Инфор-ка поиска упр реш



ъ

ББК 32.882 УДК 621.399 К66
М, А. Кораблин
К66 Информатика поиска управленческих решений. М.: СОЛОН-Пресс,
2003. 192 с: ил. (Серия «Библиотека студента»).
ISBN 5-98003-082-4
Монография посвящена вопросам использования современных информационных технологий в задачах поддержки принятия управленческих ре-, шений.
Содержит большое количество примеров и задач для проведения самостоятельного исследования систем управления, контрольные вопросы по технологии исследования и экономической интерпретации полученных результатов.
В качестве информационных систем поддержки принятия управленческих решений используются Solver (поиск решения на электронных таблицах EXCEL) и Micro Saint (имитационное моделирование).
Для менеджеров разных уровней и профессиональной ориентации, интересующихся вопросами использования информатики в практике анализа и исследования систем управления предприятиями и организациями, а также студентов, обучающихся по специальностям «Прикладная информатика (по отраслям)» и «Менеджмент».
Для быстрого и качественного освоения материалов к книге прилагается CD-диск.
ББК 32.882 УДК 621.339
Книги издательства «СОЛОН-Пресс» можно заказать наложенным платежом по фиксированной цене. Оформить заказ можно одним из двух способов:
послать открытку или письмо по адресу: 123242,Москва,а/я 20;
передать заказ по электронной почте (e-mail) на адрес: magazin@soton-r.ru.
При оформлении заказа следует правильно и полностью указать адрес, по которому должны быть высланы книги, в также фамилию, имя и отчество получателя. Желательно указать дополнительно свой телефон и адрес электронной почты.
Через Интернет Вы можете в любое время получить свежий каталог издательства «СОЛОН-Пресск Дли этого надо послать пустое письмо на робот-автоответчик по адресу: katatog@soton-r.ru.
Получать информацию о новых книгах нашего издательства Вы сможете, подписавшись на рассылку новостей по электронной почте. Для этого пошлите письмо по адресу: news@solo. В теле письма должно быть написано слово SUBSCRIBE.
Макет и Обложка «СОЛОН-Пресс», 2003 © М. А. Кораблин, 2003
tt J
Введение
Монография посвящена вопросам использования современных информационных технологий в задачах поддержки принятия управленческих решений. Это направление в современном менеджменте является одним из наиболее быстро развивающихся, что определяет появление новых информационных систем и их активное использование для решения новых, все более сложных проблем управления.

·
Изложение материала ориентировано на менеджеров разных уровней и профессиональной ориентации, интересующихся вопросами использования информационной поддержки принятия управлен-, ческих решений в практике управления предприятиями и организациями. Такая ориентация предполагает весьма поверхностный уровень изложения вопросов организации собственно информационных систем, основное внимание читателя акцентируется на конкретных примерах использования информационных технологий, поддерживаемых этими системами. Как выбрать ассортимент продукции, как вложить деньги в инвестиционный проект, стоит ли изменять структуру предприятия, как и чем при решении подобных проблем может по-мочь информатика вот основные вопросы, определяющие цель этого издания.
Вы не найдете здесь детального описания математических основ теории принятия решений они заменены поверхностным пользова-ьским уровнем использования информационной технологии, в корой «зашита» математика принятия решений. Материал не требует читателя каких-либо специальных знаний в области информатики вычислительной техники. Изложение доступно для каждого, кто знаком с информатикой на уровне компьютерной грамотности и хоч ет познакомиться с использованием информатики в решении прак тических задач управления.
В аудиторию читателей включаются также менеджеры, непосред-твенно связанные с проблематикой анализа и исследования систем правления, а также студенты вузов, обучающиеся по специальностям "Менеджмент" и «Информационные системы в экономике». Книга может быть использована в качестве учебного пособия при подготовке специалистов в области информационных технологий управления, производственного и операционного менеджмента, экономики и организации производства.
Введение

Введение

Методика изложения материала основана на разборе примеров проблемных ситуаций, при этом познавание собственно информационной системы осуществляется непосредственно при анализе и структуризации решаемой задачи. Разделы «Быстрое начало», предваряющие каждую из частей монографии, позволяют быстро почувствовать существо и стиль соответствующей информационной технологии, как получаются результаты и как их интерпретировать. Остальные разделы ориентированы на уточнение и объяснение деталей и дополнительных возможностей соответствующей информационной технологии в процессе исследования. При первом знакомстве с материалом их можно опустить.
Процессы принятия решений
Процессы принятия управленческих решений относятся к категории интеллектуальных процессов, непременным участником которых является носитель естественного интеллекта человек. С другой стороны, информатика поиска управленческих решений одно из направлений искусственного интеллекта связана с использованием новых информационных технологий и компьютерных моделей, выполняющих роль «советчика» в процессе принятия решений. Развитие таких технологий показывает, что подобный симбиоз естественного и искусственного не только все чаще используется в управленческой деятельности, но и в отдельных случаях является необходимым для принятия решения. Если естественный интеллект связан в первую очередь с интуицией и искусством принятия решений, то искусственный обладает особыми качествами, не свойственными человеку. Это в первую очередь способность анализа большого количества вариантов решения и выбора наилучшего в том или ином смысле.
В сфере информационных технологий хорошо известен класс систем поддержки принятия решений (Decision Support System DSS). Системы этого класса основаны на использовании так называемых решателей задач (Problem Solvers PS) пакетов программ, способных решить прикладную задачу. В этом контексте общая структура процесса принятия решения может быть проиллюстрирована рис. 1.1, отражающим вложенности сред принятия решений. Верхний уровень (собственно принятия решений) уровень взаимодействия лица, принимающего решение (ЛПР), со средой DSS, которая в свою очередь использует среду PS. Интерактивность взаимодействий предлагает ЛПР наиболее подходящий и со всех сторон «просчитанный» вариант решения.

Рис. 1.1. Отношения между DSS, PS и лицом, принимающим решение
Процесс принятия решений преследует определенные цели, например повысить производительность работы цеха или распределить финансовые вложения наиболее эффективным образом. В общем слу-|ае целей может быть несколько, и они могут иметь определенные противоречия дисбаланс целей.
Например, целевые установки отдела маркетинга могут не совпадать с целевыми установками производственного отдела или произ-водство комплектующих, ориентированное на максимальные объемы, может преследовать цели, противоречащие интересам сборочного производства, ориентированного на максимальные объемы реализации готовых изделий. Дисбаланс целей становится реальной проблемой в условиях корпоративных систем, территориально распределенных и работающих в разных организационно-финансовых условиях.
С формальной точки зрения любая целенаправленная деятельность должна характеризоваться показателями ее эффективности критериями или целевыми функциями, которые связывают эти пока-зателй с ситуацией, наблюдаемой на предприятиях или в организациях, занимающихся соответствующей деятельностью. Процесс деятельности на практике всегда реализуется в условиях определенных ресурсных ограничений, определяющих «рамки», в которых должна быть достигнута цель. Последовательность принимаемых управленческих решений, которые должны привести из наблюдаемой ситуации к желаемой, которая характеризуется требуемыми значениями показателей эффективности, определяют тактику и стратегию управления.
Любая система класса DSS связана с моделированием варианта принимаемого решения, тактики или стратегии управления. При этом модель должна рассматриваться как инструмент прогноза и предсказания ситуаций, которые могут возникнуть при принятии соответствующего решения. При получении такого прогноза ЛПР может пересмотреть выбранный вариант управления, смоделировать следствия
Введение
Введение

другого решения и т. д. Подобная итерационная технология, известная как технология «что если» (what if, свойственна всем системам класса DSS.
Основными научными направлениями, определяющими методологию, а также концептуальные и реализационные основы соответствующей информационной технологии поддержки принятия управлен-ческих решений, являются:
математическое программирование;
имитационное моделирование;
эвристическое программирование.
Первые два хорошо известны, они определяют содержание основных разделов исследования операций науки о математических и алгоритмических основах процессов принятия решений [1]. Эвристическое программирование как научное направление сложилось сравнительно недавно и на текущий момент рассматривается как один из разделов искусственного интеллекта, включающий в себя генетические алгоритмы, нечеткую логику, новые методы поиска (метод отжига, поиск с запретами) и т. д.
Решение любой задачи поиска с помощью DSS-технологий требует формального описания проблемной ситуации. Такое описание выполняется с использованием формальных понятий, составляющих основу информационной технологии. Например, в электронных таблицах такими понятиями являются: клеточная формула, изменяемая ячейка, граф зависимостей и т. п. Составить описание проблемной ситуации с использованием этих и им подобных понятий не всегда просто. Иногда для этого не хватает знаний в области информационной технологии, иногда в предметной области, а иногда даже при наличии таких знаний не удается установить адекватное соответствие между проблемной ситуацией и формальной моделью. В этом заключается проблема априорной неопределенности. Ситуация усугубляется еще и тем, что составление описания проблемной ситуации требует использования двух областей знаний: предметной области и формальной (собственно информационной технологии). Как правило, носителями этих знаний являются люди разных специальностей: менеджеры с одной стороны и системные аналитики, программисты, математики с другой стороны, поэтому формализация проблемы требует выработки общего понимания, общего языка для описания ситуации. Рисунок 1.2 иллюстрирует процесс взаимодействия носителей различных знаний лиц, участвующих в составлении формальных описаний проблемной ситуации. Разумеется, что в общем случае круг таких лиц может расширяться, при этом взаимодействие между ними в среде DSS определяет новый круг вопросов инженерии знаний.

Рис. 1.2. Формализация проблемной ситуации
Другая проблема поиска решения проблема размерности связана с тем, что количество управляемых факторов, определяющих организацию исследуемой системы, в общем случае может оказаться весьма большим. При этом алгоритм поиска, работающий с формально определенной моделью, оказывается не способным найти приемлемый вариант решения за ограниченное время. Причем понятие «весьма большое» довольно условно в некоторых задачах это десятки переменных, а в некоторых сотни и даже тысячи. Каждая такая переменная для ЛПР определяет своеобразную степень свободы возможность планировать изменение соответствующего фактора в ту или иную сторону.
Общее число таких степеней свободы регламентируется дополнительными ограничениями на пространство поиска. При большом количестве ограничений проблема выбора может превратиться в проблему существования единственного варианта, удовлетворяющего всем действующим ограничениям. Если же таких вариантов несколько, проблема приобретает оптимизационный характер необходимо найти наилучший (оптимальный) вариант решения. В этом плане во главу угла становится функция цели, реализующая критерий эффективности принимаемого решения. Значения этой функции фактически ранжируют варианты решений по их значимости (прибьшьности, своевременности, эффективности). В многокритериальных задачах та-
8
Введение

кое ранжирование может выполняться несколькими функциями, выражающими разные точки зрения на проблему. Возможно, что эти точки зрения принадлежат разным ЛПР. Например, продавец и покупатель одного и того же товара руководствуются разными критериями и по-разному понимают его оптимальность.
В целом по мере усложнения проблем поиска управленческих решений роль DSS-технологий заметно возрастает, и по всей вероятности эта тенденция имеет устойчивый характер.
В данной монографии излагаются две наиболее распространенные технологии поддержки принятия управленческих решений: поиск решения на электронных таблицах и имитационное моделирование. Первая освещается с использованием широко распространенного пакета SOLVER (в среде EXCEL), вторая с использованием учебной версии сравнительно мало известной в России системы Micro Saint [8], широко используемой в университетах США.
Часть 1
Поиск управленческих решений на электронных таблицах
Использование электронных таблиц широко распространено для решения многочисленных и разнообразных задач, связанных с учетом и контролем результатов управленческой деятельности: торгово-закупочных операций, производственных планов, бухучета и т. п. Вместе с тем форма электронной таблицы оказывается очень удобной при решении многих аналитических задач управления деятельностью, и в частности задач исследования операций и поиска оптимальных решений. Для решения таких задач в рамках наиболее распространенной системы электронных таблиц EXCEL используется пакет программ поиска решения (Solver). Этот пакет основан на использовании алгоритмов и методов математического программирования одного из основных направлений теории исследования операций.
Использование программы Solver не сложно, однако методика и технология компьютерного исследования на электронных таблицах освещены в литературе очень неполно. Это обстоятельство затрудняет формализацию практических задач и, более того, окружает разработку моделей некоторой завесой научной таинственности и малодоступности для практически мыслящего пользователя. В результате за рамками кругозора рядового пользователя остаются многие важные аспекты и возможности повышения эффективности его производственной деятельности.
Процесс исследования системы на электронных таблицах можно рассматривать как естественное продолжение обычной ежедневной практической деятельности, связанной с вычислениями на таблицах. Для этого нужно просто посмотреть на эту деятельность под другим углом зрения и задаться вопросом: «А что, если?..» Что если изменить условия оплаты товара, что если увеличить площади складских помещений и т. п. К каким изменения это приведет? Ответ на такой вопрос тесно связан с размышлениями на тему какова оптимальная стратегия и тактика использования производственных ресурсов, как достигнуть «точки оптимума» и как поддерживать баланс «в ее окрестности». Ответы на эти вопросы и определяют основную цель исследо-

10
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Быстрое начало
11

вания любой системы. Здесь же нам важно подчеркнуть естественную связь между обычными вычислениями на электронных таблицах и поиском оптимальных управленческих решений на тех же таблицах.
Во многих случаях результаты такого поиска не просто являются неожиданными, их невозможно получить без программ поиска решений, поскольку возможности человека в задачах перебора вариантов развития деятельности резко ограничены числом таких вариантов. В этом отношении программа поиска оптимального решения приобретает качество уникального решателя задач, способного найти абсолютно нетривиальное решение, не отрабатываемое алгоритмами «естественного интеллекта».
Быстрое начало
Задача о красках
Эта задача была приведена в [1]. В первой части монографии она будет использоваться как сквозной пример для ознакомления со всеми этапами исследований систем управления на электронных таблицах.
Условие задачи. Фабрика изготовляет два вида красок: для внутренних (В) и наружных работ (Н). Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта П1 и П2. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 т, соответственно. Расходы продуктов П1 и П2 на одну тонну соответствующих красок приведены в таблице.

Исходный продукт
Расход исходных продуктов в тоннах на тонну краски
Максимальный запас исходных продуктов (т)



краска Н
краска В


П1
1
2
1
6

П2
2


3

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску В никогда не превышает спроса на краску Н более чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску В никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3 тыс. долл. для краски Н и 2 тыс. долл. для краски В.

Какое количество красок каждого вида должна производить фабрика,
чтобы доход от реализации продукции был максимальным?
Приступая к решению этой задачи, предположим, что нам при-мерно известно, сколько краски нужно производить (например, 4 т краски Н и 2 т краски В).
Аналогичное предположение целесообразно делать при решении любой оптимизационной задачи, поскольку оно значительно упрощает процесс разработки структуры электронной таблицы (ЭТ).
Сделав такое предположение, составим ЭТ, которая позволяет рассчитать расходы продуктов на производство красок и получаемый доход (см. табл. 1, 2).
Анализируя табл. 1, замечаем, что расходы продуктов Ш и П2, необходимые для производства красок в соответствии с нашим предположением, превышают максимальный суточный запас. Следовательно, получить 16 тыс. долл. дохода невозможно.
Таблица 1

12
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Быстрое начало
13

Попробуем уменьшить объемы производства красок, например 2 т краски Н и 2 т краски В. Подставив эти числа в таблицу, мы получим новые значения прибыли, суточного расхода продуктов и спроса на краски. Продолжая этот процесс перебора вариантов, мы рано или поздно найдем вариант, при котором прибыль будет максимальной, и в то же время будут выполнены ограничения по запасам продуктов и спросу на краски. Это будет означать, что мы решили оптимизационную задачу.
Однако такой процесс поиска решений может оказаться слишком долгим и утомительным. Кроме того, если бы номенклатура красок включала в себя не два, а, например, десять видов, мы вообще вряд ли смогли бы найти оптимальный вариант организации производства путем простого перебора вариантов.
Таблица 2

изменяемых ячеек и ограничений. В таких случаях на помощь приходят специальные программы решатели оптимизационных задач. Одна из таких программ Solver включена в систему Microsoft Excel как дополнение Поиск решения (раздел меню Сервис).
Поиск решения
Для решения оптимизационной задачи, оформленной в структуре ЭТ, необходимо вызвать приложение Поиск решения (меню Сервис). При этом на экране появится диалоговое окно Поиск решения.
В поле Установить целевую (ячейку) окна Поиск решения необходимо ввести имя (адрес) соответствующей ячейки. Для нашего примера это ячейка Е24. Затем указывается вид оптимизации путем «нажатия» соответствующей кнопки, расположенной непосредственно под полем целевой ячейки.
В поле Изменяя ячейки указываются имена (адреса) ячеек, содержимое которых подбирается программой поиска решения таким образом, чтобы обеспечить требуемое значение целевой ячейки. Для нашего примера изменяемыми ячейками являются В23, В24, содержащие объемы суточного производства красок.


В этом смысле усложнение задачи связано с увеличением ее размерности (количества изменяемых ячеек) и числа ограничений. Практические задачи оптимизации включают в себя десятки и даже сотни
Кнопка Предположить поможет вам в определении изменяемых ячеек: нажатие этой кнопки приводит к вводу в окно Изменяя ячейки имен тех ячеек, которые программа поиска расценивает как изменяемые.
14
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Быстрое начало
15

В поле Ограничения должны быть введены все ограничения, связанные с решаемой задачей. В нашем примере такие ограничения делятся на три группы:
естественные ограничения: В23:В24 >= 0 (они вводятся путем нажатия на кнопку Параметры, а затем кнопку Неотрицатель ные значения);
ограничения по запасам исходных продуктов: E16:E17<=D16:D17;
ограничения спроса на краски: В23 >= D29; В24 <= СЗО. Добавление, изменение и удаление ограничений осуществляется с
использованием соответствующих кнопок, расположенных в правой части поля ограничений окна Поиск решения.
Нажатие кнопки Добавить или Изменить приводит к вызову дополнительного окна определения ограничений. В поле Ссылка на ячейку вводится левая часть ограничения. Список Ограничение включает в себя отношение равенства, «больше или равно», «меньше или равно», отношение цел, которое означает, что левая часть ограничения должна быть целым числом, отношение двоич, означающее, что левая часть ограничения должна быть двоичным числом (т. е. принимающим значения 0 или 1). При использовании отношений цел и двоич поле справа от списка ограничений остается пустым. При использовании любого другого отношения в этом поле размещается правая часть ограничения.

Нажатие кнопки Выполнить окна Поиск решения приводит к запуску процесса поиска решения задачи оптимизации. В результате поиска программа находит такие значения изменяемых ячеек, при которых достигается оптимальное значение целевой ячейки.
Для нашей задачи о красках оптимальное решение будет определяться следующими значениями изменяемых ячеек:
объем производства краски Н (ячейка В23) 3,33 т;
объем производства краски В (ячейка В24) 1,33 т. Оптимальное значение целевой ячейки Е24 (при выполнении всех
ограничений) составит 12,65 тыс. долл.
Виды ячеек и зависимости
Выше мы уже использовали понятия изменяемой ячейки и целевой ячейки. Изменяемые ячейки всегда содержат числовую информацию, Которая подбирается в процессе поиска решения таким образом, чтобы обеспечить оптимальное значение целевой ячейки. Кроме того, в процессе поиска используются еще два вида ячеек:
ячейки исходных данных;
зависимые ячейки.
Ячейки исходных данных содержат числа, которые не меняются программой поиска решения (Solver), зависимые ячейки содержат формулы, которые неоднократно перевычисляются в процессе поиска решения. Ячейки разного вида в электронной таблице целесообразно закрашивать разным цветом. Например, в приведенных выше таблицах мы использовали для этого разные степени затушевывания ячеек.
Наличие зависимостей между ячейками разных видов в среде EXCEL может быть проиллюстрировано графом зависимостей, по-строенным непосредственно на структуре таблицы (см. табл. 3). По-строение такого графа связано с использованием меню Сервис (Зави-симости, Панель зависимостей).
Таблица 3

Использование графа зависимостей позволяет формально контролировать структуру таблицы. В правильно составленной таблице все стрелки должны начинаться в изменяемых ячейках или ячейках исход-
16
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Быстрое начало
17



ных данных и заканчиваться в зависимой или целевой ячейке. Из целевой ячейки стрелки зависимостей не могут выходить. Таблица считается хорошо структурированной, если граф зависимостей наглядно иллюстрирует причинно-следственные связи между ячейками. «Запутанный» граф свидетельствует о плохой структуризации таблицы.
Краткий экскурс в теорию
Формулировка любой оптимизационной задачи требует использования некоторой базовой системы понятий.
Любая переменная (изменяемая ячейка в ЭТ) обычно интерпретируется как некоторый ресурс (например, ресурс времени, материала, продукта, валюты), выраженный в количественном измерении (минуты, тонны, штуки, рубли). Задача оптимизации состоит в том, чтобы подобрать такие значения переменных, при которых целевая функция (целевая ячейка ЭТ) принимает максимальное, минимальное или заданное значение (оптимальное значение), при этом найденные значения переменных в совокупности составляют оптимальное решение задачи.
В классическом исследовании операций [1, 46] задачи математического программирования делятся на несколько различных типов в зависимости от вида целевой функции и ограничений. К основным типам относятся задачи линейного и нелинейного программирования. Для первого типа характерна целевая функция, линейно зависящая от переменных (ресурсов) исследуемой системы, и такие же линейные ограничения. Если же целевая функция или хотя бы одно из ограничений нелинейно зависит от переменной (хотя бы одной), задача относится к типу нелинейного программирования. В качестве примеров нелинейностей можно привести зависимости видов Xi*Xj, Xi/Xj, log(Xi) (вычисление логарифма от Xi), MIN(Xi,Xj,Xk), Xj2 (квадрат Xj) и т. д. Здесь Xi, Xj переменные задачи.
Если оптимизационная задача должна решаться в целых числах, когда хотя бы одна из переменных модели должна измеряться в штуках (станках, автобусах и т. п.), говорят о целочисленном программировании. Наконец, если хотя бы одна из переменных может принимать только одно из двух значений (0 или 1), говорят о булевском программировании.
Вычислительные алгоритмы поиска решения для разных классов задач характеризуются разной степенью сложности, наиболее сложными являются задачи целочисленного программирования, к наиболее простым относятся задачи линейного программирования. Класс
задач линейного программирования весьма широк, эти задачи имеют наиболее эффективную реализацию и характеризуются наглядной
экономической интерпретацией результатов. Поэтому любую иссле-дуемую систему желательно привести к линейной модели. К сожалению, это не всегда возможно.
Любой вычислительный алгоритм решения оптимизационной задачи имеет характер итерационного процесса, постепенно (шаг за шагом) приближающегося к оптимальному решению. Такие процессы поиска решения характеризуются точностью вычислений, количеством итераций и временем поиска решения. Все эти характеристики определяются в разделе Параметры окна Поиск решения.
Итерационные процессы поиска должны обладать свойством сходимости вычислений. Это свойство заключается в том, что разность результатов, получаемых на л-ом и (л + 1)-ом шаге вычислений, должна с ростом л стремиться к нулю:
limn->~(Xn+1-Xn) = 0.
Здесь Хп+1, Хп значения изменяемых ячеек на л-ой и (л + 1)-ой итерации. Практически л ограничивается конкретным значением N количеством итераций. Количество итераций определяет число шагов d последовательности приближений текущего решения задачи к оптимальному, при этом время, затраченное на реализацию такой последовательности, определяет время поиска оптимального решения. По умолчанию в программе Solver: N = 100.
Точность вычислений оптимального решения задачи определяется количеством значащих цифр в представлении значений изменяемых ячеек Х„. Понятие точности тесно связано с понятием отклонения \XN+1 Хn, которое может задаваться в процентах от абсолютной величины XN.
Итерационные процессы могут отличаться также методами реали-зации вычислений. Для линейных моделей используется главным образом так называемый симплекс-метод, для нелинейных метод Ньютона и метод сопряженных градиентов. Они кратко комментируются в разделе «Поиск решения».
Контрольные вопросы

1. Какое предположение целесообразно сделать перед разработкой структуры
ЭТ для решения оптимизационной задачи?
Что такое размерность оптимизационной задай?
Что такое целевая ячейка?
Что такое изменяемые ячейки? .
Чем отличаются зависимые ячейки от ячеек исходных данных?
\
18
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Поиск решения
19



Чем отличаются изменяемые ячейки от ячеек исходных данных?
Перечислите и охарактеризуйте отношения в списке ограничений (ниспа дающее меню) окна Добавить ограничение.
Какие ограничения относятся к естественным?
Чем полезна структура графа зависимостей для ЭТ, связанной с решением оптимизационной задачи?
В каких ячейках ЭТ программа поиска размещает оптимальное решение задачи?
В какой ячейке размещается оптимальное значение целевой функции?
Назовите и охарактеризуйте основные виды задач математического про граммирования.
Какие задачи математического программирования имеют наиболее эффек тивную реализацию на ЭТ?
Чем характеризуется итерационный процесс решения задачи?
Можно ли рассматривать целевую ячейку как разновидность зависимой? Почему?
Поиск решения
Общие рекомендации по разработке структур электронных таблиц
В общем случае структура ЭТ, ориентированная на решение оптимизационной задачи, может быть представлена в различных видах. Выбор конкретного определяется во многом субъективными представлениями исследователя о наглядности таблицы, удобстве ее использования, уровне детализации и т. п.
Необходимым условием корректной структуры ЭТ, используемой для решения оптимизационной задачи, является наличие изменяемых ячеек и целевой ячейки.
Приведем несколько практических рекомендаций по оформлению задачи в структуре таблицы.
При оформлении оптимизационной задачи в структуре электронных таблиц рекомендуется использовать во всех текстовых ячейках, содержащих названия столбцов и/или строк, определение размерности содержимого ячейки. Например «т» (тонна), или «час», или «долл.» и т. п. Использование размерностей способствует выявлению грубых ошибок, связанных, например, с умножением «столов на стулья» и получением в результате «тонн в минуту».
Просмотрите разработанную структуру ЭТ с использованием графа зависимостей: все стрелки должны быть направлены от изменяемых ячеек и ячеек исходных данных через зависимые ячейки в сторо-
ну целевой. Хорошо структурированная таблица характеризуется на-глядным графом зависимостей.
Все числовые данные задачи должны быть размещены в соответ-ствующих ячейках ЭТ, несмотря на то что использование программы поиска решения позволяет вводить отдельные числовые данные непо-средственно через окно ограничений Поиска решения. Это позволяет при исследовании различных вариантов организации системы изме-нять такие данные, не затрагивая окна поиска.
Старайтесь использовать в ЭТ числа по возможности одного порядка или близких порядков (например, 10 и 100). Это упрощает процесс поиска решения и позволяет избежать многих вычислительных ошибок. Например, в рассмотренной выше задаче о красках оптовая
·на тонны краски выражается в тысячах долларов. Однако в таблице И< пользуются значения 3 (тыс. долл.) и 2 (тыс. долл.), а не 3000 долл. И 2000 долл. Это сделано специально в стиле этой рекомендации.
В процессе разработки ЭТ вы можете столкнуться с ситуацией, когда отдельные ограничения «не вписываются» в структуру таблицы. В этом случае такие ограничения целесообразно оформить в виде ототдельной таблицы, связанной с вашей задачей. В этом стиле оформлена, например, таблица «Ограничения суточного спроса по видам красок» (см. табл. 1).
Использование ЭТ для решения оптимизационной задачи будет Солее наглядным, если вы будете использовать именование ячеек. До-стоинства именования ячеек наглядно проявляются при работе с программой поиска решения, при анализе отчетов по результатам моделирования и при построении сводных таблиц по результатам исследований системы.
Например, мы хотим назвать ячейку В23, в которой сохраняется сугочный объем производства краски для наружных работ, именем Краска_Н, ячейку В24 с аналогичным содержимым именем Крас-ка_В, а целевую ячейку с общим доходом именем Общий_доход. Для этого мы последовательно выделяем каждую из этих ячеек в таблице и обращаемся к меню Вставка, раздел Имя, оператор Присвоить, который открывает окно именования. В это окно вводится соответст-вующее имя, и в дальнейшем во всех отчетах поименованная ячейка будет идентифицироваться присвоенным ей именем.
Стиль оформления ограничений
Хорошим стилем оформления задания на поиск решения является использование ограничений, левые и правые части которых состоит только из имени (адреса) одной ячейки или массива ячеек. При этом
20
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Поиск решения
21

все промежуточные вычисления, связанные с определением левой и правой частей таких ограничений, размещаются в зависимых ячейках таблицы. (Последние версии EXCEL не допускают отклонений от этого стиля.) Ниже приведены примеры оформления ограничений.

Плохой стиль
Хороший стиль

В2К=С21;В22<=С22;
В21:В22<=С21.С22

Е4>=12;
E4>=G7; (В ячейке G7 размещено число 12)

G4+K4=N4;
L7=N4; ( В ячейке L7 размещена формула =G4+K4)

Второй пример иллюстрирует общее правило: все исходные числовые данные целесообразно размещать в ячейках ЭТ, а не вводить в окно ограничений (рекомендация 3 в приведенном выше списке). Это связано с возможностями изменять такие данные в процессе исследования системы.
Ниже приводятся некоторые рекомендации по оформлению ограничений на оптимальное решение задачи.
Старайтесь избегать избыточных ограничений. Тривиальный пример таких ограничений: В23<=16, В23<=20. Избыточные ограничения всегда «мешают» процессу поиска и в некоторых случаях могут привести к зацикливанию вычислений.
Использование ограничений в форме равенства всегда «сужает» полигон для поиска решения. Такие ограничения в общем случае оказываются слишком «жесткими» для реальных задач, и (по возможности) следует отдавать предпочтение более «мягким» неравенствам.
Противоречивые ограничения делают процесс поиска бессмысленным. Тривиальный пример таких ограничений: В24 <= СЗО; В24 >= СЗО+2. Такие ограничения всегда связаны с отсутствием решения задачи. Основная проблема, связанная с противоречивыми ограничениями, заключается в том, что для сложных задач с большим числом ограничений весьма трудно выявить противоречия между отдельными ограничениями.
Проблема начальных значений
Перед вызовом программы поиска решения в изменяемые ячейки целесообразно ввести некоторые ориентировочные начальные значения. В некоторых случаях от выбора таких значений зависит и сама возможность найти оптимальное решение задачи. В этой связи рекомендуется несколько раз вычислить таблицу для различных значений
и пленяемых ячеек и «почувствовать» тенденции приближения к оптимуму. Запомните, чем ближе начальные значения к точке оптимума,
тем легче и быстрее его удается найти. К сожалению, эта рекомендация может быть использована для решения сравнительно простых задач.|
В этом отношении может может оказаться полезным специальное
средство системы EXCEL Подбор параметра (меню Сервис).
В поле Установить в ячейке указывается адрес (имя) ячейки, содержащей формулу (в нашем случае это целевая ячейка Е24), которая устанавливает зависимость от изменяемой ячейки (в нашем случае ЭТО В23). Подбор параметра позволяет подобрать такое значение изменяемой ячейки, при котором целевая получит установленное нами значение (в этом примере 16).

Отметим, что подбор параметра ни в коей мере не заменяет поиск решения. Подбор параметра можно рассматривать как простейший вариант такого поиска, когда устанавливается связь только между двумя ячейками без учета каких-либо дополнительных ограничений. Именно поэтому мы рекомендуем использовать подбор параметра лишь, как вспомогательное средство, способное помочь при решении проблемы начальных значений.
Результат работы программы подбора параметра занесется в ячейку, указанную в поле Изменяя значение ячейки (в нашем примере В23).
Управление процессом поиска решения
Нажатие кнопки Выполнить окна Поиск решения приводит к запуску процесса поиска решения задачи оптимизации. При невозможности запустить поиск решения система может вывести следующие сообщения:
Недостаточно памяти для решения задачи. Это означает, что ЕXCEL не смог выделить память для поиска решения. Закройте ненужные файлы или приложения и попытайтесь запустить программу снова.


22
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
В другом сеансе EXCEL используется SOLVER. Запущено несколько сеансов работы с EXCEL, в одном из которых используется SOLVER программа поиска решения. Попробуйте завершить или закрыть окна, связанные с этими сеансами.
Управление процессом поиска решения связано с использованием диалогового окна Параметры поиска решения, которое открывается при нажатии кнопки Параметры окна Поиск решения.
Все параметры, управляющие процессом поиска решения, делятся на три группы, которые описываются ниже. Предварительно заметим, что каждый из этих параметров имеет значение по умолчанию, подходящее для большинства решаемых задач. Использование новых установок параметров обычно необходимо для проведения серьезных исследований сложных систем управления.
Поиск решения
23

Группа параметров, определяющих время процесса поиска
К этой группе относятся четыре параметра: максимальное время, число итераций, точность и допустимое отклонение.
К настройке этих параметров целесообразно обратиться при получении следующих сообщений о неудачном окончании процесса поис-1 ка решения:
поиск решения не может улучшить текущее решение. Все огра ничения выполнены;
остановка при исчерпании лимита времени;
остановка при выполнении максимального числа итераций.
Максимальное Время
Ограничивает время, требующееся для процесса отыскания решения. Значение времени должно быть положительным целым числом. Время по умолчанию 100 (секунд). Максимальное значение, которое можно ввести: 32 767.
Число Итераций
Ограничивает число промежуточных вычислений в процессе поиска решения и, как следствие, время поиска. Значение должно быть положительным целым числом, по умолчанию 100. Максимальное значение, которое можно ввести: 32 767.
Точность
Используется в процессе поиска при проверке ограничений (на равенство и/или неравенство). Вводимое значение должно быть больше 0 и меньше 1. По умолчанию 0.000001. Чем выше точность, тем больше время поиска решения.
Допустимое отклонение
Так же как и точность используется алгоритмом поиска при про-верке ограничений, но (в отличие от точности) используется только в задачах целочисленного программирования при проверке целочисленных ограничений. Величина, вводимая в это поле, определяет допустимое отклонение в процентах от результата предыдущей итера-
. Чем больше отклонение, тем быстрее процесс решения.
Группа параметров, адаптирующих процесс поиска к математической модели задачи
Для того чтобы определить значения параметров этой группы, ис-ледователю в общем случае необходимо иметь определенное пред-ставление о математических методах решения оптимизационных задач. Выше в разделе «Быстрое начало» («Краткий экскурс в теорию»)
24
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Поиск решения
25

уже отмечалось, что в математическом программировании различаются три основных вида таких задач: линейные, целочисленные и нелинейные.
Алгоритмы решения задач линейного программирования имеют наиболее эффективную реализацию. Потому, если вы уверены, что ваша задача относится к линейным, выберите в окне Параметры поиска решения перед выполнением поиска кнопку Линейная модель.
Если это указание ошибочно (модель в действительности нелинейна), EXCEL в процессе поиска выведет сообщение «Условия линейности модели не соблюдены». В этом случае для решения проблемы придется сбросить флажок Линейная модель и решать задачу с использованием более сложных и менее эффективных алгоритмов нелинейного программирования.
Тем не менее, если вы не уверены в том, к какому классу относится задача, ее решение всегда рекомендуется начинать с попытки использования линейной модели и только при неудачном исходе процесса поиска обращаться к нелинейным моделям.
Алгоритмы решения задач целочисленного программирования имеют значительно менее эффективную реализацию, чем для линейных моделей. Для повышения эффективности этих алгоритмов целесообразно использовать поле Допустимое отклонение.
Управление процессом поиска решения нелинейных задач требует; в общем случае специальных знаний по математическому программи-рованию. Вместе с тем использование программы поиска не предъяв-' ляет к пользователю таких требований, ограничивая его участие в этом процессе лишь несколькими кнопками управления.
Параметры группы Производные позволяют подобрать методы вы-| числения производной целевой функции, наиболее подходящие для конкретного вида этой функции. Кнопка Прямые используется по умолчанию, кнопка Центральные определяет способ, который может улучшить решение проблемы, найденное с помощью метода Прямые-Отличия в методах, реализуемых нажатием этих кнопок, ощутимы для целевых функций и нелинейных ограничений, которые немонотонны и/или имеют разрывы.
Параметры группы Оценка определяют методы, используемые по иском решения для построения оценок значений переменных (изме няемых ячеек) в процессе поиска. Кнопка линейная обычно использу ется для линейных или линеаризованных проблем, квадратичная для нелинейных. В этой связи еще раз напомним, что сходимост процесса поиска во многом зависит от начальных значений изменяв мых ячеек.
Параметры группы Метод определяют используемый алгоритм поиска. Метод Ньютона проигрывает в памяти методу сопряженных градиентов, но обладает хорошей сходимостью, метод сопряженных фадиентов позволяет экономно расходовать память компьютера при решении задач большой размерности.
Кнопка Автоматическое масштабирование полезна в тех случаях, когда изменяемые ячейки и целевая ячейка имеют значения, сильно отличающиеся по величине (значения разных порядков). Например, в задачах поиска оптимального состава смесей (см. далее) вариации со-става смеси могут изменяться в долях (от 0 до 1), в то время как целе-вая функция измеряется в абсолютных единицах, например в тысячах долларов. В таких задачах эта кнопка должна быть включена. Вместе с тем еще раз подчеркнем, что в общем случае использование переменных, отличающихся по величине на порядок и более, затрудняет процесс поиска решения.
Группа параметров контроля процесса поиска
Среди сообщений системы о неудачном завершении процесса поиска есть несколько, на которые трудно отреагировать, поскольку каждое из таких сообщений может быть вызвано самыми разными причинами. Например:
значения Целевой Ячейки не сходятся;
поиск Решения не смог найти правильное решение;
поиск Решения обнаружил ошибочное значение в целевой ячейке или ячейке ограничения.
При получении любого из этих сообщений необходим дополните-льный анализ причин, по которым процесс поиска зашел в тупик. Это может быть недостаточность, противоречивость или избыточность ограничений, ошибка в формуле, нарушение зависимостей Между ячейками таблицы и т. п. В общем случае, если поиск не может определить оптимальное решение, исследователь должен проанализи-ронать возможности коррекции условий задачи, ее упрощения и/или альтернативной формулировки. В таких случаях дать какие-либо конкретные рекомендации весьма сложно, но иногда может помочь использование режима пошагового выполнения процесса поиска.
Для перехода в этот режим следует включить кнопку Показывать результаты итераций в окне Параметры поиска решения и после этого вновь запустить поиск решения. Запущенный поиск будет останавли-ваться после каждой итерации и выводить диалоговое окно Текущее состояние поиска решения.
26
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Поиск решения
27


Ознакомившись с содержанием вашей рабочей таблицы после завершения очередной итерации, вы можете Продолжить процесс поиска или остановить, нажав кнопку Стоп. В последнем случае EXCEL выведет результаты, перевычислит рабочий лист и выведет диалоговое окно Результаты поиска решения без завершения процесса поиска.
Такой режим пошагового поиска позволяет наблюдать последовательность приближений к оптимальному решению задачи. Во многих случаях это помогает «почувствовать» сходимость процесса и установить причины неудач и тупиков при поиске оптимального решения
Для сохранения модели нужно либо принять предлагаемый поиском решения интервал, либо определить в поле Задайте область модели ссылку на ячейку, определяющую место размещения области модели мл рабочем листе. При этом модель сохраняется в вертикальном интер-валe ячеек, который начинается в выделенной ячейке и продолжается вниз на количество ячеек, определяемое программой поиска решения.
При сохранении модели задачи удостоверьтесь, что предложенный программой интервал для области модели или столбец под ука-занной вами ячейкой не содержат данных.


Сохранение и загрузка моделей
Информация, введенная в диалоговое окно Поиск решения, и параметры, введенные в дополнительное окно Параметры поиска решения, образуют модель оптимизационной задачи. Такая модель фактически представляет собой задание на поиск решения, включающее в себя: определение целевой и изменяемых ячеек, вид оптимизации,; ограничения, максимальное время, число итераций и т. д. Модель за-| дачи размещается на рабочем листе в области, называемой область модели.
На одном рабочем листе обычно используется одна модель зада-чи. Однако анализ электронных таблиц, размещенных на одном листе рабочей книги, в общем случае может проводиться с использованием нескольких разных моделей задач. Такие модели могут различаться как заданием на поиск решения, так и параметрами поиска. При этом на одном листе рабочей книги могут быть размещены несколько об ластей моделей, каждая из которых хранит свою модель задачи.
Кнопки Загрузить модель и Сохранить модель окна Параметры по иска решения позволяют сохранять и загружать различные модели задач для выполнения поиска решений. Окна, открываемые этими кнопками, имеют одинаковую структуру.
Использование кнопки Сохранить модель позволяет сохранить на одном рабочем листе более, чем одну модель задачи.
Кнопка Загрузить модель открывает окно Загрузка модели. По умолчанию в поле Задайте область модели указывается та область модели, с которой работали на данном рабочем листе при последнем вы-чове программы поиска решения. Для открытия другой модели, предварительно сохраненной вами, введите в это поле интервал ячеек, в котором размещена требуемая область модели (или выделите этот ин-тервал на рабочем листе). Вместо интервала в этом поле можно указать только ячейку, «под которой» будет располагаться область модели.
Еще раз подчеркнем, что область модели, содержит только информацию, определяющую одно из заданий на поиск решения. Эта информация не предназначена для какого-либо анализа, связанного с содержанием задачи. Как только вы загрузите модель задачи в окно Поиск решения, вы по изменению информации в полях этого окна определите задание на поиск, соответствующее загруженной модели.
Исследователь должен относится к модели задачи как к готовому заданию на поиск решения и только. Не следует рассматривать область модели как набор результатов поиска решения.
Результаты поиска решения
В результате поиска решения EXCEL выводит сообщения о том, удалось ли получить оптимальное решение задачи. Все сообщения системы можно разделить на две группы: сообщения о получении реше-
28
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Поиск решения
29


Сценарии
Механизм сценариев предназначен для формирования наборов результатов вычислений на ЭТ. Применительно к решению оптими-зационных задач использование сценариев помогает сформировать результаты серии выполнения заданий на поиск решения. Результаты такой «серии поисков» запоминаются в соответствующей серии сце-нариев.
Для того чтобы сформировать такую серию сценариев, необходи-
мо после каждого завершения задания на поиск решения нажать
кнопку Сохранить сценарий в окне Результаты поиска решений. В поле
Название сценария открываемого при этом окна Сохранение сценария
Iнеобходимо ввести уникальное имя, под которым будут сохранены
значения всех изменяемых и зависимых ячеек ЭТ, используемой при выполнении текущего задания на поиск решения.
Результаты серии поисков, собранные таким образом в итоговую структуру отчета или сводную таблицу, могут в дальнейшем редакти-роваться и анализироваться с использованием стандартных средств EXCEL.
Для формирования итогового отчета по серии сценариев следует обратиться к меню Сервис, раздел Сценарии.
Контрольные вопросы
1.
Назовите необходимые условия корректности ЭТ, предназначенной для поиска решения.
В чем заключаются преимущества, связанные с именованием ячеек ЭТ?
Какие ограничения относятся к избыточным?
Какие ограничения относятся к противоречивым?
Охарактеризуйте стилевые особенности оформления ЭТ для решения оп тимизационных задач.
В чем заключается проблема начальных значений изменяемых ячеек?
Чем отличается Подбор параметра от Поиска решения?
Охарактеризуйте основные параметры, определяющие время процесса по иска решения.
ния (сообщения об успехе) и сообщения о причинах, по которым не удалось получить оптимальное решение (сообщение о неудаче). Сообщения выводятся в окно Результаты поиска решения.
При получении оптимального решения задачи выводится сообщение:
Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены.

При получении решения может быть выведено и другое сообщение:
Поиск Решения сошелся на текущем решении. Все ограничения выполнены.
Это сообщение говорит о том, что значение целевой ячейки не менялось в процессе поиска в течение пяти последних итераций. Оптимальное решение может быть найдено, но возможно, что процесс улучшает решение очень медленно.
Эти два сообщения относятся к категории «успешных».
При получении таких сообщений исследователь может Сохранить найденное решение или Восстановить исходные значения. В первом случае EXCEL подставляет найденные значения в изменяемые ячейки таблицы, во втором восстанавливает исходные значения в этих ячейках.
Сохранение результатов поиска решения может быть связано с формированием отчетов о результатах поиска. В поле Тип отчета окна Результаты поиска решения исследователю предлагается три вида отчетов: по результатам, по устойчивости и по пределам. При выборе соответствующего отчета (или отчетов) EXCEL выводит каждый из выбранных отчетов на отдельный лист рабочей книги. Содержание отчетов обсуждается в разделе «Анализ отчетов».

Кроме того, EXCEL предлагает Сохранить сценарий для использования его диспетчером сценариев. Использование диспетчера сценариев описывается ниже в этом разделе.
30
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Анализ отчетов
31

9. Что вы сделаете при получении сообщения «Условия линейности модели не соблюдены»?
Охарактеризуйте основные параметры, определяющие вид используемой математической модели задачи.
В каких задачах полезно использование кнопки Автоматическое масштаби рование окна Параметры поиска решения?
Что вы сделаете при получении сообщения Значения Целевой Ячейки не сходятся?
В каких задачах полезно использование кнопки Показывать результата итераций окна Параметры поиска решения?
В каких задачах полезно использование кнопки Допустимое отклонение окна Параметры поиска решения?
Что вы сделаете при получении сообщения Условия линейности модели не соблюдены?
Какая информация сохраняется в области модели?
В каком интервале ячеек размещается область модели?
Для каких целей в процессе исследования системы используются сцена- рии?
Анализ отчетов
Программа Поиск решения (Solver) готовит три вида отчетов, торые характеризуют найденное решение задачи: отчет по результа-там, отчет по устойчивости и отчет по пределам. Ниже описывается структура отчетов и экономическая интерпретация результатов реше-ния оптимизационных задач менеджмента.
Геометрическая интерпретация задачи о красках
В этом разделе мы приводим простейшую геометрическую интерпретацию задачи о красках для того, чтобы читателю было проще ра зобраться с основными понятиями, используемыми в при анализе от четов.
Эта интерпретация иллюстрируется следующим графиком (рис. 1.3).
На осях координат отложены суточные объемы производства кра сок, определенные выше как содержимое изменяемых ячеек (см. По иск решения, Общие рекомендации по разработке структур ЭТ).
Тонкими линиями представлены ограничения для задачи о красках
ограничения по запасам продуктов:
Продукт П1; 1*Краска_Н + 2*Краска_В <= 6; (1
Продукт П2: 2* Краска_Н + 1* Краска_В <= 8; (2

Рис. 1.3. Геометрическая интерпретация задачи о красках
ограничения по сбыту:
Краска_В <= Краска_Н+1; (3)
Краска_В <=2; <4)
Эти ограничения мы вводили в электронную таблицу (см. табл. 2).
На рис. 1.3 все прямые ограничений построены по отношениям (1)(4), в которых знаки неравенства заменены знаками равенства. Маленькие стрелки на рисунке рядом с прямыми ограничений указы-вают на область, в которой действуют соответствующие ограничения. Например, для ограничения (4) это область левее прямой (4), т. е. диапазон, в котором Краска_В <= 2 (и, конечно, КраскаВ >= 0).
Пересечения прямых ограничений образуют область ABCDEF, в которой только и могут находиться оптимальные решения задачи. Эта область называется полигоном возможных решений.
Целевая функция (ЦФ) задана выражением
3*Краска_Н + 2*Краска_В,
которое уже использовалось Нами при составлении ЭТ. На рисунке приведена прямая ЦФ6, определенная уравнением
3*Краска_Н + 2*Краска_В = 6,
32
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Анализ отчетов
33



т. е. для случая, когда ЦФ принимает значение 6 (тыс. долл.). Стрелки у этой прямой, указывающие на знаки «+» и «», показывают, в каком направлении будет перемещаться прямая ЦФ (параллельно самой себе) соответственно при увеличении значений ЦФ и уменьшении этих значений. Все точки этой прямой, находящиеся внутри полигона, будут удовлетворять ограничениям задачи. Чем больше прибыль, получаемая от продажи красок, тем дольше перемещается прямая ЦФ от ЦФб в направлении «+». Естественно, что максимальное значение прибыли будет наблюдаться в единственной точке полигона точке С. Это точка и будет определять оптимальные объемы производства красок Краска_Н0ПТ и Краска_Вопт.
Прямые ограничений, проходящие через точку оптимума (в нашем случае С), определяют связанные ограничения, остальные прямые ограничений определяют несвязанные ограничения. Эти термины определяют влияние запасов соответствующих ресурсов на оптимальное решение задачи. Для используемого примера связанными являются ограничения по запасам ресурсов (1) и (2). Эти ресурсы называются дефицитными. Понятие дефицитного ресурса тесно связано с понятием связанного ограничения.
Изменение запасов дефицитного ресурса всегда изменяет значение целевой функции и соответственно оптимальное решение задачи. Недефицитный ресурс не влияет на такое решение, но, разумеется, в определенных пределах. Для ситуации, изображенной на рис. 1.3, ресурс сбыта краски В (2 т в день, ограничение (4)) недефицитен. Но если спрос на этот вид краски начнет уменьшаться и достигнет величины, меньшей значения Краска_Вопт, он станет дефицитным.
Из этого примера видно, что в зависимости от изменения условий производства и сбыта красок ресурсы могут менять свой статус, т. е. переходить из дефицитных в недефицитные, и наоборот. Возможности таких изменений определяют устойчивость бизнес-процессов в системах менеджмента.
Коэффициенты в системе ограничений (1)(4) и в ЦФ определяв ют углы наклона прямых на рисунке. Эти коэффициенты полностью определяются исходными данными задачи, вместе с тем вариации таких коэффициентов могут представлять самостоятельный интерес в исследовании систем менеджмента. Например, если в нашей задаче прямая ЦФ окажется параллельной прямой ограничения (2), то максимальному значению ЦФ будет соответствовать множество решений (все точки отрезка ВС на рисунке).
Эти и подобные им аспекты при проведении исследований на ЭТ анализируются на основе использования отчетов, создаваемых про-граммой поиска решений.
К сожалению, в общем случае для сложных задач с большим количеством переменных столь наглядную геометрическую интерпретацию задачи поиска решения дать не удается.
Отчет по результатам
Здесь обсуждается отчет по результатам, подготовленный систе-мой при решении задачи о красках. Этот отчет состоит из трех разделов: целевая ячейка, изменяемые ячейки и ограничения.
Microsoft Excel 8.0 Отчет по результатам
Рабочий лист: [Задача о красках.хls] Решение задачи
Отчет создан: 05.02.01 13:08:59
Целевая ячейка (Максимум)

Ячейка Имя
Исходно
Результат

$Ь$24 Общий_доход
12,67
12,67

И 'меняемые ячейки



Ячейка Имя
Исходно
Результат

$В$23 Краска_Н
3,33
3,33

$В$24 Краска_В
1,33
1,33

Ограничения

Ячейка
Имя
Значение формула
Статус
Разница

$F$16
П1 Суточный_расход исх.продуктов (т)
6,00$E$16<=$D$16
связанное
0

$Е$17
П2 Суточный_расход исх.продуктов (т)
8,00$E$17<=$D$17
связанное
0

$В$23
Краска_Н
3,33 $B$23>=$D$29
не связан.
3,00

$В$24
Краска_В
1,33$В$24<=$С$30
не связан.
0,6666667

В разделе «Целевая ячейка» отмечается вид оптимизации, в нашем случае это максимизация (Макс). В столбце «Ячейка» указывается адрес ячейки ($Е$24), в столбце «Исходно» приводится исходное содержимое ячейки (до поиска оптимального решения), в столбце
Р» максимальное значение целевой функции. В столбце
Имя» приводится имя целевой ячейки «Общий_доход», заданное нами при именовании ячейки.
В разделе «Изменяемые ячейки» аналогично описываются ячейки варьируемых переменных. В столбце «Результат» этого раздела отчета приводится оптимальное решение задачи (точка оптимума).
В разделе «Ограничения» приводится описание всех ограничений задачи, заданных через диалоговое окно Поиск решения. Количество строк этого раздела отчета равно количеству ограничений.
34
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Анализ отчетов
35

