СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. Глава I. Основные понятия теории случайных процессов

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
(Примеры, задачи, лабораторные работы)

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

§ 1.1. Случайные процессы. Основные определения

Случайной функцией называется семейство случайных величин, зависящих от параметра 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - произвольное множество.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 - вероятностное пространство, 13 EMBED Equation.3 1415 - параметр, 13 EMBED Equation.3 1415- элементарное событие. Тогда случайной функцией 13 EMBED Equation.3 1415 называется измеримое отображение 13 EMBED Equation.3 1415 пространства элементарных событий 13 EMBED Equation.3 1415 в 13 EMBED Equation.3 1415, зависящее от параметра 13 EMBED Equation.3 1415. Когда 13 EMBED Equation.3 1415 - множество действительной прямой, а параметр 13 EMBED Equation.3 1415 интерпретируется как время, вместо термина случайная функция употребляется термин случайный процесс.
Случайный процесс является математической моделью для описания случайных явлений, развивающихся во времени. Процесс, для которого характерно изменение физической величины во времени случайным образом, принято называть случайным или стохастическим. Как видно, он описывается случайной функцией, представляющей собой функцию одного или нескольких аргументов, которая при всех или нескольких значениях этих аргументов является случайной величиной.
Обычно, когда это не приводит к неясности, зависимость 13 EMBED Equation.3 1415 от 13 EMBED Equation.3 1415 не указывается и случайный процесс обозначается просто 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415 случайный процесс 13 EMBED Equation.3 1415 называется скалярным случайным процессом, а при 13 EMBED Equation.3 1415 - векторным или 13 EMBED Equation.3 1415- мерным случайным процессом. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то вместо случайной функции 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 употребляется термин случайная последовательность, которую обозначают 13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415- фиксированный момент. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415 называется сечением случайного процесса в точке 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, случайный процесс представляет собой не что иное, как систему случайных величин - всех сечений этого процесса. При фиксированном 13 EMBED Equation.3 1415 неслучайная функция 13 EMBED Equation.3 1415, называется траекторией, соответствующей элементарному исходу 13 EMBED Equation.3 1415. Часто траектории называются реализациями или выборочными функциями случайного процесса. Таким образом, случайный процесс, описываемый случайной функцией 13 EMBED Equation.3 1415 - это ансамбль из множества реализаций: 13 EMBED Equation.3 1415
Семейство реализаций случайного процесса – основной экспериментальный материал, на основе которого можно получить характеристики случайного процесса.
Пример 1. Пусть случайный процесс 13 EMBED Equation.3 1415 определён формулой 13 EMBED Equation.3 1415~13 EMBED Equation.3 1415. Найдём множество сечений и траекторий случайного процесса 13 EMBED Equation.3 1415.
В данном случае, при фиксированном 13 EMBED Equation.3 1415 сечение 13 EMBED Equation.3 1415 является случайной величиной, имеющей равномерное распределение на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415~13 EMBED Equation.3 1415. Неслучайные функции 13 EMBED Equation.3 1415 (траектории процесса) – это прямые линии, выходящие из точки 13 EMBED Equation.3 1415 со случайным тангенсом угла наклона, равным 13 EMBED Equation.3 1415. Все траектории непрерывны (см. рис. 1.1).

§ 1.2. Элементарная классификация случайных процессов

Поскольку всякая классификация условна, то один и тот же случайный процесс может удовлетворять нескольким квалификационным критериям. Например, случайные процессы могут быть описаны с единых позиций в соответствии с наличием у них тех или иных общих признаков.
Классификация по зависимости характеристик процесса от начала отсчёта времени:
стационарные случайные процессы;
нестационарные случайные процессы.
Стационарным называется такой случайный процесс, у которого определённая группа вероятностных характеристик инвариантна во времени, т.е. не изменяется при сдвиге времени – замене аргумента 13 EMBED Equation.3 1415 значением 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - произвольный интервал. Различают стационарные в узком и широком смысле случайные процессы.
Случайный процесс называется стационарным в узком смысле, если 13 EMBED Equation.3 1415 - мерное распределение вероятностей не изменяется со временем, т.е. выражения для плотности вероятностей любого порядка не зависят от выбора начала отсчёта, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если его средняя и дисперсия не зависят от времени, а корреляционная функция зависит лишь от разности времени 13 EMBED Equation.3 1415. Стационарные процессы, стационарные в узком смысле, стационарны и в широком, но не наоборот.
Наиболее трудный для изучения – класс нестационарных случайных процессов. Они делятся по различным дополнительным признакам на элементарные, квазистационарные, периодические и почти периодические, аддитивные, мультипликативные, сепарабельные, структурно однородные и т.п. случайные процессы.
Классификация по типу областей существования и изменения случайных процессов (см. табл.1)
Таблица 1

Свойства 13 EMBED Equation.3 1415
Свойства 13 EMBED Equation.3 1415
Вид одной реализации
Примеры

а) Параметр 13 EMBED Equation.3 1415 - дискретен
Случайная функция 13 EMBED Equation.3 1415 дискретна






Цепи Маркова

б) Параметр 13 EMBED Equation.3 1415 - дискретен
Случайная функция 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывна






Обобщённые цепи Маркова


Продолжение таблицы 1

в) Параметр 13 EMBED Equation.3 1415 - непрерывен
Случайная функция 13 EMBED Equation.3 1415 дискретна







Потоки заявок на обслуживание в системах массового обслуживания

г) Параметр 13 EMBED Equation.3 1415 - непрерывен
Случайная функция 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывна







Задачи теории управления


Это процессы с дискретным и непрерывным временем, процессы с дискретными и непрерывными состояниями. Таким образом, в зависимости от характера множества 13 EMBED Equation.3 1415 и множества состояний случайной функции 13 EMBED Equation.3 1415 такие процессы делятся на четыре подкласса, указанные в табл.1.
Классификация по наличию или отсутствию зависимости вероятности распределения координат случайной функции от её предыстории:
марковские;
немарковские.
Случайный процесс называется марковским, если его будущее зависит лишь от настоящего и не зависит от прошлого значения. Более точное определение будет дано позднее в терминах условных плотностей распределения случайных величин 13 EMBED Equation.3 1415.
Оказывается, что многие реальные физические системы имеют не более, чем счётное множество возможных состояний, а их поведение адекватно моделируется посредством марковских процессов.
Классификация по наличию или отсутствию связей между средним по аргументу 13 EMBED Equation.3 1415 и средним по множеству реализаций:
эргодические;
неэргодические.
Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если его вероятностные характеристики могут быть получены с вероятностью сколь угодно близкой к единице, в результате операции усреднения по времени одной реализации, достаточно большой (теоретически бесконечной) длительности.
Классификация по типу законов распределения
По этому типу может быть выделено наибольшее количество различных законов, например, нормальные процессы, процессы с независимыми приращениями, винеровские, марковские и пуассоновские процессы, потоки событий (процессы массового обслуживания), процессы авторегрессии и скользящего среднего и т.п.

§ 1.3. Конечномерные распределения случайного процесса

Пусть 13 EMBED Equation.3 1415- действительный случайный процесс и задано некоторое произвольное множество моментов времени 13 EMBED Equation.3 1415 Тогда соответствующий набор
случайных величин13 EMBED Equation.3 1415 имеет 13 EMBED Equation.3 1415-мерную функцию распределения
13 EMBED Equation.3 1415, (1.3.1)
которая называется 13 EMBED Equation.3 1415-мерной функцией распределения случайного процесса 13 EMBED Equation.3 1415.
Совокупность функций (1.3.1) для различных 13 EMBED Equation.3 1415и всех возможных моментов времени 13 EMBED Equation.3 1415называется семейством конечномерных распределений случайного процесса 13 EMBED Equation.3 1415.
Рассмотрим подробнее 13 EMBED Equation.3 1415-мерные функции распределения и некоторые связанные с ними функции для 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Одномерная функция распределения вероятностей непрерывного случайного процесса 13 EMBED Equation.3 1415 определяется в соответствии с формулой (1.3.1) как
13 EMBED Equation.3 1415. (1.3.2)
Множество реализаций13 EMBED Equation.3 1415 случайного процесса 13 EMBED Equation.3 1415 и определение одномерной функции распределения по формуле (1.3.2) показаны на рис. 1.2.
Свойства 13 EMBED Equation.3 1415 стандартны, это обычные свойства функции распределения:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415- неубывающая функция по 13 EMBED Equation.3 1415.
Если процесс дискретен, то
13 EMBED Equation.3 1415. (1.3.3)
Плотность распределения вероятностей случайного процесса 13 EMBED Equation.3 1415 функция 13 EMBED Equation.3 1415 представляет собой производную по 13 EMBED Equation.3 1415 от функции распределения, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415. (1.3.4)
Основные свойства функции распределения:
1. 13 EMBED Equation.3 1415;
2. 13 EMBED Equation.3 1415;
3. 13 EMBED Equation.3 1415.
При решении многих задач используется характеристическая функция процесса 13 EMBED Equation.3 1415, которая может служить столь же эффективной характеристикой, как и плотность вероятности:
13 EMBED Equation.3 1415, (1.3.5)
где 13 EMBED Equation.3 1415- аргумент характеристической функции. Видно, что характеристическая функция (1.2.5) является преобразованием Фурье от соответствующей плотности распределения вероятностей 13 EMBED Equation.3 1415. Применение обратного преобразования Фурье к характеристической функции 13 EMBED Equation.3 1415 приводит к выражению
13 EMBED Equation.3 1415. (1.3.6)
Основные свойства характеристической функции:
1. 13 EMBED Equation.3 1415;
2. 13 EMBED Equation.3 1415;
3. 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415- комплексно сопряжённая функция к 13 EMBED Equation.3 1415;
4. если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415;
5. если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Аналогичным образом определяется и двумерная функция распределения вероятностей случайного процесса 13 EMBED Equation.3 1415. Одномерные законы распределения случайного процесса в достаточной мере характеризуют его, когда значения 13 EMBED Equation.3 1415 в различные моменты времени (в различных сечениях ансамбля реализаций) рассматриваются изолированно. Для решения задач, требующих рассмотрения совместно значений одной случайной функции при двух значениях аргумента 13 EMBED Equation.3 1415 или двух различных случайных функций при одном и том же значении аргумента, пользуются двумерными законами распределения.
Двумерная функция распределения характеризует: а) в случае одного процесса – вероятность того, что значения случайной функции 13 EMBED Equation.3 1415, описывающей процесс, в различные моменты 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 будут меньше уровней 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 (см. рис. 1.3); б) в случае двух процессов – вероятность того, что значения случайной функции 13 EMBED Equation.3 1415, описывающей первый процесс в момент 13 EMBED Equation.3 1415 будут меньше 13 EMBED Equation.3 1415, а значения другой случайной функции 13 EMBED Equation.3 1415, описывающей второй процесс в момент времени 13 EMBED Equation.3 1415, будут меньше 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415 (1.3.7)
Аналогично определяется двумерные плотности распределения
13 EMBED Equation.3 1415. (1.3.8)
Определение 13 EMBED Equation.3 1415- мерной функции распределения случайного процесса 13 EMBED Equation.3 1415 дано формулой (1.3
·.1). Как видно из этой формулы, случайный процесс 13 EMBED Equation.3 1415 можно рассматривать как совокупность всех его возможных сечений. Каждое сечение случайного процесса 13 EMBED Equation.3 1415 при фиксированном 13 EMBED Equation.3 1415 представляет собой 13 EMBED Equation.3 1415- мерный случайный вектор. В общем случае случайный процесс 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 не может быть полностью определённым, т.к. он представим несчётной совокупностью своих сечений. Поэтому при решении различных задач, как теоретического, так и прикладного характера приходится ограничиваться конечномерными законами распределения.
13 EMBED Equation.3 1415- мерная функция распределения случайного процесса 13 EMBED Equation.3 1415 обладает следующими свойствами:
13 EMBED Equation.3 1415- условие нормировки;
13 EMBED Equation.3 1415- неубывающая функция по переменным 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415, где
13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415- произвольны;
если 13 EMBED Equation.3 1415, что 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, если же 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415;
для любой перестановки индексов 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Условия 3)-4) называются условиями согласованности семейства конечномерных распределений. Как видно, свойства функции, определённой формулой (1.3.2) являются частным случаем вышеприведённых свойств.
Аналогично формулам (1.3.4) и (1.3.8) 13 EMBED Equation.3 1415- мерная функция плотности распределения вероятностей определяется как
13 EMBED Equation.3 1415, (1.3.9)
а 13 EMBED Equation.3 1415- мерная характеристическая функция
13 EMBED Equation.3 1415 (1.3.10)
Оперировать формулами (1.3.1), (1.3.9), (1.3.10) при больших значениях 13 EMBED Equation.3 1415 крайне неудобно, к тому же объём экспериментального материала, необходимого для их получения, с увеличение числа сечений растёт чрезвычайно быстро. Поэтому на практике более чем двумерные законы распределения применяются крайне редко.
Плотности или функции распределения меньших порядков 13 EMBED Equation.3 1415 можно получить обычным порядком, известным из теории вероятностей:
13 EMBED Equation.3 1415 (1.3.11)




§ 1.4. Моментные функции случайного процесса

Совокупность всех конечномерных законов распределения случайного процесса является его полной характеристикой. Однако в ряде случаев для решения практически важных задач оказывается достаточным рассмотрение более простых характеристик, в частности моментных функций.
Моментами 13 EMBED Equation.3 1415-го порядка случайного процесса 13 EMBED Equation.3 1415 называют соответствующие моменты его сечений. Различают начальные и центральные моменты.
Моментная функция 13 EMBED Equation.3 1415, зависящая от 13 EMBED Equation.3 1415 несовпадающих аргументов 13 EMBED Equation.3 1415, называется 13 EMBED Equation.3 1415- мерной начальной моментной функцией 13 EMBED Equation.3 1415- го порядка 13 EMBED Equation.3 1415. Её вид определяется формулой


13 EMBED Equation.3 1415. (1.4.1)
Одномерная начальная функция первого порядка
13 EMBED Equation.3 1415 (1.4.2)
называется математическим ожиданием (средним значением) случайного процесса 13 EMBED Equation.3 1415 (см. рис. 1.4). Часто используется также двумерная начальная моментная функция второго порядка 13 EMBED Equation.3 1415, (1.4.3)
называемая корреляционной функцией случайного процесса 13 EMBED Equation.3 1415.
Вместо моментных функций 13 EMBED Equation.3 1415 можно рассматривать 13 EMBED Equation.3 1415- мерные центральные моментные функции 13 EMBED Equation.3 1415- го порядка 13 EMBED Equation.3 1415, которые определяются следующими соотношениями (1.4.4):
13 EMBED Equation.3 1415.
Формула (1.4.5) для 13 EMBED Equation.3 1415- мерного центрального момента 13 EMBED Equation.3 1415 записывается аналогично 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.
Двумерная центральная моментная функция второго порядка
13 EMBED Equation.3 1415 (1.4.6)
называется ковариационной функцией случайного процесса13 EMBED Equation.3 1415.
Для дискретных случайных процессов формула (1.4.6) превращается в
13 EMBED Equation.3 1415, (1.4.6а)
где 13 EMBED Equation.3 1415 - значения случайного процесса 13 EMBED Equation.3 1415 в моменты появления 13 EMBED Equation.3 1415-го и 13 EMBED Equation.3 1415-го события.
Ковариационная функция представляет собой матричную функцию 13 EMBED Equation.3 1415 типа 13 EMBED Equation.3 1415 двух скалярных переменных 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, значения которых при фиксированных 13 EMBED Equation.3 1415 равен ковариации двух случайных векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Моментные функции могут быть определены из характеристической функции путём дифференцирования. Например, значение 13 EMBED Equation.3 1415-ой производной от характеристической функции 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 даёт одномерную начальную моментную функцию 13 EMBED Equation.3 1415-го по-
рядка 13 EMBED Equation.3 1415. (1.4.7)
Аналогичная по математическому содержанию формула даёт значение 13 EMBED Equation.3 1415-ой производной от 13 EMBED Equation.3 1415- мерной характеристической функции
13 EMBED Equation.3 1415, (1.4.8)
где 13 EMBED Equation.3 1415.
Итак, в общем случае математическое ожидание одномерного случайного процесса 13 EMBED Equation.3 1415 определяется формулой (1.4.2). У стационарных случайных процессов математическое ожидание не зависит от времени и постоянно. Если процесс не только стационарен, но и обладает эргодическим свойством, то у такого процесса среднее по ансамблю реализаций равно с вероятностью близкой к единице среднему по времени, определяемому по одной реализации, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415. (1.4.9)
Если процесс дискретен, то 13 EMBED Equation.3 1415 (1.4.10)
и 13 EMBED Equation.3 1415 для эргодического случайного процесса.
Полагая в формуле (1.4.6) 13 EMBED Equation.3 1415 получим следующее значение одномерной центральной моментной функции второго порядка
13 EMBED Equation.3 1415. (1.4.11)
Это выражение определяет дисперсию случайного процесса 13 EMBED Equation.3 1415 (см. рис. 1.5). Таким образом, как математическое ожидание, так и дисперсия случайного процесса определяется его одномерным законом распределения.
Квадратный корень из дисперсии 13 EMBED Equation.3 1415 называется средним квадратическим отклонением 13 EMBED Equation.3 1415 случайного процесса 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415. (1.4.12)
Ковариационная функция (1.4.6) характеризует степень линейной связи между значениями случайного процесса в различные моменты времени (между двумя случайными векторами – сечениями случайного процесса), а также разброс этих сечений относительно математического ожидания (см. рис. 1.6). Если случайный процесс стационарен хотя бы в широком смысле, ковариационная функция является функцией лишь разности 13 EMBED Equation.3 1415 аргументов, а не их значений, и принимает одно и то же значение при всех аргументах 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, отличающихся друг от друга на одинаковую величину 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. При стационарных и эргодических (по отношению к функции корреляции) случайных процессах ковариационная функция может быть определена по одной реализации процесса:
13 EMBED Equation.3 1415. (1.4.13)

Основные свойства ковариационной функции:
Ковариационная функция симметрична. Перестановка аргументов даёт выражение, комплексно сопряжённое с исходным, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415. Для действительного случайного процесса 13 EMBED Equation.3 1415. При стационарных в широком смысле процессах 13 EMBED Equation.3 1415, а для действительных случайных процессов 13 EMBED Equation.3 1415.
При 13 EMBED Equation.3 1415 ковариационная функция равна дисперсии случайного процесса 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415. Неравенство 3 является формой неравенства Коши – Буняковского. Если записать евклидову норму ковариационной функции, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Для стационарных эргодических случайных процессов 13 EMBED Equation.3 1415.
В теоретических расчётах и практических исследованиях часто пользуются нормированной ковариационной функцией
13 EMBED Equation.3 1415. (1.4.14)
Свойства функции 13 EMBED Equation.3 1415 вытекают из её определения и того факта, что коэффициент корреляции любых двух случайных величин не превосходит по модулю единицу.
В теории случайных процессов используется понятие интервала корреляции
13 EMBED Equation.3 1415. (1.4.15)
Эта величина даёт ориентировочное представление о том, на каких интервалах времени в среднем имеет место корреляция между сечениями случайного процесса. Геометрически это выражается так (см. рис. 1.7). Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415 это длина основания (или половина длины основания) прямоугольника высотой 13 EMBED Equation.3 1415, площадь которого равна площади под кривой 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2. Построить семейство реализаций (траекторий) скалярного случайного процесса 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415- скалярная случайная величина, распределённая по закону Пуассона с параметром 13 EMBED Equation.3 1415. Найти математическое ожидание и дисперсию этого случайного процесса.
Здесь, как и в примере 1 для получения траекторий достаточно знать (и задать конкретные значения) величины случайной переменной 13 EMBED Equation.3 1415. Так как 13 EMBED Equation.3 1415 распределена по закону Пуассона с 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415 может принимать значения 0, 1, 2, Следовательно, неслучайная функция 13 EMBED Equation.3 1415- траектории процесса будут описываться формулой
13 EMBED Equation.3 1415
Найдём математическое ожидание процесса по определению 13 EMBED Equation.3 1415. Так как математическое ожидание величины, распределённой по закону Пуассона, равно параметру этого закона 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415. Аналогично с дисперсией 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 3. Найти математическое ожидание, ковариационную функцию, дисперсию, одномерный и двумерный закон распределения скалярного случайного процесса 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415- независимые скалярные случайные величины, распределённые по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 0.25.
Выпишем характеристики случайных величин 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. Функции плотности вероятности обеих случайных величин одинаковы и равны 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
По определению ковариационной функции имеем
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
так как 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 независимы и, следовательно, некоррелированы.
Случайный процесс 13 EMBED Equation.3 1415 при любом фиксированном значении 13 EMBED Equation.3 1415 представляет собой линейную комбинацию нормальных случайных функций и в силу этого также является нормальным. Тогда
13 EMBED Equation.3 1415.
Для написания формулы функции плотности двумерного закона распределения случайного процесса 13 EMBED Equation.3 1415 следует вспомнить формулу функции плотности нормального закона на плоскости:
13 EMBED Equation.3 1415.
При некоррелированности случайных величин 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 предыдущая формула упрощается 13 EMBED Equation.3 1415. В нашем случае 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 некоррелированы, т. е.
13 EMBED Equation.3 1415









13PAGE 15


13PAGE 14915




·(t)

t


·(t)

t


·(t)

t


·(t)

t



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 7798038
    Размер файла: 756 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий