МатМодели МУ


Лабораторная работа №3
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Целью работы является исследование методов интегрирования и реализации их в программной среде MathCad.
Содержание работы
1. Исследовать методы интегрирования прямоугольниками;
2. Исследовать метод интегрирования трапециями;
3. Исследовать метод интегрирования параболами (Симпсона).
Перечень необходимых материалов, реактивов, приборов, оборудования
Лабораторная работа проводится в компьютерном классе с сетевым оборудованием со следующим программным обеспечением: ОС MS Windows XP и выше, офисный пакет OpenOffice, система инженерных и математических расчетов MathCad.
Методические указания
Численное интегрирование (историческое название: (численная) квадратура) — вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определённого интеграла.
Численное интегрирование применяется, когда:
сама подынтегральная функция не задана аналитически;
аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции.
В этих двух случаях невозможно вычисление интеграла по формуле Ньютона — Лейбница
abfxdx=Фb-Фa=ФabДля приближенного вычисления интеграла  можно использовать метод прямоугольников (правых, левых, средних), метод трапеций и метод парабол.
1.Метод прямоугольников
В этом методе подынтегральная функция fx заменяется горизонтальной прямой fx=c со значением ординаты, т. е. значения функции соответственно слева или справа участка.
Вычисление определенного интеграла (геометрическая интерпретация определенного интеграла) – это вычисление площади криволинейной трапеции.
Формула левых прямоугольников:
Sлевых≈abfxdx≈y0h+y1h+y2h+…yn-1h≈h(y0+y1+y2+yn-1)h=x0+xnn - шаг интегрирования;
n - число разбиений.
Левые прямоугольники

Рисунок 3.1
Формула правых прямоугольников:
Sправых≈abfxdx≈y1h+y2h+…ynh≈h(y1+y2+yn)Правые прямоугольники

Рисунок 3.2
Формула средних прямоугольников:
Sсредних≈hi=0n-1y(xi+h2)или
Sсредних≈Sправых+Sлевых2
Рисунок 3.3
2. Метод трапеций
Метод трапеций —заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется прямоугольными трапециями.

Рисунок 3.4 Аппроксимация функции линейной
зависимостью при интегрировании методом трапеций
Если отрезок a,b является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по формуле
Sтрапеции≈abfxdx≈ya+yb2(b-a)Это простое применение формулы для площади трапеции — произведение полусуммы оснований, которыми в данном случае являются значения функции в крайних точках отрезка, на высоту (длину отрезка интегрирования).
3. Метод парабол (Симпсона)
Суть метода парабол заключается в приближении функции на отрезке [a,b] интерполяционным многочленном второй степени p2(x), т.е. приближение графика функции на отрезке параболой. В методе Симпсона для вычисления определенного интеграла весь интервал интегрирования [a,b] разбивается на подинтервалы равной длины h=(b-a)/2N. Число отрезков разбиения 2N должно быть четным числом.
SСимпсона≈abfxdx≈≈h3*y0+4y1+y3+…+y2N-1+2(y2+y4+…+y2N-2)+y2Ny0,y2N- сумма первого и последнего значения подынтегральной функции;
(y2+y4+…+y2N-2) - сумма членов с чётными индексами умножается на 2;
y1+y3+…+y2N-1 -сумма членов с нечётными индексами умножается на 4.
4. Погрешности расчетов
Абсолютная погрешность:
δ=Sточн-Sметодагде : Sточн - точное значение интеграла;
Sметода - значение интеграла полученное используемым методом.
Относительная погрешность:
γ=Sточн-SметодаSточн*100%Задание к лабораторной работе №3
Таблица 3.1 – Исходные данные для выполнения самостоятельного задания

варианта Функции Интервал
интегрирования
1 fx=x-12x+0.2x0=0; xn=12 fx=x3x0=0; xn=103 fx=x+e0.4xx0=0; xn=104 fx= x0.2x-0.8e-xx0=0; xn=105 fx=x-e0.6x3x+1x0=0; xn=106 fx=e0.4x+2xx0=0; xn=107 fx=2e4x+2xx0=0; xn=18 fx=-10e6x+xx0=0; xn=19 fx=x3+ex5x0=0; xn=110 fx=2x3-x+0.2exx0=0; xn=111 fx=e-5x*100xxx0=0; xn=112 fx=x3x+5x0=0; xn=1013 fx=4x2- 3xx0=0; xn=1014 fx=x2+ 4xx0=-10; xn=1015 fx=0.5x2- 10xx0=-10; xn=1016 fx=5- 4exx0=4; xn=1017 fx=3x2- 32xx0=0; xn=1018 fx=1x+12x0=0; xn=1019 fx=1e2xx0=0; xn=120 fx=e-x*xx0=0; xn=1Вариант выполнения работы соответствует порядковому номеру в журнале проведения занятий преподавателя. Данные выбираются из табл.3.1.
Для заданной функции y = f(x) выполнить следующее:
1. Построить зависимость fx и определить точное значение интеграла на указанном интервале используя MathCad.
2. Разбить участок интегрирования на 10 равных частей. Рассчитать значения функции в узлах и занести их в таблицу.
ixiy(xi)(xi+xi+1)2y(xi+xi+1)20 1 N 3. Рассчитать интегралы от приведенной функции в заданном диапазоне методами: прямоугольников, трапеции и параболы (Симпсона).
4. Определить абсолютные и относительные погрешности интегрирования. Сравнить результаты расчетов.
5. Используя программу расчета интегралов в среде MathCad, повторить пункты 3-4 для следующего числа участков интегрирования 2k , где k =1,2,3,4.
Содержание отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
1. Титульный лист, оформленный согласно приложению 1;
2. Условие задания и порядок выполнения расчетов.
3. Протокол работы в виде документа Mathcad с текстовыми блоками заголовков заданий и формульных блоков их выполнения по каждому пункту заданию согласно своему варианту;
4. Выводы о проделанной работе.
Контрольные вопросы
1. Объяснить суть метода прямоугольников. От чего зависит точность расчета?
2. Объяснить суть метода трапеций. От чего зависит точность расчета?
3. Объяснить суть парабол (Симпсона). От чего зависит точность расчета?
Лабораторная работа №4
ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Целью работы является исследование основных численных алгоритмов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Содержание работы
1. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера;
2. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений усовершенствованным методом Эйлера.
3. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений модифицированным методом (Эйлера-Коши).
4. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений модифицированным методом Рунге-Кутты.
Перечень необходимых материалов, реактивов, приборов, оборудования
Лабораторная работа проводится в компьютерном классе с сетевым оборудованием со следующим программным обеспечением: ОС MS Windows XP и выше, офисный пакет OpenOffice, система инженерных и математических расчетов MathCad.
Методические указания
1. Метод Эйлера
Дифференциальным называется уравнение, содержащее один или несколько производных. В зависимости от количества не зависимых переменных, дифференциальные уравнения делятся на две категории.
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)
Дифференциальные уравнения в частных производных.
Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции yx. Их можно записать виде
Fx(y,y',y",…y(n))=0 (4.1)
F(x)независимая переменная
Наивысший порядок n, входящий в уравнение (4.1) называется порядком дифференциального уравнения.
Простейшим (линейным) ОДУ является уравнение (1) разрешенное относительно производной
y'=fx,y (4.2)
Решением дифференциального уравнения (1) называется всякая функция, y=fx которая после ее подстановки в уравнение обращает его в тождество.
Основная задача, связанная с линейной ОДУ известно как задача Каши: найти решение уравнения (2) в виде функции yx удовлетворяющий начальному условию y(x0)=y0 (4.3)
Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую, yx проходящую через точку M(x0,y0) при выполнение равенства (2).
Численный с точки зрения задачи Каши означает: требуется построить таблицу значений функции yx удовлетворяющий уравнение (4.2) и начальное условие (4.3) на отрезке a;b с некоторым шагом . Обычно считается, что x0=a то есть начальное условие задано в левом конце отрезка.
Простейшим из численных методов решения дифференциального уравнения является метод Эйлера. В его основе лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной форме или таблицы.
Пусть дано уравнение y'=fx,y с начальным условием y(x0)=y0 то есть поставлена задача Каши. Решим вначале следующую задачу. Найти простейшим способом приближенное значение решения в некоторой точке x1=x0+h где -достаточно малый шаг. Уравнение (4.2) совместно с начальным условием (4.3) задают направление касательной искомой интегральной кривой в точке M0 с координатами (x0,y0)Уравнение касательной имеет вид
y= y0+fx0,y0(x-x0)Двигаясь вдоль этой касательной, получим приближенное значение решения в точке x1:
y1= y0+fx0,y0x1-x0или
y1= y0+h·fx0,y0 (4.4)
Располагая приближенным решением в точке M1(x1,y1) можно повторить описанную ранее процедуру: построить прямую проходящую через эту точку с угловым коэффициентом f(x1,y1), и по ней найти приближенное значение решения в точке x1= x1+h.
Заметим, что эта прямая не является касательной к реальной интегральной кривой, поскольку точка M1 нам не доступна, однако если достаточно мало то получаемые приближенные будут близки к точным значениям решения.
Продолжая эту идею, построим систему равно отстоящих точек
xi= x0+i·hi=0,n.
Получение таблицы значений искомой функции yx по методу Эйлера заключается в циклическом применение формулы
yi+1=yi+∆yi=yi+h·f(xi,yi) (4.5)

Рисунок. 4.1. Геометрическая иллюстрация метода Эйлера
Решение ОДУ в некоторой точке xi называется устойчивым, если найденное в этой точке значение функции yi мало изменяется при уменьшении шага интегрирования. Для проверки устойчивости, таким образом, надо провести два расчета значения (yi) – с шагом интегрирования 2h и при уменьшенной (например, двое) величине шага. В качестве критерия устойчивости можно использовать малость относительного изменения полученного решения при уменьшении шага интегрирования
ε=y2hi-yhiy2hiгде y2hi - решение, рассчитанное с шагом 2h , yhi – решение, рассчитанное сшагом h .
2. Усовершенствованный метод Эйлера
Точность метода Эйлера можно повысить, если воспользоваться для аппроксимации интеграла более точной формулой интегрирования –формулой трапеций.
Основная идея этого метода: вычисляемое по формуле (4.5) очередное значение yi+1= yi+h·fxi,yi будет точнее, если значение производной, то есть угловой коэффициент прямой замещающей интегральную кривую на отрезке xi,xi+1 будет вычисляться не по левому краю (то есть в точке xi), а по центру отрезка xi,xi+1. Но так как значение производной между точками xi и xi+1 не вычисляется, то перейдем к сдвоенным участкам xi-1,xi+1 центром, в которых является точка xi, при этом уравнение прямой получает вид:
y= yi-1+fxi,yi·(x-xi-1) (4.6)
А формула (5) получает вид
yi+1=yi+∆yi=yi-1+2h·f(xi,yi) (4.7)
Формула (4.7) применена только для i≥1, следовательно, значения y1 по ней получить нельзя, поэтому yi находят по методу Эйлера, при этом для получения более точного результата поступают так: с начала по формуле (4.5) находят значение
y12= y0+h2·fx0,y0 (4.8)
В точке x12=x0+h2, а затем находится y1по формуле (4.7) с шагом h2y1= y0+h∙fx12,y12 (4.9)
После того как y1 найдено дальнейшие вычисления при i=1,2,3,….,n производится по формуле (4.7)
y2= y0+2h·fx1,y1….
3. Модифицированный метод (Эйлера-Коши)
Повысить точность и устойчивость вычисления решения можно с помощью неявного метода Эйлера следующего вида.
Прогноз:
yi+1= yi+h·fxi,yi (4.10)
Коррекция:
yi+1=yi+h∙fxi,yi+fxi+1,yi+12 (4.11)
Геометрически это означает, что с начало определяется направление интегральной кривой в исходной точке (xi,y1) и во вспомогательной точке xi+1,yi+1, а в качестве окончательного направления берется среднее значение этих направлений.
Благодаря более точной формуле интегрирования, погрешность метода пропорциональна уже квадрату шага интегрирования.
4. Метод Рунге-Кутты
Воспользовавшись хорошо зарекомендовавшей себя формулой Симпсона, можно получить еще более точную формулу для решения задачи Коши для ОДУ первого порядка -  широко используемого в вычислительной практике метода Рунге-Кутты.
В формуле Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла используются значения подинтегрального выражения в  трех точках. В интеграле их всего две, поэтому введем дополнительную точку в середине отрезка [xi+1 , xi].
xi+12=xi+h2тогда можно определить так
yi+1=yi+xi+12-hxi+12+hfx,ydxyi+1=yi+h6fx,y+4fxi+h2,yi+h2+fxi+1,yi+1Полученное выражение является неявным, так как в правой части содержатся  еще не определенные значения функции yi+h/2 и yi+1. Чтобы воспользоваться этой формулой, надо использовать некоторое приближение для вычисления этих значений yi+h2, yi+1.
 yi+1=yi+h6fxi,yi+4fxi+h2,yi+h2+fxi+1,yi+1При использовании различных методов приближенного вычисления этих величин, получаются выражения для методов Рунге-Кутты различного порядка точности.
Алгоритм Рунге-Кутты четвертого порядка - (погрешность порядка h4):
yi+1=yi+16k0+2k1+2k2+k3где
k0=h* fxi,yik1=h* fxi+h2,yi+k02k2=h* fxi+h2,yi+k12k3=h* fxi+h,yi+k2Алгоритм четвертого порядка требует на каждом шаге четырех вычислений функции соответственно, но является весьма точным.
Задание к лабораторной работе №4
Таблица 4.1 – Исходные данные для выполнения самостоятельного задания

варианта Функции Начальные условия Интервал
1 y'=yx+x2yx0=1x∈1,2, 2 y'=yx+x3 yx0=0.1.x∈0.5, 1.53 y'=-x*y-x3yx0=1.1x∈0.5, 1.54 y'=arctgx+2x*sin⁡(x)yx0=1x∈π2, π2+15 y'=yx+2+2x+x2, yx0=2x∈0 , 16 y'=2xy-yx2+1+x2yx0=1x∈2, 37 y'=-2x*y-2x3yx0=3x∈1, 28 y'=yx+5x*cos⁡(x)yx0=1x∈π5, π5+19 y'=-x*y-x4yx0=2x∈1, 210 y'=-y*tgx+cos2⁡(x)yx0=1x∈0, 111 y'=3yx+x3exyx0=ex∈1, 212 y'=-2yx+x-2yx0=1x∈3, 413 y'=4x*y+xyx0=0.75x∈1, 214 y'=-2x*y+2xe-x2yx0=5x∈1, 215 y'=-y*tgx+2sin⁡(x)yx0=1x∈π4, π4+116 y'=-3yx+2x3,yx0=3x∈1, 217 y'=3x(x-y)1+x2+2x3yx0=5x∈0, 118 y'=yx-2lnxxyx0=1ex∈e, e+119 y'=2y1+x+(1+x)3yx0=2x∈0, 120 y'=yx+9x3yx0=1x∈2, 321 y'=yx+xxyx0=1x∈1, 222 y'=-yx+(1+x)exxyx0=ex∈1, 2 Вариант выполнения работы соответствует порядковому номеру в журнале проведения занятий преподавателя. Данные выбираются из табл.4.1.
Для заданной функции y = f(x) выполнить следующее:
1. Подобрать оптимальный шаг интегрирования дифференциального уравнение методом Эйлера при котором относительное изменение решения составит 5%. Первоначальный шаг h выбрать равным 1/10 интервала интегрирования. Последующие шаги уменьшать в 2 раза. Используя программу расчета в среде Mathcad проверить результаты.
2. Решить дифференциальное уравнение усовершенствованный методом Эйлера взяв шаг интегрирования из пункта 1. Проверить результаты используя Mathcad .
3. Решить дифференциальное уравнение модифицированным методом Эйлера-Коши взяв шаг интегрирования из пункта 1. Проверить результаты используя Mathcad .
4. Решить дифференциальное уравнение методом Рунге-Кутты взяв шаг интегрирования из пункта 1. Проверить результаты используя Mathcad.
5. Сравнить точность расчетов приведенных методом.
Содержание отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
1. Титульный лист, оформленный согласно приложению 1;
2. Условие задания и порядок выполнения расчетов.
3. Протокол работы в виде документа Mathcad с текстовыми блоками заголовков заданий и формульных блоков их выполнения по каждому пункту заданию согласно своему варианту;
4. Выводы о проделанной работе.
Контрольные вопросы
1. Объяснить суть решения дифференциального уравнения методом Эйлера.
2. Объяснить суть решения дифференциального уравнения усовершенствованный методом Эйлера .3. Объяснить суть решения дифференциального уравнения модифицированным методом Эйлера-Коши.
4. Объяснить суть решения дифференциального уравнения методом Рунге-Кутты .Лабораторная работа №5
РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Целью работы исследовать методики решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в интегрированной среде MathCad
Содержание работы
Исследовать матричный метод (метод Крамера) решения СЛУ;
Исследовать метод Гаусса;
Исследовать метод простой итерации (метод Якоби);
Исследовать метод Зейделя.
Перечень необходимых материалов, реактивов, приборов, оборудования
Лабораторная работа проводится в компьютерном классе с сетевым оборудованием со следующим программным обеспечением: ОС MS Windows XP и выше, офисный пакет OpenOffice, система инженерных и математических расчетов MathCad.
Методические указания
1. Матричный метод (метод Крамера)
Требуется найти решение системы m линейных уравнений, которая записывается в общем виде как
a11x1+a12x2+…+a1mxm=f1a21x1+a22x2+…+a2mxm=f2…am1x1+am2x2+…+ammxm=fm (5.1)
Эту систему уравнений можно записать также в матричном виде:
Ax=f (5.2)
где
A=a11a12…a1ma21a22…a2m…am1am2…amm, f=f1f2⋯fm, x=x1x2⋯xm,A – матрица системы, f– вектор правых частей, x– вектор неизвестных.
При известных A и fтребуется найти такие (x1,x2,….xm), при подстановке которых в систему уравнений она превращается в тождество.
Необходимым и достаточным условием существования единственного решения СЛАУ является условие det A≠0, т.е. определитель матрицы A не равен нулю. В случае равенства нулю определителя матрица A называется вырожденной и при этом СЛАУ либо не имеет решения, либо имеет их бесчисленное множество.
При небольшой размерности системы m (m = 2,…,5) на практике часто используют формулы Крамера для решения СЛАУ:
xi=detAidetA, (i = 1, 2, …, m)2. Метод Гаусса
Наиболее известным и популярным прямым методом решения СЛАУ является метод Гаусса. Этот метод заключается в последовательном исключении неизвестных. Пусть в системе уравнений
a11x1+a12x2+…+a1mxm=f1a21x1+a22x2+…+a2mxm=f2…am1x1+am2x2+…+ammxm=fm (5.3)
первый элемент a11≠0 . Назовем его ведущим элементом первой строки. Поделим все элементы этой строки на a11 и исключим x1 из всех последующих строк, начиная со второй, путем вычитания первой (преобразованной), умноженной на коэффициент при x1 в соответствующей строке. Получим
x1+a(1)12x2+…+a(1)1mxm=f(1)1a(1)21x1+a(1)22x2+…+a(1)2mxm=f(1)'2…a(1)m1x1+a(1)m2x2+…+a(1)mmxm=f(1)m (5.4)
Если a22≠0 , то, продолжая аналогичное исключение, приходим к системе уравнений с верхней треугольной матрицей
x1+a(1)12x2+…+a(1)1mxm=f(1)1 x2+…+a(2)2mxm=f(2)2… xm=f(m)m (5.5)
Из нее в обратном порядке находим все значения xixm=f(m)mxm-1=f(m-1)m-1-a(m-1)m-1*xm…x1=f(1)1- a(1)12x2-…-a(1)1mxm (5.6)
Процесс приведения к системе с треугольной матрицей называется прямым ходом, а нахождения неизвестных – обратным. В случае если один из ведущих элементов равен нулю, изложенный алгоритм неприменим. Кроме того, если какие–либо ведущие элементы малы, то это приводит к усилению ошибок округления и ухудшению точности счета. Поэтому предварительно необходимо выбирать главный элемент путем перестановки строк, а также столбцов с соответствующей перенумерацией коэффициентов и неизвестных так, чтобы выполнялось условие:aii(0)≥aij(0), j = i+1, i+ 2, …, m;т.е. осуществляется выбор первого главного элемента. Переставляя уравнения так, чтобы в первом уравнении коэффициент a11 был максимальным по модулю. Разделив первую строку на главный элемент, как и прежде, исключают x1 из остальных уравнений. Затем для оставшихся столбцов и строк выбирают второй главный элемент и т.д.
3. Метод простой итерации (метод Якоби)
Пусть требуется решить систему линейных уравнений, которая в матричном виде записывается как:
Ax=f,
где
a11x1+a12x2+…+a1mxm=f1a21x1+a22x2+…+a2mxm=f2…am1x1+am2x2+…+ammxm=fm (5.7)
Предположим, что диагональные элементы матриц A исходной системы не равны 0 (aii ≠ 0, i = 1, 2, …, n). Разрешим первое уравнение системы относительно x1, второе относительно x2 и т.д. Получим следующую эквивалентную систему, записанную в скалярном виде:
x1=1a11f1-a12x2+a13x3+…+a1mxm x2=1a22f2-a21x1+a23x3+…+a2mxm ***xm=1ammfm-am1x1+am3x3+…+amm-1xm-1 (5.8)
Теперь, задав нулевое приближение x(0)i , по рекуррентным соотношениям (5.8) можем выполнять итерационный процесс, а именно:
x1(1)=1a11f1-a12x2(0)+a13x3(0)+…+a1mxm(0) x2(1)=1a22f2-a21x1(0)+a23x3(0)+…+a2mxm(0) ***xm(1)=1ammfm-am1x1(0)+am2x2(0)+…+amm-1xm-1(0) (5.9)
Аналогично находятся следующие приближения xi(2), где в (5.9) вместо xi(0) необходимо подставить xi(1).
Условие окончания итерационного процесса
maxxi(k+1)-xi(k)<ε (5.10)
Достаточное условие сходимости.
Если выполнено условие диагонального преобладания, т.е. ,
aii>j=1i≠jnaij, i=1,2,…,mто итерационный процесс сходится при любом выборе начального приближения. Если исходная система уравнений не удовлетворяет условию сходимости, то ее приводят к виду с диагональным преобладанием.
Выбор начального приближения влияет на количество итераций, необходимых для получения приближенного решения. Наиболее часто в качестве начального приближения берут
xi(0)=βi=fiaii (5.11)
или xi(0)=0.
4. Метод Гаусса – Зейделя
Расчетные формулы имеют вид:
xi(k+1)=1aiifi-j=1i-1aijxj(k+1)-j=i+1naijxj(k) (5.12)
т.е. для подсчета i–й компоненты (k+1) –го приближения к искомому вектору используется уже вычисленное на этом, т.е. (k+1) – м шаге, новые значения первых i–1 компонент.
Подробные формулы имеют вид:
x1(k+1)=1a11f1-a12x2(k)-a13x3(k)-…-a1mxm(k)x2(k+1)=1a22f2-a21x1(k+1)-a23x3(k)-…-a2mxm(k) (5.13)
xm(k+1)=1ammfm-am1x1(k+1)-am2x2(k+1)-…-amm-1xm(k)Достаточное условие сходимости этого метода такое же, как и для метода простой итерации, т.е. диагональное преобладание:
aii>j=1i≠jnaij, i=1,2,…,mНачальное приближение: xi(0)=0.
Задание к лабораторной работе №5
Таблица 4.1 – Исходные данные для выполнения самостоятельного задания
№ В Система линейных уравнений № В Система линейных уравнений
1 13
2 14
3 15
4 16
5 17
6 18
7 19
8 20
9 21
10 22
11 23
12 24
Решить систему линейных уравнений:
Решить СЛАУ матричным методом и сравнить результаты с расчетом в среде Mathcad;
Решить СЛАУ методом Гаусса;
Решить СЛАУ методом простой итерации;
Решить СЛАУ методом Зейделя.
Содержание отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
1. Титульный лист, оформленный согласно приложению 1;
2. Условие задания и порядок выполнения расчетов.
3. Протокол работы в виде документа Mathcad с текстовыми блоками заголовков заданий и формульных блоков их выполнения по каждому пункту заданию согласно своему варианту;
4. Выводы о проделанной работе.
Контрольные вопросы
1. Объяснить суть метода решения СЛАУ метод Крамера;
2. Объяснить суть метода решения СЛАУ методом Гаусса;
3. Объяснить суть метода простой итерации. Условия сходимости метода;
4. Объяснить суть метода Зейделя. Условия сходимости метода.
Лабораторная работа №6
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Целью работы является исследование установившихся рабочих режимов сложных схем замещения электрических цепей на базе применения аппарата матриц и элементов топологической теории графов.
Содержание работы
1. Исследование установившегося режима цепи методом контурных токов;
2. Исследование установившегося режима цепи методом узловых напряжений.
Перечень необходимых материалов, приборов, оборудования
Лабораторная работа проводится в компьютерном классе с сетевым оборудованием со следующим программным обеспечением: ОС MS Windows XP и выше, офисный пакет OpenOffice, система инженерных и математических расчетов MathCad.
Методические указания
Режим любой электрической цепи, например изображенной на рис.6.1, однозначно определяется законами Кирхгофа. Вид уравнений электрического состояния цепи, зависит только от схемы соединения ветвей, т.е. от топологической структуры цепи, и не зависит от вида параметров самих элементов. В таком случае, ветви, содержащие различные двухполюсные элементы, можно представлять просто линиями, а структуру цепи - совокупностью этих линий, которая называется графом электрической цепи (рис.6.2). Отрезок линии, соответствующий ветви схемы, называется ветвью графа. Граничные точки ветви графа называют узлами графа. Ветвям графа может быть дана определенная ориентация, указанная стрелкой.

Рисунок 6.1 Электрическая схема

Рисунок 6.2 Граф электрической цепи
Подграфом графа называется часть графа, т.е. это может быть одна ветвь или один изолированный узел графа, а также любое множество ветвей и узлов, содержащихся в графе.
В теории электрических цепей важное значение имеют следующие подграфы:
Путь – это упорядоченная последовательность ветвей, в которой каждые две соседние ветви имеют общий узел, причем любая ветвь и любой узел встречаются на этом пути только один раз. Например, в схеме на рис. 6.2 ветви 3-6; 2-5; 3-4-5; 1 образуют пути между одной и той же парой узлов 1 и3. Таким образом, путь – это совокупность ветвей, проходимых непрерывно.
Контур – замкнутый путь, в котором один из узлов является начальным и конечным узлом пути. Если между любой парой узлов графа существует связь, то граф называют связным.
Дерево – это связный подграф, содержащий все узлы графа, но ни одного контура. Примерами деревьев для графа на рис. 6.2 могут служить фигуры на рис. 6.3.

Рисунок 6.3 Примеры деревьев графа
Для аналитического описания структуры электрических цепей применяют топологические матрицы: соединений (узловая) [A] и контуров [В].
Матрица соединений, ее размерность: число строк = число узлов - 1; число столбцов = число ветвей. Матрица состоит из элементов: 1, -1, 0. Если ток ветви подходит к данному узлу то 1, если отходит то -1, если ветви нет то 0.

Матрица главных контуров, ее размерность: число строк = число контуров - 1; число столбцов = число ветвей. Каждая ветвь должна входить только в один контур. Если ветвь входит в контур и ее направление совпадает с обходом контура то 1, не совпадает -1, ветви нет в контуре 0.

Отметим, что для матриц А, В, составленных для одного и того же графа, должно выполнятся соотношение
А*ВТ=0. (6.1)
Матрицы исходных данных и исходных токов

Рисунок 6.4 Обобщенная ветвь с источниками ЭДС и тока
I=I0-J=U0+ER (6.2)
Размерности матриц источников тока, ЭДС, сопротивлений и искомых токов определяются количеством ветвей
J=00000-J; E=E10000-E6; R=R100000 0R20000 00R3000000R4000000R5000000R6 ; I=I1I2I3I4I5I6 [вх1] [вх1] [вхв] [вх1]
Закон Ома в матричной форме
Для обобщенной ветви представленной на рис.6.4 получим
U0=R*I0-J-E.
Это соотношение в матричной форме для всех ветвей схемы
U0=R*I0-J-E. (6.3)
Первый закон Кирхгофа в матричной форме
Очевидно, что умножив матрицу соединений на матрицу искомых токов мы получим I закон Кирхгофа: A*I0=0 так как I0=I+J , то
A*I=-A*J (6.4)
Второй закон Кирхгофа в матричной форме
Если обе части уравнения закона Ома умножить на матрицу главных контуров В и учесть , что В*U0=0B*R*I0-J=B*E . (6.5)
Метод контурных токов
В качестве независимых переменных (контурных токов) принимают токи ветвей связи. Для рассматриваемого примера ветви связи : 1-2 с током I3; 2-3 с током I6; 1-3 с током I1. Если транспонировать матрицу контуров и умножить на матрицу контурных токов то получим матрицу обобщенных токов ветвей I0.
I0=BT*Ik. (6.6)
где : BT - транспонированная матрица контуров;
Ik - столбец матрица контурных токов.
Из уравнения II закона Кирхгофа (6.5) с учетом (6.6) получим
B*R*BT*Ik=B*E+B*R*J
откуда выразим контурный ток
Ik=(B*R*BT)-1*(B*E+B*R*J) (6.7)
Метод узловых потенциалов
Матрица узловых потенциалов:
φ=A*G*AT-1*(-A*G-A*G*E) (6.8)
где G=1R - диагональная матрица проводимостей.
Матрица токов ветвей
I0=G*(AT*φ+E) (6.9)
Напряжения ветвей
U=AT*φ (6.10)
Задание к лабораторной работе №6
В соответствии с вариантом задания выполнить расчет электрической цепи методами контурных токов и узловых напряжений. Выполнить проверку решения путем составления баланса мощностей. Вариант схемы выбирается по журналу преподавателя.

Вариант 1 Вариант 2

Вариант 3 Вариант 4

Вариант 5 Вариант 6

Вариант 7 Вариант 8

Вариант 9 Вариант 10

Вариант 11 Вариант 12

Вариант 13 Вариант 14

Вариант 15 Вариант 16

Вариант 17 Вариант 18

Вариант 19 Вариант 20
Таблица 6.1 Параметры схемы
Е1Е2Е3 Е4Е5 Е6R1 R2 R3 R4 R5 R6 J6
В В В В В В Ом Ом Ом Ом Ом Ом А
10 20 30 15 25 35 10 15 12 25 30 15 5
Содержание отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
1. Титульный лист, оформленный согласно приложению 1;
2. Условие задания и порядок выполнения расчетов.
3. Протокол работы в виде документа Mathcad с текстовыми блоками заголовков заданий и формульных блоков их выполнения по каждому пункту заданию согласно своему варианту;
4. Выводы о проделанной работе.
Контрольные вопросы
Сформулируйте основные топологические понятия для электрических цепей.
Как составляется узловая матрица?
Как составляется такое контурная матрица?
Как выполняется расчет электрической цепи методом контурных токов?
Как выполняется расчет электрической цепи методом узловых напряжений?
Как выполнить расчет баланса мощности?
Лабораторная работа №7
АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ Mathcad
Целью работы является исследование переходного процесса в цепях постоянного тока операторным методом с применением ЭВМ.
Содержание работы
1. Исследование переходного процесса в цепи постоянного тока операторным методом . с использованием Mathcad.
Перечень необходимых материалов, приборов, оборудования
Лабораторная работа проводится в компьютерном классе с сетевым оборудованием со следующим программным обеспечением: ОС MS Windows XP и выше, офисный пакет OpenOffice, система инженерных и математических расчетов MathCad.
Методические указания
Сущность операторного метода заключается в том, что решение задачи анализа цепи переносится из области функций действительного переменного t в область функций комплексного переменного p = σ + jω. В результате система интегро-дифференциальных уравнений переменной t заменяется системой алгебраических уравнений комплексной переменной p. Далее по полученному результату решения алгебраических уравнений выполняется обратный переход в область функций действительного переменного. Базируется операторный метод на преобразованиях Лапласа.
Из курса математического анализа известно, что если f(t) имеет ограниченный рост, то интеграл
Fp=0∞ft*eptdt (7.1)сходится абсолютно и является аналитической функцией комплексного переменного p = σ + jω.
Интегральное уравнение (7.1) является прямым преобразованием Лапласа; функция f(t) называется оригиналом , а F(p) – изображением по Лапласу.
Таблица 7.1 Изображения типовых функций
f(t) Аeatsinωtcosωtdf(t)dt0tf(t)dtF(p) Ар1p-aωω2+p2pω2+p2pFp-f(0)F(p)pДля нахождения изображения функции в среде Mathcad используется команда "laplace", расположенная в символьной панели инструментов.
Формат записи команды: eαt laplace → - 1α-s. Заметим, что для программы Mathcad оператор записывается буквой s, а не p!
Для нахождения неизвестных величин операторным методом можно пользоваться известными электротехническими законами и методиками: законы Ома, Кирхгофа, метод контурных токов, узловых напряжений и т.д. Для составления уравнений в операторном виде первоначально электрическую схему преобразовывают к операторной форме с учетом следующих изображений:
- изображение напряжения на индуктивном элементе
uLt=>Lp*Ip-Li(0) (7.2)
где i(0)- начальные условия

Рисунок 7.1 Схема замещения индуктивного элемента в операторной форме
- изображение напряжения на емкостном элементе
uCt=>IpCp+uc(0)p (7.3)где uc(0)- начальное условие (напряжение которое было на емкости до коммутации).

Рисунок 7.2 Схема замещения емкостного элемента в операторной форме
Закон Ома в операторной форме

Рисунок 7.3 Схема замещения ветви
Umnp=IppR+IppLp+Ipp1Cp-Li0+uc(0)p-E(p)Ip=Umnp+Li0-uc(0)p+E(p)R+Lp+1Cp (7.4)Первый закон Кирхгофа
k=1nIkp=0 (7.5)Второй закон Кирхгофа
k=1mEkp+Lkik0-uck0p=k=1mR+pL+1Cp*Ikp (7.6) Переход от изображения к оригиналу осуществляется либо по табличным данным для стандартны функций, или с использованием формулы разложения. Для выполнения лабораторной работы в среде Matcad переход от изображения к оригиналу осуществляется командой "invlaplace", расположенная в символьной панели инструментов.
Формат записи команды: .
Пример:
Определить ток в ветви источника ЭДС и напряжение на ёмкости после замыкания ключа. Исходные данные: E=10В, L= 20*10-3 Гн, R=10 Ом, С=500 мкФ, Rн= 5 Ом. Начальные условия нулевые.

Рисунок 7.4 Разветвленная схема
Дифференциальное уравнение по II закону Кирхгофа-
E*1t=it*R+Ldi(t)dt+Uc(t)Дифференциальное уравнение по I закону Кирхгофа-
i(t)=ic(t)+iн(t)Учитывая, что ict=Cductdt, iнt=uctRн , данное уравнение запишется в виде
i(t)=Cductdt+uctRнСДУ в форме Коши
di(t)dt=1LE*1t-it*R-Uc(t)ductdt=1Cit-Uc(t)RнВ матричной форме
ddti(t)uct=-RL-1L1C-1RнC*i(t)uct+EL0*1(t)Применим к СДУ прямое преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях:
p*I(p)Uc(p)=-RL-1L1C-1RнC*I(p)Uc(p)=EpL0Перенесем слагаемые с неизвестными в левую часть полученной СЛАУ
p+RL1L-1Cp+1RнC*I(p)Uc(p)=EpL0Методом Крамера используя Mathcad найдем неизвестные IpиUc(p) и определим корни характеристического уравнения. Операции с определителями необходимо выполнять в символьной форме.

Рисунок 7.5 Листинг программы определения корней методом Крамера.

Рисунок 7.6 Листинг программы определения корней характеристического уравнения
Получив соотношения полиномов ∆i∆ и ∆uc∆ найдем оригиналы тока в ветви ЭДС и напряжения на емкостном элементе.

Рисунок 7.7 Листинг программы перехода от изображения к оригиналу
После упрощения выражений оригиналов построим зависимости i(t) и uct на интервале [0-0.2].

Рисунок 7.8 Зависимость тока ветви источника ЭДС i(t)
Рисунок 7.9 Зависимость напряжения на емкостном элементе uctСодержание отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
1. Титульный лист, оформленный согласно приложению 1;
2. Условие задания и порядок выполнения расчетов.
3. Протокол работы в виде документа Mathcad с текстовыми блоками заголовков заданий и формульных блоков их выполнения по каждому пункту заданию согласно своему варианту;
4. Выводы о проделанной работе.
Контрольные вопросы
1. Для чего применяется операторная форма записи дифференциального уравнения?
2. Операторные формы записи закона Ома, Кирхгофа.
3. Схемы замещения в операторной форме активного , емкостного и индуктивного элементов.
4. Какие команды среды Mathcad позволяют перейти от оригинала к операторной форме Лапласа и обратно?
Основная литература
1. Электрические системы. Математические задачи электроэнергетики: Учебник для студентов вузов/ под ред. В.А. Веникова.- М.: Высшая школа, 2014.-288с.
2. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем: Учебник для вузов. – Мн.: Дизайн – ПРО, 2011. – 640 с.
3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. 3-е изд., перераб. и доп. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. 632 сДополнительная литература
4. Очков В. Ф. MathCAD 14 для студентов и инженеров /В. Ф. Очков. – СПб. : БХВ-Петербург, 2012. – 512 с.
5. Исаев Ю.Н. Математическое моделирование в электроэнергетике. / Исаев Ю.Н. 2014 – 110 с.
Приложение 1Форма титульного листа к отчету по лабораторной работеФГБОУ ВПО Кубанский государственный технологический университет
(КубГТУ)
Кафедра электротехники и электрических машин
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1
по дисциплине: «Математическое моделирование в электротехнике»
на тему: «Решение нелинейных уравнений»
Выполнил
студент группы 13-НБ-ЭЭ2
Иванов А.В.
Проверил
к.т.н., доц.
Автайкин И.Н.
Краснодар
2015
Приложение 2
Листинг программы нахождения корня
методом деления отрезка пополам

Приложение 3
Листинг программы нахождения корня
методом хорд

Приложение 4
Листинг программы нахождения корня
методом простых итераций

Приложение 5
Листинг программы нахождения корня
методом Ньютона

Приложение 6
Листинг построения интерполяционного многочлена
Лагранжа в Mathcad

Приложение 7
Листинг программы решение обыкновенного дифференциального уравнения методом Эйлера

Приложение 8
Листинг программы решение обыкновенного дифференциального уравнения модифицированным методом Эйлера

Приложение 9
Листинг программы решения СЛАУ методом Крамера в Mathcad

Приложение 10
Листинг программы расчета цепи методами контурных токов и узловых потенциалов в матричной форме


Составители:
Автайкин Илья Николаевич
Кашин Яков Михайлович
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ
Методические указания к выполнению лабораторных работ
для студентов для студентов всех форм обучения и МИППС направления 140400.62
Электроэнергетика и электротехника
Технический редактор
Набор текста
Выполнение рисунков
А.С. Семенов
Д.Н. Мозговой, В.С. Завада
А.С. Рожков, Д.А. Блинников
И.А. АвтайкинКомпьютерная верстка
Дизайн обложки О.Д. Домашенко
О.Д. Домашенко
Подписано в печать Формат 60х84 1/16
Бумага офсетная Трафаретная печать
Печ. л. Изд. № ___
Усл. печ. л. Тираж 50 экз.
Уч.-изд. л. 1,18 Заказ № ____
Кубанский государственный технологический университет
350072, Краснодар, Московская, 2а
Отпечатано в ООО «Издательский Дом – Юг»
350072, г. Краснодар, ул. Московская, 2, корп. «В», оф. В-120
тел. 8-918-41-50-571
e-mail: olfomenko@yandex.ru Сайт: http://id-yug.com

Приложенные файлы

  • docx 586464
    Размер файла: 8 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий