Үшбұрыштар тақырыбына дәлелдеуге берілген есептер.


Үшбұрыштар тақырыбына дәлелдеуге берілген есептер.
Әдістемелік нұсқаулар.
Негізгі формулалар.
1) Кез келген үшбұрыш. (а, в, с – қабырғалары; α, β, γ – оларға қарсы жатқан бұрыштары; р – жарты периметр, R – сырттай сызылған шеңбердің радиусы; r – іштей сызылған шеңбердің радиусы; S - ауданы; ha – a қабырғасына жүргізілетін биіктік):


(Герон формуласы) (3)
(4)
(5)
(6)
A2 = b2 + c2 – 2bc cosα (косинустар теоремасы) (7)
(синустар теоремасы) (8)
2) Тік бұрышты ұшбұрыш (а, в – катеттері; с – гипотенуза, ас, вс – катеттердің гипотенузаға түсірілген проекциялары):
(9)
(10)
(11)
(12)
a2 + b2 = c2 (Пифагор теоремасы) (13)
(14)
(15)
(16)
a = c sin α = c*cosβ = btgα = bctgβ. (17)
3) Тең қабырғалы ұшбұрыш.
(18)
(19)
(20)
Фигураның элементерінің арасындағы орындалатын қосымша арақатыстар.
Үшбұрыштың ұш медианасы бір нүктеде қиылысады және үшбұрыштың төбесінен бастап санағанда әрбір медиананы 2:1 бөліктерге бөледі.
Үшбұрыштың медианасының ұзындығы мына формуламен анықталады:
(21)мұндағы а, в, с – үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары.
Үшбұрыштың қабырғаларының ұзындығы мына формуламен анықталады:
(22)
мұндағы ma , mb , mc – үшбұрыштың медианаларының ұзындықтары.
Үшбұрыштың биссетрисасы қабырғасын былайғы екі қабырғасына пропорционал болатындай кесінділерге бөледі.
Үшбұрыштың биссектрисасының ұзындығы мына формуламен анықталады:
(23)
мұндағы а және в – үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары, а1 және в1 – үшінші қабырғаларының кесінділері.
Үшбұрыштың биссектрисасының ұзындығы оның а, в және с қабырғалары арқылы мына формуламен өрнектеледі.
(24)
Кез келген үшбұрыш үшін оның ha , hb , hc – биіктіктері мен оған іштей сызылған шеңбердің радиусы r арасында мынадай арақатыс орындалады:
(25)
Әдетте үшбұрыштар тақырыбын есептуге берілген есептерді төмендегі әдістердің бірін қолдану арқылы шешеді:
Тірек есептерін қолдану.
Біртіндеп есептеу әдісін қолдану.
Алгебралық әдісті қолдану.
Тригонометриялық әдісті қолдану.
Геометриялық әдісті қолдану.
Комбинациялық әдісті қолдану.
Енді тақырыпқа байланысты мысалдар қарастырайық.
1-мысал. дөңгелекке тең бүйірлі үшбұрыш іштей салынған және бұл үшбұрышқа іштей дөңгелек сызылған. Дөңгелектердің центрлерінен үшбұрыштың табанына дейінгі ара қашықтар өзара тең. Үшбұрыштың бұрыштарын табыңдар.
Шешуі: Екі жағдай болуы мүмкін: дөңгелектердің центрлері үшбұрыштың табан қабырғасында және екі жағында жатуы мүмкін.
3751580-63182500Бірінші жағдайда дөңгелектердің центрлері өзара беттеседі, барлық 6 ұшбұрыштар (гипотенузасы және катеті бойынша) тең болады, АВС ұшбұрыштары тең қабырғалы, яғнионың бұрыштары 600 – қа тең. Екінші жағдайда О – үшбұрышқа сырттай сызылған дөңгелектің центрі, ал О1 – оған іштей сызылған дөңгелектің центрі, К – АС қабырғасының ортасы. Есептің шарты бойынша ОК = О1 К, бұдан ∆АО1 К = ∆AOK (екі катеті бойынша), ∆О1 АК = ∆OAK = α. Сонда О1 – үшбұрышқа іштей сызылған дөңгелектің центрі болатындықтан, О1 – нүктесі АВС үшбұрышының кез келген бұрышының биссектрисасында жатады, ∆ВАО1 = ∆O1 AK = α, яғни ∆ВАС = ∆BCA = 2α, ∆BAO = 3α. OA = OB болатындықтан, АВО үшбұрышының тең бүйірлі екені шығады, ∆ABO = ∆BOA=3α, яғни ∆АВС = 6α. ∆BAC+∆BCA+∆ABC=10α=1800. Бұдан α=1800. ∆BAC=∆BCA=360, ∆ABC=1080 .
Жауабы: 360; 360; 1080.
40259001424305002-мысал. Берілген үшбұрыштың әрбір қабырғасы контурдың айналу бағытымын бір бағытта сәйкес қабырғаларының бөлігіне тең кесінділірге созылған. Бұл кесінділердің сыртқы ұштары өоара қосылған. Егер берілген үшбұрыштың ауданы S-ке тең болса, онда сондағы шыққан үшбұрыштарының ауданын табыңдар.
Шешуі: АВ=3BM, BC=3CN, AC=3AK. Биіктіктері бірдей үшбұрыштардың аудандарының қатынасы, олардың табандарының қатынасындай болады. Сондықтан және Осы сияқты, және Бұдан
Жауабы: .
4044950196850003-мысал. АВС үшбұрышы берілген. АВ қабырғасынан К нүктесін, ал АС қаьырғасынан н нүктесін ВК=KN=HC теңдігі орынлалатындай етіп табыңдар.
Шешуі: Алдымен АВ қабырғасында Р нүктесін РQ = BP, Q нүктесін РQ ↑↑ АС және АС қабырғасында R нүктесін QR = BP болатындай етіп саламыз. Сонда , яғни СК//RP болатын ізделінді К нүктесі табылады. Сонда ВКН1СН – ромб болады. Сондықтан ВК=KN=HC.
Сонымен есептің тұжырым дәлелденді.
4-мысал. АВС үшбұрышының a, b, c қабырғаларының ұзындықтары және ауданы S қасында арақатыс орындалады. А бұрышын табыңдар.
Шешуі: ВС = a, AC = b, AB = c болсын. екені белгілі. Сонымен қатар, косинустар теоремасы бойынша a2 = b2 + c2 – 2bc*cos∆A, бұдан , сонда
Есептің шарты бойынша немесе соңғы екі теңдіктің оң жақтарын теңестіріп табатынымыз: бұдан екі мүмкіндің шығады.
яғни тік бұрышты мұндағы а – гипотенуза, b және с – катетер, сонда ∆А = 900. Бірақ теңдігінің орындалуы мүмкін емес, өйткені есептің шартын ескерсек, онда S = 0 болады.
, сонда tg∆A=, олай болса, ∆А = 600.
Демек, А бұрышы 600 –қа тең.
Жауабы: ∆А = 600.
5-мысал. Тең бүйірлі үшбұрыштың табанына түсірілген биіктігі 12-ге, ал оған іштей және сырттай сызылған шеңберлердің радустарының қосындысы -ге тең. Үшбұрыштың қабырғаларын табыңдар.
Шешуі: Тең бүйірлі АВС үшбұрышының табаны АВ = 2x, AC = BC = y, биіктігі CD = 12 болсын, сонда ∆AДС-нан; y2 –x2 = 144. (1)
, мұндағы a = b = y, c = AB = 2x екені белгілі, бұдан (2),
Екінші жағынан, S∆ABC = pr = (x+y)*r (3)
Сонымен қатар, (4)
Сонда (4)-ні ескерсек, онда (2) және (3) арақатыстар былайша жазылады немесе у2 = 24R, (5)
Осы сияқты (3)-ден алатынымыз: (х+у)r = 12x, бұдан (6)
Есептің шарты бойынша , сонда (5) және (6)-ны қосып табатынымыз: немесе (1)-ні ескерсек, мынадай теңдеулер жүйесі шығады: y = tx мұндағы болсын, сонда . Жүйені алмастырмау әдісіміен шешіп анықтайтынымыз: 35t2 – 96t + 13 = 0, бұдан
y = tx ауыстыруын ескеріп, мынадай екі жүйе аламыз:
1) 2)
(1)-ші жүйеден: x =5, y = 13, (2) жүйенің шешімі жоқ.
Сөйтіп, x = 5, y = 13, сонда AB = 10, AC = BC = 13.
Жауабы: AB = 10, AC = BC = 13.
6-мысал. Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы с-ға, ал сүйір бұрыштарының біреуінің биссектрисасы -ке тең. Үшбұрыштың катеттерін табыңдар.
Шешуі: Тік бұрышты АВС үшбұрышында ∆С = 900, AB = c, AD = - A бұрышының биссектрисасы. ∆СAD = ∆DAB = α болсын. ∆АСД-нан: AC = AD*cosα = cos α. ∆АBС-нан: AC = AB cos2α = c*cos2α. Теңдіктің оң жақтарын салыстырып табатынымыз: cos α = cos2α немесе cos2α – cosα=0.
Сонда cos2α = cos2 α – 1 болатындықтан, бұл теңдеуді мына түрде жазуға болады: 2 cos2 α – cosα - = 0, бұдан cosα = немесе cosα = -
Мұнда ∆А<900 болатындықтан, cos α >0, сондықтан cosα = - мәні жарамсыз.
Егер cosα = - болса, онда α =300 , олай болса, ∆СAD = ∆DAB =300 , ∆СAВ=300 , және ∆B =300 .
Демек,
Жауабы:
7-мысал. Үшбұрыштың биссектрисасының қатынасы 1:5:6 қатынасындай. Ең кіші қабырғасының ұзындығы 2-ге тең. Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусын табыңдар.
3794125102044500Шешуі: ВС=2 – үшбұрыштың ең кіші қабырғасы болсын, сонда ∆A=x – үшбұрыштың ең кіші бұрышы. ∆В=5x және ∆С=6x. Олай болса, х+5х+6х = 1800, x=1500. Сөйтіп, ∆A =150, ∆В=5x=750 және ∆С=6x=900 . Олай болса, ∆AВС – тік бұрышты, сондықтан r=немесе r= Бірақ, , мұндағы sin 150 = sin(450-300) = sin450*cos300 – cos450 sin300 = ;
Сөйтіп, , сонда
Демек, үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы -ге тең.
Жауабы:
8-мысал. Тік бұрышты үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің радиусынның оған іштей сызылған шеңбердің радиусына қатынасы 5:2 қатынасындай. Үшбұрыштың бұрыштарын табыңдар.
Шешуі: Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңберлердің радиусытарын R және r деп белгілейік, сонда AB = 2R, , және және болады. Тендеу құрамыз: , бұдан Сонымен қатар, Сонда 4025900-7175500 болатындықтан, бұдан . Виет теоремасына кері теорема бойынша және мына квадрат теңдеудің х2 – 5х+6=0 түбірлері болып табылады. Олай болса,
Жауабы:
9-мысал. Үшбұрыштың екі қабырғасы және ауданы сәйкесінше 11, 20 және 66-ға тең. Үшбұрыштың үшінші қабырғасын табыңдар.
Шешуі: Бұл есепте 2 түрлі жағдай болуы мүмкін. (үшбұрыш сүйір бұрышты немес доғал бұрышты).
1-тәсіл. . Бұдан ұзындығы 11-ге тең қабырғаның ұзындығы 20-ға тең қабырғаға түскен проекциясы -ге тең. Олай болса, үшінші қабырғаның квадарты 6,62 ± (20±8,8)2, үшбұрыш доғал бұрышты болғанда 873-ке және үшбұрыш сүйір бұрышты болғанда 169-ға тең. Демек, үшбұрыштың үшінші қабырғасы не 13-ке тең.
Басқаша, S = ab sinα, яғни 2*66=60*11*sinα, бұдан яғни , бұдан үшінші қабырғаның квадраты 112 +202 ± 2*20*-ке тең.
2-тәсіл. Егер х – үшбұрыштың үшінші қабырғасы болса, онда
20-11. Бұдан немесе х=13.
Жауабы: немесе х=13.
10-мысал. Үшбұрыштың қаьырғаларының ұзындықтары: а,в,с. Үшбұрыштың ішінде жатқан бір нүктеден өтетін үш түзу үшбұрыштың қабырғаларына параллель. Бұл қиюшы түзудің әрқайсысының ұзындығы х-ке тең болса, онда ол неге тең болғаны?
181102039243000Шешуі: АВ=c, BC=a, AC=b болсын. M,N,P,Q,K,L,R нүктелерін суретте көрсетілгендей етіп белгілейік.
Есептің шартын сәйкес LP=RN=MQ=x, ALKR және QКРС параллелограмм болатындықтан QC=KP және AR=LK. Сонда LP=LK+KP=AK+QC. Сондықтан RQ=AC – (AR+QR)=b-x екенін екенін табамыз. ∆KNP ~ ∆ABC – нан: , өйткені NP =a-x. RN=RK+KN болатындықтан, болады. Бұдан -ны табамыз.
Жауабы: .
11-мысал. Қабырғалары a,b,c болатын АВС үшбұрышының биссектрисаларының табандары түзу сызық кесінділерімен қосылған. Сондағы пайда болған төрт үшбұрыш ауданының берілген үшбұрыштың ауданына қатынасын табыңдар.
225488526670000Шешуі: Белгілеулер еңгізейік: AB=c, BC=a, CA=b, A1, B1, C1 нүктелер биссетрисалардың үшбұрыштың табандарымен қиылысу нүктелері болсын. Сонда

Осы сияқты Нәтижесінде Осы сияқты жоғарыдағыға ұқсас төмендегілерді анықтаймыз:

Табылған арақатыстарды пайдалансақ:

Жауабы:.
12-мысал. Үшбұрышқа іштей және сырттай сызылған шеңбердің центрілері оның бір қабырғасына қарағанда симметриялы болып келген. Үшбұрыштың бұрыштарын анықтаңдар.
2086610000Шешуі: О1 – іштей сызылған шеңбердің радиусы, О – сырттай сызылған шеңбердің радиусы болсын.
AO1 = AO=OC=O1C екені айқын, сондықтан, ∆СAO=∆ACO=∆O1CA. Сонда АО1 және СО1 – биссектриса болатындықтан, ∆BAC = ∆BCA = 2∆O1AC және ОВ = ОА болатындықтан, ∆АВО = ∆OAB.
Демек,
Бұдан ∆О1 АС = 180 және үшбұрыштың бұрыштары: 360, 360, 1080.
Жауабы: 360, 360, 1080..
13-мысал. Дұрыш үшбұрыштың екі төбесі О нүктесінен 1 қашықтықта жатыр. Үшбұрыштың үшінші төбесі О нүктесінен қандай ең үлкен қашықтықта болуы мүмкін?
202184053975000Шешуі: Центрі О нүктесінде болатын, радиусы 1-ге тең шеңбер жүргізейік. Екі төбесі А және В шеңбер бойында жататын, ал С нүктесі О нүктесі сияқты АВ түзуі жатқан жақта орналасқан кез келген тең қабырғалы АВС және АВС үшбұрыштарын қарастырайық.
ОС, < OC екені айқын, ОС – ның қабылдайтын ең үлкен мәнін табайық. ∆ОАС = ∆ОВС (үш қабырғасы бойынша), сондықтан ∆ОСА = 300. φ = ∆COA, ψ = ∆OAC деп белгілейік. АВ кесіндінің ұзындығына байланысты φ бұрышы 00 – тан 900 – қа дейін өзгеруі мүмкін. Ψ = 1800 - ∆OCA - ∆COA = 1500 – φ болатындықтан, ψ ∆ОАС – нана синустар теоремасы бойынша .
sin∆OAC = болғандықтан, ОС ≤ 2, ψ = 900 болғанда, ОС =2 теңдігі орындалады.
Сонымен, А және В төбелері центрі О нүктесінде, радиусы 1-ге тең болатын шеңбердің бойында жататын тең қабырғалы ∆АВС – ның О нүктесінен С төбесіне дейінгі ең үлкен қашықтығы 2-ге тең. Бұл ең үлкен мән қабырғасы -ке тең болатын үшбұрышта болады.
Жауабы: 2.
14-мысал. Үшбұрыштың бұрыштарының тангенстерінің қатынасы 1:2:3 қатынасындай. Осы бұрыштың қарсы жатқан қабырғаларының қатынасын табыңдар.
Шешуі: Үшбұрыштың бұрыштары х, у және 1800 – (х+у) болсын. Сонда
tgx:tgy:tg[1800 – (x+y)]=1:2:3; tgy = 2tgx;
tg[1800 – (x+y)]=-tg(x+y)=


Сондықтан a:b:c = 1:
Жауабы: a:b:c =.
15-мысал. Үшбұрыштың медианалары 3,4,5-ке тең. Бұл қандай үшбұрыш – сүйір бұрышты ма, доғал бұрышты ма немесе тік бұрышты ма?
2068195248920000Шешуі: АВС – берілген үшбұрыш, оның А, В, С төбелерінен жүргізілген мелианаларының ұзындықтары 4, 5, 3-ке тең болсын. СЕ медианасын DE-ге тең EF кесіндісіне созайық. ADF үшбұрышының қабырғалары 3, 4, 5-тің бөлігіне тең болады. Одан әрі қарай АЕ-ADF үшбұрышының медианасы АВС үшбұрышының қабырғасы мен медианасының арасындағы BAD бұрышы ADF үшбұрышы мен медианасының арасындағаы бұрышқа тең, олай болса, қабырғалары 3, 4, 5-ке тең. Төмендегі суреттегі MNP үшбұрышы мен медианасының арасындағы OMN бұрышына тең. Осы сияқты АВС және MNP үшбұрыштарының қабырғалары мен медианаларының арасындағы бұрыштар да тең; төмендегі суретте тең бұрыштар бірдей әріптермен белгіленген. АВС үшбұрышының бұрыштары сәйкесінше π - ∆MON, π - ∆POM, π - ∆NOP бұрыштарына тең. Жай есептеулер мынадай нәтиже береді:

Сонымен, ON2 + OP2 < NP2, OP2 + OM2 < PM2, OM2 + ON2 < MN2. Олай болса, NOP, POM және МОN бұрыштары доғал, ал АВС үшбұрыштарының бұрыштары сүйір.
Демек медианалары 3, 4, 5-ке тең болатын үшбұрыш – сүйір бұрыштары.
Жауабы: Сүйір бұрышты.
Сыныпта шығарылатын есептер:
Тік бұрышты үшбұрышка іштей сызылған шеңбердін жанасу нүктесі гипотенузаны m және n-ге тен кесінділерге бөледі. Үшбұрыштын ауданын табыңдар.
Дөңгелекке сүйір бұрышы 60° және оған іргелес жатқан катетінің ұзындығы 6 дм-ге тен тік бұрышты үшбұрыш сырттай сызылған. Дөнгелектің ауданын табыңдар.
Үшбұрыштың қабырғалары а=13 см, b=14 см, с=15 см-ге тең. Олардын екеуі (а және b) центрі үшінші қабырғасында жататын дөнгелекке жанама болып табылады. Дөңгелектін радиусын табындар.
Тік бұрышты үшбұрыштын катеттерінің қосындысы 2007-ге тең. Осы үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердін радиусының 1000-ға тең болуы мүмкін бе?
Тік бұрышты үшбұрыштын қабырғаларының ұзындыктары бүтін сандармен өрнектеледі. Осы үшбұрыштын ауданын бүтін сандармен өрнектелетін тең шамалы үш үшбұрышка бөлуге бола ма?
ABC үшбұрышынын АВ. AC және ВС қабырғаларынан M, N және К нүктелері KNMB - төртбұрышы - параллелограмм болатындай етіп алынған. Егер AMN және KNC үшбұрыштарының аудандары сәйкесінше S1 және SV-гe тең болатын болса, осы параллелограмның ауданын табындар.
Үшбұрыштын табанына жүргізілген параллель түзу оның ауданын екіге бөледі. Бүл түзу үшбұрыштың бүйір кабырғаларын қандай қатынаста бөледі?
Радиусы R-гe тен шеңберге іштей сызылған үшбұрыштың төбелері шеңберді 2:5:17 катынасындай бөліктерге бөледі. Үшбұрыштың ауданын табыңдар.
Кейбір тең қабырғалы үшбұрыш пен дұрыс алты бұрыштың периметрлері бірдей. Олардың аудандарының катынасы кандай?
Периметрі 6-ға тең болатын үшбұрыштын ен үлкен ауданы қандай болуы мүмкін?
ABC үшбұрышынын қабырғаларының бірінде жаткан Р нүктесі аркылы онын ауданын екіге бөлетін түзу жүргізіңдер.
Тен бүйірлі үшбұрыштың төбесіндегі бұрышы 1200 -қа тең. қатынасын табындар, мұндағы r және R - сәйкесінше үшбұрышқа іштей және сырттай сызылған шенберлердін радиустары.
Ауданының сандык мәні периметріне тен болатын бүтін санды Пифагор үшбұрышын табындар.
Радиусы r-ге тен шенбердін радиусы ∆А = 45°,∆В = 75° болатын ABC үшбұрышының үш қабырғаларынын орталары аркылы өтеді. Үшбұрыштың ауданын табыңдар.
Тік бұрышты үшбұрыштын биіктігі оны периметрлері р1-ға және р-ға тен болатын екі үшбұрышка бөледі. Үшбұрыштын периметрін табыңдар.
Үйге берілетін тапсырмалар:
Тең кабырғалы ABC үшбұрышынын қабырғаларының ұзындыктары 1-ге тең. Мынаны есептендер: ВС -СА + СА- АВ + АВ- ВС.
Егер h биіктігі b кабырғасына түсірілген болса, онда қабырғалары мен биіктігі а>b>с>һ арақатысымен байланыскан, қабырғалары тізбектелген бүтін сандар болатын үшбұрыш бар ма?
Тік бұрышты ABC (ZC=90°) үшбұрышының СК медианасы мен CMD биіктіктерінің ұзындыктарынын айырымы 7 см-ге тең. Егер S∆АВС = 144 см2 болса, онда қатынасын табыңдар.
ABC үшбұрышынын медианаларынын ұзындыктары ma, mb, және mc -ға тең. ABC үшбұрыштарынын қабырғалары мен бұрыштарын табындар.
ABC үшбұрышынын A.B,C бұрыштары сәйкесінше αβγ - ға тең; сәйкес бұрыштарына қарсы жатқан қабырғалары аbc-ға тең. көбейтіндісінің ең үлкен мәнін табындар. Бұл ен үлкен мән кандай үшбұрышта орындалады?
Бір үшбұрыштың әрбір қабырғасы екінші үшбұрыштын қабырғаларына қарағанда үлкен. Бірінші үшбұрыштың ауданы міндетті түрде екішісіне қарағанда артық деген тұжырым дұрыс па?
Тен қабырғалы үшбұрышты 2002 тен қабырғалы үшбұрышка бөлуге бола ма? Болса калай? Болмаса - неліктен болмайды?
ABC үшбұрышында tgA : tgB : tgC = 1:2:3 болса, осы бұрыштардын синустарын табыңдар.
Қабырғаларынын ұзындыктары а, b, с үшін а4 +b4 +c4 =a2 b2 +b2 + с2+а2 арақатысын қанағаттандыратын үшбұрыштын түрін анықтандар.
ab cos С + ас cos В + be cos A = с екені белгілі. Үшбұрыштың түрін анықтандар.
ABC үшбұрышында AC---S. ВС = 4, sinZC = -. Егер АВ < ЛС болса, онда үшбұрышка іштей сызылған шенбердін радиусын табындар.
Бір үшбұрыштың кабырғалары 17 см, 25 см және 26 см-e, ал екінші үшбұрыштың екі қабырғасы 17 см және 25 см-ге тең. Егер бұл үшбұрыштарға іштей сызылған шенберлердін радиустары тең болса, онда екінші үшбұрыштын үшінші қабырғасынын ұзындығын табындар.
Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасынан катеттеріне дейінгі ара қашықтықтарынын квадраттарының қосындысы ең аз болатын нүктені табындар.
Тең бүйірлі үшбұрыштын бүйір қабырғасының ұзындығы 30см-ге тең. Осы үшбұрыштың биіктігі тендей етіп үш бөлікке белінген. Сөйтіп, табанынын бір төбесінен осы нүктелер арқлы ететін түзу үшбұрыштын бүйір кабырғасын үш бөлікке бөледі. Осы үш бөліктің әркайсысынын ұзындығын табындар.
Үшбұрыштың қабырғасынын бойынан осы нүктеден онын былайғы екі қабырғасына дейінгі ара қашықтықтарының қосындысы ең кіші болатындай нүктені табындар.
Өз бетінше шығаруға берілген есептер:
ABC үшбұрышының қабырғалары а,b,с мен оның ауданы S-тің арасында мынадай арақатынас S= а2 - (b - с)2 орындалады. А бұрышын анықтаңдар.
Тік бұрышты үшбұрыштың бұрыштарын анықтандар, сонда оған іштей және сырттай сызылған шеңберлердін радиустарынын қатынасы ең үлкен болатын болсын.
Үшбұрыштын қабырғалары үшін аn = bn + сn арақатысы орындалады, мұндағы n>1. n-нің кандай мәндерінде үшбұрыш доғал бұрышты, сүйір бұрышты, тік бұрышты болады?
АА1 ,ВВ1 ,СС1 кесінділері ABC үшбұрышынын ішінде жатқан О нүктесінде қиылысады. АОС1,ВОА1,СОВ1 үшбұрыштарының әрқайсысының ауданы Р-ға тен. ABC ауданын табындар.
Тең бүйірлі үшбұрышка іштей сызылған дөнгелектік радиусы r = 3 - қе, ал oған сырттай сызылған дөңгелектің радиусы R = 8-ге тең. Үшбұрыштың қабырғаларын табыңдар.
Үшбұрышка іштей сызылған шеңбер мен сырттай сызылған шеңбердің центрлеп оның қабырғаларының біреуіне қарағанда симметриялы. Үшбұрыштың бұрыштарын табыңдар.
Радиусы r-ге тең шенбердін диаметрі тен қабырғалы үшбұрыштың қабырғасы болып саналады. Осы үшбұрыштың дөңгелектің сыртында жатқан бөлігінің ауданын табындар.
Биіктіктері ке тен болатын үшбұрыштың болуы мүмкін бе?
Үшбұрыштын қабырғаларынын ұзындыктары а,b,с-ға тең. Егер с3 = а3 +b3 болса, онда үшбұрыштың түрін (доғал бұрышты, сүйір бұрышты, сүйір бұрышты) анықтаңдар.
ABCD квадратының қабырғасы 6 см-ге тең М нүктесі оның әрбір төбесінен 17 см қашықтықта жатыр. МА кесіндісінің ортасы квадраттың әрбір қабыргасынан қандай қашықтықта жатқандығын анықтаңдар.
Үшбұрыштың ішінде жаткан сондай бар нүктені табыңдар, бұл нүктеден үшбұрыштын қабырғаларына дейінгі ара қашыктықтардың қосындысы ең кіші болатын болсын.
Үшбұрыштын ауданы 8-ге, ал периметрі р-ға тең. Үшбұрыштың қабырғалары орналаскан түзулер сыртқа қарай n қашықтыққа жылжытылған. Осы үш түзулерден шыққан үшбұрыштын ауданы мен периметрін анықтандар.
Кубтың диагоналы аркылы өтетін ауданы ең кіші болатын қиманы табыңдар.
Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы с-ға тең. Осы үшбұрыштың қабырғаларының ортасы арқылы ететін дөңгелектін ауданын табындар.
Тік бұрышты үшбұрыштын катеттернің айырымы оның тік бұрышыныңбиссектрисасына тең. Осы катеттердің қатынасын табыңдар.
ABC үшбұрышының А және С төбелерінен түсірілген биіктіктер үшбұрыштың ішінде жаткан нүктеде қиылысады және олардын біреуі қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді, ал екіншісі төбесінен бастап санағанда 2:1 қатынасындай бөліктерге бөлінеді. Үшбұрыштын В бұрышын табындар.
Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасымен және онын катеттерінің созындыларымен жанасатын шеңбердін радиусы 25 см-ге тең. Үшбұрыштың периметрін табындар.
ABC үшбұрышының АВ=9 кабырғасынан AD=2 болатын D нүктесі алынған. Егер ZBAC=45°, ал ACD және ABC бұрыштары тең болатын болса, ABC үшбұрышының ауданын табындар.
Қабырғалары 12 см, 15 см және 18 см болатын үшбұрышка шеңбер сызылған, онын центрі үшбұрыштың үлкен қабырғасында жатыр және ол үшбұрыштың қалган екі қабырғасымен жанасады. Шеңбердін центрі үшбұрыштың үлкен қабыргасын бөлетін кесінділердің ұзындыктарын табыңдар.
Футболда ойнайтын доп көпжақ тәріздес: онын 32 жағынын 20-сы ақ дұрыс алтыбұрыштар, ал 12-сі – қара түсті дұрыс бесбұрыштар. Осы доптың қанша төбесі бар?

Приложенные файлы

  • docx 1544318
    Размер файла: 7 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий