УМК Математика ч.2-2-ое издание 97-2003-испр

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Северо-Западный государственный заочный технический университет






Кафедра информатики
МАТЕМАТИКА, ч.2
Численные методы, теория функций комплексного переменного, дискретная математика
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС






Институты: все
Направления подготовки высшего профессионального образования:
080000 – Экономика и управление
140000 – Энергетика, энергетическое машиностроение и электротехника
150000 – Металлургия, машиностроение и материалообработка
190000 – Транспортные средства
200000 – Приборостроение и оптотехника
210000 – Электронная техника, радиотехника и связь
220000 – Автоматика и управление
230100 – Информатика и вычислительная техника
240000 – Химическая и биотехнологии
261000 – Технология художественной обработки материалов
280200 – Защита окружающей среды




Санкт-Петербург
Издательство СЗТУ
2009 Утверждено редакционно-издательским советом университета
УДК 519.2, 519.6, 519.8


Математика ч.2: учебно-методический комплекс / сост. Т.Д.Бессонова, Н.М.Петухова, В.В. Тарасенко - СПб.: Изд-во CЗТУ, 2008. – 158 с.



Учебно-методический комплекс разработан в соответствии с государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования.
Данный УМК посвящен изучению вычислительной математики и включает в себя основные вопросы теории численных методов, функций комплексного переменного и дискретной математики.



Рассмотрено на заседании кафедры информатики и прикладной математики 22.12.08 г., одобрено методической комиссией факультета общетехнической подготовки 22.12.08 г.

Рецензенты:
кафедра математики (зав. кафедрой А.А.Потапенко, д-р физ.-мат. наук, проф.)

Составители:
Т.Д.Бессонова, доцент, Н.М.Петухова, канд. техн.н., доцент, В.В.Тарасенко, канд. физ.-мат. наук, доцент









Издательством осуществлено литературное и техническое редактирование рукописи.









( Северо-Западный государственный заочный технический университет, 2009
( Т.Д.Бессонова, Н.М.Петухова, Тарасенко В.В., 2009

1. Информация о дисциплине
1.1. Предисловие
Дисциплина «Математика, ч. 2» разделена на две части и представляет собой комплекс из четырёх разделов – «Численные методы», «Теория функций комплексного переменного», и «Дискретная математика» составляют первую часть комплекса, во вторую часть входит «Теория вероятностей и элементы математической статистики».
Эти части изучаются соответственно в первом и втором семестрах. Подробно о видах практических работ и контроля рассказывается в каждом разделе курса. Первый семестр заканчивается зачётом, второй – экзаменом.
Цель изучения дисциплины – приобретение студентами знаний и навыков их практического использования в каждом из перечисленных разделов.
В результате изучения дисциплины студент должен:
иметь представление о структуре и содержании дисциплины;
знать и уметь использовать алгоритмы и методы расчетов, применяемые в рассматриваемых темах;
приобрести опыт анализа и синтеза контактных схем и преобразования логических выражений.
Место дисциплины в учебном процессе: освоение курса «Математика 2» базируется на знаниях, полученных при изучении курсов «Математика 1» и «Информатика». Для понимания дисциплины необходимы твёрдые знания дифференциального и интегрального исчисления, кратных интегралов и рядов, умение решать обыкновенные дифференциальные уравнения. Успешное выполнение лабораторных и контрольных работ предполагает свободное владение табличным процессором Excel. Желательно знание прикладных математических пакетов, например, MathCAD, Maple [5, 9].
При изучении первой части курса студент научится применять численные методы при решении широкого круга математических задач, овладеет знаниями о функциях комплексного переменного, познакомится с основными понятиями дискретной математики и сможет решать прикладные задачи на графах, работать с логическими функциями, разбираться в структуре формальных языков и понимать работу дискретных автоматов. Освоив вторую часть курса, он сумеет решать различные вероятностные задачи и освоит приёмы анализа статистических данных.
1.2. Содержание дисциплины и виды учебной работы

Объем дисциплины и виды учебной работы

13 EMBED Excel.Sheet.8 1415



Перечень видов практических занятий и контроля:
- две контрольных работы (для очно-заочной и заочной форм обучения);
- практические занятия;
- тест (общий по дисциплине);
- зачет.
2. Рабочие учебные материалы

2.1. Рабочая программа (объем дисциплины 150 часов)

Введение (1 час)
[7], с.815

При изучении дисциплины «Математика 2» Вы не только продолжаете накопление знаний по традиционным разделам математики, но и знакомитесь с материалом, составляющим основы прикладной и дискретной математики, получивших широкое развитие с возникновением компьютеров.
Математиков всегда интересовало доведение расчётов «до числа», поэтому развитие численных методов привело к способности рассмотрения сложных моделей всевозможных явлений в различных отраслях знаний – от астрономии и физики, до экономики и психологии. Это проложило дорогу от открытия неизвестной ранее планеты Нептун, до возможности отказаться от ядерных испытаний, от исследования простейших экономических моделей, до анализа нейронных сетей и расчётов политической стабильности общества.
Естественно, что взрывное развитие компьютеров расширило возможности вычислительной математики. В данном курсе вы не только познакомитесь со многими её задачами, но и научитесь эффективно решать их, используя компьютер. В настоящий момент все решения доведены до реализации их в Excel, хотя понятно, что табличный офисный процессор не предназначен для использования во всех задачах, поэтому существует настоятельная необходимость изучения и овладевания современными математическими пакетами MathCad, Maple, Mathematica, Matlab. В условиях временн13eq \o (о;ґ)15го дефицита при заочной форме обучения это потребует большой самостоятельной работы, но кафедра уже сейчас готова оказывать вам помощь в этом деле.

Раздел 1. Численные методы (59 часов)
1.1. Обработка результатов измерений и погрешности вычислений
(2 часа)
[7], с.8 35

Источники и классификация погрешности. Запись чисел в ЭВМ. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных. О вычислительной погрешности. Погрешности функций.
1.2. Интерполяция и численное дифференцирование (8 часов)
[7], с.35 85

Постановка задачи приближения функции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Оценка остаточного члена. Разделенные разности. Интерполяционная формула Ньютона. Уравнения в конечных разностях. Многочлены Чебышева. Обратная интерполяция. Ортогональные системы. Численное дифференцирование. Погрешности формул численного дифференцирования.

1.3. Численное интегрирование (9 часов)
[7], с.86 164

Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Квадратурные формулы Гаусса. Задачи оптимизации. Формулы Эйлера и Грегори. Формулы Ромберга. Стандартные программы численного интегрирования. Построение программ с автоматическим выбором шага интегрирования.

1. 4. Приближение функций (9 часов)
[7], с.164 200

Наилучшие приближения в разных пространствах. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Наилучшее равномерное приближение. Итерационный метод. Интерполяция и приближение сплайнами.

1.5. Многомерные задачи (8 часов)
[7], с.201 250

Методы неопределенных коэффициентов, наименьших квадратов и регуляризации. Сведение многомерных задач к одномерным. Метод Монте-Карло. Выбор метода решения задачи.

1. 6. Численные методы алгебры (7 часов)
[7], с.250 324

Методы последовательного исключения, ортогонализации и простой итерации. Оптимизация скорости сходимости итерационных процессов. Метод Зайделя и наискорейшего спуска. Метод Монте-Карло решения систем линейных уравнений. Проблема собственных значений.

1.7. Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимизации
(8 часов)
[7], с.324 360

Простые итерации, метод Ньютона и метод спуска. Методы уменьшения размерности. Решение стационарных задач методом установления. Целевая функция.



1.8. Численные методы решения обыкновенных
дифференциальных уравнений (8 часов)
[7], с.360 495

Решение задачи Коши: разложение в ряд и методы Рунге-Кутта. Контроль погрешности на шаге. Конечно-разностные методы. Метод неопределенных коэффициентов. Интегрирование систем уравнений. Краевые задачи. Функция Грина. Нелинейные краевые задачи. Метод прогонки.

Раздел 2. Теория функций комплексного переменного (70 часов)

2.1. Комплексные числа и действия над ними (4 часа )
[6], c. 10 15
Определение комплексного числа (к.ч.). Геометрическая интерпретация к.ч. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы к.ч. Действия с к.ч. в различных формах.

2.2. Функции комплексного переменного (ФКП). Условия Коши-Римана
(8 часов)
[6], c.15 22
Определение ФКП. Предел и непрерывность. Производная и дифференциал. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Правила дифференцирования. Регулярность. Гармонические функции.

2.3. Элементарные функции и конформные отображения (12 часов)
[6], c.22 38
Линейная ФКП. Геометрический смысл производной. Дробно-линейная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и гиперболические ФКП.

2.4. Представление регулярных функций интегралами (16 часов)
[6], c.39 59
Интеграл от ФКП. Свойства интеграла. Теорема Коши. Интеграл с переменным верхним пределом. Основная формула интегрального исчисления.

2.5. Представление регулярных функций рядами (16 часов)
[6], c.59 75
Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса о равномерной сходимости. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряд Тэйлора. Разложение элементарных функций в степенные ряды. Ряд Лорана. Изолированные особые точки. Разложение в ряд Лорана в окрестности бесконечно удалённой точки.

2.6. Вычеты функций и их применения (14 часов)
[6], c.75 94
Теорема Коши о вычетах. Вычисление вычетов. Вычет в бесконечно удалённой точке. Приложение вычетов к вычислению интегралов.

Раздел 3. Дискретная математика (20 часов)
3.1. Элементы теории графов (8 часов)
[8], c.161 260
Основные определения. Типы задач. Задача о построении кратчайшего пути. Алгоритм Дейкстры. Остовное дерево. Алгоритм ближайшего соседа.

3.2. Формальные языки и дискретные автоматы (4 часа)
[8], c.94 101
Структура формального языка. Построение слов. Дискретные автоматы с памятью и без. Сумматор.

3.3. Элементы алгебры логики (8 часов)
[8], c.23 90
Высказывания. Основные логические операции. Булевы функции и нормальные формы. Совершенные дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы. Полные системы булевых функций и базис. Нахождение сокращённой ДНФ методом Квайна. Построение минимальных ДНФ методом Петрика. Технические применения алгебры логики.

2.2. Тематический план дисциплины
Тематический план дисциплины
для студентов очной формы обучения

№ п/п
Наименование раздела, (отдельной темы)
Кол-во часов по дневной форме обучения
Виды занятий и контроля




Лекции
ПЗ(С)
Самостоятельнпя работа
Тесты
Контрольные работы
Лабораторные работы




аудит.
ДОТ
аудит.
ДОТ





ВСЕГО
150
14
24
26
26
60
 
 


 
Введение
1
 1
 
 
 
 
 
 
 

1
Численные методы
59
6
10
10
10
23
№1
№1
 

1.1
Обработка результатов измерений и погрешности вычислений
2
2
 
 
 
 
 
 
 

1.2
Интерполяция и численное дифференцирование
8
2
1
3
2

 
Зад.1
Л/Р 1

1.3
Численное интегрирование
8
2
1
3
2

 
Зад.2
Л/Р 2

1.4
Приближение функций
8
2
1
3
2

 
 
 

1.5
Многомерные задачи
8
2
1
3
2

 
 
 

13 EMBED Excel.Sheet.8 1415

Тематический план дисциплины
для студентов очно-заочной формы обучения
№ п/п
Наименование раздела, (отдельной темы)
Кол-во часов по оч-заоч. форме обучения
Виды занятий и контроля




Лекции
ПЗ(С)
Самостоятельнпя работа
Тесты
Контрольные работы
Лабораторные работы




аудит.
ДОТ
аудит.
ДОТ





ВСЕГО
150
16
20
4
18
60
 
 
8

 
Введение
1
 
 
 
 
 
 
 
 

1
Численные методы
59
6
8
2
8
21
№1
№1
 

1.1
Обработка результатов измерений и погрешности вычислений
2
 
1
 
1
 
 
 
 

1.2
Интерполяция и численное дифференцирование
8
2
1
1
1
3
 
Зад.1
Л/Р 1

1.3
Численное интегрирование
9
2
1
1
1
3
 
Зад.2
Л/Р 2

1.4
Приближение функций
8
 
1
 
1
3
 
 
 

1.5
Многомерные задачи
8
 
1
 
1
3
 
 
 

1.6
Численные методы алгебры
8
 
1
 
1
3
 
Зад.3
Л/Р 3

1.7
Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимизации
8
 
1
 
1
3
 
 
 

1.8
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
8
2
1
 
 
3
 
 
Л/Р 4

2
Теория функций комплексного переменного
70
6
8
 
8
30
№2
№2
 

2.1
Комплексные числа и действия над ними
4
0,5
1
 
1
5
 
Зад.4
 

2.2
Функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана
8
0,5
1
 
1
5
 
Зад.5
 

2.3
Элементарные функции и конформные отображения
12
0,5
1
 
1
5
 
 
 

2.4
Представление регулярных функций интегралами
16
2
2
 
2
5
 
Зад.6
 

2.5
Представление регулярных функций рядами
16
2
2
 
2
5
 
 
 

2.6
Вычеты функций и их применения
14
0,5
1
 
1
5
 
 
 

3
Дискретная математика
20
4
4
2
2
9
 
 
 

3.1
Элементы теории графов
8
2
2
1
1
3
 
Зад.7
 

3.2
Формальные языки и дискретные автоматы
4
 
 
 
 
3
 
 
 

3.3
Элементы алгебры логики
8
2
2
1
1
3
 
Зад.8
 






Тематический план дисциплины
для студентов заочной формы обучения

№ п/п
Наименование раздела, (отдельной темы)
Кол-во часов по дневной форме обучения
Виды занятий и контроля




Лекции
ПЗ(С)
Самостоятельнпя работа
Тесты
Контрольные работы
Лабораторные работы




аудит.
ДОТ
аудит.
ДОТ





ВСЕГО
150
14
24
26
26
60
 
 
10

 
Введение
1
 
 
 
 
 
 
 
 

1
Численные методы
59
6
10
10
10
21
№1
№1
 

1.1
Обработка результатов измерений и погрешности вычислений
2
 
 
 
 
 
 
 
 

1.2
Интерполяция и численное дифференцирование
8
2
3
3
3
3
 
Зад.1
Л/Р 1

1.3
Численное интегрирование
8
2
3
3
3
3
 
Зад.2
Л/Р 2

1.4
Приближение функций
8
 
 
 
 
3
 
 
 

1.5
Многомерные задачи
8
 
 
 
 
3
 
 
 

1.6
Численные методы алгебры
7
1
2
2
2
3
 
Зад.3
Л/Р 3

1.7
Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимизации
8
 
 
 
 
3
 
 
 

1.8
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
8
1
2
2
2
3
 
 
Л/Р 4

2
Теория функций комплексного переменного
70
4
8
10
10
30
№2
№2
 

2.1
Комплексные числа и действия над ними
4
0,5
1
1
1
5
 
Зад.4
 

2.2
Функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана
8
0,5
1
1
1
5
 
Зад.5
 

2.3
Элементарные функции и конформные отображения
12
1
1
1
1
5
 
 
 


13 EMBED Excel.Sheet.8 1415




2.3. Структурно-логическая схема дисциплины
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
2.4. Временной график изучения дисциплины при использовании информационно-коммуникационных технологий




Название раздела (темы)
Продолжительность
изучения раздела (темы)
в днях
(из расчета – 4 часа в день)

1.
Численные методы
15

2.
ТФКП
17,5

3 .
Дискретная математика
5

Итого:

37,5


2.5. Практический блок

Практические занятия

Номер и название
раздела (темы)
Наименование практических занятий
Кол-во часов



Ауд.
ДОТ

1. Численные методы
Численные методы в инженерных расчётах
5
5

2. ТФКП
Задачи по теории функций компл. переменного
5
5

3. Дискретная математика
Теория графов, дискр. автоматы, алгебра логики
3
3


Информационные ресурсы дисциплины
Библиографический список

Основной:
Карпова, Е.А. Элементы теории функций комплексного переменного: учеб. пособие/ Е. А.Карпова, М. Б. Шабаева. - Изд. 2-е, доп. - СПб.: Изд-во СЗТУ, 2006.
Бессонова, Вычислительная математика. Элементы дискретной математики/ Т.Д.Бессонова, В.А.Головков. – СПб.: Изд-во СЗТУ, 2006.- 55 с.
Бахвалов, Н.С. Численные методы /Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. – 3-е изд., доп. и перераб. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004.- 636 с.
Тарасенко В.В. Математика, ч.2. Численные методы, теория функций комплексного переменного, дискреиная математика: учеб. пособие, – Спб.: Изд-во СЗТУ, 2008.-71 с.
Тарасенко В.В. Вычислительная математика. Прикладной пакет Maple. Применения в линейной алгебре, теории графов и сетях, теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие. – СПб.: Изд-во СЗТУ, 2004.- 62 с.
Дополнительный:
Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплексного переменного /М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат. – М.: Наука, 1973.- 606 с.
Нефёдов, В.Н. Курс дискретной математики /В.Н.Нефёдов, В.А.Осипова.– М.: Изд-во МАИ, 1992.- 264 с.
Вычислительная математика. Численные методы: метод. указ. к выполнению лабораторных работ/ сост. И.А.Бригаднов, С.В.Субботин. – СПб.: Изд-во СЗТУ, 2002.- 32 с.
Вычислительная математика. Элементы теории функции комплексного переменного и операционное исчисление. Рабочая программа. Задание на контрольную работу. Методические указания к выполнению контрольной работы/ сост. Т.Д.Бессонова. – СПб.: Изд-во СЗТУ, 2005.- 25 с.
Бригаднов И.А. Методы вычислительной математики: учеб. пособие. – СПб.: Изд-во СЗТУ, 2001.- 83 с.

Средства обеспечения освоения дисциплины (ресурсы Internet)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
12. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]

3.2. Опорный конспект

Введение
Вы начинаете изучение дисциплины «Математика 2». Эта дисциплина содержит четыре раздела: численные методы, теория функций комплексного переменного, элементы дискретной математики, а также теория вероятностей с элементами математической статистики. Из них первые три изучаются в первом семестре, а четвёртый – во втором. Понятно, что каждый раздел представляет собой самостоятельную тему, не связанную с другими. Но все они имеют прикладную направленность, что и позволяет объединить их в рамках одной дисциплины.

Раздел 1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Первый раздел включает восемь тем: Обработка результатов измерений и погрешности вычислений; Интерполяция и численное дифференцирование; Численное интегрирование; Приближение функций; Многомерные задачи; Численные методы алгебры; Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимизации; Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Работа с разделом 1 завершается сдачей контрольного теста.
Для того чтобы Вы смогли успешно ответить на вопросы контрольного теста, Вам предоставляется возможность поработать с репетиционным тестом. Он является полным аналогом контрольного теста, однако время работы с ним не ограничено, и даются правильные ответы на вопросы.
Если Вы испытываете затруднения в ответе на какой-либо вопрос, обратитесь к глоссарию или учебному пособию.
Если Вы справились с репетиционным тестом, переходите к контрольному тесту. Индивидуальный вариант теста следует получить у своего преподавателя (тьютора), при этом время ответа ограничено. Каждый правильный ответ контрольного теста оценивается в два балла, следовательно, в сумме по первому разделу можно получить 20 баллов.
Желаем успеха!


1.1. Обработка результатов измерений и погрешности вычислений
Изучаемые вопросы: Источники и классификация погрешности. Запись чисел в ЭВМ. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных. О вычислительной погрешности. Погрешности функций.

После изучения этой темы Вам следует ответить на вопросы для самопроверки.

Следует различать погрешности измерений и погрешности решения задач. Первые изучаются в физике, а вторые обуславливаются несколькими причинами: неточностью модели, описывающей то или иное явление, неточностью метода решения и неточностью данных на этапе ввода их для решения, или вывода результатов округления. Поэтому говорят о неустранимых погрешностях, погрешностях метода и вычислительных погрешностях.
Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – точное значение некоторой величины, а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – приближённое, то абсолютной погрешностью приближённого значения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называют величину 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, про которую известно, что
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (1)
Относительной погрешностью приближённого значения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называют величину 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, про которую известно, что
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (2)
Часто её выражают в процентах.
Абсолютную и относительную погрешности принято записывать в виде числа, содержащего одну или две значащие цифры в форме
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (3)
Например,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Пример 1.
·Абсолютная и относительная погрешности числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Число 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – трансцендентное число, равное 3,1415926 . Приближённое значение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Граница абсолютной погрешности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, или, с учётом (3), 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Граница относительной погрешности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
·
Значащими цифрами числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.
Пример 2.
·Подчёркнуты значащие цифры в следующих числах:
0,573; 24,0350; 0,0025400.
·
Значащая цифра числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.
Пример 3.
·Верные цифры числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 подчёркнуты:
Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то верных цифр в числе три: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= 3,1415926,
если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то верных цифр в числе две: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= 3,1415926,
если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то верных цифр в числе четыре: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= 3,14115926.
·
Для оценки погрешности арифметических действий используют следующие правила.
Абсолютные погрешности суммы или разности не превосходят абсолютной погрешности их членов:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (4)
Относительные погрешности в этом случае
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (5)
Абсолютные погрешности произведения и частного рассчитывают по формулам
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и (6)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (7)
соответственно. Их относительные погрешности равны:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (8)
В частности,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (9)

Пример 4. Вычислить и определить погрешности результата.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

·Имеем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Тогда
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Относительная погрешность
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Тогда абсолютная погрешность равна 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Итак, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
·

Существенную часть теории численных методов составляет построение устойчивых алгоритмов, использование которых ведёт к искажению результатов вычислений с погрешностью, находящейся в заданных пределах. В этом случае говорят о вычислительной погрешности. Например, потеря значащих цифр происходит при вычитании близких больших чисел. Если такие числа округлить с большой абсолютной погрешностью, то результат вычитания их также даст большую абсолютную погрешность. Во избежание этого такие расчёты следует проводить с двойной точностью.
Следует помнить, что предельная абсолютная погрешность суммы или разности равна сумме предельных погрешностей, а предельная относительная погрешность произведения или частного равна сумме предельных относительных погрешностей.

Подробнее об этой теме можно узнать из [7], c.17-34.
Вопросы для самопроверки по теме 1.1

1. Что такое абсолютная и относительная погрешности?
2. Можно ли выражать погрешность в процентах? Какую погрешность?
3. В какой форме записывают абсолютную и относительную погрешности?
4. Чему равны погрешности суммы и разности, а также произведения и частного? О каких погрешностях в данных случаях идёт речь?

1.2. Интерполяция и численное дифференцирование
Изучаемые вопросы: Постановка задачи приближения функции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Оценка остаточного члена. Разделенные разности. Интерполяционная формула Ньютона. Уравнения в конечных разностях. Многочлены Чебышева. Обратная интерполяция. Ортогональные системы. Численное дифференцирование. Погрешности формул численного дифференцирования.

После изучения материала опорного конспекта и письменных лекций Вам следует решить одну из задач контрольной работы согласно «Методическим указаниям к выполнению контрольной работы. Для проверки усвоения материала Вам предстоит ответить на вопросы для самопроверки.

1.2.1. Приближение функций одной переменной
Одной из наиболее важных проблем численного анализа является проблема приближенного описания неизвестной функциональной зависимости по известным ее значениям в некоторых точках, называемых узловыми.
Задача ставится следующим образом.
Пусть функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 задана таблицей 1, в которой для 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 значений аргумента 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 известны 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 значений функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Т а б л и ц а 1
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415


Требуется вычислить значения функции для значений аргумента не совпадающих с заданными в таблице. Для этого неизвестную функцию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 заменяют функцией 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, аналитическое выражение которой известно. Эта функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется интерполирующей функцией, а задача её нахождения – задачей интерполяции. Точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при этом называются узлами интерполяции.
Таким образом, при интерполяции строится функция
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (1)
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – числовые коэффициенты, которые следует определить, а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – известные функции. В качестве последних обычно используют алгебраические или тригонометрические многочлены и другие классы функций.
Рассмотрим некоторые методы интерполяции алгебраическими многочленами, т.е., когда интерполирующая функция – многочлен 13 EMBED Equation.DSMT4 1415- ой степени, значения которого в узлах совпадают со значениями интерполируемой функции.
Построим многочлен
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (2)
который будет интерполяционным, если его значения совпадают со значениями заданной функции в узлах интерполирования, т.е., если выполняется система из 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 равенства
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3)
Задача состоит в вычислении коэффициентов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415(13 EMBED Equation.DSMT4 1415) интерполяционного многочлена.
Представление неизвестной функции через интерполирующую обеспечивается критериями согласия. Это либо критерий «точного совпадения в узлах», либо критерий «наименьших квадратов отклонений», либо критерий «минимума максимального отклонения».
Геометрически задачу интерполирования можно представить следующим образом.
На промежутке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 график функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 заменяется графиком многочлена 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, проходящего через множество точек 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. При 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 график функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на интервале 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 заменяется отрезком прямой (линейная интерполяция), при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 график функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на интервале 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – отрезком параболы, проходящей через три точки – квадратичная интерполяция (рис. 1), где сплошная линия соответствует графику 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а пунктирная – графику интерполяционного многочлена.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис.1. Интерполяция полиномами 1-й и 2-й степени.

Замечание: приближённое восстановление функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 внутри минимального отрезка, содержащего все узлы интерполяции, называется интерполяцией функции, восстановление же вне этого отрезка называется экстраполяцией функции.

1.2.2. Интерполяционные многочлены

В общем случае интерполяционный многочлен (2), записанный в форме
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (4)
называют многочленом Лагранжа.
Коэффициенты 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 определяют из условий (3). Пусть в (4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда для точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415и, следовательно,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Т.е. в кратком виде полином Лагранжа можно записать так:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (5)

Можно доказать теорему:

Теорема: существует единственный интерполяционный многочлен 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – ой степени, значения которого совпадают со значениями функции в узлах интерполяции.
Поэтому, имея 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 узел, можно построить интерполяционный многочлен степени 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Рассмотрим случай, когда узлы интерполирования равно отстоят друг от друга, т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Конечными разностями первого порядка функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называются выражения
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ,
а в общем виде, разности первого порядка
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (6)
Конечные разности второго порядка
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
или, в общем виде, разности второго порядка
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (7)

Аналогично, разность порядка m определяется формулой
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (8)
Вычисление разностей удобно оформлять в виде таблицы (см. табл.2). Каждый элемент таблицы получается вычитанием элемента этой же строки из элемента последующей строки предыдущего столбца.
Т а б л и ц а
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
3

y
5
5
9
25

Пример: функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 задана таблицей
(Назовём эти данные экспериментальными).
Составить таблицу конечных разностей.
Результаты сведены в таблицу, содержащую разности до третьего порядка включительно.

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

0
0
5
0
4
8

1
1
5
4
12


2
2
9
16



3
3
25




Действительно, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Если узлы интерполирования равноотстоящие, т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – шаг интерполирования (а в нашем примере это так), то удобно искать интерполяционный многочлен в виде многочлена Ньютона:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (9)
Коэффициенты 13 EMBED Equation.DSMT4 1415при этом рассчитываются по формуле
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (10)


1.2.3. Численное дифференцирование
Простейшие формулы численного дифференцирования получают в результате дифференцирования интерполяционных формул.
Допустим, известны значения функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в узлах 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Требуется вычислить производную 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Строим интерполяционный многочлен 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и полагаем, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Т.е. значения производных функции принимаются приближённо равными производным соответствующего порядка от многочлена интерполяции.
При аппроксимации функции интерполяционным многочленом Ньютона
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (11)
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Введём обозначение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (12)
тогда интерполяционный многочлен Ньютона примет вид
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (13)
и, дифференцируя это выражение, получим
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (14)
а т.к. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (15)
Аналогично, формула для второй производной будет:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (16)
Из полученных формул следует, что основная сложность состоит в нахождении производных 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Получим расчётную формулу для первой производной 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Теперь пусть совпадает с одним из узлов интерполирования. Тогда все слагаемые, кроме одного, не содержащего разности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 будут равны нулю. И
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (17)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Полученные формулы позволяют вычислить приближённые значения производной при любом количестве узлов. В частности, при двух узлах интерполирования (линейная интерполяция)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (18)
При трёх узлах интерполирования (квадратичная интерполяция)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (19)
При наличии четырёх узлов интерполирования формулы для производных примут вид:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (20)
Если производная вычисляется в нулевом узле, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и формулы (20) приобретают вид:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (21)
Ошибка при вычислении производных существенно увеличивается при увеличении порядка производной, поэтому обычно для вычисления производных порядка выше третьего этот метод не используется.

Более полное изложение этой темы Вы можете найти в [5], c.35-85.
Вопросы для самопроверки по теме 1.2

В чём состоит задача интерполяции функции?
Какие критерии согласия обеспечивают совпадение неизвестной функции с интерполирующей?
Как называется интерполяция многочленами первой и второй степени?
Напишите общие формулы конечных разностей 1-го, 2-го и 3-го порядков.
Напишите формулу интерполяционного многочлена Ньютона для пяти узлов.
Чему равна третья производная 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при трёх узлах интерполирования?


1.3. Численное интегрирование
Изучаемые вопросы: Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Квадратурные формулы Гаусса. Задачи оптимизации. Формулы Эйлера и Грегори. Формулы Ромберга. Стандартные программы численного интегрирования. Построение программ с автоматическим выбором шага интегрирования.

Здесь также после изучения материала опорного конспекта и письменных лекций Вам следует решить одну из задач контрольной работы согласно «Методическим указаниям к выполнению контрольной работы.

1.3.1. Приближенное вычисление определенного интеграла
Простейшие формулы для приближённого вычисления определённого интеграла называются квадратурными. В многомерном случае их называют также кубатурными. К простейшим квадратурным формулам относятся формулы прямоугольников, трапеций и формула Симпсона, объединённые общим названием – квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Все эти формулы основаны на свойстве аддитивности определённого интеграла, а именно: интеграл по сумме отрезков равен сумме интегралов по этим отрезкам. Поэтому, если нужно вычислить определённый интеграл от некоторой функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 вдоль отрезка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то его можно представить в виде суммы интегралов по частичным отрезкам разбиения интервала 13 EMBED Equation.DSMT4 1415: 13 EMBED Equation.2 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Задача состоит в выборе достаточного числа разбиений отрезка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (отрезки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, как правило, выбираются одинаковыми), и удачной замене подынтегральной функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Обычно она заменяется интерполяционным многочленом степени 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (1)
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – остаточный член интерполяции.
Т. о., на каждом частичном промежутке
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – приближённое значение интеграла на частичном промежутке, а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – величина ошибки на том же промежутке.
Соответственно, приближённое значение интеграла 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (2)
а ошибка
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (3)
На рис. 1 представлена геометрическая интерпретация определённого интеграла, как площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, графиком функции и прямыми 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, и интеграла 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на частичном промежутке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (Заштрихованная криволинейная трапеция).
Заметим здесь, что если считать шаг разбиения в методе Симпсона равным целому, без деления пополам, то в расчётах, вместо формулы (2.16) (п.2.4 Учебного пособия), можно использовать следующую:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (4)
Соответствующие формулы, вместе с оценками погрешностей и примерами вычислений Вы можете найти в Учебном пособии.

Более полное изложение этой темы – в [7], c.86-163.


Вопросы для самопроверки по теме 1.3

Напишите формулы прямоугольников, трапеции и Симпсона.
Сформулируйте обобщённую теорему о среднем.
1.4. Приближение функций
Из всех вопросов темы 1.4. Приближение функций изучается лишь метод наименьших квадратов. Вопросы этой темы не содержатся в контрольной работе, поэтому здесь приводятся только основные теоретические положения.

Метод наименьших квадратов
Пусть известно, что величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 связаны некоей функциональной зависимостью. Требуется приближенно определить эту функциональную зависимость 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 по экспериментальным данными. Предположим, что в результате 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 измерений получен ряд экспериментальных точек 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Мы уже знаем, что через 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 точек всегда можно провести кривую, аналитически выражаемую многочленом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415- ой степени. Этот многочлен называют интерполяционным. Вообще, замену функции на функцию так, что их значения совпадают в заданных точках
, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (1)
называют интерполяцией.
Однако такое решение проблемы не всегда является удовлетворительным, поскольку из-за случайных ошибок измерения и, возможно, случайной природы самих величин x и y. Т.о., можно записать, что
(2)
где – некоторая случайная ошибка. Поэтому требуется провести кривую так, чтобы она в наименьшей степени зависела от случайных ошибок. Эта задача называется сглаживанием (аппроксимацией) экспериментальной зависимости и часто решается методом наименьших квадратов. Сглаживающую кривую называют аппроксимирующей.
Задача аппроксимации решается следующим образом. В декартовой прямоугольной системе координат наносят точки . По виду расположения этих точек делается предположение о принадлежности искомой функции к определенному классу. Например, линейная , квадратичная и т.п. В общем случае . Неизвестные параметры функции определяются из требования минимума суммы квадратов случайных ошибок, т.е. минимума величины
. (3)
Величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется также суммарной невязкой. Необходимым условием минимума функции нескольких переменных является обращение в нуль частных производных невязки:
, . (4)
Решая систему уравнений (4), находят неизвестные параметры и тем самым полностью определяют функцию, которая наилучшим образом (в смысле наименьших квадратов отклонений от исходных точек или наименьшей суммарной невязки) аппроксимирует искомую функцию .
Рассмотрим подробнее линейную зависимость .
Дифференцируя (3), получим следующую систему уравнений
(5)
Из первого уравнения находим , где
, . (6)
Подставляя выражение для во второе уравнение, найдем
, (7)
где
, . (8)
Таким образом,
(9)
есть искомая линейная функция.
Ввиду простоты расчетов аппроксимация линейной зависимости используется довольно часто. Кроме того, многие функции, зависящие от двух параметров, можно линеаризовать путем замены переменных.
Для этого необходимо подобрать такое преобразование исходной зависимости , в результате которого она приобретает линейный вид . Далее решается задача линейной аппроксимации для новой зависимости и вычисленные коэффициенты и пересчитываются в коэффициенты и .
Для ряда часто встречающихся двухпараметрических зависимостей возможные замены переменных (а также, обратные замены для пересчета 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и13 EMBED Equation.DSMT4 1415) приведены в табл. 1.




Таблица 1.

Вид зависимости
Замена переменных
Ограничения
Обратная замена
переменных

Гиперболическая









Логарифмическая









Показательная
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Степенная







Комбинированная








Более полное изложение этой темы – в [7], c.164-200.

Вопросы для самопроверки по теме 1.4

1. Что называется суммарной невязкой?
2. В чём состоит условие минимума функции нескольких переменных?

1.5. Многомерные задачи
Одной из многомерных задач является приближение функции нескольких переменных. В этом случае часто используют метод наименьших квадратов, который для одномерного случая рассматривался нами в предыдущей теме. Построив аппроксимирующую функцию, мы естественным образом можем её дифференцировать и интегрировать.
Другим способом получения приближения функции является т.н. метод Монте-Карло. Применение его предполагает знакомство с теорией вероятности, которая является второй частью курса вычислительной математики. Поэтому вопросы темы 1.5 не содержатся в контрольной работе, и здесь приводятся только основная идея этого метода.
Методами Монте-Карло называют обычно численные методы решения задач при помощи моделирования случайных величин. Эти методы используются для решения задач физики, радиотехники, химии, биологии, экономики.
Например, нужно вычислить определённый интеграл: Его значение равно площади G на рисунке.
Если бросать в единичный квадрат точку, то отношение числа бросаний m, попавших в G к общему числу бросаний n даст оценку вероятности попадания в область G:
А это и есть искомое значение интеграла.

Более полное изложение этой темы – в [7], c.201-249.

1.6. Численные методы алгебры
Из всех вопросов темы 1.6. Численные методы алгебры, изучается вопрос о приближённом решении уравнений.
После изучения материала опорного конспекта и письменных лекций Вам следует решить одну из задач контрольной работы согласно «Методическим указаниям к выполнению контрольной работы «Численные методы и инженерные расчёты» (с.74).

Приближённое вычисление корней уравнения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
В общем случае задача отыскания точных значений корней уравнения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 неразрешима. Даже для алгебраических уравнений выше третьей степени нет решений в виде формул с конечным числом арифметических действий.
Сформулируем задачу следующим образом:
Дано уравнение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (1)

где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - непрерывная функция в области 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Корни этого уравнения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – это те значения аргумента 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, которые обращают уравнение (1) в тождество. Найти приближённое значение корня 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с точностью 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 означает указать интервал длиной не более 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, содержащий точное значение корня 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение этой задачи состоит из двух этапов:
Отделение корня, т.е. выделение отрезка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 из области непрерывности функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, содержащего только один корень уравнения (1).
Уточнение корня, т.е. построение итерационного процесса, позволяющего сколь угодно сузить границы выделенного интервала до значения заданной точности. Первоначальные границы его можно рассматривать как нулевое приближение искомого корня (13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – с недостатком, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – с избытком).
Для отделения корней уравнения (1) нужно знать те условия, которые позволяют утверждать, что, во-первых, на промежутке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 есть корень уравнения, а во-вторых, что он единственный на этом промежутке. Здесь следует иметь в виду следующее.
Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 непрерывна на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и имеет на концах промежутка разные знаки, то на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 существует нечётное количество корней. На рис.1 кривая соответствует функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – точки пересечения графика функции с осью абсцисс – корни уравнения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Т.о., разные знаки функции на концах промежутка обеспечивают наличие корня на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, но не гарантируют его единственности.

Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 непрерывна на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и имеет на концах промежутка одинаковые знаки, то, как правило, на этом промежутке число корней чётно, в том числе и 0, т.е. они могут и отсутствовать (рис.2 а, б).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
а) б)
Рис.2


Однако нельзя не учитывать, что корнем функции может быть не только точка пересечения графика 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с осью ОХ, но и точка касания с осью (рис.3 а, б, в). Заметим, что в этих случаях в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 нарушается монотонность функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис.3
Таким образом, можно сформулировать следующий достаточный критерий для отделения корня: если на интервале 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 непрерывна, монотонна и её значения на концах интервала имеют разные знаки, то на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 существует один и только один корень уравнения (1).
Из этого критерия следует, что для единственности корня на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 достаточно, чтобы выполнялось условие 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а производная этой функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 была бы знакопостоянна при любом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (рис.4 а, б).
Замечание 1. Для единственности корня на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 бывает достаточно и знакопостоянства второй производной 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (рис.4 в, г).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Итак, для того, чтобы отделить все вещественные корни уравнения (1), достаточно найти все интервалы монотонности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.к. на каждом из этих интервалов может быть не более одного корня. Если на интервале монотонности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то корень есть, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то корня нет. Интервалы монотонности соответствуют интервалам знакопостоянства 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Замечание 2. Следует рассмотреть те случаи, когда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет одинаковые знаки на концах интервала, и, тем не менее, на нём существует корень (см. рис.3). Заметим, что в точках 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, соответствующих корню, производная 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 либо не существует, либо равна нулю, либо 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. в этих точках 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 достигает экстремума и, следовательно, корень является границей монотонности.
Т.о., чтобы отделить все корни уравнения (1) следует: 1) найти промежуток, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, или обе производные знакопостоянны; 2) отыскать нули и точки разрыва 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и проверить, не являются ли они корнями уравнения (1).
Пример. Отделить все вещественные корни уравнения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Имеем: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Здесь 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 непрерывна, поэтому для определения её интервалов монотонности достаточно найти нули производной 13 EMBED Equation.DSMT4 1415: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Таким образом, отделяются три промежутка монотонности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и, следовательно, имеется не более трёх корней на следующих промежутках:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
При этом 13 EMBED Equation.DSMT4 14151.026373149, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415-5.026373149, следовательно, на промежутке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 есть единственный корень.
Чтобы отделить два оставшихся корня, вычислим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда на промежутке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415корня нет. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на интервале (-2; -1) есть единственный корень. Аналогично, на интервале 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 корня нет, а на интервале [1; 2] – также единственный корень. Графики 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и её первой и второй производной – рис.5 а), б), в).



а) б) в)
Рис.5


О методах отделения корней Вы можете прочитать подробнее в [2, Раздел 4].

Вопросы для самопроверки по теме 1.6
1. Можно ли в общем случае найти корни уравнения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415?
2. Какие этапы следует пройти при вычислении корней уравнения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415?
3. Каково условие единственности корня на отрезке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415?


1.7. Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимизации
Вопросы темы 1.7 не входят в контрольную работу по данному курсу. Задачи оптимизации рассматриваются в курсе математических методов в экономике и включены в УМК МАТЕМАТИКА, Ч.2 "Методы оптимизации".

1.8. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Из всех вопросов темы 1.8 изучается вопрос «Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка».

После изучения материала опорного конспекта и письменных лекций Вам следует решить одну из задач контрольной работы согласно "Методическим указаниям к выполнению контрольной работы".

1.8.1. Решение задачи Коши методом Эйлера
Пусть требуется найти на отрезке [a, b] решение дифференциального уравнения 1-го порядка
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (1)
с начальным условием
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (2)
(задача Коши). Для этого отрезок, на котором ищется решение задачи, разбивают на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 частей с шагом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и находят значения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точках 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Очевидно, что при этом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Значения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 определяют по формуле
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (3)
Погрешность вычислений на каждом шаге составляет 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример. Решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка методом Эйлера. Вычисления выполнять с четырьмя десятичными знаками на отрезке [0,2; 1,2] с шагом 0,1. Уравнение:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
начальное условие: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.


· Для численного решения заданного уравнения вида (1) с начальным условием (2) нам потребуется выполнить 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 шагов. На каждом шаге надо вычислить значения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Первый шаг. (k = 0). Имеем:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Вычислим
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и, следовательно, по формуле (3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Делаем следующий шаг.
Второй шаг. (k=1).
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Вычислим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. И т.д.


Для удобства, все вычисления удобно представить в виде таблицы 1.
Таблица 1.
13 EMBED Equat
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·3,2912
0,3291
2,3081

Т.о., задача решена.
·

Естественно, процесс вычислений проще организовать в табличном процессоре Excel (Табл.2).


Таблица 2.


Решение находятся в ячейках 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (k = 0,1,,10). Значения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 из столбца F переносятся в столбец С со сдвигом на единицу (например, из F6 в С7 и т.д.). Таблица в режиме показа формул – (табл.3).
Таблица 3.


Вопросы для самопроверки по теме 1.8

В чём состоит задача Коши?
Напишите расчётную формулу метода Эйлера при решении дифференциального уравнения 1-го порядка и формулу оценки погрешности на каждом шаге.



Раздел 2. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО

Второй раздел включает шесть тем: Комплексные числа и действия над ними; Функции комплексного переменного (ФКП). Условия Коши-Римана; Элементарные функции и конформные отображения; Представление регулярных функций интегралами; Представления регулярных функций рядами; Вычеты функций и их применение.


Работа с разделом 2 завершается выполнением контрольной работы.
Для того, чтобы Вы смогли успешно ответить на вопросы контрольного теста, Вам предоставляется возможность поработать с репетиционным тестом. Он является полным аналогом контрольного теста, однако время работы с ним не ограничено, и даются правильные ответы на вопросы.
Если Вы испытываете затруднения в ответе на какой-либо вопрос, обратитесь к глоссарию или учебному пособию.
Если Вы справились с репетиционным тестом, переходите к контрольному тесту. Индивидуальный вариант теста следует получить у своего преподавателя (тьютора), при этом время ответа ограничено. Каждый правильный ответ контрольного теста оценивается в два балла, следовательно, в сумме по первому разделу можно получить 20 баллов.
Желаем успеха!

2.1. Комплексные числа и действия над ними
Изучаемые вопросы: Определение комплексного числа (к.ч.). Геометрическая интерпретация к.ч. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы к.ч. Действия с к.ч. в различных формах.

После изучения материала опорного конспекта и письменных лекций Вам следует решить одну из задач контрольной работы согласно [4]. Для проверки усвоения материала Вам предстоит ответить на вопросы для самопроверки.


Формы представления комплексных чисел (К.ч.)
Говорят, что существует взаимнооднозначное соответствие между числом и точкой вещественной оси (рис.1). Также, между точками плоскости и парами вещественных чисел существует взаимнооднозначное соответствие. Назовём такое число 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 комплексным, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – координаты комплексного числа на плоскости. Это будет т.н. координатная форма комплексного числа.






Рис.1

К.ч. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 отвечает вектор 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 из начала координат. Его компоненты: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – длина вектора, или его модуль, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – угол между вектором и положительным направлением оси 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, или аргумент к.ч., 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (иногда его называют фазой) (рис.2).
Используют также алгебраическую форму представления К.ч., записывая его в виде 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – вещественные числа, а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – символ, такой что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, называемый мнимой единицей. Тогда в тригонометрической форме К.ч. может быть записано как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Важным свойством всех этих форм записи является то, что при этом удовлетворяются основные правила алгебры.

Подробнее об этом Вы прочтёте в Учебном пособии. Здесь же мы хотели бы сделать следующее замечание. Непосредственный физический смысл имеют, конечно же, только действительные величины. Но комплексные функции, содержащие символ мнимой единицы играют важную роль в физике и технике. Этому есть, по крайней мере, три причины.
1. Многие физические величины описываются функциями 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 от двух переменных 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, связанных уравнениями
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (1)
Такие пары встречаются, например, в двумерных задачах электростатики и гидродинамики. В этом случае 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 являются вещественной и мнимой частями аналитической функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 комплексного переменного 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2. Решения дифференциальных уравнений физики в некоторых областях действительного переменного получаются в виде степенных рядов. А тот же степенной ряд может представлять функцию комплексного переменного, поэтому изучение комплексных переменных часто помогает получить более компактные выражения для вещественных значений аргумента.
3. Многие интегралы, заданные в вещественной форме, легче вычисляются, будучи связанными с комплексными интегралами при использовании метода контурного интегрирования, основанного на теореме Коши.

Вопросы для самопроверки по теме 2.1

1. Какие формы записи комплексного числа Вы знаете?
2. Как определяются модуль и аргумент к.ч?
3. Что такое главное значение аргумента?
4. Напишите формулы сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень к.ч.




2.2. Функции комплексного переменного (ФКП). Условия Коши-Римана
Изучаемые вопросы: Определение ФКП. Предел и непрерывность. Производная и дифференциал. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Правила дифференцирования. Регулярность. Гармонические функции.

По этой теме Вам также предстоит решить задачу контрольной работы (см. [4]).
2.2.1. Общие замечания
Все нужные определения и примеры приведены в Учебном пособии.
При изучении материала обратите внимание на схожесть понятий для ФКП и функций вещественного переменного. Различие в понятиях бесконечности на вещественной оси и бесконечно удалённой точки (БУТ) на комплексной плоскости основано на следующем.
Понятие БУТ вводится по аналогии с расширением вещественной оси, к которой добавляют две «бесконечные» точки: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Комплексная плоскость с добавленной БУТ также называется расширенной. Геометрическую интерпретацию этого понятия дал Риман (сфера Римана).
Рассмотрим сферу произвольного радиуса 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, касающуюся комплексной плоскости 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в начале координат 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (рис.1). Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – верхний конец вертикального диаметра (северный полюс). Любое к.ч. изображается точкой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на комплексной плоскости. Соединим эту точку с полюсом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, и пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – точка пересечения прямой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 со сферой. Точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется стереографической проекцией точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Наоборот, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Соответствие будет однозначным, если считать, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда, при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. окрестностью БУТ следует считать множество точек расширенной комплексной плоскости: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. внешность любого круга радиуса 13 EMBED Equation.DSMT4 1415с центром в начале координат 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Необходимыми и достаточными условиями дифференцируемости ФКП являются условия Коши-Римана, которые совпадают с уравнениями (1). Следует запомнить все четыре выражения для производной ФКП через частные производные её вещественной и мнимой частей:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (2)
Важным в ТФКП является понятие регулярной функции: функция однозначная и дифференцируемая в каждой точке некоторой области называется регулярной в этой области. Из этого определения следует, что для регулярной функции выполняются условия Коши-Римана.
Функция, регулярная в окрестности некоторой точки, называется регулярной в этой точке. Оказывается, что функция, регулярная в точке, имеет в этой точке производные любых порядков.
Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (3)
называются гармоническими функциями. Уравнение (3) имеет большое значение в электродинамике, описывая потенциал постоянного электрического поля в пустоте.

Вопросы для самопроверки по теме 2.2
1. В чём заключаются условия Коши-Римана?
2. Напишите четыре уравнения для вычисления производной ФКП.
3. Что означает регулярность функции?
4. Какие функции называются гармоническими?

2.3. Элементарные функции и конформные отображения
Изучаемые вопросы: Линейная ФКП. Геометрический смысл производной. Дробно-линейная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и гиперболические ФКП.

Простейшей из рассматриваемых элементарных ФКП является линейная:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (4)
являющаяся формальным аналогом линейной функции вещественного переменного 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Но вещественная функция ставит в соответствие точкам оси 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 точки оси 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. осуществляет отображение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а ФКП (4) отображает точки комплексной плоскости 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точки комплексной плоскости 13 EMBED Equation.DSMT4 1415(рис.1).
Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда (4) можно представить как сложную функцию, составленную из функций
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
Видим (рис.2), что 1) отображает поворот вектора 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на угол 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, изображаемый вектором 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 2) – отображает подобное преобразование вектора 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в вектор 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с коэффициентом подобия 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а 3) – отображает сдвиг 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на постоянную величину 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Суперпозиция этих трёх преобразований и даёт в итоге вектор 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415имеет в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 конечную производную 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Переменная, стремящаяся к конечному пределу, отличается от него на бесконечно малую:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (5)
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. В (5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, и пусть
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (6)
тогда
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (7) (5.9)
Последнее выражение показывает, что любое дифференцируемое отображение в окрестности фиксированной точки приближённо можно считать линейным, если выполняется условие (6). Отсюда вытекает геометрический смысл производной от ФКП: в малой окрестности точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 происходит подобное преобразование с коэффициентом и поворот на угол 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Такое преобразование называется конформным в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Достаточным условием этого является условие (6).
Отображение называется конформным в области, если оно взаимнооднозначно и конформно в каждой точке области. Заметим, что при конформном отображении, отличном от линейного, коэффициент подобия и угол поворота меняется от точки к точке.
Об остальных функциях Вы прочтёте Учебном пособии. Здесь лишь заметим, что, в отличие от функций вещественного переменного, показательная ФКП является периодической с периодом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, логарифмическая – бесконечнозначной, и что формально формулы дифференцирования элементарных ФКП совпадают с оными для функций вещественного переменного.

Вопросы для самопроверки по теме 2.3

1. В чём состоит геометрический смысл производной от ФКП?
2. Напишите формулы элементарных ФКП: линейной, дробно-линейной, показательной, логарифмической.
3. В чём отличие вещественной и комплексной логарифмических функций?
4. Напишите равенство Эйлера.
5. Как выражаются тригонометрические функции вещественной переменной через показательную функцию?

2.4. Представление регулярных функций интегралами
Изучаемые вопросы: Интеграл от ФКП. Свойства интеграла. Теорема Коши. Интеграл с переменным верхним пределом. Основная формула интегрального исчисления.

2.4.1. Интеграл от ФКП

Пусть на кривой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 плоскости 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 задана ФКП 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (рис.1). Разобьём её на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 частей точками 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и составим интегральную сумму
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (1)
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Будем бесконечно увеличивать дробление кривой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 так, чтобы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – кусочно-гладкая и непрерывная, то существует конечный предел суммы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, не зависящий ни от способа дробления, ни от выбора точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, и он называется интегралом от 13 EMBED Equation.DSMT4 1415вдоль кривой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (2)
Интеграл от ФКП можно выразить через вещественные криволинейные интегралы. Пусть, как обычно,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415


О свойствах интеграла Вы прочитаете в Учебном пособии.

2.4.2. Теорема Коши
Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 регулярна в односвязной ограниченной области 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда интеграл вдоль любой замкнутой кривой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 равен нулю. Т.е.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (1)
Примем эту теорему без доказательства, и обобщим её на многосвязные области. Но сначала отметим, что условия Коши-Римана достаточны для того, чтобы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. И обратно, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 непрерывна в односвязной области и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 удовлетворяет условиям Коши-Римана в этой области.
Отсюда следует второе определение регулярной функции: однозначная и непрерывная функция называется регулярной, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Рассмотрим двусвязную область, как на рисунке.
Проведём в области 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 разрез 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и рассмотрим контур 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, начиная от точки разреза на внешней границе. Обойдём этот контур в положительном направлении, т.е. так, чтобы область 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 оставалась слева (жирные стрелки). Тонкие стрелки означают путь по внутренней границе в отрицательном направлении, но область 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 всё равно остаётся слева, тогда интеграл по замкнутому контуру будет равен 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 по внешнему контуру равен 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 по всем внутренним контурам. ( В нашем случае имеется только один внутренний контур). При этом интегралы по разрезам взаимно уничтожаются. Т.о.,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (2)

2.4.3. Интеграл с переменным верхним пределом. Основная формула интегрального исчисления
Пусть функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 регулярна в области 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Рассмотрим функцию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – интеграл с переменным верхним пределом от функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Можно доказать, что существует производная этого интеграла, причём 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, как и в вещественном анализе, является первообразной функцией для 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. И, также,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (3)
2.4.4. Интегральная формула Коши
1) Вычислим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при целом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, считая, что контур 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 не проходит через точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. При 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, очевидно, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. И этот интеграл будет однозначной регулярной функцией везде, при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, или везде, кроме 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пусть теперь 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда , считая что контур 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 не проходит через точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 получим интеграл 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Если точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 лежит вне контура 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то, по теореме Коши, этот интеграл по любому замкнутому контуру будет равен нулю: .
Теперь пусть точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 находится внутри контура 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 подынтегральная функция не определена, и, значит, не регулярна. Окружим эту точку окружностью 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 радиуса 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (см. рисунок), тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 регулярна в кольце 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
На кольце 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – аргумент числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Но 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и не зависит от радиуса 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Итак,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (4)

2) Формула Коши. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 регулярна в области 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – контур 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Составим функцию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Она регулярна везде в области 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, кроме точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Окружим эту точку кругом радиуса 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (см. рисунок).
В серой области эта функция регулярна везде, тогда по теореме Коши
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при обходе по 13 EMBED Equation.DSMT4 1415в положительном направлении. Но 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Члены, выделенные жирным шрифтом не зависят от 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а последний член можно оценить, как
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 поскольку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Следовательно, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. И, заменяя 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, получаем:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (5)
Далее, точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 лежит в области 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, точка – на линии 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Значит, подынтегральная функция в (5) непрерывна, и её можно дифференцировать по 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 под интегралом сколько угодно раз. Тогда

13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (6)

Итак, интегральная формула Коши (5) выражает значение регулярной функции во внутренней точке области через значение этой же функции на границе области. Оказывается также, что регулярная функция имеет производные любого порядка, которые, разумеется, также являются регулярными функциями. Их можно найти по формуле (6).
Формула Коши играет важную роль в ТФКП, являясь основой для решения граничных задач.

Вопросы для самопроверки по теме 2.4

1. Что называется интегралом от 13 EMBED Equation.DSMT4 1415вдоль кривой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415?
2. Как интеграл от ФКП выражается через вещественные криволинейные интегралы?
3. Сформулируйте теорему Коши для многосвязной области.
4. Дайте два определения регулярной функции.
5. Напишите основную формулу интегрального исчисления. Есть ли различия в ней для вещественного и комплексного переменного.
6. Чему равен 13 EMBED Equation.DSMT4 1415?
7. Напишите интегральную формулу Коши.

2.5. Представление регулярных функций рядами
Изучаемые вопросы: Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса о равномерной сходимости. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряд Тэйлора. Разложение элементарных функций в степенные ряды. Ряд Лорана. Изолированные особые точки. Разложение в ряд Лорана в окрестности бесконечно удалённой точки.

2.5.1. Функциональные ряды
Пусть в области 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 определены ФКП 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Выражение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (1)
называется функциональным рядом. Ряд называется сходящимся в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если существует конечный предел частичной суммы ряда
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (2)
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а сам предел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется суммой ряда.
Это означает, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 такое число 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, что для всех номеров 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (3)
Номер 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 зависит, в общем, от 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, но если (3) выполняется, начиная с 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, независимо от положения точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в области 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то ряд (1) называется равномерно сходящимся в этой области.
Существует простой признак равномерной сходимости: если ряд (1) мажорируется (или усиливается) в области 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 сходящимся положительным числовым рядом
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (4)
т.е. для всех 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то ряд (1) сходится равномерно в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
При рассмотрении функциональных рядов возникают два основных вопроса: а) какова область сходимости, и б) какими свойствами обладает в этой области сумма ряда. Для решения вопроса а) используются признаки сходимости (Даламбера, абсолютной сходимости, и т.д.), а для решения вопроса б) – следующие теоремы:
Теорема 1. Если члены функционального ряда (1) непрерывны в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и ряд сходится равномерно, то сумма ряда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – функция, непрерывная в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Теорема 2. Если члены функционального ряда (1) непрерывны в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и ряд сходится равномерно, то сумму ряда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 можно интегрировать почленно вдоль любой кривой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (5)
Теорема 3. (Вейерштрасса). Если члены ряда (1) являются регулярными функциями в области 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и он сходится равномерно в любой замкнутой области 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 к сумме 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то эта сумма также регулярна в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, и её производные можно получить почленным дифференцированием ряда (1):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (6)
Ряд, стоящий справа в (6) равномерно сходится в области 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2.5.2. Ряд Тэйлора
Степенным рядом с центром в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется ряд
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (7)
Числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – коэффициенты ряда (7).

Теорема Абеля. Если степенной ряд (7) сходится в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то он сходится абсолютно в круге радиуса 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с центром в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, причём, в любом замкнутом круге меньшего радиуса с тем же центром его сходимость равномерна. Если же он расходится в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то он расходится во внешности круга радиуса 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с центром в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (см. рисунок).
На основании теоремы Абеля для любого степенного ряда доказывается существование радиуса сходимости 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Возможны три случая:
если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то ряд (7) сходится только в центре, т.е. в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то ряд (7) сходится при любом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то он сходится в круге 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и расходится вне его. Круг
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (8)
называется кругом сходимости.
Во многих случаях радиус сходимости можно найти по признаку Даламбера:
Если существует предел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415. (9)
Члены степенного ряда (7) суть регулярные функции. По теореме Абеля, внутри круга сходимости этот ряд сходится равномерно, значит, по теореме 1, сумма его регулярна внутри круга сходимости. Справедливо и обратное утверждение. Тогда можно доказать следующую теорему.
Теорема. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 регулярна в круге радиуса 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с центром в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда внутри этого круга её можно представить степенным рядом
13 EMBED Equation.DSMT4 1415=13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (10)
При этом коэффициенты ряда выражаются формулой Тэйлора
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (11)
Подставив (11) в (10), получим разложение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в ряд Тэйлора:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (12)

Т.о., любая 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, регулярная внутри круга 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, представима в точках этого круга в виде суммы степенного ряда и разложение это единственно.
Функция, представимая в круге степенным рядом, называется аналитической. Для ФКП аналитичность равносильна регулярности.
Примеры вычисления ряда Тэйлора для некоторых элементарных функций Вы найдёте в Учебном пособии.


2.5.3. Ряд Лорана (РЛ)
Естественным обобщением степенного ряда является ряд Лорана. Это выражение вида
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (13)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

т.е. этот ряд содержит отрицательные и неотрицательные степени 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и есть обобщение формулы (7). Части его называются соответственно главной и регулярной, или правильной. Коротко его можно записать в виде 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Ряд Лорана считается сходящимся, если одновременно сходятся его главная и регулярная части. Регулярная его часть – это обычный степенной ряд, и пусть его радиус сходимости 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. она сходится в круге
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (14)
В главной части сделаем замену 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда получим степенной ряд
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (15)
и пусть он сходится в круге 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Сделаем обратную замену, найдём, что главная часть РЛ сходится во внешности круга радиуса 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с центром в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (16)
и если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то область сходимости РЛ (13) – это кольцо (см. рисунок).
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (17)

Т.е. если РЛ сходится, то его область сходимости – концентрическое круговое кольцо.
Сумма РЛ есть регулярная функция внутри кольца сходимости.
Справедливо и обратное: функция регулярная в кольце может быть разложена в РЛ.
Частным случаем является 13 EMBED Equation.DSMT4 1415: кольцо – это круг с исключённым центром 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в этом случае является особой, в ней 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 не определена и имеет разрыв. Оказывается, можно установить соответствие между структурой РЛ и типом особенности функции в особой точке.

2.5.4. Изолированные особые точки ФКП
Точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется изолированной особой точкой функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 регулярна в некотором круге 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с исключённым центром и нерегулярна в самой точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Рассмотрим виды изолированных точек:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется устранимой особой точкой (ОТ) функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если существует конечный предел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Для того, чтобы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 была устранимой ОТ, необходимо и достаточно, чтобы РЛ 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в окрестности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 не содержал отрицательных степеней, т.е. имел бы вид
РЛ13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример.
·13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет устранимую ОТ в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. В самом деле, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а предел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
·
б) особая точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется полюсом функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Для того, чтобы точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 была полюсом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, необходимо и достаточно, чтобы главная часть РЛ 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 содержала конечное число членов:
РЛ 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
(13 EMBED Equation.DSMT4 1415). (18)
Пусть имеет место (18). Умножим обе части его на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (19)
Здесь в знаменателе стоит степенной ряд – регулярная функция с коэффициентом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, следовательно, дробь есть также некая регулярная функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – регулярна в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и имеет в ней корень кратности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 за счёт первого множителя. Поэтому порядком полюса 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется кратность корня 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, и он равен максимальной степени разности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в главной части ряда Лорана.
в) точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется существенно особой точкой функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 не существует.
Для того, чтобы точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 была существенно особой, необходимо и достаточно, чтобы РЛ 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в окрестности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 содержал бесконечное число членов с отрицательными степенями.

2.5.5. Разложение в РЛ в окрестности бесконечно удалённой точки
Ранее (п.2.1), указывалось, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется внешность круга с центром в начале координат, т.е. она представляет собой кольцо с бесконечным внешним радиусом. Функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, которая регулярна в такой области, должна раскладываться в ней в РЛ по степеням 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. В этом случае также возможны три вида особенностей и, соответственно, три случая разложения:
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (20)
т.е., РЛ в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415не содержит положительных степеней. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 устранимую особенность. Можно считать, что в этом случае 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 регулярна в окрестности бесконечно удалённой точки.
б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (21)
т.е. РЛ содержит конечное число членов с положительными степенями. Тогда бесконечно удалённая точка является полюсом и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
в) РЛ 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 содержит бесконечное число членов с положительными степенями. Тогда бесконечно удалённая точка является существенно особой для 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Заметим, что при разложении в ряд Лорана в окрестности бесконечно удалённой точки смысл и название частей ряда противоположны тем, что имеют место при разложении в окрестности особой точки.

Вопросы для самопроверки по теме 2.5

1. Что называется функциональным рядом и чему равна его сумма?
2. В каком случае ряд называется равномерно сходящимся?
3. Напишите выражение для степенного ряда с центром в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
4. Пусть степенной ряд сходится в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а центр его лежит в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Нарисуйте круг сходимости этого ряда и укажите область расходимости.
5. Напишите формулу Тэйлора.
6. Как называются различные части ряда Лорана?
7. Можно ли функцию, регулярную в круге разложить в ряд Лорана?
8. Какие виды изолированных особых точек Вы знаете?

2.6. Вычеты функций и их применение
Изучаемые вопросы: Теорема Коши о вычетах; Вычисление вычетов; Вычет в бесконечно удалённой точке; Приложение вычетов к вычислению интегралов.

2.6.1. Теорема Коши о вычетах
Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – изолированная особая точка функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. В окрестности этой точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 может быть представлена рядом Лорана
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (1)
Коэффициент 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в разложении (1) называется вычетом функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в изолированной особой точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Он обозначается как
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (2)
Теорема Коши. Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 регулярна в области 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 всюду, за исключением внутренних точек 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то интеграл от функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, взятый по контуру области 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в положительном направлении, равен произведению 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на сумму вычетов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точках 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (3)

· Исключим точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, окружив их достаточно малыми окрестностями с границами 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (см. рисунок).
В оставшейся области 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (она закрашена серым) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 удовлетворяет всем условиям интегральной теоремы Коши, следовательно,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (4)
(здесь у контуров 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 поставлен минус, т.к. обход окружностей осуществляется в отрицательном направлении – область 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 остаётся справа).
Но в окрестности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ряд Лорана для 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (5)
и, интегрируя почленно, получаем:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
В этом интеграле все члены, кроме содержащего 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, равны нулю (см. п.2.4.4), а
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (6)
Изменив в (4) направление обхода, с учётом (6.) получим (3).
·

2.6.2. Вычисление вычетов
1. Рассмотрим вычисление вычета в полюсе первого порядка (простой полюс). Пусть в окрестности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет место разложение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (7)
Умножим обе части этого равенства на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (8)

Устремим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда переходя к пределу, получаем
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (9)
Выражению (9) можно придать другой вид, если представить 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – регулярные в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 функции, причём 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет простой корень. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и, по правилу Лопиталя
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (10)

2. Пусть теперь 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – полюс порядка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. ряд Лорана функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (11)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Умножим обе части этого равенства на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и продифференцируем по 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 раз:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и устремим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (12)
откуда, по аналогии с предыдущим пунктом,

13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (13)



Пример 1.
· Найти вычеты 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в изолированных особых точках.

· Полюсы функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 расположены в точках, в которых знаменатель дроби обращается в нуль, т.е. их можно найти, решив уравнения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Корни второго уравнения: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – простые полюсы, а корень первого уравнения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – полюс второго порядка (он равен степени разности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415). По формуле (6.9 из Учебного пособия) находим:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Аналогично, найдём, что 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415. В полюсе второго порядка по (13)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
·

2.6.3. Вычет в бесконечно удалённой точке
Пусть в окрестности бесконечно удалённой точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 представима рядом Лорана
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (14)13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Вычетом в бесконечно удалённой точке называется взятый с противоположным знаком коэффициент при минус первой степени 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в разложении (14):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (15)
Пример 2. Найти вычет в бесконечности функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

· Разложение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в степенной ряд 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 справедливо при любом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
·
Теорема. Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет конечное число особых точек, то сумма вычетов её, включая вычет в бесконечно удалённой точке, равна нулю, т.е.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (16)


2.6.4. Приложение вычетов к вычислению интегралов
Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 регулярна в односвязной области 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то по теореме Коши интеграл от неё по любому замкнутому контуру в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 равен нулю: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Основная теорема о вычетах: если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 непрерывна на границе 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 области 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, за исключением конечного числа особых точек 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (17)
Для вычисления этого интеграла необходимо:
Определить контур интегрирования и сделать его рисунок.
Найти особые точки подынтегральной функции, которые находятся внутри контура интегрирования, и вычислить вычеты в них, определив тип этих точек.
Используя основную теорему о вычетах, найти численное значение интеграла.

Пример 1. Найти несобственный интеграл 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – вещественная переменная).

· Рассмотрим интеграл от ФКП 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – комплексная переменная, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – отрезок вещественной оси, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – полуокружность радиуса 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Вычислим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с помощью вычетов.
Подынтегральная функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет полюсы второго порядка в точках 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 достаточно велико, так что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 попадает внутрь контура (см. рисунок). Тогда для полюса второго порядка, который изображен на рисунке




13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Следовательно, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. С другой стороны, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а последний интеграл 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, и, значит, 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415.
·

Вопросы для самопроверки по теме 2.6

Какой коэффициент ряда Лорана называется вычетом функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415?
Сформулируйте теорему Коши о вычетах.
Напишите формулы для вычисления вычетов в полюсе первого порядка, полюсе порядка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и в БУТ.
Чему равна сумма вычетов функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, имеющей конечное число особых точек?

Все шесть тем этого раздела подробно описаны в Учебном пособии, которое Вам предстоит изучить. В результате Вы сможете решить задачи контрольной работы, варианты которой, в соответствии с вашим шифром, содержатся в разделе 4.


Раздел 3. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

Этот раздел включает три темы: Элементы теории графов; Формальные языки и дискретные автоматы; Элементы алгебры логики.

Работа с разделом 3 завершается выполнением контрольной работы.
Для того, чтобы Вы смогли успешно ответить на вопросы контрольного теста, Вам предоставляется возможность поработать с репетиционным тестом. Он является полным аналогом контрольного теста, однако время работы с ним не ограничено, и даются правильные ответы на вопросы.
Если Вы испытываете затруднения в ответе на какой-либо вопрос, обратитесь к глоссарию или учебному пособию.

3.1. Элементы теории графов

Изучаемые вопросы: Основные определения. Типы задач. Задача о построении кратчайшего пути. Алгоритм Дейкстры. Остовное дерево. Алгоритм ближайшего соседа.

3.1.1. Основные понятия
Приводим основные понятия теории графов, которые потребуются нам. Строгие формулировками в полном объёме вы можете найти в любой книге, из приведённых в списке литературы.
1. Пусть на плоскости даны n точек S1, S2,,Sn – вершины. И пусть они соединены линиями (прямыми или нет), и необязательно каждая пара. Эти линии – рёбра. Полученная фигура называется графом.
2. Если на рёбрах выбраны направления, граф называется ориентированным или орграфом, а рёбра – дугами (рис. 1).
3. Граф называется полным, если любая пара вершин соединена дугой, в противном случае – неполным.
4. Совокупность дуг, соединяющих две вершины Sk и Sm называется путем из Sk в Sm.
Если начало и конец пути совпадают, то такой путь называется циклом.
Т.е. S1S2S3 – путь, а S1S2S3S1 – цикл.
5. Граф наз. связанным, если существует хотя бы один путь, соединяющий любые две его вершины. В противном случае – несвязанный.

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис.1. Примеры графов

6. Связный граф, не содержащий циклов наз. деревом. Если у дерева выделена одна вершина, она называется корнем дерева, а сам граф в этом случае будет корневым деревом (рис.2).
7. Связный подграф исходного графа, который не содержит циклов, и в котором путь от корня до каждой из вершин является наименьшим из всех возможных, называется остовным деревом.


13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис.2. Деревья на графах

3.1.2. Задачи на графах

Типичными задачами, решаемыми с помощью графов являются
1. О нанесении проводников на плату: нанести на печатную плату некоторую схему проводников так, чтобы любые два из них не пересекались между собой ни в каких точках, кроме заданных.
2. Об обеспечении максимального транспортного потока между двумя заданными пунктами.
3. Задача о построении кратчайшего пути. Рассмотрим ее подробно.
Пусть задан граф G (рис. 3) и задана таблица расстояний между его вершинами. Эта таблица наз. матрицей весов. Если все расстояния в графе равны 1, то полученная матрица наз. матрицей смежностей.


X1
X2
X3
X4
X5
X6

X1
0
3
4
6

·

·

X2
3
0

·

·

·
10

X3
4

·
0

·
5

·

X4
6

·

·
0
4
8

X5

·

·
5
4
0
1

X6

·
10

·
8
1
0

Матрица весов:





Рис. 3. К задаче о построении кратчайшего пути

Задача ставится так: найти кратчайшее расстояние Х1Х6.
Используем для решения т.н. алгоритм Дейкстры, в котором по определенному правилу вершинам присваивают временные и постоянные метки и также по определенному правилу заменяют временные метки на постоянные. Процесс состоит из шагов, каждый из которых включает в себя три действия и заканчивается, когда все метки станут постоянными. Действия на каждом шаге:
1. Первой из выделенных вершин присваивают постоянную метку l*(x1) = 0, где символ * означает, что это значение относится к постоянной метке, а всем остальным вершинам – временные метки l(xi) =
·, i = 2, 3, 4, 5, 6.
2. Рассматривают множество вершин Г(xi) = {xj, , xk}, соседних с той, которая имеет постоянную метку, и вычисляют для них новые временные метки по правилу (для xj):
L (xj) = min {l(xj), l*(xi) + rij}, где l(xj) – старая временная метка вершины xj, а rij – расстояние от xi до xj.
3. Выбирают min из всех временных меток, которая становится постоянной, и делают следующий шаг.

Рассмотрим наш пример.

Требуется определить кратчайший путь из вершины Х1 до вершины Х6.
Применим алгоритм Дейкстры.
Шаг 1. 1. Для Х1 постоянная метка l*(X1) = 0. Для остальных вершин временные метки l(Xi) =
·, i = 2, 3, 4, 5, 6.
2. Г(X1) = {X2, X3, X4}. Новые временные метки: L(Xj) = min{l(Xj), l*(Xпред.) + rпред.,j}. Тогда L(X2) = min{
·, 0 + 3} = 3; L(X3) = min{
·, 0 + 4} = 4; L(X4) = min{
·, 0 + 6} = 6. Наименьшая из всех временных меток:
3. Min{L(X2), L(X3), L(X4), L(X5), L(X6)} = min{3, 4, 4,
·,
·} = 3. Следовательно, получаем постоянную метку для вершины Х2: l*(X2) = 3.
Шаг 2. 1. Г(X2) = {X6};
2. L(X6) = min{
·, 3 + 10} = 13;
3. Min{L(X3), L(X4), L(X5), L(X6)} = min{4, 6,
·, 13} =4. l*(X3) = 4.
Шаг3. 1. Г(X3) = {X5};
2. L(X5) =min {
·, 4 + 5} =9;
3. Min{L(X4), L(X5), L(X6)} = min{6, 9, 13} = 6. l*(X4) = 6.
Шаг 4. 1. Г(X4) = {X5, X6};
2. L(X5) = min {9, 6 + 4} = 9; L(X6) = min {13, 6 + 8} = 13; (остались теми же);
3. Min {L(X5), L(X6)} = min {9, 13} = 9. l*(X5) = 9.
Шаг 5. 1. Г(X5) = {X6};
2. L(X6) = min {13, 9 + 1} = 10. l*(X6) = 10.

На этом процесс расстановки меток закончен. Значение постоянной метки вершины Х6 даёт кратчайшее расстояние между Х1 и Х6, которое равно 10.
Кратчайший путь между Х1 и Х6 определяется с помощью соотношения
l*(Xj) =l*(Xi) + rij,
в котором вершина i предшествует j, тогда можем найти вершину, предшествующую Х6:
l*(X6) = l*(Xпредш.) + rпредш. 6.
На графе видим, что Х6 предшествуют Х2, Х4 и Х5. Составим следующую таблицу:

l*(Xi)
ri6
+

X2
3
10
13

X4
6
8
14

X5
9
1
10

Видим, что сумма в последней строке таблицы совпадает со значением постоянной метки для вершины Х6, следовательно, этой вершине предшествует вершина Х5.
Повторяем эту процедуру для вершины Х5, т.е. находим вершину ей предшествующую.
Этой вершине предшествуют Х3 и Х4. Тогда получаем таблицу.


l*(Xi)
ri5
+

X3
4
5
9

X4
6
4
10



Х1Х3Х5Х6 = 10.


4) Задача о минимальном остовном дереве. В этой задаче надо найти связный подграф исходного графа, который не содержал бы циклов, и в котором путь от корня (вершины Х1) до каждой из вершин был бы наименьшим из всех возможных.
Для решения можно использовать т.н. алгоритм ближайшего соседа, приведённый в Пособии, а можно потроить дерево, получив при этом и путь, на основе полученных выше постоянных меток.
На первом шаге получили постоянную метку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Здесь вершина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – дочка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, следовательно, получаем ребро 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 остовного
дерева. На втором шаге вычислили 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – дочка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, получаем ребро 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Следующий шаг даёт 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – дочка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и в остовное дерево добавляем ребро 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
На четвёртом шаге находим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и на третьем шаге видим, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – дочка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, значит, получаем ребро 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Наконец, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – дочка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. последнее ребро остовного дерева – 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Таким образом, остовное дерево имеет вид, как на рис.4. Там же вы- делен кратчайший путь из 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Заметим, что значения постоянных меток для каждой вершины равны расстояниям из 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 до этих вершин по остовному дереву.

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 4. Остовное дерево. Выделен найденный выше кратчайший путь 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Вопросы для самопроверки по теме 3.1.

Что такое граф, орграф, дуги и рёбра?
2. Является ли граф (рис.1) полным и связанным?


3.2. Формальные языки и дискретные автоматы

Изучаемые вопросы: Структура формального языка. Построение слов. Дискретные автоматы с памятью и без. Сумматор.

3.2.1. Формальные языки
Здесь будем под языком понимать средство общения автомата с окружающей средой.
Под формальным языком Я будем понимать математический объект, который включает в себя:
Состояние языка {S0,S1,,Sn} = Mn , где S0 – начальное или нейтральное состояние, а само множество Mn – множество нетерминальных символов.
Алфавит языка {m1,m2,,mp} = Mt, состоящий из некоторого набора символов (букв). Заметьте, здесь индексация начинается с 1, само Mt – множество терминальных символов. Чаще всего под символами понимаются двоичные символы 0 и 1.
Правила грамматики – показывают как образуются слова языка. Они имеют вид соотношений
Sl ::= Skmi, (1)
где i = 0,1,2,,p; l,k = 0,1,2,,n. Это соотношение означает, что при переходе из состояния Sk в Sl появляется буква mi образуемого слова. При этом значению i=0 соответствует буква m0, которая не входит в алфавит, а представляет собой знак пробела или некоторый интервал между словами.
Образование каждого слова начинается из начального состояния S0 и им же заканчивается (далее идет пробел).
Язык задан, если формула вида (1) определена для каждой пары состояний Sk, Sl.

Пример 1: Язык Я с алфавитом Mt={m1,m2,m3} задан совокупностью следующих правил грамматики:
S1:: = S0m0; S2:: = S1m1|S2m3; S3:: = S0m0|S2m2; S0:: = S3m1. (2)
(Здесь обозначение 13 QUOTE 1415 означает и/или).

·Построение слов в языке Я удобно проводить с помощью графов: в вершинах помещаются состояния S, а рядом с дугой, соединяющей Sk и Sl пишут появляющуюся при этом букву mi. Начнем с S0. С этим состоянием связаны состояния S1 и S3: дуги 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415производят пробел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а дуга 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - букву 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; дуга 13 EMBED Equation.DSMT4 1415- букву 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; дуга 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 производит букву 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, дуга 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - букву 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. При обходе всего цикла из 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415


m1 получаем все возможные слова:
m0 1) m1m2m1;
2) m1m3m2m1;
m3 3) m1;
m0 (m0 –пробел – не пишется)!
m2 Тогда
m1 Я = {m1, m1m2m3, m1m3m2m1}.
·


Пример 2: Язык Я с алфавитом Mt = {m1,m2,m3} задан совокупностью правил:
S1:: = S0m0|S2m2; S2:: = S1m1; S3:: = S2m3|S3m2; S0:: = S4m3|S3m1.
Изобразить в виде графа структуру языка и построить совокупность слов, порождаемых грамматикой данного языка.


·Слова:
1)[m1m2 m1] n m3m1, n-любое (тавтология, т.е. повторение одного и того же)
2)[m1m2m1]nm3m2m1, также тавтология
3) m1m3m1
4)m1m3m2m1
Здесь состояние 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - «мёртвое», поскольку в него невозможно попасть. (Такие ситуации возможны при проводившейся ранее коррекции языка).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
·

3.2.2. Дискретные автоматы (ДА)
ДА – это устройство, служащее для восприятия, переработки поступающей извне информации и выработки соответствующей реакции на эту информацию.
(Здесь считаем, что информация дискретна, т.е. поступает в отдельно взятые моменты времени.)
Для двоичных сигналов (0 и 1) и автоматы называются двоичными.
Пусть ДА имеет k входов и q выходов, тогда совокупность входных (x1,x2,,xk) и выходных (y1,y2,,yq) сигналов можно трактовать как векторы X и Y соответствующих размерностей:

X=(x1,x2,,xk) Y=(y1,y2,,yq)


Рассмотрим два типа ДА:
1. Без памяти (или комбинационная схема КС)
2. С памятью (последовательная схема ПС).

В КС для текущего момента времени Yn = fкс (Xn), (1)
т.е. выходные сигналы являются функцией только входных.
В ПС они зависят и от предыдущего момента n-1:
Yn = fпс (Xn, Xn-1) (2)
Поскольку рассматриваем двоичные дискретные автоматы, то f являются не обычными алгебраическими функциями, но булевскими. И проблема математического описания поведения ДА решается на основе аппарата алгебры логики.
Пусть в некоторый момент времени ДА находится в состоянии Sk и под воздействием входного сигнала x, поступающего в этот момент, переходит в состояние Sl, вырабатывая выходной сигнал y, тогда процесс перехода ДА из Sk в Sl можно записать:
Sk ( xySl (3)

Рассмотрим ДА без памяти (КС)
Пример: пусть работа ДА задана совокупностью правил:
S1 ( x2y2S1, S1 ( x1y1S2, S2 ( x1y1S2, S2 ( x2y1S3, S3 ( x1y2S1.
И пусть на вход подана последовательность: х2, х1, х2, х1, а ДА установлен в состояние S1. Определить последовательность на выходе. Интерпретируем правила работы ДА в виде графа:
Так как начальное состояние 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и первый входной сигнал х2, то, в соответствии с графом, первым выходным сигналом будет y2 и ДА останется в состоянии 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Следующий входной - х1, тогда y1 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Далее, y1 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, потом y2 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. последовательность сигналов на выходе: y2, y1, y1, y2.



Рассмотрим теперь ДА с памятью (ПС)
Пример: пусть имеется устройство с входным каналом Х, каналом обратной связи Z и выходным каналом Y, реализующее отображение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,

которое задается в виде таблицы (*).
Структурная схема блока:
Здесь входной сигнал задается не только входным Х в момент t, но и выходным сигналом предшествующего
момента, т.е.Z+(t)=Z-(t-(), (>0.
(Считается, Z+((=0)=Z0+).
Z+ Z-

X Y

Пусть на вход подается последовательность 101001 и Z0+ = 0. Определить последовательность на выходе.
X
Z+
Z-
Y

0
0
1
1

0
1
1
0

1
0
0
1

1
1
0
0

Табл.(*) В t = 0 вектор XZ+, равный 10 ( Х = 1 – первый член входной последовательности, Z+ = Z0+ = 0), определяет, в соответствие с третьей строкой (*) вектор 01. В следующий момент ( входной вектор Х = 0(второй член входной последовательности), а Z+(() = Z-(((() = Z-(0) = 0, тогда в t = ( XZ+ = 00 и из первой строки (*) : Z-Y = 11. В t = 2( XZ+ = 11 (X = 1 – третий член входной последовательности, а Z+(2() = Z-((), и из 4-й строки (*) Z-Y = 00 etc.
Это решение удобно представить в виде табл.(**):
Ответ: 101001 110100. Табл.(**)
Время
X
Z+
Z-
Y

0
1
0
0
1

(
0
0
1
1

2(
1
1
0
0

3(
0
0
1
1

4(
0
1
1
0

5(
1
1
0
0



Работа сумматора подробно описана в [3].

Вопросы для самопроверки по теме 3.2

Что означает «язык задан»?
В чём отличие комбинационной схемы от последовательной?
Что означает запись 13 EMBED Equation.DSMT4 1415?


3.3. Элементы алгебры логики

Изучаемые вопросы: Высказывания. Основные логические операции. Булевы функции и нормальные формы. Совершенные дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы. Полные системы булевых функций и базис. Нахождение сокращённой дизъюнктивной нормальной формы (ДНФ) методом Квайна. Построение минимальных ДНФ методом Петрика. Технические применения алгебры логики.

3.3.1. Основные логические операции
1. Отрицание высказывания – это операция, выражающая высказывание, которое истинно, если исходное высказывание ложно, и наоборот. Обозначают его чертой сверху или знаком 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Называется также инверсией или дополнением к 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Таблица истинности для отрицания:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

0
1

1
0

2. Конъюнкция двух высказываний – это высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны (и ложно, когда ложно хотя бы одно). Это т.н. логическое умножение: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – логическое «и», & - амперсанд, или коммерческое «и»).
3. Дизъюнкция двух высказываний – это высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда, по крайней мере, одно из них истинно (и ложно, когда оба ложны): 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – логическое «или») – это логическое сложение.
Таблица истинности для этих двух операций выглядит так:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

0
0
0
0

0
1
0
1

1
0
0
1

1
1
1
1

Примеры. 1. Пусть высказывания 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 –параллелограмм (см. рисунок) – это пример конъюнкции.
2. Пример дизъюнкции: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 делится на 2, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 делится на 2. Тогда высказывание 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – чётное число.






3. Эквиваленция двух высказываний – это высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда значения истинности A и В совпадают: А ~ В.
4. Импликацией двух высказываний называется высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда значение истинности первого аргумента – “истина”, а второго – “ложь”. Обозначается: x1 ( x2. Читается: “импликация x1 в x2”, “ x1 влечет x2”.
5. Сложением по модулю два называется функция, принимающая значение истинности “истина”, если аргументы имеют разные значения истинности, и “ложь”, если аргументы имеют одинаковые значения истинности. Обозначается: x1 ( x2; читается : “сложение по модулю два x1 и x2”.
Таблица истинности для этих двух операций выглядит так:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

0
0
1
0

0
1
1
1

1
0
0
1

1
1
1
0



Свойства элементарных логических операций:
1.Коммутативность: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2. Идемпотентность: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
3. Ассоциативность: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
4. Дистрибутивность: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
5. Формулы Моргана: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
6. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

3.3.2. Булевы функции и нормальные формы
Булевой функцией 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется произвольная 13 EMBED Equation.DSMT4 1415-местная функция двоичных аргументов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. аргументы её принимают значения 0 и 1, и функция принимает такие же значения – 0 и 1.
Всякую булеву функцию от 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 переменных можно задать таблицей из 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 строк, в которой в каждой строке записывают одно из значений этих переменных 0 или 1.
Т.к. длина каждого столбца равна 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а различных столбцов из 0 и 1 длины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеется 2 в степени 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то существует ровно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415различных 13 EMBED Equation.DSMT4 1415-местных булевых функций. Например, для булевой функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 от двух аргументов имеется 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 различных булевых функций:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equati
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· Здесь, кстати, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется функцией Шафера, а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – функцией Вебба.
Ясно, что для одноместной булевой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеется 4 функции, а для 3-местной 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – 256 функций.
В алгебре логики доказывается, что всякую булеву функцию можно представить в виде некоторого числа конъюнктивных членов, образованных её аргументами или их отрицаниями, соединённых знаками дизъюнкции.
Эта форма представления булевой функции называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ).
Правило построения СДНФ булевой функции, заданной таблицей, состоит в следующем:
1. Из таблицы выбираем все наборы аргументов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, для которых 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2. Для каждого из этих наборов составляем конъюнкции, равные 1.
3). Все эти конъюнкции соединяем знаками дизъюнкции.

Пример 1. Составить СДНФ для 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, заданной табл. 1:

Табл.1. Функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

0
0
0
1

0
0
1
0

0
1
0
1

0
1
1
0

1
0
0
0

1
0
1
1

1
1
0
1

1
1
1
1

1. Отметим строки, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415(их 5).
2. Для этих наборов конъюнкции, равные 1 будут такими (см. табл. истинности для конъюнкции):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3. Соединяя их знаками дизъюнкции, получаем искомую СДНФ: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Отметим, что конъюнктивные члены, входящие в СДНФ, называются конституантами единицы.

Аналогично понятию СДНФ вводится совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ), которая может быть представлена в виде некоторого числа дизъюнктивных членов, соединённых знаками конъюнкции. Правило составления СКНФ булевой функции, заданной таблицей, формулируется так:
1. Выбираются все наборы, для которых 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2. Для каждого из этих наборов составляются дизъюнкции, равные 0.
3. Полученные дизъюнкции соединяются знаками конъюнкции.
В том же примере: 1) Это будут строки 2, 4, 5, и, т.к. дизъюнкция равна нулю, когда оба высказывания равны 0, то 2) нулевые дизъюнкции будут: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда СКНФ:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Отметим, что дизъюнктивные члены, входящие в СКНФ, называются конституантами нуля.

3.3.3. Полные системы булевых функций и базис
Система булевых функций 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется полной, если любую булеву функцию можно представить в виде формулы через функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Сама система функций 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при этом называется базисом.
Базис минимален, если удаление хотя бы одной из входящих в него функций, превращает систему их в неполную.
Выше мы отметили, что любую булеву функцию можно представить через отрицания, конъюнкции и дизъюнкции, следовательно, система функций 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 является базисом. Однако этот базис не является минимальным, т.к. на основании формул Моргана из него можно удалить одну из функций – дизъюнкцию, или конъюнкцию, не нарушив его полноты. Значит, в качестве базиса можно взять любую из систем функций: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, поскольку инверсия не выражается через конъюнкцию или дизъюнкцию, и каждый из этих базисов будет минимальным. Т.о., существует несколько различных базисов, и выбор его определяется характером рассматриваемой задачи. Подробнее о минимальных формах – в учебнике.

3.3.4. Нахождение сокращённой ДНФ

Рассмотрим процедуру построения сокращённой ДНФ методом Квайна. Он основан на преобразовании ДНФ с помощью операций полного и неполного склеивания и операции поглощения.
Введём ещё одно понятие: конъюнкция переменных 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется элементарной, если каждая из этих переменных встречается в конъюнкции не более одного раза.
Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – булева переменная, а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – элементарная конъюнкция. Тогда имеет место равенство:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (1)

·13 EMBED Equation.DSMT4 1415
·
Это соотношение называется соотношением полного склеивания, т.е. в дизъюнкции члены 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 склеиваются по 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Имеет место также соотношение неполного склеивания:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (2)

· используя свойство идемпотентности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415получаем:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, но 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
·
Теперь, наряду с элементарной конъюнкцией 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, рассмотрим ещё одну – 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда имеет место соотношение поглощения:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3)

· 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
·
Если в случае полного склеивания говорят, что члены 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 склеиваются по 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то в случае поглощения в дизъюнкции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 член 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 поглощается членом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
По теореме Квайна, если в СДНФ вначале произвести все операции неполного склеивания, а затем все операции поглощения, то в результате получим
· сокращённую ДНФ.
Приведём алгоритм построения сокращённой ДНФ методом Квайна.
Найти СДНФ заданной 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. В ней все конъюнктивные члены будут иметь один ранг (ранг равен числу членов в конъюнкции).
Провести в ДНФ все возможные операции неполного склеивания. Их удобно проводить в два этапа: сначала все возможные операции полного склеивания, а затем выписать результаты полного склеивания в начале ДНФ, соединив их между собой и с остальными членами ДНФ знаками дизъюнкции (это и будет неполное склеивание).
Провести все возможные операции поглощения, в результате чего получим ДНФ, состоящую из элементарных конъюнкций ранга, на единицу меньшего.
В полученной ДНФ провести все возможные операции склеивания и поглощения в соответствии с п.3) и 4). В результате получим ДНФ, состоящую из элементарных конъюнкций ранга ещё на единицу меньшего.
Описанную процедуру следует проводить до тех пор, пока это будет возможно. Полученная в итоге ДНФ и будет сокращённой. Образующие её элементарные конъюнкции называются простыми импликантами функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 1 . Найти сокращённую ДНФ булевой функции
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

·
1. Здесь первый конъюнктивный член имеет ранг, равный двум, а остальные – 3. Приведём все члены к одному рангу, равному трём. Для этого умножим первый член на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Получаем:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (4)
2. Проведём все возможные операции неполного склеивания в два этапа:
а) проведём полное склеивание каждой из конституент единицы ДНФ (4) с последующими (полное склеивание – 13 EMBED Equation.DSMT4 1415).
1-й член склеивается со 2-м по 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, получим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
1-й член склеивается с 5-м по 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
2-й член ни с чем не склеивается
3-й член склеивается с 4-м по 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
4-й член склеивается с 5-м по 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
б) конъюнкции, полученные в результате полного склеивания, выпишем в начале ДНФ, соединив между собой и с остальными членами ДНФ знаками дизъюнкции:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3. Проведём все возможные операции поглощения в соответствии с формулой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Член 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 поглощает 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Аналогично, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 поглощает 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Далее,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 поглощает 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. В итоге получим
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (5)
– сокращённая ДНФ, (rang = 2).
4. Непосредственной проверкой убеждаемся, что дальнейшее применение операций склеивания и поглощения невозможно. Полученное соотношение (5) является сокращённой ДНФ заданной функции.
Конъюнктивные члены (5) представляют собой простые импликанты функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
3.3.5. Построение минимальных ДНФ методом Петрика
Тупиковой ДНФ булевой функции называется дизъюнкция из некоторых простых импликант этой функции, равная самой функции и такая, что исключение из неё любой из импликант нарушает это равенство.
Произвольная булева функция может иметь несколько тупиковых форм. Те из них, которые имеют наименьшую сумму рангов, являются минимальными ДНФ. Следовательно, для отыскания минимальных ДНФ достаточно получить все её тупиковые формы и выбрать среди них минимальные.
В качестве универсального метода решения этой задачи приведём изложение метода Петрика.
Пусть совершенная ДНФ (СДНФ) функции f имеет k конституент, а её сокращённая ДНФ имеет m простых импликант.
1. Обозначим каждую простую импликанту f через pi, т.е. имеем набор p1,p2, , pm.
2. Выделим те простые импликанты сокращённой ДНФ функции f, которые поглощают каждую из конституент единицы исходной ДНФ. Из простых импликант, поглощающих первую конституенту, образуем дизъюнкцию d1; из простых импликант, поглощающих вторую конституенту, образуем дизъюнкцию d2 и т.д. вплоть до k-ой конституенты. В итоге получим набор дизъюнкций d1,d2, , dk.
3. Из дизъюнкций di, полученных в п.2), образуем конъюнкцию
F(p1,p2,,pm) = d1d2dk (6)
4. Раскроем скобки в правой части (6) и проведём все возможные поглощения (в правой части (6) каждая из дизъюнкций di выражена через соответствующие импликанты pi).
Обозначим число элементарных конъюнкций в полученном выражении через s. Каждой такой элементарной конъюнкции соответствует одна тупиковая форма функции f, которая получится, если в элементарной конъюнкции символы импликант pi заменить их значениями, а знаки конъюнкций заменить знаками дизъюнкций. Т.о., получим s тупиковых ДНФ функции f. Для нахождения искомой минимальной ДНФ остаётся выбрать те из них, которые имеют наименьшую сумму рангов.
Пример 1: для булевой функции f из предыдущего примера построить тупиковые и минимальные ДНФ. Ранее была получена сокращённая ДНФ (10.5):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
1. Выпишем её простые импликанты:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

2. Выясним, каким импликантами поглощается каждая из конституент единицы исходной ДНФ (в которой все конъюнктивные члены приведены к одному рангу)

13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
и образуем из них соответствующие дизъюнкции:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415 поглощается импликантами p1, p2; образуем d1 = p1 ( p2
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 поглощается импликантами p1; образуем d2 = p1
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 поглощается импликантами p3; образуем d3 = p3
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 поглощается импликантами p3, p4; образуем d4 = p3 ( p4
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 поглощается импликантами p2, p4; образуем d5 = p2( p4.

3. Из дизъюнкций di образуем конъюнкцию F

F = d1d2d3d4d5 = (p1( p2)p1p3(p3 ( p4)( p2( p4).

4. Раскроем скобки и, используя соотношение х* х = х, преобразуем:

F = (p1p1p3 ( p2p1p3)(p3p2 ( p4p2 ( p3p4 ( p4p4) = (p1p3 ( p1p2p3)(p2p3 ( p2p4 ( p3p4 ( p4).
В первых скобках p1p3 поглощает (p1p3)p2, т.е. p1p3 ( p1p2p3 = p1p3. Во вторых скобках p4 поглощает p3p4 и p2p4, тогда
p4( p4p3( p4p2 = (p4( p4p3) ( p4p2 = p4 ( p4p2 = p4. После этих поглощений F принимает вид:

F = (p1p3)(p2p3( p4) = p1p3p2p3( p1p3p4 = p1p2p3(p1p3p4 .

Каждой элементарной конъюнкции в полученном выражении соответствует одна тупиковая форма ДНФ исходной f, для получения которой достаточно заменить импликанты рассматриваемой конъюнкции по п.1), соединив их знаками дизъюнкции. Т.о., имеем две тупиковые формы:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, ((rang = 6),
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (((rang = 6).
Обе формы имеют одну и ту же сумму рангов, поэтому обе эти формы являются минимальными.
Замечание: задача о нахождении минимальной конъюнктивной формы булевой функции может быть сведена к нахождению минимальной ДНФ. Для этого достаточно:
Найти min ДНФ функции f.
Применить к ней операции отрицания и преобразовать по формулам Моргана.

3.3.6. Технические применения алгебры логики
Аппарат алгебры логики широко используется при описании работы т.н. контактных схем и цифровых машин. При проектировании таких схем на основе анализа условий работы схемы составляются логические функции, описывающие работу схемы.
При этом возникают два типа задач:
Для заданной схемы построить логическую функцию, работу этой схемы.
Построить схему, соответствующую данной логической функции.
Рассмотрим эти задачи, предварив их замечаниями.
Пусть высказывание 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= {контакт 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 замкнут}, тогда отрицание 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = {контакт 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 замкнут} = {контакт 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 не замкнут}. Рассмотрим участок схемы
- два последовательных контакта. Этот участок замкнут, если одновременно замкнуты 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и13 EMBED Equation.DSMT4 1415. В алгебре логики эта ситуация описывается конъюнкцией высказываний 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е.13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
– параллельные контакты. Здесь для замкнутого участка имеем дизъюнкцию.

Пример 1: для 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 построить соответствующие ей и её минимальным ДНФ контактные схемы.

Конъюнктивным членам заданной функции соответствуют участки схемы с последовательно расположенными на них контактами. А т.к.
конъюнктивные члены соединены между собой знаками дизъюнкции, то эти
Рис.1. Исходная контактная схема
участки подключены параллельно. Следовательно, схема имеет 11 контактов и изображается как на рис.1.

Для двух её минимальных ДНФ 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 контактные схемы будут иметь вид:

и содержат по шесть контактов.
Второй тип задачи.
Пример 2: составить логическую функцию, соответствующую контактной схеме:

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Представление логической функции в виде графа.
На практике удобно изображать логическую функцию в виде дерева, где висячим вершинам соответствуют булевы переменные или их отрицания, а во внутренних вершинах размещены операции, которые нужно выполнить над переменными.

Пример 3: f(X,Y,Z) = XY ( ((((( ( ((((. Этой функции будет соответствовать граф:






Вопросы для самопроверки по теме 3.3

Дайте определения отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, эквиваленции.
Напишите формулы Моргана.
Что называется булевой функцией?
Сколько различных булевых функций можно построить для функции13 EMBED Equation.DSMT4 1415?
Что такое СДНФ, СКНФ?
Напишите соотношения полного и неполного склеивания, соотношение поглощения.
Что называется тупиковой ДНФ, минимальной ДНФ.
Заключение. Многие из рассматриваемых в настоящем курсе задач следует решать с привлечением табличного процессора Excel. Существенно проще делать их в математических пакетах, перечисленных во введении. Что касается задач на графах, решения обычных и дифференциальных уравнений, то, вообще говоря, применение этих средств является единственной альтернативой рутинным вычислениям «на бумаге». Поэтому следует, по возможности, овладевать навыками работы с этими современными и мощными инструментами. Желаем успехов!
Вопросы для подготовки к зачету Вы найдёте ниже (с.118).
3.4. Учебное пособие
Учебное пособие издано отдельным томом.
Методические указания к выполнению лабораторных работ
«Методические указания» изданы отдельно (см. [9]).

Раздел 4. БЛОК КОНТРОЛЯ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
4.1. Методические указания к выполнению контрольных работ

Контрольные работы №1 и №2
Студенты всех специальностей разделены на три группы и выполняют задания двух контрольных работ в соответствии с таблицей, приведённой ниже (задания имеют сквозную нумерацию по обеим контрольным работам).

Группа №
Специальности №
Задания №

1
140211, 140101, 140104,150501, 190205, 200101, 220201
1 (интерполяция)
2 (корни уравнения)
5 (комплексные числа)
6 (производная ФКП)
7 (интегрирование ФКП)
8 (алгоритм Дейкстры)
9 (мат. логика)

2
080502, 150104, 151001, 150202, 190601, 140601, 200402, 200501, 210106, 210302, 210101, 220301, 230101, 280202
1 (интерполяция)
2 (корни уравнения)
3 (численное интегрирование)
4 (метод Эйлера)
5 (комплексные числа)
6 (производная ФКП)
7 (интегрирование ФКП)

3
190701*), 240401, 240301
5 (комплексные числа)
6 (производная ФКП)
7 (интегрирование ФКП)
8 (алгоритм Дейкстры)
9 (мат. логика)

*)Студенты специальности 190701 выполняют также два задания из УМК "Математика ч.2 Методы оптимизации". Номера заданий указывает преподаватель.
Варианты индивидуальных заданий

Задание 1. Осуществить интерполяцию с помощью полинома Ньютона исходных данных из табл.1 и вычислить значение интерполяционного полинома в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Номер варианта выбирается по последней цифре шифра. 10 точек берётся, если для решения задачи используется какой-либо математический пакет. При ручном счёте – выбрать первые четыре точки.
Таблица 1

Порядковый номер исходных данных


1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

1-й вариант

Х
1,415
1,420
1,425
1,430
1,435
1,440
1,445
1,450
1,455
1,460

У
0,888
0,889
0,890
0,891
0,892
0,893
0,894
0,895
0,896
0,897

Значение
х1 = 1,416




2-й вариант

Х
0,101
0,106
0,111
0,116
0,121
0,126
0,131
0,136
0,141
0,146

У
1,261
1,276
1,291
1,306
1,321
1,336
1,352
1,367
1,383
1,399

Значение
х1 = 0,113




3-й вариант

Х
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
060

У
0,86
0,819
0,779
0,741
0,705
0,670
0,638
0,606
0,577
0,549

Значение
х1 = 0,23




4-й вариант

Х
0,18
0,185
0,190
0,195
0,200
0,205
0,210
0,215
0,220
0,225

У
5,615
5,467
5,352
5,193
5,066
4.946
4,832
4,722
4,618
4,519

Значение
х1 = 0,182




5-й вариант

Х
3,5
3,55
3,60
3,65
3,70
3,75
3,80
3,85
3,90
3,95

У
33,11
34,65
36,60
38,47
40,44
42,52
44,70
46,99
49,40
51,93

Значение
х1 = 3,52




6-й вариант

Х
0,115
0,120
0,125
0,130
0,135
0,140
0,145
0,150
0,165
0,170

У
8,68
8,29
7,96
7,65
7,36
7,10
6,85
6,62
6,40
6,20

Значение
х1 = 0,122




7-й вариант

Х
1,340
1,345
1,350
1,355
1,360
1,365
1,370
1,375
1,380
1,385

У
4,26
4,35
4,46
4,56
4,67
4,79
4,91
5,01
5,18


Значение
х1 = 1,352




8-й вариант

Х
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24

У
4,48
4,95
5,47
5,99
6,05
6,68
6,909
7,38
8,166
9,025

Значение
х1 = 0,153




9-й вариант

Х
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54

У
20,19
19,61
18,94
18,17
17,30
16,31
15,19
13,94
12,55
10,99

Значение
х1 = 0,455




10-й вариант

Х
0,01
0,06
0,11
0,16
0,21
0,26
0,31
0.36
0,41
0,46

У
0,99
0,95
0.91
0,88
0,84
0,81
0,78
0,74
0,71
0,68

Значение
х1 = 0,014





Задание 2. Уточнить значение корня на заданном интервале тремя итерациями и найти погрешность вычисления. Номер варианта выбирается по предпоследней цифре шифра из табл.2.
Таблица 2
Номер
варианта
Уравнение
Интервал

0
2х3 - 5х2 + 4х - 9 = 0
[ 0;4 ]

1
3х3 - 10х2 +2х - 7 = 0
[ 0;4 ]

2
3х3 - 7х2 +2х - 5 = 0
[-1;3 ]

3
2х3 – 5х2 + 5х - 12 = 0
[ 0;4 ]

4
5х3 - 3х2 + 4х -12 = 0
[ 0;4 ]

5
2х3 - 5х2 +5х - 12 = 0
[ 2;6 ]

6
2х3 - 5х2 +4х - 11 = 0
[ 2;6 ]

7
2х3 - 7х 2 + 3х - 10 = 0
[ 0;4 ]

8
3х3 - 105х 2 + 2х - 7= 0
[ 2;6 ]

9
3х3 - 2х2 +5х - 3= 0
[ -2;2 ]



Задание 3. Методами прямоугольников, трапеций и Симпсона вычислить определённый интеграл. Номер варианта выбирается по предпоследней цифре шифра.

1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415 5) 13 EMBED Equation.3 1415
6) 13 EMBED Equation.3 1415 7) 13 EMBED Equation.3 1415 8) 13 EMBED Equation.3 1415 9) 13 EMBED Equation.3 1415 10) 13 EMBED Equation.3 1415

Задание 4. Проинтегрировать уравнение методом Эйлера на интервале 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Во всех вариантах начальное условие: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Вычисления выполнять с четырьмя десятичными знаками и шагом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Номер варианта выбирается по последней цифре шифра.

1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415
6) 13 EMBED Equation.3 1415
7) 13 EMBED Equation.3 1415
8) 13 EMBED Equation.3 1415
9) 13 EMBED Equation.3 1415
10) 13 EMBED Equation.3 1415

Задание 5. Данное задание состоит из двух задач. В первой из них требуется вычислить сумму (z1+z2) и разность (z1 - z2) комплексных чисел, а во второй – произведение z1z2 и частное z1/z2.
Вариант задания выбирается по последней цифре шифра.
Заданча 1. В задании 1-10, вычислить сумму (z1+z2) и разность (z1-z2) комплексных чисел, заданных в показательной форме, переведя их в алгебраическую форму; построить операнды и результаты на комплексной плоскости.
Заданча 2. В задании 11-20 вычислить произведение z1z2 и частное z1/z2 комплексных чисел, операнды и результаты изобразить на комплексной плоскости.

1. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
6. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.

2. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
7. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.

3. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
8. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.

4. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
9. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.

5. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
10. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.

11. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
16. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.

12. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
17. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.

13. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
18. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.

14. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
19. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.

15. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
20. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.


Задание 6. Вачислить производную функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Номер задания выбрать по предпоследней цифре шифра.

1.13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
6.13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.

2. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
7.13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.

3. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
8.13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.

4. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
9.13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.

5. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
0.13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.


Задание 7. Вычислить интеграл по замкнутым контурам а) и б), считая обход контура в положительном направлении. Нарисовать область интегрирования, указать на рисунке особые точки. Номер задания выбрать по последней цифре шифра.

31. 13 EMBED Equation.3 1415;
а)13 EMBED Equation.3 1415,
б) 13 EMBED Equation.3 1415.

32. 13 EMBED Equation.3 1415;
а)13 EMBED Equation.3 1415,
б) 13 EMBED Equation.3 1415.

33. 13 EMBED Equation.3 1415;
а)13 EMBED Equation.3 1415,
б) 13 EMBED Equation.3 1415.

34. 13 EMBED Equation.3 1415;
а)13 EMBED Equation.3 1415,
б) 13 EMBED Equation.3 1415.

35. 13 EMBED Equation.3 1415;
а)13 EMBED Equation.3 1415,
б) 13 EMBED Equation.3 1415.

36. 13 EMBED Equation.3 1415;
а)13 EMBED Equation.3 1415,
б) 13 EMBED Equation.3 1415.

37. 13 EMBED Equation.3 1415;
а)13 EMBED Equation.3 1415,
б) 13 EMBED Equation.3 1415.

38. 13 EMBED Equation.3 1415;
а)13 EMBED Equation.3 1415,
б) 13 EMBED Equation.3 1415.

39. 13 EMBED Equation.3 1415;
а)13 EMBED Equation.3 1415,
б) 13 EMBED Equation.3 1415.

40. 13 EMBED Equation.3 1415;
а)13 EMBED Equation.3 1415,
б) 13 EMBED Equation.3 1415.


Задание 8. 1. По заданной матрице весов построить граф и найти кратчайший путь между вершинами 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, используя алгоритм Дейкстры.
2. С помощью алгоритма ближайшего соседа определить минимальное остовное дерево в рассматриваемом графе.
Вариант задания выбирается по последней цифре шифра:

1)

x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8

x1
0
15

23
8




x2
15
0
22

12




x3

22
0
16
13
20
17


x4
23

16
0
8
10

18

x5
8
12
13
8
0
25



x6


20
10
25
0
12
9

x7


17


12
0
16

x8



18

9
16
0
















x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8

x1
0
5
4


12



x2
5
0
7

13




x3
4
7
0
9


6
25

x4


9
0
11

8
9

x5

13

11
0
15

6

x6
12



15
0
10


x7


6
8

10
0


x8


25
9
6


0


2)










x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8

x1
0
6
4

6
8



x2
6
0
4
13





x3
4
4
0
13
5

18
25

x4

13
13
0



10

x5
6

5

0
5
10


x6
8



5
0
12


x7


18

10
12
0
12

x8


25
10


12
0


3)










x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8

x1
0
10
6
7
11
21



x2
10
0
5



15


x3
6
5
0



11
19

x4
7


0
9
13
10


x5
11


9
0




x6
21


13

0
18
10

x7

15
11
10

18
0
4

x8


19


10
4
0


4)
5)

x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8

x1
0
3
2
8
6

15


x2
3
0
4






x3
2
4
0
3



6

x4
8

3
0


3
4

x5
6



0
3
2


x6




3
0

2

x7
15


3
2

0
6

x8


6
4

2
6
0




x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8

x1
0
5

4
6




x2
5
0





10

x3


0
4

6
5
7

x4
4

4
0
8

12
9

x5
6


8
0
4



x6


6

4
0
3


x7


5
12

3
0
5

x8


7
9


5
0


6)










x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8

x1
0
5
5

6




x2
5
0

7





x3
5

0

6
8

16

x4

7

0
3
6
9


x5
6

6
3
0
4



x6


8
6
4
0
4
6

x7



9

4
0
8

x8


16


6
8
0


7)










x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8

x1
0
4
6


21



x2
4
0

10

5



x3
6

0

9
5



x4

10

0

8

8

x5


9

0
6
4
6

x6
21
5
5
8
6
0
10
11

x7




4
10
0
5

x8



8
6
11
5
0


8)
9)

x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8

x1
0
10
11






x2
10
0
20
26
14




x3
11
20
0
16

25



x4

26
16
0
21
26
6


x5

14

21
0
4
28


x6


25
26
4
0

13

x7



6
28

0
15

x8





13
15
0




x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8

x1
0
8
14
13
16




x2
8
0


14
6



x3
14

0
5

8

10

x4
13

5
0


4
12

x5
16
14


0

8


x6

6
8


0

15

x7



4
8

0
9

x8


10
12

15
9
0


10)








Задание 9. Для исходной булевой функции, заданной таблицей найти сокращённую ДНФ методом Квайна.

Вариант задания выбирается по последней цифре шифра:

№ варианта
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

x
y
z
Значения функции

0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0

0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1

0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0

0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0

1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1

1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1

1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1

1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0


Контрольная работа №1
Задание 1
Интерполяция функций с равноотстоящими узлами.
1. Цель работы
Построение функциональной зависимости по экспериментальным данным.

2. Основные теоретические положения
2.1. Приближение функций одной переменной

Одной из наиболее важных проблем численного анализа является проблема приближенного описания неизвестной функциональной зависимости по известным ее значениям в некоторых точках, называемых узловыми.

Постановка задачи интерполяции

Задача интерполирования может быть сформулирована следующим образом.
Пусть на отрезке [a, b] заданы n + 1 точки х0, x1, , xn, которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой интерполируемой функции f (x) в этих точках, т. е.
y0 = f (x0); y1 = f (x1); ; yn = f (xn).
Требуется построить интерполирующую зависимость F(x), которая в узлах интерполяции принимает те же значения, что и интерполируемая функция f (x), т.е.
F(x0) = f (x0) = y0 ,
. . . . . . . . . . . . .
F(xn) = f (xn) = yn.
Графически задача интерполирования заключается в том, чтобы построить такую интерполирующую функцию, которая бы проходила через все узлы интерполяции.
Чаще всего в качестве интерполирующей функции F(x) используются многочлены 13 EMBED Equation.2 1415. Задача состоит в том, чтобы подобрать многочлен13 EMBED Equation.2 1415, обеспечивающий требуемую точность интерполяции 13SYMBOL 101 \f "Symbol" \s 1514e15, т.е. удовлетворяющий условию
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 . (1)
Наиболее успешно для интерполяции используется многочлен Ньютона, в записи которого в случае интерполяции функции с равноотстоящими узлами используются конечные разности.

2.3. Конечные разности

Пусть для значений 13 EMBED Equation.2 1415, где h – шаг интерполяции, известны значения функции 13 EMBED Equation.2 1415

Определение: Конечной разностью первого порядка называется разность
13 EMBED Equation.2 141513 EMBED Equation.2 1415 (2)
Аналогично определяются конечные разности второго и более высокого порядка
13 EMBED Equation.3 1415 (3)

Конечные разности при вычислении удобно записать в табл.1.
Таблица 1
i
13 EMBED Equation.2 1415xi
yi
(yi
(2yi
( 3yi
(4 yi

0
x0
y0
(y0
(2y0
(3y0
(4y0

1
x1
y1
(y1
(2y1
(3y1


2
x2
y2
(y2
(2y2



3
x3
y3
(y3




4
x4
y4






Отметим, что число (порядок) конечных разностей всегда на единицу меньше числа узлов.

2.4. Интерполяционный полином Ньютона

Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов записывается в виде
13 EMBED Equation.2 1415 (4)
или
13 EMBED Equation.2 1415. (5)
Можно показать, что оценка погрешности Rn(x) при замене f(x) полиномом Pn(x) имеет вид:
Rn(x)=13 EMBED Equation.2 1415. (6)

2.5. Решение задачи
Пример 1.
Закон движения некоторого объекта y = f(x) представлен в табл. 2 (x – время, y –путь).
Таблица 2
x
0
1
2
3
4
5
6

y
0
2
10
30
46
130
222

Требуется найти пройденный объектом путь к моменту x = 3,5.

·Для вычисления y = f(3,5) необходимо на основе табл.1 получить математическое описание функциональной зависимости y = f(x).
Если использовать критерий точного совпадения в узлах, то число определяемых параметров аппроксимирующей функции равно числу точек. При выборе такого критерия задача сводится к построению интерполяционных многочленов.

Заполним таблицу конечных разностей для экспериментальных данных, приведенных в табл.2. Вычисления удобно проводить с использованием табличного процессора Excel (табл.3).
Таблица 3.
13 EMBED Excel.Sheet.8 1415

Видим, что здесь шаг интерполяции h = 1. Степень полинома определяется числом (порядком) конечных разностей, т.е., по формуле (4) или (5) имеем:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.


Подставим наши данные и получим, что
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Тогда путь 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, пройденный к моменту 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, составит величину
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
·
Задание 2
Приближенное решение уравнений.
Отделение корней. Уточнение корней.

1. Цель работы
Ознакомиться с численными методами решения конечных уравнений.

Основные теоретические положения
2.1. Постановка задачи
В общем случае уравнение с одним неизвестным имеет вид
f(x)=0, (7)
где f (х) – заданная функция, определенная на отрезке [a,b]. Всякое число 13SYMBOL 120 \f "Symbol" \s 1514x15 (действительное или мнимое) на отрезке [a,b], обращающее уравнение в тождество:
f(13SYMBOL 120 \f "Symbol" \s 1514x15)13SYMBOL 186 \f "Symbol" \s 1514є150 (8)
называется корнем уравнения или его решением.
Решение задачи приближенного определения корней уравнения состоит из двух этапов:
1) отделение корней, т.е. нахождение подинтервалов [13SYMBOL 97 \f "Symbol" \s 1514a15,13SYMBOL 98 \f "Symbol" \s 1514b15] на отрезке [a,b], которые содержат только один корень уравнения;
2) уточнение корней, т.е. непосредственное вычисление значений корней на найденных подинтервалах [13SYMBOL 97 \f "Symbol" \s 1514a15,13SYMBOL 98 \f "Symbol" \s 1514b15] с заданной точностью 13SYMBOL 101 \f "Symbol" \s 1514e15.

2.2. Отделение корней
Графический способ отделения корней заключается в построении графика функции f(x) на отрезке [a,b]. Точка пересечения графика функции с осью абсцисс дает приближенное значение корня уравнения. Найденные таким образом приближенные значения корней позволяют выделить отрезки [13SYMBOL 97 \f "Symbol" \s 1514a15, 13SYMBOL 98 \f "Symbol" \s 1514b15], на которых при необходимости можно выполнить уточнение корней (рис.1).




f(x)


13SYMBOL 120 \f "Symbol" \s 1514x151 13SYMBOL 120 \f "Symbol" \s 1514x152 13SYMBOL 120 \f "Symbol" \s 1514x153
13SYMBOL 97 \f "Symbol" \s 1514a151 13SYMBOL 98 \f "Symbol" \s 1514b151 13SYMBOL 97 \f "Symbol" \s 1514a152 13SYMBOL 98 \f "Symbol" \s 1514b152 13SYMBOL 97 \f "Symbol" \s 1514a153 13SYMBOL 98 \f "Symbol" \s 1514b153 х
13 EMBED Equation.3 1415 Рис. 1
При отделении действительных корней расчетным путем для непрерывных функций f(x) можно руководствоваться следующими соображениями:
если на концах отрезка [a,b] функция имеет разные знаки (f(a)(f(b)<0), то между точками а и b на оси абсцисс имеется нечетное число корней;
если же f(a)( f(b)>0, то между а и b имеется четное число корней или их совсем нет;
если f(a)( f(b)<0 и либо первая производная f((x), либо вторая производная f (((x) не меняют знака на этом отрезке, то уравнение имеет единственный корень на отрезке [a, b].

Уточнение корней

Численный метод, при котором уточняется первоначальное грубое приближение, называется итерационным методом или методом последовательных приближений. Каждый шаг этого метода называется итерацией.
Если при последовательных итерациях (к = 1,2,...) получаемые величины х(к) все ближе приближаются к истинному значению корня 13SYMBOL 120 \f "Symbol" \s 1514x15, то итерационный процесс будет сходящимся, в противном случае – расходящимся. При этом различают монотонную и колебательную сходимость (расходимость) в зависимости от того, с одной или с разных сторон осуществляется приближение (удаление) к (от) искомому решению.
Для реализации итерационного процесса должны быть заданы начальное приближение х(0) и точность 13SYMBOL 101 \f "Symbol" \s 1514e15, с которой требуется найти решение уравнения. Первоначальное грубое приближение х(0) следует задавать из физических соображений и по результатам отделения корней. Все остальные приближения получаются из итерационной формулы, соответствующей используемому методу решения уравнения.
Условие окончания итерационного процесса (нахождения значения корня с точностью 13SYMBOL 101 \f "Symbol" \s 1514e15) имеет вид
13SYMBOL 189 \f "Symbol" \s 1514µ15x(к+1) - x(к)13SYMBOL 189 \f "Symbol" \s 1514µ15=< 13SYMBOL 101 \f "Symbol" \s 1514e15, k = 0,1,2,3, . (9)


2.3.1 Уточнение корней Методом Ньютона

Опишем процедуру уточнения корня 13 EMBED Equation.3 1415, который отделён и находится на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415. Уточнение корня проведём, используя итерационную формулу Ньютона

13 EMBED Equation.3 1415, (10)
где 13 EMBED Equation.3 1415 – приближение к корню на k-ом шаге (на k-ой итерации), 13 EMBED Equation.3 1415 . В пределе: 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415.
Начальное приближение 13 EMBED Equation.3 1415 – это любая точка из отрезка 13 EMBED Equation.3 1415, удовлетворяющая условию сходимости итерационного процесса (1)

13 EMBED Equation.3 1415. (11)

Обычно в качестве значения 13 EMBED Equation.3 1415 используют либо левый, либо правый конец отрезка 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 1.
Уточнить корень уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415, сделав три шага по формуле Ньютона.

·Вычислим первую и вторую производные функции 13 EMBED Equation.3 1415. Получим 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Итерационное уравнение в нашем случае запишется так

13 EMBED Equation.3 1415,

или после приведения дробей к общему знаменателю в правой части последнего соотношения, получим более удобное для дальнейших вычислений уравнение

13 EMBED Equation.3 1415 . (12)

В качестве начального приближения возьмём правый конец отрезка 13 EMBED Equation.3 1415.
Проверяем условие сходимости (11)

13 EMBED Equation.3 1415.
Условие сходимости метода Ньютона для 13 EMBED Equation.3 1415выполнено. Последовательно применяя соотношение (3), получим:

13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.

Уточнённое значение корня 13 EMBED Equation.3 1415.
В качестве оценки абсолютной погрешности, полученного результата можно использовать величину 13 EMBED Equation.3 1415.
·

Задание 3
Приближенное интегрирование с заданным шагом

Цель работы
Изучение способов приближенного интегрирования

Основные теоретические положения
Постановка задачи
Пусть необходимо вычислить определенный интеграл
I = 13 EMBED Equation.2 1415. (13)
Методы приближенного интегрирования основаны на использовании геометрической интерпретации значения определенного интеграла, как площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, прямыми x = a, x = b и кривой f (x) (рис.2).
f(x) f(x)





x 0 a b
Рис.2
Для вычисления интересующей нас площади (см. рис.3) разобьем область интегрирования на n равных частей точками:
x = a, x1, x2, ... , xi, xi+1, ... , x n = b. (14)
f(x) f(x) Рис.3



Ii


x
0 х= a хi xi+1 х= b
Тогда I = 13 EMBED Equation.2 1415,
где Ii = 13 EMBED Equation.2 1415. (15)
Значит, для вычисления интеграла (13) необходимо вычислить n площадей фигур криволинейных трапеций (рис.3).

Интегрирование функций, полученных из экспериментальных данных

Как правило, в результате эксперимента получают дискретные данные, т.е. в узлах хi производят измерение значений некоторой функции yi, (см.работу 1).
Интегрирование дискретных данных включает в себя предварительную аппроксимацию или интерполяцию этих данных известной функцией с последующим ее интегрированием. В большинстве случаев не удается подобрать одну функцию для аппроксимации на всем интервале, поэтому область интегрирования разделяется на большое количество подинтервалов, на каждом из которых используется простая функция типа линейной, квадратической или кубической. После чего результаты аппроксимации для отдельных подинтервалов складываются вместе для получения полного интеграла.
Рассмотрим три простейших метода приближенного интегрирования.

Типы формул интегрирования

Наиболее часто при численном интегрировании используются метод прямоугольников, метод трапеций, интегрирование по Ромбергу, метод Симпсона и квадратура Гаусса. Каждый из этих методов является более точным, чем предыдущий, поскольку производит аппроксимацию данных более сложной кривой.

Метод прямоугольников

Согласно методу прямоугольников, область между точками разбиения интервала интегрирования [a,b] заменяется прямоугольником, высота которого соответствует координате Y одной из точек, а ширина равна расстоянию между точками. Значение интеграла определяется по следующей формуле:
I= 13 EMBED Equation.2 1415. (16)

Такое приближение может показаться грубым, однако при малой ширине интервала и гладкой функции результаты получаются достаточно точными. Кроме того, такой метод очень просто реализовать, поскольку достаточно просто вычисляется площадь прямоугольника – перемножается значение Y в каждой точке на ширину интервала и результаты складываются.

Метод трапеций

Согласно этому методу, каждая пара соседних точек соединяется прямой линией, образуя последовательность трапеций.
Площадь трапеции равняется полусумме оснований, умноженной на высоту, которая в данном случае равна расстоянию между точками по оси Х. Интеграл равен сумме площадей всех трапеций.
I=13 EMBED Equation.2 1415. (17)

2.6. Метод Симпсона

Согласно правилу Симпсона, для аппроксимации данных используется уравнение параболы, построенной по трем точкам (правило 1/3) или по четырем точкам (правило 3/8).


13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.2 1415 (18)
I =13 EMBED Equation.2 1415. (19)

Пример 1.
Вычислить определенный интеграл
13 EMBED Equation.3 1415
с помощью методов прямоугольников и трапеций с числом шагов, равным 5. Сравнить результаты вычислений двумя методами. (Истинное значение интеграла равно 3.208).


·Метод прямоугольников
13 EMBED Equation.3 1415
Для удобства запишем значения функции в узлах в таблицу.

xi
f(xi)
слева
f(xi)
справа

0
1
2
3
4
0
0.5
0.667
0.75
0.8
0.5
0.667
0.75
0.8
0.833


·
2.717
3.55

График подинтегральной функции выглядит следующим образом:


Значение интеграла (слева) просто равно сумме значений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в узлах, т.к. шаг 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и равно 2.717, значение интеграла (справа) = 3.55.
Среднее значение интеграла равно (2.717+3.55)/2 = 3.1335.

Метод трапеций
13 EMBED Equation.3 1415
Таблица значений получается, по сути дела, той же самой
xi
f(xi)

0
1
2
3
4
5
0
0.5
0.667
0.75
0.8
0.833


И значение интеграла
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
·


Задание 4

Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 1 –го порядка методом Эйлера

Цель работы
Изучение метода Эйлера интегрирования дифференциальных уравнений 1 – го порядка.

Основные теоретические положения

Согласно методу Эйлера для решения дифференциального уравнения 1-го порядка
13 EMBED Equation.3 1415 (20)
с начальным условием
13 EMBED Equation.3 1415 (21)
(так называемая задача Коши) отрезок [a, b], на котором ищется решение задачи, разбивают на n частей с шагом h = (b – a) / n и находят значения
yk = y(xk) в точках xk = x0 + k(h (k = 0,1,..n). Очевидно, что при этом x0 = a, xn = b. Значения yk+1 определяется по формуле

13 EMBED Equation.3 1415, (22)
которая получается заменой производной на ее разностный аналог.
Погрешность вычислений на каждом шаге составляет
13 EMBED Equation.3 1415 (23)

Пример 1.

Решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка методом Эйлера. Вычисления выполнять с четырьмя десятичными знаками на отрезке [0,2; 1,2] с шагом 0,1. Уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415

·Для численного решения заданного уравнения с начальным условием нам потребуется выполнить 13 EMBED Equation.3 1415 шагов. На каждом шаге надо вычислить значения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Первый шаг. (k = 0). Имеем:
13 EMBED Equation.3 1415. Вычислим
13 EMBED Equation.3 1415.

Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 и, следовательно, по формуле (22)
13 EMBED Equation.3 1415.
Делаем следующий шаг.
Второй шаг. (k=1).
13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислим 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
И так далее.
Для удобства, все вычисления удобно представить в виде таблицы
k
xk
yk
y`k=f(xk, yk)
h(yk
yk+1

0
0,2
0,25
0,6513
0,0651
0,3151

1
0,3
0,3151
0,7784
0,0778
0,3929

2
0,4
0,3929
0,9316
0,0932
0,4861

3
0,5
0,4861
1,1160
0,1116
0,5977

4
0,6
0,5977
1,3371
0,1337
0,7314

5
0,7
0,7314
1,6019
0,1602
0,8916

6
0,8
0,8916
1,9184
0,1918
1,0835

7
0,9
1,0835
2,2962
0,2296
1,3131

8
1,0
1,3131
2,7466
0,2747
1,5878

9
1,1
1,5878
3,2829
0,3283
1,9161

10
1,2
1,9161
3,2912
0,3291


Таким образом, задача решена.
·


Контрольная работа №2
Задание 5
Комплексные числа и действия над ними
Цель работы
Научиться оперировать с комплексными числами и отображать их на плоскости.
Основные теоретические положения
См. раздел 2.1 (с.36, 37) УМК и раздел 3 Учебного пособия (с.19-23).

Порядок выполнения работы

Пример 1.
Найти сумму и разность чисел 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.

·Числа даны в показательной форме, однако, операции алгебраического суммирования удобнее производить над числами, записанными в алгебраической форме, т.к. достаточно соответствующие действия выполнить отдельно для вещественных и отдельно для мнимых частей чисел, т.е.

13 EMBED Equation.3 1415
(5)

13 EMBED Equation.3 1415i,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Учитывая, что 13 EMBED Equation.3 1415, построим все числа на рис. 1.
·















Рис. 1

Пример 2.
Найти произведение и частное чисел 13 EMBED Equation.3 1415.

·Находя z1(z2 поступим с числами, как с обычными алгебраическими многочленами, учитывая, что 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Чтобы найти частное, следует освободиться в знаменателе от комплексного числа, для этого и числитель и знаменатель нужно умножить на число, сопряженное знаменателю.
13 EMBED Equation.3 1415

На рис.2 представлены все числа.
·

Рис.2


Задание 6
Вычисление производных функции комплексного переменного
Цель работы
Научиться вычислять производные от ФКП.
Основные теоретические положения
См. раздел 2.2 УМК (с.37-39) и раздел 4.2 Учебного пособия (с.26-29).

Пример.
Вычислить производную функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точке z0=
·i.

·Для того чтобы функция была аналитической в некоторой области необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части были определены и непрерывны в этой области и удовлетворяли условиям Коши- Римана, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
(воспользовались формулами 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415).
Таким образом, u(x,y)=sin2x13 EMBED Equation.DSMT4 1415ch2y; v(x,y)=-sh2y13 EMBED Equation.DSMT4 1415cos2x. Обе функции определены и непрерывны на всей комплексной плоскости. Осталось показать, что они удовлетворяют условиям Коши- Римана. Для этого нужно найти частные производные u(x,y) и v(x,y).
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Таким образом 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. условия Коши- Римана выполнены. Следовательно, рассматриваемая функция аналитическая по всей числовой плоскости. Производную можно найти, воспользовавшись одной из формул:
13 EMBED Equation.3 1415
Однако, имея в виду, что для аналитических функций справедливы все правила и формулы дифференцирования функции действительного аргумента, можно избежать применения этих формул.
13 EMBED Equation.3 1415
·

Задание 7
Интегрирование функции комплексного переменного

Цель работы

Научиться определять тип особых точек и вычислять интегралы от функций комплексного переменного с помощью вычетов.

Основные теоретические положения

См. раздел 2.4 УМК (с.41-44) и раздел 6 (с.36-49) Учебного пособия.

Пример 1.
Вычислить интеграл 13 EMBED Equation.3 1415.
(Обход контура в положительном направлении).

·Контур интегрирования – окружность радиусом 2 и центром в точке (-3;0) (рис. 1).


Здесь подынтегральная функция аналитическая везде, кроме точек х1=0; х2=2i; x3=-2i. Эти точки лежат вне области, ограниченной контуром интегрирования, следовательно, можно применить интегральную теорему Коши, согласно которой, интеграл по контору,
Рис. 1.

ограничивающему область аналитичности функции, равен нулю. Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415.
В тех случаях, когда в области, ограниченной контуром интегрирования, подынтегральная функция имеет особые точки, для вычисления интеграла применяется теорема Коши о вычетах: 13 EMBED Equation.3 1415, при условии, что f(z) непрерывна на границе интегрирования и аналитическая всюду внутри области, кроме конечного числа особых точек z1, z2,, zn.
Таким образом, для того чтобы вычислить интеграл по замкнутому контуру, необходимо определить особые точки, принадлежащие области, ограниченной контуром интегрирования, и вычислить вычеты в этих точках (resf(zk)).
Напомним, что изолированные особые точки могут быть устранимыми, полюсами (простыми и порядка m), а также существенно особыми точками.
Особая точка называется устранимой особой точкой, если существует конечный предел 13 EMBED Equation.3 1415, вычет в этой точке resf(z0)=0.
Особая точка называется полюсом, если 13 EMBED Equation.3 1415. Порядок полюса определяется кратностью нуля z0 функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычет в простом полюсе вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Вычет в полюсе порядка m вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
В частности при m=1 получим предыдущую формулу (имеем в виду, что 0!=1, производная нулевого порядка – сама функция); при m=2 (для полюса второго порядка) 13 EMBED Equation.3 1415
Особая точка называется существенно особой точкой, если 13 EMBED Equation.3 1415не существует. В этом случае resf(z0) определяется, как коэффициент a-1 при минус первой степени при (z-z0) разложения f(z) в ряд Лорана.
·
Пример 2.
Найти особые точки функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
·Эта функция имеет две особые точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Найдем пределы функции в этих точках.
13 EMBED Equation.3 1415 - предел конечный, следовательно, z1=0 – устранимая особая точка. Вычет в ней равен 0. 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – полюс. Поскольку –1 простой ноль функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 точка является простым полюсом. Вычет в ней 13 EMBED Equation.3 1415.
Замечание. При вычислении пределов использовалось правило Лопиталя.
·

Пример 3.
Найти особые точки функции 13 EMBED Equation.3 1415, определить их тип, найти вычет в каждой из них.

·f(z) имеет три особых точки: z1=0, z2=2i. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Пределы f(z) равны 13 EMBED Equation.3 1415во всех трех точках, т.е. все они полюсы. z1=0 – полюс третьего порядка, т.к. точка является нулем третьей кратности функции 13 EMBED Equation.3 1415, а точки z2=2i и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – полюса второго порядка, т.к. они двукратные нули функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем вычеты в этих точках по формуле (2).
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

· Пример 4.
Вычислить интеграл 13 EMBED Equation.3 1415

·Чтобы вычислить интеграл по замкнутому контуру нужно воспользоваться таким алгоритмом.
Определить контур интегрирования на комплексной плоскости, указав положительное направление обхода контура.
Найти особые изолированные точки внутри контура интегрирования, определить их тип и вычислить вычеты в этих точках.
Вычислить интеграл по теореме Коши о вычетах.
В рассматриваемом примере контур интегрирования 13 EMBED Equation.3 1415=4 – окружность с радиусом 4 и центром в начале координат (рис. 2).

Рис. 2
F(z) имеет две особые изолированные точки (на рис. 2 они обозначены крестами). В примере 2 было установлено, что х1=0 – устранимая особая точка и resf(0)=0, а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – простой полюс с вычетом 13 EMBED Equation.3 1415.
По теореме Коши о вычетах интеграл будет равен
13 EMBED Equation.3 1415.
·
Пример 5.
Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

·Контуры интегрирования изображены на рис. 3. В Примере 3 определенно, что подынтегральная функция имеет три особые изолированные точки z1=0, z2=2i, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. При этом z1=0 полюс третьего порядка, вычет в точке z1 13 EMBED Equation.3 1415. Z2=2i – полюс второго порядка, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – полюс второго порядка, 13 EMBED Equation.3 1415 В области ограниченной L1- окружностью радиуса 3 центром в точке 01 (0;-2i) – находятся две изолированные точки z1=0 и z3=-2i, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415.
В области ограниченной L2 , функция регулярна, следовательно, по интегральной теореме Коши 13 EMBED Equation.3 1415
В третью область, ограниченную окружностью радиусом с центром в начале координат входят все три особые точки, поэтому
13 EMBED Equation.3 1415
·
Рис. 6.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Задание 8
Определение кратчайшего пути на графе и построение минимального
остовного дерева.
Цель работы
Научиться применять алгоритм Дейкстры для определения кратчайшего пути на графах и алгоритм ближайшего соседа для построения остовного дерева.
Основные теоретические положения

Подробно изложены в разделе 3.1 (см. с.56-59).

Задание 9
Построение различных видов ДНФ для булевых функций.

Цель работы
Овладеть навыками применения метода Квайна для построения сокращенных ДНФ.

Основные теоретические положения
Подробное изложение методов см. в разделе 3.2 (с.66-72).

4.2. Методические указания к выполнению лабораторных работ

Лабораторная работа 1

Интерполяция функций с равноотстоящими узлами
методом Ньютона

1. Цель работы

Нахождение аналитического выражения функции, заданной таблицей, используя первую интерполяционную формулу Ньютона.

2. Основные теоретические положения

Материал по этой теме приведён в разделе 3 (с.19 – 22) и разделе 4 (с.84 – 87).
Здесь следует добавить, что для проверки правильности вычислений конечных разностей удобно использовать их свойство: сумма чисел в каждом столбце разностей равна разности крайних членов предыдущего столбца. Сумма всех разностей первого порядка определяется следующим образом:

13 EMBED Equation.3 1415 (1)

Например, для n = 5: ( y1 + y2 + y3 + y4 + y5) – (y0 + y1 + y2 + y3 + y4) = y5 - y0.

Аналогично, для разностей других порядков будем иметь:

13 EMBED Equation.3 1415 (2)


Первая интерполяционная формула Ньютона
для равноотстоящих узлов интерполяции

Вычисление значений функции для значений аргументов, лежащих в начале таблицы, удобно проводить, пользуясь первой интерполяционной формулой Ньютона. В этом случае интерполяционный многочлен представляют в виде:
F(x) = Pn(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x –x0)(x – x1) +
+ a3(x –x0)(x- x1)(x-x2) + ... + an(x –x0)(x- x1)(x-x2)(x –xn-1), (3)

при этом неизвестные значения коэффициентов a0, a1, a2, , an вычисляют по формуле
13 EMBED Equation.3 1415 (i = 0, 1, 2, , n), (4)
то есть
при i = 0 13 EMBED Equation.3 1415, [0!=1,
·0y0 = y0],
при i = 1 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415,
при i = 2 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415, и т. д.

Обратите внимание, что 13 EMBED Equation.3 1415. (5)

После подстановки найденных коэффициентов ai в выражение (3), получают первую интерполяционную формулу Ньютона:

(6)

Пример.
Используя первую интерполяционную формулу Ньютона, построить интерполяционный многочлен для функции, заданной таблицей (табл. 1). При составлении таблицы конечных разностей контролировать правильность вычислений.

Таблица 1
xi
yi

0
8,5

1
10,5

2
12,0

3
13,5

4
14,5

5
15,5



Решение.

·Степень многочлена определяется порядком конечных разностей, т.е. для рассматриваемого примера интерполяционный многочлен будет иметь вид
F(x) = Pn(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x –x0)(x – x1) + a3(x –x0)(x- x1)(x-x2) +
+ a4(x –x0)(x- x1)(x-x2)(x –x3) + a5(x –x0)(x- x1)(x-x2)(x –x3) (x-x4) (7)
или
13 EMBED Equation.3 1415 (8)
Вычисление конечных разностей, значений коэффициентов интерполяционного многочлена (особенно высокого порядка), а также значений функции для заданных значений аргументов удобно выполнять в электронной таблице (рис. 1), так как «вручную» выполнять подобные вычисления долго и утомительно.


Режим вычислений

Рис. 1
В верхнюю часть таблицы следует ввести исходные данные: значение шага интерполяции h, который по условию равен 1, значения аргумента x и соответствующие им значения функции f(x), а также значение аргумента x = 2,5, для которого требуется вычислить значение заданной функции, с помощью построенного интерполяционного многочлена.
Реализация вычисления конечных разностей выполняется, как показано в таблице. Значения конечных разностей и значение f(x0), которые будут использованы в вычислениях по формуле (2), выделены в таблице полужирным начертанием. Правильность полученных конечных разностей подтверждают результаты вычислений, выполненные по формуле (2) (в ячейках D11 и С12, Е11 и D12 и т.д.).
Вычисление коэффициентов интерполяционной формулы (7) целесообразно выполнять, используя свойство (5)
13 EMBED Equation.3 1415,
а именно:
i = 0 13 EMBED Equation.3 1415
i = 1 13 EMBED Equation.3 1415
i = 2 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 (9)
i = 3 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
I = 4 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
i = 5 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415.

Для этого в блоке ячеек В16:В20 реализовано вычисление промежуточных значений коэффициентов таким образом, чтобы каждый последующий элемент столбца получался из предыдущего, умножением на 13 EMBED Equation.3 1415. Это позволит при необходимости легко настраивать полученную таблицу на решение задач любой размерности.
В блоке ячеек D16:D20 вычисляются значения коэффициентов интерполяционного многочлена a0, a1, , a5 (8), путем умножения значений f(x0), и конечных разностей, полученных в блоке С5: H5 на соответствующие им значения промежуточных коэффициентов (В16:В20).
В соответствии с (7), каждый коэффициент a1, a2, a3, a4, a5 соответственно требуется умножить на (x –x0), (x –x0)(x- x1), (x –x0)(x- x1)(x-x2), (x –x0)(x- x1)(x-x2)(x –x3) (x-x4). Поэтому в блоке ячеек I5: I10 предусмотрено вычисление значений (x-xi), которые затем используются для вычисления их произведений в блоке Н16:Н20, причем каждый последующий элемент получается из предыдущего.
В блоке ячеек I15: I20 выполняется вычисление значений каждого члена интерполяционного многочлена, просуммировав которые получается значение интерполяционного многочлена для x = 2,5.
Таким образом, получено выражение интерполяционного многочлена:

F(x) = P5(x) = 8,5 + 2(x-0) - 0,25(x-0)(x-1) + 0,08(x-0)(x-1)(x-2) –
-0,04(x-0)(x-1)(x-2)(x-3) + 0,02(x-0)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4). (10)

Коэффициенты многочлена, полученные при ручном счете по формуле (9), совпадают со значениям коэффициентов, полученными в Excel (см. столбец D15:D20).
Значение F(2,5) = 12,78 (получено в ячейке I21). Подставив значение x = 2,5 в (10), получим:

F(2,5) = P5(2,5) = 8,5 + 2(2,5-0) - 0,25(2,5-0)(2,5-1) + 0,08(2,5-0)(2,5-1)(2,5-2) –
-0,04(2,5-0)(2,5-1)(2,5-2)(2,5-3)+0,02(2,5-0)(2,5-1)(2,5-2)(2,5-3)(2,5-4) = 12,78.
Значение F(x) при x = 2,5 при ручном счете и вычислениями в Excel совпадают.
На рис. 2 показана таблица, представленная в режиме формул, в которой алгоритм описанных вычислений становится более наглядным.
Режим формул
Рис. 2.
При использовании электронных таблиц не представляет сложности вычисление значений многочлена для других значений х. Для этого достаточно в ячейке I2 изменить значение х, и мгновенно получим новое значение многочлена. Так же быстро можно изменить исходные значения аргумента х и соответствующие им значения функции y. Для этого в блоки ячеек В5:В10 и С5:С10 – следует ввести новые значения.
Заполнять таблицу тоже достаточно просто, если разумно использовать абсолютную и относительную адресацию ячеек, на которые делаются ссылки в формулах, т.е. применять автозаполнение столбцов и строк. Настроить таблицу на построение многочленов более высоких порядков тоже не сложно, вставив в нужном месте нужное количество строк и столбцов и заполнить нужные ячейки автозаполнением.
·

3. Порядок выполнения работы

Задание
1. Выполнить решение примера индивидуального контрольного задания по шести первым точкам (с.77), используя первую интерполяционную формулу Ньютона.
1.4. Реализовать вычисление коэффициентов интерполяционного многочлена средствами MS Excel.


Лабораторная работа 2

Приближенное решение уравнений.
Отделение корней. Уточнение корней методом касательных.

1. Цель работы

Ознакомление с численными методами решения конечных уравнений.

2. Основные теоретические положения

Пусть дано уравнение f(x) = 0, где f(x) – непрерывная функция на некотором отрезке. Корни этого уравнения x*– те значения аргумента x, которые обращают уравнение в тождество. Найти приближенное значение корня x* с точностью
· означает указать интервал длиной не более
·, содержащий значение корня x.
При отыскании приближенных значений корней уравнения приходится решать две задачи:
1) отделение корней, т.е. выделение интервалов из области непрерывности функции, в каждом из которых заключен только один корень уравнения;
2) уточнение корня, т.е. построение итерационного процесса, позволяющего сузить границы выделенного интервала до значения заданной точности.

2.1. Отделение корней

Графический метод отделения корней

При графическом методе можно построить график функции для уравнения вида f(x) = 0. Значения действительных корней уравнения являются абсциссами точек пересечения функции y = f(x) с осью х.

Пример. Отделить корни уравнения x3 - 8x + 2 = 0 графическим методом, где x13 EMBED Equation.3 1415[-3, 3].
Решение.


·Для отделения корней можно построить график функции y = x3 -8 x + 2 (рис. 1), задав шаг изменения аргумента, например, равным 1. График удобно строить средствами Excel, используя Мастер диаграмм. Значениями действительных корней уравнения являются точки пересечения графика функции с осью x. Из графика видно, что корни находятся на интервалах [-3; -2], [0; 1] и [2; 3]. Если задать шаг изменения аргумента меньше выбранного, можно сузить границы интервалов.
·


Рис. 1

Аналитический метод отделения корней

Для отделения действительных корней непрерывных функций следует помнить следующее:

если функция f(x) непрерывна на интервале [a, b] и имеет на концах интервала [a, b] одинаковые знаки (т.е. f(a)·f(b) > 0), то на этом интервале имеется четное число корней или их нет (рис. 2);
! нельзя забывать, что корнем функции может быть не только точка пересечения графика функции f(x) с осью x, но и его касание с осью x (рис. 3). В этом случае монотонность функции нарушается.



Рис. 2 Рис. 3

если функция f(x) непрерывна на интервале [a, b] и имеет на концах интервала [a, b] разные знаки (т.е. f(a)·f(b) < 0), то на этом интервале имеется нечетное число корней (рис. 4, 5);

Рис. 4 Рис. 5

! Разные знаки функции на концах интервала указывают на наличие корня на интервале [a, b], но не гарантируют его единственности.

если функция f(x) непрерывна на интервале [a, b], монотонна и ее значения на концах интервала имеют разные знаки (f(a)·f(b) < 0), то уравнение на этом интервале имеет единственный корень.
Из этого следует, что для единственности корня на участке [a, b] достаточно, чтобы выполнялись условия: f(a)·f(b) < 0, а f'(x) была знакопостоянна для любого x, принадлежащего [a, b].
! иногда для единственности корня бывает достаточно и знакопостоянства второй производной.

Таким образом, чтобы отделить все корни уравнения, следует:

найти промежуток, где f(a)·f(b) < 0, а f'(x) или f''(x), или и f'(x), и f''(x), были знакопостоянны;
отыскать нули и точки разрыва f'(x) и проверить, не являются ли они корнями уравнения.

Пример (продолжение).
·Отделить все действительные корни уравнения f(x) = 0 на отрезке [-3, 3]:
f(x) = x3 - 8x +2 = 0.
Решение.
Вычислим значения функции f(x) на концах отрезка [-3, 3]:

f(-3) = (-3)3 - 8·(-3) + 2 = -1, f(3) = (3)3 - 8·3 + 2 = 5.

f(-3)
·f(3) < 0, поэтому на отрезке [-3, 3] имеется или один корень, или нечетное число корней.
f'(x) = 3x2 - 8 – непрерывна. Для определения интервалов монотонности f(x) найдем значения x, при которых f'(x) = 0. f'(x) = 3x2 – 8 = 0 при x = 13 EMBED Equation.3 1415
· ±1,633.
Таким образом, можно отделить следующие интервалы монотонности функции f(x): [-3; -1,633], [-1,633; 1,633], [1,633; 3] и на каждом из этих интервалов отделено по одному корню уравнения.
Для наглядности вычислим значения f(x) и f'(x) на концах этих промежутков (табл. 1). f'(x) = 3x2 – 8.
Таблица 1


Другие методы отделения корней

Для отделения корней можно использовать табулирование функции f(x), задав некоторые значения аргумента на рассматриваемом промежутке (табл. 3) и вычислив для них значения f'(x), f''(x). Таблица 3


Задав шаг табулирования функции меньше выбранного, можно получить более точные интервалы отделения корней.
Функция f(x) меняет знаки на отрезках [-3, -2], [0, 1], [2, 3], следовательно, на этих отрезках отделены корни уравнения. На каждом из них отделено по одному корню уравнения, так как на отрезке [-3, -2] и f '(x), и f''(x) не меняют знак, на отрезке [0, 1 ] f '(x) не меняет знак, на отрезке [2, 3] и f '(x), и f''(x) не меняют знак.
·
Метод касательных (Ньютона)

Уточнение корней – это доведение их до заданной степени точности. Существует несколько методов уточнения корней: метод половинного деления, метод хорд, метод касательных, комбинированный метод хорд и касательных, метод итераций. Рассмотрим уточнение корней методом касательных.
В дальнейшем будем считать, что функция f(x) непрерывна на промежутке [a, b], искомый корень х* отделен на этом промежутке и является единственным.

Суть метода касательных заключается в том, что на промежутке [a, b] дуга кривой y = f(x) заменяется касательной к этой кривой. За приближенное значение корня принимается точка пересечения касательной с осью х (рис. 6, 7). Возможны следующие варианты:
Вариант 1. f(a) < 0, f(b) > 0, f'(x) > 0, f''(x) > 0, т.е. функция монотонно-возрастающая, график функции – выпуклый вниз (рис. 6). Касательная к кривой в точке b пересекает ось х в точке с1, которая и принимается за первое приближение корня х1. Уравнение касательной к кривой в точке b есть
13 EMBED Equation.3 1415 (1)

Найдем значение x = x1, для которого y = 0.
13 EMBED Equation.3 1415

Эта формула носит название формулы метода касательных.





Рис. 6 Рис. 7

Теперь корень (первое приближение) находится внутри отрезка [a, c1]. Если значение корня не устраивает, его можно уточнить, применяя метод касательных к отрезку [a, c1]: построим касательную к кривой в точке с1. Она пересекает ось х в точке с2. Точка пересечения касательной с осью х, принимается за второе приближение корня
· х2.
13 EMBED Equation.3 1415
Продолжая этот процесс, находим
13 EMBED Equation.3 1415 (2)

Процесс уточнения продолжается до тех пор, пока не будет получен приближенный корень с заданной точностью
·, т.е. до тех пор, пока корень не будет отделен на отрезке [xn-1 - xn], для которого выполняется условие
|xn-1 - xn | <
·.

По формуле (2) корни вычисляются и для случая, когда f(a) > 0, f(b) < 0, f'(x) < 0, f''(x) < 0, т.е. функция монотонно-убывающая, а график функции – выпуклый вверх (рис. 7).

Вариант 2. f(a) > 0, f(b) < 0, f'(x) < 0, f''(x) > 0, т.е. функция монотонно-убывающая, а график функции – выпуклый вниз (рис. 8).
Касательная к кривой в точке f(а) пересекает ось х в точке с1, которая принимается за первое приближение корня х1. Уравнение хорды есть

13 EMBED Equation.3 1415 (3)



Рис. 8 Рис. 9

Найдем значение x = x1, для которого y = 0.

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
или в общем виде
13 EMBED Equation.3 1415. (4)

Процесс уточнения продолжается до тех пор, пока не будет получено приближенное значение корня с заданной точностью
·.
По формуле (4) корни вычисляются и для случая, когда f(a) < 0, f(b) > 0, f'(x) > 0, f''(x) < 0, т.е. функция монотонно-возрастающая, график функции – выпуклый вверх (рис. 9).

На основании полученных выражений можно сформулировать правило: за исходную точку следует выбирать тот конец отрезка, для которого знак функции совпадает со знаком второй производной. В первом случае f(b)· f''(x) > 0, в качестве начального приближения берем точку b = x0 и используем формулу (2); во втором случае – f(a)· f''(x) > 0, в качестве начального приближения берем точку a = x0 и используем формулу (4).
Пример (продолжение).
·Уточнить корни уравнения f(x) = x3 -8x + 2, отделенные на отрезках [-3, -2], [0, 1], [2, 3] методом касательных с точностью
· = 0,005.
Решение.
1) Уточним корень уравнения f(x) = x3 -8x + 2, отделенный на отрезке [-3, -2].
f(a) = f(-3) = -1, f(b) = f(-2) = 10, f'(x) > 0, f''(x) < 0 (см. табл. 3 и рис. 9), поэтому в качестве начального приближения возьмем точку a = -3 и используем для вычислений формулы (3) и (4), вспомогательные вычисления выполним в таблице (табл. 4) или реализуем в таблице Excel (рис. 11, 11-а).


Рис.10(режим решения)


Рис. 10-а (режим формул)

13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 |-2,947 – (-3)| = 0,053;
0,053 > 0,005.
13 EMBED Equation.3 1415 |-2,946 – (-2,947)| = 0,001;
0,001 < 0,005,
следовательно, x = -2,946
· первый искомый корень уравнения f(x) = x3 -8x + 2, вычисленный методом касательных с точностью
· = 0,005.
·

3. Порядок выполнения работы

Задание 1
1. Отделить корни уравнения контрольного задания (с.78) аналитическим способом, реализовав вычисления, представленные в табл. 1 в Excel.
2. Отделить корни уравнения контрольного примера графическим способом, используя Мастер функций Excel (рис. 1).
3. Отделить корни уравнения контрольного примера графическим способом, уменьшив шаг изменения аргумента в два раза.
4. Отделить корни уравнения контрольного примера средствами Excel, используя табулирование функции на заданном интервале (табл. 3).
5. Отделить корни уравнения контрольного примера средствами Excel, используя табулирование функции на заданном интервале, уменьшив шаг табулирования в два раза.
6. Уточнить корни уравнения примера индивидуального задания на отделенных ранее интервалах




Лабораторная работа 3

Уточнение корней уравнения средствами Excel.
Решение системы уравнений в Excel.

1. Цель работы

Ознакомление с методами уточнения корней уравнения, используя команды Подбор параметра и Поиск решения Excel.

2. Основные сведения

В Excel используются численные методы для вычисления корней уравнения, заключающиеся в постепенном приближении приближенного решения к точному решению до достижения погрешности, не превышающей 0,0001 (1000 итераций). Найти корень можно, используя команды Сервис – Подбор параметра или Сервис – Поиск решения.

Пример. Уточнить корень уравнения x3 - 8x + 2 = 0, отделенный на интервале [-3, -2].

Решение.
1) Использование команды Подбор параметра.

·Найдем корень уравнения отделенный на интервале [-3, -2]. За начальное приближение корня примем -3 – левый конец интервала, на котором отделен корень. Решение будем искать с помощью команды Сервис – Подбор параметра. Для решения уравнения построим таблицу. В ячейку В3 введем начальное приближение корня, а ячейку В4 – формулу (левую часть уравнения) (рис.1).


Рис. 1

Выполним команду Сервис – Подбор параметра. Появится диалоговое окно Подбор параметра (рис. 2).




Введем в поле Установить в ячейке адрес ячейки В4, в поле Значение – правую часть уравнения, т.е. 0, в поле Изменяя значение – номер ячейки В3. Нажмем ОК. Появится диалоговое окно Результат подбора параметра (рис. 3).


Рис. 3

Если найденное решение устраивает, следует нажать кнопку ОК, если нет – нажать кнопку Отмена. При этом произойдет возврат к исходным значениям. Нажмем кнопку ОК. В рассматриваемом примере найденное значение корня равняется -2,95.
Если за начальное приближение принять другой конец интервала, на котором отделен корень, т. е. -2, и снова решить задачу, выбрав команду Сервис – Подбор параметра (рис. 4), будем иметь тот же результат (рис. 3).


Рис. 4

Использование команды Поиск решения.

Построим таблицу, как показано на рис. 5. Введем в ячейку В4 формулу левой части уравнения. В ячейку В3 в качестве начального приближения корня введем значение левого конца интервала, т.е. -3 (можно правого). В ячейку В5 введем значение нижней границы интервала, а в ячейку В6 – значение верхней границы интервала.

Рис. 5

Выполним команду Сервис – Поиск решения. Появится диалоговое окно Поиск решения (рис. 6).


Рис. 6

В поле Установить целевую ячейку введем В4. Установим переключатель Равной в положение значению 0. В поле Изменяя ячейки введем имя В3.
В поле Ограничения введем: В3 > B5, B3 < B6 (рис. 7). Нажмем кнопку Выполнить. Получим решение (Рис. 8).
Как видно, значение корня, полученное при использовании команд Подбор параметра и Поиск решения, совпадают.
·


Рис. 7


Рис. 8


Пример. Решить систему уравнений 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, используя команду Поиск решения.

Решение.

·Построим таблицу, представленную на рис. 9, 9-а. Введем в нее коэффициенты данной системы уравнений, левые и правые части. Отведем ячейки А8:В8 для хранения корней уравнения.


Режим решения
Рис. 9


Режим формул
Рис. 9-а

Выполним команду Сервис – Поиск решения. Введем в поле Изменяя ячейки диалогового окна Поиск решения блок ячеек А8:В8, в поле Ограничения – С4:С5 = D4:D5 (рис. 10). Нажмем кнопку Выполнить.


Рис. 10

В ячейках А8:В8 получим значения корней: x1 = 2,02; x2 = -0,09 (рис. 11).
·


Рис. 11
3. Порядок выполнения работы

Задания

1. Уточнить корни уравнения индивидуального задания на отделенных ранее интервалах, используя команды Подбор параметра и Поиск решения.

Лабораторная работа 4

Приближенное интегрирование функций с заданным шагом

1. Цель работы

Изучение способов приближенного интегрирования функций с заданным шагом.

2. Основные теоретические положения

Обычный прием приближенного интегрирования состоит в том, что подынтегральную функцию f(x) на рассматриваемом отрезке [a, b] заменяют полиномом F(x), а затем приближенно полагают, что
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415. (1)
Основу алгоритмов вычисления определенного интеграла
I = 13 EMBED Equation.3 1415
составляет геометрический смысл его значения как площади криволинейной трапеции, ограниченной подынтегральной кривой f(x), осью абсцисс и ординатами f(a) и f(b). Для вычисления площади интервал интегрирования [a, b] разбивают на подынтервалы и строят на них или прямоугольники, или трапеции, или параболы, вычисляют площади этих фигур, а затем суммируют. Наиболее удобным оказывается разбиение на подынтервалы равной длины h, которые называются шагом интегрирования.
Широко известными методами, используемыми для приближенных расчетов, являются методы прямоугольников, трапеций, парабол.

2.1. Метод прямоугольников

Для получения формулы прямоугольников интервал интегрирования [a, b] разбивается на n подынтервалов равной длины (шагов) точками: x0 = a, x1, x2, , xi, xi+1, , xn = b так, что
xi+1 - xi = h =13 EMBED Equation.3 1415, i = 1, 2, , n. (2)

На этих подынтервалах строятся прямоугольники, высота их определяется значением функции f(x) в какой либо точке подынтервала.
Если f(xi) определяется для левой границы каждого подынтервала (рис. 2.1), то формула прямоугольников имеет следующий вид:
I1 = 13 EMBED Equation.3 1415
· 13 EMBED Equation.3 1415 (3)

и называется формулой левых прямоугольников.
Если f(xi) определяется для правой границы каждого подынтервала (рис. 2), то

I2 = 13 EMBED Equation.3 1415
· 13 EMBED Equation.3 1415 (4)
и называется формулой правых прямоугольников.

Рис. 1 Рис. 2

Если функция монотонна на отрезке [a, b], то в одном случае получается значение интеграла I с недостатком I1, а в другом – с избытком I2. Более точное значение I получают при усреднении величин:
I = 13 EMBED Equation.3 1415. (5)
Если f(xi) определяется для середины каждого подынтервала, то формула прямоугольников имеет следующий вид:
I3 = 13 EMBED Equation.3 1415
· 13 EMBED Equation.3 1415 (6)
и называется формулой средних прямоугольников.

Точность интегрирования для этих методов приближенно равняется
·
· h.

Пример.
С помощью формул левых, правых и средних прямоугольников вычислить 13 EMBED Equation.3 1415, если h = 0,2.

Точное решение: 13 EMBED Equation.3 1415

·Вычисление интеграла 13 EMBED Equation.3 1415 методом прямоугольников выполним в таблице Excel (рис. 3, 3-a).

Значения интервала интегрирования [0, 1] соответственно поместить в ячейки B3 и F3. Интервал интегрирования разобьем на 5 подынтервалов (n = 5). Введем значение n в ячейку В2. Шаг интегрирования вычислим в ячейке F2 по формуле
h =13 EMBED Equation.3 1415 h = 13 EMBED Equation.3 1415.


Рис. 3 (Режим решения)


Режим показа формул
Рис. 3 - а

I) Для приближенного вычисления интеграла по формуле левых прямоугольников (3) требуется вычислить значения функции f(x) = 3x2 - 4x в точках (2):
x0 = a=0;
x1= x0 + h= 0+0,2 =0,2 ;
x2 = x1 + h = 0,2 + 0,2 = 0,4;
x3 = x2+h = 0,4 + 0,2 = 0,6;
x4 = x3+h = 0,6 + 0,2 = 0,8.
Вычисление значений x0, x1, x2, x3, x4, представлено в блоке ячеек B6:B10, а соответствующие им значения функции – в блоке ячеек С6:С10.
Затем следует вычислить их сумму (в ячейке С11) и полученное значение умножить на шаг интегрирования h(в ячейке С12):

I =.


II) Для приближенного вычисления интеграла по формуле правых прямоугольников (4) требуется вычислить значения функции f(x) = 3x2 - 4x в точках:
x1= x0 + h= 0 + 0,2 = 0,2 ;
x2 = x1 + h = 0,2 + 0,2 = 0,4;
x3 = x2+h = 0,4 + 0,2 = 0,6;
x4 = x3+h = 0,6 + 0,2 = 0,8.
x5 = x4+h = 0,8 + 0,2 = 1,0.
Вычисление значений x1, x2, x3, x4, x5 представлено в блоке ячеек Е6:Е10, а соответствующие им значения функции – в блоке ячеек F6:F10.
Затем следует вычислить их сумму (в ячейке F11) и полученное значение умножить на шаг интегрирования h(в ячейке F12):
Приближенное значение интеграла, вычисленное по формуле левых прямоугольников равно -0,88, а по формуле правых прямоугольников равно -1,08.
Их среднее значение ближе к точному, равному -1.
13 EMBED Equation.3 1415
III) Для приближенного вычисления интеграла по формуле средних прямоугольников (5) требуется вычислить значения функции f(x) = 3x2 - 4x в точках:
(xi-1+ xi)/2 (блок ячеек G6:H12), их сумму (ячейка H11), полученное значение умножить на шаг интегрирования h (ячейка H12).

Разбивая интервал интегрирования на большее число отрезков, например, на 10, можно получить более точное решение (рис. 4).
·


Рис. 4

2.2. Метод трапеций

Для получения формулы трапеций интервал интегрирования [a, b] разбивается на n подынтервалов равной длины (шагов) точками: x0 = a, x1, x2, , xi, xi+1, , xn = b так, что
xi+1 - xi = h =13 EMBED Equation.3 1415, i = 1, 2, , n.

На каждом отрезке (xi, xi+1) дугу Xi Xi+1 графика подынтегральной функции y = f(x) заменяют стягивающей ее хордой (рис. 2.5) и вычисляют площади трапеций xiXi Xi+1xi+1, высота которых равна h, а основания определяются значением функции f(xi), f(xi+1).

Рис. 2.5

Так как площадь трапеции равняется полусумме оснований, умноженной на высоту, интеграл приближенно равен сумме площадей всех полученных трапеций:
13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415[f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2)++ + 2f(xn-1) + f(xn)]=
=13 EMBED Equation.3 1415 [f(xa) + 2f(x1) + 2f(x2)++ + 2f(xn-1) + f(xb)]=
=13 EMBED Equation.3 1415[ f(xa) + f(xb) + 13 EMBED Equation.3 1415]. (7)

Таким образом, формула трапеций имеет вид:

I = 13 EMBED Equation.3 1415
· 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. (8)

Точность интегрирования для этого метода приближенно равняется
·
· h2.

Пример (продолжение).
·Пользуясь формулой трапеций, вычислить 13 EMBED Equation.3 1415 при h = 0,2.
Решение. Вычисление интеграла 13 EMBED Equation.3 1415 методом трапеций (8) выполним в таблице Excel (рис. 6, 6-а).




Режим решения
Рис. 6


· = -0,68 -1,12 -1,32 -1,28 = -4,4 I = 0,1·[(0-1)-2·4,4] = -0,98



Режим показа формул
Рис. 6 - а


Разбивая интервал интегрирования на большее число отрезков, например, на 10, можно получить более точное решение (рис. 7).


Рис. 7




2.3. Метод парабол (Симпсона)

Для получения формулы парабол функция f(x) на интервале (xi, xi+1) заменяется параболой, проходящей через три точки кривой с абсциссами

xi, (xi +xi+1)/2, xi+1 (xi, xi+h, xi+2h) (рис. 2.8).

Весь интервал интегрирования при этом разбивается на четное число отрезков (n = 2m).

Рис. 8

Формула парабол имеет вид:
I = 13 EMBED Equation.3 1415
·
13 EMBED Equation.3 1415


Пример.
·Пользуясь формулой парабол, вычислить 13 EMBED Equation.3 1415 при n = 10.
Решение.
h = 13 EMBED Equation.3 1415 Вычисление интеграла 13 EMBED Equation.3 1415 выполним в таблице Excel (рис. 9, 9-а).


Режим решения
Рис. 9


·1 = -0,37- 0,93-1,25-1,32-1,17 = -5,05
·2 = -0,68 -1,12 -1,32-1,28 = -4,4


· = (0- 1) + 4·(-5,05) +2·(-4,4) = -30,00
· = 0,033 · (-30) = 1.


Режим формул
Рис. 9 - а

3. Порядок выполнения работы

1. Вычислить интеграл индивидуального задания всеми описанными методами в Excel с числом шагов, равным 5. При реализации решения в Excel увеличить число шагов в два раза, в три раза. Сравнить результаты вычислений, полученные при использовании данных методов с точным решением.

Лабораторная работа 5

Решение дифференциальных уравнений методом Эйлера

1. Цель работы

Изучение метода Эйлера для интегрирования дифференциальных уравнений.
2. Основные теоретические положения

Решить дифференциальное уравнение y' = f(x, y) численным методом –значит для заданной последовательности аргументов x0, x1, , xn и числа y0, не определяя функцию y = F(x), найти такие значения у1, у2, , yn, что yi = F(xi) (i = 1, 2, , n) и F(x0) = y0. Другими словами, численные методы позволяют вместо нахождения функции y = F(x), получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h = xk – xk-1 называется шагом интегрирования.
Для решения данной задачи используются различные численные методы, среди которых наиболее простым является метод Эйлера.
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

y' = f(x, y) (1)
с начальными условиями
x = x0, у(x0) = y0.

Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [a, b].

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность x0, x1, , xn, где xi = x0 + i·h (i = 1, 2, , n), а h = (b – a)/n – шаг сетки. Величина h =
· xm = xm+1 - xi обычно выбирается постоянной и достаточно малой. При численном решении задачи вычисляются приближенные значения yi (xi)
· yi в узлах сетки xi (i = 1, 2, , n).
Идея метода состоит в том, что при малом шаге сетки h производная искомой функции y'(xi) может быть приближенно заменена конечными разностями

13 EMBED Equation.3 1415 (2)
где yi – значение функции в узле xi.
Тогда y'(xi)
·h = yi+1 - yi, отсюда yi+1 = yi+ y'(xi)
·h, а, так как y'(xi) = f(xi, yi), то

yi+1 = yi + h·f(xi,yi). (3)

Т.е. на каждом отрезке [xi, xi+1] выражение (1) можно заменить приближенным выражением (3).
Зная начальное значение y0, и используя соотношение (3), можно последовательно от узла xi к узлу xi+1 определить все искомые значения yi+1.
На практике, как правило, применяют «двойной просчет». Сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h/2 и
т.д.
Для достижения требуемой точности
· численного решения необходимо выполнение условия: |y2n - yn| <
·.

Пример 1.
·Используя метод Эйлера, составить на отрезке [0, 1] таблицу значений решения дифференциального уравнения
13 EMBED Equation.3 1415
с начальными условиями x0 = 0, y0 = 1, выбрав шаг h = 0,2.

Решение.
Результаты вычислений представим в таблице Excel (рис.1). Заполняется она следующим образом:
1) В первую строку, соответствующую значению i = 0, запишем начальные условия: x0 = 0, y0 = 1. По ним вычислим значение f(x0, y0):
13 EMBED Equation.3 1415
а затем значение
·y0. Из (2) и (1) имеем


·y0 = y'(x0)
·
·x0 = y'(x0)
·h = f(x0, y0)
·h,

следовательно,
·y0 = h
·f(x0, y0) = 0,2
·1 = 0,2. Отсюда по формуле (3) для i = 0 получим
y1 = y0 + h
·f(x0, y0) = y0+
·y0 = 1 + 0,2 = 1,2.

2) Значение x1 = x0 + h = 0 + 0,2 = 0,2 и соответствующее ему значение y1 =1,2 запишем во вторую строку таблицы, соответствующую i = 1.
Для x1 = 0,2 и y1 = 1,2 вычислим f(x1, y1).

13 EMBED Equation.3 1415

Затем вычислим
·y1 = h
·f(x1, y1) = 0,2
·0,8667 = 0,1733.

Тогда по формуле (3) для i = 1 получим

y2 = y1 + h
·f(x1, y1) = y1+
·y1 = 1,2 + 0,1733 = 1, 3733.

3) Значения x2 = x1 + h = 0,2 + 0,2 = 0,4 и соответствующее ему значение y2 =1,3733 запишем в третью строку таблицы (i = 2).

Аналогично следует выполнить вычисления для i = 2, 3, 4, 5 (см. рис. 1).
·
·



Режим формул


Режим решения
Рис. 1

Метод Эйлера легко распространяется на решение дифференциальных уравнений высших порядков. Для этого такое дифференциальное уравнение надо предварительно привести к дифференциальному уравнению первого порядка.

Пусть дано дифференциальное уравнение

y'' = f(x, y, y') (4)
с начальными условиями
x = x0, у(x0) = y0, у'(x0) = y'0.

Требуется найти решение уравнения (4) на отрезке [a, b].

С помощью подстановки y' = z, y'' = z' заменим уравнение (4) системой уравнений
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 (5)


Таким образом, f1(x, y, z) = z, f2(x, y, z) = f(x, y, z) и задачу можно записать в общем виде:
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 (6)

Аналогично можно свести к системе дифференциальных уравнений и уравнения более высокого порядка.

Пример 2.
·Используя метод Эйлера, составить на отрезке [1; 1,5] таблицу значений решения дифференциального уравнения
13 EMBED Equation.3 1415 (7)
с начальными условиями y = 0,77, y' = -0,44 и выбрав шаг h = 0,1.

Решение. С помощью подстановки y' = z, y'' = z' заменим уравнение (7) системой уравнений
y' = z, 13 EMBED Equation.3 1415
с начальными условиями y0(1) = 0,77 и z0 = -0,44.
Таким образом,
f1(x, y, z) = z, f2(x, y, z) = 13 EMBED Equation.3 1415

Результаты вычислений по формулам (6) запишем в таблице Excel (рис. 2). Заполняется она следующим образом:
в первую строку i = 0 запишем начальные условия: x0 = 1,0, y0 = 0,77, z0 = -0,44.

Используя их, вычислим
f10(x0, y0, z0) = z0 = -0,44,

f20(x0, y0, z0) = 13 EMBED Equation.3 1415
а затем


·y0 = h
·f10 = 0,1
·(-0,44) = -0,044, y1 = y0 +
·y1 = 0,77 + (-0,044) = 0,726,


·z0 = h
·f20 = 0,1
·(-0,33) = -0,033, z1 = z0 +
·z1 = -0,44 + (-0,033) = -0,473.

Таким образом, во вторую строку таблицы, соответствующую i = 1, можно записать:
y1 = 0,726, z1 = -0,473.

По этим значениям можно вычислить

f11(x1, y1, z1) = z1 = -0,473,

f21(x1, y1, z1) = 13 EMBED Equation.3 1415
а затем


·y1 = h
·f11 = 0,1
·(-0,473) = -0,047, y2 = y1 +
·y1 = 0,726 + (-0,047) = 0,679,


·z1 = h
·f21 = 0,1
·(-0,296) = -0,030, z2 = z1 +
·z1 = -0,473 + (-0,030) =-0,503.

Аналогично следует выполнять вычисления для i = 2, 3, 4, 5 (см. рис. 2).
·

Режим формул



Режим решения
Рис. 2

3. Порядок выполнения работы

1. Выполнить решение примера индивидуального задания (с.79) в Excel.

4.3. Блок текущего контроля

4.3.1. Репетиционный тест по разделу 1
1. Вычислите и определите погрешность результата 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Воспользуйтесь расчетными формулами для абсолютной 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и относительной 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 погрешностей приближённого числа: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
A.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

B.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

C.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

D.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415


2. Укажите, сколько узловых точек нужно иметь для построения интерполяционного многочлена Ньютона пятой степени.
A.
3

B.
4

C.
5

D.
6


3. Постройте интерполяционный полином третьей степени для функции, заданной таблицей. Найдите приближённое значение функции13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с помощью полученного полинома.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
0,5
0,7
0,9
1,1

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
0,6915
0,7580
0,8159
0,8643

A.
0,5749

B.
0.0176

C.
1,126

D.
0,771206


4. Определите, сколько положительных корней иметь уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
A.
B.
C.
D.
E.

3
2
1
0
13 EMBED Equation.DSMT4 1415


5. Отделите вещественный корень уравнения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и найдите его приближённое значение.
A.
1,516

B.
-1,516

C.
1,496

D.
1,389


6. Вычислите приближённо определённый интеграл 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 за шесть шагов методом Симпсона и оцените погрешность вычисления.
A.
0,4041339±0,0000167

B.
0,404±0,00001

C.
0,40413±0,00001

D.
0,40±0,01


7. Проинтегрируйте методом Эйлера уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с начальным условием 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на отрезке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с шагом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Верный ответ:



ОТВЕТЫ
1. А, B; 2. D; 3. D; 4. D; 5. A; 6.A;

4.3.2. Репетиционный тест по разделу 2
1. Вычислите модуль и главное значение аргумента к.ч. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
A.
5; 53,130

B.
-5; 53,130

C.
5; -53,130

D.
-5; -53,130

2. Выделите вещественную и мнимую части функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
A.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

B.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

C.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

D.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

3. Вычислите производную функции f(z) в точке = i, если f(z) = Sin z.
A.
1,543

B.
-1,543

C.
-3,14

D.
3,14

4. Найдите регулярную функцию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если известна её мнимая часть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
A.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

B.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

C.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

D.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

5. Вычислите интеграл 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
A.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

B.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

C.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

D.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

6. Вычислите интеграл 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – участок параболы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на отрезке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
A.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

B.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

C.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

D.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415


7. Вычислите интеграл 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – произвольный замкнутый контур, обходящий точку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в положительном направлении.
A.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

B.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

C.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

D.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415


8. Разложите функцию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в степенной ряд 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, используя известное разложение для 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

A.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

B.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

C.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

D.
1


9. Найдите особые точки функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

A.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – полюсы 1-го порядка; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – полюс 2-го порядка;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – существенно особая точка

B.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – существенно особые точки; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – полюс 2-го порядка; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – существенно особая точка

C.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – полюсы 1-го порядка; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – полюс 2-го порядка;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – полюс 1-го порядка

D.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – полюсы 1-го порядка; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – полюс 1-го порядка;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – существенно особая точка


10. Вычислите вычеты функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 относительно точек 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
A.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – полюс 1-го порядка; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – полюс 2-го порядка

B.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – полюс 1-го порядка; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – полюс 2-го порядка

C.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – полюс 1-го порядка; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – полюс 2-го порядка

D.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – полюс 1-го порядка; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – полюс 2-го порядка


ОТВЕТЫ
1.C; 2.B; 3.A; 4.A,C; 5.D; 6.B; 7.B; 8.A; 9.A; 10.D

4.3.3. Репетиционный тест по разделу 3
Найдите кратчайший путь из вершины 1 в вершину 8 на графе, заданном матрицей весов:

1
2
3
4
5
6
7
8

1
0
14

20
6




2
14
0
21

12




3

21
0
16
13
20
17


4
20

16
0
8
10

18

5
6
12
13
8
0
25



6


20
10
25
0
12
9

7


17


12
0
15

8



18

9
15
0

(веса в пустых клетках равны 13 EMBED Equation.DSMT4 1415).
Постройте остовное дерево для полученного графа.
A.
148

B.
1548

C.
12378

D.
1568


Изобразите в виде графа структуру заданного языка и построить совокупность слов, порождаемых грамматикой данного языка: Алфавит 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Правила грамматики: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
A.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

B.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

C.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

D.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415


Имеется устройство с входным каналом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, каналом обратной связи 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и выходным каналом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, реализующее отображение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, заданное в виде таблицы

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

1
2
2
1

2
1
1
2

1
1
2
2

2
2
1
1

На вход подаётся последовательность 122121. Определите последовательность на выходе, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.


A.
121221

B.
221112

C.
212221

D.
212212


Постройте СДНФ, сокращённую и минимальную ДНФ булевой функции, заданной таблицей. Изобразите контактные схемы для исходной, сокращённой и минимальной ДНФ.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

0
0
0
0

0
0
1
0

0
1
0
0

1
0
0
0

0
1
1
1

1
0
1
1

1
1
0
1

1
1
1
1

A.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

B.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

C.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

D.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415


ОТВЕТЫ:
1. B; 2. A; 3. D; 4. A;
4.4. Блок промежуточного контроля

4.4.1. Контрольный тест по разделу 1

1. Вычислить и определить погрешность результата 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2. Построить интерполяционный полином третьей степени для функции, заданной таблицей. Найти приближённое значение функции13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с помощью полученного полинома.

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
1,50
1,70
1,90
2,10

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
0,6915
0,7580
0,8159
0,8643

3. Отделить вещественный корень уравнения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и найти его приближённое значение.

4. Вычислить приближённо определённый интеграл 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 за шесть шагов методом Симпсона и оценить погрешность вычисления.
5. Проинтегрировать методом Эйлера уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с начальным условием 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на отрезке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с шагом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.


4.4.2. Контрольный тест по разделу 2

Найти к.ч. из уравнения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Найти вещественную и мнимую части функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Найти производную функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Дана вещественная часть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дифференцируемой функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Восстановить эту функцию.
Вычислить 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – граница области 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Вычислить интеграл 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 вдоль дуги параболы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Разложить в ряд Лорана по степеням 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 функцию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Найти особые точки и определить их тип (для полюсов указать порядок) функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Найти вычет относительно особых точек функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Вычислить интеграл 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

4.4.3. Контрольный тест по разделу 3
Найти кратчайший путь из вершины 1 в вершину 8 на графе, заданном матрицей весов:

1
2
3
4
5
6
7
8

1
0
14

20
6
10



2
14
0
21

12
7

6

3

21
0
16
13
20
17


4
20

16
0
8
10

18

5
6
12
13
8
0
25



6


20
10
25
0
12
9

7


17


12
0
15

8



18

9
15
0

(веса в пустых клетках равны 13 EMBED Equation.DSMT4 1415).
Построить остовное дерево для полученного графа.






2. Изобразить в виде графа структуру заданного языка и построить совокупность слов, порождаемых грамматикой данного языка: Алфавит 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Правила грамматики: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Имеется устройство с входным каналом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, каналом обратной связи 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и выходным каналом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, реализующее отображение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, заданное в виде таблицы


13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

1
2
2
1

2
1
1
2

1
1
2
2

2
2
1
1

На вход подаётся последовательность 111121. Определить последовательность на выходе, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.





4. Построить СДНФ, сокращённую и минимальную ДНФ булевой функции, заданной таблицей. Изобразить контактные схемы для исходной, сокращённой и минимальной ДНФ.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

0
0
0
1

0
0
1
0

0
1
0
1

1
0
0
0

0
1
1
1

1
0
1
0

1
1
0
1

1
1
1
0


















4.5. Блок итогового контроля
4.5.1. Вопросы к зачёту

Определение абсолютной и относительной погрешности.
Постановка задачи интерполяции функции.
Конечные разности и интерполяционный многочлен Ньютона.
Приближённое вычисление определённого интеграла. Формулы прямоугольников, трапеции, Симпсона.
Метод наименьших квадратов.
Линейная аппроксимация и линеаризация.
Этапы вычисления корней уравнения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Постановка задачи Коши и её решение методом Эйлера.
Алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного числа.
Условия Коши-Римана.
Формулы для вычисления производной от функции комплексного переменного.
Регулярные и гармонические функции.
Геометрический смысл производной от функции комплексного переменного.
Равенство Эйлера и выражения тригонометрических функций вещественной переменной через показательную функцию.
Интеграл от функции комплексного переменного и его выражение через вещественные криволинейные интегралы.
Теорема Коши и регулярность функции комплексного переменного.
Основная формула интегрального исчисления для функций комплексного переменного.
Интегральная формула Коши.
Функциональные ряды. Сходимость и абсолютная сходимость.
Ряд Тейлора и теорема Абеля.
Ряд Лорана и его сходимость.
Изолированные особые точки и их типы.
Разложение в ряд Лорана в окрестности бесконечно удалённой точки.
Теорема Коши о вычетах.
Вычисление вычетов в полюсах первого и второго порядков.
Вычет в бесконечно удалённой точке. Основная теорема о вычетах.
Дать определения вершин и рёбер графа, графа и орграфа, пути и цикла, полного и неполного графа, связанного и несвязанного графа, дерева и корня дерева.
Задача о минимальном пути и алгоритм Дейкстры.
Минимальное остовное дерево и алгоритм ближайшего соседа.
Формальный язык: состояние, алфавит и правила грамматики.
Дискретные автоматы. Комбинационная и последовательная схемы.
Сумматор.
Операции высказывания, отрицания, конъюнкции, дизъюнкции и эквиваленции. Таблицы истинности для них.
Булевы функции и нормальные формы. Правила построения СДНФ и СКНФ.
Построение сокращённой ДНФ методом Квайна.
Построение минимальной ДНФ методом Петрика.
Контактная схема и её логическая функция. Прямая и обратная задачи.


ГЛОССАРИЙ
(краткий словарь основных терминов и положений)

Автомат
Математическая модель системы, обеспечивающей приём, хранение и обработку информации

Алгебраическая форма к.ч.
Запись комплексного числа z в виде x + yi называется алгебраической формой комплексного числа.


Аналитическая функция
Функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения. В случае функции комплексного переменного это свойство совпадает со свойством голоморфности.

Аппроксимация
или приближение замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным.

Вычет функции
Вычетом функции f(z) в a называется число
.

Гармоническая функция
Вещественная функция U, непрерывно дифференцируемая в области D, удовлетворяющая уравнению Лапласа:
·U = 0, где – сумма вторых производных по всем переменным.

Граф
Граф или неориентированный граф G это упорядоченная пара G: = (V, E), для которой выполнены следующие условия: V это множество вершин или узлов, E это множество пар (неупорядоченных) различных вершин, называемых рёбрами.


Дизъюнкция
двух логических высказываний логическое высказывание, истинное только тогда, когда хотя бы одно из них истинно.

Интерполирование
См. Экстраполирование.

Инцидентность
Если v1,v2 вершины, а e = (v1,v2) соединяющее их ребро, тогда вершина v1 и ребро e инцидентны, вершина v2 и ребро e тоже инцидентны.

Квадратурные формулы
Формулы для оценки значения интеграла.

Комплексная функция
Функция которую можно представить в виде
,
где i это мнимая единица, т. е. , а и действительные функции. Функция называется действительной частью функции , а её мнимой частью.

Комплексное число
Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y вещественные числа, i мнимая единица, то есть одно из чисел, удовлетворяющих уравнению i2 = - 1.

Конъюнкция
двух логических высказываний логическое высказывание, истинное только тогда, когда они одновременно истинны.

Логическое высказывание
Утверждение, которому всегда можно поставить в соответствие одно из двух логических значений: ложь (0, ложно, false) или истина (1, истинно, truth). Логическое высказывание принято обозначать заглавными латинскими буквами.

Маршрут
В графе это чередующаяся последовательность вершин и рёбер v0,e1,v1,e2,v2,...,ek,vk, в которой любые два соседних элемента инцидентны. Если v0 = vk, то маршрут замкнут, иначе открыт.

Матрица инцидентности
Это матрица, значения элементов которой характеризуются инцидентностью соответствующих вершин графа (по вертикали) и его рёбер (по горизонтали). Для неориентированного графа элемент принимает значение 1, если соответсвующие ему вершина и ребро инцидентны. Для ориентированного графа элемент принимает значение 1, если инцидентная вершина является началом ребра, значение -1, если инцидентная вершина является концом ребра. В остальных случаях (в том числе и для петель) значению элемента присваивается 0.

Матрица смежности
Это матрица, значения элементов которой характеризуются смежностью вершин графа. При этом значению элемента матрицы присваивается количество рёбер, которые соединяют соответствующие вершины (т.е. которые инцидентны обоим вершинам). Петля считается сразу двумя соединениями для вершины, т.е. к значению элемента матрицы в таком случае следует прибавлять 2.

Орграф
Ориентированный граф (сокращенно орграф) G это упорядоченная пара G: = (V,A), для которой выполнены следующие условия: V это множество вершин или узлов, A это множество (упорядоченных) пар различных вершин, называемых дугами или ориентированными рёбрами.

Остаточный член
Разность между заданной функцией и функцией, её аппроксимирующей. Тем самым, оценка остаточного члена является оценкой точности рассматриваемой аппроксимации.

Отрицание
Логическое высказывание, принимающее значение "истинно", если исходное высказывание ложно, и наоборот.

Первообразная
Первообразной функцией данной функции f называют такую функцию F, производная которой равна f, то есть
F = f.

Погрешность
Всякое измерение дает результат, лишь приближенный к истинному значению определяемой величины. За истинное значение принимается среднестатическое значение, полученное в результате серии измерений. Но утверждать, что усредненное значение истинно мы не можем. Поэтому необходимо указать, какова точность измерения. Для этого вместе с полученным результатом указывается погрешность измерений.

Подграф
Граф, содержащий некое подмножество вершин данного графа и все рёбра, инцидентные данному подмножеству.

Разности конечные
Конечные разности применяются в интерполяционном методе Ньютона

Регулярная (голоморфная) функция
Комплекснозначная функция, определённая на открытом подмножестве комплексной плоскости и имеющая непрерывную комплексную производную. Иначе, комплексная функция u + iv = f(x + iy) является регулярной тогда и только тогда, когда выполняются условия Коши Римана

и частные производные непрерывны.

Ряд Лорана
Двусторонне бесконечный степенной ряд по целым степеням (z
· a), то есть ряд вида


Ряд Тэйлора
Разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки , тогда ряд

называется рядом Тейлора функции f в точке a.

Связность
Две вершины в графе связаны, если существует соединяющая их (простая) цепь.

Теория графов
Раздел дискретной математики, изучающий свойства графов. В наиболее общем смысле граф можно представить себе как множество вершин (узлов), соединённых рёбрами.

Тригонометрическая форма к.ч.
Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r = | z | и аргумент (, ), то комплексное число z можно записать в тригонометрической форме и показательной формах
.

Узлы интерполяции
Пусть имеется n значений xi, каждому из которых соответствует своё значение yi. Требуется найти такую функцию F, что:

При этом:
xi называют узлами интерполяции
пары (xi , yi) называют точками данных
разницу между «соседними» значениями xi-xi-1 шагом
функцию F (x) интерполирующей функцией или интерполянтом.


Условия Коши – Римана
Условия на вещественную u = u(x,y) и мнимую v = v(x,y) части функции комплексного переменного , обеспечивающие дифференцируемость f(z) как функции комплексного переменного.

Формула Симпсона
относится к приемам численного интегрирования. Подынтегральную функцию приближенно заменяют параболами. Для этого отрезок, по которому ведется интегрирование, разбивают на пары отрезков, в каждой из которых по трем точкам строят полином второй степени.

Цепь
В графе маршрут, все рёбра которого различны. Если все вершины (а тем самым и рёбра) различны, то такая цепь называется простой. В цепи v0,e1,...,ek,vk вершины v0 и vk называются концами цепи. Цепь с концами u и v соединяет вершины u и v. Цепь, соединяющая вершины u и v обозначается . Для орграфов цепь называется путём.

Эквивалентность
двух логических высказываний логическое высказывание, истинное только тогда, когда они одновременно истинны или ложны.

Экстраполирование
Интерполяционную формулу часто используют для приближённого вычисления значений функции f при значениях аргумента x, отличных от узлов интерполирования. При этом различают интерполирование, когда , и экстраполирование, когда , .



Содержание
Стр.
1. Информация о дисциплине 3
1.1. Предисловие 3
1.2. Содержание дисциплины и виды учебной работы .. 4
2. Рабочие учебные материалы . 5
2.1. Рабочая программа .. 5
2.2. Тематический план занятий ... 8
2.3. Структурно-логическая схема дисциплины . 13
2.4. Временной график изучения дисциплины 14
2.5. Практический блок .. 14
3. Информационные ресурсы дисциплины . 14
3.1. Библиографический список 14
3.2. Опорный конспект лекций по дисциплине 15
Введение . 15
Раздел 1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 15
1.1. Обработка результатов измерений и погрешности вычислений 16
Вопросы для самопроверки по теме 1.1. . 17
1.2. Интерполяция и численное дифференцирование 17
Вопросы для самопроверки по теме 1.2. . 23
1.3. Численное интегрирование 23
Вопросы для самопроверки по теме 1.3. . 25
1.4. Приближение функций .. 27

Вопросы для самопроверки по теме 1.4 .. 29
1.5. Многомерные задачи .. 29
1.6. Численные методы алгебры .. 30
Вопросы для самопроверки по теме 1.6. . 34
1.7. Решение систем нелинейных уравнений и задачи оптимизации .. 34
1.8. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 34
Вопросы для самопроверки по теме 1.8. .. 36
Раздел 2. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО .. 37
2.1. Комплексные числа и операции с ними .. 37
Вопросы для самопроверки по теме 2.1. 39
2.2. Функции комплексного переменного (ФКП).
Условия Коши-Римана 39
Вопросы для самопроверки по теме 2.2. 40
2.3. Элементарные функции и конформные отображения 40
Вопросы для самопроверки по теме 2.3 42
2.4. Представление регулярных функций интегралами .. 42
Вопросы для самопроверки по теме 2.4. . 46
2.5. Представление регулярных функций рядами 46
Вопросы для самопроверки по теме 2.5. .. 51
2.6. Вычеты функций .. 52
Вопросы для самопроверки по теме 2.6. .. 56

Раздел 3. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА .. 56
3.1. Элементы теории графов . 56
Вопросы для самопроверки по теме 3.1. .. 61
3.2. Формальные языки и дискретные автоматы . 61
Вопросы для самопроверки по теме 3.2. .. 65
3.3. Элементы алгебры логики .. 65
Вопросы для самопроверки по теме 3.3 ... 75
Раздел 4. БЛОК КОНТРОЛЯ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ 76
4.1. Методические указания к выполнению контрольных работ 76
Варианты индии заданий .. 77
Контрольная работа №1 .. 84
Контрольная работа №2 .. 96
4.2. Методические указания к выполнению лабораторных работ . 105
Лабораторная работа №1 105
Лабораторная работа №2 111
Лабораторная работа №3 119
Лабораторная работа №4 124
Лабораторная работа №5 134
4.3. Блок текущего контроля .. 139
4.3.1. Репетиционный тест по разделу 1 139
4.3.2. Репетиционный тест по разделу 2 142
4.3.3. Репетиционный тест по разделу 3 144
4.4. Блок промежуточного контроля .. 146
4.4.1. Контрольный тест по разделу 1 146
4.4.2. Контрольный тест по разделу 2 147
4.4.3. Контрольный тест по разделу 3 148
4.5. Блок итогового контроля .. 149
4.5.1. Вопросы к зачёту 149

ГЛОССАРИЙ (краткий словарь основных терминов и положений) 151



 «Рабочая программа по дисциплине, составленная в соответствии с ГОС, представлена в рубрике Рабочие учебные материалы.
 «Тематический план, содержащий информацию о видах отчётности по темам, приведён в рубрике Рабочие учебные материалы.

 Для первой части курса, изучаемой в первом семестре.









13PAGE 15


13PAGE 142715





Математика, ч. 2
Часть 1

Численные
методы

ТФКП

Дискретная
математика

Обработка результатов
измерений и
погрешности вычислений

Интерполяция
и численное дифференцирование



Численное интегрирование

Приближение функций

Многомерные задачи

Численные методы алгебры



Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимизации

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Комплексные числа и действия над ними

ФКП.
Условия Коши-Римана

Элементарные функции и конформные отображения

Представление регулярных функций интегралами

Представление регулярных функций рядами

Вычеты функций и их применения

Элементы теории графов

Формальные языки и дискретные автоматы

Элементы алгебры логики

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

0

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Рис.1.

1

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

0

1

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Рис.1

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

а)

б)

в)

Рис.4


13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

а)

б)

в)

г)

Рис.2

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

0

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Рис.1

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Рис.1.

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415



13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Рис.1.





Главная часть

Регулярная часть

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Граф

Орграф

S6

S5

S4

S3

S2

S1

S1

S2

S3

S4

S5

S6

Дерево

Корневое дерево

1

4

5

8

10

6

4

3

X6

X5

X4

X3

X2

X1

Граф G

Здесь видим, что сумма совпадает с постоянной меткой вершины Х3, а для Х3, очевидно, предшествующей вершиной будет Х1. Таким образом, кратчайший путь оказывается таким:

Х1

Х2

Х4

Х3

Х5

Х6

S1

S2

S0

S3

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

ДА


13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Комбинационная
часть

Память

С

B

A

D

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

f(a) > 0, f(b) < 0,

f'(x) < 0, f''(x)< 0


f(a) < 0, f(b) > 0,

f'(x) > 0, f''(x) > 0



f(a) < 0, f(b) > 0,

f'(x) > 0, f''(x) < 0

f(a) > 0, f(b) < 0,

f'(x) < 0, f''(x) > 0


Таблица 4



[-3, -2]

[-3, -2]

Рис. 2



· = 0-0,68–1,12–1,32-1,28 = -4,4

I = 0,2
· (-0,44) = -0,88.


· = -0,37 -0,68 -0,93 -1,12 -1,25 -1,32 -1,33 -1,28 -1,17 = -9,45

I = 0,05
· [(0 -1) + 2
·(-9,45) = -1,00
·





Приложенные файлы

  • doc 347487
    Размер файла: 6 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий