Учебное пособие по курсу Начертательная геометрия

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ,
ИНЖЕНЕРНАЯ
И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА
КРАТКИЙ КУРС
ЧАСТЬ І
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ








учебное пособие для студентов высших учебных заведений
Мариуполь – 2010
УДК 515.
Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика. Краткий курс. Часть 1. Начертательная геометрия: учебное пособие / Акрамова Н.П., Кипчарская О.Н., Кондрашин С.Е., Ковалевский И.А., Таранина Е.В., Филипенко Т.Н.
В краткой форме изложен курс начертательной геометрии.
Пособие предназначено для студентов технических ВУЗов, которые изучают курс начертательной геометрии в сокращенном объеме.














Учебное издание
под редакцией Кондрашина С.Е.
Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика.
Краткий курс. Часть 1.
Начертательная геометрия: учебное пособие.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Целью изучения дисциплины "Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика" является приобретение будущими конструкторами и технологами умения правильно создавать и анализировать изображение разных объектов, овладения навыками выполнения графических работ, развитие пространственного и логического мышления.
Данное учебное пособие предназначено в первую очередь для самостоятельной работы студентов всех форм обучения технических вузов технологических специальностей, которые изучают укороченный курс начертательной геометрии в объеме, предусмотренном программой МОН Украины для этих специальностей.
В пособии коротко изложены в доступной форме основы начертательной геометрии, которые изучают студенты технологических специальностей первого курса. С помощью данного пособия студенты могут самостоятельно усвоить соответствующий раздел дисциплины, выполнить графические работы, предусмотренные учебным планом, и подготовиться к экзамену.
Учебное пособие представляет собой фактически конспект лекций, разбитый на 12 тем, в которых последовательно рассматриваются основные геометрические объекты и их взаимное положение особенности их изображения на чертежах, алгоритмы решения метрических и позиционных задач. Каждая тема содержит достаточное количество примеров, которые представлены в иллюстрациях, и сопровождаются четким алгоритмом решения.
Данное учебное пособие может быть использовано в качестве одного из источников для подготовки по дисциплине "Начертательная геометрия и инженерная графика" в комплексе с другими материалами, разработанными преподавателями кафедры как для помощи студентам в самостоятельной работе и выполнении графических работ, так и для проверки их знаний.

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Элементы пространства обозначаются:
Точки – большими буквами латинского алфавита (А,В,С, D,) или цифрами (1, 2, 3...).
Прямые и кривые – строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, d или обозначением точек, которые им принадлежат (АB) – прямая, [АВ] – отрезок прямой, [АB) – луч с началом в точке А.
Линия уровня: h – горизонталь, f – фронталь, p – профильная прямая.
Плоскости – большими буквами греческого алфавита: (, ( , ( ,
· .
Плоскости проекций – большой буквой греческого алфавита П:
– П1 – горизонтальная плоскость проекций;
– П2 – фронтальная плоскость проекций;
– П3 –профильная плоскость проекций;
– П4, П5 – дополнительные плоскости проекций.
(AOB– обозначение угла (фигуры); AOB – величина угла: AOB =30°.
Проекции элементов пространства – точек, прямых, плоскостей обозначаются теми же буквами, что и элементы с добавлением индекса, согласно соответсвующему индексу плоскости проекций:
A1, l2, (3 – горизонтальна проекция точки А , фронтальная проекция прямой l, профильная проекция плоскости ( .
Основные операции
( – принадлежность элемента множеству или подмножеству: А(( – точка А принадлежит плоскости ( ;
( – принадлежность подмножества множеству: l ( ( – прямая принадлежит плоскости (знак открыт в сторону элемента с большим размером);
= – совпадение множеств, равенство величин: А = В – точка А совпадает с точкой В;
(АВ (= (СD (– равенство длин отрезков [AB] и [CD];

· – пересечение: А = l
· n – точка А – результат пересечения прямых l и n ;
( – конгруэнтность:
· АВС (
· DEF – треугольники конгруэнтны;
( – следовательно.
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415 – скрещивающиеся прямые

1. МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ
Для построения чертежа применяются различные методы проецирования.

1.1. Центральное проецирование

В аппарат центрального проецирования (параметры, выбираемые проектировщиком) входят (рис. 1.1):
плоскость проекций П' ,
центр проекций S.
Чтобы построить центральную проекцию точки А пространства, нужно через центр S и точку А провести прямую, называемую проецирующей.
Точка пересечения проецирующей прямой с плоскостью проекций и будет центральной проекцией А' точки А .



Рис. 1.1

1.2. Параллельное и ортогональное проецирование

Аппарат параллельного проецирования(рис. 1.2):
плоскость проекций П',
направление проецирования s.
Чтобы построить параллельную проекцию точки А пространства, нужно через точку А провести проецирующую прямую, параллельную s. Точка пересечения проецирующей прямой с плоскостью проекций и будет параллельной проекцией А' точки А.
Если направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, то такое проецирование называется ортогональным.
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415


Рис. 1.2

1.3. Свойства ортогонального проецирования

Проекцией точки является точка (рис.1.2.)
Проекцией прямой, не перпендикулярной плоскости проекций, является прямая, а прямой, перпендикулярной плоскости проекций – точка (рис.1.3).
Если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит проекции прямой (рис.1.3).
Если прямые параллельны, то их проекции параллельны или совпадают (рис.1.4).
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415


Рис. 1.3

Отношение отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению проекций этих отрезков (рис. 1.3): [АС]:[ВС] = [A'C']:[В'С'].
Длина проекции отрезка, наклонного к плоскости проекций, меньше длины отрезка в пространстве и равна [A/B/] = [AB] сos
·, что следует из треугольника АВА* (рис. 1.5).
Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая к ней не перпендикулярна, то прямой угол проецируется в натуральную величину на этой плоскости проекций (рис. 1.6): если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости (, то она перпендикулярна этой плоскости и любой прямой ей принадлежащей: (АВ)((ВС) и (АВ)((ВВ/), то (АВ)((. (А/В/)|| (АВ), следовательно (А/В/)(( и (В/С/)((А/В/).
Проекция фигуры не изменяется при параллельном переносе плоскости проекций.
1.4. Обратимость чертежа
Проекции точки А' (рис. 1.2) соответствует бесконечное множество точек А в пространстве, расположенных на проецирующей прямой АА', т.е. реконструировать однозначно точку в пространстве невозможно и такой чертеж не обладает свойством обратимости.
Впервые задачу создания обратимого (комплексного) чертежа решил французский учёный Гаспар Монж, предложивший ортогонально проецировать точку на две и более взаимно перпендикулярных плоскости проекций.



Рис. 1.4





Рис. 1.5





Рис. 1.6

Стандартом Единой системы конструкторской документации (ЕСКД) установлено 6 основных плоскостей проекций, образующих грани куба.

Вопросы для самопроверки
Где располагается проекция точки на чертеже, если точка лежит на плоскости проекции?
Где располагается ортогональная проекция точки на чертеже, если точка принадлежит прямой, перпендикулярной плоскости проекций?
Зависит ли положение проекции точки на чертеже от удаления точки от плоскости проекций?
Как спроецируется прямой угол, если одна из его сторон перпендикулярна плоскости проекций?
2. ТРЁХКАРТИННЫЙ ЧЕРТЕЖ ТОЧКИ

2.1. Аппарат проецирования
Плоскости проекций (рис.2.1):
П1 – горизонтальная,
П2 – фронтальная,
П3 – профильная.
Оси проекций: x12, y13, z23.
Чтобы построить чертеж точки методом ортогонального проецирования находятся последовательно проекции точки: А1 – горизонтальная, А2 – фронтальная, А3 – профильная, а также А12 , А13 , А23 – проекции точки на осях проекций.
Параметры точки: высота h, глубина f, широта р – расстояния от точки до горизонтальной, фронтальной и профильной плоскости проекций соответственно.
2.2. Построение проекции точки
Для получения плоского изображения (чертежа) пространственную конструкцию из плоскостей проекций мысленно разрезаем по оси y13 , П1 вращаем вокруг оси x12 вниз от наблюдателя до совмещения с П2 , а П3 вращаем вокруг оси z23 вправо от наблюдателя до совмещения с П2, как это показано на рис. 2.1.
Ломаные линии А1А12А2, А1А13А3 и А2А23А3 превращаются в прямые называемые линиями связи, перпендикулярные соответствующим осям проекций.
Для удобства построений проведем константу Ко чертежа под 45о к осям проекций через точку их пересечения.



Рис. 2.1


13 EMBED Visio.Drawing.11 1415


Рис. 2.2

Тогда трёхкартинный чертеж точки представит собой прямоугольник, стороны которого – линии связи, перпендикулярные соответствующим осям проекций; три вершины прямоугольника – проекции точки, а четвертая – точка перелома линии связи на константе комплексного чертежа Ко (рис. 2.2).

2.3. Конкурирующие точки
Определение: точки, лежащие на проецирующей прямой (рис. 2.3). Они конкурируют в видимости на той плоскости проекций, к которой ортогональна проецирующая прямая.
Признак: проекции конкурирующих точек проекции совпадают в той плоскости, в которой они конкурируют в видимости (рис. 2.3, 2.4)

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
Для определения видимости точек на чертеже рассматриваются их проекции совместно с направлением взгляда на плоскость конкурирования.




Рис. 2.3
Рис. 2.4

Задача. Построить чертеж точки А (40, 20, 30) и точку В, горизонтально конкурирующую с точкой А и видимую на П1. (рис. 2.5).

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415

Алгоритм решения.
Строим проекции точки А12, А23, А13 на осях проекций, откладывая соответствующей длины координатные отрезки.
Через построенные проекции проводим линии связи, перпендикулярные осям, на которых эти проекции расположены.
В точках пересечения линий связи отмечаем проекции точки А на плоскостях проекций А1, А2 и А3.
Строим проекции точки В. Т.к. А и В – горизонтально конкурирующие, то А1 = В1.
Т.к. В видима на П1, то она ближе расположена к наблюдателю , чем точка А, и имеет большую высоту.

Рис. 2.4


Вопросы для самопроверки
Сформулируйте алгоритм построения на трёхкартинном чертеже проекции точки, заданной аналитически.
Где располагается в пространстве точка, высота которой равна нулю?
Где расположена в пространстве точка А с координатами А (0,10.20)?
От каких плоскостей проекций равноудалена точка В (20,10,20)?
Какие проекции точки совпадают на трёхкартинном чертеже у фронтально-конкурирующей точки?
3. ЧЕРТЕЖ ПРЯМОЙ

В пространстве прямая задаётся двумя своими точками или точкой и направлением.

13 EMBED Visio.Drawing.6 1415
Рис. 3.1
На чертеже прямая задается своими проекциями: либо проекциями отрезка прямой, либо участка прямой без указания принадлежащих ей точек (рис. 3.1).
На чертеже прямой l не указаны ни линии связи, ни ось проекций x12 (безосный чертеж). В случае необходимости ось может быть проведена в любом месте чертежа при одном условии – она должна быть горизонтальна.

3.1. Прямые общего и частного положения

3.1.1. Прямая общего положения
Определение: прямая наклонена ко всем плоскостям проекций.
Признак: проекции прямой наклонены к осям проекций.
Свойства чертежа: отрезок прямой и углы наклона прямой к плоскостям проекций проецируются на плоскости проекций с искажением.
У восходящей прямой высота точек возрастает по мере удаления от наблюдателя, у нисходящей – уменьшается.
Признак: у восходящей прямой проекции наклонены в одну сторону (l на рис. 3.1), у нисходящей АВ – в разные (рис. 3.1).

3.1.2. Прямая уровня

Определение: прямая, параллельная какой-либо плоскости проекций.
Признак: проекция прямой уровня в непараллельную плоскость – параллельна оси проекций.
Свойства чертежа: в параллельную плоскость проекций отрезок прямой и углы наклона её к плоскостям проекций проецируются в натуральную величину
На рис. 3.2 показаны горизонтальная прямая AB – h, фронтальная прямая CD – f , профильная прямая FE – p, и углы наклона к П1 – (, П2 – (, П3 – (.

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415

Рис. 3.2

3.1.3. Проецирующая прямая

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
Рис. 3.3
Определение: прямая, перпендикулярная какой-либо плоскости проекций.
Признак: проекция прямой в перпендикулярную плоскость – точка, в параллельные – прямые перпендикулярные соответствующим осям проекций (рис. 3.3 – 3.4).
Свойства чертежа: в параллельную плоскость проекций отрезок прямой проецируется в натуральную величину.


13 EMBED Visio.Drawing.6 1415
Рис. 3.4

Вопросы для самопроверки
Какая проекция фронтали на двухкартинном чертеже параллельна оси проекций?
В какую плоскость проекций отрезок горизонтальной прямой проецируется на конгруэнтный отрезок?
Какую плоскость проекций пересекает фронтальная прямая?
С какой плоскости проекций необходимо начинать построение произвольной горизонтальной прямой уровня?
Какой плоскости проекций параллельна горизонтально-проецирующая прямая?


4. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ

Прямые в пространстве могут располагаться параллельно друг другу, пересекаться или скрещиваться.
Прямые параллельны, если они принадлежат одной плоскости и не имеют общей точки.
Прямые пересекаются, если они принадлежат одной плоскости и имеют одну общую точку.
Прямые скрещиваются, если они не параллельны и не пересекаются.

Если прямые параллельны, то их одноименные проекции параллельны между собой или совпадают (рис.4.1).

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415

Рис. 4.1
Рис. 4.2

Если прямые пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются (или совпадают), при этом точки пересечения проекций всегда лежат на одной линии проекционной связи (рис. 4.2).

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
Если прямые скрещивающиеся, то точки пересечения одноименных проекций не лежат на одной линии связи. Точки пересечения проекций – совпадающие проекции конкурирующих точек, которые принадлежат скрещивающимся прямым (рис. 4.3).


Рис. 4.3


Вопросы для самопроверки
Достаточно ли двух проекций прямых для определения их параллельности?
Какое условие необходимо для определения параллельности профильных прямых в пространстве?
При каком взаимном положении прямые лежат в одной плоскости?
Могут ли взаимно перпендикулярные прямые быть скрещивающимися?
Сколько общих точек могут иметь пересекающиеся прямые?
5. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ ПЛОСКОСТИ

Плоскость считается заданной на чертеже, если:
возможно построить проекции любой точки, принадлежащей плоскости;
возможно определить, принадлежит ли данной плоскости заданная на чертеже точка.
В общем случае плоскость задается на чертеже проекциями своего определителя, под которым понимается совокупность элементов, которые однозначно задают плоскость в пространстве (рис. 5.1): три точки, не лежащие на одной прямой; прямая и точка вне прямой; две пересекающиеся прямые; две параллельные прямые; плоская фигура.



Рис. 5.1

5.1. Положение плоскости относительно плоскостей проекций

5.1.1. Плоскость общего положения
Определение: плоскость, наклоненная ко всем плоскостям проекций (рис. 5.2).
Признак: ни на одну из плоскостей проекций определитель плоскости не проецируются на прямую (см. рис. 5.1).

Свойства чертежа: фигура в плоскости общего положения, углы наклона ее к плоскости проекций ни на одну плоскостям проекций не проецируются в натуральную величину.
Восходящей называется плоскость, высота точек которой возрастает по мере удаления от наблюдателя, а нисходящей – плоскость, высота точек которой уменьшается по мере удаления от наблюдателя.
Признак: у восходящей плоскости обход проекций точек на обеих плоскостях проекций одинаковый (плоскость
· и ( на рис. 5.1), у нисходящей – противоположный (плоскость ( на рис. 5.1). У восходящей плоскости, видна на П1 и П2 одна и та же сторона, у нисходящей – разные стороны.
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415


Рис. 5.2

5.1.2. Проецирующая плоскость

Определение: плоскость, перпендикулярная какой-либо плоскости проекций (рис. 5.3).
Признак: проекция плоскости на перпендикулярную плоскость проекций – прямая (вырожденная проекция плоскости), наклоненная к осям проекций (( на рис. 5.3, 5.4). На комплексном чертеже проецирующие плоскости задаются, как правило, своими вырожденными проекциями (см. рис. 5.4).
Свойства чертежа: вырожденная проекция обладает собирательным свойством: проекция фигуры, расположенной в плоскости, в перпендикулярную плоскость проекций располагается на вырожденной проекции проецирующей плоскости. Углы наклона вырожденной проекции к осям проекций равны углам наклона плоскости к соответствующим плоскостям проекций.

13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415

Рис. 5.3
Рис. 5.4

В зависимости от плоскости проекций, к которой перпендикулярна плоскость, проецирующие плоскости называются горизонтально, фронтально или профильно-проецирующими.

5.1.3. Плоскость уровня

Определение: плоскость, параллельная какой-либо плоскости проекций (рис. 5.5).
Признак: проекция плоскости на перпендикулярные плоскости проекций – прямая (вырожденная проекция) Г2, параллельны соответствующим осям проекций (рис. 5.6).
Свойства чертежа: фигура в плоскости уровня в параллельную плоскость проекций проецируется в натуральную величину.

13 EMBED Visio.Drawing.6 1415
13 EMBED Visio.Drawing.6 1415

Рис. 5.5
Рис. 5.6

5.2. Принадлежность прямой и точки плоскости

Прямая принадлежит плоскости:
а) если прямая проходит через две точки, принадлежащие плоскости;
б) если прямая проходит через точку плоскости и параллельна прямой, лежащей в плоскости.
Точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, принадлежащей плоскости.

Задача. Построить недостающую проекцию точки А, принадлежащей плоскости ( (m
· n), (рис.5.7).

13 EMBED Visio.Drawing.6 1415
Алгоритм решения
Через известную горизонтальную проекцию точки А (А1) проводим проекцию произвольной прямой l так, чтобы она пересекала прямые m и n, задающие плоскость (: А1 ( l1
Находим проекции точек 1 и 2 пересечения прямой l с прямыми m и n: 11 = l1
· m1, 21 = l1
· n1, 12 ( m2 , 22 ( n2
Соединив 12 и 22, получаем фронтальную проекцию прямой l, по принадлежности которой и находим фронтальную проекцию точки А: А2 ( l2.

Рис. 5.7


5.3. Прямые особого положения в плоскости

5.3.1. Прямая уровня плоскости

Определение: прямая, принадлежащая плоскости и параллельная какой-либо плоскости проекций.

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
Рис 5.8

Линии уровня плоскости по направлению параллельны соответствующим линиям пересечения данной плоскости ( с плоскостями проекций (рис. 5.8):
линия h0 – горизонталь, расположенная в горизонтальной плоскости проекций,
линия f0 – фронталь, расположенная во фронтальной плоскости проекций,
линия p0 – профильная прямая, расположенная в профильной плоскости проекций.

Задача. В плоскости ( (( АВС) провести произвольные горизонталь и фронталь (рис. 5.9).

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415

Рис. 5.9

Алгоритм решения
Т.к. требуется построить произвольные горизонталь и фронталь, то для удобства построений проведем их соответственно через вершины С и А треугольника.
Сначала проводим те проекции прямых, направление которых известны – фронтальную проекцию горизонтали h2 и горизонтальную фронтали f1: C2 ( h2 || X12 , А1 ( f1 || X12 .
Недостающие проекции прямых, находим по принадлежности их плоскости треугольника АВС, а именно по двум точкам, ей принадлежащим. Для этого находим точки 1 и 2 пересечения горизонтали и фронтали со сторонами АВ и ВС соответственно и соединяем их с одноименными проекциями А и С.

13 EMBED Visio.Drawing.6 1415

Рис. 5.10

В проецирующей плоскости прямая уровня, параллельная неперпендикулярной плоскости проекций – проецирующая прямая (рис. 5.10).

Вопросы для самопроверки
Какие вы знаете способы задания плоскости на комплексном чертеже?
Какие плоскости называются плоскостями уровня? Свойства этих плоскостей?
Какие плоскости называются проецирующими? Какие свойства этих плоскостей?
Сформулируйте условия принадлежности прямой плоскости.
Какие прямые называются горизонталями плоскости?
Какие прямые называются фронталями плоскости?
6. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ, ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
6.1. Параллельность прямой и плоскости
Определение: прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общей точки.
Признак: прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой, которая лежит в плоскости.

Задача. Через точку М провести прямую l, параллельную плоскости ( (a || b) и П1 (рис. 6.1).














Рис. 6.1
Алгоритм решения
1. Т.к. искомая прямая l должна быть параллельна П1, в плоскости ( (a || b) проводим произвольную горизонталь h: сначала h2 || x12, а затем h1 по точкам 1 и 2: 1113 EMBED Visio.Drawing.6 1415 h113 EMBED Visio.Drawing.6 1415 21
2. Через проекции точки М проводим l2 || h2 и l1 || h1.
Задача решена: прямая l || ( (a || b), т.к. она параллельна h, лежащей в плоскости, и l || П1, т.к. l2 || x12.


6.2. Параллельность плоскостей
Определение: плоскости называются параллельными, если не имеют общей точки.
Признак: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
Рис 6.2
Задача. Через точку М провести плоскость (, параллельную плоскости ( (a || b) (рис. 6.2).
Алгоритм решения
1. В заданной плоскости нет пересекающихся прямых, поэтому проводим в ней дополнительную прямую с , пересекающую прямые, задающие плоскость ( (a || b).
2. Искомую плоскость ( задаём двумя пересекающимися прямыми m || a и l || c, проведенными через точку М.


6.3. Пересечение прямой с плоскостью

Задача. Построить точку пересечения K прямой l с проецирующей плоскостью (.

13 EMBED Visio.Drawing.6 1415
Рис. 6.3

Алгоритм решения
Точка K общая для прямой и плоскости. Из условия принадлежности её плоскости ( горизонтальная проекция К1 должна располагаться на вырожденной проекции плоскости (1. Из условия принадлежности её прямой l проекции точки должны лежать на проекциях прямой. Следовательно, К1 лежит в точке пересечения (1 и l1: l1 ( К1 13EMBED Visio.Drawing.61415 (1 . Фронтальная проекция К2 находится по принадлежности прямой l: К2 ( l2.
Видимость прямой на П2 определяем «по представлению»: рассматриваем горизонтальную проекцию совместно с направлением взгляда наблюдателя на П2 и видим, что при взгляде на П2 часть прямой правее точки К располагается за плоскостью ( и поэтому является невидимой

Задача. Построить линию пересечения двух плоскостей, одна из которых проецирующая (рис. 6.4).

Алгоритм решения
Линия пересечения m принадлежит фронтально-проецирующей плоскости, следовательно, фронтальная проекция линии совпадает с вырожденной проекцией плоскости: m2 = (2 .


Рис. 6.4
Линия пересечения m принадлежит плоскости треугольника АВС, следовательно, она пересекает стороны треугольника АВ и АС в точках 1 и 2. Построив горизонтальные проекции этих точек по принадлежности сторонам треугольника и соединив их, получаем горизонтальную проекцию искомой линии пересечения m1 .
Видимость треугольника на П1 определяем так же , как и в предыдущей задаче, «по представлению»: рассматриваем фронтальную проекцию совместно с направлением взгляда наблюдателя на П1 и видим, что при взгляде сверху часть треугольника (А12) располагается ниже плоскости ( и является невидимой


Вопросы для самопроверки
Фронтальная плоскость пересекает горизонтально-проецирующую плоскость. Какая прямая является результатом пересечения?
Как определить взаимное положение прямой и плоскости заданных на чертеже?
Что является результатом пересечения двух плоскостей, прямой и плоскости?
Горизонтальная проекция прямой параллельна вырожденной проекции горизонтально - проецирующей плоскости. Какое положение занимает прямая?
Результатом пересечения двух горизонтально-проецирующих плоскостей является прямая. Какое положение занимает прямая согласно плоскостей проекций
7. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА
Цель преобразования – упростить чертеж, расположив заданные геометрические фигуры в более удобное для решения задачи частное положение.
Методы преобразования чертежа используют для решения метрических и позиционных задач. Все они основаны на двух принципах: изменение взаимного положения объекта и плоскостей проекций; изменение направления проецирования.
Основными задачами преобразований являются:
Прямую общего положения сделать прямой уровня.
Прямую общего положения сделать проецирующей прямой.
Плоскость общего положения сделать проецирующей.
Плоскость общего положения сделать плоскостью уровня.
Одним из таких преобразований является способ замены плоскости проекций или построение проекции фигуры в дополнительную плоскость проекций.
7.1. Замена плоскостей проекций
При этом способе преобразования чертежа положение фигуры в пространстве не изменяется, а заменяют одну из основных плоскостей проекций, проводя новую – дополнительную – плоскость проекций так, как это удобно для решения задачи. При этом новая плоскость должна быть перпендикулярной незаменяемой плоскости проекций.
Рассмотрим этот способ на простом примере, когда фигурой в пространстве является точка. Допустим, в системе плоскостей проекций П1 / П2, где расположена точка А (рис. 7.1), решение задачи затруднено или вообще невозможно. Поэтому плоскость П2 заменяется на новую плоскость П4, которую располагают так, чтобы решение было облегчено. В новой системе плоскостей П1 / П4 с новой осью проекций s14 необходимо построить проекцию точки А4. По методу ортогонального проецирования из точки А опускается перпендикуляр на П4, а для нахождения точки его пересечения с П4 (проекции А4) через А1 проводится ломаная А1А14А4, оба звена которой перпендикулярны оси системы s14.

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
Рис. 7.1


При переходе к новой системе плоскостей проекций остаются неизменными:
одна из плоскостей проекций и проекция фигуры в ней (в нашем случае П1 и А1),
расстояние от фигуры до незаменяемой плоскости проекций (АА1), которое проецируется в натуральную величину как в замененную, так и новую плоскости проекций (АА1 = А2А12 = А4А14).

Для превращения пространственной конструкции (рис. 7.1а) в плоское изображение (чертеж) плоскость П1 вращением вокруг оси x12 совмещается с П2, а новая плоскость П4 вращается вокруг оси s14 до совмещения с П1. При этом ломаная А1А14А4 превращается в линию связи, перпендикулярную оси s14 (рис. 7.1б).

Таким образом построение проекции точки в дополнительную плоскость формализируется следующим алгоритмом:
В избранной системе двух плоскостей проекций одну из плоскостей оставляют неизменной. Выбор такой плоскости зависит от положения объекта и условия задачи: в рассмотренном примере (рис. 7.1) П1 – const, проекция А1 – const, удаление точки А от горизонтальной плоскости (высота) hA – const.
Вместо второй плоскости проекций применяют дополнительную плоскость проекций, которую располагают так, как нужно для решения задачи ( в рассмотренном примере П2 П4 ( П1). Таким образом, старая система плоскостей преобразована в новую систему, при чем как линией пересечения старых плоскостей была ось х12, так линией пересечения плоскостей в новой системе является ось s14: П1 / П2 (х12) П1 / П4 (s14). На чертеже новая система плоскостей моделируется изображениям новой оси, которую проводят рядом с имеющимся изображением. Таким образом заменяемыми являются плоскость П2 П4, проекция А2 А4, ось х12 ось s14.
Строим проекцию точки в дополнительную плоскость:
Через незаменяемую проекцию точки (в данном случае А1) проводят линию связи, перпендикулярную новой оси проекций.
На новой линии связи от точки пересечения ее с новой осью откладывают отрезок, равный расстоянию между замененной проекцией точки и замененной осью (в рассмотренном примере расстояние между А2 и х12: (А2А12( = (А14А4( = hA ).


Задача. Прямую общего положения, заданную отрезком АВ, сделать прямой уровня (рис. 7.2).
Чтобы прямую общего положения сделать прямой уровня, достаточно заменить одну из основных плоскостей проекций, проведя новую плоскость параллельно заданной прямой и перпендикулярно второй плоскости проекций.

13 EMBED AutoCAD.Drawing.15 1415
В данном случае заменить можно любую плоскость, потому что это не отразится на результате. Если бы в условии задачи необходимо было определить угол наклона к одной из плоскостей проекций, выбор незаменяемой плоскости был бы однозначным.
Алгоритм решения
П1 – const
П2 П4 || [AB]
П1 / П2 (х12) П1 / П4 (s14 || [A1B1])
2. Строим проекции точек А и В на новую плоскость согласно алгоритма. (А4В4( = (АВ(.

Рис. 7.2


Задача. Прямую общего положения, заданную отрезком АВ, сделать проецирующей прямой (рис. 7.3).

13 EMBED AutoCAD.Drawing.15 1415
Рис. 7.3
Выбор незаменяемой плоскости проекций в данном случае обусловлен расположением отрезка [АВ], который уже является горизонталью. Поэтому незаменяемой оставляем именно горизонтальную плоскость проекций.
Алгоритм решения
[АВ] || П1 следовательно П1 – const.
П2 П4 ( [АВ]
П1 / П2 (x12) П4 / П1 (s14 ( [А1В1]).
Строим проекции точек A и B на П4 по алгоритму построения точек в дополнительную плоскость.
Поскольку П4 ( [АВ], отрезок проецируется в точку.


Если условием задачи предусмотрено превращение прямой общего положения в проецирующую прямую, то сделать это заменой только одной из основных плоскостей проекций нельзя, потому что плоскость, перпендикулярная прямой общего положения, в системе основных плоскостей проекций займет также общее положение и ни с одной из плоскостей не образует новую ортогональную систему плоскостей проекций. Поэтому, чтобы прямую общего положения сделать проецирующей, нужны две последовательных замены обеих основных плоскостей проекций. Сначала заменой одной из плоскостей прямую общего положения делают прямой уровня, а затем заменяют вторую основную плоскость на новую, выставляя ее перпендикулярно прямой.

Задача. Прямую общего положения сделать проецирующей прямой (рис. 7.4).



13 EMBED Visio.Drawing.6 1415
Алгоритм решения
Первая замена: П2 П4 || l : П1 / П2 (х12) П1 / П4 (s14 || l1). Взяв на прямой l две произвольных точки 1 и 2, строим их проекции на П4 по алгоритму построения точек в дополнительную плоскость проекций и соединяем прямой. Поскольку l || П4, отрезок [12] проецируется в П4 в натуральную величину, как и угол ( наклона прямой l к П1.
Вторая замена: П1 П5 ( l: П1 / П4 (s14) П4 / П5 (s45 ( l4). Строим проекции точек 1 и 2 на П5 по алгоритму построения точек в дополнительную плоскость проекций, откладывая от оси s45 расстояние от точек до плоскости П4. Поскольку П5 ( l, то прямая проецируется в точку.


Рис. 7.4



Чертеж, на котором изображены проекции фигур, может быть безосным (не изображена координатная ось х). В этом случае при построениях нужно провести ось для правильного измерения расстояний от точки до плоскостей проекций (ось проекций на чертеже разделяет линию связи, соединяющую две проекции точки, на два отрезка, которые являются соответственно расстояниями от точки до двух плоскостей проекций).
Относительно превращения плоскостей: чтобы плоскость общего положения сделать проецирующей, достаточно замены одной из основных плоскостей проекций. Проецирующая плоскость должна проходить через проецирующую прямую. Чтобы новая плоскость проекций была перпендикулярна одновременно заданной плоскости общего положения и незаменяемой основной плоскости проекций, в заданной плоскости проводят прямую уровня (смотри рис. 7.3), параллельную незаменяемой плоскости проекций, и новую плоскость проводят перпендикулярно этой прямой.
Чтобы плоскость общего положения сделать плоскостью уровня необходимы последовательные замены обеих основных плоскостей проекций: первой заменой плоскость общего положения делают проецирующей, а затем заменяют вторую основную плоскость проекций, выставляя новую плоскость проекций параллельно заданной плоскости.

Задача. Проецирующую плоскость сделать плоскостью уровня (рис. 7.5).
Определитель плоскости, которой принадлежит треугольник АВС, в горизонтальной плоскости проекций вырождается в отрезок, расположенный не параллельно оси проекций, потому заданная плоскость является горизонтально-проецирующей. Исходя из этого необходимо из двух плоскостей проекций оставить неизменной именно П1, поскольку заданная плоскость ей уже перпендикулярна. Тогда новая плоскость проекций, которая выставляется параллельно треугольнику, будет тоже перпендикулярна П1.


13 EMBED AutoCAD.Drawing.15 1415
Алгоритм решения

· (
· АВС) ( П1 ( П1 – const
П2 П4 || ( ABC:
П1 / П2 (x12) П4 / П1 (s14 || [А1 В1]).
Строим по алгоритму построения точек в дополнительную плоскость П4 проекции вершин ( ABC. Поскольку плоскость ( ABC параллельна новой плоскости проекций, то треугольник отображается в П4 в натуральную величину.


Рис. 7.5


Рассмотренные задачи применяют для определения НВ отрезков и углов наклона прямой относительно плоскости проекций, НВ расстояния между точкой и прямой, двумя параллельными прямыми, точкой и плоскостью, углов наклона плоскости к плоскостям проекций, НВ плоской фигуры и тому подобное.

Вопросы для самопроверки
С какой целью выполняется преобразование чертежа с применением способа замены плоскости проекций?
Какие две из трех плоскостей проекций можно взять в качестве базовой системы плоскостей проекций?
С помощью какой линии на чертеже изображают новую систему плоскостей проекций?
Расстояние от объекта до какой плоскости из двух, формирующих базовую систему плоскостей, при использовании проецирования в дополнительную плоскость проекций остается неизменным?
Какое направление имеет линия связи в новой системе плоскостей проекций?
Какое главное требование к расположению дополнительной плоскости проекций относительно неизменной плоскости проекций?
Какой из параметров точки (широта, глубина или высота) остался неизменным в случае замены плоскости проекций, показанном на рис. 7.6?
Какому отрезку равняется расстояние от точки А до дополнительной плоскости проекций П4 (рис. 7.6).

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415


Рис.7.6


Какую из сторон треугольника (АВ, ВС или АС) можно превратить в проецирующую, сделав замену только одной плоскости проекций (рис. 7.7)?
Угол наклона прямой линии, к которой из плоскостей проекций можно определить на дополнительной плоскости проекций, если в базовой системе плоскостей проекций неизменной осталась фронтальная плоскость проекций?

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415


Рис. 7.7


8. МНОГОГРАННИКИ
Многогранником называют геометрическое тело, со всех сторон ограниченное плоскостями. Элементами многогранника являются грани, ребра и вершины. Все ребра многогранника в совокупности образуют так называемую сетку.
Наиболее распространенными в практике являются пирамиды, призмы и правильные многогранники.
Пирамида – многогранник, все грани которого, кроме одной – основания, имеют общую вершину, которую называют вершиной пирамиды (рис. 8.1а). Основание может быть произвольным многоугольником, все же боковые грани пирамиды – треугольники.
Призма – многогранник, который имеет взаимно параллельные боковые ребра (рис. 8.1б). Боковые грани призмы – параллелограммы; две грани, которые не параллельны боковым ребрам, являются основаниями призмы в виде произвольных равных многоугольников. Если боковые ребра перпендикулярны основаниям, призма называется прямой, если нет – наклонной. Основания призмы могут быть не параллельными между собой, тогда такую призму называют усеченной.

13 EMBED AutoCAD.Drawing.15 1415

Рис. 8.1

Если весь многогранник располагается по один бок плоскости любой его грани, он называется выпуклым (рис. 8.1), если нет – вогнутым. В дальнейшем рассматриваются только выпуклые многогранники.
Если основаниями пирамиды или призмы является правильный многоугольник, такие поверхности называют правильными пирамидой или призмой.
Правильные выпуклые многогранники (тела Платона) – те многогранники, все грани которых являются конгруэнтными правильными многоугольниками. Различают пять правильных многогранников:
тетраэдр (четырехгранник) – все грани его равносторонние треугольники;
гексаэдр (шестигранник) – все грани – квадраты;
октаэдр (восьмигранник) – все грани являются равносторонними треугольниками;
додекаэдр (двенадцатигранник) – все грани являются правильными пятиугольниками;
икосаэдр (двадцатигранник) – все грани – равносторонние треугольники.
8.1. Изображение многогранника на чертеже
На комплексном чертеже многогранники изображаются проекциями своих вершин и ребер (сетки) с учетом видимости их на плоскостях проекций. На рис. 8.2 показаны проекции пирамиды (рис. 8.2а) и наклонной призмы (рис. 8.2б).

13 EMBED AutoCAD.Drawing.15 1415

Рис. 8.2

Задача. Построить проекции многогранника по заданным вершинам. Найти недостающие проекции точки М, которая принадлежит поверхности многогранника (рис. 8.3).

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415

Рис. 8.3

Алгоритм решения
Построив профильные проекции вершин пирамиды, соединяем одноименные проекции вершин отрезками и получаем проекции пирамиды. Видимость ребер и граней определяем по представлению. На П1 видимы боковые ребра и грани пирамиды, так как вершина S располагается над основанием АВС. Рассматривая горизонтальную проекцию совместно с направлением на П2, определяем, что видимыми на П2 являются грани ASB и BSС, а грань АSC и ее ребро АС – невидимы. Аналогичным образом определяем, что на П3 невидимыми являются ребра, прилегающие к вершине С.

Строим недостающие проекции точки М, принадлежащей пирамиде, используя признак принадлежности точки гранной поверхности: точка принадлежит поверхности многогранника, если лежит на прямой, которая принадлежит какой-либо грани этой поверхности. Точка М видима на П2 (ее проекция не заключена в скобки), следовательно, она лежит в грани ASB. Проводим в этой грани через М2 произвольную прямую, например, S212 и строим остальные проекции прямой и по принадлежности им находим недостающие проекции точки. Так как грань ASB видима на всех проекциях, то и точка М везде является видимой.

8.2. Пересечение многогранника плоскостью

При пересечении многогранника плоскостью получают многоугольник, вершины которого – точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью, а стороны – линии пересечения его граней с той же плоскостью (рис. 8.4).
Количество вершин многоугольника совпадает с количеством ребер, которые пересекаются.
Решение этой задачи можно осуществить двумя способами:
способом ребер – решая первую основную позиционную задачу столько раз, сколько ребер пересекаются плоскостью;
способом граней – решая вторую основную позиционную задачу.
Более удобным в построении является способ ребер.
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415Рис. 8.4


Задача. Построить проекции и натуральную величину сечения пирамиды SАВС плоскостью
· (
·1) (рис. 8.5).

Алгоритм решения
Так как
· – горизонтально-проецирующая плоскость, то отрезок ее вырожденной проекции
·1, что лежит внутри очерка пирамиды – горизонтальная проекция сечения. Вершины сечения сначала находим на П1, как результат пересечения
·1 с проекциями ребер, а затем на других плоскостях проекций – по принадлежности ребрам.
Найденные вершины сечения соединяем отрезками, руководствуясь правилом: отрезками прямых можно соединять только точки, которые лежат в одной грани многогранника.
НВ сечения определяем способом замены плоскостей проекций: П2 П4 ||
·, П1 / П2 (x12) П1 / П4 (s14 ||
·1).
Видимость на чертеже определяем по представлению. Из двух скрещивающихся ребер SB и АС при взгляде сверху ближе к наблюдателю SB, потому АС на П1 невидимо. На П2 невидимой является грань ASC и принадлежащая ей сторона сечения (12).
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415

Рис. 8.5

8.3. Пересечение многогранника прямой

Алгоритм решения (рис. 8.6)
Через прямую проводим вспомогательную секущую плоскость: l
·
· .
Строим сечение многогранника плоскостью: DEF = Фмн
·
·
·
Определяем точки пересечения прямой с построенной фигурой сечения: M, N = l
·
· DEF.

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415


Рис. 8.6


Задача. Найти точки пересечения прямой l с пирамидой SАВС (рис. 8.7).

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
Алгоритм решения
l
·
·
· l2 =
·2.
DEF = Фмн
·
·
·D2 =
·2
· A2S2 ,
D1 ( A1S1
E2 =
·2
· B2S2 , E1 ( B1S1
F2 =
·2
· С2S2 , F1 (C1S1.
M,N = l
·
· DEF
·
M1 = l1
· D1E1, M2 ( l2
N1 = l1
· F1E1, N2 ( l2.
Видимость определяем по представлению.
Грани АSB и BSC видимы на обеих проекциях, значит, видимы и точки M и N в них лежащие, и прилегающие к точкам участки прямой l. Невидимым является только участок прямой, лежащий внутри пирамиды. На П1 невидимым будет ребро АС пирамиды: скрещивающееся и конкурирующее с ним в видимости ребро SB расположено ближе к наблюдателю.

Рис. 8.7


8.4. Взаимное пересечение многогранников

Линией пересечения двух многогранников является пространственная замкнутая ломаная, вершины которой – точки пересечения ребер одного многогранника с гранями второго и ребер второго с гранями первого, а сторонами – линии взаимного пересечения граней многогранников (рис. 8.8, 8.9).

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415

Рис. 8.8
Рис. 8.9

При взаимном пересечении двух многогранников могут встретиться два случая: врезки (неполного пересечения) и проницание. Врезкой называется случай, когда ни одна из поверхностей не пересекает другую полностью (рис. 8.8). Проницанием называется случай, когда одна из поверхностей полностью пересекается другой поверхностью (рис. 8.9). В случае врезки линия пересечения состоит из одной ломаной, а в случае проницания – из двух.
Задача. Построить проекции линии пересечения двух многогранников (рис. 8.10).

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415

Рис. 8.10

Алгоритм решения

Поскольку поверхность призматического отверстия полностью пересекает поверхность пирамиды (случай проницания), то линия пересечения (ЛП) состоит из двух пространственных замкнутых ломаных. Боковые грани призмы – фронтально-проецирующие, поэтому фронтальная проекция ЛП совпадает с фронтальной проекцией призматического отверстия, при этом проекции обоих фронтально конкурирующих контуров ЛП совпадают.
Находим вершины ЛП – точки пересечения ребер призмы с поверхностью пирамиды. Поскольку ребра призмы являются фронтально-проецирующими, то точки пересечения их с поверхностью пирамиды на П2 совпадают с вырожденными проекциями самих ребер: n2 =12=22, l2 = 32 = 42, l2 = 52 = 62. На П1 эти вершины находим методом вспомогательных секущих плоскостей (см. рис. 8.10):
проводим плоскость Г (Г2 ) через ребро n параллельно основанию пирамиды;
строим пересечение k пирамиды этой плоскостью: на П2 – k2 , а на П1 проекция пересечения k1 будет квадратом, стороны которого параллельны сторонам основания, т.к. боковые грани пирамиды пересекаются параллельной плоскостью по параллельным прямым. Для построения этого сечения находим его вершину – точку 7 сначала на П2 – 72 = Г2
· А2, а затем и на П1 по принадлежности ребру А пирамиды –71 13 EMBED Visio.Drawing.6 1415А1;
построив квадрат k1, по принадлежности ему находим проекции точек 1 и 2 на П1;
по аналогичному алгоритму с помощью вспомогательной плоскости Г*(Г*2) находим горизонтальные проекции точек 3, 4, 5, 6. Профильные проекции найденных вершин находим по двум известным – по линиям святи через К0, или используя более простой и точный метод, употребляемый в инженерной практике. Выбирается базовая плоскость для отсчета нужных размеров вдоль оси y13. Если фигура имеет плоскость симметрии, то базовую плоскость проводят через нее. В нашем случае за такую плоскость принимаем фронтальную плоскость Ф, которая проходит через ось пирамиды, задавая ее вырожденными проекциями Ф1 и Ф3. Для построения профильной проекции какой-либо точки (например 1) замеряем расстояние от Ф1 до 11 (V) и откладываем его на П3 по горизонтальной линии связи от Ф3 вправо (для этого всегда нужно иметь в виду наличие К0, даже когда она не нанесена на чертеж) и получаем проекцию 13 .

Находим вершины ломаной 9, 10, 11, 12, – точки пересечения ребер пирамиды B и D с поверхностью призмы. Находим сначала на П2, как результат пересечения проекций этих ребер пирамиды с вырожденными проекциями граней nm и ml призмы. Проекции этих вершин на П1 и П3 находим по принадлежности ребрам пирамиды сначала на П3, а затем и на П1 методом, описанным выше.
Соединяем найденные вершины отрезками прямых, руководствуясь правилом: соединять отрезками можно лишь вершины, которые лежат в одной грани призмы и одной грани пирамиды. Во избежание ошибок составляем последовательность соединения вершин: 1 – 5 – 11 – 3 – 9 – 1 и 2 – 6 – 12 – 4 – 10 – 2.
Определяем видимость ЛП по представлению. Видимыми будут звенья ЛП, которые являются линиями пересечения видимых на проекции граней призмы и пирамиды. На П1 видимы грани mn и nl призмы и части боковых граней пирамиды, расположенные выше призмы, потому находящиеся в них участки ЛП 3 – 1 – 5 – 2 – 7 – 4 будут видимы. Невидимыми на П1 являются звенья, расположенные в грани ml. На П3 видима грань mn призмы и лежащие в ней звенья ЛП 1–5–2. Все остальные участки ЛП или невидимы, или совпадают с вырожденной проекцией грани ml призмы.
Определяем видимость ЛП и ребер поверхностей по представлению. О видимости ЛП на фронтальной проекции уже говорилось выше: видимый и невидимый контуры ЛП совпадают, как и видимые и невидимые ребра пирамиды. При взгляде сверху (на П1) все звенья ЛП видимы, поскольку лежат на видимых боковых гранях пирамиды. Ребра пирамиды являются видимыми, кроме участков 91111 и 101121, вырезанных отверстием. Ребра призматического отверстия проходят внутри пирамиды и невидимы. На П3 видимыми будут звенья ЛП (9333113) и (10343123), которые лежат на видимых слева (см. П2 совместно со стрелкой – направлением взгляда на П3) гранях пирамиды AB и AD. Последние звенья ЛП лежат на невидимых слева гранях пирамиды ВС и СD и являются невидимыми, но поскольку часть пирамиды вырезана, то участки ЛП
·1353 и 2363, которые не закрыты материалом пирамиды (ограниченным звеньями 9333113 и 10343123), который остался, будут видны. Видимость ребер поверхностей на П3 такая же, как на П1.

Вопросы для самопроверки
Какие элементы характеризуют многогранную поверхность?
Каким образом многогранная поверхность задается на чертеже?
Как можно определить, принадлежит ли точка многогранной поверхности?
От чего зависит количество вершин плоской фигуры, которая образуется при пересечении многогранника с плоскостью?
Сколько правильных многогранников вам известно? Какие фигуры образуют все грани правильного многогранника?
Как называют пирамиду, основанием которой является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания?
Как образуются вершины и стороны пространственной ломаной линии, которая является результатом пересечения двух многогранных поверхностей?
При каком случае пересечения поверхностей (полное или частичное) пространственная замкнутая ломаная распадается на две отдельных ломаных линии?
9. КРИВЫЕ ЛИНИИ
В начертательной геометрии кривую линию рассматривают как траекторию непрерывно движущейся точки. Кривые могут быть плоскими и пространственными.
Кривые могут быть заданы алгебраической или трансцендентной функцией, или графически.
Порядок кривых может быть определен степенью алгебраического уравнения; или графически по числу точек пересечения кривой с прямой линией (для плоских кривых); по числу точек пересечения кривой с плоскостью (для пространственных кривых). В начертательной геометрии кривые линии задаются на чертеже их проекциями.

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415Рис. 9.1
Чтобы определить, какая – плоская или пространственная кривая задана на чертеже, нужно провести две секущих, одноименные проекции которых бы пересекались, и определить их взаимное положение: если они пересекаются, то кривая плоская, если скрещиваются – пространственная. На рис. 9.1 изображена пространственная кривая, так как секущие АВ и CD скрещивающиеся: точки пересечения одноименных проекций не лежат на одной линии связи.

9.1. Плоские кривые. Касательные и нормали
Направление движения точки в каждом её положении определяется касательной прямой t в данной точке А кривой линии (рис. 9.2).

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
Касательной прямой t в точке A кривой называется предельное положение секущей AA*, когда A* оставаясь на кривой m, стремится к точке A. Нормалью n к кривой в точке A называется прямая, лежащая в плоскости кривой m и перпендикулярная к касательной t в этой точке.
Кривая называется гладкой, если она во всех своих точках имеет непрерывно изменяющуюся касательную, которая в каждой точке кривой единственная. На кривых различают особые точки (рис. 9.3):

Рис. 9.2




Рис. 9.3


А – точка возврата 1-го рода, В – точка возврата 2-го рода, С – точка перегиба, D – кратная точка, Е – точка излома.
9.2. Основные свойства проекций плоских кривых линий
Порядок плоской алгебраической кривой при параллельном проецировании не изменяется.
Бесконечно удаленные точки кривой проецируются в бесконечно удаленные точки её проекций.
Касательная к кривой проецируется в касательную к её проекции.
Точки пересечения плоских кривых проецируются в точки пересечения их проекций

9.3 Кривые второго порядка
Наиболее распространенные в разных областях техники кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола, окружность.
Эллипсом називается множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых к двум данным точкам (фокусов) является величиной постоянной, большей чем расстояние между фокусами и равняется 2а. Расстояние между фокусами 2с называется фокусным (рис. 9.4а).
Уравнение эллипса:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Гиперболой называются плоскости, разность расстояний которых к двум данным точкам (фокусам) – величина постоянная, равная 2а. Гипербола имеет две оси (х – действительная, у – воображаемая) и две асимптоты m, n – прямые, на которых лежат несобственные точки гиперболы (рис. 9.4б). Уравнение гиперболы:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Парабола – это множество точек на плоскости, равноудаленных от заданой точки (фокуса) и данной прямой (директрисы). На рис. 9.4в показано построение параболы.
Уравнение параболы в прямоугольных декартовых координатах: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415

Рис. 9.4

9.3.1 Проецирование окружности
В зависимости от положения плоскости окружности относительно плоскостей проекций она может проецироваться в виде окружности, эллипса или прямолинейного отрезка.
Если плоскость окружности параллельна какой-либо плоскости проекций, то она проецируется в неё в натуральную величину.

Если плоскость окружности занимает проецирующее положение (рис. 9.5), то на плоскость проекций, перпендикулярную плоскости
·, окружность проецируется в виде отрезка А1В1, величина которого равна диаметру окружности АВ.

В плоскости проекций, к которым плоскость ( наклонена, окружность проецируется в виде эллипса.
При этом:
центром эллипса О2 является проекция центра О окружности;
большой осью эллипса будет проекция диаметра окружности параллельного плоскости проекций и равняется диаметру окружности (С2D2 = CD);
малой осью эллипса будет проекция того диаметра окружности, который проецируется с наибольшим искажением в рассматриваемую плоскость проекций. На рис. 9.4 это диаметр АВ, который лежит на линии наибольшего наклона плоскости ( к П2.

13 EMBED Visio.Drawing.6 1415
Рис. 9.5

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
Рис. 9.6
Задача. Построить проекции окружности радиуса R, расположенной в горизонтально проецирующей плоскости ( (рис. 9.6).
Алгоритм решения
Так как плоскость ( окружности горизонтально проецирующая, то в П1 окружность проецируется в виде отрезка на проекции (1 плоскости, длина которого равна 2R, а на П2 – в эллипс (см. выше рис. 9.4), оси которого – проекции двух взаимно перпендикулярных диаметров окружности: большая ось – проекция диаметра CD параллельного плоскости проекций П2 и проецируется на П2 в натуральную величину 2R, малая ось – проекция диаметра АВ, расположенного на линии наибольшего наклона к П2, в этом случае это горизонталь, фронтальная проекция которой параллельна оси x12).

Для построения промежуточных точек эллипса П2 заменяем на П4, располагая последнюю параллельно плоскости ( окружности:
П2 П4 || (, П1 / П2 (x12) П1 / П4 (s14 || (1). В системе П1 / П4 нам известны обе проекции окружности и можно взять любую точку на окружности, например 14, а затем построить её проекции в П1 и П2 по алгоритму построения проекций точек при замене плоскостей проекций. Построив 12, можно воспользоваться свойством симметрии эллипса и построить ещё три точки, симметричные 12 относительно осей А2В2 и C2D2. Соединив лекалом построенные на П2 точки, получим эллипс – фронтальную проекцию окружности.

9.4 Пространственные кривые линии
Пространственные кривые линии – это линии, точки которых не принадлежат одной плоскости.В инженерной практике чаще всего встречаются две пространственные кривые: цилиндрическая винтовая линия, или гелиса, и коническая винтовая линия.В отличие от плоских кривых, пространственные задаются двумя проекциями

9.4.1 Цилиндрическая винтовая линия

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
Рис. 9.7
Цилиндрическая винтовая линия или гелиса образуется при равномерном движении точки по образующей, которая в свою очередь, равномерно вращается вокруг оси.
Винтовая линия задаётся радиусом основания R цилиндра и шагом h – величиной перемещения точки по образующей при повороте её вокруг оси на 3600 (рис. 9.7). Чтобы построить проекции винтовой линии, окружность и шаг разбиваются на n равных частей (например, на 8, как на рис. 9.7).

Величину 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называют параметром винтовой линии . Поворот точки на 1/n части окружности соответствует её перемещению вдоль оси цилиндра на 1/n части шага: если точка А переместится из исходного положения (0) в положение 1, то проекция А1 окажется в точке 1 окружности, а её фронтальная проекция А2 – на горизонтали под тем же номером.

Последовательно перемещая горизонтальную проекцию точки А1 в следующие положения, строим соответствующие фронтальные её проекции, соединив которые плавной кривой получаем фронтальную проекцию винтовой линии – синусоиду. На прямоугольнике развертки цилиндра гелиса изображается его диагональю. Гелиса является кратчайшей линией на цилиндре между двумя его точками. Рассматривают правую и левую винтовые линии. Если при вращении точки вокруг оси цилиндра по часовой стрелке эта точка удаляется от наблюдателя, то такая винтовая линия называется правой.

Вопросы для самопроверки
Как определить порядок алгебраической кривой линии?
Назовите особые точки кривой.
Какие свойства плоских кривых не изменяются при параллельном проецировании?
На какие линии может ортогонально проецироваться окружность?
Как образуется цилиндрическая винтовая линия?
Какие параметры надо задать для определения формы и положения винтовой линии?
10. КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Для задания и образования поверхностей используются следующие способы:
аналитический
каркасный
кинематический.
В начертательной геометрии пользуются кинематическим способом задания поверхностей и рассматривают поверхность как образованную непрерывным перемещением некоей линии в пространстве по определенному закону. Линия, которая формирует поверхность при перемещении в пространстве, называется образующей. Закон движения образующей определяется направляющими элементами и положением образующей относительно этих элементов в любой момент движения. Образующая может сохранять свою форму при изменении положения, или непрерывно изменять и форму, и положение в пространстве.
Определитель поверхности – совокупность всех условий, определяющих поверхность. Определитель поверхности состоит из двух частей – геометрической и алгоритмической (или кинематического закона):
геометрическая часть определителя – совокупность геометрических элементов (образующая, направляющие элементы), которые определяют поверхность;
алгоритмическая часть – закон, который позволяет в любой момент движения образующей задавать ее положение и форму.


13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
Рис. 10.1
Например, геометрической частью определителя конической поверхности, изображенной на рис. 10.1, является совокупность образующей l, и направляющих элементов m и вершины S. Алгоритмическая часть определителя устанавливает взаимное положение этих геометрических элементов в процессе формирования поверхности: l
· m, S ( l.

10.1. Очерк поверхности

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
Рис. 10.2

Графическое задание поверхности проекциями элементов ее определителя обеспечивает обратимость чертежа, но не обеспечивает его наглядности.
Для придания наглядности изображению поверхности строят очерки поверхности на плоскостях проекций. Для этого проводят проецирующие лучи, касающиеся поверхности, например, сферы (рис. 10.2). Проецирующие лучи образуют некоторую поверхность Ф, касающуюся заданной поверхности по линии l, которая называется контурной. Очерком поверхности является линия пересечения проецирующей поверхности Ф с плоскостью проекций, то есть очерк поверхности является проекцией l1 контурной линии l на данную плоскость проекций.

Очерк поверхности является границей видимости частей поверхности на данной плоскости проекций: точки, расположенные на сфере выше линии l, будут видимы при взгляде сверху, а точки ниже линии l – не видимы.

10.2. Поверхности вращения
Поверхностью вращения называется поверхность, образованная при вращении линии (образующей) вокруг неподвижной оси. В инженерной практике поверхности вра-щения задаются, как правило, своими очерками (рис. 10.3, 10.4). На рис. 10.4 показаны поверхности вращения, наиболее часто встречающиеся в инженерной практике.
10.2.1. Основные линии поверхности вращения
Параллель – сечение поверхности вращения плоскостью, перпендикулярной оси вращения. Представляет собой окружность, которая на плоскость проекций, перпендикулярную оси, проецируется в натуральную величину, а в плоскость, параллельную оси, – в виде отрезка, перпендикулярного проекции оси и равного диаметру параллели. Наибольшая из близлежащих параллелей называться экватором, наименьшая – горлом.
Меридиан – пересечение поверхности вращения плоскостью, проходящей через ось вращения.
Меридиан, расположенный в плоскости, параллельной плоскости проекций, называется главным меридианом и определяет очерк поверхности в этой плоскости. С помощью этих линий строятся точки, принадлежащие поверхности. При этом используется признак принадлежности точки поверхности:
Точка принадлежит поверхности, если она лежит на линии этой поверхности.

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
Рис. 10.3

Например, с помощью параллели радиуса R на поверхности построены проекции точки А: через заданную фронтальную проекцию А2 проведена проекция параллели и построена ее горизонтальная проекция, по принадлежности которой найдена горизонтальная проекция А1. При этом заданному положению А2 отвечают два положения горизонтальной проекции точки: А1, если точка А видима на П2, и А1*, если она на П2 невидима.



Рис 10.4

10.3. Пересечение криволинейной поверхности плоскостью
Поверхности вращения второго порядка пересекаются плоскостью по кривым второго порядка.
10.3.1. Сферические сечения
При пересечении сферы плоскостью всегда получается окружность. Если секущая плоскость расположена под углом к плоскости проекций, то проекцией окружности является эллипс. При пересечении сферы плоскостью ( в сечении получается окружность, центр которой расположен на прямой n, проходящей через центр сферы и перпендикуляр-

Рис. 10.5
ной плоскости окружности (сечению) О = (
· n (О2 = n ( (); О1 ( n1 (смотри рис. 10.5).
Окружность сечения на П2 проецируется в отрезок. На П1 – в эллипс. Диаметры, которые лежит на прямых уровня плоскости (, проецируется в большую и малую оси эллипса.
Т.к. [СD] ( П2 ( [СD] || П1. [С1D1] = d сферы. [С1D1] – большая ось эллипса.
Малая ось перпендикулярна большой и является проекцией диаметра [АВ], расположенного параллельно П2.
|А1В1| = |АВ|cos(.
Горизонтальные проекции С1 и D1 точек С и D можно также построить по принадлежности их сфере (с помощью вспомогательной секущей плоскости Г).
При пересечении сферы плоскостью Г в сечении получается окружность радиусом R. Поскольку Г || П1, то окружность в горизонтальную плоскость проекций проецируется в натуральную величину и С1, D1 находим по принадлежности этой окружности.

10.3.2. Цилиндрические сечения
Вид цилиндрического сечения (рис. 10.6) зависит от положения секущей плоскости относительно оси цилиндра:
Плоскость перпендикулярна оси цилиндра: в сечении – окружность с центром О на оси и радиусом, равным радиусу цилиндра Г ( i, Г
· Фцил = окружность n (О, R);
Плоскость параллельна оси цилиндра: в сечении две параллельные прямые – образующие цилиндра ( || i, (
· Фцил = a и b;
Плоскость наклонена к оси цилиндра: в сечении – эллипс с центром О* на оси вращения с большой осью АВ, величина которой зависит от угла наклона плоскости к оси, и малой осью CD, равной диаметру цилиндра ( 13 EMBED Visio.Drawing.6 1415 13 EMBED Visio.Drawing.6 1415 i, (
· Фцил = эллипс (О*, AB, CD = R).


13 EMBED Visio.Drawing.6 1415
Рис. 10.6
Цилиндрическая поверхность является проецирующей к плоскости проекций, перпендикулярной к оси цилиндра, потому в эту плоскость (на рис. 10.4 в П1) сечения цилиндра проецируются на окружность – вырожденную проекцию (очерк) поверхности.


10.3.3. Конические сечения
Вид конического сечения зависит от следующих факторов (рис. 10.7):

Положение секущей плоскости относительно вершины конуса:
если плоскость проходит через вершину конуса (( 13 EMBED Visio.Drawing.6 1415 S) – в сечении две пересекающиеся прямые (образующие конуса);
если плоскость не проходит через вершину – в сечении кривые другого порядка.
Угол
· между секущей плоскостью и осью конуса:
если угол – 90° ( Г ( i), то в сечении окружность (О, r) (параллель конуса);
если угол не равняется 90° – в сечении эллипс, парабола или гипербола.
Соотношение между углом
· наклона секущей плоскости к оси конуса и углом ( между осью конуса и его образующей:
а)
·
·(
·(, (
· Фкон = эллипс; большая ось эллипса – АВ, малая – CD;

Рис. 10.7

центр эллипса О* не лежит на оси конуса, а находится делением отрезка АВ пополам (А2О*2 = В2О*2).
б)
·
·=
·(, (
· Фкон = парабола з вершиной F;
в)
·
· ( (, (
· Фкон = гипербола з вершинами в точках Р.

10.4. Построение сечения поверхности вращения плоскостью
Чтобы построить сечение, необходимо найти достаточное количество точек, ему принадлежащих, и в первую очередь должны быть найдены особые точки сечения, к которым относятся:
Геометрически особые точки сечения (вершины, центры, точки на концах осей эллипса и тому подобное)
Граничные точки видимости (опорные точки) – точки пересечения очерковых линий поверхности с секущей плоскостью.
Задача. Построить проекции и натуральную величину пересечения конуса плоскостью ( (рис. 10.8).
Алгоритм решения
Определяем вид сечения и его проекций. Поскольку ( не проходит через вершину конуса S и угол ( наклона ее к оси конуса больше угла ( между осью и образующей, то в сечении – эллипс + отрезок, результат пересечения секущей плоскости с плоскостью основания. Т.к. секущая плоскость – фронтально проецирующая, то на П2 сечение проецируется в виде отрезка, который лежит на вырожденной проекции (2 секущей плоскости внутри очерка конуса.

13 EMBED Visio.Drawing.6 1415
Рис. 10.8

Находим особые точки сечения: центр эллипса, точки на концах его осей, граничные точки видимости. Чтобы построить эти точки, необходимо обозначить очерковые образующие конуса: A2S2, B2S2 на П2, C3S3, D3S3 на П3 и найти их проекции на остальных плоскостях. Сначала находим проекции особых точек сечения на его известной фронтальной проекции.
Продлив вырожденную проекцию (2 секущей плоскости до пересечения с продолжением очерковой A2S2, находим точку 22 – фронтальную проекцию точки, которая


лежит на конце большой оси (12) эллипса. Разделив пополам проекцию оси (1222), находим проекцию О2 центра эллипса. Малая ось (34) эллипса является фронтально-проецирующей и на П2 спроецируется в точку – О2 =32 = 42.
Граничные точки видимости 5, 6, 7, 8 находим на П2 как результат пересечения вырожденной проекции плоскости с проекциями очерковых линий: 52 = С2S2
· (2, 62 =D2S2
· (2, 72 и 82 = m2
· (2.
Найденные на П2 точки строим на остальных плоскостях проекций. Точки на очерковых линиях находим по принадлежности этим линиям, проводя соответствующие линии связи, при этом для достижения необходимой точности построений не рекомендуется пользоваться постоянной чертеж K0 и ломаными линиями связи между П1 и П3. Проведя горизонтальную линию связи через 52 = 62 и построив 53 ( C3S3 и 63 ( D3S3, замеряем расстояние между 53, 63 и фронтальной плоскостью симметрии Ф(Ф3). Отложив это расстояние на соответствующей вертикальной линии связи по обеим стороны от Ф1, находим горизонтальные проекции точек 5 и 6. По аналогичному алгоритму находим недостающие проекции точек 7 и 8: сначала на П1, а затем и на П3.
Недостающие проекции точек 3 и 4 находим по принадлежности конусу: через 32 = 42 проводим фронтальную проекцию параллели радиуса r, строим эту параллель на остальных проекциях и по принадлежности ей находим горизонтальные, а затем и профильные проекции точек 3 и 4. По аналогичному алгоритму можно построить случайные точки сечения.
Соединяем одноименные проекции построенных точек с учетом видимости. Видимость определяем по представлению. На П1 невидимым является отрезок (78), лежащий в основании конуса, невидимом при взгляде сверху, а на П3 – участок эллипса (516), лежащий на правой половине боковой поверхности конуса, невидимой при взгляде слева.
НВ сечения находим заменой плоскостей проекций: П1 П4 || (, П1 / П2 (x12) П2 / П4 (s24 || (2). Для удобства построений ось x12 совмещаем с проекцией плоскости симметрии Ф1. Точки НВ находим по алгоритму построения проекций точек в дополнительную плоскость.
Если секущая плоскость – общего положения, то для упрощения решения заменой плоскостей проекций секущая плоскость преобразуется в проецирующую.

10.5. Пересечение поверхности прямой
В общем случае для построения точек пересечения прямой с поверхностью применяется метод вспомогательных секущих плоскостей по следующему алгоритму (рис. 10.9):
Прямая l заключается в плоскость (, пересекающую поверхность Ф по геометрически простой линии: l ( (
· Ф.
Строится линия m пересечения поверхности Ф вспомогательной плоскостью (: m = (
· Ф.
Искомые точки 1 и 2 находим как результат пересечения заданной прямой l с построенной линией пересечения m: 1, 2 = l
· m.
13 EMBED Visio.Drawing.6 1415Рис. 10.9


Задача. Построить точки пересечения прямой l со сферой Ф (О*, R) (рис. 10.10).
Алгоритм решения
Заключаем прямую l в горизонтально проектирующую плоскость ( : l1= (1.
Строим линию пересечения плоскости ( со сферой – окружность (О, r). На П1 окружность проецируется в виде отрезка, расположенного внутри очерка сферы на вырожденной проекции (1. Разделив отрезок пополам, находим проекцию центра О1 и радиус r сечения.

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
На П2 окружность проецируется в виде эллипса, т.к. ( наклонена к П2. Построение эллипса – графически довольно сложная задача. Поэтому для упрощения решения вводим дополнительную плоскость П4, расположив ее параллельно(, и переходим к новой системе плоскостей проекций П1 / П4 : П2 П4 || (, П1 / П2 (x12) П1 / П4 (s14 || (1). Строим в П4 проекцию окружности, находя проекцию ее центра по алгоритму построения точки в дополнительную плоскость.
Взяв на прямой l произвольные точки 1 и 2, строим их проекции на П4, соединив которые получаем проекцию прямой l4.
2. Находим точки А и В пересечения прямой l со сферой, сначала на П4 как результат пересечения l4 с проекцией круга (О4, r), а затем по принадлежности прямой l на остальных плоскостях проекций.

Рис. 10.10


3. Видимость точек А и В и прямой l определяем по представлению, рассматривая проекции вместе с направлением взгляда на соответствующую плоскость проекций.

Вопросы для самопроверки
Что такое определитель поверхности?
Какой состав определителя для поверхности сферы, конуса и цилиндра вращения?
Как образуются поверхности вращения? Как они задаются на чертеже? Какие линии на поверхности называются параллелями и меридианами?
Что такое главный меридиан на поверхности вращения?
Какие существуют поверхности вращения второго порядка и как они образуются? Как задать на чертеже поверхности второго порядка общего вида?
Какие кривые можно получить при пересечении сферы, цилиндра вращения?
Какие кривые могут образоваться при пересечении прямого кругового конуса разными плоскостями?
11. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
11.1. Пересечение криволинейной и гранной поверхностей
Линией пересечения (ЛП) криволинейной и гранной поверхностей является пространственная замкнутая ломаная, вершинами которой являются точки пересечения ребер многогранника с криволинейной поверхностью, а звенья – линии пересечения криволинейной поверхности с гранями многогранника. В случае врезки ЛП состоит из одной ломаной, в случае проницания – из двух (рис. 11.1).

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415

Рис. 11.1

Особые точки ЛП:
вершины ломаной – точки пересечения ребер многогранника с поверхностью вращения;
опорные точки (граничные точки видимости) – точки пересечения очерковых образующих криволинейной поверхности с гранной поверхностью;
особые точки кривых – звеньев ЛП: центры, вершины, точки на концах осей и т.д.
Построение ЛП сводится к двум уже рассмотренным выше задачам: а) построить точки пересечения прямой с поверхностью и б) построить сечение поверхности плоскостью.

Задача. Построить проекции конуса с призматическим вырезом (рис. 11.2).

Алгоритм решения
Определяем тип линии пересечения (ЛП). Т.к. ни одна из поверхностей не пересекает другую полностью, то данный случай – врезка и ЛП состоит из одной ломаной. Звенья ЛП – конические сечения: грань призмы Г (Г2), перпендикулярная оси конуса, пересекает конус по дуге окружности; грань призмы
· (
·2), плоскость которой проходит через вершину конуса, – по образующим конуса; грань призмы
· (
·2), наклоненная к оси конуса (
· >
·) – по по дуге эллипса. Т.к. грани призмы фронтально проецирующие, то на П2 проекция ЛП совпадает с проекцией призматического выреза.

Находим особые точки ЛП сначала на известной фронтальной проекции:
вершины ломаной – точки пересечения ребер m и n c поверхностью конуса – совпадают с проекциями самих ребер, т.к. ребра – фронтально проецирующие:
n2 = 12 = 22, m2 =32 =42
центр О (О2) и точки на концах осей эллипса. Продлив грань
· (
·2) до пересечения с очерковой образующей S2B2, находим фронтальную проекцию большой оси эллипса 5262, разделив которую пополам находим центр О (О2) и точки 72 = 82 на концах малой оси.
граничные точки видимости находим как результат пересечения вырожденных про-екций граней призматического отверстия с очерковыми образующими конуса, граничные точки видимости на П2 – 52 = S2A2
·
·2, 132 = S2A2
· Г2, граничные точки видимости на П3 – 92 = S2С2
·
·2, 102 = S2D2
·
·2, 112 = S2C2
· Г2, 122 = S2D2
· Г2.

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415

Рис. 11.2

На остальных проекциях найденные на П2 точки находим по их принадлежности образующим конуса. Например, точки 7 и 8 находим, проведя параллель радиуса r. При этом для достижения требуемой точности построений не рекомендуется пользоваться постоянной чертежа Ко и ломаными линиями связи между П1 и П3.

Случайные точки (на дуге эллипса) выбираем произвольно на П2, а другие их проекции находим по принадлежности поверхности конуса, как точки 7 и 8.
Построенные точки соединяем с учетом их видимости на проекциях, определяя видимость по представлению. При взгляде сверху ЛП видима полностью, не видны только ребра m и
· отверстия. На П2 видимые и невидимые части ЛП совпадают. При взгляде слева (на П3) видимы части ЛП, лежащие на левой половине конуса, а также участки прямых (1 – 3) и (2 – 4) из-за отсутствия материала, их закрывающего

11.2. Пересечение поверхностей вращения второго порядка

Линия пересечения поверхностей вращения 2-го порядка в общем случае – пространственная замкнутая кривая 4-го порядка, состоящая из двух линий в случае проницания или из одной в случае врезки.
Основные точки ЛП – точки пересечения очерковых образующих одной поверх-ности с другой поверхностью и точки пересечения очерковых линий второй поверхности с первой поверхностью. Точки ЛП в общем случае находятся способом вспомогательных секущих поверхностей-посредников, в роли которых могут выступать плоскости и сферы.

11.2.1. Способ секущих плоскостей (рис. 11.3)

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415

Рис. 11.3

Проводится вспомогательная плоскость
·, пересекающая обе поверхности по геометрически простым линиям, которые проецируются также в виде геометрически простых линий (прямых или окружностей).
Строятся линии m и n пересечения поверхностей
· и Ф плоскостью
·: m = Ф
·
·, n =
·
·
·.
Находятся точки 1 и 2 пересечения построенных линий пересечения m и n : 1,2= m
· n. Это и есть искомые точки ЛП заданных поверхностей
· и Ф. Проведя достаточное число секущих плоскостей, находим достаточное количество точек ЛП.

Задача. Построить линию пересечения сферы и конуса (рис. 11.4).

Алгоритм решения
Определяем тип линии пересечения. Пересекаются поверхности вращения 2-го порядка, случай врезки: ЛП – одна замкнутая пространственная кривая 4-го порядка. Обе поверхности имеют общую фронтальную плоскость симметрии. Следовательно, фронтальные проекции видимой и невидимой на П2 ветвей ЛП совпадают и замкнутая кривая на П2 проецируется в виде разомкнутой.

Построение особых точек ЛП. Главные меридианы сферы m и ASB конуса лежат в одной плоскости (фронтальной плоскости симметрии) и, следовательно, пересекаются. Поэтому граничные точки видимости на П2 находятся как результат пересечения проекций главных меридианов сферы и конуса: 11, 22 = m2
· S2A2. На П1 точки находятся по принадлежности меридианам. Точки пересечения горизонтального очерка сферы (экватора n) с конусом находим методом вспомогательных секущих плоскостей:
проводим плоскость Г (Г2) через экватор сферы,
строим линии пересечения сферы и конуса: сфера пересекается по экватору n, который уже построен на обеих проекциях, а конус – по окружности радиуса Rг,
находим проекции точек 31 и 41 пересечения этих окружностей на П1, а затем фронтальные проекции этих точек по принадлежности Г2.

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415

Рис. 11.4

Случайные точки ЛП находим тем же способом, что и З и 4, проводя горизонтальные секущие плоскости
· и
·. При этом для упрощения построений проводим их на П1.
Видимость ЛП и очерков поверхностей определяем по представлению.

11.2.2. Особые случаи пересечения поверхностей вращения второго порядка

В общем случае поверхности вращения 2-го порядка пересекаются по пространственным кривым 4-го порядка. Существуют частные случаи, когда такие поверхности пересекаются по плоским кривым второго порядка. С одним таким случаем – соосными поверхностями мы познакомились выше. Другие признаки распадения кривой 4-го порядка на плоские кривые 2-го порядка сформулированы в следующих теоремах.

Теорема двойного касания: если две пересекающиеся поверхности вращения 2-го порядка имеют две точки касания, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые 2-го порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания.
Под точкой касания поверхностей понимается такая их общая точка, через которую можно провести плоскость, касательную к обеим поверхностям.

Теорема Монжа: если две пересекающиеся поверхности 2-го порядка описаны около третьей поверхности 2-го порядка или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые 2-го порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания поверхностей.

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
Рис. 11.5
На рис. 11.5 показаны два цилиндра вращения, описанные вокруг сферы радиуса r.
По теореме Монжа они имеют две точки касания А = е
· l и В = f
· k, через которые можно провести фронтальные плоскости
· (
·2) и
·*(
·1*), касающиеся обеих цилиндров по образующим e, f и k, l. На П2 проекции точек А и В, найденные по принадлежности образующим е и f, совпадают (А2 = В2), то есть отрезок (АВ) – фронтально проецирующий, и плоскости кривых, по которым пересекаются цилиндры, также фронтально проецирующие и проецируются на П2 в виде отрезков, проходящих через А2 = В2. Для построения этих отрезков достаточно построить еще две пары точек, принадлежащих обоим цилиндрам. Это точки пересечения фронтальных очерковых, лежащих в одной фронтальной плоскости Ф (Ф1) :
12 = m2
· с2,
22 = m2
· d2,
32= m2
· c2 ,
42 = n2
· d2.

Соединив попарно точки 12 и 42 , 22 и32 отрезками, получим проекции ЛП цилиндров – двух плоских кривых второго порядка Т.к. плоскости их наклонены к осям цилиндров, то это эллипсы. На П1 эллипсы проецируются на окружность – вырожденную проекцию горизонтально проецирующего цилиндра.

Вопросы для самопроверки
В каком случае проекция линии пересечения определяется сразу, без дополнительных построений?
Линией пресечения двух поверхностей в общем случае является плоская или пространственная кривая?
Какие характерные точки обязательны при построении линии пересечения поверхностей?
В каком случае применяется метод вспомогательных секущих плоскостей, а когда - метод концентрических сфер?
Какой способ является наиболее целесообразным при решении задачи на взаимное пересечение прямого кругового конуса с вертикальной осью и сферы?

12. РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Разверткой называется фигура, полученная совмещением с плоскостью без складок и разрывов гранной или криволинейной поверхности, которые можно представить себе как гибкую нерастяжимую пленку. Не все поверхности являются развертываемыми. К последним относятся гранные поверхности, цилиндр, конус и торс, а все остальные криволинейные поверхности можно развернуть только приближенно, заменяя (аппроксимируя) развертывающимися поверхностями.
12.1. Развертки многогранных поверхностей
12.1.1. Развертка призмы
Развертка призмы представляет собой фигуру, состоящую из натуральной величины боковых граней и обоих оснований. Мысленно разрезав многогранник по одному из боковых ребер и ребрам оснований, вращением вокруг остальных ребер последовательно совмещаем все грани с плоскостью проекций.
Для построения развертки призмы необходимо знать натуральные величины ребер призмы и нормального сечения. Нормальным называется сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковым ребрам. При развертывании боковой поверхности призмы нормальное сечение разворачивается в прямую, перпендикулярную проекциям боковых ребер на развертке.
Задача. Построить развертку прямой треугольной усеченной призмы (рис.12.1).
Т.к. призма прямая, то основание ее будет нормальным сечением, которое на П1 проецируется в натуральную величину. Ребра призмы – фронтальные прямые, следовательно, на П2 они проецируются в натуральную величину. Таким образом, все необходимые данные для построения развертки уже имеются на чертеже.

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415

Рис.12.1

Алгоритм построения развертки
Строим развертку боковой поверхности усеченной призмы. На свободном поле чертежа (для удобства построений – в проекционной связи с фронтальной проекцией нижнего основания) строим развертку нормального сечения (основания) – проводим прямую, на которой откладываем НВ ребер основания, взяв их с горизонтальной проекции – [АВ] = [А1В1] и т.д.Через построенные на развертке вершины основания проводим прямые, перпендикулярные развертке основания, и откладываем на них НВ боковых ребер и отрезков, отсекаемых на них секущей плоскостью (; если развертка строится в проекционной связи с фронтальной проекцией призмы (как на рис.12.1), то для этого достаточно провести горизонтальные линии связи до пересечения с проекциями соответствующих ребер.
Пристраиваем к полученной развертке боковой поверхности НВ основания и сечения, строя их по их трем известным сторонам (методом триангуляции). Для построения НВ сечения выбираем в качестве исходной его сторону (23), и из точек 2 и 3 проводим дуги окружностей, радиусы которых равны соответственно [12] и [13]. Точка пересечения этих дуг и есть вершина А сечения. Аналогично строим НВ основания.


12.1.2. Развертка пирамиды
Построение развертки пирамиды сводится к многократному построению методом триангуляции натуральных величин треугольников, из которых состоит боковая поверхность пирамиды, плюс НВ основания. Для этого необходимо знать НВ всех ребер пирамиды.
Задача. Построить развертку усеченной пирамиды (рис.12.2).
Алгоритм решения
Определяем НВ ребер пирамиды.
Основание АВС параллельно П1, поэтому ребра основания проецируются в П1 в натуральную величину.
Боковые ребра пирамиды – общего положения и для определения их НВ применяем метод вращения вокруг горизонтально проецирующей прямой i, проходящей через вершину пирамиды S. При вращении вокруг оси i точки А, В и С описывают окружности плоскости, которых перпендикулярны оси. В П1 эти окружности проецируются в НВ с центром в i1, а на П2 – в виде отрезков, перпендикулярных i2. Поворачиваем горизонтальные проекции боковых ребер до параллельности оси проекций x12. Тогда в пространстве ребра расположатся параллельно П2 и спроецируются в эту плоскость в НВ. Находим проекции точек А, В и С в нужном нам положении (А2*, В2*, С2*) как результат пересечения линий связи, проведенных через А1*, В1*, С1* и траекторией перемещения фронтальных проекций точек А, В и С. Отрезки S2А2*, S2В2* и S2С2* натуральные величины боковых ребер. Секущая плоскость ( ((2) фронтально проецирующая и сечение проецируется на П2 в виде отрезка на вырожденной проекции плоскости, расположенного внутри очерка призмы. Вершины сечения на П2 находим как результат пересечения проекций ребер с (2. На натуральных величинах боковых ребер точки 12*, 22*, 32* находим по принадлежности соответствующим ребрам, проведя траектории точек при вращении ребер вокруг оси i.
Строим развертку боковой поверхности
На свободном поле чертежа проводим прямую и откладываем на ней НВ ребра SA = S2А2*. Методом триангуляции строим НВ грани SAB: из точки А, как из центра, проводим дугу радиусом, равным [АВ] = [A1B1], а из точки S – дугу радиусом, равным [SB] = [S2В2*]. Точка пересечения этих дуг – вершина В на развертке. Соединив построенные точки, получаем НВ грани ASB. Наносим сторону (12) сечения, откладывая на стороне SA отрезок [S1] = [S212*], а на стороне SB – отрезок [2S] = [S222*]. По аналогичному алгоритму строим на развертке НВ граней BSC и ASC, нанося на них стороны сечения (23) и (31).
Строим полную развертку пирамиды, пристраивая к развертке боковой поверхности НВ основания и сечения, применяя метод триангуляции, как это показано на рис.12.2.



Рис.12.2

12.2. Развертывание криволинейных поверхностей
Криволинейные поверхности, которые полностью, без растяжения или сжатия, без разрывов и складок можно совместить с плоскостью, называют развертываемыми. К этим поверхностям относятся лишь линейчатые и только такие, у которых смежные образующие пересекаются между собой или параллельны. Этим свойством обладают конические и цилиндрические поверхности.
12.2.1. Развертка цилиндрической поверхности
Развертка боковой поверхности прямого кругового цилиндра радиуса R и высотой h представляет собой прямоугольник, одна из сторон которого равна длине 2(R окружности основания, а другая высоте h цилиндра.
Задача. Построить развертку боковой поверхности прямого кругового цилиндра, усеченного плоскостью ( (рис.12.3).
Алгоритм решения
Строим развертку боковой поверхности цилиндра в проекционной связи с его фронтальной проекцией (для удобства построений).
В цилиндр вписываем n-угольную (на рис.12.3 – 8ми-угольную) правильную призму и строим её развертку, которая и будет приближенной разверткой усеченного цилиндра. Окружность основания и длину развертки, равную 2(R, где R – радиус цилиндра, делим на 8 равных частей (от 0 до VIII). На П2 строим проекции ребер вписанной призмы (образующих цилиндра) и точек (12 82) пересечения их с секущей плоскостью ( ((2), как результат пересечения проекций образующих с вырожденной проекцией плоскости (2.
Через точки деления основания развертки проводим вертикальные отрезки, равные по величине образующим цилиндра, и находим на них точки 18,.проводя горизонтальные линии связи через проекции точек 12 82 до пересечения с соответствующей образующей.




Рис. 12.3

Построенные на развертке точки 18 соединяем плавной лекальной кривой. Это будет синусоида – развертка эллипса, сечения цилиндра плоскостью (. Фигура, ограниченная синусоидой, разверткой основания и образующими О и VIII, является разверткой боковой поверхности усеченного цилиндра (окрашено серым цветом).
Чтобы построить полную развертку усеченного цилиндра, необходимо добавить еще НВ основания и сечения.
12.2.2. Развертка конической поверхности
Если задана поверхность прямого кругового конуса с радиусом основания R и высотой h, то развертка его боковой поверхности представляет собой круговой сектор, радиус которого равен длине образующей l конуса, а центральный угол ( = 3600 ( R/l.
Если конус усеченный, то строится его приближенная развертка – развертка усеченной n угольной пирамиды, вписанной в конус.
Задача. Построить развертку боковой поверхности конуса, усеченного плоскостью ( (рис. 12.4).
Алгоритм решения
Строим развертку прямого кругового конуса – круговой сектор с параметрами, указанными выше.
. Вписываем в конус правильную n угольную (на рис. 12.4 – 8-угольную) пирамиду, для чего делим окружность основания на 8 равных частей, находим точки деления 0 – VIII на П2 .и соединяем полученные точки с вершиной S.
Находим фронтальные проекции 12 82 точек пересечения ребер плоскостью ( как результат пересечения вырожденной проекции плоскости (2 с проекциями ребер и проводим через найденные точки проекции параллелей конуса – отрезки, перпендикулярные оси конуса.
Делим на 8 равных частей дугу – развертку основания конуса и точки деления соединяем с вершиной S на развертке.
Строим на развертке точки пересечения ребер вписанной пирамиды с плоскостью ( как результат пересечения ребер с соответствующими проекциями параллелей на развертке. Параллели конуса развертываются в дуги, концентричные развертке основания, радиусы которых равны замеренному по очерковой образующей конуса расстоянию между фронтальной проекцией параллели и вершиной S2. Например, параллель, на которой расположены точки 2 и 6, разворачивается на развертке в дугу с центром в точке S и радиусом r2,6.
Построенные на развертке точки 18 соединяем плавной лекальной кривой. Фигура, ограниченная этой кривой, разверткой основания и участками ребер 0 и VIII будет разверткой боковой поверхности конуса, усеченного плоскостью (. Чтобы построить полную развертку усеченного конуса, необходимо добавить еще НВ основания и сечения.



Рис.12.4

Вопросы для самопроверки
Что называется разверткой?
Какие ребра многогранника необходимо брать как оси вращения граней для построения развертки?
Каким методом строится развертка пирамиды?
Как вычислить длину развертки боковой поверхности цилиндра вращения?
Какую форму имеет развертка боковой поверхности конуса вращения?

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фролов С.А. Начертательная геометрия: Учеб. для вузов. – 2– е изд., перераб. и доп. – М.: Машиностроение,1983. – 240с.

2. Нарисна геомерія. Підручник для вузів / В.Є. Михайленко, М.Ф. Євстифеєв, С.М. Ковальов та ін. – «Вища школа», 1993. – 271с.

3. Курс начертательной геометрии (с учетом принципов программированного обучения) / Н.Ф. Четверухин и др. – М.: Высш.шк., 1968. – 266 с.)


СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ
3

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
4

1. МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ
5

1.1. Центральное проецирование
5

1.2. Параллельное и ортогональное проецирование
5

1.3. Свойства ортогонального проецирования
5

1.4. Обратимость чертежа
6

Вопросы для самопроверки
6

2. ТРЁХКАРТИННЫЙ ЧЕРТЕЖ ТОЧКИ
7

2.1. Аппарат проецирования
7

2.2. Построение проекции точки
7

2.3. Конкурирующие точки
7

Вопросы для самопроверки
8

3. ЧЕРТЕЖ ПРЯМОЙ
9

3.1. Прямые общего и частного положения
9

3.1.1. Прямая общего положения
9

3.1.2. Прямая уровня
9

3.1.3. Проецирующие прямые
10

Вопросы для самопроверки
10

4. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ
11

Вопросы для самопроверки
11

5. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ ПЛОСКОСТИ
12

5.1. Положение плоскости относительно плоскостей проекций
12

5.1.1. Плоскость общего положения
12

5.1.2. Проецирующая плоскость
13

5.1.3. Плоскость уровня
13

5.2. Принадлежность прямой и точки плоскости
14

5.3. Прямые особого положения в плоскости
14

5.3.1. Прямая уровня плоскости
14

Вопросы для самопроверки
15

6. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ, ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
16

6.1. Параллельность прямой и плоскости
16

6.2. Параллельность плоскостей
16

6.3. Пересечение прямой с плоскостью
17

Вопросы для самопроверки
17

7. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА
18

7.1. Замена плоскостей проекций
18

Вопросы для самопроверки
22

8. МНОГОГРАННИКИ
23

8.1. Изображение многогранника на чертеже
23

8.2. Пересечение многогранника плоскостью
25

8.3. Пересечение многогранника прямой
26

8.4. Взаимное пересечение многогранников
27

Вопросы для самопроверки
29

9. КРИВЫЕ ЛИНИИ
30

9.1. Плоские кривые. Касательные и нормали
30

9.2. Основные свойства проекций плоских кривых линий
31

9.3. Кривые второго порядка
31

9.3.1. Проецирование окружности
31

9.4 Пространственные кривые линии
33

9.4.1 Цилиндрическая винтовая линия
33

Вопросы для самопроверки
33

10. КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
34

10.1. Очерк поверхности
34

10.2. Поверхности вращения
35

10.2.1. Основные линии поверхности вращения
35

10.3. Пересечение криволинейной поверхности плоскостью
37

10.3.1. Сферические сечения
37

10.3.2. Цилиндрические сечения
37

10.3.3. Конические сечения
38

10.4. Построение сечения поверхности вращения плоскостью
39

10.5. Пересечение поверхности прямой
40

Вопросы для самопроверки
41

11. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
42

11.1. Пересечение криволинейной и гранной поверхностей
42

11.2. Пересечение поверхностей вращения второго порядка
44

11.2.1. Способ секущих плоскостей
44

11.2.2. Особые случаи пересечения поверхностей вращения второго порядка
46

Вопросы для самопроверки
46

12. РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
47

12.1. Развертки многогранных поверхностей
47

12.1.1. Развертка призмы
47

12.1.2. Развертка пирамиды
48

12.2. Развертывание криволинейных поверхностей
49

12.2.1. Развертка цилиндрической поверхности
49

12.2.2. Развертка конической поверхности
50

Вопросы для самопроверки
51

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
52




Учебное издание
под редакцией Кондрашина С.Е.


Акрамова Наталья Петровна
Кипчарская Ольга Николаевна
Кондрашин Станислав Евгеньевич
Ковалевский Игорь Абрамович
Таранина Елена Владимировна
Филипенко Татьяна Николаевна



Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика.
Короткий курс.
Часть 1. Начертательная геометрия: учебное пособие













13PAGE 15


13PAGE 14315


13 PAGE 14115

13PAGE 15


13PAGE 141615


13 PAGE 146415


13 EMBED Visio.Drawing.6 1415

13 EMBED Visio.Drawing.6 1415

13 EMBED Visio.Drawing.6 1415

13 EMBED Visio.Drawing.6 1415

13 EMBED Visio.Drawing.6 1415

13 EMBED Visio.Drawing.6 1415

13EMBED Unknown1415

13 EMBED Visio.Drawing.6 1415

13 EMBED Visio.Drawing.6 1415

13 EMBED Visio.Drawing.6 1415

13 EMBED Visio.Drawing.6 1415

13 EMBED Visio.Drawing.6 1415

13 EMBED Visio.Drawing.6 1415



Root Entry 
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·
·
·a Ne
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·S Fa
·
·
·
·
·
·
·
·р
·
·
·
· 
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·
·
·
·
·
·o 0
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 1
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 1
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 2
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o
·o 5
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 5
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 7
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Ba
·
·
·
·
·
·
·
·
·si
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·n
·
·
·
·
·
·c
·
·c
·
·
·3
·
·
·
·
·vi
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·n
·
·
·
·
·
·c
·
·c
·
·
·
·
·
·Ce
·
·
·r
·
·a
·
·
·
·
·
·
·.
·
·S PG
·
·
·
·
·
·
·
·
·{
·
·
·
·
·я
·
·
·
·
·Ё
·
·
·
·GOST TYPE B
GOST type B 
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·
·
·
·
·
·a Ne
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·S Fa
·
·
·
·
·
·
·
·р
·
·
·
·o 0
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 1
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 1
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 2
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o
·o 5
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 5
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 7
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Ba
·
·
·
·
·
·
·
·
·si
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·рани
·
·-
·
·
·
·
·vi
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·n
·
·
·
·
·
·c
·
·c
·
·
·
·
·
·
·
·
·Ce
·
·
·r
·
·a
·
·
·
·
·
·
·.
·
·
·
·
·
·
·
·
·n
·
·
·
·
·
·c
·
·c
·
·
·3
·
·
·
·
·Ce
·
·
·r
·
·a
·
·
·
·
·
·
·.
·
·
·
·
·
·
·
·
·n
·
·
·
·
·
·c
·
·c
·
·
·4
·
·
·
·
·Ce
·
·
·r
·
·a
·
·
·
·
·
·
·.
·
·
·
·
·
·
·
·
·n
·
·
·
·
·
·c
·
·c
·
·
·
·т
·
·
·
·Re
·
·
·
·
·g
·
·
·
·
·т  
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·
·
·2 1 Взгляд на П
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·на П
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·12  
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·S PG
·
·
·
·
·
·
·
·
·{
·
·
·
·
·я
·
·
·
·
·Ё
·
·
·
·a Ne
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·S Fa
·
·
·
·
·
·
·
·р
·
·
·
· 
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·
·
·o 1
·
·
·
·
·
·
·
·D si
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·sVe
·
·io
·
·А А  
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·
·
·
·
·
·o 0
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 1
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 1
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 2
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o
·o 5
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 5
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 7
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Ba
·
·
·
·
·
·
·
·
·si
·
·
·
·
·
·
·
·GOST TYPE B
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
GOST type BF
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·F
·П
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·П
· GOST type BGOST t15e BC А )
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·) П горизонталь
А П  
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·
·
·
·
·
·S PG
·
·
·
·
·
·
·
·
·{
·
·
·
·
·я
·
·
·
·
·Ё
·
·
·
·a Ne
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·S Fa
·
·
·
·
·
·
·
·р
·
·
·
·o 0
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 1
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 1
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 2
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o
·o 5
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 5
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 7
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Ba
·
·
·
·
·
·
·
·
·si
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·рани
·
·-
·
·
· 
·vi
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·n
·
·
·
·
·
·c
·
·c
·
·
·

Приложенные файлы

  • doc 1425470
    Размер файла: 7 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий