теормех


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
АВТОМОБИЛЬНО
МОСКВА
МОСКОВСКИЙ
АВТОМОБИЛЬНО
ДОРОЖНЫЙ
ИНСТИТУТ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ



реɞакцией
Ермакова
области
машин
транспортно
качестве
ɭчебного
стɭɞентов
обɭчающихся
направлению
поɞготовки
специалистов
транспортно
технологические
комплексы
МОСКВА
УДК
Рецензенты
каɮеɞрой
механика
примеры
решения
Изɞание

.
.
.
.
.
Ермакова
соɞержит
22
статике
аналитической
30
машины
инститɭт
госɭɞарственный
завеɞɭющего
ГТУ
Жигарева
наɭка
изɭчаются
такие
сопротивление
пособие
стɭɞентов
технических
циальностей
ɭглɭбления
самостоятельно
выполнять
заɞания

,

.
(P;Q;G;F)
AAAC
(X;Y;ZR;N;S)

бɭɞет
реакции
направляется
провеɞенной
A
опорной
Гибкий
веревка
Гибкий
растяжение

помощи
сɮе
направляется
2,
заменя
2
Цилинɞрический
шарнира
).
цилинɞрическом
составляющие
реакции
222
AAA
RXY
поɞвижного
цилинɞ
шарнира
Цилинɞрический
может
цилинɞрические
поɞшипники
составляющих

;;;
AABB
ZXZ
вертикальный
имеет
опоры
A
цилинɞрический
опора
B
A
составляющие
поɞшипнике
такого
составляющих

AAA
,Y,Z
виɞ
теоретически
Ay
составляющие




1


AAA
,Y,Z
AxAyAz
M,M,M
2

схемах
Q,Q,P,F
Геометрические
a, b
аналитическим
. 1)
вектор
M(F)
M(F)=rF,

M(F)=|r||F|sin(r, F)=Frsin
=Fh.



















или


,

=+Fh;
=-Ph;
=0.
линия
пересекает
точкɭ
нɭлю
рассмотрим
коорɞинатных
M(F)
относительно
Oxyz
M(F)=Mi+Mj+Mk
. (1)
ijk
M(F)=rF=xyz,
FFF
i,j,k


Раскрывая
Ozyxzyx
M(F)=i(yF-zF)+j(zF-xF)+k(xF-yF).
(2)
силы
zyx
M=yF-zF,
M=zF-xF,
M=xF-yF.
вычислить
момент
перпенɞикɭлярнɭю
F=Fcos

)
zxy
M(F)=Fh=Fhcos

:
M(F)=0;
F0;
cos
h=0
-
линия
=0;F0;
h0;
cos
-
линия


бɭɞет
называется
равных
Q=-Q
лежит
привести
Вычислим
составляющих
ooBABABA
M(Q)+M(Q)=rQ+rQ=rQ-rQ=(r-r)Q=ABQ.
××××××
моментов
положения
опреɞеляется
m(Q,Q)
Q,Q
=ABQ.
m=|ABQ|=QABsin
=Qd
⋅⋅⋅
откɭɞа
хоɞа
стрелки
относительно
yzzy
yzxxz
zxyyx
m=(AB)Q-(AB)Q;
m=(AB)Q-(AB)Q;
m=(AB)Q-(AB)Q.
(AB)
(AB)
(AB)
-
проекции
ɞействия

аналитическом
-
направив
его
пары
вращение
-
моɞɭль
момента
m=Qd
-
момента
Пример
аналитическим
Моменты
расчета
силы
P-zP;
zyx
M(P)=zP-xP;
M(P)=xP-yP.
коорɞинаты
=DA;
=0;
z=DE.
DA=EK=BKtg
=tg
cos
DE=t
x=tg
cos
=0;
z=t
Вычислим
P=0;
P=-Pcos
P=Psin
M(P)=0-tg
(-Pcos
)=Pcos
=Psin
cos
⋅⋅⋅
aaa
M(P)=tg
0-tg
Psin
=-Ptg
cos
⋅⋅⋅⋅⋅
M(P)=tg
(-Pcos
)-0=-Ptg
cos
⋅⋅⋅
M(P)=Psin
M(P)=-Ptg
M(P)=-Ptg
a
a
a
аналитический
Вычислим
момент
относительно
плоскостью
h=sin
ɞлинɭ
положительного
виɞим
M(P)=+Ph=Psin
Вычислим
момент
значение
P=Psin
ɞействия
перпенɞикɭляр
DA=tg
cos
численного
виɞим
которое
ставим
yxz
M(P)=PDA=Psin
cos
−⋅−⋅=−⋅⋅
Вычислим
относительно
значение
P=Pcos
пересечения
перпенɞикɭляр
Составим
вращение
стрелки
zxy
M(P)PDAPcos
Ptg
cos
=−⋅=−⋅=−⋅
,
M(P)Psin
M(P)Ptg
=−⋅⋅
M(P)Ptg
=−⋅
Моменты
вычисления


F=Fsin
F=Fcos
F=F+F
расчета
силы
zyx
M(F)=yF-zF;
M(F)=zF-xF;
M(F)=xF-yF.
коорɞинаты
=0;
=0;
z=DE.
DE=tg
=0;

=0;
z=tg
Вычисляем
коорɞинат
1x2x1
F=F+F=F+0=Fsin
y1y2y2
F=F+F=0+Fcos
=Fcos
z1z2z2
F=F+F=0-Fsin
=Fcos
M(F)=0-tg
Fcos
cos
=-Fcos
=-Fsin
cos
cos
M(F)=tg
-0=Ftg
M(F)=0-0.
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
aaa
M(F)Fsin
cos
M(F)Ftg
M(F)=0.
=−⋅
аналитический
составляющие

Вычислим
относительно
x1x22
M(F)=M(F)+M(F)=0-Fh=-Fcos
sin

-
Если
стремится
вращение
ɞвижения
Вычислим
относительно
yy1y21
M(F)=M(F)+M(F)=FDE+0=Fsin
⋅⋅⋅
ɞействия
положи
направления
DE
Вычислим
относительно
zz1z2
=0.
ɞействия
M(F)=-Fsin
cos
M(F)=Ftg
M(F)=0.
резɭльтат
Моменты
Q,Q



Q,Q

m=KBQ
пары
d=KB=
cos
Q,Q
yZzy
yzxxz
zxyyx
m=(KB)Q-(KB)Q;
m=(KB)Q-(KB)Q;
m=(KB)Q-(KB)Q.

(KB)=0;
(KB)=KBcos
(KB)=-KBsin
=-sin
=-tg
Q=Q=Q;
Q=0;
Q=0.
m=0-(-tg
)0=0;
m=-tg
Q-0=-Qtg
m=0-Q=-Q.
аналитический
например
m=Qd=Q.
cos
m=0;
m=-msin
=-Qsin
=-Qtg
cos
m=-mcos
=-Qcos
=-Q.
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
полɭчили
m=0;
m=-Qtg
m=-Q.

NPQ
Величины
сил
силы
привести



1.
можно
плоскости
MFh

математик
механик
исслеɞования
посвящены
механике






























1 2 3 2 5 1,5 1,5
5 4 2 3 4 5 10
4 5 3 4 6 4 10
5 4 3 4 6 4 10
пространственная
система
сил
{,,...,}
FFF
)
моɞɭли
пɭчка

сил
RFFFF
=+++=
полɭчим
главный
onk
MMMMM
=++=

222
R()()()
xyz
RRR
′′′′
=++

n
;
zkz
222
oxyz
MMMM
=++
MmF
MmF
zzk
MmF
направляющие
cos(;)
cos(;)
cos(;)
cos(;)
o
cos(;)
o
cos(;)
Пример
показана
NPQ
; Q = 6
AB = 4
центр




:
2222
cos
0,832
ABBC
===
1cos10,8320,56
=−=−≅
2222
cos
0,8
ABCD
===
1cos10,80,6
=−=−=
Вычислим
sin
sin
20,5660,5640,81,28
xkx
RFNQP
==−−+=−⋅−⋅+⋅=−
cos
cos
20,83260,8323,33
yky
RFNQ
==−=⋅−⋅=−
40,62,4
zkz
RFP
===⋅=
моɞɭль
222222
()()()(
1,28
3,33
2,4
xyz
RRRR
′′′′
=++=−+−+
4,3
Вычислим
коорɞинат
()cos
20,832340,629,8;
xxk
MmFNCDPOA
==−⋅−⋅=
=−⋅⋅−⋅⋅≅−
()sin
sin
40,6420,56312,96;
yyk
MmFPABNCD
==−⋅−⋅=
=−⋅⋅−⋅⋅≅−
()sin
cos
sin
cos
20,56240,8260,56260,832435,3.
zzk
MmFNOAPOAQOAQAB
==−⋅−⋅−⋅−⋅=
=−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅=−
222222
9,8
12,96
35,3
oxyz
MMMM
=++=−+−+−
38,86
принимаем
тогɞа
3,33
0,06
1,28
21,3
0,06
2,4
0,06
моментов
,
принимаем
35,3
0,588
9,8
16,7
0,588
12,96
0,588
строим
главный


36
{;;;;}
FQQPG
b, c, d, e, r, h
составить
ɭравнения
равновесия
n
k
k
главный
ook
MmF
R
ɭравнений
равновесия
пространственной
составлении
число
ky
kz
F
F
kxk
kyk
kzk
37


38


39


40


41


42


43


44


45


46



47
Пример
{;;;;}
FQQPG
b, c, d, e, r, h

размеры
ɭглы
FAx
ɭравнения
равновесия

составляющие
составляющие

C
mQr
48
жительнɭю
коорɞи
mmQr
==⋅



1

sin
cos
sin
SSP
cos
Записываем
ɞействɭющих
cos
XSX
++=
cos
YFT
−−=
;
ACB
ZRFGSZ
+−−−+=
R F(b) G(2b)T2r
⋅−+−++⋅−
aaa

S(2b)Z(2bc)=0;
−++++
()0
2sin
SrFhRrQr
⋅−⋅−⋅+⋅=
(2)cos
(2)cos
bcSbFh
−++−⋅++⋅






. 29 31
2,
опирание
8 4 20 1
8 6 10 2
4 8 10 4
2 4 20 1
8 4 16 3
2 6 10 4
4 6 8 2
6 8 20 2
6 2 4 2
4 10 10 5
10 8 6 4
6 4 10 4
4 6 10 5
4 8 6 1
8 4 20 5
6 2 20 2
4 10 20 2
8 2 10 4
1 2 10 2
2 8 10 2
2 4 20 4
8 4 6 2
2 10 10 2
4 6 4 2
8 10 6 2
4 10 4 1
4 2 4 2
сил
центр



R

плоская
бɭɞет
коорɞинат
XOYZ


M






равновесия
бɭɞем
ɭравнений
2
3
ɮорма

быть

нагрɭзкɭ
прямоɭгольника
распреɞеленная
всегɞа
. 32
Величина
равноɞействɭющей
площаɞью
нагрɭзки
Q
Пример
q = 2

()0;
()0;
()0;
()0;
()0.
()0;

преɞставить
рис
заɞанные
= 0, X
cos
= 0, Y
) = 0, Q
= 0.
+ 2
+ 4,5
) 6
6 122 = 105,68
свиɞетельствɭет
составляющая


1
2,
соеɞине
межɞɭ
10 4 1
10 8 2
состоящие
межɞɭ
сɭществɭет





заморозки
записывают
составляют
заɞаче
использовать
Пример

констрɭкции

1
2
связей
нагрɭзкɭ
составляем
ɭравнения
ΣFkx = 0; F
= 0;
= 0; F
= 0;
= 0; -Q
= 0.
. 40
ɭравнения
ΣFkx = 0; -R
= 0; (4)
= 0; -Y
= 0; (5)
) = 0; R
M = 0. (6)
= X
= Y
ɭравнения
(6)
1,5
===
опреɞеляют
= 0; X
опреɞеляют

запишем
оɞно
ΣFkx = 0. F⋅cosα - XA - RD = 0; F
= 7,16 + 1,5; 8,66 = 8,66.
найɞены
63
составных
геометрические
констрɭкций
статике
сɭществɭет
Пример



A


B

64






65




66





67






68






69







70


)
F=0
PXX
F=0
cos
PYY
()0
111
cos
222
PPhXhY
−⋅+⋅−⋅=
,
,
mXhY
⋅−⋅=
Использɭем
запишем
71
XX=5;
Y8,66;
4X3Y=-16;
435.
(1)
системы
(1),
8X=11
X1,38
X=5X=51,38=6,38
Использɭя
Y8,66Y8,663,495,17
=−=−=
1,38
==−
3,49
X=6,38
Y5,17
1,38
3,49
составная
состоящая
: P = 10
= 2
= 6
A, B
Решение
равновесие
72
заменяем
равноɞейст
8
приклаɞываем
73
()0
0
3

====
335
2,5
F=0
;
X-X+Q=0
F=0
;
YXQ=0
a-a
;
BDC
X-X-X+Pcos
F=0
;
Psin
-Y-Y=0

DDC
-Y+Xh+Xh-Psin
′′′
F=0
mYm
⋅−=
X=X
Y=Y
системɭ
ɭравнений
74
DCB
XX8;
YY0;
6Y2X8;
XXX8,66;
2Y6X5;
XX0;
YY0;
m2Y5.
+−=
−+=
(2)
X1,44
Y1,81

X8X9,44
YY1,81
Y53,19;
BDC
XXX8,661,442,58,664,72;
+−=+−=−
XX4,72;
Y3,19;
m524523,1911,38.
+=+⋅=
X9,44;
Y1,81;
R2,5;
X4,72;

Y3,19;
m11,38.
75
ɮермɭ
внешние
стержнях
ɮермы
. 5255.
состоящая
прямолинейных
которые
Места
соеɞинения
цилинɞрическими
� 2
3 ,
имеются
2
3,
преɞставляет
ɮерма
которой
ɭзлов
= 8,
(AB)
-
расстояние
76




77






78



79










80
называются
треɭгольник
принимают
прямолинейные
шарниры
воспринимают
рассматривается
Расчет
составлении
ɭравнений
опреɞелении
стержнях
вырезания
сила
ɞействɭет
ɭзлɭ
стержня
81
составлении
внɭтрен
ɭсилия
ɭравнения
равновесия
+ ,
ɮормально
ɭказывает
заключается
рассекается
ɞве
оставшейся
части
82
ɞействɭют
нахоɞится
равновесии
плоская
)
сил
записать
равновесия
сɭществɭют
k=1
k=1
k=1
F0;
M()0.
M()0.
2-
3-
ɭравнений
равновесия
2-
ɮормɭ
3-
этом
сравнению
вырезания
k=1
k=1
k=1
F0;
F0;
M()0.
k=1
k=1
k=1
M()0.
M()0.
M()0.
83
Пример
стержнях
метоɞом
статическɭю
6
9
= 6,
= 9.
= 2
3,
9 = 26 3 = 9.
Ферма
опреɞеления
плоской
системы
112
cos60cos300;
kxB
FNFFN
=+−−=
84
223
sin60sin300;
kyB
FNFFN
=−−−=
122
()160cos60160sin604
4sin3050.
oooo
MFFtgFtgF
=−⋅⋅+⋅⋅−⋅−
−⋅−⋅=
ɭравнения
нахоɞим
(160cos60160
5sin30
ooo
NFtgFtg
=⋅⋅−⋅⋅+
4)0,4(1,7321,7326,92812)
+⋅=⋅−++=
=0,418,928=7,571
112
cos60cos30120,57,5710,866
NFFN
=−++=−+⋅+⋅=
116,5576,557
=−++=
85
223
sin60sin3020,86637,5710,5
NFFN
=++−=⋅+−⋅=
1,73233,7850,947
=+−=
ɭзла
A
B,
A.
A
равновесие
стержнях
направляем
A
A
имеют
112
cos600;
sin600.
FNSS
FNS
=++=
=+=
86
0,947
1,093
0,866
sin60
=−=−=−
211
cos606,557(1,093)0,56,01
SNS
=−−=−−−⋅=−
сжаты
2
C
составим
него
расчетнɭю
также
FSS
−+=
6,01,
ɭсилия
D.
схема
рис
ɭсилия
87
1156
135
cos60cos300,
sin60sin300.
FFSSS
FSSS
=−++=
=−−−=
= 0
513
6115
sin601,0930,86601,893,
0,5
sin30
cos60cos30
1(1,093)0,51,8930,8663,186.
SSS
SFSS
=−−=−−⋅−=
=−+−=
=−+−⋅−⋅=−
растянɭт
стержень
перехоɞить
E.
ɭсилия
88
459
573
cos300,
sin300.
FSSS
FSSF
=−−+=
=+−=
ɭравнений
945
735
cos306,011,8930,8664,371,
sin3031,8930,52,054.
SSS
SFS
=+=+⋅=−
=−=−⋅=
растянɭт
H.
является
628
782
cos60cos600,
sin60sin600.
FSFS
FSSF
=−−+=
=−−−=
3,186
24,372.
0,5
cos60
=+=+=−
8
найɞенного
782
sin60sin60(4,372)0,86620,866
2,054.
SSF
=−−=−−⋅−⋅=
89
7,
E
H,
B
Вырежем
B
рассмотрим
8
9
B
соответст

Расчетная
cos60cos300,
sin60sin300.
kxB
kyB
FSSN
FSN
=−−−=
=+=
системɭ
sin300,5
7,5714,371,
0,866
sin60
cos60cos30
4,371
0,57,5710,866
4,371.
SSN
=−=−⋅=−
=−−=−−⋅−⋅=
8
9
совпали
90
констрɭкцию
4, 5
6
ɭсилия
ɭравнений
равновесия
ɭравнений
sin300;
142
NCDSCDNAC
+⋅−⋅=
162
FCDSCDNAE
⋅−⋅−⋅=
60133.
CDACtg
=⋅=⋅=
ɭравнений
нахоɞим
0,947
1,894;
0,5
sin30
===
421
0,9476,5576,01;
SNN
=⋅−=⋅−=−
612
10,9473,187.
SFN
=−−⋅=−−⋅=−
4, 5, 6,





4
ɞвижения
y = y(t),
6t 1
2t 4t
2t + 1 0,5
t /3) 4cos(
4t 1
3t + 6 0,5
2sin(t + 2) 1
2t
t) 3sin(
4
t) 2 3cos(
1/4
(1)
-
центрɭ
. Mb
xyz
vvivjvv
⋅+⋅+
==⋅=⋅
проекции
коорɞинат
222
vvvv
вектора
cos(,)
cos(,)
cos(,)




системе
xyz
dvdr
ijk
===⋅+⋅+⋅
aaaa



aaaa
вектора
(,)
cos
a
a
(,)
cos
a
a
(,)
cos

⋅+⋅
aaa
xyz
vvv
dtv
aaa
касательное
раɞиɭс
aaa
если
=
Пример
1
2

2
t
ɭравнение
(1)1
=++
ɭравнение
Вычисляем
моментов
например
0,1


vxt
/
/
.

vvvtt
=++
()204,47/
v=vi
v=vj


0,1
смм
вектора
cos0,895
4,47
===
2224
249
xyz
+++
aaaa
1
527,21/
вектора
cos0,5547
7,21
===
Вычисление
4426
6,26/
4,47
xxyyzz
vvv
dtv
⋅+⋅
====
aaa
Вычисление
ɭскорения
222
7,216,263,57/
=−=
aaa

4,47
5,6
3,57
===
граɮике
0,1
смм
Характер
y = 1/8(x + 1)
+ 1
скорости

меняется
vtt
-
249
момент
ɭскорение
98
71-73
переɞаточные
ɭравнения
=
: v = v(t)
=
(t)
ɭгловое
ɭсловиях
(x
M
телом
1
привеɞены
Вращение

ɞвижении
тела
пере
99





100






101





102
5
(
/

,
/
1 0,4 1,2 0,8 0,4 0,2+t

2 0,5 1,5 2 0,2 0,4t
3 0,2 1,2 0,9 0,6 4
4 0,6 1,8 0,5 0,3 0,1+t

5 0,6 0,8 1,4 0,5 0,8+1,2t

6 0,5 0,4 1,2 0,6 0,8 2,4t

7 0,8 1,8 2 1,2 3
8 0,5 1,5 0,8 0,6 5
9 0,6 1,8 0,5 1,4 0,6t
10 0,8 2,4 0,9 1,0 1,2t
11 0,5 1,4 1,2 1,2 0,5+1,6t

12 0,8 1,2 1,4 0,8 0,8t
13 0,8 0,9 1,8 1,2 0,6 0,8t

14 1,2 1,9 1,5 0,5 1,8
15 0,9 0,4 1,2 0,8 1,6 0,4 1,2t

16 0,8 2,2 1,2 0,8 0,5+t

17 0,5 1,2 0,8
1,8 0,6 1,2t
18 0,4 0,9 0,6
1,2 0,4 0,8+1,2t

19 0,6 0,8 1,4 1,8 1,2 0,8t
20 1,2 0,4 2,4 0,5 2
21 0,6 2,4 0,8 0,8 1,5t
22 0,8 1,4 0,4 t
23 1,2 0,4 1,5 2 0,6 1,6
24 0,4 0,8 1,2
2 0,8 1,2t
25 0,6 2 0,8 1,2 2,5
26 0,8 1,4 1,
2 2 0,4 0,8+1,2t

27 0,5 1,5 0,8
1,2 0,6 0,8t
28 0,4 0,6 1,2 0,5 0,5 2t

29 0,8 1,2 0,5 1,
6 0,8 1,4t
30 0,4 1,4 0,6 1,2
0,8 1,2 4
103
Возьмем
Oz.
плоскости
бɭɞем
=
N
значение


значение
tdt
===

2


6030
104
любой
M
бɭɞет
SSt
MMS

vrrr
dtdt
=⋅=⋅=⋅
(1)
вращения
Ускорение
a=aa
, (
105
ɭскорение
222
===⋅
,
dvdd
rrr
dtdtdt
==⋅==⋅
,
ɭскорение
всегɞа
вращения

+=⋅+
a=aa
. (2)
ɭскорения

n
. (3)
тела
Характеристики
ɞвижения
)

ddt
ddtC
const
ddt
106
ddttdtC
ϕωe
±⋅+
∫∫∫
вращения
t
ϕϕω
=+±
вращении
зависимости
вокрɭг
системой
телом

(15.4.170718.9.1783).
Математик
механик
ɮизик
107
точки
можно
слеɞɭющем
rxiyjzk
=++
вектор
зависят

являются
ɮɭнкциями
как
враща
телом

drdidj
v==x+y
dtdtdt

didj
dtdt
=⋅=−⋅

ikj
didj
kikj
dtdt
=×=×
ɭгловой
Принимая


||||||
sin
vrr
=⋅⋅
v=h
0,
0
вращение
v=
108
Ускорение
вектора
ɭскорения
,()
=+⊥
aaaaa
dvdddr
rrrv
dtdtdtdt
ωωeω
==×=×+×=×+×
ɭскорений
||||
=⋅⋅
||||||
sin
=⋅⋅
a

осɭществляет
вращательного
помощи
109
2
1122
соотношения

2111
1222
====
, (4)
переɞача

ɞвижения
. 77

)
винта
0()
AASh
000
′′′
AAr
AAr
AAAA
110
hAA


S
. (5)
(5)
справеɞлива
V

v
,
. (6)
Пример

1
2
3

5


6
111
слеɞɭющие

V = 0,6t (

конца
=

точкой

= 70

2
3
пройɞет
0,6
Разɞеляя
0,6
dStdtC
0,3
StC
(0)0
0,3
()(0)0,3
SSSt
=−=
1,2
0,30,3
()0,60,621,2/
==⋅=
()1,2
0,4
ω===
(6)
вычисляем
121
0,04
30,02/
==ω=⋅≅
клина
2
vvtg
112
0,02700,055/
vtg
=⋅≅
является
большого
344
0,055
0,07
0,8
==≅
4
r
0,6
0,070,035
1,2
==⋅=
r
1,2
0,0350,053
0,8
==⋅=
0,053
Ускорение
0,6/
0,6
1,5
0,4
===
121
0,04
1,50,01/
===⋅≅
0,01700,027/
tgtg
==⋅=
0,027
0,034
0,8
===
0,6
0,0340,017
1,2
===
1,2
0,0170,026
0,8
===
0,0530,80,042/
==⋅=
вычисляем
42422
0,60,0530,0260,0157/
MBB
=+=+=
113
0,026
0,049
0,053
===
26,1
0,042/
0,0157/
26,1
114
. 80 85)
звена
ɞанный
плоском
плоскопараллельном
совершает
плоское
1,
1
тела
своей
115




116



117



118



119



120







121






1 2 2 4 3
1 2 3 4 3
2 2 3 4 2
1 2 3 4 2
1 2 3 4 3
2 2 3
2 1 2 6 2
2 2 1,6 4 1
1 2 3 4 2
2 1 2 5 2
1,4 2 2 4 3
1,6 1,8 2 4 2
1,2 2 2 4 3
2 1,2 2 6 2
1,4 2 3 2 1
2 1,4 2 4 2
1,4 2 3 4 3
1 2 3 5 2
1,6 2 3 6 3
1,2 2 2 6 2
1,4 1,6 3 4 1
1,2 1,4 2 4 2
1,4 2 3 4 1
1,2 1,6 2 3 2
1,6 1,8 2 4 1
1,2 2 3 6 2
1,4 1,6 3 4 2
1 2 4 8 2
1,4 1,8 3 6 2
1 2 2 6 2
122

/



/






1 2 1 0,5
2 4 0,5 2
2 2 2 1,2
2 0 1 0,5
1 2 2 0,5
1,5 2 0,8
1,2 1,8 3 1
2 0 1,2 0,8
1,6 1,4 3 4 0,8
1,4 1,8 4 1,2
2 1,4 0,8
1,4 2 4 0,5 2
1,2 2 3 0,5 2
1,2 1,8 2 4 0,8
1,4 1,8 3 0,5 0,8
1,2 2 4 0,4 0,8
2 0 2 3 0,6
1,4 3 0,8
1,2 1,6 2 4 0,6 1,2
1,4 2 4 0,8 2
1 2 4 0,6 1,4
1,4 1,2 2 4 0,5
1,2 1,4 0,8
1,4 2 4 0,6
1,6 1,4 6 0,5 3
1,6 2 0,4 2
123
тела
плоскости
оɞно
рис
Перемещение
(I)
(II)
разложить
вращение
отрезка
вращение
зависит
ɞальнейшем
отрезка
или

постɭпательно
124
связаны
векторного
ОАВ
виɞ
rrAB
, (1)


только
(1)
drdr
dAB
dtdt
, (2)

VAB
-
BABA
vvv
125
при
выби
направлению
ɭравнения
(2)
: +
;
ɭравнения
максимɭм
BABA
vvv
, (3)
+ + + +


,
AB.
(4)
прямоɭгольнɭю
cossin
sincos
BAxBA
BAyBA
vvv
vvv

BABA
vvv
, (5)
+ + + +
126
равенства
равенство
тогɞа
BxBy
vvv
cosv;i=


BAAB
vAB
ɮигɭры
момент
0,
).
рис
полюс
известна
AN,
эпюрɭ
лɭча
ɞвижении
Треɭгольник

При
P
PAPA
vvv
APA
127
моɞɭлю
APA
VAP
расстояние
точки
,
ɮигɭры
нɭжно
точках
ɞвɭх



(
стремится
ɮигɭрɭ
опреɞеления
C
соеɞинить
МЦС
ABC
APBPCP
vvv
====
128
APBP
приложения

МЦС

AN
момент
постɭпательно
129
положении
механизма
(2)
запишем
виɞе
=+×
ddddAB
dtdtdtdt
=+×+×
ɭскорения
точки
ABAB
×=×=
-
ɞвижении
относительно
BAB/A
dAB
×=×=
-
. (6)
n
a
a
a
/
130
Пример




131
вокрɭг
точка
окрɭжности
звена
v1,81,5=2,7
=⋅=⋅


BABA
vvv
vAB
+ + + +
132

векторное
.
BAB/A
v=vsin15+vcos60;
:
AB/A
0=Vcos15-Vsin60.
B/AA
cos150,966
v=v=2,73,01
0,866
sin60
B/A2
v=AB,
v3,01
==1
AB3

=2,7sin15+3,01cos602,2
⋅⋅≅
=2,2

точкɭ
CBCB
vvv
(
C/B
+ + + +
Вычислим
C/B2
=BC=12=2

равенство
CxBC/B
=+cos30;
vvv

CyC/B
=sin30.
133
=2,2+2cos30=3,93
=2sin30=1
222
CCxCy
=+=1+3,934,06
4,06
vvv
известной
скорости
нахоɞим
ɞает
APBP


опреɞеления
BP
AP
ABP
ooo
ABBPAP
==.
sin75sin45sin60
sin45sin45
BP=AB=32,2
sin75sin75
BPsin45
==0,816;
sin60
sin60
AP=AB=2,69
sin75
=0,8162,7=2,2
=2,2

===1
BP2,2
перпенɞикɭлярно

134
C22
=CP
=CAB.
BC2
tg==;
AB3

=33,7.
ooo
CAB=45+33,7=78,7.
2222
AC=AB+BC=3+23,6
22o
222
CP=AC+AP-2ACAPcos78,7=
22o
=3,6+2,69-23,62,69cos78,74,05
⋅⋅⋅≅
C22
=CP=14,05=4,05
=4,05
сравнению
первым
составляет
4,06-4,05
=100
4,06
ɭскорений
опреɞелении
135
Ускорение
AAA
aaa

().
n22
1,81,5=4,86
==⋅
1,41,5=2,1
==⋅
n22222
AAA
=()=4,86+2,15,3
aaa
кривошипа
1

Вычисляем
вектора

2,1
tg===0,4321,
4,86
вычисления
AAB/AB/A
=+++
aaaaa
().
моɞɭль
n22
AB=13=3
=⋅⋅
x:
B/AB/A
noooo
BAA
cos15sin15cos30sin30;
aaaaa
y:
B/AB/A
noooo
0=sin15cos15sin30cos30.
−+−
aaaa
(4,86sin153sin302,1cos15)0,84/
cos30
ooo
=⋅+⋅−⋅≈
0,84
0,28
===
136
0,28

Ускорение
4,86cos152,1sin153cos300,84sin302,2/
oooo
=⋅+⋅−⋅−⋅=
2,2/
ɭскорения
C/BC/B
=++
aaaa
C/B
+ + + + + +
моɞɭль
C/B
C/B
C/B
BC=12=2
=⋅⋅
C/B
BC=0,282=0,56
=⋅⋅
C/B
C/B
C/B
C/B

noo
CxBC/BC/B
sin30cos30
=+−
aaaa
noo
CyC/BC/B
cos30sin30
aaa
2,7/
2,22sin300,56cos30
=+⋅−⋅=
2cos300,56sin30
=⋅+⋅=
22222
2,723,36/
CCxCy
=+=+=
aaa
3,36/
137
вектора
2,7
cos
0,8036
3,36
===
36,5
/

/

/

/
/
/
Пример
плоском
ɞвɭхстɭпенчатое
непоɞвижной
= 3r
A, B, C, D,
138
ɞвɭхстɭпенчатое
плоское
цилинɞрической
прямолинейной
постɭпательно
всех
мгно
звено
без
цилинɞрической
них
точки


0,4
===
139
20,420,57
BPr
==≅
50,572,83/
2,83/



1111
100,4101,265/
CPrRr
=+==≅
51,2656,32/
=⋅≅
6,32/
опреɞеления
МЦС
восстановить




BPDP
известных
ɭглах
sin75sin45sin60
ooo
ABDPBP
sin45
0,8165
sin60
sin60sin60
32,7
sin75sin75
=⋅=⋅≅
0,81652,832,31/
=⋅≅
2,31/
2,83
1,05
2,7
==≅
1,05
140
ɭскорений
Вычисляем
20,42,4
=+=+=
AAA
aaa
1,67/
2,4
==≅
22222
()()1,671,82,46/
AAA
=+=+≅
aaa

1,8
1,078
1,67
===
47,2
2,46/
ɭскорение
1,8
4,5
0,4
===
4,5

ɭскорения
141
CACACA
aa+aa
+ + + + + +
222
/11
51,230/
=⋅=⋅=
/11
4,51,25,4/
=⋅=⋅=
показываем
x
sin
CxCAA
aa-a
y
cos
CyCAA
aaa
302,46sin47,128,2/
=−⋅≅
5,42,46cos47,17,1/
=+≅
22222
28,27,129,1/
CCxCy
=+=+≅
aaa
29,1/
вектора
вычисляем
28,2
cos(;)0,969
29,1
===
14,3
BABABA
=++
aaaa
+ + + + + +
222
/11
50,410/
=⋅=⋅=

/11
4,50,41,8/
=⋅=⋅=
BxBAA
=+⋅
aaa
cos
ByBAA
aa- a

102,46sin47,111,8/
=+≅
142

1,82,46cos47,10,13/
=−≅
Ускорение
22222
11,80,1311,8/
BBxBy
=+=+≅
aaa
11,8/
наклона

11,8
cos1
11,8
==≅
ɭскорения
DBDBDB
=++
aaaa
+ + + + + +
222
/22
1,0533,3/
=⋅=⋅=
cos30
DBDB
aaa
:
sin30
DDB
(11,83,3)17,4/
cos30
=+≅
17,4/
17,4sin308,7/
=⋅=
/22
откɭɞа
8,7
2,9
===
2,9

/

/

/

/
/
/
/
2,83 6,32 2,31 5 1,052,4611,829,117,4 4,5 2,9
рис
вращения
=
относительного
ɞвижения
момента
времени

вычислений
привеɞены
Сложное
ɞвижения
ɞвижения
вместе
вращения
,

.
траектории
связаны
















10
Исхоɞные
(
Уравнение
Уравнение
2/3 8
1 10 20
1 20
1 10
2 10 30
1 10
1/3 16
1/4 60
1 60
1/2 20
+ 2t 1
2 30
2 30
2 60 45
1 30
1/2 25
1/3 10
1/2 30
3t
2 30
1 30
1 R/2 40
1 45
1/3 15
8t 6(t + 0,5t
) 2 30
2 30
2 30 30
неинерциальной
являются
циями
123
eee
eet
eet
eet
инерциальной
связана
ijk
траектории
принаɞлежащей
поɞвижной
отсчета
инɞекс
ɭскорение
ɞвижением
инɞекс
-
называется
ɞвижением
переносного
относительного
тела
или

Эмиль
математик
механик
кинематике
123
Reee
ξηχ
=⋅+⋅+⋅
123
dede
eee
dtdtdtdt
ξηχξηχ
=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
1
2
dt
3
dt
-

Использɭя
==×
2
2
e
3
3
e
123123
()()
eeeeee
ξηχωωξηχ
=⋅+⋅+⋅++×⋅+⋅+⋅
123
eee
ξηχω
⋅+⋅+⋅+=
-
локальной
вектора
iyjzk
⋅+⋅+⋅

-
произвоɞная
системы


dRdR
dtdt
абсолютной
rrR
drdrdRdrdR
dtdtdtdtdt
=+=++
абсолютная
-
скорость
-
полюса
-
относительная
направ
касательной
eee
vvv
′′′
. . (2)
ɞелается
Пример
плоский
механизм
ɭгловая
vvv
принаɞлежит
точки
кɭлисы
поэтомɭ
вектор
бɭɞет
Точка
принаɞ
кɭлисе
бɭɞет
Точка
принаɞлежит
перпенɞикɭлярен
звенɭ
направлен
равенства
vvv
наɞо
бɭɞет
являться
прямоɭгольника
параллелограмма

Пример
1,
помощи
3,

принаɞлежит
МЦС

перпенɞикɭлярно

принаɞлежит
-
которого

(2),
моɞɭли

абсолютного
ere
vvv
++×
dtdtdtdt
==++×+×
ɭскорение
rrer
dtdt
=+×=+×
ɮормɭла
относительное
ɭскорение
e
ɭскорения
dRdR
dtdt
=+×=+×
ɮормɭла
eereee
eωωω
×+×+
=+×++×
aaa

eeerr
Rvv
=+×+×++
aaa
eeee
eeee
+×+×=++=
′′′′
aaaaa
ɭскорение
2()

Францɭзский
механик
исслеɞования
механике





2()
2sin(;)
kerer
если
=
.

sin(;)0
.

ɭскорения


плоскость


ɭгол
90

Жɭковский
(17.1.1847 17.3.1921).
механики
erk
aaaa
Пример
пластинка
= 0,5t
0,2t
= 1,2
ɭказаннɭю
sin()
OMSt
==⋅⋅
= 1
ɭскорение
1)
бɭɞет


S(t)
S(t)=sin()=
363
)
. 104
vvv
скорость
=
(0,50,2)1,50,2
ttt
dtdt
==−=−
sin1,2sin601,04
=⋅=⋅≅





(sin())cos()
dSd
dtdt
==⋅⋅=⋅⋅
1,2cos()1,14/
=⋅⋅=



2222
1,351,141,77/
=+=+≅
Абсолютная
cos
= V
sin
= 0,987
1,35
cos
==0,7627
1,77
;
(;)40,6
0,57
cos
===0,322
1,77
(;)71,2
0,987
cos
===0,5576
1,77
(;)56,1
ɭскорения
ɭскорения
развернɭтом
eerrk
=++++
aaaaaa
моɞɭль
вхоɞящего
нормальное
222
1,31,041,76/
=⋅=⋅≅
касательное
e
t
= 1c
= 3
Тогɞа
31,043,12/
=⋅=
r
r
1,14
1,08/
1,2

cos
())
sin
96546
dtdt
πππ
==⋅⋅=−⋅⋅
aaa
= 1c
1,2sin300,34/
=−⋅⋅=−
Ускорение
Кориолиса
2sin()
=⋅⋅⋅
(;)90
∠=−
sin()
=⋅⋅⋅
пря
ɭгол
90
Вектор
вектором
векторное

aaa
sincos
yerr
=++
aaaa
cossin
zrr
=⋅−⋅
aaa

ɭскорения
2222
4,62,870,255,43/
=++=++=
aaaa
вектора
(;)
4,6
cos===0,8471
5,43
;
(;)32,1
2,87
cos()===0,5285
5,43
;
()58,1
a;j

(;)
0,25
cos===0,046
5,43
;
()87,4
a;k
ɭскорение
160

4.
= 60
= 2
161
V
/
RmV
(0,2)
ɭравнения
y = y(t)
высотɭ
6.
1
0,5cos2
Fmt
= 30
Опреɞелить
ɭравнение
максимальнɭю
сопротивления
RkmV
(0,1)
1,2/
7.
1
скоростью
= 8
Точка
испытывает
силой
RmV
(0,2)
8.
1
вертикальной
Fkmr
(16)
ɞвижения
0,5
1,2/
9.
1
притяжения
Fkmr
(25)

0,4
1,4/
1,4/
10.
1
= 30
= 1
162
=1,7
ɞальность
точки
сопротивления
11. (
1,
окрɭжности
= 0,5
12.
1
= 30
Fkmx
(0,2,
массаточки
Опреɞелить
ɭравнение

= 2
13.
1,
= 4
Fkm
(1,2/)
моɞɭль
= 2
14.
1
111
Fkmr
222
Fkmr
9,4
-
ɭравнения
1,2/
163
15.
= 12
трения
16.
Колечкɭ
= 8
трения
колечко
17.
1
= 1
цилинɞрической
= 1,5
= 2
18.
1
= 3
испытывая
жиɞкости
RmV
(

масса
VVz
ɮɭнкцию
19.
1
= 60
скоростью
= 12
испытывает
сопротивление
RmV
0,2

Опреɞелить
ɭравнения
x = x(t)
20.
1
= 60
= 8
ɞальность
164
21. (
1,
перемещаясь
траектории
Fkmr

масса
точки
OA = b = 0,6
22.
1
глаɞкой
Fkmt

0,5/
).
траектории
23.
1
траектории
плоскости
поɞъемной
Fkm
0,25

сила
RmV
0,4
).
24.
1
= 4
своей
RmV
0,4

масса
25.
1 (
скользить
= 0,4
колечка
26.
1
2cos2()
Fmt
165
4sin46()
Fmtt
= 45
Fmx
0,25
28.
1
=4
скользить
RmV
0,4
= 2

окрɭжности
29.
1,
= 2
0,8sin
Qpt
(2)
Fcx
(50/)
ɭравнения
30.
1
Fkmr
0,2

Опреɞелить
166












167









168







169
точкɭ
M,
оɞинаковое
направление
инерциальной
отсчета
xOyz,

, (1)
ɭскорения
При
малых
ɞвижения
значительно
меньших
Несколько

Исаак
(4.1.1643 31.3.1727).
ɮизик
механики
созɞатель
математики
170
FFF
ɞвижение
вызвала
FFFFF
=++=
. (2)
ɞекартовые
n
zkz

x = x(t), y = y(t), z = z(t) -

. (3)
опреɞеляет
ɞвижения
n
k
k
mxF
myF
mzF
171
поɞвижнɭю
-
коорɞинат
равенство
Полɭчим
n
k
k
n
k
k
ɭравнение
S = S(t)
MM=S


(4)
(4)
ɭравнением
статики
моɞɭль
соотношений
Fmx
Fmy
Fmz
k=1
k=1
k=1
m=F
m=F
0=F
172
222
FFFF
=++
cos(F;)=
cos(F;j)=
cos(F;k)=
своɞится
ooo
ooo

ɞвижения
ɞиɮɮеренциальных
ɭравнений
ɭравнений
(3)
(4)
зависеть
ствɭющих
Категории
F=const
сила
постоянная
F=const
постоянная
только
F=F
зависящая
например
прɭжины
F=F(V)
/
F=F
времени
например
t)
173
Начальные
ɭсловия
;;;;;;.
ooooooo

Пример
= 0,4mt
= 0,4
-
глаɞкɭю
= 0,2m
=
Опреɞелить
который
= 1
ɭравнение
Решение
= 0,4mt

скорости
Применяя
(3),
mxF
cos10sin60
mxFPF
=+−
myF
0cos60sin10
NPF
=−−
174
sin10cos600,4sin10cos600,074,9
oooo
NFPmtmgmtm
=+=+=+
4,90,07
Ntm
0,4cos10sin600,980,014
mxmtmgmmt
=+−−

(14.7.1736 13.8.1806).
Францɭзский
ɮизик
механик
175
преобразований
бɭɞет
0,387,5
0,197,5
VttC
=++
0,0633,75
ttCtC
+++
ɭсловия
0,4/
Использɭя
:
0,0633,750,4
ttt
=++
0,40,197,5
Vtt
=++
рассмотрим
= 0,2m
реакция
;
= 60
-

176
sin;
cos.
mFP
mNP
0,2sin(/3)
mmmg






1
R


1111
dVddVVdV
dtddRd
⋅=⋅=⋅
,
0,2sin(/3)
mdV
Vmmg
=+−
ɭравнения
Разɞелим
0,2sin(/3)
VdVddC
ϕϕπϕϕ
=−+
∫∫∫
111
0,2sin(/3)(/3)
VdVdgdC
ϕϕπϕπϕ
−−−+
∫∫∫
0,1cos(/3)
ϕπϕ
=+−+
cos/3cos60
8,1
9,8cos6049,8/
20,6
Cgg
=−=−=
=−⋅=
177
2(49,80,1cos(/3))
VRg
=++−
20,6(49,80,11,49,8cos(20))8,43
=⋅+⋅+⋅−=
cos(60)
Nmgm
=−+
= 80
8,43
()19,8cos(20)1127,7
0,6
==⋅−+⋅=
нахоɞится
тяжести
записываем
ɭравнения
myP
xVC
yVgtC
==+

112
134
xCtC
gtCtC
=++
ɭсловия
этого
ɭчастка
(0)cos
sin
CxV
ɞвижения
0,5sin
ygtVt
178
cos
VgtV
исключить
cos
V
2cos
xtg

9,8
28,43cos20
yxtg
111
0,0780,36
yxx
-
ɭравнение
преɞставля
кривой
Tcos
откɭɞа
0,5
8,43cos20
==≅
()cos8,43cos207,92
CxxB
VVTV
===⋅=
()sin9,80,58,43sin202
CyyB
VVTgTV
==−=⋅−⋅≅
7,9228,17
CCy
VVV
=+=+=

2,
1,
Пластина
ɞействием
пластине
постоянной
=
начальный
b, r,
является
zydm
zdm
(v)
=(x+y)dm
(v)
-
расстояния





















































m



m(3+h)



6

I ] = [кг⋅м2]. По ɮормɭлам (1)

11.
раɞиɭса
,
z
m
. (2)


Гюйгенса
, (3)

(14.4.1629 8.71695).
механик
матема
приклаɞной
механи
математике
ɮизике
(18.3.1796 1.4.1863).
Берлин
кратчайшее
расстояние
Cz
можно
записать
раɞиɭсы
(3)
что

момент
. 120)
rmV
этом
плП
.;.
OmV
плП
провеɞенный

|||||
rmV
=⋅⋅

, (4)
sin
-
линию
M

=mVh
система
характеризɭется
взаимоɞействɭющих
межɞɭ
-
-
(1,)


.
okk
MrF


okkk
KrmV

зависимости
)()()
()()
okk
kkkkkkk
kkkkkk
dKddrdV
rmVmVrm
dtdtdtdt
VmVrm
=×=××
=××
∑∑∑
kkk
VmV
kkkk
mFF
ɞинамики
()()()
eiei
kkkkkkkoo
rmrFrFMM
×=×+×=+
∑∑∑
кинетиче
.



. (6)
(6)
называется
механической
()0
const
момента
.
Вычислим
при

e
z
количества
ddmVrdmr
=⋅⋅=⋅⋅
()()
zzz
Kdrdm
=⋅⋅=
rdm

. (7)
Пример
пластина
скоростью
u=const
Решение

e
z


центрɭ
12345
NNNNN
Поэтомɭ
VVV
Обозначим
Oz
нахоɞится
направлена
Чтобы
c
вращения
момент
также
точкɭ
c
парал
пересекают
()0
const
или
2z1z
K=K
zzz1
KKMmV
zzz
момент
MmV
Вычислим
11
момент
Гюйгенса
212
=+=
Вычислим
момент
1z1zz11
KKMmV
1zzoz

вращения
Пɭсть
момент
направлен
ozo
1zzo2o
ɞвижениях
()()()
z11z11ez11r
MmVMmVMmV
1eo1
VOA

,


()(
z11e11e1o11
MmVmVOAmOA
=⋅=⋅
z11r11r1
MmVmVhmuh
−⋅=−⋅
OAb
z11r
MmV
-
sin()sin()
112112
hOAOAb
ϕϕϕ
=⋅−=⋅+⋅−
ɞвɭх
sin()sincossincos
121221
ϕϕϕϕϕ
−=⋅−⋅
нахоɞим
sin,sin,
ABOA
cos,cos,
ABOA
(2)
ABb
sin()
111
ABOAOAABOAAB
−=⋅−⋅=
aaa
222
sin()
(2)
1121
hOAOA
OAABAB
bbb
=⋅−=⋅==
aaa
()(
z11o111
MmVmOA
muh
⋅−⋅=
(2)
mbu
=+⋅−
чальный
равен
4732
122
(2)
1z2o1o
Kmmbu
=++⋅−=
a
4732
122
(2)
21o1
mmbmu
=++−
Вычислим
механической
2z2zz12
KKMmV
2zzz

вращения
Преɞположим
Тогɞа
2zz2
ɞвижениях
()()()
z12z12ez12r
MmVMmVMmV
2e1
VOB

,


()(
z12e12e111
MmVmVOBmOB
=⋅=⋅

z12r12r1
MmVmVhmuh
−⋅=−⋅
вращения
траектория
относительного

линия
h
ɞействия
значений
кинетический
()(
z12111
MmVmOB)muh
⋅−⋅=
(2)
=+⋅−
момент
равен
472
122
(2)
2z21
Kmmu
=++⋅−=
a
472
122
(2)
211
mmmu
=++−

472
122
(2)
211
mmmu
++−=
4732
122
(2)
21o1
mmbmu
=++−
473
122
122
mmb
a
a
a





ɞвижется
M.
18, 20, 23, 25, 26, 27
12)

характеристика
тверɞого

системы
центра
-
ɞвижении
TmV
k
TmVT













12
(




8 10 2 0,6 - 0,4 19 2
6 8 16 0,5 0,8 - 16 3
5 6 2 0,8 - 0,6 18 2
4 6 8 0,4 - - 12 1
8 10 4 0,8 - 0,6 14 2
6 10 6 0,8 0,6 0,5 15 1
10 8 12 0,6 - - 18 2
8 6 10 0,5 - - 20 2
6 10 8 0,9 0,8 0,4 16 1
8 10 4 0,8 0,4 0,6 18 2
10 12 5 0,6 - - 15 1
8 12 6 0,8 0,4 0,5 17 2
10 12 6 0,6 0,5 - 12 1
8 10 5 0,8 0,6 0,4 15 2
10 12 6 0,9 0,5 0,4 16 2
8 12 4 0,8 0,6 0,5 13 1
6 4 10 0,8 1,6 - 14 2
10 12 6 0,8 - 0,6 13 1
10 6 8 0,5 - - 16 2
8 12 6 0,9 - 0,5 15 1
10 12 8 0,8 0,5 0,6 17 2
8 10 12 0,8 1,2 0,6 16 1
10 4 8 0,6 - - 14 2
8 12 10 0,9 0,5 0,4 15 1
10 12 4 0,8 - 0,5 16 2
8 10 6 0,8 - 0,6 12 1
10 12 6 1,2 - 0,5 14 2
8 4 6 0,6 - - 15 1
10 12 4 0,9 0,6 0,8 16 2
10 12 6 1,2 0,5 0,6 17 2

2

постɭпатель
массɭ

dTdmV
ɞвижении
()()
TdTVdmmV
===
, (1)
TmV
dT = 1/2dm
= 1/2
dm
()()
TdTrdm
==⋅⋅
rdm
, (2)
вращения
кинетическая


2
TmV
-
энергия
2
-
кинетическая
энергия

ɞан
Тогɞа
=
PC
поɞставим
(3)
22222
111
222
TmPCmPC
=+=+⋅
-
mPC
-
ɮигɭры
(3)
. (4)
Вычислять
2
I
Сплошной
Вычислим
Тогɞа
. (5)
(5)
оɞнороɞных
материальной
kkkk
mFF
(1,)
Ускорение

kkkk
dVdVdrdV
dtdt
drdr
==⋅=⋅
111
nnn
kkkkkkk
kkk
mVdVFdrFdr
⋅+⋅
∑∑∑
TmV
kkkkk
mVdVdmVdT
FdrdA
внешних
FdrdA
внɭтренних
dTdAdA
Разɞелим
равенство
, (6)
мощность
внɭтренних
WFV
;
cos
WFVFV
=⋅⋅
(6)
кинетической
(6)
иметь
, (7)
кинетическая
энергия
TTAA
−=+
времени
-
Применяя
(6),
всегɞа
или
(7),
нахоɞим
Пример
система
состоящая
нерастяжимых
катится
M
приложен
перемещать
направляющих
отсɭтствɭет

= 2

= 0,8
= 0,2
= 0,6

= 0,4

катка
момент
Решение
расчетнɭю
межɞɭ
телами
системе
Пользɭясь
выразив
422
VRV
VVV
(6)
(0)
кинетиче
1234
TTTTTT
==+++
TmV
222
222
полɭчаем
222
2222
164
32()
TmmV
333
TmV
TmV
222
44444
6432
TmVmVmV
===
1234
32232
TmmmmV
=+++
известных
30,6
1032624322
40,8
=⋅+⋅⋅+⋅+⋅
187,5
Вычисляем
внешних
123313
cos60(cos602).
eoo
AAA
WFVPVMPVFmgmgV
=+−−=+−−
(150109,80,549,82)100,6
0,8
WVV
=+⋅⋅−−⋅⋅⋅=⋅
375100,6
AAA
100,6
0,27/


система
нерастяжимых


большой
скользит
=

коэɮɮициент
трения
= 0,4

Использɭя
ɭравнения
совокɭпности
;;;
AAA
;;;
mmm
-
k
k
C
m
,























10 6 4 8 802 0,8 - 0,4 30 45 40
8 6 4 2 603 0,9 0,5 - 45 - 30
6 8 6 4 702 0,8 - 0,6 30 - 45
4 8 6 8 603 1,2 - 0,5 30 30 30
6 8 6 4 402 0,9 - 0,4 - - 45
4 6 4 6 503 1,2 - 0,3 - - 30
5 8 4 4 602 0,8 - 0,4 60 - 20
8 6 5 4 803 0,9 0,6 - 30 60 20
6 8 4 4 402 0,6 0,8 - - - 30
4 6 8 4 603 0,5 0,6 - 30 - 45
6 8 4 4 802 0,8 - - 45 - 30
8 104 6 603 1,2 - 0,6 30 30 20
6 8 4 5 402 0,8 - 0,5 30 - 45
4 8 4 6 603 0,9 - 0,4 45 60 30
8 8 4 6 802 1,2 0,6 - 30 - 20
10 8 4 5 603 1,0 - 0,6 30 - 30
8 106 4 802 0,9 0,5 - 45 -
6 8 4 6 403 1,2 - 0,4 30 - 30
8 104 8 602 0,8 - 0,5 30 - 20
6 8 6 4 802 0,6 0,8 - 30 - 45
10 6 4 6 803 0,8 - 0,6 30 45 30
8 106 4 602 0,9 0,6 - 45 60 30
6 8 4 6 603 1,2 0,4 0,6 45 - 20
8 106 4 802 0,8 - 0,4 - - 30
6 8 6 4 803 0,9 0,5 - - - 20
8 104 6 702 1,2 0,4 0,6 30 - 20
8 6 8 4 803 0,6 0,8 - - - 30
10 8 6 4 602 1,2 0,8 - 45 - 20
6 4 8 4 403 0,8 - 0,4 - - 30
8 6 10 4 602 0,8 - 0,4 - - 20

A

kkkk
mFF

(1,)
; (2)
ɭскорения
2
k
kkk
drd
mmr
dtdt

(2).
111
nnn
kkkk
kkk
mFF
===
∑∑∑
. (3)
()()
kkkkkk
mmrmr
dtdt
∑∑∑
соотноше
kkcc
mmrm
k

k
(4)
ɭскорения
механической
(4)
(4)
ɞекартовой

(5)
(5)
центра
ɞвижение
Абсолютно
тверɞое

межɞɭ
любом
ɞвижении
тела
Поэтомɭ
(5)
постɭпательного
ckx
cky
ckz
mxF
myF
mzF
непоɞвижной
оси
вокрɭг
z
-
кинетический
момент
-
ɞействɭю

z
dt

. (6)
величина

C

(
zzk
eee
FFF
ɞвижение
ɭравнения


ɮигɭры

момент
ɮигɭры
Пример
преɞставлена
система
межɞɭ
= 8
= 10
= 4
= 6

F = 80

= 0,2
горизонтɭ
= 20

силы

приложенной
= 1/2R
= 0,8
цилинɞра
Цилинɞр
тела
();
ckx
cky
czzk
mxF
myF
Решение
циɮрами
системе
ɭскорение
113113
122
,,2,
=====
aaaaaaa
ɭскорение
221
2,5
0,4
====
Ускорение
431
aaa
ɭскорение
441
1,67
0,6
====
).
Ускорение
ɭскорение
331
0,4
====
(5), (6)
(7)
разрезать
F = 80
= N

трения
= m
постɭпательном
ɞвижении
myF
1151
cossin,
0cossin.
xFTFP
NPF
=−−+
=−−
cossin78,4cos3080sin2095,3.
NPF
=+=+=
95,30,219
FNf
=⋅≅
880cos201978,4sin30
=−+−
895,4
Двɭхстɭпенчатый
слеɞɭющие
9,8 = 98


2


zzk
222
222
100,63,6
кгм
==⋅=
221
2,5
152672
3,62,5()
TrTTR
⋅⋅=⋅−+⋅
1567
90,40,80,8
TTT
=⋅−⋅−⋅
1567
22,522
TTT
=−−
ɞвижении
слеɞɭющие
= m
g= 4


();
zzk
mxF
ɭравнение

yconst
331
331
31738
33383
mTPT
mRTR
⋅=−−
⋅=⋅
333
40,45
===
7313811
22439,24
TmPT
++=⋅++
aaa
39,212
4

цилинɞр
силы
= m

цилинɞра


цилинɞра
запишем
44kx
mxF
44ky
4z4zk
=F;
441
441
1,67
Rconst
444
60,61,08
==⋅⋅=
ɭравнений
1644
1,081,67.
TRFR
⋅⋅=⋅−⋅
58,8
16
исключаем
4,5
1567
895,4;
22,522;
1239,2;
4,5;
TTT
=−−
5566
TTTT
671
39,216,5
+=+
ɭравнения
671
15,247,7
−−=−
31,78,50
8,5
0,27
31,7
момента
плоскость
констрɭкции
констрɭкция
состоящая
констрɭкцию

сосреɞоточенные
сил
Использɭя
Механические

системы
системɭ
Геометрическая
ограничение
связи
имеет






14
(


6 8 4 2 0,5
10 4 5 1 1
8 6 6 1 0,5
5 4 3 1 0,5
10 8 6 2 1
5 5 5 1 0,5
6 8 5 1 0,5
10 8 6 2 1
5 6 4 1 0,5
8 6 2 1 0,5
4 4 1 1 0,5
5 4 3 1 0,5
8 6 4 1 0,5
10 8 6 2 1
4 4 3 1 0,5
9 9 5 1 0,5
10 8 6 2 1
6 8 4 1 0,5
8 8 6 1 0,5
8 4 4 1 0,5
10 8 6 2 1

x; y; z
склерономная
f(x; y; z; C) = 0
OA =
являться
=
=
222
реономная
такое
схеме
маятник
ɞлиной

=
sin
=
cos
Избавляясь
222
()0
AAo
xyut
−−=
время
ограничения
;;;;;;

кинематические
составляют
система
которая
голономной
неголоном
неголономная
описывается
строгим
равенством
f(x; y; z)
f(x; y; z)
Возможные
происхоɞит

целый
механикɭ
Герц
(22.02.1857 1.01.1894).
ɮизик
механик
электроɞинамике
перемещения

вектора
A


касательной
Если


изложении
возможный
стержня

При
rAO

rOB
равенств
rAO
rOB
рономные
ɞействительные
перемещения
риальных
точек
бɭɞɭт
перемеще
возможными
ɞействительное
времени
ɞействительном
dAFdr
;
cos
dAFdr

AFr
AFr
ANr
=⋅=
иɞеальной
выполнять
ɭсловие
работ
равна
механической

(1,)
возможное
n
kkkk
FrNr
+⋅=
kkk
FrA
;

kkk
NrA
-
совершенные
принцип
возможных
.
(1)
активных
(1)
склерономные
опреɞеляет
взаимосвязь
межɞɭ

скоростей

восстановить
BP
Относительно
= PA
= PB
исключаем
нахоɞим

.
PAPB
D




ɭказываемɭю
ɭглом
(2)
решении
(1)
ɭɞобнее
всего
составлять
составлять
МЦП
(1,)
количество
звено
ɭчаствɭет
ɞвижении

= Bb
или
rcos = rcos
αδβ
точками
отложить
Dd = A
= Bb
MN
pkj

прямɭю

) ,
= Dd = A
констрɭкции
(1)
(3),
ɭɞобно
использовать
опор
непоɞвижной
состоящей
составляется
Наиболее
встречающиеся
Пример
равновесии
Решение
иɞеальные
связи
ɭсловиям
совершать
ɞвижения

-
постɭпатель
пере
-
-
ползɭна
P, Q
cos60cos300.
MPrQr
δϕδδ
−−+=

;cos60;cos60cos30.
AABCB
rrrrr
δδϕδδδδ
===
ααα
cos30
cos60
cos60
δϕδϕ
иметь
cos60cos30
cos60cos60
MPQ
δϕδϕδϕ
−−+=




(3)(30,50,5)11.
MQP
=−=⋅−⋅=
Пример
межɞɭ
= 10
распреɞеленная

A


B
Решение
поэтомɭ
показыва
rAC
rAC
поворота
МЦП
балки
2.
Опора
позволяет
горизонтали
-


пересечение
(

сил
относительно
111111
cos30sin30
MQPP
ϕδϕδϕδϕ
−−+
aaa
222
δϕδϕ
+−=

rAC
rCD
ϕδϕ
ACKC
CDCB
a
ϕδϕ

(cos30sin30)20.
MQPMP
+−++−=
aaa
224
==⋅=
cos30sin30
2M =
2(0,866 + 0,5) + 8
M27,32
вертикальной
составляющей
преɞставим
перемещаться
вертикали
приклаɞываем
1

.
EAC
rrr
балки
1222
cos600
EAA
PrYrMP
δδδϕδϕ
−+−+=
cos600
CAC
PrYrMP
−+−+=
Y
161
cos60100,584
222
YPP
=+−=+⋅−⋅=
заɞел
своих
ползɭнɭ
приклаɞываем
постɭпательно
cos300
EAAA
PrQrXr
δδδ
++=

cos30100,86644,66
XPQ
=−=⋅−=
4,66


цилинɞрический
реакции
балке
может
C

,
2222
MRP
δϕδϕδϕ
−−+=
336
222
=−=⋅−=
реакции
правильности
ɭравнения
найɞены
ɭравнения
cos300
XQP
+−=
4,664100,8660
−⋅=
cos600
YPRP
−+−=
4100,5980
⋅+−=
cos6032
AAAB
PQXMYMR
⋅+⋅+⋅−−⋅++⋅−
aaaaa
1,50;
−⋅=
100,53240,524,66227,3242269281,520
⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅−−⋅⋅++⋅−⋅⋅=
67,3267,320
; 0
реакции

ɞинамики
слеɞɭющие
-
телɭ
1;
223
rRr
-
колеса
2);
тела
2;
тела
наклона
тела
1.
считать
Использɭя
Материальная

ɞинамики
mFN
; (1)

(16.9.1717 29.10.1783).
математик
ханик
ɮранцɭзской
1754
Исслеɞования
ханике










n
k
k
m -
Величинɭ
(8)
0=F+N-m
Величинɭ

. (2)
сила
ɭравновешенных
M.
(2)
принцип
,

.
= m
всегɞа
ɭскорения
Механическая
k
тɭю
k
k

соотношение
kkk
++=
. (3)
Полɭчим
ɭравнения
111
nnn
kkk
kkk
===
∑∑∑
n
k
k
n
k
k
R
e


нахоɞим

. (4)

= m
(3)
O (
материальной
C

kkkkkk
rFrFr
×+×+×=
k=1,n
111
()()()
nnn
kkkkkk
kkk
rFrFr
×+×+×=
∑∑∑
kko
rFM
-
момент
O;
kko
rFM
×==
kko
момент
принцип
слеɞɭющем

кинетического
системы

. (6)

e
=−=−
тверɞого
простейшемɭ
ɞвижении
инерции

непоɞвижной
Oz (
через
тела
R =m
z
z
тогɞа
,
рассмотрим
Oz
Силы
инерции
C
главномɭ
ФФФ
RRR
RmmAC
==⋅⋅
RmmAC
==⋅⋅
()()
ФФФ
RRR
ɞвижение
постɭпательно
относительно
I
Силы
привоɞятся
C)
.


ɭɞерживающие
иɞеальные
относительно
инерциальной
слеɞɭющие
-
реакция
-
-
++=
) . (7)
равенство

C
C
ɭравнения
111
nnn
kkkkkk
kkk
FrNr
δδδ
⋅+⋅+⋅=
∑∑∑
kkk
FrA
-
kkk
NrA
-
при
kkk
-
. (8)
(8)
Пример
223
rRr
-
-
раɞиɭс
инерции
2;
1;
качения
тела
Решение
1
ɞействия


соотношения
2
2
2221
=⋅=
232
rrR
a
32111
===
aaaaa
m
P
3
111
222
222
222
33331
333
333
Imr
33331
322
224
Mmrm
rRR
ɭравнение
(8),
1111223333
cossin
rFrMPr
δγδδδϕδαδ
⋅−−−−−−
333
δϕδϕ
−−=
2
2
R
333
2
2
r
N
F
1
.
F
g
m
sin
F
P
N
1
1
.11
sin
FmgfFf
сопротивления
MkN
333
coscos
NPmg
cos
Mkmg
поɞставим
ɭравнение
111111122
cossin
FrmrmgfrFfrm
δγδδγδρ
−−−−⋅−
2222
31311311
222232
sin
22242
rrrr
mgrmrmr
RRRRrR
αδδδ
−⋅−⋅−−
cos0
mgkr
соɞержащие
133
232
(cossin)sincos
rrk
Ffmfmgmg
RrR
γαα
−−−−=
1123
mmm
=++
123
(cossin)(sincos)
Ffmgfmg
mmm
γαα
−−−+
изменилось
числитель
ɭсловие
cossin
sincos
Ffmgfmg
γαα
−++
cossin
sincos
Ffmgfmg
γαα
−=++
1
скорость
const




(
механической
1,
применив
Лагранжа
второго
коорɞинатами
личины
или
плоскости
параметра
линейная
коорɞината
=

qqt
обобщенных
коорɞинат
вертикальной
=

система
степени
ввоɞятся
=

ɭгол

перемеще
плоскости

Жозеɮ
(25.1.1736 10.4.1813).
Францɭзский
математик
меха
1772
работе
механика
поɞвел
итог
что
было
созɞано
механике

через

времени
1,2
,,,
kks
rrqqqt

kkkk
kis
rrrr
drdqdqdqdt
qqqt
∂∂∂∂
=+++++
∂∂∂∂
k
dt

s
i
. (1)
, (2)
ɭравнений
kkkkk012
k=1k=1
T=m=m=T+T+T
vvv
1
2
=⋅=
111
nNN
kjji
kjj
Tmqq
===
=⋅=
∑∑∑
n
k
1(,)(,)
kjpjpjp
kjpjp
Tmqqqq
=⋅⋅=⋅
∑∑∑

jppjk
==⋅
1(,)
ijpjp
jjp
Tqqq
++⋅

aaa
, (3)
инерции
имеет
(,)
pjp
Tqq
. (4)
Например
= q
(t), q
=
1111212222
(2)
Tqqqq
=++

aaa
возможное

1,2
kks
rrqqq
t = 0
kii
, (5)
коорɞинаты
возможном
()()
kikkiki
AFrFq
=⋅=⋅
обобщенная
kiii
AQq
(
(6)
(6)

), (7)

склерономные
i
Q
q
i
Q
q

:
111
nnn
kkkk
kkk
mFN
===
∑∑∑
, (8)
абсолютное
равенства
(8)
(5)
111
nnn
kkkk
kikiki
iii
kkk
drrr
mqFqNq
dtqqq
===
∂∂∂
⋅=⋅+⋅
∂∂∂
∑∑∑
kiki
NqA
⋅==
dtq
. (9)
()()
kkkk
iii
drdrdr
dtqdtqqdt
∂∂∂
⋅=⋅+⋅
∂∂∂
k
dt

kkkk
iii
drdr
dtqdtqq
∂∂∂
⋅=⋅−⋅
∂∂∂
ɭравнение
kkkki
mmQ
dtqq
−⋅=

()()
kkkki
mmQ
dtqq
1
2
-
кинетическая
энергия
ɮɭнкция
(
). (10)
(10)
ɭравнениями
Лагранжа
второго
виɞ
(10)
кинетической
ɞействɭющими
ɭравнения
механической
(3)
частнɭю
dTT
dtqq
Вычислить
полнɭю
войɞɭт
ɞля
частнɭю
6.
(6)
при
Лагранжа
второго
преɞ
системɭ
или
Пример

223
rRr
-
-
сила
2;
1;
качения
тела
Решение
качестве
1
коорɞинаты
Лагранжа
второго
dTT
dtxx
Вычисляем
системы
1111
Tmmx
222
222
2
Tmx
3 -
222
3333333
113
224
Tmm
=+=
-
цилинɞра
Tmx
123
131
282
Tmmmx
§·§·
=++=
¨¸¨¸
©¹©¹
123
mmm
=++
коэɮɮициент
приве
TTx
Распишем
Лагранжа
T
dtx
:
Q
1113333
cossin
AFrFrPrM
δγδδαδϕ
=⋅−−⋅−
sin
FfmgfF
cos
g
km
M
3
c
133
232
rxrxx
RrR
δδδδϕδ
===
(cossin)(sincos)
AFffmgmgx
γγααδ
=−−−+
cossin
sincos
QFffmgmg
γαα
=−−−+
x
123
(cossin)(sincos)
Fffmgmg
mmm
γαα
−−−+



(

нерастяжимых

склерономные
слеɞɭющие
Использɭя
роɞа
опреɞелить
9, 20, 22, 30
Пример
состоит
нерастяжимой
телами
ɞействием

слеɞɭющие
= 4
= 8
= 2
= 6

=
=

цилинɞры
Решение
всех



































16
(





4 8 2 3 - - - - - - - -
10 6 10 - 6 2 - - 0,8- 0,8 -
8 4 6 - 4 - - - - - - -
10 6 12 - 7 - - - - - - -
6 4 10 - - - - - - - 0,6 -
6 10 4 - 6 - - - - - - -
10 12 6 8 2 - - - - - - -
6 8 4 4 - - - - - - - -
8 9 6 - - - 2 3 1,2- 0.4 -
10 8 4 6 - - - - - - - -
4 6 2 - - - - - - - - -
6 8 2 - 4 - - - - - - -
2 4 2 - - - - - - - - -
4 6 8 10- 2 - - - - - 0,5
4 2 6 - 5 4 - - - - 0,6 -
2 4 6 5 - - - - - - - -
4 8 6 - 6 - - - - - - -
3 6 8 10- - - - - - - -
2 4 6 10- - - - - - - 0,8
6 8 4 2 - - 8 4 - 0,8 0,6 0,5
2 4 2 6 - - - - - - - 0,4
4 8 3 6 - - 2 6 - 0,8 0,4 0,6
5 6 8 2 - - - - - - - -
3 8 4 - - - - - - - - -
6 8 4 - 6 - - - - - - -
2 4 6 8 - 8 - - - - - -
4 8 2 - 4 - - - - - - -
4 2 6 8 - 12- - - - - 0,8
8 10 4 2 5 - - - - - - -
4 6 6 - - - 8 2 - 0,6 0,6 -


Вычисляем
1234
TTTTTT
==+++
11111
Tmv
Абсолютная
112
vxx
ɭгловая
1
1
111

111211
111
222
TmxxmR
=−+⋅=
11112121122
3131
444
4242
mxmxxmxxxxx
=−+=⋅−+⋅

11122
342
Txxxx
=−+

постɭпательное
22222
Tmxxx
==⋅=

3

332331
Tmx
3
3
333
222
222
332312121
11111
220,5
22224
Tmxmxxxxx
=+⋅=⋅+⋅=+

321
0,5
Txx
4
оɞнороɞных
цилинɞров
444
T=mv
v=x
4422
T=mx=6x
1616
T=1,125x
кинетической
слеɞɭющем
1122
T=3,5x-4xx+9,25x

dTT
dtxx
dTT
dtxx
(,)
TTxx
-
только

x
=4x18,5x
выражения
dtx

=-4x+18,5x
dtx

Вычисляем
1
1
Q
111
AFx
QF10
2
2
Q
k22212212
A
x-F
F-F
x
QF30
тела
7410;
-418,5=30.
7-4
==129,5-16=113,5
-418,5
10-4
==185+120=305
3018,5
==+=
710
21040250
430
1
1
2,7
113,5
==≅
;
2
2,2
113,5
==≅
ответ







механической
состоящей
прɭжин
ствɭющих
1212
,,,,,
rrrRRR
цилинɞров
ccc
коэɮɮициенты
1234
llll
стержней
цилинɞров
отсɭтствɭют
тойчивым
системɭ
после
состояние

равновесия
сɭществɭют
ɭсловия
состояния
Дирихле

(13.02.1805 5.05.1859).
математик
математическомɭ
математической
ɮизики










консервативной
является
тойчивым
ɮɭнкция
q
= Необхоɞимое ɭсловие равновесия
q
Достаточное
ɭсловие
коэɮɮициенты
равновесия
вопрос
исслеɞовал
Ляпɭнов
(1857-1918),
резɭльтаты
ɞокторской
Общая
потенциальная
(,,,)
qqq
разложим
qqq
qqq
=+++
∂∂∂

(1698 14.06.1746).
математик
основные
математическомɭ



−==
ɭсловие
равновесия
потенциальной
,
2
βαβ
αββα
(,)
циальной
1111212222
(2)
qcqqcq
=++
теорема
разложении
теорема
циальная
положительна
жительной
qqq
====
поло
строгий
равновесия
ɭстойчиво

(3.09.1814 15.03.1897).
мате
положения
положения
равновесия
жесткости
были
положительны
1112131
2122232
3132333
123
sssss
cccc
cccc
cccc
cccc
111

1112
2122


111
sss
Пример
Консервативная
1;
2,
цилинɞ
1
lll
2.
нɭлю







межɞɭ
отрезками
качении
цилинɞра
1
соотношения
SRr
22()
SSRr
==+
SSRr
122
консервативные
Pmg
Pmg
-
1, 2;
ɭпрɭгости
Вычисляем
потенциальнɭю
1212
()()()()
ППсПсП
=+++
1111
()()
Acc
=−=
2()
SRr
==+
()2()
Псс
2222
()()
Acc
=−=
222
λφφ
l
l
2
c
Псφ
1111
()()
PAPPh
=−=
()()(1cos)
hRrRr
+−+−
второго
cos1

1cos
()()
PmgRr
=−+
2222
()()
PAPPh
−=−
Применяя
212
2212
()()
Pmg
=−+
222
11212
()1
22()()()
mRrmg
=++−+++
Применяем
0
11212
22()()()0
mRrmg
++−+++=
2
11212
22()()()0
cRrmRrmg
++−+++>
121212
222
122
()()()
2()2()
mRrmg
++++
+++
llll
lll



система
равновесия
Числовые
момент
MMpt
-
возмɭщающего
1,5
y=y(t)
1,
колебаний
момент
колебаний
ɞействии
момент
коэɮɮициент
сопро
амплитɭɞно
частотной
ɭстойчивого
равновесия






17

/

/

1 0,6 0,4 0,1 1 2 3 3601,7 3 1 0,02 0,09
2 0,2 1 3 2 4000,9 2 2 0,01 0,06
3 0,5 0,5 0,1 1 2 4 4001,5 2 3 0,01 0,05
4 0,2 2 2 3 3201 1 4 0,03 0,02
5 0,4 0,6 0,3 0,2 1 3
4500,8 3 4,5 0,02 0,04
6 0,6 0,4 0,6 0,1 1 3
1801,2 4 0,5 0,03 0,08
7 0,8 0,2 0,1 1 2 4 3001 4 2 0,04 0,07
8 0,2 0,1 0,1 2 3
4001,6 3 1,4 0,02 0,08
9 0,6 0,4 0,4 0,2 1 2
3401,2 2 0,8 0,03 0,07
10 0,5 0,5 0,1 0,2 1 4
2001,4 3 1,5 0,02 0,04
11 0,5 0,8 0,2 1 2 4
3001,5 1 0,4 0,04 0,07
12 0,5 0,7 0,1 1 2 2
4001,2 2 0,6 0,01 0,03
13 0,8 0,8 0,4 1 2
3501,8 3 0,9 0,04 0,09
14 0,3 0,2 2 3 2 4001 4 1,5 0,01 0,07
15 0,4 1 2 1 4501,1 2 1,3 0,01 0,05
16 0,7 0,3 0,2 2 3 1
3201,6 3 1,8 0,04 0,08
17 0,5 0,2 1 2 3 2002 4 2 0,02 0,09
18 0,3 0,1 1 2 4 4002,1 4 1,5 0,03 0,04
19 0,4 0,6 0,2 1 2 2 2001,5 2 1 0,01 0,07
20 0,6 0,4 0,2 1 2 4 3201,4 3 2 0,03 0,05
21 0,6 0,4 0,2 1 1 4 3202,2 2 2 0,01 0,09
22 0,3 0,2 0,1 1 2 4 4001,3 1 3 0,02 0,05
23 0,4 0,4 0,1 0,2 1
2 3401,7 2 2 0,04 0,08
24 0,1 0,2 1 2 4 4001,4 3 2 0,01 0,07
25 0,2 0,2 1 2 3 3602 2 2 0,02 0,04
26 0,6 0,4 0,2 2 3 4 3800,8 2 4 0,05 0,06
27 0,4 0,2 2 2 3 4000,7 2 2 0,03 0,09
28 0,4 0,2 0,3 2 4 2000,8 1 3 0,01 0,08
29 0,6 0,2 0,2 1 2 4 2501,2 2 2 0,02 0,05
30 0,2 0,2 2 3 4 4001,4 2 3 0,04 0,07
сопротивления
свобоɞные
ɭравнение
Q
q

T
q

dtqq


2
-

q
q
dtq

. (2)
qkq
, (3)
k
k
свобоɞных
ɭравнению
(3)
cossin
qCktCkt
sincos
qCkktCkkt
=−+


опреɞеляем
sin
sin
qAkt
222
120
ACCq
=+=+
амплитɭɞа
,
arctg
-
показана


T
k

амплитɭɞа
размах
Пример
механической


y=y(t)
системы
Решение
схеме
характерных
,,,
DCA
vvvv


112166
;;;;
yyyV
vvv
ωωϕ
=====⋅==

166662
;;;cos45
CABC
yyy
vvvv
ϕωϕω
===⋅====

1
l
l
консерватив
dtyy
Вычисляем
1263
TTTTT
+++
1111
Tmmy
2222
222222
11111
2224
Tmrymy
==⋅=
2222
66616
11111
2236
Tmymy
==⋅⋅=
3333
оɞнороɞный
222
3333
1133
22244
Tmmm
=+⋅⋅==
1263
11131
22322
Tmmmmyy
=+++=
коэɮɮициент


1263
113
232
mmmm
=+++=
1130,4
22637
2320,6
=+⋅+⋅+⋅⋅≅
661
1cos
DCA
SySSyh
====−
cos1
≈−+
61666
111
===
Вычисляем
потенциальнɭю
116
()()()
ППРПсПР
=++
1111
()()
ПРАРР
ymgy
=−=−⋅=−⋅
111
()()
cAcc
=−=
прɭжины
=+=+
()()
Пссɭ
66666
()()
ПРАРР
hmg
=−=−=−
116
=+−⋅−
(0)
cmg


29,8
0,049
===
0,049
2222
1111
24222
mgmg
=−=−=
жесткости
равен
69,8
400351/
220,6
=−=−=
ɭравнение
TdT
ydtyy
∂∂∂
===
∂∂∂
yky
7,08
==≅
223,14
0,89
7,1
===
0,2
0,020,035
7,08
=+=+=
7,080,02
0,62
0,2
arctgarctg
===
ɭравнение
0,035sin(7,080,62)()
ɞиссипативная
линейного
линейно
kkkkk
=−=−
ckkk
QRr
==−
Использɭя
,
ckkkkkk
Qrr
=−=−=
1
.
2
Q
q
. (4)


),
(12.11.1842 30.06.1919).
ɮизик
механике
колебаний
оɞним
основоположников


222
111
222
kkk
rqBq
===
Разложим
()(0)
BqBqq
=+++
(0)

(0)
Bqbq
обобщенный
Qbq
колебания
слеɞɭющем
dtqq
2
q
dtq
q
qcqbq

ɭравнение
qnqkq

; (7)


b
n

полɭчили
(7)
затɭхающих
snsk

1,2
snnk
−±−
большого
3)
критического
сопротивления
1,2
snikni
=−±−=−
решение
слеɞɭющем
121121
cossin
iktikt
ntnt
qeCeCeeCktCkt
=+=+
kkn
затɭхающих
произвольные
постоянные
1121
cossin
qneCktCkt
=−++

11121
sincos
eCkktCkkt
+−+
. (10)
Использɭя
000
0,,
tqq
ɭравнениям
0121
qnCCk
=−+


qnq
111
sin
211
cos
222
1120
qnq
ACCq
=+=+
200
Cnqq
arctg
nqq
111
sin()
qAekt
огибающая
амплитɭɞ
011
sin
-
равновесия


затɭхающих
AAe
ntT
AAe
AAe
Aee
===
Величина
затɭхания
логариɮмическим
затɭхающих

T
nkn
ɭравнения
4
n
(
Пример
7,08
1,4
-
тɭхающих
коэɮɮициент
0,02,0,2/.
Решение
2222
7,081,4
1,53
41,44
==≅
затɭхающих
22221
7,081,536,93
kkn
=−=−=
221,53721,42/
кгс
==⋅⋅=
0,2
0,33
0,6
yyy
===≅

RQby
0,33
вычисляем
21,42
64,91/
0,330,33
βкг
==≅
затɭхающих
ynyky

111
esin()
yAkt
Вычисляем
(0,021,530,2)
0,020,039;
6,93
yny
=+=+=
6,930,02
tg0,601;0,541
1,530,020,2
nyy
====
+⋅+
ɭравнение
1,53
0,039esin(6,930,541)()


64,91
колебания
Qby
sin()
QFpt
-
-
Лагранжа
dtdqq
2

sin()
qcqbqFpt
+=−++

ɭравнение
2sin()
qnqkqhpt
++=+

n

k
ɭскорения
qqq
111
qnqkq


sin()
qApt
t
(
q
q
=. Рассмотрим этот виɞ колебаний. 2sin()
cos()
qAp
sin()
qAp
=−−
222

левɭю
ɭравнения
sin()2cos()sin()sin
−−+−+−=
,cos
ψεψε
sincoscossin2coscos
−+++
2sinsinsincoscossinsin
++−=
cos,sin
()cos2sin
()sin2cos0.
kpA
kpA
−+=
−−=
величинами
arctg
. (13)
первое
22222222
()4
kpAnpAh
−+=
амплитɭɞа


2222
()4
kpnp
. (14)
2222
sin()
()4
qpt
kpnp
=+−
максимальнɭю
(14)
222
111
()(
dfp
kppnp
=−−+=
222222
2,()4()
knfpnkn
=−=−
max
nkn
. (15)
колебаний
резонанс

max
. (16)
амплитɭɞы
личины
h
Пример
стержень
sin
MMpt
−= - частота возмɭщающего момента. Требɭется опреɞелить ɭравнение
характеристики
Решение
1
().
116
Q
Q=Fsinpt=6,67sin4t(
6,67.
0,6
dtyy
2
Qby
Q=Fsinpt
ycybyFpt
+=−+

2sin
ynykyhpt
++=

0
преɞшествɭющих
1,53;7,08;;6,67;7,0
nckchF
нкг
=====


0,95;4
hpc
(14)
амплитɭɞɭ
22222
0,95
0,026
(7,084)41,534
−+⋅⋅
21,534
tg0,344
7,084
arc
Записываем
0,026sin(40,344)()
max
0,95
0,045
21,537,081,53
7,08
резонансная
max
0,95
0,0440,045
27,081,53
===
амплитɭɞно
слеɞɭющим
arc
§·§·
¨¸¨¸
©¹©¹
222
kkk
§·§·§·
¨¸¨¸¨¸
©¹©¹©¹
0,95
0,019
7,08
1,53
0,216
7,08


0,432
0,019
10,187
arctgA
§·§·
¨¸¨¸
©¹©¹

1 0 0,019 0 34,5 0
2 0,5 0,024 0,28 43,6 3
3 1 0,044 1,57 80 31,4
4 1,5 0,013 2,66 23,6 58,3
5 2 0,006 2,86 10,9 60
0,044
0,00055()
===
(80)
2,86
0,0477
===
εмм
нахоɞим


A

Вычислим
амплитɭɞе
max
22221
27,0821,536,74
knc
=−=−⋅=
6,74
0,95
7,08


Амплитɭɞно
характеристика
ɞвɭмя
Консервативная
система
. 191 - 193
колебаний
также
ɭравнения
ɞвижения


kkkkk
k=1k=1
T=m=m
vvv
. (1)
Абсолютная
s
i
===
§·§·
∂∂∂∂
=+⋅+
¨¸¨¸
∂∂∂∂
©¹©¹
∑∑∑
nss
kkkk
kjj
kii
rrrr
Tmqq
qtqt
111
TTTT
012
Tmt
=⋅=
===
=⋅⋅=
∑∑∑
nNN
kjjj
kjj
Tmqq
111






19
/


1 2 4 200 300 20 0,6 0,2 0,4 0,1
2 2 4 250 200 0,4
3 1 3 5 300 250 0,2
4 2 5 600 800 70 0,6 0,4 0,8
5 8 2 150 150
6 5 2 800 600 80 0,6 0,3 0,2 0,5
7 3 1 200 200 80 0,6
8 4 2 100 300 0,4 0,4 0,2
9 2 3 200 100 60 0,3 0,3 0,4
10 2 4 3 300 200 0,5 0,2
11 2 2 200 300 0,6 0,8
12 4 2 250 300 40 0,6 1,2
13 4 2 3 300 250 0,5 1
14 3 2 300 400 50 0,2
15 6 400 300 60 0,6 1
16 4 6 500 100 80 0,4 0,8 0,8
17 3 4 100 500 40 0,6 1
18 2 4 3 250 300 0,4 0,5 1
19 2 3 150 200 0,2 0,4
20 8 6 600 400 1 0,5
21 5 4 400 500 1 0,5 0,3
22 5 7 4 400 400 0,3
23 4 5 350 400 0,5 0,2
24 3 4 450 600 0,5 0,6
25 2 3 5 400 400 60 0,3 0,7
26 6 2 3 300 300 20 0,2 0,6
27 4 5 3 400 300 0,4 0,4 0,2
28 6 4 200 800 50 0,6
29 3 4 2 250 300 1 0,6
30 3 2 4 250 200 1,2 0,3
aaa
=⋅=
jkjj
(())
=⋅=⋅
∑∑∑

kjpjpjp
kjpjp
Tmqqqq
1,,

==⋅
jppjk
k

aaa
=++

jjpjp
jjp
Tqqq
. (2)
(2)
ɮɭнкцию
0

pjp
Tqq
, (3)
ppj
TTqq
(,)
aaa
=++

Tqqqq
1111212222
(2)

Лагранжа
консервативных
dtqq
dtqq
. (4)
aaa
=++

Tqqqq
1111212222
(2)
2
22
2
1
12
2
1
11
c
q
q
c
q
c
+++=
+++=


qqcqcq
qqcqcq
111122111122
211222211222
(5)

kt
sin(
A
q
sin()
qAkkt
=−+
sin().
qAkkt
=−+
121
qqq
1111112122
112122222
()()
()()
ckAckA
ckAckA
−+−=
−+−=

Тривиальное
(6)
(6)
системы

11111212
12122222
()()
()()
ckck
ckck
ɭравнением
Раскрывая
2422
112212121211222211112212
()(2)()0
kccckccc
−+−−+−=
aaaaaa
корня


1


решение
1111122
2211222
sin()sin(),
sin()sin().
qAktAkt
qAktAkt
′′′
=+++
′′′
=+++

(6)
возможность
амплитɭɞ
21111112121
1212122221
21111212122
1212222222
Ackck
ckck
Ackck
ckck
==−=−
==−=−
(9)
Величины
ɭравнения
(8)
слеɞɭющем
1111122
211112122
sin()sin(),
sin()sin(),
qAktAkt
qAktAkt
βµβ
′′′
=+++
′′′
=+++

1112
,,,
′′′
1212
(0);(0);(0);(0)
qqqq
Пример
системы
1;2
4000;5000

переɞних
автомобиля
Решение
вертикальные
= и ɭгловɭю
кɭзова
равновесного
положения
Вычисляем
Tmy
I
22222
111
(10002000)
222
Tmymy
=+=+
1111212222
(2)
Tqqqq
=++

aaa
значения
1221
кгм

A
B

прɭжин
=++
=+−
потенциальнɭю
энергию
()()()
ППсПсП
=++
11111
()()
Пссс
==++
22222
()(2)
Пссс
==+−
P
−=−
1122
()(2)
ТСТ
ycymgy
λϕλϕ
=+++−−
1122
СТСТ
1122
СТСТ
cmg
1
3
2

121212
224
ccyccycc
=++−++


111222
ycyc
=++
1112
400050009000
ccc
=+=+=
1212
24000250006000
ccc
=−=−⋅=−
2212
440004500034000
ссс
=+=+⋅=
ɭравнения
kbkc
112212
10002000210
=−=⋅=⋅
aaaa
121211222211
2100024000
200090004210;
bccc
=−−=−⋅−
−⋅=−⋅
aaa
226
112212
900024000600018010
cccc
=−=⋅−=⋅
1,2
10,510,59010,54,5
=±−=±
62,45
2
153,87
Вычисляем
11111
12121
11112
12122
900010006
0,5;
9000100015
−−⋅
=−=−=
−−⋅
=−=−=−
(10),
виɞе
1112
sin2,45sin3,87
yAtAt
′′′
=+++
1112
0,5sin2,45sin3,87
AtAt
′′′
+−+
точки
трения
стɭɞентов
составляет
трɭɞность
составления
четко
ɞальнейшего
резɭльтатов
виɞа
послеɞɭющим
1 (
m = 1
сообщили
= 1
шероховатой
согнɭтой
f = 0,1,
показыва
вертикальной
: P = mg
сила
всегɞа


M
;cos;
;sin.
mFmPN
dvdv
mFmPF
dtdt
==−
==−
Кɭлона
(F
= fN)
ɭравнений
cos;
sin.
mmgN
mmgNf

(1)
(1)
N
sincos.
dvv
fggf
dtR
−=−

dt
dvdvddv
dtdtdd
=⋅=
SRSRv

R
SOM

dvvdvdv
dtRddR
();

ɭравнение
22sin2cos.
zfzggf
−=−

(3)
(3)
постоянными
правой
zzz
Величина
решением
20,
zfz
zCe

223
sincos
zCC
223
cossin.
zCC
(3)
2323
cossin2sin2cos2sin2.
CCfCfCggfcos
ϕϕϕϕϕ
−−−=−
приравниваем
cos
22;
22.
CfCgf
fCCg
+=−

ɭравнений
нахоɞим
669,80,1
5,65/;
14140,1
2(12)29,8(120,1)
18,5/.
14140,1
=−==−
++⋅
−⋅⋅−⋅
=−==−
++⋅

0,2
5,65sin18,5cos.
zCe
=−−
Использɭя
2
1/,
===
19,5/.
20,2
19,55,65sin18,5cos.
=−−
(5)
(5)
ɭравнения
(1)
0,2
cos28,3cos5,65sin19,5.
Nmgme
ϕϕϕ
=−=+−
(6)
ɭравнения
бɭɞет
:0,1
28,3cos5,65sin19,5=0
:minerr()
:0,841;0,84148,2.
given
===
20,20,84122
19,55,65sin48,218,5cos48,26,53/.
=−−=
2,6/.
ɭчасток
изменила

равенство
ɭравнений
cos();
sin().
mPN
mPNf
=++
=+−
(7)
sin()cos();
dvv
fggf
dtR
ϕϕϕ
+=+++
иметь
22sin()2cos()
zfzggf
ϕϕϕ
+=+++

1111
2(2cos2sin)sin(2sin2cos)cos.
zfzgfgf
ϕϕϕϕϕ
+=−++
0,211,6sin15,9cos.
+=+

zzz
zCe
223
sincos;
zCC

223
cossin.
zCC
2323
cossin0,2sin0,2cos11,6sin15,9cos.
CCCC
ϕϕϕϕϕ
−++=+
0,215,9,
0,211,6.
17,5/;
8,1/.
0,2
17,5sin8,1cos.
zCe
=+−
0;()6,76/;
===
14,9/.

20,2
14,917,5sin8,1cos.
=+−
(9)
1
Nmmg
=−+

полɭчим
14,924,8sin14,6cos.
=+−
N(
0,2
14,924,8sin14,6cos = 0
:minerr()
3,913;3,913224,2.
given
===
20,23,91322
14,917,5sin224,28,1cos224,20,41/.
=+−=
0,64/
224,2
слеɞɭет
27048,2224,22702,4.
ξϕϕ
∠=∠+∠−=+−=
ααααα
коорɞинат
cos(),
sin().
mPN
mPNf
=+−

0,29,8sin1,96cos,
−=−
(10)
;;.
zzdd
ψϕξψϕ
==+=
zzz
0,2
11223223
;sincos;cossin.
zCezCCzCC
ψψψ
==+=−
поɞстановки
2323
cossin0,2sin0,2cos9,8sin1,96cos.
CCCC
ψψψψψ
−−−=−
тожɞества
составляем
0,21,96,
0,29,8.
+=−
нахоɞим
3,77/;9,05/.
=−=−
3,77sin()9,05cos().
zCe
ξϕξ
=−+−+
Использɭя
третьем
-
()0,41/;0,04192,4
мсраɞ
====
0,413,77sin2,49,05cos2,49,61/.
=++=
20,2
9,613,77sin(2,4)9,05cos(2,4).
=−+−+
()0
(11)
иметь
9,613,77sin(0,0419)9,05cos(0,0419) = 0
:minerr()
0,149;0,1498,54.
given
−+−+
===
123
48,2224,28,54280,944,9.
αϕϕϕ
=++=++=≅
αααα
4,9.
ɞальнейшем
tg(360280,94)tg(79,06)5,17
−==
ααα
0,1.


сɭществɭющие
вывоɞы
ɭравнений
Даламбера
(0)
пере
возможных
аналитической
второго
систем
dTT
Qis
dtqq
−==
(1)
(,,)
TTqqt
i
Q
q
сила
система
связями
ɮɭнкцией
(,,...,).
TTqqq

q
dTT
dtqq
k
k
i
k
i
q

(,,)
FFcrt
QFv
WFv
TWis
−==

система

2
1,

Призма
ɭскорение
относительное
цилинɞра
скорости

0;0.
TWTW
−=−=
(3)
Вычислим
222
12222211
111
222
TTTmvImv
=+=++
222222
21212222211
2cos;;;.
vqqqqImrvq
=+−===

12122212
()cos
Tmmqmqmqq
=++−

1212222212212
coscos.
Tmmqqmqqmqqmqq
==++−−

ɞействɭющих
121221222
2cossin(2cos)sin.
WFqFqFqPqFqFqmgq
ααα
=−++=+−+

1211222221
()()cos
TWmmqmqmq
−=++−−

aaa
2121222
cos(2cos)sin.
mqFqFqmgq
−−++−

Использɭя
(3),
системɭ

12122
21222
cos
2cos
cossin.
mmmF
mmmgF
+−=+
−+=−
опреɞеляем
122
212
()cos
3(12sin),
cos
mmm
mmm
∆==++
122
(2cos)cos
(6cos)sin2,
(sin)
mFmg
mgFm
∆==++
()(2cos)
cos(sin)
mmF
mmgF
∆==
212221
()sin(2cossin).
mmmgFmmm
ααα
=++−−
(6cos)sin2
3(12sin)
Fmg
2()sin2(2cossin)
3(12sin)
mmgF
ααα
++−−
скоростей
склерономными
нахоɞится
ɭравнение
приобретает
слеɞɭющий


помощью
(3)
ɞействɭющими
констрɭкции

известных
степени
();()
txxt
независимые
21111
слɭчая
ɭравнения

0;0.
(6)
cos.
WQvMPv
=+−
Использɭя
скорости
1122
sin;sin.
AdCvbBdCv
===
ɞва
sin();
sin()
dCv
dCv

sincoscossin;
sincoscossin.
dCvv
dCvv
γβγ
γαγ
ɭмножим
cos
cos
полɭченные
ɭравнения
coscoscossin().
dCdCv
βγαβ
+=+
cossinsincos
cos.
sin()
βαβ
();
WWvv
1221
sincossincos
WQvvPvPv
ββα
αβαβ
=+−−
sincos
0;;
sincos
0;.
v
tgtg
;1.
tgtg
==+
Ввеɞение
Никитин
Ильин
Яблонский
Никиɮоров
Яблонский
., 1971
Яблонский
., 1966
рɭковоɞства
теоретической
Учебное
исправленное
).
Паншина
Розенблат
решениях
Динамика
/
Поɞ
Розенблата
КомКнига
Мещерский
теоретической
послеɞɭющие
Новожилов
Яблонский
кɭрсовых
Проекция
...11
момент
состоящей
..56
..75
.91
Вращение
кинетического
системы
..179
кинетической
системы
..196
системы
системы
..280
...290
системы
. 314
Приложение
Динамика
. 325
Приложение
Емельянович
Абрамович
Влаɞимир
Влаɞислав
механика
исправленное

Поɞписано
печать


.

). 125319,
., 64

Приложенные файлы

  • pdf 1121152
    Размер файла: 9 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий