Voenmeh Кинематика Алдошина














КИНЕМАТИКА

Контрольные задания для выполнения расчетных и курсовых работ

Министерство образования и науки Российской Федерации
Балтийский государственный технический университет «Военмех»








КИНЕМАТИКА

Контрольные задания для выполнения расчетных и курсовых работ


Под редакцией Г.Т. Алдошина













Санкт- Петербург
2011

Составители: Т.Н. Рябинина, канд. техн. наук, доц. (задания К1 и К2); Н.Е. Рупасова, канд. техн. наук, доц. (задания К3 и К4)


УДК 531.1(075:8)
К41

УДК 531.1(075:8)




Р е ц е н з е н т канд. техн. наук, проф. В.Ф. Федоров


Утверждено
редакционно-издательским
советом университета







© БГТУ, 2011
© Составители, 2011







Общие требования к оформлению расчетной работы


1. Работа должна содержать сформулированное (в соответствии с номером варианта) задание с указанием данных величин и искомых параметров.
2. Чертежи и графики к задачам должны быть четкими и ясными. Там, где это требуется, необходимо соблюдать масштаб, указывая его.
3. Решение должно быть полным и обоснованным.
4. Числовые расчеты проводятся с точностью до трех значащих цифр.
5. Образец титульного листа расчетной (курсовой) работы приведен в приложении.
6. Расчетная работа должна быть оформлена в соответствии с указанными требованиями. Небрежно оформленные работы к защите не принимаются.
7. Срок приема расчетной работы определен учебным графиком, разработанным деканатом по согласованию с кафедрой.
8. При защите расчетной работы студент обязан ответить на любой вопрос по теории или методам решения задач, относящийся к теме работы.


З А Д А Н И Е К1
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Цель – определить положение точки относительно выб-ранной системы отсчета в заданный момент времени, а также векторы скорости и ускорения точки и радиус кривизны траектории в тот же момент времени:
1. Определить и построить на чертеже траекторию точки, показав на ней ее положении в начальный момент времени (t = 0) и в момент времени (t = t1).
2. Для момента времени t = t1 определить и построить на чертеже:
скорость и ускорение точки;
касательное и нормальное ускорения.
3. Установить характер движения точки (ускоренное, замед-ленное).
4. Определить радиус кривизны траектории точки в момент времени t = t1.

Краткие сведения из теории

Определение положения точки

1. При векторном способе задания (рис. 1.1,а) ( ее радиусом-вектором как функцией времени: 13 EMBED Equation.3 1415 ( кинематическое уравнение движения точки;
2. При координатном способе задания (рис. 1.1,б) – ее коор-динатами как функциями времени:

13 EMBED Equation.3 1415 (1.1)

( кинематические уравнения движения точки в декартовых координатах;
3. При траекторном способе задания (рис. 1.1,в) – ее траекторной координатой (дугой) s, отсчитываемой от выбранного начала отсчета траекторных координат и зависящей от времени:

13 EMBED Equation.3 1415 (1.2)
( кинематическое уравнение движения точки в траекторной форме.

Для получения уравнения траектории, по которой движется точка, следует исключить параметр времени t из кинематических уравнений движения точки в координатной форме (1.1). При этом следует установить область изменения координат x,y,z с траектор-ной координатой s:

13 EMBED Equation.3 1415,

где s0 ( начальное значение траекторной координаты s.

Определение скорости точки

1. При координатном способе задания движения точки – урав-нение (1.1). Разложение вектора скорости по осям декартовой системы координат имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 ( орты осей декартовых координат.
Компоненты вектора скорости представляют собой произ-водные соответствующих координат точки:
13 EMBED Equation.3 1415.
Абсолютная величина скорости 13 EMBED Equation.3 1415.
Направление вектора скорости определяется ее направ-ляющими косинусами:
13 EMBED Equation.3 1415.
2. При траекторном способе задания движения точки. Известно кинематическое уравнение движения точки в траекторной форме: s = f(t).
Скорость точки в данный момент времени определяется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 ( орт касательной к траектории в данной точке, направленной в сторону увеличения траекторных координат, 13 EMBED Equation.3 1415 ( алгебраическая величина проекции скорости на касатель- ную:
13 EMBED Equation.3 1415.
Скорость точки всегда направлена по касательной в данной точке траектории в сторону движения точки. Если 13 EMBED Equation.3 1415 > 0, то точка движется в сторону возрастания траекторной координаты s, 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 1.2,а), а при 13 EMBED Equation.3 1415 < 0 ( в сторону убывания значений s, 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 1.2,б).



Рис. 1.2

Определение ускорения точки

1. При координатном способе задания движения ( уравнение (1.1). Разложение вектора ускорения точки по осям декартовой системы координат имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415.
Компоненты вектора ускорения представляют собой произ-водные соответствующих компонент вектора скорости или вторые производные соответствующих координат точки:
13 EMBED Equation.3 1415.
Абсолютная величина ускорения ( 13 EMBED Equation.3 1415.
Направление вектора ускорения определяется направляющими косинусами:
13 EMBED Equation.3 1415.
2. При траекторном способе задания движения точки ( уравнение (1.2). Ускорение точки в данный момент времени определяется как векторная сумма касательного и нормального ускорений:
13 EMBED Equation.3 1415.
Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Величина нормального ускорения определяется формулой
13 EMBED Equation.3 1415, (1.3)
где ( ( радиус кривизны траектории в данной точке.
Нормальное ускорение всегда направлено в сторону вогнутости траектории по нормали к траектории, к центру кривизны (рис. 1.3). Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине. Алгебраическая величина касательного ускорения равна:
13 EMBED Equation.3 1415.
При ускоренном движении касательное ускорение направлено в сторону скорости (рис. 1.3,а); при замедленном движении ( в сторону, противоположную направлению скорости (рис. 1.3,б). Абсолютная величина ускорения равна:
13 EMBED Equation.3 1415.



Определение радиуса кривизны траектории точки

В том случае, когда движение задано координатным способом, радиус кривизны траектории определяется следующим образом:
( по формулам координатного способа задания движения (1.1) определяются скорость и полное ускорение точки:
13 EMBED Equation.3 1415;
( по формулам траекторного способа задания движения (1.2) определяются нормальное и касательное ускорения:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
и далее ( радиус кривизны траектории по формуле (1.3):
13 EMBED Equation.3 1415. (1.4)

Порядок выполнения задания

Движение точки задано кинематическими уравнениями в соответствии с номером варианта задачи (см. таблицу «Исходные данные» с. 10-14).
1. Определить траекторию точки и изобразить ее на чертеже. Указать на ней положение точки в заданные моменты времени, обозначив их М0 и М1 (М0 – в момент времени t = 0; М1 ( в момент t = t1).
2. Определить алгебраические величины проекций скорости точки в общем виде, а затем для момента времена t = t1. По найденным алгебраическим величинам проекций скорости построить вектор на чертеже и вычислить его величину.
3. Определить алгебраические величины проекций ускорений точки на оси координат в общем виде, а затем для момента времени t = t1. Построить вектор ускорения на чертеже и вычислить его величину.
4. Для определения касательного ускорения необходимо иметь проекцию вектора скорости точки на касательную в виде функции времени: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, тогда касательное ускорение точки опреде-ляется по формуле 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Определить 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 для момента време-ни t = t1 и построить этот вектор на чертеже.
5. Установить характер движения точки в момент времени t = t1 (по направлениям векторов 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415). Если векторы сонаправлены, то движение точки ускоренное, если они противоположны по направлению, то – замедленное.
6. Нормальное ускорение точки в момент времени определяется из равенства
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,
в котором каждый из векторов 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 вычислен в этот момент времени. Вектор 13 EMBED Equation.3 1415 построить на чертеже.
7. Радиус кривизны траектории точки в момент времени t = t1 определить по формуле (1.4).


Исходные данные

№ вар.
x =x(t)
y =y(t)
z =z(t)
t1, с


м


1
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
0
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415


0
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
вар.
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
t1, с


м


3
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
0
0


13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
0
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415


0
13 EMBED Microsoft Equ
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· Equation 3.0 1415
0
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415


13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
0
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
1


0
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415



№ вар.
x =x(t)
y =y(t)
z =z(t)
t1, с


м


8
0
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415


13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
0
1


13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
0
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· вар.
x =x(t)
y =y(t)
z =z(t)
t1, с


м


13
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
0
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415


0
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
1


13 EMBED Microsoft Equatio
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·№ вар.
x =x(t)
y =y(t)
z =z(t)
t1, с


м


19
0
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415


13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
0
13 EMBED Microsoft Equation 3.
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
П р и м е р.  Движение точки задано кинематическими урав-нениями: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, где x и y в м, а t ( в с.
1. Определить траекторию точки и построить её на чертеже. Указать на ней положения точки в заданные моменты времени, обозначить их 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 (13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415– в момент времени 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415– в момент 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 с) ( pис. 1.4. Исключив параметр 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 из уравнений, получим
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Так как 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, то 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 ( это уравнение окруж-ности с радиусом 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
При 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415


Рис. 1.4

При 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 с, 13 EMBED MathType 6.0 Equation 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415а (м),
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415, так как 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Для момента времени 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 определить и построить на чертеже:
( скорость точки 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 (м/с),
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415(м/с),
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
( модуль вектора скорости.
Направляющие косинусы вектора скорости:
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
( ускорение точки 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Модуль вектора ускорения точки 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415:
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Направляющие косинусы вектора ускорения точки:
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
3. Определить касательное и нормальное ускорения точки 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 ( постоянные величины;
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Полное ускорение точки 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 равно нормальному ускорению, так как скорость по величине постоянна: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
4. Определить характер движения точки: точка 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 движется по окружности равномерно!
5. Определить радиус кривизны траектории точки в момент 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415:
13 EMBED Equation.3 1415( нормальное ускорение;
отсюда
13 EMBED Equation.3 1415 ( радиус окружности траектории точки 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.




З А Д А Н И Е К2
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ (ОКОЛО) НЕПОДВИЖНОГО ПОЛЮСА

Цель – определить кинематические элементы: векторы угловой скорости, углового ускорения абсолютно твердого тела при его вращении вокруг неподвижного полюса, а также векторы скоростей и ускорений некоторых точек тела при указанном движении.

Краткие сведения из теории

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвиж-ного полюса называется такое его движение, при котором одна точка твердого тела (или точка, неизменно связанная с ним) остается неподвижной относительно выбранной системы отсчета.
Точка О – неподвижная точка твердого тела – является началом двух систем координат (рис. 2.1): Oxyz – неподвижная (инерциальная) система координат, неизменно связанная с выбранной системой отсчета; O
·
·
· – неизменно связанная с движущимся телом система координат.
Рис. 2.1

Положение твердого тела относительно неподвижной системы координат определяется углами Эйлера:
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – угол ротации или собственного вращения; 13 EMBED Equation.3 1415 – угол прецессии; 13 EMBED Equation.3 1415 – угол нутации; 13 EMBED Equation.3 1415– ось нутации (линия узлов) – линия пересечения плоскостей yOz и
·О
· .


Кинематические характеристики вращательного движения твердого тела вокруг (около) неподвижного полюса


К кинематическим характеристикам твердого тела, вращаю-щегося вокруг (около) неподвижного полюса, относятся угловая скорость 13 EMBED Equation.3 1415 и угловое ускорение 13 EMBED Equation.3 1415. Угловой скоростью вращения твердого тела вокруг (около) неподвижного полюса называется векторная физическая величина, изображаемая закрепленным вектором, имеющим начало в неподвижном полюсе, и полностью характеризующая вращение данного тела вокруг (около) этого полюса. В проекциях на оси ротации, прецессии и нутации (рис. 2.2) угловая скорость записывается в виде
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – угловая скорость ротации или собственного вращения; 13 EMBED Equation.3 1415 – угловая скорость прецессии; 13 EMBED Equation.3 1415 – угловая скорость нутации; 13 EMBED Equation.3 1415– орты осей 13 EMBED Equation.3 1415 (ротации), 13 EMBED Equation.3 1415 (прецессии), 13 EMBED Equation.3 1415 (нутации), соответственно.

П р и м е ч а н и е: 13 EMBED Equation.3 1415 – орты неподвижной системы координат Oxyz, 13 EMBED Equation.3 1415 ( орты связанной системы координат O
·
·
·.


Рис. 2.2

Величина и направление угловой скорости определяются по алгебраическим величинам ее проекций на оси:
( неподвижной системы координат Oxyz:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; (2.1)
13 EMBED Equation.3 1415;
( связанной системы координат O
·
·
·:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Величина угловой скорости
13 EMBED Equation.3 1415,
ее направление в системе координат Oxyz определяется направ-ляющими косинусами:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
(аналогично определяется направление 13 EMBED Equation.3 1415 в системе координат O
·
·
·).
Ось, проходящая через неподвижный полюс и коллинеарная с вектором угловой скорости твердого тела, называется мгновенной осью вращения твердого тела. Уравнение мгновенной оси вращения в системе координат Oxyz
13 EMBED Equation.3 1415,
в системе координат O
·
·
·
13 EMBED Equation.3 1415.
Коническая поверхность с вершиной в неподвижной точке, представляющая геометрическое место мгновенных осей враще-ния в неподвижной системе координат Oxyz, называется непод-вижным аксоидом, в подвижной системе координат O
·
·
· – подвижным аксоидом.
Угловым ускорением твердого тела, вращающегося около неподвижного полюса, называется векторная физическая вели- чина, изображаемая закрепленным вектором, имеющим начало в этом полюсе, и характеризующая изменение угловой скорости в данный момент времени как по величине, так и по направле- нию.
Вектор углового ускорения тела определяется как первая производная вектора угловой скорости по времени: 13 EMBED Equation.3 1415.
Величина и направление углового ускорения могут быть найдены через алгебраические величины проекций на оси коорди- нат:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
здесь 13 EMBED Equation.3 1415 определяются по формулам (2.1):
13 EMBED Equation.3 1415,
направление вектора 13 EMBED Equation.3 1415 определяется направляющими косинусами углов:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
П р и м е ч а н и е. Аналогично можно было бы определить 13 EMBED Equation.3 1415.
Частный случай – регулярная прецессия – вращение твердого тела около неподвижного полюса, при котором во все время движения остаются постоянными угол нутации 13 EMBED Equation.3 1415 и величины угловых скоростей прецессии (13 EMBED Equation.3 1415) и собственного вращения (ротации) (13 EMBED Equation.3 1415):
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
В этом случае абсолютная величина угловой скорости
13 EMBED Equation.3 1415
и вектор 13 EMBED Equation.3 1415 во все время движения находится в плоскости нутации xO
· (рис. 2.3).
Угловое ускорение 13 EMBED Equation.3 1415 определяется формулой
13 EMBED Equation.3 1415, (2.2)
а его линия действия во все время движения твердого тела будет совпадать с линией узлов (осью нутации) 13 EMBED Equation.3 1415.
Рис. 2.3
Скорость и ускорение произвольной точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного полюса

Скорость произвольной точки М твердого тела определяется по формуле
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, (2.3)
где 13 EMBED Equation.3 1415 – радиус-вектор точки М относительно неподвижного полюса (рис. 2.4,а). Величина скорости 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 – расстояние от точки М до мгновенной оси вращения 13 EMBED Equation.3 1415. Направление вектора скорости определяется направлением векторного произведе- ния (2.3).
Величина и направление скорости точки могут быть определены через алгебраические величины ее проекций на оси координат Оxyz (или аналогично на оси O
·
·
·):
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,
где (x, y, z) – координаты данной точки, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 – алгебраи-ческие величины проекций угловой скорости на оси координат Оxyz, вычисленные по формулам (2.1).


Ускорение точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного полюса, определяется из геометрической суммы двух ускорений: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 – осестремительного и вращательного 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 2.4,б).
Величина и направление каждой из составляющих ускорений определяются формулами
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 (2.4)
по величине 13 EMBED Equation.3 1415; (2.5)
по величине 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 – расстояние от точки М до линии действия углового ускорения.
Осестремительное ускорение 13 EMBED Equation.3 1415 всегда направлено по перпендикуляру, опущенному из точки М на мгновенную ось вращения. Вращательное ускорение направлено по перпендикуляру к плоскости векторов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 в ту сторону, откуда поворот от 13 EMBED Equation.3 1415 к 13 EMBED Equation.3 1415 виден, против часовой стрелки. Полное ускорение точки находим геометрическим сложением векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, а по величине
13 EMBED Equation.3 1415. (2.6)


Порядок выполнения задания

Задача сформулирована отдельно для каждого варианта, чертежи к задачам помещены на схемах, необходимые данные – в таблице «Исходные данные», с. 33(36 (кроме вариантов, отмеченных звездочкой, с №№ 14, 15, 18, 19, 20, которые содержат исходные данные в условии задачи). Во всех вариантах рассматривается регулярная прецессия твердого тела.
1. Найти неподвижную точку вращения тела, выбираемую за начало отсчета неподвижной (инерциальной) и связанной коорди-натных систем. Выбрать оси прецессии 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, ротации 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
2. Определить угловые скорости нутации, прецессии, ротации, мгновенную угловую скорость 13 EMBED Equation.3 1415 и мгновенную ось вращения 13 EMBED Equation.3 1415. В зависимости от движения твёрдого тела вектор 13 EMBED Equation.3 1415 можно найти двумя путями: 1) определением 13 EMBED Equation.3 1415 по ее составляющим (2.1); 2) использованием мгновенной оси вращения.
По известной скорости 13 EMBED Equation.3 1415 какой-либо точки М твердого тела и положению оси 13 EMBED Equation.3 1415 найти величину 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 ( кратчайшее расстояние от точки М до мгновенной оси 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Определить угловое ускорение 13 EMBED Equation.3 1415 твердого тела. Как известно, 13 EMBED Equation.3 1415, где точка k – конец вектора 13 EMBED Equation.3 1415. В случае регулярной прецессии 13 EMBED Equation.3 1415 является закрепленным в точке О векто-ром и определяется по формуле (2.2).
4. Определить скорости произвольных точек твёрдого тела по формуле (2.3).
5. Определить ускорения произвольных точек твёрдого тела. Ускорение 13 EMBED Equation.3 1415 любой точки твёрдого тела определить по формуле 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, где осестремительное ускорение определяется по (2.4), а его величина 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, вращательное ускорение ( по (2.5), его величина 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Так как 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 всегда направлено по 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 к оси 13 EMBED Equation.3 1415, можно не пользоваться векторной формой для 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Наоборот, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 следует находить только в векторной форме.
Поскольку при вращении около полюса (в отличие от вращения около неподвижной оси) 13 EMBED Equation.3 1415 не коллинеарен 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, вообще говоря, не являются перпендикулярными векторами. Поэтому 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 следует находить после построения векторов на чертеже, и величина ускорения будет определяться по (2.6).
Для точек, лежащих на оси ротации твёрдого тела, справедливы и следующие зависимости:
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,
где 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 ( нормальное ускорение; 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 ( касательное ускорение; при регулярной прецессии 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 ( кратчайшее расстояние от точки, лежащей на оси ротации, до оси прецессии 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание выполняется с приведением эскизных чертежей. Величины, приводимые в таблицах «Исходные данные», считаются точными. Все векторы, лежащие в плоскости xOy (плоскости чертежа), должны быть изображены в этой плоскости; направление других векторов должно быть указано в тексте.


Варианты заданий (условия задач)

Вариант 1.
Прямой круговой конус с углом 2
· при вершине катится по плоскости без скольжения таким образом, что ускорение точки С – центра основания конуса – направлено по нормали к ее траектории и равно постоянной величине 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Высота конуса 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Определить:
1) алгебраические величины проекций угловых скоростей прецессии, ротации и мгновенной угловой скорости на оси 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 соответственно;
2) угловое ускорение конуса;
3) скорости точек А, В и С;
4) ускорения точек А и В (чему равен 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, составленный векторами 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415).

Вариант 2.
Прямой круговой усеченный конус катится без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости. Высота конуса 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, радиусы большого и малого оснований равны R и r.
Движение конуса происходит так, что скорость центра большего основания постоянна и равна 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Определить:
1) алгебраические величины проекций угловых скоростей прецессии, ротации и мгновенной угловой скорости на оси 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 соответственно;
2) алгебраическую величину проекции углового ускорения на ось 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
3) скорости точек А и В;
4) ускорения точек В и С.
Вариант 3.
Прямой круговой конус с углом 2
· при вершине катится без скольжения по неподвижной плоскости, делая n оборотов в минуту около вертикальной оси 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Высота конуса 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Определить:
1) алгебраические величины проекций угловых скоростей прецессии и ротации на оси 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 соответственно, а также мгновенную угловую скорость конуса;
2) угловое ускорение конуса;
3) скорости точек В и С;
4) ускорение точки В, а также осестремительное и вращатель-ное, нормальное и касательное ускорения точки С.

Вариант 4.
Конус 1 с углом 2
· при вершине катится без скольжения по неподвижному конусу 2 с углом 2
· при вершине. Высота конуса 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Движение конуса происходит так, что осестремительное ускорение центра С основания конуса 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 постоянно и равно 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Определить:
1) алгебраические величины проекций угловых скоростей прецессии и ротации на оси 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, соответственно, и мгновенную угловую скорость конуса;
2) угловое ускорение конуса;
3) скорость точки В;
4) ускорения точек В и С (найти вращательное, а также нормальное и касательное ускорения точки С).

Вариант 5.
Конус 1 с углом 2
· при вершине катится без скольжения по неподвижному конусу 2 с углом 2
· при вершине так, что скорость точки С центра основания конуса постоянна и равна 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 в данный момент времени. Высота конуса 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Определить:
1) угловую скорость прецессии, нутации и ротации и мгновенную угловую скорость конуса 1;
2) угловое ускорение конуса;
3) скорости точек А и В;
4) ускорения точек А и С (найти нормальное и осестреми-тельное ускорения точки С).

Вариант 6.
Прямой круговой конус 1 с углом 2
· при вершине катится без скольжения по неподвижному конусу 2, обегая его n раз в минуту. Угол при вершине неподвижного конуса равен 2
·, радиус основания конуса 1 равен R.
Определить:
1) угловые скорости прецессии, нутации, ротации и мгновенную угловую скорость конуса 1;
2) алгебраическую величину проекции углового ускорения конуса на ось 13 EMBED Equation.3 1415 в данный момент времени;
3) скорости точек В и С;
4) ускорение точки С – центра основания конуса. Указать нормальную и касательную составляющие, а также вращательное и осестремительное ускорения точки С. Какой угол
· составляют между собой 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415?

Вариант 7.
Конус 1 с углом 2
· при вершине катится без скольжения по неподвижному конусу 2 с углом 2
· при вершине, совершая за время Т один оборот вокруг вертикальной оси 13 EMBED Equation.3 1415 против часовой стрелки. Высота конуса 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Определить:
1) алгебраические величины проекций угловых скоростей прецессии и ротации на оси 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 соответственно и мгновенную угловую скорость конуса;
2) угловое ускорение конуса;
3) скорость точки В;
4) полное ускорение точки А; вращательное и осестремительное ускорения точки С; какой угол составляют между собой эти векторы?

Вариант 8.
Прямой круговой конус 1 высотой 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 с углом при вершине 2
· равномерно катится без скольжения по неподвижному конусу 2 с углом при вершине 2
·. Вращательное ускорение центра основания конуса 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Определить:
1) угловое ускорение конуса;
2) угловые скорости прецессии и ротации и мгновенную угловую скорость конуса;
3) скорости точек В и С;
4) осестремительное и полное ускорение точки С, а также касательную и нормальную составляющие ускорения этой точки.

Вариант 9.
Прямой круговой конус 1 высотой 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 с углом при вершине 2
· равномерно катится без скольжения по неподвижному конусу 2 с углом при вершине 2
·. Ускорение точки М конуса, лежащей на середине его образующей, равно: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Определить:
1) угловое ускорение конуса;
2) угловые скорости прецессии, ротации и мгновенную угловую скорость конуса;
3) скорости точек С и В;
4) ускорение точки С и точки N, лежащей на середине обра-зующей ОВ.

Вариант 10.
Прямой круговой конус 1 с углом при вершине 2
· и радиусом основания R перекатывается без скольжения по неподвижному конусу 2 с углом при вершине 2
·. Подвижный конус совершает n оборотов в минуту вокруг своей оси симметрии 13 EMBED Equation.3 1415.
Определить:
1) угловые скорости прецессии, нутации и мгновенную угловую скорость конуса;
2) угловое ускорение конуса;
3) скорости точек В и С;
4) вращательное, осестремительное и полное ускорения точки С, а также ее касательное и нормальное ускорения; ускорение точки А.
Вариант 11.
Прямой круговой конус 1 с углом при вершине 2
· и радиусом основания R перекатывается без скольжения по неподвижному конусу 2 с углом при вершине 2
·. Центр основания конуса С описывает полную окружность 90/
· раз в минуту.
Для данного положения конуса (сечение OAB совпадает с плоскостью Oxy) и указанного стрелкой направления его движения определить и построить на чертеже:
1) угловые скорости прецессии, ротации и мгновенную угловую скорость конуса;
2) угловое ускорение конуса;
3) скорости точек A и B;
4) ускорение точки С (указать нормальную и касательную составляющие, а также вращательное и осестремительное ускорения точки С). Определить угол
·, который составляют между собой 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.

Вариант 12.
Прямой круговой конус 1 высотой 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 с углом 2
· при вершине равномерно катится без скольжения по внутренней поверхности конуса 2 с углом 2
· при вершине. Ускорение точки М, лежащей на половине образующей ОА, равно: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Определить:
1) Угловые скорости прецессии, нутации, ротации и мгновенную угловую скорость конуса;
2) Угловое ускорение конуса;
3) Скорости точек А, В и С;
4) Ускорения точек В и С.

Вариант 13.
Прямой круговой конус 1 с углом 2
· при вершине и радиусом основания R катится без скольжения по внутренней поверхности неподвижного конуса 2 с углом 2
· при вершине. Скорость точки С основания конуса постоянна и равна 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 в данный момент времени.
Определить:
1) алгебраические величины проекций угловых скоростей прецессии и ротации на оси 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 соответственно и мгновенную угловую скорость конуса;
2) угловое ускорение конуса;
3) скорость точки В;
4) ускорение точки А;
5) ускорение точки N, лежащей на середине образующей ОВ конуса. Под каким углом
· к образующей конуса ОВ направлен вектор 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415?


Вариант 14.
Конический каток равномерно вращается вокруг полюса О так, что точка С описывает окружность со скоростью 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 = 2 м/с. Размеры катка: ОС=СА=СВ = 2 м, СK=KM=KN = 1 м.
Для данного положения катка (сечение MABN совпадает с плоскостью Oxy) и указанного стрелкой направления его движения определить и построить на чертеже:
1) угол нутации, угловые скорости прецессии, ротации и мгновенную угловую скорость катка;
2) угловое ускорение катка;
3) скорости точек A и B;
4) ускорение точек N и C (найти также вращательную и осестремительную, нормальную и касательную составляющие ускорения точки С).


Вариант 15.
Конический каток равномерно вращается вокруг полюса О так, что точка C описывает окружность за
· с. Размеры катка: OC=CA=CB = 2 м, CK=KM=KN = 1 м.
Для данного положения катка (сечение MABN совпадает с плоскостью Oxy) и указанного стрелкой направления его движения определить и построить на чертеже:
1) угловые скорости прецессии, ротации и мгновенную угловую скорость катка.
2) угловое ускорение катка.
3) скорости точек В и N.
4) ускорения точек M и C (найти также вращательную и нормальную составляющие ускорения точки С).


Вариант 16.
Коническая зубчатая шестерня радиуса r, находясь в зацеплении с плоской неподвижной шестерней радиуса R, движется таким образом, что величина ускорения центра С шестерни постоянна и равна 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Определить:
1) угловые скорости прецессии, ротации, нутации и мгновенную угловую скорость шестерни;
2) угловое ускорение шестерни;
3) скорости точек А, В и С;
4) ускорения точек А и В.

Вариант 17.
Кривошип ОС равномерно вращается против часовой стрелки около вертикальной оси 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, делая n оборотов в минуту. В точке С на него свободно насажена коническая шестерня радиуса r, перекатывающаяся по зубчатому основанию радиуса R.
Пренебрегая высотой зубьев, определить:
1) алгебраические величины проекций угловых скоростей прецессии, ротации и мгновенной угловой скорости шестерни на оси 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 соответственно;
2) угловое ускорение шестерни;
3) скорости точек А и В;
4) ускорения точек С и В.

Вариант 18.
Конический каток равномерно вращается вокруг полюса О, имея скорость в центре основания конуса в точке С 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 = 2 м/с. Размеры конуса: ОС=СА=СВ = 2 м, СK=KM=KN = 1 м.
Для данного положения катка (сечение MABN совпадает с плоскостью Oxy) и указанного стрелкой направления его движения определить и построить на чертеже:
1) угловые скорости прецессии, ротации и мгновенную угловую скорость катка;
2) угловое ускорение катка;
3) скорости точек B и K;
4) ускорение точек M и С.
Вариант 19.
Конический каток равномерно вращается вокруг полюса О так, что точка C описывает окружность за
· с. Размеры катка: OC=CA=CB = 2 м, CK=KM=KN = 1 м.
Для данного положения катка (сечение MABN совпадает с плоскостью Oxy) и указанного стрелкой направления его движения определить и построить на чертеже:
1) угловые скорости прецессии, ротации и мгновенную угловую скорость катка;
2) угловое ускорение катка;
3) скорости точек N и B;
4) ускорения точек B и C (указать величины составляющих ускорений точки С: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415).

Вариант 20.
Конический каток равномерно вращается вокруг полюса О, имея скорость в центре С основания конуса 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 = 2 м/с. Размеры конуса: OC=CA=CB = 2 м, CK=KM=KN = 1 м.
Для данного положения катка (сечение MABN совпадает с плоскостью Oxy) и указанного стрелкой направления его движения определить и построить на чертеже:
1) угловые скорости прецессии, ротации, нутации и мгновенную угловую скорость катка;
2) угловое ускорение катка;
3) скорости точек N и C;
4) ускорения точек B и C.


Исходные данные


вар
2
·
2
·
h
r
R

w1
n
T


град
м
м/с
м/с2
об/мин
с

1
90
-
0,12
-
-
-
0,13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
-
-


60
-
0,12
-
-
-
0,13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
-
-


60
-
0,10
-
-
-
0,13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
-
-



вар.
2
·
2
·
h
r
R
vC
w1
n
T


град
м
м/с
м/с2
об/мин
с

2
-
-
0,40
0,40
0,80
2,00
-
-
-


-
-
0,13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
0,30
0,50
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
-
-
-


-
-
0,50
0,50
1,00
1,
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·0
h
r
R
VC
w1
n
T


град
м
м/с
м/с2
об/мин
с

8
120
60
0,12
-
-
-
0,13 EMBED Microsoft Equation 3.0
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·ft Equation 3.0 1415
-
-
-


45
120
-
-
0,15
0,13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
-
-
-


60
90
-
-
0,18
0,13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
-
-
-

14(
-










-







-


-







-

15(
-







-


-










-





-
-
-




вар.
2
·
2
·
h
r
R
vC
w1
n
T


град
м
м/с
м/с2
об/мин
с

16



0,20
0,40
-
0,90
-
-


-
-
-
0,30
0,60
-
1,20
-
-


-
-
-
0,20
0,13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
-
0,60
-
-

17
-
-
-
0,10
0,13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
-
-
120
-


-
-
-
0,15
0,13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
-
-
90
-


-
-
-
0,20
0,13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
-
-
60
-

18(
































19(
































20(


































Рисунки к вариантам 1(20

Стр. 37-41

П р и м е р. Конус 1 с углом 2( при вершине катится без скольжения (в указанном стрелкой направлении) по неподвижному конусу с углом 2( при вершине. Высота конуса 1 OC = h. Движение конуса происходит так, что осестремительное ускорение центра С основания конуса 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 постоянно и равно 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Исходные данные ( в таблице и на рис. 2.5.

Рис. 2.5


Определить:
1) алгебраические величины проекций угловых скоростей прецессии и ротации на оси 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 соответственно и мгновенную угловую скорость конуса;
2) угловое ускорение конуса;
3) скорость точки В;
4) ускорение точек В и С (найти вращательное, а также нормальное и касательное ускорения точки С).
Исходные данные: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 13 EMBED Equation.3 14150,36 м/с2.
Решение. Осестремительное ускорение точки С определяется по формуле (2.4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, а модуль вектора 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, где ( ( мгновенная угловая скорость конуса, а 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 ( расстояние по перпендикуляру от точки С до мгновенной оси вращения конуса 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, (pис. 2.6). На рисунке 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Рис. 2.6

Тогда можно определить
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Стрелка на pис. 2.6 указывает, что вращение конуса 1 происходит по ходу часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси прецессии 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 противоположна по направлению оси 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Далее по теореме синусов для векторного треугольника OMP (см. рис. 2.6) можно записать:
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. (2.7)
Векторный треугольник построен так, что 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 (оси прецессии), а 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 (оси ротации), 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 (мгновенной оси вращения).
Из (2.7)
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Определили угловые скорости прецессии 13 EMBED Equation.3 1415 и ротации 13 EMBED Equation.3 1415, соответственно, причем 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Проанализируем результат:
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 (2.8)
Имеем регулярную прецессию, так как выполняется условие (2.8).
3. При регулярной прецессии вектор углового ускорения конуса 13 EMBED Equation.3 1415 определяется по формуле (2.3) 13 EMBED Equation.3 1415.
Величину углового ускорения конуса определить по формуле
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415 (см. рис. 2.6).
Вектор углового ускорения 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; в силу (2.2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
4. Вектор скорости точки В определяется по формуле (2.3): 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Тогда величина вектора скорости 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, где 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 ( кратчайшее расстояние от точки В до мгновенной оси вращения 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Вектор скорости точки В по направлению совпадает с осью 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 (см. формулу (2.3)).
5. Вектор ускорения точки В определить по формуле 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 как векторную сумму осестремительного и вращательного ускорений точки В. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 13 EMBED Equation.3 1415(м/с2) ( величина осестремительного ускоре- ния точки В. (направление всегда известно по наименованию (см. рис. 2.6)).
Вектор вращательного ускорения 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 определить из векторного произведения (2.5) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, тогда 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 (м/с2).
Вектор 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и направлен в силу (2.5), как показано на рис. 2.6.
Полное ускорение точки В, вектор 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 определить по теореме косинусов (2.6): 13 EMBED Equation.3 1415. Угол 13 EMBED Equation.3 1415=60°, cos60°=0,5.
Тогда 13 EMBED Micr
· "tґ¶єјѕЪЬвджимор
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·osoft Equation 3.0 1415 (м/с2) (с точностью до трех значащих цифр).
Направление вектора 13 EMBED Equation.3 1415 (см. рис. 2.6) построить как диагональ параллелограмма со сторонами 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Обратить внимание на то, что угол между 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 не равен 90°, как это бывает при вращении тела вокруг неподвижной оси.
6. Точка 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, поэтому вектор ускорения 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 можно определить как векторную сумму касательного 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и нормального 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 ускорений точки С, т.е. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Касательное ускорение 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 13 EMBED Equation.3 1415 м/с2 = const, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, расстояние от точки С до оси 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Тогда вектор ускорения точки С совпадает с ее нормальным ускорением 13 EMBED Equation.3 1415, а величина 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 = 0,18 (м/с2), 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 м/с2  ( ускорение точки С (см. pис. 2.6).
Вектор 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, направлен к центру О окружности радиуса 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, по которой движется точка С в результате прецессии.
Вращательное ускорение точки С определить по формуле (2.5) векторного произведения 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Величина 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 (м/с2), 13 EMBED Equation.3 1415 =13 EMBED Equation.3 1415 м.
Вектор 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и направлен, как на рис. 2.6, ( см. форму- лу (2.5).



З А Д А н и е К3
Плоскопараллельное движение твердого тела

Цель ( в положении механизма, указанном на чертеже, соответ-ствующем номеру варианта и заданном углом (, определить аналитически и построить на чертеже:
1) положение мгновенных центров скоростей всех звеньев, совершающих плоскопараллельное движение;
2) скорости всех точек механизма;
3) угловые скорости всех звеньев;
4) ускорение точки A;
5) ускорения других точек механизма (по указанию преподавателя) методом полюса;
6) угловые ускорения соответствующих звеньев;
7) касательное и нормальное ускорения точки B;
8) установить характер движения точки B (ускоренное, замедленное, мгновенная остановка).

Краткие сведения из теории

Движение твердого тела называется плоским, если все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. Скорости точек тел, совершающих рас-сматриваемое движение, будем определять методом мгновенного центра скоростей. Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Порядок выполнения задания

Механизм, состоящий из нескольких звеньев, совершает движение в плоскости чертежа. Ведущее звено механизма – кривошип OA – вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью 13 EMBED Equation.3 1415 и приводит в движение ведомые звенья AB, O1B, EF и т.д.
На чертеже изобразить в соответствующем масштабе механизм в заданном положении ведущего звена (масштаб указать).
Выяснить вид движения каждого звена (поступательное, вращательное, плоскопараллельное).
В механизмах, рассматриваемых в различных вариантах зада-ния, встречаются ползуны, перемещающиеся вдоль своих направ-ляющих, т.е. совершающие поступательное движение. Кроме того, присутствуют кривошипы (на чертежах это стержни, имеющие неподвижную точку). Они совершают вращение вокруг неподвиж-ной оси, проходящей через неподвижную точку, перпендикулярно плоскости чертежа. И, наконец, остальные стержни (не имеющие неподвижной точки) перемещаются в плоскости чертежа, т.е. совершают плоскопараллельное движение.
Выбрать систему отсчета, с которой связать оси координат Oxyz так, чтобы ось 13 EMBED Equation.3 1415 была направлена перпендикулярно плоскости чертежа на читателя.
Определить скорость 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 точки A ведущего звена и изобразить этот вектор на чертеже в масштабе (масштаб указать). Вектор 13 EMBED Equation.3 1415 направлен перпендикулярно отрезку OA в сторону вращения кривошипа.
Перейти к следующему звену ( AB или ABF, совершающему плоскопараллельное движение, и найти для него положение мгновенного центра скоростей. Нам известны скорость точки A и линия действия скорости точки B (или точки F). Проведем перпендикуляры к скоростям. В точке пересечения перпендикуляров будет находиться мгновенный центр скоростей CAB звена AB (или ABF). Разделив 13 EMBED Equation.3 1415 на расстояние ACAB, найдем угловую скорость 13 EMBED Equation.3 1415 (или 13 EMBED Equation.3 1415) звена AB (или ABF). Направление вращения звена AB (или ABF) вокруг оси 13 EMBED Equation.3 1415 найдем, зная направление скорости 13 EMBED Equation.3 1415. Зная 13 EMBED Equation.3 1415 (или 13 EMBED Equation.3 1415) и положение точки CAB, определим скорости всех точек рассматриваемого звена. Для этого, соединив точки B, M, с точкой CAB, измерим расстояния BCAB, MCAB, . Умножив 13 EMBED Equation.3 1415 (или 13 EMBED Equation.3 1415) на соответствующие расстояния, получим скорости 13 EMBED Equation.3 1415, Отложить скорости точек следует перпендикулярно отрезкам, соединяющим точки с мгновенным центром скоростей CAB, в направлении, определяемом поворотом рассматриваемого звена вокруг оси, проходящей через мгновенный центр скоростей.
Перейти к следующему звену. Если следующее звено, например O1B, совершает вращательное движение вокруг оси 13 EMBED Equation.3 1415, нужно определить его угловую скорость, разделив 13 EMBED Equation.3 1415 на расстояние O1B от точки B до оси вращения. Направление вращения, т.е. направление 13 EMBED Equation.3 1415, определится исходя из направления 13 EMBED Equation.3 1415.
Аналогично найти мгновенный центр скоростей второго звена, совершающего плоскопараллельное движение, и скорости отдельных его точек. При этом учесть, что скорости точек, принадлежащих звеньям, вращающимся вокруг неподвижных осей, направлены перпендикулярно радиусам вращения, а скорости ползунов направлены по прямым, по которым перемещаются ползуны.
Все найденные скорости точек и угловые скорости звеньев изобразить на чертеже. Затем перейти к определению ускорений указанных на чертеже точек и угловых ускорений звеньев.
Ускорение точки A ведущего звена OA, вращающегося вокруг неподвижной оси, определить по формуле 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415– вращательное ускорение точки A. Так как кривошип OA вращается с постоянной угловой скоростью 13 EMBED Equation.3 1415, то угловое ускорение 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 – осестремительное ускорение точки A.
Звено OA приводит в движение ведомое звено (например, AB), совершающее плоскопараллельное движение. Найти ускоре- ние точки B (или другой точки), которая либо является ползу- ном, либо принадлежит звену O1B, вращающемуся вокруг неподвижной оси 13 EMBED Equation.3 1415. Ускорение искать по методу полюса, приняв за полюс точку A:
13 EMBED Equation.3 1415. (3.1)
Ускорение полюса 13 EMBED Equation.3 1415 строить в точке B. Определить 13 EMBED Equation.3 1415 – осестремительное ускорение точки B по отношению полюса A. Отложить 13 EMBED Equation.3 1415 в масштабе (масштаб указать), направляя его по звену от точки B к полюсу.
Вращательное ускорение точки B по отношению к полюсу A: 13 EMBED Equation.3 1415 определить нельзя, так как 13 EMBED Equation.3 1415 неизвестно и найти его дифференцированием 13 EMBED Equation.3 1415 по времени нельзя (13 EMBED Equation.3 1415 известна только для данного положения механизма).
Для 13 EMBED Equation.3 1415 известна только его линия действия, перпендикулярная AB. По ней направить ось 13 EMBED Equation.3 1415, считая, что вектор 13 EMBED Equation.3 1415 сонаправлен с 13 EMBED Equation.3 1415. Далее действовать в зависимости от того, чем является точка B. Если точка B – ползун, то направить ось 13 EMBED Equation.3 1415 вдоль направляющей ползуна, ось 13 EMBED Equation.3 1415 перпендикулярно 13 EMBED Equation.3 1415.
Проецируя (3.1) на оси 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, найти 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 (углы снимаем с чертежа). Если они положительны, то направить векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 в сторону осей 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 соответственно, если отрицательны, то в противоположную осям сторону.
Величина углового ускорения 13 EMBED Equation.3 1415, а его направление определить из векторного равенства: 13 EMBED Equation.3 1415.
Если точка B принадлежит кривошипу, то записать ускорение точки B как точки O1B при вращательном движении:
13 EMBED Equation.3 1415. (3.2)
Осестремительное ускорение точки B по отношению к оси 13 EMBED Equation.3 1415 найти по формуле 13 EMBED Equation.3 1415 и направить к оси вращения. Туда же направить ось 13 EMBED Equation.3 1415.
Для вращательного ускорения 13 EMBED Equation.3 1415, зная линию действия (по линии действия 13 EMBED Equation.3 1415), по ней направить ось 13 EMBED Equation.3 1415.
Приравнять равенства (3.1) и (3.2):

13 EMBED Equation.3 1415. (3.3)
Спроецировать (3.3) на оси 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 и найти 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. По ним найти 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Направления угловых ускорений определить из векторных равенств 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. По равенству (3.2) опреде-лить ускорение 13 EMBED Equation.3 1415. Затем найти ускорение точек M, F, , принадлежащих звену AB. Так как, 13 EMBED Equation.3 1415 нам уже известно, то ускорение найти по методу полюса, геометрически складывая три составляющие.
Затем перейти к ускорению точки, принадлежащей следую-щему звену, действуя при этом согласно изложенной выше схеме.
При определении касательного и нормального ускорения точки B следует учесть следующее. Если точка B – ползун, т.е. перемещается по прямой, то полное ускорение точки B равно касательному ускорению, а нормальное ускорение тождественно равно нулю. Если точка B принадлежит кривошипу, то осестремительное ускорение по отношению к оси 13 EMBED Equation.3 1415 является нормальным ускорением точки B, а вращательное ускорение – касательным. Если точка B принадлежит звену, совершающему плоскопараллельное движение, то нужно разложить ее ускорение на две взаимно перпендикулярные составляющие, направив одну из них по скорости, – это касательное ускорение точки B, вторая составляющая ( нормальное ускорение.
Если касательное ускорение точки B совпадает по направлению со скоростью, то движение точки B ускоренное, если противоположно скорости, то замедленное. Если скорость точки B в данном положении механизма равна нулю, то точка B совершает мгновенную остановку. Чертеж и все расчеты данной работы можно выполнить, используя графический редактор «Компас».



Исходные данные

Вар.
OA
AB
O1B
O1E
EF
O1O
BE
AF
AM
a
b
c

·

·

·


м
град
град
рад
·с-1

1
0,4
0,4
0,4
1,0
1,14
1,1
0,4
0,4
0,4
-
0,8
0,8
0,8
1,0
1,0
1,0
-
-
0,5
0,7
0,5
-
-
-
120
120
120
90
135
120
1,2
1,4
1,6

2
0,5
0,5
0,5
0,5
0,72
0,56
0,4
0,4
0,4
-
1,2
1,2
1,2
-
-
-
0,2
0,54
0,4
0,2
0,2
0,2
0,3
0,3
0,3
0,5
0,5
0,5
45
45
45
180
30
10
1,2
1,4
1,6

3
0,5
0,5
0,5
0,6
1,44
1,4
0,5
0,5
0,5
-
-
-
1,2
1,2
1,2
-
0,4
1,06
0,7
0,8
0,8
0,8
0,4
0,4
0,4
-
-
115
225
325
1,2
1,4
1,6

4
0,3
0,3
0,3
0,2
0,62
0,8
-
-
-
-
0,8
0,8
0,8
0,8
1,02
0,84
0,5
0,67
0,8
-
-
-
30
30
30
150
250
315
1,2
1,4
1,6

5
0,3
0,3
0,3
1,0
1,2
0,8
0,8
0,8
0,8
-
1,0
1,0
1,0
1,5
1,5
1,5
0,8
0,8
0,8
-
0,6
0,7
0,4
0,4
0,4
0,4
-
-
30
60
60
43
210
300
1,2
1,4
1,6

6
0,36
0,36
0,36
0,72
1,2
1,04
-
-
0,94
0,94
0,94
-
-
0,5
1,1
0,52
0,24
0,65
0,62
0,8
0,8
0,8
-
-
120
55
77
35
240
340
1,2
1,4
1,6

7
0,3
0,3
0,3
0,96
0,86
1,04
0,6
0,6
0,6
-
1,1
1,1
1,04
-
-
1,18
1,06
1,25
0,4
0,44
0,4
1,6
1,6
1,6
0,7
0,7
0,7
-
-
90
120
30
1,2
1,4
1,6


Вар.
OA
AB
O1B
O1E
EF
O1O
BE
AF
AM
a
b
c

·

·

·


м
град
град
рад
·с-1

8
0,4
0,4
0,4
1,0
1,32
0,65
0,6
0,6
0,6
-
1,0
0,9
0,95
0,8
0,8
0,8
-
0,8
1,14
0,46
0,2
1,0
0,24
0,3
0,3
0,3
-
-
-
115
240
60
1,2
1,4
1,6

9
0,6
0,6
0,6
1,12
1,28
1,06
-
0,7
0,7
0,7
0,7
0,7
0,7
-
0,6
0,6
0,6
-
0,5
0,5
0,5
2,0
2,0
2,0
0,5
0,5
0,5
-
30
30
30
27
45
15
1,2
1,4
1,6

10
0,3
0,3
0,3
0,6
0,64
0,42
0,7
0,7
0,8
-
0,2
0,2
0,2
1.0
1,0
1,0
-
0,7
0,77
0,54
0,2
0,2
0,2
0,8
0,8
0,8
0,4
0,4
0,4
-
-
82
90
30
1,2
1,4
1,6

11
0,27
0,27
0,27
0,6
0,5
0,76
0,6
0,6
0,6
-
0,6
0,54
0,62
1,0
1,0
1,0
-
0,5
0,5
0,57
0,3
0,3
0,41
-
-
-
-
120
90
145
1,2
1,4
1,6

12
0,4
0,4
0,4
0,5
0,55
1,15
0,6
0,6
0,6
0,6
0,6
0,6
1,2
1,2
1,2
0,8
0,8
0,8
-
-
0,25
0,25
0,25
-
-
-
45
45
45
100
90
70
1,2
1,4
1,6

13
0,4
0,4
0,4
0,4
0,3
0,37
0,5
0,5
0,5
0,3
0,3
0,3
0,7
0,7
0,7
0,6
0,6
0,6
-
-
0,2
0,12
0,15
-
-
-
50
50
50
60
80
70
1,2
1,4
1,6

14
0,3
0,3
0,3
0,5
0,42
0,52
0,7
0,7
0,7
-
0,6
0,6
0,6
0,9
0,9
0,9
-
0,2
0,13
0,22
0,3
0,3
0,3
-
-
-
-
90
80
100
1,2
1,4
1,6


Вар.
OA
AB
O1B
O1E
EF
O1O
BE
AF
AM
a
b
c

·

·

·


м
град
град
рад
·с-1

15
0,3
0,3
0,3
0,8
0,55
0,47
0,5
0,5
0,5
-
1,0
1,0
0,9
0,7
0,7
0,7
0,3
0,3
0,3
-
0,4
0,16
0,3
-
-
-
-
130
80
60
1,2
1,4
1,6

16
0,3
0,3
0,3
0,58
0,5
0,62
-
-
-
-
0,7
0,7
0,7
0,2
0,2
0,2
0,3
0,3
0,3
1,0
1,0
1,0
0,7
0,7
0,7
-
45
45
45
75
90
60
1,2
1,4
1,6

17
0,25
0,25
0,25
0,65
0,9
0,82
-
-
0,8
0,9
0,9
-
-
0,45
0,45
0,45
0,25
0,28
0,25
0,4
0,4
0,4
-
-
-
50
120
90
1,2
1,4
1,6

18
0,45
0,45
0,45
0,87
0,61
1,42
0,7
0,7
0,7
0,4
0,4
0,4
0,62
0,62
0,62
0,5
0,5
0,5
-
-
0,62
0,42
1,15
-
-
-
60
60
60
80
120
300
1,2
1,4
1,6

19
0,3
0,3
0,3
0,7
0,93
0,8
0,5
0,5
0,5
0,7
0,7
0,7
0,7
0,7
0,7
-
-
-
0,5
0,73
0,6
0,4
0,4
0,4
0,3
0,3
0,3
0,3
0,3
0,3
-
80
130
270
1,2
1,4
1,6

20
0,3
0,3
0,3
0,9
0,62
0,75
0,3
0,3
0,3
-
0,4
0,58
0,38
0,8
0,8
0,8
-
0,3
0,19
0,14
0,7
0,39
0,5
0,2
0,2
0,2
-
-
-
60
35
30
1,2
1,4
1,6

21
0,4
0,4
0,4
1.0
0,56
1,25
0,6
0,6
0,6
0,2
0,2
0,2
0,6
0,6
0,6
0,8
0,8
0,8
-
-
0,3
0,38
0,6
-
0,2
0,2
0,2
-
-
130
60
270
1,2
1,4
1,6



Вар
OA
AB
O1B
O1E
EF
O1O
BE
AF
AM
a
b
c

·

·

·


м
град
град
рад
·с-1

22
0,3
0,3
0,3
0,6
0,32
0,14
0,5
0,5
0,5
-
0,8
0,8
0,96
0,36
0,36
0,36
-
0,4
0,13
0,08
0,2
0,25
0,1
-
0,9
0,9
0,9
-
-
65
10
330
1,2
1,4
1,6

23
0,4
0,4
0,4
1,2
0,46
1,2
0,2
0,2
0,2
-
0,9
0,9
0,9
1,0
1,0
1,0
-
1,0
0,26
1,0
0,3
0,13
0,73
-
0,5
0,5
0,5
-
-
210
350
180
1,2
1,4
1,6

24
0,5
0,5
0,5
1,0
1,9
0,53
-
-
0,6
0,6
0,32
-
-
0,3
1,2
0,83
0,1
1,0
0,5
-
0,4
0,4
0,5
-
-
20
150
270
1,2
1,4
1,6

25
0,4
0,4
0,4
1,2
0,62
1,0
0,2
0,2
0,2
-
0,5
0,5
0,5
1,0
1,0
1,0
-
0,7
0,25
0,53
0,4
0,5
0,76
-
0,3
0,3
0,3
-
-
80
180
270
1,2
1,4
1,6


П р и м е ч а н и е. Рисунок (а) соответствует первой строке данных; рисунок (б) – второй; рисунок (в) – третьей.






Вариант 1 Вариант 2


Вариант 3 Вариант 4



Вариант 5 Вариант 6


Вариант 7 Вариант 8



Вариант 9 Вариант 10



Вариант 11 Вариант 12



Вариант 13 Вариант 14



Вариант 15 Вариант 16



Вариант 17 Вариант18



Вариант 19 Вариант 20



Вариант 21 Вариант 22



Вариант 23 Вариант 24






Вариант 25


















П р и м е р (см. рис. 3.1). Звено ОА и треугольник О1BF вра-щаются вокруг неподвижных осей 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415, перпендикулярных плоскости чертежа, ползун E перемещается вдоль вертикальной направляющей, совершая поступательное движение, звенья AB и FE совершают плоскопараллельное движение. Скорость точки A 13 EMBED Equation.3 1415 м/с, 13 EMBED Equation.3 1415 перпендикулярна отрезку OA и направлена в сторону вращения кривошипа. Найдем мгновенный центр скоростей звена AB. Перпендикуляром к скорости 13 EMBED Equation.3 1415 является звено O1B. Так как OA||O1B, то 13 EMBED Equation.3 1415 || 13 EMBED Equation.3 1415 и при этом 13 EMBED Equation.3 1415 не перпендикулярна отрезку AB, соединяющему точки, т.е. в данный момент времени звено AB совершает мгновенное поступательное движение, 13 EMBED Equation.3 1415 и скорости точек B и M геометрически равны скорости 13 EMBED Equation.3 1415. Откладываем их на чертеже. Найдем угловую скорость треугольника: 13 EMBED Equation.3 1415 рад /с.

Рис. 3.1
По направлению 13 EMBED Equation.3 1415 определим, что звено BO1F вращается по часовой стрелке. Так как O1F=O1B, то 13 EMBED Equation.3 1415. Откладываем 13 EMBED Equation.3 1415 перпендикулярно отрезку O1F, соединяющему точку F с осью вращения 13 EMBED Equation.3 1415. Ищем точку СFE ( мгновенный центр скоростей звена FE. Для этого продолжаем отрезок O1F и проводим горизонтальную прямую через точку Е (перпендикуляр к 13 EMBED Equation.3 1415, которая направлена вдоль вертикальной образующей ползуна). Найдем угловую скорость звена FE: 13 EMBED Equation.3 1415 рад /с.
По направлению 13 EMBED Equation.3 1415 определим, что звено FE поворачивается вокруг оси 13 EMBED Equation.3 1415 по часовой стрелке. Скорость ползуна E найдем по формуле 13 EMBED Equation.3 1415 м/с, 13 EMBED Equation.3 1415 направлена по вертикали вниз.
Ускорение точки A ведущего звена OA определим по формуле 13 EMBED Equation.3 1415.
Вращательное ускорение 13 EMBED Equation.3 1415, так как звено OA вращается с постоянной угловой скоростью, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 м/с2, 13 EMBED Equation.3 1415 откладываем в масштабе и направляем от точки A к оси вращения 13 EMBED Equation.3 1415. Ищем ускорение точки B по методу полюса, приняв за полюс точку A:
13 EMBED Equation.3 1415, (3.4)
13 EMBED Equation.3 1415 параллельным переносом строим в точке B: 13 EMBED Equation.3 1415, так как 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415, но
·AB нам не известно. Перпендикулярно AB проводим ось 13 EMBED Equation.3 1415 и считаем, что 13 EMBED Equation.3 1415 сонаправлено с 13 EMBED Equation.3 1415. C другой стороны, ускорение точки B как точки кривошипа O1B равно:
13 EMBED Equation.3 1415, (3.5)
13 EMBED Equation.3 1415 м/с2, 13 EMBED Equation.3 1415 отложим по О1B, направляя его из точки B к оси вращения 13 EMBED Equation.3 1415. Туда же направим ось 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415, но 13 EMBED Equation.3 1415 нам также не известно. Будем считать, что 13 EMBED Equation.3 1415 и направим по нему ось 13 EMBED Equation.3 1415. Приравняем правые части (3.4) и (3.5):
13 EMBED Equation.3 1415. (3.6)
Спроецируем (3.6) на оси 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Из этих равенств находим:
13 EMBED Equation.3 1415-0,984 м/с2, 13 EMBED Equation.3 1415= -0,671 м/с2.
Направляем 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Из формулы (3.5) находим ускорение точки B по теореме Пифагора:
13 EMBED Equation.3 1415=0,743 м/с2.
По формуле (3.4) проверяем правильность нахождения 13 EMBED Equation.3 1415. Находим угловые ускорения звеньев:
13 EMBED Equation.3 1415=0,728 рад/с2, 13 EMBED Equation.3 1415=1,342 рад/с2.
Направления векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 определяем по правилу векторного произведения:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 направлен на читателя
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 направлен на читателя.
Затем определяем ускорение точки F:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, так как O1F=O1B.
Строим вектор 13 EMBED Equation.3 1415 на чертеже.
Теперь ищем ускорение точки M, приняв за полюс точку A: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 параллельным переносом строим в точке M, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 м/с2.
Направление вектора 13 EMBED Equation.3 1415 определяем из векторного произведения: 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415 находим по теореме косинусов:
13 EMBED Equation.3 1415=0,34 м/с2.
Затем находим ускорение точки E, приняв за полюс точку F:
13 EMBED Equation.3 1415. (3.7)
13 EMBED Equation.3 1415 параллельным переносом строим в точке E: 13 EMBED Equation.3 1415 м/с2, 13 EMBED Equation.3 1415 направляем по звену к точке F; 13 EMBED Equation.3 1415, но 13 EMBED Equation.3 1415 нам не известно. Перпендикулярно FE проводим ось 13 EMBED Equation.3 1415 и считаем, что 13 EMBED Equation.3 1415 сонаправлено с 13 EMBED Equation.3 1415.
По направляющей ползуна направляем ось 13 EMBED Equation.3 1415, к точке СFE направляем ось 13 EMBED Equation.3 1415.
Спроецируем равенство (3.7) на оси 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Из этих равенств находим
13 EMBED Equation.3 1415= -0,27 м/с2, 13 EMBED Equation.3 1415= 0,53 м/с2.
Угловое ускорение 13 EMBED Equation.3 1415 определяем по формуле 13 EMBED Equation.3 1415=0,25 рад/с2, направление вектора 13 EMBED Equation.3 1415 ( из векторного произведения: 13 EMBED Equation.3 1415, угловое ускорение 13 EMBED Equation.3 1415 направ-лено на читателя.


З А Д А н и е К4
движение точки относительно двух систем отсчета, перемещающихся одна относительно другой

Цель ( определить скорость и ускорение точки по отношению к основной (неподвижной) системе отсчета.

Краткие сведения из теории

В некоторых случаях бывает целесообразно изучать движение точки одновременно по отношению к двум системам координат, одна из которых совершает заданное движение по отношению к другой (основной), принимаемой за неподвижную. Скорость и ускорение точки по отношению к подвижной системе координат называются относительными. Переносной скоростью точки называется скорость той точки подвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка.

Порядок выполнения задания

Текст задачи сформулирован в соответствии с номером варианта задания, чертежи к задаче (в соответствии с номером варианта) помещены на схеме, необходимые исходные данные – в таблице. Во всех вариантах система отсчета Oxyz является основной (неподвижной), ось 13 EMBED Equation.3 1415 принадлежит подвижной системе отсчета.
Установить относительное и абсолютное движения точки M. Установить переносное движение. Во всех вариантах данной задачи переносное движение является вращательным.
Изобразить рисунок согласно заданной строке числовых данных.
Определить кинематические величины (положение, скорость и ускорение) относительного движения точки. Для этого следует воспользоваться формулами задания К1.
При определении параметров относительного движения пере-носное движение мысленно останавливаем, т.е. считаем, что диск D или стержень AOB неподвижны.
Найти положение точки M для заданного момента времени t = t1. Если в относительном движении точка движется по окружности (варианты 1–15), то нужно определить траекторную координату s. Отношение траекторной координаты к радиусу окружности R, по которой движется точка, дает угол
· между прямыми OH и OM. Относительная скорость точки M определится по формуле
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – орт касательной в данной точке траектории, направлен-ный в сторону возрастания траекторной координаты.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Относительное ускорение точки M определить по формуле
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – касательное (направлено по касательной к траектории), а 13 EMBED Equation.3 1415 – нормальное (направлено к точке O1) ускорения точки:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – радиус кривизны траектории в данной точке, ( = R.
Все векторы определить в момент времени t = t1 и изобразить на чертеже 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 (не определяя 13 EMBED Equation.3 1415).
Если в относительном движении точка движется по прямой (варианты 16–25), то определить траекторную координату s и в зависимости от знака s отложить по оси 13 EMBED Equation.3 1415 отрезок длиной HM в направлении, совпадающем с 13 EMBED Equation.3 1415 или в противоположном.
Относительное ускорение 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415, так как нормальное ускорение при движении точки по прямой равно нулю.
Определить кинематические величины (скорость и ускорение) точки в переносном движении. При определении параметров переносного движения относительное движение мысленно останавливаем.
Так как переносное движение является вращением твердого тела вокруг неподвижной оси, то можно использовать формулы соответствующего раздела кинематики.
Если по условию задачи задано уравнение вращательного движения диска или пластинки (варианты 1–10), то следует найти проекции угловой скорости и углового ускорения на ось вращения по формулам
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
для момента времени t = t1.
Если 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, то векторы угловой скорости и углового ускорения направлены по оси вращения в сторону оси 13 EMBED Equation.3 1415. При отрицательных значениях проекций векторы направлены в противоположную сторону.
Для вариантов 11–20 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 заданы по условию. Для вариантов 21–25 найти 13 EMBED Equation.3 1415.
Переносная скорость точки M определится по формуле
13 EMBED Equation.3 1415,
где h – расстояние точки M до оси вращения тела D, ( – модуль его угловой скорости.
Вектор 13 EMBED Equation.3 1415 направлен перпендикулярно радиусу вращения в сторону вращения тела, связанного с подвижной системой отсчета.
Переносное ускорение точки
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – осестремительное ускорение точки, 13 EMBED Equation.3 1415 – враща-тельное ускорение точки.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 – всегда направлено к оси вращения, 13 EMBED Equation.3 1415 – перпендикулярно радиусу вращения. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415((13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415((13 EMBED Equation.3 1415.
Все векторы определить в момент времени t = t1 и изобразить на чертеже 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (не определяя 13 EMBED Equation.3 1415).
Определить направление вектора ускорения Кориолиса по формуле
13 EMBED Equation.3 1415
и модуль ускорения Кориолиса 13 EMBED Equation.3 1415. Если 13 EMBED Equation.3 1415 или один из векторов 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 обращается в ноль, то 13 EMBED Equation.3 1415.
В противном случае 13 EMBED Equation.3 1415 перпендикулярен плоскости, проходящей через 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, и направлен таким образом, чтобы поворот от 13 EMBED Equation.3 1415 к 13 EMBED Equation.3 1415 на кратчайший угол казался происходящим против хода часовой стрелки, если смотреть с конца резуль-тирующего вектора 13 EMBED Equation.3 1415.
Определить 13 EMBED Equation.3 1415 в момент времени t = t1 и изобразить 13 EMBED Equation.3 1415 на чертеже.
Определить скорость точки M относительно неподвижной системы координат (абсолютную скорость)
13 EMBED Equation.3 1415. (4.1)
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то абсолютную скорость определять алгебраи-ческим сложением 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415, то по теореме Пифагора:
13 EMBED Equation.3 1415.
В противном случае абсолютную скорость определять по теореме косинусов:
13 EMBED Equation.3 1415.
Абсолютное ускорение ( по формуле
13 EMBED Equation.3 1415. (4.2)
Чтобы определить модуль абсолютного ускорения, нужно спроецировать равенство (4.2) на оси неподвижной системы координат и найти
13 EMBED Equation.3 1415.


Варианты заданий (условия задач)


Варианты 1–5. Диск D вращается вокруг неподвижной оси 13 EMBED Equation.3 1415 так, что уравнение её вращательного движения имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, где k – заданная постоянная величина. По пластинке, по дуге ABC окружности радиусом R, движется точка M так, что траекторная координата этого движения изменяется согласно уравнению 13 EMBED Equation.3 1415, где a, b, c – заданные постоянные величины (траекторная координата отсчитывается от точки H). Определить скорость и ускорение точки M относительно неподвижной системы отсчёта Oxyz в момент времени t = t1.


Варианты 6–10. Диск D вращается вокруг неподвижной оси 13 EMBED Equation.3 1415, перпендикулярной плоскости чертежа, так, что уравнение её вращательного движения имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. По ободу диска движется точка M, траекторная координата этого движения, отсчитываемая от точки H, изменяется согласно уравнению 13 EMBED Equation.3 1415, где s0, A0, k – заданные постоян- ные величины. Определить скорость и ускорение точки M в момент времени t = t1 относительно неподвижной системы отсчёта Oxyz.


Варианты 11–15. По окружности диска D радиусом R движется точка M так, что траекторная координата s, отсчиты-ваемая от точки H изменяется согласно уравнению 13 EMBED Equation.3 1415, где a и b – заданные постоянные величины. Диск D ускоренно (или замедленно) вращается вокруг неподвижной оси 13 EMBED Equation.3 1415, расположенной в плоскости диска, имея в момент времени t1 проекции на ось вращения угловой скорости 13 EMBED Equation.3 1415 и углово- го ускорения 13 EMBED Equation.3 1415. Определить скорость и ускорение точки M в момент времени t = t1 относительно неподвижной системы отсчета Oxyz.


Варианты 16–20. Стержень AOB вращается ускоренно (или замедленно) вокруг неподвижной оси 13 EMBED Equation.3 1415, имея в момент времени t1 проекции на ось вращения угловой скорости 13 EMBED Equation.3 1415 и углового ускорения 13 EMBED Equation.3 1415. По стержню движется точка M так, что уравнение её движения имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415 (отсчет 13 EMBED Equation.3 1415 производится от точки O), где 13 EMBED Equation.3 1415 – заданные постоянные величины. Определить скорость и ускорение точки M в момент времени t = t1 относительно неподвижной системы отсчёта Oxyz.

Варианты 21–25. Диск D вращается вокруг неподвижной оси 13 EMBED Equation.3 1415, расположенной в плоскости диска, с угловой скоростью 13 EMBED Equation.3 1415 рад/с. По радиусу диска в направлении оси 13 EMBED Equation.3 1415 движется точка M. Траекторная координата этого движения, отсчитываемая от точки H, изменяется согласно уравнению 13 EMBED Equation.3 1415, где R, k, b, l – заданные постоянные величины. Определить скорость и ускорение точки M в момент времени t = t1 относительно неподвижной системы координат Oxyz.

Исходные данные

№ вар.
a
l
R
k
b
c
t1


м
рад с-2
м/с
м/с2
с

1
0
0,5
·
-0,2
·
4,0
2,0
1,6
2,0
1,0
0,8
0,007
0,5
·
0,5
0,1
·
0
0,8
0
-0,5
·
0,4
10,0
1,0
0,5

2
-0,8
·
0,2
·
0
3,2
0,8
2,4
1,6
0,4
1,2
0,5
1,25
2,0
0
0,1
·
-0,6
·
0,2
·
0,1
·
-1,2
·
2,0
1,0
0,5

3
0,2
·
0
-0,8
·
0,4
1,2
1,6
0,4
1,2
1,6
0,5
·
2,0
1,0
0,1
·
-0,6
·
0
0,1
·
-1,2
·
0,2
·
1,0
0,5
2,0

4
-0,6
·
1,2
·
0
-
-
-
2,4
4,8
1,6
1,0
1,0
1/32
0,6
·
-1,2
·
0
1,2
·
2,4
·

·/60
1,0
1,0
4,0

5
0
0
0
13 EMBED Equation.3 1415
1,513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2,0
3,0
1,0
0,5
·
0,125
·
0,25
·
0
0
0

·
-1,5
·
0,5
·
1,0
1,0
1,0


№ вар.
a
R
l
b

·z

· z
t1


м
c-1
рад/с
рад/с2
с


11

·
2
·
0,4
·13 EMBED Equation.3 1415
2,0
4,0
1,2
-
-
-

·/6

·/3
7
·/4
2
-1
-3
-1,0
0,5
-1,0
1,0
0,5
1,0


12
0,4
·
0,6
·
1,2
·13 EMBED Equation.3 1415
0,6
1,2
2,4
-
-
-

·/3

·/6
7
·/4
3
2
-4
1,0
-0,5
2,0
0,5
1,0
1,0


13
3
·13 EMBED Equation.3 1415
1,2
·
1,5
·13 EMBED Equation.3 1415
9,0
1,8
3,0
0,7
0,9
1,0

·/3

·/2
7
·/2
2
-1
3
-2,0
1,0
0,5
1,0
1/3
0,5


14
0,6
·
1,6
·
0,8
·13 EMBED Equation.3 1415
1,2
2,4
0,8
0,6
1,0
0,8

·

·/6
10
·/3
-4
2
-3
1,0
1,0
2,0
1/6
1,0
0,5


15
1,6
·
5
·
2
·13 EMBED Equation.3 1415
3,2
5,0
6,0
1,0
5,0
3,0

·/3

·/6
10
·/3
2
3
-2
2,0
-1,0
1,0
0,5
1,0
0,5


№ вар.
l
R
S0
A0
k

·
t1


м
с-1
рад с-3
с

6
3,613 EMBED Equation.3 1415
7,2
0
3,6
·

·/6
1/3
1,0


1,0
2,713 EMBED Equation.3 1415
2,4
5,4
-1,2
·
0
2,4
·
1,8
·

·/3
2
·/3
1
13 EMBED Equation.3 1415
0,5
0,25

7
-
-
-
6,0
1,8
3,6
3,5
·
0
0
3,0
·
0,4
·13 EMBED Equation.3 1415
0,813 EMBED Equation.3 1415
·
11
·/3

·/3
5
·/3
4
1
2/3
0,5
1,0
1,0

8
0,613 EMBED Equation.3 1415
2,4
4,213 EMBED Equation.3 1415
1,2
4,8
8,4
0
-3,6
·
0
0,6
·13 EMBED Equation.3 1415
2,413 EMBED Equation.3 1415
·
4,213 EMBED Equation.3 1415
·

·
0,5
·

·/3
9
4,5
1/25
1/3
2/3
5

9
-
-
-
4,8
2,4
3,6
3,6
·
0
0
2,4
·13 EMBED Equation.3 1415
1,2
·
1,8
·

·

·/3
11
·/6
9/25
4
1
5/3
0,5
1,0

10
2,25
1,8
4,0
4,5
3,6
8,0
0
0
6
·
1,5
·
1,2
·
4
·

·/6
11
·/3
11
·/6
1
4
1/3
1,0
0,5
1,0


№ вар.
a
AO
OB

·0
b

·z

·z
t1


м
с-1
рад с-1
рад с-2
с

16
0,20
0,80
0,05
1,0
0,8
0,4
1,0
0,8
0,4
-0,5
0
0,2

·

·/4
2
·
1,0
0,5
-0,5
0,5
-0,5
-1,0
1/3
2/3
4/3

17
0,2
0,1
0,3
2,0
1,6
3,0
1,0
0,8
1,5
0,5
0,4
1,0

·

·/4
2
·
2,0
-1,0
0,5
1,0
1,0
-1,0
1/3
2/3
4/3

18
0,313 EMBED Equation.3 1415
0,4513 EMBED Equation.3 1415
0,5
1,2
1,8
2,0
0,613 EMBED Equation.3 1415
0,913 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
0,313 EMBED Equation.3 1415
0,4513 EMBED Equation.3 1415
0,513 EMBED Equation.3 1415
0,5
·
0,5
·
0,5
·
2,0
0,5
4,0
-1,0
-1,0
2,0
3,0
1,0
2,0

19
0,5
0,8
0,6
0,4
0,6
0,8
1,0
1,6
1,2
0,5
0,8
0,6
3
·

·

·/4
2,0
-2,0
0,5
1,0
2,0
-0,5
0,5
1,0
2,0

20
0,2
0,3
0,2
0,813 EMBED Equation.3 1415/3
1,213 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415/3
1,2
1,2
0,5
0,4
0,6
0,2
3
·

·

·/2
3,0
-1,0
0,5
1,0
2,0
-0,5
0,5
1,0
1,0




№ вар.
R
l
b
k
t1


м
с-1
рад c-2
с

21
2,0
4,0
1,2
0
0
0

·/6

·/3
7
·/4
2
4
1
1,0
0,5
1,0

22
0,6
1,2
2,4
0
0
0

·/3

·/6
7
·/4
2
3
4
0,5
1,0
1,0

23
9,0
1,8
3,0
13 EMBED Equation.3 1415
0,313 EMBED Equation.3 1415
0,513 EMBED Equation.3 1415

·/3

·/2
7
·/2
2
3
4
1,0
1/3
0,5

24
1,2
2,4
0,8
0
0
0

·

·/6
10
·/3
3
1
2
1/6
1,0
0,5

25
3,2
5,0
6,0
0,213 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
0,8

·/3

·/6
10
·/3
4
1
1
0,5
1,0
0,5





















































П р и м е р (см. рис. 4.1). 13 EMBED Equation.3 1415 м, R = 2,4 м, 13 EMBED Equation.3 1415 с-1, 13 EMBED Equation.3 1415= 2 рад/с, 13 EMBED Equation.3 1415 =- 1 рад/с2, t1 = 1,0 с.

Рис. 4.1

Определим положение точки M в заданный момент времени.
Траекторная координата при t = t1:
13 EMBED Equation.3 1415 м.
Найдем угол
·, на который повернется радиус O1M из начального положения (O1H) в данное:
13 EMBED Equation.3 1415.
Изобразим текущее положение точки M.
Относительное движение – движение точки M по окружности радиуса R.
Относительная скорость точки M:
13 EMBED Equation.3 1415 м/с.
Так как проекция относительной скорости на направление касательной к траектории положительна, то вектор относительной скорости 13 EMBED Equation.3 1415 направлен по касательной к окружности в сторону положительного отсчета дуги.
Относительное ускорение при движении точки по окружности складывается из нормального и касательного ускорений:

13 EMBED Equation.3 1415.

Нормальное ускорение
13 EMBED Equation.3 1415 м/с2.
Нормальное ускорение направляем к точке O1 – центру окружности.
Касательное ускорение
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 м/с2.
Так как проекция относительного ускорения на направление касательной к траектории отрицательна, то вектор касательного ускорения 13 EMBED Equation.3 1415 направлен по касательной к окружности в сторону отрицательного отсчета дуги, т.е. относительное движение точки замедленное.
Переносное движение – вращение диска D вокруг неподвижной оси 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то вектор угловой скорости 13 EMBED Equation.3 1415 направлен в сторону оси 13 EMBED Equation.3 1415; так как 13 EMBED Equation.3 1415, то вектор углового ускорения 13 EMBED Equation.3 1415 направлен в сторону, противоположную оси 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. переносное движение замедленное.
Точка M перемещается по окружности радиусом 13 EMBED Equation.3 1415 м.
Переносная скорость точки M
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 м/с.
Если смотреть с конца вектора 13 EMBED Equation.3 1415, то диск D поворачивается против часовой стрелки, т.е. вектор переносной скорости 13 EMBED Equation.3 1415 направлен на нас.
Переносное ускорение точки M при вращении диска вокруг неподвижной оси складывается из осестремительного и вращательного:
13 EMBED Equation.3 1415.
Осестремительное ускорение
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 м/с2.
Вектор 13 EMBED Equation.3 1415 направлен по перпендикуляру MN к оси вращения 13 EMBED Equation.3 1415.
Вращательное ускорение
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 м/с2.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 направлены в противоположные стороны, то 13 EMBED Equation.3 1415 направлено в сторону, противоположную 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. за чертеж.
Ускорение Кориолиса.
Направление вектора ускорения Кориолиса 13 EMBED Equation.3 1415 определяется по формуле 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 направлен перпендикулярно плоскости чертежа на нас. Величина ускорения Кориолиса опреде-ляется по формуле 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 = 4,19 м/с2.
Абсолютное движение – движение точки M относительно неподвижной системы отсчета Oxyz (сложное).
Абсолютная скорость
13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 взаимно перпендикулярны, то модуль абсолютной скорости определим по теореме Пифагора:
13 EMBED Equation.3 1415.
Абсолютное ускорение
13 EMBED Equation.3 1415.
В нашей задаче
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Проецируя это равенство на оси неподвижной системы координат Oxyz, получим:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 -8,27 м/с2;

13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 м/с2;

13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 м/с2;

13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 м/с2. Строить векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 на рисунке не нужно.


Библиографический список

1. Курс теоретической механики / Под ред К.С. Колесникова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2002. 304 с.
2. Бутенин, Н.В. Курс теоретической механики. Т. 1. Статика и кинематика / Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р. Меркин. СПб.: Лань, 2002.



П р и л о ж е н и е

Образец титульного листа расчетной работы


Балтийский государственный технический университет «Военмех»
Кафедра теоретической механики и баллистики



Расчетная работа
по теоретической механике (раздел «Кинематика»)


Вариант №

З а д а н и е  К1.  Кинематика точки.
З а д а н и е  К2.  Вращательное движение твердого тела вокруг (около) неподвижного полюса.
З а д а н и е  К3.  Плоскопараллельное движение твердого тела.
З а д а н и е  К4.  Движение точки относительно двух систем отсчета, перемещающихся одна относительно другой.


Выполнил(а) студент(ка)
...
Группа


Принял преподаватель (ФИО)
(подпись)

Дата сдачи / приема.



Санкт-Петербург
201






С о д е р ж а н и е


13 TOC \o "1-1" \h \z \u 1413 LINK \l "_Toc292794684" 14З а д а н и е  К1. 1513 LINK \l "_Toc292794685" 14Кинематика точки 13 PAGEREF _Toc292794685 \h 1441515
13 LINK \l "_Toc292794686" 14З а д а н и е  К2. 15В13 LINK \l "_Toc292794687" 14ращательное движение твердого тела вокруг (около) неподвижного полюса 13 PAGEREF _Toc292794687 \h 14181515
13 LINK \l "_Toc292794688" 14З а д а н и е  К3. 1513 LINK \l "_Toc292794689" 14Плоскопараллельное движение твердого тела 13 PAGEREF _Toc292794689 \h 14471515
13 LINK \l "_Toc292794690" 14З а д а н и е  К4. 1513 LINK \l "_Toc292794691" 14Движение точки относительно двух систем отсчета, перемещающихся одна относительно другой 13 PAGEREF _Toc292794691 \h 14731515
Библиографический список 96
13 LINK \l "_Toc292794692" 14П р и л о ж е н и е. 1513 LINK \l "_Toc292794693" 14Образец титульного листа расчетной работы 13 PAGEREF _Toc292794693 \h 14971515
15









Кинематика: контрольные задания для выполнения расчетных и курсовых работ



Составители: Рябинина Татьяна Николаевна, Рупасова Наталия Евгеньевна




Подписано в печать 15.09.2011. Формат бумаги 60х84/16. Бумага документная.
Печать трафаретная. Усл. печ. л. 5,75. Тираж 450 экз. Заказ № 189.
Балтийский государственный технический университет
190005, С.-Петербург, 1-я Красноармейская ул., д.1










13PAGE 15




13PAGE 141515


13PAGE 144815




13PAGE 149315




13PAGE 146715



К41

Кинематика: контрольные задания для выполнения расчетных и курсовых работ / Сост.: Т.Н. Рябинина, Н.Е. Рупасова; под ред. Г.Т. Алдошина; Балт. гос. техн. ун-т. ( СПб., 2011. ( 98 с.

Пособие содержит четыре задания, индиви-дуальность которых обеспечивается их много-вариантностью. Приводятся краткие сведения из теории, порядок и примеры выполнения заданий.
Предназначено для студентов машинострои-тельных и механических специальностей, а также может быть полезно для инженерно-технических работников и преподавателей.

Посвящается светлой памяти
наших учителей и коллег
Евгении Федоровны Зеновой
и Тамары Ивановны Кузнецовой

а) б)

в)

Рис. 1.1

0

а) б)

М

М









n

n


·


·


Рис. 1.3

а) б)



13 EMBED Equation.3 1415






·


·

y

x

E

0


·

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415



13 EMBED Equation.3 1415


Рис. 2.4

а) б)



13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

0

M

h
·

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415







13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

M





13 EMBED Equation.3 1415





y



Вариант 1 Вариант 2

Вариант 3 Вариант 4

Вариант 5 Вариант 6

Вариант 7 Вариант 8

Вариант 9 Вариант 10

Вариант 11 Вариант 12

Вариант 13 Вариант 14

Вариант 15 Вариант 16

Вариант 17 Вариант 18 Вариант 19

Вариант 20 Вариант 21

Вариант 22 Вариант 23

Вариант 24 Вариант 25

R



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native=Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 24100
    Размер файла: 7 MB Загрузок: 8

Добавить комментарий