ЗФТШ 10.3 — Законы термодинамики. Фазовые превращения


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Министерство образования и науки Российской Федерации

Московский физико
-
технический институт

(государственный универс
и
тет)

Заочная физико
-
техническая школа











ФИЗИКА


Законы сохранения энергии в тепловых процессах.

Фазовые превращ
е
ния


Задание №
3

дл
я 10
-
х классов

(20
1
5



20
1
6

учебный год)














г. Долгопрудный, 20
1
5

201
5
-
201
6

уч. год, №
3
,
10

кл. Физика.

Законы сохранения энергии в тепловых процессах. Фазовые превращения



201
5
, ЗФТШ МФТИ,
Кузьмичёв Сергей Дмитриевич

2

Составитель
:
С.Д. Кузьмичёв, д
о
цент кафедры общей физики МФТИ.


Физика: задание №
3

для 10
-
х классов (20
1
5



20
1
6

учебный год), 20
1
5
,
2
4

с.



Дата отправления заданий по ф
и
зике и м
атематике


30 ноября 201
5

г.






Составитель:

Кузьмичёв Сергей Дмитриевич

Подписано
1
5
.
0
9
.
1
5
.
Формат 60×90 1/16.

Бумага типографская. Печать офсе
т
ная. Усл. печ. л. 1
,
5.

Уч.
-
изд. л. 1,
3
3
.
Тираж
5
0
0. Заказ №
10
-
з.




Заочная физико
-
техническая школа

Москов
ского физико
-
технического института

(государственного университета)

ООО Печатный салон ШАНС»



Институтский пер., 9, г. Долгопру
д
ный, Москов. обл., 141700.

ЗФТШ, тел./факс (495) 408
-
5145


заочное отделение,


тел./факс (49
8
)
744
-
6
35
1


очно
-
заочное отделение,


тел. (49
9
) 7
55
-
5
58
0



о
ч
ное отделение.


e
-
mail
:
zftsh
@
mail
.
mipt
.
ru


Наш сайт:
www
.
school
.
mipt
.
ru


© МФТИ, ЗФТШ, 2015

Все права защищены. Воспроизведение учебно
-
методических матери
а
лов и
материалов сайта ЗФТШ
в л
ю
бом виде, полностью или частично, допускается
только с письменного разрешения правообладателей.

201
5
-
201
6

уч. год, №
3
,
10

кл. Физика.

Законы сохранения энергии в тепловых процессах. Фазовые превращения



201
5
, ЗФТШ МФТИ,
Кузьмичёв Сергей Дмитриевич

3

З
акон сохранения энергии

в тепловых процессах

1.
Работа

газа при расширении или сжатии

Поместим газ в цилиндр, закрытый сверху поршнем, и определим
работу,

совершаемую газом в процессе изобарического расширения.
Сила давления

газа на поршень равна

где
площадь
поршня,
давление газа. Если поршень перемес
тится на расстояние

(рис.

1), то соверш
ё
нная силой

работа

равна


Произведение

характеризует изменение

занимаемого
газом объёма от начального

до конечного
:

Теперь выражение для работы силы
(или работы газа
)
принимает в
ид
:








(1)

Рассуждая аналогично, нетрудно показать, что выражение для
работы газа в процессе изобари
ческого сжатия совпадает с (1).










Из формулы (1) следует, что

при расширении газа

работа
газа положительна

а при сжатии

работа газа
отрицательна

Наряду с работой

газа

можно рассмотрет
ь и работу действующих
на газ внешних сил

Эту работу принято называть работой,
совершаемой
над газом
. Если движение поршня происходит без
ускорения, то работа внешних сил

отличается от работы газа

только знаком:
.

Процесс изобарического расширения газа от
начального
объёма

до
конечного
объёма

графически изображ
ё
н на рис.

2 в








Рис. 2

Рис. 1

201
5
-
201
6

уч. год, №
3
,
10

кл. Физика.

Законы сохранения энергии в тепловых процессах. Фазовые превращения



201
5
, ЗФТШ МФТИ,
Кузьмичёв Сергей Дмитриевич

4

координатах

Площадь заштрихованного прямо
угольника
чис
ленно равна
,
т.

е.
работе, соверш
ё
нной газом.

Если в тепловом процессе изменяется не только объём газа


но

и
его давление

то работу газа

уже нельзя подсчитывать по формуле

В случае, когда процесс описывается зависимостью
,
работу газа можно рассчитать
,

используя
графический метод
,

суть
которого состоит в следующем.

При

незначительном изменении

объёма газа его давление

изменяется на очень малую величину, т.

е. оста
ё
тся практически
постоянным. Поэтому элементарную (малую) работу
,
совершаемую
газом, можно подсчитывать по формуле


Пусть
квазистатический процесс расширения газа из состояния

в
состояние 2 изображается линией
, соединяющей точки 1 и 2, как
показано

на
рис.

3.
Работа, соверш
ё
нная газом в

этом процессе,
численно

равна площади заштрихованной криволинейной трапеции

(
фигура
), ограниченной сверху
графиком процесса
, а снизу


осью аб
с
цисс

(размерность этой площади»



джоуль).

Докаже
м это, рассмотрев переход газа из состояния 1 в состояние

2
не по кривой, а по ломаной, состоящей
из
отрезков изохор и изобар
(рис.

4). Работа на
i
-
ой изобаре
(на рисунке
i

=

2) равна
.
Суммируя площад
и п
од всеми изобарами, получим
площадь фигуры
под лома
ной, которую можно
приближённо

считать
равной работе

газа
при расширении:


Эту работу можно выч
ислить поточнее, если увеличить

число
изобар
и изохор ломаной (увеличить


и уменьшить
). Площадь
под ломаной при
этом возраст
ё
т
,

так как

к
площади заштрихо
ванной

фигуры добавятся новые площади. Если чис
ло изобар и изохор
устремить к
бесконечности так, чтобы

длина отрезков любой изобары

и


0

0



2

1

2

1









Рис. 3

Рис.

4

201
5
-
201
6

уч. год, №
3
,
10

кл. Физика.

Законы сохранения энергии в тепловых процессах. Фазовые превращения



201
5
, ЗФТШ МФТИ,
Кузьмичёв Сергей Дмитриевич

5

изохоры
неограниченно уменьшалась, то ломаная линия совпад
ё
т с
кривой. Это и доказывает утверждение о том, что графически работу
газа можно вычислить, найдя площадь фигуры
. Аналогично

подсчитывают работу
газа
при
его
сжатии


меньшении объёма)
. Не
-
обход
имо только помнить, что работа газа в
этом случае отрицательна.

2. Внутренняя энергия

Все тела состоят из атомов и
молекул, находящихся в непр
е
рыв
ном
тепловом движении. Поэтому тело обладает энергией, связанной с
внутренним движе
нием составляющих его атомов и молекул и с их
взаимодействием

друг с другом
.

При подсч
ё
те
внутренней энергии

тела
,

вообще говоря
,

следует уч
и
т
ывать
кинетическую энергию

поступательного и вращательного дв
и
жений молекул,
энергию

колебательного

движения атомо
в в молек
у
лах,
потенциальную эне
р
гию

взаимодействия молекул друг с другом и
др
у
гие виды энергии.

Будем рассматривать такие ситуации, в которых молекулы не изм
е
няют своего строения, а те
м
пература ещ
ё

не так велика, чтобы была
необходимость учитывать энергию

колебаний атомов в м
о
лекуле. При
таких условиях изм
е
нение внутренней энергии тела происходит только
за сч
ё
т изменения кинетической энергии молекул и потенциальной
энергии их взаимодействия друг с другом. Тогда под внутренней эне
р
гией тела можно понимать т
олько сумму кинетической энергии тепл
о
вого движения молекул и потенциальной энергии их взаимоде
й
ствия.

Внутренняя эн
ергия есть такая характеристика

тела, которая не за
-
висит от предыстории его поведения, т.

е.
от того,

каким способом

оно

оказалось в данном

состоянии.

Действи
тельно, потенциальная энергия взаимодействия
между
молекулами определяется их взаимным расположением и зависит от
расстояния между ними. При изменении объёма тела расстояние между
молекулами изменяется,
изменяется и внутренняя энергия

те
ла.
Если
тело возвращают в исхо
дное состояние разными способами, то

его
объём и расстояние между молекула
ми становятся прежними и,
следо
в
ательно, потенциальная энергия
вза
имодействия возвращается
к
ис
ходному значению. Кинетическая же энергия молекул опред
еляется
только

температурой тела. Внутренняя энергия тела поэтому
не зависит
от того, каким способом данное тело прив
е
дено к заданным объёму и
температуре, и определяется макроскопическими параметрами,
характеризующими состояние термодинамического равновес
ия тела.
Для газа такими параметрами являются давление

температура

и
об
ъ
ём

201
5
-
201
6

уч. год, №
3
,
10

кл. Физика.

Законы сохранения энергии в тепловых процессах. Фазовые превращения



201
5
, ЗФТШ МФТИ,
Кузьмичёв Сергей Дмитриевич

6

Обсудим вопрос о внутренней энергии идеального газа. Потенц
и
альная энергия взаимодействия молекул ид
еального газа прин
и
мается
равной нулю. Поэтому внутренняя энергия идеального газа состоит
только из кинетической энергии поступательного и вращательного
движений молекул и зависит только от температуры. Внутренняя эне
р
гия идеального газа не зависит от объё
ма газа, п
о
скольку расстояние
между молекулами не влияет на внутре
н
нюю энергию.

Потенциальная энергия взаимодействия молекул реальных газов,
жидкостей и твёрдых тел зависит от расстояния между м
о
лекулами. В
этом случае внутренняя энергия тела зависит не то
лько от его темпер
а
туры, но и от объёма.

Рассмотрим идеальный одноатомный газ (например, гелий
(
)
)
.
Средняя кинетическая энергия

одной молекулы такого газа опред
е
ляется выражением


Здесь
масса молекулы газа,
среднее значение квадрата
скорости молекулы,



постоянная Больцмана.
В по
р
ции

газа

массой

и молярной массой

содержится


молей
и

молекул (
число Авогадро). Т
о
гда
сумма кинетических энергий всех этих моле
кул,

а

следовательно, и
внутренняя энергия

молей идеального одноатомн
о
го газа равна



(2)

где


ун
иверсальная газовая постоянная.

Средняя кинетическая энергия одной двухатомной молекулы
ид
е
ального газа (например, водород
а


или азот
а

) кроме кинет
и
ческой энергии поступательного движения содержит к
и
нетическую
энергию вращательного движения и определяется выраж
е
нием


Внутренняя энергия

молей двухатомного идеального газа равна









(3)

Для тр
ё
хатомных (например, водяной пар
)

и многоатомных
газов (атомы у которых не располагаются вдоль о
дной прямой) вну
т
ренняя энергия

молей определяется выражением
.
Отм
е
201
5
-
201
6

уч. год, №
3
,
10

кл. Физика.

Законы сохранения энергии в тепловых процессах. Фазовые превращения



201
5
, ЗФТШ МФТИ,
Кузьмичёв Сергей Дмитриевич

7

тим, что выражения для внутренних энергий двухатомного и мног
о
атомных газов справедливы в том диапазоне температур, где не учит
ы
вается
энергия колебательного движения

атомов в м
о
лекуле
.

3. Количество тепло
ты. Первое начало термодинамики

При взаимодействии термодинамической сист
емы с окружаю
щей
средой происходит обмен энергией между ними. Если при этом вне
ш
ние силы не совершают работы над
системой, то получе
н
ное системой
количество энергии называется
количеством тепл
о
ты
, а сам процесс
передачи эне
р
гии


теплообменом.

Пусть термодинамической системе (телу) в некотором процессе п
е
реда
ё
тся (сообщается) некот
о
рое количество теплоты


Будем считать


если система получает теплоту, и

если она теплоту отд
а
ё
т.

Рассмотрим газ, находящийся в цилиндрическом сосуде с
подвижным поршнем. Допустим,

что поршень и стенки цилиндра
те
плоне
проницаемы. Дно

же цилиндра можно сделать съёмным. Это
позволит иметь дно или теплонепроницаемым
,

или, наоборот, хорошо
проводящим тепло. Сожм
ё
м
газ квазистатически, т.

е. так,
чтобы во
время процесса сжатия
давление и температура газа во всех точках
внутри цилиндра были одинаковыми.

Внешняя сила совершит при этом

работу

Если
дно цилиндра теплонепроницаемо, то рабо
та
внешних
сил,

совершаемая над газом, пойд
ё
т на ув
еличение его
внутренней энергии


гд
е

и
начальное и конечное значения внутренней энергии газа.

Внутренн
юю энергию газа можно изменить и другим
способом,
сообщив газу некоторое количество теплоты. Если объё
м газа

остаё
тся
при этом постоянн
ым, то вся сообщ
ё
нная теплота


идё
т
на изменение
внутренней энергии газа:

Независимост
ь внутренней энергии
газа

от
пред
ы
стории
его
поведения позволяет рассчитать е
ё

изменение в любом
квазистатическом теп
ловом процессе, когда над газом совершают
работу и одновременно подводят теплоту. Для этого тепловой процесс
следует мысленно разбить на два этапа:



на первом этапе газу сообщается количество теплоты

при
постоянном объёме,
что при
водит к из
менению его внутренней энергии
на величину



на втором этапе над газом, заключ
ё
нным в теплонепроница
емую

оболочку,

внешние

силы

совершают работу

что приводит



к из
ме
нению его внутренней энергии

на
величину

201
5
-
201
6

уч. год, №
3
,
10

кл. Физика.

Законы сохранения энергии в тепловых процессах. Фазовые превращения



201
5
, ЗФТШ МФТИ,
Кузьмичёв Сергей Дмитриевич

8

Тогда полное изменение внутренней энергии

газа в
теп
ло
вом
процессе скла
дывается при этом из изменений внутренней энергии газа
на к
аждом из этапов в отдельности,
т.

е.


Напомним, что работа

внешних сил
и работа

газа
противоположны по знаку:
.

Изменение внутренней энергии
поэтому можно записать по
-
другому:

Ча
сто это равенство пишут так:




(4)




сообщённое газу количество теплоты равно сумме изменения его
внутренней энергии и совершённой им раб
о
ты.

Соотношение
(4)

есть закон
сохранения энерги
и
в
тепловых
процес
сах и
называется
первым началом (законом) термодинамики
.

4. Теплоёмкость идеальных газов

Пусть телу в некотором тепловом процессе переда
ё
тся (сообщ
а
ется)
небольшое количество теплоты

и температура тела и
з
меняется
при
этом на величину

(прич
ё
м при повышении те
м
пературы
,

а
при пониж
е
нии температуры
).

Теплоёмкостью

тела в данном процессе называется величина





(
5)

При расчё
тах используют удельную и молярную теплоёмкости.
Пусть
масса тела, а
число молей тела. Удельная теплоё
м
кость

(теплоёмкос
ть единицы массы тела) и молярная теплоё
м
кость
(теплоёмкость одного моля тела) определяются соотношени
я
ми:



Между теплоёмкостями имее
т
ся связь:
.

Из

определения теплоёмкости
не следует, что она должна ост
а
ваться
постоянной в данном процессе. Существуют процессы, в те
чение кот
о
рых теплоёмкость изменяется.

Теплоё
мкость одного и того же тела может быть полож
и
тельной,
отрицательной, нулевой и даже бесконе
чной, в зависимости от хара
к
тера процесса. Рассмотрим некоторые частные случаи.

Изохорный процесс.

Если объём тела не изменяется
, то
работа
,

совершё
нная телом против внешних сил, также равна
нулю

Вс
ё

количество теплоты
,
переданное
телу, идё
т в этом случае на изменение его
внутренней энергии
,
и
201
5
-
201
6

уч. год, №
3
,
10

кл. Физика.

Законы сохранения энергии в тепловых процессах. Фазовые превращения



201
5
, ЗФТШ МФТИ,
Кузьмичёв Сергей Дмитриевич

9

теплоёмкость тела равна:

,

где значок

указывает на
особенность этого процесса

Изобарный процесс.

Кроме теплоёмкости при постоянном объёме
,
вводят
также теплоёмкость тела при постоянном давлении

,
где
з
начок

указывает на

постоянство внешнего давления.

Подставляя в выражение (5) величину

(
в этом
случае
),

для теплоё
мкости

имеем:


Изменение

о
бъёма твёрдых и жидких тел при нагревании
на

незначительно и составляет

их первоначального
объёма. Для твёрдых и жидких тел
,

поэтому зачастую
можно
пренеб
речь вторым членом

по сравнению с первым членом

и не различать теплоёмкости при постоянном объёме

и при
постоянном давлении
,
т.

е. считать
.

Коэффициенты объём
ного расширения газов примерно в
сто раз
больше коэффициентов объёмного расширения твёрдых и жид
ких тел,
вследствие чего вклад
члена

в теплоёмкость

газов при
пос
тоянном да
влении оказывается
значительным.

Этот вклад нетрудно рассчитать для идеального газа. Воспользуемся
для
этого

уравнени
ем Менделеева



Клапейрона. Имеем
:


Здесь

и

нача
льный и конечный объёмы газа,

и
его

на
чальная и конечная абсолютные температуры,

Подставляя найденное выражение

в соотношение для
, находим:


При описания
х

тепловых про
цессов с участием газов удобно
использовать молярные теплоёмкости газа при постоянном объёме и
постоянном давлении
(

и
)
.
В дальне
йшем при
использовании этих теплоёмкостей мы будем записывать их как

и
,
опуская пояснение мол» (!).

201
5
-
201
6

уч. год, №
3
,
10

кл. Физика.

Законы сохранения энергии в тепловых процессах. Фазовые превращения



201
5
, ЗФТШ МФТИ,
Кузьмичёв Сергей Дмитриевич

10

Тогда для молярных теплоёмкостей

и


одноатомного

идеального газа получаем
:



Рассуждая аналогично, для молярных теплоёмкостей

и


двухатомного
идеальн
о
го газа находим
:




Из полученных выражений следует простая связь между моляр
ными
теплоёмкостями

и


для идеального газа с любым числом атомов
в молекуле,

называемая

соотношением Майера
:


5. Тепловые машины. Циклические процессы.

КПД тепловых машин. Холодильник

Тепловыми

на
зывают такие машины, в которых
происходит
пре
вращение теплоты в механическую

ра
боту.

Вещество,
производящее работу в тепловых машинах, называют
рабочи
м телом

или

рабочим

веществом.

В паровых машинах таким рабочим те
лом

является водяной пар, в
дви
гателях внутреннего сгорания


газ.

Теп
л
о
вые
машины могут быть
устроены различным способ
ом. Однако все они
обладают общим
свойством


перио
дичностью действия, и
ли, как ещё

говорят,
цикличностью, в результате чего рабочее тело периодически
возвращается в исходное состояние. Принцип работы и устройство
тепловой машины рассмотрены здесь на примере поршневого двигателя.

Поршневой двигатель состоит из цилиндра с порш
нем и рабоч
его

тела (газа) под ним. Чтобы рабочему телу

сообщить некоторое количество теплоты,
необходимо привести его в контакт с
нагревате
лем.
Количество теплоты
,

полученное от нагре
вател
я, идё
т на
увеличение внутренн
ей энергии

газа и
совершение им работы. В
результате этого
газ, расширяясь, переходит из состояния 1 в
состояние 2 по пути, например, 1



а



2
(рис.

5). Для повторного использования
двигателя поршень необ
ходимо вернуть

в исходное положение.








Рис. 5



201
5
-
201
6

уч. год, №
3
,
10

кл. Физика.

Законы сохранения энергии в тепловых процессах. Фазовые превращения



201
5
, ЗФТШ МФТИ,
Кузьмичёв Сергей Дмитриевич

11

Если

процесс сжатия

пров
ести в обратном
порядке (2



а



1),
то

ра
бо
ты сжатия и расширения будут одинаковы (по модулю) и суммарная

работа окажется равной нулю. Поэтому газ сжимают так, чтобы он

возвращался в исходное
состо
яние, например, по пути

2



b



1.
Площадь фигуры

больше площади фигуры


и

следовательно,
рабо
та
газа
при расширении
больше работы сжати
я.
Такой процесс, в ре
з
ультате которого
газ
возвращается в
исходное
состояние,
называют
круговым процессом
,

или

циклом.

Площа
дь
фигуры
1
a
2
b
1 чис
ленно равна работе газа, соверш
ё
нной за цикл.

Чтобы газ возвращался в исходное состояние, от него необходимо
отводить некоторое количество теплоты. В противном случае он
нагревается и в конц
е процесса сжатия температура

газа станет выше

начальной. Для этого его приводят в к
онтакт с холодильником. Термин

холодильник
»

не следует понимать буквально.
Холодильником

назы
вают такое тело, которому
газ
отдаё
т теплоту при
сжатии. Таким
обра
з
ом, в любой теплово
й машине должны присутствовать
три те
ла:
нагреватель, рабочее тело и холодильник.

Рассмот
рим один из круговых процессов


цикл Карно
. Он сос
тоит
из двух изотермических и двух
адиабатических процессов
в сле
дую
щей
последовательности.

Рис. 6

Газ, помещё
нный под поршнем в цилиндре с хорошо про
водя
щим
тепло дном, приводят в контакт с нагревателем, имеющим температуру

(рис.

6
a
). Будем
считать стенки цилиндра и поршень
теплонепрони
цаемыми. Получая от нагревателя
количество тепл
о
ты

через дно, га
з, изотермически расширяясь,
совершает работу
.
Затем, установив теплоизолирующу
ю
прокладку, дно цилинд
ра
делают
теплонепроницаемым.

Газ, расширяясь
адиабатически

(т.

е. без
сообщения тепла извне), совершает работу

(рис.

6
б
). Температура
газа при этом
понижается, так как совершение этой работы мож
ет
произойти только за

сч
ё
т

уменьшения

внутренней

энерги
и

газа.

Затем

а

холодильник





б

в

г


газ


газ


газ

201
5
-
201
6

уч. год, №
3
,
10

кл. Физика.

Законы сохранения энергии в тепловых процессах. Фазовые превращения



201
5
, ЗФТШ МФТИ,
Кузьмичёв Сергей Дмитриевич

12

теплоизолирующую

прокладку убирают
,

и газ приводят в контакт с
холодильником, имеющим темпе
ратуру

(рис.

6
в
), после
чего газ
изотермически сжимают. Чтобы
температура газа
не изменялась, от
н
его отводят количество теплоты

в холодильник
. Наконец, делая

дно цилиндра опять т
еплонепроницаемым, газ
сжимают
адиабатически.

Его т
емпера
тура
при этом возрастает

от

до

(рис.

6
г
).

Цикл

Карно в координатах
представлен
на рисунке 7. Кривая

1

2 изображает процесс
изотермического
рас
ширения. При
адиаба
т
ическом
расширении

температура газа
понижается. Вследствие
этого адиабата от точки 2 долж
на идти круче изотермы. Кривая
2

3
изображает процесс адиабат
ического расширения, а кривая 3

4
описывает процесс изотермического сжатия. При адиаба
тическом
сжатии температура газа возрастает, поэтому увеличение дав
ления газа
на адиабате идё
т быс
трее, чем на изотерме. Кривая 4


1 изображает
графически процесс адиабатического сжатия.

В процессе изотермического расширения 1



2 температура газа п
о
стоян
на
,

и вс
ё

количество теплоты

идё
т на совершение газом раб
о
ты
. (Здесь и в дальнейшем предполагается, что раб
о
чим веществом являются

молей идеального г
а
за
.
)

При

адиабатическом
расширении 2

3


внутренняя энергия изменяется

на величину


а

для
совершаемой при этом
работы


из
первого закона термодинамики получаем
:


В
процессе из
отермического сжатия
3

4

работа
газа

отриц
а
тельна
,

и от
газа необходимо
отвести
количе
ство
теплоты
.

При ади
абат
и
ческом

сжатии
4

1
газ

совершает отрицательную

работу
,
вну
т
ренн
яя

энергия

газа
возрастает на в
е
личину

Полная работа


газа за цикл складывается из работ газа на
отдельных участках:


Из этого соотношения следует,
что работа газа за цикл меньше
количества теплоты, подведённо
й

к газу.

Рис
.

7










201
5
-
201
6

уч. год, №
3
,
10

кл. Физика.

Законы сохранения энергии в тепловых процессах. Фазовые превращения



201
5
, ЗФТШ МФТИ,
Кузьмичёв Сергей Дмитриевич

13

Коэффициент полезного действия

(КПД)

тепловой машины
определ
яется отношением работы, совершё
нной
рабочим телом
(например,
газом
)

за цикл, к количеству теплот
ы, полученному от
нагреват
е
ля:


Для цикла Карно
, в котором рабочим веществом служит
идеальн
ый

газ
,

КПД зависит только от температур нагревателя и холодильника и
р
а
вен:


В термодинамике доказывается, что

для всех
теплов
ых

машин,
рабо
тающих
по циклу Карно
с

нагрева
телем при температуре


и
хо
ло
дильник
ом
при температуре

,
КПД

принимает максимально
возможное и одинаковое для всех тепловых машин значение,
опр
еделяемое приведённой выше формулой. При этом
в качестве рабочего

те
ла

может использоваться любое вещество, а не только идеальный газ.

В реальных тепловых маши
нах цикл Карно не реализуется,
так как
о
н принципиально
не

осуществим. Действительно, при изотерм
ическом
расширении, например, предполагается, что газ получает тепло от
нагревателя, но температура нагревателя при этом не изменя
ется, что
невозможно, так как,
отдавая тепло, любое реальное тело должно
осты
вать. Невозможен и
сам процесс передачи тепла, ес
ли температура
нагревателя и температура газа одинаковы. Сказ
анное выше, однако, не
умаляет
принципиального значения цикла Карно, так как он является
идеальным образцом цикла машины, в сравнении с которым судят о
качестве используемых на практике ци
к
лов те
пловых машин.

В реальных тепловых машинах на первый взгляд
трудно
увидеть

три
обязательные части любой

тепловой машины: нагреватель,
ра
бочее
те
ло и
холодильник.

Рассмотрим, например, двигатель внутре
ннего сгорания (рис.

8).
Внутри
цилиндра
A

может свободно
перемещаться поршень
B
. В
верхней част
и цилиндра имеются два клапана
C

и
D
. Через клапан

C

про
изводится
впуск

так
называе
мой горючей смеси, состоящей из
воздуха и мельчайших частиц жидкого топлива. Клапан
D

служит для
удале
ния из цилиндра о
тработан
ных газов.
Д
ля воспламенения горю
-
чей смеси используется запальник (свеча
E)
.

201
5
-
201
6

уч. год, №
3
,
10

кл. Физика.

Законы сохранения энергии в тепловых процессах. Фазовые превращения



201
5
, ЗФТШ МФТИ,
Кузьмичёв Сергей Дмитриевич

14

Работа двигателя за цикл состоит обычно из четыр
ё
х этапов
(тактов): вп
уск горючей смеси, сжатие
е
ё,

расширение при
сгорании
горюче
го и выпуск отработанных газов в атмосфе
ру. Первые два
такта
под
готовительные. После

сжатия смесь поджигается, в результате че
го
выделившаяся
теплота сгорания
идё
т на нагревание
газа.

Таким образом, нагревателем в двигателе
внутреннего сгорания
явля
ется сама горючая сме
сь. После выпуска отработ
анного газа

в
атмо
сферу его место занимает новая порция
смеси. Таким образом,
холо
дильником

у двигателя внутреннего сгорания является
окружающий воздух.

Если цикл Карно протекает в обратном направлении (см. рис.

9), то
знаки у количеств теплоты и работы из
меняются на противоположные.
Газ, расширяясь по изотер
ме
4



3, отбирает от источника теплоты с
низкой температурой

количество теплоты
,

совершая при этом
раб
о
ту
:
.

При изотермическом сжатии газ отда
ё
т количество теплоты

телу
с температурой
,

равное работе сжатия
:

Полная работа

газа за цикл
отрицательн
а, и её

абсолютная вели
-
чина равна абсолютной величине суммы работ
газа на

изо
-
термах (докажите, что сумма работ газа по расширению и сжатию на
адиабатах равна нулю:
)
:


Отсюда следует, что количество теплоты
,

отданное на изотерме
2

1, равно


В обратном цикле Карно тело, имеющее низкую температуру, по
традиции принято называть холодильником, а тел
о
, имеющее высокую
температуру


нагревателем, хотя роли они играют противоположные:
холодильник отда
ё
т теплоту, нагреватель её получает.















Рис
. 9

Рис
. 8

201
5
-
201
6

уч. год, №
3
,
10

кл. Физика.

Законы сохранения энергии в тепловых процессах. Фазовые превращения



201
5
, ЗФТШ МФТИ,
Кузьмичёв Сергей Дмитриевич

15

В реальных условиях, как уже говорилось, не существует таких тел,
температура которых не и
зменялась бы при получении ил
и
потере ими
теплоты. Поэтому, если от холодильника отбирать тепло, температура
его понижается. На этом принципе и основана работа холодильных
устан
овок. В частности, в домашних холодильниках
теплота отбирается
у продуктов, хранящихся в н
ё
м, и воздуха, нах
одящегося внутри
холодильника. Это количество
теплоты плюс
количество теплоты,
выде
ляющееся за счёт работы мотора,

соверш
ё
нной
над газом за цикл,
отдаё
тся воздуху комнаты. В результате этого температура внутри
холодильника понижается, а в

комнате увеличива
ется. Процесс

пониже
ния
температу
ры внутри холодильника
обычно быстро
заканчиваетс
я, так как стенки холодильного
шкафа хоть и плохо, но
проводят теп
ло. В стационарном
режиме, когда температура внутри
камеры под
держивается постоянной, количество
теплоты, от
бираемое
от холодильника
в единицу времени,
равно количеству теплоты,
поступающему внутрь холодильного шкафа через стенки.

Для холодильной машины вводят так называемый
холодильный
коэффициент

отношение количества теплоты, отнятог
о от
холодильника,
к работе, совершё
нной газом за цикл:
,

который для цикла Карно равен:

Холодильный коэффициент показывает, какое количество теплоты

м
ожно отнять в результат
е совершё
нной работы

Цикл Карно в
холодильной технике является идеальным образцом, в сравнении с
которым судят о качестве практически используемых циклов
холодильных установок.

6. Примеры решения задач

Задача 1.

Циклический тепл
овой про
цесс состоит из изотермы, из
о
бары и изо
хоры (см
.рис.10). На каких участках пр
о
цесса газ получает
теплоту, а на каких о
т
даёт?

Решение.

Для ответа на вопрос задачи
необходимо определить
знак

колич
е
ства
тепл
оты для каждого участка цикла.

Процесс 1



2



изотермический пр
о
цесс, идущий с увеличением объёма. В
этом процессе внутренняя энергия газа не
изменяется
,
а работа газа пол
о
жительна

,

т.

к. объём газа ув
е
личивается. Следовательно, на изоте
р
ме

1

2

газ получает те
п
лоту
.

Рис.

1
0

p

2

3

1

V

201
5
-
201
6

уч. год, №
3
,
10

кл. Физика.

Законы сохранения энергии в тепловых процессах. Фазовые превращения



201
5
, ЗФТШ МФТИ,
Кузьмичёв Сергей Дмитриевич

16

Так как на изобаре 2



3 темпера
тура газа уменьшается, то умень
ш
а
ется и его внутренняя энергия
.
При этом уменьшается и
объём газа, т.

е. газ сжимается и совершает отрицательную раб
оту
.
Следовательно, по первому началу термодина
мики, коли
ч
е
ство
теплоты, переданное газу,
,
т.

е. газ от
даё
т те
п
лоту.

Процесс 3

1


изохорический процесс, идущий с увеличением те
м
пе
ратуры. В этом процесс
е газ работы не совершает
,
а его
внутренняя энергия увеличивается
.
Следовательно, на
изохоре 3

1 газ получает теплоту

Задача 2.

В сосуде объёмом

нах
одится смесь гелия

и
водорода
.
При изохорном нагреве смеси к ней подвели кол
и
чество
теплоты
.
При этом

давление в сосуде возросло на
.

Найдите отношени
е числ
а молей водорода к числу молей
гелия в сосуде.

Решение.

Пусть

и



начальная и конечная температ
у
ры смеси
газов,

изменение температуры смеси в данном процессе,

количество молей гелия,

количество молей водорода, т
о
гда

искомая величина.

Внутренняя энергия

смеси двух газов равна сумме внутренних
энергий отдельных компо
не
н
тов смеси
:


Здесь учтено, что гелий является одноатомным газом, а водород


двухатомным. Изменение внутренней энергии

смеси в
о
дорода и гелия при изменении температуры смеси на

градусов с
о
ставит:

.

Так как смесь газов нагревается изохорно, то работа не совершае
т
ся
,
и из первого закона термод
и
намики получаем
:


Из уравнения состояния для смеси газов (с учетом закона Дальтона)
и
меем:


Вычитая из второго уравнения первое, получаем


201
5
-
201
6

уч. год, №
3
,
10

кл. Физика.

Законы сохранения энергии в тепловых процессах. Фазовые превращения



201
5
, ЗФТШ МФТИ,
Кузьмичёв Сергей Дмитриевич

17

Поделив

на произведение
,
приходим к уравнению для


решив которое, для

отношение числа молей водорода к числу м
о
лей
гелия в сосуде

получаем:


Задача 3.

В цилиндре под поршнем находится гелий массой

при температуре
,
занимая объём
.
Найдите и
з
менения объёма газа и его внутренней энергии в процессе изоба
р
ного
расширения при сообщении ему теплоты
.

Чему равна раб
о
та, совершё
нная при этом гелием? Г
е
лий считать идеальным газом.

Решение.

Гелий



одноатомный идеальный газ. Молярные теплоё
м
кости одноатомного идеального газа при постоянном об
ъ
ёме

и
постоянном давлении

равны, соответственно,

и

(



универсал
ь
ная газовая постоянная). Пусть

и



начальная и
конечная температуры гелия,

изменение его т
емперат
у
ры

в

данном процессе,
колич
е
ство молей гелия,

молярная масса гелия.

Из первого начала термодин
а
мики для изобарного процесса


П
олучаем


Изменени
е внутренней энергии гелия составит


Для величины работы

г
е
лия в данном процессе имеем
:


Изменение объёма газа найд
ё
м

из

выражения для работы в изоба
р
ном процессе


Задача 4.

Моль идеального одно
атомного газа расширяется сначала
изоб
арно, а затем в процессе с ли
нейной зависимостью давления от
объёма (см. рис.11). Известно, что
, а график пр
о
цесса
2

3 ле
жит на прямой, проходящей че
рез начало координат. Найти о
т
ношение объёмов
,
если

количество теп
лоты
, по
д
201
5
-
201
6

уч. год, №
3
,
10

кл. Физика.

Законы сохранения энергии в тепловых процессах. Фазовые превращения



201
5
, ЗФТШ МФТИ,
Кузьмичёв Сергей Дмитриевич

18

ведё
нное к газу на участке 1

2, в
4 раза меньше величины р
а
боты
, соверш
ё
нной газом на
участке 2

3.

Решение.

Из первого закона
термо
динамики для участка 1



2
(из
о
барный процесс) имеем:


где
количество м
о
ле
й

газа,

и



темп
ературы
газа в состояниях 1 и 2,
молярная теплоёмкость идеального о
д
ноатомного газа в
изобарическом процессе.

Для подсчёта работы газа

на участке 2



3
воспол
ьзуемся гр
а
фическим методом. При ра
с
ширении г
аза от объёма

до объёма

величина
работы газа

чи
сленно равна площади
трапеции,
верш
и
нами которой являются точки 2, 3,

и
:


где

и



давление газа в начале и в конце проце
с
са 2



3, а

и




объёмы газа в со
стояниях 2 и 3, соответственно.

Тот факт
, что график процесса 2



3 лежит на прямой, проходящей
через начало координат (

уравнение прямой, проходящей ч
е
рез

начало координат,

постоянная положительная величина), по
з
воляет записать следующие соот
ношения
:


Теперь для величины работы

получаем
:


Если уравнение процесса 2



3

подставить в уравнение
состояния идеального газа

то для

имеем
.
Тогда для работы

находим


Тогда, используя условие зад
а
чи, получаем
:


Рис.
11




201
5
-
201
6

уч. год, №
3
,
10

кл. Физика.

Законы сохранения энергии в тепловых процессах. Фазовые превращения



201
5
, ЗФТШ МФТИ,
Кузьмичёв Сергей Дмитриевич

19

Для изобары 1



2 и процесса 2



3

имеем
:


Подставляя выражения для

и

в выражение для отношения

и
,
получаем для и
с
комой величины

квадратное уравнение
,

р
е
шая которое, находим:

Задача 5.

Газообразный гелий из начального состояния 1 расш
и
р
я
ется в изобарном процессе 1



2, а затем продолжает расширяться в
адиабатическом процессе 2



3. Температуры газа в состояниях 1 и 3
одинаковы
.

Найдите работ
у, совершённую газом в адиабат
и
ческом процессе, если в изобарном процессе к нему по
д
вели

теплоты.

Решение.

В процессе изобарного нагревани
я 1



2 газу сообщается
количество теплоты

где



начальная темп
е
ратура газа,



его температура в конце изоба
р
ного процесса,



молярная теплоёмкость
газа при п
о
стоянном давлении.

Работа, совершаемая газом при
адиабатическом расширении, опр
е
деляется из первого закона термодинамики


где



температура газа в
кон
це этого процесса. С учётом пер
в
о
го соотно
шения для работы газа
в
процессе адиабатического расши
р
е
ния получаем
:


Задача 6.

С идеальным одноатомным газом проводят циклический
процесс 1



2



3



1, состоящий из адиабатического расш
и
рения 1


2,
рас
ши
рения в проце
с
се 2



3,
в котором теплоёмкость газа оставалась
по
стоян
ной, и сжатия в процессе 3



1 с линейной зависимостью давл
е
ния от объёма. Известно, что связь между температурами и объёмами в
пр
о
межуточных состояниях 1, 2 и 3 выражается соотношениями:
. Найдите м
олярную теплоёмкость газа в про
це
с
се 2



3, если работа, совершённая над газом в цикле, составляет 7/15 от
работы, сове
р
шённой над газом в процессе 3



1.

Решение.

Запишем первый закон термодинамики применител
ь
но к
процессу адиабатического р
асширения 1



2:


201
5
-
201
6

уч. год, №
3
,
10

кл. Физика.

Законы сохранения энергии в тепловых процессах. Фазовые превращения



201
5
, ЗФТШ МФТИ,
Кузьмичёв Сергей Дмитриевич

20

Здесь



работа газа в этом процессе. Согласно определению,
молярной теплоёмкостью тела в элементарном тепловом процессе (в
элементарном тепловом процессе изменения всех термодин
а
мически
х
параметров мало) наз
ы
вается величина


где


сообщённое телу количество теплоты,


изменение те
м
пературы тела,


количество молей тела.

Так как по усл
овию задачи теплоёмкость

газа остаётся пост
о
я
н
ной в течение всего процесса 2



3, то для количества те
п
лоты

в
этом процессе можно записать

С учётом этого соотношения первый за
кон термодинамики для пр
о
цесса 2



3 можно записать следующим образом


Здесь



работа

газа в

процессе

2



3. Работу газа в пр
о
цессе 3

1
с линейной зависимостью давления от объёма рассчитаем графич
е
ским
методом.

Согласно этому методу, модуль работы

газа
в этом процессе
численно равен площади фигуры под графиком процесса в коорд
и
натах
. В
нашем случае


это трапеция. Высота» трапеции равна
, а основания»

и

(

и
,



объёмы и давл
е
ния
газа в состояниях 1 и 3). Так как газ сжимается, то его ра
бота

отри
ц
а
тельна
.

Имеем


Полученное выражение можно п
ереписать иначе, если воспольз
о
ваться условием задачи (
) и уравне
ниями состо
я
ний
.

Имеем



201
5
-
201
6

уч. год, №
3
,
10

кл. Физика.

Законы сохранения энергии в тепловых процессах. Фазовые превращения



201
5
, ЗФТШ МФТИ,
Кузьмичёв Сергей Дмитриевич

21

Первый закон термодинамики для процесса 3



1 с учётом полу
че
н
ного соотношения запишется так
:


Для расчета работы

газа за цикл воспользуемся соотношен
и
ем:


Получаем


Учитывая, что работа, совершённая над газом в цикле, составляет
7/15 от работы, совершённой над газом в процессе 3



1, а также связь
работы газа с работой вне
ш
них сил
,

им
еем
:


Отсюда для искомой теплоёмк
о
сти получаем

Задача 7.

Найти КПД тепловой
машины, работающей с

молями
од
ноа
томного идеального газа по
цик
лу (см.

рис.

12), состоящему из
ади
аба
тического расширения 1

2,
изотерми
че
ского сжатия
2

3 и из
о
хорного про
цесса 3



1. Работа, с
о
вершенная над газом в изотермич
е
ском процессе, равна
, а разность
максимальной и минимальной те
м
ператур в цикле ра
в
на
.

Решение.

Пусть температуры г
а
за на графике процесса в точках 1, 2
и 3 равны
,

и

соответстве
н
но. В процессе адиабатического расширения 1



2 температура идеа
л
ь
ного га
за понижается, следов
а
тельно
. Так как точки 2 и 3 лежат
на изотерме, то
.

В проце
ссе изохорического нагревания 3



1
температура идеального газа повышается, следовательно
.

Т
а
ки
м образом, максимальная тем
пература газа
в цикле равна
, а мин
и
мальная



Следовательно

Для определения КПД цикла необходимо определить работу газа за
цикл

и количество подвед
ё
нной к газу
теплоты
.

Рис.
1
2


201
5
-
201
6

уч. год, №
3
,
10

кл. Физика.

Законы сохранения энергии в тепловых процессах. Фазовые превращения



201
5
, ЗФТШ МФТИ,
Кузьмичёв Сергей Дмитриевич

22

Работа

газа в цикле равна
.

Из уравнения
первого начала термодинамики для адиабатного процесса 1



2


д
ля работы

получаем

Работа
,

совершё
нная над газом в изотермическом процессе, св
я
зана с работой

самого газа соотношением
:
.

Работа газа
в изохорическом процессе равна нулю:
.

Таким образом, для
работы газа за цикл им
е
ем


В рассматриваемом цикле теплота подводится к газу только в пр
о
цессе изохорного нагревания 3



1


Теперь для КПД цикла получ
а
ем


Контрольные вопросы

1.

Опишите принцип работы холодильной установки (х
олодиль
н
и
ка).

От чего зависит минимальная температура внутри х
о
лодильной камеры
в стационарном режиме р
а
боты?

2.

В проц
ессе изобарного расширения температура гелия уве
лич
и
лась на
.

Масса гелия
.

Определите с
о
вершённую
газом работу и изм
е
нение его внутренней энергии.

3.

При адиабатическом сжатии одного моля идеального двуха
то
м
н
о
го газа внешними силами совершена работа
. Опреде
лите
конечную температуру газа, если его начальная температура с
о
ставляет
.

4.

В сосуде в состоянии термодинамич
е
ского равновесия находится
смесь из равных

масс гелия и паров воды. Какую долю от полной вну
т
ренней энергии системы составляет внутренняя энергия водяных п
а
ров? Гелий и водяной пар считать идеал
ь
ными газами.

201
5
-
201
6

уч. год, №
3
,
10

кл. Физика.

Законы сохранения энергии в тепловых процессах. Фазовые превращения



201
5
, ЗФТШ МФТИ,
Кузьмичёв Сергей Дмитриевич

23

5.

Некоторая порция идеального газа находится в сосуде объёмом

с
те
плонепроводящими
стенками в начальном состо
я
нии с температурой
. С газом проделывают два опыта: в первом опыте газ из начального
состояния квазистатически расширяют до объёма
, во вт
о
ром опыте газ квази
статически сжимают до
объёма
. Сра
в
ните
модули и
з
менения температуры

и

газа в этих
оп
ы
тах.

6.

Циклический тепловой процесс сост
о
ит

из
изохоры,

изобары

и изотермы (см.

рис.

13). На

каких участках процесса газ п
о
лучает теплоту, а на к
а
ких отдаёт?

7.

Те
пловая машина, рабочим телом ко
т
о
рой явл
яется один моль идеального одн
о
атомного газа, совершает цикл, состоящий из
двух

изобар и двух изохор. Минималь
ные
значения объёма и давления равны

и

соотве
т
ственно. Известно, что максимальные
значения давления и объёма газа в цикле в полтора раза больше мин
и
мальных. Постройте график зависимости внутренней энергии газа от его
объёма (обратите внима
н
ие на масштаб графика)

и рассчитайте КПД
цикла. Во сколько раз изменится КПД цикла, если

с
о
ставит

8.

Какова должна быть теплоёмкость идеального газа в изотер
ми
ч
е
ском процессе? Как понять полученный результ
ат физически? Чему
равна теплоёмкость газа в адиабатическом процессе?

Задачи

1.

При изохорном нагревании водорода


его давление увелич
и
лось от начального значения

до к
о
нечного
.

К
акое количество теплоты

было сооб
щено в
о
дороду?
Газ находится в сос
у
де объём
ом

.

2.

В цилиндре под давлением

находится смесь гелия

и водорода
.

Изобарный нагрев смеси газов приводит к увел
и
чению
объёма цилиндра на
.

На сколько изменилась при этом вну
т
ренняя энергия смеси газов? Масса водорода в полтора раза бол
ь
ше
массы гелия.

3.

В теплоизолированном цилин
дре под теплонепроницаемым
пор
ш
нем находится одноатомный идеальный газ с начальным давлен
и
ем
,

объёмом

и температурой
.

При
сжатии газа над ним совершили работу
.

Найдите темпе
р
а
туру газа после сжатия.

Рис.13

p

2

3

1

V

201
5
-
201
6

уч. год, №
3
,
10

кл. Физика.

Законы сохранения энергии в тепловых процессах. Фазовые превращения



201
5
, ЗФТШ МФТИ,
Кузьмичёв Сергей Дмитриевич

24

4.

Два сосуда заполнены одним газом и сообщаются при помощи у
з
кой трубки.
Отношение объёмов сосудов

Первон
а
чально газ
в первом сосуде имел температуру
.

В
результате перемеш
и
вания происходит выравнив
а
ние температур. Найти перво
начальную
температуру газа во втором сосуде, если устан
о
вившаяся температура
.

Теплообменом газа со стенками сосудов и трубки прен
е
бречь.

5.

В вертикальном тепло
изол
и
рованном цилиндрическом сосуде под
массивным поршнем находится

моль идеального одноато
м
ного газа
при температуре
.

Начнём сжимать газ, опуская поршень. После т
о
го, как совершили работу
,

поршень отпустили, и он остановился в
новом положении равновесия. Найти температуру

в этом состо
я
нии.
Внешнее давление считать равным нулю.

6.

Один моль идеального двухат
омного газа, первоначально нах
о
дившегося при но
рмальных условиях (
,
), пере
в
о
дят в состояние с вдвое бльшими объёмом и давлением. Процесс п
е
ревода осуществляется в два этапа
: сначала изохорно, а затем изо
барно.
Какое суммарное количество те
п
лоты подв
едено к газу? Какая работа
была совершена газом в этом пр
о
цессе?

7.

Моль идеального одноатомного газа совершает замкнутый цикл,
состоящий из двух изобар и двух изохор. Работа газа за цикл
.

Максимальная и минимальная температуры газа

в ци
к
ле отличаются на
,

отношение давлений на изобарах равно
2. Найти отношение объ
ё
мов газа на изохорах и КПД ци
к
ла.

8.

С идеальным одноатомным газом проводят циклический пр
о
цесс
1



2



3



1, состоящий из расширения в процессе 1



2, в котором м
о
лярная теплоёмкость газа постоянна и равна

адиабатическ
о
го рас
ширения

2



3 и сжатия в процессе

3



1 с линейной зависим
о
стью давления от объёма. Известно, что связь между температурами и
объёмами в промежуточных

состояниях 1, 2 и 3 выражается соотнош
е
ниями:

Найдите работу
, совершё
нную
газом в процессе 1



2



3, если работа, совершённая газом в цикле, с
о
ст
а
вила
.


Приложенные файлы

  • pdf 1058081
    Размер файла: 746 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий