эллиптического типа может быть поставлена
некорректно. В данном примере не выполняется условие
устойчивости решения.


40

3.5.

Теорема Ковалевской

Введем обозначения:



,
,
.

Определение 1

Система

уравнений в частных производных


(1
1
)

с

неизвестными функциями:


называется
нормальной

относительно пе
ременной
 если
правые части

не содержат




производной выше
 т.е.
,




производных по

порядка выше
 т.е.
.

Примеры нормальных уравнений:

a)

Уравнения
,
,

нормальны
по всем переменным
. Для них
.

b)

Уравнение

но
рмально по переменной
.

Определение 2

Функция

называется
аналитической

в точке
,
если в некоторой окрестности этой точки она может быть
представлена в виде равномерно сходящегося степенного ряда.

.

Определение 3

Будем говорить что для системы уравнений (1
1
)
поставлена
задача Коши
 если система нормальна относи
тельно

41


и решение

удовлетворяет начальным
условиям

,
;
.


(
1
2)

Теорема Ковалевской

Если все функции

аналитические в
некоторой
окрестности точки

и все функции

аналитические в
некоторой окрестности точки
 то
задача Коши (
1
1), (
12
) имеет аналитическое решение в
некоторой окрестности точки
,

и притом единственное в
классе аналитических функций.

3.6.

Задача Коши. Характеристики

.

(
13
)

Уравнение
-
мерной поверхности
:

,(
,
)
,




(
14
)




векторное поле в
 при этом для

вектор

не лежит в касательной плоскости т
.
е
.


.

Фиксируем
,



шар малого радиуса с
центром в

точке
 обозначим
. На
поверхности

сформулируем начальные условия Коши:


,






(
15
)


42


.






(
16
)

Задача Коши
: в

шаре

найти

решение

уравнения (1
3
) удовлетворяющее условиям
(
15
) и (
16
) на
.

Проверим ограничения на задание начальных функций

и
.

Из

следует что

(хотя бы для одной из координат). Тогда в малой окрестности
точки

.

Это означает что поверхность (
14
) м
ожет
быть записана явным образом как
 где обозначено
. Введем обозначения
:






(
17
)

и
проведем преобразование координат


,
.







(
18
)


Р
ис.6. Преобразование области


При этом преобразовании (рис.6)

,
,

(в плоскости
) где
.


43

При замене переменных

,

,
,

и уравнение (13) приводится к виду

,



(1
3

)

где
.


(
19
)

Условия на поверхности

теперь формулируются на
поверхности
. У
словие (
15
) приводится к виду

,





(
20
)

где
.

У
словие (
16
) запишем в
виде

.



(
16

)

П
ри этом использованы обозначения:

,

,

,
,


на
.

Проверим однозначность значений компонентов вектора
первых производных

на
. Используем соотношение (2):

,

.




(
21
)

Распишем подробно условие
(
16

)
:


.

Второе условие Коши теперь можно записать в виде


44

,



(
22
)

где
.

Проверим однозначность вторых произво
дных

функции


на
.
Дифференцируем
условия
(
21
) и (
22
). На
поверхности

однозначно определяются все вторые
производные кроме
. Определим ее используя уравнение
(1
3

)

и соотношение (
19
):



Значение

зависит от коэффициента
.
Однозначное определение второй производной может быть
только при
 в противном случае начальные
функц
ии

не могут задаваться произвольно
.

Определение

Точка

поверхности

класса
 заданной уравнением

(

на
)
,

называется
характеристической точкой

для уравнения (1
3
) если в этой точке

.




(
23
)

Поверхность
характеристическая
 если для уравнения (1
3
) все
ее точки характеристические.


Определим характеристические поверхности для
уравнений записанных в каноническом виде. Искомое
уравнение поверхности

ищем из условия (
23
).

1.

Для уравнения э
ллиптическ
ого

тип
а
:


45

.

В действительной области характеристических поверх
ностей
нет
.

2.

Для уравнения п
араболическ
ого

тип
а

:

.

Из условия

следует что характеристической
поверхностью является плоскость
.

3.

Для уравнения г
иперболическ
ого

ти
п
а
:

.

а)
Будем искать характеристическую поверхность

в семействе плоскостей
.

З
апишем
подробнее

(
для
)
. Тогда

.


Условие нормированности направляющего вектора
плоскости
 откуда
. Получаем систему




46

р
ешением
которой
является семейство плоскостей для кот
орых
.

б)
Огибающей найденного семейства плоскостей является
конус
,

уравнение которого удовлетворяет условию (
23
). Это
характеристический конус

для уравнения гиперболического
типа.

4.

Для уравнения
с двумя переме
нными (
)

.
Пример 1


,

,
.


У
словия Коши заданы на характеристике

. При
дифференцировании второ
го условия по

получаем
зависимость

между неоднородностью в уравнении и начальном
условии:

 т.е. их нельзя задавать
произвольно
.

Интегрируем уравнение

,

,
.


Пример 2



,
.


47





характеристика. Из уравнения
.

Второе условие Коши для уравнения параболического типа
нельзя задать
произвольно.



48

4.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

4.1.

Задача Коши для одномерного
волнового уравнения. Формула
Даламбера

Рассмотрим задачу о свободных колебаниях бесконечной
струны если известны начальные смещения

и начальные
скорости
.



(
1
)


,






(2)

.






(3)

Характеристическое уравнение

имеет
два различных решения
:


и
. З
амена
переменных

приводит уравнение к
каноническому виду


относительно функции
. Последовательно интегрируя его
по переменным
 получим общее решение
 где



произвольные
функции

одного аргумента
. При переходе к первоначальным
аргументам получаем общее решение уравнения (1):

.


(4)

Решение вида
,

наз
ывается бегущей волной
а



скорость распространения
волны. Продифференцируем общее решение:

.

Произвольные функции

определим из начальных
условий (2) и (3):

,



49

Ди
фференцируем первое уравнение по
и добавляем второе
уравнение. Из решения системы


получаем


,




(5)

,




(6)

где



произвольная констант
а. Используем эти функции для
записи решения по формуле (4):


Объединив интегралы в один получаем
формулу Даламбера

решения задачи Коши для
однородного
уравнения



(7)

Решение задачи Коши для неоднородного ур
авнения
получим используя принцип Дюамеля. Для неоднородного
уравнения с однородными начальными условиями



(
8
)

сформулируем сопутствующую задачу для функции
:


50




(
9
)

Решение основной
задачи (
8
) получается при
интегрировании решения сопутствующей задачи (
9
):

.





(
10
)

Решение задачи (
9
) получим используя формулу
Даламбера (
7
):

.




(
11
)

Применив формулу (
10
) получим решение задачи (
8
)
,
н
азываемое запаздывающим потенциалом
:

.



(
12
)

Решение задачи Коши для неоднородного уравнения и
неоднородных начальных условий



(
13
)

в силу линейности задачи получается в виде суммы решений
задач (
1
)

(
3
) и (
8
)
.
Формула Даламбера

решения задачи (
13)
запишется в виде


51


(
14
)

Изучим поведение решения задачи (1)

(3) на фазовой
плоскости
. Через фиксированную точку
(рис.7)
проведем характеристики



Рис.7. Фазовая плоскость для уравнения колебания


На начальной кривой

отметим точки пересечения с
характеристиками:
. Тогда
решение по формуле Даламбера (7) можно записать в виде
.

Отрезок начальной кривой вырезаемый
характеристиками
 выходящими из т.

(отрезок

оси
)
,

называется
областью зависимости решения

в точке
.
Знач
ение решения в точке

определяется значениями
начальных функций

и

на линии
.


52

Если начальные условия заданы только на отрезке
,
то реше
ние определено для всех точек характеристического
треугольника
 а для точек

решение не
определено. Характеристический треугольник

является
областью определения решения

по начальным дан
ным
на
.

Часть фазовой плоскости
 на решение в точках
которой оказывают влияние начальные условия
,

заданные на
отрезке
,

называется
областью влияния

отрезка
.

4.2.

Зада
ча Коши для волнового
уравнения в пространстве
R
3
.
Формула Кирхгофа

В пространстве
 где
 волновое
уравнение записывается для потенциала скоростей
.
Сформулируем задачу Коши:








(1
5
)








(
16
)







(
17
)

Проведем формальное решение уравнения (1
5
).
Запишем

уравнение в сферической системе координат
:

.

Будем искать решени
е не зависящее от координат
 т.е.
. При этом

 где


фиксированная точка


переменная
.


,


.


53

Общее решение уравнения записывается как сумма
произвольных функций
. В силу
произвольности положим
. Тогда
. Это
фундаментальное
решение уравнения
(1
5
) имеет особенность в точке
.
По обобщенному
принципу суперпозиции

функция

где



произвольная интегрируемая функция также будет
решением

уравнения (1
5
)
.

Проведем замену переменных
:

.

Для произвольной функции

потребуем

для
,
.
При преобразовании интеграла
используем обобщенную теорему о среднем
:



где
. При
получим формальное решение
уравнения (1
5
) в пространстве
:


54

.





(18)

Теорема

Формула
(
18
) есть решение уравнения (1
5
) с условиями:

.




(
19
)


Предположим что
. Проведем замену
переменной интегрирования в (18). Н
ов
ая

переменн
ая
связана
с

соотношениями

.

При этом интегрировани
е по сфере

изменится на интегрирование по сфере

(рис.8).
Соответственно
. Решение (18)
примет вид

,




(18

)

где область интегрирования не зависит от переменных

и
.


Рис.8. Замена областей интегрирования



55

Первое из условий Коши для решения (18

) выполняется:
.

Проверим выполнение второго условия:

,

.

Проверим что (18

) является решением уравнения (15).
Применим оператор Лапласа к (18

):

.

Производную по

перепишем в виде

.

.

Используем ф
ормулу Гаусса


Остроградского:


.

.

.


56


В силу равенства
:

.

У
равнение (1
5
) обращается в тожде
ство.






В задаче Коши

п
оложим
 тогда решением задачи будет

.




(
20
)

Предположим что решение уравнения (1
5
)
 тогда функция

также
явля
ется решением этого уравнения
:

.


(
21
)

Определим каким начальным условиям удовлетворяет функция
:

.

.

Вычислим этот интеграл используя теорему о среднем:


57


,

.

В задаче Коши

положим

 тогда решение


.




(
22
)

Решение задачи Коши (15) (16) (17) складывается из решений
(2) и (
22)
 где
,
. Получили
формулу Кирхгофа
:

.

(23)

Если ввести обозначение среднего значения функции

на сфере радиуса
:

,




(
24
)

то формулу Кирхгофа можно записать в виде
.





(
25
)

4.3.

Физическое толкование формулы
Кирхгофа

Сосредоточим начальное возмущение в области

с границей
. Вне
этой области начальное возмущение равно
нулю.
Исследуем в какие моменты времени начальное

58

возмущение достигнет фиксированной точки

и в какой
области возмущение будет ощущаться в фиксированный момент
времени. Решение задачи дается ф
ормулой Кирхгофа (23).

Поместим наблюдателя в фиксированную точку

(рис.9).
Обозначим:


Рис.9. Физическое толкование решения в случае фиксированной точки


В
формуле
(
23
) интегрирование ведется по поверхности
сферы
. Е
сли
радиус сферы
,
то возмущение

в точке отсутствует
 в
точке



покой.

Возмущение появится
когда
 т.е. в момент времени
.
Завершитс
я возмущение в точке

в момент времени

. Таким образом возбужденное состояние в
фиксированной точке локализовано во времени:
.

Зафиксируем момент времени наблюдения

(рис.1). В
этом случае интегрирование в формуле (23) ведется по
поверхности сферы постоянного радиуса
. Для простоты

59

рассмотрения возьмем в качестве начальной области
возмущения шар
. На луче проведенном и
з центра сферы
рассмотрим последовательность точек наблюдения
.


Рис.1
.

Физическое толкование решения в случае фиксированного
времени



Рис.11
.

Области покоя и возбуждения



60

В точке

будет покой пока коорд
ината точки
удовлетворяет соотношению
. В точках
,
удовлетворяющих неравенству
,



возбуждение а для

точек
 для которых
,



снова
покой.

О
бласти соответствующие точкам с такими
координатами выделены на рис.11.
Функции

и
. В случае когда область

шар с
центром в начале координат область возмущения описывается
неравенств
ом

Поверхность

называется передним фронтом волны



задним
фронтом волны.

Справедлив
принцип Гюйгенса
: е
сли начальное
возмущение локализовано в пространстве то распространение
этого в
озмущения имеет передний и задний фронт волны и
возбуждение в каждой точке локализовано во времени.

4.4.

Задача Коши для волнового
уравнения в
R
2
. Метод спуска

Пусть в плоскости

требуется найти решение
волнового уравнения

,





(
26
)

удовлетворяющее начальным условиям

.



(
27
)

Используем формулу Кирхгофа при фиксированной
координате
 т
.
е
.
. В этом случае
интегрирование по сфере

перейдет в интегрирование
по двум проекциям

сферы.


61

,

(
28
)


Рис.12



,

.


Рис.13


62


Получили формулу Пуассона:

(29)

В этом случае интегрирование ведется по кругу радиуса
 поэтому начало возмущения также четко выражено во
времени есть передний фронт волны. Начиная с некоторого
момента времени область начального возмущени
я всегда будет
в области интегрирования поэтому четкого окончания
возмущения не будет задний фронт волны размыт. Принцип
Гюйгенса не действует.

4.5.

Корректность постановки задач для
гиперболических уравнений

Доказательство корректности постановки задачи Коши

включает в себя три пункта: доказательство существования
решения его единственности и устойчивости. Рассмотрим
вопрос корректности
на примере одномерной

задачи Коши (13)
.
Доказательство существования решения сводится к
формальному построению решения (14
) а затем к
формулировке условий накладываемых на параметры задачи
(
) для удовлетворения уравнению и условиям.
Единственность решения докажем в следующей теореме.


63

Теорема

(о единственности решения задачи Коши)

Задача Коши для волно
вого уравнения не может иметь
более одного решения.



Пусть



два различных решения задачи


Тогда функция

будет

решение
м

задачи


.


(
30
)

Покажем что

задача

(
30
)
н
е имеет

решения отличного от нуля.

Тождественное соотношение


проинтегрируем по границе характеристического треугольника
с вершинами
.


Рис.14. Характеристический треугольник


Уравнения сторон треугольника
.


64



В силу начальных условий на
:
.
На характеристиках выполняются соотношения:

.

Интегральное соотношение приводится к виду



,

.

Для равенства нулю необходимо чтобы для любых

и

выполнялось
,
 т
.
е
.

. В силу
условия задачи (3)
 получаем что
.


Теорема

(об устойчивости решения задачи Коши)

Малому изменению начальных данных
,

и правой
части

волнового уравнения соответствует малое изменение
решения задачи Коши
.


65

◄ Приведем доказательство для случая малых изменений
неоднородности

в задаче





(31)

Уравнения в задачах примут вид


Построим задачу для функции
:




(32)

Если
 то по формуле Даламбера



66

5.

ЗАДАЧА

О СОБСТВЕННЫХ
ЗНАЧЕНИЯХ

5.1.

Постановка задачи

Определим линейный дифференциальный оператор по
переменным
:


,

(1)

где



единичный оператор



положительно
-
опре
деленная в области

матрица. На границе области

действует оператор

.



(
2
)

Тогда д
ля
функции


сформулируем

следующую краевую
задачу
 которая и называется
задачей н
а собственные значения
.

Найти те значения параметра
 при которых
существуют нетривиальные решения задачи
:






(3)

.






(4)

Константы



собственные значения
,

а функции



собственные функции

задачи (
3
), (
4
).


5.2.

Общие свойства собственных
функций и собственных значений

В случае

уравнение (
3
) есть
уравнение с частными производными. Определим ск
алярное
произведение с весом

двух функций

в
пространстве
:


.



(5)


67

Дифференциальный оператор

называется
эрмитовым

(
самосопряженным
) если



для
любых функций
 удовлетворяющих
одинаковым однородным краевым условиям.

Примеры эрмитовых операторов:

;

.

Свойство 1

Если

есть собст
венная функция соответствующая
собственному значению
 то

также соответствует
этому значению
.

Если

есть собственные функции
принадлежащие собственному значени
ю
,

тогда функция

также является
собственной для этого значения
.

Свойство 2

Собственные функции принадлежащие различным
собственным значениям линейно независимы.

Если собственному зн
ачению

принадлежат

линейно независимых собственных функций то число

называется
рангом
собственного значения.

Свойство 3.

Если оператор

в уравнении (8‱) эрмито
в то все
значения

действительны.

Свойство 4

Если оператор

в уравнении (
3
) эрмитов то
собственные функции
 соответствующие различным
собственным значениям взаимно
ортогональны
:


.


(
6
)


68



Пусть различным собственным значениям соответствуют
собственные функции

и для каждого набора
справедливо уравнение

. Для эрмитового
оператора
 т.е.


.


В силу условия

получаем что
.




Свойство 5

Если



эрмитов оператор имеющий чисто дискретный
спектр то существует ортогональная последовательность
собственных фун
кций
 доставляющая
разложение в ряд функции
 которая
удовлетворяет краевым условиям задачи и является такой что

существует почти всюду в

:

,





(
7
)

где
.



(
8
)



Для того чтобы с
истема собственных функций

была
базис
ом в пространстве

 необходимо чтобы
выполнялись следующие условия:

a)

c
истема


был
а ортогональной
(
доказано в свойстве

4)
;

b)

c
истема

была полной что
эквивалентн
о условию
:

для

ряд Фурье

сходится (в
среднем)

к


в
 т.е.


.


69

Для в
ычислени
я

коэффициентов

умножим
соотношение (11) скалярно на

и учтем свойство
ортогональности:


.







Для получения
равенства П
арсеваля

умножим соотношение (
7
)
скалярно на
:

,
.

Для нормированной системы

и равенство Парсеваля
принимает вид

.




(9)

5.3.

Одномерная задача

Штурма


Лиувилля о собственных значениях

В одномерном пространстве оператор (1) принимает вид

.

(1
0
)

Приведем его к самосопряженному виду. Для этого умножим
(1) на произвольную положительную функцию
:


Если функция

такова что выполняется у
слови
е




,


то оператор (1) записывается в самосопряженном виде:


70

,


Введем обозначения
 тогда

.




(1
1
)

Запишем о
днородное уравнение Штурма


Лиувилля

для
оператора
:

.

При

уравнение



(1
2
)

определит

самосопряженную зад
ачу о собственных значениях
если это уравнение дополнить однородными линейными
граничными условиями.

В общем случае их можно записать как


.

(13)

Граничные условия
I

рода
:

.





(1
4
)

Гр
аничные условия
II

рода

:

.




(1
5
)

Граничные условия
III

рода
(
)
:

.


(1
6
)

Граничные условия могут быть заменены условиями
периодичности:

.


(1
7
)


71

Решения
задачи для уравнения (12)
ищем в пространстве
 в котором скалярное произведение определяется по
формуле

,
,

(
18
)



.




(
19
)

Определим



линейное подпростран
с
тво

как
. Задача
Штурма


Лиувилля (12) (13) эквивалентна задаче на
собственные значения оператора
 т.е.
эквивалентна операторному уравнению
.

Лемма

Оператор

самосопряжен т.е.

для


.




.






.

Входящие в выражение определители являются определителями
Вронского для решений однородного уравнения (12) поэтому
тождественно равны нулю.








72

5.4.

Свойства собственных функций и
собственных значений задачи
Штурма

Лиувилля

Свойство 6

Множество собственных

значений задачи (1
2
), (1
3
)
дискретно при условии что

не является собственным
значением задачи.

Свойство 7

Собственные значения задачи (1
2
), (1
3
) имеют ранг 1.

При
условии периодичности граничных условий (1
7
) ранг может
равняться
д
вум

(не более).


Предположим что одному собственному значению
соответствуют две линейно независимые собственные функции
 при этом для каждой из этих функций выполняется
граничное условие (16):



Коэффициент
ы

и

одновременно в нуль не обращаются
поэтому определитель однородной системы должен обратиться
в нуль:




Это означает линейную зависимость
.
Собственному зна
чению


соответствует одна линейно

независимая функция
.







Свойство 8

Формулировка

1:
Если в задаче (1
2
), (1
3
)
,
,

,

,

,

то
все собственные значения
 за исключением случая для
которого
. В этом случае задача
принимает вид


73

,



(2
0
)





(2
1
)

и

также является собственным значением задачи.

Формулировка

2
:

Если
 то
.
Случай

возможен только в случае задачи (2
0
), (2
1
).



Достаточность
:
Для


является нетривиальным решением задачи (2) (21)
.

Необходимость
:

Пусть



собственное значение


собственная функция.



Если принять что
 то равенство нулю
возможно только при условии равенства нулю интегралов. При
этом получаем

a)

.

b)

.

c)

.






Свойство 9

Если собственные значен
ия расположить в порядке
возрастания
 то

асимптотически
пропорционально

при
.

5.5.

Уравнение Бесселя

Уравнение Бесселя получается в результате
использования в опера
торе

цилиндрических

74

пространственных координат. Для одномерного случая искомая
функция
 где
.


,

.

Уравнение имеет особую точку
.
Более общее у
равнени
е







(22)

называется
уравнением Бесселя

порядка
 где



произвольное действительное или комплексное число
.

Введем новую
переменную

для
случая

. Замена

,


,


приводит уравнение к виду

.







(
23
)

Это обыкновенное дифференциальное ура
внение линейное
однородное 2
-
го порядка. Общее решение будем искать в виде
линейной комбинации двух линейно независимых решений.
Ищем решение в виде обобщенного степенного ряда:







(2
4
)



Коэффициенты при

степенях
:

,






(25)

,





(26)





(27)

Из равенства (25) следует что
. Тогда в
соответствии с (26) для


или

Из соотношения (27):


75




Определим произвольный коэффициент

в удобной форме:





Функция Бесселя
I

рода порядка
:


.




(
28
)

Степенной ряд (28) с
ходится по признаку Даламбера.

Для
отрицательных
:


.




(
29
)

Если



не це
лое число то
и


линейно
независимые функции. При целых значениях

. В этом случае нужно использовать
функцию Бесселя
II

рода
-
го порядка (функ
ция Вебера
функция Неймана):





(
30
)

Общее решение уравнения (23) для
:

.





(
31
)

Приведем некоторые свойства функций Бесселя:



76






,




Рис.15. Графики функций Бесселя
I

рода



Рис.16. График функции Бесселя
II

рода

2

4

6

8

10

12

14

-
2

-
1

0.5

1

x

-
1.5

2

4

6

8

10

12

14

-
0.4

-
0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1



x

-
0.5


77

5.6.

Ортогональность функции Бесселя

Уравнение (22) в самосопряженном виде:

,




(
32
)

при этом
. Дополним уравнение
граничными условиями например
III

рода:

.


(
33
)

С учетом з
амены

общее решение (
32
) для целых
значений

принимает вид

.

Условие ограниченности решения

и
неограниченности функции

при

требует
выполнения условия
.
Тогда п
ервое из условий (
33
):

.



(
34
)

Введем обозначение
.
У
словие (
34
) примет вид

.




(
35
)

Это
трансцендентное
уравнение им
еет бесконечное множество

положительных корней найдя которые можно
записать

с точностью до постоянного сомножителя

множество
решений задачи (
32
), (
33
):

.




(
36
)

Полученные собственные функции задачи (32)
(33)
ортогональны на интервале

с весом
:


Значения

при различных условиях аналогичных
(33) вычисляются по следующим формулам:




е
сли



по
ложительные корни уравнения
,

то


78

;

(
37
)




е
сли



положительные корни
,
т
о

.



(
38
)

По ортогональной системе цилиндрических функций
возможно
разложение в ряд:


Р
яд Фурье

Бесселя

(для граничных условий
I

рода):

.



(39)

Р
яд Дини

Бесселя

(для граничных условий
II

и
III

рода):

.

(40)

5.7.

Задача на собственные значения для
многомерног
о пространства
.
Решение задачи Дирихле для
уравнения Гельмгольца

Задачу на собственные значения в области

рассмотрим на примере однородной задачи Дирихле для
уравнения Гельмгольца:





(4
1)

Свойство 1

Собствен
ные значения задачи (4
1
) положительны:

.

◄В
I

формуле Грина
положим
:


79



Свойство 2

Собственные функции задачи (4) попарно ортогональны в
пространстве
.



Две различ
ные собственные функции задач





(
42
)

удовлетворяют
II

формуле Грина
:

.

С учетом (
42
)
 что дает

или
при
.►

Решим
задачу Дирихле для уравнения Гельмгольца для
прямоугольника:






(
43
)

Ищем нетривиальное решение в виде
.
Разделяем переменные в уравнении



При подстановке в гран
ичные условия получаем



80

Таким образом получили две задачи Штурма


Лиувилля для
определения

и
:



,


Свойство 3

Собственные значения

могут иметь кратность
больше
1.


Для простоты выкладок п
оложим
. Тогда


Собственные функции

и
 соответствующие
,

линейно независимы
.









81

6.

МЕТОД ФУРЬЕ

6.1.

Схема метода Фурье для
однородных краевых условий

Рассмотрим дифференциальные операторы






(1)

на классе функций

и




(2)

на классе функций
.




положительно
-
определенная в области

матрица.

Общий вид оператора действующего на границе области

:

.




(3)


В дальнейшем будем рассматривать решения задач
методом
Фурье для областей с прямоугольными границами в
различных координатных системах. Например:



в декартовой системе координат
,
,



в полярной системе координат
,
.

Испол
ьзуя введенные операторы составим уравнение и
определим условия
смешанной краевой
задачи:




(4)





(5)




(6)

Поставим следующую задачу
.


В классе функций

найт
и решение
уравнения (4) с граничными условиями (5) удовлетворяющее

82

начальным условиям (6). В зависимости от коэффициента

оператора (1) меняется формулировка начальных условий:



для уравнения гиперболического типа

при
:




(6

)



для уравнения параболического типа

при
:






(6


)

В соответствии со схемой метода Фурье р
ешение задачи
(4) (5) (6) ищем методом разделения переменных. Для
нахожден
ия частных решений в виде






(7)

найдем нетривиальное решение
однородного

уравнения
соответствующего уравнению (4) и
однородным
условиям (5) на
границе
:





(4

)


Подставим (7) в уравнение (4

)

и разделим переменные:


В последнем равенстве слева стоит выражение зависящее
только от
x
 а справа


только от
t
. Равенство в уравнении должно
выполняться для любых значений аргументов поэтому эт
и
отношения равны некоторой константе обозначим ее
:



Разделение переменных в однородном условии (5)
приводит к условию

.

Произведение равно
нулю если
хотя

бы один из сомножителей ра
вен нулю. Если
положить что


для

 то решение
(7)

будет
тождественным нулем что противоречит уравнению
(4)

и условиям
(6).

Таким образом
на границе должно выполняться условие

.


83

Для опр
еделения

получаем следующую краевую
задачу

на собственные значения
:






(8)

.






(
9
)

Решив задачу получаем некоторый набор

и
соответствующих им собственных
функций
.
Решение
задачи (4) (5) (6) ищем в виде разложения в ряд

Фурье
по
найденным собственным функциям
:

.





(10)

Подставляем ряд (1) в неоднородное уравнение (4) и начальные
условия (6). Проведя просты
е преобразования получаем




(11)

Из уравнения для собственных функций (8) следует что
. При этом уравнение принимает вид

.

Это соотношение есть разложение функц
ии

в ряд Фурье
по собственным функциям
. Выражение (11) является
разложением функций

по собственным функциям
. Коэффициенты разложения определяются по формулам:



(1
2
)


84

Задача (12) есть задача Коши для определения коэффициентов
. Результат ее решения подставляем в выражение (1) и
получаем решение смешанной задачи (4)

(6).

6.2.

Решение смешанной задачи для
однородного уравнен
ия
гиперболического типа

Покажем применение метода Фурье на примере
смешанной задачи для уравнения гиперболического типа.

,





(
13
)

Граничные условия

в общем виде
:






(
14
)

Начальные

условия:







(
15
)

Так как уравнение (13) и граничные условия (14) однородные
то для них можно сразу применить разделение переменных
представив
:


Разделяем переменные:


Для нахождения функции
получаем задачу Штурма


Лиувилля (задачу на собственные значения):


85






(
16
)

Решением этой задачи является множество собственных
функций
 соответствующи
х собственным значениям
.

Для функции

справедливо уравнение
.
Решение задачи (1
3
)

(
15
) ищем в виде ряда Фурье по
найденным собственным функциям:

,

.

Полученное решение должно удовлетворять начальным
условиям:

,


.


Эти выражения представляют собой разложение в ряд Фурье по
найденным собственным функциям

функций

и
. Коэффициенты разложения вычисляются по формулам:


,


.

Сформулируем задачу Коши для функции
:




(
17
)

В случае когда
,

общее решение уравнения задачи (
17
)

будет выглядеть так:


.

Удовлетворяем начальным условиям:


86


Каждому значению

соответствует решение

.

Решение

задачи (13)


(
15
) представляется в виде суммы:

(
18
)

Определение 1

Формой

функции
называется функция

при фиксированном
.

Определение 2

Функция
сохраняет форму если отношение

не зависит от
:

.


Обозначим
.

Определение 3

Функция
,
сохраняющая форму называется
стоячей волной.
Ф
орма волны постоянна с точностью до
множителя
.


Рис.17. Стоячие волны


Примечание:

Волны на неограниченной струне с общей формулой

не являются стоячими волнами.


8
7

Определение 4

Две функции имеющие одинаковую

форму называются
подобными.

Пример подобных функций:


и
.

Решение задачи методом Фурье сводится к наложению
собственных колебаний:



Любое произвольное начальное смещение

представля
ется в виде разложения по собственным функциям
соответствующей задачи Штурма


Лиувилля:



.



Задача (13)

(15) решается для начальных условий
,

пропорциональных собственным функциям
.
Получаем соответствующее ре
шение
:

.



В силу принципа суперпозиции решение основной задачи
(13)

(15) строится путем наложения соответствующих
собственным функциям решений:
.

6.3.

Колебания струны жестко
закрепленной на концах. Физическое
толко
вание решения

Решим основную смешанную краевую задачу о колебании
однородной струны. В области

при

найти
решение задачи о колебании струны жестко закрепленной на
концах:





(
19
)

,




(
2
0
)

.



(
2
1
)

В данной задаче однородные граничные условия и
однородное уравнение поэтому возможно непосредственное
разделение переменных:



88


Задача Штурма


Лиу
вилля

имеет решение:




(2
2
)

Сформулируем задачу Коши для нахождения
:


Решение этой задачи:

=
,

(2
3
)




(
2
4
)




,


,




,
.

Решение основной смешанной задачи о колебаниях струны:

.

(2
5
)

Каждый член ряда


стоячая волна

колебания. Для
нее можно
определить параметры колебательного процесса:


89



амплитуда

(зависит от координаты точки
)
,


частота
,



фаза
.

При колебании струна издает звуки которые
можно
назвать музыкальными (ноты) и не музыкальными (шумы).
Музыкальные звуки располагаются в определенном порядке по
высоте которая зависит от частоты колебаний.
Н
оты
которые
мы не можем различить по высоте называются тонами.

Собственные частоты

колеб
аний струны

жестко

закрепленной
на концах
,

. Изменить собственные частоты
колебаний струны можно изменяя ее длину
 натяжение

и
плотность
. Основной тон самый н
изкий достигается при
:
. Для ноты
ля 1
-
й октавы
.
Тона соответствующие более высоким частотам (
),
называются обертонами. Обертоны частоты которых являются
кратными основной частоте называются
гармониками
. Первая
гармоника


основной тон
-
я гармоника


тон с частотой
.
При

амплитуды
гармоник
быстро убывают

и

для больших

остается только влияние на тембр звука:

,

,

.

Существует очень мало колебательных систем с
гармоническими обертонами но эти немногие системы
являются основными для построения поч
ти всех музыкальных
инструментов.


Амплитуда
-
й гармоники обращается в ноль в точках для
которых

,
 тогда в точках



узлы стоячей волны
.


90

Амплитуда достига
ет наибольшей величины в точках для
которых
,
 тогда в точках



пучности
-
й гармоники
.

Если струну прижать в точке

при


пучности основного тона в середине струны) то

при
. Точка

является узлом в решении задачи о
колебании струны остаются только четные гармоники. Самая
низкая частота
 струна будет издавать не основной
звук а его октаву.

6.4.

Теорема существования регулярного
решения классической краевой
задачи для уравнения колебания
струны

Лемма 1

Производная нечетной (четной) функции есть функция
четная (нечетная).


,

,

,








Лемма 2

Если



нечетная и имеет период 2
l
 то

и
.



a)

,

при

 следовательно
,

.

b)

 но
(нечетная)
тогда
,
следовательно
.►


91

Лемма 3

Если функция

на

дважды (один раз)
непрерывно дифференцируема и удовлетворяет условиям
 то ее
можно продолжить на

и 2
l

периодично на всю числовую
ось так что при этом функция


продолжен
ие дважды (один раз)
непрерывно дифференцируема разлагается в ряд по синусам и
сумма ряда на отрезке

равна
.

Лемма 4

.


(
2
6
)

Если функция

на отрезке

непрерывно
дифференцируема
n

раз имеет кусочно
-
непрерывную
производную
 и выполняются условия

,
k
 1 2
n
,

то

a)

ряд
 где


коэффициенты ряда
Фурь
е (1)
,

сходится
;

b)

р
яд Фурье функции

сходится равномерно к

и его
можно дифференцировать почленно
n

раз.

Используем приведенные леммы для доказательства
регулярности решения основной смешанной задачи (19)

(21).
Дополним формулировку задачи условиями согласования
начальных и граничных условий:

.




(
27
)

Решение задачи:

,


(
28
)

,
.


92

Определ
им

условия для
начальных функций

такие
чтобы решение (
28
)

a)

было регулярным при

;

b)

было непрерывным по
x


при
;

c)

было непрерывно дифференцируемым по
t


при
;

d)

удовлетворяло условиям (
20
), (
21
).

Непрерывно
сть решения
вытекает из требования
выполнения
условий согласования (
27
).

Теорема 1

(
О равномерной сходимости)

Если
,

и
 то ряд (28)
сходится равномерно и его можно дифференцировать почленн
о.

◄ В соответствии с леммой 3 продолжим функции

нечетно и периодически с периодом

на всю ось. Для
функций


продолжений

возможно разложение в
ряд Фурье по синусам:






(
29
)

Докажем равномерную сходимость для ряда

.

В соответствии с леммой 4 ряды

сходятся а
значит сходится и ряд
 который
является мажорантой для
. Для оста
льных производных
доказательство строится аналогично. Следовательно
,

р
яд (28)
сходится равномерно определяет непрерывно
дифференцируемую функцию
.►


93

Теорема 2

При условиях наложенных на

в теореме 1
,

ряд (28) о
пределяет регулярное решение задачи (19) (2) (21).

◄ Для решения (28) граничные условия (2) удовлетворяются
почленно. Начальные условия выполняются по построению.
Проверим что (28) является р
ешение
м

уравнения:


Продолжим

нечетно и периодически на всю
числовую ось получим функции


продолжения

и
проинтегрируем (29):


Тогда решение уравнения (19) с условиями Коши на всей
числовой оси можно представить формулой

Даламбера:

.


(
30
)

Это решение на отрезке

совпадает с решением смешанной
задачи (19)


(21). Единственность и устойчивость решения
задачи при

вытекает из представления решения в
виде (3
) так как для задачи Коши это доказано. ►

6.5.

Схема Фурье для неоднородных
граничных условий

Перед решением методом Фурье смешанной задачи с
неоднородными граничными условиями


94




(
31
)





(
32
)





(
33
)

переформулируем задачу используя следующий прием.
Представим
 где



новая
искомая функция а функция



вспомогательная которая
должна удовлетворять неоднородным граничны
м условиям
 тогда








Получаем задачу с однородными граничными условиями
относительно
неизвестной функции
:

,





Введем новые обозначения

,

.

Задача (
31
)

(33)
) оказалась переформулированной относительно
новой
неизвестной функции
:

,




(
3
4)






(
3
5)




(
3
6)


95

Функцию

для одномерного пространства можно
выбрать среди функций вида
,
определив коэффициенты из условия

.

Дру
гой способ определения функции
применяется
в том случае когда неоднородности в уравнении и граничных
условиях имеют одинаковый сомножитель
 то есть при
решении задачи



(
37
)




(
38
)




(
39
)

В этом случае функцию

ищем в виде произведения
 которое должно удовлетворять как
неоднородному уравнению так и неоднородным граничным
условиям:



Разделяем переменные в уравнении:

.

Если для заданной функции

существует такое
 что
выполняется
 то для нахождения

получаем краевую задачу:





(40)


96

Если

не является собственным значением оператора
 то
есть
 и
задача (4) имеет единственное
решение. Для одноме
рного пространства задача (4) является
краевой задачей для обыкновенного дифференциального
уравнения.

Простейший вариант использования такого метода
получается в случае когда граничные условия не являются
условиями второго рода в операторе


и
. Тогда

и краевая задача для
:


После нахождения функции

решение исходной задачи сводится к решению за
дачи для
однородного уравнения с однородными граничными условиями:






(
41
)






(
42
)



(
43
)

6.6.

Интеграл энергии

Построим интеграл энергии для жестко закрепленной

неоднородной струны с уче
том сопротивления среды
пропорционального отклонению:



(44)

.






(
45
)

П
усть п
араметры задачи удовлетворяют условиям:

,


Требуется н
айти полную энергию струны в мом
ент времени
.


97

◄ Полная энергия колеблющегося тела складывается из
кинетической и потенциальной энергии:
.

a)

Кинетическая энергия
.

Для неоднородной струны:
.


(
46
)

б)
Потенциальная энергия
 где



работа по
перемещению струны из некоторого начального положения
отсчета

до
. Вычислим работу силы
на
перемещ
ении
:
. На участке

(рис.18)



Рис. 18


.

По теореме о среднем

:

,


.


Сила действующая на всю струну


98



Преобразуем получившийся интеграл:


В силу граничных условий (45)
,
,
поэтому


и


Если при

в системе было равновесное состояние
 то

и






(
47)

Полная энергия

системы:


(
48
)




99

Примечание:

Если сопротивление пропорционально скорости движения
в виде
 то выражение для энергии



(49)

Запишем интеграл энергии для
-
й гармоники в задаче о
колебании
жестко закрепленной струны:






(50)

Решение задачи:


Справедливы следующие соотношения для
коэффициентов и параметров задачи:



.

.

Интеграл энергии в случае колебания струны без трения:



100

=







6.7.

Ед
инственность решения основной
смешанной задачи о колебаниях
струны

Запишем задачу о колебаниях неоднородной струны:




(51)

,





(52)

.





(53)

Условия на параметры задачи:

.

Условия согласования

начальных и граничных условий:



101


Теорема 1

Регулярное решение задачи (51


(53) единственно.

◄ Пусть задача (51) (52) (53) имеет два решения
:


и
. Тогда

будет решением
следующей задачи:




,



.


Для этой задачи интеграл энергии


.


(54)

Вычислим производную этого и
нтеграла по
:

.

Второй интеграл вычислим по частям:


В силу однородности граничных условий

.

тогда
.

В начальный момен
т времени в соответствии с нулевыми
начальными условиями

,


102

т.е

.
В силу неотрицательности под
ы
нтегрального
выражения
в
(54)
получаем что
,
.
Отсюда следует что
 а в силу нулевых
граничных условий
 откуда
 т
.е.

решение задачи (51)

(53) единственное. ►


103

7.

УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО
ТИПА

7.1.

Принцип максимума

Определим область изменения переменных

в
фазовом пространстве
,

как цилиндр

(рис.19). Изучим поведение решения
однородного уравнения теплопроводности в этой области:

,
,

.



(1)

Часть поверхности цилиндра обозначим как

.




(2)


Рис.19. Фазовое пространство для уравнения

параболического типа


В частном случае одномерного пространства
,
 поэтому



(3)


104

Теорема 1

(
теорема максимума)

Регулярное решение однородного уравнения
параболического типа непрерывно
е вплоть до границы своего
экстремума достигает на
.



Проведем доказательство для пространства
:

,
,
.

В силу непрерывности

существует точка
 для которой
.

Предположим противное
:

,
,
.

Введем вспомогательную функцию:

.

Оценим ее

значения на границе
:

.

.

Возможны два варианта:

1.

Точка максимума



внутри
.
Тогда справедливы признаки максимума для внутренних точек
повер
хности:


,

т.
е
.

для

выполняется
. С другой стороны
,
при подстановке в уравнение



что и приводит к противоречию
.


105

2.

Точка максимума

находится н
а границе
.
Признаки максимума для ограниченной поверхности:

,
,
. Далее аналогично
предыдущему.



Следствие

Пусть
,



регулярные решения однородного
уравнения (1) непрерывные вплоть до границы
,

и
.
Тогда
.



По условию для

выполняется


или
. Обозначим
,



также
решения однородного уравнения. Тогда
,


. По
теореме об экстремуме
,
. Совершаем
обратный переход:


,
,
.




7.2.

О единственности и устойчивости
первой смешанной задачи

Сформулируем первую смешанную задачу для
уравнения параболического типа:

,
,




(4)

,

,





(5)

,





(6)

Проверим устойчивость решения по отношению к
неоднородностям в условиях. Зададим два вари
анта условий (5)
и (6):

,

,




(7

)

,


,



(7


)

Если при этом для


такое что для
,
,
 для которых

106

,

,
 выполняется

 то говорят что решение устойчиво по
отно
шению к заданным условиям.

Теорема 2

(о единственности и устойчивости первой
смешанной задачи для
уравнений параболического типа)

Регулярное решение задачи (4)

(6) непрерывное вплоть
до границы единственно и непрерывно зависит от
неоднородностей в услови
ях (5) и (6).

◄Пусть
для условий (7

)
,
(7


) для
выполняется
:

,
,
.


(8)




соответствующее решение непрерывное вплоть до
границы и для

выполняется:

,

,

,


В силу выполнения условий (8) на границе
по теореме
максимума получаем что


или

для
.

1.
Если
 то


и

решение единственно
;

2.
Если



решение устойчиво.





7.3.

Решение смешанной краевой
задачи методом Фурье

Применим
метод Фурье для решения задачи с
однородными уравнением и граничными условиями:







(
9
)


107

После представления

получаем две задачи.
Задача на собственные значения

имеет решение:


;



(10)

Уравнение для
:

.
Его решение

.






(11)

Решение задачи (9) ищем в виде
.




(12)

Из начального условия получа
ем что

.





(
13
)

Теорема 3

Если

и имеет кусочно
-
непрерывную
первую частную производную то (12) с коэффициентами (13)
дает классическое решение задачи (9) при
.

◄ Ряд

сходится как ряд из коэффициентов Фурье
разложения функции
. Этот ряд является мажорирующим
для решения (12)  следовательно
,

ряд (12) сходится в
.►

Теорема

4
(отход от требов
ания непрерывности
)

Если

кусочно
-
непрерывная (
I

рода) на отрезке
 то функция (12) в

цилиндре


является решением
уравнения теплопроводности
; о
граничена в
; у
довлетворяет
граничным условиям
; п
ри

непрерывна в точках
непрерывности

и
.


108

7.4.

Функция влияния мгновенного
источника

Запишем решение (12) в виде






.

Обозначим:




.


(1
4
)

Тогда решение задачи (9)

.






(1
5
)

Построим решение
задач
и

с начальным условием
:


,
.


Рис.2
.

Последовательно
сть дельтообразных функций



109

Функции аналогичные
 называются дельтообразными.
Последовательность этих функций (рис.2) сходится к
обобщенной дельта
-
функции:


.
(16
)




,

если
.

Известно что к
оличество тепла необходимое для
нагрева единицы объема на один градус
,

равно
. Пусть телу
нулевой температуры
при

задано количество тепла
. Согласно (15) решение

,
.

Таким образом функция

является

распределение
м

температуры в стержне при
 если в начальный момент

в точке

стержню сообщено количество тепла
 т.е. решение задачи:

,
,

,

,

,
.




функция влияния мгновенного источника
.


110

7.5.

Неоднородная смешанная краевая
задача

Сформулируем следующую смешанную задачу с
неоднородными уравнением и условиями:

,

,


(1
7
)


,





(1
8
)

.





(1
9
)

Решение задачи делим на несколько этапов:


1)

Приведем задачу к однородным граничны
м условиям.
Вводим замену

. Функция

должна удовлетворять граничным условиям (19). Ищем ее в
виде

:

,
.


.



(20)

О
бозначим:

,

.

2) Для функции

формулируется задача

,

,







(
21
)

.

Ищем решение как сумму
. Решение
для задачи

,
,




(22)

было получено ранее:

.





(23)

3)

Ищем решение задачи с неоднородностью в уравнении

,

,
,

(
24
)


111

в виде ряда Фурье
:


по собственным
функциям
. После подстановки ряда в (24) для
функции

получаем задачу Коши:

,
,



(25)

где
.




(26)

Решение задачи (25) ищем методом вариации
произвольной постоянной в виде
. При
подстановке в уравнение

,

,

,

.

С учетом начального условия


получим решение

.




(
27
)

Решение
задачи
(
24
):


.

(28
)


112

.


(29)

.




(30)

Окончательно
е решение задачи
:

.

Пример:




(
31
)


7.6.

Задача Коши

Для неограниченной области поставим задачу Коши
:





(
32
)

Теорема 1

(единственность решения зад
ачи Коши)

Непрерывное ограниченное во всей области изменения
переменных

решение задачи (32)

единственно.

◄Пусть задача (32) имеет два решения
:


и
. Тогда функция
является
решением задачи



113

Ввиду

ограниченности решений

и


такое
что
. Из неравенства треугольника
.



Ри
с.21


Функция

является решением
однородного уравнения. На границах области (рис.21)

,
.

Таким образом

,
. По
следствию из теоремы максимума
. В
предельном случае получаем для решения задачи Коши

 т.е.
 а это
означает что и

.

Решение задачи (32)
единственное.


Построим формальное решение задачи Коши (
32) для
однородного уравнения. Для этого воспользуемся
преобразованием Фурье.


114

Лемма

Пусть

1)

 т.е.
;

2)


и
;

3)


конечный предел
,
.

Тогда интеграл Фурье сходится к функции

в т.
:

,



(
33
)

,
.

(3
4
)

Задачу Коши для однородного уравнения








(35)

решаем методом разделения переменных. Принимаем
. Ограниченное решение уравнения

возможно только при
. Для удобства
заменим
. Тогд
а
.

Уравнение

имеет решение

.







,

где



произвольный непрерывно меняющийся параметр.
Решение получаем в виде интеграла
,
который должен удовлетворять начальным условиям:

.

Согласно (33) и (34):


115

;
.


.


(36)

Для вычисления интеграла используем известну
ю формулу:



,

,
,
.

.


Получили
интеграл Пуассона

решения задачи Коши для
уравнения параболического типа:

.




(37)

Формула (37) для любой ограниченной функции

при

представляет собой ограниченное решение уравнения
теплопроводности непрерывно примыкающее при

к


во всех точках непрерывности этой функции.
Фундаментальное
решение

уравнения теплопроводности запишется в виде
,




(38)

где
.




(
39
)


116

Решение (37) задачи Коши для уравнения
теплопроводности есть функция неп
рерывно
дифференцируемая сколь угодно раз по

и

вне зависимости
от того будет ли иметь производные функция

или нет.
Эта гладкость решений существенно отличает однородное
уравнение те
плопроводности например от уравнения колебания
струны.

Для многомерного случая
:

.

Физическую интерпретацию решения проведем задав
начальные условия для одномерного стержня в виде
. Со
гласно физическим законам количество
тепла полученное в начальный момент времени участком
стержня длиной
,

составляет
 а для всего
стержня

Решение задачи Коши:



где
.

В предельном случае
 т
.
е
.

функция

является решением следующей задачи
Коши:


Таким образом


дает распределени
е тепла в
стержне если телу находящемуся при нулевой температуре в

117

момент

в т.

мгновенно сообщено количество тепла
.

Замечание


Согласно (39)
для

при сколь угодно
малых
 т
.
е
.

температура мгновенно распределяется по длине
стержня. Такое противоречие получается в связи с тем что при
выводе уравнения теплопроводности использовались
феноменологические представления о р
астекан
ии тепла

и не
учитывалась инерционность процесса движения молекул.


118

8.

УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

8.1.

Гармонические функции.
Фундаментальное решение
уравнения Лапласа

Каноническое уравнение эллиптического типа в общем
виде:

.




(1)

Самые важные из этих уравнений
:





уравнение Ла
пласа
,





(2)




уравнение Пуассона
.




(3)

Функция

называется
регулярным
решением
уравнения Лапласа

в области
 если в этой
области она удовлетворяет уравнению. Регулярные решения
урав
нения Лапласа в области

называются
гармоническими
функциями
.

Решение

уравнения Лапласа называется
регулярным на

 если оно в окрестности бесконечно
удаленной точки ограничено в

или

убывает не медленнее
 т.е. удовлетворяет оценке






(4)

Найдем решение уравнения Лапласа
 зависящее
только от
 где



фиксированная


переменная
точк
и

-
мерного пространства.



119


Рис.22


1) При

в полярной системе координат


Положим
,

введем обозначение

.






(5)

2) При

в сферической системе координат


Положим
 введем обозначение

.






(6)

Обоб
щим:





(7)

Функция

называется
элементарным
(фундаментальным) решением

уравнения Лапласа обладает
следующими свойствами:


120



у
довлетворяет уравнению Лапласа всюду кроме точки
.



п
ри

регулярн
а

на
.



п
ри

имеет логарифмическую особенность на
.



с
имметричн
а

по

и
 следовательно
,

.




(
8)

В дальнейшем нам понадобится производная по
произвольному направлению
. Вычислим ее:




121






(9)

8.2.

Постановка краевых задач для
уравнений эллиптического типа

Область

называем
ограниченной

если
существует

такой
 что
 в противном случае


неограниченной
 содержащей бесконечно удаленную точку.

Односвязная замкнутая поверхность

(кривая в
)
делит пространство

на две област
и:


внутреннюю

и



внешнюю
 содержащую бесконечно удаленную точку.


Рис.23. Внутренняя и внешняя области



122

Сформулируем основные краевые задачи для уравнения
Лапласа.

Внутренняя задача Дирихле

(задача
)



в области

найти гармоническую функцию (решение
уравнения Лапласа) непрерывную вплоть до границы

и
удовлетворяющую граничному условию
I

рода:

.



(10)

Если
 то найти функцию непрерывно
примыкающую к граничным значениям в точках непрерывности

и ограниченную в
.

Внутренняя задача Неймана

(задача
)



в области

найти гармоническую функцию (решение
уравнения Лапласа) непрерывно дифференцируемую вплоть до
границы

и удовлетворяющую граничному условию
II

рода:

.



(11)

Внешняя задача Дирихле

(задача
)



в области

найти гармоническую функцию (решение
уравнения Лапласа) непрерывную вплоть до границы
,
регулярную на бесконечности и удовлетворяющую граничному
условию
I

рода:

.



(12)

Внешняя задача Неймана

(задача
)



в области

найти гармоническую функцию (решение
уравнения Лапласа) непрерывно дифференцируемую вплоть до
границы

и удовлетворяющую гра
ничному условию
II

рода:

.



(13)

8.3.

Формулы Грина

Используя известные формулы математического
анализа:


123



интегрирования по частям

,


(14)



Гаусса

Остроградского

,




(15)



производной по напр
авлению

,





(16)

выведем некоторые соотношения для функций
. Используем тождество


.



(17)

Интегрируем его левую часть по объему
:


I

формула Грина
:

.



(18)

II

формула Грина:

.


(19)

I

формула Грина

(для гармонических функций):

.





(18

)

II

формула Грина

(для гармонических функций):

.





(19

)


124

8.4.

Свойства гармонических
функций

Свойство 1

(единст
венность гармонической функции)

Если гармоническая функция

и
 то

для
.

◄ В формуле Грина (18) положим
. Тогда
. Отсюда

для
 т
.
е
.

 но
 поэтому

для


Следствие


(
единственность
решения
задачи
)


Пусть задача

имеет два
решения:

и
. Тогда функция

является решением задачи
. В
соответствии со свойством 1

для
.


Свойство 2

(единственность решения
II

краевой задачи)

Если гармоническая функция

и
 то

для
.

◄В формуле Грина (18) положим
. Тогда

и

для


Следствие


(
единственность
решения
задачи
с точностью
до постоянного слагаемого
)

Свойство 3

Если гармоническая функция
 то

.




(20)


125

◄ В формуле Грина (18) положим
. Тогда
.


Следствие

(
условие для данных задачи
)

Для разрешимости задачи Неймана


необ
ходимо выполнение условия

.





(21)

◄ В формуле Грина (18) положим
:



8.5.

Теоремы о гармонических функциях

Теорема 1

(Интегральное представление функций)

Если



кон
ечная область с границей
,



фундаментальное решение уравнения Лапласа с
параметрической точкой
,
 то
имеет место представление


(22)

◄Обоз
начим площадь поверхности единичной сферы в
-
мерном пространстве
 тогда
.


при
. Для фиксированной точки

как
центра

сферы строим шар радиуса
:
.


126


Рис.24


В области

гармоническая функция

не имеет особенностей поэтому при замене

справедлива
II

формула

Грина (19):

.

Для области

граница состоит из двух частей следовательно:






Вычислим последний интеграл для случая
(аналогично
для
) учитывая значения

на сфере:




127


Используем теорему о среднем и ограничение
:

При

я
,
 следовательно



Следствие

(
и
нтегральное представление гармонической
функции)

Если



конечная область с границей
,
,
,



фундаментальное решение
уравнения Лаплас
а то имеет место представление

.

(22

)

Теорема 2

(о среднем значении
гармонической функции)

Если функц
ия

гармонична в шаре

и
непрерывна в
 то среднее значение

на сфере
равно значению

в центре сферы.


128

◄ Проведем доказательство для шара прои
звольного радиуса
:



Рис.25


В соответствии с представлением

(22

)

.

(23)

На сфере

выполняется:

,

.

Тогда в (23)


Используя 3
-
е свойство гармонических функций получаем

.



129

В силу произвольности





(24)►

Следствие

Если функция

гармонична в шаре

и
непрерывна в
 то среднее значение

в шаре равно
значению

в центре шара.

◄Запишем формулу (24) для произвольного радиуса

и проинтегрируем

,

,

,

,

.




(25)►

Теорема 3

(принцип эк
стремума гармонической функции)

Пусть функция

является
гармоническ
ой

в
.
Тогда для

или

а)
,

или

б)
.

◄В силу своей непрерывности в ограниченной области
функция

имеет в области
экстремальные значени
я.
Обозначим
. Доказательство проводим от

130

противного. Пусть

для
. Покажем
что
.


Рис.26


Диаметр области

обозначим
. Построим
последовательность шаров
 для которых

 следующим образом (рис.26).
Для шара с центром в точке

по

следствию из
теорем
ы

о
среднем

.

Преобразуем выраж
ение

,


следовательно

для
 в том числе
 где



точка пересечения поверхности шара

с произ
вольной кривой
 соединяющей

и
. Повторяем
построение для новой произвольной точки

и получаем


131

,
следовательно

для
 а это приводит к противоречию с первоначальным
предположением.►

Следствие 1

Для любой гармонической в

функции

выполняется
.

Следствие
2

Если
U
(
x
) гармоническа
я в
 непрерывна в

и
 то

для
.

Следствие
3

Если

гармонические в
 непрерывны в

и
 то

для
.

Следствие
4

Если

гармонические в
 непрерывны в

и
 то

для
.

8.6.

Метод Фурье решения задачи
Дирихле для кольца. Интеграл
Пуассона

В кольце

найти решение уравнения








(
26
)

с условиями

на границе

,
.

(2
7
)


Рис.27


132

Переходим к полярным координатам
.

,




(
28
)




(
29
)

Основываясь на свойстве регулярности гармонической
функции
,

ищем ограниченное решение задачи

. В соответствии с методом Фурье решение ищем в виде

. После разделения переменных для
функции

получаем задачу на собственные значения с
условиями периодичности:






(30)

Эта задача имеет решение

.

.

Для нахождения функции

получаем уравнение Эйлера:

.






(31)

При

его
решение ищем в

виде

,

.

При




Общее решение уравнения (28) удовлетворяющее
условию периодичности
:


(
32
)

П
одставим условия на границе (
29
):


133



Эти соотношения являются рядами Фурье разложения функций

и

по синусам и косинусам кратных углов
коэффициенты определяются по
формулам:

.

.

.

Полученное решение можно использовать для записи
решения уравнения (28) для круговой области. Используем
требование ограниченности решения для задач

и
.

a)

Найти функцию
гармоническую
в круге

,

на границе круга
.



134

Область

содержит точку
. Для выполнения требования
ограниченности решен
ия в выражении (32) положим
.

,

.

(
33
)


b)

Найти функцию
гармоническую
вне круга

,
на границе круга
.


Область

содер
жит бесконечно удаленную точку. Для
выполнения требования ограниченности решения в выражении
(32) положим
.

.


(
34
)

Подставим условия на границе

.


(
35
)




(
36
)

Исследуем полученные решения (33) и (34) на
регулярность.

135

135

1.

Ряды (
33
), (
34
) сходятся т.к. сходится мажорирующий их
ряд составленный из коэффициентов ряда Фурье (
35
):


.

2.

При

ряд
(
35
) являе
тся рядом Фурье для
,
значит

выполняются граничные условия
.

3.

Проверим условия удовлетворения уравнению Лапласа при

(при



аналогично). Пусть
,
. Тогда ряды


сходятся по признаку Даламбера:
.

Это условие выполняется при
.
Каждое слагаемое в
(
33
) является решением уравнения
. По принципу
суперпозиции (
33
)


решение уравнения Лапласа.

Запишем решения краевых задач
,

для круга в
интегральной форме. Введем обозначения:

:
,



:
,


.

Решения (33) и (34) запишутся в общем виде:

.

Преобразуем решение подставив выражения для
коэффициентов ряда


136

136



Вычислим сумму отдельно обозначив
:

.

Используем формулу суммы членов геометрической
прогрессии
:



Получили
интегралы Пуасс
она

для решения внутренней
и внешней задач Дирихле для круга:

,
:

;


(
37
)

,
:


.


(
38
)


137

9.

ФУНКЦИЯ ГРИНА

Для функций

и

запишем
II

формулу Грина считая


переменной а



параметрической точками
-
мерного
пространства:

(1)

Интегральное представление функции
:


(2)

Вычитаем из (2) выражение (1) деленное на
:


Обозначим

,





(3)

тогда

(4)


138

9.1.

Функция Грина задачи Неймана

В выражении (4) распорядимся функцией

 а
соответственно и

для того чтобы решение

внутренней
задачи Неймана





(
5
)

можно было записать в
виде (4).
Потребуем

,
.



(
6
)

Для определения функции

получили краевую задачу с
параметрической переменной
:

,

.

При

таком выборе

формула (4) преобразуется к виду

.

(
7
)

На основании (7) решение задачи Неймана (5) представляется в
виде

,


(
8
)

где

называется функцией Грина
задачи

Неймана.

9.2.

Функция Грина задачи Дирихле

Сформулируем требования к функции

для
задачи Дирихле:

.





(9)

Потребуем

,
.



(10)


139

В этом случае краевая задача для

примет вид

,

,

а выражение (4)



.

(11)

Решение задачи Дирихле (9):

.

(12)

Определение


Функцию

называют функцией Грина
оператора
Лапласа задачи Дирихле в области
 если




представима в виде суммы (
3
) фундаментального
решения

уравнения Лапласа и гармонической по

в
области

функции
;



на границе

области

функция

обращается в
ноль.

9.3.

Свойства функции Грина задачи
Дирихле

Свойство 1

Построение
функции Грина задачи Дирихле св
одится к
решению задачи


,





(13)

.




(14)

Гармоническая в области

функция

(
а значит
непрерывная)

на границе

принимает ограниченные зн
ачения
следовательно
,


ограничена в области
.

Свойство 2

Если
функция Грина существует то она единственная
.

◄ Две функции Грина одной задачи могут отличаться
только вторыми слагаемыми
:



140

,

.

Сформулируем задачу для функции
:

.

По свойству единственности гармонической функции для

.







Свойство 3

Ф
ункция Грина неотрицатель
на

в области

.

◄ Исключим точку

из области
. Построим область

 в которой гармоническая
функция
не имеет особенностей (рис.28). Исследуем
п
оведение функции


Рис.28


Очевидно что

и при
.
Функция

непрерывна и ограничена в
.
Следовательно для

выполняется
условие что

 для которого
. На другой границе по определению

141

. Применив принцип экстремума гармонической
функции к области

с границами

и
 получим

в области

(при
).





Свойство 4

Функция
Грина

симметрична относительно
своих арг
ументов

и
:
.

◄ Пусть


переменная точка области
 а

и



параметрические. Функции

и

имеют
особенности в точках

и
. Исключим эти точки из
области
(рис.29) введя следующие обозначения:



Тогда в области

функции

и

являются гармоническими по второй переменной
 то есть

и
.


Рис.29


Обозначим
,
. В области

с
границами

функции

гармоничны по
переменной
и для них справедлива
II

формула Грина:


142

.

В прежних обозначениях



.

В силу условий

и


первый интеграл
обращается в ноль и можно записать:



(15)

Вычислим интеграл в

левой части

соотношения

(15)
,

п
одстави
в

значения

и
на сфере:



.

В первом интеграле используем свойство интеграла от
нормальной производной

гармонической функции третий

143

интеграл обращается в ноль в соответствии с
о
II

формулой
Грина. Второй интеграл вычисляем по теореме о среднем:


при

или
.

Интеграл
в правой части соотношения (1
5
) дает
 что и
требовалось доказать.


9.4.

Преобразование инверсии

Рассмотрим шар

с границей

.
Пусть
точки
,
.
Точк
и

и

называются
симметричными относительно сферы
 если они
находятся на одном и том же луче выходящем и
з

центра сферы
и произведение расстояний от
,

до центра сферы ра
вно
квадрату радиуса этой сферы:


.




(1
6
)

Для единичных векторов одного луча выполняется
,
тогда справедливо
.


Рис.3. Преобразование инверсии


Преобраз
ование инверсии

ставит в соответствие точкам

точки

по формулам преобразования координат
:


144

.



(
17
)

Лемма

Отношение
расстояний от произвольной точки сферы до
двух фиксированных и симметри
чных относительно этой сферы
точек есть величина постоянная
.


Пусть



точки
симметричные
относительно
сферы
. Произвольная точка
.

Вычислим
расстояние с учетом формул (
17
) и равенства
:



Таким образом для фиксированных
:

,

.

,
.




(
18
)



9.5.

Функция Грина для шара

Теорема

Функция
Грина

задачи Дирихле для шара

имеет

вид

.




(19)


145

◄ Построим функцию Грина

для
шара

с гра
ницей
. Пусть точка

симметрична

относительно
. Используя (18) запишем:


Функция

гармоническ
ая по

в
 т.к.
.
Составим функцию Грина:


(
20
)

Согласно (
18
)

на границе

выполняется условие
:

.

Преобразуем
выражени
е для
 используя (
17
):



146

.


9.6.

Функция Грина для
полупространства

Используя симметричное отображение построим
функцию Грина для полупространства
,

для
которого
.

Пусть
,

(рис.31).


Рис.31

Положим
. В области

выполняется
 т
.
к
.


.

Для
функции



147



(21)

выполняются
все
требования
 налагаемые на функцию Грина:



В пространстве

для
 где
,
получаем

.

Функ
ция Грина примет вид

,

(22)


9.7.

Интеграл Пуассона для шара

Построим решение задачи Дирихле для уравнения
Лапласа для шара:

,





(23)


используя решение задачи в виде

(12)



и выражение функции Грина для шара (19). Вычисл
и
м
соответствующую производную


в общем виде. Для
этого найдем производную вспомогательной функции:

 где
.


148

.



Подставив конкретные значения

и
 получаем

,




,


На границе для функции Грина выполняется условие:


т
.
е
.

 что соответствует

149

равенству
. Это позволяет
записать

В случае пространства
:

В случае пространства
:


Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа для
шара (
интеграл Пуассона
):

.




(
24
)

Зап
ишем интеграл (
24
)

в полярных координатах.
Обозначим угол между радиусами

векторами точек
.

Тогда согласно т
еорем
е

косинусов


150

.
Для интеграла по окружности
. Тогда

.

Для с
ферически
х

координат

,
,
,
,


.

9.8.

Внешняя задача Дирихле для шара

Теорема

(о производных на бесконечности)

Если функция

гармонична в

и регулярна на
бесконечности то имеет место оценка
.

Поставим задачу н
айти в области

гармоническую функцию регулярную на

и
удовлетворяющую н
а границе условию
.

В решении
внешней

задачи по
формуле (
12
) меняется направление внешней нормали к шару
поэтому формула Пуассона (
24) для внешней области

.




(25)

Докажем регулярность этого решения в

на бесконечности
т
.е.

выполнение условия:
.

Выберем

так
чтобы
 т
.
е
.


(рис 32)
.


151


Рис.32

Из неравенства треугольника
,
,

или
. Используем это для оценки
. Тогда для

выполняется



.

В формуле Пуассона

.

Докажем регулярность в

на бесконечности
 т.е.
выполнение условия

.

При этом
.


Получаем оценку:
.


152

9.9.

Преобразование Кельвина

Преобразование Кельвина гармонической функции

позволяет построить соответствие между решениями
внутренней и внешней задач Дирихле

и Неймана
. Согласно преобразованию инверсии точки

симметричны относительно сфе
ры
 если расположены на
одном луче и
.


Рис.33


Пусть г
раница

разделяет области

и
,

(рис.33)
.
Начало координат
. Строим
сферу
.
П
роводим преобразование инверсии
при этом

ставится в соответствие
. На рис.
33

заштрихована
область
.

Преобразование инверсии

взаимно
однозначно проводит
отображение

.


Преобразованием Кельвина

функции
,
гармонической в
,
называется

функци
я


где
,



точки

153

симметричные относительно

сферы
. Используя связь
между координатами (17) можно записать:

,




(26)

.




(26

)

Теорема

Если



гармоническая в
 то еѐ преобразование
Кельвина

будет функцией гармонической по

в
области
.

◄ Доказательство проведем для случая
. Согласно
(26

)

. Функции

и

гармоничны по аргументу

в области
. Нужно проверить
гармоничность функции

по переменной

в о
бласти
. Вводим полярную систему координат:



В этих обозначениях
. Из условия
симметричности точек

получаем

или

и
.

Заметим что


154

,

тогда можно записать


т.е. если
 то и


Определение

Назовем точку

изолирова
нной особой

точк
ой
для
 если



гармоническая в проколотой окрестности
 а в этой точке не определена
.

Теорема

(об устранимой особенности)

Если функция

гармонична

в области

и
ограничена в проколотой окрестности т.
 то функцию

можно доопределить так что она будет гармонической в
.

Теорема

(о единственности
решения
внешней

задачи Дирихле)

Решение внешней задачи Дирихле

,



(27)

регулярное на бесконечности единственно
.

◄Применим к функции

преобразование Кельвина
положив
:

Услов
ие
на границе области

представится в виде

Таким образом для функции

сформулирована
внутренняя задача Дирихле:


155

,
,

которая имеет единс
твенное решение соответственно и
внешняя задача имеет единственное решение.►

Теорема

(о множестве решений задачи
)

Решение
внешней задачи Неймана




(28)

регулярное на бесконечности ед
инственно в

и единственно
с точностью до слагаемого в

.


Пусть задача (28) имеет два решения:

и
. Тогда
функция

является решением задачи
:

.





(29)

Поместим начало координат в область

и построим круг
достаточно большого радиуса
. Для области

запишем
I

формулу Грина приняв
.


Рис.34



156

.

Первый интеграл обращается в ноль в
следствие
граничных
условий задачи (29). На бесконечности для решения
выполняются условия регулярности

и
. Проведем оценку при
:

.

Следовательно
,

 т.е.
.

Для

на бесконечности
 т.е.
.►

157

10.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА

Запишем формулы которые понадобятся нам в этом
разделе
.

Для э
лементарно
го

(фундаментально
го
) решени
я

уравнения Лапласа

справедливы следующие соотношения:







(1)


,



(2)

.





(3)

10.1.

Ньютонов потенциал



Рис. 3
5


Поместим заряд

в
точке

(рис.35)
.
По закону Ньютона сила
создаваемая этим зарядом в
точке

равна

.

Прое
кция силы на направление
:

.




(4)

Сравнив соотношения (2) и (4) получим что


,






(5)


158

т.
е
.
фундаментальное решение

уравнения Лапласа
является
потенциалом

эл
ектростатического поля создаваемого
единичным положительным зарядом помещенным в точку
.

10.2.

Логарифмический потенциал

Разместим на неограниченной прямой

заряды с
равномерной плотностью
.
Определим силу с которой
заряды размещенные на прямой
 действуют на единичный
заряд в точке
. Каждому заряду расположенному
на прямой

в точке с координатой
,

соответствует равный
заряд в точке
.

Равнодействующая

от действия этих зарядов направлена
перпендикулярно прямой
. Таким образом равнодействующая
всех сил действующих на единичный заряд в точке
 не зависит от координаты
.

Положим
,

прямую

совместим с
координатной осью
 тогда

(рис
.
37).


Рис.3
6


159

Найдем величину проекц
ии силы
 действующей от
элементарного участка

в произвольной точке

на
заряд в точке
:

.

Равнодействующая всех сил:
. Вычислим
этот интеграл с учетом следующих соотношений:

,


.

.

Проекция силы на произвольное направление
:

.




(6
)

Сравним соотношения (2) и (6):

.





(7)




потенциал электростатического поля
,

создаваемого
зарядами распределенными на прямой с плотностью

(логарифмический потенциал).

10.3.

Определение и
нтегралов типа
потенциалов

Рассмотрим область

(
в


объем
в


плоскость)



граница области. Потенциал в точке
,
создаваемый зарядом велич
ины

в точке
 равен
 где



элементарное решение
уравнения Лапласа.


160

Объемный потенциал


Пусть


Тогда интеграл по объему






(8)

будем называть в

объемным

(трехмерным)
потенциалом
 а в



логарифмическим

потенциалом

(потенциалом площади).

Потенциал простого слоя

Пусть

Тогда интеграл по поверхност
и







(9)

будем называть
потенциалом простого слоя
.

П
отенциал двойного слоя

В произвольной точке

поверхности

проведем
нормальную прямую
.


Рис.3
7


На этой пря
мой в симметричных относительно
поверхности точках

и

поместим равные по величине но
противоположные по знаку заряды:
,

(рис.37)
.

161

Тогда
,

. В произвольной точке

потенциал создаваемый этими зарядами
,


.

Пусть при

выполняется соотношение


,





(10)

т.е.

в каждой фиксированн
ой точке

произведение величины
заряда на расстояние между точками есть величина постоянная.
Предельное распределение зарядов называется диполем



момент диполя




ось диполя (совпадае
т с направлением
нормали в точке
).


Вычислим потенциал диполя:

Определим
потенциал двойного слоя

как интеграл:

.




(11)

Обозначим угол между векторами

и

как

(рис.39)
.
Тогда с учетом (2)

и (3) в выражении (11) получим

.







(12)


162


Рис.3
8

10.4.

Признаки равномерной сходимости
интегралов типа потенциалов

Интегралы (8) (9) (
11) называются интегралами типа
потенциалов в подынтегральной функции имеют особенность в
точке
 т
.е.
являются несобственными интегралами.
Вопрос о сходимости такого типа интегралов рассмотрим на
простом примере.

Пример
:
Для

и
сследовать на сходимость интеграл

.




(13)




Пусть
. Исключим
из шара

окрестность особой точки

и вычислим интеграл по
области



163



.



Определение

Замкнутая поверхность

называется
поверхностью
Ляпунова
 если она удовлетворяет условиям
:

1)

в каждой точке

существует вектор нормали;

2)


такое что для
 сфера

разделит
поверхность

на две части:
,

лежащую в шаре
,



вне шара. При этом любая прямая
,

параллельная
 будет пересекать

не более

чем в одной
точке (можно записать

в виде


в местной
системе

координат);

3)

существуют постоянные

такие что

выполняется неравенство Липшица:


.




(1
4
)

Признак сходимости для интегралов по объему

Если




интегрируема и ограничена в конечной област
и
,





непрерывна при
,



существуют постоянные
,

такие что при

,


164

то несобственный интегр
ал

сходится
равномерно в
.

Другая формулировка

признака сходимости:

Если особенность подынтегральной функции в интеграле
по объему имеет
порядок
,

меньший размерности пространства

 то и
нтеграл по объему сходится равномерно в любой
точке этого объема.

Признак сходимости для интегралов по поверхности

Если




интегрируема и ограничена на поверхности Ляпунова
;




непреры
вна при
;



существуют постоянные
,

такие что при

,

то несобственный интеграл по поверхности

сходится равномерно в

.

Другая формулировка

признака сходимости:

Если в интеграле по поверхности

особенность
подынтегральной функции
имеет порядок

 то
поверхностный интеграл сходится равномерно в любой точк
е
поверхности.

10.5.

Свойства объемного потенциала

О
бъемный потенциал по внутренней области
:

.




(1
5
)

Теорема 1

Если плотность

и ограничена то
-
мерный потенциал (15)
в

удовлетворяет уравнению
Пуассона

,
.




(1
6
)


165

◄ Вычислим для потенциала (1
5
) значение
. Для
этого
используем формулу интегрирования по частям:

.

Н
аходим
первые производные:


.

(1
7
)

Оба интеграла в правой части удовлетворяют признакам
сходимости. Находим вторые производные
,
одновр
еменно
проверяя их сходимость
:


Интегралы в
правой части сходятся:



объемный интеграл

имеет особенность
ниже размерности пространства (
),



поверхностный интеграл

собственный т.к.
 т
.е.

.

Заменим переменную дифференцирования для
:

(18)

Вычислим несобственный интеграл по объему в (18).


166





Для этого исключим из области
интегрирования точку
:

:



шар.
.

.

Область

ограничена двумя поверхностями. Интегрируем по
частям (


внешняя нормаль к соответствующей поверхности):

.

Возвращаемся к вычислению производной (18):



167


В силу га
рмоничности


.


По определению нормальной производной:

.


По теореме о среднем:

.



Теорема

2

(о гармоничности объемного потенциала в
)

Если плотность
интегрируема и ограничена в
 то
-
мерный объемный потенциал гармоничен в
.

◄ Для

интеграл

является
собственным так как
. Дифференцируем по параметру:

,
,


при
.


168

,




Теорема 3



регулярности на бесконечности)

Если плотность

интегрируема и ограничена в
,
то объемный потенциал в

регуляр
ен на бесконечности.

◄Пусть


диаметр области
:
.


Рис.
39


Для достаточно удаленных точек
:

.

Тогда выполняется

.

Н
еравенство треугольника:

.

.

Для

:

.

,


или


при
.


169

Для
на бесконечности
.




Используя доказанное свойство объемного потенциала
,
можно записать одно из частных решений уравнения Пуассона:

.

(1
8
)

Положим
 тогда решение примет вид

.

(19)

Таким образом если плотность

и
ограничена то объемный потенциал



в области

удовлетворяет уравнению Пуассона (1
6
)
,



в области

будет функцией гармонической
регулярной
на бесконечности
.

10.6.

Свойства потенциала двойного
слоя

Потенциал двойного слоя:



(
20
)

Теорема 1

Если


поверхность Ляпунова плотность

интегрируема и ограничена

на
 то потенциал
двойного слоя определен во всем пространстве.

Теорема 2

Потенциал двойного слоя является функцией
,

гармонической во всем пространстве кроме точек поверхности
 и регулярен на
.

Положим в (2)
. Получим
интеграл Гаусса
:

.



(
21
)


170

Теорема 3

Если


поверхность Ляпунова то потенциал двойного
слоя с единичной плотностью является кусочно
-
постоянной
функцией




(
22
)

◄ Потенциал двойного слоя является несобственным
интегралом с особенностью в точке
. Рассмотрим три
случая.


Рис.4
0


а)

Пусть

(рис.41)
.

Исключим особую точку
,
. В

функция

является гармонической. По свойству гармонической
функции
:

,
,


171

.

Для

выполняется:
,

и

,

,

б) Пусть

(рис.41)
.

Переменная
 т
.е.


и по координатной точке

функция

гармоническая тогда справедливо свойство гармонической
функции
:

,
.

в
)
Пусть

(рис.42
).
Рассмотрим область
=
.
Граница области

состоит из двух частей:

и
 где



часть сферы
.



Рис.4
1


Функция


гармоническая в
 т
.
к
.

. Тогда


172

,

.

Если
:
 то

угол
.
Следовательно
,


При
:
,
полусфере т.е.
. Перейдя к
пределу получим

,
.




Если в (
20
) подс
тавить
,
получим прямое
значение потенциала двойного слоя:


(
23
)

Предельные значения потенциала двойного слоя:

,



(24)

.



(25)

Теорема 4

Если


поверхность Ляпунова и плотность

непрерывна на
 то потенциал двойного слоя
имеет
пределы
,

и они определяются по формулам:


173

,
.


(
26
)

,
.


(
2
7)

Скачок потенциала при переходе из
в
:

.




(
2
8)

10.7.

Свойства потенциала простого слоя.

Разрыв нормальной производной
потенциала простого слоя

Теорема 1

Если



поверхность Ляпунова а плотность

интегрируема и ограничена на
 то потенциал простого слоя






(
2
9)

определен и непрерывен в
. На бесконечности потенциал
простого слоя в

регулярен а потенциал в

имеет
логарифмическую особенность.

◄ Докажем регулярность на бесконечности:

для
,


для
.►


174

Теорема 2

Если



поверхность Ляпунова а плотность

интегрируема и ограничена на
 то потенциал простого слоя
гармоничен в области
.

Продифференцируем (
2
9) по внешней нормали к
поверхности

в фиксированной точке
:

,




(
3
0)

.

Обозначим

,




(
3
1)

.





(
3
2)

Сравним
(32)
с
выражением для
потенциал
а

двойного слоя

(20).
Различи
я заключаются в следующем (рис.42)
:




угол
в
фиксированной

точке
;


угол

в переменной точке
.


Рис.4
2


175


Введем понятие предельного значения нормальной
производной потенциала простого слоя:

,
,


(33)

,
.


(
34
)

Прямое значение нормальной производной потенциала
простого слоя:

.




(
35
)

Интегралы (
33
) и (
3
4) существуют во всем пространстве:



при
собственные;



при


несобственные но по условию Липшица для
поверхности Ляпунова из соотношения

следует
что выполняется
 где
. Таким
образом степень о
собенности под
ы
нтегрального
выражения
.

Прямое и предельные значения нормальной производной
потенциала простого слоя связаны следующими
соотношениями
:


(
36
)

10.8.

Метод сведения краевых задач к
интегральным уравнен
иям

В предыдущих разделах рассмотрены свойства
следующих интегралов типа потенциалов:

о
бъемный потенциал


176

;





(1
5
)

п
отенциал простого слоя

;





(2
9
)

п
отенциал двойного слоя

.

(
20
)

Опред
елены следующие свойства потенциалов
:



Потенциалы объемный простого слоя двойного слоя
определены во всем пространстве
.



Непрерывны:



объемный потенциал в области
;



потенциал простого слоя в области
;



потенциал двойного слоя в областях
 вплоть до
границы
.



Нормальные производные простого слоя существуют в
 непрерывны в

Построим и
нтегральные ур
авнения для краевых задач в
.

1)

Задача Дирихле для уравнения Лапласа (внутренняя и
внешняя)



Потенциал двойного слоя
в точках

является соб
ственным регулярным на

и гармоничным
в
. Предельные значения потенциала двойного слоя:

.


(
37
)


177

По граничным условиям:







(
38
)






Потенциал двойного слоя с плотностью
,
удовлетворяющей интегральному уравнению (
38
) является
решением задачи Дирихле. Вопрос о существовании р
ешения
краевой задачи сводится к вопросу существования решения
интегрального уравнения (
38
).

2)

Задача Неймана для уравнения Лапласа (внутренняя и
внешняя).


178



Потенциал простого слоя

в точ
ках

регулярен на
 гармоничен в
 существует
правильная нормальная производная. Предельные значения
нормальных производных
:

.



(
39
)







(
40
)




179





Потенциал простого слоя с плотностью
,
удовлетворяющей интегральному уравнению (4) является
решением зад
ачи Неймана. Вопрос о существовании решения
краевой задачи сводится к вопросу существования решения
интегрального уравнения (4).

Интегральные уравнения (38) и (4) являются
неоднородными уравнениями Фредгольма
II

рода с эрмитово
сопряженными ядрами

и
. Это следует из
соотношений:



,

.

Для поверхности Ляпунова выполняется:

,

.

Для пространства

степень особенности ядра
. Для дальнейшего рассмотрения запишем союзные
интегральные уравнения (38) и (4) в операторном виде:


,





(
41
)

.





(
42
)

Соответству
ющие однородные операторные уравнения:

,







(
43
)

.







(
44
)


180

Здесь

и



интегральные операторы с ядрами

и

соот
ветственно. Те значения
 при которых
уравнения (
43
) или (
44
) имеют ненулевые решения называются
характеристическими числами для ядер

и
.

Для решений союзных уравнений справедливы следу
ющие
теоремы
.

Теорема 1
. Альтернатива Фредгольма

Для уравнения (41) при данном фиксированном

имеет
место один из двух взаимоисключающих друг друга случаев
:

-

однородное уравнение (
43
) имеет только нулевое решение
неоднородное (
41
) р
азре
шимо при любом свободном члене;

-

однородное уравнение (
43
) имеет ненулевое решение
,

неоднородное уравнение (
41
) неразрешимо.

Аналогичный результат можно сформулировать и для
уравнений (42) и (44).

Теорема 2

Для данного (41) и союзного (42) уравнений им
еет место
один и тот же случай альтернативы и число линейно
-
независимых решений уравнений (41) и (42) одинаково и
конечно.

Теорема 3

Для разрешимости неоднородного уравнения (41)
необходимо и достаточно чтобы его свободный член
g
(
x
) был
ортогонален всем
линейно
-
независимым решениям союзного
однородного уравнения (44).

10.9.

Теоремы существования решений
краевых задач

Теорема 1

(
Существование решения задачи
)

Если поверхность
 то решение
задачи

существует и представимо в виде потенциала
простого слоя.

◄Покажем что

не является характеристическим
числом для ядра
. Доказательство ведем от

181

противного предположив что у уравнения (
40
) есть ненулев
ое
решение
:

,

.




(
45
)

Пусть




потенциал простого слоя с плотностью
 который гармоничен в

и регулярен на
.
Предельная нормальная производная согласно (45) обращается
в ноль:

.

Соответственно

должна являться решением внешней
задачи Неймана:


При

задач
а имеет единственное решение

для
. В силу непрерывности решения
. Таким
образом

является решением внутренней задачи Дирихле


В силу единс
твенности
решения этой задачи

для
. Таким образом

для
. Следовательно
,
.

Из ф
ормул
ы

для скачка нормальной производной
потенциала простого

слоя

,

следует что
 т
.е.

.
Получили тривиальное решение что противоречит исходному

182

предположению. Число

не является характеристическим
,

и в соответс
твии с альт
ернативой Фредгольма

неоднородное
уравнение (4) имеет единственное решение при
. ►

Теорема 2.

(
Существование решения задачи
)

Если
 функция
 то решение задачи

существует и представимо в виде потенциала двойного
слоя
.


◄ Ядро

является союзным для ядра
. В
силу предыдущей теоремы


не является
характеристическим числом ядр
а
 а значит
,

и ядра
. По теореме 2 имеет место один и тот же случай
альтернативы соответственно интегральное уравнение (
3
8)
имеет единственное решение при
.




Теорема 3.

(
Существование

решения задачи
)

Если
 функция

и удовлетворяет
условию
 то решение задачи

существует
и представимо в виде потенциала простого слоя.

◄ По
кажем что



характеристическое число
для
. Для потенциала двойного слоя с единичной
плотностью выполняется:


С учетом того

что
 можно записать:
. Это однородное интегральное
уравнение с ядром
 где


характеристическое

183

число а



отличная от нуля собственная функция. Для

число

является также
характеристическим числом и того же ранга что и для
.
Собственная функция

удовлетворяет уравнению

,



.




(46)

Соответствующий плотности

потенциал простого слоя
.

Для нормальной производной потенциала
простого слоя выполняется:

.

С учетом (46) получаем
. Таким образом

является р
ешением задачи
:



По теореме единственности решение задачи
определяется с
точностью до постоянного слагаемого:


Если
 то

как решение внешней задачи
 откуда получается


184



.

По формуле для скачка нормальной производной:

,


откуда

для
 что противоречит о
пределению
собственной функции. Таким образом
.

Покажем что ранг

равен 1. Предположим
противное: есть решение



линейно независимое с
:

.

Составим новое решение как линейную комбинацию решений

,

с плотностью
. Из решения задачи

следует что
.

По теореме о скачке нормальной производной
 т.е.

линейно зависимы и

имеет ранг единица. В
этом случае справедлива третья теорема Фредгольма согласно
которой уравнение


имеет решение если

ортогональна к решению уравнения

:




условие разрешимости задачи Неймана.


185

Общее решение неоднородного уравнения для

складывается из общего решения однородног
о

и
частного решения неоднородного

уравнений:

.

Решение внутренн
ей задачи Неймана в этом случае


представляется с точностью до постоянного слагаемого в виде
потен
циала простого слоя.



186

С
ПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


Основн
ая

1.

Владимиров В.С. Жаринов В.В. Уравнения математической
физики. М.: ФИЗМАТЛИТ 23. 4 с.

2.

Тихонов А.Н. Самарский А.А. Уравнения математической
физики. М.: Изд
-
во МГУ; Наука 24. 798 с.

3.

Шубин М.А. Лекции об уравнениях мате
матической
физики. М.: МЦНМО 23. 33 с.


Дополнительн
ая

4.

Араманович И.Г. Левин В.И. Уравнения математической
физики. М.: Наука 1964. 383 с.

5.

Арсенин В.Я. Методы математической физики и
специальные функции. М.: Наука 1984. 368 с.

6.

Бицадзе А.В. Уравнения
математической физики. М.:
Наука 1982. 336 с.

7.

Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.:
Наука 1979. 391 с.

8.

Кошляков Н.С. Глинер Э.Б. Смирнов М.М. Уравнения в
частных производных математической физики. М.: Высш.
шк. 197. 71 с.

9.

Курант Р. Уравн
ения с частными производными: пер. с
англ. М.: Мир 1964. 83 с.

10.

Мартинсон Л.К. Малов Ю.И. Дифференциальные
уравнения математической физики. М.: Изд
-
во МГТУ им.
Н.Э. Баумана 26. 368 с.

11.

Михайлов В.Т. Дифференциальные уравнения в частных
производных. М.
: Наука 1983. 424 с.

12.

Михайлов В.П. Лекции по уравнениям математической
физики. М.: Физматлит 21. 26 с.

13.

Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука
1968. 575 с.

14.

Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных.
М.: Высш. шк. 1977. 431 с.

15.

О
лейник О.А. Лекции об уравнениях с частными
производными. М.: Изд
-
во МГУ 1976. Ч.1. 11 с.


187

16.

Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными
производными. М.: Физматгиз 1961. 4 с.

17.

Положий Г.М. Уравнения математической физики. М.:
Высш. шк. 1964. 56 с.

18.

Ракин Л.В. Введение в теорию уравнений математической
физики. СПб. 1999. 99 с.

19.

Свешников А.Г. Боголюбов А.Н. Кравцов В.В. Лекции по
математической физике. М.: Изд
-
во Моск.ун
-
та 24. 414 с.

20.

Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.:
Наука. 1992.

431 с.

21.

Уроев В.М. Уравнения математической физики. М.: ИФ
Яуза 1998. 374 с.


Сборники задач

22.

Бицадзе А.В. Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по
уравнениям математической физики. М.: АльянС 27. 312
с.

23.

Будак Б.М. Самарский А.А. Тихонов А.Н. Сборник задач
по математической физике. М.: Наука 198. 686 с.

24.

Годунов С.К. Золотарева Е.В. Сборник задач по
уравнениям математической физики. Новосибирск: Наука
(Сиб. отделение) 1974. 74 с.

25.

Мисюркеев И.В. Сборник задач по методам
математической физики. М.: Просвещен
ие 1975. 167 с.

26.

Сборник задач по ур
авнениям математической физики

/
под
ред. В.С. Владимирова. М.: Наука 1982. 256 с.

27.

Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической
физики. М.: Наука 1975. 127 с.


Рекомендуемая литература

28.

Адамар Ж. Задача Коши для лине
йных уравнений с
частными производными гиперболического типа. М.:
Наука 1978. 351 с.


29.

Арнольд В.И. Лекции об уравнениях с частными
производными. М.: ФАЗИС 1999. 175 с.

30.

Вайнберг Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях
математической физики. М.: Изд
-
во МГ
У 1982. 294 с.


188

31.

Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической
физике. М.: Наука 1979. 318 с.

32.

Гельфанд И.М. Шилов Г.Е. Обобщенные функции и
действия над ними. М.: Физматгиз 1958. 439 с.

33.

Его
ров Ю.В. Шубин М.А. Линейные дифференциальные
уравнения с частными производными. Основы
классической теории. М.: ВИНИТИ 1988. 262 с. (Совр.
пробл. математики. Фундам. направл. Т. 3).

34.

Коллатц Л. Задачи на собственные значения: пер. с нем. М.:
Наука 1968.

457 с.

35.

Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. М.:
Наука 1971. 287 с.

36.

Крылов Н.В. Нелинейные эллиптические и параболические
уравнения второго порядка. М.: Наука 1985. 256с.

37.

Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики.
М.: Наука. 198
8. 386 с.

38.

Лионс Ж.
-
Л. Некоторые методы решения нелинейных
краевых задач. М.: Мир 1972. 587 с.


39.

Мизохота С. Теория уравнений с частными производными.
М.: Мир 1977. 54 с.

40.

Мэтьюз Дж. Уокер Р. Математические методы физики. М.:
Атомиздат 1972. 475с.

41.

Никифо
ров А.Ф. Уваров В.Б. Основы теории специальных
функций. М.: Наука 1984. 345 с.

42.

Рид М. Саймон Б. Методы современной математической
физики. М.: Мир 1977
-
1982. Т.1
-
4

43.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической
физики: пер. с англ.: в 2 т. М.: Мир 1
982
-
1984; т. 1 1982
486 с.;

т. 2 1984 382 с.

44.

Соболев С.Л. Некоторые приложения функционального
анализа в математической физике.

М.: Наука. 1988. 334 с.

45.

Хѐрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных
операторов с частными производными: в 4 т. М.: Мир
19
86
-
1988; т. 1 1986 462 с.;

т. 2 1986 455 с.;

т. 3 1987 694
с.;

т. 4 1988 446 с.

46.

Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный
курс. М.: Изд
-
во МГУ 1984. 27 с.

47.

Шутц Б. Геометрические методы математической физики.
М.: Мир 1984. 156 с.


189


Спра
вочники

48.

Абрамович М. Стиган И. Справочник по специальным
функциям с формулами графиками и математическими
таблицами. М.: Наука 1973.

49.

Бабич В.М. и др. Линейные уравнения математической
физики. М.: Наука 1968 (Справочная математическая
библиотека)

50.

Бейтм
ен Г. Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции.
М.: Наука 1973. Т. 1
-
3.

51.

Бейтмен Г. Эрдейи А. Таблицы интегральных
преобразований. М.: Наука 1969. Т. 1
-
2.

52.

Градштейн И.С. Рыжик И.М. Таблицы интегралов сумм
рядов и произведений. М.: Физматгиз 1963
.

53.

Забрейко П.П. Интегральные уравнения. М.: Наука 1968
(Справочная математическая библиотека).

54.

Математическая энциклопедия: в 5 т. М.: Сов. энцикл.
1977


1985.

55.

Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям
математической физики. М.: Физматлит 21. 5
75 с.

56.

Полянин А.Д. Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным
уравнениям математической физики. М.: Физматлит 22.
431 с.

57.

Янке Е.. Эмде Ф. Леш Ф. Специальные функции. Формулы
графики таблицы. М.: Наука 1977. 342 с.



190


Учебное издание





Норина Татьяна Ви
кторовна


УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ






Редактор Л.А.Богданова

Компьютерная верстка Т.В. Нориной





Подписано в печать
10.11
.2010.

Формат 6х84/16. Усл.печ.л. 1
1
,
04
.

Тираж 2 экз. Заказ



Редакционно
-
издательский отдел

Пермского государственного у
ниверситета.

61499. г. Пермь ул. Букирева 15


Типография Пермского государственного университета

61499. г. Пермь. Ул. Букирева 15






191



Приложенные файлы

  • pdf 5748485
    Размер файла: 3 MB Загрузок: 1

Добавить комментарий