I
В столбцах «Ячейка» и «Имя» приводятся адреса и имена всех ячеек, используемых в левых частях ограничений задачи. В столбце «Значение» выводятся значения этих ячеек на момент окончания процесса поиска. В столбце «Состояние» описывается вид ограничения.
В столбце «Формула» выводятся формулы ограничений. В столбце «Состояние» описывается вид ограничения.
Поскольку мы не именовали ячейки Е16, Е17, содержание столб-ца «Имя» для них система определила по правилам умолчания.
Эти правила сводятся к тому, что в столбце «Имя» размещайся название строки и столбца соответствующей ячейки. При этом в ка-честве первого используется содержимое ближайшей текстовой яче-ки слева от именуемой (для Е16 это «Ш»), а в качестве второго со-держимое ближайшей текстовой ячейки сверху (для Е16 это строка «Суточный_расход исх.продуктов (т)»). Использование определения имени ячейки по умолчанию в общем случае снижает наглядность от-чета. Для того чтобы избавиться от этого недостатка, целесообразно именовать ячейки таблицы по правилам системы EXCEL (мен Вставка, раздел Имя).
Термин «связанное» определяет ограничение, которое повлияло определение оптимального решения, термин «не связанное» свидете льствует о том, что данное ограничение не повлияло на определение точки оптимума. (Этот термин уже пояснялся в предыдущем разделе «Геометрическая интерпретация задачи о красках».) В нашем приме два связанных ограничения: $Е$16 <= $D$16 и $Е$17 <= $D$17. Об; относятся к ограничениям на запасы исходных продуктов П1 и П2 используемых для производства красок. Тот факт, что эти ограниче-ния связанные, свидетельствует о том, что запасы продуктов в этой за-даче являются дефицитными ресурсами, любое их изменение дет к изменению оптимального решения задачи.
Остальные ограничения не связанные. Это означает, что значе ния ячеек, используемых в правых частях ограничений, определяют количества недефицитных ресурсов. Запасы таких ресурсов могут из меняться в некоторых пределах, не оказывая влияния на оптимальн решение задачи. Вместе с тем при выходе за такие пределы недеф цитный ресурс может стать дефицитным, и наоборот.
Понятие ресурса в общем случае имеет довольно абстрактно. Та: для первых двух ограничений рассматриваемой задачи это вполне конкретные запасы продуктов П1 и П2. В то же время для третьего четвертого ограничений это некоторый условный ресурс сбыта. Пра вая часть любого ограничения всегда может интерпретироваться как запас некоторого ресурса, но что именно мы вкладываем в это поня тие в каждом конкретном случае, зависит только от нашего понима
ния проблемы. В сложных задачах иногда очень непросто интерпретировать понятие ресурса.
В столбце «Разница» приводятся значения разности левой и пра-вой части ограничений. Для связанных ограничений эта разность равна нулю, т. е. запасы дефицитных ресурсов при оптимальной органи-зации исследуемой системы должны быть полностью исчерпаны (поэтому они и называются дефицитными).
Для несвязанных ограничений разница между левой и правой час-тями не равна нулю. Это свидетельствует о том, что недефицитные ресурсы полностью не израсходованы, и запас таких ресурсов может быть уменьшен на величину, не превышающую обсуждаемой разницы, без тиснения оптимального решения. Разумеется, что увеличение запасов недефицитных ресурсов не представляет интереса для анализа исследуемой системы, поскольку недефицитный ресурс и так имеется в избытке.
В качестве примера приведем анализ третьего ограничения этой системы. Оно относится к ограничениям по спросу, между левой и правой частями неравенства существует разница в 3 (тонны краски), Вторые определяют разницу в спросе между краской В и краской Н. Поскольку ограничение относится к категории не связанных, разницу I спросе можно уменьшить на 3 т, т. е.:
В23 - D29 = 3; a D29 = В24 - 1 (см. табл. 2).
Следовательно, В23 - В24 +1-3 = 0. Отсюда В23 = В24 + 2.. Иными словами, оптимальное решение не изменится, если спрос на краску Н (В23) превысит спрос на краску В (В24) не более чем на г.
Анализ четвертого ограничения позволяет утверждать, что уменьшение спроса на краску В не более чем на 0,67 т также не повлияет на оптимальное решение.
Отчет по устойчивости
Отчет по устойчивости имеет две различные формы: отчет по устойчивости решений, полученных с помощью линейных моделей оптимизации и нелинейных.
Результатам решения линейных задач можно дать наглядную экономическую интерпретацию. К сожалению, результаты, получаемые с помощью нелинейных моделей, в большинстве случаев не имеют такой интерпретации.

37
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Основной вопрос, освещаемый в этом отчете: насколько устойчиво найденное оптимальное решение по отношению к возможным изменениям параметров задачи. Любая строка любой таблицы этого отчета говорит о том, какие изменения можно произвести по отношению к ячейке (столбец «Ячейка») при условии, что содержимое остальных ячеек определяется оптимальным решением.
Отчет по устойчивости для линейной модели
Отчет состоит из двух разделов: изменяемые ячейки и ограничения.
Microsoft Excel 8.0 Отчет по устойчивости
Рабочий лист: [Задача о красках.хфРешение задачи Отчет создан: 19.02.01 13:31:42
Изменяемые ячейки

Ячейка
Имя
Результ. значение
Нормир. стоимость
Целевой Допустимое Коэффици- Увеличение ент
Допустимое Уменьшение

$В$23
Краска_Н
3,33
0,00
3 1
2

$В$24
Краска_В
1,33
0,00
2 4
0,5

Ограничения





Ячейка
Имя
Результ. значение
Теневая Цена
Ограничение Допустимое Правая часть Увеличение
Допустимое Уменьшение

$Е$16
П1 Суточ-ный_расход исх. продукте
6,00
0,33
6 1
1Е+30

$Е$17
П2 Суточ-
8,00
1,33
8 1Е+30
2'

ный_расход исх.продукто в(т)
Раздел «Ограничения» связан с анализом связанных ограничений на возможность изменения их правых частей (запасов дефицитных ресурсов) в пределах постоянства теневой цены.
Для дефицитных ресурсов (в нашей задаче это запасы исходных продуктов, сохраняемые в ячейках Е16, Е17) важен вопрос: какое дополнительное увеличение целевой функции может обеспечить увеличение запасов ресурса. Ответ на этот вопрос связан с использованием понятия теневой цены (скрытой цены, двойственной цены, ценности ресурса):
Теневая цена ресурса определяет прирост целевой функции, обеспечиваемый увеличением запаса дефицитного ресурса на единицу его измерения.
Анализ отчетов
Так, теневая цена продукта П1 (ячейка Е16) определена как 0,333333 (тыс. долл./т). Это означает, что увеличение запаса П1 на тонну увеличит целевую функцию примерно на 333 долл. Аналогичное влияние на изменение значения целевой функции оказывает теневая цена продукта Ш (ячейка Е17), которая определяется значением 1,333333 (тыс. долл./т).
Теневая цена определяет скрытые возможности реорганизации системы путем изменения запасов дефицитных ресурсов, изменения организации использования этих ресурсов (расширение складов и т. п.). Кроме того, теневая цена позволяет ранжировать такие ресурсы с точки зрения их полезности для расширения производства.
Например, в нашем примере сравнение теневых цен Ш и П2 показывает, что при стремлении увеличить общую прибыль от продажи краски предпочтение нужно отдать увеличению запасов продукта П2, поскольку он имеет большую теневую цену.
Однако анализ найденного оптимального решения с помощью теневых цен имеет смысл только в определенных пределах. Эти пределы указывают, в каких границах изменение запасов того или иного дефицитного ресурса влияет на найденное оптимальное решение задачи и значение целевой функции. В этом разделе отчета утверждается, что запасы ресурса П1 могут изменяться в пределах (6 1, 96; 6+1) тонн, дальнейшее увеличение или уменьшение запаса не будет оказывать влияния на оптимальное решение задачи (т. е. соответствующее ограничение по запасу ресурсов станет избыточным, а сам ресурс .перейдет в категорию недефицитных). Аналогично значения (8 - 1, 95) и (8 + 4) определяют пределы возможных изменений запасов другого дефицитного ресурса П2. Увеличение П2 в этом интервале от 8 т до 12 т приведет к изменению оптимального решения задачи и увеличению значения целевой функции, уменьшение запаса П2 с 8 т до примерно 6 т к уменьшению найденного значения целевой функции.
Другими словами, четыре правых столбца таблицы ограничений определяют теневую цену ресурса и диапазон возможных изменений запасов этого ресурса, в котором теневая цена остается для данной задачи постоянной. Любое изменение дефицитного ресурса в пределах постоянства теневой цены приводит к изменению оптимального решения задачи и значения целевой функции.
Для любого недефицитного ресурса теневая цена равна нулю, поэтому для этого типа ресурсов интересен один вопрос: насколько можно снизить запасы ресурса при сохранении найденного оптимального решения. Ответ на этот вопрос можно получить при анализе отчета по результатам.
38
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Анализ Отчетов
39

Третья строка таблицы «Ограничения» отчета по устойчивости характеризует несвязанное ограничение по сбыту. Фактически эта строка не добавляет никакой информации к содержанию аналогичной строки в отчете по результатам: недефицитный ресурс сбыта может быть сокращен на 3 т и неограниченно увеличен (величина 1E + 30 в этом смысле просто большое число, представленное в научном формате).
В разделе «Изменяемые ячейки» определяется нормированная стоимость (редуцированная стоимость) единицы изменяемой ячейки (в нашем примере тонны краски) и анализируются возможные изменения коэффициентов целевой функции (в нашем примере это стоимости тонны краски Н и В).
Редуцируемая стоимость (Рс) единицы продукции определяет разницу между ее стоимостью (Ст) и производственными затратами на ее изготовление (Пз): Рс= Ст - Пз.
Первая строка таблицы «Изменяемые ячейки» посвящена анализу ячейки В23, в которой содержится оптимальное значение производимого объема краски Н 3,33 т.
Целевой коэффициент, определяющий стоимость первой тонны краски Н, имеет значение 3 (тыс.$/т). Производственные затраты на изготовление тонны краски Н связаны с расходами исходных продуктов Ш и П2, которые относятся к дефицитным ресурсам.
В соответствии с условиями задачи на изготовление тонны краски Н требуется 1 т продукта Ш и 2 т продукта П2, следовательно, затраты на производство тонны краски Н определяются выражением:
Пз =1 (т П1/т Краски_Н) * Теневая_Цена_Ш (тыс.$/т П1) + + 2 (т П2/т Краски_Н) * Теневая_Цена_П2 (тыс. $/т П2).
Подставляя сюда значения теневых цен П1 и П2 из таблицы «Ограничения», получим:
Пз =1 * 0,333333 + 2 * 1,333333 = 3 (тыс.$/т краски_Н).
Поскольку стоимость тонны краски Н составляет 3 (тысдолл./т), редуцируемая стоимость тонны Краски_Н будет определяться значением:
Рс = Ст - Пз = 3 - 3 = 0 (тыс.$/т краски_Н).
Аналогично определяется редуцируемая стоимость единицы варь-ируемой переменной ячейки В24 тонны краски В.
Нулевые значения редуцируемой стоимости свидетельствуют полной реализации всех потенциальных возможностей, связанных с по-!
лучением прибыли от данного вида производственной деятельности

·
(производства краски). В этом и заключается оптимальное решение задачи.
В общем случае редуцируемая стоимость может отличаться от нуля в сторону как увеличения, так и уменьшения, что свидетельствует о дисбалансе между стоимостью единицы продукции и производственными затратами на ее изготовление.
При упрощенном анализе этого раздела отчета редуцируемая стоимость показывает, насколько увеличится/уменьшится значение целевой ячейки при увеличении на единицу значения соответствующей изменяемой ячейки.
Два последних столбца таблицы «Изменяемые ячейки» определяют возможные вариации целевых коэффициентов, при которых сохраняется оптимальное решение задачи, но изменяется оптимальное значение целевой функции.
При изменении целевого коэффициента 3 (это стоимость 1 т краски Н, в тыс. долл.) в пределах (3 2 = 1;3 + 1 = 4)и изменении целевого коэффициента 2 (стоимость 1 т краски В) в пределах (1,5; 6) оптимальное решение в ячейках В23,В24 сохранится, но значение целевой функции изменится. Например, для прежних объемов производства краски (3,33 т краски Ни 1,33 т краски В) и допустимых новых целевых коэффициентах 4 и 6 значение общей прибыли будет:
4 (тыс.$/т) * 3,33т + 6 (тыс. $/т) * 1,33т = 21,33 (тыс.$).
С другой стороны использование минимально возможных значений целевых коэффициентов приведет к получению прибыли в размере:
1 (тысдолл./т) * 3,33т +1,5 (тысдолл./т) * 1,33т = 5,33 (тысдолл.).
Еще раз подчеркнем, что эти изменения общей прибыли могут быть получены только за счет изменения цен на краску без изменения оптимального соотношения объемов производства, т. е. фактически без какой-либо реорганизации исследуемой системы.
Отчет по устойчивости для нелинейной модели
При использовании нелинейной модели для решения той же задачи отчет по устойчивости оформляется программой поиска решения в виде таблицы, приведенной ниже.
Нормированный градиент является «нелинейным аналогом» редуцируемой стоимости для линейной модели, а множитель Лагранжа аналогом теневой цены в малой окрестности точки оптимума. Это утверждение позволяет построить лишь некоторые весьма приблизительные аналогии с линейной моделью. Оба этих понятия являются
40
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Анализ отчетов
41

математическими, а не экономическими и должны интерпретироваться математиком, а не экономистом или менеджером.
Microsoft Excel 8.0 Отчет по устойчивости
Рабочий лист: [Задача о красках.хls]Решение задачи
Отчет создан: 27.02.01 16:38:55
Изменяемые ячейки
Ячейка

Имя

Результ. значение
Нормир. градиент

$В$23
Краска Н


3,33
0,00

$В$24
Краска_В


1,33
0,00

Ограничения





Ячейка

Имя

Результ. значение
Лагранжа Множитель

$Е$16
П1 Суточный
.расход исх.продуктов
(т)
6,00
0,33

$Е$17
П2 Суточный
.расход исх.продуктов
(т)
8,00
1,33

$В$23
Краска_Н


3,33
0,00

Отчет по пределам
В этом отчете распечатывается целевая ячейка, ее имя и значение, изменяемые ячейки (содержащие варьируемые переменные), их верхние и нижние пределы и соответствующие целевые результаты (целевые значения).
Нижний предел есть наименьшее значение, которое может находиться в изменяемой ячейке, если фиксировать остальные ячейки и удовлетворить все ограничения. Верхний предел есть наибольшее значение при тех же условиях.
Microsoft Excel 8.0 Отчет по пределам
Рабочий лист: [Задача о красках.хls]Решеиие задачи
Отчет создан: 27.02.01 16:54:22

Ячейка
Целевое Имя
значение





$Е$24
Общийдоход
12,67
















Ячейка
Изменяемое Имя
значение
Нижний предел
Целевое результат >
Верхний предел
Целевое результат

$В$23
Краска_Н
3,33
0,33
3,67
3,33
12,67

$В$24
Краска В
1,33
#н/д
#Н/Д
1,33
12,67

Целевой результат это значение целевой ячейки, когда значение изменяемой ячейки достигает соответственно нижнего или верхнего предела.
Понятия верхнего и нижнего предела наглядно иллюстрируются графиком, связанным с геометрической интерпретацией решения задачи. Верхний и нижний пределы для КраскиН соответствуют ординате точки С (верхний предел) и ординате точки пересечения штрих-пунктирной линии, опущенной из этой точки, с прямой ограничения (3). Аналогично для КраскиВ: верхний предел это абсцисса точки С, а нижний предел 0. Отчет по пределам имеет одну и ту же структуру для линейной и нелинейной модели.
Контрольные вопросы
Дайте определение теневой цены ресурса.
Дайте определение редуцируемой стоимости единицы произведенной про дукции.
Какова единица измерения теневой цены? Единица измерения редуцируе мой стоимости?
В чем отличие дефицитного ресурса от недефицитного?
О чем говорит столбец «Разница» в отчете по результатам?
К каким последствиям может привести снижение запасов недефицитного ресурса? Дефицитного ресурса?
К каким последствиям приведет увеличение запасов дефицитного ресурса? В каких пределах?
Чему равна теневая цена недефицитного ресурса?
К каким последствиям может привести изменение значения столбца «Целе вой коэффициент» в разделе «Изменяемые ячейки» отчета по устойчивости?

О чем свидетельствуют следующие значения редуцируемой стоимости в разделе «Изменяемые ячейки» отчета по устойчивости: 3, 3, 0?
К какой категории относится ресурс, если его теневая цена равна 1,4?
Ресурс имеет теневую цену, равную 0. Целесообразно ли увеличение его за пасов? Уменьшение запасов?
Целевой коэффициент изменяемой ячейки равен 2. Какова редуцируемая стоимость этой ячейки, если ее значение определяет оптимальное решение задачи?
О чем свидетельствует термин «связанное» в отчете по результатам, раздел «Ограничения»? Термин «не связанное»?
В отчете по устойчивости указаны пределы изменения целевого коэффици ента изменяемой ячейки. Приведет ли изменение целевого коэффициента в этих пределах к изменению оптимального решения задачи? Изменению оптимального значения целевой функции?
В отчете по устойчивости (раздел «Ограничения») приведены пределы из менения запасов дефицитных ресурсов. Приведет ли изменение запасов та ких ресурсов в указанных пределах к изменению оптимального решения задачи? Какое условие определяет указанные пределы?
Значение изменяемой ячейки определяет оптимальное решение задачи. Целевой коэффициент этой ячейки равен 2. К чему приведет увеличение значения этой ячейки?
42
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Примеры структуризации задач
43

Примеры структуризации задач
для исследования систем
менеджмента
В этом разделе приводятся примеры структуризации задач для исследования систем производственного, операционного и финансового менеджмента. Все задачи разделены на группы, определяющие основные стереотипы структуризации ЭТ.
Этап структуризации, как уже отмечалось, является одним из наиболее трудных в организации исследования систем менеджмента, часто требующим нетривиальных решений. Каждая задача связана с индивидуальным подходом к определению структуры соответствующей таблицы. Это обстоятельство во многом определяет творческий характер процесса структуризации задачи и исследования соответствующей системы в целом.
С проведением структуризации могут быть связаны два этапа работы: математическая формулировка задачи и собственно разработка ЭТ. Математическая формулировка задачи определяет лишь общую канву, на которой может быть сконструирована ЭТ: задание варьируемых переменных, ограничений и целевой функции. В общем случае она не содержит многих деталей и дополнительных поясняющих факторов, присутствующих в таблице. Этап математической формулировки мы приводим только для того, чтобы пояснить основы подхода к разработке ЭТ. В целом же ЭТ значительно содержательнее чисто математической формулировки задачи.
Структура ЭТ должна быть представлена в наглядной форме, поясняющей все промежуточные вычисления и взаимосвязи между переменными, определенные форматы ячеек и размерности размещенных в них переменных, названия строк, столбцов и отдельных ячеек и т. п.
Задачи об ассортименте определяют широкий класс однотипных задач, которые могут отличаться одна от другой видами продукции (ассортиментом товаров или услуг), набором ограничений, ценами на продукцию разных видов и т. п. В прикладном плане эти задачи особенно разнообразны. .
Этот класс задач обычно ориентирован на решение вопроса: как рациональнее организовать производственный процесс (использовать ли субподрядчиков, сверхурочное время, сколько платить за аренду станков и т. п.). Такие задачи связаны с исследованием определенного уровня организации производства с целью определения оптимальных значений параметров, характеризующих этот уровень. В этом смысле эти задачи иногда называют задачами целевого программирования.
К этому классу задач относится подробно рассмотренная выше задача о красках. Ниже приводится еще один пример структуризации задачи этого типа.
Использование сверхурочных работ
При изготовлении изделий двух видов осуществляется последовательная обработка соответствующих заготовок на двух различных станках. Каждый станок может использоваться для производства изделий по 8 часов в сутки, однако этот фонд времени можно увеличить на 4 часа за счет сверхурочных работ. Каждый час сверхурочного времени требует дополнительных расходов: для станка 1 это долл.5, для станка 2 долл.7. Производительность станков и продажная цена изделий приведены в таблице.

Станок
Производительность станков (изделие/ч)



изделие 1
изделие 2

1
5
6

2
4
8

Цена изделия
$6
$4


Задачи определения объемов производства товаров и услуг
Для этих задач целевая ячейка обычно определяет объем реализации некоторой разнородной продукции в стоимостном выражении. Целью оптимизации является определение оптимального соотношения объемов между видами выпускаемой продукции, при котором объем реализации достигает максимума.
Требуется определить объемы производства изделий каждого вида и уровень использования сверхурочного времени на каждом из станков, обеспечивающие получение максимальной прибыли.
Математическая формулировка задачи
Содержимое изменяемых ячеек
Определим X11, Х12 как количества изделий первого типа, выпускаемых соответственно на первом и втором станках. Аналогично,
44
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Примеры структуризации задач
45

Х21, Х22 будут определять количество изделий второго типа, выпускаемых на этих же станках.
Т1с/у, Т2с/у время сверхурочных работ соответственно на первом и втором станках.
Ограничения
1. По времени занятости станков:
XI1/5 + Х21/6 <= 8 + Tlc/y; X12/4 + Х22/8 <= 8 + Т2с/у; Т1с/у <= 4; Т2с/у <= 4.
2. «Естественные» ограничения:
Т1с/у >= 0; Т2с/у >= 0; X1UX22 >= 0. Целевая функция:
Z = (XI1+ Х12)*6 + ( Х21 + Х22)*4 - (5* Т1с/у + 7* Т2с/у). Максимизировать Z.

Изменяемые ячейки: D3:E4; С10:С11.
Ограничение по времени использования станков: С10:С11<=ЕШ:Е11.
Целевая ячейка: G13.
Задачи смеси
Как правило, в таких задачах требуется определить такой состав смеси различных продуктов, который удовлетворяет заданным ограничениям по ее качеству (например, по калорийности, пластичности, содержанию питательных веществ) и вместе с тем определяет смесь минимальной стоимости. В литературе часто встречается и другое название для этого класса задач «задачи о диете».
Для этого вида оптимизационных задач характерно наличие процентных (или долевых) ограничений. Ниже приводится пример структуризации задачи этого типа.
Определение топливной смеси
Фирма хочет использовать для своих грузовиков смешанное топливо с целью сокращения транспортных расходов. Планируется смешивать два вида топлива (Аи В).
Смешанное топливо должно иметь октановое число не меньше 80. Октановое число смеси является взвешенным средним октановых чисел смешиваемых компонент, причем веса пропорциональны соответствующим смешиваемым объемам (при смешивании компонент объем смеси равен сумме объемов компонент):
ОЧсм = Ва*ОЧа + ВЬ*ОЧв; Ва - Va/(Va + Vb); Bb = Vs/(Va + Vb).
Здесь ОЧсм, ОЧа, ОЧв октановые числа соответственно смеси, топлива А и топлива В, Va, Vb объемы смешиваемых топлив А и В.
Для обеспечения всех грузовиков фирмы в течение следующего месяца необходимо не менее 3000 галлонов топлива. Фирма располагает хранилищем для топлива емкостью 4000 галлонов. Возможно приобретение до 2000 галлонов топлива А и 4000 галлонов топлива В.
Топливо А имеет октановое число 90 и стоимость $1,20 за галлон, топливо В имеет октановое число 75 и стоимость $0,90 за галлон. Определите смесь минимальной стоимости.
46
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Примеры структуризации задач
47


J
Математическая формулировка задачи
Содержимое изменяемых ячеек
Пусть переменная Va определяет объем топлива А, а переменная Vb объем топлива В. Ограничения
По запасам топлива: Va + Vb >= 3000; Va + Vb <= 4000.
По закупкам топлива: Va <= 2000; Vb <= 4000.
По октановому числу смеси: Ва*90 + ВЬ*75 >= 80. Целевая функция: Z = l,20*Va + 0,90*Vb. Минимизировать Z.

Изменяемые ячейки: В2:ВЗ. Ограничения:
По закупкам топлива: В2:ВЗ <= С2:СЗ.
По запасам топлива: F4 <= F5; F4 >= F6.
По октановому числу смеси: F7 >= F8. Целевая ячейка: F8.
Задачи дисбаланса
Эти задачи связаны с установлением оптимального соответствия между процессами спроса и предложения (закупки и продажи товаров, производства комплектующих и сборки изделий, планирования и фактической реализации плана и т. п.). Несоответствие между этими процессами образует дисбаланс, который всегда связан с убытками, исчисляемыми в денежном выражении. Причины возникновения дисбаланса могут быть самыми разными, поэтому и задачи этого типа могут значительно отличаться друг от друга.
Ниже рассматриваются две характерных задачи этого класса.
Минимизация дисбаланса при сборке изделий из комплектующих
Изделия двух типов (А и В) собираются с использованием комплектующих четырех видов (1, 2, 3 и 4). Структура изделий определена в таблице (изделие типа А состоит из трех комплектующих первого типа, десяти комплектующих второго типа и т. д.).

Тип изделия
Вид комплектующих i



1
2
3
4

А
3
10
7
1

В
0
8
5
4

Комплектующие выпускаются на двух различных заводах. В следующей таблице приведены данные, характеризующие производительность заводов по выпуску комплектующих и недельный ресурс времени, которым располагает каждый из заводов для их производства. Цена изделий вида А $40, вида В $27.

Завод
Недельный фонд времени (ч)
Производительность по видам комплектующих (ед./ч)





1
2
3
4

1
130
10
5
7
8

2
90
8
6
12
3

Определите еженедельные затраты времени (в часах) на производство комплектующих каждого вида на каждом заводе, обеспечивающие максимальный объем реализации изделий при минимальном дисбалансе.
48
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Примеры структуризации задач
49



Математическая формулировка задачи
Определим варьируемые переменные Xij как еженедельные затраты времени (в час) для производства комплектующих i-oro вида на j-ом заводе (i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2). Тогда суммарное количество комплектующих, выпускаемых двумя заводами (по видам комплектующих), определится выражениями:
N1=1O*X11+8*X12; (комплектующие первого вида);
N2=5*X21+6*X22; (комплектующие второго вида);
N3=7*X31+12*X32; (комплектующие третьего вида);
N4=8*X41+3*X42 (комплектующие четвертого вида).
Введем дополнительные варьируемые переменные «второго уровня» Nia количество комплектующих i-oro вида, используемых для сборки изделия А, аналогично Nib (Nia + Nib = Ni; i = 2, 3, 4).
При решении этой задачи целесообразно использовать понятие полного комплекта набора комплектующих, из которых может быть собрано одно изделие. Так, для изделия А полным комплектом является набор (3, 10, 7, 1), а для изделия В (0, 8, 5, 4). Любой комплект составляется из порций комплектующих разных видов. Для изделия А это 4 порции:
из трех комплектующих первого вида;
десяти второго вида;
семи третьего вида;
одной комплектующей четвертого вида.
Дисбаланс заключается в том, что из-за различий в производительности заводов число таких порций не позволяет составить целое число полных комплектов, поэтому возникает дисбаланс, связанный с образованием остатков комплектующих одного вида и нехваткой комплектующих другого вида. Оба этих фактора влекут к снижению объемов производства изделий. При этом фактически количество выпускаемых изделий определяется минимальным количеством порций, из которых могут быть составлены полные комплекты.
Например, все комплектующие первого вида используются для сборки изделий А. Какое количество изделий типа А можно собрать из комплектующих первого вида? Очевидно, это количество определяется тем, сколько порций можно собрать из комплектующих первого вида, т. е. величиной [Nl/З] (квадратные скобки определяют здесь целую часть).
Комплектующие второго вида делятся на две части, одна из них идет на сборку изделий типа А, вторая на сборку изделий типа В, при этом N2a + N2b = N2. Величина [N2a/10] определит количество порций и соответственно количество изделий типа А, которые можно собрать с учетом объема имеющихся комплектующих второго вида N2a.
Таким образом, общее количество изделий типа А, которое может быть собрано при наличии комплектующих 1/4-ого видов в количестве (N1, N2a, N3a, N4a), определится формулой:
Кол-во_Изделий_А = MIN ([N1/3], [N2a/10], [N3a/7], [N4a]).
Аналогично для изделий типа В: Кол-во_Изделий_В = MIN ([N2b/8], [N3b/5], [N4b/4]).
Содержимое целевой ячейки: Z = 40*Кол-во_Изделий_А + 27*Кол-во_Изделий_В.
Ограничения: по времени производства
для завода 1: XII + Х21 + Х31 + Х41 <= 130;
для завода 2: Х12 + Х22 + Х32 + Х42 <= 90.
по видам комплектующих: Nia + Nib = Ni; i = 2, 3, 4; Nia, Nib = целые.
Максимизировать Z.
Таким образом, в этой задаче общее число варьируемых переменных (изменяемых ячеек) равно 14. Из них 8 переменных Xij имеют размерность времени, а 6 переменных (Nia, Nib) безразмерны.
Структура ЭТ

50
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Примеры структуризации задач
51



Продолжение ЭХ
Изменяемые ячейки первого уровня: F4:15. Изменяемые ячейки второго уровня: G12:113. Целевая ячейка: J19.
Ограничения:
по времени производства J4 : J5 <= J7:J8;
по видам комплектующих: G14 : 114 = G9:I9;
G12:I13 = целые.
Модель производства с запасами
Фирма переводит свой завод на производство новых изделий, которые планируется выпускать в течение четырех месяцев. Оценки спроса на изделия в каждый из этих месяцев приведены в таблице:
В каждый месяц спрос можно удовлетворить за счет:
избытка изделий, произведенных в предшествующие месяцы;
изделий, произведенных в текущем месяце;
изделий, произведенных в последующие месяцы для погашения невыполненных ранее заказов.
Затраты на изготовление одного изделия составляют долл.4. Изделие, произведенное, но не поставленное потребителю в текущем месяце, влечет за собой дополнительные издержки на хранение в размере долл.0,5 за каждый месяц хранения. Изделие, выпускаемое в счет невыполненных заказов, облагается штрафом в размере долл.2 за каждый месяц недопоставки.
Объем производства меняется от месяца к месяцу по внутризаводским причинам. В рассматриваемые 4 месяца планируется следующая программа выпуска изделий.

Месяц производства изделия
1
2
3
4

Выпуск (штук)
50
180
280
270

Требуется уточнить (доопределить) эту программу таким образом, чтобы она обеспечивала минимальные издержки, обусловленные несогласованностью спроса и предложения (дисбалансом).
Задачи такого типа в исследовании операций известны как «транспортные задачи». Это обусловлено тем, что чаще всего такие задачи связаны с оптимизацией процессов перевозок. Вместе с тем к этому типу сводится рассматриваемая задача и многие другие, не имеющие непосредственного отношения к транспорту. Специфика этих задач заключается в использовании таблицы-матрицы, строки и столбцы которой определяют факторы дисбаланса спрос и предложение, место производства и потребления продукции и т. п.
Пусть i определяет месяц производства изделия, a j месяц поставки. В качестве содержимого изменяемых ячеек будем использовать Xij количество изделий, произведенных в i-ый месяц и поставленных в j-ый.


Месяц поставки изделия
1
2
3
4

Спрос (штук)
100
200
180
300

Математическая формулировка задачи
Определим матрицу стоимостей производства и хранения изделий.
52
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Примеры структуризации задач
53



\ Месяц пр-ва (i)
Месяц потребления 0)
Программа выпуска изделий (шт)




2
3
4




4
4,5
5
5,5
50

2 .!
6
4
4,5
5
180

3
8
6
4
4,5
280

4
10
8
6
4
270

Спрос (шт)
100
200
180
300


$4; (при i = j);
Cij = $4 + $0,5 * (j - i); (при j > 0; $4 + $2*(i-j); (при i>j).
В таком же виде определим программу производства изделий.

Месяц пр-ва (i)
Месяц потребления (j)
Программа выпуска изделий (шт)



1
2
3
4



1
Х11
XI2
Х13
Х14
50

2
Х21
Х22
Х23
Х24
180

3
Х31
Х32
ХЗЗ
Х34
280

4
Х41
Х42
Х43
Х44
270

Спрос
100
200
180
300


Структура ЭТ

Ограничения:
предложение (объемы производства):
Х11+Х12+Х13+Х14= 50;
Х21+Х22+Х23+Х24=180;
ХЗ 1+Х32+ХЗЗ+Х34=280;
Х41+Х42+Х43+Х44=270. спрос:
Х11+Х21+Х31+Х41=100;
X12+Х22+Х32+Х42=200;
Х13+Х23+ХЗЗ+Х43=180;
Х14+Х24+Х34+Х44=300. Целевая функция:
Z= ^ Zj (Xij*Cij) для i=l52,3,4; j=l,2,3,4; Минимизировать Z.
Функция СУММ() находится в списке функций системы EXCEL. Она реализует суммирование элементов массива. Функция СУММПРОИЗВ() суммирует произведения элементов двух массивов. Она также находится в списке функций EXCEL.
Например,
СУММПРОИЗВ(В12:Е15; В4:Е7) =
B12*B4+C12*C4+D12*D4+E12*E4+
B13*B5+C13*C5+D13*D5+E13*E5+
B14*B6+C14*C6+D14*D6+E14*E6+
B15*B7+C15*C7+D15*D7+E15*E7.
Изменяемые ячейки: В12:Е15, целевая ячейка F17.
Ограничения:
по производственной программе: F4:F7=F12:F15;
по спросу: В8:Е8=В16:Е16;
естественные: В12:Е15 целые, неотрицательные.
54
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Примеры структуризации задач
55

Составление «скользящих» графиков
Такие графики обычно связаны с расписаниями многосменной работы предприятия в условиях нестационарного спроса на товары или услуги, связанные с деятельностью этого предприятия. Эти задачи характеризуются наличием многих ограничений, действующих в разные периоды времени. Например, спрос на общественный транспорт сильно меняется в зависимости от времени суток, спрос на продаваемые товары в магазине меняется в зависимости от дня недели и времени суток и т. д. Задача состоит в том, чтобы организовать расписание обслуживания клиентов (пассажиров, покупателей и т. п.) таким образом, чтобы издержки от неравномерности спроса были бы минимальны.
Ниже приводится пример задачи, связанной с неравномерностью покупательского спроса в течение суток.
Составление скользящего расписания при нестационарном потребительском спросе
В таблице приведено количество продавцов, которое необходимо для удовлетворения покупательского спроса в торговом зале магазина в течение суток. Требуется так организовать расписание работы продавцов, чтобы их общее количество (и соответственно расходы на оплату их труда) было минимальным.

Время суток
Требуемое количество продавцов

0-4
2

4-8
2

8-12
5

12-16
7

16-20
7

20-24
4

Математическая формулировка задачи
Допустим, что продавцы в магазине работают по 8 часов (в смену).
В соответствии с данными задачи количество требуемых продавцов меняется через 4 часа. Если предположить, что в первую смену работает XI продавцов, во вторую Х2 и т. д., то график работы продавцов можно представить следующим рисунком.

Жирные линии означают смены, которые начинаются через 4 часа и продолжаются 8 часов. Смены перекрываются, т. е., например, с 4 до 8 часов в торговом зале присутствуют (XI + Х2) продавцов, с 8 до 12 часов (Х2 + ХЗ) продавцов, а с 0 часов до 4 работают (XI + Х6) продавцов. Этот «скользящий» график и образует расписание смен.
XI - Х6 определяют изменяемые (варьируемые) переменные, которые следует определять из условия минимального общего количества продавцов, т. е. целевая функция в этой задаче определяется выражением
: (Xl+X2+X3+X4+X5+x6)=>min.
В качестве ограничений при этом будут выступать условия: Х1+Х6>=2; Х1+Х2>=2; Х2+Х3>=5; Х3+Х4>=7; Х4+Х5>=7; Х5+Х6>=4.
Кроме того, (XI - Х6) должны быть целыми и положительными. Такая структуризация может быть реализована, например, в следующей электронной таблице.

56
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
57




Здесь столбцы А, В, С, F определяют исходные данные, столбец D изменяемые ячейки, столбец Е зависимые ячейки, реализующие математическую формулировку задачи. Ячейка F8 целевая. Ограничения: E2:E7>=F2:F7; E2:E7 целые и неотрицательные.
Задачи оптимизации инвестиций
Основная цель решения этого класса задач найти оптимальное ] распределение (вложение) финансовых средств, доставляющее максимальную прибыль (в будущем) по истечении срока действия инвестиционного проекта. Для этих задач характерно наличие большого раз- j нообразия способов вложения средств, использование ограничений в виде равенств, определяющих разделение общей суммы инвестиционных вложений на части вложения в различные проекты. Число та-ких ограничений зависит от сроков реализации инвестиционных про-ектов. При этом на каждом временном отрезке, связанном с инвестициями, в электронной таблице «появляются» новые варьируемые] переменные. Такие переменные определяют процесс деления прибыли, полученной на предыдущем этапе инвестиций, на части вложе-ния в проекты на последующем этапе.
При большом выборе инвестиционных проектов с различными сроками окупаемости и коэффициентами прибыли эти задачи стано-вятся весьма сложными и трудно формализуемыми.
Оптимизация инвестиций в проекты
Денежные средства могут быть использованы для финансирова-ния двух проектов. Проект А гарантирует получение прибыли в раз-мере 70 центов на вложенный доллар через год. Проект В гарантирует получение прибыли в размере 2 долл. на каждый инвестированный доллар, но через два года. При финансировании проекта В период инвестиций должен быть кратным двум годам. Как следует распоря-диться капиталом в 100 тыс. долл., чтобы максимизировать суммар-ную величину прибыли, которую можно получить через три года по-сле начала инвестиций?
Математическая формулировка задачи
Содержимое изменяемых ячеек
Ха, Ya вложения в проект A; Xb, Yb вложения в проекг В. Возможные инвестиции могут быть иллюстрированы схемой, приведенной на рисунке.

В этой схеме стрелки определяют возможные вложения в проекты, а символические обозначения на стрелках объемы таких вложений. Из приведенной схемы следует, что в исследуемой системе существуют только два возможных срока вложений начало первого года и начало второго года. Суммы вложений в эти сроки определяют содержимое изменяемых ячеек. «Точка вложений» в начале третьего года одна, в нее вкладываются все доходы от предыдущих вложений. Эта точка не связана с какими-либо вариациями сумм.
Ограничения: Ха + ХЬ = 100 000; Ya + Yb = (1 + 0.7)*Ха.
Целевая функция: Z = Ya*(l + 0.7)2 + Yb*(l + 2) + Xb*(l + 2)*(1 + 0,7).
Максимизировать Z.
Представление этой задачи в форме электронной таблицы целесообразно оформить в следующем виде.
58
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Примеры структуризации задач
59


Изменяемые ячейки: СЗ:С4, ЕЗ:Е4. В двух первых размещаются вложения первого года, в двух последних вложения второго года. Ограничения: С5 = Н6; Е5 = D5; Целевая ячейка: Н5.
Задачи логического выбора
Этот класс задач связан с выбором конкретных вариантов организации системы с учетом ресурсных ограничений. Как правило, в задачах логического выбора используются изменяемые ячейки, которые могут хранить одно из двух значений: 1 или 0, иначе «выбирать вариант организации» или «не выбирать». В математическом программировании такие задачи называются задачами булевского программирования.
Использование булевских переменных позволяет сформулировать различные логические ограничения выбора.
Например, выбор одного из двух вариантов организации исследуемой системы (1,2) может определяться двумя булевскими переменными (XI, Х2).
Условие выбора только одного из двух вариантов эквивалентно ло- гическому ограничению: XI + Х2 = 1. Такое ограничение моделирует условие взаимоисключения.
Условие выбора хотя бы одного из двух вариантов эквивалентно] логическому ограничению XI + Х2 >= 1.
Если вариант 2 может быть принят только при принятии варианта 1 (взаимообусловленность), следует использовать ограничение Xi >= Х2. Если же вариант 2 должен быть принят при принятии ва-рианта 1, вводится ограничение Х2 >= XI.
В качестве примера рассмотрим задачу о выборе варианта капита-ловложений.
Распределение капиталовложений

Проект
Распределение капиталовложений
Прибыль


Год1
Год 2
ГодЗ


1
5
1
8
20

2
4
7
10
40

3
3
9
2
20

Продолжение таблицы

Проект
Распределение капиталовложений
Прибыль


Год1
Год 2
ГодЗ


4
7
4
10
15

5
8
6
1
30

Максимальный объем капиталовложений
25
25
25


Рассматриваются пять проектов, которые могут быть осуществлены в течение последующих трех лет. Ожидаемые величины прибыли от реализации каждого из проектов и распределение необходимых капиталовложений по годам (в тыс. долл.) приведены в таблице. Предполагается, что каждый утвержденный проект будет реализован за трехлетний период. Требуется выбрать совокупность проектов, которой соответствует максимум суммарной прибыли.
Математическая формулировка задачи
Добавим к таблице исходных данных столбец изменяемых ячеек. Обозначим содержимое этих ячеек как Xi, где i = 1,2, ..., 5 определяет номер проекта, a Xi определяет решение: вкладывать (Xi =1) или нет (Xi = 0) средства в i-ый проект. Такую переменную, принимающую только два возможных значения (1 или 0), называют булевской.
Ограничения:
1) по объему капиталовложений
в первый год: 5* XI + 4*Х2 +3*ХЗ + 7*Х4 + 8*Х5 <= 25; во второй год: 1* XI + 7*Х2 +9*ХЗ + 4*Х4 + 6*Х5 <= 25; в третий год: 8* XI + 10*Х2 +2*ХЗ + 10*Х4 + 1*Х5 <= 25;
2) «естественные» ограничения: Х1- Х5 = двоичные (булевские).
Целевая функция:
Z= 20*Х1 + 40*Х2 + 20*ХЗ + 15*Х4 + 30*Х5. Максимизировать Z.
Электронная таблица в этом варианте может выглядеть следующим образом.
Задачи для исследования систем управления
61


Формула =S(F3:F7)*(B3:B7) записывается в системе EXCEL как СУММПРОИЗВ (F3:F7;B3:B7). Она определяет сумму произведений столбца F3:F7 на столбец ВЗ:В7:
СУММПРОИЗВ (F3:F7;B3:B7) = F3*B3 + F4*B4 + F5*B5 + F6*B6 + + F7*B7.
F3:F7 изменяемые булевские ячейки, F8 целевая ячейка.
Ограничения: B8:D8 <= B9:D9.
Контрольные вопросы
Как связана математическая формулировка оптимизационной задачи со структурой ЭТ, на которой будет проводиться поиск решения задачи?
Приведите примеры элементов сходства и различия между математической формулировкой задачи и структурой ЭТ.
Укажите основные особенности задач определения оптимального ассорти мента продукции.
Укажите основные особенности задач о смеси.
Могут ли изменяемые ячейки одной задачи иметь разные размерности?
Укажите основные особенности систем с дисбалансом. Приведите приме ры таких систем.
Укажите основные особенности «транспортных задач». Всегда ли они свя заны с транспортом?
Что такое «скользящий график» и в чем заключается его оптимизация? Приведите примеры.
Укажите основные особенности задач оптимизации инвестиций. В чем за ключаются основные трудности поиска решения этих задач?
10. Дайте краткую характеристику задач логического выбора. Приведите примеры логических ограничений.

К какому виду математического программирования относятся задачи логи ческого выбора?
Приведите примеры изменяемых ячеек различных уровней. Как бы Вы определили понятие уровня изменяемой ячейки?
Могут ли в одной задаче использоваться изменяемые переменные разных типов (например, булевские и действительные)?
Задачи для исследования систем управления
1. Задачи определения объемов производства товаров и услуг
При подборе задач были использованы источники [1, 2, 3, 7].
1.1. Оптимизация производства карамели
Кондитерская фабрика для производства трех видов карамели А, В и С использует три вида основного сырья: сахарный песок, патоку и фруктовое пюре. Нормы расхода сырья каждого вида на производство одной тонны карамели приведены в таблице. В ней же указано общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано фабрикой, а также приведена прибыль от реализации 1 т карамели соответствующего вида.

Вид сырья
Нормы расхода сырья (т) на 1 т карамели
Общее кол-во сырья (т)



А
В
С



Сахарный песок
0,8
0,5
0,6
800

Патока
0,4
0,4
0,3
600

Фруктовое пюре
0
0,1
0,1
120

Прибыль от реализации 1 т продукции (тыс. руб.)
108
112
126


Найти оптимальное сочетание объемов производства карамели (по видам), обеспечивающее максимальную прибыль от ее реализации. Исследовать, как изменятся эти объемы при изменении запасов сырья на фабрике.
62
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Задачи для исследования систем управления
63

1.2. Оптимизация объемов производства изделий
Изделия четырех типов проходят последовательную обработку на двух станках. Время обработки одного изделия каждого типа на каждом из станков приведено в таблице.

Время обработки одного изделия (ч)

Станок
Тип1
Тип 2
ТипЗ
Тип 4

1
2
3
4
2

2
3
2
1
2

Затраты на производство одного изделия каждого типа определяются как величины, прямо пропорциональные времени использования станков (в машино-часах). Стоимость машино-часа составляет долл. 10 для станка 1 и $15 для станка 2. Допустимое время использования станков для обработки изделий всех типов ограничено следующими значениями: 500 машино-часов для станка 1 и 380 машино-ча-сов для станка 2. Цены изделий типов 1, 2, 3, и 4 равны соответственно $65, $70, $55 и $45.
Найдите оптимальные объемы производства изделий, исходя из условия максимизации суммарной чистой прибыли. Исследуйте, как повлияет на оптимальное решение изменение стоимости машино-часа для первого и второго станков.
1.3. Оптимизация размещения объемов субподрядных работ
Подразделение по изготовлению технологической оснастки про-изводства моторов столкнулось с проблемой: самим производить не-сколько приспособлений для сборочного цеха или использовать суб- подрядчиков.
Любое из этих приспособлений требует использования операций! литья, обработки и сборки. Операции литья для приспособлений А и В могут быть выполнены субподрядчиками, но литье для приспособления С требует специального оборудования, что исключает исполь зование субподрядчиков.
Стоимость операций и цены на приспособления приведены ниже.
Каждое приспособление А требует 9 мин. для литья, 9 мин. для обработки и 5 мин. для сборки. Для приспособления В это соответст-] венно 15, 5 и 3 мин. Для приспособления С это 12, 12 и 3 мин.

Стоимость операций по изготовлению приспособлений ($) |

Тип приспособления
А
В
С

Литье (субподрядчики)
0,65
0,80, ~


Обработка
0,25
0,15
0,35

Сборка
0,40
0,25
0,25

Литье(собственное)
0,20
0,25
0,30

Цена приспособления ($)
2,25
2,35
?,35

Ресурсы производственного времени подразделения составляют:
для операции литья 12 тыс. мин в неделю;
для операции обработки 18 тыс. мин в неделю;
для операции сборки 15 тыс. мин в неделю.
Определите оптимальное размещение объемов производства приспособлений, доставляющее максимальную прибыль. Исследуйте, как повлияет на оптимальное решение изменение расценок на литье, выполняемое субподрядчиками. (Субподрядчики не используют ресурсы производственного времени и производственные мощности подразделения по изготовлению технологической оснастки производства.)
1.4. Оптимизация размещения рекламы
Фирма имеет возможность рекламировать свою продукцию, используя местные радио- и телевизионные сети, а также центральное телевидение. Затраты на рекламу в бюджете фирмы ограничены величиной $2000 в месяц. Каждая минута радиорекламы обходится в $5, каждая минуга местной телерекламы в $50, а минута центральной телерекламы в $70. Опыт прошлых лет показал, что объем сбыта, который обеспечивает каждая минута местной телерекламы, в 25 раз больше сбыта, обеспечиваемого минутой радиорекламы, а минута центральной телерекламы обеспечивает увеличение сбыта по сравнению с минутой радиорекламы в 40 раз.
Определите оптимальное распределение финансовых средств, ежемесячно отпускаемых на рекламу, между радио- и двумя видами телерекламы.
Фирма хотела бы использовать радиосеть по крайней мере в два раза чаще, чем сеть телевидения. Исследуйте, оправдано ли это пожелание фирмы?
Фирма рассматривает возможность дополнительного использования рекламы типа «бегущая строка» на центральном телевидении. Стоимость минуты такой рекламы на 30 % меньше стоимости минуты обычной рекламы центрального телевидения, а сбыт меньше только
64
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Задачи для исследования систем управления
65

на 10 %. Возможно ли при этом уменьшить объем средств, выделяемых на рекламу в целом, при сохранении прежнего уровня сбыта?
1.5. Оценка номенклатуры изделий
Предприятие электронной промышленности выпускает пять моделей радиоприемников, причем модели 13 производятся на технологической линии А, а модели 45 на технологической линии В. Суточный объем производства линии А 70 изделий, линии В 95 изделий. Радиоприемники всех моделей используют однотипные элементы электронных схем в количествах, определяемых таблицей.

Модель приемника
1
2
3
4
5

Кол-во элементов
10
8
6
11
15

Прибыль от реализации первого приемника ($)
30
20
10
22
40

Максимальный суточный запас используемых элементов равен 1800 единицам.
Определите оптимальные суточные объемы производства радиоприемников различных видов, доставляющие максимальную прибыль.
Предприятие планирует в дополнение к двум существующим запустить третью технологическую линию С по сборке радиоприемников с производительностью 100 изделий в сутки. Какие модели приемников целесообразно производить на этой линии, в каких объемах и какой минимальный суточный запас элементов необходим для полной загруженности всех трех линий?
1.6. Оценка развития производства
В связи с закрытием неприбыльной производственной линии на предприятии образовался избыток производственных мощностей. Менеджер рассматривает возможность использования свободной производственной линии для производства одного или более из трех видов продуктов XI, Х2 или ХЗ. Ниже приведены затраты производственного времени на единицу каждого из этих продуктов.

Вид обработки
Затраты времени на единицу продукта (ч)



Х1
Х2
ХЗ

Фрезерование
8
2
3

Токарная
4
3
0

Шлифовальная
2
0
I

Доступные ресурсы времени обработки в неделю: фрезерование 80O ч, токарная 480 ч, шлифовальная 320 ч.
Коммерсанты оценивают, что они могут реализовать весь объем продукции видов XI и Х2, который может быть произведен, но как максимум 80 единиц продукции вида ХЗ в неделю.
Ожидаемая прибыль по видам продуктов на единицу продукции (удельная прибыль): XI $20, Х2 $6, ХЗ $8.
Каково оптимальное распределение между видами производимой продукции, обеспечивающее максимальный объем реализации (в долларах)?
В каких пределах может изменяться удельная прибыль (по видам продуктов) без изменений найденного оптимального распределения и какие значения этой прибыли обеспечат максимальное увеличение найденного объема реализации?
1.7. Оптимизация ассортимента молочного завода
Продукцией молочного завода являются молоко, кефир и смета-па, расфасованные в бутылки. На производство 1 т молока, кефира или сметаны требуется соответственно 1010, 1010 и 9450 кг молока. При этом затраты рабочего времени при разливе 1 т молока и кефира составляют 0,18 и 0,19 машино-часов. На расфасовке 1 т сметаны заняты специальные автоматы в течение 3,25 ч. Всего для производства цельномолочной продукции завод может использовать 136 т молока. Основное оборудование может быть занято в течение 21,4 машино-часа, а автоматы по расфасовке сметаны в течение 16,25 ч. При-быль от реализации 1 т молока, кефира и сметаны соответственно равна 30, 22 и 136 тыс. руб. Завод должен ежедневно производить не менее 100 т молока, расфасованного в бутылки. На производство другой продукции не имеется никаких ограничений.
Требуется определить оптимальное соотношение между объемами производимой молочной продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.
Можно ли рассчитывать на увеличение прибыли, если отказаться от ограничения на производство молока? Каково максимальное увеличение прибыли? На сколько можно снизить цены на кефир и сметану, отказываясь от дополнительной прибыли?
1.8. Составление плана загрузки станков
На текстильном предприятии имеется три типа ткацких станков. Ufa каждом могут вырабатываться 4 вида тканей: миткаль, бязь, ситец и сатин. Производительность каждого станка и затраты на изготовление тканей приведены в таблице.
66
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Задачи для исследования систем управления
67

Тип станка
Производительность станка(м/ч)
Затраты на выработку 1 м ткани {$)



миткаль
бязь
ситец
сатин
миткаль
бязь
ситец
сатин

1
24
30
18
42
0,2
0,1
0,3
0,1

2
12
15
9
21
0,3
0,2
0,4
0,1 i

3
8
10
6
14
0,6
0,3
0,5
0,2

Цена 1 м ткани ($)
10
15
17
8

Учитывая, что фонд рабочего времени каждого типа станков соответственно равен 90, 220 и 180 станко-часов, составить такой план их загрузки, при котором общие затраты, обусловленные изготовлением 1200 м миткаля, 900 м бязи, 1800 м ситца и 840 м сатина, являются минимальными. Для найденного плана определить прибыль фабрики.
Найти оптимальный план выпуска тканей, определенный из уело- вий получения максимальной прибыли при отказе от ограничений на объемы выпускаемой продукции.
Сравнить эти планы и оценить упущенную выгоду, связанную с ограничениями на ассортимент производимой продукции.
1.9. Использование сверхурочных работ
При изготовлении изделий двух видов осуществляется последовательная обработка соответствующих заготовок на двух различных станках. Каждый станок может использоваться для производства изделий по 8 часов в сутки, однако этот фонд времени можно увеличить на 4 часа за счет сверхурочных работ. Каждый час сверхурочного времени требует дополнительных расходов: для станка 1 это долл.5, для станка 2 долл.7. Производительность станков и прибыль в расчет на одно изделие приведены в таблице.
Требуется определить объемы производства изделий каждого вида и уровень использования сверхурочного времени на каждом из станков, обеспечивающие получение максимальной чистой прибыли.
Увеличит ли прибыль включение в план производства дополнительного вида изделий (Изделия 3) на прежних производственных мощностях? Изделие имеет удельную прибыль $5 и требует использования только второго станка с производительностью 7 изделий в час.
1.10. Выбор варианта раскроя
В производстве объемных изделий используются заготовки листового материала, из которого изготовляются детали методом раскроя заготовки.
Каждая заготовка может быть раскроена тремя способами (1, 2 и 3). В результате раскроя заготовки получатся детали трех разных типоразмеров. В соответствии с требованиями производственного процесса из имеющихся в наличии заготовок нужно получить не менее 10 деталей первого типоразмера, не менее восьми деталей второго типоразмера и не менее 10 деталей третьего типоразмера.
Способы раскроя определяются матрицей вида: А = [Aij]. Здесь ау количество деталей i-oro типоразмера, получаемое из одной заготовки путем ее раскроя j-ым способом.
Количество заготовок, раскраиваемых каждым способом, должно быть целым и не превышать четырех. Отходы от раскроя одной заготовки для каждого из способов составляют 4, 5 и 5 (усл. единиц), соответственно, для первого, второго и третьего способов.
Предложить вариант раскроя с минимальными суммарными отходами. Определить величину этих отходов.
Цех раскроя предполагает реализовать выкроенные детали по ценам $4, $6 и $2,5 соответственно для первого, второго и третьего типоразмера. При этом потери от процедуры раскроя оцениваются величиной долл.0,3 на условную единицу отходов. Оптимизируйте процесс раскроя, исходя из соображений получения максимальной прибыли.

Станок
Производительность станков (изделие/час)



изделие 1
изделие 2

1
5
6

2
4
8

Удельная прибыль
$6
$4

2. Задачи смеси
2.1. Задача о сплавах
Для получения двух сплавов А и В используются четыре металла Ml, М2, МЗ и М4. Требования к содержанию этих металлов в сплавах А и В приведены ниже.
68
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Задачи для исследования систем управления
69

Сплав
Требования к содержанию металлов

А
Не более 80 % металла М1 Не более 30 % металла М2 Не менее 50 % металла М4

В
От 40 до 60 % металла М2 Не менее 30 % металла МЗ Не более 70 % металла М4

Характеристики и запасы руд, из которых получают металлы, указаны в следующей таблице.

Руда
Максимальный запас (т)
Состав (%)
Цена($Д)





Ml
М2
МЗ
М4
Др.
КОМП.



1
1000
20
10
30
30
10
30

2
2000
10
20
30
30
10
40

3
3000
5
5
70
20
0
50

Цена 1 т сплава А $200, 1 т сплава В $300. Максимизируйте прибыль от продажи сплавов А и В, варьируя количествами приобретаемой руды и составами сплавов.
2.2. Составление кормовой смеси
Бройлерное хозяйство птицеводческой фермы насчитывает 10 тыс. цыплят, которые выращиваются до 8-недельного возраста. Недельный расход корма для цыплят зависит от их возраста.
приведены данные, характеризующие содержание (по весу) питательных веществ в каждом из ингредиентов и удельную стоимость каждо-го ингредиента.


Содержание питательных веществ (фунт на фунт ингредиента)
Стоимость ингредиента ($/фунт)



кальций
белок
клетчатка



Известняк
0,38
-
-
0,04

Зерно
0,001
0,09
0,02
0,15

Соевые бобы
0,002
0,50
0,08
0,40

Смесь должна содержать:
не менее 0,8 %, но не более 1,2 % кальция;
не менее 22 % белка;
не более 5 % клетчатки.
Определите кормовую смесь минимальной стоимости, количество каждого из ингредиентов, образующих эту смесь, и расходы (по неделям) на приобретение корма для цыплят.
2.3. Производство удобрений
Мощности завода по производству удобрений позволяют произвести в текущем месяце 1000 т нитратов, 1800 т фосфатов и 1200 т поташа. В результате смешения этих активных ингредиентов с инертными, запасы которых не ограничены, могут быть получены три вида удобрений.
В таблице указано содержание активных ингредиентов в смеси.


Недели
1
2
3
4
5
6
7
8

Недельный расход корма на одного цыпленка (в фунтах)
0,26
0,4
0,6
1,2
1,7
1,9
2,1
2,5

Кормовой рацион цыплят должен удовлетворять требованиям по питательности, которые выполняются при использовании определенных сочетаний кормовых ингредиентов. Перечень таких ингредиентов может быть достаточно широк, но (упрощая задачу) мы ограничимся только тремя ингредиентами: зерно, соевые бобы и известняк. Требования к питательности рациона также упростим, учитывая только три вида питательных веществ: кальций, белок и клетчатку. В таблице

Вид удобрений
Процентное содержание активных ингредиентов
Цена($/г)



нитраты
фосфаты
поташ



1
5
10
5
40

2
5
10
10
50

3
10
10
10
60

Цена($Д)
160
40
100


Цена инертных ингредиентов составляет долл.5 за тонну. Затраты смешения, упаковки и продажи составляют долл. 15 на тонну для каждого вида удобрений.
70
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Задачи для исследования систем управления
71

Какова оптимальная программа производства удобрений, позволяющая полностью использовать производственные мощности завода по выпуску активных ингредиентов в текущем месяце?
Сколько следует производить в текущем месяце удобрений ви-дов 2 и 3, если существует соглашение о поставке 6000 т удобрений вида 1?
Насколько при этом используются производственные мощности завода по выпуску активных ингредиентов? Существует ли дисбаланс в производстве этих ингредиентов?
3.2. Минимизация дисбаланса при сборке изделий из комплектующих
Изделия двух типов (А и В) собираются с использованием комплектующих четырех видов (1, 2, 3 и 4).

Тип изделия
Вид комплектующих



1
2
3
4

А
3
10
7
1

В
0
8
5
4


3. Задачи дисбаланса
3.1. Минимизация дисбаланса на линии сборки
Фирма производит изделие, представляющее собой сборку из трех различных узлов. Эти узлы изготовляются на двух различных заводах. Из-за различий в составе технологического оборудования производительность заводов по выпуску каждого из трех видов узлов неодинакова. В таблице приведены исходные данные, характеризующие как производительность заводов по выпуску каждого из узлов, так и максимальный суммарный ресурс времени, которым в течение недели располагает каждый из заводов для производства этих узлов.
Идеальной является ситуация, когда производственные мощности обоих заводов используются таким образом, что в итоге обеспечивается выпуск одинакового количества каждого из трех видов узлов.
Однако этого трудно добиться из-за различий в производительности заводов. Более реальная цель состоит, по-видимому, в том, чтобы максимизировать выпуск изделий, что, по существу, эквивалентно минимизации дисбаланса, возникающего вследствие некомплектности поставки по одному или двум видам узлов.

Завод
Максимальный недельный фонд времени (ч)
Производительность (узел/ч) j





узел 1
узел 2
узелЗ

1
100
8
5
10 !

2
80
6
12
4

Требуется определить еженедельные затраты времени (в часах) на производство каждого из трех видов узлов на каждом заводе, обеспе-j чивающие максимальный выпуск изделий при минимальном дисба-j лансе.
Структура изделий определена в таблице (изделие типа А состоит из трех комплектующих первого типа, 10 комплектующих второго типа и т. д.).
Комплектующие выпускаются на двух различных заводах. В следующей таблице приведены данные, характеризующие производительность заводов по выпуску комплектующих и недельный ресурс времени, которым располагает каждый из заводов для их производства. Цена изделий вида А $40, вида В $27.

Завод
Недельный фонд времени (ч)
Производительность по видам комплектующих (ед./ч)





1
2
3
4

1
130
10
5
7
8

2
90
8
6
1?
3

Определите еженедельные затраты времени (в часах) на производство комплектующих каждого вида на каждом заводе, обеспечивающие максимальный объем реализации изделий при минимальном дисбалансе.
3.3. Балансирование процессов сборки
Предприятие производит изделия трех видов: А, В и С. Изделия каждого вида собираются на отдельном участке сборки из комплектующих пяти наименований: H1, Н2, ..., Н5. Структуры изделий определены в таблице.

Вид изделия

Структура изделия




Н1
Н2
НЗ
Н4
Н5

А
2
5
6
6
1

В
3
7
9
11
3

С
2
4
5
2
1

72
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Задачи для исследования систем управления
73

Комплектующие изготовляются во вспомогательных цехах. Каждый цех по производству комплектующих характеризуются численно-стью рабочих и средней производительностью труда на одного рабочего. Сведения по цехам приведены в таблице.

Цех по производству комплектующих
Максимальное количество рабочих
Средняя производительность труда рабочего (компл./ч)

Н1
10
7 i

Н2
15
12 \

НЗ
17
13 j

Н4
64
23

Н5
23
11

Изделие А может быть реализовано по цене $10, В $13 и С $12. Объемы производства изделий непосредственно связаны с количеством рабочих во вспомогательных цехах. При каком количестве рабочих в каждом из таких цехов предприятие может получить максимальный объем реализации при минимальном дисбалансе между цехами по выпуску комплектующих?
3.4. Балансирование процесса производства с запасами
Фирма переводит свой завод на производство новых изделий, которые планируется выпускать в течение четырех месяцев. Оценки спроса на изделия в каждый из этих месяцев приведены в таблице.

Месяц поставки изделия
1
2
3
4

Спрос (штук)
100
200
180
300

ненных заказов, облагается штрафом в размере $2 за каждый месяц недопоставки.
Объем производства меняется от месяца к месяцу по внутризаводским причинам. В рассматриваемые 4 месяца планируется следующая программа выпуска изделий.

Месяц производства изделия
1
2
3
4

Выпуск (штук)
50
180
280
270

Требуется уточнить (доопределить) эту программу таким образом, чтобы она обеспечивала минимальные издержки, обусловленные несогласованностью спроса и предложения.
Как изменится найденной решение, если издержки на хранение будут больше штрафа, равны штрафу?
3.5. Минимизация дисбаланса в транспортной системе
Решите задачу оптимизации распределения самолетов трех различных типов по четырем маршрутам, исходя из условия минимизации эксплуатационных расходов и потерь из-за неудовлетворенного спроса.
Характеристики парка самолетов и движения по авиалиниям, а также стоимостные характеристики авиаперевозок приведены в таблицах.
Убытки неудовлетворенного спроса на одного неперевезенного пассажира могут быть обусловлены двумя причинами:
нет пассажира, желающего улететь («перевозка» свободного ме ста);
есть пассажир, желающий улететь, но нет свободных мест. С экономической точки зрения эти причины эквивалентны.

В каждый месяц спрос можно удовлетворить за счет:
избытка изделий, произведенных в предшествующие месяцы;
изделий, произведенных в текущем месяце;
изделий, произведенных в последующие месяцы для погашения невыполненных ранее заказов.
Затраты на изготовление одного изделия составляют $4. Изделие, произведенное, но не поставленное потребителю в текущем месяце, влечет за собой дополнительные издержки на хранение в размере $0,5 за каждый месяц хранения. Изделие, выпускаемое в счет невыпол-

I Тип самолета
Вместимость (число пасс.)
Кол-во самолетов
Кол-во рейсов в сутки на маршруте







1
2
3
4

1
50
5
?
7
?
7

2
30
8
7
7
7
7 j

3
20
10
7
7
7
7

Суточный пассажиропоток на маршруте
100
200
90
120

74
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Задачи для исследования систем управления
75

Исследование системы проведите для двух вариантов организации перелета:
каждый самолет может выполнять не более одного рейса в сутки;
каждый самолет может выполнять не более двух рейсов в сутки. Авиакомпания планирует приобрести еще 2 самолета второго типа,
полагая, что убытки при этом сократятся на 10 %. Оправданы ли эти планы компании для каждого из вариантов организации перевозок?

Тип самолета
Эксплуатационные расходы на 1 рейс по маршруту ($)



1
2
3
4

1
1000
1100
1200
1500

2
800
900
1000
1000

3
600
800
800
900

Убыток от неудовлетворенного спроса (на одного неперевезенного пассажира)
40
50
45
70

Сколько компьютеров следует собрать и сбыть во II квартале? Сколько компьютеров следует собрать во II квартале для сбыта в третьем квартале?
4. Составление «скользящих» графиков
4.1. Сменно-суточное планирование
Исследуются возможности более рациональной организации городского автобусного парка с целью снижения интенсивности внутригородского движения. На начальном этапе было определено минимальное количество автобусов, которое может удовлетворить потребности в перевозках. Результаты этого этапа исследования показали, что минимальное количество автобусов существенно меняется в зависимости от времени суток (см. таблицу).

Балансирование плана развития производства
Фирма разрабатывает план сборки компьютеров. Прогноз спроса на компьютеры для каждого квартала следующего года приведен в таблице.

Квартал
Спрос

1
1000

II
500

III
3000

IV
2000

При работе в одну смену фирма может собирать 1200 компьютеров каждый квартал при стоимости сборки долл. 100 за компьютер.
Если ввести вторую смену, ежеквартально можно собирать еще 800 компьютеров, но сборка каждого компьютера во вторую смену обойдется дороже долл. 120 за компьютер. Изготовленные в текущем квартале компьютеры могут продаваться в последующие кварталы, однако хранение одного компьютера на складе обходится в долл.ЗО за квартал.
Сколько компьютеров следует собирать ежеквартально в первую и вторую смены, чтобы удовлетворить спрос с минимальными совокупными затратами?
На сколько процентов следует использовать мощность первой смены в I квартале?

Время суток
Минимальная потребность в автобусах
Дополнит, издержки (долл.)

0.01-2.00
4
25

2.01-4.00
2
25

4.01-6.00
6
25

6.01-8.00
8
25

8.01-10.00
10
15

10.01-12.00
9
15

12.01-14.00
7
15

14.01-16.00
10
15

16.01-18.00
12
15

18.01-20.00
8
15

20.01-22.00
6
25

22.01-24.00
4
25

С другой стороны, пребывание на линии лишних автобусов связано с дополнительными издержками, которые приведены в третьем столбце таблицы (в долларах на один лишний автобус).
Определить скользящий график чередования шести часовых смен, обеспечивающий минимальные суммарные дополнительные издержки от пребывания на линии лишних автобусов.
Исследуйте две возможности организации такого графика:
смены начинаются через 2 часа,
смены начинаются через 3 часа.
76
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Задачи для исследования систем управления
77

Автотранспортное предприятие рассматривает возможность перехода на скользящий график с 8- часовыми сменами. Оправдан ли такой переход при 2, 3 и 4 часовых интервалах между началами смен?
4.2. Оптимизация использования рабочих
В разные дни недели магазину требуется различное количество рабочих, занятых на полную ставку. Число рабочих, требуемых в каждый день недели, приведено в таблице.

Понедельник
15

Вторник
13 :

Среда
13

Четверг
15

Пятница
19

Суббота
14

Воскресенье
9

Практика магазина заключается в том, что каждый работающий на ставку (ставочник) работает 5 дней и имеет 2 свободных дня каждую неделю (2 дня подряд). Например, ставочник, работающий с понедельника по пятницу, имеет субботу и воскресенье свободными.
Зарплата рабочего составляет долл. 10 в день, лишние рабочие (превышающие количество требуемых) приносят убытки.
Составьте скользящий график работы в магазине, минимизирующий убытки от лишних рабочих.
Управляющий рассматривает возможность использования полста-вочников, работающих по 3 дня в неделю и получающих долл.6 в день. При какой организации работ такая возможность сократит убытки от лишних рабочих?
5. Задачи оптимизации инвестиций
5.1. Оптимизация распределения инвестиций в долгосрочные проекты
Денежные средства могут быть использованы для финансирования трех проектов разной длительности.
Проект А гарантирует получение прибыли в размере 70 центов на вложенный доллар через год. Проект В гарантирует получение прибыли в размере долл.2 на каждый инвестированный доллар, но через два
года. Проект С гарантирует получение прибыли в размере долл.З доллара на каждый инвестированный доллар, но через три года.
При финансировании проекта В период инвестиций должен быть кратным двум годам, а проекта С трем годам. Как следует распорядиться капиталом в $100 тыс., чтобы максимизировать суммарную величину прибыли, которую можно получить через пять лет после начала инвестиций?
Как изменится оптимальное решение при изменении процентов прибыли по каждому из проектов?
5.2. Использование инвестиций для реализации контракта
Компания заключает контракт на покупку оборудования стоимостью 750 млн. руб. В соответствии с условиями контракта 150 млн. руб. необходимо заплатить через 2 месяца, а остальную сумму через 6 месяцев при поставке оборудования.
У компании нет в наличии необходимой суммы, поэтому она создает целевой фонд, используемый для инвестиций. По планам компании эти инвестиции создадут дополнительную наличность к моменту, когда придется расплачиваться по контракту. Компания желает определить минимальный объем целевого фонда, необходимый для получения требуемых средств.
Инвестиционный процесс планируется осуществлять на протяжении шести месяцев в рамках четырех инвестиционных проектов, сведения о которых приведены в таблице.
Определите стратегию вложения средств, реализующую пожелание компании.

Проект
Месяцы, в начале которых возможны инвестиции
Длительность проекта
Процент прибыли

А
1.2,3,4,5,6
1
1,5

В
1,3,5
2
3,5

С
1,4
3
6,0

D
1
6
11,0

5.3. Инвестирование с учетом инфляционных ожиданий
500 тыс. руб. можно инвестировать на протяжении шести месяцев в 4 проекта на условиях, приведенных в таблице.
Ожидаемые значения процента инфляции по месяцам приведены в таблице.
78
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Задачи для исследования систем управления
79




Проект
Месяцы, в начале которых возможны инвестиции
Длительность проекта
Процент прибыли

А
1,2,3,4,5,6
1
1,5

В
1,3,5
2
3,5

С
1,4
3
6,0

D
1
6
11,0

Найти стратегию инвестиций, определяющую максимальную при- ] быль к концу третьего, четвертого и шестого месяца с учетом инфляции.
Оправдано ли продолжение инвестиционного процесса после третьего месяца? После четвертого месяца?
6. Задачи логического выбора
6.1. Выбор организационно-технических мероприятий -по модернизации производства
Руководство завода предполагает провести комплекс организационно-технических мероприятий по модернизации производства. Перечень возможных мероприятий приведен в таблице.
На реализацию всех мероприятий завод может выделить:
трудовых ресурсов 1300 чел.-дней,
финансовых ресурсов 800 млн. руб,
производственных площадей 700 м2.
Какие мероприятия следует провести, располагая этими ресурсами, чтобы общий экономический эффект был максимальным? Какова величина этого эффекта? Какой объем выделяемых ресурсов останется неиспользованным при реализации найденного варианта?
Изменится ли решение задачи, если завод выделит на модернизацию 1 млрд. руб.?
Изменится ли решение задачи, если завод полностью удовлетворит потребности модернизации в производственных площадях и трудовых ресурсах при прежнем финансировании?
6.2. Размещение госзаказа по производству изделий
В регионе работают 4 химических завода. Им предложено принять участие в конкурсе по размещению госзаказа на производство изделий пяти наименований в объемах, приведенных в таблице.


Наименование изделия



А1 j A2
A3
А4
А5

Объем заказа (шт)
350 | 250
400
150
150



Мероприятие
Трудовые ресурсы (чел. дни)
Финансовые ресурсы (млн. руб.)
Производственные площади (м2)
Экономический эффект (млн. руб.)

Закупка станков сЧПУ
350
400
130
13000

Текущий ремонт
250
90
-
3000

Монтаж транспортного конвейера
100
60
300
8000

Установка рельсового крана
200
300
150
12 000

Ввод системы контроля качества
130
-
150
2500

Разработка автоматизированной системы управления
800
500
100
15000

Каждый из заводов представил несколько вариантов годовой производственной программы по выполнению госзаказа и соответствующие финансовые условия.


Варианты завода 1
Варианты завода 2
Варианты завода 3
Варианты завода 4

Наименование изделия
1
2
3
1
2
1
2
3
1
2

А1
100
200
200
50
80
-
-
100
100
50

А2
200
100
150
-
-
200
250
100
40
60

A3
300
250
200
120
100
100
50
500
60
100

А4
100
50
100
100
50
-
-
-
50
-

А5
50
100
80
-
-
100
100
80
150
100

Объем финансирования (млрд. руб)
12
16
14
7
9
16
15
17
5
8

80
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Задачи для исследования систем управления
81


Каковы минимальные затраты на выполнение госзаказа? Какой вариант размещения заказа обеспечивает его выполнение при минимальных объемах финансирования?
6.3. Распределение заказов на производство работ
Фирма распределяет заказы на разработку пяти программ между пятью программистами.
В таблице приведены оценки времени разработки программ (в днях), данные самими программистами. Каждый программист оценил свои условия оплаты труда ($/день) в соответствии с таблицей.

Программист
Время, требуемое для разработки программы (в днях)



Пр1
Пр2
ПрЗ
Пр4
Пр5

Петров
46
59
24
62
67

Иванов
47
56
32
55
70

Сидоров
44
52
19
61
73

Никитин
47
60
17
65
60

Волков
41
63
20
60
75

Решите задачу о назначении программистов на разработку программ. Какие минимальные затраты несет фирма при предложенном назначении? Каков минимальный срок выполнения всего объема работ, выполняемых фирмой?

Программист
Оплата труда ($/день)

| Петров
50

Иванов*
90

Сидоров
40

Никитин
70

Волков
60

Фирма рассматривает возможности сокращения затрат на работы по программированию. Для этого предлагается два варианта:
сократить сроки выполнения работ на 10 % с одновременным повышением ставок оплаты на 5 %;
увеличить сроки выполнения работ на 10 % с одновременным сокращением ставок на 5 %.
Оправданы ли эти варианты и как они изменяют назначения программистов?

Город
П
Г2
ГЗ
Г4
Г5

Спрос($)
5200
7000
6400
4800
3000

6.4. Назначение торговых агентов
Предприятие по производству головных уборов рассматривает возможности освоения новых рынков сбыта в пяти городах. Возможности сбыта невелики, так что в каждый город достаточно направить по одному торговому агенту.

Представитель предприятия
1
2
3
4
5
6
7

Оценка степени освоения рынка
0,75
0,6
0,55
0,8
0,5
0,45
0,65

Данные таблиц содержат оценки спроса на изделия предприятия и оценки степени освоения рынка семью представителями предприятия, которые могут быть использованы в качестве торговых агентов в осваиваемых городах.
Сделайте назначения на должности пяти торговых агентов, приводящие к максимальному сбыту продукции предприятия. Каков максимальный общий объем реализации продукции?
Предприятие рассматривает возможность послать в города Г2 и ГЗ по два торговых агента, разделяя эти города на две «сферы влияния». Приведет ли это решение к росту объемов реализации продукции? Какие представители предприятия должны быть назначены в эти города для достижения максимального общего объема реализации?
Предприятие рассматривает возможность послать в города Г4 и Г5 одного торгового агента в связи с небольшими объемами сбыта. Оправдано ли это решение?
6.5. Выбор варианта хранения нефти
Нефтеперерабатывающее предприятие использует в производстве нефть трех сортов (1, 2 и 3). Резервные запасы нефти каждого сорта должны быть не меньше соответственно 20, 40 и 60 тыс. т. Для хранения нефти могут быть использованы 4 резервуара емкостью 25, 30, 35 и 40 тыс. т. Затраты на хранение одной тонны нефти сорта 2 на 10 %
82
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах
Задачи для исследования систем управления
83

выше, чем сорта 1, а сорта 3 на 20 % выше, чем сорта 1. Смешение нефти разных сортов при хранении не допускается.
Сколько резервуаров следует использовать?
Как распределяются сорта нефти по резервуарам?
Каковы минимальные затраты на хранение нефти?
Целесообразно ли устанавливать дополнительный резервуар объемом 20 тыс. т?
6.6. Выбор варианта реконструкции предприятия
Для реконструкции машиностроительного предприятия было представлено на выбор 10 проектов, каждый из которых характеризуется четырьмя агрегированными показателями и ежегодной ожидаемой прибылью, представленными в таблице.

Агрегированный показатель проекта
Варианты проектов
Объемы доступных ресурсов



1
2
3
4
5
6
7
8
9
10



Затраты труда (нормо-час)
50
60
30
40
80
70
50
20
АО
50
300

Затраты энергии (тыс. кВт)
4
4
2
5
5
2
3
6
6
3
24

Расходы на материалы (млн. руб.)
3
2
4
5
3
2
4
2
2
3
20

Финансовые средства (млн. руб.)
7
5
9
6
4
3
7
2
4
5
30

Ожидаемая прибыль (млн. руб.)
9
8
8,5
8,8
9
8
9
8,7
8,9
8


При выборе проектов необходимо учесть ряд ограничений технологического характера:
одновременно может быть реализовано не более семи проектов;
пятый и восьмой проекты взаимно исключают друг друга;
первый проект может быть реализован лишь при условии реа лизации второго;
четвертый проект может быть реализован лишь при условии ре ализации хотя бы одного из двух проектов: либо третьего, либо десятого.
Выбрать проекты для реконструкции предприятия, обеспечивающие максимальную ожидаемую прибыль. Каков размер этой прибыли?
6.7. Выбор плана развития объединения
Объединение кабельной промышленности состоит из трех заводов. Номенклатура выпускаемых изделий включает три позиции: кабель силовой, провод для осветительных установок, провод обмоточный.

Вариант
Производство кабельных изделий по годам
Затраты за 3 года



кабель
провод силовой
провод обмоточный





1
2
3
1
2
3
1
2
3



1
6,9
8,0
10,37
44
53
2,8
3,0
4,0
1557


2
7
7
8,6
25
-
-
3
18
20
1399

3
7
7,8
8,7
30
-
-
6
18
20
1034

4
19
23
28
-
-
-
13
15
18
2822


16
18
22
-
-
-
16
18
21
3044

6
-
-
-
-
864
950
-
-
-
364

Потребность
15
17
25
20
300
450
10
15
10


При планировании развития объединения на три года разработаны 3 варианта (1+3) для завода 1, 2 варианта (4+5) для завода 2 и один (6) для завода 3. (В таблице все данные в условных единицах.)
Требуется выбрать варианты для включения в план развития объединения, обеспечивающие удовлетворение заданной потребности в кабельных изделиях и реализуемые с минимальными затратами. Каковы эти затраты?
6.8. Распределение капиталовложений
В таблице приведены характеристики пяти проектов, конкурирующих за получение инвестиционных фондов компании.
, Таблица показывает, какие деньги будут получены на рубль инвестиций.

Год
Характеристики проекта



А
В
с
D
Е

1
-1,0,
0
-1,0
-1,0
0

2
+0,3
-1,0
+1,0
0
0

3
+1,0
+0,3
0
0.
-1,0

4
0
+1,0
0
+1,75
+1,4

84
Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах

Например, проект А связан с инвестициями, которые можно сделать в начале первого года на два следующих. Причем в конце второго года можно возвратить 0,3 руб. на каждый рубль, вложенный в начале первого года. Аналогично, в конце третьего года можно получить еще 1 руб. на рубль вложений в начале первого года. Максимальная сумма, которая может быть вложена в проект А, составляет 500 млн. руб. По другим проектам объем вложений не ограничен. Проект В аналогичен проекту А, но вложения можно сделать только в начале второго года, а выплаты по процентам в конце третьего и четвертого года.
Деньги, полученные в результате инвестиций, можно реинвестировать в соответствии с таблицей. В дополнение к этому компания может получить по 6 % годовых за краткосрочный (на год) вклад денег, которые не были инвестированы в проекты в текущем году.
У компании имеется 1 млрд. руб. для инвестиций. Она хочет максимизировать сумму денег, получаемых к четвертому году инве стиционного процесса. Какова эта сумма и оптимальная стратегия инвестиций? ..
Часть 2
Имитационное моделирование
в задачах поиска управленческих
решений
Одним из основных направлений, определяющих методологию, концептуальные и реализационные основы информационной технологии поддержки принятия управленческих решений, является имитационное моделирование. Методология имитационного моделирования основана на воспроизведении реальных или гипотетических бизнес-процессов в специальной компьютерной среде, образующей виртуальный мир предприятия, организации, производства и любого другого объекта управления.
Эта технология появилась в 60-х г. XX в., и на протяжении многих лет она не только остается одной из основных в исследовании операций, но и бурно развивается в области реинжиниринга бизнес-процессов [10] и новых направлений искусственного интеллекта (онтология предприятий [11], клеточные автоматы [12], мультиагент-ные системы [13] и др.).
Основу этой технологии составляет компьютерный имитационный эксперимент, связанный с воспроизведением динамических процессов функционирования исследуемой системы. В процессе такого воспроизведения осуществляется наблюдение за функционированием модели и выявление «узких мест» в организации деятельности. Основными достоинствами этого метода являются:
возможность воспроизведения реальной системы с практически любым уровнем детальности;
повторяемость эксперимента;
возможность произвольной фрагментации и структуризации системы.
Технология имитационного моделирования излагается на основе использования системы Micro Saint, одной из наиболее простых и адекватных задачам исследования систем операционного и производственного менеджмента. Micro Saint представлена на сайтах www.adeptscience.co.uk, www.maad.com, www.maad.com, используемая версия (студенческий вариант) взята на сайте www.radata.demon.co.uk
86
Часть 2. Имитационное моделирование
Введение в систему Micro Saint
87

(в настоящее время отсутствует). Система не русифицирована. Отличительными особенностями ее являются концептуальная завершенность, целостность и простота использования даже для исследования весьма сложных систем. На взгляд автора, система является прекрасным инструментом для изучения концепций и технологии имитационного моделирования систем управления в различных областях производственного и операционного менеджмента.
Овалы изображают блоки действий, стрелки пути перемещения динамических объектов (тэгов), ромбы разветвления таких путей, таблички изображают очереди тэгов, а маленький треугольник рядом с первым блоком определяет точку ввода тэгов в модель. Конструирование структуры модели связано с использованием «подсвеченных» кнопок нижней панели инструментов (см. рис. 2.2).

Быстрое начало: введение в систему Micro Saint
Этап конструирования и описания модели
Сетевая структура модели
Модель исследуемой системы должна быть представлена в виде сетевой структуры. Пример такой структуры приведен на рис. 2.1.


Рис. 2.2
Содержательно эту простейшую схему рис. 2.1 мы будем интерпретировать как
Пример 1: модель обслуживания автомобилей на заправочной
станции
Станция оснащена одной бензоколонкой, перед которой может образовываться очередь. Тэг в этой модели исполняет роль автомобиля, а разветвитель используется для организации потока автомобилей. Буква М, стоящая внутри ромбика (первая буква слова Multiple множественный), означает, что любой тэг-автомобиль, приехавший на заправку, попадая в разветвитель, раздваивается (порождает копию). При этом основной тэг направляется в блок 2 (на обслуживание), а копия возвращается в первый блок, имитируя приезд другого автомобиля.
Разветвитель появляется в структуре модели автоматически при создании в блоке нескольких выходных стрелок связи с помощью инструментов панели рис. 2.2.
Блок «Саг coming» определяет приезд автомобилей на заправку, а блок «Gas station» обслуживание автомобиля у бензоколонки. Любой тэг, «входящий» в блок, может в этом блоке задерживаться на определенное время. Такое время имитирует интервалы между приходами автомобилей на заправочную станцию и собственно длительностью процедуры заправки.
Описание элементов модели
Описание элементов модели связано с понятием переменной. Любая переменная используется для описания какой-либо характеристики системы, например, бензоколонка может находиться в одном из двух состояний:
88
Часть 2. Имитационное моделирование
Введение в систему Micro Saint
89

занята (идет заправка автомобиля),
свободна (нет заправки колонка простаивает).
Мы можем имитировать эти состояния с помощью переменной Status, которая будет принимать два значения:
Status := 1; (колонка переходит в состояние «Занята»),
Status := 0; (колонка переходит в состояние «Свободна»).
Оператор «:= » называется оператором присваивания, он назначает переменной Status то значение, которое записано справа от оператора присваивания. В этом примере Status имя переменной, а 0 и 1 возможные значения переменной. Во многих случаях перечислить все значения переменной трудно (или невозможно), поэтому в таких ситуациях переменную характеризуют типом, определяющим ее возможные значения.
Например, переменную N количество автомобилей, обслуженных на автозаправке, резонно охарактеризовать типом Integer (целое число), а переменную V количество заливаемого бензина типом Real (действительное число).

Приложенные файлы

  • doc 265369
    Размер файла: 8 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий