SOPROMAT (3)


ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет»
Политехнический институт
Кафедра «Прикладная механика»
Вопросы по курсу: Сопротивление материалов
(для студентов гр. НБ 14-05Б, 14-06Б, 14-07Б)
Вопросы, изучаемые в курсе «Сопротивление материалов». Понятие о прочности, жесткости, устойчивости конструкций.
изучение основных понятий простого и сложного сопротивления: метода сечений для определения внутренних усилий, деформаций, напряжений, условий прочности и жесткости. Изучению характеристик механических свойств конструкционных материалов, процессов деформирования и разрушения, методов анализа напряженно-деформированного состояния элементов конструкций и условий накопления предельного состояния. Рассматриваются вопросы расчета упругих перемещений в статически определимых и статически неопределимых системах, основы расчетов элементов конструкций при статических и динамических нагрузках, в условиях циклически меняющихся во времени напряжениях, задачи устойчивости.
Понятие о прочности: – способность элементов конструкций, деталей машин сопротивляться разрушению под действием приложенных внешних сил (нагрузок). Под разрушением твердых тел понимается либо разделение их на части (хрупкое разрушение), либо появление больших деформаций (пластическое разрушение) под действием механических нагрузок или напряжений, иногда в сочетании с термическими, коррозионными и др. воздействиями
Жесткости: – способность элементов конструкций, деталей машин сопротивляться деформированию (изменению формы и размеров) в результате действия внешних сил
Различают два вида деф: упругая (тело возвращает первоначальные размеры и формы после снятия нагрузки) и пластическая(остаточная)
устойчивости – способность конструкций и их элементов сохранять под действием нагрузок начальную форму упругого равновесия. Расчет на устойчивость позволяет определить нагрузку и допустить потери устоичивости, т.е система выведенная из состояния равновесия дополнит силой. после прекращения ее действия должна вернуться в исходное состояние.
Свойства конструкционных материалов: упругость, пластичность, сплошность и однородность. Основные гипотезы «Сопротивления материалов».
Упругость: Упругость – свойство тела восстанавливать первоначальные размеры после снятия нагрузок.
Пластичность свойство твердых тел изменять форму и размеры под влиянием внешних нагрузок и сохранять ее после снятия нагрузок
Сплошность то есть способность заполнять весь объём, занимаемый материалом тела, без всяких пустот
однородность: весь объем материала обладает одинаковыми механическими свойствами.
Основные гипотезы «Сопротивления материалов»:
При формировании расчётных схем в СМ реальные свойства конструкционных материалов, заменяются идеализированными свойствами деформирования с использованием допущений и гипотез.
1Допущение о сплошности материала. Материал представляет собой однородную сплошную среду. Позволяет не учитывать дискретное строение вещества,разный хим. Состав, наличие сучков)
2Допущение об однородности и изотропности. Свойство однородности означает, что во всех точках тела материала обладает одинаковыми механическими свойствами. Изотропным называется материал, свойства которого одинаковы во всех направлениях. В противном случае его называют анизотропным (дерево, стеклопластики).
3Допущение о малости деформаций (допущение об относительной жесткости материала). Предполагается, что деформации (изменение размеров и формы тела) малы по сравнению с размерами деформируемого тела.(Обьем не изменяется) С допущением о малости деформаций тесно связан принцип начальных размеров: при составлении уравнений статики размеры элемента после нагружения считают такими же, как и до нагружения.
4Допущение об упругости и линейной деформируемости материала. Упругость – свойство тела восстанавливать первоначальные размеры после снятия нагрузок. Тела предполагаются абсолютно упругими, при этом выполняется закон Гука G=E€, устанавливающий прямую пропорциональную зависимость между деформациями и нагрузками.
5Принцип суперпозиции или принцип независимости действия сил является следствием двух последних допущений. Результат воздействия на тело системы сил равен сумме результатов воздействия тех же сил, прилагаемых к телу последовательно и в любом порядке.
6Гипотеза плоских сечение (гипотеза Бернулли)
Сечения плоские и нормальные к оси стержня до приложения к нему нагрузки, остаются нормальными к оси и после деформации.
7Гипотеза Сен-Венана: в сечениях, удаленных от мест приложения нагрузки, деформация не зависит от способа приложения нагрузки и определяется лишь его статическим эквивалентом. По мере удаления от точек приложения нагрузки получаем однородное напряженно-деформированное состояние.
Виды внешней нагрузки. Расчетная схема. Основные типы связей. Внутренние усилия. Метод сечений.
Виды внешней нагрузки:
Нагрузки бывают
-внешние (из вне, со стороны других тел)
-внутренние (силы, возникающие как результат внешней нагрузки).
Внешними силами - силы взаимодействия рассматриваемого элемента конструкции со связанными с ним телами, включая и внешнюю среду.
По способу приложения нагрузки сводят к распределенным и сосредоченным силовым воздействием.
Сосредоточенные нагрузки F, M – силы и моменты, площадь действия которых мала по сравнению с размерами объекта (приложены в точке).
 Распределенная нагрузка q – сила, действующая на некоторой длине стержня.

В тех случаях, когда площадка контакта реальных тел пренебрежимо мала по сравнению с размерами нагружаемого элемента, вводят понятие сосредоточенной силы F [H] как равнодействующей давления по указанной площадке.
По длительности действия внешние нагрузки делятся на :
-постоянные;
-временные.
К постоянным относятся нагрузки, действующие в течение всего времени существования конструкции или сооружения (вес несущих и ограждающих конструкций, вес и давление грунта).
Временные нагрузки действуют на протяжении отдельных периодов эксплуатации или возведения объекта
По характеру действия делятся на :
-статические;
-динамические.
К статическим (медленно возрастающая от 0 до некоторого значения) относятся нагрузки не изменяющиеся со временем или меняющиеся настолько медленно, что вызываемые ими ускорения и силы инерции элементов пренебрежимо малы.
Динамические нагрузки меняют свое значение, положение или направление в короткие промежутки времени (движущиеся нагрузки, ударные, сейсмические и др.), вызывая большие ускорения и силы инерции, что приводит к колебаниям конструкций и сооружений (удар, вращение).
Повторно-переменные нагрузки многократно (до нескольких миллионов раз) изменяют со временем значение или значение и знак. Разрушение материала под действием таких нагрузок называется усталостным (например, разрушение куска проволоки от многократного перегибания)
Расчетная схема - это упрощенная, идеализированная схема, которая отражает наиболее существенные особенности объекта, определяющие его поведение под нагрузкой.
Формы элементов конструкций, используемых в расчетных схемах, можно свести к четырем категориям: стержню(брус), оболочке, пластине и массивному телу.

Брус – тело, у которого один размер (длина) значительно превышает два других размера.
Может иметь постоянное и переменное поперечное сечение. Может быть прямолинейным, а может криволинейным.
Оболочка – ограниченна двумя криволинейными поверхностями.
Массив – тело, все размеры которого примерно одинаковы.
Основные типы связей


Внутренние усилия. Метод сечений:. Под действием внешних сил тело деформируется. При этом возникают дополнительные внутренние силы, которые отражают сопротивление материала деформированию и разрушению. В курсе СМ принимают во внимание и определяют внутренние силы, которые возникают при нагружении тела внешними силами. Для определения внутренних сил применяется метод сечений.
Пусть на брус действует система взаимно уравновешенных внешних сил F1, F2…Fn (1.5, а). Для определения внутренних сил производят последовательно четыре операции:


1. Рассекают брус в интересующем месте воображаемой плоскостью на две части
2. Отбрасывают мысленно одну из образовавшихся частей
3. Заменяют действие отброшенной части I на оставшуюся II внутренними силами. При этом имеют в виду, что внутренние силы согласно правилам теоретической механики могут быть приведены к центру тяжести и, таким образом заменены главным вектором и главным моментом .
Каждый из этих двух статических эквивалентов внутренних сил можно представить в виде трех составляющих по осям выбранных координат x, y, z.
N – продольная (нормальная) сила;
, – поперечные силы вдоль осей х и у;
– крутящий момент;
– изгибающие моменты относительно осей х и у.
Эти компоненты главного вектора и главного момента называются внутренними силовыми факторами или усилиями (ВУ).22860004103370Mz
00Mz

4 Для определения внутренних усилий составляют уравнения равновесия всех сил, приложенных к оставшейся части II :
, =0, =0, =0. (1.1)
Вычисляя внутренние усилия и моменты в сечении по формулам (1.2), следует иметь в виду:
– что продольная сила численно равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, действующих на одну из частей (I или II) рассеченного бруса, на продольную ось z; – то же на ось x; – то же на ось y;
– крутящий момент численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих на одну из частей (I или II) относительно оси бруса z; – то же относительно оси x; – то же относительно оси y.
Таким образом, метод сечений позволяет найти все внутренние усилия и моменты в любом сечении бруса при действии любой нагрузки.
Каждому из внутренних усилий соответствует простой вид сопротивления (нагружения) бруса.
Продольной силе – растяжение или сжатие, поперечной силе или – сдвиг, крутящему моменту – кручение, а изгибающим моментам – изгиб.
Если в поперечном сечении возникает только один внутренний силовой фактор сопротивление называется простым (растяжение, сжатие, кручение, прямой изгиб).
Прямой изгиб – исключение, т.к при этом виде сопротивления возникает два силовых фактора ( поперечная сила, изгибающий момент).
Прямой изгиб относится к простым, т.к расчеты на прочность только по изгибающему моменту.
Сложное сопротивление – в поперечном сечении возникает более одного силового фактора ( косой изгиб, изгиб с кручением)
Понятия о напряжениях (нормальных, касательных, полных) и их связь с внутренними усилиями. Общий вид условия прочности. Понятие о допускаемом напряжении. Коэффициенты запаса.
Понятия о напряжениях (нормальных, касательных, полных) и их связь с внутренними усилиями:
Мерой распределения внутренних сил по сечению элемента конструкции является напряжение.
Внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади в данной точке, называется напряжением.
Рассмотрим отсеченную часть бруса. В окрестности точки К выделим элементарную площадку , в пределах которой равнодействующая внутренних сил равна (некоторая часть главного вектора ) (рис.1.6).
Отношение представляет собой среднее напряжение на площадке . В пределе получаем
,
где –полное напряжение в точке K площади ΔА.
В системе СИ напряжение выражается в паскалях Па=Н/м2 или мегапаскалях МПа=106 Па.

, , ,
где – нормальное напряжение; характеризует интенсивность сил отрыва либо сжатия
и – касательные напряжения; характеризует интенсивность сдвиговх сил.
Тогда напряжение можно рассматривать как полное напряжение в точке на данной площадке:
(1.3)
Сигма – характеризуют интенсивность сил отрыва либо сжатия.
Тау – характеризуют интенсивность сдвиговых сил
Совокупность норм и касат. напряжений, действующих по различным площадкам, проходящим через данную точку, называется напряженным состоянием в этой точке. Вычисление напряжений является основой расчетов на прочность.
Нормальные и касательные напряжения в каждом поперечном сечении тела связанны с определенными зависимостями :
Интегральные зависимости между внутренними силовыми факторами и напряжениями
Пусть в некоторой точке бесконечно малой площадки выявлены напряжения , , (рис. 1.7).
Просуммировав напряжения по площадке , получим элементарные внутренние усилия:
Выражения называются интегральными уравнениями равновесия или статическими уравнениями.
Записанные статические уравнения не позволяют определить напряжения и , пока не установлен закон их распределения по сечению.
Общий вид условия прочности: Нахождение вероятности разрушения на стадии проектирования в настоящее время еще сложная задача.

Сравнению расчетных напряжений с допускаемыми: - основные условия прочности.
Расчетное напряжение - наибольшее по абсолютной величине сжимающее или стягивающее напряжение, возникающее в опасном сечении конструкции.
Качество конструкции сейчас оценивают запасом прочности, под которым понимается
,(1.7)
здесь – критическое значение параметра, нарушающее работоспособность (например, параметры коррозии, старения и др.),
– наибольшее значение этого параметра при работе конструкции,
– допустимое значение запаса, которое назначается, исходя из опыта эксплуатации, например, при случайных нагрузках .
Необходимо, чтобы наибольшее напряжение, полученное в результате расчета конструкции (расчетные напряжения), не превышали некоторой величины, меньше предела прочности, называемой допускаемым напряжением.
Понятие о деформациях (линейных и угловых, абсолютных и относительных) и перемещениях. Общий вид условия жесткости.

Коэффициент Пуассона— величина отношения относительного поперечного сжатия к относительному продольному растяжению. Этот коэффициент зависит не от размеров тела, а от природы материала, из которого изготовлен образец. Коэффициент полностью характеризуют упругие свойства изотропного материала
Перемещение — изменение положения точки тела в пространстве вследствие изменения его формы и размеров под действием нагрузки. 
δmax=δ- условие жесткости
Осевое растяжение и сжатие прямого стержня. Определение. Продольные силы. Построение эпюр продольных сил.
Осевым (центральным) растяжением или сжатием называют такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникают только продольная сила N(растягивающая или сжимающая), а все остальные внутренние усилия равны 0.
Построение эпюры продольных сил
Продольная сила N в сечении численно равна алгебраической сумме проекций на ось Z всех внешних сил, включая и опорные реакции, действующие на отсеченную часть бруса, взятых со знаком плюс, если они направлены от сечения (растяжение), и минус – если к сечению (сжатие):
(2.2)
Знак продольной силы определяется по схеме: растяжение – со знаком «+»,сжатие – со знаком «–» .

Рис. 2.2


Пример 2.1. Для бруса (рис. 2.3, а) построить эпюру продольных сил N.
Определим реакцию заделки.


Рис. 2.3
Разобьем брус на два участка, и, применив метод сечений, найдем продольные силы на каждом из них, рассматривая равновесие отсеченной части. Во избежание ошибки следует внутреннее усилие принимать всегда положительным (направлять от сечения).
0144780
00
Участок I


На первом участке продольная сила постоянна и отрицательна.
1143000
00
Участок II
10287004445q
00q

На этом участке продольная сила изменяется по линейному закону.
при
при
По найденным значениям продольных сил на отдельных участках строим эпюру N (рис. 2.3, б).
Примечание
Для бруса, закрепленного с помощью заделки, для построения эпюры, не обязательно определение опорных реакций, если оставлять часть бруса, которая не закреплена.
Знак усилия , получаемый из решения, позволяет установить вид деформации – растяжение или сжатие.
На участке I, где , эпюра N – прямая, параллельная оси ).
На участке II, где , эпюра N – наклонная прямая (N изменяется по линейному закону).
В сечениях, где приложены внешние силы, внутренняя сила меняется скачкообразно, причем размер скачка равен соответствующей внешней силе. Так, скачок на уровне заделки характеризует значение реакции (Н=5 кН), скачок на свободном конце – значение внешней силы (F=3 кН).
Напряжение в поперечных и наклонных сечениях прямого стержня при растяжении (сжатии). Построение эпюр нормальных напряжений. Условие прочности. Закон Гука. Модуль упругости.
Продольная сила N, возникающая в поперечном сечении бруса, представляет собой равнодействующую внутренних нормальных сил, распределенных по площади поперечного сечения, и связана с возникающим в этом сечении нормальными напряжениями зависимостью :



10033057531000112649056642000Вывод формул для напряжений в стержнях будем всегда проводить по приведенной ниже схеме:
-135636010604500-40640038544500Статическая сторона задачи – запись интегральных уравнений равновесия;
-134366033845500Геометрическая сторона задачи – изучение деформаций на основе опыта и гипотез;
Физическая сторона задачи определяется законом Гука;
Синтез – совместное решение полученных уравнений.
Рассмотрим стержень, нагруженный силой F (рис. 2.4 а). Для произвольного сечения z (рис. 2.4, б) статическая сторона задачи выражается уравнением
(2.3)
где А – площадь поперечного сечения бруса.
Рассмотрим модель стержня (рис. 2.4, в), на боковой поверхности которого нанесена ортогональная сетка из продольных и поперечных линий.

Рис. 2.4
После нагружения можно заметить, что поперечные линии смещаются вдоль продольной оси, оставаясь прямолинейными и перпендикулярными ей. Это подтверждает гипотезу плоских сечений Я. Бернулли:
Сечения бруса, плоские и перпендикулярные его продольной оси до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными оси в процессе деформации.
Продольные линии (волокна) удлиняются на одну и ту же величину (рис. 2.4, в), и их относительное удлинение одинаково.
Геометрическая сторона задачи выражается уравнением
. (2.4)
Физическая сторона задачи заключается в установлении зависимости деформаций от напряжений. При упругих деформациях эта зависимость линейна, и, как известно, называется законом Гука:
или , (2.5)
где для однородных и изотропных материалов, следовательно, .
Из уравнений (2.3-2.5) получаем
. (2.6)
Окончательно
. (2.7)
В поперечном сечении бруса при растяжении (сжатии) возникают равномерно распределенные нормальные напряжения, равные отношению продольной силы к площади сечения (рис. 2.4, б).
Формула (2.7) справедлива лишь для сечений, достаточно удаленных от мест приложения нагрузки. При расчетах руководствуются принципом Сен-Венана, который можно изложить так: способ приложения внешних сил влияет на распределение напряжений только в области их приложения.
Поэтому, нарушение равномерности распределения напряжений вблизи мест приложения нагрузки, носит местный характер. При расчетах эта часть стержня исключается из рассмотрения, что позволяет пользоваться формулой (2.7).
Исследования показали, что равномерное распределение напряжений по площади сечения на основании (2.7), будет только в тех случаях, когда по длине стержня поперечные сечения постоянны. Резкие изменения поперечного сечения (отверстия, канавки) приводят к неравномерному распределению напряжений, вызывают концентрацию напряжений. При наличии ослабления в пластине (например, заклепочными отверстиями, рис. 3.6) следует вводить площадь нетто .

Рис. 2.5
На основе предположения об отсутствии концентрации напряжений по формуле (2.7) вычисляется среднее напряжение в ослабленном сечении пластины:
. (2.8)
Например, для сечения а–а, пластины (рис. 2.5) , где – размер пластины в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа.
Напряжения в наклонных сечениях
Рассечем растянутый стержень плоскостью, наклоненной к поперечному сечению под углом (рис. 2.6, а), и рассмотрим нижнюю часть стержня (рис. 2.6, б). Из условий ее равновесия следует, что напряжения параллельны оси бруса, а внутренняя сила , возникающая в сечении, равна F. Здесь - площадь наклонного сечения равная . Следовательно, , откуда
,
где – нормальное напряжение в поперечном сечении.
Выделим малый элемент в наклонном сечении (рис. 2.6, а,б) и раскладывая р по нормали и касательной к сечению (рис. 2.6, в), находим и . С учетом выражения для р получаем
=, (2.9)
(2.10)
Следовательно, при растяжении (сжатии) в наклонных сечениях возникают нормальные и касательные напряжения.

Рис. 2.6
Из формул (2.9) и (2.10) следует:
1. В поперечных сечениях, т.е. когда имеем

Нормальные напряжения в поперечных сечениях будут наибольшими, а касательные напряжения равны нулю.
2. В продольных сечениях, т.е. при нормальные и касательные напряжения равны нулю:

Отсюда следует, что продольные слои не испытывают взаимного давления и взаимного сдвига при растяжении и сжатии.
3. На площадках, наклоненных под углом , имеем
,
т.е. касательные напряжения будут максимальными, а нормальные напряжения будут им равными.
Следует отметить, что на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения равны по абсолютной величине. Действительно, по формуле (2.10) получаем:
,
т.е.
. (2.11)
Формула (2.11) выражает закон парности касательных напряжений: на двух взаимно перпендикулярных площадках, составляющие касательных напряжений, перпендикулярные к общему ребру, равны и направлены обе либо к ребру, либо от ребра.
Этому можно дать наглядное толкование, если из растянутого стержня в окрестности некоторой точки выделить бесконечно малый прямоугольный элемент abcd (рис. 2.6, а), к граням которого приложены напряжения, заменяющие действия отброшенных частей тела (рис. 2.7). Касательные напряжения и должны быть такой величины и иметь такое направление, чтобы моменты их пар взаимно уравновешивались.

Рис. 2.7
Причем для одной и той же точки напряжения различны в зависимости от ориентации секущей площадки.
Построение эпюр нормальных напряжений:
Условие прочности: Основные задачи расчетов на прочность:
определение оптимальных геометрических размеров элементов конструкций, обеспечивающих их прочность;
определение несущей способности, т. е. установление допускаемых или предельных нагрузок, которые может выдержать конструкция, не разрушаясь;
обеспечение способности конструкции удовлетворять заданным эксплуатационным требованиям.
Для решения этих задач разработано три метода расчетов:
Расчет по допускаемым напряжениям;
Расчет по разрушающим (предельным) нагрузкам;
Расчет по предельным состояниям.
Расчет по допускаемым напряжениям
Долгое время, начиная с учения Галилея, господствовало представление о предельной несущей способности конструкции, согласно которому расчет проводился по нагрузкам, соответствующим моменту разрушения. В 1826 г. Навье предложил метод расчета по нагрузкам, реально действующим в элементах конструкции. Метод основан на определении напряжений от действующих нагрузок и сопоставлении их с допускаемыми. Величина допускаемого напряжения должна составлять некоторую часть от величины напряжений, являющихся опасными (предельными) для материала при данных условиях его работы в конструкции.
Опасными (предельными) напряжениями , называются напряжения от действия внешних сил, вызывающие потерю несущей способности конструкции, т.е. разрушение или возникновение больших деформаций (lim- опасное значение, от англ. limit).
Допускаемыми , называются максимальные напряжения, безопасные для работы конструкции, детали. Действующие в деталях машин и элементов конструкций напряжения , называют эксплуатационными, в опасных поперечных сечениях они достигают максимальных значений , .
Условие прочности по допускаемым напряжениям предполагает, что напряжение в опасном сечении бруса не должно превышать допускаемое:
, (2.12)
Допускаемые напряжения равны опасным напряжениям , деленным на коэффициент запаса прочности n:
, (2.13)
Для хрупких материалов (бетон, чугун) за опасные напряжения принимают предел прочности . Тогда допускаемые напряжения:
при растяжении
при сжатии . (2.14)
Для пластичных материалов (низкоуглеродистые, низколегированные стали) за опасные напряжения принимают предел текучести . Допускаемое напряжение:
. (2.15)
Для бетона и железобетона коэффициент запаса по пределу прочности ; для древесины для строительной стали Ст3 коэффициент запаса по текучести .
Коэффициент запаса прочности является обобщенным коэффициентом. Необходимость введения коэффициента запаса прочности и его уровни значения определяются:
- статистическим разбросом экспериментального определения предела прочности и предела текучести;
- невозможностью точно установить действующие нагрузки;
- неточностью принятых методов расчета;
- неточностью изготовления;
- качеством металла;
- долговечностью эксплуатации и ответственностью конструкции.
Учет динамического и переменного характера нагрузок для машиностроительных деталей, неопределенность самих нагрузок и неясность их влияния на материал конструкций приводит к необходимости применения повышенных коэффициентов запаса прочности.
Соответствующее условие прочности по допускаемым напряжениям для бруса, работающего на растяжение (сжатие):
, (2.16)
где– площадь сечения бруса (с учетом ослабления), – продольная сила в опасном поперечном сечении бруса. Данное условие позволяет проводить три вида расчета на прочность:
Проверка прочности (проверочный расчет). Проводят непосредственно по данной формуле (2.16). По известным и находят и сравнивают его с . Делают вывод: прочность обеспечена, либо прочность не обеспечена.
Подбор сечения (проектный расчет). По заданным и устанавливают необходимую площадь сечения:
. (2.17)
Определение несущей способности. По известным и устанавливают значение допускаемой продольной силы:
. (2.18)
Расчет по допускаемым напряжениям ведется в пределах упругих деформаций. Применяется при проектировании деталей машин и механизмов.
Закон Гука. Модуль упругости: Английский ученый Роберт Гук в 1678 г. на основе экспериментов с проволокой и пружинами сформулировал закон “Ut tensio, sic vis”, т.е. “Каково удлинение, такова и сила”.
В 1822 г. французский математик Луи Коши ввел понятия напряжение и деформация. В современном виде закон Гука формулируется так:
Относительная продольная деформация прямо пропорциональна соответствующему нормальному напряжению
, (2.19)
где E – модуль продольной упругости (модуль Юнга), упругая постоянная материала, характеризующая жесткость материала при растяжении (сжатии); определяется экспериментально, имеет размерность напряжения, например:
для стали Е = 2105 МПа, алюминиевых сплавов Е = 0,65105 МПа, для резины E = 7,0 МПа, для дерева Е = 104 МПа, для бетона .
Идею о модуле упругости впервые высказал в 1800 г. английский ученый Томас Юнг. Он же первый указал, что закон Гука справедлив только в пределах упругих деформаций материала.
На рисунке 2.8, а дано графическое представление закона Гука. Установим геометрический смысл модуля упругости Е. Выберем точку В прямолинейного участка ОВ (рис. 2.10,а), координаты этой точки и .

Рис. 2.8
Очевидно, их отношение (тангенс угла наклона линии ОВ к оси абсцисс) равно модулю продольной упругости :

Перейдем к определению деформаций стержня. Из формул (2.4) и (2.6) имеем:
и .
Тогда абсолютное удлинение участка стержня длиной при и будет равно
, (2.20)
где EA - жесткость поперечного сечения при растяжении (сжатии). Формула (2.20) выражает закон Гука для абсолютной продольной деформации, ее называют формулой жесткости при растяжении и сжатии.
Продольные и поперечные деформации бруса при растяжении (сжатии). Коэффициент Пуассона. Перемещения и их эпюры.
Если на участке и переменны (рис. 2.8 б), то полное удлинение участка получим, суммируя удлинения бесконечно малых участков dz:
.

Растяжение (сжатие) сопровождается изменением поперечных размеров (рис. 2.9).

Рис. 2.9
Абсолютная поперечная деформация определяется как разность размеров после деформации и до нее:
; .
Относительная поперечная деформация для изотропных материалов по всем направлениям одинакова:
.
Между поперечной и продольной относительными деформациями, которые всегда противоположны по знаку, в пределах закона Гука существует постоянное отношение:
или , (2.23)
где – коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона) – безразмерная величина, упругая постоянная материала, определяемая экспериментально. Для всех изотропных материалов = 0 0,5. Для пробки 0; для каучука 0,5; для стали 0,3.
Перемещения. Эпюра перемещений. Условие жесткости
При растяжении (сжатии) поперечные сечения стержня перемещаются в продольном направлении; перемещения поперечных сечений – это следствие деформации. Перемещение сечения зависит от деформации не всего бруса, а лишь части между сечением и неподвижной заделкой. Например, перемещение сечения равно деформации заштрихованной части стержня:,
где – деформация участка АВ равная перемещению сечения В;
– деформация участка ВС определяется по формулам .
можно сформулировать следующие положения:
На участке, где , перемещение – меняется по линейному закону;
На участке, где – линейна, перемещение – меняется по квадратичной параболе;
Если , то перемещение возрастает; , то перемещение убывает;
В сечении, где ==0, перемещение имеет экстремальное значение: (максимум или минимум).



Статически неопределимые задачи при растяжении-сжатии, методы их решений.
В практике статически неопределимые задачи находят широкое применение.
Система, в которой для определения внутренних усилий недостаточно уравнений равновесия называется статические неопределимой.
Для решения данной задачи необходимо применение дополнительных уравнений, которые можно записать, рассмотрев деформированное состояние системы. Дополнительные уравнения представляют собой уравнения совместности деформаций (или кратко называются деформационными).
Расчет статически неопределимой системы рассмотрим на примере статически неопределимого ступенчатого бруса.
Степень статической неопределимости :
S=R-n
R – количество связей
n – количество возможных уравнений
Сумма Ркz=0
∆l1+∆ l2+∆ l3=0 – дополнительное уравнение неразрывности деформации


Опытное изучение свойств материалов при растяжении и сжатии. Диаграммы растяжения и сжатия малоуглеродистой стали. Основные механические характеристики и характеристики пластичности материалов: предел пропорциональности, упругости, текучести, временное сопротивление (предел прочности), относительное удлинение и сужение площади поперечного сечения. Истинная и условная диаграммы растяжения. Условный предел текучести. Диаграммы сжатия хрупких и пластичных материалов. Анизотропные материалы. Эффект наклепа (Баушингера).
При проектировании и расчетах на прочность и жесткость необходимо знать свойства материалов, сведения о которых можно получить путем механических испытаний на растяжение, сжатие, сдвиг, кручение и изгиб.
Испытание на растяжение проводят на специальных разрывных или универсальных машинах, создающих постепенно возрастающую нагрузку на образец. Машины снабжены устройством для автоматической записи диаграммы растяжений, т. е. графика зависимости между растягивающей силой и удлинением образца .
Рассмотрим характерные участки и точки этой диаграммы, а также соответствующие им стадии деформирования образца.

Рис. 2.27
OB – выполняется прямая пропорциональная зависимость между нагрузкой и абсолютной деформацией (только упругой)
Выполняется закон Гука.
,
где E (МПа) – физическая константа материала, называемая модулем продольной упругости или модулем упругости первого рода, характеризующая жесткость материала. Значения модуля упругости зависят от типа кристаллической решетки и межатомного взаимодействия и определяются экспериментально.
Pпц – нагрузка, соответствующая пределу пропорциональности.
ВС – нарушение пропорциональной зависимости (деформации еще упругие)
CD – появление пластической деформации.
DE – площадка текучести(рост деформации без увеличения нагрузки, параллельно оси). Наличие площадки текучести связано с развитием сдвигов в кристаллической решетке.
EH – зона упрочнения (явление наклепа)
HL – зона образования шейки
Py – нагрузка, соответствующая пределу упругости
PT – предел текучести
Pmax – максимальная нагрузка, соответствующая условному пределу прочности
Pu – нагрузка, соответствующая истинному напряжению в точки разрыва.
Прямая пропорциональная зависимость между напряжением и деформацией сохраняется до напряжений, соответствующих пределу пропорциональности , который определяется делением соответствующей нагрузки на начальную площадь образца :
Pпц – нагрузка, соответствующая пределу пропорциональности.
A=F – площадь

Предел пропорциональности – максимальное напряжение, выше которого нарушается прямая пропорциональная зависимость между напряжением и деформацией.
Упругие свойства материала сохраняются до напряжения, называемого пределом упругости. Под пределом упругости понимается такое наибольшее напряжение, до которого в образце еще отсутствуют пластические деформации.
. (2.44)
Py – нагрузка, соответствующая пределу упругости
A=F – площадь
Пределом упругости – максимальное напряжение, до которого нет пластической деформации.
Пределом текучести.
. (2.45)
PT – предел текучести
A=F – площадь
Предел текучести – после достижения предела текучести появляется интенсивная пластическая деформация.
Предел временного сопротивления (предела прочности)
. (2.46)
Pmax – максимальная нагрузка, соответствующая условному пределу прочности
A=F – площадь
Временным сопротивлением – максимальное напряжение, которое выдерживает материал без разрушения. Условный – так как делим на начальную площадь.
характеристиками пластичности материала.
1 Относительным остаточным удлинением

(относительная продольная деформация) = … (после испытания)
У пластичных материалов больше 5 процентов.
2 Относительное остаточное сужение образца
, (2.48)
=(со штрихом – относительная поперечная деформация.)
где – площадь поперечного сечения образца в месте разрыва (Площадь шейки после испытаний – из лекции).
Чем больше эти две буквы, тем материал пластичнее.
Пластичность – свойство тел изменять форму и размеры под влиянием внешних нагрузок и сохранять её после снятия нагрузок.
Истинная и условная диаграммы растяжения: Диаграмма растяжения зависит от размеров образца. Для оценки свойств материала эту диаграмму перестраивают в координатах «напряжение – деформация»; все ординаты делят на первоначальную площадь , а все абсциссы – на первоначальную рабочую длину . В результате получают диаграмму напряжений (рис. 2.29), которая является условной, т. к. при ее построении не учитывается изменение значений площади сечения в процессе испытания. Поэтому найденные ранее характеристики прочности являются условными.

Рис. 2.29
Диаграмма напряжений, построенная с учетом деления силы на наименьшую площадь – истинных напряжений (на рис. 2.29 она показана пунктиром). Напряжение, соответствующее точке , называют истинным сопротивлением разрыву (истинным пределом прочности)
Условный предел текучести:
Если на графике есть DE, то материал точно пластичен.
Для материалов, у которых нет выраженной площадки текучести, но присутствует пластическая деформация, определяют условный предел текучести.

Посторим на оси 0.2
Проведем касательную к первому участку
Прведем линию, паралельную касательной от 0,2 до пересечения с графиком
Сносим на оси
Диаграмма сжатия малоуглеродистой стали
ПЛАСТИЧНЫЕ Диаграмма сжатия почти полностью повторяет диаграмму растяжения (рис. 2.32, а).
Пределы пропорциональности, упругости и текучести имеют те же значения, что и при растяжении. Углы наклона прямолинейных участков на обеих диаграммах одинаковы, значит, равны и модули . Площадка текучести здесь выражена слабо. При дальнейшем нагружении развиваются значительные пластические деформации, образец принимает бочкообразную форму, а затем, не претерпевая разрушения, расплющивается (рис.2.32 в, г). Поэтому получить предел прочности не представляется возможным, и его условно принимают таким же, как при растяжении: .
Пластичные материалы одинаково сопротивляются растяжению и сжатию.


Рис. 2.32
Образцы из других пластичных металлов (медь, алюминий) при сжатии деформируются так же, как стальной, и имеют аналогичную диаграмму.
ХРУПКИЕ. После разрушения трещина под углом 45 градусов.
Анизотропные материалы: В практике наряду с изотропными материалами, которые являются основным объектом рассмотрения СМ имеют место и анизотропные материалы, т. е. материалы, свойства которых в различных направлениях различны.
Анизотропия может быть начальной (исходной), существующей до процесса нагружения, или вторичной (деформационной), т. е. изменившейся, или заново возникшей в процессе деформации. Можно выделить три типа анизотропии механических свойств: кристаллографическая, технологическая и композиционная.
Пример – дерево, стеклопластик.
Эффект наклепа (Баушингера):

За счет повтороного напряжения( снимать нагрузку и снова нагружать) материал становится более упругим – наклеп(EH)
Если образец нагружен выше предела упругости, то при его разгрузки деформации полностью не исчезают. В этом случае, деформация = упругая+пластическая.При повторном нагружении образца предел пропорциональности повышается до того напряжения до которого образец был ранее нагружен. Это явление называется наклепом.
Потенциальная энергия деформации при растяжении-сжатии.
При статическом (медленном) растяжении образца растягивающая сила F возрастает от нуля до какого-то значения, удлиняет образец на величину Δl и при этом совершает работу W.
Эта работа аккумулируется в деформируемом образце в виде потенциальной энергии деформации U, причем, пренебрегая незначительными потерями энергии (например, тепловыми), можно считать, что W = U (Работа внешних сил полностью преобразуется в потенциальную).
Потенциальной энергией деформации называется энергия, которая накапливается в теле при его упругом деформировании. При разгрузке она расходуется на восстановление первоначальной формы и размеров тела.
При статическом нагружении работа внешних сил полностью преобразуется в потенциальную энергию , т.е.
. (2.27)
На основании закона Гука график зависимости между растягивающей силой и удлинением в пределах упругих деформаций представляет собой прямую (рис. 2.14).

Определим работу силы на перемещении .
Пусть при некотором значении силы удлинение бруса равно . Дадим силе приращение , тогда удлинение вырастет на величину . Элементарная работа силы на этом перемещении равна
.
Из рисунка 3.12 видно, что эта величина равна площади узкой заштрихованной полоски графика: , поэтому, полная работа
.
Таким образом, работа (а значит, и потенциальная энергия) равна площади заштрихованного треугольника
(2.28)

Подставляя сюда вместо внешней силы равную ей внутреннюю силу и удлинение по формуле (2.24), получим
(2.29)
E – модуль упругости;
F – площадь поперечного сечения;
L – первоначальная длина стержня
Если поперечное сечение или продольная сила меняются по длине стержня, то потенциальную энергию определяют суммированием по участкам dz:
(2.30)
Чтобы судить об энергоемкости материала, вводят понятие удельной потенциальной энергии (как потенциальная энергия, приходящаяся на единицу объема бруса):

где – объем стержня. С учетом формул (2.5) и (2.3) имеем
(2.31)
В системе СИ за единицу работы и энергии принят джоуль [Дж], тогда удельная энергия деформации выражается в Дж/м3.
Из формулы (2.31) следует, что при одном и том же напряжении запас энергии тем больше, чем меньше . Поэтому, например, резина является одним из самых энергоемких материалов, и ее используют в амортизирующих устройствах для смягчения динамических воздействий.
12. Основные геометрические характеристики плоских сечений.
Площадь, статические и осевые, полярный и центробежный моменты инерции; вычисление центра тяжести и моментов инерции составного сечения. Моменты инерции сечений в виде простых фигур: прямоугольника, треугольника, круга и его частей.
Центр тяжести сечения. Статические моменты сечения
Простейшая геометрическая характеристика – площадь

A= AdAПри расчетах на изгиб, кручение, сложное сопротивление, устойчивость используют след геометрические характеристики :
1 Статическим моментом сечения относительно данной оси называется взятая по всей его площади F сумма (интеграл) произведений элементарных площадок dF на их расстояния до этой оси.
Статические моменты площади сечения относительно осей x и y определяются по формулам:
Sy=AxdASx=AydA
Статические моменты выражаются в см3, м3. В зависимости от знаков координат они могут принимать положительные значения, отрицательные и равные нулю.
Координаты центра тяжести:


Оси, проходящие через центр тяжести сечения – центральные, статический момент =0.
2 Осевым моментом инерции сечения относительно данной оси называется взятая по всей его площади F сумма произведений элементарных площадок dF на квадраты их расстояний до этой оси. М4
Ix=Ay2dAIy=Ax2dA3 Центробежным моментом инерции сечения относительно осей координат x и y называется взятая по всей его площади F сумма произведений элементарных площадок dF на их расстояния до этих осей:
Ixy=AxydAМоменты инерции выражаются в см4, м4.
В зависимости от положения осей центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным или равным нулю.
Центробежный момент инерции сечения относительно осей, из которых одна или обе совпадают с его осями симметрии, равен нулю.Оси, относительно которых центробежный момент равен нулю, называются главными осями инерции. Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называют главными центральными осями.
Оси, проходящие через центр тяжести сечения, называется центральными. В этом случае xc=0 и yc=0, тогда Sy=Sx=0. Следовательно, статические моменты относительно центральных осей равны нулю.
4 Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется взятая по всей его площади A сумма произведений элементарных площадок dA на квадраты их расстояний ρ до этой точки. Следовательно:
Iρ=Aρ2dAКак видно из рисунка 1.3: ρ2 = x2 + y2, тогда:
Iρ=Ix+IyПолярный момент инерции Iρ равен сумме осевых моментов инерции Ix и Iy , взятых относительно любой пары взаимно перпендикулярных осей x и y, проходящих через полюс О.
Отметим, что осевые и полярные моменты инерции всегда положительны.
Для сложных сечений :
1 разбиваем сечение на простые фигуры
2 находим центры тяжести каждой из фигур
3 выбираем вспомогательные оси
4 координаты центров тяжестий С1 и С2 каждой фигуры, относительно вспомогательных осей
5 определяем площади фигур
6 определяем координаты центра тяжести
7 находим осевые центральные моменты инерции, относительно х каждой из фигур
8 находим момент инерции составного сечения
Ixcyc=Ix1y1+a1b1F1+Ix2y2+a2b2F2
Моменты инерции простых фигур

Главные оси и главные моменты инерции сечений. Определение положения главных осей и вычисление главных моментов инерции сложных сечений.
Главными осями называются оси, проходящие через центр тяжести сечения, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции имеют экстремальные значения.
Главные моменты инерции – экстремальные значения моментов инерции. Относительно одной главной оси момент инерции имеет наименьшее значение – Imin, относительно другой – наибольшее Imax.
Будем обозначать главные оси буквами u и v. Докажем приведенное утверждение. Пусть оси x и y – центральные оси несимметричного сечения (рис. 1.1).
Определим положение главных осей путем поворота центральных осей на угол α0, при котором центробежный момент становится равным нулю.
Ix1y1=Iuv=0
Рисунок 1.1
Тогда
Ix1y1=Ix-Iy2sin2α0+Ixycos2α0=0Откуда
tg2α0=-2IxyIx-IyЭта формула определяет положение главных осей, где α0 – угол, на который нужно повернуть центральные оси, чтобы они стали главными. Отрицательные углы α0 откладываются по ходу часовой стрелки от оси x.
Главные центральные моменты инерции определяются по формулам:
Iu=Ixcos2α0+Iysin2α0- Ixysin2α0Iv=Ixsin2α0+Iycos2α0- Ixysin2α0Если сложить почленно эти формулы, очевидно, Iu+Iv = Ix+Iy = const. Если исключить из этих формул угол α0, , то получим более удобную формулу для главных центральных моментов инерции:
Iminmax=Ix+Iy2±12Ix-Iy2+4Ixy2Полезно иметь в виду частные случаи:
1) Если фигура имеет две оси симметрии, то оси являются главными центральными осями.
2) Для правильных фигур – равносторонний треугольник, квадрат, круг и т.п., имеющих более двух осей симметрии, все центральные оси являются главными, а моменты инерции относительно них равны между собой.
Общий порядок определения главных центральных моментов инерции
Пусть требуется найти положение главных центральных осей и вычислить относительно них моменты инерции для плоского сечения, состоящего из швеллера и полосы (рис. 1.2):

Рисунок 1.2
1. Выбирают вспомогательные оси – проводят произвольную систему координат xOy.
2. Разбивают сечение на простые фигуры и по формулам определяют положение центра тяжести С относительно выбранных вспомогательных осей.
3. Через точку С проводят центральные оси xc и yc параллельно осям простых фигур.
4. Определяют осевые центральные моменты инерции простых фигур
Ixc=Ix1+a12F1+ Ix2+ a22F2, где а – расстояние между осями X.
5. Определяют центральные моменты инерции всего сечения как сумму соответствующих моментов простых фигур, найденных в пункте 5.
7. Вычисляют угол α0 по формуле и, поворачивая оси xc и yc на угол α0, изображают главные оси u и v. tg2α0=-2IxyIx-Iy8. По формулам вычисляют Imin и Imax.
9. Делают проверку:
а) IxС+IyС=Imax+Imin;
б) Imax>IxС>IyС>Imin, если IxС>IyС;

Кручение круглого вала. Эпюры крутящих моментов, напряжений и углов закручивания по длине вала. Условия прочности и жесткости.
Кручение – вид нагружения бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор – крутящий момент, обозначаемый или .
Деформация кручения возникает при нагружении бруса парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны его продольной оси. Моменты этих пар будем называть скручивающими моментами и обозначать m (рис. 1.1).

Рисунок 1.1
Брус, работающий на кручение, называется валом.
Вычисление крутящих моментов. Построение эпюр
При расчете вала внешние скручивающие моменты могут быть выражены через мощность и угловую скорость.
m=P/(Н/м)
m=9,55P/n n -число оборотов
Если вал находится в состоянии покоя или равномерного вращения то алгебраическая сумма всех скучивающих моментов равна 0.
Крутящий момент, возникающий в произвольном сечении вала численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к отставной части
Мк=mi/
/

Кручение круглого вала: касательные напряжения и относительный угол закручивания. Эпюры напряжений по высоте сечений. Потенциальная энергия деформации круглого стержня при кручении.
Представление о характере деформации кручения можно получить, подвергая скручиванию модель бруса с нанесенной на его поверхность сеткой продольных и поперечных линий.
После закручивания продольные линии превращаются в винтовые (рис. 1.1). Поперечные линии не искривляются, и расстояние между ними не меняется. Прямоугольники, образованные сеткой, перекашиваются за счет изменения первоначально прямого угла на малый угол .
Брус радиусом (рис. 1.2) скручивается моментом . Образующая после кручения перейдет в положение . Сечение I–I повернется на угол , а сечение II–II на угол . Следовательно, сечение II–II по отношению к I–I повернется на угол .
426148585217000
Рисунок 1.1 Рисунок 1.2
В результате наблюдений приходим к следующим гипотезам, на которых основана теория круглых валов:
1.Сечения, плоские до закручивания, остаются плоскими и после закручивания (гипотеза Бернулли);
2.Все радиусы данного сечения остаются прямыми и поворачиваются на один и тот же угол (рис. 4.16), т.е. каждое сечение поворачивается вокруг оси z как жесткий тонкий диск;
3.Расстояния между сечениями не меняются, значит, продольные волокна не удлиняются и не укорачиваются, т.е. длина вала .
На основании принятых гипотез кручение круглого бруса можно представить как результат сдвигов, вызванных взаимным поворотом сечений друг относительно друга. Вследствие этого в поперечных сечениях возникают только касательные напряжения. Для их определения рассмотрим три стороны задачи.
Статическая сторона задачи выражается интегральным уравнением равновесия:
, (1)
т.е. крутящий момент представляет собой результирующий момент внутренних касательных сил , действующих на бесконечно малых площадках сечения (рис. 4.17): – плечо элементарной силы относительно продольной оси точки О.

Рисунок 1.3
Рассмотрим геометрическую сторону задачи.
Выделим из бруса элемент (рис. 1.2) и рассмотрим картину деформирования, приняв левое сечение условно неподвижным (рис. 1.4).
1531620top00
Рисунок 1.4
Радиус ОВ вместе с сечением поворачивается на угол , а образующая CK произвольной точки K переходит в положение СК1, поворачиваясь на угол .
,
а из треугольника СКК1 отрезок .
получим выражение угла сдвига на поверхности скручивания элемента, т.е. геометрическое уравнение,
. (2)
Потенциальная энергия при кручении
Для определения характеристик прочности и изучения характера разрушения проводят испытания на кручение образцов из различных материалов.
Для пластичных материалов диаграмма кручения подобна диаграмме растяжения. Работа, затрачиваемая на кручение в пределах упругих деформаций, равна количеству потенциальной энергии, накопленной в брусе, и вычисляется как площадь треугольника на диаграмме кручения.
.
С учетом (12) имеем:
. (14)
Физическая сторона задачи определится законом Гука при сдвиге:
или . (3)
Проведем синтез трех сторон задачи.
Формула (3) с учетом (2) принимает вид
. (4)
Подставляя (4) в (1), имеем:
, (5)
где интеграл полярный момент инерции сечения.
Из (5) следует:
. (6)
С учетом (6) формула (4) принимает окончательный вид
. (7)
По формуле (7) определяются касательные напряжения в любой точке поперечного сечения вала.
По закону парности такие же касательные напряжения возникают в продольных сечениях (рис. 1.5, а), и прямоугольный элемент испытывает состояние чистого сдвига (рис. 1.5, б).
Анализ формулы (7) показывает:
1.Касательные напряжения распределены вдоль радиуса по линейному закону (рис. 4.19);
2.В каждой точке напряжения перпендикулярны текущему радиусу;
3. = 0 в центре круга ( = 0);
4.Максимальные напряжения возникают в крайних точках сечения:
, (8)

Рисунок 1.5
или , (9)
где – геометрическая характеристика сечения, называемая полярным моментом сопротивления, см3 или м3.
Определение углов закручивания.
, (10)
где – жесткость сечения при кручении.
После интегрирования (10) получим взаимный угол закручивания двух сечений, расположенных на расстоянии .
. (11)
Если на участке и , то после интегрирования получаем в радианах:
. (12)
Полный угол закручивания вала определяется суммированием по участкам. Для оценки жесткости вала используют относительный угол закручивания (), который является мерой деформации при кручении.
Из (10) получаем:
. (13)
Эпюры касательных напряжений

Рисунок 1.6

Рисунок 1.7 - Эпюры касательных напряжений
Понятие о чистом сдвиге. Напряжения в поперечных сечениях.
Сдвиг – случай нагружения, при котором в поперечном сечении возникает только поперечная сила Q :
(1)
A – площадь (здесь писать А)
На границах бесконечно малого прмоугольного элемента возникает только касательное напряжение, то данное напряженное состояние называется чистым сдвигом.
Для всех точек пластины касательные напряжения будут равны
, (2)
где – сдвигающая сила; – площадь сечения пластины; а касательные напряжения принимаем равномерно распределенными по сечению.
Посмотрим, как при чистом сдвиге изменяются напряжения в зависимости от ориентации секущих площадок. Выделим трехгранную призму DCB (рис. 1.1) и рассмотрим ее в равновесии (рис. 1.2).

На грани DС возникают как касательные, так и нормальные напряжения. Проецируем все силы, действующие на элемент, на оси n и t.
(3)
При = 0 и = 900 напряжения = 0, =. При = 450 напряжения = 0, = . Следовательно, на гранях элемента, повернутого на 450, будут обнаружены только нормальные напряжения, причем на одной паре граней они растягивающие, на другой – сжимающие (рис. 1.3).

Чистый сдвиг может быть представлен как одновременное растяжение и сжатие по двум взаимно перпендикулярным направлениям.
Закон Гука при чистом сдвиге
Рассмотрим деформации прямоугольного элемента закрепленного с одной стороны

Малый угол, на который изменится первоначальный прямой угол называется углом сдвига или относительным сдвигом величины.
Деформация сдвига характеризуется изменением углов, длин.
Закон Гука (связь между касательным напряжением и углом сдвига)

Определения прямого и косого изгиба. Плоский изгиб. Чистый и поперечный изгиб. Виды опор балок и вычисление опорных реакций.
Изгиб – такой вид нагружения, при котором в поперечном сечении элемента конструкции возникают поперечная сила и изгибающий момент.
Различают косой и прямой изгиб.
Прямой изгиб балки возникает в случае, когда изгибающий момент в данном поперечном сечении бруса действует в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции этого сечения. В случае, когда плоскость действия изгибающего момента в данном поперечном сечении бруса не проходит ни через одну из главных осей инерции этого сечения, изгиб называется косым.

Плоский изгиб – изгиб, при котором все усилия, изгибающие балку, лежат в одной из плоскостей симметрии балки (в одной из главных плоскостей).
Чистый изгиб имеет место, если в сечении возникает только изгибающий момент (рис. 1.1, а), поперечный изгиб – если одновременно с моментом возникает поперечная сила (рис. 1.1, б).
Виды опор балок
Прямолинейный брус, работающий на изгиб, называют балкой. Изгиб вызывают силы, перпендикулярные продольной оси z, или пары сил, лежащие в плоскостях, проходящих через ось z (1.1, a). Сама ось z, прямолинейная до деформации, при изгибе становится кривой линией. При этом волокна, расположенные в выпуклой части изогнутой балки, растягиваются, а в вогнутой – сжимаются.
Рассмотрим балки, поперечные сечения которых имеют вертикальную ось симметрии. Для того чтобы балка воспринимала нагрузку и передавала ее на другие части конструкции или на основание, она должна иметь опорные устройства. В зависимости от способа крепления различают три основных типа балок (рис. 1.2, а-в):
1. Двухопорная балка (одна опора - шарнирно-неподвижная, другая – шарнирно – подвижная; расстояние между опорами называется пролетом балки).
2. Консоль (один конец жестко защемлен; длина балки a – вылет консоли).
3. Консольная балка (балка, свободно лежащая на двух опорах со свешивающимися концами – консолями).
Балки составляют большую долю элементов конструкций – это балки перекрытий, пролетные строения кранов, валы и оси механизмов, крыло самолета и т.д.



Внутренние усилия, правило знаков для поперечной силы и изгибающего момента. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов в простых балках.
Под действием внешних сил тело деформируется. При этом возникают дополнительные внутренние силы, которые отражают сопротивление материала деформированию и разрушению.
N – продольная (нормальная) сила;
, – поперечные силы вдоль осей х и у;
– крутящий момент;
– изгибающие моменты относительно осей х и у.



Дифференциальные зависимости при изгибе, их следствия и использование для контроля правильности построения эпюр внутренних усилий.

Условие прочности балок при изгибе по нормальным напряжениям.
Условие прочности по нормальным напряжениям
 
,
 
где  – наибольшее по модулю напряжение в поперечном сечении;  – изгибающий момент;  wx – осевой момент сопротивления;  – допускаемые нормальные напряжения.
Формула Д.И. Журавского для определения касательных напряжений при изгибе на примере прямоугольного сечения.


Приложенные файлы

  • docx 544114
    Размер файла: 10 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий