В.Ф.Ситник. Імітаційне моделювання

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ
КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ






В. Ф. СИТНИК Н. С. ОРЛЕНКО





ІМІТАЦІЙНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНИЙ ПОСІБНИК
ДЛЯ САМОСТІЙНОГО ВИВЧЕННЯ ДИСЦИПЛІНИ



Рекомендовано Міністерством освіти України















Київ 1999
ББК 65в6 Розповсюджувати та тиражувати
С 41 без офіційного дозволу КНЕУ заборонено

Рецензенти:
В. Л. Ревенко, д-р екон. наук (Міжнар. наук.-навч. центр інформ. технологій та систем)
С. П. Ріппа, канд. екон. наук, проф. (Терноп. акад. нар. госп-ва)

Ситник В. Ф., Орленко Н. С.
С 41 Імітаційне моделювання: Навч.-метод. посібник для самост. вивч. дисц. К.: КНЕУ, 1999. 208 с.
ISBN 966-574-077-6
У посібнику подаються необхідні матеріали з імітаційного моделювання для самостійного вивчення цієї дисципліни. Тут наводиться типова програма з предмета. Блок навчально-методичного забезпечення включає методичні поради щодо вивчення кожної теми (зміст і пояснення до теми, основна і допоміжна література), план практичного заняття, термінологічний словник, навчальні завдання, завдання для перевірки знань. Методичні вказівки щодо виконання лабораторних робіт містять необхідні відомості для їх здійснення засобами мови імітаційного моделювання GPSS/PC.
Для студентів і аспірантів, які спеціалізуються в галузі машинної обробки економічної інформації, економічної інформатики, економічної кібернетики, інформаційних систем у менджменті; широкого кола фахівців народного господарства України.
ББК 65в6

Навчальне видання
СИТНИК Віктор Федорович
ОРЛЕНКО Наталія Станіславівна

ІМІТАЦІЙНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНИЙ ПОСІБНИК ДЛЯ САМОСТІЙНОГО ВИВЧЕННЯ ДИСЦИПЛІНИ


Редактор П. Вовк
Художник обкладинки О. Стеценко
Коректор Л. Денисенко
Комп’ютерний набір і верстка Т. Мальчевської

Підписано до друку 16.06.99. Формат 60(84/16. Папір офсетний № 1.
Гарнітура Тип Таймс. Друк офсетний. Умовн. друк. арк.12,09. Умовн. фарбовідб.12,32.
Обл.-вид. арк. 14,97. Наклад 500 прим. Зам. № 8–1634.
Видавництво КНЕУ
252057, м. Київ, проспект Перемоги, 54/1
Тел. (044) 446–64–58, 458–00–66. Факс (044) 446–52–58


© В. Ф. Ситник,
Н. С. Орленко, 1999
ISBN 966-574-077-6 © КНЕУ, 1999
ЗМІСТ

ВСТУП 4
1. Типова програма 5
2. Блок навчально-методичного забезпечення
до кожної теми дисципліни 8
Тема 1. Вступ до курсу «Імітаційне моделювання» 8
Тема 2. Сутність імітаційного моделювання 25
Тема 3. Основні етапи побудови імітаційної моделі 34
Тема 4. Імітаційна модель керування запасами 47
Тема 5. Поняття про метод Монте-Карло 68
Тема 6. Генерування РВП [0, 1] 79
Тема 7. Генерування випадкових подій і дискретно
розподілених випадкових величин 93
Тема 8. Генерування неперервних випадкових величин 101
Тема 9. Планування імітаційних експериментів:
основні визначення 112
Тема 10. Утворення апроксимуючих поліномів 122
Тема 11. Статистична перевірка результатів
експериментальних досліджень 132
Тема 12. Планування імітаційних експериментів
під час дослідження та оптимізації систем 140
3. Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт 155
4. Критерії оцінювання знань з дисципліни
під час підсумкового іспиту 206
5. Список літератури 208

ВСТУП
Мета дисципліни сформувати фундаментальні теоретичні знання щодо суті машинної імітації економіко-виробничих систем, систем обробки економічної інформації і автоматизованого проектування інформаційних систем. На цьому підгрунті студенти мають оволодіти практичними навичками використання імітаційних моделей для підвищення ефективності управління економічними процесами і розв’язання задач автоматизованого проектування інформаційних систем.
Під час вивчення дисципліни перед студентом ставляться такі завдання:
навчитись утворювати концептуальні імітаційні моделі складних економічних систем на основі їх дослідження;
оволодіти навичками розробки логічних схем імітаційних моделей;
вивчити методи машинної імітації випадкових подій і випадкових величин;
навчитися розробляти програмне забезпечення імітаційних моделей за допомогою мов програмування і моделювання;
ознайомитись з досвідом використання машинної імітації в процесі прийняття рішень.
Призначення практичних занять закріпити, розширити й поглибити знання, здобуті студентами на лекціях та під час самостійного вивчення ними першоджерел. На практичних заняттях студенти набувають навички встановлення головного змісту моделювання, використання засобів аналізу предметної області й опису концептуальної моделі, побудови логічної схеми імітаційної моделі, вибору методів машинної імітації випадкових подій і величин.
Мета лабораторних робіт оволодіти методикою і технологією розробки програмного забезпечення машинного моделювання, проведення імітаційного моделювання на ЕОМ та використання одержаних результатів в процесі прийняття рішень.
1. ТИПОВА ПРОГРАМА
Тема 1. Вступ до курсу «Імітаційне моделювання». Історична довідка про виникнення та розвиток імітаційного моделювання (машинної імітації). Моделювання та його використання в науці і техніці. Математичне (аналітичне) моделювання. Макетне моделювання. Фізичне моделювання: критерії подібності, аналіз розмірностей. Аналогове моделювання: механічні та електричні системи аналогій; аналогії полів; аналогові обчислювальні машини. Машинна імітація. Основні напрями використання машинної імітації: прогнозування розвитку національних економік; створення важливих народногосподарських проектів, забезпечення обороноздатності країни; охорона навколишнього середовища, навчання та підготовка кадрів. Застосування машинної імітації в інформаційних системах: модуль в автоматизованих робочих місцях; розробка автоматизованих інформаційно-пошукових систем; моделювання структур управління в умовах застосування інформаційних систем, розв’язання оптимізаційних функціональних задач; моделювання автоматизованих систем обробки даних; створення штучного інтелекту; автоматизація проектування інформаційних систем. Схема застосування машинної імітації в інтелектуальних системах. Розповсюдження методів машинної імітації в науковій роботі, в практиці й управлінській роботі на підприємствах (за результатами досліджень тисячі найбільших фірм США). Огляд і характеристика першоджерел. Мета і завдання курсу.
Тема 2. Сутність імітаційного моделювання. Поняття імітаційного моделювання та машинної імітації. Переваги методу машинної імітації. Головні вади методу. Умови доцільності використання машинної імітації. Цілі машинної імітації: вивчення діючої системи; аналіз гіпотетичної системи; проектування більш досконалої системи. Встановлення адекватності імітаційної моделі еволюційних процесів; однорідне градуювання модельного (системного) часу принцип часового приросту; неоднорідне градуювання модельного часу  принцип особливих станів. Програма реалізації імітаційної моделі. Мови машинного моделювання: мови моделювання неперервних процесів; мови моделювання неперервно-дискретних процесів, мови моделювання дискретних процесів. Відмінності мов імітаційного моделювання. Переваги та вади використання мов імітаційного моделювання в практичній роботі. Приклад створення імітаційної моделі обчислювальної системи. Приклад створення GPSS/PC програми імітаційної моделі завантаження ЕОМ.
Тема 3. Основні етапи побудови імітаційної моделі. Види робіт під час реалізації імітаційної моделі: побудова імітаційної моделі; розробка методики моделювання планування експериментів і статистична обробка результатів моделювання; розробка програмного забезпечення; проведення імітації на ЕОМ; аналіз та узагальнення результатів. Визначення задачі та її аналіз. Повне формулювання задачі: визначальне формулювання задачі; методологія розв’язуванняу задачі. Вимоги до інформації. Збір інформації. Оцінка інформації. Висування гіпотез та прийняття припущень. Встановлення основного змісту моделі. Фактори, які враховуються в основному змісті моделі: реальна обстановка, задача, засоби розв’язування задачі. Визначення параметрів, змінних та критеріїв ефективності. Порядок опису змінних. Опис концептуальної моделі та перевірка її вірогідності. Порядок перевірки вірогідності концептуальної моделі. Побудова логічної структурної схеми (блок-схеми) імітаційної моделі. Порядок перевірки логічної достовірності блок-схеми імітаційної моделі.

Тема 4. Імітаційна модель керування запасами. Суть оптимального керування запасами. Керуючі параметри. Некеровані параметри. Характеристика некерованих параметрів. Стратегії (політики) керування запасами: періодичні та з критичними рівнями. Статична детермінована модель керування запасами. Формула оптимального розміру партії замовлення (формула Вільсона). Керування багатопродуктовими запасами: основні передумови; економічно-математична модель; метод множників Лагранжа; алгоритм розв’язування задачі. Концептуальна імітаційна модель керування запасами (основні передумови). Блок-схема імітаційної моделі. Деякі результати програмної реалізації імітаційної моделі та їх узагальнення.

Тема 5. Поняття про метод Монте-Карло. Розвиток і застосування методу Монте-Карло. Деякі приклади застосування методу для розв’язування детермінованих задач. Точність оцінки ймовірності за допомогою відносної частоти, отриманої методом Монте-Карло. Рівномірна випадкова послідовність чисел РВП [0,1]. Унікальна властивість послідовності. Принципова схема генерування РВП [0,1]. Квазірівномірні числа.

Тема 6. Генерування РВП [0, 1]. Поняття про генератори (датчики) випадкових чисел. Табличний спосіб одержання РВП [0, 1]. Фізичні генератори, засновані на явищах радіоактивного випромінювання та «власних» шумів електронних ламп. Програмні способи одержання РВП [0, 1]: метод серединних квадратів; мультиплікативний конгруентний метод; метод Хатчінсона; змішані конгруентні методи; аддитивний конгруентний метод. Перевірка якості псевдовипадкових чисел. Загальностатистичні методи перевірки якості РВП [0, 1]. Спеціальні методи перевірки РВП [0, 1]: перевірка за моментами розподілу; перевірка на рівномірність за допомогою гістограми; перевірка посередніми ознаками; перевірка на періодичність; перевірка на випадковість; перевірка генератора «в роботі».

Тема 7. Генерування випадкових подій і дискретно розподілених випадкових величин. Імітація випадкових подій. Схема випробувань за «жеребком» (СВЖ). Перший спосіб використання СВЖ. Другий спосіб використання СВЖ. Стандартний метод імітації дискретно розподілених випадкових величин. Спеціальні методи імітації деяких дискретних розподілів: рівномірний дискретний розподіл; геометричний розподіл; розподіл Пуассона.

Тема 8. Генерування неперервних випадкових величин. Суть проблеми імітації неперервних розподілів. Стандартний метод імітації: основна теорема, алгоритм стандартного методу та границі його застосування, приклади використання стандартного методу. Метод добору (відбраковки): основна теорема; алгоритм методу добору й особливості його застосування. Наближене формування розподілу: концептуальна схема; алгоритм наближеного формування розподілу. Генерування нормально розподілених випадкових чисел; табличний спосіб; використання центральної граничної теореми; корекція розрахунків; метод Бокса – Маллера; Метод Марсельї – Брея.

Тема 9. Планування імітаційних експериментів: основні визначення. Основні поняття планування експериментів: відгук, фактори, функція відгуку. Зображення функції відгуку лініями однакового рівня. Апроксимуючий поліном. Рівняння регресії. Основні вимоги регресійного аналізу. Дворівнева система вимірювання факторів. Повні факторні плани: визначення, матриця планування, геометрична інтерпретація повнофакторного плану (ПФП). Властивості ПФП: симетричність, нормування, ортогональність, рототабельність. Таблиця ПФП з ефектами взаємодії. Дробові факторні плани (ДФП): необхідні умови використання; матриця ДФП, властивості ДФП; піврепліки в ДФП.

Тема 10. Одержання апроксимуючих поліномів. Лінійна апроксимація. Визначення коефіцієнтів лінійної регресії. Апроксимуючий поліном другого ступення і зведення його до лінійного виду. Композиційні плани. Матриця композиційного плану. Геометрична інтерпретація композиційного плану. Ортогональний центральний композиційний план. Таблиця для визначення величини «зіркового» плану. Ротатабельний композиційний план. Уніформність. Вибір «зіркового» плану в ротатабельних композиційних планах.
Тема 11. Статистична перевірка результатів імітаційних експериментів. Перевірка однорідності дисперсії: поняття однорідності дисперсії; схема перевірки гіпотези про одноріднісь дисперсій за критерієм Кохрена. Дії експериментатора при відхиленні гіпотези про однорідність дисперсії. Визначення більш точної оцінки дисперсії. Перевірка значущості коефіцієнтів регресії. Нуль-гіпотеза. Критерій Стьюдента. Схема перевірки. Причини статистичної незначущості коефіцієнтів регресії. Перевірка адекватності моделі. Статистична оцінка дисперсії адекватності. Критерії Фішера. Схема перевірки гіпотези адекватності моделі. Дії експериментатора при неадекватності моделі.

Тема 12. Планування експериментів при дослідженні та оптимізації систем. Планування експериментів при дослідженні систем. Схема оцінки впливу факторів за допомогою коефіцієнтів регресії. Головний ефект. Змішування оцінок. Генеруюче співвідношення. Визначальний контраст. Перший спосіб пошуку екстремуму функції відгуку. Другий спосіб пошуку екстремуму функції відгуку (метод Бокса – Уільсона). Рух у напрямі крутого сходження.
2. БЛОК НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ДО КОЖНОЇ ТЕМИ ДИСЦИПЛІНИ
Тема 1. ВСТУП ДО КУРСУ «ІМІТАЦІЙНЕ МОДЕЛЮВАННЯ»
1.1. Методичні поради до вивчення теми
Зміст теми. Одним з головних напрямів розвитку економіки України, а також вітчизняної науки і техніки є впровадження засобів інформатики і автоматизації в різні галузі суспільного виробництва, зокрема в проектування та управління виробництвом і технологічними процесами на базі використання сучасної високопродуктивної обчислювальної техніки і нової інформаційної технології. Широкий розвиток комп’ютеризації як самого виробництва, так і управління ним неможливий без застосування ефективних наукових методів аналізу й оптимізації складних економіко-організаційних систем. Адже завдяки саме цим методам вдається в повному обсязі реалізувати колосальні потенційні можливості прогресивних технологій і передової техніки. Серед наукових методів, які застосовуються в економіці, науці і техніці, особливе місце займають методи моделювання. Існують різні види моделювання: фізичне, макетне, математичне (аналітичне), імітаційне (машинне), аналогове, ситуаційне (ділові ігри). У даній темі імітаційне моделювання розглядається як особлива форма проведення машинних експериментів з економічними об’єктами. Подається характеристика напрямів використання імітаційного моделювання. Зазначається місце машинної імітації у розв’язанні проблем комп’ютеризації інформаційних процесів підприємств та установ.
Пояснення до теми. Під час вивчення цієї теми слід мати на увазі, що імітаційне моделювання є одним з високоефективних методів системного аналізу. Проте це не єдиний науковий інструмент розв’язання складних задач. Слід підкреслити роль і значення інших видів моделювання, зокрема фізичного моделювання, макетного моделювання, проведення досліджень за допомогою математичних моделей (аналітичне моделювання), аналогове моделювання, на основі якого було створено аналогові обчислювальні машини, налагоджено ситуаційне моделювання (ділові ігри), які в багатьох випадках включають як окремий елемент імітаційні моделі.
Незважаючи на таке розмаїття моделей, які існують в науці, економіці та техніці, усім моделям притаманна деяка спільна риса. Її суть полягає в наявності певної структури, котра може бути статичною чи динамічною, матеріальною чи уявною, що справді є подібною (або розглядається як така) структурі іншої системи. Таким чином, модель є природним чи штучним об’єктом, який перебуває в певній відповідності з досліджуваним об’єктом чи з деякими його характеристиками. У загальному розумінні моделювання можна визначити як метод опосередкованого пізнання, при якому досліджуваний об’єкт (оригінал) перебуває в деякій відповідності з іншим об’єктом (моделлю). При цьому об’єкт-модель здатний в тому чи іншому відношенні замінювати оригінал на деяких стадіях гносеологічного процесу.
Фізичне моделювання це заміна вивчення досліджуваного явища в натурі вивченням аналогічного явища на моделі зменшеного чи збільшеного масштабу в спеціальних лабораторних умовах. Фізична модель дає змогу провести досліди з метою вивчення фізичної сутності явищ і отримання практичних уявлень про характер здіснення процесу. Цей вид експериментальних досліджень базується на подібності явищ, що супроводжують роботу натурної і модельної установок.
Два фізичних явища вважаються подібними, якщо сукупності величин, що характеризують сутність цих явищ, можуть бути перетворені за допомогою змінювання одиниць їх вимірювання. Тому при наявності подібності величини, що мають однакову фізичну розмірність, повинні мати однакові коефіцієнти подібного перетворення. Безрозмірні величини при цьому залишаються без змін, тобто є інваріантами подібного перетворення.
Будь-який комплекс, складений з величин, що визначають це явище, можна розглядати як деяку фізичну величину. Якщо цей комплекс є безрозмірним, то для класу подібних явищ він має одне й те саме числове значення, тому в теорії подібності й розмірності його прийнято називати критерієм подібності. Властивість критеріїв подібності залишатися незмінними при переході від одного фізичного явища до іншого використовується для встановлення умов подібності фізичних явищ. Такі умови визначаються так званою третьою теоремою теорії подібності.
Необхідні й достатні умови подібності явищ полягають у рівності числових значень визначальних критеріїв подібності, тобто критеріїв, утворених з величин, що входять до умови однозначності.
Сукупність фізичних величин (включаючи відповідні розмірні фізичні константи), які забезпечують однозначну визначеність досліджуваного явища, називаються системою визначальних параметрів. Кількість незалежних критеріїв подібності, утворених із системи визначальних параметрів, установлюється «(-теоремою», яка стверджує, що число безрозмірних комплексів (критеріїв подібності) дорівнює числу всіх величин, суттєвих для процесу, за мінусом числа первинних величин:
13 EMBED Equation.3 1415, (1.1)
де 13 EMBED Equation.3 1415 відповідно число критеріїв подібності; усіх параметрів (у тому числі й безрозмірних), суттєвих для процесу; число первинних величин, за допомогою яких описуються розмірності визначальних параметрів.
Розглядаючи питання про фізичне моделювання, слід з’ясувати його відмінність від натурного моделювання. При натурному моделюванні в об’єкт, який необхідно дослідити, не вносять спеціальних змін, а саме натурне моделювання може здійснюватися або шляхом проведення експерименту під час виробничих процесів, або узагальненням виробничого досвіду чи натурних (експериментальних) даних. Фізичне моделювання передбачає створення спеціальних пристроїв, що мали б спільну з оригіналом фізичну природу. При цьому коректне використання результатів фізичного моделювання досягається за рахунок ізоморфності критеріїв подібності. Критерії подібності будь-якого явища можуть перетворюватися в критерії іншої форми за рахунок операцій множення чи ділення критеріїв, піднесення їх до ступеня або множення на будь-який постійний коефіцієнт.
Є два основних способи утворення критеріїв подібності. Перший спосіб полягає в приведенні рівнянь фізичного процесу, що вивчається, до безрозмірного виду (метод інтегральних аналогів). Він базується на відомій властивості фізичних рівнянь: усі члени рівняння, що описує певний фізичний процес, мають однакові розмірності відносно основних одиниць вимірювання. Для визначення основних критеріїв подібності потрібно всі члени рівняння (нехай їх буде n) розділити на деякий із них, відкинути символи диференціювання й інтегрування, а також неоднорідні функції (трансцендентні, складні тощо). До отриманих у результаті цієї операції n – 1 основних критеріїв необхідно додати s додаткових критеріїв аргументів, що входять у члени рівняння неоднорідних функцій. Таким чином, загальне число критеріїв подібності, знайдених способом інтегральних аналогів, складає n – 1 + s.
Як приклад розглянемо значення критерія подібності для випадку вимушених механічних коливань з демпфуванням. Нехай вантаж масою 13 EMBED Equation.3 1415коливається на пружині з жорсткістю 13 EMBED Equation.3 1415 у в’язкому середовищі, а при переміщенні його на відстань 13 EMBED Equation.3 1415 з’являється сила опору, пропорційна швидкості переміщення вантажу 13 EMBED Equation.3 1415 і коефіцієнта 13 EMBED Equation.3 1415. На вантаж діє збурююча сила 13 EMBED Equation.3 1415. Диференційне рівняння цього процесу має вигляд
13 EMBED Equation.3 1415.
Розділивши всі члени рівняння на перший член (на величину 13 EMBED Equation.3 1415), отримаємо відомий критерій Ньютона 13 EMBED Equation.3 1415, а також два інші критерії 13 EMBED Equation.3 1415. Оскільки в рівнянні є неоднорідна функція синус, то потрібно ввести додатковий критерій (критерій гомохронності) 13 EMBED Equation.3 1415, який має сенс лише за умови, що збурююча сила змінюється за синусоїдним законом.
Другий спосіб безпосередньо базується на використанні «(-теореми». За відсутності рівнянь, які описують процес, що моделюється, основні труднощі застосування апарату теорії подібності й розмірності полягають в утворенні системи визначальних параметрів. Якщо система таких параметрів утворена, то при дослідженні натурних явищ на фізичних моделях не виникає ніяких теоретичних труднощів. Фізичне моделювання зводиться до розв’язання двох фактично окремих задач.
Розрахувати параметри фізичної моделі так, щоб фізичний процес, що матиме місце в моделі, був подібний відповідному процесу натурного зразка (реально існуючого чи гіпотетичного) оригіналу.
За допомогою дослідження фізичної моделі розрахувати необхідні характеристики натурної установки.
Нехай система визначальних параметрів для оригіналу (натури) включає 13 EMBED Equation.3 1415 величин 13 EMBED Equation.3 1415, числові значення і формули розмірності яких відомі. Треба обчислити відповідні параметри фізичної моделі 13 EMBED Equation.3 1415.
Як відомо, математичний опис будь-якої фізичної величини 13 EMBED Equation.3 1415 можна представити як добуток деякого числового значення 13 EMBED Equation.3 1415 її на розмірність 13 EMBED Equation.3 1415. Тому 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. Оскільки 13 EMBED Equation.3 1415, то перша задача фізичного моделювання зводиться до встановлення числових значень 13 EMBED Equation.3 1415. Згідно з визначенням подібності фізичних явищ
13 EMBED Equation.3 1415, (1.2)
де 13 EMBED Equation.3 1415 поки що невідомий масштабний коефіцієнт (константа подібності).
Рівняння для визначення невідомих масштабних коефіцієнтів можна отримати шляхом прирівнювання однойменних критеріїв подібності, утворених із системи визначальних параметрів, і підстановкою співвідношення (1.2). Оскільки число критеріїв згідно з формулою (1.1) дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415, то і рівнянь для обчислення невідомих масштабних коефіцієнтів можна отримати стільки ж. Решта 13 EMBED Equation.3 1415 коефіцієнтів обираються довільно з урахуванням зручності побудови і експериментального дослідження фізичної моделі. Число 13 EMBED Equation.3 1415, яке дорівнює числу первинних одиниць вимірювання K, іноді називають числом ступенів вільності моделювання. Якщо в систему визначальних параметрів входять безрозмірні величини, то вони самі є критеріями подібності й тому для моделі й натури їх числові значення збігаються.
Друга задача фізичного моделювання розв’язується методом аналізу розмірності вимірюваної на моделі характеристики процесу 13 EMBED Equation.3 1415. Формула розмірності залежить від обраної системи одиниць вимірювання. Наприклад, для механічних вимірювань у міжнародній системі одиниць СІ (SI System international) розмірність величини 13 EMBED Equation.3 1415 символічно може бути записана у вигляді
13 EMBED Equation.3 1415, (1.3)
де квадратні дужки, у яких розміщений символ величини 13 EMBED Equation.3 1415, означає, що мова йде про розмірність одиниці даної величини, а символи 13 EMBED Equation.3 1415 означають узагальнені позначення одиниць довжини, маси та часу. Показники ступеня 13 EMBED Equation.3 1415 вважаються відомими.
З урахуванням (1.3) величина 13 EMBED Equation.3 1415 може бути записана у вигляді
13 EMBED Equation.3 1415. (1.4)
Якщо числове значення цієї характеристики для фізичної моделі дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415, а для натури 13 EMBED Equation.3 1415, то неважко вивести формулу, яка встановлює зв’язок між цими величинами
13 EMBED Equation.3 1415, (1.5)
де 13 EMBED Equation.3 1415 масштабні коефіцієнти для довжини, маси та часу.
Таким чином, якщо на фізичній моделі знайдено числове значення характеристики 13 EMBED Equation.3 1415, то воно може бути перераховано на натурне явище за формулою
13 EMBED Equation.3 1415. (1.6)
Слід зауважити, що методи теорії подібності й розмірностей застосовуються не лише при фізичному моделюванні, а і безпосередньо в техніко-економічних розрахунках.
З метою ілюстрування підходу розробки методики фізичного моделювання на основі використання «(-теореми» розглянемо дослідження, проведені одним із співавторів посібника (проф. В. Ф. Ситником) під час підготовки кандидатської дисертації. Була поставлена задача: дослідити параметри навантажувальної машини для навантаження гірських скельних порід, яка створювалася на принципово нових засадах. Робочий процес машини, що полягає у взаємодії робочого органу (ковша, гребка) з насипною породою (камінням), описати математично практично неможливо. Тому треба було створити імітаційну модель робочого органу, дослідити його в лабораторних умовах і на основі отриманих експериментальних даних розрахувати параметри і характеристики натурної машини.
Система визначальних параметрів включає 9 величин.
Лінійні розміри робочого органу, кусків скельного матеріалу, штабеля насипної породи 13 EMBED Equation.3 1415.
Швидкість руху робочого органу при взаємодії з породою 13 EMBED Equation.3 1415.
Об’ємна вага насипного матеріалу 13 EMBED Equation.3 1415.
Величина напірного зусилля (сила тяжіння маси гребка) 13 EMBED Equation.3 1415.
Прискорення сили тяжіння 13 EMBED Equation.3 1415.
Тривалість робочого циклу машини 13 EMBED Equation.3 1415.
Кутові величини (безрозмірні параметри) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Коефіцієнт внутрішнього тертя насипного матеріалу (безрозмірний параметр) 13 EMBED Equation.3 1415.
Коефіцієнт тертя насипного матеріалу з металом робочого органу (безрозмірний параметр) 13 EMBED Equation.3 1415.
Згідно з формулою (1.1) із 9 визначальних параметрів можна утворити 6 незалежних критеріїв подібності. Безрозмірні величини самі є критеріями подібності, тому 13 EMBED Equation.3 1415, тобто величини 13 EMBED Equation.3 1415 для фізичної моделі й натури мають бути одними й тими самими. Четвертим критерієм можна обрати число Фруда, яке використовувалося іншими дослідниками під час вивчення процесу випуску руди. Маємо 13 EMBED Equation.3 1415. За допомогою загальних залежностей типу 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415 можна утворити такі два критерії подібності (ділимо рівняння на один із членів та відкидаємо символи диференціювання) 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415.
Отримана система критеріїв подібності 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 є замкнутою, оскільки вона включає всі визначальні параметри. З іншого боку, критерії подібності незалежні, тобто жоден з них не може бути отриманий з решти коефіцієнтів. Це дає змогу однозначно розв’язати задачі обчислення масштабних коефіцієнтів (констант подібності), маючи відомі параметри машини (реальної чи тієї, що проектується) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, знайти визначальні параметри фізичної моделі 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. Згідно з формулою (1.2) ця задача зводиться до обчислення 9 масштабних коефіцієнтів 13 EMBED Equation.3 1415. Перших три коефіцієнти дорівнюють одиниці (13 EMBED Equation.3 1415), оскільки вони відповідають безрозмірним визначальним параметрам. Для визначення решти 6 констант подібності є три критерії подібності, тобто мають місце три ступені вільності, що дає змогу, виходячи з міркувань зручності проведення фізичних експериментів, прийняти довільно три масштабних коефіцієнти: лінійний масштаб 13 EMBED Equation.3 1415 (наприклад, зменшити фізичну модель у десять разів порівняно з натурою, тобто 13 EMBED Equation.3 1415= 0,1), 13 EMBED Equation.3 1415.
Три інші константи подібності визначаємо за умови інваріантності критеріїв подібності, підставляючи в ці комплекси рівняння типу (1.2). Наприклад, з рівності 13 EMBED Equation.3 1415 маємо 13 EMBED Equation.3 1415. Аналогічно отримаємо 13 EMBED Equation.3 1415.
Користуючись формулою (1.6), можна обчислити прогнозовані характеристики натури за результатами дослідження фізичної моделі. У таблиці 1.1 подано розрахункові формули для деяких характеристик навантажувальної машини (наприклад, екскаватора).
Таблиця 1.1

Характеристика машини
Числове значення для моделі
Числове значення для натури

1
Зусилля опору заглибленню ковша в породу
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

2
Продуктивність машини
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

3
Потужність машини
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

4
Робота (енергія)
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

5
Об’єм (маса) навантаженої породи
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

6
Питомий тиск
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

7
Питома енергоємність
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


Розглянемо на цьому прикладі ідею застосування теорії подібності й аналізу розмірностей у техніко-економічних розрахунках. Один з можливих напрямів застосування полягає в тому, що характеристики деякого (існуючого) зразка машини (прототипу) беруться за базові величини, а характеристики геометрично і технологічно подібних машин розраховуються за формулами типу (1.6), тобто прототип машини виступає як фізична модель, характеристики якої установлені шляхом промислової експлуатації базової машини. У таблиці 1.2 для ілюстрації ідеї методу розрахунків за прототипом наведено приклади розрахунку (прогнозування) робочих характеристик 7 кар’єрних екскаваторів фірми «Маріон» (США), котрі випускаються з місткістю ковша 2,5; 3,0; 4,0; 6,0; 7,0; 8,0; 10,0 кубічних ярдів (1 кубічний ярд дорівнює приблизно 0,765 м2).
Машину типу 111М виберемо за прототип, а інші машини вважатимемо варіантами базової машини, характеристики яких необхідно знайти. Основний масштабний коефіцієнт прив’яжемо до місткості ковша (для прототипу він дорівнює 1). Решта коефіцієнтів, а також порівняльні результати розрахунків наведено в таблиці 1.2. У таблиці наведено такі позначення: 13 EMBED Equation.3 1415 марка екскаватора, 13 EMBED Equation.3 1415 місткість ковша, 13 EMBED Equation.3 1415 масштабний коефіцієнт, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 розрахункове (прогнозне) і фактичне значення характеристики В, 13 EMBED Equation.3 1415 відносна різниця між розрахунковим і фактичними значеннями характеристики 13 EMBED Equation.3 1415 у %, 13 EMBED Equation.3 1415 робоча вага екскаватора (т), 13 EMBED Equation.3 1415 потужність двигуна підняття породи (квт), 13 EMBED Equation.3 1415 радіус черпання (м).
Таблиця 1.2
13 EMBED Equatio
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·186
5,2
16,6
14,9
11,4

181M
8,0
2,0
247
238
3,8
230
224
2,7
17,4
16,1
8,0

191M
10,0
2,5
310
323
–4,0
299
280
6,8
18,9
17,4
8,5


Математичне (аналітичне) моделювання добре відоме студентам з навчальних дисциплін «Математичне програмування», «Дослідження операцій» тощо. Математичне моделювання полягає в побудові математичної моделі та дослідженні її аналітичними, числовими чи якісними методами для отримання деякої характеристи- ки (характеристик) досліджуваної реальної системи. Математична модель це логічний чи математичний опис компонентів і функцій, які відбивають суттєві властивості об’єкта чи процесу, що моделюється. Слід підкреслити, що будь-яка модель це умовний образ реально існуючих закономірностей, певне наближення до об’єктивної дійсності. Тому спрощення під час побудови математичних моделей, зокрема для дослідження економічних процесів, є не тільки вимушеними, а й навмисними, оскільки одночасне охоплення всіх аспектів реальності не завжди доцільне і нерідко перевищує можливості дослідників. Значне місце серед математичних моделей займають економіко-математичні моделі.
Макетне (наочне) моделювання в історичному плані належить до найраніших методів експериментального дослідження, що його застосовувала людина. Воно полягає в побудові макету об’єкта, що вивчається, і визначенні на основі його аналізу тих чи інших корисних (прийнятних) властивостей оригіналу. У цьому контексті під макетом розуміють просторове зображення чи геометричну копію будь-чого (виробу, споруди тощо). Макет і оригінал можуть відрізнятися як геометричними розмірами, так і властивостями матеріалу, з якого вони виготовлені. Для дослідження економічних явищ макетне моделювання мало придатне.
Аналогове моделювання. Метод дослідження, який використовує пряму, безпосередню аналогію між величинами, властивими одному явищу, і формально такими ж та що входять таким же чином в рівняння процесів величинами, притаманними іншому явищу. Має місце універсальна властивість природи: процеси різної фізичної природи описуються одними й тими ж математичними рівняннями. У табл. 1.3 наведено приклади механічної та електричних систем аналогій, а в табл. 1.4. аналогії полів.
Таблиця 1.3
МЕХАНІЧНА ТА ЕЛЕКТРИЧНІ СИСТЕМИ АНАЛОГІЙ
Механічна система
Аналогічні електричні системи


1-ша система
2-га система

Маса 13 EMBED Equation.3 1415
Індуктивність 13 EMBED Equation.3 1415
Ємність 13 EMBED Equation.3 1415

Переміщення 13 EMBED Equation.3 1415
Заряд 13 EMBED Equation.3 1415
Потокозчеплення 13 EMBED Equation.3 1415

Швидкість 13 EMBED Equation.3 1415
Струм 13 EMBED Equation.3 1415
Напруга 13 EMBED Equation.3 1415

Сила 13 EMBED Equation.3 1415
Електрорушійна сила 13 EMBED Equation.3 1415
Струм 13 EMBED Equation.3 1415


Таблиця 1.4
АНАЛОГІЇ ПОЛІВ
Стаціонарне електричне поле струму в провідному середовищі
Стаціонарне поле фільтрації рідини
Стаціонарне поле температур

Закон Ома

13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415 цільність струму;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Закон Дарсі

13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
h п’єзоелектрична напруга
Основне рівняння теплопроводності
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


На основі концепції аналогії будуються аналогові моделі певної фізичної природи (наприклад, моделювання стаціонарного електричного струму в провідному середовищі), на яких досліджуються шляхом встановлення відповідних параметрів у створеній моделі процеси, що відбуваються в іншому фізичному середовищі (наприклад, процеси в стаціонарному полі фільтрації рідини чи в стаціонарному полі температур). Аналогове моделювання стало основою створення аналогових обчислювальних машин (АОМ), які використовувалися не тільки в техніці, а й для розв’язання економічних задач. У таблиці 1.5. наведено приклади двох АОМ такого призначення.
Таблиця 1.5
ПРИКЛАДИ АНАЛОГОВИХ ОБЧИСЛЮВАЛЬНИХ МАШИН
Тип машини
Призначення машини
Кількісні характеристики розв’язуваних задач

«Оптімум-2»
Для розв’язання транспортної задачі лінійного програмування
Максимальна кількість:
пунктів виробництва 20,
пунктів споживання 60.
Займана площа 2,5 м2.

«АСОР-1»
(«Ритм»)
Для автоматизації розрахунків укрупнених задач сіткового планування та керування
Максимальна кількість:
робіт у графіку 200,
подій у графіку 140.
Займана площа 8 м2.


Ситуаційне моделювання (ділові ігри) це метод, в основу якого покладено відтворення в спеціальних лабораторних умовах певних ситуацій з метою розв’язання складних задач чи в навчальних цілях, які можуть мати місце в реальних системах. Назва походить від слова латинського походження ситуація (situs становище), що означає збіг умов і обставин, які утворюють певне становище. Побудова ситуаційної моделі полягає в тому, що повний опис неосяжної множини ситуацій функціонування реального об’єкта за певними правилами замінюється певною кількістю узагальнених ситуацій, кожна з яких з певною мірою вірогідності відтворює один з можливих станів системи. Ситуаційна модель може бути реалізована або за допомогою ЕОМ (наприклад, засобами імітаційного моделювання), або шляхом програвання в реальних умовах спеціальних сценаріїв (ділові ігри, воєнні ігри).
Ділові ігри (господарські ігри, економічні ігри) метод імітації вироблення і прийняття управлінських рішень у різних виробничих ситуаціях шляхом проведення симульованої гри згідно із заданим сценарієм (чи системою правил) окремими групами людей або людини і ЕОМ. Сама ділова гра може розглядатися як деяке спрощене відтворення реального економічного чи виробничого процесу. У загальному випадку ділові ігри можуть використовуватися:
при навчанні та доборі господарських керівників різного рангу;
при навчанні студентів у вузах;
при колективному прийнятті управлінських рішень;
з дослідницькою метою для вивчення деяких сторін економічної поведінки людей, зокрема реакції на ті чи інші зміни в організаційній формі управління, на можливі заохочення та стягнення.
Імітаційне моделювання, як інструмент експериментального дослідження складних систем, охоплює методологію створення моделей систем, методи алгоритмізації та засоби програмних реалізацій імітаторів, планування, організацію і виконання на ЕОМ експериментів з імітаційними моделями, машинну обробку даних та аналіз результатів. При цьому динамічні й стохастичні характеристики реальних процесів відображаються в моделі за допомогою спеціально сконструйованих процедур.
Під час вивчення теоретичного матеріалу теми необхідно звернути увагу на основні напрями використання імітаційного моделювання. Слід зазначити, що діапазон застосування імітації на ЕОМ над- звичайно широкий від конкретних форм діяльності підприємств до імітації економіки країни в цілому.
Серед головних напрямів використання імітаційного моделювання необхідно розглянути такі:
1) прогнозування розвитку національних економік;
2) створення важливих народногосподарських проектів;
3) розробка і впровадження інформаційних систем різного призначення;
4) створення системи оборони країни і планування військових операцій;
5) охорона навколишнього середовища;
6) навчання та підготовка кадрів.
Машинна імітація являє собою цілий науковий напрям. Активне впровадження машинної імітації у сферу розв’язання різноманітних завдань організації і управління виробництвом, інтенсивна експлуатація імітаційних методів у всіх галузях інженерно-економічної діяльності, широке залучення ідей і методів машинного моделювання до підготовки наукових і виробничих кадрів важливі народногосподарські завдання, успішне виконання яких багато в чому визначить ефективність суспільного виробництва в цілому.
Надзвичайно важливу роль методи машинної імітації мають відігравати при розв’язанні проблем комп’ютеризації інформаційних процесів на підприємствах і в установах, при створенні інформаційних систем економіко-організаційного управління. Наприклад, у [8] підкреслено, що стратегія розвитку сучасних інформаційних систем, зокрема систем підтримки прийняття рішень, має забезпечити аналітику формулювання і розв’язання такого класу задач.
Аналітичні обчислення необхідних показників і статистичних характеристик бізнес-діяльності на основі ретроспективної (зверненої у минуле) інформації з баз даних.
Візуалізація даних наглядне графічне та табличне відображення наявної інформації.
Здобуття знань визначення взаємозв’язків і взаємозалежностей бізнес-процесів на базі існуючої інформації.
Імітаційні проведення на ЕОМ експериментів з математичними моделями, які описують поведінку складних систем. Задачі цього класу застосовуються для аналізу можливих наслідків прийняття того чи іншого рішення (аналіз типу «Що, якщо?..»).
Синтез управління визначення допустимих керуючих дій, які забезпечують досягнення поставлених цілей.
Оптимізаційні засновані на інтеграції імітаційних, управлінських, оптимізаційних та статистичних методів моделювання і прогнозування.
Машинна імітація процесів управління виробництвом, зокрема для оптимізації планування виробництва в цехах і на дільницях машинобудівних підприємств, для оптимального керування страховими заділами деталей тощо, застосовується порівняно давно і досить успішно. Важлива роль відводиться машинній імітації в процесі автоматизації підприємства в цілому. У [9] зазначається, що автоматизація роботи підприємства дуже відповідальний крок. Ця робота передбачає три етапи: етап інжиніринга побудова моделі діяльності компанії; етап реінжиніринга здійснення аналізу й удосконалення моделі; етап управління моніторинг роботи фірми в рамках створеної моделі. При цьому засобами аналізу виступають різні методики, зокрема такі, як функціонально-вартісний аналіз, імітаційне моделювання. Наприклад, німецька фірма IDS Prjf. Sher створила систему ARIS Toolset, у якій для аналізу і оптимізації діяльності підприємства вмонтовано засоби тестування на повноту і несуперечливість, функціонально-вартісний аналіз, імітаційне моделювання тощо. Створена за допомогою ARIS модель може бути імпортована в одну з популярних систем управління виробництвом R/3.

Література до теми
Основна
1. Ситник В. Ф., Орленко Н. С. Імітаційне моделювання: Навч. посібник. К.: КНЕУ, 1998. С. 311.
2. Сытник В. Ф. Основы машинной имитации производственних и организационно-экономических систем. К.: УМК ВО, 1988. ( С. 38.
Допоміжна
Харин Ю. С., Малюгин В. И., Кирлица В. П. и др. Основы имитационного и статистического моделирования.: Учеб. Пособие. ( Минск: Дизайн ПРО, 1997. ( С. 517.
Бакаев А. А., Костина Н. И., Яровицкий Н. В. Имитационные модели в экономике. К.: Наук. думка, 1978. С. 515, 144152, 232248.
Максимей И. В. Имитационное моделирование на ЭВМ. М.: Радио и связь, 1988. С. 58.
Словарь по кибернетике / Под ред. В. С. Михалевича. 2-е изд. К.: Гл. ред. УСЭ, 1989. 751 с.
Веников В. А. Теория подобия и размерности: Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 1976. С. 547.
Сена Л. А. Единицы физических величин и их размерности: Учеб. пособие для вузов. М.: Наука, 1977. С. 5198.
Арсентьев Ю. Д. Теория подобия в инженерных экономических расчетах. М.: Высш. шк., 1967. С. 759.
Архипенков С. Я. От переработки данных к анализу // Банковские технологии. 1998. № 3. С. 6671.
Каменкова М., Громов А., Ферапонтов М. Бизнес-процесс: сначала организация, а только потом автоматизация // БОСС (Бизнес: организация, стратегия, системы). 1998. № 8. С. 6971.
1.2. практичне заняття
Мета заняття. Перевірити розуміння особливості машинних експериментів порівняно з натурними. Ознайомитися з основними видами моделювання, що застосовуються в економіці, науці й техніці. Розглянути основні напрями використання машинної імітації. Ознайомитися з прикладами застосування машинної імітації під час моделювання економічних систем та економічних задач.
План
Історія розвитку методу імітаційного моделювання (машинної імітації).
Види моделювання та особливості їх використання.
Основні напрями використання машинної імітації.
Схема розв’язання задач в інтелектуальних системах та місце в ній машинної імітації.
Порівняння корисності методів дослідження операцій у науковій роботі.
Порівняння і оцінка методів, що найчастіше використовуються у внутрішньофірмовому плануванні.
1.3. Термінологічний словник
Імітаційне моделювання (машинна імітація) особлива форма проведення експериментів на ЕОМ з математичними моделями, які з певним ступенем імовірності описують закономірності функціонування реальних систем і об’єктів.
Фізичне моделювання експериментальний метод дослідження складних процесів, котрі мають місце в реальних (натурних) системах, за допомогою дослідження фізичних моделей, тобто установок (як правило, зменшеного масштабу), які зберігають повністю чи в основному природу процесу оригіналу (натурної установки). Характеристики оригіналу після проведення фізичного моделювання можна отримати шляхом перерахунку відповідних характеристик моделі, помножених на масштабні коефіцієнти. Такі перерахунки можуть бути коректними лише у випадку, коли фізична модель подібна оригіналу. Подібність забезпечується ізоморфністю (однаковістю) критеріїв подібності для моделі й оригіналу.
Критерій подібності безрозмірна комбінація параметрів, котрі описують даний фізичний процес, позначається символом idem, що означає «відповідно однаковий для всіх досліджуваних процесів». Наприклад, для подібності механічних явищ одним із критеріїв подібності є критерій Фруда: 13 EMBED Equation.3 1415 idem, де 13 EMBED Equation.3 1415 відповідно лінійна швидкість, лінійний розмір, прискорення земного тяжіння. Згідно з цією формулою, якщо потрібно вибрати однакову швидкість фізичної моделі й оригіналу, а лінійні розміри фізичної моделі необхідно зменшити в 13 EMBED Equation.3 1415 раз, то в 13 EMBED Equation.3 1415 раз потрібно збільшити величину прискорення земного тяжіння, що досягається шляхом дослідження фізичної моделі на центрифузі.
Однорідна функція. Функція 13 EMBED Equation.3 1415 від 13 EMBED Equation.3 1415 аргументів, визначена в області 13 EMBED Equation.3 1415, називається однорідною функцією m-го степеня, якщо при множенні всіх її аргументів на множник 13 EMBED Equation.3 1415 функція матиме цей же множник в m-ому степеню, тобто якщо тотожно виконується рівність 13 EMBED Equation.3 1415.
Демпфування гасіння коливань у динамічній системі внаслідок розсіювання енергії.
Міжнародна система одиниць СІ система, яка встановлює стандарти на одиниці вимірювання фізичних величин. Для побудови системи СІ застосовуються шість основних одиниць виміру: одиниця довжини метр (м), одиниця маси кілограм (кг), одиниця часу  секунда (сек), одиниця сили електричного струму ампер (а), одиниця температури градус Кельвіна (град К, 13 EMBED Equation.3 1415), одиниця сили світла свічка (св), а також дві додаткові геометричні одиниці: одиниця плоского кута радіан (рад) та одиниця тілесного кута стерадіан (стер). Решта одиниць похідні; вони встановлюються на основі взаємозв’язків між фізичними величинами. ГОСТ 9867-61 для всіх галузей науки, техніки, народного господарства і педагогічної практики встановлює систему СІ як єдину уніфіковану систему одиниць.
Математичне моделювання побудова математичної моделі та дослідження її аналітичними, числовими (здебільшого на ЕОМ), графічними чи якісними методами для отримання певної характеристики (характеристик) досліджуваної реальної системи.
Математична модель логічний чи математичний опис компонентів і функцій, що відбивають істотні властивості об’єкта чи процесу, який моделюється.
Макетне (наочне) моделювання побудова макета об’єкта, що вивчається, а також аналіз на його основі тих чи інших корисних (прийнятних) властивостей оригіналу. У даному контексті під макетом розуміється просторове зображення чи геометрична копія будь-чого (виробу, споруди тощо), яка може мати інші розміри і створена з іншого матеріалу, ніж оригінал.
Аналогове моделювання метод дослідження, який використовує пряму, безпосредню аналогію між величинами, властивими одному явищу, і формально такими ж, що входять таким же чином в рівняння процесів величинами, притаманними іншому явищу.
Аналогова обчислювальна машина (АОМ) обчислювальна машина, яка обробляє інформацію, подану в аналоговій (неперервній) формі. АОМ бувають електричні (електронні), електромеханічні, механічні, гідравлічні, пневматичні та ін.
Економіко-математична модель математичний опис економічного явища чи об’єкта, який здійснюється з метою їх дослідження та управління ними, шляхом вироблення управлінських рішень.
Ситуаційне моделювання метод, в основу якого покладено відтворення в спеціальних лабораторних умовах певних ситуацій, які можуть мати місце в реальних системах, з метою розв’язання складних практичних завдань чи з навчальною метою.
Ділові ігри (господарські ігри, економічні ігри) метод імітації вироблення і прийняття управлінських рішень в різних виробничих ситуаціях шляхом проведення симульованої гри згідно з заданим сценарієм (чи системою правил) окремими групами людей або людиною і ЕОМ. Сама ділова гра може розглядатися як деяке спрощене відтворення реального економічного чи виробничого процесу.
Інтелектуальна інформаційна система (ІІС) людино-машинна система, у якій комп’ютер реалізує міркування, використовуючи дані з баз даних і знання з баз знань, підсилюючи тим самим інтелектуальні можливості людини. ІІС це відкрита система стосовно поповнення даних і знань, утворення нових знань в автоматичному чи напіавтоматичному режимі. Вона має формальні засоби, що дають змогу здійснювати міркування типу «правдоподібний висновок», «достовірний висновок». ІІС включає в себе засоби виправдання результатів і реалізує висновок на достатній підставі. «Інтелектуалізація» інформаційних систем здійснюється також шляхом створення інтерфейсу користувача на звичній для нього мові й вмонтування в систему засобів розпізнавання образів (машина «думає», «слухає», «говорить» і «бачить»).
Інжиніринг послуги у створенні виробничих підприємств, об’єднань, об’єктів інфраструктури. Він включає в себе комплекс робіт для проведення попередніх досліджень, підготовки техніко-економічного обгрунтування, комплекту проектних документів, а також розробки рекомендацій з організації виробництва і управління, експлуатації обладнання та продажу готової продукції. Інжиніринг може бути і самостійним товаром на ринку. Контракт на придбання інжинірингових послуг включає їх перелік, організаційні умови виконання, а також ціни та порядок оплати.
Лінійне програмування галузь математики, яка розробляє теорію та числові методи розв’язання задач, пов’язаних із знаходженням екстремуму (максимуму або мінімуму) лінійної функції багатьох змінних при наявності системи лінійних обмежень.
Сіткові методи методи управління великими науково-технічними розробками, будівництвом та іншими комплексами робіт, заснованих на використанні ЕОМ і сіткових графіків. На базі використання сіткового графіка ЕОМ спроможна виконати аналіз стану системи в будь-який момент часу, визначити послідовність робіт (критичний шлях), які можуть затримати виконання всього плану робіт. Серед сіткових методів найбільшого розповсюдження дістали МКШ (метод критичного шляху) та ПЕРТ (метод оцінки та перегляду програм).
Сітковий графік граф типу сітка (граф без контурів), у якому фіксуються роботи (операції) та події. Він відображає відношення передування між роботами (подіями).
Динамічне програмування сукупність прийомів, які дають змогу знаходити оптимальні рішення на основі обчислень наслідків кожного рішення і створення оптимальної стратегії для наступних рішень. Обчислювальна схема методу динамічного програмування заснована на передумовах, що критерій оптимальності адитивний стосовно змінних і що майбутні результати не залежать від передісторії того стану системи, при якому приймається рішення. Остання передумова відома як принцип оптимальності Беллмана.
Нелінійне програмування розділ математичного програмування, який вивчає методи розв’язання екстремальних задач з нелінійною цільовою функцією і (або) системою нелінійних обмежень. Розв’язок задачі нелінійного програмування (глобальний максимум чи мінімум) може перебувати або на границі, або у внутрішній частині допустимої множини.
Цілочислове(дискретне) програмування розділ математичного програмування, який вивчає екстремальні задачі, у яких на шукані змінні накладаються умови цілочисловості, а область допустимих рішень скінченна.
Теорія масового обслуговування (теорія черг) розділ дослідження операцій, який вивчає різноманітні процеси в економіці, телефонному зв’язку, транспортних системах та в інших сферах як процеси обслуговування, тобто задоволення масового попиту на обслуговування будь-якого виду. При всьому розмаїтті такі процеси мають загальні характеристики: вимоги (замовлення) на обслуговування надходять нерегулярно (випадково) на «канал обслуговування» і залежно від його зайнятості, тривалості обслуговування та інших чинників утворюють чергу вимог.


1.4. Завдання для перевірки знань
Для самостійної перевірки знань доцільно сформулювати розширені відповіді на поставлені питання і перевірити їх повноту та правильність за допомогою матеріалів пропонованих літературних джерел.
Перерахуйте види моделювання, які застосовуються в економіці, науці й техніці, і дайте порівняльну характеристику їх з точки зору особливостей та границь практичного застосування.
Наведіть приклади, як можна застосовувати методи імітаційного моделювання при створенні окремих модулів автоматизованих робочих місць; розробці автоматизованих інформаційно-пошукових систем; моделюванні структур управління в умовах АСУ; розв’язанні оптимізаційних функціональних задач в інформаційній системі; моделюванні автоматизованих систем обробки даних; використанні машинної імітації для розв’язання складних задач в інтелектуальних інформаційних системах; у задачах автоматизації проектування інформаційних систем.
Наведіть приклади відомих вам математичних моделей з різних галузей науки і техніки. Чому в економіко-математичному моделюванні терміни «економіко-математична модель» і «економіко-математична задача» часто використовуються як синоніми? Як ви розумієте терміни «математична модель», «математичний метод».
Пригадайте, які імітаційні моделі використовувалися при дослідженні впливу господарських рішень на екологію країни. Яке місце займає імітаційне моделювання серед інших методів, що найчастіше використовуються у внутрішньофірмовому плануванні, зокрема таких, як лінійне програмування, сіткові методи (включаючи ПЕРТ і МКШ), теорія керування запасами, нелінійне програмування, динамічне програмування, цілочислове програмування, теорія масового обслуговування.
Наведіть приклади того, як можна застосовувати машинне моделювання в навчальному процесі.
Дайте розширене тлумачення поняття «інтелектуальні інформаційні системи» і з’ясуйте роль імітаційного моделювання при розв’язанні задач у цих системах.

Тема 2. Сутність імітаційного моделювання
2.1. Методичні поради до вивчення теми
Зміст теми. Складність динамічних процесів, які відбуваються у виробничих та економічних системах. Пояснення того, чому аналітичні методи дослідження операцій (математичне програмування, теорія масового обслуговування, теорія ігор і т. ін.) часто є непридатними для прогнозування та аналізу фактичних ситуацій. Імітаційне моделювання як надійний інструмент розв’язання складних економіко-виробничих завдань. Суть імітаційного моделювання, його визначення як терміну в широкому та вузькому розумінні. Переваги та вади методу імітаційного моделювання, умови доцільності його застосування. Загальна схема і цілі машинної імітації. Особливості проведення імітаційних експериментів при вивченні діючої функціональної системи, проведенні аналізу гіпотетичної функціональної системи, проектуванні досконалішої системи. Адекватність імітаційної моделі, оцінювання адекватності принципової структури моделі та ймовірності її реалізації. Імітація еволюційних процесів у динамічних системах. Однорідне градуювання системного часу (принцип часового приросту 13 EMBED Equation.3 1415) та неоднорідне градуювання системного часу (принцип особливих станів), їх переваги і недоліки. Програмна реалізація імітаційних моделей. Створення програмного забезпечення машинного моделювання за допомогою засобів звичайного програмування. Спеціалізовані мови імітаційного моделювання, їх класифікація, переваги, недоліки та умови доцільності їх застосування. Імітаційна система GPSS/PC. Приклад створення імітаційної моделі обчислювальної системи та її реалізація звичайними методами і засобами GPSS/PC.
Пояснення до теми. Під час вивчення теми необхідно перш за все з’ясувати суть машинної імітації (імітаційного моделювання) як у широкому, так і вузькому розумінні. У широкому розумінні імітаційне моделювання це процес конструювання моделі реальної системи та експериментування на цій моделі з метою визначення поводження системи або оцінити (в рамках обмежень, зумовлених деяким критерієм чи сукупністю критеріїв) різні стратегії, що забезпечують функціонування цієї системи. А у вузькому розумінні імітаційне моделювання це відтворення на ЕОМ реальної виробничої чи організаційної системи. За такого тлумачення термін «імітаційне моделювання» має той самий сенс, що й «машинна імітація» або «машинне моделювання» (останні терміни відповідають експериментальному методу вивчення економіки за допомогою ЕОМ).
Слід підкреслити, що стандартного терміну цього напряму моделювання не існує. В англомовній літературі здебільшого використовуються такі терміни: computer simulation (комп’ютерне моделювання), systems simulation (системне моделювання), digital simulation (цифрове моделювання). У вітчизняній літературі розповсюджені терміни «машинна імітація», «машинне моделювання», «імітаційне моделювання», причому найбільшого поширення набув останній, на наш погляд, найбільш невдалий термін («імітаційне моделювання»  тавтологія). Наприклад, назву відомої книжки Шеннона «Systems simulation the art and science» на російську мову перекладено як «Имитационное моделирование систем искусство и наука», тобто термін Systems simulation перекладено на Имитационное моделирование замість Системное моделирование. Вивчаючи літературні джерела, студенти повинні звернути увагу на цю обставину.
Слід також звернути увагу на особливість застосування методу імітаційного моделювання. Щоб застосувати такий метод для досліджень, створюють імітаційну систему, яка містить у собі імітаційну модель, а також внутрішнє і зовнішнє математичне забезпечення. До ЕОМ вводять потрібні вхідні дані і спостерігають зміни показників, які у процесі моделювання можуть аналізуватися й піддаватися статистичній обробці
Машинна імітація в усьому світі набула значного поширення при дослідженні складних систем завдяки важливим перевагам, що їх дістають користувачі цього методу. При розгляді наступних переваг наведіть конкретні приклади.
1. Вдається відповісти на багато запитань, що постають на ранніх стадіях задуму і попереднього проектування систем, уникнувши застосування методу спроб і помилок, пов’язаного із значними витратами.
2. Метод дає змогу досліджувати особливості функціонування системи за будь-яких умов, зокрема й тих, які не реалізовані в натурних експериментах. При цьому параметри системи і навколишнього середовища можна варіювати у надзвичайно широких межах, відтворюючи довільну обстановку.
3. Стає можливим прогнозувати поводження системи в близькому та віддаленому майбутньому, екстраполюючи на моделі результати промислових випробувань. У такому разі дані, здобуті раніше, поповнюються завдяки застосуванню статистичного підходу.
4. Імітаційні моделі технічних і технологічних систем та пристроїв дають змогу в багато разів скоротити час їх випробування.
5. За допомогою методу машинної імітації можна штучним шляхом швидко й у великому обсязі дістати потрібну інформацію, що відбиває хід реальних процесів, уникнувши дорогих, а часто й неможливих натурних випробувань цих процесів.
6. Імітаційна модель є надзвичайно гнучким пізнавальним інструментом, здатним відтворювати довільні як реальні, так і гіпотетичні ситуації.
7. Імітаційне моделювання на ЕОМ часто буває єдиним реальним способом розв’язання таких задач.
Проте слід зазначити, що метод машинної імітації, попри всі його переваги та універсальність, аж ніяк не завжди прийнятний, оскільки виконання розрахунків на імітаційних моделях потребує значних грошових витрат та витрат часу дослідників та програмістів.
Машинну імітацію як числовий машинний метод розв’язання складних задач доцільно застосовувати за таких умов:
непридатність або відсутність аналітичних методів розв’язання задач;
цілковита впевненість в успішному створенні імітаційної моделі, яка адекватно описує досліджувану систему (процес), зокрема в тому, що вдасться зібрати всю необхідну інформацію про модельовану систему (процес), забезпечивши вірогідну імітацію на ЕОМ реальних ситуацій (будувати імітаційну модель стохастичних процесів, коли не можна дістати опис потрібних характеристик випадкових величин і подій, марний замір);
можливість використати сам процес побудови імітаційної моделі для попереднього дослідження системи, що моделюється, з метою напрацювання рекомендацій щодо поліпшення умов її функціонування.
Можливі цілі створення імітаційної моделі, призначеної для вивчення проблем організаційного управління, включають: вивчення діючої функціональної системи, аналіз гіпотетичної функціональної системи, проектування досконалішої системи.
Проте успішне вирішення названих проблем на імітаційних моделях можливе лише на адекватних моделях. Тому під час дослідження складних економічних систем на імітаційних моделях насамперед слід встановити адекватність моделі реальним об’єктам. У разі неадекватності моделі дослідник ризикує дістати недостовірні результати, а на їх підставі прийти до помилкових висновків. Тому оцінювання адекватності моделі обов’язковий етап моделювання, який сам по собі може бути великою і складною задачою. Перевірку достовірності моделі називають її верифікацією (від лат. verus істинний і ficatio (facio) роблю).
Адекватна (від лат. adaquatus прирівнюваний) імітаційна модель математично і логічно з певною мірою наближення відображає досліджувану систему. Логічні елементи моделі відповідають операціям, що виконуються у реальній дійсності, а математичний опис визначає функції, що реалізуються в реальній системі. Ймовірнісні оператори адекватної імітаційної моделі відображають випадковий характер подій реальної системи. Ендогенні параметри моделі при відповідних вхідних чинниках мають бути інформативними, тобто давати вірогідні повідомлення про систему.
Оцінювання адекватності моделі передбачає оцінювання адекватності принципової структури моделі та оцінювання достовірності її реалізації. Верифікувати імітаційну модель реальної системи дуже складно. Зробити це можна з допомогою або спеціально дібраних конкретних прикладів, які не обов’язково мають містити реальну інформацію, або реальних задач, для яких відомі розв’язки, здобуті іншими способами.
Під час вивчення цієї теми слід звернути увагу на те, що засобами імітаційного моделювання можна досліджувати лише еволюційні (лат. evoluto еволюція і evolvo розгортаю) процеси, стосовно яких можна зібрати необхідну інформацію з минулого досвіду.
Відомі два способи побудови динамічних імітаційних моделей на ЕОМ:
однорідне градуювання системного (модельного) часу;
неоднорідне градуювання системного часу.
Програму для ЕОМ можна розробити двома способами:
1) звичайними засобами програмування із застосуванням проблемно-орієнтованих або машинно-орієнтованих мов;
2) з допомогою спеціалізованих мов моделювання.
Перший спосіб використовується, коли імітаційна модель не дуже складна, застосовується не часто і програмується спеціалістами, які не мають значного досвіду роботи з імітаційними моделями. Проте при цьому програмістові доводиться заново складати підпрограми стандартних процедур, що використовуються в усіх імітаційних моделях (генерування випадкових змінних, статистична обробка даних, розміщення інформації всередині машинної пам’яті, складання основної програми, яка забезпечує правильну черговість подій та просування імітаційного процесу по осі часу).
Отже, застосування універсальних мов програмування має і переваги (мінімум обмежень на вхідний формат, значна поширеність), і недоліки (чималі витрати часу на програмування та налагодження програм). Створювати програмне забезпечення імітаційного моделювання допомагають спеціалізовані машинні мови. При їх використанні достатньо лише задати функцію розподілу ймовірностей. Тоді автоматично генеруються випадкові події за цим законом розподілу. Деякі із спеціалізованих програм забезпечують збір статистичних даних за тими чи іншими досліджуваними характеристиками імітаційної системи і видачу результатів машинного моделювання в наперед заданій формі. За допомогою таких програм упорядковують події та реєструють у часі кожний перехід системи з одного стану до іншого.
Під час вивчення питання програмної реалізації імітаційних моделей засобами спеціальних мов моделювання слід звернути увагу на значну кількість таких мов, що застосовуються на практиці (число мов перевищує 500). Зокрема, у [9] проводиться аналіз більш як 350 різних систем імітаційного моделювання. У [10] наведено каталог 200 найвідоміших зарубіжних систем моделювання. Студентам пропонується досконало вивчити систему GPSS/PC і виконати лабораторну роботу.
Перед тим, як переходити до вивчення наступних тем курсу, необхідно розібратися з прикладом імітаційної моделі обчислювальної системи і визначити на ній основні проблеми, пов’язані з практичною реалізацією імітаційного моделювання.



Література до теми

Основна
1. Ситник В. Ф., Орленко Н. С. Імітаційне моделювання: Навч. посібник. К.: КНЕУ,1998. С.1138.
2. Сытник В. Ф. Основы машинной имитации производственних и организационно-экономических систем. К.: УМК ВО, 1988. ( С. 837.

Допоміжна
Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем. М.: Наука, 1968. С.1159.
Нейлор Т. Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем. М.: Мир, 1975. С.1120.
Шеннон Р. Имитационное моделирование систем искусство и наука. М.: Мир, 1978. С.1127.
Харин Ю. С., Малюгин В. И., Кирлица В. П. и др. Основы имитационного и статистического моделирования.: Учеб. пособие. ( Минск: Дизайн ПРО, 1997. ( С. 181282.
Бакаев А. А., Костина Н. И., Яровицкий Н. В. Имитационные модели в экономике. К.: Наук. думка, 1978. С. 1518, 4153.
Максимей И. В. Имитационное моделирование на ЭВМ. М.: Радио и связь, 1988. С. 815, 99121.
Киндлер Е. Языки моделирования: Пер. с чеш. М.: Энергоатом- издат, 1985. 208 с.
Catalog of simulation software // Simulation, 1988. October.

Програмне забезпечення
Методика проведення імітаційного моделювання реалізована у сучасних програмних засобах, що розглядалися у темі. Для виконання лабораторних робіт з цієї теми рекомендується використання ППП GPSS/PC. Мова моделювання GPSS описана у додатках цього навчального посібника та такій літературі:
1. Шрайбер Т. Дж. Моделирование на GPSS. М.: Машиностроение, 1980. ( 592 с.
2. Ситник В. Ф., Орленко Н. С. Імітаційне моделювання: Навч. посібник. К.: КНЕУ, 1998. С. 155220.
3. Сытник В. Ф. Основы машинной имитации производственних и организационно-экономических систем. К.: УМК ВО, 1988. ( С. 113166.
4. Харин Ю. С., Малюгин В. И., Кирлица В. П. и др. Основы имитационного и статистического моделирования.: Учеб. пособие. ( Минск: Дизайн ПРО, 1997. ( С.185282.
5. Советов Б. Я., Яковлев С. А. Моделирование систем: Курсовое проектирование. М.: Высш. шк., 1988. С. 2057.
2.2 практичне заняття
Мета заняття. Розглянути питання, пов’язані з різноманітними видами моделювання, та з’ясувати особливості імітаційного моделювання як засобу проектування і дослідної оцінки конкретних варіантів функціонування реальних систем.
План
1. Види моделювання.
2. Основні напрями використання машинної імітації.
3. Розповсюдження методів машинної імітації.
4. Поняття імітаційного моделювання.
5. Переваги та вади імітаційного моделювання як засобу проектування.
6. Загальна схема і цілі імітаційного моделювання.
7. Імітація еволюційних процесів.
2.3. Термінологічний словник
Імітаційна модель комплексна математична й алгоритмічна модель досліджуваної системи. Метод, що базується на розробці та дослідженні імітаційних моделей, називається машинною імітацією, або імітаційним моделюванням.
Машинна імітація числовий метод виконання на ЕОМ експериментів з математичними моделями, що описують поводження складних систем протягом тривалих відтинків часу.
Імітаційний експеримент метод вивчення складних явищ, зокрема тих, що відбуваються в економіці, шляхом відтворення їх на ЕОМ за допомогою імітаційних моделей та спостереження за машинними результатами з можливим втручанням в обчислювальний процес.
Адекватність моделі відповідність моделі (за деякою сукупністю визначальних характеристик) процесу чи об’єкта, що моделюється.
Верифікація моделі перевірка достовірності (істинності, адекватності) моделі. Верифікація імітаційної моделі зводиться до перевірки відповідності її поведінки основним передумовам експериментатора. Попереднім дослідженням достовірності моделі є перевірка програми її машинної реалізації. Після того, як в програмі виявлені і виправлені всі помилки, приступають до проведення машинного експерименту на основі спеціально підібраних даних, для яких можна передбачити результати машинних розрахунків. Якщо отримані результати збігаються з очікуваним виходом імітаційної моделі, то вона вважається адекватною, тобто її концептуальна структура і логіка не викликають заперечень. Наступним етапом перевірки адекватності імітаційної моделі є її валідація.
Валідація (перевірка адекватності реалізації) моделі полягає в тому, що вихідні результати практичної реалізації імітаційної моделі зіставляють з наявною статистичною інформацією про досліджувану систему, і на основі такого зіставлення роблять висновки щодо адекватності реалізації імітаційної моделі.
Екзогенні величини величини, зумовлені зовнішніми стосовно досліджуваної системи причинами.
Ендогенні (вихідні) величини величини, зумовлені внутрішніми причинами. Ендогенні величини, отримувані на виході імітаційної моделі, часто відображають робочі характеристики економіко-виробничої системи, яка досліджується засобами машинної імітації.
2.4. Навчальні завдання
Вправа 1. Побудувати схему алгоритму функціонування виробничого процесу для визначення гарантованого значення його тривалості, якщо він має такі характеристики: у випадку ідеальної реалізації процесу, кожна з трьох операцій розпочинається і закінчується у задані моменти часу. Для виконання кожної операції використовується система обладнання, яке під час виконання процесу може відмовити.
Імовірність безвідмовної роботи обладнання за час виконання операцій відома (0,95; 0,92 та 0,8 відповідно).
Середній час безвідмовної роботи досить великий, тому ймовірність двох або трьох відмов можна не враховувати. Якщо обладнання псується, час його ремонту підкоряється показовому закону розподілу з параметром 0,05, 0,1 та 0,02 відповідно. Після ремонту обладнання перервана операція продовжується. Перша та друга операції не залежать одна від одної, а третя може розпочинатись лише після того, як будуть завершені перші дві.
Вправа 2. Провести дослідження роботи ЕОМ, яка обслуговує користувачів за допомогою системи розподілених терміналів. Перший запит з’являється одночасно з початком функціонування системи. Інтервали між послідовними появами інших запитів є випадковою величиною Х з щільністю розподілу ймовірностей f (х). Час обслуговування кожного запиту (час виконання замовлення) випадкова величина T з щільністю розподілення ймовірностей ((t). Необхідно побудувати алгоритм розрахунку для визначення середнього часу знаходження запиту в обчислювальній системі (очікування та обслуговування) і відносного часу (у процентах) простою ЕОМ. Конкретні значення вихідних даних задачі дає викладач. Провести розрахунок за складеним алгоритмом.
Вправа 3. Провести дослідження роботи обчислювального центру (ОЦ), який функціонує протягом часу Т. ОЦ виконує заявки користувачів, які приймаються на обслуговування, якщо час їхнього надходження не перевищує час Т. Заявки надходять одна за одною. Час надходження заявок рівномірно розподілений. За обслуговування і-ої заявки ОЦ одержує прибуток, який дорівнює с ( (і, де (і час обслуговування і-ої заявки випадкова величина з щільністю розподілу ймовірностей f ((), а с величина прибутку за одиницю часу обслуговування заявки. Якщо і-та заявка очікує обслуговування, то ОЦ сплачує штраф замовнику розміром b ( tі, де b величина штрафу за одиницю часу знаходження заявки в черзі на обслуговування (b > c), tі час очікування обслуговування. Адміністрація ОЦ має дві альтернативи: використовувати існуючий парк ЕОМ або придбати ще додаткові ЕОМ такого ж типу (ціна машини D, термін окупності L). Конкретні значення вихідних даних задачі дає викладач. Провести розрахунок за складеним алгоритмом.
2.5. Завдання для перевірки знань
Для самостійної перевірки знань слід сформулювати розширені відповіді на поставлені питання і перевірити їх повноту та правильність за допомогою матеріалів пропонованих літературних джерел.
Розгляньте кроки, які виконуються під час дослідження складних економічних систем та розробки імітаційних моделей. Дайте визначення терміну «адекватність моделі реальним об’єктам». З’ясуйте, що означає оцінювання адекватності моделі.
Наведіть приклади задач, що їх можна розв’язати за допомогою методу машинної імітації. Складіть алгоритм розв’язання задачі з використанням методу однорідного градуювання системного часу та методу неоднорідного градуювання системного часу.
Назвіть мови програмування, в яких використовується однорідне або неоднорідне градуювання системного часу.
Розгляньте приклади проблемно-орієнтованих, машинно-орієнтованих, спеціалізованих мов моделювання. З’ясуйте, у чому полягають переваги та вади кожного типу мов програмування під час їх використання для реалізації імітаційних моделей. Розгляньте, на які класи поділяють спеціалізовані мови імітаційного моделювання та приклади мов моделювання серед кожного класу спеціалізованих мов.
За допомогою літературних джерел поясніть, за якими ознаками розрізняють мови імітаційного моделювання.
Наведіть приклади застосування імітаційних моделей під час вивчення діючої функціональної системи.
Наведіть приклади застосування імітаційних моделей під час аналізу гіпотетичної функціональної системи.
Наведіть приклади застосування імітаційних моделей під час проектування досконалішої системи.
З’ясуйте, у чому полягають переваги та вади кожного типу мов програмування під час їх використання для реалізації імітаційних моделей.
Назвіть класи, на які поділяють спеціалізовані мови імітаційного моделювання. Наведіть приклади мов моделювання серед кожного класу спеціалізованих мов. З’ясуйте, за якими ознаками розрізняють мови імітаційного моделювання.
Тема 3. Основні етапи побудови імітаційної моделі
3.1. Методичні поради до вивчення теми
Зміст теми. У темі розглядається послідовність виконання робіт під час реалізації методу машинної імітації та склад етапів побудови імітаційної моделі. На кожному етапі побудови ІМ докладно описуються дії, що їх необхідно виконати. Наводяться конкретні приклади розробки імітаційної моделі. Зазначаються елементи, які необхідно визначити під час розгляду реальної обстановки. Наводяться приклади розробки концептуальної моделі, логічної структурної схеми та програмного забезпечення для проведення імітації на ЕОМ.
Пояснення до теми. Під час вивчення цієї теми необхідно роз- глянути види робіт, які виконуються при практичній реалізації методу машинної імітації. У найбільш узагальненому вигляді перелік видів робіт включає:
Побудову імітаційної моделі, яка має бути представлена у вигляді логічної структурної схеми.
Розробку методики імітаційного моделювання, включаючи методику планування експериментів та методику статистичної обробки інформації.
Створення програмного забезпечення імітаційного моделювання за допомогою загальноприйнятих засобів програмування чи спеціалізованих мов імітаційного моделювання.
Проведення машинної імітації на ЕОМ, аналіз та узагальнення результатів, прийняття рішення щодо можливого уточнення імітаційної моделі.
Розглянемо детальний аналіз дій, що виконуються на етапі побудови імітаційної моделі. Інші види робіт описані в інших темах навчальної дисципліни.
Послідовність складання імітаційної моделі передбачає такі кроки:
визначення задачі та її аналіз;
визначення вимог до інформації;
збирання інформації;
висування гіпотез і прийняття припущень;
встановлення основного змісту моделі;
визначення параметрів, змінних і критеріїв ефективності;
опис концептуальної моделі й перевірка її вірогідності;
побудова логічної структурної схеми (блок-схеми).
На першому етапі моделювання конкретного об’єкта (системи) на ЕОМ необхідно побудувати концептуальну модель процесу функціонування цієї системи, а потім провести її формалізацію. Іншими словами, основним змістом цього етапу моделювання є перехід від загального опису системи за допомогою висловів до її математичного опису. Найбільш відповідальними моментами у цій роботі є спрощений опис системи, тобто відокремлення самої системи від зовнішнього середовища та вибору основного змісту моделі. Під час вибору основного змісту моделі відкидається все другорядне з точки зору мети, яка ставиться при моделюванні.
Щоб глибше зрозуміти зміст етапів та підходів до моделювання процесу функціонування системи, розглянемо конкретні дії під час моделювання деякої реальної системи.
Мета моделювання полягає в отриманні характеристик часу та ймовірності процесу функціонування фрагменту локальної мережі (ЛС). Ефективність різних варіантів побудови мережі та її фрагментів визначається за допомогою таких показників: середнього часу передачі даних та ймовірністю відмови обладнання мережі, вартості мережі. На практиці часто буває необхідно прийняти рішення щодо вибору топології мережі у конкретній установі.
На етапі постановки задачі імітаційного моделювання необхідно:
звернути увагу на існування задачі та необхідність машинного моделювання;
дослідити задачу за матеріалами літературних джерел;
дати чітке формулювання задачі;
вибрати методику розв’язування;
з’ясувати наявність ресурсів, необхідних для моделювання задачі на комп’ютері;
визначити масштабність задачі та можливість її поділу на окремі підзадачі;
визначити послідовності розв’язання підзадач.
У разі розгляду задачі моделювання ЛОМ проводити поділ на підзадачі немає необхідності. Це пов’язано з тим, що у прикладі обрана не вся мережа підприємства, а лише її фрагмент.
На підставі аналізу [5; 6] можна зробити висновок про неможливість використання для дослідження аналітичних методів, а також про необхідність орієнтації на імітаційні методи.
Моделювання можна проводити на ПЕОМ IBM сумісних, починаючи від АТ286 до Pentium 300.
На етапі роботи, пов’язаної з аналізом задачі моделювання виконуються такі функції:
обираються критерії оцінки процесу функціонування системи, що досліджується;
виділяються системи ендогенних та екзогенних змінних моделі;
обираються можливі методи ідентифікації;
виконується попередній аналіз наступних двох етапів моделювання.
У якості критеріїв оцінки ефективності процесу функціонування локальної мережі обирають такі характеристики: вірогідність передачі пакету по каналу за час tд, що не перевищує встановлений час Тв; вірогідність передачі пакету підтвердження за час tп, який не перевищує визначений час Твп; математичне сподівання та дисперсію повного часу передачі пакету з одного вузла комутації до іншого.
Ендогенними (залежними) змінними вважатимемо середній час передачі пакету від одного вузла мережі до іншого та середню довжину черг повідомлень. Екзогенними (незалежними) змінними вважатимемо такі: інтенсивність вхідних потоків пакетів вузла каналу; час обробки пакетів ЦП сервера; час передачі пакету по каналу.
Необхідні уточнення можна зробити після вибору конкретного типу математичних схем для формалізації процесів, які відбуваються у локальній мережі. Скориставшись літературою (наприклад, Блэк Ю. Сети ЭВМ: протоколы, стандарты, интерфейсы: Пер. с англ.  М.: Мир, 1990. 506 с., ил.), можна провести ідентифікацію впливу зовнішнього середовища на об’єкт моделювання, включаючи вибір типу топології локальної мережі. Так, на топологію мережі впливає конкретне розміщення ПК в установі, відстань між комп’ютерами, надійність елементів мережі та ПК.
Шинна топологія характеризується стійкістю у роботи мережі до можливих виходів з ладу окремих вузлів, гнучкістю, економічністю. У той же час вадою такої мережі є неможливість її використання, коли комп’ютери знаходяться на значній відстані.
Зіркоподібна топологія значно спрощує взаємодію вузлів мережі, дає змогу використовувати прості мережеві адаптори. У цій топології можуть використовуватися різні типи кабелю. Але цілісність такої мережі багато в чому залежить від дієздатності центрального вузла.
Кільцева топологія, як і шинна, не має центрального вузла керування. Це дозволяє підвищити надійність таких мереж порівняно із зіркоподібними мережами. Інша особливість ретрансляція інформації проміжними вузлами також має свої переваги та недоліки. З одного боку, ретрансляція інформації дає змогу використовувати на різних ділянках мережі різні типи кабелю, підсилювати сигнали та забезпечувати значно більшу довжину мережі. З іншого боку, існує вірогідність виникнення такої неполадки у проміжному вузлі, при якій він не зможе ретранслювати інформацію, що призводить до розриву всієї мережі.
При визначенні вимог до шуканої інформації необхідно:
сформулювати вимоги до початкової інформації про об’єкт моделювання;
організувати отримання інформації, якої недостатньо;
підготувати апріорні відомості про систему;
провести аналіз експериментальних даних про системи аналогічних класів.
У межах задачі моделювання локальної мережі необхідно з’ясувати питання про характеристики інформаційної мережі (трафіка), про параметри передачі по каналу та обробки пакетів. Вихідну інформацію про характер та інтенсивність потоків повідомлень можна отримати з літературних джерел, досвіду функціонування мереж у аналогічних організаціях. Інформацію щодо потоку помилок з літератури, присвяченої теорії завадостійкого кодування та статистиці помилок у каналах зв’язку. Вхідна інформація про об’єкт моделювання може бути, з одного боку, неповною. Наприклад, точно не були задані конкретні мережеві плати, які мають використовуватися в моделі, конкретно не задані відстані між ПЕОМ у мережі, не вказаний конкретний перелік додаткового периферійного обладнання (кількість та характеристики принтерів). З іншого боку, інформація може бути збитковою, оскільки частину її можна не враховувати в моделі. Тому перед тим як приступати до моделювання, необхідно провести ряд перетворень вхідної інформації в плані спрощення моделі, додатково зібрати інформацію.
Наступний крок це збирання інформації. Проте в разі неможливості дістати її, потрібно знайти шляхи заміни інформації, якої бракує, чи розробити інші варіанти розв’язання задачі. При цьому не виключено, що постане потреба виконати додаткові економетричні дослідження або застосувати математичну модель (виробничі функції, моделі прогнозування) для знаходження потрібної інформації.
Встановлення способів здобування інформації, необхідної для розв’язання задачі, важливий етап усіх операційних досліджень. Адже існують численні методи розв’язання виробничих задач, які, проте, безперспективні через відсутність можливостей забезпечити розрахунки потрібною інформацією.
Здобута інформація має бути оцінена з боку її відповідності розв’язуваній задачі та зручності використання. На етапі збирання інформації не завжди буває відомо, що саме знадобиться в подальшому для досліджень. Крім того, часто буває так, що повернутися до збирання інформації після деякого моменту часу або неможливо, або занадто дорого. Тому слід намагатися зібрати якомога більше даних, щоб не допустити втрат інформації, яка колись може знадобитися. У результаті нагромаджується значний обсяг інформації, причому лише незначна її частина відповідає поставленій задачі. Корисну інформацію потрібно відфільтрувати, відокремити її від непотрібних і випадкових даних.
Зібрана первинна інформація не завжди зручна для безпосереднього використання при розв’язанні задачі. Часто ця інформація підлягає попередній обробці, аналізу та групуванню з допомогою ЕОМ або інших засобів переробки інформації.
У деяких випадках розв’язання задач методом машинної імітації немає змоги здобути всю необхідну інформацію. Для багатьох практично важливих проблем дістати повну інформацію взагалі неможливо. На стадії складання імітаційної моделі іноді відсутні конкретні знання про деякі елементи задачі та умови функціонування системи. Щоб відшукати інформацію, якої бракує, проводять експерименти, висувають гіпотези і приймають (роблять) припущення, що мають бути чітко й точно сформульовані.
Припущення дають змогу перетворити ускладнені, а також такі, що не піддаються врахуванню, характеристики на величини, якими зручно оперувати.
Наприклад, під час моделювання на ЕОМ виробничого процесу в механічному цеху роблять припущення щодо незалежності цього процесу від кліматичних чинників (насправді, безперечно, існує певна залежність виробничого процесу від кліматичних умов хвороби працівників при різких перепадах температури, перебої в роботі громадського транспорту, хоч такі обставини не можна врахувати в імітаційних моделях).
При висуванні гіпотез та прийнятті припущень слід брати до уваги таке:
1) обсяг наявної інформації, якою можна оперувати для розв’язання задачі;
2) релевантність інформації поставленій задачі;
3) підзадачі, для яких інформації недостатньо;
4) ресурси часу та інші ресурси, необхідні для розв’язання задачі;
5) очікувані результати моделювання.
У межах прикладу, що розглядається, виходячи з апріорних відомостей, можна зробити висновок про можливість побудови моделі на підставі тієї інформації, що маємо за умови прийняття ряду гіпотез та припущень стосовно функцій розподілу параметрів процесів, що відбуваються у локальній мережі, і впливу зовнішнього середовища. Для кожного типу топології ЛОМ потоки інформації є суперпозицією великої кількості потоків з різними законами розподілу між моментами їх появи і з різними інтенсивностями. Це дає змогу на підставі теореми про підсумок потоків прийняти припущення про експоненційний розподіл інтервалів між моментами надходження пакетів у вузлах каналу. Необхідно також прийняти припущення про характер помилок у каналах зв’язку. З урахуванням гіпотези про незалежність помилок у кодових комбінаціях пакетів, що передаються, можна зробити висновок про геометричний закон розподілу числа повторюваних передач, а з урахуванням припущень стосовно потоку інформації можна висунути гіпотези про очікувані результати моделювання з метою побудови імітаційної моделі.
На етапі визначення параметрів та змінних необхідно:
визначити параметри системи;
визначити вхідні та вихідні змінні;
визначити вплив зовнішнього середовища;
описати й дати стислу характеристику параметрам та змінним у такій формі: символ; одиниця виміру; діапазон змін; місце у моделі.
У моделі ЛОМ залежно від топології мережі можуть використовуватися різні параметри та змінні. Наприклад, параметр SZM можна використовувати для фіксації стану зайнятості мережі (цей параметр може застосовуватися при описі мережі стандарту Token Ring у випадку, коли кілька комп’ютерів починають одночасно передавати інформацію у мережу); SNK стану виходу з ладу фрагмента кабелю; SVZ стану відмови у роботі центрального вузла (при зіркоподібній топології мережі); SVV стану виникнення неполадок у проміжному вузлі (при кільцевій топології мережі).
Під час моделювання ЛОМ можна використовувати такі змінні для опису моделі.
Вихідні змінні. Qi середня довжина черги на пристрій; Api середнє число пакетів, що чекають подальшої обробки; Ati середній час передачі повідомлення між джерелом інформації, який враховує можливі повторення передачі у разі виникнення помилок. У моделі вихідні змінні оцінюються на підставі обробки статистики, яка збирається у результаті імітації передавання пакетів по ЛОМ.
Екзогенні змінні. tp час передачі пакету по каналу, значення часу являє собою випадкову величину із законом розподілу, який визначається числом повторюваних передач через появу помилок у ЛОМ; tоp час обробки кожного пакету у вузлі. Цей час являє собою випадкову величину із законом розподілу, який визначається часом зайнятості вузла та характеристиками самої мережевої плати.
Вплив зовнішнього середовища під час моделювання ЛОМ визначається інтенсивністю вхідного потоку пакетів у мережі, яка складається з потоків усіх повідомлень користувачів.
У моделі час передачі, час обробки та час появи повідомлення генерується за допомогою датчиків випадкових чисел.
Основний зміст моделі розробляється з урахуванням висунутих гіпотез і зроблених припущень. При цьому необхідно зважати також на специфічні особливості реальної обстановки, самої задачі та засобів її розв’язання. Таким чином, на цьому етапі створення імітаційної моделі визначається зміст концептуальної моделі та обира- ється шлях (метод) побудови математичної моделі на підставі прийнятих гіпотез та припущень.
Розглядаючи реальну обстановку як елемент при створенні моделі, необхідно визначити:
функції системи і способи їх реалізації;
детерміновані й недетерміновані функції;
апроксимацію цих функцій у моделі;
вплив факторів середовища на роботу системи;
способи взаємодії людини та системи, людини та середовища, системи та середовища;
апроксимацію цих взаємодій у моделі.
Важливо також враховувати обмеження задачі й наявність ресурсів (грошові засоби, чисельність обслуговуючого персоналу) для проведення імітаційних експериментів, а також фактор часу.
На етапі опису концептуальної моделі та перевірки її вірогідності проводять такі операції: опис моделі за допомогою абстрактних термінів та понять з використанням типових математичних схем; обгрунтовують вибір процедур апроксимації реальних процесів при побудові моделі; перевіряють вірогідність моделі.
Вірогідність концептуальної моделі перевіряють у такому порядку.
1. З’ясування задуму моделі та доцільності її створення.
2. Виявлення зв’язку задуму моделі та доцільності її побудови з детермінованими, рандомізованими (імовірними) і середніми значеннями характеристик моделі.
3. Дослідження прийнятих апроксимацій (від лат. approximato зближення) реальних процесів.
4. Розгляд критеріїв ефективності.
5. Дослідження прийнятих припущень і гіпотез.
6. Встановлення зв’язку п. 4 і 5 з реальними процесами; вивчення системи та збурюючих факторів зовнішнього середовища.
7. Встановлення достовірності інформації та її джерел, що використовуються при побудові моделі.
8. Розгляд процедури в цілому у зв’язку з визначенням задачі.
9. Розгляд постановки задачі.
Іншим методом перевірки достовірності концептуальної моделі є розгляд моделі спеціалістами, які не брали участі в її створенні.
Заключним етапом побудови імітаційної моделі є створення її логічної структурної схеми. Далі розробляється машинна схема і відбувається програмування задачі. Логічна структурна схема імітаційної моделі являє собою упорядковане й наочне зображення процесу, в якому визначені не лише дії, а й порядок їх виконання. У створеній на базі згаданої схеми машинній схемі довільна процедура подається у вигляді сукупності елементарних операцій, що реалізують цю процедуру.
Логічну схему імітаційної моделі рекомендується створювати за модульним (блоковим) принципом, тобто у вигляді сукупності стандартних блоків-модулів. Якщо реалізація імітаційної моделі відбуватиметься з використанням пакету GPSS/PC, то при розробці схеми імітаційної моделі доцільно використовувати спеціальні графічні блоки, розроблені для цієї мови моделювання.
Побудувавши схему імітаційної моделі, перевіряють її логічну достовірність такими діями:
1) порівнюють кожну функцію концептуальної моделі з її реалізацією в блок-схемі;
2) перевіряють повноту опису блок-схеми;
3) з’ясовують, чи немає на схемі непередбачених циклів і нелогічних віток;
4) пересвідчуються в тому, що всі блоки та підблоки описано зрозуміло, точно й повно;
5) перевіряють наявність «входу» і «виходу» на схемі;
6) переглядають усі цикли, переконуючись, що кожний з них має «вхід» і «вихід»;
7) перевіряють правильність застосовуваного способу нумерації блоків;
8) порівнюють справжні вихідні величини моделі з бажаним виходом;
9) перевіряють правильність написання і використання всіх математичних виразів;
10) перевіряють фізичні розмірності всіх величин у рівняннях;
11) контролюють правильність здобуття всіх констант, параметрів і змінних;
12) перевіряють, чи немає помилок у застосуванні індексів;
13) встановлюють, чи правильно відображають датчики всі функції;
14) перевіряють правильність роботи датчиків випадкових величин;
15) перевіряють правильність реалізації у блоках усіх математичних виразів.

Література до теми
Основна
1. Ситник В. Ф., Орленко Н. С. Імітаційне моделювання: Навч. посібник. К.: КНЕУ, 1998. С.2537.
2. Сытник В. Ф. Основы машинной имитации производственних и организационно-экономических систем. К.: УМК ВО, 1988. ( С. 2237.
Допоміжна
3. Харин Ю. С., Малюгин В. И., Кирлица В. П. и др. Основы имитационного и статистического моделирования.: Учеб. пособие. ( Минск: Дизайн ПРО, 1997. ( С.181282.
4. Бакаев А. А., Костина Н. И., Яровицкий Н. В. Имитационные модели в экономике. К.: Наук. думка, 1978. С. 1518, С. 4153.
5. Максимей И. В. Имитационное моделирование на ЭВМ. М.: Радио и связь, 1988. С. 815, 99121.
6. Советов Б. Я., Яковлев С. А. Моделирование систем: Курсовое проектирование. М.: Высш. шк., 1988. С. 5973.
7. Блэк Ю. Сети ЭВМ: протоколы, стандарты, интерфейсы: Пер. с англ. М.: Мир, 1990. 506 с.
8. Шрайбер Т. Дж. Моделирование на GPSS: Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1980. 592 с.
Програмне забезпечення
Для закріплення матеріалу цієї теми проводиться лабораторна робота з використанням ППП GPSS/PC. Мова моделювання GPSS та робота з пакетом GPSS/PC описані у додатках цього навчального посібника, в основній та допоміжній літературі до теми.
3.2. практичне заняття
Мета заняття. Перевірити розуміння суті імітаційного моделювання та розглянути основні етапи побудови імітаційних моделей. Набути навички pозробки логічних схем імітаційних моделей з різними ступенями деталізації.
План
1. Види робіт при розробці імітаційної моделі.
2. Етапи проектування імітаційної моделі.
3. Опис концептуальної схеми імітаційної моделі.
4. Перевірка достовірності концептуальної схеми імітаційної моделі.
5. Методологія побудови логічної структурної схеми.
3.3. Термінологічний словник
Апроксимація (від лат. аpproximatio зближення) наближене зображення одних математичних об’єктів іншими у тому чи іншому значенні, близькому до вихідних, зокрема наближене подання складної функції однією або кількома більш простими функціями.
Гіпотези наукові припущення, висунуті для пояснення певних явищ дійсності. Вони замінюють невідомі закономірності розвитку системи і довизначають постановку задачі. За відсутності інформації висувають гіпотезу щодо можливих результатів, вірогідність якої далі перевіряють експериментально. Доводячи правильність гіпотез, дістають повніше уявлення про розв’язання задачі.
Концептуальна модель сприйняття чи система поглядів на певне явище (спосіб розуміння, тлумачення якихось явищ) являє собою принципову основу або ідейну структуру імітаційної моделі, яка згодом може бути реалізована математичними і технічними засобами.
Припущення твердження, яке тимчасово (доки не буде встановлено істину) вважається правильним, у контексті створення імітаційних моделей роблять у разі, коли деякі дані невідомі або їх не можна здобути. Водночас припущення можуть висуватися й щодо відомих даних, які не повністю відповідають сутності обраної задачі. Тому для відшукання необхідних результатів припустимі певні спрощення чи скорочення.
Релевантна інформація інформація, необхідна для розв’язання обраної задачі.
Локальна обчислювальна мережа (ЛОМ) сукупність засобів передачі та розподілу даних.
Дані факти або поняття, описані у формалізованому вигляді. У локальній мережі існують дані користувача та дані, що керують передачею інформації (протоколи).
Дані користувача дані, що вводяться користувачем у ЛОМ або отримуються ним з мережі.
Протоколи (дані керування) дані, які використовуються для керування локальною мережею.
Пакет інформації (кадр, фрейм) логічна одиниця інформації мережевого потоку (трафіка). Вся інформація між вузлами переда- ється у вигляді пакетів, які мають інформаційні поля та поля керування, що містять службову інформацію: порядковий номер, контрольну суму тощо. У локальній мережі реалізований режим комутації пакетів, який являє собою такий спосіб передачі, при якому дані користувача розбиваються на окремі пакети. Маршрути передачі у мережі від джерела до отримувача визначаються у кожному вузлі комутації, куди пакети потрапляють.
Трафік потік повідомлень або даних у мережі передачі даних; робоче навантаження лінії зв’язку.
Повідомлення кінцева сукупність символів, що мають змістовний сенс.
Канал зв’язку сукупність технічних засобів середовища передачі даних, що забезпечує передачу даних у визначене місце мережі.
Мережевий адаптор (карта, плата) пристрій, за допомогою якого забезпечується підключення обчислювальної техніки до середовища передачі (кабелю) ЛОМ.
Швидкість передачі показник, який вимірюється кількістю біт, що передаються за секунду (bps). У локальній мережі розрізняють дві швидкості передачі даних: швидкість передачі даних по основному комунікаційному кабелю (вона має постійне значення для кожного типу мережі й не залежить від типу вузла. Саме цю швидкість зазначають у довідниках локальних мереж. Наприклад, у мережі Ethernet вона становить 10 Mbps, Arcnet 2,5 Mbps, Token Ring 4/16 Mbps) та швидкість передачі даних між вузлами мережі (вона, як правило, значно менша, ніж основна швидкість передачі й залежить від умов функціонування вузла: швидкості процесора, його завантаженості, конструкції мережевого адаптора, інформаційної шини, особливості ОС та інших факторів).
Топологія ЛОМ геометрична схема з’єднання вузлів мережі. Більшість ЛОМ використовують одну з трьох таких топологій: шинну (шина); кільцеву (кільце); або зіркоподібну (зірка).
Шинна топологія при такій топології комунікаційний кабель, який об’єднує вузли у мережу, утворює незамкнену лінію, тобто кабель має лівий та правий кінці, на які встановлюються спеціальні обмежувачі, що мають назву термінатори. Дані від вузла, який передає інформацію, розповсюджуються в обидва кінці кабелю. Проміжні вузли не виконують ніякої ретрансляції інформації. Вузол, що приймає інформацію, впізнає дані, призначені для нього, і читає отримане повідомлення.
Зіркоподібна топологія. У цьому випадку вузли мережі з’єднані «променем» з центральною точкою зірки. Залежно від конкретного типу мережі у центрі зірки можуть розташовуватися або центральний вузол, або пристрій, який виконує синхронізацію роботи периферійних вузлів мережі. Кожний периферійний вузол має свій власний канал для зв’язку з центром, який ретранслює, комутує чи виконує маршрутизацію інформаційного потоку до отримувача.
Кільцева топологія. У цій топології вузли з’єднуються послідовно один з одним, утворюючи кільце. Дані по мережі передаються від вузла до вузла. Передача інформації по кільцю здійснюється тільки в одному напрямі. Вузол-передавач відправляє повідомлення по кільцю до вузла, який приймає повідомлення. Кожний проміжний вузол між приймачем та відправником ретранслює повідомлення. Вузол, що приймає повідомлення, розпізнає адресоване йому повідомлення.
3.4. Навчальні завдання
Вправа 1. Побудувати схему імітаційної моделі автобусного транспорту. Умовно автобус може перебувати в одному з двох станів: або пересуватись від однієї стоянки до іншої, або стояти на зупинці. Пасажир може або чекати автобус, або входити до нього, або знаходитися в автобусі.
Автопарк висилає на лінію 13 EMBED Equation.3 1415 автобусів, які курсують по замкнутому маршруту, зупиняючись на всіх зупинках. Автопарк робить усе можливе, щоб обслуговування було регулярне. Припускається, що час переміщення автобуса від однієї зупинки до іншої, як і час посадки кожного пасажира в автобус, завжди постійний. Обслуговування було б абсолютно регулярним, якби не той факт, що пасажири підходять до зупинки через деякі випадкові інтервали часу. Будемо розрізняти події трьох типів:
людина стає в чергу на автобусній зупинці;
до зупинки підходить автобус;
людина сідає в автобус.
При цьому не береться до уваги час висадки пасажирів, тобто припускається, що пасажири виходять з автобуса через передні двері швидше, ніж через задні сідають нові. Для кожної з перерахованих подій можна вказати подію, яка має настати за нею:
1) через випадковий відрізок часу до черги підходить ще одна людина;
2) якщо черги немає, то автобус вирушає до наступної зупинки, і його прибуття туди стає черговою подією. У протилежному разі до автобуса заходить людина, яка у черзі була першою;
3) довжина черги зменшується на одиницю. Якщо черга закінчується, автобус від’їжджає до наступної зупинки. У протилежному разі до автобуса заходить ще один пасажир.
Моделювання починається у той момент, коли автобуси рівномірно розподілені по всьому маршруту, а черги на зупинках відсутні.
Мета моделювання полягає в тому, щоб визначити можливість підтримання інтервалів між автобусами на однаковому рівні.
Виконуючи завдання, необхідно побудувати два варіанти логічної схеми імітаційної моделі. Перший варіант логічної схеми має бути зорієнтований на традиційні мови моделювання, другий на спеціальні мови моделювання.
Вправа 2. На складальну дільницю цеху підприємства через випадкові інтервали часу, які розподілено експоненціально з середнім значенням 10 хв, надходить партія з трьох деталей. Половина з усіх деталей, що надходять, перед складанням має пройти попередню обробку протягом 7 хв. На складання подаються оброблені та необроблені деталі. Процес обробки займає 6 хв. Після цього виріб надходить на регулювання, яке продовжується в середньому 8 хв (час його виконання розподілено експоненціально). Після складання може виявитись до 4 відсотків бракованих виробів, які не підлягають регулюванню, а знову повертаються на попередню обробку. Необхідно побудувати два варіанти логічної схеми імітаційної моделі виробничого процесу дільниці для визначення можливих місць появи черг та їх характеристик. Перший варіант логічної схеми має бути зорієнтований на традиційні мови моделювання, другий на спеціальні мови моделювання.
Вправа 3. Система обробки інформації має мультиплексний канал і три міні-ЕОМ. Сигнали від датчиків надходять на вхід каналу через інтервали часу 1013 EMBED Equation.3 14155 мкс. У каналі вони буферизуються і проходять попередню обробку протягом 1013 EMBED Equation.3 14153 мкс. Потім вони надходять на обробку до тієї міні-ЕОМ, де вхідна черга має найменшу довжину. Ємність вхідних накопичувачів на всіх міні-ЕОМ розрахована на сховище величин 10 сигналів. Час обробки сигналу кожною міні-ЕОМ дорівнює 33 мкс. Необхідно побудувати два варіанти логічної схеми імітаційної моделі процесу обробки сигналів, які надходять з датчиків для визначення середнього часу затримки сигналів у каналі й міні-ЕОМ та ймовірності переповнення вхідних накопичувачів. Перший варіант логічної схеми має бути зорієнтований на традиційні мови моделювання, другий на спеціальні мови моделювання.
Вправа 4. Система передачі даних забезпечує передачу пакетів даних з пункту А до пункту С через транзитний пункт В. До пункту А пакети надходять через 10 ( 5 мс. Тут вони буферизуються у накопичувачах ємністю 20 пакетів і передаються по одній з двох ліній (АВ1 за час 20 мс або АВ2 за час 20 ( 5 мс). У пункті В вони знову буферизуються у накопичувачі ємністю 25 пакетів і потім передаються лініями ВС1 за 25 ( 3 мс та ВС2 за 25 мс. Пакети з АВ1 надходять у ВС1, а з АВ2 у ВС2. Щоб не було переповнення накопичувача, у пункті В вводиться порогове значення його ємності 20 пакетів. При досягненні чергового порогового значення підключається резервна апаратура і час передачі знижується для ліній ВС1 і ВС2 до 15 мс. Необхідно побудувати два варіанти логічної схеми імітаційної моделі проходження пакетів. Перший варіант логічної схеми має бути зорієнтований на традиційні мови моделювання, другий на спеціальні мови моделювання. За побудованою схемою проведіть вручну моделювання та визначте вірогідність підключення резервної апаратури і характеристики черги у пункті В.
Вправа 5. На дільниці термічної обробки виконується цементування і закалювання шестерінок, які надходять через 10 ( 5 хв. Цементування займає 10 ( 7 хв, а закалювання 10 ( 6 хв. Якість визначається сумарним часом обробки. Шестерінки з часом обробки більш як 25 хв залишають дільницю, з часом обробки від 20 до 25 хв передаються на повторне закалювання і при часі обробки менш як 20 хв мають пройти повторну обробку. Деталі з сумарним часом обробки меншим 20 хв вважаються другим сортом. Необхідно побудувати два варіанти логічної схеми імітаційної моделі обробки шестерінок для визначення функції розподілу часу обробки і ймовірність повторення повної та часткової обробки. Перший варіант логічної схеми має бути зорієнтований на традиційні мови моделювання, другий на спеціальні мови моделювання.
Вправа 6. Розподілений банк даних інформаційної системи організовано на базі ЕОМ, з’єднаних каналом зв’язку. Запити, що надходять, обробляються на першій ЕОМ, і з імовірністю 50 відсотків необхідна інформація знаходиться саме на цій ЕОМ. У протилежному разі необхідне надсилання запиту на другу ЕОМ. Запити надходять через 10 ( 3 с, первинна обробка запиту займає 2 с, видача відповіді потребує 18 ( 2 с, передача по каналу зв’язку займає 3 с. Характеристики другої ЕОМ аналогічні характеристикам першої. Необхідно побудувати два варіанти логічної схеми імітаційної моделі проходження запитів. Перший варіант логічної схеми має бути зорієнтований на традиційні мови моделювання, другий на спеціальні мови моделювання. За розробленою схемою вручну проведіть імітацію та визначіть необхідну ємність накопичувачів ЕОМ, які забезпечують безвідмовну роботу системи.
3.5. Завдання для перевірки знань
Для самостійної перевірки знань слід сформулювати розширені відповіді на поставлені питання і перевірити їх повноту та правильність за допомогою матеріалів пропонованих літературних джерел.
Охарактеризуйте основні етапи побудови імітаційної моделі та наведіть відомі вам приклади їх формулювання.
У чому полягає суть постановки задачі імітаційного моделювання?
Охарактеризуйте етап визначення задачі та її аналіз. Наведіть приклади дій, які необхідно виконати на етапі визначення задачі для вправ 16.
Опишіть етап збирання інформації. Яким чином можна зібрати інформацію для задач, умови яких містяться у вправах 16?
Опишіть етап висування гіпотез і прийняття припущень. Які гіпотези та припущення можуть бути прийняті стосовно задач, умови яких містяться у вправах 16?
Опишіть етап встановлення основного змісту моделі. З яких компонентів складається реальна обстановка задачі? Наведіть приклади.
Опишіть етап визначення параметрів, змінних і критеріїв ефективності. Назвіть критерії ефективності для задач, умови яких містяться у вправах 16.
Опишіть суть концептуальної моделі задачі «Визначення оптимального правила пріоритету в календарному плануванні засобами імітаційного моделювання».
Поясніть логічну структурну схему імітаційної моделі завантаження ЕОМ, користуючись рекомендованою літературою.

Тема 4. Імітаційна модель керування запасами
4.1. Методичні поради до вивчення теми
Зміст теми. У темі розкривається сутність оптимального керування запасами. Висвітлюються об’єктивні фактори, які зумовлюють потребу створення запасів, і показуються передумови на користь зменшення або зведення до нуля запасів матеріальних ресурсів. Виділяються керовані параметри, до яких належать обсяг на поставку замовленого ресурсу і момент часу подачі замовлення на поповнення запасу. Подаються характеристики некерованих параметрів, до яких належать: система постачання; попит на предмети постачання; система поповнення запасів; вартісні функції витрат; обмеження, які застосовуються до запасів; стратегії (політики) керування запасами. Розглядаються найпростіші стратегії керування запасами: періодичні й з критичними рівнями. Описується статична детермінована модель керування запасами, на основі якої отримана відома формула оптимального розміру партії замовлення (формула Вільсона). Досліджується задача керування багатопродуктовими запасами, зокрема сформульовано основні передумови, побудовано економічно-математичну модель і описано алгоритм розв’язування задачі методом множників Лагранжа. Сформульовано концептуальну імітаційну модель керування запасами (основні передумови). Наводиться блок-схема імітаційної моделі й описуються її основні модулі. Подаються деякі результати програмної реалізації імітаційної моделі та їх узагальнення.
Пояснення до теми. Під час вивчення цієї теми перш за все треба зрозуміти сутність оптимального керування запасами. Відомо, що важливою передумовою ритмічності виробничого процесу на підприємстві є своєчасне і повне забезпечення його необхідними технологічними, трудовими, матеріальними та фінансовими ресурсами. Проте, з огляду на специфіку споживання і можливостей поповнення ресурсів, необхідно створювати запаси.
Запасом називають придатний для застосування, але тимчасово не використовуваний певний додатковий обсяг ресурсу. Такими ресурсами можуть бути людські ресурси, матеріали, машини та гроші. На промислових підприємствах завдання матеріально-технічного постачання полягає насамперед у забезпеченні виробництва матеріальними ресурсами (сировиною, напівфабрикатами, комплектуючими деталями і виробами тощо), запаси яких містяться або на центральних складах підприємства, або на складах основних цехів. Тому далі під виробничими запасами розумітимемо запаси матеріальних ресурсів, хоча це й не істотне для складання та дослідження оптимізаційних задач аналітичними методами чи засобами імітаційного моделювання.
Існують об’єктивні фактори, які зумовлюють потребу створення запасів. До них належать:
розбіжність ритмів постачання (або виробництва) і використання матеріальних ресурсів. Наприклад, навіть для ідеального випадку, коли споживання матеріалів безперервне, а постачання регулярне з фіксованим обсягом, то початковий запас (у момент прибуття поставки) дорівнює величині поставки, а далі, у міру споживання, зменшується до нуля;
випадкові коливання попиту в проміжку часу між поставками, тривалості інтервалу часу між поставками, обсягів поставок. У цьому разі проблема забезпечення ритмічності виробничих процесів матиме ймовірнісний характер, тобто надійність виробництва безпосередньо залежить від величини запасу;
кон’юнктурні міркування, що враховують сезонність попиту та сезонність виробництва предметів споживання.
З погляду дії перелічених факторів випливає, що чим більший запас, тим краще. Водночас існують і серйозні передумови на користь зменшення або зведення до нуля запасів матеріальних ресурсів. Сюди належать:
плата за фізичне зберігання запасу;
втрачений економічний виграш через зв’язування оборотних коштів у запасах;
втрати в кількості і якості матеріальних ресурсів, включаючи моральний знос.
Отже, задача вибору необхідних запасів виробничих ресурсів має альтернативний характер, і розв’язувати її слід оптимізаційними методами. Оптимальне керування запасами як науковий напрям належить до однієї з найбільш розроблених галузей теорії дослідження операцій.
Як і в будь-якій теорії управління, у задачі про запаси виокремлюють керовані й некеровані параметри.
До керованих параметрів (змінних керування) належать обсяг на поставку замовленого ресурсу і момент часу подачі замовлення на поповнення запасу. Органи постачання, обираючи певним чином обсяг і час замовлення (які утворюють так звану «точку замовлення»), можуть регулювати динаміку руху виробничого запасу на складах підприємства. Оптимальне керування запасами полягає у виборі таких обсягів і моментів на поповнення запасів, щоб сумарні витрати на організацію системи постачання набували мінімального значення.
Некеровані параметри задачі керування запасами, які дають змогу розрізняти математичні моделі оптимізації рівнів запасу, утворюють такий перелік із шести елементів: 1) система постачання; 2) попит на предмети постачання; 3) система поповнення запасів; 4) вартісні функції витрат; 5) обмеження, які застосовуються до запасів; 6) стратегії (політики) керування запасами.
Система постачання. У теорії керування запасами під системою постачання розуміють сукупність складів, між якими під час виконання операцій з постачання виникають інформаційні та матеріальні потоки. Звичайно, система постачання має свою систему управління, яка виконує відповідні для такого підрозділу функції.
Система постачання може будуватися за централізованим і децентралізованим принципами. У першому випадку склади мають ієрархічні рівні (до 5), причому лише склади найнижчого рівня обслуговують споживачів, а недостача предметів постачання на цих складах покривається за рахунок наявних запасів на складах вищих рівнів.
У децентралізованих системах постачання всі склади безпосередньо обслуговують споживачів, а можливі недостачі на окремих складах ліквідуються за рахунок надлишків матеріалів на інших.
У моделях керування запасами система постачання розглядається як один об’єкт, і саме для нього створюється єдина цільова функція. Стосовно промислових підприємств можна зауважити, що хоча в підпорядкуванні органів постачання перебувають кілька складів, проте специфіка їх функціонування дає змогу розглядати систему постачання як таку, що утворена одним складом, територіально розподіленим на кілька частин.
Залежно від числа ресурсів, що зберігаються на складі, системи постачання поділяються на одно- та багатопродуктові. Щоб спростити дослідження моделей керування запасами, багатопродуктові системи постачання іноді вдається розчленувати за кожним ресурсом на однопродуктові й рішення щодо організації забезпечення виробництва кожним матеріалом приймати окремо.
Попит на предмети постачання визначається поточними потребами виробництва і може поділятися на такі групи: стаціонарний або нестаціонарний; детермінований або стохастичний; неперервно або дискретно розподілений; залежний від попиту на інші номенклатури або незалежний.
Система поповнення запасів. Поповнення запасів характеризується обсягом поставки і часом затримки прибуття поставки щодо моменту подачі замовлення. За обсягом поставка може дорівнювати замовленій або бути випадковою величиною, параметри і функції розподілу якої залежать здебільшого від замовлення. У реальних ситуаціях завжди відбувається затримка прибуття замовлених матеріалів. Проте залежно від впливу цієї затримки на організацію постачання нею можна знехтувати (миттєва поставка), вважати її фіксованою або випадковою величиною з відомим законом розподілу.
Вартісні функції витрат. Витрати на організацію постачання складаються з трьох компонентів: витрат на зберігання матеріалів на складі; витрат на організацію поставок; витрат на штрафи через нестачу (дефіцит) необхідних ресурсів. Сукупність усіх витрат у формалізованому вигляді використовується як цільова функція в моделях керування запасами.
Розрахунок вартості зберігання. Вартість зберігання матеріальних ресурсів, яка здебільшого зростає прямо пропорційно до вартості матеріалів, що становлять запас, і терміну їх зберігання на відміну від інших витрат зумовлює необхідність скорочення запасів. Така необхідність є наслідком дії двох вартісних факторів:
витрат через зв’язування (омертвління) обігових коштів у запасах;
витрат, зумовлених фізичним зберіганням запасів.
Витрати першого типу, які мають певною мірою абстрактний характер і породжуються потенційно втраченою вигодою, що може бути отримана від обороту грошових засобів, ураховуються практично в усіх моделях керування запасами. Математично вони виражаються функцією, прямо пропорційною до середньої вартості запасу і терміну його існування. При випадковому попиті або випадкових поставках середній рівень запасу також є випадковою величиною. Тому в моделях оптимізації відповідні витрати через зв’язування обігових коштів подаються математичним сподіванням.
При розрахунках витрат другого типу необхідно враховувати шість складових витрат.
1. Плата за складське приміщення. Якщо підприємство змушене орендувати складські приміщення, то плата за них дорівнює відповідно ціні оренди. Плата за власні складські приміщення включає плату за основні фонди (вартість складу, помножена на відсоток нарахування), амортизаційні відрахування (вартість складу, поділена на строк служби), оплату комунальних послуг (опалення, освітлення, подача води тощо). Математично цей компонент витрат є прямо пропорційною функцією від величини запасу і часу його існування.
2. Витрати на облік та адміністративні витрати. Сюди включаються витрати на організацію складського обліку та конторські витрати, пов’язані з обслуговуванням споживачів. Ці витрати математично являють собою нелінійну (східчасту, розривну) функцію від числа номенклатур матеріалів і величини запасу (інтенсивності споживання). У першому наближенні для більшості задач керування запасами витрати на облік і адміністративні витрати можна вважати постійними величинами.
3. Витрати на складські операції. До цих витрат входить вартість робочої сили, що виконує розвантаження, навантаження і переміщення матеріалів, які утворюють запас; плата за складську техніку; витрати на інвентаризацію, періодичний огляд, прибирання приміщення; витрати на регламентні роботи, що виконуються на складах з метою зберігання матеріалів. Для практичних цілей відповідний компонент цільової функції можна вважати або сталою величиною (якщо сумарні поставки дорівнюють сумарному споживанню, а змінювання запасів у широкому діапазоні не впливає на величину витрат), або прямо пропорційною до величини запасу і часу його існування.
4. Витрати від псування матеріалів, що утворюють запаси. Збитки через псування продукції (наприклад, сільськогосподарської) зумовлені як зменшенням її кількості, так і зниженням її споживчих властивостей. Збитки, зумовлені природними причинами зменшення запасу (наприклад, випаровуванням), прямо пропорційні до величини запасу і часу його існування. Витрати через погіршення споживчих властивостей матеріальних цінностей визначаються або відсотком відбракування, або зниженням ціни одиниці продукції за одиницю часу. У будь-якому з цих випадків витрати являють собою лінійну функцію величини запасу і часу його існування.
5. Витрати через утворення надмірних запасів. При випадковому попиті або поставках, а також у результаті дії інших виробничих причин на складах можуть утворюватися запаси непотрібних матеріалів, так звані неліквіди. Витрати через це визначаються величиною збитку, який дорівнює початковій вартості даної кількості матеріалу за винятком суми, що її можна дістати від реалізації невикористаних цінностей. Математично цей компонент витрат виражається лінійною функцією від залишку запасу на кінець періоду планування.
6. Витрати через моральний знос. Збитки, зумовлені моральним зносом матеріалів, що утворюють запас, математично виражаються функцією, яка дорівнює величині залишку запасу на кінець періоду планування, помноженого на різницю між початковою ціною одиниці продукції та її значенням після зниження ціни.
Отже, витрати на зберігання як функція від величини запасу в загальному випадку мають три складові:
постійну величину;
величину, пропорційну до середньої величини запасу і часу його існування;
величину, пропорційну до залишку матеріалу, що утворює запас, на кінець періоду планування.
Першу складову немає потреби враховувати під час дослідження оптимальної стратегії керування запасами, а з двох інших до цільової функції доцільно включити домінуючу за абсолютним значенням витрат, якщо вони не еквівалентні.
Розрахунок вартості поставок. У функції витрат на організацію поповнення запасів необхідно враховувати лише ті затрати, які безпосередньо залежать від обраної стратегії керування запасами. У загальному випадку вартість поставки може включати постійний компонент; компонент, пропорційний до обсягу поставки; компонент, пропорційний до кількості замовлених номенклатур. Можливі випадки складнішої залежності вартості поставки від обсягу поставки та числа замовлених матеріалів нелінійної.
Під час розрахунку витрат на поставки слід брати до уваги таке:
конторські та поштові витрати;
транспортні витрати;
витрати виробництва;
витрати, пов’язані з варіацією закупівельних цін.
Конторські та поштові витрати. Конторські (виписування й оформлення нарядів) та поштові витрати не залежать від обсягу поставок і в однопродуктових моделях керування запасами вважаються сталими. У багатопродуктових моделях ці витрати утворюють складову витрат, пропорційну до числа замовлених номенклатур.
Транспортні витрати залежно від обраного способу доставки можуть бути сталими або можуть залежати від обсягу поставки. Перший випадок реалізується тоді, коли поставка пов’язана з організацією спеціального рейсу транспортного засобу (літака, автомобіля, залізничного контейнера), вантажопідйомність якого використовується не повністю. У вартість доставки включаються витрати, пов’язані з організацією цього рейсу.
Іноді постійна складова транспортних витрат може являти собою функцію цілого аргументу (наприклад, кількості вагонів, необхідних для реалізації поставки). При цьому сумарні витрати являють собою розривну функцію обсягу поставки.
В усіх інших випадках транспортні витрати пропорційні до обсягу поставки. Коефіцієнт пропорційності визначається діючими на даному типі транспорту тарифами.
Витрати виробництва, які включаються до вартості поставки, виникають тоді, коли виконання замовлень пов’язане з організацією виробничого циклу виготовлення партії замовленої продукції, що спричинюється до зупинки і переналагодження технологічних ліній. Зумовлені цією обставиною додаткові витрати (зарплата наладчиків, підготовка нової документації, збитки від простоювання обладнання за час переналагоджування і можливого спаду продуктивності, витрати на наймання та навчання робочої сили) не включаються до собівартості створюваної продукції, а оплачуються системою постачання, яка зробила замовлення. Розглянута стаття витрат не залежить від обсягу замовленої партії поставки, тобто є сталою величиною.
Витрати, пов’язані з варіацією закупівельних цін. Іноді ціна одиниці матеріалів, що замовлюються, залежить від обсягу поставки, оскільки таким чином організація-постачальник стимулює якомога більші за обсягом замовлення, встановлюючи диференційовано закупівельну ціну. У моделях керування запасами необхідно враховувати цей фактор, вважаючи його організаційним.
Визначення величини штрафу. Під дефіцитом розуміють ті потреби в матеріальних ресурсах, які не можуть бути задоволені в потрібний момент часу, тобто йдеться про відсутність у цей момент необхідних матеріалів, що означає порушення матеріального забезпечення виробництва. В умовах, коли спостерігається стохастичність потреб і поставок, поява дефіциту, як правило, не виключається. Цілковите виключення подібної ситуації означало б створення великих, економічно не обгрунтованих запасів.
Нестача необхідних матеріалів може мати різні наслідки. Для ліквідації дефіцитних ситуацій підприємство може вживати надзвичайні заходи. Як порушення безпосередньо процесів виробництва і збуту, так і вживання надзвичайних заходів пов’язані з додатковими витратами і збитками для підприємства. Усі вони називаються витратами дефіциту (вартістю штрафів).
У загальному випадку функція витрат на штрафи може мати складний аналітичний опис і включати такі компоненти: пропорційні до величини нестачі та часу її існування; пропорційні до значення нестачі на кінець періоду планування; постійні при ненульовій нестачі. У реальних системах постачання одна з перелічених складових витрат є відносною домінуючою, що дозволяє тільки її включити до цільової функції.
Обмеження, що застосовуються до запасів. У задачах керування запасами стикаємося з різного роду обмеженнями, які необхідно враховувати при складанні математичних або імітаційних моделей. Обмеження можуть бути на максимальний обсяг (масу чи вартість) величини поточного запасу, середню вартість запасу, число поставок у заданому проміжку часу, максимальний обсяг (масу чи вартість) окремої поставки тощо.
Стратегії (політики) керування запасами. Стратегією (політикою) керування запасами називають сукупність правил, за допомогою яких визначають моменти часу і обсяги замовлень на поповнення запасів. У моделях керування запасами стратегія керування обирається заздалегідь, і задача зводиться, таким чином, до пошуку параметрів цієї стратегії. Найбільшого поширення набули так звані найпростіші стратегії управління запасами: періодичні та з критичними рівнями.
Нехай 13 EMBED Equation.2 1415 запас ресурсу відповідно поточний, нижній (пороговий) і верхній (граничний); 13 EMBED Equation.2 1415 період планування; 13 EMBED Equation.2 1415 обсяг (партія) замовлення.
У періодичних стратегіях замовлення формуються в кожному періоді Т. До них належать:
стратегія постійного рівня 13 EMBED Equation.2 1415, згідно з якою через кожний проміжок часу 13 EMBED Equation.2 1415 запас поповнюється до граничного значення 13 EMBED Equation.2 1415; обсяг замовлення змінна величина
13 EMBED Equation.2 1415
стратегія фіксованої поставки 13 EMBED Equation.2 1415 згідно з якою через інтервал часу 13 EMBED Equation.2 1415 видається замовлення розміром 13 EMBED Equation.2 1415
У стратегіях з критичними рівнями постійно стежать за рівнем поточного запасу, і тільки-но він опускається нижче порогового рівня, видається замовлення на поповнення запасу. Це такі стратегії.
Стратегія фіксованого розміру замовлення 13 EMBED Equation.2 1415, сутність якої полягає у такому.
Якщо 13 EMBED Equation.2 1415 замовити 13 EMBED Equation.2 1415
якщо 13 EMBED Equation.2 1415 нічого не замовляти;
стратегія двох рівнів 13 EMBED Equation.2 1415:
Якщо 13 EMBED Equation.2 1415 замовити 13 EMBED Equation.2 1415
якщо 13 EMBED Equation.2 1415 нічого не замовляти.
Зауважимо, що вибір стратегії керування запасами, який є найвідповідальнішим моментом під час складання математичних або імітаційних моделей, має грунтуватися на ретельному аналізі системи постачання. Отже, розв’язок задачі керування запасами потрібно знаходити спочатку в просторі стратегій керування, а потім, згідно з обраною стратегією, у просторі її параметрів.
Для більш глибокого розуміння сутності задачі керування запасами і необхідності її розв’язання методом машинного моделювання потрібно розглянути дві найвідоміші постановки задач керування запасами, результати яких широко застосовуються на практиці.
А. Статична детермінована модель
Основні передумови
1. Розглядається процес керування однопродуктовим запасом на ізольованому складі; процес руху запасів нескінченний.
2. Попит неперервний і має сталу інтенсивність 13 EMBED Equation.2 1415.
3. Поповнення запасів миттєве.
4. Дефіцит не допускається, тобто витрати на штрафи (витрати через дефіцит) 13 EMBED Equation.2 1415 відсутні і вважаються такими, що дорівнюють нулю:
13 EMBED Equation.2 1415. (4.1)
5. Кожній поставці відповідають сталі витрати 13 EMBED Equation.2 1415,
13 EMBED Equation.2 1415, (4.2)
де 13 EMBED Equation.2 1415 витрати на поставку.
6. Вартість зберігання 13 EMBED Equation.2 1415 пропорційна до середнього рівня запасу і часу його існування, коефіцієнт пропорційності дорівнює 13 EMBED Equation.2 1415.
7. Обирається стратегія керування запасами 13 EMBED Equation.2 1415.
8. Треба знайти оптимальні параметри стратегії керування запасами 13 EMBED Equation.2 1415 і 13 EMBED Equation.2 1415, які мінімізують загальні витрати за одиницю часу.
Економіко-математична модель
Схему руху запасу матеріалу на складі зображено на рис. 4.1. Оскільки рух запасу циклічний, то для створення економіко-математичної моделі достатньо розглянути один цикл (трикутник на схемі).
13 EMBED Word.Picture.6 1415
Рис. 4.1. Схема руху запасу
Загальні витрати за період 13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415. (4.3)
Витрати на зберігання згідно з шостою передумовою наберуть вигляду
13 EMBED Equation.2 1415 (4.4)
Підставивши в (4.3) вирази (4.1), (4.2) і (4.4), дістанемо
13 EMBED Equation.2 1415.
Цільова функція витрати за одиницю часу
13 EMBED Equation.2 1415
або
13 EMBED Equation.2 1415. (4.5)
Згідно з другою передумовою
13 EMBED Equation.2 1415. (4.6)
Підставляючи (4.6) у (4.5), знаходимо цільову функцію, яку потрібно мінімізувати:
13 EMBED Equation.2 1415. (4.7)
Оскільки цільова функція (4.7) опукла і унімодальна, то її мінімум знаходиться стандартним методом:
13 EMBED Equation.2 1415.
Звідси
13 EMBED Equation.2 1415. (4.8)
Скориставшись формулою (4.6), знайдемо оптимальне значення граничного запасу
13 EMBED Equation.2 1415.
Оскільки в даних умовах граничний запас дорівнює партії поставки, то
13 EMBED Equation.2 1415. (4.8’)
Формулу (4.8) дістав Вільсон (1928 р.), а тому її названо на його честь. Іноді цю формулу називають формулою для визначення найбільш економічної партії поставок. Незважаючи на досить жорсткі та ідеальні умови її створення, формула Вільсона (або її модифікації) часто застосовується на практиці.
Б. Керування багатопродуктовими запасами
Основні передумови
1. Система постачання забезпечує попит на 13 EMBED Equation.2 1415 продуктів протягом одного року.
2. Для поповнювання запасів система має необхідні виробничі потужності. Витрати на підготовчо-заключні операції, які вважають витратами на поставку, пропорційні до числа поставок протягом року і вартості однієї поставки:
13 EMBED Equation.2 1415, (4.9)
де 13 EMBED Equation.2 1415 річна потреба в i-му продукті; 13 EMBED Equation.2 1415 витрати на підготовчо-заключні операції на виготовлення однієї партії поставки i-го продукту (не залежить від розміру партії поставки 13 EMBED Equation.2 1415).
3. Поставки миттєві.
4. Дефіцит виключається (13 EMBED Equation.2 1415).
5. Витрати на зберігання, зумовлені зв’язуванням оборотних фондів у запасах протягом року, пропорційні до середньої вартості запасу і часу його існування:
13 EMBED Equation.2 1415, (4.10)
де 13 EMBED Equation.2 1415 ціна за одиницю і-го продукту; 13 EMBED Equation.2 1415 кількість одиниць часу в одному році; 13 EMBED Equation.2 1415 коефіцієнт нарахування на зв’язані оборотні фонди, фізична розмірність якого 13 EMBED Equation.2 1415 = [час]-1.
Якщо за одиницю часу обрати рік (тобто в усіх величинах моделі фізичну розмірність часу подати відносно цієї одиниці), то формула (4.10) дещо спроститься:
13 EMBED Equation.2 1415. (4.11)
6. Заданий норматив 13 EMBED Equation.2 1415 оборотних фондів щодо величини запасу (середня вартість запасу має не перевищувати цієї величини), тобто
13 EMBED Equation.2 1415,
або
13 EMBED Equation.2 1415. (4.12)
7. Знайти значення 13 EMBED Equation.2 1415, які мінімізують річні витрати на організацію постачання 13 EMBED Equation.2 1415:
13 EMBED Equation.2 1415. (4.13)

Економіко-математична модель
Підставивши в (4.13) значення складових витрат згідно з виразами (4.9) і (4.11), дістанемо цільову функцію оптимізаційної задачі:
13 EMBED Equation.2 1415+ 13 EMBED Equation.2 1415. (4.14)
Обмеженнями задачі буде формалізована вимога щодо додержання нормативу на оборотні фонди (4.12), а також умова невід’ємності
13 EMBED Equation.2 1415. (4.15)
Економіко-математична модель цільова функція (4.14) разом з обмеженими (4.12) і (4.15) належить до задач цілочислового нелінійного сепарабельного програмування. Для її розв’язання найдоцільніше застосовувати метод множників Лагранжа.
Задача полягає в мінімізації функції (4.14) за невід’ємними змінними 13 EMBED Equation.2 1415 за умови виконання обмеження (4.12). Для її розв’язання скористаємося функцією Лагранжа
13 EMBED Equation.2 1415, (4.16)
де невизначений множник Лагранжа 13 EMBED Equation.2 1415задовольняє такі умови:
13 EMBED Equation.2 1415 = 0, якщо 13 EMBED Equation.2 1415, (4.17)
13 EMBED Equation.2 1415 < 0, якщо 13 EMBED Equation.2 1415. (4.18)
Для мінімізації загальних витрат достатньо продиференціювати функцію Лагранжа (3.16) за змінними 13 EMBED Equation.2 1415 і, прирівнявши похідну нулю, знайти оптимальні партії поставок:
13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415; (4.19)
13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415. (4.20)
Коли обмеження (4.12) не ефективне (виконується строга нерівність), то 13 EMBED Equation.2 1415 = 0 і умова щодо обмеженості оборотних засобів неістотна. Проте в разі ефективності обмеження (4.12) постає задача обчислення невизначеного множника Лагранжа (13 EMBED Equation.2 1415 < 0).
Алгоритм розв’язання задачі полягає у такому.
1. Підставимо значення 13 EMBED Equation.2 1415 = 0 у (4.20):
13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415. (4.21)
2. Величини партій поставок, обчислених згідно з (4.21), підставимо в нерівність
13 EMBED Equation.2 1415.
Якщо нерівність виконується, то здобутий у п. 1 результат є кінцевим, тобто
13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415.
Якщо нерівність не справджується, переходимо до п. 3.
3. Підставимо вираз (4.20) у рівність
13 EMBED Equation.2 1415.
Тоді
13 EMBED Equation.2 1415,
звідки
13 EMBED Equation.2 1415. (4.22)
4. Підставимо (4.22) у (4.20) і знайдемо розв’язок задачі 13 EMBED Equation.2 1415.
Імітаційна модель керування запасами має такі основні передумови:
1. Моделюється однопродуктова система керування запасами. Кількість продукту, яка вивозиться щоденно зі складу, визначається поточним попитом. Використовується стратегія фіксованого розміру замовлення (h, q): коли рівень поточного запасу y падає нижче від заданої позначки h, керівництво складу замовляє поставку товару в кількості q. Після закінчення терміну виконання замовлення ця продукція надходить на склад і доповнює запас, що вже є там у даний момент. Система постачання функціонує 13 EMBED Equation.2 1415днів.
2. Щодня виникає попит на предмет зберігання, причому дорівнює цей попит величині 13 EMBED Equation.2 1415 випадковій величині з відомим законом розподілу ймовірностей.
3. Встановлюється такий порядок виконання операцій на складі протягом кожного дня:
1) визначаються обсяги замовлень на поповнення запасу, які будуть реалізовані протягом поточного дня;
2) товар поставляється споживачеві, тобто задовольняється попит;
3) оцінюється запас, що залишився, і в разі потреби (якщо поточний запас досягає порогового рівня) оформляється замовлення на поповнення запасу.
4. Затримка поставки 13 EMBED Equation.2 1415 (кількість днів між моментами часу подачі замовлення на поставку та її надходженням) тлумачиться як випадкова величина з відомим законом розподілу ймовірностей.
5. Незадоволені замовлення споживачів товару анулюються, тобто переносити дефіцит на наступний день не дозволяється.
6. Заявка на поповнення запасу приймається до виконання лише в тому разі, коли подана раніше заявка реалізована, тобто в кожний момент часу на стадії реалізації не може перебувати більш як одна заявка.
7. За цільову функцію для вибору оптимальних значень змінних керування беруть сумарні витрати (вартість зберігання і поставки, штраф) за період 13 EMBED Equation.2 1415.
13 EMBED Equation.2 1415.
Оскільки щоденний попит і затримка поставок випадкові величини, то й сума витрат системи постачання 13 EMBED Equation.2 1415 також є випадковою величиною, закон розподілу ймовірностей якої в загальному випадку невідомий. Тому цільова функція являє собою математичне сподівання витрат M [13 EMBED Equation.2 1415].
8. Математичне сподівання витрат при фіксованих значеннях змінних керування 13 EMBED Equation.2 1415 оцінюється з допомогою вибіркового середнього
13 EMBED Equation.2 1415,
де N число циклів прогонів (дублювань) імітаційної моделі при фіксованих значеннях змінних керування 13 EMBED Equation.2 1415 і незмінних факторах моделі (у разі машинної реалізації імітаційної моделі беруть 1000 циклів прогонів); 13 EMBED Equation.2 1415 значення сумарних витрат у j-му прогоні.
9. Вартість поставки стала величина, що не залежить від обсягу поставки і дорівнює 13 EMBED Equation.2 1415:
13 EMBED Equation.2 1415.
10. Вартість зберігання пропорційна до величини залишку продукту на кінець дня, коефіцієнт пропорційності дорівнює 13 EMBED Equation.2 1415.
11. Витрати на штрафи пропорційні до залишкової величини дефіциту на кінець дня, коефіцієнт пропорційності дорівнює 13 EMBED Equation.2 1415.
12. Ендогенна змінна системи (відгук): 13 EMBED Equation.2 1415 сумарні витрати.
13. Змінні, що визначають стан системи в довільний момент часу:
13 EMBED Equation.2 1415 витрати на зберігання;
13 EMBED Equation.2 1415 вартість поставки;
13 EMBED Equation.2 1415 витрати на штрафи;
13 EMBED Equation.2 1415 поточний (системний, модельний) час;
13 EMBED Equation.2 1415 момент часу (день), коли реалізується поставка;
13 EMBED Equation.2 1415 поточне значення запасу (у разі дефіциту від’ємне);
13 EMBED Equation.2 1415 індекс циклів роботи імітаційної моделі.
14. Змінні керування:
13 EMBED Equation.2 1415 обсяг (партія) замовленої поставки;
13 EMBED Equation.2 1415 нижній (пороговий) рівень запасу.
15. Некеровані параметри:
13 EMBED Equation.2 1415 витрати на зберігання одиниці продукції на кінець дня;
13 EMBED Equation.2 1415 витрати через дефіцит, пов’язані з нестачею одиниці продукції;
13 EMBED Equation.2 1415 витрати на організацію однієї поставки;
13 EMBED Equation.2 1415 початковий рівень запасу;
13 EMBED Equation.2 1415 тривалість (кількість днів) функціонування системи постачання.
16. Екзогенні (вхідні) змінні:
13 EMBED Equation.2 1415 щоденний попит на продукт;
13 EMBED Equation.2 1415 час затримки поставки.
17. Характеристики функціонування системи:
13 EMBED Equation.2 1415 функція розподілу ймовірності попиту;
13 EMBED Equation.2 1415 функція розподілу ймовірності затримки поставки.
18. За допомогою методу імітаційного моделювання потрібно знайти оптимальні значення 13 EMBED Equation.2 1415 і 13 EMBED Equation.2 1415, при яких сумарні витрати на організацію постачання протягом 13 EMBED Equation.2 1415днів будуть мінімальні. Для експериментального пошуку оптимального розв’язку задачі застосовується метод Бокса–Уїлсона.
Логічна структурна схема імітаційної моделі задачі пошуку оптимальної стратегії керування запасами складається з двох контурів  зовнішнього і внутрішнього. Зовнішній контур реалізує схему проведення експериментів за методом Бокса–Уїлсона (див. Тему 12), тобто на цьому рівні визначаються точки факторного простору, в яких відбувається імітаційний експеримент для визначення цільової функції сумарних витрат на постачання.
На вхід до внутрішнього контура надходить пара чисел (вектор) 13 EMBED Equation.2 1415, визначених згідно з процедурою руху в напрямі антиградієнта або в околі базової точки факторного простору. Після проведення машинного експерименту в точці 13 EMBED Equation.2 1415 і статистичної обробки результатів моделювання дістаємо значення цільової функції 13 EMBED Equation.2 1415, яке відсилається на зовнішній контур моделі для прийняття рішення щодо подальшого проведення експерименту.
На вхід до внутрішнього контура надходить пара чисел (вектор) 13 EMBED Equation.2 1415, визначених згідно з процедурою руху в напрямі антиградієнта або в околі базової точки факторного простору. Після проведення машинного експерименту в точці 13 EMBED Equation.2 1415 і статистичної обробки результатів моделювання дістаємо значення цільової функції 13 EMBED Equation.2 1415, яке відсилається на зовнішній контур моделі для прийняття рішення щодо подальшого проведення експериментів.
Логічну структурну схему (блок-схему) внутрішнього контура імітаційної моделі, що реалізує 13 EMBED Equation.2 1415 повторів спроби при фіксованих значеннях параметрів системи і змінних керування 13 EMBED Equation.2 1415, зображено на рис. 4.2.
Початком роботи імітаційної моделі (внутрішнього контура) є введення до ЕОМ конкретних числових значень некерованих параметрів 13 EMBED Equation.2 1415, керуючих змінних 13 EMBED Equation.2 1415, а також числа циклів 13 EMBED Equation.2 1415. Далі в комірки пам’яті машини, які призначені для записування змінних стану системи 13 EMBED Equation.2 1415 засилаються нулі. Оператори 2, 13 і 14 організують зовнішній цикл роботи алгоритму, що забезпечує 13 EMBED Equation.2 1415-кратний прогін спроби за однакових умов. Початкове значення поточного запасу (оператор 4) дорівнює величині 13 EMBED Equation.2 1415.
Оператори моделі 5 і 6 призначені для організації еволюційного процесу (тут використовується однорідне градуювання часу, крок руху по часовій осі дорівнює одному дню).
Якщо поточне значення системного часу 13 EMBED Equation.2 1415 перевищує заданий термін планування 13 EMBED Equation.2 1415 то блок 12 обчислює сумарні витрати системи постачання 13 EMBED Equation.2 1415 за даний j-й прогін моделі 13 EMBED Equation.2 1415. Потім здобуті значення 13 EMBED Equation.2 1415 обробляються у блоці 23: відшукуються середнє арифметичне значення 13 EMBED Equation.2 1415, яке беруть за статистичну оцінку математичного сподівання витрат, та вибіркова дисперсія 13 EMBED Equation.2 1415, за допомогою якої визначаються надійний інтервал оцінки 13 EMBED Equation.2 1415 і необхідна кількість дублювань спроби 13 EMBED Equation.2 1415:
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Word.Picture.6 1415
Рис. 4.2. Блок-схема імітаційної моделі керування запасами
Оператор 7 перевіряє, чи надходить у поточний момент часу замовлена раніше поставка. Якщо поставка надходить, то поточний рівень запасу збільшується на партію поставки 13 EMBED Equation.2 1415. Попит 13 EMBED Equation.2 1415 і затримка поставки 13 EMBED Equation.2 1415 генеруються з допомогою методу Монте-Карло згідно із заданими розподілами 13 EMBED Equation.2 1415 (оператор 9) і 13 EMBED Equation.2 1415 (оператор 16).
Оператор 10 реалізує поставку товару споживачам, тобто задовольняється попит. При цьому, якщо попит задовольняється повністю (оператор 19, позиція «Ні»), то оператор 22 обчислює вартість зберігання. У противному разі обчислюється величина штрафу (оператор 20) і виключається можливість перенести дефіцит на наступний день (оператор 21).
Логічні оператори 11 і 15 імітують організацію замовлення на поставку, яка здійснюється за умови, що поточний рівень запасу досягає рівня 13 EMBED Equation.2 1415 і момент часу реалізації попередньої заявки на поставку не перевищує системного часу. Якщо замовлення на поставку сформоване, то оператор 17 імітує час надходження чергової поставки, а оператор 18 враховує пов’язані з цим витрати.
Результати реалізації описаної імітаційної моделі керування запасами на ЕОМ унаочнює рис. 4.3. Поверхню відгуку зображено лініями однакового рівня 13 EMBED Equation.2 1415= 11, 13, 15, .... Для їх побудови з метою проілюструвати специфіку застосування методики планування експериментів виконувалися спеціальні імітаційні спроби в точках факторного простору з кроком руху по координаті 13 EMBED Equation.2 1415 10 кг, по 13 EMBED Equation.2 1415 5 кг.
13 EMBED CorelDraw.Graphic.7 1415
Рис. 4.3. Зображення функції відгуку лініями однакового рівня
Зауважимо, що функція відгуку багатоекстремальна (див. рис. 4.3). Для безпосереднього пошуку оптимальних значень 13 EMBED Equation.2 1415 і 13 EMBED Equation.2 1415 методом Бокса–Уїлсона відбувався рух по антиградієнту.
Точка 13 EMBED Equation.2 1415 з координатами 13 EMBED Equation.2 1415 = 50, 13 EMBED Equation.2 1415 була обрана як початкова точка імітаційного експерименту. За 5 кроків (відповідні точки зображені на прямій 13 EMBED Equation.2 1415) досягнуто точки локального мінімуму функції відгуку: 13 EMBED Equation.2 1415= 20, 13 EMBED Equation.2 1415= 18, 13 EMBED Equation.2 1415= 10,5.
Література до теми
Під час самостійного опрацювання цієї теми слід користуватися як основними, так і допоміжними літературними джерелами, а також програмними засобами відповідного призначення, зокрема пакетом GPPS/PC.
Основна
1. Ситник В. Ф., Орленко Н. С. Імітаційне моделювання: Навч. посібник. К.: КНЕУ, 1998. С. 109139.
2. Сытник В. Ф. Основы машинной имитации производственних и организационно-экономических систем. К.: УМК ВО, 1988. ( С. 169178.
Допоміжна
3. Сытник В. Ф., Карагодова Е. А. Математические модели в планировании и управлении предприятиями. К: Вища шк., 1985. С. 170207.
4. Сытник В. Ф, Пинчук Н. С., Волк Б. Г. Автоматизация расчетов по материально-техническому обеспечению производства. К: Техніка, 1990. С. 120133.
4.2. практичне заняття
Мета заняття. Перевірити розуміння сутності оптимального керування запасами, розглянути статистичні детерміновані моделі й набути навички практичних розрахунків, пов’язаних з визначенням оптимальних параметрів стратегії керування запасами, вивчити імітаційну модель керування запасами і навчитися аналізувати результати машинних експериментів.
План
Сутність оптимального керування запасами.
Статична детермінована економіко-математична модель керування запасами.
Керування багатопродуктовими запасами.
Концептуальна імітаційна модель керування запасами.
Блок-схема імітаційної моделі керування запасами.
Аналіз результатів машинної реалізації імітаційної моделі.
4.3. Термінологічний словник
Економіко-математична модель математичний опис економічного об’єкта або процесу, який здійснюється з метою їх дослідження і управління ними.
Математичне програмування розділ прикладної математики, що займається вивченням задач пошуку екстремуму функцій на якійсь множині й розробкою методів розв’язання цих задач. Під загальною задачею математичного програмування розуміють задачу пошуку екстремуму (максимуму чи мінімуму) функції 13 EMBED Equation.3 1415 за умов 13 EMBED Equation.3 1415 де 13 EMBED Equation.3 1415 якась множина в просторі векторів 13 EMBED Equation.3 1415. Функція 13 EMBED Equation.3 1415 називається цільовою, а множина 13 EMBED Equation.3 1415 допустимою множиною.
Цілочислове програмування розділ математичного програмування, що вивчає задачі, у яких на значення всіх або частини змінних величин накладено вимогу цілочисловості. Задача цілочислового програмування називається повністю цілочисловою, якщо вимогу цілочисловості накладено на всі змінні, і частково цілочисловою, якщо обмеження цілочисловості стосується лише частини змінних.
Нелінійне програмування розділ математичного програмування, у якому вивчаються методи розв’язання й характер екстремуму в задачах оптимізації з нелінійною цільовою функцією або множиною, яка визначається нелінійними обмеженнями.
Сепарабельне програмування сукупність методів розв’язання нелінійних екстремальних (оптимізаційних) задач з сепарабельною цільовою функцією, тобто такою функцією кількох змінних (аргументів), що дозволяє розподіляти вплив аргументів на загальний результат. Приклад сепарабельної функції 13 EMBED Equation.3 1415.
4.4. Навчальні завдання
Вправа 1. Користуючись формулою Вільсона, обчисліть розмір оптимальної партії поставок, а також оптимальне значення граничного запасу та періоду між поставками у задачі керування запасами в однопродуктовій моделі, якщо попит на продукт становить 40 кг на годину, витрати на поставку 56 грн, витрати на зберігання пропорційні до середнього рівня запасу і часу його існування, коефіцієнт пропорційності становить 0,25. Зобразіть графічно рух запасу за цих умов.
Вправа 2. Нехай система постачання має справу з трьома видами продукції, характеристики яких наведено у таблиці. Коефіцієнт нарахування на зв’язані оборотні кошти становить 13 EMBED Equation.3 1415, норматив оборотних фондів 13 EMBED Equation.3 1415грн. Обчисліть оптимальні партії поставок без урахування і з урахуванням обмеження на норматив оборотних коштів, результати запишіть у відповідні клітини таблиці. Обчисліть оптимальні витрати для цих двох умов і знайдіть, наскільки зростають оптимальні витрати при наявності обмежень на оборотні кошти.

Характеристика
продукту
Номер продукту


1
2
3

Річна потреба в продукті, кг
12000
25000
6000

Ціна за одиницю продукту, грн
3,0
2,0
6,0

Витрати на підготовчо-заключні операції, грн
20
20
20

Оптимальні партії поставок без обмежень, кг




Оптимальні партії поставок з обмеженнями, кг




Вправа 3. У магазині щоденна потреба у продукції нормально розподілена випадкова величина, яка має математичне сподівання 10 одиниць і дисперсію 4 одиниці виміру товару. Як тільки запас магазину падає до або нижче заздалегідь визначеної величини, яку називають точкою відновлення, постачальнику надсилають замовлення на поповнення запасу. Величина поповнення, що має назву «кількість відновлення», дорівнює 100 одиницям. Поповнення надходить до магазину між шостим та десятим днем після подання замовлення. Час між поданням замовлення та прибуттям поставки до магазину випадкова величина, розподіл якої має вигляд
День надходження
6
7
8
9
10

Відносна частота
0,05
0,25
0,30
0,22
0,18

Необхідно побудувати імітаційну модель цієї задачі та реалізувати її засобами GPSS/PS для встановлення точки замовлення.
Оцініть характеристики функціонування цієї системи постачання.
Вправа 4. На підприємстві використовуються комплектуючі двох типів, які надходять партіями по 3000 одиниць першого та 5000 одиниць другого типу на склад. Час надходження комплектуючих має рівномірний розподіл: для комплектуючих першого типу в інтервалі від 4 до 8 днів, другого від 6 до 10. Комплектуючі використовуються при складанні виробів, які одночасно складаються на чотирьох дільницях складального цеху і потребують для одного виробу 2 комплектуючих першого типу і 4 другого. Час складання виробу 10 хв. На підприємстві для забезпечення ритмічності виробництва раз в квартал створюють страхові запаси.
Необхідно побудувати імітаційну модель цієї задачі та реалізувати її засобами GPSS/PS для визначення обсягу страхового запасу.
4.5. Завдання для перевірки знань
Для самостійної перевірки знань потрібно сформулювати розширені відповіді на поставлені питання і перевірити їх повноту та правильність за допомогою матеріалів пропонованих літературних джерел.
З’ясуйте, чому на підприємствах виникає потреба створювати запаси матеріально-технічних ресурсів і які фактори впливають на зменшення та збільшення запасу.
Чому при оптимальному керуванні запасами обирається критерій мінімізації витрат, а не прибуток підприємства? Зробіть аналіз вартісних функцій витрат.
Перерахуйте некеровані параметри задачі керування запасами, дайте їх розширені характеристики та наведіть відомі вам приклади.
Що таке стратегія (політика) керування запасами і як вона обирається в реальних системах постачання? Проаналізуйте з точки зору переваг і недоліків періодичні стратегії та стратегії з критичними рівнями. Яким чином визначаються параметри обраної стратегії? Що таке економіко-математична модель оптимального керування запасами?
Сформулюйте основні передумови та економіко-математичну модель керування запасами. Поясніть, чому формула для визначення найбільш економічної партії поставок (формула Вільсона), незважаючи на ідеалізовані передумови при її отриманні, досить широко застосовується на практиці. Які відомі вам праці, зокрема з фінансового менеджменту, де відображена ця формула?
Сформулюйте економіко-математичну модель керування багатопродуктовими запасами при детермінованому попиті й миттєвих поставках. Поясніть, чому введення обмежень на норматив оборотних коштів призводить до зростання витрат на постачання.
Поясніть сутність методу множників Лагранжа і наведіть приклад його застосування під час визначення оптимальних розмірів поставок в багатопродуктовій економіко-математичній моделі керування запасами. Складіть алгоритм для цього методу і включіть у нього модуль для аналізу оптимальних витрат на постачання без обмежень і при наявності обмежень на норматив оборотних коштів.
Побудуйте концептуальну імітаційну модель керування запасами, складіть блок-схему алгоритму та вручну зробіть три реалізації цієї імітаційної моделі, користуючись таблицею випадкових цифр.
Вивчіть за допомогою посібника [1] імітаційну модель керування запасами з періодичною перевіркою рівня і реалізуйте її засобами GPSS/PC.
Вивчіть за допомогою посібника [1] імітаційну модель керування запасами з точкою замовлення і реалізуйте її засобами GPSS/PC.

Тема 5. Поняття про метод Монте-Карло
5.1 Методичні поради до вивчення теми
Зміст теми. У темі наводиться історична довідка виникнення та застосування методу Монте-Карло в інформаційних системах різного типу. Розглядається питання про випадки, коли під час застосування методу Монте-Карло доцільно використовувати емпіричні дані, а коли апроксимуючі теоретичні розподіли. Наводяться приклади застосування методу Монте-Карло для розв’язання детермінованих задач, зокрема задачі обчислення визначеного інтеграла. Проводиться аналіз точності оцінки ймовірності за допомогою відносної частоти отриманої методом Монте-Карло. Описуються властивості рівномірної випадкової послідовності чисел РВП [0,1]. Подається принципова схема генерування РВП [0,1] на ЕОМ. Дається визначення та описуються властивості квазірівномірних чисел. Подається принципова схема генерування РВП [0,1] на ЕОМ.
Пояснення до теми. Метод Монте-Карло можна визначити як метод моделювання випадкових величин з метою обчислення характеристик їх розподілу. Як правило, передбачається, що моделювання здійснюється за допомогою електронних обчислювальних машин, хоча у деяких випадках можна досягти успіху, використовуючи пристосування типу рулетка, олівці та папір. У посібнику [1] наводяться приклади двох експериментів без застосування ЕОМ: задача Бюффона та задача обчислення визначеного інтеграла.
Слід зазначити, що більшість виробничих і соціальних процесів значною мірою відбуваються під впливом випадкових факторів, які не підлягають контролю з боку осіб, відповідальних за прийняття і реалізацію рішень у контексті забезпечення оптимального функціонування систем. Проте з позицій системного аналізу врахування невизначеностей обов’язковим елементом є процедури вироблення планово-управлінських рішень. Тому задача полягає в тому, щоб якомога повніше врахувати вплив неконтрольованих випадкових факторів і зробити в таких умовах аргументований висновок щодо можливих напрямів розвитку системи та оптимальної стратегії управління нею. Такі задачі розв’язують за допомогою методу Монте-Карло (методу статистичних досліджень).
Під час розробки імітаційних моделей завжди постає питання опису моделі з допомогою відповідних характеристик (ймовірність, щільність розподілу ймовірностей тощо), тобто тих характеристик, що вивчаються на базі емпіричних даних, дібраних або при систематизації наявних звітних матеріалів, або в результаті обробки спеціально поставлених експериментів. Тому, розробляючи імітаційну модель, яка містить стохастичні елементи, завжди стикаються з проблемою: чи доцільно в методі Монте-Карло застосовувати безпосередньо емпіричні дані? Можливо, є рація скористатися одним з апроксимуючих теоретичних розподілів.
Питання про використання емпіричних або теоретичних розподілів дуже важливе, і ось чому.
1. Коли використовують «сирі» емпіричні дані, мають на увазі, що моделюється лише минуле. Дані, одержані раніше, строго кажучи, відбивають лише колишню поведінку системи; можливими подіями виявляються тільки ті, які вже відбувалися. Звідси випливає необхідність припустити, що основна форма розподілу ймовірностей залишиться з часом без змін і що особливості цього розподілу, які стосуються певного періоду часу, будуть повторюватися.
2. Завдяки застосуванню теоретичного розподілу здебільшого вдається зменшити витрати машинного часу і потрібної пам’яті ЕОМ.
3. У разі використання теоретичного розподілу легше змінювати параметри генератора випадкових чисел, коли потрібно перевірити чутливість моделі або «програти» на ній різні можливі ситуації.
Якщо з допомогою аналізу емпіричного розподілу вдається дібрати відомий теоретичний розподіл, який узгоджується на статистично прийнятному рівні надійності з експериментальними даними, то ним слід скористатися для імітації випадкових факторів.
Метод Монте-Карло застосовується в багатьох галузях науки і техніки. За допомогою процедур Монте-Карло розроблено численні методи для обчислення кратних інтегралів, розв’язування інтегральних і диференціальних рівнянь. У задачах оптимізації процедура Монте-Карло використовується для генерування випадкових точок з області визначення цільової функції та установлення випадкових напрямів руху до екстремуму в пошукових методах.
Метод Монте-Карло часто застосовується в експериментальних дослідженнях. При постановці натурних експериментів випадковим способом вибираються поточні точки факторного простору в умовах нестандартного проходження досліджуваних процесів. У машинних експериментальних дослідженнях, які виконуються на імітаційних моделях, метод Монте-Карло дає змогу імітувати випадкові явища, що відбуваються в реальних модельованих системах.
Ідею застосування методу Монте-Карло, зокрема для розв’язання цілком детермінованих задач, легко зрозуміти на прикладі обчислення визначеного інтеграла. Нехай потрібно обчислити інтеграл від деякої функції на заданому відрізку змінювання аргументу. Після нескладних перетворень початкову задачу можна звести до задачі обчислення інтеграла
13EMBED Equation.21415 (5.1)
де 0 ( f (x) ( 1 при 0 ( x ( 1.
Схему, що ілюструє обчислення визначеного інтеграла методом Монте-Карло, зображено на рис. 5.1.

13 EMBED CorelDraw.Graphic.7 1415
Рис. 5.1. Схема до обчислення визначеного інтеграла
Визначимо площу I фігури, обмеженої кривою y = f (x), віссю x і прямими х = 0, х = 1 (див. рис. 5.1, заштрихована частина).
Уявімо тепер симетричну дзигу у вигляді десятигранника, кожну з граней якого позначено однією з цифр 0, 1, 2,..., 9. Пустимо дзигу. Після її падіння на верхній грані з однаковою ймовірністю можна очікувати будь-яку з десяти згаданих цифр.
Розглянемо два десяткові k-розрядні числа 13EMBED Equation.21415 і 13EMBED Equation.21415, значення яких містяться між нулем та одиницею і утворюються таким чином. Пускаючи k раз дзигу, вважатимемо здобуту послідовність цифр десятковими розрядами числа 13EMBED Equation.21415. Повторивши експеримент, дістанемо число 13EMBED Equation.21415. Наприклад, якщо k = 5 і на верхній грані дзиги випали відповідно цифри 0, 3, 7, 0, 5, то шукане число дорівнює 0,03705. Точку з координатами 13EMBED Equation.21415 називатимемо випадковою точкою, а спосіб її утворення киданням.
Очевидно, що ймовірність попадання випадкової точки в заштриховану область дорівнює відношенню площі цієї фігури, тобто значення інтеграла I, до площі квадрата, яка дорівнює одиниці. Отже, ймовірність попадання випадкової точки в заштриховану область дорівнює значенню шуканого інтеграла. Тому задача обчислення інтеграла зводиться до задачі пошуку ймовірності. Останню оцінимо статистичними методами з допомогою відносної частоти.
Кидаємо n випадкових точок на площину квадрата. Нехай виконується умова
13EMBED Equation.21415 (5.2)
Тоді точка 13EMBED Equation.21415 належить заштрихованій області. Припустимо тепер, що m число точок, для яких виконується умова (5.2). Відносна частота попадання точки в заштриховану область дорівнює 13EMBED Equation.21415. Згідно з теоремою Бернуллі
13EMBED Equation.21415
Отже, 13EMBED Equation.21415 є наближеним значенням шуканого інтеграла.
Зауважимо, що метод Монте-Карло для обчислення інтеграла доцільно застосовувати для багатовимірних задач, оскільки число необхідних повторень n при заданій точності не залежить від кратності інтеграла.
Знайдемо точність методу, коли ймовірність оцінюється з допомогою відносної частоти. З такими задачами часто стикаються при імітаційному моделюванні.
Нехай моделюються появи випадкової події A, імовірність якої дорівнює p.
Візьмемо 13EMBED Equation.21415 якщо при i-й спробі настала подія A, і 13EMBED Equation.21415 коли подія A не настала. Отже, загальна кількість спроб, в яких настала подія A, подається так:
13EMBED Equation.21415 (5.3)
де n загальне число спроб.
Оскільки розглядається схема незалежних випробувань, то відносна частота 13EMBED Equation.21415 появи події A є випадкова величина, яка при досить великому n має розподіл, близький до нормального.
Для нормально розподіленої випадкової величини виконується правило «трьох сигм»:
13 EMBED Equation.3 1415. (5.4)
Тому для практичних розрахунків праву частину цієї рівності вважають такою, що дорівнює одиниці, а дослідні дані, які не задовольняють зазначену умову, відкидаються як такі, що не мають імовірнісного характеру.
Для випадку, що розглядається, 13EMBED Equation.21415 Знайдемо математичне сподівання даної величини 13EMBED Equation.21415 та середнє квадратичне ( :
13EMBED Equation.21415
13EMBED Equation.21415
13EMBED Equation.21415
Згідно з (5.4) маємо
13 EMBED Equation.3 1415. (5.5)
Позначивши символом ( помилку визначення p, тобто 13EMBED Equation.21415 дістанемо 13EMBED Equation.21415, або
13EMBED Equation.21415 (5.6)
Звідси
13EMBED Equation.21415 (5.7)
Зауваження 1. Формула (5.7) дає завищені результати. Наприклад, при p = 0,5 і ( = 0,01 необхідна кількість повторень експериментів для пошуку значення ймовірностей оцінюється нерівністю n ( 22500. Автор експериментально визначив необхідне число спроб на імітаційній моделі виробничого процесу машинобудівного заводу. Залежність імовірності простою цеху від величини страхового запасу деталей при різних значеннях числа спроб (10, 1000) наведено на рис. 5.2. Очевидно, що однієї тисячі спроб достатньо для здобуття достовірного результату.
13 EMBED CorelDraw.Graphic.7 1415
Рис. 5.2. Залежність імовірності d простоювання складального цеху від розміру страхового запасу ZcH при різних значеннях числа дублювань спроб N
Зауваження 2. Проблема визначення тривалості імітаційного експерименту, котра в більшості випадків зводиться до визначення числа необхідних спроб (дублювань експерименту), в літературі інколи має назву «правило зупинки». У загальному випадку встановлення оптимального правила зупинки є досить складною задачою. Зокрема, для визначення числа необхідних спроб можна використовувати інтервальну оцінку невідомої ймовірнісної характеристики розподілу.
Наведений приклад обчислення інтеграла методом Монте-Карло показав, що для розв’язання цієї задачі на ЕОМ потрібний механізм генерування рівномірно розподілених випадкових чисел, значення яких належать відрізку [0, 1]. Такі числа надзвичайно важливі для методу Монте-Карло. Вони дають змогу імітувати на машині ситуації зі складною стохастичною природою. Опишемо властивості цих чисел.
Нагадаємо, що випадкова величина Х має рівномірний розподіл на відрізку [a, b], коли її щільність розподілу ймовірностей має вигляд
13EMBED Equation.21415
Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини
13 EMBED Equation.2 1415
13EMBED Equation.21415
Якщо випадкова величина розподілена на відрізку [0, 1], то
13EMBED Equation.21415 (5.8)
13 EMBED Equation.2 1415
13EMBED Equation.21415
Рівномірно розподілену на відрізку [0, 1] випадкову величину позначимо (. Для неї характерна унікальна (притаманна лише даному розподілу) властивість: імовірність того, що значення цієї випадкової величини потраплять на деякий інтервал з межами 0 ( ( ( ( ( 1, дорівнює довжині цього інтервалу:
13EMBED Equation.21415 (5.9)
Ця властивість часто використовується в методі Монте-Карло як необхідна і достатня умова того, що деяка випадкова величина має розподіл (5.8).
Принципова можливість генерувати послідовні реалізації випадкової величини ( випливає з такого перетворення:
13EMBED Equation.21415 (5.10)
де 13EMBED Equation.21415 реалізація випадкової величини Z, що набуває лише двох значень 0 і 1 з однаковою ймовірністю 0,5.
Можна показати, що отримувана з допомогою перетворення (5.10) випадкова величина ( має властивість (5.9). Наприклад,
13EMBED Equation.21415
Випадкову величину Z можна реалізувати, наприклад, підкиданням монети, коли вважати, що при випаданні «герба» випадкова величина набуває значення 1, а в противному разі значення 0.
Випадкова величина (, рівномірно розподілена на відрізку [0, 1], може мати нескінченну кількість реалізацій. Проте при машинному використанні методу Монте-Карло на ЕОМ можна утворити лише 13EMBED Equation.21415 випадкових чисел, що не збігаються одне з одним (k кількість двійкових розрядів машинної пам’яті). Тому рівномірна випадкова послідовність чисел (скорочено РВП [0, 1]), використана при машинних розрахунках, фактично є реалізацією дискретної випадкової величини, розподіл якої називається квазірівномірним (від лат. quasi майже, ніби, неначе).
Від сукупності чисел 0, 1, 2, ..., 13EMBED Equation.21415–1, які можна подати з допомогою двійкових розрядів, легко перейти до можливих значень дискретної випадкової величини (, що має квазірівномірний розподіл на інтервалі [0, 1]:
13EMBED Equation.21415 (i = 0, 1, 2,..., 13EMBED Equation.21415–1).
В останньому виразі знаменник має вигляд 13EMBED Equation.21415– 1, а не 13EMBED Equation.21415 для того, щоб до сукупності 13EMBED Equation.21415 величин 13EMBED Equation.21415 можна було включати як 0, так і 1, а інтервали між ними на числовій осі були однакові. Крім того, математичне сподівання величини 13EMBED Equation.21415 дорівнює 0,5, а при діленні на 13EMBED Equation.21415 оцінка математичного сподівання була б зсуненою 13EMBED Equation.21415
Імовірності, що відповідають можливим значенням 13EMBED Equation.21415, мають вигляд
13EMBED Equation.21415
Визначимо математичне сподівання і дисперсію дискретної квазірівномірної випадкової величини ( :
13EMBED Equation.21415
13EMBED Equation.21415
У перетвореннях було використано відомі формули:
13EMBED Equation.21415
13EMBED Equation.21415
Отже, математичне сподівання квазірівномірної випадкової величини збігається з математичним сподіванням РСП [0, 1], а дисперсія відрізняється лише множником 13EMBED Equation.21415 який для великих k дуже близький до 1. Наприклад, для k = 10 13EMBED Equation.21415 Тому для k > 10 відмінність між дисперсіями рівномірної і квазірівномірної випадкових величин стає неістотною, а це дає підставу в імітаційному моделюванні використовувати програмно створені випадкові числа.

Література до теми

Основна
1. Ситник В. Ф., Орленко Н. С. Імітаційне моделювання: Навч. посібник. К.: КНЕУ, 1998. С. 3846.
2. Сытник В. Ф. Основы машинной имитации производственних и организационно-экономических систем. К.: УМК ВО, 1988. ( С. 3747.

Допоміжна
3. Клейн Дж. Статистические метод( в имитационном моделировании. М.: Статистика, 1978. Т.1. С. 1722.
4. Нейлор Т. Машинн(е имитационн(е (ксперимент( с моделями (кономических систем. М.: Мир, 1975. С. 285290.
5. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем искусство и наука. М.: Мир, 1978. С. 8791.
6. Харин Ю. С., Малюгин В. И., Кирлица В. П. и др. Основы имитационного и статистического моделирования: Учеб. пособие. ( Минск.: Дизайн ПРО, 1997. ( С. 101121.
7. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1975. С. 737.
8. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982. С. 7491.

Програмне забезпечення
Для виконання лабораторних робіт з теми рекомендується використання такого програмного забезпечення: Borland C++ або Borland Pascal 7.0.
5.2. Практичне заняття
Мета заняття: Розглянути теоретичні питання теми. Перевірити розуміння сутності генерування випадкових чисел на ЕОМ. Набути навичок обчислення визначених інтегралів за допомогою методу Монте-Карло. Навчитися оцінювати достовірність даних, отриманих за допомогою методу Монте-Карло.
План
1. Розвиток і застосування методу Монте-Карло.
2. Приклади застосування методу Монте-Карло.
3. Оцінка точності обчислення за допомогою методу Монте-Карло, коли ймовірність оцінюється за відносною частотою.
4. Рівномірна випадкова послідовність чисел (РВП).
5. Властивості рівномірної випадкової послідовності чисел.
5.3. Термінологічний словник
Метод Монте-Карло сукупність формальних процедур, засобами яких відтворюються на ЕОМ будь-які випадкові фактори (випадкові події, випадкові величини з довільним розподілом, випадкові вектори тощо). У межах цього підходу будується ймовірнісна модель, яка відповідає математичній чи фізичній задачі, і на ній реалізується випадкова вибірка. «Розігрування» вибірок за методом Монте-Карло є основним принципом імітаційного моделювання систем із стохастичними (випадковими, імовірними) елементами.
РВП [0,1] рівномірна випадкова послідовність чисел на відрізку [0,1].
Емпірична функція розподілу наближене подання функції розподілу ймовірностей випадкової величини, побудоване на основі вибірки скінченного обсягу.
Математичне сподівання (середнє значення) числова характеристика розподілу ймовірностей випадкової величини. Для випадкової величини Х, яка має щільність розподілу 13 EMBED Equation.3 1415, її математичне сподівання 13 EMBED Equation.3 1415 записується у вигляді 13 EMBED Equation.3 1415. Якщо 13 EMBED Equation.3 1415 набуває значення 13 EMBED Equation.3 1415 з імовірностями 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Дисперсія числова характеристика розподілу ймовірностей випадкової величини, яка характеризує розсіювання значень цієї випадкової величини навколо її математичного сподівання; вона визначається формулою 13 EMBED Equation.3 1415.
5.4. Навчальні завдання
Вправа 1. Використовуючи відповідні функції мов програмування Borland C++ або Borland Pascal 7.0, складіть таблицю з 300 випадкових цифр.
Вправа 2. Складіть алгоритм наближеного обчислення інтеграла методом Монте-Карло для програмування з використанням алгоритмічних мов програмування.
Вправа 3. Складіть програму для наближеного обчислення інтеграла методом Монте-Карло (на будь-якій алгоритмічній мові програмування). Обчисліть визначений інтеграл 13 EMBED Equation.3 1415 методом Монте-Карло при кількості спроб N = 5000.
5.5. Завдання для перевірки знань
Для самостійної перевірки знань потрібно сформулювати розширені відповіді на поставлені питання і перевірити їх повноту та правильність за допомогою матеріалів пропонованих літературних джерел.
Розгляньте історію зародження методу Монте-Карло. Скориставшись додатковою літературою, наведіть приклади застосування методу Монте-Карло у різних галузях науки і техніки. Розкажіть про зв’язок методу Монте-Карло із задачами теорії ймовірностей, математичної статистики та обчислювальної математики.
Наведіть приклади, коли доцільно в методі Монте-Карло застосовувати безпосередньо емпіричні дані та коли є рація скористатися одним з апроксимуючих теоретичних розподілів. Відмітьте переваги та недоліки використання емпіричних даних. Подумайте, чому іноді дуже важливо застосовувати теоретичні розподіли.
Поясніть розв’язання задачі обчислення визначеного інтеграла методом Монте-Карло. Чому при обчисленні багатократних інтегралів точність оцінки інтеграла не залежить від кратності інтеграла? Порівняйте цю властивість з відповідними характеристиками інших числових методів обчислення інтегралів.
Поясніть методику оцінки точності обчислення значення визначеного інтеграла за допомогою методу Монте-Карло. На даному прикладі розгляньте способи визначення кількості спроб в методі Монте-Карло залежно від заданої точності кінцевого результату. Що таке правило зупинки?
Охарактеризуйте рівномірно розподілену на відрізку [0,1] випадкову величину. У чому полягає унікальна властивість розподілу ймовірностей даної величини і як вона використовується? Що таке РВП [0,1]?
Наведіть доказ принципової можливості отримання рівномірної випадкової послідовності чисел за допомогою ЕОМ. Чому випадкові числа, отримані за допомогою ЕОМ, називаються квазірівномірними? Від чого залежить кількість випадкових чисел, що отримуються за допомогою ЕОМ. Яку максимальну кількість різних випадкових чисел можна отримати за допомогою ЕОМ?

Тема 6. Генерування РВП [0,1]
6.1. Методичні поради до вивчення теми
Зміст теми. У темі наголошується, що основна проблема в методі Монте-Карло полягає в отриманні рівномірної послідовності чисел РВП [0,1]. Вводиться поняття про генератори (датчики) випадкових чисел. Табличний спосіб одержання РВП [0,1], його переваги та недоліки. Розглядаються фізичні генератори, засновані на явищах радіоактивного випромінювання та «власних» шумів електронних ламп. Розглянуті недоліки та переваги фізичних датчиків. Докладно описані програмні способи одержання РВП [0,1]: метод серединних квадратів; мультиплікативний конгруентний метод; метод Хатчінсона; змішані конгруентні методи; аддитивний конгруентний метод. Показано, що для задач імітаційного моделювання економіко-виробничих систем найпридатнішим є програмний генератор. Вводиться поняття псевдовипадкових чисел та описуються методи перевірки їхньої якості. Загальностатистичні методи перевірки якості РВП [0,1]. Подаються спеціальні методи перевірки РВП [0,1]: перевірка за моментами розподілу; перевірка на рівномірність за допомогою гістограми; перевірка посередніми ознаками; перевірка на періодичність; перевірка на випадковість; перевірка генератора «в роботі».
Пояснення до теми. Основна проблема у методі Монте-Карло полягає в тому, щоб дістати рівномірну випадкову послідовність чисел РВП, розподілених на відрізку [0, 1]. При побудові стохастичних імітаційних моделей ці числа дають змогу генерувати випадкові події або випадкові величини з довільним розподілом. У разі, коли для програмної реалізації використовуються мови моделювання, що забезпечені вмонтованими генераторами випадкових послідовностей чисел, програмістові немає потреби розробляти програми утворення таких чисел. Крім того, бібліотеки більшості ЕОМ включають спеціальні стандартні підпрограми, що їх можна використати з відповідною метою.
Проте в організаціях, які ще не мають достатнього досвіду створення імітаційних моделей, програмісти часто стикаються з тим, що потрібні їм стандартні підпрограми або взагалі не включені до бібліотеки стандартних підпрограм, або містять численні помилки. Тому виникає необхідність створювати програми породження РВП [0, 1].
Існують три способи дістати рівномірну випадкову послідовність чисел, розподілених на відрізку [0, 1]: табличний, програмний і фізичне генерування. Фізичний пристрій чи програма на ЕОМ породження РВП [0, 1] називається генератором (датчиком) випадкових чисел.
Табличний спосіб одержання РВП [0, 1] полягає у такому. Існують розроблені з допомогою фізичних або програмних датчиків спеціальні таблиці випадкових цифр. У процесі машинної імітації використовуються здебільшого випадкові числа у загальноприйнятій десятковій системі числення. Тому для створення випадкового числа у вигляді десяткового дробу із заданою кількістю значущих цифр після коми достатньо з будь-якого місця таблиці вибрати підряд потрібну кількість випадкових цифр.
Слід зазначити, що табличний метод у користуванні має як переваги, так і недоліки.
Переваги табличного методу:
1) числа можна діставати з надвисокою швидкістю, якщо таблицю записано в оперативну пам’ять;
2) можна повторювати спроби, що дуже важливо в разі проведення особливо відповідальних експериментів;
3) забезпечується одноразова перевірка якості випадкових чисел.
Недоліки табличного методу:
1) таблиця займає багато місця в оперативній пам’яті;
2) обмежений запас чисел;
3) необхідна зовнішня пам’ять.
Тепер розроблено чимало таблиць випадкових цифр. У таблицях, що належать до ГОСТ 11.003-73 «Прикладна статистика. Рівномірно розподілені випадкові числа», наведено 8192 випадкові десяткові цифри. У світі відомі нині такі таблиці із значно більшою кількістю цифр. Наприклад, фірма РЕНД (США) з допомогою спеціальної електронної апаратури побудувала таблицю, що містить близько мільйона цифр. Ця таблиця записана на магнітну стрічку, що дає змогу вводити цифри в пам’ять швидкодіючої ЕОМ.
Проте табличний метод породження РВП [0, 1] з огляду на по- вільне введення табличних даних у пам’ять ЕОМ і необхідність використовувати значний обсяг пам’яті, щоб зберігати їх, для машинної імітації вважається неефективним і застосовується здебільшого для ручних розрахунків. У дослідженнях на ЕОМ він застосовується не часто, насамперед для налагодження програм або дублювання особливо важливих дослідів.
Фізичне генерування випадкових чисел використовувалося людством уже давно. До появи ЕОМ як генератори випадкових чисел використовувалися різні механічні пристрої колесо рулетки, спеціальні гральні кості та пристрої, які перемішували фішки з номерами, що витягувалися вручну по одній. Деякі з таких засобів дають цілком задовільні результати в разі невеликої кількості фішок або чисел.
Останнім часом фізичне генерування РВП [0, 1] базується на використанні формули (5.10), згідно з якою при генеруванні наступного m-розрядного випадкового двійкового числа необхідно дістати m реалізацій випадкової величини Z, що набуває значення 0 або 1 з однаковою ймовірністю 0,5.
Реалізації 13EMBED Equation.21415 випадкової величини Z можна дістати, скориставшись такими фізичними явищами:
радіоактивне випромінювання;
власні шуми електронних ламп.
Сутність методу, що грунтується на радіоактивному випромінюванні, полягає у такому.
1. Обирається джерело радіоактивного випромінювання з інтенсивністю (.
2. Залежно від значення ( обирається відрізок часу ((.
3. За допомогою лічильника визначається кількість часточок, що їх випромінює джерело за час ((.
4. Застосовується схема:
1) якщо кількість часточок парна, то 13EMBED Equation.21415= 0;
2) якщо кількість часточок непарна, то 13EMBED Equation.21415= 1.
Примітка. Лічильник часточок працює у двійковій системі числення, тому значення 13EMBED Equation.21415 число молодшого розряду.
Щоб дістати m-розрядне випадкове двійкове число, достатньо m разів звернутися до лічильника радіоактивних часточок.
Власними шумами електронних ламп називають явище існування вихідної напруги U при нульовій вхідній. Посилюючи власні шуми, можна дістати реалізацію стаціонарного випадкового процесу U (t) (рис.6.1).
Попередньо обирають деякий рівень відсікання a, для якого в довільний момент часу t має виконуватись умова
13EMBED Equation.21415
13 EMBED CorelDraw.Graphic.7 1415
Рис. 6.1. Графік функції U (t) («власні шуми електронних ламп»)
Випадкова величина 13EMBED Equation.21415 імітується за схемою
13EMBED Equation.21415 (6.1)
Щоб дістати m-розрядне випадкове двійкове число РВП [0, 1], достатньо провести m вимірювань шуму лампи в моменти часу 13 EMBED Equation.3 1415 і скористатися перетворенням (6.1).
Послідовність квазірівномірних випадкових чисел за допомогою фізичного генерування утворюється спеціальними електронними приставками до ЕОМ фізичними генераторами випадкових чисел. Для знаходження наступного випадкового числа РВП [0, 1] під час проведення машинних розрахунків досить один раз звернутися до цього пристрою.
Переваги методу фізичного генерування:
1) швидкість здобування чисел надвисока (проміжок часу звертання до електронного пристрою ЕОМ дуже малий);
2) місця в оперативній пам’яті не займає;
3) запас чисел необмежений.
Вади методу фізичного генерування:
1) не можна повторити спроби (немає змоги фізичний датчик зафіксувати на певному випадковому числі);
2) потрібне періодичне коригування датчиків, оскільки фізичні властивості їх з часом змінюються;
3) необхідно мати спеціальний пристрій до ЕОМ.
Фізичне генерування випадкових чисел використовується здебільшого там, де дуже часто розв’язуються задачі методом Монте-Карло. Проте останнім часом навіть за цих умов надається перевага програмним генераторам випадкових чисел.
При програмному способі наступне випадкове число 13EMBED Equation.21415 дістають за допомогою рекурентного співвідношення
13EMBED Equation.21415
Генеровані так випадкові числа називаються псевдовипадковими (від грец. (((((( обман, вигадка, помилка; відповідає поняттям «несправжній», «неправильний»), оскільки між двома сусідніми числами існує залежність. Функцію 13EMBED Equation.21415 обирають складною, що включає логічні перетворення, аби згадана залежність практично не впливала на результат.
Один з перших алгоритмів утворення випадкових чисел за допомогою рекурентного співвідношення метод серединних квадратів, запропонований 1946 року фон Нейманом і Метрополісом. Сутність його розкриємо спочатку на прикладі, а потім розглянемо загальний випадок.
Приклад.
13EMBED Equation.21415
Загальний випадок.
Нехай 13EMBED Equation.21415 m-розрядне двійкове число (0 < 13EMBED Equation.21415 < 1), причому 13EMBED Equation.21415 парне. Загальний вигляд13EMBED Equation.21415:
13EMBED Equation.21415
де коефіцієнти 13EMBED Equation.21415 набувають значення 0 або 1.
Квадрат цього числа
13EMBED Equation.21415
Виокремимо середні розряди цього числа і покладемо
13EMBED Equation.21415
Як показали статистичні випробування, утворювані таким способом випадкові числа мають розподіл, близький до РВП [0, 1]. Очевидний недолік методу серединних квадратів полягає ось у чому. У разі відсутності заміни нульового значення випадкового числа, яке може з(явитися в результаті наступної спроби, якимось іншим, усі наступні числа послідовності будуть нулями.
Можливе циклічне повторення й інших цифр. Нехай, наприклад, потрібно дістати серію випадкових чотирицифрових десяткових чисел 13EMBED Equation.21415методом серединних квадратів. Розглянемо випадок, коли за початкове число цієї серії взято 4500:
13EMBED Equation.21415
13EMBED Equation.21415
13EMBED Equation.21415
13EMBED Equation.21415 і т.д.
Вади методу серединних квадратів обмежують його практичне застосування, хоча раніше до цього методу вдавалися завдяки його простоті.
Загальної теорії побудови псевдовипадкових чисел досі не створено. Вигляд функції 13EMBED Equation.21415 встановлюють емпірично. Ця функція містить різні арифметичні та логічні операції. Якість утворюваних чисел перевіряється з допомогою спеціальних тестів.
Тепер майже всі стандартні бібліотечні програми обчислення послідовності рівномірно розподілених випадкових чисел грунтуються на конгруентних методах. Найвідомішими є такі конгруентні методи: мультиплікативний, мішаний і адитивний.
Мультиплікативний конгруентний метод (метод лишків)
Випадкове число 13EMBED Equation.21415( РВП [0, 1] дістаємо перетворенням цілих чисел 13EMBED Equation.21415, що визначаються з допомогою рекурентного виразу
13EMBED Equation.21415, (6.2)
де a і m невід’ємні цілі числа.
Згідно з (6.2) для знаходження наступного випадкового числа 13EMBED Equation.21415 достатньо виконати такі дії:
1) взяти останнє випадкове число 13EMBED Equation.21415;
2) помножити його на коефіцієнт a;
3) добуток поділити на модуль m;
4) остачу від ділення вважати шуканим випадковим числом 13EMBED Equation.21415; це буде одне з цілих чисел 0, 1, 2, 3, ..., m – 1.
Для генерування послідовності випадкових чисел 13EMBED Equation.21415 потрібно мати початкове число13EMBED Equation.21415, множник a і модуль m. При виборі a і m потрібно виявити певну обережність. Коли a = 1, то 13EMBED Equation.21415= 13EMBED Equation.21415 при будь-якому і. Коли 13EMBED Equation.21415= 0, то 13EMBED Equation.21415= 0 при довільному і. Очевидно, що будь-який генератор псевдовипадкових чисел може дати лише скінченну множину цілих випадкових чисел; після чого послідовність повторюватиметься.
Період (довжина) послідовності залежить від розрядності ЕОМ та обраного модуля, а статистичні властивості від вибору початкового числа та множника. Отже, обирати 13EMBED Equation.21415 потрібно так, щоб забезпечити максимальний період і мінімальну кореляцію (автокореляцію).
У системах ЕОМ типу IBM широко застосовується метод Хатчинсона. Двійкові числа в цих машинах подаються 32 розрядами: 31 розряд містить значущі цифри, крайній зліва розряд показує знак числа. За модуль беруть 13EMBED Equation.21415 множник 13EMBED Equation.21415 Максимальна довжина послідовності випадкових чисел дорівнює m – 1; 13EMBED Equation.214150,4656611313EMBED Equation.21415.
Щоб дістати кілька послідовностей випадкових чисел РВП [0, 1], необхідно ввести різні значення початкових чисел: 13EMBED Equation.21415, а щоб повторити початковий відрізок будь-якої послідовності, достатньо всередині основної програми присвоїти відповідній змінній її початкове значення і повторити весь цикл звертань до генератора.
Мішані конгруентні методи
Побудова мішаних конгруентних методів грунтується на залежності
xi+1 ( (axi + c) (mod m),
де с деяка константа.
Адитивний конгруентний метод
В основу цього методу покладено рекурентне співвідношення
13EMBED Equation.21415
Існують і складніші адитивні методи.
Переваги програмного методу:
1) місця в оперативній пам’яті займає мало (близько десяти машинних команд);
2) можна повторити спроби;
3) забезпечується одноразова перевірка якості випадкових чисел;
4) не потрібні зовнішні пристрої.
Вади програмного методу:
1) відносно невелика швидкість утворення випадкових чисел;
2) запас чисел обмежений.
Порівнюючи переваги та недоліки трьох методів генерування РВП [0, 1], доходимо висновку, що програмний спосіб породження псевдовипадкових чисел найприйнятніший для застосування в імітаційному моделюванні.
У разі використання пакета GPSS/PS в імітаційних експериментах слід звернути увагу на логічні особливості генерації в ньому випадкових чисел. Сам алгоритм генерування РВП [0, 1] дуже простий і полягає у такому. В алгоритмі записані два непарні числа: перше (називається «ядром») не змінює в процесі обчислень свого значення, друге («множник») змінює своє значення. Для отримання чергового випадкового числа, наприклад, чотиризначного випадкового числа, беруть чотиризначні ядро та множник, перемножують їх, чотири цифри середини добутку утворюють нове випадкове число, а праві чотири розряди використовують як новий множник.
Розглянемо числовий приклад. Нехай число 5167 буде обране у якості «ядра», а 3729 початкового множника. Для отримання першого випадкового числа виконуємо такі кроки:
Отримуємо добуток «ядра» на «множник»: 5167 ( 3729 = 19267743.
Середні знаки утворюють перше випадкове число 13 EMBED Equation.3 1415= 0,2677.
Праві чотири цифри добутку 7743 виступатимуть у якості множника для отримання наступного випадкового числа.
Під час вивчення цієї теми слід звернути особливу увагу на те, що застосовувати псевдовипадкові числа, що утворюються з допомогою програмних генераторів РВП [0, 1], правомірно в тому разі, коли статистичні характеристики їх збігаються з властивостями чисел, породжених деяким ідеальним генератором, що обирає значення на відрізку [0, 1] рівноймовірно і незалежно одне від одного. Тому успішне застосування методу Монте-Карло можливе лише тоді, коли створювані генератором числа будуть випадковими, рівномірно розподіленими на відрізку [0, 1] і незалежними. Зрозуміло, що за своїми конструктивними особливостями програмні датчики не можуть відтворювати випадкові числа, які повністю задовольняють перелічені вимоги. Проте для практичних цілей буває достатньо, щоб послідовність РВП [0, 1] приблизно відповідала вимогам ідеального генератора. Таке припущення перевіряється з допомогою спеціальних статистичних тестів. При цьому виконуються дві передумови.
1. Генератор псевдовипадкових чисел вважається придатним для використання, якщо він витримує набір наперед установлених тестів.
2. Якість випадкових чисел перевіряється лише один раз на попередньому етапі побудови імітаційної моделі.
Розроблено чимало тестів, які дають змогу оцінювати якість випадкових чисел. Серед них є загальновідомі статистичні методи перевірки гіпотез (перевірка відповідності розподілів за критеріями Пірсона або Колмогорова, виявлення кореляційної залежності між серіями випадкових чисел автокореляції), а також і спеціально розроблені для методу Монте-Карло критерії.
Розглянемо кілька спеціальних тестів перевірки якості випадкових чисел. Особливість їх застосування полягає в тому, що генератор РВП [0,1] вважають за можливе використовувати лише в тому разі, коли він одночасно відповідає всім обраним тестам (перевірка датчика припиняється, тільки-но він не відповідає черговому тесту). При цьому багато рішень щодо відповідності датчика тому чи іншому тесту експериментатор приймає на інтуїтивному рівні, спираючись на власний досвід таких досліджень.
Перевірка за моментами розподілу. Для ідеального генератора рівномірно розподілених випадкових чисел математичне сподівання їх дорівнює 13EMBED Equation.21415, а дисперсія 13EMBED Equation.21415. Нехай маємо послідовність чисел 13EMBED Equation.21415, здобутих за допомогою генератора РВП [0, 1] на ЕОМ. Для цих чисел
13EMBED Equation.21415
Якщо генеровані випадкові числа близькі до РВП [0, 1], то при досить великих N
13EMBED Equation.21415
Перевірка на рівномірність за гістограмою. Розіб’ємо відрізок [0, 1] на n рівних частин. Кожне з чисел 13EMBED Equation.21415 потрапить на один з таких відрізків. Нехай 13EMBED Equation.21415 кількість випадкових чисел, що потрапили на перший відрізок, 13EMBED Equation.21415 на другий і т. д. При цьому 13EMBED Equation.21415
Обчислимо відносні частоти потрапляння випадкових чисел на кожний із відрізків
13EMBED Equation.21415
а далі для перевірки рівномірності псевдовипадкових чисел побудуємо гістограму (рис. 6.2).
13EMBED Word.Picture.61415
Рис. 6.2. Гістограма
Якщо випадкові числа рівномірні, то для достатньо великих N гістограма (ламана лінія) має наближатися до теоретичної прямої 13EMBED Equation.21415 Число розбиттів n має бути не дуже малим, щоб можна було перевірити локальну рівномірність. Водночас і дуже велике n нас не задовольняє, оскільки потрібно буде багато випадкових чисел (N на дватри порядки більше за n). На практиці n беруть таким, що задовольняє нерівність 20 ( n ( 50.
Перевірка за посередніми ознаками. Створюємо два типи чисел:
13EMBED Equation.21415
Якщо 13EMBED Equation.21415 то до деякого лічильника додаємо одиницю. Після N спроб (усього створено 2N випадкових чисел) у лічильнику буде деяке число M < N.
Схему, за якою перевіряють якість випадкових чисел, користуючись посередніми ознаками, зображено на рис. 6.3. Геометрично умова 13EMBED Equation.21415 означає, що точка 13EMBED Equation.21415 міститься всередині 13EMBED Equation.21415 круга радіуса 1. У загальному вигляді точка 13EMBED Equation.21415 завжди потрапляє всередину одиничного квадрата. Тому ймовірність потрапляння точки 13EMBED Equation.21415 у чверть круга
13EMBED Equation.21415
13 EMBED CorelDraw.Graphic.7 1415
Рис. 6.3. Схема до перевірки генератора за посередніми ознаками
При цьому якщо 13EMBED Equation.21415 то генератор допускається до перевірки іншими тестами.
Часто не обмежуються плоским випадком, виконуючи спроби у тривимірному просторі. Для цього створюють трійки чисел:
13EMBED Equation.21415
Нехай M число спроб, для яких виконується умова
13EMBED Equation.21415
(умова потрапляння точки в одну восьму частину кулі одиничного радіуса). Очевидно, що при 13EMBED Equation.21415 (N число трійок)
13EMBED Equation.21415
Перевірка на періодичність. Якщо серед множини програмно утворюваних випадкових чисел 13EMBED Equation.21415 немає однакових, а 13EMBED Equation.21415 збігається з одним із створених раніше чисел, то l називається відрізком аперіодичності. Очевидно, що 13EMBED Equation.21415 Під час дослідження генератора випадкових чисел необхідно встановити довжину відрізка аперіодичності. Якщо число необхідних для експериментів випадкових чисел менше за довжину відрізка аперіодичності l, то датчик можна використовувати. У противному разі довжину відрізка аперіодичності слід збільшити, застосувавши різні штучні прийоми, зокрема змінивши початкове число13EMBED Equation.21415 або використавши інший генератор.
Перевірка на випадковість. Якщо випадкові числа 13EMBED Equation.21415 потрапляють на одну половину відрізка [0, 1], а числа 13EMBED Equation.21415 і 13EMBED Equation.21415 на іншу, то ці l чисел утворюють серію завдовжки l. Теоретично можна передбачити (залежно від кількості випадкових чисел N) максимальну довжину серії 13EMBED Equation.21415 та максимальну кількість серій13EMBED Equation.21415. Експериментально визначають найбільшу довжину серії 13EMBED Equation.21415 і максимальну кількість серій 13EMBED Equation.21415. Генератор випадкових чисел вважається непридатним, якщо виконуються умови 13EMBED Equation.21415> 13EMBED Equation.21415 і 13EMBED Equation.21415> 13EMBED Equation.21415.
Перевірка генератора в «роботі». Досить надійним методом встановлення якості випадкових чисел є перевірка генератора РВП [0, 1] у «роботі». Згідно з цим методом складають імітаційну модель, результат роботи якої може бути передбачений теоретично. Порівнюючи експериментальний, здобутий за допомогою ЕОМ, і теоретичний результати, можна зробити висновки щодо придатності генератора випадкових чисел.

Література до теми
Основна
1. Ситник В. Ф., Орленко Н. С. Імітаційне моделювання: Навч. посібник. К.: КНЕУ, 1998. С. 4658.
2. Сытник В. Ф. Основы машинной имитации производственних и организационно-экономических систем. К.: УМК ВО, 1988. С. 4757.
Допоміжна
3. Клейн Дж. Статистические метод( в имитационном моделировании. М.: Статистика, 1978. Т.1. С. 1921.
4. Нейлор Т. Машинн(е имитационн(е (ксперимент( с моделями (кономических систем. М.: Мир, 1975. С. 374384.
5. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем искусство и наука. М.: Мир, 1978. С. 378388.
6. Харин Ю. С., Малюгин В. И., Кирлица В. П. и др. Основы имитационного и статистического моделирования: Учеб. пособие. ( Минск.: Дизайн ПРО, 1997. ( С. 7779.
7. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1975. С. 3849.
8. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982. С. 3952.
6.2. практичне заняття
Мета заняття: Перевірити розуміння сутності й необхідності створення та застосування рівномірної випадкової послідовності чисел РВП [0, 1]. Набути навички перевіряти якості випадкових чисел, утворюваних програмними генераторами.
План
Табличний спосіб генерування РВП [0, 1].
Фізичні генератори РВП [0, 1].
Програмні датчики РВП [0, 1].
Методи перевірки якості псевдовипадкових чисел.
6.3. Термінологічний словник
Генератор (датчик) випадкових чисел фізичний пристрій або програма, призначені для утворення рівномірної випадкової послідовності чисел на відрізку [0, 1].
Таблиця випадкових цифр спеціальним чином структурована таблиця, елементами якої є випадкові цифри, отримані фізичним чи програмним генераторами.
Власні шуми електронних ламп явище існування вихідної напруги при нульовій вхідній.
Фізичні генератори випадкових чисел спеціальні електронні приставки до ЕОМ, утворюють випадкові числа, використовуючи фізичні явища: радіоактивне випромінювання або власні шуми електронних ламп.
Конгруентні числа два цілі числа А і В конгруентні (порівняні) за модулем m (де m ціле число) тоді і тільки тоді, коли існує таке ціле число k, що А – В = km, тобто коли різниця А – В ділиться на m без остачі (числа А та В дають однакові остачі при діленні на абсолютну величину числа m). Це визначення записується як А ( В (mod m) і читається «А конгруентне В за модулем m».
Псевдовипадкові числа випадкові числа, що їх отримують програмним способом. Псевдовипадковість чисел полягає в тому, що вони не є незалежними, оскільки між двома черговими числами існує певна залежність, яка виражається у заданому в програмному генераторі рекурентним співвідношенням.
Автокореляційна функція функція, що характеризує ступінь зв’язку між двома значеннями випадкового процесу 13 EMBED Equation.3 1415 у моменти часу 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415. Для дійсного випадкового процесу автокореляційна функція визначається так: 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415 математичне сподівання випадкового процесу 13 EMBED Equation.3 1415.
Автокореляція (серійна кореляція) негативна характеристика деяких мультиплікативних або змішаних конгруентних методів отримання РВП [0,1], яка полягає в тому, що при невдалому виборі параметрів програмного генератора отримуються вибірки автоко- рельованих значень випадкових чисел.
Гістограма графічне наближене зображення щільності випадкової величини, побудоване за вибіркою скінченного обсягу.
Відрізок аперіодичності кількість підряд згенерованих програмним датчиком чисел l 13EMBED Equation.21415, серед яких немає однакових, а наступне число 13EMBED Equation.21415 збігається з одним із створених раніше чисел.
6.4. Навчальні завдання
Вправа 1. Згенеруйте за допомогою методу серединних квадратів 20 випадкових чисел РВП [0, 1], починаючи з чисел: 0,3855; 0,8353; 0,1476. Зробіть перевірку якості отриманих псевдовипадкових чисел.
Вправа 2. Згенеруйте за допомогою мультиплікативного конгруентного методу 20 випадкових чисел РВП [0, 1] при таких параметрах програмного датчика: a = 221; m = 10000; x0 = 6887. Зробіть перевірку якості отриманих псевдовипадкових чисел.
Вправа 3. Згенеруйте за допомогою мішаного конгруентного методу 20 випадкових чисел РВП [0, 1] при таких параметрах програмного датчика: a = 279; m = 10000; x0 = 4213; c = 3928. Зробіть перевірку якості отриманих псевдовипадкових чисел.
Вправа 4. Згенеруйте за допомогою адитивного конгруентного методу 20 випадкових чисел РВП [0, 1] при таких параметрах програмного датчика: m = 10000; x0 = 1934; x1 = 4944. Зробіть перевірку якості отриманих псевдовипадкових чисел.
6.5. Завдання для перевірки знань
Для самостійної перевірки знань необхідно сформулювати розширені відповіді на поставлені питання і перевірити їх повноту та правильність за допомогою матеріалів запропонованих літературних джерел.
Поясніть, коли виникає потреба програмістам, зайнятим програмною реалізацією імітаційних моделей, обирати генератори випадкових чисел РВП [0, 1] і які існують засоби для виконання такої роботи.
Яким чином створюються таблиці випадкових цифр і яка існує технологія їх використання під час проведення ручних та машинних експериментів? Обгрунтуйте вади та переваги табличних генераторів.
Поясніть основні фізичні механізми створення спеціальних електронних приставок до ЕОМ для генерування РВП [0, 1] і обгрунтуйте доцільність їх використання. Які ви знаєте переваги і недоліки фізичних генераторів РВП [0, 1]?
З’ясуйте суть і механізми утворення РВП [0, 1] за допомогою методу серединних квадратів. Які вади і переваги методу серединних квадратів? Запропонуйте можливу схему, яка дозволить виявляти цикли в послідовності РВП [0, 1].
Що таке мультиплікативний конгруентний метод одержання РВП [0,1]? Які параметри такого методу і які рекомендації щодо вибору їх значень? Які інші конгруентні методи вам відомі?
Чому утворювані програмними генераторами послідовності чисел РВП [0,1] називаються псевдовипадковими? Поясніть, яким чином псевдовипадковість чисел може вплинути неадекватно на процес, що досліджується методом імітаційного моделювання.
Які дві групи тестів використовуються для перевірки якості випадкових чисел? Як ви розумієте саме поняття «якість» РВП [0,1]? Які загальновідомі статистичні методи перевірки гіпотез можуть бути використані для перевірки якості РВП [0,1]?
Обгрунтуйте правильну процедуру застосування спеціальних статистичних тестів перевірки РВП [0,1]. Як використовується перевірка генератора РВП [0,1] за допомогою моментів розподілу і за посередніми ознаками?
Як здійснюється перевірка програмних генераторів на випадковість, рівномірність, періодичність? Чому лише на відрізку аперіодичності можна використовувати програмний генератор? З’ясуйте суть перевірки генераторів РВП [0,1] в «роботі».
Тема 7. Генерування випадкових подій і дискретно розподілених випадкових величин
7.1. Методичні поради до вивчення теми
Зміст теми. У темі розкривається необхідність імітації випадкових подій. Показується, що для цієї задачі може використовуватися схема випробувань за «жеребкуванням» (СВЖ), заснована на машинному моделюванні несумісних у сукупності подій, що утворюють повну групу. Запропоновано схему алгоритму цього моделювання. Перший спосіб використання СВЖ для імітації незалежних та залежних подій. Другий спосіб використання СВЖ для імітації незалежних та залежних подій. Розглядається стандартний метод імітації дискретно розподілених випадкових величин. Запропоновано схему спрощеного моделювання для деяких дискретних розподілів, зокрема біноміального, Пуассона, геометричного, для яких імовірності розподілів пов’язані рекурентним співвідношенням. Розглядаються спеціальні методи імітації деяких дискретних розподілів: рівномірний дискретний розподіл; геометричний розподіл; розподіл Пуассона.
Пояснення до теми. У загальному випадку під час імітаційного моделювання часто виникає потреба імітувати випадкові події, які можуть мати різне призначення. Випадкові події імітуються згідно зі схемою випробувань за «жеребкуванням», сутність якої полягає у такому. Нехай у результаті спроби може настати одна з n несумісних у сукупності подій 13 EMBED Equation.3 1415 що утворюють повну групу, причому 13 EMBED Equation.2 1415 де 13 EMBED Equation.2 1415 ймовірність появи події13 EMBED Equation.2 1415. Якщо є генератор випадкових чисел РВП [0, 1], то схему випробувань за «жеребкуванням» можна подати так.
Розбиваємо відрізок [0, 1] на n частин завдовжки 13 EMBED Equation.2 1415 Координати точок поділу відрізка 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.2 1415
2. Обираємо 13 EMBED Equation.2 1415 наступне число із РВП [0, 1]. У разі, коли 13 EMBED Equation.2 1415, вважаємо, що відбулася подія13 EMBED Equation.2 1415. Справді, за такої схеми
13 EMBED Equation.2 1415
Стандартний алгоритм визначення індексу k, з допомогою якого обирається випадкова подія 13 EMBED Equation.2 1415, реалізується згідно із схемою, зображеною на рис. 7.1.
13 EMBED Word.Picture.6 1415

Рис. 7.1. Схема алгоритму вибору індексу k
Розглянемо імітацію рівноймовірних подій, що утворюють повну групу:13 EMBED Equation.2 1415Відношення 13 EMBED Equation.2 1415 у такому разі має вигляд 13 EMBED Equation.2 1415 або 13 EMBED Equation.2 1415 Індекс події, що настає, визначається співвідношенням k = [n(] + 1, де [...] ціла частина числа. Виконується нерівність 13 EMBED Equation.2 1415
Існують два способи застосування схеми випробувань за «жеребкуванням», що дають змогу моделювати довільні випадкові події. Сутність цих способів пояснимо на прикладах.
Приклад 1. Вивчається робота цеху, до складу якого належать три конвеєрні лінії. Імовірність безперебійної роботи першої лінії в довільний момент часу становить 0,7, другої 0,9, третьої 0,6.
Скласти схему імітації стану виробничого процесу.
Введемо позначення для випадкових подій, що в довільний момент часу t імітують роботу цеху:
13 EMBED Equation.2 1415 безперебійно працює перший конвеєр;
13 EMBED Equation.2 1415 безперебійно працює другий конвеєр;
13 EMBED Equation.2 1415 безперебійно працює третій конвеєр.
Перший спосіб використання схеми випробувань за «жеребкуванням» полягає в такому. Генеруємо випадкові числа РВП [0, 1] 13 EMBED Equation.2 1415 Поточний стан цеху імітується умовами:
13 EMBED Equation.2 1415 перший конвеєр працює; 13 EMBED Equation.2 1415 не працює;
13 EMBED Equation.2 1415 другий конвеєр працює; 13 EMBED Equation.2 1415 не працює;
13 EMBED Equation.2 1415 третій конвеєр працює; 13 EMBED Equation.2 1415 не працює.
Описаний щойно спосіб зручний з погляду простоти обчислень, проте він потребує багато випадкових чисел. Економнішим за критерієм раціонального використання запасу чисел датчика РВП [0, 1] є другий спосіб. Він, проте, потребує виконання значних попередніх перетворень. Сутність способу полягає ось у чому.
Формуємо повну групу подій:
13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415
Обчислюємо ймовірності цих подій за правилом: імовірність добутку незалежних подій дорівнює добутку їх імовірностей. Маємо:
13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415
Поділяємо відрізок [0, 1] на вісім частин. Координати точок поділу:
13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415
Обираємо наступне випадкове число, наприклад 13 EMBED Equation.2 1415= 0,85828. Оскільки 13 EMBED Equation.2 1415, то імітується подія 13 EMBED Equation.2 1415 тобто в досліджуваний момент часу перший конвеєр не працює, а решта працюють.
Приклад 2. Скласти схему імітації залежних подій A і B, для яких відомі такі значення ймовірностей: 13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415
Згідно з першим способом застосування схеми випробувань за «жеребкуванням» необхідно знайти умовні ймовірності 13 EMBED Equation.2 1415 і 13 EMBED Equation.2 1415. За формулою ймовірностей добутку подій 13 EMBED Equation.2 1415 або 13 EMBED Equation.2 1415
Запишемо формулу повної ймовірності 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.2 1415. Звідси
13 EMBED Equation.2 1415
Генеруємо випадкові числа 13 EMBED Equation.2 1415 і 13 EMBED Equation.2 1415 за допомогою датчика РВП [0, 1]. Обираємо таку схему імітації:
1) якщо13 EMBED Equation.2 1415, то настала подія А, при цьому
у разі 13 EMBED Equation.2 1415 настала подія В,
у разі 13 EMBED Equation.2 1415 не настала подія B;
2) якщо 13 EMBED Equation.2 1415, то подія А не настала, при цьому
у разі 13 EMBED Equation.2 1415 настала подія В,
у разі 13 EMBED Equation.2 1415 не настала подія В.
При другому способі використання схеми випробувань за «жеребкуванням» утворюємо повну групу подій:
13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 141513 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415
Знаходимо відповідні ймовірності:
13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415
Після цього виконуємо звичайну процедуру моделювання подій, що утворюють повну групу.
За допомогою схеми випробувань за «жеребкуванням» можна моделювати дискретні випадкові величини. Нехай, наприклад, ряд розподілу дискретної випадкової величини Х має такий вигляд:

Можливі значення
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
...
xn

Імовірності
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
...
13 EMBED Equation.2 1415

Звідси можна дістати повну групу подій:
13 EMBED Equation.2 1415, 13 EMBED Equation.2 1415, ..., 13 EMBED Equation.2 1415.
Чергова реалізація випадкової величини імітується за схемою, зображеною на рис. 7.1.
Слід підкреслити, що в практичних застосуваннях дуже поширена дискретна випадкова величина, яка набуває лише невід’ємних значень 0, 1, 2,..., k,... з імовірностями 13 EMBED Equation.2 1415.
Для таких випадкових величин імовірності 13 EMBED Equation.2 1415 пов’язані рекурентним співвідношенням
13 EMBED Equation.2 1415 (7.1)
де 13 EMBED Equation.2 1415 деяка функція від значення індексу k. У такому разі значення 13 EMBED Equation.2 1415 і 13 EMBED Equation.2 1415 у пам’ять ЕОМ можна не записувати, імітуючи їх за схемою, зображеною на рис. 7.2. Проблема полягає у визначенні функції 13 EMBED Equation.2 1415. Розглянемо деякі приклади.
Приклад 3. Для біноміального розподілу (розподілу Бернуллі) з параметрами p і n
13 EMBED Equation.2 1415
Тоді
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Word.Picture.6 1415

Рис. 7.2. Схема імітації дискретних випадкових величин

Приклад 4. Для розподілу Пуассона з параметром (
13 EMBED Equation.2 1415
Приклад 5. Для геометричного розподілу з параметром p
13 EMBED Equation.2 1415
Загальний підхід імітації дискретно розподілених величин у деяких випадках може бути замінений спеціальними методами імітації, котрі ураховують специфічні особливості розподілів. Покажемо цю можливість для трьох розподілів.
Рівномірний дискретний розподіл має такий вигляд:
13 EMBED Equation.2 1415
де k = 0, 1, 2,....
Для імітування цієї випадкової величини досить здійснити перетворення 13 EMBED Equation.2 1415.
Геометричний розподіл імітується з допомогою перетворення
13 EMBED Equation.2 1415
Справді, випадкова величина
13 EMBED Equation.2 1415
має геометричний розподіл. Це підтверджують такі міркування.
13 EMBED Equation.2 1415
Цей метод імітації геометрично розподілених випадкових величин є найефективнішим.
Для імітації випадкових величин, що мають розподіл Пуассона, найчастіше застосовується метод Тотчера.
Цей метод грунтується на твердженні, що випадкова величина X, яка визначається відношенням
13 EMBED Equation.2 1415
розподілена за законом Пуассона з параметром (.
Для генерування випадкової величини Х генеруємо 13 EMBED Equation.2 1415РСП [0, 1] доти, доки не буде виконуватися нерівність
13 EMBED Equation.2 1415
У більшості випадків для генерування розподілу Пуассона якраз і застосовується цей метод.

Література до теми
Основна
1. Ситник В. Ф., Орленко Н. С. Імітаційне моделювання: Навч. посібник. К.: КНЕУ, 1998. С. 5864.
2. Сытник В. Ф. Основы машинной имитации производственних и организационно-экономических систем. К.: УМК ВО, 1988. С. 5864.
Допоміжна
4. Нейлор Т. Машинн(е имитационн(е (ксперимент( с моделями (кономических систем. М.: Мир, 1975. С. 392395.
5. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем искусство и наука. М.: Мир, 1978. С.388390.
6. Харин Ю. С., Малюгин В. И., Кирлица В. П. и др. Основы имитационного и статистического моделирования: Учеб. пособие ( Минск.: Дизайн ПРО, 1997. ( С. 8386.
7. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982. С. 916.
7.2. практичне заняття
Мета заняття: Перевірити розуміння сутності і необхідності розробки методів імітації на ЕОМ випадкових подій і дискретних розподілів. Набути навички застосовувати різні методи і підходи імітації випадкових подій і дискретно розподілених випадкових величин.
План
Імітація випадкових подій.
Стандартний метод імітації дискретної випадкової величини.
Спеціальні методи імітації деяких дискретних розподілів.
7.3. Термінологічний словник
Випадкова подія подія, яка за певних умов може як відбутися, так і не відбутися. Числовою характеристикою міри можливості появи випадкової події A за тих чи інших умов, які можуть повторюватися необмежену кількість разів, є імовірність 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415).
Повна група випадкових подій якщо у результаті спроби може настати одна з n несумісних у сукупності подій 13 EMBED Equation.3 1415 причому 13 EMBED Equation.2 1415 де 13 EMBED Equation.2 1415 
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Т
·Т
·
·
·
·
·
·
·P
·
·
·
·
·Т
·Т
·
·
·
·
·
·
·P
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·P
·
·
·
·
·Т
·Т
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· ймовірність появи події13 EMBED Equation.2 1415, то ці події утворюють повну групу.
Незалежні випадкові події ймовірність появи однієї події не залежить від того, здійснилися чи ні інші події.
Залежні випадкові події ймовірність появи однієї події залежить від того, здійснилися чи ні інші події. Імовірність появи залежної події 13 EMBED Equation.3 1415 за умови, що настала подія 13 EMBED Equation.3 1415, називається умовною ймовірністю події 13 EMBED Equation.3 1415 і позначається 13 EMBED Equation.3 1415.
Випадкова величина величина, що залежно від випадку набуває того чи іншого значення за певним законом розподілу.
Дискретна випадкова величина випадкова величина 13 EMBED Equation.3 1415, яка набуває скінченної кількості значень або всі її значення можна розмістити у вигляді нескінченної послідовності 13 EMBED Equation.3 1415, а закон її розподілу описується заданням усіх ймовірностей 13 EMBED Equation.3 1415.
7.4. Навчальні завдання
Вправа 1. У порту з одним причалом відбувається розвантаження танкерів А, Б, В. Імовірність події, що в даний момент розвантажується танкер А дорівнює 0,2; танкер Б 0,3; танкер В 0,5. Користуючись таблицею випадкових цифр, змоделювати послідовність прибуття танкерів за допомогою двох схем випробувань за «жеребкуванням».
Вправа 2. Імовірності появи двох залежних подій А та В такі: 13 EMBED Equation.3 1415. За допомогою двох схем випробувань за «жеребкуванням» проімітуйте появу цих подій. Для генерування випадкових чисел використайте таблицю випадкових цифр.
Вправа 3. У кошику 3 білих та 3 чорних кульки. З нього двічі виймають по кульці, не повертаючи їх у кошик. За допомогою першого та другого способу застосування схеми випробувань за «жеребкуванням» проімітуйте появу білої кульки при другій спробі, якщо при першій спробі була витягнута біла кулька. Складіть алгоритм імітації цих подій. Для генерування випадкових чисел використайте таблицю випадкових цифр.
Вправа 4. Закон розподілу дискретної випадкової величини заданий рядом розподілу:

Можливі значення
100
200
300
350
400
500
600

Імовірності
0,1
0,09
0,08
0,4
0,3
0,01
0,02


Застосовуючи стандартний метод імітації дискретних розподілів, згенеруйте 10 реалізацій цієї випадкової величини. Для генерування випадкових чисел використайте таблицю випадкових цифр.
Вправа 5. В автомайстерні ремонтують автомобілі. Час, необхідний для ремонту однієї машини заданий у відповідності з таблицею:

Тип ремонту
Відносна частота (імовірність)
Час ремонту, хв

1
0,15
10

2
0,20
20

3
0,30
30

4
0,25
40

5
0,10
50


Складіть алгоритм імітації ремонту автомобіля і за його допомогою вручну, використовуючи таблицю випадкових цифр, зробіть імітації ремонту автомобілей протягом 4 годин.
Вправа 6. Кораблі заходять до порту згідно із законом розподілу Пуассона, причому середня інтенсивність цього процесу становить 4 кораблі на тиждень. Складіть розклад прибуття кораблів у порт, застосовуючи метод Тотчера імітації пуассонівського розподілу протягом місяця. За одиницю часу оберіть 1 годину.
7.5. Завдання для перевірки знань
Для самостійної перевірки знань слід сформулювати розширені відповіді на поставлені питання і перевірити їх повноту та правильність за допомогою матеріалів запропонованих літературних джерел.
З’ясуйте, коли виникає потреба в імітаційному моделюванні генерувати випадкові події. Наведіть приклади такого застосування. Поясніть, яким чином експериментатор може отримати значення ймовірностей використовуваних випадкових подій.
Які події утворюють повну групу ? Поясніть, чому і як використовуються несумісні у сукупності події в схемі випробувань за «жеребкуванням». Проаналізуйте схему алгоритму вибору індексу події, яка входить до складу повної групи подій, і проілюструйте його роботу для обраної вами групи подій, користуючись таблицею випадкових цифр.
Поясніть перший і другий способи використання схеми випробувань за «жеребкуванням» для імітації незалежних і залежних подій. Які переваги і які вади мають ці способи? Придумайте приклади випадкових подій, які необхідно імітувати, опишіть їх характеристики і застосуйте для імітації обидва способи використання схеми випробувань за «жеребкуванням».
Проаналізуйте стандартний метод імітації дискретної випадкової величини. Придумайте практичний приклад такої величини, запишіть її розподіл і застосуйте стандартний алгоритм її імітації.
Для яких відомих вам дискретних розподілів має місце рекурентне співвідношення між ймовірностями сусідніх членів розподілу. Яким чином у цьому випадку проводиться схема імітації випадкової величини і які при цьому матимемо переваги порівняно із стандартним методом?
Поясніть, чому розподіл Пуассона дуже часто використовується в теоретичних розрахунках. Наведіть приклади випадкових величин, які мають цей розподіл. Проаналізуйте стандартний алгоритм імітації пуассонівського розподілу і алгоритм, заснований на використанні методу Тотчера. Укажіть на недоліки та переваги кожного з підходів.

Тема 8. Генерування неперервних випадкових величин
8.1. Методичні поради до вивчення теми
Зміст теми. У темі показується, що важливим питанням у методі Монте-Карло є створення на ЕОМ випадкових чисел з довільним неперервним розподілом. Розкривається суть проблеми імітації неперервних розподілів. Обгрунтовується стандартний метод імітації. Представлені основна теорема, алгоритм стандартного методу та границі його застосування, приклади використання стандартного методу для створення послідовності випадкових чисел (рівномірно розподілених на відрізку [a, b] та з експоненціальним розподілом). Описується метод добору (відбракування), зокрема основна теорема; алгоритм методу добору і особливості його застосування. Показується можливість та доцільність наближеного формування розподілу. Описується концептуальна схема та алгоритм наближеного формування розподілів. Докладно розглядається питання генерування нормально розподілених випадкових чисел, зокрема представлено три підходи до розв’язання цієї задачі: табличний спосіб; спосіб, заснований на використанні центральної граничної теореми та корекції розрахунків; метод Бокса–Маллера; метод Марсальї–Брея.
Пояснення до теми. Важливим питанням у методі Монте-Карло є створення на ЕОМ випадкових чисел з довільним неперервним розподілом. Існує кілька способів перетворення РВП [0, 1] на інші розподіли. Найчастіше використовується спосіб, що грунтується на такій теоремі.
Теорема. Нехай13 EMBED Equation.2 1415 випадкова величина, рівномірно розподілена на відрізку [0, 1]. Тоді випадкова величина X, яка є розв’язком рівняння
13 EMBED Equation.2 1415, (8.1)
має щільність f (x).
Доведення теореми міститься в посібнику [1]. Теорема дає змогу сформулювати правило генерування випадкових чисел, що мають довільний неперервний розподіл:
1) виробляється випадкове число 13 EMBED Equation.2 1415 РВП [0, 1];
2) випадкове число 13 EMBED Equation.2 1415 з pозподілом f (x) є розв’язком рівняння
13 EMBED Equation.2 1415 (8.2)
Таким чином, послідовність 13 EMBED Equation.2 1415, що належить до РВП [0, 1], перетворюється на послідовність 13 EMBED Equation.2 1415, яка має задану щільність розподілу f (x).
Приклад 1. Нехай потрібно створити послідовність випадкових чисел, рівномірно розподілених на відрізку [a, b]. Застосувавши перетворення (8.2), дістанемо:
13 EMBED Equation.2 1415 (8.3)
Звідси
13 EMBED Equation.2 1415 (8.4)
Приклад 2. Розглянемо імітацію випадкових величин з експоненціальним (показниковим) розподілом. Відомо, що коли ймовірність появи випадкової події в малому інтервалі часу (t дуже мала і не залежить від появи інших подій, то інтервали часу між послідовними подіями розподіляються за експоненціальним законом:
13 EMBED Equation.2 1415. (8.5)
Наприклад, якщо в певній ситуації з чергами появи клієнтів підпорядкована пуассонівському розподілу з математичним сподіванням, що дорівнює (, то інтервали часу між їх появами мають розподіл (8.5). Цьому закону розподілу підпорядковуються багато явищ: тривалість телефонних розмов, термін служби багатьох електронних деталей, час надходження замовлень на підприємства обслуговування, час прибуття літаків до аеропорту тощо.
Підставляючи (8.5) в (8.2), маємо
13 EMBED Equation.2 1415
Звідси
13 EMBED Equation.2 1415
Величина 13 EMBED Equation.2 1415 також має рівномірний розподіл на відрізку [0, 1]:
13 EMBED Equation.2 1415
Тому вираз для хі можна записати простіше:
13 EMBED Equation.2 1415 (8.6)
Формула (8.6) використовується практично в усіх стандартних підпрограмах імітації розподілів виду (8.5).
Слід зазначити, що стандартний метод імітації неперервних розподілів доцільно застосовувати лише в разі виконання таких умов:
1) інтеграл (8.2) можна взяти (подати в квадратурах);
2) здобуте після інтегрування рівняння розв’язується щодо невідомого 13 EMBED Equation.2 1415
3) остаточна формула не потребує значних витрат машинного часу для її реалізації.
Якщо такі умови не виконуються, то для імітації неперервних випадкових величин застосовують інші методи. Серед таких методів слід виділити метод добору (відбракування), суть якого полягає в такому.
Нехай потрібно дістати послідовність 13 EMBED Equation.2 1415 реалізації випадкової величини X, щільність розподілу ймовірностей якої обмежена 13 EMBED Equation.2 1415 на скінченному відрізку [а, b] (якщо такі умови не виконуються, то початковий розподіл завжди можна зрізати із заданою точністю). Таку послідовність випадкових чисел можна знайти методом добору (відбракування). Це означає, що шукана сукупність чисел являє собою деяку вибірку із спеціально утвореної множини випадкових чисел, а саме: з початкової множини вилучаються числа, що не задовольняють певну умову. Отже, сутність методу полягає ось у чому.
Нехай створено чергові числа 13 EMBED Equation.2 1415 РВП [0, 1]. Виконаємо перетворення
13 EMBED Equation.2 1415 (8.7)
13 EMBED Equation.2 1415 (8.8)
Згідно з (8.4) випадкова величина x( рівномірно розподілена на відрізку [a, b]; y на відрізку [0, c]. Має місце така теорема.
Теорема. Випадкова величина x, визначена умовою
13 EMBED Equation.2 1415, якщо 13 EMBED Equation.2 1415 (8.9)
має щільність розподілу 13 EMBED Equation.2 1415
Доведення міститься у посібниках [1] та [2].
З допомогою цієї теореми можна побудувати доволі простий алгоритм генерування чергового випадкового числа 13 EMBED Equation.2 1415, що має розподіл f (x).
1. Генеруємо наступні два числа 13 EMBED Equation.2 1415 РВП [0, 1].
2. Обчислюємо
13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415
3. Перевіряємо умову 13 EMBED Equation.2 1415 Якщо умова виконується, то переходимо до п. 4, у противному разі до індексу i додаємо 1 і переходимо до п. 1.
4. Формуємо чергове випадкове число 13 EMBED Equation.2 1415 за правилом
13 EMBED Equation.2 1415
Основне співвідношення (8.2), як уже зазначалося, ефективне не для всіх розподілів. Метод добору для деяких функцій щільності ймовірності може бути складним щодо числових розрахунків. У такому разі зручно використовувати наближений спосіб перетворення РВП [0, 1] на випадкові числа з іншим розподілом. Розглянемо сутність цього способу.
Залежність щільності розподілу від можливих значень випадкової величини х зобразимо графічно на відрізку, де х змінюється від a до b 13 EMBED Equation.2 1415 Якщо межі інтервалу змінювання випадкової величини нескінченні, то початковий розподіл зрізуємо із заданою точністю. Зокрема, шукана графічна залежність може бути й експериментальною.
Розіб’ємо відрізок [a, b] на n частин (рис. 8.1) таких, що
13 EMBED Equation.2 1415 = 13 EMBED Equation.2 1415 = . . . = 13 EMBED Equation.2 1415=13 EMBED Equation.2 1415
де 13 EMBED Equation.2 1415 координата точки розбиття.

13 EMBED Word.Picture.8 1415

Рис. 8.1. Графік апроксимації функції щільності розподілу

З урахуванням цього ймовірність випадкової події, яка полягає в тому, що випадкова величина X потрапить в один з інтервалів, подається у вигляді
13 EMBED Equation.2 1415
випадкова точка може потрапити на будь-який відрізок з однаковою ймовірністю.
Функцію щільності f (x) апроксимуємо східчастою функцією так, щоб значення f (x) у кожному інтервалі були сталою величиною.
Координату випадкової точки М, яка потрапила на і-й інтервал, можна подати у вигляді
13 EMBED Equation.2 1415 (8.10)
де ( відстань точки М від лівого кінця інтервалу.
З огляду на лінійну апроксимацію величина ( є рівномірно розподіленою випадковою величиною на відрізку 13 EMBED Equation.2 1415. Цю величину можна дістати за допомогою формули (8.4)
13 EMBED Equation.2 1415.
Номер інтервалу і, в якому міститься випадкова точка М, можна визначити, скориставшись схемою випробувань за «жеребкуванням» для рівноймовірних подій, що утворюють повну групу.
Тому алгоритм пошуку наступного випадкового числа, яке має розподіл f (x) (після виконання попередніх розрахунків щодо апроксимації початкового розподілу), може бути такий.
1. Генеруємо13 EMBED Equation.2 1415 РВП [0, 1].
2. За допомогою 13 EMBED Equation.2 1415 знаходимо індекс
13 EMBED Equation.2 1415 (8.11)
3. За допомогою 13 EMBED Equation.2 1415 знаходимо
13 EMBED Equation.2 1415.
4. Відшукуємо наступне випадкове число
13 EMBED Equation.2 1415. (8.12)
Отже, щоб утворити випадкове число х, необхідно витратити два числа 13 EMBED Equation.2 1415 РВП [0, 1].
Під час вивчення цієї теми особливу увагу слід приділити генеруванню нормально розподілених випадкових чисел, оскільки нормальний (гауссів) розподіл один з найважливіших і найчастіше застосовуваних видів неперервних розподілів.
Щільність розподілу ймовірностей для нормального розподілу
13 EMBED Equation.2 1415 (8.13)
13 EMBED Equation.2 1415
де 13 EMBED Equation.3 1415 математичне сподівання; 13 EMBED Equation.2 1415 дисперсія.
Для генерування нормально розподілених випадкових чисел стандартний метод малоефективний, оскільки відповідний інтеграл
13 EMBED Equation.2 1415
аналітично не обчислюється. При немашинному застосуванні методу Монте-Карло це рівняння можна розв’язати з допомогою таблиць функції Лапласа (інтеграла ймовірностей).
З огляду на специфіку розподілу (8.13) для генерування нормально розподілених випадкових чисел мало придатні також метод добору і наближений метод. Для таких цілей застосовуються інші прийоми, що враховують специфіку нормального розподілу.
Розглянемо найпоширеніші методи, що дають змогу діставати нормально розподілені випадкові числа 13 EMBED Equation.2 1415 з математичним сподіванням, що дорівнює нулю, і одиничною дисперсією. Для знаходження довільних нормально розподілених чисел 13 EMBED Equation.2 1415 з математичним сподіванням 13 EMBED Equation.2 1415 і дисперсією 13 EMBED Equation.2 1415 достатньо виконати лінійне перетворення
13 EMBED Equation.2 1415 (8.14)
Табличний спосіб. У багатьох математичних і статистичних довідниках подаються таблиці нормально розподілених випадкових чисел з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією. Вони можуть використовуватися при ручних обчисленнях та налагодженні програм. Використовуються ці таблиці таким чином: вибирається будь-яке число в таблиці, а далі числа вибираються підряд.
Використання центральної граничної теореми. Для знаходження нормально розподілених випадкових чисел з параметрами 13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415 можна застосувати штучний прийом, що грунту- ється на центральній граничній теоремі.
Візьмемо n рівномірно розподілених на відрізку [–1, 1] випадкових чисел, які визначаються з послідовності РВП [0, 1] за правилом
13 EMBED Equation.2 1415 (8.15)
Нехай
13 EMBED Equation.2 1415 (8.16)
Згідно з центральною граничною теоремою при достатньо великому n величина ( може вважатися нормально розподіленою випадковою величиною з параметрами
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
Знормуємо величину (:
13 EMBED Equation.2 1415
Величина 13 EMBED Equation.2 1415 є нормально розподіленою випадковою величиною з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією:
13 EMBED Equation.2 1415 (8.17)
Отже, знайдено випадкові числа, які мають бути застосовані в перетворенні (8.14).
Практично встановлено, що при 13 EMBED Equation.2 1415 формула (8.17) дає хороші результати. У більшості відомих із друкованих джерел програмних генераторах нормально розподілених випадкових чисел, що грунтуються на центральній граничній теоремі, беруть 13 EMBED Equation.2 1415 Завдяки цьому (8.17) вдається спростити:
13 EMBED Equation.2 1415 (8.18)
З метою прискорення процесу створення нормально розподіленої випадкової величини (тобто для зменшення n) іноді застосовують так звану корекцію. Сутність цього процесу розкривається у посібнику [1].
Генератор нормально розподілених випадкових чисел, що грунтується на (8.18), має ряд недоліків. Для обчислення кожного нормально розподіленого числа доводиться використовувати 12 рівномірно розподілених випадкових чисел. Тому в разі, коли потрібно дістати багато нормально розподілених чисел, запас чисел генератора РВП [0, 1] може бути недостатнім. Крім того, генеровані за межі 13 EMBED Equation.2 1415 випадкові числа не збігаються з теоретично сподіваними. Існує алгоритм, за допомогою якого можна розширити межі до 13 EMBED Equation.2 1415. Прочитайте про це в [1]. Для генерування нормально розподілених випадкових чисел можуть бути використані й інші методі.
Метод Бокса–Маллера. Для генерування нормально розподілених випадкових чисел з параметрами 13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415часто застосовують метод Бокса–Маллера, сутність якого полягає у такому.
Генеруємо два чергові числа 13 EMBED Equation.2 1415 РВП [0, 1]. За допомогою перетворень
13 EMBED Equation.2 1415 (8.19)
13 EMBED Equation.2 1415 (8.20)
дістаємо пару некорельованих нормально розподілених випадкових чисел 13 EMBED Equation.2 1415 і 13 EMBED Equation.2 1415.
Метод Марсальї–Брея є модифікацією щойно описаного методу, з допомогою якої вдається уникнути обчислень синусів і косинусів. Для цього генеруємо два числа РВП [0, 1]. Знаходимо 13 EMBED Equation.2 1415 і 13 EMBED Equation.2 1415 Обчислюємо величину 13 EMBED Equation.2 1415, беручи до уваги таке:
якщо 13 EMBED Equation.2 1415, то цикл повторюється;
якщо 13 EMBED Equation.2 1415, то дістанемо пару нормально розподілених чисел
13 EMBED Equation.2 1415 (8.21)
13 EMBED Equation.2 1415 (8.22)
Якщо цей метод застосовується для генерування 100 пар нормально розподілених випадкових чисел, потрібно витратити в середньому 127 пар випадкових чисел 13 EMBED Equation.2 1415 РВП [0, 1].
Інші методи. У спеціальній літературі наводиться ще один метод знаходження нормально розподілених чисел. Якщо 13 EMBED Equation.2 1415 рівномірно розподілене на відрізку [0, 1] випадкове десяткове число, то нормально розподілене випадкове число з 13 EMBED Equation.2 1415 дістаємо за допомогою перетворення
13 EMBED Equation.2 1415 (8.23)
Який із перерахованих методів імітації нормально розподілених випадкових величин належить використовувати при проведенні імітаційних експериментів цілком залежить від поставлених задач і наявних машинних ресурсів.

Література до теми
Основна
1. Ситник В. Ф., Орленко Н. С. Імітаційне моделювання: Навч. посібник. К.: КНЕУ, 1998. С. 6576.
2. Сытник В. Ф. Основы машинной имитации производственних и организационно-экономических систем. К.: УМК ВО, 1988. ( С. 6578.
Допоміжна
3. Клейн Дж. Статистические метод( в имитационном моделировании. М.: Статистика, 1978. Т.1. С. 3034.
4. Нейлор Т. Машинн(е имитационн(е (ксперимент( с моделями (кономических систем. М.: Мир, 1975. С. 388392.
5. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем искусство и наука. М.: Мир, 1978. С. 388397.
6. Харин Ю. С., Малюгин В. И., Кирлица В. П. и др. Основы имитационного и статистического моделирования: Учеб. пособие. ( Минск: Дизайн ПРО, 1997. ( С. 8695.
7. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1975. С. 3980.
8. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982. С. 1736.
8.2. практичне заняття
Мета заняття: Перевірити розуміння сутності й необхідності розробки методів імітації на ЕОМ неперервних випадкових величин. Набути навички застосовування різних методів та їх модифікацій для реалізації в складі імітаційної моделі випадкових параметрів, які мають різні неперервні функції розподілу.
План
Стандартний метод імітації неперервних випадкових величин.
Метод добору (відбракування) неперервних випадкових величин.
Наближене формування розподілів неперервних випадкових величин.
Генерування нормально розподілених випадкових величин.
8.3. Термінологічний словник
Неперервна випадкова величина випадкова величина X, яка може приймати будь-які значення з деякого замкненого або відкритого інтервалу, в тому числі і нескінченного. Функція розподілу її 13 EMBED Equation.3 1415 є неперервною функцією. Якщо існує невід’ємна функція 13 EMBED Equation.3 1415, така, що для всіх 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 називається щільністю ймовірностей випадкової величини.
Експоненціальний розподіл має щільність ймовірностей та функцію розподілу такого виду:
13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415
Математичне сподівання експоненціально розподіленої випадкової величини дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415, а дисперсія 13 EMBED Equation.3 1415. Цьому закону розподілу підпорядковуються багато явищ: тривалість телефонних розмов, термін служби багатьох електронних деталей, час надходження замовлень на підприємства обслуговування, час прибуття літаків до аеропорту тощо.
Нормальний розподіл найважливіший в теорії ймовірностей закон розподілу ймовірностей. Випадкова величина X має нормальний розподіл з параметрами 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415, якщо щільність розподілу ймовірностей має вигляд 13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415 де 13 EMBED Equation.3 1415 математичне сподівання випадкової величини X; 13 EMBED Equation.2 1415 її дисперсія.
Центральна гранична теорема теорема, що встановлює умови, за яких розподіл імовірностей суми великої кількості незалежних доданків близький до нормального розподілу. Для однаково розподілених доданків такою достатньою умовою є те, щоб доданки мали обмежену, відмінну від нуля дисперсію. Центральна гранична теорема може бути застосована і до суми випадкових величин, які мають неоднаковий розподіл. У такому разі вимагається, щоб серед доданків не було таких, які б впливали на загальну суму більше, ніж решта її складових.
8.4. Навчальні завдання
Вправа 1. До порту заходять танкери для завантаження нафтою, інтервал часу (в годинах) між появою танкерів рівномірно розподілена випадкова величина на відрізку [4, 18]. Танкери можуть бути трьох типів: А, В, С. Скласти методом машинної імітації розклад прибуття танкерів, якщо ймовірності їх появи відповідно дорівнюють 0,25, 0,55, 0,20.
Вправа 2. Згенеруйте ряд значень експоненціально розподіленої випадкової величини, якщо інтенсивність однорідного потоку, що описується цією випадковою величиною, дорівнює ( = 5.
Вправа 3. За допомогою стандартного методу згенеруйте 4 реалізації випадкової величини, яка має розподіл Коші, щільність ймовірностей якого має вигляд
13 EMBED Equation.3 1415.
Вправа 4. Необхідно визначити розмір площі у центрі зайнятості для обслуговування безробітних, які приходять до центру згідно з пуассонівським законом розподілу ймовірностей. Середня інтенсивність дорівнює 2 особи на годину. Час виконання робіт, пов’язаний з обслуговуванням одного клієнта, є експоненціально розподіленою величиною з середнім значенням 0,4 години. Для розміщення однієї людини потрібно мати 1 м2 площі. Скільки місця буде потрібно, щоб розмістити 90% людей, що знаходяться в черзі.
Вправа 5. Згенеруйте 5 нормально розподілених випадкових чисел з математичним сподіванням 6 і дисперсією 9, використовуючи табличний метод; метод, заснований на використанні центральної граничної теореми; метод Бокса–Маллера; метод Марсальї–Брея. Під час виконання вправи слід скористуватися таблицями Д. 1 і Д. 2 посібника [1].
8.5. Завдання для перевірки знань
Для самостійної перевірки знань необхідно сформулювати розширені відповіді на поставлені питання і перевірити їх повноту та правильність за допомогою матеріалів запропонованих літературних джерел.
Поясніть, коли виникає потреба в імітаційному моделюванні генерувати випадкові величини. Наведіть приклади такого застосування. Поясніть, яким чином експериментатор може отримати значення розподілу ймовірностей випадкових величин, що використовуються.
З’ясуйте сутність стандартного методу імітації неперервних розподілів. Доведіть теорему, що покладена в основу даного методу. Наведіть приклади використання стандартного методу для відомих вам розподілів. Сформулюйте умови, за яких використання стандартного методу може бути доцільним.
Запишіть алгоритм імітації випадкової величини з експоненціальним розподілом. Чому і де цей розподіл застосовується на практиці? Покажіть недоцільність застосування стандартного методу для імітації такого розподілу.
Сформулюйте і доведіть теорему, що її покладено в основу методу добору (відбракування). Запишіть алгоритм цього методу. Покажіть переваги і вади цього методу.
Дайте теоретичне обгрунтування наближеного формування неперервних розподілів. Чому під час застосування цього методу можна використовувати як теоретичну функцію розподілу, так і гістограму? Які вади і переваги має наближений метод?
Запишіть закон розподілу нормальної випадкової величини і пригадайте, чому цей розподіл має широке застосування. Чому для генерування нормально розподілених чисел стандартний метод непридатний? Які методи існують для імітації таких чисел? Наведіть характеристики методів, придатних для імітації нормальних розподілів.

Тема 9. Планування імітаційних експериментів: основні визначення
9.1. Методичні поради до вивчення теми
Зміст теми. У темі розкривається сутність експериментальних досліджень. Розглядаються дві основні проблеми, що вирішуються під час виконання натурних чи машинних експериментів. Традиційний спосіб вивчення залежності результатної величини від багатьох незалежних параметрів, його недоліки. Теорія планування експериментів, її вплив на підвищення ефективності експериментальних досліджень. Подається історична довідка про виникнення і розвиток цієї теорії. Розглядається планування екстремальних експериментів. Розповсюдження теорії планування експериментів в економічних дослідженнях завдяки методу машинної імітації. Наводяться основні поняття та визначення теорії планування експериментів. Фактори та вимоги до них. Відгук, функція (реакція, поверхня) відгуку. Параметри оптимізації і керовані параметри. Графічне зображення функції відгуку на плоскому рисунку за допомогою функцій однакового рівня. Подання функції відгуку у вигляді апроксимуючого полінома (рівняння регресії). Основні рівні та інтервали варіювання. Кодовані значення рівнів факторів. Розглядаються основні умови регресивного аналізу та їх реалізація в імітаційному моделюванні. Поняття про факторні плани. Повний факторний план та його властивості (симетричність, нормування, ортогональність, рототабельність). Ефекти взаємодії та їх дослідження. Матриця планування з ефектами взаємодії. Дробові факторні плани. Матриця планування дробових факторних планів. Піврепліки. Репліки високого рівня дрібнення.
Пояснення до теми. Під час вивчення цієї теми слід насамперед звернути увагу на те, що машинне моделювання є специфічною формою проведення експериментальних досліджень. Проведення машинних експериментів має низку важливих переваг порівняно з фізичними (натурними) експериментами, зокрема легкість відтворення (дублювання) умов експерименту та переривання і поновлення його.
Машинні експерименти проводяться для вирішення двох основних проблем дослідження систем та оптимізації систем. Планування експерименту під час розв’язання зазначених проблем полягає у виборі числа та умов проведення дослідів, за яких можна дістати потрібні результати із заданою точністю. Найважливіша умова науково поставленого експерименту мінімізація загального числа спроб (а отже, і витрат матеріальних, трудових та часових ресурсів). Водночас зменшення числа спроб не повинне істотно позначитися на якості здобутої інформації.
Оскільки під час виконання експериментальних досліджень природа досліджуваного процесу здебільшого майже не відома (у противному разі можна скласти й дослідити математичну модель об’єкта, уникнувши дослідів, пов’язаних із значними витратами), то схема експерименту нагадує схему кібернетичного «чорного ящика», властивості якого встановлюються аналізом залежності вимірюваних ендогенних величин при певних комбінаціях рівнів контрольованих вхідних величин.
Нехай y ендогенна величина, а 13EMBED Equation.31415 контрольовані під час дослідів фактори. Тоді процес, що вивчається, може бути описаний за допомогою математичної моделі
13EMBED Equation.31415. (9.1)
Функцію 13EMBED Equation.31415 називають функцією (реакцією, поверхнею) відгуку, а величини 13EMBED Equation.31415 факторами. Розглянемо означення основних категорій планування експериментів.
Задача дослідження системи полягає у встановленні залежності (9.1) або виявленні впливу різних факторів чи їх комбінацій на функцію відгуку. При оптимізації систем необхідно визначити такі рівні факторів, за яких функція відгуку набуває екстремальних значень. У такому разі ендогенну величину y називають параметром оптимізації. Параметр оптимізації повинен мати чітке фізичне чи економічне тлумачення, бути однозначною функцією факторів і легко вимірюватися та приводити до поставленої мети. Функцію відгуку (9.1) при оптимізації систем іноді називають цільовою, а фактори 13EMBED Equation.31415 керованими параметрами.
У процесі проведення експериментів дослідник повинен мати змогу залежно від поставлених цілей обирати потрібне значення факторів або фіксувати його під час досліду. Тому фактори мають бути вимірними і керованими. При імітаційному моделюванні (на відміну від натурних експериментів) будь-який фактор може бути керованим.
Висувається ряд вимог не лише до окремих факторів, а й до всієї сукупності факторів у цілому. Насамперед фактори мають бути незалежними, тобто встановлення деякого рівня одного фактора не повинно залежати від узятих значень інших факторів. Під час проведення фізичних експериментів важливе значення має властивість сумісності факторів (будь-яка комбінація їх рівнів має бути здійсненною і безпечною).
Слід звернути увагу на те, що важливим етапом під час розв’язання задач оптимізації чи дослідження систем є вибір вигляду функції відгуку (9.1) математичної моделі процесу, що вивча- ється. Оскільки істинний опис цієї функції встановити неможливо, то її подають наближено за допомогою апроксимуючого полінома відрізка ряду Тейлора, у який розкладається невідома залежність в околі точки з нульовими координатами:
13EMBED Equation.31415 (9.2)
де
13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415 (9.3)
Апроксимуючий поліном (9.2) беруть першого, другого, а іноді третього степеня, причому порядок його може змінюватися залежно від етапу експерименту або специфіки задачі, що розв’язується. Коефіцієнти полінома (9.3) через відсутність істинного опису функції (9.1) не можуть бути знайдені теоретично. Їх визначають експериментально, проводячи досліди при деяких фіксованих значеннях факторів, причому з огляду на випадковість процесу, що досліджується, чи в результаті помилок при вимірюваннях вихідної величини спроби дублюються.
Після обробки результатів експерименту апроксимуючий поліном (9.2) фактично замінюється рівнянням регресії
13EMBED Equation.31415 (9.4)
де коефіцієнти 13EMBED Equation.31415 статистичні оцінки невідомих теоретичних коефіцієнтів 13EMBED Equation.31415.
Після вибору виду функції відгуку належить встановити межі областей визначення факторів, їх основні рівні та інтервали варіювання. Під час виконання експериментів для кожного фактора обирають два рівні, на яких можна змінювати його значення. Вибір основних рівнів (початкової точки факторного простору) та інтервалів варіювання грунтується на попередніх знаннях щодо процесу, який досліджується. Роблять цей вибір, виходячи з необхідності зменшення числа спроб для розв’язання поставленої задачі. Наприклад, якщо відшукується оптимальне значення функції відгуку, то за початкову точку може бути обрана точка факторного простору, яка на підставі деяких міркувань має лежати поблизу від області екстремуму.
Отже, в результаті попередньої роботи для кожного і-го фактора визначаються:
13EMBED Equation.31415 основний рівень і-го фактора;
13EMBED Equation.31415 верхній рівень і-го фактора;
13EMBED Equation.31415 нижній рівень і-го фактора;
13EMBED Equation.31415 інтервал варіювання.
Під час проведення експериментів використовуються кодовані значення рівнів факторів. При цьому основний рівень беруть таким, що дорівнює нулю, верхній +1, нижній –1. Кодування виконують за формулою
13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415. (9.5)
Кількість усіх точок факторного простору при дворівневій системі змінювання факторів, у яких необхідно експериментально шукати значення функції відгуку, дорівнює 13EMBED Equation.31415, де n число факторів.
Для визначення коефіцієнтів рівняння регресії (9.4) експериментально знаходять значення ендогенної величини у в N точках факторного простору (при дворівневій системі змінювання факторів 13EMBED Equation.31415), причому спроби в кожній точці дублюються k раз. У загальному випадку число повторювань дослідів (паралельних спроб) у точках факторного простору може бути різним, проте в імітаційних моделях економічних систем це число доцільно вважати єдиним для всіх точок факторного простору, в яких ставитиметься експеримент.
Під час вивчення цієї теми слід звернути увагу на те, що задача визначення коефіцієнтів регресії є типовою для регресивого аналізу. Тому для коректного використання розробленого в цій теорії інструментарію необхідно, щоб виконувалися розглянуті далі умови.
1. Результати спостережень 13EMBED Equation.31415 величини y в N точках факторного простору являють собою реалізацію нормально розподіленої випадкової величини.
2. Дисперсії реалізацій 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415 рівні між собою, тобто дисперсія величини y не залежить від її абсолютного значення.
3. Фактори 13EMBED Equation.31415 незалежні величини, вимірювані з настільки малою похибкою, що нею можна знехтувати порівняно з похибкою визначення величини y.
У разі імітаційного моделювання третя умова виконується завжди, а перша і друга мають перевірятися з допомогою спеціальних тестів.
При дворівневій системі змінювання факторів (а саме такі системи найчастіше використовуються в експериментах) число всіх точок факторного простору дорівнює 13EMBED Equation.31415 (базова точка, в околі якої шукають лінійну апроксимацію функції відгуку, до уваги не береться, оскільки в цій точці експеримент не проводиться).
Нехай в експерименті реалізуються всі можливі поєднання рівнів факторів, тобто 13EMBED Equation.31415. Такий експеримент називається повним факторним експериментом (планом). Повний факторний експеримент зручно подавати у вигляді матриці планування. Геометрично повний факторний план при 13EMBED Equation.31415 можна зобразити у вигляді куба, центр якого відповідає точці основного рівня факторів, а координати вершин задані умовами спроб. При 13EMBED Equation.31415 повний факторний план геометрично означає n-вимірний гіперкуб.
Повні факторні плани мають важливі для планування експериментів властивості:
симетричність плану відносно центра експерименту
13EMBED Equation.31415
де 13EMBED Equation.31415 значення рівня i-го фактора в j-й спробі;
нормування плану
13EMBED Equation.31415
ортогональність плану скалярні добутки векторів-стовпців матриці планування дорівнюють нулю:
13EMBED Equation.31415
рототабельність (від лат. roto обертаюсь) плану означає, що точність передбачення значення функції відгуку однакова на рівних відстанях від центра експерименту і не залежить від напряму руху (в рототабельних планах точки факторного простору, що використовуються для спроб, лежать на поверхні сфери, центром якої є точка основного рівня).
Повні факторні плани дають змогу встановити вплив на функцію відгуку не тільки окремо кожного фактора, а і їх комбінації, тобто дослідити так званий ефект взаємодії. Для цього до матриці планування додатково вносять вектори-стовпці, що містять значення комбінацій рівнів факторів. Крім того, з метою спрощення обробки даних до матриці планування введено деякий фіктивний фактор 13EMBED Equation.31415, що набуває єдиного значення +1. Зауважимо також, що матриця планування з ефектами взаємодії зберігає перелічені властивості повних факторних планів.
Слід зазначити, що в умовах, коли відсутній вплив ефектів взаємодії на функцію відгуку, коефіцієнти регресії в рівнянні (9.4), що стоять при нелінійних членах, малі порівняно з коефіцієнтами при лінійних членах. Це означає, що функція відгуку може описуватися поліномом першого ступеня. У такому разі необхідно визначити 13EMBED Equation.31415 невідомих коефіцієнтів 13EMBED Equation.31415. Оскільки в повному факторному плані виконується 13EMBED Equation.31415 спроб, то з огляду на умову 13EMBED Equation.31415 здобуті дані для багатофакторних планів будуть надмірними. Тому для оцінок коефіцієнтів у лінійних апроксимуючих поліномах використовуються дробові факторні плани, у яких число спроб менше за число точок у факторному просторі. Наприклад, коли в повному двофакторному плані знехтувати ефектом взаємодії факторів Х1 і Х2, то вектор-стовпець матриці планування, у якому розміщені елементи добутку13EMBED Equation.31415, можна використати для запису рівнів третього фактора 13EMBED Equation.31415. Здобутий при цьому дробовий факторний план матиме властивості симетричності, нормованості, ортогональності, рототабельності.
Утворений таким чином дробовий факторний план називається півреплікою і позначається13EMBED Equation.31415. Доповнюючу повний факторний план піврепліку, яка реалізує другу половину повного трифакторного плану, можна дістати, якщо в повному двофакторному плані значення елементів (–13EMBED Equation.31415) присвоїти рівням фактора13EMBED Equation.31415.
Слід зазначити, що на практиці планування експериментів використовуються репліки і вищого ступеня дрібнення. Наприклад, під час проведення п’ятифакторних експериментів 1/4-репліку 13EMBED Equation.31415 можна дістати з допомогою матриці трифакторного повного експерименту з ефектами взаємодії шляхом: 13EMBED Equation.31415 присвоєння фактору13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415, а вектори-стовпці 13EMBED Equation.31415 і 13EMBED Equation.31415 відкинуті (усього буде 12 можливостей побудови 1/4-реплік 13EMBED Equation.31415). Що стосується 1/8-репліки шестифакторного експерименту 13EMBED Equation.31415, то її можна дістати за правилом: 13EMBED Equation.31415= 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415= 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415= 13EMBED Equation.31415 (таких можливих перетворень буде 24).

Література до теми
Основна
1. Ситник В. Ф., Орленко Н. С. Імітаційне моделювання: Навч. посібник. К.: КНЕУ, 1998. С. 7685.
2. С(тник В. Ф. Основ( машинной имитации производственн(х и организационно-(кономических систем. К.: УМК ВО, 1988. С. 7888.
Допоміжна
3. Клейн Дж. Статистические метод( в имитационном моделировании. М.: Статистика, 1978. Т.2. С. 737.
4. Нейлор Т. Машинн(е имитационн(е (ксперимент( с моделями (кономических систем. М.: Мир, 1975. С. 165175.
5. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем искусство и наука. М.: Мир, 1978. С. 173198.
6. Асатурян В. И. Теория планирования эксперимента: Учеб. пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1983. С. 118163.
7. Адлер Ю. П., Маркова Е. В., Грановский Ю. В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М.: Наука, 1976. С.14113.
8. Вознесенский В. А. Статистические методы планирования эксперимента в технико-экономических исследованиях. М.: Статистика, 1974. С. 6281.
9. Харин Ю. С., Малюгин В. И., Кирлица В. П. и др. Основы имитационного и статистического моделирования. Учеб. пособие: Минск: Дизайн ПРО, 1997. С. 123135.
Програмне забезпечення
Методика планування експерименту реалізована в деяких сучасних програмних засобах, зокрема в досить розповсюдженій «Статистичній графічній системі STATGRAPHICS». Опишемо процедури цієї системи, які використовуються для визначення експериментальної стратегії перед збиранням даних, тобто перед проведенням експериментів (натурних чи машинних).
Планування експерименту (Experimental Design)
FULL AND FRACTIONAL FACTORIALS Команда: FDESIGN
Процедура застосовується для побудови і аналізу дворівневого факторного експерименту, який використовується для вивчення впливу кількісних факторів (окремо кожного фактора і їх взаємодії). Процедура дозволяє використовувати до 11 факторів і 128 серій (точок факторного простору). Експериментальна серія кодується (–) для нижнього рівня і (+) для верхнього рівня фактора.
CENTRAL COMPOSITE DESIGN Команда: CDESIGN
Процедура генерує матрицю планування для центрального композиційного плану другого порядку (максимальна кількість факторів 8). Спроектовані точки можуть використовуватися для моделей другого порядку, котрі мають лінійні та квадратичні ефекти.
ALIAS STRUCTURE Команда: ALIAS
Процедура дає змогу визначити альтернативний зразок для взаємодії двох факторів по матриці планування, котра вміщує в стовпцях рівні експериментальних факторів.
RESPONSE SURFASE PLOTTING Команда: SURFACE
Процедура будує поверхневі й контурні графіки для функцій полінома другого порядку та ін. Поверхневий графік визначається функцією: 13EMBED Equation.31415. Контурний графік являє собою двовимірну поверхню, аналогічну топографічній мапі.
9.2. практичне заняття
Мета заняття: Перевірити розуміння сутності планування імітаційних експериментів і розглянути основні положення та визначення цієї теорії. Набути навички самостійної побудови матриць факторних планів та перевірки їх властивостей. Ознайомитися з модулем Experimental Design Статистичної графічної системи STATGRAPHICS.
План
Основні поняття та визначення планування імітаційного експерименту.
Апроксимуючий поліном функції відгуку.
Дворівнева система вимірювання факторів.
Повні факторні плани та їхні властивості.
Дробові факторні плани і умови доцільності їх застосування.
Засоби планування експерименту системи STATGRAPHICS.
9.3. Термінологічний словник
Ендогенна величина величина, зумовлена внутрішніми причинами системи, що моделюється, тому її змінювання відбувається в самій системі. Часто ендогенні величини виступають як характеристики (вихідні або результатні величини) систем при їх вивченні засобами імітаційного моделювання.
Планування експерименту математико-статистична дисципліна, яка вивчає методи раціональної організації експериментальних досліджень, зокрема при проведенні машинної імітації як експериментального способу дослідження економічних та організаційно-виробничих систем.
Дослідження систем виявлення закономірностей розвитку системи й встановлення кількісних співвідношень між змінними величинами та параметрами, що описують функціонування системи.
Оптимізація систем встановлення значень факторів, які забезпечують оптимальний режим функціонування системи.
Відгук ендогенна (зумовлена внутрішніми причинами) випадкова величина y, яка, за припущенням, залежить від факторів.
Фактори 13EMBED Equation.31415 змінні величини, які, за припущенням, впливають на результати експериментів.
Функція відгуку математична модель 13EMBED Equation.31415, що являє собою залежність математичного сподівання від факторів.
Регресивний аналіз розділ математичної статистики, який об’єднує практичні методи дослідження регресивної залежності між величинами за даними статистичних спостережень. Він полягає у побудові рівняння регресії, за допомогою якого знаходиться середнє значення випадкової величини, якщо величина іншої (або інших у випадку багатофакторної регресії) відома.
Повний факторний експеримент (план) експеримент, у якому реалізуються всі можливі поєднання рівнів факторів, тобто число точок дорівнює 13EMBED Equation.31415.
Матриця планування форма подання повного факторного експерименту. Матриця має n+1 стовпців і N рядків: в n стовпцях записані можливі значення факторів, а в n+1-му стовпцю експериментально знайдене значення функції відгуку; кожен рядок відповідає номеру спроби, тобто вміщує координати відповідної точки факторного простору.
Дробовий факторний експеримент (план) експеримент, в якому реалізується лише частина числа можливих поєднань рівнів факторів, тобто 13EMBED Equation.31415.
9.4. Навчальні завдання
Вправа 1. У табл. 9.1 подано матрицю повного трифакторного експерименту. За допомогою цієї матриці побудувати дві можливі піврепліки 13EMBED Equation.31415.
Таблиця 9.1
Матриця планування для повного факторного експерименту
Номер спроби
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415

1
–1
–1
+1
13 EMBED Equation.2 1415

2
+1
–1
–1
13 EMBED Equation.2 1415

3
–1
+1
–1
13 EMBED Equation.2 1415

4
+1
+1
+1
13 EMBED Equation.2 1415

5
–1
–1
–1
13 EMBED Equation.2 1415

6
+1
–1
+1
13 EMBED Equation.2 1415

7
–1
+1
+1
13 EMBED Equation.2 1415

8
+1
+1
–1
13 EMBED Equation.2 1415

Вправа 2. Користуючись табл. 9.1, побудувати всі піврепліки 13EMBED Equation.31415 для чотирифакторних планів, використовуючи підстановки:
13EMBED Equation.3141513EMBED Equation.31415=13EMBED Equation.31415; –13EMBED Equation.31415; 13EMBED Equation.31415; –13EMBED Equation.31415; 13EMBED Equation.31415; 13EMBED Equation.31415; 13EMBED Equation.31415; –13EMBED Equation.31415.
Вправа 3. Для всіх утворених дробових факторних планів перевірити властивості: симетричності плану; нормування плану; ортогональності плану.
9.5. Завдання для перевірки знань
Для самостійної перевірки знань слід сформулювати розширені відповіді на поставлені питання і перевірити їх повноту та правильність за допомогою матеріалів запропонованих літературних джерел.
У чому полягає принципова схожість і відмінність проведення натурних (фізичних) і машинних експериментів? Наведіть приклади, коли систему неможливо дослідити за допомогою реального експериментального дослідження.
Назвіть причини низької ефективності традиційних експериментальних досліджень. Які основні ідеї закладено в теорію планування експериментів?
З якою метою під час проведення машинних експериментів використовується дворівнева система вимірювання факторів? Як перейти від кодованої до звичайної системи вимірювання факторів?
Які є необхідні передумови з точки зору вимог регресивного аналізу для успішного проведення машинних експериментів і яким чином їх можна виконати в імітаційному моделюванні?
Які переваги і недоліки має застосування дробових факторних планів під час проведення натурних та імітаційних експериментів?
Що таке ефект взаємодії факторів і які є можливості їх дослідження за допомогою матриці планування експерименту?
Тема 10. Утворення апроксимуючих поліномів
10.1. Методичні поради до вивчення теми
Зміст теми. У темі розглядаються апроксимуючий поліном і експериментальне визначення його коефіцієнтів за допомогою методу найменших квадратів. Система нормальних рівнянь та її спрощення для умов проведення повного чи дробового факторного експерименту. Обчислення коефіцієнтів лінійної регресії. Приведення до лінійного виду апроксимуючого полінома другого степеня. Композиційний план і його матриця. Нульова і «зіркові» точки. «Зіркове» плече. Ортогональний центральний композиційний план і методи розрахунку його параметрів. Рототабельний композиційний план. Уніформність плану. Матриця планування рототабельного композиційного плану. Розрахункові формули для обчислення коефіцієнтів квадратичної регресії. Умови застосування різних композиційних планів.
Пояснення до теми. Для вивчення цієї теми слід досконало розібратися в попередній темі і з’ясувати концептуальні засади процесу апроксимації експериментально знайдених значень невідомої функції відгуку поліномами різного ступеня. Щоб дістати опис функції відгуку, виконують N спроб (повні факторні плани, дробові факторні плани), результати яких використовують для обчислення коефіцієнтів рівняння регресії. При цьому спочатку з’ясовують, як правило, чи можлива лінійна апроксимація функції відгуку в заданій області змінювання факторів. До поліномів вищого ступеня переходять в тому разі, коли лінійна модель не адекватна здобутим дослідним даним або потрібно глибше вивчити характер походження функції відгуку в околі деякої точки.
Рівняння лінійної регресії
13 EMBED Equation.2 1415. (10.1)
Коефіцієнти регресії обчислюються методом найменших квадратів. Суму квадратів відхилень розрахункових значень вихідної величини у від спостережуваних під час експерименту запишемо у вигляді
13 EMBED Equation.2 1415.
Слід зазначити, що останній вираз можна спростити, якщо коефіцієнт 13 EMBED Equation.2 1415 помножити на фіктивну змінну 13 EMBED Equation.2 1415, що завжди набуває значення +1:
13 EMBED Equation.2 1415. (10.2)
Визначивши частинні похідні функції (10.2) і прирівнявши їх до нуля, дістанемо систему нормальних рівнянь для обчислення коефіцієнтів регресії, що забезпечують мінімум суми квадратів відхилень U:
13 EMBED Equation.2 1415 (10.3)
де
13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415; (10.4)
13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415. (10.5)
Розглянемо систему нормальних рівнянь (10.3) для умов проведення повного (дробового) факторного експерименту. З урахуванням властивостей нормування та ортогональності формула для обчислення коефіцієнтів 13 EMBED Equation.2 1415 спрощується (введення фіктивної змінної не порушує цих властивостей):
13 EMBED Equation.2 1415= 13 EMBED Equation.2 141513 EMBED Equation.2 1415. (10.6)
З урахуванням (10.6) систему нормальних рівнянь (10.3) можна подати у вигляді
13 EMBED Equation.2 1415 (10.7)
Підставляючи значення 13 EMBED Equation.2 1415 з (10.5), дістанемо вираз для обчислення коефіцієнтів регресії:
13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415. (10.8)
Зазначимо, що згідно з останнім виразом коефіцієнти лінійної регресії визначаються окремо для кожного фактора, тобто вони незалежні один від одного. Як буде показано пізніше, ця властивість є виключно важливою для оцінки впливу факторів на функцію відгуку (можна виключати чи включати різні фактори в імітаційний експеримент, залишаючи без зміни коефіцієнти регресії решти факторів.
Методом найменших квадратів так само можна обчислити й коефіцієнти регресії апроксимуючого полінома другого ступеня
13 EMBED Equation.2 1415 (10.9)
Рівняння (10.9) можна записати у вигляді лінійного полінома відносно нових змінних 13 EMBED Equation.2 1415, пов’язаних з факторами системи за правилом
13 EMBED Equation.2 1415
Після таких перетворень коефіцієнти регресії можна знайти, якщо записати систему нормальних рівнянь (10.3) і обчислити коефіцієнти 13 EMBED Equation.2 1415 і 13 EMBED Equation.2 1415 з урахуванням нової системи невідомих.
Наприклад, поліном другого ступеня для двофакторної моделі
13 EMBED Equation.2 1415
перетвориться до лінійного вигляду
13 EMBED Equation.2 1415
за допомогою системи позначень
13 EMBED Equation.2 1415
Проте для обчислення коефіцієнтів регресії полінома другого ступеня (10.9) дворівневі факторні експерименти непридатні, тому що вектори-стовпці, які відповідають змінним 13 EMBED Equation.2 1415і 13 EMBED Equation.2 1415 в матриці планування, не відрізняються один від одного, а їхні елементи мають один і той самий рівень +1, тобто фіксуються під час експерименту. Отже, вплив кожного з факторів 13 EMBED Equation.2 1415і 13 EMBED Equation.2 1415 окремо на функцію відгуку виявити не можна. Тому для побудови поліномів другого ступеня потрібно варіювати значення факторів принаймні на трьох рівнях.
Таблиця 10.1
Матриця композиційного плану
Номер спроби
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415

1
+1
–1
–1
+1
+1
+1
+1
13 EMBED Equation.2 1415

2
+1
+1
–1
–1
+1
+1
+1
13 EMBED Equation.2 1415

3
+1
–1
+1
–1
+1
+1
+1
13 EMBED Equation.2 1415

4
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
13 EMBED Equation.2 1415

5
+1
–1
–1
–1
+1
+1
+1
13 EMBED Equation.2 1415

6
+1
+1
–1
+1
+1
+1
+1
13 EMBED Equation.2 1415

7
+1
–1
+1
+1
+1
+1
+1
13 EMBED Equation.2 1415

8
+1
+1
+1
–1
+1
+1
+1
13 EMBED Equation.2 1415

Закінчення табл. 10.1
Номер спроби
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415

9
+1
+13 EMBED Equation.2 1415
0
0
13 EMBED Equation.2 1415
0
0
13 EMBED Equation.2 1415

10
+1
–13 EMBED Equation.2 1415
0
0
13 EMBED Equation.2 1415
0
0
13 EMBED Equation.2 1415

11
+1
0
+13 EMBED Equation.2 1415
0
0
13 EMBED Equation.2 1415
0
13 EMBED Equation.2 1415

12
+1
0
–13 EMBED Equation.2 1415
0
0
13 EMBED Equation.2 1415
0
13 EMBED Equation.2 1415

13
+1
0
0
+13 EMBED Equation.2 1415
0
0
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415

14
+1
0
0
–13 EMBED Equation.2 1415
0
0
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415

15
+1
0
0
0
0
0
0
13 EMBED Equation.2 1415


Оскільки до квадратних рівнянь регресії переходять, як правило, тоді, коли виявиться неадекватність лінійної апроксимації процесу, що досліджується, то з метою збереження здобутих для розрахунків лінійних коефіцієнтів регресії експериментальних даних до повного (або дробового) факторного плану додають нові точки:
нульову точку, тобто базову (центральну) точку повного чи дробового факторного плану;
«зіркові» точки, розміщені на осях кодової системи координат.
Створені таким способом плани називають композиційними. «Зіркові» точки містяться на осях координат на однаковій відстані l від центральної точки, яка називається зірковим плечем. У табл. 10.1 наведено точки композиційного плану для трьох факторів. Геометричну інтерпретацію цього плану подано на рис. 10.1, де цифрами позначені точки, в яких виконуватимуться дослідження («зіркові» точки мають номери 9 14).
13 EMBED Word.Picture.6 1415
Рис. 10.1. Геометрична інтерпретація композиційного плану (n = 3)
Значення зіркового плеча l обчислюється залежно від обраного критерію оптимальності композиційного плану. При побудові квадратних поліномів найчастіше використовуються два критерії оптимальності: ортогональність і рототабельність.
Композиційний план, вектори-стовпці матриці планування якого ортогональні, називається ортогональним центральним композиційним планом. Властивість ортогональності планів дуже істотна, оскільки дає змогу, як уже зазначалось, визначати коефіцієнти регресії незалежно один від одного. Це означає, що матриця коефіцієнтів 13 EMBED Equation.2 1415 системи нормальних рівнянь (10.3) при ортогональності плану має діагональний вигляд.
Матриця планування ортогоналізується перетворенням квадратичних членів
13 EMBED Equation.2 1415 (10.10)
У цьому разі вектор-стовпець фактора 13 EMBED Equation.2 1415 буде ортогональним до векторів-стовпців, які відповідають факторам13 EMBED Equation.2 1415, тобто
13 EMBED Equation.2 1415
З урахуванням перетворення (10.10) поліном (10.9) запишеться у вигляді
13 EMBED Equation.2 1415
Значення зіркового плеча l обирається з умови ортогональності векторів-стовпців 13 EMBED Equation.2 1415 і 13 EMBED Equation.2 1415 матриці планування:
13 EMBED Equation.2 1415 (10.11)
Підставивши у (10.11) вираз (10.10) і виконавши перетворення, дістанемо біквадратне рівняння для визначення зіркового плеча
13 EMBED Equation.2 1415 (10.12)
Зазначимо, що ця формула справджується для випадку, коли ортогональний композиційний план здобуто додаванням зіркових точок до повного факторного плану при однаковій кількості дублюючих (паралельних) спроб для всіх точок плану. Якщо число таких спроб різне, то за допомогою співвідношення (10.11) можна дістати рівняння для обчислення зіркового плеча, вважаючи кожну дублюючу спробу новою точкою композиційного плану.
Якщо композиційний план створено на підставі дробового факторного плану, то рівняння для розрахунку зіркового плеча матиме вигляд
13 EMBED Equation.3 1415 ND 13 EMBED Equation.2 1415 ND 13 EMBED Equation.3 1415 (10.13)
де ND число точок у дробовому факторному плані.
У табл. 10.2 наведено параметри ортогональних центральних композиційних планів для різного числа факторів, причому для дво-, три- та чотирифакторного простору використовуються повні факторні плани, а для п’ятифакторного піврепліка 13 EMBED Equation.2 1415

Таблиця 10.2
Параметри композиційних планів
Число факторів n
Число центральних точок N0
Загальне число спроб
Значення зіркового плеча l

Ортогональні центральні композиційні плани

2
-
9
1,0

3
-
15
1,215

4
-
25
1,414

5
-
27
1,547

Рототабельні композиційні плани

2
5
13
1,414

3
7
20
1,682

4
6
31
2,0

5
5
32
2,0


Під час планування експериментів для побудови поліномів другого ступеня поряд з ортогональними центральними композиційними планами часто застосовуються рототабельні композиційні плани, в яких зіркове плече визначається з умови рототабельності.
Рототабельні плани забезпечують однакову точність прогнозування ендогенної величини y в усіх напрямах на однаковій відстані від центра планування, тобто виконується умова
13 EMBED Equation.2 1415 при 13 EMBED Equation.2 1415 (10.14)
де R відстань від центра плану до точки, в якій величина y обчислюється з допомогою полінома другого ступеня (10.9).
Зіркове плече, що забезпечує рототабельність композиційного плану, побудованого на підставі повного факторного плану, обчислюється за формулою
13 EMBED Equation.2 1415.
Якщо в композиційному плані використовується піврепліка, то формула для розрахунку величини l має інший вигляд:
13 EMBED Equation.2 1415.
При рототабельному композиційному плануванні часто використовують властивість уніформності, що забезпечує виконання умови (10.14) в деякій області навколо центра плану. Уніформність плану досягається за рахунок внесення до композиційного плану N0 центральних точок, тобто N0 спроб виконується в точці з нульовими координатами.
Параметри рототабельних композиційних планів, побудованих на підставі повних факторних планів (n = 2, 3, 4) і піврепліки (n = 5), наведено в табл. 10.2.
Точки композиційного рототабельного плану належать трьом сферам: центральні точки це точки сфери нульового радіуса; точки повного (дробового) факторного плану точки сфери, описаної навколо куба, що відповідає повному (дробовому) факторному плану; зіркові точки точки сфери, радіус якої дорівнює величині зіркового плеча.
Коефіцієнти квадратичної регресії в центральних рототабельних планах визначаються методом найменших квадратів за допомогою описаних раніше лінійних перетворень. Остаточні розрахункові формули мають такий вигляд:
13 EMBED Equation.2 1415 (10.15)
13 EMBED Equation.2 1415 (10.16)
13 EMBED Equation.2 1415 (10.17)
13 EMBED Equation.2 1415 (10.18)
де
13 EMBED Equation.2 1415 (10.19)
13 EMBED Equation.2 1415 (10.20)
13 EMBED Equation.2 1415 (10.21)
У (10.15) (10.18) функція відгуку 13 EMBED Equation.2 1415 у кожній j-й спробі являє собою середнє арифметичне значення k вимірювань величини 13 EMBED Equation.2 1415 за однакових умов:
13 EMBED Equation.2 1415 (10.22)
де 13 EMBED Equation.2 1415 s-те вимірювання функції відгуку в j-й точці плану.
У композиційних рототабельних планах перетворення типу (3.19) не виконуються, тому рівняння квадратичної регресії (10.10) у кодованій системі вимірювань факторів має такий вигляд
13 EMBED Equation.2 1415
Властивості матриці планування композиційного рототабельного плану, заданого в кодованій системі вимірювання факторів, дають змогу спростити формули для 13 EMBED Equation.2 1415 і c:
13 EMBED Equation.2 1415
де 13 EMBED Equation.2 1415 число спроб у початковому факторному плані (13 EMBED Equation.2 1415 для повного факторного плану і 13 EMBED Equation.2 1415 для піврепліки).
На закінчення зауважимо, що при проведенні експерментальних досліджень з метою оптимізації систем з двох типів композиційних планів (ортогональних і рототабельних) перевагу слід надати рототабельним. Вони забезпечують однакову точність передбачення функції відгуку в усіх напрямах на однаковій відстані від центра плану. Оскільки у практиці чисельної оптимізації на черговому кроці напрям руху до точки оптимуму наперед не відомий, то зазначена властивість рототабельних планів може виявитися вирішальною.
Література до теми
Основна
1. Ситник В. Ф., Орленко Н. С. Імітаційне моделювання: Навч. посібник. К.: КНЕУ, 1998. С. 8594.
2. С(тник В. Ф. Основ( машинной имитации производственн(х и организационно-(кономических систем. К.: УМК ВО, 1988. С. 8897.
Допоміжна
3. Асатурян В. И. Теория планирования эксперимента: Учеб. пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1983. С. 5974.
4. Адлер Ю. П., Маркова Е. В., Грановский Ю. В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М.: Наука, 1976. С. 141148.
5. Вознесенский В. А. Статистические методы планирования эксперимента в технико-экономических исследованиях. М.: Статистика, 1974. С. 8198.
10.2. практичне заняття
Мета заняття: Перевірити розуміння сутності процесу апроксимації експериментально знайдених значень невідомої функції відгуку поліномами (рівняннями регресії), навчитися будувати композиційні плани за допомогою критеріїв ортогональності і рототабельності, набути навички розраховувати коефіцієнти лінійної і квадратичної регресії як звичайними методами, так і з використанням статистичних пакетів прикладних програм, зокрема Статистичної графічної системи STATGRAPHICS.
План
1. Одержання коефіцієнтів лінійної регресії.
2. Апроксимуючий поліном другого ступеня.
3. Побудова композиційних планів.
4. Ортогональний центральний композиційний експеримент.
5. Рототабельний композиційний експеримент.
10.3. Термінологічний словник
Метод найменших квадратів математично-статистичний метод, який полягає в тому, що функція (котра може бути відомою, або заданою динамічним рядом чи таблицею експериментальних даних) для опису деякого явища апроксимується більш простою функцією (лінійною функцією, параболою, поліномами різного ступеня тощо). Апроксимуюча функція добирається таким чином, щоб середньоквадратичне відхилення (сума квадратів відхилень) фактичних рівнів функції в спостережуваних точках від вирівняних було найменшим.
Апроксимація наближене зображення одних математичних об’єктів іншими.
Композиційний план план, який включає повний чи дробовий факторні експерименти, нульову (центральну) точку, «зіркові» точки, розміщені на осях кодованої системи координат. Використовується для апроксимації функції відгуку поліномом другого ступеня.
Ортогональний композиційний план композиційний план, величина зіркового плеча якого визначається з умови ортогональності усіх вектор-стовпців матриці планування.
Рототабельний композиційний план композиційний план, величина зіркового плеча якого визначається з умови рототабельності, що забезпечує однакову точність передбачення функції відгуку на рівних відстанях від центра експерименту.
Точка оптимуму (оптимальна точка) в економіко-математичних моделях є точка факторного простору, яка відповідає оптимальному плану, тобто плану, котрий є найкращим з точки зору обраного критерію оптимізації.
Економіко-математична модель математичний опис економічного явища чи об’єкта, який виконується з метою дослідження і управління ними.
10.4. Навчальні завдання
Вправа 1. Записати у вигляді лінійного поліному шляхом відповідної заміни змінних апроксимуючий поліном другого ступеня для трифакторної моделі 13 EMBED Equation.2 1415
Вправа 2. Користуючись табл. 10.1, побудувати ортогональні центральні композиційні плани для різного числа факторів: n = 2; 3; 4 на основі повного факторного експерименту; n = 5 на основі піврепліки 13 EMBED Equation.2 1415
Вправа 3. Користуючись табл.10.1, побудувати рототабельні композиційні плани для різного числа факторів: n = 2; 3; 4 на основі повного факторного експерименту; n = 5 на основі піврепліки 13 EMBED Equation.2 1415
10.5. Завдання для перевірки знань
Для самостійної перевірки знань слід сформулювати розширені відповіді на поставлені питання і перевірити їх повноту та правильність за допомогою матеріалів запропонованих літературних джерел.
У чому полягає потреба заміняти функцію відгуку рівняннями регресії і в чому полягає основна ідея пошуку таких рівнянь за допомогою машинних експериментів?
Поясніть, чому неможливо визначити коефіцієнти при нелінійних членах регресії шляхом проведення повного чи дробового факторних експериментів.
Поясніть, чому в композиційні плани обов'язково включаються точки повного чи дробового факторних планів.
Зобразіть на площині геометричну інтерпретацію двофакторного композиційного плану.
Дайте розширену характеристику двох критеріїв оптимальності: ортогональності та рототабельності і з’ясуйте, за яких обставин доцільно використовувати їх під час побудови композиційних планів.
Поясніть, чому під час розв’язання задач оптимізації систем для проведення імітаційних експериментів обираються ротота- бельні композиційні плани.

Тема 11. Статистична перевірка результатів експериментальних досліджень
11.1. Методичні поради до вивчення теми
Зміст теми. У темі розкривається сутність статистичної перевірки експериментальних даних. Поняття однорідності дисперсії. Подаються формули для розрахунку статистичної оцінки дисперсії функції відгуку. Перевірка гіпотези щодо належності вибіркових дисперсій до однієї генеральної сукупності. Схема перевірки гіпотези про однорідність вибіркових дисперсій за критерієм Кохрена. Умови застосування для перевірки гіпотези про однорідність дисперсії критеріїв Фішера і Романовського. Формула для обчислення більш точної оцінки дисперсії функції відгуку за умов, коли гіпотеза про однорідність вибіркових дисперсій приймається. Перевірка значущості коефіцієнтів регресії. Перевірка нуль-гіпотези. Схема перевірки значущості коефіцієнтів лінійної регресії за критерієм Стьюдента. Причини, які зумовлюють статистичну незначущість коефіцієнтів регресії. Перевірка значущості коефіцієнтів квадратичної регресії. Формули для розрахунків дисперсій похибок визначення коефіцієнтів регресії в ортогональному центральному композиційному експерименті та при рототабельному композиційному плануванні. Необхідність статистичної перевірки адекватності моделі. Формула для обчислення дисперсії адекватності. Схема перевірки адекватності моделі за критерієм Фішера. Розглядаються дії експериментатора за умови, коли гіпотеза про адекватність моделі відхиляється.
Пояснення до теми. Під час вивчення цієї теми треба з’ясувати необхідність проведення статистичної перевірки результатів експериментальних (у даному випадку імітаційних) досліджень. Зокрема, згідно з вимогами регресивного аналізу коректна обробка та використання результатів експериментальних досліджень можливі лише в тому разі, коли дисперсії вимірювання функції відгуку в кожній точці експерименту однакові. Така властивість називається однорідністю дисперсій.
Перш ніж знаходити за результатами досліджень математичний опис функції відгуку в заданих межах змінювання факторів, необхідно переконатися в однорідності дисперсій значень величини функції відгуку у. Оскільки теоретичні значення дисперсій невідомі, то наявність однорідності дисперсій визначається за їх статистичними оцінками.
Статистичні оцінки 13 EMBED Equation.2 1415 дисперсій 13 EMBED Equation.2 1415 для кожної j-ї спроби обчислюються за формулою
13 EMBED Equation.2 1415 (11.1)
де 13 EMBED Equation.2 1415 число повторень (дублювань) експерименту в кожній точці плану (це число далі беруть одне й те саме для всіх спроб); 13 EMBED Equation.2 1415 значення функції відгуку в 13 EMBED Equation.2 1415j-й спробі, що визначається за формулою (10.22).
Очевидно, що в результаті дії випадкових факторів при обчисленнях значень функції відгуку в кожній спробі не доводиться сподіватися на рівність оцінок дисперсій 13 EMBED Equation.2 1415. Тому перевірка на однорідність практично полягає в перевірці гіпотези щодо належності N вибіркових дисперсій 13 EMBED Equation.2 1415 (j= 1, 2,..., N) до однієї генеральної сукупності. Оскільки N > 2, то для перевірки цієї гіпотези використову- ється критерій Кохрена (при N = 2 застосовуються критерії Фішера чи Романовського).
Гіпотезу про однорідність вибіркових дисперсій за критерієм Кохрена перевіряють за такою схемою.
1. Серед обчислених за формулою (11.1) оцінок дисперсій 13 EMBED Equation.2 1415 знаходять найбільшу 13 EMBED Equation.2 1415.
2. Обчислюють відношення найбільшої оцінки до суми оцінок усіх дисперсій
13 EMBED Equation.2 1415 (11.2)
3. Визначають число ступенів вільності 13 EMBED Equation.2 1415 і 13 EMBED Equation.2 1415:
13 EMBED Equation.2 1415
4. Обирають рівень значущості 13 EMBED Equation.2 1415 (часто беруть 13 EMBED Equation.2 1415= 0,05).
5. За даними 13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415 і 13 EMBED Equation.2 1415 у спеціальній таблиці знаходять величину критичного відношення Gкр.
6. Порівнюють величини G і Gкр. При цьому можливі два випадки:
1) G ( Gкр; тоді гіпотеза про однорідність дисперсій приймається;
2) G > Gкр; гіпотеза відкидається.
Прийнявши гіпотезу про однорідність дисперсій, можна знайти точнішу оцінку 13 EMBED Equation.2 1415 дисперсії функції відгуку
13 EMBED Equation.2 1415 (11.3)
Якщо перевірка однорідності дисперсії дає негативний результат (гіпотеза про однорідність дисперсії відкидається), то здобутий емпіричний матеріал не рекомендується використовувати для апроксимації функції відгуку поліномами. Слід повторити експерименти, збільшуючи при цьому число паралельних спроб.
Під час перевірки значущості коефіцієнтів регресії слід виходити із того, що експериментальні дослідження проводять, щоб знайти оцінки коефіцієнтів полінома (9.2), який апроксимує функцію відгуку. Теоретичні значення деяких коефіцієнтів можуть дорівнювати нулю. Упевнюємося в цьому за допомогою оцінок коефіцієнтів регресії, перевіряючи гіпотезу про їх значущість (перевірка нуль-гіпотези 13 EMBED Equation.2 1415).
Значущість коефіцієнтів лінійної регресії перевіряють окремо для кожного коефіцієнта за допомогою критерію Стьюдента. Схема перевірки складається з таких кроків.
1. Знаходимо дисперсію похибки визначення коефіцієнтів 13 EMBED Equation.2 1415 (дисперсія однакова для всіх коефіцієнтів)
13 EMBED Equation.2 1415 (11.4)
де 13 EMBED Equation.2 1415 оцінка дисперсії функції відгуку; N, k число відповідно до спроб і повторень кожної спроби.
2. Обчислюємо відношення абсолютного значення коефіцієнта регресії 13 EMBED Equation.2 1415 до середньоквадратичного відхилення похибки його визначення
13 EMBED Equation.2 1415 (11.5)
3. Визначаємо число ступенів вільності
13 EMBED Equation.2 1415
4. Обираємо рівень значущості q (як правило, q = 0,05).
5. У спеціальній таблиці для заданих 13 EMBED Equation.2 1415 і q знаходимо критичне значення tкр.
6. Якщо обчислене за формулою (11.5) значення відношення більше від критичного, тобто 13 EMBED Equation.2 1415 tкр, то коефіцієнт 13 EMBED Equation.2 1415 вважаємо значущим. У противному разі приймаємо нуль-гіпотезу, тобто коефіцієнт 13 EMBED Equation.2 1415 вважаємо статистично незначущим.
Статистична незначущість коефіцієнтів регресії може бути зумовлена кількома причинами, а саме:
1) відповідний незначущому коефіцієнту фактор не впливає на функцію відгуку;
2) точка центра плану близька до точки відносного екстремуму функції відгуку за змінною 13 EMBED Equation.2 1415, тобто
13 EMBED Equation.2 1415
3) малий крок варіювання факторів;
4) велика похибка при визначенні функції відгуку.
Перш ніж приймати рішення щодо виключення з рівняння регресії членів із незначущими коефіцієнтами, слід ретельно перевірити, чи існують зазначені причини незначущості. Коли для такого рішення є всі підстави, то в ортогональному плануванні визнаний незначущим коефіцієнт можна відкинути без повторного обчислення решти коефіцієнтів. Адже при такому плануванні коефіцієнти регресії незалежні. Після розглянутої процедури в математичному опису функції відгуку лишаються змінні, коефіцієнти регресії при яких є статистично значущими.
Значущість коефіцієнтів квадратичної регресії перевіряють за тими самими правилами, що й лінійної.
У загальному випадку дисперсії похибок визначення коефіцієнтів квадратичної регресії в ортогональному центральному композиційному плануванні різні й мають обчислюватися для кожного коефіцієнта окремо. Для цього можна скористатися формулою
13 EMBED Equation.2 1415
Тут застосовано відомі вже позначення, які зводять рівняння квадратичної регресії до лінійного вигляду.
У рототабельному композиційному плануванні дисперсії похибок визначення коефіцієнтів регресії однакові для лінійних членів і однакові для нелінійних членів.
Для визначення дисперсій справджуються такі формули:
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
де величини 13 EMBED Equation.2 1415 визначаються за формулами (10.19) (10.21).
Слід зазначити, що опис функції відгуку апроксимуючими поліномами, коефіцієнти яких визначені за методом найменших квадратів, може й не відповідати (бути неадекватним) спостережуваним значенням ендогенної величини13 EMBED Equation.2 1415. Тому перед використанням математичної моделі для аналізу системи, що досліджується, слід переконатися у її адекватності даним експерименту.
Гіпотеза адекватності моделі перевіряється оцінюванням відхилень передбачених значень функції відгуку від експериментально знайдених, усереднених за числом повторень в експериментальних точках факторного простору. Для оцінювання відхилень використовується критерій Фішера.
Найнадійніші результати перевірки гіпотези про адекватність математичної моделі спостережуваним даним дістають у рототабельних планах (повні та дробові факторні плани для лінійної регресії, рототабельні композиційні плани для квадратичних регресій), які забезпечують однакову точність передбачених значень функції відгуку в точках, що містяться на однаковій відстані від центра плану. Перевірку адекватності для цього випадку виконують у кілька етапів.
1. Обчислюють статистичну оцінку дисперсії адекватності 13 EMBED Equation.2 1415:
13 EMBED Equation.2 1415 (11.6)
де 13 EMBED Equation.2 1415 число членів апроксимуючого полінома; 13 EMBED Equation.2 1415 значення функції відгуку, обчислене з допомогою апроксимуючого полінома в j-й точці плану; 13 EMBED Equation.2 1415 експериментальне значення функції відгуку в j-й точці плану, обчислене згідно з (10.22).
2. Знаходять значення 13 EMBED Equation.2 1415 критерію Фішера
13 EMBED Equation.2 1415 (11.7)
3. Визначають число ступенів вільності13 EMBED Equation.2 1415 і 13 EMBED Equation.2 1415:
13 EMBED Equation.2 1415
4. Обирають рівень значущості 13 EMBED Equation.2 1415 (як правило, 13 EMBED Equation.2 1415= 0,05).
5. У спеціальній таблиці за заданими 13 EMBED Equation.2 1415, 13 EMBED Equation.2 1415 і 13 EMBED Equation.2 1415 знаходять критичне значення параметра13 EMBED Equation.2 1415.
6. Якщо обчислене значення параметра 13 EMBED Equation.2 1415 не перевищує табличного 13 EMBED Equation.2 1415, тобто 13 EMBED Equation.2 1415, то математичний опис функції відгуку рівнянням регресії вважається адекватним. У противному разі гіпотеза про адекватність відкидається і модель вважається не адекватною процесу, що вивчається.
Зауважимо, що перевірка гіпотези про адекватність можлива при 13 EMBED Equation.2 1415> 0, тобто коли число дослідних точок факторного простору більше від числа членів апроксимуючого полінома. Це необхідно враховувати як при визначенні структури апроксимуючого полінома, так і при виборі відповідного типу факторних планів.
Якщо гіпотеза про адекватність математичного опису досліджуваного процесу відхиляється, то необхідно або перейти до складнішої форми рівняння регресії, або зменшити інтервали варіювання факторів в експерименті. Наприклад, якщо неадекватна лінійна модель, то лінійний поліном необхідно доповнити, включаючи до нього члени, що відповідають ефектам взаємодії. Проте при цьому треба буде реалізувати кілька спроб усередині області планування для перевірки гіпотези про адекватність.
З іншого боку, зменшення інтервалів варіювання з метою досягнення адекватності математичної моделі спричинюється до зменшення коефіцієнтів регресії, а через це зростає ризик прийняти помилкову гіпотезу про статистичну незначущість деяких коефіцієнтів. У загальному випадку інтервал варіювання обирається з умови забезпечення адекватності математичного опису процесу, що досліджується. Часто при виборі необхідних інтервалів варіювання проводяться попередні експрес-спроби, в яких крок варіювання становить 0,05 0,3 діапазону змінювання значень рівнів факторного простору.

Література до теми
Основна
1. Ситник В. Ф., Орленко Н. С. Імітаційне моделювання: Навч. посібник. К.: КНЕУ, 1998. С. 9499.
2. С(тник В. Ф. Основ( машинной имитации производственн(х и организационно-(кономических систем. К.: УМК ВО, 1988. С. 8897.
Допоміжна
3. Клейн Дж. Статистические метод( в имитационном моделировании. М.: Статистика, 1978. Т.2. С. 5868.
4. Асатурян В. И. Теория планирования эксперимента: Учеб. пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1983. С. 159163.
5. Адлер Ю. П., Маркова Е. В., Грановский Ю. В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М.: Наука, 1976. С. 127133, 149155.
11.2. практичне заняття
Мета заняття: Зрозуміти необхідність статистичної перевірки результатів імітаційного моделювання. Набути навички практичної роботи, пов’язаної з перевіркою однорідності дисперсії, статистичної значущості коефіцієнтів регресії й адекватності моделі за допомогою спеціально підготовлених статистичних даних. Навчитися складати блок-схеми статистичної перевірки результатів імітаційного моделювання і включати їх до укрупненої схеми імітаційної моделі.
План
Перевірка однорідності дисперсій.
Перевірка значущості коефіцієнтів регресії.
Перевірка адекватності моделі.
11.3. Термінологічний словник
Дисперсія характеристика міри розсіювання значень випадкової величини, яка чисельно дорівнює математичному сподіванню квадрата відхилів її від центра розподілу (середнього значення) випадкової величини. Квадратний корінь від дисперсії називають середнім квадратичним відхилом або стандартним відхилом.
Однорідність дисперсії властивість експериментальних досліджень функції відгуку, яка означає, що дисперсії вимірювання цієї величини однакові в усіх точках експерименту; перевірка на однорідність дисперсій зводиться до статистичної перевірки гіпотези щодо належності всіх вибіркових дисперсій до однієї генеральної сукупності.
Статистична перевірка гіпотез процедура використовується в математичній статистиці для обгрунтованого зіставлення певної гіпотези стосовно природи чи величини статистичних параметрів явища, що досліджується, з вибірковими даними, котрі є в розпорядженні експериментатора.
Адекватність моделі відповідність моделі з певною мірою наближення системі чи процесу, що досліджується, оскільки повної відповідності моделі реальному об’єкту бути не може (в противному випадку це була б не модель, а сам об’єкт моделювання), то при моделюванні мається на увазі адекватність не взагалі, а адекватність за тими властивостями моделі, котрі з позицій мети дослідження є суттєвими.
11.4. Навчальні завдання
Вправа 1. У результаті реалізації повного факторного експерименту імітаційної моделі було знайдено статистичні оцінки стандартних відхилень функції відгуку в 16 точках чотирифакторного простору: 0,18; 0,63; 0,28; 0,12; 0,13; 0,58; 0,30; 0,14; 0,74; 0,43; 0,33; 0,44; 0,30; 0,13; 0,52; 0,34. Число дублювань в усіх спробах було прийнято однаковим 400. Користуючись таблицею Д. 3 [1], перевірити гіпотезу однорідності при 0,05 рівні значущості.
Вправа 2. Побудувати блок-схему алгоритму перевірки однорідності дисперсії, передбачивши на ній дії експериментатора у випадках, коли гіпотеза про однорідність дисперсії приймається і коли відхиляється.
Вправа 3. Побудувати узагальнену блок-схему алгоритму перевірки значущості коефіцієнтів лінійної регресії, квадратичної регресії в ортогональному центральному композиційному плані та в рототабельному композиційному плані, передбачивши на ній дії експериментатора у випадку, коли коефіцієнти регресії статистично не значущі.
Вправа 4. Побудувати блок-схему алгоритму перевірки адекватності моделі, передбачивши на ній можливі дії експериментатора при відхиленні гіпотези про адекватність математичного опису процесу, що досліджується.
11.5. Завдання для перевірки знань
Для самостійної перевірки знань слід сформулювати розширені відповіді на поставлені питання і перевірити їх повноту та правильність за допомогою матеріалів запропонованих літературних джерел.
У чому полягає необхідність проведення статистичної перевірки результатів імітаційних досліджень?
Дайте розширене тлумачення поняття однорідності дисперсій і поясніть процедуру перевірки відповідної гіпотези. За яких умов не рекомендується використовувати критерій Фішера для перевірки цієї гіпотези?
Що робити, коли гіпотеза про однорідність дисперсій відкидається?
Яка є можливість обчислити більш точну оцінку дисперсії функції відгуку при однорідності дисперсій?
Навіщо потрібно перевіряти гіпотезу про значущість коефіцієнтів регресії і як це виконується?
Поясніть, чому значущість коефіцієнтів лінійної регресії перевіряється окремо для кожного коефіцієнта і які переваги має експериментатор при наявності такої обставини? Як перевіря- ються на значущість коефіцієнти квадратичної регресії?
Поясніть можливі причини статистичної незначущості коефіцієнтів лінійної регресії і які при цьому можуть бути дії експериментатора?
Дайте визначення поняття адекватності математичного опису (моделі) реальному об’єкту і в чому полягає перевірка адекватності моделі, отриманої шляхом імітаційного моделювання?
Які є можливі дії за умов, коли гіпотеза про адекватність моделі відкидається?

Тема 12. Планування імітаційних експериментів під час дослідженнЯ та оптимізації систем
12.1. Методичні поради до вивчення теми
Зміст теми. У темі розглядаються основні задачі, що розв’язуються при експериментальному дослідженні систем. Дослідження впливу факторів на ендогенну характеристику системи. Інтерпретація коефіцієнтів регресії. Головний ефект фактора. Апроксимація функції відгуку лінійним поліномом та обчислення головних ефектів при дробових планах. Змішування ефектів при дробових планах для нелінійних моделей. Перевірка змішування ефектів за допомогою матриці планування. Генеруючі співвідношення. Побудова визначального контрасту і використання його для дослідження змішування ефектів. Головні репліки. Узагальнюючий контраст. Визначення змішування оцінок за допомогою часткових і узагальнюючих контрастів. Суть проблеми планування експериментів для оптимізації систем. Деякі емпіричні міркування щодо властивостей функцій відгуку економічних задач. Класичний спосіб знаходження точки оптимуму функції відгуку. Метод Бокса–Уїлсона (метод крутого сходження чи найшвидшого спуску). Загальна ідея методу. Визначення напряму крутого сходження по градієнту. Вибір вихідної точки. Визначення кроку приросту значення факторів. Пошук точки, у якій всі коефіцієнти лінійної регресії будуть статистично незначущі. Дослідження точки, підозрілої на екстремум. Дії експериментатора при досягненні точки локального екстремуму. Схема машинної реалізації методу Бокса–Уїлсона.
Пояснення до теми. Під час вивчення цієї теми слід перш за все з’ясувати, що при експериментальному дослідженні систем ставиться задача вивчити вплив факторів системи на вихідну величину з допомогою полінома, який апроксимує функцію відгуку, адекватно описуючи поводження системи в заданій області факторного простору. Поліноміальна залежність дає змогу виявити вплив на функцію відгуку не лише кожного з факторів, а також і будь-якої їх комбінації за умови, що поліном містить відповідний цій комбінації член.
Коефіцієнти при незалежних змінних в апроксимуючому поліномі відбивають рівень впливу факторів. Якщо коефіцієнт додатний, то із збільшенням фактора зростає вихідний параметр системи. При від’ємному коефіцієнті зростання відповідного фактора спричиню- ється до зменшення величини 13 EMBED Equation.2 1415. Коефіцієнти при лінійних членах відповідають вкладу цього фактора у величину параметра системи 13 EMBED Equation.2 1415 при переході фактора з нульового рівня на верхній чи нижній. Головним ефектом фактора називають його внесок при переході від нижнього рівня до верхнього. Головний ефект у кодованій системі вимірювання факторів дорівнює подвоєному коефіцієнту при відповідній змінній 13 EMBED Equation.2 1415.
Під час планування експериментів для дослідження систем спочатку перевіряють, чи можна лінійно апроксимувати функцію відгуку. Якщо поліном першого ступеня є достатнім наближенням функції відгуку на заданих інтервалах змінювання факторів, то це означає, що в поліномах вищого порядку коефіцієнти при нелінійних членах малі порівняно з головними ефектами. У такому разі для оцінювання головних ефектів можна використовувати неповні (дробові) факторні плани. Проте для нелінійних моделей оцінювати ефекти факторів при дробових планах непросто, оскільки тут відбувається змішування ефектів. Наприклад, головний ефект може бути змішаний з однією чи кількома взаємодіями вищого порядку, що ускладнює вирізнення головного ефекту серед комбінації з іншими ефектами.
Як уже зазначалося, рівняння регресії (9.4) наближено відповідає ряду Тейлора (9.2), побудованого для функції відгуку (9.1), а коефіцієнти 13 EMBED Equation.2 1415 є статистичними оцінками коефіцієнтів ряду Тейлора 13 EMBED Equation.2 1415. Проте ці оцінки бувають незалежними не для всіх планів, тобто не завжди оцінюють лише один відповідний коефіцієнт ряду Тейлора. Спостерігається явище змішування статистичних оцінок.
Оцінки найменше змішуються в повних факторних планах. У квадратичних рівняннях регресії оцінки головних ефектів та ефектів взаємодії факторів не змішуються:
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
У цьому легко переконатися з допомогою матриці планування (табл.12.1).
Таблиця 12.1
Матриця планування з ефектами взаємодії
Номер спроби
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415

1
+1
–1
–1
+1
+1
–1
–1
+1
13 EMBED Equation.2 1415

2
+1
+1
–1
–1
–1
–1
+1
+1
13 EMBED Equation.2 1415

3
+1
–1
+1
–1
–1
+1
–1
+1
13 EMBED Equation.2 1415

4
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
13 EMBED Equation.2 1415

5
+1
–1
–1
–1
+1
+1
+1
–1
13 EMBED Equation.2 1415

6
+1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
–1
13 EMBED Equation.2 1415

7
+1
–1
+1
+1
–1
–1
+1
–1
13 EMBED Equation.2 1415

8
+1
+1
+1
–1
+1
–1
–1
–1
13 EMBED Equation.2 1415


Відсутність явища змішування оцінок рівнозначне тому, що вектори-стовпці матриці планування, які відповідають головним ефектам та ефектам взаємодії, відрізняються один від одного. Проте в матриці планування повного факторного плану вектори-стовпці, що відповідають фіктивному фактору13 EMBED Equation.2 1415 і квадратичним ефектам 13 EMBED Equation.2 1415, не відрізняються один від одного (табл.12.2).
Таблиця 12.2
Матриця планування двофакторного експерименту
Номер спроби
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415

1
+1
–1
–1
+1
+1
+1
13 EMBED Equation.2 1415

2
+1
+1
–1
–1
+1
+1
13 EMBED Equation.2 1415

3
+1
–1
+1
–1
+1
+1
13 EMBED Equation.2 1415

4
+1
+1
+1
+1
+1
+1
13 EMBED Equation.2 1415


Тому коефіцієнт 13 EMBED Equation.2 1415 враховує вплив на функцію відгуку не лише фактора 13 EMBED Equation.2 1415, а й квадратичних членів, тобто оцінки змішуються:
13 EMBED Equation.2 1415. (12.1)
Якщо лінійна модель системи з достатньою точністю описує функцію відгуку в заданій області факторного простору, то коефіцієнти 13 EMBED Equation.2 1415 малі порівняно з рештою коефіцієнтів, а тому змішування оцінок (12.1) практичного значення не має.
Отже, у задачах дослідження системи повні факторні плани дають змогу найточніше вивчити механізм впливу факторів на систему, що досліджується, і, як наслідок, сформулювати найбільш обгрунтовані висновки.
Проте в багатофакторних системах здійснення повних факторних експериментів пов’язане із значними труднощами. Насамперед йдеться про необхідність проведення великого числа спроб у точках факторного простору, які до того ж мають багаторазово дублюватися. Тому за таких умов часто застосовуються дробові факторні плани, для яких значною мірою характерне змішування статистичних оцінок.
Під час дослідження систем така обставина може виявитися вирішальною, і тому необхідно ретельно вивчити явище змішування оцінок, перш ніж робити висновки щодо характеру впливу того чи іншого фактора або їх комбінації на ендогенну величину у. Для цього в теорії планування експериментів розроблено спеціальні процедури, що дають змогу залежно від поставленої задачі вибирати відповідну дробову репліку.
Розглянемо матрицю планування повного факторного плану для трьох факторів (табл. 12.1), який складається з двох півреплік:
перша її здобуто за допомогою повного факторного плану заміною 13 EMBED Equation.2 1415 об’єднує спроби 14;
друга утворено заміною 13 EMBED Equation.2 1415 об’єднує спроби 58.
У першій піврепліці збігаються елементи векторів-стовпців, що відповідають головним ефектам та ефектам взаємодії:
13 EMBED Equation.2 1415 звідси 13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415 звідси 13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415 звідси 13 EMBED Equation.2 1415
Характер змішування оцінок можна з’ясувати, не вдаючись до аналізу матриці планування. Для цього треба розглянути співвідношення, за допомогою якого створено піврепліку. В даному разі це 13 EMBED Equation.2 1415. Такі співвідношення називаються генеруючими. При виборі генеруючого співвідношення виходять з апріорної інформації щодо відсутності ефекту взаємодії 13 EMBED Equation.2 1415 тобто наперед роблять припущення 13 EMBED Equation.2 1415. Звідси: 13 EMBED Equation.2 1415.
З поняттям генеруючих співвідношень, які показують взаємодії, що замінюються новими факторами при побудові дробової репліки, пов’язане поняття визначального контрасту. Визначальний контраст це співвідношення між факторами, яке задає елементи стовпця матриці планування, що відповідає фіктивному фактору 13 EMBED Equation.2 1415.
Для створення визначального контрасту достатньо помножити генеруюче співвідношення зліва і справа на нововведений фактор та використати умову 13 EMBED Equation.2 1415.
У даному разі
13 EMBED Equation.2 1415.
Звідси маємо визначальний контраст
13 EMBED Equation.2 1415.
Щоб дістати систему змішування оцінок, достатньо ліву і праву частини визначального контрасту помножити на відповідні фактори. Наприклад, помноживши визначальний контраст 13 EMBED Equation.2 1415 на 13 EMBED Equation.2 1415 дістанемо 13 EMBED Equation.2 1415. Це означає рівність відповідних векторів-стовпців матриці планування, тому 13 EMBED Equation.2 1415.
Для другої піврепліки за допомогою генеруючого співвідношення 13 EMBED Equation.2 1415 утворимо визначальний контраст
13 EMBED Equation.2 1415.
Система змішування оцінок буде така:
13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415
Дробові репліки факторних планів характеризуються розв’язувальною здатністю, порядок якої залежить від числа факторів у визначальному контрасті. Розв’язувальна здатність тим вища, чим вищий порядок взаємодій, з оцінками коефіцієнтів яких змішані оцінки головних ефектів. Розв’язувальна здатність розглянутих півреплік однакова і дорівнює трьом.
Для чотирифакторних планів маємо вісім можливостей створення півреплік 13 EMBED Equation.2 1415. Розглянемо дві з них, що задані генеруючими співвідношеннями 13 EMBED Equation.2 1415 і 13 EMBED Equation.2 1415.
Для першого генеруючого співвідношення визначальний контраст
13 EMBED Equation.2 1415.
За його допомогою знаходимо змішування оцінок коефіцієнтів регресії:
13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415, 13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415
Визначальний контраст другого генеруючого співвідношення має вигляд
13 EMBED Equation.2 1415.
Система змішування оцінок:
13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415, 13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415
З погляду аналізу проблеми змішування оцінок розглянуті піврепліки не еквівалентні. У другій піврепліці оцінки лінійних коефіцієнтів змішані з оцінками ефектів потрійних взаємодій, які менше цікавлять дослідників, аніж парні взаємодії. Тому друга піврепліка має більшу розв’язувальну здатність порівняно з першою. Репліки, що мають максимальну розв’язувальну здатність, називаються головними.
Слід підкреслити, що експериментатор, який не має апріорної інформації щодо ефектів взаємодії, повинен намагатися обрати дробову репліку з найбільшою розв’язувальною здатністю. Адже ефекти взаємодії високих порядків менш важливі, ніж решта ефектів, оскільки коефіцієнти при цих взаємодіях малі, а отже, змішування оцінок істотно не впливає на величину головних ефектів.
Для реплік вищої дробовості порядок визначення системи змішування оцінок такий самий, як для півреплік. Наприклад, 1/4 репліка 13 EMBED Equation.2 1415 у п’ятифакторному плануванні може бути задана генеруючими співвідношеннями 13 EMBED Equation.2 1415 і 13 EMBED Equation.2 1415 Тут апріорі вважається, що 13 EMBED Equation.2 1415
Визначальні контрасти мають вигляд
13 EMBED Equation.2 1415,
13 EMBED Equation.2 1415.
Скориставшись ними, сформулюємо узагальнюючий контраст, перемноживши один з одним частинні контрасти (знаходимо всі можливі комбінації визначальних контрастів):
13 EMBED Equation.2 1415.
Контрасти дають змогу знайти змішування оцінок будь-яких факторів чи їх комбінацій. Помноживши на 13 EMBED Equation.2 1415 вираз
13 EMBED Equation.2 141513 EMBED Equation.2 141513 EMBED Equation.2 1415,
дістанемо
13 EMBED Equation.2 141513 EMBED Equation.2 141513 EMBED Equation.2 1415.
Звідси
13 EMBED Equation.2 1415.
Для оцінки 13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 141513 EMBED Equation.2 141513 EMBED Equation.2 1415,
13 EMBED Equation.2 1415.
Аналогічно встановлюються системи змішування та розв’язувальні здатності реплік довільної дробовості. Для коректного дослідження системи з допомогою дробового факторного планування необхідно використати всі наявні теоретичні відомості про об’єкт, що аналізується, або залучити інтуїцію, щоб визначити ті взаємодії, впливом яких можна знехтувати. Цю інформацію доцільно використати для побудови реплік заданої дробовості з метою знаходження апроксимуючого полінома.
Аналізуючи систему з допомогою апроксимуючого полінома, можна виявити головні й відкинути другорядні фактори, дістати результати, за допомогою яких можна проводити повніші експерименти з меншим числом факторів.
Другою основною задачою, що розв’язується шляхом імітаційного моделювання, є оптимізація систем. Проведення експериментів (натурних чи імітаційних) для пошуку оптимальних рішень полягає в реалізації деякої обчислювальної схеми знаходження екстремумів невідомої функції відгуку на заданій множині точок факторного простору. Нині розроблено численні наближені методи оптимізації, проте ефективність кожного з них істотно залежить від вигляду функції відгуку.
Головна складність проведення експериментів для оптимізації систем полягає у такому. Експериментатор не має відомостей про властивості функції відгуку. Отже, після закінчення експерименту, який реалізує деяку схему пошуку екстремуму, не може бути цілковитої впевненості в тому, що здобутий розв’язок є оптимальним. Тому під час виконання особливо відповідальних розрахунків для підвищення надійності результатів доцільно використовувати комбінації різних методів оптимізації.
Нагромаджений досвід розв’язання нелінійних оптимізаційних економіко-математичних задач у теорії керування запасами та календарному плануванні дає змогу зробити деякі узагальнені висновки щодо властивостей функцій відгуку, що відображають оптимізаційний процес в економіко-виробничих системах.
У загальному випадку функція відгуку (цільова функція) є багатоекстремальною, тобто має багато локальних екстремумів, серед яких може бути й кілька абсолютних. З огляду на це слід обережно використовувати методи направленого (детермінованого чи випадкового) пошуку екстремуму. Оптимальною стратегією проведення експериментів за цих умов є поєднання методів випадкового нена- правленого пошуку з детермінованими (наприклад, градієнтними) методами.
Друга важлива властивість оптимізаційних економіко-математичних моделей полягає у тому, що в області екстремумів функція відгуку є «гладкою», тобто варіювання змінних у цій області не спричиняється до помітних змін значень цільової функції. Це полегшує пошуки оптимальних розв’язків, оскільки за умов неточної вхідної інформації (чим характерні економічні задачі) для практичних цілей достатньо дістати результат, близький до оптимального.
Принципово можливі два способи знаходження екстремуму функції відгуку
13 EMBED Equation.2 1415.
Перший полягає в тому, що за допомогою експериментальних досліджень визначається математична модель функції відгуку, яка потім досліджується на екстремум класичними методами диференціального числення. З цією метою обчислюються частинні похідні функції відгуку 13 EMBED Equation.2 1415 і відшукуються стаціонарні точки шляхом розв’язання системи рівнянь
13 EMBED Equation.2 1415
Розв’язок такої системи 13 EMBED Equation.2 1415 може бути точкою оптимуму функції відгуку. У цьому переконуються або з допомогою формальних методів, або на підставі інтуїтивних міркувань.
Важливим моментом в описаному способі оптимізації є знаходження частинних похідних функції відгуку і обчислення точок, у яких похідні набувають нульових значень. Похідні функції відгуку можна визначити і без використання її математичної моделі. Для цього з допомогою повного чи дробового факторного плану достатньо знайти коефіцієнти лінійної регресії, що є статистичними оцінками коефіцієнтів ряду Тейлора:
13 EMBED Equation.2 1415 (12.2)
Завдання пошуку екстремуму функції відгуку (параметра оптимізації) зводиться до визначення точок (13 EMBED Equation.2 1415), у яких коефіцієнти лінійної регресії дорівнюють нулю. На цій умові базується другий спосіб оптимізації систем, запропонований Боксом та Уїлсоном (1951 р). Тому описаний далі метод має назву метод Бокса–Уїлсона. У спеціальній літературі він відомий і як метод крутого сходження (при визначенні точки максимуму).
Розглянемо загальну схему методу.
Спочатку обирається точка (одна або кілька) факторного простору, яка за інтуїтивними міркуваннями може міститися поблизу точок екстремуму. Якщо немає жодних додаткових відомостей на користь пріоритету «екстремальності» деяких точок факторного простору, то початкова точка (кілька початкових точок) обирається за методом Монте-Карло: значення рівнів факторів рівномірно і випадково генеруються в заданих межах їх змінювання.
В околі початкової точки за описаними правилами ставиться повний чи дробовий факторний експеримент. Потім функція відгуку апроксимується поліномом першого ступеня, коефіцієнти якого визначаються за формулою (10.8), і проводиться статистичне дослідження здобутої лінійної регресії щодо перевірки однорідності дисперсій, значущості коефіцієнтів регресії, адекватності моделі. Фактично в околі початкової точки функція відгуку замінюється деякою гіперплощиною, коефіцієнти при лінійних членах якої є коефіцієнтами регресії
13 EMBED Equation.2 1415.
Якщо початкова точка не є підозрілою на екстремум, тобто не всі коефіцієнти статистично незначущі, то коефіцієнти регресії використовуються для визначення напряму руху до стаціонарної точки (надалі для визначеності розглядатимемо лише випадок максимізації функції відгуку). Круте сходження до точки максимуму відбувається за напрямом градієнта, який визначає напрям найшвидшого зростання функції:
13 EMBED Equation.2 1415,
де 13 EMBED Equation.3 1415 одиничні вектори в напрямі координатних осей, що відповідають факторам 13 EMBED Equation.2 1415.
Вихідною точкою руху в напрямі крутого сходження є початкова точка (13 EMBED Equation.2 1415), в околі якої здобуто апроксимуючу гіперплощину. В обраному напрямі у кількох точках факторного простору обчислюються значення функції відгуку, тобто в них проводяться експериментальні (імітаційні) спроби для визначення функції відгуку.
Координати першої точки в напрямі руху за градієнтом, у якій потрібно експериментально відшукати значення параметра 13 EMBED Equation.2 1415, в кодованій системі вимірювання обчислюються за формулою
13 EMBED Equation.2 1415, (12.3)
де 13 EMBED Equation.2 1415 деяка додатна величина.
У початковій системі вимірюванням координати цієї точки можна дістати з допомогою перетворення
13 EMBED Equation.2 1415 (12.4)
або
13 EMBED Equation.2 1415.
Величина 13 EMBED Equation.2 1415 визначається так. Спочатку обчислюються величини 13 EMBED Equation.3 1415, серед яких обирається найбільша. Нехай вона відповідає s-му фактору
13 EMBED Equation.2 1415 (12.5)
Обирається деякий крок приросту s-го фактора (величини 13 EMBED Equation.2 1415 і 13 EMBED Equation.2 1415 мають один і той самий знак)
13 EMBED Equation.2 1415
Звідси
13 EMBED Equation.2 1415 (12.6)
Приріст і-ї координати (13 EMBED Equation.2 1415) точки факторного простору, яка лежить на напрямі руху по градієнту, визначається так:
13 EMBED Equation.2 1415
або
13 EMBED Equation.2 1415 (12.7)
З урахуванням виразу (12.7) координати довільної k-ї точки факторного простору, у якій ставиться експеримент для визначення функції відгуку,
13 EMBED Equation.2 1415 (12.8)
Для визначення кроку руху 13 EMBED Equation.2 1415 в напрямі крутого сходження потрібно оцінити витрати на проведення експериментів. При великому кроці можна пропустити точку локального максимуму, при малому доводиться визначати значення функції відгуку в багатьох точках. Це, з одного боку, приводить до вірогіднішої інформації, а з другого до більших витрат ресурсів і машинного часу для проведення імітаційних експериментів. Великий крок хоча й забезпечує зниження витрат, проте не гарантує того, що точку максимуму не було загублено на певному етапі.
Експериментальне відшукування значень функції відгуку в напрямі крутого сходження триває доти, доки не з’явиться точка, у якій значення функції відгуку буде більшим, ніж у решті точок (включаючи точки з вищими індексами). Знайдена точка використовується як нова початкова точка планування експерименту. В околі цієї точки проводиться повний чи дробовий факторний план і знаходиться апроксимуюча гіперплощина, за допомогою якої визнача- ється напрям подальшого крутого сходження.
Після кількох ітерацій дістаємо точку, в якій усі коефіцієнти лінійної регресії будуть статистично незначущі, тобто 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.2 1415. Це означає, що локальна гіперплощина майже горизонтальна і не дає змоги обрати наступний напрям руху до максимуму. Дана точка є підозрілою точкою щодо екстремуму, тобто вона може бути точкою локального максимуму, сідловою або балковою точкою.
Для прийняття остаточного рішення необхідно ретельно дослідити функцію відгуку в підозрілій точці. Для цього проводяться ортогональні або рототабельні композиційні експерименти в околі цієї точки, і на підставі знайдених даних поверхня функції відгуку апроксимується поліномом другого ступеня. Дослідження здобутого таким чином полінома звичайними методами дає змогу прийняти остаточне рішення. Іноді буває корисним з допомогою полінома другого ступеня побудувати лінії однакового рівня поверхні відгуку, що дають змогу виявити характер поводження функції відгуку в точці, яка підозріла на екстремум.
Оскільки досліджувана поверхня відгуку в заданих межах змінювання факторів може мати кілька локальних екстремумів, за результатами однієї реалізації методу Бокса–Уїлсона не можна стверджувати, що знайдено глобальний екстремум. Серію експериментів за допомогою цього методу слід повторити кілька разів, починаючи рух з випадково обраних і рівномірно розкиданих у факторному просторі точок.
Під час руху в напрямі крутого сходження потрібний ретельний аналіз кожної створеної ситуації, щоб чергова точка на градієнті (або антиградієнті в задачах мінімізації) не вийшла за межі області факторного простору, визначеного експериментальними дослідженнями. Якщо виник такий стан, то рух у межовій точці потрібно припинити і знайти в ній напрям наступного руху, включаючи рух по межі області визначення функції відгуку.

Література до теми
Основна
1. Ситник В. Ф., Орленко Н. С. Імітаційне моделювання: Навч. посібник. К.: КНЕУ, 1998. С. 99108.
2. С(тник В. Ф. Основ( машинной имитации производственн(х и организационно-(кономических систем. К.: УМК ВО, 1988. С.103113.
Допоміжна
3. Асатурян В. И. Теория планирования эксперимента: Учеб. пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1983. С. 175236.
4. Адлер Ю. П., Маркова Е. В., Грановский Ю. В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М.: Наука, 1976. С. 191267.
5. Математическая теория планирования эксперимента / Под ред. С. М. Ермакова. М.: Наука; Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1983. С. 306347.
6. Нейлор Т. Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем. М.: Мир, 1975. С. 167180.
7. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем искусство и наука. М.: Мир, 1978. С. 191206.
8. Харин Ю. С., Малюгин В. И., Кирлица В. П. и др. Основы имитационного и статистического моделирования: Учеб. пособие. Минск: Дизайн ПРО, 1997. С. 140143.
12.2. практичне заняття
Мета заняття: Перевірити розуміння сутності процесу планування експерименту під час дослідження систем. Навчитися правильно інтерпретувати коефіцієнти лінійної і квадратичної регресії. Набути навички розраховувати коефіцієнти регресії. Усвідомити принципову відмінність планування експериментів під час дослідження і оптимізації систем. Навчитися складати схеми планування експерименту методом Бокса–Уїлсона.
План
1. Планування експерименту під час дослідження систем.
2. Перший спосіб пошуку екстремуму функції відгуку.
3. Другий спосіб пошуку екстремуму функції відгуку (метод Бокса–Уїлсона).
12.3. Термінологічний словник
Головний ефект фактора внесок фактора в значення функції відгуку під час переходу його від нижнього рівня до верхнього, який в кодованій системі вимірювання факторів дорівнює подвоєному коефіцієнту регресії при відповідній змінній.
Змішування ефектів небажана властивість дробових експериментів, яка полягає в тому, що один і той самий коефіцієнт регресії може відображати вплив на функцію відгуку окремих факторів і ефектів взаємодії, наприклад, головний ефект може бути змішаний з однією чи кількома взаємодіями вищого порядку.
Генеруюче співвідношення співвідношення між факторами (добуток вектор-стовпців), яке використовується для побудови дробових факторних планів.
Визначальний контраст співвідношення між факторами, яке задає елементи стовпця матриці планування, що дорівнює фіктивному фактору.
Головна репліка репліка, що має максимальну розв’язувальну здатність, тобто у якій головні ефекти змішані з оцінками ефектів більш високих порядків.
Найшвидкий спуск (круте сходження) метод чисельного пошуку мінімуму (максимуму) функції в математичному програмуванні, при якому напрямок пошуку екстремуму в кожній точці перпендикулярний до лінії однакового рівня, тобто пошук здійснюється в напрямі антиградієнта (градієнта) функції, що досліджується.
Градієнт (антиградієнт) функції 13 EMBED Equation.3 1415 вектор, спрямований в бік найшвидшого зростання ( зменшення) значення функції. Градієнт за своєю величиною залежить від похідних функції в даній точці і записується у вигляді:
13 EMBED Equation.2 1415,
де 13 EMBED Equation.3 1415 одиничні вектори в напрямі координатних осей, що відповідають змінним 13 EMBED Equation.2 1415. Антиградієнт має зворотний напрям.
12.4. Навчальні завдання
Вправа 1. Під час проведення повного факторного експерименту для вивчення функції відгуку 13 EMBED Equation.3 1415 отримано значення відгуку у 8 точках експерименту, які наведено в таблиці 12.3. Використовуючи результати експериментів та апроксимацію виду 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, знайти коефіцієнти регресії і записати в кодованому вигляді рівняння регресії. Знайти оцінку градієнта функції відгуку в центрі плану, тобто в точці (0, 0, 0).
Таблиця 12.3
Матриця планування з ефектами взаємодії
Номер спроби
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415

1
+1
–1
–1
+1
+1
–1
–1
+1
13 EMBED Equation.2 1415=128

2
+1
+1
–1
–1
–1
–1
+1
+1
13 EMBED Equation.2 1415=142

3
+1
–1
+1
–1
–1
+1
–1
+1
13 EMBED Equation.2 1415=116

4
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
13 EMBED Equation.2 1415=120

5
+1
–1
–1
–1
+1
+1
+1
–1
13 EMBED Equation.2 1415=132

6
+1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
–1
13 EMBED Equation.2 1415=110

7
+1
–1
+1
+1
–1
–1
+1
–1
13 EMBED Equation.2 1415=102

8
+1
+1
+1
–1
+1
–1
–1
–1
13 EMBED Equation.2 1415=98

Вправа 2. Для умов попередньої вправи записати рівняння квадратичної регресії без квадратичних членів в некодованих факторах при заданих основних рівнях і інтервалах варіювання факторів:

Номер фактора
1
2
3

Основний рівень фактора
13 EMBED Equation.3 1415= 12
13 EMBED Equation.3 1415= 10
13 EMBED Equation.3 1415= 6

Інтервал варіювання
13 EMBED Equation.3 1415= 0,5
13 EMBED Equation.3 1415= 0,4
13 EMBED Equation.3 1415= 0,2


Вправа 3. Для чотирифакторних планів є вісім можливостей створення півреплік 13 EMBED Equation.2 1415, що задані генеруючими співвідношеннями 13 EMBED Equation.2 1415; 13 EMBED Equation.2 1415; 13 EMBED Equation.2 1415; 13 EMBED Equation.2 1415; 13 EMBED Equation.2 1415;13 EMBED Equation.2 1415; 13 EMBED Equation.2 1415; 13 EMBED Equation.2 1415. Для кожного генеруючого співвідношення утворіть визначальний контраст і за його допомогою знайдіть змішування оцінок коефіцієнтів регресії. Знайдіть головні піврепліки 13 EMBED Equation.2 1415.
Вправа 4. На рис. 12.1 зображено лініями однакового рівня функцію відгуку двофакторної моделі й показано напрям руху по антиградієнту до точки відносного мінімуму. За допомогою методу Монте-Карло оберіть 5 точок факторного простору і покажіть початковий напрям руху за методом Бокса–Уїлсона.

13 EMBED CorelDraw.Graphic.7 1415

Рис. 12.1. Зображення функції відгуку лініями однакового рівня
12.5. Завдання для перевірки знань
Для самостійної перевірки знань сформулюйте розширені відповіді на поставлені питання і перевірте їх повноту та правильність за допомогою матеріалів запропонованих літературних джерел.
У чому полягає сутність дослідження систем за допомогою імітаційного моделювання?
Дайте обгрунтовану інтерпретацію числових значень коефіцієнтів регресії при лінійних членах. Що називається головним ефектом?
Поясніть, чому під час проведення дробових факторних експериментів відбувається змішування головних ефектів з ефектами взаємодії. Що таке розв’язувальна здатність дробових реплік? Які репліки називаються головними?
Які співвідношення між факторами називаються генеруючими? Що таке визначальний контраст?
Що таке узагальнюючий контраст і як за його допомогою виявили характер змішування оцінок факторів при проведенні дробових факторних планів?
Поясніть суть проведення імітаційних експериментів для оптимізації систем. Які при цьому виникають складності?
Які позитивні сторони і які ускладнення можуть виникати при застосуванні першого способу пошуку екстремуму функції відгуку?
У чому полягає принципова основа пошуку екстремуму функції відгуку за допомогою методу Бокса–Уїлсона? Як здійснюється рух в напрямі крутого сходження (спаду)?
Охарактеризуйте дії експериментатора під час прийняття остаточного рішення, якщо після декількох ітерацій отримана точка, у якій всі коефіцієнти регресії при лінійних членах будуть статистично незначущі.


3. Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт
3.1. Перелік лабораторних робіт
Лабораторна робота № 1
МАШИННА ІМІТАЦІЯ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН
Мета роботи закріпити теоретичні знання і набути практичних навичок використання стандартних та спеціальних методів машинної імітації випадкових величин і подій.
Послідовність виконання лабораторної роботи.
1. Отримавши завдання, ознайомитися із змістом навчальної задачі.
2. Написати на вказаній у завданні мові програмування програму одержання псевдовипадкових рівномірно розподілених чисел і реалізувати її на ЕОМ.
3. Виконати зазначені у завданні тести для перевірки якості випадкових чисел, які одержують за допомогою реалізованої програми. Зробити висновки.
4. Реалізувати на ЕОМ методи імітації випадкових подій та величин, що зазначені у завданні.
Лабораторна робота № 2
РЕАЛІЗАЦІЯ ІМІТАЦІЙНОЇ МОДЕЛІ З ВИКОРИСТАННЯМ МОВИ ПРОГРАМУВАННЯ
Мета роботи закріпити теоретичні знання і набути практичні навички виконання машинної імітації в системах автоматизованої обробки інформації з використанням алгоритмічного моделювання.
Послідовність виконання лабораторної роботи.
1. Отримавши завдання від викладача, ознайомитися із змістом навчальної задачі.
2. Визначити об’єкти предметної області задачі й побудувати інформаційну модель.
3. Розробити моделі станів об’єктів і визначити кожну дію.
4. Розробити алгоритм кожної дії.
5. Розробити і налагодити провідну програму.
6. Програмно реалізувати кожен об’єкт.
7. Провести дослідження, що вказані у завданні, і зробити висновки.
Лабораторна робота № 3
РЕАЛІЗАЦІЯ ІМІТАЦІЙНОЇ МОДЕЛІ З ВИКОРИСТАННЯМ МОВИ МОДЕЛЮВАННЯ GPSS
Мета роботи вивчивши мову моделювання GPSS, набути практичні навички роботи з пакетом GPSS PC, розробити програми з використанням мови GPSS.
1. Отримавши завдання від викладача, ознайомитись із змістом навчальної задачі.
2. Визначити об’єкти предметної області задачі та об’єкти GPSS, які імітують процес функціонування об’єктів предметної області.
3. Розробити програму імітаційної моделі.
4. Провести зазначені у завданні дослідження і зробити висновки.
3.2. Завдання для виконання лабораторних робіт
1. Моделювання обчислювальної системи колективного використання
Вправа 1.
Побудуйте імітаційну модель процесу обслуговування замовлень, які надходять у обчислювальну систему (ОC), що складається з n ЕОМ. Час надходження замовлень розподілений за експоненційним законом з інтенсивністю ( завд/с. Час виконання завдань рівномірно розподілений в інтервалі від 16 до 22 с.
2. Зберіть статистичні дані роботи ОС, як єдиного комплексу ЕОМ, та загальну інформацію про перебування замовлень в системі (включаючи час обслуговування, незалежно на якій з ЕОМ відбувалося обслуговування)
3. Проведіть моделювання при початковому значені n = 2, кінцевим значенням n = 10 з кроком (n = 1 та значенням ( = 0,1. Робота моделі відбувається протягом 6 год модельного часу.
Вправа 2.
1. Побудуйте імітаційну модель процесу обслуговування замовлень, які надходять у обчислювальну систему, що складається з двох ЕОМ, з постійною інтенсивністю ( завд/с. Час виконання завдань однаковий для кожної машини і є рівномірно розподіленим в інтервалі від 6 до 12 с. Завдання покладаються на машину, яка раніше завершить обслуговування попереднього замовлення.
2. Зберіть статистичні дані роботи кожної ЕОМ та загальну інформацію про перебування замовлень у системі (включаючи час обслуговування, незалежно на якій з ЕОМ воно відбувалося).
3. Проведіть моделювання при початковому значені ( = 0,1, кінцевим значенням ( = 1 з кроком (( = 0,2. Робота моделі відбувається протягом 8 год модельного часу.
Вправа 3.
1. Побудуйте імітаційну модель процесу обслуговування замовлень, які надходять в обчислювальну систему, що складається з двох ЕОМ. Час надходження замовлень розподілений рівномірно на відрізку від 0,2 до 1 с. Час виконання завдань має експоненційний закон розподілу з середнім значенням (.
2. Зберіть статистичні дані роботи кожної ЕОМ та загальну інформацію про перебування замовлень в системі (включаючи час обслуговування, незалежно на якій з ЕОМ відбувалося обслуговування).
3. Проведіть моделювання при початковому значені ( = 0,2, кінцевим значенням ( = 0,6 з кроком (( = 0,2. Робота моделі відбува- ється протягом 4 год модельного часу.
Вправа 4.
1. Побудуйте імітаційну модель процесу обслуговування замовлень, які надходять в обчислювальну систему, що складається з двох ЕОМ з постійною інтенсивністю ( завд/с. Час виконання завдань рівномірно розподілений в інтервалі від 4 до 14 с.
2. Підрахуйте кількість завдань, час виконання яких менший ніж 9 с.
3. Зберіть статистичні дані роботи кожної ЕОМ та загальну інформацію про перебування замовлень у системі (включаючи час обслуговування, незалежно на якій з ЕОМ відбувалося обслуговування).
4. Проведіть моделювання при початковому значені ( = 0,1, кінцевим значенням ( = 1 з кроком (( = 0,2. Робота моделі відбувається протягом 7 год модельного часу.
Вправа 5.
1. Побудуйте імітаційну модель процесу обслуговування замовлень, які надходять в обчислювальну систему, що складається з однієї ЕОМ. Час надходження замовлень рівномірно розподілений на відрізку від 8 до 20 с. Час виконання завдань рівномірно розподілений в інтервалі від 6 до 24 с.
На ЕОМ може виникати поломка 13 рази за зміну. У разі виникнення поломки завдання з роботи знімається, і виконання його не поновлюється. Зміна триває 6 год.
2. Зберіть статистичні дані роботи ЕОМ: інформацію про перебування замовлень у черзі обчислювальної системи (не включаючи час обслуговування) та інформацію про переривання обробки.
3. Проведіть моделювання протягом однієї зміни.
Вправа 6.
1. Побудуйте імітаційну модель процесу обслуговування замовлень, які надходять в обчислювальну систему, що складається з двох ЕОМ, в інтервалі часу, рівномірно розподіленого на відрізку від 10 до 20 хв.
Час виконання завдань на першій машині рівномірно розподілений в інтервалі від 6 до 32 с. Час виконання замовлень на другій ЕОМ розподілений за законом Пуассона з математичним сподіванням (.
На першій ЕОМ може виникати поломка n раз за зміну. У разі виникнення поломки завдання передається на другу ЕОМ. Зміна триває 6 год.
2. Зберіть статистичні дані роботи ЕОМ, інформацію про перебування замовлень у черзі обчислювальної системи (не включаючи час обслуговування) та інформацію про переривання обробки.
3. Проведіть моделювання протягом однієї зміни при значенні ( = 0,4, кількості поломок 26 або 13 за зміну. Робота моделі відбувається протягом 6 год модельного часу.
Вправа 7.
1. Побудуйте імітаційну модель процесу обслуговування замовлень, які надходять в обчислювальну систему (ОC), що складається з n ЕОМ, з інтенсивністю ( завд/с.Час надходження замовлень розподілений за експоненційним законом. Завдання стають в чергу та виконуються на тій ЕОМ, до якої черга найменша.
Час виконання завдань рівномірно розподілений в інтервалі від 16 до 22 с на всіх ЕОМ.
Зберіть статистичні дані роботи кожної ЕОМ та інформацію про перебування замовлень у системі (включаючи час обслуговування, незалежно на якій з ЕОМ відбувалося обслуговування).
Проведіть моделювання при початковому значені n = 2, кінцевим значенням n = 10 з кроком (n = 1 та значенням ( = 0,1. Робота моделі відбувається протягом 6 год модельного часу.
Вправа 8.
1. Побудуйте імітаційну модель процесу обслуговування замовлень, які надходять в обчислювальну систему (ОC), що складається з n ЕОМ, з інтенсивністю ( завд/с.Час надходження замовлень розподілений за експоненційним законом. Завдання стають в чергу та виконуються на тій ЕОМ, коефіцієнт завантаження якої найменший. Час виконання завдань рівномірно розподілений в інтервалі від 16 до 22 с на всіх ЕОМ.
2. Зберіть статистичні дані роботи кожної ЕОМ та інформацію про перебування замовлень у черзі (не включаючи час обслуговування).
3. Проведіть моделювання при початковому значені n = 2, кінцевим значенням n = 10 з кроком (n = 1 та значенням ( = 0,1. Робота моделі відбувається протягом 6 год модельного часу.
Вправа 9.
1. Побудуйте імітаційну модель процесу обслуговування замовлень, які надходять в обчислювальну систему (ОC), що складається з n ЕОМ.Час надходження замовлень розподілений за нормальним законом з математичним сподіванням ( та стандартним відхиленням (. Завдання стають в чергу, якщо черга складає менше, ніж 3 замовлення. В іншому випадку завдання залишають систему. Час виконання завдань рівномірно розподілений в інтервалі від 16 до 22 с на всіх ЕОМ.
2. Зберіть статистичні дані роботи кожної ЕОМ та інформацію про перебування замовлень у системі (включаючи час обслуговування незалежно від того, на якій з ЕОМ відбувалося обслуговування).
3. Проведіть моделювання при таких значеннях: ( = 10 та ( = 2, початкове значення n = 2, кінцеве значенням n = 10 з кроком (n = 2. Робота моделі відбувається протягом 6 год модельного часу.
Вправа 10.
1. Побудуйте імітаційну модель процесу обслуговування замовлень, які надходять в обчислювальну систему, що складається з однієї ЕОМ. Замовлення, що надходять у систему, бувають трьох типів. Час надходження замовлень першого типу рівномірно розподілений на відрізку від 8 до 20 с, час надходження другого типу замовлення розподілений експоненційно з інтенсивністю вхідного потоку (, час надходження завдання третього типу розподілений за нормальним законом з математичним сподіванням ( та стандартним відхиленням (.
Час виконання завдань рівномірно розподілений в інтервалі від 6 до 24 с незалежно від типу замовлення.
2. Зберіть статистичні дані роботи ЕОМ, інформацію про перебування замовлень у черзі (не включаючи час обслуговування).
3. Проведіть моделювання при початковому значені ( = 0,4, кінцевим значенням ( = 1 з кроком (( = 0,2 та значеннями ( = 12 та ( = 2 протягом 6 год модельного часу.
Вправа 11.
Побудуйте імітаційну модель процесу обслуговування замовлень, які надходять в обчислювальну систему, що складається з однієї ЕОМ. Замовлення, що надходять у систему, бувають трьох типів.
Час надходження замовлень рівномірно розподілений на відрізку від 6 до 18 с. Час обслуговування замовлень першого типу рівномірно розподілений на відрізку від 8 до 20 с, час обслуговування замовлень другого типу розподілений експоненційно з математичним сподіванням (1, час обслуговування замовлення третього типу розподілений за нормальним законом з математичним сподіванням (2 та стандартним відхиленням (.
2. Зберіть статистичні дані роботи ЕОМ, інформацію про перебування замовлень у черзі (не включаючи час обслуговування).
3. Проведіть моделювання при початковому значенні (1 = 0,4, кінцевим значенням (1 = 1 з кроком ((1 = 0,2 та значеннями (2 = 12 і ( = 2, протягом 6 год модельного часу.
Вправа 12.
1. Побудуйте імітаційну модель процесу обслуговування замовлень, які надходять в обчислювальну систему, з метою виявлення точки беззбитковості.
Час надходження замовлень у систему розподілений експоненційно з інтенсивністю вхідного потоку (.
Час обслуговування замовлення розподілений за нормальним законом з математичним сподіванням ( та стандартним відхиленням (.
Одночасно у системі можуть обслуговуватися 100 замовлень. Плата за обслуговування одного замовлення становить 2 у. о. за годину. Загальні витрати системи становлять 3000 у. о. за добу.
Зберіть статистичні дані роботи системи, підрахуйте плату за обслуговування.
Проведіть моделювання з метою виявлення (, при якому система буде отримувати прибуток, якщо значення ( = 20 та ( = 3.
Вправа 13.
1. Побудуйте імітаційну модель процесу обслуговування замовлень, які надходять в обчислювальну систему (ОC), що складається з n ЕОМ та 2 принтерів.
Час надходження замовлень розподілений за експоненційним законом з інтенсивністю ( завд/с.
На друк надходить 0,1 замовлень. Час друкування одного замовлення становить від 8 до 10 хв.
Час виконання завдань рівномірно розподілений у інтервалі від 16 до 22 с.
2. Зберіть статистичні дані роботи ОС ЕОМ і принтерів та загальну інформацію про перебування замовлень у системі (окремо для завдань, що виводяться на друк, й окремо для завдань, що не потребують друку).
3. Проведіть моделювання при початковому значенні n = 2, кінцевим значенням n = 10 з кроком (n = 1 та значенням ( = 0,1. Робота моделі відбувається протягом 6 год модельного часу.
Вправа 14.
Побудуйте імітаційну модель процесу обслуговування замовлень, які надходять в обчислювальну систему (ОC), що складається з 2 ЕОМ, і які мають різне програмне забезпечення.
Третина замовлень може виконуватися тільки на першій ПЕОМ, а інші як на першій, так і на другій. Тому займають ту машину, яка вільна у поточний момент. Час надходження замовлень розподілений за експоненційним законом з інтенсивністю ( завд/с. Виконання замовлення на першій машині займає від 20 до 30 хв, а на другій 4050 хв.
2. Зберіть статистичні дані роботи ЕОМ та інформацію про перебування замовлень у черзі до кожної ЕОМ (не включаючи час обслуговування).
3. Проведіть моделювання при початковому значенні n = 2, кінцевим значенням n = 10 з кроком (n = 1 та значенням ( = 0,1. Робота моделі відбувається протягом 6 год модельного часу.
Вправа 15.
1. Побудуйте імітаційну модель процесу обслуговування замовлень, які надходять у обчислювальну систему (ОC), що складається з 14 однакових ПЕОМ та 2 ПЕОМ із значно вищою продуктивністю. Замовлення, що надходять у систему, у першу чергу займають машини з більшою продуктивністю. Якщо вони зайняті, то замовлення виконується на інших ПЕОМ, які вільні на цей час. Якщо всі машини зайняті, то замовлення не обслуговується і залишає систему.
Час обробки завдань на ПЕОМ першого типу становить 2040 хв, а на ПЕОМ другого типу 1020 хв. Замовлення надходять до системи через 1620 хв.
2. Зберіть статистичні дані роботи ЕОМ та інформацію про перебування замовлень у черзі до кожної ЕОМ (не включаючи час обслуговування).
3. Проведіть моделювання протягом 8 год модельного часу.
Вправа 16.
1. Побудуйте імітаційну модель процесу обслуговування замовлень, які надходять в обчислювальну систему (ОC). Замовлення надходить у систему через 1020 хв. Виконання замовлень відбувається на одній ЕОМ. Час виконання замовлення розподілений за експоненційним законом з математичним сподіванням ( завд/с.
Потім відбувається друк замовлень одночасно на двох принтерах (друкуються 2 копії), підключених через паралельний порт. Друк на першому принтері відбувається за 416 хв, а на другому за 816 хв.
Після друку віддрукований матеріал збирається за 24 хв і передається замовнику.
2. Зберіть статистичні дані роботи кожної ЕОМ та пристроїв друку, загальну інформацію про перебування замовлень у системі (включаючи час обслуговування).
3. Проведіть моделювання при початковому значенні ( = 0,1, кінцевому значенні ( = 1 з кроком (( = 0,2. Робота моделі відбувається протягом 8 год модельного часу.
Вправа 17.
1. Побудуйте імітаційну модель процесу обслуговування замовлень, які надходять в обчислювальну систему (ОC). Потрібна для виконання замовлення інформація в 0,7 випадків знаходиться на ПЕОМ обчислювальної системи; в інших випадках частина інформації отримується через глобальну мережу. Час виконання замовлення, якщо інформація знаходиться в машині обчислювальної системи триває, 28 хв. Час отримання інформації через мережу становить 20 ( 4 хв. Виконане замовлення роздруковується за 10 ( 4 хв.
2. Зберіть статистичні дані роботи ЕОМ, використання глобальної мережі та пристрою друку, загальну інформацію про перебування замовлень в системі (включаючи час обслуговування).
3. Проведіть моделювання протягом 8 год модельного часу.
Вправа 18.
1. Побудуйте імітаційну модель процесу обслуговування замовлень, які надходять в обчислювальну систему (ОC). Замовлення надходять у систему з інтенсивністю 0,2 завд/с.
У системі реалізується дисципліна обслуговування з динамічними пріоритетами. Задача, час обслуговування якої найменший, має вищий пріоритет.
Очікуваний час виконання задачі записаний у таблиці
Хі
2
5
8
10
15
20

Рі
0,2
0,3
0,2
0,15
0,1
0,05


де х і час у секундах, рі відповідна ймовірність.
Фактичний час виконання замовлення має експоненційний розподіл з математичним очікуванням (.
2. Зберіть статистичні дані роботи ОС та інформацію про перебування замовлень у системі (не включаючи час обслуговування).
3. Проведіть моделювання при початковому значенні ( = 0,1, кінцевому значенні ( = 1 з кроком (( = 0,2. Робота моделі відбувається протягом 4 год модельного часу.
Вправа 19.
1. Побудуйте імітаційну модель процесу обслуговування замовлень, які надходять в обчислювальну систему (ОC), що складається з n ЕОМ. Час надходження замовлень розподілений за нормованим нормальним законом (з виключенням від’ємних значень). Час виконання завдань рівномірно розподілений у інтервалі від 16 до 22 с на всіх ЕОМ.
2. Підрахуйте кількість замовлень, час виконання яких більший або дорівнює 20.
3. Зберіть статистичні дані роботи кожної ЕОМ та інформацію про перебування замовлень у системі (включаючи час обслуговування, незалежно на якій з ЕОМ відбувалося обслуговування).
4. Проведіть моделювання при таких значеннях: ( = 10 та ( =2. Початкове значення n = 2, кінцеве значення n = 10 з кроком (n = 2. Робота моделі відбувається протягом 6 год модельного часу.
2. Моделювання систем обслуговування клієнтів

Вправа 20.
1. Побудуйте імітаційну модель обслуговування клієнтів у перукарні за такої умови. До перукарні заходять клієнти, десять відсотків яких бажають стригтись і голитись, а інші тільки стригтись. Стрижка займає від 20 до 30 хв, а гоління від 60 до 30 хв. У перукарні працює n перукарів. Час між появою клієнтів розподілений рівномірно на відрізку від 15 до 40 хв.
2. Зберіть статистичні дані роботи перукарів та інформацію про перебування клієнтів у черзі (включаючи час обслуговування).
3. Проведіть моделювання при таких значеннях: початкове значення n = 2, кінцеве значення n = 10 з кроком (n = 2. Робота моделі відбувається протягом 8 год модельного часу.
Вправа 21.
1. Побудуйте імітаційну модель обслуговування клієнтів на заправних станціях за таких умов. На двох заправних станціях є відповідно 5 та 3 колонки для заправлення автомобілів. Якщо на першій станції зайняті усі колонки, то машини від’їжджають на другу. Якщо на другій станції черга більша, ніж 10 машин, то машини в чергу не стають. Час заправлення займає від 10 до 15 хв. Автомобілі прибувають у діапазоні від 2 до 6 хв. Час переїзду на іншу заправну станцію займає 10 хв.
Зберіть статистичні дані роботи заправної станції та інформацію про перебування клієнтів у черзі (не включаючи час обслуговування).
Підрахуйте кількість клієнтів, що залишили чергу.
4. Проведіть моделювання, поступово збільшуючи значення інтервалу між приїздом клієнтів. Робота моделі відбувається протягом 18 год модельного часу.

Вправа 22.
1. Побудуйте імітаційну модель обслуговування клієнтів у білетних касах за таких умов. До білетних кас з n касирами приходять пасажири в інтервалі 25 хв. Обслуговування пасажирів займає 515 хв. Якщо в черзі більше, ніж 10 пасажирів, то новоприбулий переходить у інший касовий зал, де працює один касир, який обслуговує туристичні групи. Обслуговування туристичної групи займає 2030 хв, а представники групи приходять через 2040 хв. Якщо касир вільний, то він приймає пасажирів із загальної черги. У випадку, коли касир зайнятий, пасажири залишають приміщення каси.
2. Зберіть статистичні дані роботи касирів та інформацію про перебування клієнтів у черзі (включаючи час обслуговування).
3. Проведіть моделювання за таких значень: початкове значення n = 2, кінцеве значення n = 6 з кроком (n = 1. Робота моделі відбувається протягом 8 год модельного часу.
Вправа 23.
1. Побудуйте імітаційну модель обслуговування клієнтів у банку за таких умов. У банку з одним касиром є місце для розміщення n машин. Якщо клієнт прибуває, коли на зупинці є вільне місце, він приєднується до черги в касу. Якщо вільного місця на зупинці немає, клієнт проїжджає квартал і знову повертається, щоб зайняти місце та стати в чергу до каси. Час об’їзду кварталу розподілений рівномірно в інтервалі від 4 до 7 хв. Клієнти прибувають в інтервалі від 5 до 20 хв. Час обслуговування клієнтів касиром розподілений за експоненційнним законом із значенням середнього (.
2. Зберіть статистичні дані роботи касира та інформацію про перебування клієнтів у черзі (включаючи час обслуговування).
3. Проведіть моделювання за початковим значенням ( = 2, кінцевим значенням ( = 6 з кроком (( = 2. Обмежте час роботи моделі, беручи до уваги, що банк працює з клієнтами з 9 до 12 год.
Вправа 24.
1. Побудуйте імітаційну модель обслуговування клієнтів у банку за таких умов. До банку приходять клієнти. Час приходу клієнтів розподілений за законом Пуассона зі значенням інтенсивності (. Протягом дня у залі працює три касири. У першій касі клієнта обслуговують за 515 хв, у другій за 710 хв, у третій за 416 хв. Клієнт стає у найменшу з черг.
2. Зберіть статистичні дані роботи касирів та інформацію про перебування клієнтів у черзі (включаючи час обслуговування).
3. Проведіть моделювання при початковому значенні ( = 2, кінцевому значенні ( = 8 з кроком (( = 2. Робота моделі відбувається протягом 6 год модельного часу. Вкажіть час роботи моделі, беручи до уваги, що банк працює з клієнтами з 9 до 12 год.
Вправа 25.
1. Побудуйте імітаційну модель обслуговування клієнтів у телевізійній майстерні за таких умов. Телевізійна майстерня ремонтує телевізори двох типів. Телевізори першого типу є власністю майстерні й обслуговуються в першу чергу. Другий тип телевізорів це телевізори клієнтів. Якщо під час ремонту телевізора клієнта до майстерні надходить телевізор першого типу, ремонт телевізора другого типу відкладається, поки не скінчиться ремонт телевізора, який є власністю майстерні. За день у майстерню надходить 24 телевізори клієнтів і 12 власних. Час ремонту телевізорів уважається рівномірно розподіленим і становить 35 год. Майстерня працює 12 год. Проімітуйте роботу майстерні.
2. Зберіть статистичні дані виконання робіт у майстерні.
3. Підрахуйте час перебування телевізорів клієнтів у майстерні (включаючи час переривання обслуговування).
Проведіть моделювання протягом 40 год.
Вправа 26.
1. Побудуйте імітаційну модель обслуговування клієнтів у бібліотеці без відкритого доступу за таких умов. У цій бібліотеці читачі, які бажають отримати книгу, повинні оформити аркуш-замовлення і віддати його бібліотекареві. Після цього бібліотекар йде у книгоcховище, шукає там потрібну книгу й повертається з нею до читача. Потім відбувається процедура видачі, після чого читач залишає бібліотеку. Читачі, які бажають отримати книги, підходять до столу реєстрації за законом Пуассона з середньою інтенсивністю ( чоловік на годину. Кожний читач отримує лише одну книгу. Число бібліотекарів n. Обслуговування виконує будь-який бібліотекар, вільний у даний момент. Кожний бібліотекар може взяти аркуші-замовлення не більше, ніж у трьох читачів (якщо така кількість читачів очікує обслуговування). Час виконання одного замовлення бібліотекарем становить від 1 до 3 хв. Якщо одночасно виконується кілька замовлень, то час виконання збільшується на 0,5 хв для кожного замовлення. Час оформлення становить від 0,5 до 1,5 хв на одну книгу.
2. Зберіть статистичні дані про роботу обслуговування читачів у бібліотеці, а саме: завантаження бібліотекарів та перебування читачів у черзі до моменту передачі аркуша-замовлення бібліотекареві.
3. Проведіть моделювання за початковим значенням n = 2, кінцевим значенням n = 10 з кроком (n = 1, значеннями ( = 30 та ( = 40. Робота моделі відбувається протягом 6 год модельного часу.
Вправа 27.
1. Побудуйте імітаційну модель обслуговування механіків у коморі за таких умов. На фабриці є дві комори, у кожній з яких працює один комірник. У першій коморі обслуговуються механіки, які працюють з великими верстатами, у другій усі інші механіки. Поява механіків у коморі відбувається за пуассонівським законом із значенням інтенсивності, яка дорівнює (1 механіків за годину. Час обслуговування механіків розподілений за експоненційним законом із значенням середнього 2 хв.
У зв’язку з тим, що механіки дуже довго чекають обслуговування, було внесено пропозицію об’єднати дві комори так, щоб кожен комірник мав змогу обслуговувати будь-який запит механіків.
Інтенсивність надходження запитів у таку об’єднану комору становитиме в середньому (2 механіків за годину, а час обслуговування залишиться тим самим.
2. Зберіть статистичні дані роботи обслуговування механіків у коморах, а саме: завантаження комірників та перебування механіків у черзі.
3. Проімітуйте роботу комори у першому та другому випадках, застосовуючи для кожного випадку за чергою такі значення: (1 = 20; (2 = 40 та (1 = 30 (2 = 60. Робота моделі відбувається протягом 6 год модельного часу.
Вправа 28.
1. Побудуйте імітаційну модель роботи центру координації робіт за таких умов. У центрі координації робіт в одному з підрозділів пропонується організувати обслуговування таким чином, як у системі з одним пристроєм та чергою. Вхідний потік заявок є пуассонівським з інтенсивністю (і у день. Час, необхідний для направлення на роботу, для всіх клієнтів однаковий, розподілений за експоненційним законом і має середнє значення 0,2 доби. Якщо клієнти першого типу не можуть довго чекати, то клієнти другого типу поспішають, але не дуже, а клієнтам третього типу майже однаково, скільки чекати. Клієнти трьох типів приходять з інтенсивністю (1 = 1,5, (2 = 2,0 і (3 = 1,0 у день відповідно.
2. Зберіть статистичні дані щодо роботи моделі у двох випадках і зробіть аналіз, за якого принципу обслуговування черги будуть меншими.
3. Проімітуйте обслуговування клієнтів у випадку, коли обслуговування відбувається за принципом «першим прийшов першим обслуговується», та у випадку, коли обслуговування відбуватиметься на пріоритетній умові. Час роботи імітаційної моделі 4 доби модельного часу.

3. Моделювання виробничих систем
Вправа 29.
1. Побудуйте імітаційну модель виготовлення та перевірки пристроїв у цеху за таких умов. Цех має виготовити 400 пристроїв. Кожен шостий пристрій підлягає перевірці на якість на спеціальному устаткуванні. Пристрої виготовляються на двох автоматизованих лініях. Час виготовлення пристрою однаковий для кожної автоматизованої лінії і становить 4060 хв, а перевірка якості 810 хв. Заготовки для виготовлення надходять через 20 хв і подаються за чергою на кожну лінію. Імовірність виникнення неполагодження на першій лінії становить р1, імовірність виникнення неполагодження на другій ліній становить р2. Час ремонту першої лінії становить 0,5 год, другої 1 год.
2. Зберіть статистичні дані щодо виконання виготовлення і перевірки пристроїв та інформацію про черги.
3. Проімітуйте процес виготовлення та перевірки пристроїв, змінюючи принцип подавання заготовок на кожну лінію (наприклад, розподіляючи їх у процентному відношенні з урахуванням імовірності виникнення збоїв на автоматизованій лінії. Час роботи імітаційної моделі при одному прогоні 8 год модельного часу (одна робоча зміна). Проведіть моделювання протягом 5 робочих змін. При реалізаціях моделі початкове р1 = 0,1, кінцеве р1 = 0,3 з кроком 0,1; початкове р2 = 0,01, кінцеве р2 = 0,03 з кроком 0,01.
Вправа 30.
1. Побудуйте імітаційну модель виготовлення виробів у цеху за таких умов. Якість обробки виробів залежить від часу їхньої обробки. Час обробки рівномірно розподілена випадкова величина [20; 40]. Якщо вироби обробляють більше, ніж 30 хв, то вони вважаються першим сортом, інші вироби другим сортом. Визначте кількість виробів першого сорту, якщо всього оброблялось 500 виробів, які надходять на обробку одночасно.
2. Зберіть статистичні дані про роботу цеху.
3. Підрахуйте кількість виробів першого та другого сорту при початковій умові задачі.
Проімітуйте процес виготовлення виробів. Установіть, при яких значеннях часу обробки відсоток виробів другого сорту не перевищуватиме 10%.
Вправа 31.
1. Побудуйте імітаційну модель виготовлення ресор за такої умови. У цеху відбувається загартовування та відпуск ресор. Загартовування триває від 10 до 20 хв. Якщо загартовування відбувається менше, ніж 15 хв, то відпуск проводиться 5 хв, в іншому випадку 10 хв. На обробку надходять ресори за експоненційним законом з інтенсивністю ( шт/с.
2. Зберіть статистичні дані про роботу устаткування цеху та черги на обробку (не включаючи час обробки).
3. Проведіть моделювання за початковим значенням ( = 0,1, кінцевим значенням ( = 0,3 з кроком (( = 0,1. Підрахуйте час, необхідний для виготовлення 50 ресор. Робота моделі відбувається протягом 720 год модельного часу.
Вправа 32.
1. Побудуйте імітаційну модель виготовлення деталей у цеху за таких умов. У виробничому цеху є 3 різних групи механізмів і обробляється 4 типи деталей. Кожен тип деталей обробляється згідно із заданим технологічним маршрутом. Матрицю технологічних маршрутів наведено у таблиці:

Номер
операції
Тип деталі


1
2
3
4

1
1
3
2
3

2
3
2
1
1

3
2
1
3
2


Час обробки деталей на кожній операції наведено у наступній таблиці:

Номер
операції
Тип деталі


1
2
3
4

1
7
8
9
2

2
4
10
14
11

3
10
1
3
10


Час подавання деталей у цех розподілено за експоненційним законом із значенням середнього ( хв.
2. Зберіть статистичні дані про роботу механізмів та черг на обробку. Підрахуйте час простою механізмів за кожним варіантом моделювання.
3. Проведіть моделювання за початковим значенням ( = 2, кінцевим значенням ( = 10 з кроком (( = 2. Робота моделі відбувається протягом 480 год модельного часу.
3.3. Завдання для самостійної роботи
Завдання 1. Локальна обчислювальна мережа має кільцеву структуру і включає n абонентів. Метод доступу до середовища це метод передачі маркера. У мережі циркулює один маркер керуючий пакет, що ініціалізується під час запуску мережі. Час ініціалізації маркера дорівнює Тін.
Функціонування мережі з передачею маркера проходить таким чином. Маркер циклічно переміщується від станції до станції. Станція, яка прийняла маркер і має інформацію для передачі, захоплює маркер і формує інформаційний пакет. Інформаційний пакет випадкової довжини передається по мережі. Кожна станція, яка виявила пакет, перевіряє адресу того, хто отримує пакет, і якщо він збігається з власною адресою, копіює повідомлення у буфер.
Час, потрібний для доставки повідомлення, дорівнює
(n – 1) · t + tnn · i,
де n кількість активних станцій у мережі, t час передачі сигнала від станції до станції, tnn час передачі пакета по кільцю, і  кількість пакетів у повідомленні.
Після обходу всіх станцій мережі інформаційний пакет поверта- ється на станцію, яка його послала. Станція виводить пакет з мережі, посилає маркер у мережу по кільцю і переходить у режим формування нового повідомлення. Час формування повідомлення розподілено за експоненційним законом з середнім 1/(. Кількість пакетів у повідомленні розподілено відповідно з функцією f.
Параметри мережі: 1/( = 3000 мс, t = 1 мс, n = 5, tnn = 2 мс, Tін = 10 мс.
Функція f (розподілення кількості пакетів у повідомленні):

Імовірність
0,1
0,3
0,4
0,5

Кількість пакетів у повідомленні
10
4
2
1


Завдання 2. Побудуйте модель функціонування системи, яка складається з трьох джерел завдань (ДЗ) і ЕОМ з фіксованою кількістю задач. Остання складається з оперативної пам’яті (ОП), центрального процесора (ЦП) і зовнішніх пристроїв (ЗП):

13 EMBED Word.Picture.8 1415

Оперативна пам’ять розподілена на три розділи фіксованої довжини L(i), де i номер розділу.
Кожний розділ може розміщувати тільки одне завдання (задачу).
ДЗ посилає завдання для виконання в ЕОМ. Інтенсивність потоку завдань розподілена за пуассонівським законом. Кожне завдання завантажується у найменший вільний і достатній за ємністю розділ ОП і перебуває у ньому до завершення виконання. Усі розміщені в ОП завдання стають у чергу до ЦП і обслуговуються за принципом «перший прийшов перший обслуговується». У випадку, коли умови розміщення не виконуються, завдання стають у чергу до ОП.
У процесі виконання завдання можуть знаходитись у двох станах: «активно» чи «блоковано». У стані «активно» завдання використовують ЦП.
На початку операції вводу-виводу завдання переходить до стану «блоковано», звільняє ЦП і стає у чергу до ЦП. Імовірність звертання до ЗП1 у три рази вища від імовірності звертання до ЗП2. Кількість операцій вводу-виводу визначається функцією:
х
0 0,5
0,5 0,65
0,65 1

у
10
60
180


де у кількість операцій, х рівномірно розподілена послідовність випадкових чисел. У стані «активно» задача ініціює запити вводу-виводу через інтервали часу, що розподілені за експоненційним законом з середнім 3 с.
Дисципліна обслуговування черги ЗП «перший прийшов перший обслуговується».
Час обробки запиту вводу-виводу рівномірно розподіляється з середньоквадратичним 1. Після завершення операції вводу-виводу задача стає у чергу до ЦП.
Умовою виходу з системи є виконання необхідної кількості операцій вводу-виводу. Останньою фазою виконання для кожної задачі є використання ЦП.
Ємність пам’яті, необхідної для розміщення завдання, визначається функцією:
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Визначіть:
коефіцієнт завантаження ЦП;
коефіцієнт завантаження кожного розділу ОП;
час виконання завдання (математичне очікування);
гістограму часу виконання запиту вводу-виводу;
середній час очікування завдання.

Завдання 3. Побудуйте модель процесу функціонування системи, яка складається з одного джерела запитів і підсистеми вводу-виводу.
Джерело запитів з інтенсивністю 5 запитів/с формує команди вводу-виводу для читання/запису інформації з/на зовнішній пристрій (ЗП). Інтервали часу між появами запитів розподілені за експоненційним законом.
Кожний запит пов’язаний з виконанням однієї операції читання/запису. Інформація розміщена на накопичувачах на магнітних дисках (НМД). Одиницею інформації є сектор довжиною L = 512 байт. Кількість НМД дорівнює чотирьом.
Імовірність звернення до і-го НМД для кожного запиту визначається функцією розподілу:
х
0 0,5
0,5 0,78
0,78 0,91
0,91 1

у
1
2
3
4


де у номер НМД, а х рівномірно розподілена послідовність випадкових чисел.
Імовірність звернення до циліндру і-го НМД визначається функціями розподілу:

х
0
0,1
0,2
0,5
0,7
0,75
0,9
1

у1
0
200
300
400
500


615

у2
0
100

300


400
615

у3
0

50

300
500

615

у4
0


50

250
500
615


де у номер циліндра, а х рівномірно розподілена послідовність випадкових чисел.
Запити стають у чергу до селекторного каналу (СК), якщо він зайнятий. Канал обслуговує чергу згідно з дисципліною «перший прийшов перший обслуговується». СК займає весь час виконання операції читання/запису. Етапи виконання операції.
Захоплення СК та передача команди пристрою керування (ПК).
Обробка команди ПК і захоплення необхідного НМД. Час обробки команди ПК близький до нуля.
Підведення системи головок до необхідного циліндра. Час підведення визначається виразом
13 EMBED Word.Picture.8 1415
де j поточний циліндр, на якому знаходяться головки НМД, r  адресований циліндр, з якого необхідно прочитати/записати інформацію, t = 30 мс час переміщення з циліндру на циліндр, t0 час заспокоєння головок при підході до циліндра.
Пошук сектора даних. Час пошуку рівномірно розподілений в інтервалі (0, Т), де Т = 16,8 мс.
Запис/читання сектора даних. Час виконання дорівнює Тв = Т/17.
Звільнення НМД і СК та виведення запиту з системи.
Визначити:
коефіцієнт завантаження НМД;
коефіцієнт завантаження СК;
гістограму часу обслуговування вводу/виводу;
середній час обробки вводу/виводу.
Завдання 4. Система телеобробки (ТОД) складається з n терміналів (Т1, , Тn), n каналів зв’язку (КЗ1, , КЗn) та ЕОМ, у якій монітор ТОД керує процесом передачі по каналах зв’язку:

13 EMBED Word.Picture.8 1415
Абонент з терміналу надсилає повідомлення до ЕОМ, яке передається по КЗ. Передача повідомлення здійснюється блоками довжиною Lбл. Блок даних (БД) захоплює КЗ. Час передачі БД по КЗ дорівнює відношенню довжини БД до швидкості (Ш) передачі по КЗ. Кожен блок після передачі по КЗ перериває роботу центрального процесора (ЦП) на час Тобр. Далі кожен КЗ звільняється і переда- ється наступне БД повідомлення. Повне повідомлення, передане по КЗ, передається на обробку до монітора ТОД.
Монітор ТОД для кожного повідомлення ініціює прикладну програму (ПП), якщо поточний рівень мультипрограмування (і) менший за максимальний. У протилежному випадку повідомлення стає в чергу до монітора ТОД і включає режим «блокування монітора».
Максимальний рівень мультипрограмування дорівнює К (кількості прикладних програм, які одночасно виконуються у середовищі ТОД).
Черга до монітора ТОД обслуговується згідно з дисципліною «перший прийшов перший обслуговується» (FIFO).
Режим «блокування монітора» блокує передачу повідомлень по КЗ без переривання тієї, яка вже почалася.
Для виконання ПП стає в чергу до основного ресурсу ЕОМ центрального процесора. Дисципліна обслуговування ЦП FIFO. Час обробки дорівнює і · Тобр + 200, де і кількість активних прикладних програм у середовищі монітора ТОД. У результаті обслуговування ПП формується вихідне повідомлення, звільняється ЦП і монітор ТОД, скидається режим «блокування монітора» і дозволяється передача КЗ.
Вихідне повідомлення надходить у КЗ для передачі. Довжина вхідного та вихідного повідомлення розподілена за експоненційним законом, з середнім 1/r. Закінчення передачі вихідного повідомлення супроводжується виводом інформації на термінал. Абонент протягом часу Тобд обдумує отриману інформацію і формує повідомлення для ЕОМ.
Час обдумування розподіляється за експоненційним законом 1/t.
Параметри системи:
L бл = 80 байт, 1/r = 100 байт, Ш = 300 біт/с,
1/t = 100 c, n = 10, К = 4, Тобд = 8
Проімітуйте процес функціонування системи.

Завдання 5. Інформаційно-обчислювальна мережа складається з трьох центрів (ІОЦ), зв’язаних дуплексними швидкісними магістральними каналами зв’язку (МКЗ). Мережа має таку структуру:

13 EMBED Word.Picture.8 1415
Швидкість передачі даних по МКЗ дорівнює 64 байт/с. Кожен ІОЦ має одну велику ЕОМ, що працює під керуванням монітора телеобробки даних. Ступінь мультипрограмування монітора дорівнює 30 (максимальна кількість повідомлень, що одночасно обслуговуються). Функціонування мережі проходить таким чином. Вхідне повідомлення надходить у і-й ІОЦ. Воно приймається на обслуговування, якщо поточна кількість повідомлень, що обслуговуються, не перевищує максимальну. У протилежному випадку воно потрапляє до черги. Черга обслуговується монітором згідно з дисципліною «перший прийшов перший обслуговується». Інтервал часу між повідомленнями (вхідний потік) має розподіл f. Кожне повідомлення характеризується такими параметрами:
номер центра (джерело), на який поступає повідомлення вхідного потоку;
номер центра (вузол призначення), якому призначається повідомлення;
розмір вхідного та вихідного повідомлення.
Монітор, який прийняв повідомлення до обслуговування, збільшує поточну кількість повідомлень, що обслуговуються, та перевіряє збігання адреси призначення з адресою поточного ІОЦ. У випадку збігання за час, що має розподіл f, з вхідного повідомлення формується вихідне. При збіганні адреси джерела й адреси призначення монітор зменшує поточне число повідомлень і воно залишає мережу.
Якщо адреса не збігається з адресою поточного ІОЦ, то повідомлення направляється в МКЗ до відповідного вузла призначення. Повідомлення передається по МКЗ, якщо він вільний. У протилежному випадку воно чекає його звільнення у черзі. У черзі першими обслуговуються повідомлення, які направляються до вузла призначення. Надіслані по МКЗ повідомлення надходять в ІОЦ, зменшуючи при цьому поточну кількість повідомлень, що оброблялись на попередньому ІОЦ. Час передачі по МКЗ визначається виразом:
Тмкз = [Nб + Nд + Tм + T а · Pпо · Vпд · No] · Lп / [Nб · Vпд · (1 – Pпо)],
де Nб довжина блока даних; Nд кількість надмірних бітів у блоці даних; Vпд експлуатаційна швидкість передачі даних (біт/с); Pпо імовірність похибки при передачі біта інформації; No довжина послідовності під час відповіді; Lп довжина повідомлення, Tа  час таймауту; Tм час переключення модема.
Час обслуговування у і-му ІОЦ має розподіл f, який залежно від умов визначається такими функціями:
f = f1 розподіл часу обслуговування повідомлення в ІОЦ, коли адреса вузла призначення і адреса поточного ІОЦ збігаються і в маршруті повідомлення немає транзитних вузлів;
f = f2 розподіл часу обслуговування повідомлення в ІОЦ, коли адреса вузла призначення і адреса джерела збігаються і в маршруті повідомлення є транзитні вузли;
f = f3 розподіл часу обслуговування повідомлення в ІОЦ, коли адреса вузла призначення і адреса поточного ІОЦ збігаються і в маршруті повідомлення є транзитні вузли.
Дані для моделювання:
Розподіл часу обслуговування в і-му ІОЦ:
Функція f1
Імовірність
0,412
0,92
0,99
1,0

Час обслуговування (с)
99170
198330
297490
1090770

Функція f2
Імовірність
0,02
0,29
0,615
0,812
0,91
0,97
0,986
1,0

Час обслуговування (с)
29000
52900
76800
10070
124600
172400
220200
268000

Функція f3
Імовірність
0
0,517
0,747
0,816
0,871
0,948
0,991
1,0

Час обслуговування (с)
24010
31010
40010
64010
96010
112010
136010
184410

Функція розподілу інтервалів часу між надходженнями повідомлень:
Імовірність
0,284
0,463
0,582
0,676
0,748
0,85
0,995
1,0

Час обслуговування (с)
1000
2000
3000
4000
5000
7000
9000
11000

Функція довжини вихідного повідомлення:
Імовірність
0,779
0,813
0,853
0,983
1,0

Довжина повідомлення
2590
4045
7934
9643
11992

Функція довжини вхідного повідомлення:
Імовірність
0,953
0,986
0,989
1,0

Довжина повідомлення
59
177
236
296

Імовірність адресації ІОЦ (джерело ІОЦ1)
Імовірність
0,8
0,9
1,0

Час обслуговування (с)
1
2
3

Імовірність адресації ІОЦ (джерело ІОЦ2)
Імовірність
0,8
0,9
1,0

Час обслуговування (с)
2
1
3

Імовірність адресації ІОЦ (джерело ІОЦ3)
Імовірність
0,8
0,9
1,0

Час обслуговування (с)
3
1
2

Nб = 640 біт; Nо = 55; Nд = 72; Vпд = 64000 кбіт/с; Tа = 3с; Pпо = 0,0001.
Визначіть:
коефіцієнт використання магістрального каналу зв’язку;
середній час реакції мережі;
розподіл реакції мережі;
середній час очікування повідомлення у черзі;
середній рівень мультипрограмування монітора телеобробки даних.
Завдання 6. Абоненти надсилають запити на обслуговування до ЕОМ, що працює в режимі розподілу часу. Обслуговування і-го запиту абонента виконує і-а прикладна програма (ПП). Інтервал часу між надходженням запитів розподілений за експоненційним законом з середнім 1/r = 20 с. Кожна ПП, яка обслуговує і-й запит, вимагає для свого виконання сегмент оперативної пам’яті (ОП) ємністю Lоп (кбайт). Ємність, яка виділяється ПП, розподілено за нормальним законом з середнім m = 240 кбайт і середньоквадратичним відхиленням q = 10. Загальна ємність ОП ЕОМ дорівнює 8192 кбайт. Кількість запитів, що одночасно обслуговуються, обмежено ємністю ОП ЕОМ. Накладні витрати на сегментування ОП порівняно з часом виконання ПП незначні.
Для кожного запиту, що надходить, система визначає достатню кількість вільної ОП для виконання ПП. Якщо її немає, то запит стає в чергу до ОП. У протилежному випадку запит приймається до обслуговування, займає сегмент ємністю Lоп і стає у чергу до ЦП.
Дисципліна обслуговування запитів є найпростішою стратегією кругового обслуговування з відносним пріоритетом. Кожна ПП, яка обробляє і-й запит, має квант часу розміром 5 с. Якщо за термін одного кванта ПП не закінчується, робиться її переривання і перехід до виконання ПП, яка є наступною у черзі до ЦП. При цьому ПП, яка обробляє і-й запит, стає у чергу до ЦП. Формування черги виконується згідно з відносним пріоритетом. Пріоритет визначається за принципом «чим коротша програма, тим вищий її пріоритет». У першу чергу виконуються найбільш «короткі» ПП, які потребують найменшої кількості квантів часу ЦП (найменшого обсягу обчислень). Кількість квантів часу, необхідна для виконання ПП, розподіляється рівномірно в інтервалі [1,4].
Процес обслуговування запиту продовжується доти, доки ПП не буде виконана повністю. Запит, обслуговування якого закінчилось, звільняє ОП і залишає систему, а з черги береться на обслуговування наступний запит. Дисципліна обслуговування запитів, що знаходяться у черзі до ОП, «перший прийшов першим обслуговується».
Треба визначити:
коефіцієнт використання процесора;
коефіцієнт використання ОП;
розподіл часу обслуговування запиту.
3.4. Довідки про склад пакету GPSS/PC
GPSSPC.ЕХЕ програма iнiціалiзацiї сеансу GPSS.
GPSSMAIN.EXE програма iнiцiалiзацiї сеансу GPSS з моделями, що мiстять блок HELP, який використовується для зв’язку з програмними модулями, поданих мовами FORTRAN та ASSEMBLER.
GPSSREPT.EXE файл формування форматованого звіту моделi.
СOMAND.COM системний файл, який міститься в кореневому каталозі пакету й використовується для обміну між командами GPSS/PS та MS DOS.
SETTING.GPS файл, який використовується одночасно з GPSSPC та GPSSREPT. Цей файл містить установки пакету, які можна змiнювати.
HELP1.FOR стандартна програма FORTRAN HELP. Цей файл мiстить 4 програми iнтегрування методом Рунге–Кутта. До нього можна вводити додаткові програмні модулі.
HELP1.GPS еталонний програмний файл GPSS, який використовується для моделювання неперервних процесів.
GPSS.ASM, GPSS.OBJ файли, якi використовуються для програмного інтерфейсу програми, побудованої мовою GPSS, з програмами, записаними мовою ASSEMBLER або FORTRAN.
LINKRМ.BAT командний файл, який пов’язує програму мовою ASSEMBLER або FONTRAN (RYAN-MCFARLAND) з блоком HELP моделi, поданої мовою GPSS і утворює файл GPSSMAIN.
LINKMS.BAT командний файл, який пов’язує програму, записану мовою ASSEMBLER або FONTRAN (MICROSOFT), з блоком HELP моделі мовою GPSS і утворює файл GPSSMAIN.
SHOWPORT.BAS програма, яка визначає адреси послідовного та паралельного порта ПЕОМ.
RENUMBER.BAS програма для нумерації рядків у ASCII файлі.
Крім того, використовуються файли:
для заповнення журналу сеансу (SESSING JORAL). Ім’я файла специфікується в SETTING.GPS;
для нагромадження результатів iмiтацiйного моделювання (RESULT FILE). Ім’я файла специфікується командою RESULT;
для записування неформатованого звiту (UNFORMATTED REPORT FILE). Ім’я файла специфікується командою REPORT.
3.5. Довідки про типи блоків та операторів, що використовуються у GPSS
Типи елементів
Блoки або оператори
Карти для визначення

Пристрої
SEIZE
RELEASE
PREEMPT
RETURN
GATE


Функції

FUNCTION

Логічні перемикачі
LOGIC
GATE


Матриці величин, що зберігаються
MSAVEVALUE
MATRIX

Черги
QUEUE
DEPART


Величини, що зберігаються
SAVEVALUE


Багатоканальні пристрої
ENTER
LEAVE
GATE


Таблиці
TABULATE
TABLE
QTABLE

Ланцюги користувача
LINK
UNLINK


Змінні

VARIABLE
FVARIABLE

3.6. Довідки про правила запису операторів, блоків і карток та система підказок редактора GPSS/РС
Поля операторiв записуються в такій послiдовностi:
номер рядка;
мiтка;
операцiя;
операнди (на першому місці у полях операндiв стоїть операнд умови);
коментарi.
Система видає такі підказки щодо того, у якому полі міститься курсор, а саме:
> початок нового рядка;
L поле мiтки;
V поле операцiї;
Х поле виразу;
Z поле продовження функцiї;
О поле логiчного операнда;
A, B, C, D, E, F, G поля операндiв.
3.7 Довідки про стандартні числові атрибути
СЧА, якi стосуються всієї системи загалом.
Елемент
СЧА
Короткий опис

Час
АС1
С1
Значення абсолютного часу;
Значення вiдносного часу моделювання:

Блоки
N
W
Лiчильник входiв до блока;
Лічильник поточного значення

Генератори випадкових чисел
RN
Випадкове число у діапазоні від 0,000000 до 0.999999

Матриці
MX (a, b)
Значення елемента, що знаходиться в рядку а та стовпчику b

Багатоканальні пристрої
R
S
SA
SC
SR
SM
ST
Вільна ємність
Поточна ємність
Середнє значення
Лічильник входів
Коефіцієнт використання
Максимальний зміст
Середній час затримки на одиницю ємності

Черги
Q
QA
QC
QM
QT

QX

QZ
Поточне значення черги
Середнє значення черги
Лічильник кількості входів
Максимальне значення черги
Середній час перебування в черзі (на підставі QC)
Середній час перебування в черзі (на підставі QZ)
Лічильник кількості нульових входів

Змінні
V
Значення арифметичної змінної

Пристрої
F
FC
FR
FT
Стан пристрою (1 зайнятий, 0 вільний) Лічильнік кількості входів
Коефіцієнт використання
Середній час затримки

Величини, що зберігаються
Х
Значення величини, що зберігається

Таблиці
ТВ
ТС
ТD
Середня величина незважених входів
Кількість незважених входів
Стандартне відхилення незважених входів

Транзакти
Р
PR
MB

MP


М1
Величина параметра
Рівень пріоритету
Ознака синхронiзацiї транзактiв у блоках MATCH 1
Промiжок часу перебування в моделi активного транзакту з моменту входу до блока MARK.
Час перебування транзакту в моделi

Функції
FN
Значення функції

Ланцюги користувача
СА СС СН СМ СТ
Середнє значення
Загальне значення входів
Поточне значення
Максимальне значення
Середній час перебування на один вхід

3.8. Довідки про оператори керування iмiтацiйною моделлю
На процес моделювання впливають оператори керування.
Це такі оператори:
BVARIABLE визначає бульову змiнну;
CLEAR очищає статистичну iнформацiю у СЧА;
END закiнчує сеанс моделювання та виходить у ДОС;
EQU призначає номер об’єкта із зазначеною назвою;
FUNCTION задає функцiю;
FVARIABLE визначає змiнну з плаваючою крапкою;
INITIAL iнiцiалiзує чи модифiкує комiрки або матриці;
MATRIX задає матрицю;
QTABLE визначає таблицю для реєстрацiї статистики про черги;
RESET очищає статистику та блок GENERATE;
RMULT призначає початкове значення генераторам випадкових чисел;
SIMULATE встановлює лiмiт часу моделювання;
START встановлює умови на початку моделювання та запускає програму на виконання;
STORAGE визначає багатоканальне устаткування;
TABLE визначає таблицi;
VARIABLE визначає арифметичну змiнну.
Оператори BVARIABLE, EQU, FUNCTION, FVARIABLE, INITIAL, MATRIX, QTABLE, STORAGE, TABLE, VARIABLE належать до першої частини операторiв керування. Особливостi їх використання будуть описанi далi.
Оператори START, CLEAR, RESET, END, RMULT, SIMULATE належать до другої частини операторiв моделювання. Оператори CLEAR, RESET, END операндiв не мають.
Оператор RMULT має операнди А, B, C, D, E, F, G.
А початкове значення для генератора випадкових чисел номер 1. Необов’язковий операнд. Може бути 0 або константа.
B початкове значення для генератора випадкових чисел номер 2. Необов’язковий операнд. Може бути 0 або константа.
C початкове значення для генератора випадкових чисел номер 3. Необов’язковий операнд. Може бути 0 або константа.
D початкове значення для генератора випадкових чисел номер 4. Необов’язковий операнд. Може бути 0 або константа.
E початкове значення для генератора випадкових чисел номер 5. Необов’язковий операнд. Може бути 0 або константа.
F початкове значення для генератора випадкових чисел номер 6. Необов’язковий операнд. Може бути 0 або константа.
G початкове значення для генератора випадкових чисел номер 7. Необов’язковий операнд. Може бути 0 або константа.
Оператор SIMULATE має операнд А, в якому зазначається лiмiт часу для сеансу моделювання у хвилинах.
Оператор START має операнди А, B, C, D.
A лiчильник закінчення моделювання, має бути константою.
В операнд керування виводом на друкування або потрiбно вказувати NP.NP для вiдмови вiд друкування стандартного звiту.
С не використовується. Iснує для того, щоб можна було використовувати програми старих версiй мови.
D друкування спискiв поточних та майбутнiх подiй. Для включення цих спискiв до звiту потрiбно вказати 1.
3.9. Довідки про команди GPSS/PC
На вiдмiну вiд операторiв керування та операторiв блокiв команди не є частиною мови GPSS. Частина команд має операнди.
Зауваження. Лiтери А, В, С, D, E, F вказують послiдовнiсть розмiщення операндiв.
Комади GPSS/PC поділяються на такі групи:
команди роботи з файлом;
команди редагування тексту;
команди керування процесом моделювання;
команди видавання додаткової статистики;
команди роботи з вікнами;
команди видавання графіків.
До команд роботи з файлом належать такі команди:
@ прочитати програмний файл;
SAVE записує програму в зазначений файл. Команда має операнди А, В, C;
А iм’я файла, в якому зберiгатиметься програма;
В номер рядка, з якого починається запис файла;
С номер останнього рядка;
DISPLAY вивести зазначений набiр операторiв. Команда має операнди А, В.
А номер першого оператора блока, який потрiбно вивести;
В номер останнього оператора блока, який потрiбно вивести.
Команди редагування тексту:
EDIT умiщує оператор із зазначеним номером у рядок редагування.
Номер рядка вказується в операндi А.
DELETE ліквідувати вказаний набiр операторiв. Команда має операнди А, В.
А номер першого оператора блока, який потрiбно ліквідувати.
В номер останнього оператора блока, який потрiбно ліквідувати.
RENUMBER перенумеровує оператори програми.
Команда має необов’язковi операнди А, В.
А номер першого рядка, з якого починатиметься перенумерацiя.
В крок, з яким проводитиметься перенумерацiя.
Команди керування процесом моделювання можуть або задаватися в командному рядку, або запускатися на виконання за допомогою «мишки» з рядка команд керування процесом моделювання Б, який розміщений вище від командного рядка.
CONTINUE продовжити перерване моделювання. Команда операндiв не має.
STEP запускає процес моделювання вказаної кількості блокiв. Кiлькiсть крокiв задається в операторi А.
STOP зупиняє моделювання пiсля вказаного блока або транзакцiї. Команда має операнди А, В, C.
А номер транзакту, пiсля якого буде припинене моделювання.
В номер блока, пiсля якого припиняється моделювання.
С необов’язковий. Може бути словом ON або OFF.
Команда побудови графіка PLOT будує графiки стандартних числових атрибутiв, які використовуються у вiкнi даних. Команда має операнди А, В, C, D.
А аргумент графiка, має бути СЧА.
В найбiльше значення Y, яке може задаватися СЧА.
С час початку виводу графiка. Операнд може бути 0 або додатне число.
D час закiнчення виводу графiка (має бути додатне число).
Команда PLOT будує осi графiка та сам графiк.
До команд видавання додаткової статистики належать:
ANOVA обчислює довiрчий iнтервал, виконує аналiз вiдхилень у файлi результатiв. Команда має операнди А, В, С.
А iм’я файла, який мiстить результати моделювання.
В номер стовпця результатiв. Значення операнда не може перевищувати 6.
С номер стовпця, у якому зберiгаються рiвнi звернення, що вiдповiдають кожному результату. Значення результату не може бути більшим за 6.
Команда ANOVA видає таку статистичну iнформацiю:
Treatment рiвень звернення у виглядi числа;
Count кiлькiсть результатних даних на рiвнi звернення;
Mean середнє значення результату на рiвнi звернення;
Std. Dev. cтандартне вiдхилення результатiв;
Minimum найменше значення на рiвнi звернення;
Maximum найбiльше значення на рiвнi звернення;
95% Сonf. cреднє значення 95 % довiрчого iнтервалу.
USERCHAINS виводить список ланцюга користувача у вiкно даних. Операндiв не має.
EVENTS виводить інформацію із списків поточних та май- бутніх подій.
У результаті використання цього оператора на дисплей буде виведено таку iнформацiю із списку поточних подiй:
XACT NUMBER номер транзакту, який входить до списку поточних подiй;
PRI прiоритет транзакту;
М1 момент часу, у який був згенерований транзакт, або час, коли транзакт останнiй раз входив до блока MATCH;
CURRENT номер блока, у якому міститься транзакт;
PARAMETR номер або iм’я параметра транзакту;
VALUE значення параметра транзакту.
Водночас на дисплей буде виведено також iнформацiю списку майбутнiх подiй, а саме:
XACT NUMBER номер транзакту, який входить до списку поточних подiй;
PRI прiоритет транзакту.
BDT час, який відводиться блоку для перебування у списку майбутнiх подiй;
CURRENT номер блока, у якому міститься транзакт;
NEXT номер блока, у який увiйде даний транзакт;
PARAMETR номер або iм’я параметра транзакту;
VALUE значення параметра транзакту.
GROUPS видає списки членiв групи. Операндiв немає.
Команди роботи з вікнами.
MICROWINDOWS вiдкриває або зачиняє мiкровiкно. Команда має операнди А, В, С.
А номер мiкровiкна вiд 1 до 4 включно.
В стандартний числовий атрибут, який треба помiстити у вiкно.
С використовується для закриття мiкровiкна. Може мати значення ON, OFF або 0.
SHOW <вираз> обчислює зазначений вираз та виводить результат у вiкно.
WINDOW вiдчиняє головне вiкно GPSS. Команда має операнди А, В, C.
А iм’я вiкна. Операнд може бути BLOCKS (блоки), DATA (данi), FACILITIES (пристрої), MATRIXES (матрицi), POSITIONS (місцерозташування), STORAGE (пам’ятi) або TABLES (таблицi).
В номер першого об’єкта.
С номер рядка.
D номер стовпця.
Додаткові команди:
DOS тимчасово припиняє моделювання та здiйснює вихiд у ДОС.
Для того щоб повернутися до пакета, треба набрати команду EXIT.
REPORT указує файл, куди буде занесено результати моделювання. Команда має операнди А, В.
А iм’я файла, у який потрiбно занести звiт.
В слово NEW, яке вказує, що звiт треба записати, не чекаючи на закiнчення сеансу моделювання.
Приклади використання команд.
***
Текст моделі.
***
*** 1) Вiдкриття мiкровiкон.
MICR 4,C1;Clock
MICR 2,TG1;TG1
MICR 1,CH$USERCHAIN1;Chain
*** 2) Вiдкриття головного вiкна таблиць.
WINDOW TABLES
*** 3) Запуск програми на виконання.
START 20,NP
*** 4) Вiдкриття головного вiкна матриць.
WINDOW MATRICES
START 20,NP
*** 5) Вiдкриття головного вiкна приладiв.
WINDOW FACILITIES
START 20,NP
*** 6) Вiдкриття головного вiкна таблиць.
WINDOW STORAGES
START 20,NP
*** 7) Видача спискiв поточних та майбутнiх подiй.
EV
START 20,NP
*** 8) Видача списків ланцюгів користувача.
USER
START 20,NP
*** 9) Видача даних дисперсійного аналізу.
ANOVA RESULT,GPS
START 20,NP
*** 10) Відкриття головного вікна блокiв.
WINDOW BLOCKS
START 20000000,NP
3.10. Довідки про основнi оператори блоки мови GPSS
Ім’я оператора ADVANCE.
Роль у моделі: Реалiзує затримку транзактiв.
Значення операндів:
Операнд
Значення
Значення за замовчуванням

A
Cередня затримка на час обслуговування
Нуль

B
Половина поля допуску рівномірно розподіленого інтервалу часу. Може бути СЧА або константа
Нуль


Ім’я оператора ALTER
Роль у моделі: Використовується для модифікації характеристик транзактів.
Значення операндів:
Операнд
Значення
Значення за замовчуванням

A
Назва групи транзактів, члени якої перевіряються для вимірювання. Операнд має бути номером параметра або іншим СЧА
Помилка

B
Максимальне значення кількості транзактів, які перевіряються. Операнд має бути номером параметра або іншим СЧА
Помилка

С
Назва атрибуту, який заміняється. Операнд має бути PR, номером параметра або іншим СЧА


Х
Допомiжний операнд. У режимi порiвняння визначає спосiб порівняння значень, зазначених в операндах F та Е. (У режимi мiнiмуму та максимуму зазначаються слова MIN або MAX)


D
Значення, яке використовується для заміни
Помилка

E
Не обов’язковий. Назва атрибуту, який перевіряється


F
Не обов’язковий. Значення, з яким порівнюється. Воно обчислюється для відповідного члена групи


G
Не обов’язковий. Номер альтернативного блока


Зауваження: Операнд Х у режимi порiвняння може набувати таких значень:
G операнд E більший за операнд F;
GE операнд E більший або дорiвнює операнду F;
E операнд E дорiвнює операнду F;
NE операнди E та F не рiвнi між собою;
LE операнд E менший або дорiвнює операнду F;
Е операнд E менший за операнд F.

Ім’я оператора ASSEMBLE.
Роль у моделі: З’єднує транзакти, що належать до одного ансамблю.
Значення операндів:
Операнд
Значення
Значення за замовчуванням

A
Кількість транзактів, що з’єднуються
Помилка


Ім’я оператора ASSIGN.
Роль у моделі: Призначає та змінює значення параметрів транзактів.
Значення операндів:
Операнд
Значення
Значення за замовчуванням

A
Номер фіксованого параметра
Помилка

B
Стандартний числовий атрибут або значення, яке використовується у процесі модифікації
Помилка

С
Номер або назва функції, яка використовується при модифікації
Зміщення відсутнє


Зауваження: Блок ASSIGN може використовуватися у режимах замiщення та змiни. У першому випадку старе значення параметра замiщується новим незалежно вiд того, яким було попереднє значення. У другому випадку нове значення може обчислюватися додаванням (у режимi додавання) значення, зазначеного в операндi В, до попереднього значення параметра транзакту. У режимi вiднiмання нове значення параметра обчислюється вiднiманням значення операнда В від старого значення. Якщо у блоці ASSIGN задається значення операнда С, то значення, яке буде присвоєно параметру транзакту, обчислюється як ціла частина добутку значення, що записане в операнді В та значення функції посилання, на яку задано в операнді С.

Ім’я оператора DEPART.
Роль у моделі: Виводить транзакти з черги.
Значення операндів:
Операнд
Значення
Значення за замовчуванням

A
Ім’я черги
Помилка

Зауваження: Блок обов’язково використовується в парі з блоком QUEUE.

Ім’я оператора ENTER.
Роль у моделі: Моделює використання багатоканального устаткування.
Значення операндів:
Операнд
Значення
Значення за замовчуванням

A
Iм’я, СЧА або номер багатоканального устаткування
Помилка

B
Кiлькiсть одиниць багатоканального устаткування, якi займає один транзакт
Нуль

Зауваження: Блок обов’язково використовується в парi з блоком LEAVE.

Ім’я оператора GATE.
Роль у моделі: Перевiряє стан пристроїв, багатоканальних устаткувань або логічних ключів.
Значення операндів:
Операнд
Значення
Значення за замовчуванням

A
Iм’я першого СЧА
Помилка

B
Необов’язковий операнд. Мiтка блока, до якого переходить транзакт у разi невиконання умови
Нуль

Х
Допомiжний операнд. Вказує умову для перевiрки
Значення описано далі

Зауваження: Значеннями операнда Х можуть бути:
1. У разі використання пристроїв:
NU перевiрка умови, що пристрiй не використовується;
U перевiрка умови, що пристрій використовується в даний момент;
I перевiрка стану переривання;
NI перевiрка того, що пристрiй не перебуває в станi переривання.
2. У разі використання багатоканальних устаткувань:
SF перевiрка того, що багатоканальне устаткування заповнене.
SNF перевiрка того, що багатоканальнє устаткування не заповнене.
SE перевiрка того, що бакатоканальне устаткування порожнє.
SNF перевiрка того, що багатоканальне устаткування не порожнє.
3. У разі використання логiчних ключiв:
LS перевiрка умови «увімкнений»,
LR перевiрка умови «вимкнений».

Ім’я оператора GATHER.
Роль у моделі: Використовується для нагромадження двох або бiльшої кiлькостi транзактiв у блоці доти, доки в одному i тому самому мiсцi не збереться задана кількість транзактів.
Значення операндів:
Операнд
Значення
Значення за замовчуванням

A
Кількість транзактів, що збираються
Помилка


Ім’я оператора GENERATE.
Роль у моделі: Породжує транзакти
Значення операндів:
Операнд
Значення
Значення за замовчуванням

A
Cереднiй промiжок часу
Нуль

B
Половина поля допуску рівномірно розподіленого інтервалу часу
Нуль

С
Зміщення інтервалів
Зміщення відсутнє

D
Обмеження на кількість транзактів
Нескінченність

E
Рівень пріоритету
Нуль


Ім’я оператора LEAVE.
Роль у моделі: Моделює звiльнення частини або всiєї ємкостi багатоканального устаткування.
Значення операндів:
Операнд
Значення
Значення за замовчуванням

A
Iм’я, СЧА або номер багатоканального устаткування
Помилка

B
Кiлькiсть одиниць багатоканального устаткування, якi звільняє один транзакт
Нуль

Зауваження: Блок обов’язково використовується в парi з блоком ENTER.

Ім’я оператора LINK.
Роль у моделі: Розміщує транзакти в ланцюги користувача.
Значення операндів:
Операнд
Значення
Значення за замовчуванням

A
Номер або ім’я ланцюга користувача
Помилка

B
Визначає, у яке місце ланцюга користувача треба помістити транзакт
Помилка

С
Необов’язковий операнд. Задає мітку, куди переміщується транзакт
Транзакт безумовно переміщується в ланцюг користувача

Зауваження: Блок обов’язково використовується в парi з блоком UNLINK.
Блок LINK може використовуватися у двох режимах умовному та безумовному. При використаннi умовного режиму спочатку перевiряється наявність доступного для транзакту пристрою. Якщо такий пристрiй знайдеться, транзакт передається на цей пристрiй. У противному разі транзакт перемiщується в ланцюг користувача. У безумовному режимi транзакт відразу перемiщується в ланцюг користувача.
Операнд В блоку LINK дозволяє використовувати три можливостi для розмiщення транзактiв у ланцюгу користувача:
FIFO вiдправити транзакт у кiнець ланцюга користувача;
LIFO вiдправити транзакт у початок ланцюга користувача;
Pj помiстити транзакт у ланцюг користувача, безпосередньо перед транзактом, у якого значення j-го операнда бiльше.

Ім’я оператора LOGIC.
Роль у моделі: Змінює стан логiчного перемикача.
Значення операндів:
Операнд
Значення
Значення за замовчуванням

A
Номер або iм’я логiчного перемикача
Помилка

Х
Допоміжний оператор, що задає умову роботи
Нуль

Зауваження: Допомiжний оператор Х може набувати таких значень:
R скинути логiчний перемикач;
S установити логiчний перемикач;
I iнвертувати логічний перемикач.
Ім’я оператора LOOP.
Роль у моделі: Зорганізовує цикл.
Значення операндів:
Операнд
Значення
Значення за замовчуванням

A
Номер параметра транзакту
Помилка

B
Мiтка блока, на який буде передано транзакт
Нуль


Ім’я оператора MARK.
Роль у моделі: Визначає час перебування транзакту в частині моделі.
Значення операндів:
Операнд
Значення
Значення за замовчуванням

A
Номер параметра транзакту, куди потрібно записати значення абсолютного модельного часу
Див. примітку

Зауваження: Значення номера транзакту може не задаватися в блоці MARK, тоді відмітка часу записуватиметься у СЧА М1.

Ім’я оператора MATCH.
Роль у моделі: Синхронiзує рух транзактiв у моделі.
Значення операндів:
Операнд
Значення
Значення за замовчуванням

А
Мітка спряженого блока
Помилка


Ім’я оператора MSAVEVALUE.
Роль у моделі: Задає або змінює значення одного з елементiв матрицi.
Значення операндів:
Операнд
Значення
Значення за замовчуванням

A
Номер або iм’я матрицi, у якiй потрiбно змiнити елемент
Помилка

B
Номер рядка
Помилка

С
Номер стовпця
Помилка

D
Величина, що використовується у процесі модифікації
Помилка

Зауваження: Блок може використовуватись як у режимi додавання або вiднiмання значень, так i в режимi замiни.

Ім’я оператора PREEMPT.
Роль у моделі: Моделює захоплення пристрою.
Значення операндів:
Операнд
Значення
Значення за замовчуванням

A
Iм’я пристрою, який буде захоплений
Помилка

B
Необов’язковий операнд. Використовується для того, щоб зазначити умову захоплення
Пояснення наведено
далі

С
Iм’я блока, куди буде передано транзакт, обробка якого перервалася
Помилка

D
Номер параметра транзакту, куди буде записано час, що лишився до закiнчення обробки



E
Указується, чи виконуватиме транзакт і далі обробку на цьому пристрої. Літери RE вказують, що транзакт буде знятий з обслуговування
Обробка триватиме

Зауваження: Блок обов’язково використовується в парi з блоком RETURN. Операнд В блоку PREEMPT може не використовуватися. У такому разі захоплення виникає, коли транзакт, що обслуговується, сам не є захоплювачем. У противному разі в операндi В зазначаються лiтери PR, i захоплення відбувається, якщо захоплювач має вищий пріоритет, нiж транзакт, що обслуговується на пристрої.

Ім’я оператора PRIORITY.
Роль у моделі: Змiнює значення рівня прiоритету транзакту.
Значення операндів:
Операнд
Значення
Значення за замовчуванням

A
Константа. Значення рівня пріоритету
Помилка

Зауваження: Значення рiвня прiоритету може становити вiд 0 до 127.

Ім’я оператора QUEUE.
Роль у моделі: Виконує автоматичне збирання статистики про очiкування.
Значення операндів:
Операнд
Значення
Значення за замовчуванням

A
Назва черги
Помилка

Зауваження: Блок обов’язково використовується в парi з блоком DEPART.

Ім’я оператора RELEASE.
Роль у моделі: Моделює завершення роботи на пристрої.
Значення операндів:
Операнд
Значення
Значення за замовчуванням

A
Ім’я приладу
Помилка

Зауваження: Блок обов’язково використовується в парi з блоком SEIZE.

Ім’я оператора RETURN.
Роль у моделі: Моделює вихід пристрою з режиму переривання.
Значення операндів:
Операнд
Значення
Значення за замовчуванням

A
Ім’я приладу
Помилка

Зауваження: Блок обов’язково використовується в парi з блоком PREEMPT.

Ім’я оператора SAVEVALUE.
Роль у моделі: Змiнює значення збережуваної величини.
Значення операндів:
Операнд
Значення
Значення за замовчуванням

A
Номер або iм’я збережуваної величини
Помилка

B
Величина, що використовується у процесі модифікації
Помилка


Ім’я оператора SEIZE.
Роль у моделі: Моделює початок роботи на пристрої.
Значення операндів:
Операнд
Значення
Значення за замовчуванням

A
Ім’я приладу
Помилка

Зауваження: Блок обов’язково використовується в парi з блоком RELESE.

Ім’я оператора SELECT.
Роль у моделі: Використовується з метою перегляду багатьох елементiв однiєї групи, щоб з’ясувати, чи задовольняє стан якогось із них зазначену умову.
Значення операндів:
Операнд
Значення
Значення за замовчуванням

A
Номер параметра, у який записується номер члена групи
Помилка

B
С
Найменший і найбiльший номери з множини блоків, які переглядаються
Помилка

Х
Допомiжий оператор. У режимi порiвняння визначає спосiб порівняння значень, які вказанi в операндах D та Е. У режимi мiнiмуму та максимуму слова MIN або MAX


D
У режимi порiвняння значення, з яким порiвнюється атрибут, що його вказано в операндi Е. У режимi мiнiмуму та максимуму не використовується
Помилка

E
Значення СЧА, з яким відбувається порівняння
Помилка

Зауваження: Значення операнда Х.
Операнд Х у режимi порiвняння може набувати таких значень:
G операнд D більший за операнд Е;
GE операнд D більший або дорiвнює операнду Е;
E операнд D дорiвнює операнду Е;
NE операнди D та Е не рiвнi;
LE операнд D менший або дорiвнює операнду Е;
Е операнд D менший за операнд Е.
Блок SELECT може працювати в одному з таких режимiв:
порiвняння із заданим значенням;
режим MIN або MAX.

Ім’я оператора SPLIT.
Роль у моделі: Використовується для введення в модель додаткових транзактiв, якi мають тi самі властивостi, що й транзакт-батько.
Значення операндів:
Операнд
Значення
Значення за замовчуванням

А
Число додаткових транзактiв, що ввiйдуть до моделі
Помилка

В
Iм’я блока, куди прямуватимуть нащадки
Помилка

С
Номер параметра упорядкування
Упорядкування не вiдбувається

D
Кiлькiсть параметрiв, що їх повинен мати кожний нащадок
Та сама кiлькiсть, що й у батька

Зауваження: Операнди C, D є необов’язковими.

Ім’я оператора TABULATE.
Роль у моделі: Записуються в таблицю значення вибірки в той момент, коли транзакт входить до блока.
Значення операндів:
Операнд
Значення
Значення за замовчуванням

A
Iм’я (символічне або числове) таблицi, у якій використовується вiдповiдне значення
Помилка

Зауваження: Одну й ту саму таблицю можна використовувати в кiлькох блоках TABULATE, якщо в цьому є логiчна потреба.

Ім’я оператора TERMINATE.
Роль у моделі: Знищує транзакти.
Значення операндів:
Операнд
Значення
Значення за замовчуванням

A
Значення, на яке зменшується лічильник завершень
Нуль


Ім’я оператора TEST.
Роль у моделі: Перевiряє умову для визначення напряму руху транзактiв.
Значення операндів:
Операнд
Значення
Значення за замовчуванням

A
Iм’я першого СЧА
Помилка

B
Iм’я другого СЧА
Помилка

С
Необов’язковий. Мiтка, на яку переходить транзакт у разi невиконання умови
Помилка

Х
Допоміжний оператор, який зазначає умову для перевірки
Значення наведено далі

Зауваження: Операнд С є необов’язковим. Якщо присутнi лише операнди А та В, то перевiрка виконується у режимi вiдмови. Під час використання операнда С перевірка відбувається у режимi умовної передачi.
Значення операнда Х блока TEST:
G операнд А бiльший за операнд B;
GE операнд А бiльший або дорiвнює операнду B;
E операнд А дорiвнює операнду B;
NE операнд А не дорiвнює операнду B;
LE операнд А бiльший за операнд B;
L операнд А бiльший за операнд B.

Ім’я оператора TRANSFER.
Роль у моделі: Змінює напрямок руху транзактів. Може використовуватися у таких режимах: безумовної передачi, умовної передачi, BOTH, ALL, PICK, FN, SBR, SIM.
Значення операндів (приведені для перших чотирьох режимiв):
Режим
Операнд
Значення
Значення за замовчуванням

Безумовний
Статистичний
BOTH
ALL
А
Не використовується
Частота передавання
Слово BOTH
Слово ALL
Помилка
Помилка

Безумовний
Статистичний
BOTH
В
Мiтка блока, куди передається транзакт
Помилка


ALL
В
Мiтка першого блока, куди робить спробу ввійти транзакт
Помилка

Безумовний

С
Не використовується


Статистичний
BOTH
С
Мітка альтернативного блока
Помилка

ALL
С
Мiтка останнього блока, куди робить спробу ввійти транзакт
Помилка

Лише
ALL
D
Крок переходу
Одиниця


Ім’я оператора UNLINK.
Роль у моделі: Виводить один з транзактiв з ланцюга користувача та перемiщує його до списку поточних подiй.
Значення операндів:
Операнд
Значення
Значення за замовчуванням

A
Номер або iм’я ланцюга користувача
Помилка

B
Мiтка блока, куди передається транзакт
Помилка

С
Число транзактiв, якi виводяться. Може бути СЧА, константою або символом ALL
Помилка

D
Е
Визначається, з якого краю виводитимуться транзакти
Транзакти виводитимуться з початку ланцюга

F
Необов’язковий операнд, задає мiтку блока, на яку перемiщується транзакт, що ініціював вивід
Транзакт безумовно перемiщується у наступний блок

Зауваження: Під час використання блока існують двi можливостi:
1. Транзакти можуть бути взятi з початку або з кiнця ланцюга користувача. Щоб указати, з якого боку ланцюга користувача виводитимуться транзакти, використовуються операнди D та E. Якщо ці два операнди порожні, транзакти виводитимуться з початку ланцюга користувача. Якщо в операндi D міститься BACK, а операнд Е порожній, транзакти виводяться з кiнця списку користувача.
2. Транзакти можуть бути виведені з будь-якого місця моделi залежно вiд умови, що задається користувачем. Умова задається таким чином: в операнд D записується номер параметра транзакту, який буде порівнюватися із значенням, записаним в операнді Е.
3.11. Довідки про структуру стандартного звіту моделі
Стандартний звiт моделi мiстить таку iнформацiю.
1. Загальнi вiдомостi про результати моделювання:
REPORT FILE iм’я файла, де міститься стандартний звiт моделi;
дата та час створення звiту;
START_TIME час початку моделювання;
END_TIME час закiнчення моделювання;
BLOCKS кiлькiсть блокiв, якi описують модель;
FACILITIES кiлькiсть пристроїв, якi використовуються в моделi;
STORAGES кiлькiсть багатоканальних устаткувань, використовуваних у моделi;
FREE_MEMORY (Вільна пам’ять). Кількість байтів пам’яті, досяжної для додаткового розміщення програми, що зберігається, або поточної моделі.
NAMES (Імена)
NAME (Ім’я). Призначені користувачем імена скануються GPSS/PC з початку сеансу.
VALUE (Значення). Числове значення, призначене імені. Номери, призначені системою, починаються з 10000, якщо SETTINGS.GPS не змінюється.
TYPE (Тип). 0 значення імені призначається користувачем; 2  значення імені було призначене системою; 3 ім’я є позицією блока.
2. Список та вiдомостi про блоки моделi BLOCKS (Блоки):
LINE (Рядок). Номер рядка твердження в програмі, що зберігається.
LOC (Ім’я або номер цього блока).
BLOCK TYPE (Тип Блока). Ім’я Блока GPSS.
ENTRY COUNT (Число Входів). Число транзактів, що ввійшли до цього блока, з часу останнього RESET чи CLEAR-твердження або з часу початку сеансу.
CURRENT COUNT (Поточний рахунок). Кількість транзактів у цьому блоці при завершенні моделювання.
RETRY Q (Затримка Q). Кількість транзактів, які очікують специфичної умови, залежної від стану блока.
3. Статистичнi данi про пристрої FACILITIES (Пристрої):
FACILITY (Пристрій). Ім’я або номер об’єкта-пристрою.
ENTRIES (Входи). Число транзактів, що використовували цей пристрій, з часу останнього RESET чи CLEAR-твердження або з часу початку сеансу.
UTIL. Відсоток часу, протягом якого під час моделювання був зайнятий пристрій.
AVE.TIME (Середній час). Cередній час зайняття окремими транзактами пристрою протягом періоду моделювання. Період моделювання починається із старту сеансу або з RESET чи CLEAR-твердження.
AVAILABLE (Досяжний). Стан досяжності об’єкта пристрою в кінці моделювання; 1 означає досяжний, 0 недосяжний.
OWNER (Зайнятість). Кількість транзактів, які займають об’єкт-пристрій; 0 означає, що пристрій не зайнятий.
PEND (Очікування). Кількість транзактів, які очікують зняття переривання з пристрою, коли пристрій перебуває у стані переривання.
INTER. Кількість транзактів, які були на пристрої у той час, коли сталося переривання.
RETRY (Затримка). Кількість транзактів, які очікують на специфічну умову, яка залежить від стану цього об’єкта-пристрою.
DELAY (Затримка). Кількість транзактів, що очікують на зайняття пристрою. Цей список також містить транзакти, які очікують зайняття з перериванням пристрою в «режимі пріоритету» блока PREЕMPT.
4. Статистичнi данi про черги QUEUES (Черги):
QUEUE (Черга) ім’я або номер об’єкта-черги.
MAX (Максимальне) максимальне значення кiлькостi транзактiв, якi чекали в черзi до пристрою.
CONT (Зміст). Значення поточної кiлькостi транзактiв, якi перебувають у черзi до пристрою в кінцi перiоду моделювання.
ENTRIES (Входи). Лiчильник кiлькостi входiв транзактiв до блока QUEUE протягом усього перiоду моделювання.
ENTRIES (0) (Входи (0)). Лiчильник кiлькостi входiв транзактiв до блока QUEUE протягом усього перiоду моделювання, час затримки яких у блоці дорiвнює 0.
AVE.CONT. (Ср. зміст) Середня кiлькiсть транзактiв, якi перебували в черзi у перiод моделювання.
AVE.TIME. (Ср. час) Середнiй час перебування транзактiв у черзi під час моделювання.
AVE. (0) (Ср. час (0)) Середнiй час перебування транзактiв у черзi, за винятком нульових входiв у перiод моделювання.
RETRY (Затримка). Кількість транзактів, які очікують на специфічну умову, що залежить від стану цього об’єкта-черги.
5. Статистичнi данi про багатоканальне устаткування STORAGES (Пам’яті):
STORAGE (Пам’ять). Ім’я або номер багатоканального устаткування.
CAP. (Ємність). Ємність багатоканального устаткування.
REMAIN (Залишок). Число невикористовуваної ємностi багатоканального устаткування.
MIN (Мiнiмальна). Мiнiмальне число одиниць ємностi багатоканального устаткування, яке використовується під час сеансу моделювання.
MАХ (Максимальна). Максимальне число одиниць ємностi багатоканального устаткування, яке використовується протягом сеансу моделювання.
ENTRIES (Входи). Кількість часу, коли пристрій був зайнятий або зайнятий з перериванням з часу останнього RESET чи CLEAR-твердження, або з часу початку сеансу.
AVL. Показує, чи доступна пам’ять наприкiнцi моделювання.
AVE.C. Середньозважений час перебування транзактiв на багатоканальному устаткуваннi.
UTIL. Процент часу, протягом якого під час моделювання було зайнято багатоканальне устаткування.
RETRY (Затримка). Кількість транзактів, які очікують на специфічну умову, що залежить від стану цього об’єкта багатоканального устаткування.
DELAY (Затримка). Кількість транзактів, що очікують входу до блока ENTER.
6. Статистичнi данi таблиць TABLES, QTABLES:
TABLE (таблиця). Iм’я або номер об’єкта-таблицi.
MEAN (Середнє). Середньозважене значення.
STD.DEV. Зважене значення середнього вiдхилення.
RETRY (Затримка). Кількість транзактів, які очікують на специфічну умову, що залежить від стану цього об’єкта-таблицi.
RANGE (Дiапазон). Нижня та верхня межі класу частоти.
FREQUENCY (Частота). Загальна зважена частота одиниць, що табулюються.
CUM.%. Сума частоти, яка нагромаджувалася.
7. Статистичнi данi про збережувані величини SAVEVALUE:
SAVEVALUE (Комiрки). Iм’я або номер об’єкта-комiрки.
VALUE (Значення). Значення об’єкта-комiрки наприкiнцi моделювання.
RETRY (Затримка). Кількість транзактів, які очікують на специфічну умову, яка залежить від стану цього об’єкта-комiрки.
8. Статистичнi данi про матрицi MATRIX:
MATRIX (Матриця). Iм’я або номер об’єкта-матрицi.
RETRY (Затримка). Кількість транзактів, які очікують на специфічну умову, яка залежить від стану цього об’єкта-таблиці.
ROW та COLUMN (Рядок та стовпець). Номер рядка та стовпця матрицi.
VALUE (Значення). Значення об’єкта-матрицi наприкiнцi моделювання.
9. Статистичнi данi про групи транзактiв. TRANSACTION GROUPS:
XACT_GROUP. Iм’я або номер типу групи транзактiв.
GROUP_SIZE. Число транзактiв, якi є членами групи.
RETRY (Затримка). Кількість транзактів, які очікують на специ-фічну умову, що залежить від стану цього об’єкта-типу групи транзактiв.
10. Статистичнi данi про числовi групи. NUMERIC GROUPS:
NUMERIC GROUP. Iм’я або номер типу числової групи.
GROUP_SIZE. Число транзактiв, якi є членами групи.
RETRY (Затримка). Кількість транзактів, що очікують на специфічну умову, яка залежить від стану цього об’єкта-типу числової групи.
11. Статистичнi данi про логiчнi ключi LOGIC SWITCHES:
LOGIC SWITCHES (логiчний ключ). Iм’я або номер об’єкта-логiчного ключа.
VALUE (Значення). Значення об’єкта-типу логiчний ключ.
RETRY (Затримка). Кількість транзактів, що очікують на специфічну умову, яка залежить від стану цього об’єкта-логiчного ключа.
12. Cтатистичні дані про списки користувача. USER CHAINS:
USER CHAIN (Список користувача). Ім’я або номер користувача.
CHAIN SIZE (Розмір списку). Число транзактів, які очікують на специфічну умову.
RETRY (Затримка). Кількість транзактів, які очікують на специфічну умову, що залежить від стану цього об’єкта-списку користувача.
AVE.CONT. Середньозважений час загального перебування транзактів у списку користувача протягом усього часу моделювання. Результат обчислюється так: загальний час перебування транзактів у списку користувача ділиться на кількість входів транзактів до списку користувача.
ENTRIES. Лiчильник кiлькостi входiв транзактiв до списків користувача протягом усього перiоду моделювання.
MAX.TIME. максимальний час перебування одного транзакту в списку користувача протягом усього періоду моделювання.
13. Статистичні дані списків поточних подій:
THE CURRENT EVENTS CHAIN.
Зауваження. Списки поточних подій будуть включені до стандартного звіту моделі за умови, що в команді START було вказано в операнді D значення 1.
XACT NUMBER. Номер кожного транзакту в списку поточних подій.
PRI. Заданий пріoритет транзакту.
M1. (Відмічений час). Час, коли транзакт або транзакт-батько був згенерований чи увійшов до блока MARK.
CURRENT. Номер блока, де транзакт перебував при закінченні моделювання.
NEXT. Номер наступного блока, куди має увійти транзакт.
PARAMETER. Назви або номери параметрів транзактів. Якщо вказано 0, то транзакт не існує.
VALUE. Значення параметра транзакту.
14. Статистичні дані списків майбутніх поточних подій:
THE FUTURE EVENTS CHAIN.
Зауваження. Списки майбутніх подій будуть включені до стандартного звіту моделі за умови, що в команді START було вказано в операнді D значення 1.
XACT NUMBER. Номер кожного транзакту в списку поточних подій.
PRI. Заданий пріoритет транзакту.
BDT. Час, коли транзакт залишає список майбутніх подій.
CURRENT. Номер блока, де транзакт перебував під час закінчення моделювання.
NEXT. Номер наступного блока, куди має увійти транзакт.
PARAMETER. Назви або номери параметрів транзактів. Якщо вказано 0, то транзакт не існує.
VALUE. Значення параметра транзакту.
















3.12. Приклад оформлення лабораторної роботи №3


МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ
КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ


Кафедра інформаційних систем в економіці









Лабораторна робота
з дисципліни «Машинна імітація»

Задача «Оцінка страхових запасів на дільницях складального цеху»








Виконав(ла): студент(ка)___групи
4 курсу спеціальності
«Інформаційні системи в менеджменті»
___________________

Перевірив(ла): викладач
____________________




Київ 1999
Умова задачі
До складального цеху підприємства, у якому здійснюються комплектація та складання деталей двох типів, надходять деталі з двох дільниць попередньої обробки. З першої дільниці обробки деталі надходять партіями по 12 штук у моменти часу, розподілені рівномірно в інтервалі від 4 до 8 год. З другої дільниці деталі надходять партіями по 16 штук у моменти часу, розподілені також рівномірно в інтервалі від 6 до 10 год.
Деталі надходять на цеховий склад, де утворюють оборотні запаси, а також поповнюють страхові запаси.
З цих деталей здійснюється комплектація виробів у процесі складання. На виготовлення одного виробу потрібні комплекти з двох деталей кожного типу. Періодичність запуску на складання становить 1 год. У разі відсутності деталей складальна дільниця простоює.
Необхідно оцінити розмір страхового запасу, який поповнюється один раз на місяць. Розмір страхового запасу має забезпечити функціонування складальної дільниці без простоїв. Моделювання виконується протягом 72 год.

Опис основних етапів побудови імітаційної моделі
Визначення задачі та її аналіз.
Забезпечення функціонування основних виробничих підрозділів підприємства є одним з найважливіших завдань, що їх доводиться розв’язувати під час організації робіт на підприємстві. У даному випадку забезпечення безперебійного функціонування дільниці залежить від ритмічності постачання заготовок з дільниць та розміру страхового запасу.
Збирання інформації.
На підставі вивчення технології первинної обробки деталей та календарного графіка запуску-випуску деталей на дільницях первинної обробки, а також статистичних спостережень за ходом постачання деталей на складання розраховується в інтервалі часу надходження деталей з двох дільниць. У цій задачі вони становлять: при постачанні деталей з першої дільниці 6(2 год, з другої дільниці 8(2 год. На підставі технологічних карт та паспортних характеристик у процесі дослідження був установлений час комплектації виробу на складальній лінії, який становить 1 год. На підставі місячного фонду робочого часу цеху визначається час функціонування моделі, який становить 720 год.
Висунення гіпотез і прийняття припущень.
У цій задачі робиться припущення щодо незалежності процесу складання виробів від зовнішнього середовища. Тобто не враховується інтенсивність попиту на вироби, що випускаються. Крім того, робиться припущення щодо відсутності перебоїв у роботі дільниць первинної обробки, а також вважається, що лінія, на якій здійснюється комплектація, постійно працює.
Під час формулювання цієї задачі гіпотези не висуваються.
Визначення параметрів, змінних і критеріїв ефективності.
Керуючим параметром у цій задачі є обсяг страхового запасу, нерегульованими параметрами є партія поставки та інтервали часу між поставками деталей.
Екзогенні змінні:
кількість деталей, які надходять з дільниць первинної обробки;
час надходження деталей з дільниць первинної обробки;
час комплектації виробу.
Ендогенні змінні:
поточний розмір страхових та оборотних запасів;
коефіцієнт завантаження складальної лінії;
час простою складальної лінії;
кількість виготовлених виробів.
Критерієм ефективності функціонування цієї моделі є безперервне функціонування складальної дільниці при мінімально можливому обсягу страхового запасу.
Опис концептуальної моделі.
У роботі складального цеху можливі такі ситуації:
нормальна робота цеху, коли партії деталей надходять у оборотні запаси, а з оборотних запасів на комплектацію;
аварійний режим роботи, коли партії оборотних запасів деталей, що надходять з дільниці первинної обробки, вичерпані, а складання здійснюється за рахунок відповідного страхового запасу;
простоювання складальної дільниці, коли немає потоку деталей з дільниць первинної обробки і страхові запаси вичерпано.
Структурну схему моделі процесу постачання деталей та складання виробу показано на рис. 3.1.

13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 3.1. Структурна схема процесу постачання деталей та складання виробів
Процеси, що відбуваються у цій задачі, за своєю суттю є процесами обслуговування потоків партій і комплектів деталей. У моделі необхідно мати джерела, що імітують процес надходження деталей з дільниць первинної обробки; накопичувачі, що імітують процес створення оборотних та страхових запасів; блоки, що імітують процес комплектації та складання.
Текст програми імітаційної моделі при першій реалізації.
; GPSS/PC Program File PRIM4. (V 2, # 38123) 11-13-1998 14:18:46
10 ZAPC1 STORAGE 10
20 ZAPC2 STORAGE 10
30 ZAPO1 STORAGE 10
40 ZAPO2 STORAGE 10
50 INITIAL X$ZAP1,0
60 INITIAL X$ZAP2,0
70 GENERATE ,,,1
80 SPLIT 1,MET1
90 SPLIT X$ZAP1,MET2
100 TRANSFER ,MET3
110 MET2 ENTER ZAPC1
120 TEST LE S$ZAPO1,2
130 LEAVE ZAPC1
140 TRANSFER ,MET4
150 MET3 ADVANCE 6,2
160 SPLIT 12,MET4
170 TRANSFER ,MET3
180 MET4 ENTER ZAPO1
190 LEAVE ZAPO1
200 MET5 MATCH MET10
210 TRANSFER ,KOMP
220 MET1 SPLIT X$ZAP2,MET6
230 TRANSFER ,MET7
240 MET6 ENTER ZAPC2
250 TEST LE S$ZAPO2,2
260 LEAVE ZAPC2
270 TRANSFER ,MET8
280 MET7 ADVANCE 8,2
290 SPLIT 16,MET8
300 TRANSFER ,MET7
310 MET8 ENTER ZAPO2
320 LEAVE ZAPO2
330 MET10 MATCH MET5
340 KOMP GATHER 4
350 SEIZE SBOR
360 ADVANCE 1
370 RELEASE SBOR
380 FIN TERMINATE
390 GENERATE 720
400 TERMINATE 1

Блоки, що змінюються за таких реалізацій моделі.

За другою реалізацією моделі блоки набувають значення:
50 INITIAL X$ZAP1,2
60 INITIAL X$ZAP2,2

За третьою реалізацією моделі блоки набувають значення:
50 INITIAL X$ZAP1,10
60 INITIAL X$ZAP2,10
Результати моделювання.
1. Стандартний звіт моделі за умови, що страховий запас не створюється.
GPSS/PC Report file REPORT.GPS. (V 2, # 38123) 11-13-1998 14:24:16 page 1

START_TIME END_TIME BLOCKS FACILITIES STORAGES FREE_MEMORY
0 720 34 1 4 94480

LINE
LOC
BLOCK_TYPE
ENTRY_COUNT
CURRENT_COUNT
RETRY

70
1
GENERATE
1
0
0

80
2
SPLIT
1
0
0

90
3
SPLIT
1
0
0

100
4
TRANSFER
1
0
0

110
MET2
ENTER
0
0
0

120
6
TEST
0
0
0

130
7
LEAVE
0
0
0

140
8
TRANSFER
0
0
0

150
MET3
ADVANCE
121
1
0

160
10
SPLIT
120
0
0

170
11
TRANSFER
120
0
0

180
MET4
ENTER
1440
0
0

190
13
LEAVE
1440
0
0

200
MET5
MATCH
1440
0
0

210
15
TRANSFER
1440
0
0

220
MET1
SPLIT
1
0


230
17
TRANSFER
1
0
0

240
MET6
ENTER
0
0
0

250
19
TEST
0
0
0

260
20
LEAVE
0
0
0

270
21
TRANSFER
0
0
0

280
MET7
ADVANCE
92
1
0

290
23
SPLIT
91
0
0

300
24
TRANSFER
91
0
0

310
MET8
ENTER
1456
0
0

320
26
LEAVE
1456
0
0

330
MET10
MATCH
1456
16
0

340
KOMP
GATHER
2880
2170
0

350
29
SEIZE
710
0
0

360
30
ADVANCE
710
1
0

370
31
RELEASE
709
0
0

380
FIN
TERMINATE
709
0
0

390
33
GENERATE
1
0
0

400
34
TERMINATE
1
0
0


FACILITY
ENTRIES
UTIL.
AVE._TIME
AVAILABLE
WNERPEND
INTER
RETRY
DELAY

SBOR
710
0.986
1.00
1
721 0
0
0
2170


STORAGE CAP. REMAIN. MIN. MAX. ENTRIES AVL. AVE.C. UTIL. RETRY DELAY
ZAPC1 10 10 0 0 0 1 0.00 0.000 0 0
ZAPC2 10 10 0 0 0 1 0.00 0.000 0 0
ZAPO1 10 10 0 1 1440 1 0.00 0.000 0 0
ZAPO2 10 10 0 1 1456 1 0.00 0.000 0 0

SAVEVALUE
VALUE
RETRY

ZAP1
+0
0

ZAP2
+0
0

2. Фрагмент стандартного звіту моделі за умови, що страховий запас становить 2 деталі кожного типу.

FACILITY
ENTRIES
UTIL.AVE._TIME
AVAILABLE
OWNERPEND
INTER
RETRY
DELAY

SBOR
714
0.991 1.00
1
725 0
0
0
2170


STORAGE
CAP.
REMAIN.
MIN.
MAX.
ENTRIES
AVL.
AVE.C.
UTIL.
RETRY
DELAY

ZAPC1
10
10
0
1
2
1
0.00
0.000
0
0

ZAPC2
10
10
0
1
2
1
0.00
0.000
0
0

ZAPO1
10
10
0
1
1442
1
0.00
0.000
0
0

ZAPO2
10
10
0
1
1458
1
0.00
0.000
0
0


SAVEVALUE
VALUE
RETRY

ZAP1
+2
0

ZAP2
+2
0



3. Фрагмент стандартного звіту моделі за умови, що страховий запас становить 10 деталей кожного типу.


FACILITY
ENTRIES
UTIL.
AVE._TIME
AVAILABLE
OWNERPEND
NTER
RETRY
DELAY

SBOR
720
1.000
1.00
1
727 0
0
0
2180


STORAGE
CAP.
REMAIN.
MIN.
MAX.
ENTRIES
AVL.
AVE.C.
UTIL.
RETRY
DELAY

ZAPC1
10
10
0
1
10
1
0.00
0.000
0
0

ZAPC2
10
10
0
1
10
1
0.00
0.000
0
0

ZAPO1
10
10
0
1
1450
1
0.00
0.000
0
0

ZAPO2
10
10
0
1
1466
1
0.00
0.000
0
0


SAVEVALUE
VALUE
RETRY

ZAP1
+10
0

ZAP2
+10
0


Інтерпретація результатів моделювання.
У першому випадку коефіцієнт завантаження складальної лінії становить 98,6%; кількість випущених виробів 710.
У другому випадку коефіцієнт завантаження лінії зборки становить 99,6%; кількість випущених виробів 714.
У третьому випадку коефіцієнт завантаження лінії зборки становить 100%; кількість випущених виробів 720.

Висновки по роботі.
У результаті реалізації імітаційної моделі було встановлено, що безперебійна робота цеху забезпечується за умови: страховий запас деталей першого типу становить 10 деталей; страховий запас деталей другого типу становить 10 деталей.
4. КРИТЕРІЇ ОЦІНЮВАННЯ ЗНАНЬ З ДИСЦИПЛІНИ під час ПІДСУМКОВОго ІСПИТу

На підсумковий іспит виносяться 53 питання з дисципліни. До підсумкового іспиту допускаються студенти, які виконали лабораторну роботу і здали її у належному вигляді. У білет включаються три питання, що відповідають трьом розділам навчальної дисципліни: методологічні основи імітаційного моделювання; метод Монте-Карло; планування імітаційного експерименту. Відповідь з кожного питання оцінюється за 5-баловою системою. Якщо з усіх питань одержано позитивні оцінки, то загальна оцінка з предмета визнача- ється як середнє з трьох питань, округлене до найближчого цілого. У разі одержання незадовільної оцінки з одного чи більше питань студенту виставляється на іспиті з предмета незадовільна оцінка.
Перелік екзаменаційних питань
Види моделювання.
Основні напрями використання машинної імітації (імітаційного моделювання).
Схема застосування машинної імітації в інтелектуальних системах.
Поняття машинної імітації (імітаційного моделювання).
Переваги та вади методу машинної імітації.
Імітація еволюційних процесів у динамічних моделях.
Загальна схема і цілі машинної імітації.
Програмна реалізація імітаційних моделей.
Мови імітаційного моделювання.
Імітаційна модель обчислювальної системи.
Основні етапи побудови імітаційної моделі.
Імітаційна модель керування запасами: суть оптимального керування запасами.
Імітаційна модель керування запасами: статична детермінована модель.
Імітаційна модель керування запасами: керування багатопродуктовими запасами.
Імітаційна модель керування запасами: опис концептуальної моделі.
Імітаційна модель керування запасами: блок-схема алгоритму.
Розвиток і застосування методу Монте-Карло.
Обчислення означеного інтегралу методом Монте-Карло.
Точність оцінки ймовірності за допомогою відносної частоти.
Рівномірна випадкова послідовність чисел РВП [0, 1].
Табличний спосіб одержання РВП [0, 1].
Фізичні генератори РВП [0, 1].
Програмні датчики РВП [0, 1].
Перевірка якості псевдовипадкових чисел.
Схема випробувань за «жеребком» (СВЖ).
Перший спосіб використання СВЖ.
Другий спосіб використання СВЖ.
Стандартний метод імітації дискретно розподілених випадкових величин.
Спеціальні методи імітації деяких дискретних розподілів.
Стандартний метод імітації неперервних випадкових величин.
Приклади застосування стандартного методу імітації неперервних випадкових величин.
Метод добору (відбраковки).
Наближене формування розподілів.
Генерування нормально розподілених випадкових чисел: використання центральної граничної теореми.
Генерування нормально розподілених випадкових чисел: метод Бокса–Маллера.
Генерування нормально розподілених випадкових чисел: метод Марсальї–Брея.
Основні задачі й поняття планування імітаційних експериментів.
Апроксимуючий поліном функції відгуку.
Дворівнева система вимірювання факторів.
Повний факторний план (експеримент) і його властивості.
Дробовий факторний план (експеримент) і його властивості.
Лінійна апроксимація функції відгуку.
Одержання апроксимуючого полінома другого ступеня.
Композиційні плани.
Ортогональний центральний композиційний план.
Рототабельний композиційний план.
Статистична перевірка однорідності дисперсій.
Статистична перевірка значущості коефіцієнтів регресії.
Статистична перевірка адекватності моделі.
Планування експерименту під час дослідження систем.
Перший спосіб пошуку екстремуму функції відгуку.
Загальна схема методу Бокса–Уїлсона.
Рух у напрямі крутого сходження (спаду).

5. СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Альянах И. Н. Моделирование в(числительн(х систем. М.: Машиностроение, 1988. 214 с.
2. Андрианов А. Н., Б(чков С. П., Хорошилов А. И. Программирование на яз(ке СИМУЛА-67. М.: Наука, 1985. 288 с.
3. Бусленко Н. П. Моделирование сложн(х систем. М.: Наука, 1968. 355 с.
4. Васильева Н. Л., Окорокова Е. А., Протасова Т. Б., Ривес Н. Я. Моделирование в автоматизированн(х обучающих системах. М.: НИИВШ, 1986. 44 с.
5. Дудорин В. И., Лыкова Л. Н., Сиротин А. В. Моделирование структур АСУ на (ВМ. М.: Финанс( и статистика, 1982. 168 с.
6. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование.  М.: Наука, 1982. 296 с.
7. Соломатин Н. А., Беляев Г. В., Петроченко В. Ф., Прошлякова Е. В. Имитационное моделирование в оперативном управлении производством. М.: Машиностроение, 1984. 208 с.
8. Имитационное моделирование производственн(х систем / Под общ. ред. А. А. Вавилова. М.: Машиностроение. Берлин: Техника, 1983. 416 с.
9. Киндлер Е. Яз(ки моделирования. М.: (нергоатомиздат, 1985. 288 с.
10. Клейн Дж. Статистические метод( в имитационном модели-ровании. М.: Статистика, 1978. Т.1. 222 с., Т.2. 335 с.
11. Нейлор Т. Машинн(е имитационн(е (ксперимент( с моделями (кономических систем. М.: Мир, 1975. 500 с.
12. Прицкер В. Введение в имитационное моделирование и яз(к СЛАМ ІІ. М.: Мир, 1987. 645 с.
13. Ситник В. Ф., Орленко Н. С. Імітаційне моделювання: Навч. посібник. К.: КНЕУ, 1998. 232 с.
14. Советов Б. Я., Яковлев С. А. Моделирование систем. М.: В(сш. шк., 1985. 271 с.
15. Советов Б. Я., Яковлев С. А. Моделирование систем: Курсовое проектирование. М.: В(сш. шк., 1988. 135 с.
16. С(тник В. Ф. Основ( машинной имитации производственн(х и организационно-(кономических систем. К.: УМК ВО, 1988. 188 с.
17. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем искусство и наука. М.: Мир, 1978. 418 с.
18. Шрайбер Т. Дж. Моделирование на GPSS. М.: Машино-строение, 1980. 589 с.
19. Харин Ю. С. Малюгин В. И., Кирлица В. П. Основы имитационного и статистического моделирования: Учеб. пособие. Минск: Дизайн ПРО, 1997. 288 с.

 Якщо додатковим операндом є U,NU,I або NI.
 Якщо додатковим операндом є LR або LS.
 Якщо додатковим операндом є SF,SE,SNF або SNE.
1 Може набувати значення 1, якщо у двох вiдповiдних блоках MATСH є транзакти, та значення 0 у противному разі.









13PAGE 14115



h, кг

q, кг

y = f (x)

у

0

Мі ((і(і)

ZcH

r = 1

х

1

0

1

у

.




Приложенные файлы

  • doc 431846
    Размер файла: 9 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий