Методичка — методы вычислений Алексеев

Министерство образования и науки
Российской Федерации






Г.В. Алексеев



Методы вычислений

Учебно-методическое пособие














Санкт-Петербург
2013
УДК 681.3.06


Алексеев Г.В. Методы вычислений: Учеб.-метод. Пособие. – СПб.: НИУ ИТМО; 2013. – 71 с.


Описаны принципы создания и использования алгоритмов численного решения задач оптимизации на базе современного пакета прикладных программ Mathcad.
Пособие предназначено для студентов, обучающихся по магистерским программам
Оно может быть полезно студентам старших курсов, аспирантам и соискателям ученой степени.


Рецензент: доктор техн. наук В.А. Арет




Рекомендовано к печати редакционно-издательским советом ИТМО



В 2009 году университет стал победителем многоэтапного конкурса, в результате которого определены 12 ведущих университетов России, которым присвоена категория «Национальный исследовательский университет». Министерством образования и науки Российской Федерации была утверждена программа его развития на 2009 – 2018 годы. В 2011 году Университет получил наименование «Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики».


© Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет
информационных технологий, механики и оптики, 2013

© Алексеев Г.В., 2013


ВВЕДЕНИЕ

Цель лабораторных работ – научить студентов, обучающихся по магистерским программам самостоятельно исследовать проблемы, препятствующие дальнейшему совершенствованию производства и выбирать пути их решения. Выполнившие задания лабораторного практикума, в частности, должны:
знать методы и средства обеспечения оптимального конструирования машиностроительной продукции, новейшие технологии конструирования технологических устройств;
уметь строить математические модели процесса пищевого производства при определении оптимальных условий его реализации или выбора оптимальной конструкции для соответствующего аппарата, пользоваться новейшими технологиями конструирования технических устройств;
иметь навык по использованию компьютерной техники для реализации оптимальных режимов процессов и параметров конструкций оборудования для пищевых производств.
Курс «Методы вычислений» базируется на естественно-научной подготовке студентов и тесно связан с такими дисциплинами, как Высшая математика(разделы: теория вероятности и математическая статистика) и Информатика (разделы: операционная система Windows, численные методы вычислений и пакет прикладных программ Mathcad).
При изучении дисциплины «Методы вычислений» требуется проведение достаточно большого объема вычислительных работ, в том числе с применением компьютерной техники, поэтому предусматривается проведение лабораторного практикума, практических занятий и домашнего задания. Настоящее учебно-методическое пособие предназначено для более глубокой проработки отдельных разделов теоретического курса и для помощи при самостоятельном выполнении студентом лабораторного практикума, в том числе, с использованием персонального компьютера.
13 EMBED Equation.3 1415

Лабораторная работа № 113 EMBED Equation.3 1415
Теория приближенных вычислений13 EMBED Equation.3 1415

Цель работы: сформировать у студентов знания, умения и навыки работы с приближенными числами в применении формул погрешностей элементарных действий и функций, решения обратной задачи теории погрешностей и нахождения значений выражений по способу границ и методом строгого учета абсолютных погрешностей после каждой операции.

1.1. Абсолютная и относительная погрешности

Пример 1.1.
Если x = 0,00006, а 13 EMBED Equation.3 1415 = 0,00005, то ex = 0,00001, а
·х = 0,2 или 20%
Пример 1.2.
Если x = 100500, а 13 EMBED Equation.3 1415 = 100000, то eх = 500, а
·х = 0,005 или 0,5%
Пример 1.3.
Используя Mathcad, найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел x = 984,6 и x = 2,364, если они имеют только верные цифры: а) в строгом смысле, б) в широком смысле
Решение примера 1.3 приведено на рис.1.1















Рис. 1.1. Фрагмент рабочего документа Mathcad для выполнения примера 1.3
Пример 1.4.
Задано число x = 2,3644 и относительная погрешность
·х = 0,07%. Определить количество верных цифр числа по относительной погрешности.
Решение.

·х = 0,0007 < 10-3, значит, число х имеет, по крайней мере, две цифры, верных в строгом смысле. Вычислим

·х = 24,307
· 0,0007 = 0,0170149 < 0,05.
То есть, в строгом смысле действительно верны цифры 2 и 3.

Пример 1.5.
Пусть х = 984,6,
·х = 0,008. Определить количество верных цифр в числе х.
Решение.
Очевидно, что 0,008 < 0,01 = 10-2. Это означает, что число х имеет, по крайней мере, одну верную в строгом смысле цифру (цифра 9). Полученный результат легко подтвердить, используя определение цифры, верной в строгом смысле.
Вычислим ех = 984,6
· 0,008 = 7,8768. Полученная абсолютная погрешность не превышает половину единицы разряда сотен. Откуда следует, что цифра 9 действительно верна в строгом смысле, как по относительной погрешности, так и по абсолютной.

Пример 1.6.
Пусть х = 24,307,
·х = 0,005 %. Определить все верные цифры числа.
Решение.

·х = 0,00005 = 0,5
· 10-4, значит, в х, по крайней мере, четыре цифры верны в строгом смысле. Вычислим
·х = 24,307
· 0,00005 = 0,00121535 < 0,005.
То есть верными цифрами будут являться цифры 2, 4, 3, 0.

Пример 1.7.
Дано число х = 24,010. Цифры верны в строгом смысле. Указать границы его абсолютной и относительной погрешности.
Решение.
Из определения цифры, верной в строгом смысле, можно заключить, что абсолютная погрешность числа х не превосходит половины единицы разряда тысячных. Значит, ех = 0,0005.
Относительную погрешность найдем по формуле:


·х = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 0,2
· 10-4 = 0,2
· 10-2 %.

Пример 1.8.
При взвешивании двух грузов получили следующие значения их масс
х = 0,5 кг, y = 50 кг. Считая абсолютную погрешность взвешивания равной 1 г, определить относительную погрешность измерения масс тел х, у. Какое из тел взвешено более точно?
Решение.
Относительную погрешность найдем по формулам:


·х = 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 2
· 10-3 = 0,2%.13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

·y = 13 EMBED Equation.3 1415 = 2
· 10-5 = 0,002%.

Более точно измерен груз весом 50 кг.

1.2. Погрешность округленного числа

Пример 1.9.
Округляя число х = 1,1426 до четырех значащих цифр, определить абсолютную и относительную погрешности полученных приближений. Цифры верны в широком смысле.
Решение.
Округлим число х до четырех значащих цифр: х1 = 1,143.
По определению верной цифры в широком смысле абсолютная погрешность ех = 0,0001.
Погрешность округленного числа равна сумме погрешности исходного числа и погрешности округления.


·окр =
·1,143 – 1,1426
· = 0,0004;

ех13 EMBED Equation.3 1415 = 0,0004 + 0,0001 = 0,0005;


·х = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 0,000437 < 0,04 %.

Пример 1.10.
Число х, все цифры которого верны в строгом смысле, округлить до трех значащих цифр. Для полученного результата х1 вычислить границы абсолютной и относительной погрешностей. В записи числа х1 указать количество верных цифр по абсолютной и относительной погрешностям х = 1,1426.
Решение примера 1.10. представлено на рис. 1.2.















Рис. 1.2. Фрагмент рабочего документа к выполнению примера 1.10

Пример 1.11.
Со сколькими верными в строгом смысле десятичными знаками после запятой нужно взять:

а) 13 EMBED Equation.3 1415;

б) sin(0.9);

в) 13 EMBED Equation.3 1415;

г) ln(1.25), чтобы относительная погрешность не превышала 0,1%.
Решение.
а) 13 EMBED Equation.3 1415 = 4,3931765.
Относительная погрешность
·х
· 0,001 = 10-3. Значит, число 13 EMBED Equation.3 1415, по крайней мере, имеет две верные в строгом смысле цифры.

·х = 4,3931765
· 10-3 = 0,00439 < 0,005. Следовательно, цифры 4 и 3 действительно верны в строгом смысле, поэтому правильный ответ 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
· 4,39.

б) sin(0.9) = 0.7833269.
Относительная погрешность
·х
· 0,001 = 10-3. Значит, число sin(0.9), по крайней мере, имеет две верные в строгом смысле цифры.

·х = 0,7833269
· 10-3 = 0,000733 >0,0005. Следовательно, цифры 5, 7 и 3 действительно верны в строгом смысле, поэтому правильный ответ sin(0,9) = 0,783

в) 13 EMBED Equation.3 1415 = 0,0571429.
Относительная погрешность
·х
· 0,001 = 10-3. Значит, число 13 EMBED Equation.3 1415, по крайней мере, имеет две верные в строгом смысле цифры.

·х = 0,0571429
· 10-3 = 0,000057 > 0,00005. Следовательно, цифры 5 и 7 действительно верны в строгом смысле, поэтому правильный ответ 13 EMBED Equation.3 1415 = 0,057.

г) ln(1.25) = 0,223144.
Относительная погрешность
·х
· 0,001 = 10-3. Значит, число ) ln(1.25), по крайней мере, имеет две верные в строгом смысле цифры.

·х = 0,223144
· 10-3 = 0,00022 < 0,0005. Следовательно, цифры 2, 2, 3, 1 действительно верны в строгом смысле, поэтому правильный ответ ln(1.25) = 0,2231.

1.3. Погрешности арифметических действий

Пример 1.12.
Найти сумму приближенных чисел, абсолютные погрешности которых даны. В ответе сохранить верные цифры и одну сомнительную.
х = 7,12 ± 0,01, у = 8,27 ± 0,01.
Решение.
Найдем сумму данных чисел х + у = 7,12 + 8,27 = 15,39.
Для определения количества верных цифр найдем абсолютную погрешность суммы ех+у = 0,01 + 0,01 = 0,02. Данное число показывает, что в числе 15,39 верными будут цифры до разряда десятых, т. е. цифры 1, 5 и 3. И т. к. мы отбрасываем число 9, большее пяти, то результат сложения будет 15,4.
По относительной погрешности можно получить более строгую оценку количества верных цифр:


·х+у = 13 EMBED Equation.3 1415
· 0,0014 + 13 EMBED Equation.3 1415
· 0,0012 = 0,0012 < 0,5
· 10-2.

То есть в числе 15,39 цифры 1, 5 верны в строгом смысле.
Ответ: 15.

Пример 1.13.
Найти разность чисел, цифры которых верны в строгом смысле. В ответе сохранить верные цифры и одну сомнительную.
х = 13,876, у = 11,82.
Решение.
Так как цифры данных чисел верны в строгом смысле, то их абсолютные погрешности не превосходят единицы разряда, в котором записана последняя верная цифра. Поэтому ех = 0,0005, еу = 0,005.
Относительная погрешность чисел х и у соответственно равна:


·х = 13 EMBED Equation.3 1415 = 0,00004;


·у = 13 EMBED Equation.3 1415 = 0,0004.
Найдем разность чисел х – у = 13,876 – 11,82 = 2,056.
Найдем абсолютную погрешность полученной разности. Она будет равна
ех-у = 0,0005 + 0,005 = 0,0055 < 0,05.
То есть в числе 2,056 цифры 2 и 0 верны в строгом смысле.
Найдем относительную погрешность разности. Она будет равна

·х-у = 13 EMBED Equation.3 1415
· 0,00004 + 13 EMBED Equation.3 1415
· 0,0004 = 0,0025
· 0,5
· 10-2.
Действительно, две первые цифры верны в числе 2,056.
Ответ: 2,06.

1.4. Погрешности элементарных функций

Пример 1.14.
Исходные числовые значения аргумента заданы цифрами, верными в строгом смысле. Найти абсолютную и относительную погрешности функции. Определить количество верных цифр в строгом смысле по относительной погрешности в следующих элементарных функциях:

а) cos(0,47);

б) у = е-3,1;

в) у = 13 EMBED Equation.3 1415;

г) у = ln(68,214).

Решение.

а) Находим значение величины х. Оно будет равно 0,891568.
Абсолютная погрешность аргумента е0,47 = 0,005.
Тогда абсолютная и относительная погрешности величины х равны:
еcos(0,47) =
·sin(0.47)
·
· 0.005 = 0,00226443;


·cos(0,47) =
·tan(0.47)
·
· 0.005 = 0,00253983
· 0.005 = 0,5
· 10-2.
Это означает, что в числе 0,891568 две цифры после запятой верны в строгом смысле.
Ответ: 0,892.

б) Находим значение величины у. Оно будет равно 0,0450492.
Абсолютная погрешность аргумента еу = 0,05. Тогда абсолютные и относительные погрешности величины у равны:

ех =
·е-3,1
·
· 0,05 = 0,0225246;


·у = 0,05 = 0,5
· 10-1.
Это означает, что в числе 0,0450492 одна цифра после запятой верна в строгом смысле.
Ответ: 0,04.

в) Находим значение величины у. Оно будет равно 4,6378875.
Абсолютная погрешность аргумента еу = 0,005. Тогда абсолютные и относительные погрешности величины у равны:

еу = 13 EMBED Equation.3 1415 = 1,078077
· 10-3;


·у = 13 EMBED Equation.3 1415 = 2,3245002
· 10-4 < 0.5
· 10-3;
Это означает, что в числе 4,6378845 три цифры после запятой верны в строгом смысле.
Ответ: 4,6378.

г) Находим значение величины у. Оно будет равно 4,2226498.
Абсолютная погрешность аргумента еу = 0,0005. Тогда абсолютные и относительные погрешности величины у равны:

еу = 13 EMBED Equation.3 1415 = 7,3298736
· 10-6;


·у = 13 EMBED Equation.3 1415 = 1,7358469
· 10-6 < 0,5
· 10-5.
Это означает, что в числе 4,2226498 пять цифр после запятой верны в строгом смысле.
Ответ: 4,222649.

Пример 1.15.
Вычислить значение величины с помощью метода строгого учета границ абсолютных погрешностей после каждой операции.

А = 13 EMBED Equation.3 1415, если а = 12,34, b = 14,3.

Решение.
При пооперационном строгом учете ошибок промежуточные результаты после округления до одной запасной (с учетом вычисленной параллельно величины погрешности) и их погрешности заносят в табл. 1.1.

Таблица 1.1. Расчетная таблица для вычисления
погрешности выражения А = 13 EMBED Equation.3 1415

а b 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415 ln(a) b +
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Значения погрешностей для удобства округлим до двух значащих цифр по избытку и тоже занесем в таблицу.
Цифры даны верными в строгом смысле, значит, еа = 0,005, еb = 0,05.
Найдем 13 EMBED Equation.3 1415 = 3,51283. Абсолютная погрешность равна (воспользуемся табл. 1.1):

еа = 13 EMBED Equation.3 1415 = 0,0007117
· 0,00071.
Из полученного значения погрешности видно, что в результате верны две значащие цифры после запятой, т. е.
13 EMBED Equation.3 1415 = 3,51283
· 3,513.
Это число внесем в таблицу.
Найдем абсолютную погрешность 13 EMBED Equation.3 1415 = 3,781534.
Она будет равна еb = 13 EMBED Equation.3 1415 = 0,0066107
· 0,0066.
Значит, в числе b будет одна верная цифра после запятой.
Аналогично находим значения всех остальных действий и функций:
е13 EMBED Equation.3 1415 = 0,00071 + 0,0066 = 0,00731
· 0,0073;

еln(а) = 13 EMBED Equation.3 1415 = 0,000405
· 0,0005;

еb + ln(a) = 0.05 + 0.000405 = 0.050405
· 0.5;

еА = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 0,0017.
Округляя результат А до верной цифры, получаем окончательный ответ.
Ответ: А = 0,434 ± 0,002.

1.5. Способ границ
Способ границ используется для точного определения границ искомого значения функции, если известны границы измерения ее аргументов.

Пример 1.16.
Алюминиевый цилиндр с диаметром основания d = (3 ± 0,001) см и высотой h = (10 ± 0,002) см весит p = (95,5 ± 0,001) г. Определить удельный вес
· алюминия и оценить предельную абсолютную погрешность найденного удельного веса.
Решение.
1 способ.

Объем цилиндра равен:
V = 13 EMBED Equation.3 1415 h,
отсюда

· = 13 EMBED Equation.3 1415.
Из полученной формулы вытекает, что в области p > 0, d > 0, h > 0 функция
· – возрастающая по аргументу p и убывающая по аргументам d и h.
Имеем:
2,999 < d < 3,001;
9,998 < h < 10,002;
95,499 < p < 95,501;
3,14159 <
· < 3,1416.
Тогда для значения
· получим:
13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 1,350 г/см3 (нижняя граница);

13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 1,352 г/см3 (верхняя граница).
Взяв среднее арифметическое, получим значение
·, равное

· = (1,351 ± 0,002) г/см3.
Ответ:
· = (1,351 ± 0,002) г/см3.

2 способ.
Используя средние значения аргументов, получим
13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 1,351 г/см3.
Логарифмируя формулу для вычисления объема цилиндра, имеем
ln
· = ln 4 + ln p – ln
· – 2 ln d – ln h.
Взяв полный дифференциал, получим:
13 EMBED Equation.3 1415;

·
· =
·p +
·
· + 2
·d +
·h = 13 EMBED Equation.3 1415 = 8.803
· 10-4
Далее находим:

·
· =
·
·
·
· = 8,803
· 10-4
· 1,351 = 1,2
· 10-3.
Таким образом, имеем:


· = (1,351 ± 0,001) г/см3,
что очень близко совпадает с точной оценкой, найденной по способу границ.
Ответ:
· = (1,351 ± 0,001) г/см3.

Пример 1.17.
Найти предельные абсолютную и относительную погрешности вычисления объема шара по выражению V = 13 EMBED Equation.3 1415
·d3, если d = 3,7 ± 0,05 см, а
· = 3,14.
Решение.
Рассматривая d и
· как переменные величины, вычисляем частные производные
13 EMBED Equation.3 14153 = 8,44;
13 EMBED Equation.3 14152 = 21,5.
Используя формулу для вычисления погрешности функции, зависящей от двух переменных

·
·f
· = 13 EMBED Equation.3 1415,
находим предельную абсолютную погрешность объема
13 EMBED Equation.3 1415 8,44
· 0,0016 + 21,5
· 0,05 = 0,013 + 1,075 = 1,088 см3
· 1,1 см3.
Поэтому
V = 13 EMBED Equation.3 1415
· (26.5 ± 1.1) см3.
Отсюда предельная относительная погрешность определения объема

·V = 13 EMBED Equation.3 1415 = 0,041
· 4%.
Ответ:
·V = 1,1 см3,
·V = 4%.

Пример 1.18.
Для определения модуля Юнга Е по прогибу стержня прямоугольного сечения применяется формула Е = 13 EMBED Equation.3 1415, где l – длина стержня; a и b – измерения поперечного сечения стержня; s – стрела прогиба; p – нагрузка. Вычислить предельную относительную погрешность при определении модуля Юнга Е, если p = 20 кг;
·p = 0,1%; а = 3 мм;
·а = 1%; b = 44 мм;
·b = 1%; l = 50 см;
·l = 1%; s = 2,5 см;
·s = 1%.
Решение.
Ln E = 3ln l + ln p – 3ln a – ln b – ln s – ln 4.
Отсюда, заменяя приращения дифференциалами, будем иметь:
13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно,

·Е = 3
·l +
·p + 3
·а +
·b +
·s = 3
· 0,01 + 0,001 + 3
· 0,01 + 0,01 + 0,01
·0,081. Таким образом, относительная погрешность составит не более 0,081, т. е. примерно 8% от измеряемой величины.
Ответ:
·Е
· 8%.

Пример 1.19.
Вычислить значение величины z с помощью Mathcad при заданных значениях а, b и c с систематическим учетом абсолютных погрешностей после каждой операции, если цифры верны в строгом смысле.
z = 13 EMBED Equation.3 1415, a:= 12,34 b:= 14,3.
Решение.
Алгоритм решения представлен на рис. 1.3 – 1.5














Рис. 1.3.Первый этап решения задачи примера 1.19












Рис. 1.4. Второй этап решения задачи примера 1.19













Рис. 1.5. Третий этап решения задачи примера 1.19


1.6. Обратная задача теории погрешностей

На практике очень часто необходимо уметь решать обратную задачу: каковы должны быть абсолютные погрешности аргументов функции, чтобы абсолютная погрешность функции не превышала заданной величины.

Пусть величина предельной абсолютной погрешности
·u задана.
Тогда

·u = 13 EMBED Equation.3 1415.
Предполагая, что все слагаемые равны между собой, будем иметь:

13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда

·13 EMBED Equation.3 1415.
В случае, когда предельная абсолютная погрешность всех аргументов xi одна и та же, то
13 EMBED Equation.3 1415;

13 EMBED Equation.3 1415.

Пример 1.20.
Радиус основания цилиндра R
· 2 м; высота цилиндра H
· 3 м. С какими абсолютными погрешностями нужно определить R и H, чтобы объем цилиндра V можно было вычислить с точностью до 0,1 м3?
Решение.
Объем вычисляется по формуле V =
·R2H и
·V = 0.1 м3. Подставляя все исходные данные, приближенно получим:
13 EMBED Equation.3 1415;

13 EMBED Equation.3 1415;

13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда, т. к. n = 3, то, воспользовавшись формулой для вычисления погрешности функции, зависящей от трех переменных

13 EMBED Equation.3 1415,
будем иметь:

13 EMBED Equation.3 1415;

13 EMBED Equation.3 1415;

13 EMBED Equation.3 1415.

Таблица 1.2. Погрешности значений элементарных функций

Функция Абсолютная погрешность Относительная погрешность

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

sin(x) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

cos(x) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

tg(x) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

ln(x) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

lg(x) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

ex ex
· ex x
·
·x

10x 10x
· ln(10)
· ex ln(10)
· ex

xy xy 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

arcsin(x) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

arcos(x) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

arctg(x) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415



Вопросы по теме

Что такое абсолютная и относительная погрешности?
Как классифицируются виды ошибок?
Что значит цифра, верная в строгом, широком смыслах?
Как находится погрешность округленного числа?
Как определить количество верных цифр по относительной погрешности приближенного числа?
Как распространяются абсолютная и относительная погрешности в арифметических действиях?
Как осуществить оценку погрешности значений элементарных функций?
Как формулируется обратная задача теории погрешности?
Каковы должны быть абсолютные погрешности аргументов функции, чтобы абсолютная погрешность функции не превышала заданной величины?
В каких случаях используется метод границ?



1.8. Задания к лабораторной работе № 1

Задание 1.1.
Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры (табл. 1.3):
а) в строгом смысле; б) в широком смысле.





Таблица 1.3. Варианты заданий для выполнения самостоятельной
работы





















Задание 1.2.
Число х (табл. 1.4.), все цифры которого верны в строгом смысле, округлить до трех значащих цифр. Для полученного результата х1
· х вычислить границы абсолютной и относительной погрешностей. В записи числа х1 указать количество верных цифр по абсолютной и относительной погрешностям









Таблица 1.4. Варианты заданий для выполнения самостоятельной
работы

Задание 1.3.
Вычислить значение величины z (табл. 1.5) при заданных значениях чисел a, b и c,используя систематический учет абсолютных погрешностей после каждой операции, а также с помощью метода границ. Найти абсолютную и относительную погрешности z и определить по ним количество верных цифр в z, если цифры a, и b с верны в строгом смысле.




Таблица 1.5. Варианты заданий для выполнения самостоятельной
работы



Задание
Исходные данные

Задание
Исходные данные

1
13 EMBED Equation.3 1415
a = 0,317
b = 3,27
c = 4,7561
21
13 EMBED Equation.3 1415
a = 12,72
b = 0,34
c =0,0290

2
13 EMBED Equation.3 1415

a =
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·c = 0,17

19
z = 13 EMBED Equation.3 1415
a = 9,79
b = 2,3327
c = 4,198
39
z = 13 EMBED Equation.3 1415
a = 5,147
b = 6,222
c = 0,0075

20
z = 13 EMBED Equation.3 1415
a = 6,66
b = 3,5
c = 1,141
40
z = 13 EMBED Equation.3 1415
a = 2,258
b = 0,027
c = 9,87


Задание 1.4.
Решить следующие задачи, используя метод границ.
Длина воздушной трассы между двумя пунктами равна S км. Самолет преодолевает это расстояние за время t ч. Определить границы средней скорости самолета, если 4950
· S
· 5050; 5,9
· t
· 6,1.
Электроплитка рассчитана на напряжение 220 ± 10 В. Найти сопротивление спирали электроплитки, если известно, что через нее должен пройти ток 5 ± 0,1 А.
Медный брусок имеет объем V м3 (0,0064
· V
· 0,0065). Найти его массу, если плотность меди
· кг/м3 составляет 8899
·
·
· 8901.

Задание 1.5.
Решить следующие задачи, используя общую формулу погрешности.
Удельное электрическое сопротивление
· металла круглого провода длиной l м с поперечным сечением d мм и сопротивлением R Ом определяется по формуле
· = 13 EMBED Equation.3 1415. Найти
·, если: l = 12,50 ± 0,01 м, d = 2,00 ± 0,01 мм. R = 0,068 ± 0,0005 Ом,
· = 3,141 ± 0,001. Определить относительную погрешность
·.
Вертикальный цилиндрический резервуар наполнен жидкостью. Определить время, необходимое для опорожнения резервуара через круглое отверстие в дне. Диаметр резервуара D = 1 ± 0,01 м, высота уровня жидкости Н = 2± 0,02 м, диаметр отверстия дна d = 0.03 ± 0,001 м, коэффициент расхода
·=0,61± 0,02. Расчет (в секундах) ведется по формуле

13 EMBED Equation.3 1415






2. Лабораторная работа №2
Численные методы решения скалярных уравнений

Цель работы: сформировать у студентов представление о применении уравнений в различных областях деятельности, привить знания об основных этапах решения уравнения, выработать навыки использования различных методов для уточнения корня уравнения и выбора того или иного программного средства для проверки правильности найденного результата.

2.1. Метод хорд

Пример 2.1.
Решить уравнение ех
· (2 – х) – 0,5 = 0 методом хорд с точностью
· = 0,001.

Решение.
1. Отделяем корни. Этот этап решения осуществляется с помощью аналитического или графического метода. После того как корень, подлежащий уточнению, отделен, за начальное приближение может быть выбрана любая точка [a,b] (начало отрезка, его середина и т.д.).
Воспользуемся графическим методом. Построим график функций и найдем точки пересечения его с осью Ох (рис.2.1.).
f(x) = (2 – x) (ex) – 0,5

x = -4, -3,99..5




Рис.2.1. Отделение корней графически
Получили два интервала: [-3; -2], [1,5; 2,5]. Интервал, в котором мы будем уточнять корень – [1,5; 2,5].
2. Уточняем корни. Находим первую производную функции
f(x) = ex
· (2 – x) – 0,5:

13 EMBED Equation.3 1415

3. Определяем знаки f(x) на отрезке [1,5; 2,5]:
f(1,5) = 1,741>0, f(2,5) = -6,591<0
Значит, на данном отрезке действительно существует корень нашего уравнения.
4. Строим последовательность значений с использованием рекуррентной формулы метода хорд и проанализируем результаты вычисленных значений последовательности хп (рис.1.2). Для этого рассмотрим значения функции dz(xn) – эта величина является критерием достижения заданной точности
· = 0,001. Начиная с п = 8, значение хп удовлетворяют критерию достижения заданной точности (
· > 8,801
· 10-4), значит х8 = 1,927 является решением нашего уравнения.
п = 0...10
х0=а 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415








Рис. 2.2. Проверка критерия достижения
заданной точности

5. Создаем функцию, реализующую вычисления корня уравнения
ех
· (2 – х) – 0,5 = 0 на отрезке [1,5; 2,5] с точностью
· = 0,001 методом хорд (рис. 2.3). Решением будет являться число 1,927, получившееся на третьем шаге решении


Рис.2.3. Функция, возвращающая значения корня уравнения методом хорд.
Аргументы функции: а, b – концы отрезка; 13 EMBED Equation.3 1415– погрешность вычислений,
f 1pr(x) – функция первой производной

6. Проверяем решение уравнения встроенными функциями Матhcad

1) х = 2
хl = root(f(x),x) xl = 1,927

2) Given
(2 – x)
·(eX) – 0,5 = 0

x2 = Find(x) x2 = 1,927


2.2. Метод касательных

Пример 2.2.

Вычислить методом касательных корень уравнения ех
·(2 – х) –0,5=0 на отрезке[1,5; 2,5] с точностью
· = 0,001.
Решение.
1. Отделяем корни уравнения (см. разд. 2.1).
2. Определяем неподвижную точку.
Для этого определим знаки функции и второй производной на отделенном интервале [1,5; 2,5]. Для этого составим функцию, проверяющую условие неподвижности точки

а = 1,5 b = 2,5

f(x) = (2 – x)(ex) – 0,5

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

nt = 2.5

Тогда подвижной точкой будет точка а = 1,5.
3. Вычисляем значение итерационной последовательности с использованием рекуррентной формулы метода касательных (рис. 2.4).
х0 = а 13 EMBED Equation.3 1415







Рис. 2.4. Построение итерационной последовательности
по методу касательных

Анализируя полученные значения для достижения критерия заданной точности, можно сказать, что решением уравнения будет значение
х4 = 1,927 при п = 4, т.к. 2,367
·10-5
· 0,001.
4. Создаем функцию, реализующую метод касательных (аналогично методу хорд).
5. Проверяем полученные результаты.
Отметим, что в пакете Mathcad имеется еще несколько функций, позволяющих решать уравнения, например, функция solve, вызываемая с панели Symbolic (рис. 2.5.)

















Рис. 2.5. Панель Symbolic

Пример использования команды solve представлен на рис. 2.6.
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Рис.2.6. Решение уравнения с помощью команды solve

2.3. Метод простой итерации

Пример 2.3.
Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 методом простой итерации с точностью
· = 0,001.

Решение.
Схема решения уравнения методом простой итерации следующая.
1. Отделяем корни.
2. Приводим исходное уравнение к виду х = f(х).

Заменим уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 уравнением вида 13 EMBED Equation.3 1415 .
Здесь величина m должна быть подобрана так, чтобы для функции f(x) выполнились условия 2 и 3 теоремы о достаточном условии сходимости итерационного процесса.

Производная F
·(х) на отрезке [1,5; 2,5] отрицательна, следовательно, функция F(х) на этом отрезке монотонно убывает. Ее значения представлены на рис. 2.7.

1,7408

1,4812

1,1422

0,7099

0,1686

-0,5

-1,3166

-2,305

-3,4923

-4,9093

-6,5912

F(х) =











Рис. 2.7. Значение функции 13 EMBED Equation.3 1415
на отрезке [1,5; 2,5]
Тогда значения функции f(x) будут равны:

f(1.5) = 1,5 – m
·1,741;
f(2,5) = 2,5 – m
·(-6,591).

Учитывая монотонность функции f(x), из последних равенств легко заметить, что условие 2 указанной теоремы будем заведомо выполнено, если m – правильная отрицательная дробь (рис. 2.8).

x = 1,5; 1,62,5 F(x) = (2 – x)
·ex – 0,5

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415











Рис.2.8. Определение значения m

Посколь
·ку производная F
·(x) на концах интервала [1,5; 2,5] положительна (F
·(1,5) = 2,241, F
·(2,5) = 18,274) и монотонно возрастает, ее модуль имеет максимум на правом конце отрезка. Тогда если за m принять число 13 EMBED Equation.3 1415, то для любого х из отрезка [1,5; 2,5] значение выражения будет правильной отрицательной дробью. Это обеспечивает выполнение условия 2 теоремы (рис.2.9.).
Для выполнения условия 3 указанной выше теоремы 2.2 найдем производную преобразованной функции
13 EMBED Equation.3 1415
и ее значения на концах отрезка [1,5; 2,5].
Условие 3 теоремы выполнено: значения производных меньше единицы. За величину q возьмем число 0,877 (рис. 2.9.).

f(x) = x – mF(x)


Рис. 2.9. Определение значения q

3. Вычисляем значения итерационной последовательности 13 EMBED Equation.3 1415.
В качестве начального значения возьмем, например, начало отрезка, точку х0 = 1,5.
Критерием достижения заданной точки
· = 0,001 при решении нашего уравнения методом простой итерации является величина, равная 1,398
·10-5 (рис. 2.10).

q = 0,877

13 EMBED Equation.3 1415
A = 1.398
·10-5

Рис. 2.10. Определение критерия достижения
заданной точности q


4. Строим итерационную последовательность (рис. 2.11).

i = 1..25 x0 = a z(x) = x – mf(x)
xi = z(xi-1)










Рис. 2.11. Построение итерационной последовательности
по методу простой итерации

Для 24-го приближения получили, что 13 EMBED Equation.3 1415
· 1,398
· 10-5
·А. Отсюда следует, что х23 = 1,92718 является приближенным решением нашего уравнения.
5. Создаем функцию, реализующую метод простой итерации, для решения уравнения x = f(x) по методу простой итерации (составляется аналогично рассмотренным выше методам).
6. Визуализируем решение уравнения методом простой итерации (рис. 2.12).
















Рис. 2.12. Визуализация решения уравнения F(x) = (2 – x)
·ex – 0,5


2.4. Вопросы по теме

1. Что значит решить уравнение?
2. Каковы этапы решения уравнения с одной неизвестной численными методами?
3. Какие существуют методы решения с одной неизвестной?
4. В чем заключается этап отделения корней при использовании численных методов решения уравнения?
5. Суть метода хорд. Графическая интерпретация метода.
6. Суть метода касательных. Графическая интерпретация метода.
7. Суть метода простой итерации.
8. Какое уравнение можно решать методом простой итерации?
9. Каковы достаточные условия сходимости итерационного процесса при решении уравнения x = f(x) на отрезке [a, b], содержащего корень, методом простой итерации?
10. Какое условие является критерием достижения заданной точности при решении уравнения x = f(x) методом хорд, касательных, итерацией?
11. Записать формулу нахождения значений последовательности при решении уравнения методом: хорд, касательных.
12. Как строится итерационная последовательность точек при решении уравнения методом простой итерации?

2.5. Задания к лабораторной работе №2

Задание 2.1.
1. При расчете воздушного стального провода получили уравнение для определения усилия натяжения при гололеде F3 + 443F2 – 94,1
·105 = 0. Найти положительный корень (усилие натяжения).
2. При решении вопроса об излучении абсолютно черного тела встречается уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. Решить его.
3. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415, которое встречается в задаче о наивыгоднейшей конструкции изоляции для труб.
4. Решить уравнение ln(u) =
·+
·um, m
· 0, встречающееся в электротехнике.
5. Наибольшая скорость воды в трубе круглого сечения достигается тогда, когда центральный угол удовлетворяет уравнению tg(x) = x. Определить этот угол.
6. В задаче о распределении тепла в стержне встречается уравнение tg(x) +
·x = 0. Решить его.
7. При исследовании беспроволочного излучателя получено уравнение xtg(x) = c, c = const. Для какого наименьшего положительного или отрицательного значения х постоянная равна 1.
8. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415, которое встречается при решении задачи о распространении тепла в стержне при наличии лучеиспускания в окружающее пространство.
9. При определении критической нагрузки для балки, свободно опирающейся одним концом, закрепленной другим и сжимаемой продольной силой, встречается уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. Решить его при
р = 2, полагая, что
· =
· + х.
10. Площадь кругового сегмента, дуга которого
·, определяется формулой 13 EMBED Equation.3 1415 (
· есть радианная мера дуги). Найти сегмент, площадь которого равна 1/5 площади круга (найти сегмент – значит, найти угловую меру его дуги).
11. Прямоугольная стальная пластинка размерами 150
· 100 см и толщиной 0,5 см защемлена по краям и подвергается действию равномерно распределенной нагрузки, равной 0,25 кг/см2. Стрела прогиба z определяется из уравнения 1,05z3 + 0,70z = 96,4. Найти z, решив данное уравнение(найти корень с четырьмя значащими цифрами).
12. Шар радиуса R разделить на m частей, равных по объему, путем проведения плоскостей, параллельных между собой (m = 5; m = 10). Отношение 13 EMBED Equation.3 1415 найти с пятью верными десятичными знаками (h – высота шарового слоя).
13. Найти корень уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 с точностью до трех десятичных знаков (уравнения такого типа встречаются при изучении колебаний стержня под действием продольного удара).
14. Найти наименьший положительный корень уравнения tg(x) = – 0,6x с тремя верными десятичными знаками (уравнение встречается при изучении теплового режима в стенке).
15. Найти наименьший положительный корень уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 с тремя верными десятичными знаками.

Задание 2.2.
Решить уравнения, приведенные в табл. 2.1.
Таблица 2.1. Варианты заданий для самостоятельного решения


Уравнение

Уравнение

1
3х4 + 4х3 – 12х2 – 5 = 0
21
x – sin x = 0,35

2
0,5х + 1 = (х – 2)2
22
13 EMBED Equation.3 1415

3
(х – 4)2 log0,5 (x – 3) = –1
23
sin (0,5 + x) = 2x – 0,5

4
x2 cos(2x) = –1
24
ln x + (x +1)3 = 0

5
(x – 2)2 2x = 1
25
3x – 2ex = 1

6
((x – 2)2 – 1)2x = 1
26
2 sin (x – 0,6) = 1,5 – x

7
(x – 2) cos x = 1, – 2
·
· x
· 2
·
27
5x – 8lnx = 8

8
(x – 2)3 lg(x + 11) = 1
28
x = 13 EMBED Equation.3 1415

9
5sin x = x – 1
29
1,8x2 – sin10x = 0

10
x4
·3x = 2
30
ctg(1,05 + x) – x2 = 0

11
13 EMBED Equation.3 1415
31
ctg x – 13 EMBED Equation.3 1415= 1

12
13 EMBED Equation.3 1415
32
13 EMBED Equation.3 1415

13
2x2 – 0,5x – 3 = 0
33
x3 + 0,1x2 + 0,4x – 1,2 = 0

14
cos(x + 0,5) = x3
34
0,5x + lg(x – 1) = 0,5

15
2ex = 5x + 2
35
sin0,5x + 1 = x2

16
sin(x – 0,5) – x + 0,8 = 0
36
2x + lg x = – 0,5

17
tg3 x = x – 1, – 13 EMBED Equation.3 1415
37
13 EMBED Equation.3 1415

18
arctg(x – 1) + 2x = 0
38
x =13 EMBED Equation.3 1415+6

19
13 EMBED Equation.3 1415
39
13 EMBED Equation.3 1415

20
x2 – 5 + 0,42x = 0
40
x2 + 4sinx = 0

3. Лабораторная работа №3
Численные методы решения систем нелинейных уравнений

Цель работы: сформировать у студентов представления о методах решения систем нелинейных уравнений, привить умения составлять и применять алгоритмы для решения таких систем уравнений, выработать навыки в использовании программных средств для решения систем уравнений.

3.1. Метод Ньютона

Пример 3.1.
Решить систему двух нелинейных уравнений

13 EMBED Equation.3 1415x+3lg(x) – y2 = 0
2x2 – xy – 5x + 1=0

методом Ньютона.
Решение.
1. Зададим координатную сетку и вычислим значения
координат х и у в узлах сетки (рис. 3.1).
2. Построим график функции и карты линий уровня (рис. 3.2)
(на которых наглядно видно, что данная система имеет
решение, и причем единственное) с использованием панели
Graph (рис. 3.3.).

n = 100
xmin = 1 xmax = 5 ymax = 5 ymin = 1
i = 0n j = 0..n

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
g(x,y) = 2x2 – xy – 5x +1

Mi,j = g(xi, yj) Ni,j = q(xi, yj)

Рис. 3.1. Задание координатной сетки

Рис. 3.2. График функции и карта линий уровня


Рис. 3.3. Панель Graph

Точки пересечения линий одинакового уровня дают решение данной системы уравнений.

4. Зададим начальное приближение переменных:
х = 3.4 у = 2.2

5. Зададим функцию, содержащую решение системы уравнений
13 EMBED Equation.3 1415

x + 3lg(x) – y2 = 0
2x2 – xy – 5x + 1 = 0

Рис. 3.4. Вектор-функция, задающая систему уравнений

6. Зададим функцию (рис. 3.5.), реализующую метод Ньютона
(функция F возвращает таблицу, содержащую значения
координат х, у на каждом шаге итерации и соответствующие
значения координат вектор - функции).

13 EMBED Equation.3 1415

Рис. 3.5. Функция, возвращающая решение системы методом Ньютона

Запустив программу, получим итерационную последовательность (рис. 3.6), которая показывает, как находятся приближения. Здесь две первые строки – это значения х и у соответственно, а последние две строки – значения данных функций при найденных значениях х и у. В ноль функции обращаются на седьмом шаге. Значит, решением будет являться пара чисел х = 3,487 и
у = 2,262.
F =

0
1
2
3
4
5
6
7

0
8,502
5,365
3,986
3,545
3,488
3,487
3,487
3,487

1
5,573
3,475
2,578
2,298
2,262
2,262
2,262
2,262

2
-19,771
-4,522
-0,857
-0,087
1,452
·10-3
4,367
·
10-7
997
·
10-14
0

3
55,679
13,1
2,568
0,265
4,435
·10-3
1,333
·
10-6
137
·
10-13
0



Рис. 3.6. Итерационная последовательность, полученная для решения системы нелинейных уравнений по методу Ньютона

7. Визуализируем итерационный процесс (рис. 3.7), транспонируя для этого полученную матрицу F:
F1 = FТ


13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

Рис. 3.7. Визуализация итерационного процесса

8. Проверяем решение системы нелинейных уравнений с помощью блока Given...Minerr (рис. 3.8).

х = 3,4 у = 2,2 Given
х + 3log(x) – y2 = 0
2x2 – xy – 5x + 1 = 0
Z = Minerr (x, y
13 EMBED Equation.3 1415
Рис.3.8. Проверка численного решения с помощью
встроенных функций пакета Mathcad

3.2. Вопросы по теме


3.3. Задание к лабораторной работе №3

Задание 3.1.
Решить систему двух нелинейных уравнений (табл. 3.1) методом Ньютона.

Таблица 3.1. Варианты заданий для самостоятельной работы


Задание

Задание

1
13 EMBED Equation.3 1415
21
13 EMBED Equation.3 1415

2
13 EMBED Equation.3 1415
22
13 EMBED Equation.3 1415

3
13 EMBED Equation.3 1415
23
13 EMBED Equation.3 1415

4
13 EMBED Equation.3 1415
24
13 EMBED Equation.3 1415

513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
25
13 EMBED Equation.3 1415

6
13 EMBED Equation.3 1415
26
13 EMBED Equation.3 1415

7
13 EMBED Equation.3 1415
27
13 EMBED Equation.3 1415

8
13 EMBED Equation.3 1415
28
13 EMBED Equation.3 1415

9
13 EMBED Equation.3 1415
29
13 EMBED Equation.3 1415

10
13 EMBED Equation.3 1415
30
13 EMBED Equation.3 1415

11
13 EMBED Equation.3 1415
31
13 EMBED Equation.3 1415

12
13 EMBED Equation.3 1415
32
13 EMBED Equation.3 1415

13
13 EMBED Equation.3 1415
33
13 EMBED Equation.3 1415

14
13 EMBED Equation.3 1415
34
13 EMBED Equation.3 1415

15
13 EMBED Equation.3 1415
35
13 EMBED Equation.3 1415

16
13 EMBED Equation.3 1415
36
13 EMBED Equation.3 1415

17
13 EMBED Equation.3 1415
37
13 EMBED Equation.3 1415

18
13 EMBED Equation.3 1415
38
13 EMBED Equation.3 1415

19
13 EMBED Equation.3 1415
39
13 EMBED Equation.3 1415

20
13 EMBED Equation.3 1415
40
13 EMBED Equation.3 1415





























4. Лабораторная работа№4
Численное интегрирование

Цель работы: ознакомиться с численными методами вычисления определенных интегралов, научиться решать задачи с использованием формулы Симпсона, трапеций, правых и левых прямоугольников, метода Монте-Карло и оценивать погрешность всех перечисленных формул.

4.1. Метод прямоугольников

Пример 4.1.
Вычислить приближенное значение интеграла 13 EMBED Equation.3 1415, используя формулы левых и правых прямоугольников, при п = 1000.
Решение.
1. Задаем функцию f(x), отрезок [a, b] и функцию
нахождения дифференциалов п – го порядка.
2. Находим значение интеграла заданной функции для
использования его в дальнейшем решении для сравнения
(рис. 4.1).
13 EMBED Equation.3 1415
a = 0 b = 1 n = 10C
dif 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Рис. 4.1. Вычисление точного значения интеграла

Составим функцию, входными параметрами которой являются: а, b – левая и правая границы интервала; п – количество разбиений; char – если имеет значение “left”, то идет подсчет по формуле левых прямоугольников, любое другое – по формуле правых прямоугольников (рис. 4.2).

Погрешность показывает, что полученное значение интеграла верно до третьего знака после запятой.



Рис. 4.2. Функция, возвращающая значение интеграла,
найденного по формулам прямоугольников.

Результаты вычислений по формулам правых и левых прямоугольников:
Integr(a, b, n, “left”) = 13 EMBED Equation.3 1415 Integr(a, b, n, “right) = 13 EMBED Equation.3 1415

4.2. Метод Симпсона

Пример 4.2.
Вычислить приближенное значение интеграла 13 EMBED Equation.3 1415,
используя общую формулу Симпсона, при n = 1000.

Решение.
Составим функцию, входными параметрами которой являются: a, b – левая и правая границы интервала; n – количество разбиений. Индексы iEven и iUneven обозначают четность и нечетность соответственно (рис. 4.3.).


Simpson(a, b, n) = 13 EMBED Equation.3 1415
Рис 4.3. Функция, возвращающая значение интеграла
с помощью метода Симпсона

Следовательно, решением будет число, равное 0,285714286. Погрешность показывает, что полученное значение интеграла верно до девятого знака.


4.3. Метод трапеций

Пример 4.3.
Вычислить приближенное значение интеграла 13 EMBED Equation.3 1415, используя формулу трапеций (1.6.16), при п = 1000.

Решение.
Функция, реализующая вычисление интеграла методом трапеций, представлена на рис. 4.4.



Рис.4.4. Функция, возвращающая значение интеграла с
использованием формулы трапеций.

4.4. Метод Монте – Карло

Пример 3.4.
Вычислить приближенное значение интеграла 13 EMBED Equation.3 1415, используя метод Монте – Карло, при п = 1000000.

Решение.
Реализация метода Монте – Карло для вычисления интеграла представлена на рис. 4.5.
Сравнивая точное и численное значение интегралов находим, что абсолютная погрешность равна 1,6
·10-4.

a = 0 b = 1 n = 1000000
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

i = 0..n

xi = a + (b – a)
· md(1)

13 EMBED Equation.3 1415

I = 0,285550681

Рис. 4.5. Ход решения задачи на нахождение значения
интеграла с помощью метода Монте – Карло

4.5. Вопросы по теме

1. В каком случае используется численное интегрирование?
2. Постановка задачи численного интегрирования.
3. Какие существуют методы интегрирования функции?
4. Графическая интерпретация метода трапеций.
5. Как оценить погрешность метода трапеций?
6. Графическая интерпретация метода Симпсона.
7. Как оценить погрешность метода Симпсона?
8. Графическая интерпретация метода прямоугольников.
9. Как оценить погрешность метода прямоугольников?
10. Чем отличаются формулы метода трапеций и метода
Симпсона?
11. Как влияет на точность численного интегрирования
величина шага h?
12. Чем отличается вычисление погрешности метода
трапеций и Симпсона?
13. Основная идея метода Монте – Карло.
14. Графическая интерпретация метода Монте – Карло.

4.6. Задание к лабораторной работе №4

Задание 4.1.
Найти приближенное значение интеграла заданной функции
f(x) на отрезке [a, b] по формулам трапеций, Симпсона,
прямоугольников, Монте – Карло при делении отрезка на
1000 равных частей, произвести оценку погрешности
методом интегрирования и сравнить точность полученных
результатов: составить функцию, возвращающую значение
интеграла на основе формулы метода Монте – Карло.
Сравнить результаты, полученные разными методами.

Таблица 4.1. Варианты заданий для выполнения самостоятельной
работы


F( x)
[a, b]

1
13 EMBED Equation.3 1415
[0; 3]

2
sin(2x2 + 1)
[0; 1]

3
13 EMBED Equation.3 1415
[1; 2]

4
13 EMBED Equation.3 1415
[2; 3]

5
13 EMBED Equation.3 1415
[0; 0,5]

6
2,6
· x2
· ln x
[1,2; 2,2]

7
(x2 + 1)
· sin (x – 0,5)
[0,5; 1,5]

8
13 EMBED Equation.3 1415
[2; 3]

9
3x + ln x
[1; 2]

10
3x2 + tg x
[-0,5; 0,5]

11
13 EMBED Equation.3 1415
[0,1; 1,1]

12
13 EMBED Equation.3 1415
[-2; 0]

13
13 EMBED Equation.3 1415
[0; 1]

14
13 EMBED Equation.3 1415
[3; 5]

15
13 EMBED Equation.3 1415
[2; 3]

16
13 EMBED Equation.3 1415
[-1; 0]

17
13 EMBED Equation.3 1415
[0; 3]

18
ex
·sin(x2)
[0; 5]

19
13 EMBED Equation.3 1415
[-3; -1]

20
13 EMBED Equation.3 1415
[0; 1]

21
13 EMBED Equation.3 1415
[4; 5]

22
13 EMBED Equation.3 1415
[0; 3]

23
13 EMBED Equation.3 1415
[0,1; 1,1]

24
13 EMBED Equation.3 1415
[1; 2]

25
13 EMBED Equation.3 1415
[1,5; 2,5]

26
13 EMBED Equation.3 1415
[1; 7]

27
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

28
13 EMBED Equation.3 1415
[0; 1]

29
13 EMBED Equation.3 1415
[0; 9]

30
13 EMBED Equation.3 1415
[4; 10]

31
13 EMBED Equation.3 1415
[0; 6]

32
13 EMBED Equation.3 1415
[0; 3]

33
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

34
13 EMBED Equation.3 1415
[0; 8]

35
13 EMBED Equation.3 1415
[2; 5]

36
13 EMBED Equation.3 1415
[0;
·]

37
(x – 5)2 (10 – x)
[0; 10]

38
13 EMBED Equation.3 1415
[2; 4]

39
13 EMBED Equation.3 1415
[0; 2]

40
13 EMBED Equation.3 1415
[0;
· / 2]


13 EMBED Equation.3 1415
























5. Лабораторная работа №5
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Цель работы: сформировать у студентов представление о применении ДУ в различных областях; привить умения решать задачу Коши для ДУ у' = f(x, y) на отрезке [ a, b] при заданном начальном условии у0 = f(x0) методами Пикара, Эйлера, Рунге – Кутты, Адамса; развить навыки проверки полученных результатов с помощью прикладных программ.

5.1. Метод Пикара

Пример 5.1.
Решить задачу Коши для ДУ 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке [1,7; 2,7] при заданном НУ: у(1,7) = 5,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Пикара с шагом h.
В отчете представить: ход работы, программу – функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения.

Решение.
1. Вводим данные (рис. 5.1)

13 EMBED Equation.3 1415
a = 1,7 b = 2,7
h = 0,1 13 EMBED Equation.3 1415
y0 = 5,3 i = 0..n

Рис.5.1. Задание исходных данных

2. Задаем функцию, возвращающую значения первой производной по переменной у (рис.5.2).
f derive(y) = 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Рис.5.2. Функция, возвращающая значение первой производной функции

3. Составим функцию, возвращающую решение ДУ методом
Пикара. Здесь: f – исходная функция; f deriv –
Производная функции по у; a,b – концы отрезка; h – шаг; у0 –
начальное значение переменной у.
4. Найдем решение ДУ методом Пикара (рис. 5.3).

fnPikan(fn, fn derive, a, b, h, y0)= 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Рис. 5.3. Задание функции, возвращающей решение ДУ
методом Пикара (файл fnPikar.mcd)
fnPikar(f, f derive, a, b, 0.1, y0) =

0

0
7,78457519486
·10-11

1
5,3

2
5,46340155616

3
5,62650688007

4
5,78947945853

5
5,95251650231

6
6,11584391144

7
6,27971330675

8
6,44440084325

9
6,61020759752

10
6,77746140952

11
6,94652015221


Рис. 5.4. Нахождение численного решения ДУ методом Пикара

5.2. Метод Эйлера и его модификации

Пример 5.2.

Решить задачу Коши для ДУ 13 EMBED Equation.3 1415на отрезке [1,7; 2,7] при заданном НУ: у(1,7) = 5,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Эйлера и усовершенствованным методом Эйлера с шагами h и h/2.
В отчете представить: ход работы, программу функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения и оценку погрешности приближения.
Решение.
Ход решения задачи по методу Эйлера приведен на рис. 5.5 – 5.7.
13 EMBED Equation.3 1415 а = 1,7 b = 2,7 у0 = 5,3
h = 0,1 13 EMBED Equation.3 1415 n = 10
i = 0..n
y0 = y0 xi = a + ih h2 = 0,05


Рис5.5. Фрагмент рабочего листа Маthcad с решением
уравнения методом Эйлера с шагом h и h/2 и графической
визуализацией метода Эйлера.

1. Составим программу, реализующую метод Эйлера(рис.
5.6).
13 EMBED Equation.3 1415
Рис.5.6. Листинг программы, реализующий метод Эйлера


2. Получим решение ДУ методом Эйлера(рис. 5.7.).

ES h = eyler(f, a, b, h, y0)
ES h2 = eyler(f, a, b, 13 EMBED Equation.3 1415, y0)


13 EMBED Equation.3 1415

Рис. 5.7. Нахождение численного решения ДУ методом Эйлера

Примечание
Функцию, возвращающую решение ДУ усовершенствованным методом Эйлера, составить самостоятельно.
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
Рис. 5.8. Решение ДУ усовершенствованным методом
Эйлера с шагами h и h/2

5.3. Метод Рунге – Кутты

На практике наиболее часто используют метод Рунге – Кутты четвертого порядка.

Пример 5.3.
Решить задачу Коши для ДУ 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке [1,7; 2,7] при заданном НУ у(1,7) = 5,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Рунге – Кутты четвертого порядка с шагом h и 2h.
В отчете представить: ход работы, программу функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения и оценку погрешности приближения.

Решение.
1. Вводим данные задачи (рис. 5.9).
13 EMBED Equation.3 1415 a = 1,7 b = 2,7
h = 0,1 13 EMBED Equation.3 1415
y0 = 5,3
i = 0..n
Рис.5.9. Задание исходных данных

2. Составим функцию, возвращающую решение ДУ первого порядка методом Рунге – Кутты. Здесь: fn – заданная функция; a, b – концы отрезка; h – шаг; y0 – начальное значение функции.
3. Найдем решение ДУ первого порядка, используя встроенные функции Mathcad (рис. 5.10).




RK h = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0)
RK 2h = fnRungeKutta(f, a, b, 2h, y0)






Рис. 5.10. Листинг функции, возвращающей численное
решение ДУ методом Рунге–Кутты

5.4. Метод Адамса

Пример 5.4.
Решить задачу Коши для ДУ 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке [1,7; 2,7] при заданном НУ у(1,7) = 5,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Адамса с шагом h.
В отчете представить: ручной счет, программу – функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения и оценку погрешности приближения.
Решение.
1. Найдем первые четыре числа по формуле Рунге–Кутты (рис. 5.11).
yi = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0)i

13 EMBED Equation.3 1415

Рис. 5.11. Вычисление первых четырех значений численного решения по формуле Рунге–Кутты


2. Составим функцию, реализующую метод Адамса (рис. 2.10.3). Здесь a, b – концы отрезка; y1 – начальное значение функции; h – шаг.



Рис. 5.12. Функция, возвращающая численное решение
ДУ методом Адамса


3. Графическая иллюстрация решения ДУ разными методами представлена на рис. 5.13.


Рис. 5.13. Визуализация решения ДУ разными методами


5.5. Вопросы по теме

1. Что значит – решить задачу Коши для ДУ первого порядка?
2. Графическая интерпретация численного решения ДУ.
3. Какие существуют методы решения ДУ в зависимости от
формы представления решения?
4. В чем заключается суть принципа сжимающих
отображений?
5. Рекуррентная формула метода Пикара.
6. В чем заключается суть метода ломаных Эйлера?
7. Применение, каких формул позволяет получить значения
искомой функции по методу Эйлера?
8. Графическая интерпретация метода Эйлера и
усовершенствованного метода Эйлера. В чем их отличие?
9. В чем заключается суть метода Рунге–Кутты?
10. Как определить количество верных цифр в числе,
являющемся решением ДУ методом Эйлера,
усовершенствованного метода Эйлера, Пикара, Рунге–
Кутты?

5.6. Задание к лабораторной работе № 5

Задание 5.1.

Решить задачу Коши для ДУ y’ = f(x, y) на отрезке [a, b] при заданном НУ у(а) = с и шаге интегрирования h (исходные параметры заданы в табл. 2.10.1):
1) методом Эйлера и усовершенствованным методом Эйлера с шагом h и h/2;
2) методом Рунге–Кутты с шагом h и 2h;
3) методом Адамса;
4) методом Пикара.
Решение должно содержать: ход работы, программу метода, графическое решение уравнения и оценка погрешности приближения. В числах оставлять 5 цифр после запятой.

Таблица 5.1. Варианты заданий для выполнения самостоятельной работы

f(x, y)
[a, b]
y0
h

1
3х2 + 0,1ху
[0; 1]
у(0) = 0,2
0,1

2
0,185(x2 + cos(0,7x)) + 1,843y
[0,2; 1,2]
у(0,2) = 0,25
0,1

3
13 EMBED Equation.3 1415
[1,6; 2,6]
у(1,6) = 4,6
0,1

4
13 EMBED Equation.3 1415
[0,2; 1,2]
у(0,2) = 1,1
0,1

5
13 EMBED Equation.3 1415
[1,4; 2,4]
у(1,4) = 2,5
0,1

6
13 EMBED Equation.3 1415
[1,7; 2,7]
у(1,7) = 5,3
0,1

7
13 EMBED Equation.3 1415
[2,6; 4,6]
у(2,6) = 3,5
0,2

8
13 EMBED Equation.3 1415
[2; 3]
у(2) = 2,3
0,1

9
1,6 + 0,5y2
[0; 1]
у(0) = 0,3
0,1

10
13 EMBED Equation.3 1415
[1,8; 2,8]
у(1,8) = 2,6
0,1

11
13 EMBED Equation.3 1415
[2,1; 3,1]
у(2,1) = 2,5
0,1

12
e2x + 0,25y2
[0; 0,5]
у(0) = 2,6
0,05

13
13 EMBED Equation.3 1415
[- 2; -1]
у(-2) = 3
0,1

14
0,133
·(x2 + sin(2x)) + 0,872y
[0,2; 1,2]
у(0,2) = 0,25
0,1

15
sin(x + y) +1,5
[1,5; 2,5]
у(1,5) = 4,5
0,1

16
13 EMBED Equation.3 1415
[0,4; 1,4]
у(0,4) = 0,8
0,1

17
2,5x + cos(y + 0,6)
[1; 3]
у(1) = 1,5
0,2

18
cos(1,5y +x)2 + 1,4
[1; 2]
у(1) = 1,5
0,1

19
13 EMBED Equation.3 1415
[1,5; 2]
у(1,5) = 2,1
0,05

20
cos y + 3x
[0; 2]
у(0) = 1,3
0,1

21
cos(1,5x – y2) – 1,3
[-1; 1]
у(-1) = 0,2
0,2

22
13 EMBED Equation.3 1415
[1,6; 2,6]
у(1,6) = 4,6
0,1

23
e-(y – 1) + 2x
[0; 0,5]
у(0) = 0,3
0,05

24
1 + 2y sin x – y2
[1; 2]
у(1) = 0
0,1

25
13 EMBED Equation.3 1415
[0; 1]
у(0) = 0
0,1

26
0,166(x2 + sin(1,1x)) + 0,883y
[0,2; 1,2]
у(0,2) = 0,25
0,1

27
13 EMBED Equation.3 1415
[1,7; 2,7]
у(1,7) = 5,6
0,1

28
13 EMBED Equation.3 1415
[1,4; 2,4]
у(1,4) = 2,5
0,1

29
13 EMBED Equation.3 1415
[0,6; 1,6]
у(0,6) = 0,8
0,1

30
13 EMBED Equation.3 1415
[1; 2]
у(1) = 5,9
0,1

31
1 + 0,8y sin x - 2y2
[0; 1]
у(0) = 0
0,1

32
13 EMBED Equation.3 1415
[0,5; 1,5]
у(0,5) = 1,8
0,1

33
13 EMBED Equation.3 1415
[1,2; 2,2]
у(1,2) = 1,8
0,1

34
1 + 2,2
· sin x + 1,5y2
[0; 1]
у(0) = 0
0,1

35
13 EMBED Equation.3 1415
[0; 1]
у(0) = 0
0,1

36
13 EMBED Equation.3 1415
[0; 1]
у(0) = 0
0,1

37
13 EMBED Equation.3 1415
[0; 1]
у(0) = 0
0,1

38
0,2x2 + y2
[0; 1]
у(0) = 0,8
0,1

39
x2 + y
[0; 1]
у(0) = 0,4
0,1

40
xy + 0,1y2
[0; 1]
у(0) = 0,5
0,1























Литература

Основная литература:
Алексеев Г.В., Вороненко Б.А., Лукин Н.И. Математические методы в
пищевой инженерии: Учебное пособие. – СПб.: «Лань», 2012. – 212 с.
Алексеев Г.В. Математические методы в инженерии: Учеб.-метод. пособие. – СПб.: НИУ ИТМО; ИХиБТ. 2012. – 39 с.
Алексеев Г.В., Холявин И.И. Численное экономико-математическое моделирование и оптимизация: учебное пособие для вузов, ГИЭФПТ, 2011, 211 с.
Макаров Е.Г. Mathcad: Учебный курс. – СПб.: Питер, 2009. - 384 с.
дополнительная литература:
Поршнев С.В.,Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad. –
СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464 с.
Агапьев Б.Д., Белов В.Н., Кесаманлы Ф.П., Козловский В.В., Марков С.И. Обработка экспериментальных данных: Учеб. пособие / СПбГТУ. СПб., 2001.
Горелова Г.В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel. – М.: Феникс, 2005. – 476 с.
Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий.-М.: Наука, 1976
Асатурян В.И. Теория планирования эксперимента.-М.: Радио и связь, 1983
Бродский В.З. Введение в факторное планирование эксперимента.-М.: Наука, 1976
Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия.-М.: Финансы и статистика, 1981
Красовский Г.И., Филаретов Г.Ф. Планирование эксперимента.-Минск: БГУ, 1982
Маркова Е.В., Лисенков А.Н. Комбинаторные планы в задачах многофакторного эксперимента.-М.: Наука,1979
Фролькис В.А. Линейная и нелинейная оптимизация.-СПб. 2001. 306 с.
Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0.-СПб.: BHV,1997,384с
программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] - Процессы и аппараты пищевых производств
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] - Механика жидкости и газа, гидравлика и гидравлические машины
http://elibrary.ru/defaultx.asp - научная электронная библиотека «Elibrary»
Содержание

Введение

1.Лабораторная работа №1: Теория приближенных вычислений
1.1. Абсолютная и относительная погрешности
1.2. Погрешность округленного числа
1.3. Погрешности арифметических действий
1.4. Погрешности элементарных функций
1.5. Способ границ
1.6. Обратная задача теории погрешностей
1.7. Вопросы по теме
1.8. Задания к лабораторной работе №1

2.Лабораторная работа №2:Численные методы решения
скалярных уравнений
Метод хорд
1.2. Метод касательных
1.3. Метод простой итерации
1.4. Вопросы по теме
1.5. Задания к лабораторной работе №2

3.Лабораторная работа №3: Численные методы решения систем
нелинейных уравнений
3.1. Метод Ньютона
3.2. Вопросы по теме
3.3. Задание к лабораторной работе №3

4.Лабораторная работа№4: Численное интегрирование
4.1. Метод прямоугольников
4.2. Метод Симпсона
4.3. Метод трапеций
4.4. Метод Монте – Карло
4.5. Вопросы по теме
4.6. Задание к лабораторной работе №4

5. Лабораторная работа №5: Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
5.1. Метод Пикара
5.2. Метод Эйлера и его модификации
5.3. Метод Рунге – Кутты
5.4. Метод Адамса
5.5. Вопросы по теме
5.6. Задание к лабораторной работе №5

6. Литература









13PAGE 15


13PAGE 14215



13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Unknown 1415

13 EMBED Unknown 1415

13 EMBED Unknown 1415

13 EMBED Unknown 1415

13 EMBED Unknown 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Unknown 1415

13 EMBED MSPhotoEd.3 1415





Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native6Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native=Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeхEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 3960870
    Размер файла: 8 MB Загрузок: 1

Добавить комментарий