ГЕОМЕТРИЯ 24-26


24 геометрическая задача на вычисление
углы
треугольники
четырехугольники
окружности
Углы
1. Задание 24 № 761. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 100°.
Решение.
Проведём радиус OA. Треугольник AOC — прямоугольный, ∠A = 90°. ∠COA = 180° − ∠AOD = 180° − 100° = 80°; ∠ACO = 90° − 80° = 10°.
 
Ответ: 10.
Критерии проверки:
Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1301.
2. Задание 24 № 3409052. Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB  = 16, DC  = 24 , AC  = 25.
Решение.
Углы DCM и BAM равны как накрест лежащие, углы DMC и BMA равны как вертикальные, следовательно, треугольники DMC и BMA подобны по двум углам. Значит,
 

 
Cледовательно,
 
откуда
 
Ответ: 15.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.11.2014 вариант МА90203.
3. Задание 24 № 3115483.
Найдите величину угла  , если   — биссектриса угла  ,   — биссектриса угла  .
Решение.
Имеем:   = 2 · 25° = 50°;   = 180° − 50° = 130°;   = 130° : 2 = 65°.
Ответ: 65°.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2013. Математика. Диагностическая работа № 1. (вар. 1) 02.10.2012г.
4. Задание 24 № 3116494. На сторонах угла и на его биссектрисе отложены равные отрезки и . Величина угла равна 160°. Определите величину угла .
Решение.

Треугольники и равнобедренные и равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
 
 80°;  = 360° − 4 · 80° = 40°.
 
Ответ: 40°.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2013. Математика. Тренировочная работа № 4.(1 вар.)
5. Задание 24 № 3150535.
В треугольнике АВС углы А и С равны 40° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.
Решение.

Из треугольника найдем
 

 
— биссектриса, следовательно,
Треугольник — прямоугольный, следовательно:
 

 
Найдём угол

 
 
Ответ: 10°.
Критерии проверки:
Источник: Банк заданий ФИПИ
6. Задание 24 № 3148196. Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны , и 2 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K , A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC>90° .
Решение.

Рассмотрим подобные треугольники и и установим соответствие между их углами. Против большей стороны всегда лежит больший угол, в треугольнике это угол в треугольнике , в свою очередь, есть тупой угол и он является наибольшим, значит Угол заведомо не может быть равен углу так как он составляет только его часть. Следовательно угол равен углу Найдём косинус угла используя теорему косинусов:
 

 
 
Ответ:
Критерии проверки:
Источник: Банк заданий ФИПИ
7. Задание 24 № 3333217. Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 10, DC = 25, AC = 56 .
Решение.
Углы и равны как накрест лежащие, углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники и подобны по двум углам.
Значит, Следовательно,
 

 
Откуда
Ответ: 40.
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 06.05.2014 вариант МА90701.
8. Задание 24 № 3396118. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите BC, если AB = 34.
Решение.

По определению параллелограмма — секущая при параллельных прямых, следовательно, углы и равны как накрест лежащие. Поскольку треугольник — равнобедренный, откуда Аналогично, треугольник — равнобедренный и Стороны и равны, как противоположные стороны параллелограмма, следовательно, Таким образом,
 
Ответ: 68.
Критерии проверки:
Ответ: 68
339611
68
9. Задание 24 № 3116989. Прямая, параллельная основаниям и трапеции , проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает ее боковые стороны и в точках и соответственно. Найдите длину отрезка , если , .
Решение.

1) по двум углам:
a) как вертикальные;
б) как внутренние накрест лежащие углы при и секущей .

 

 
2) по двум углам:
а)  — общий;
б) как соответственные углы при и секущей .
 

 

 
3) Аналогично, из подобия треугольников и находим, что
4)
Ответ: 12 см.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа № 1 (3вар)
10. Задание 24 № 35258210. Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 13, DC = 65, AC = 42.
Треугольники
1. Задание 24 № 501. В прямоугольном треугольнике с прямым углом известны катеты: , . Найдите медиану этого треугольника.
Решение.

 
Медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половние:
 

 
Ответ: 5.
Критерии проверки:
Источник: Демонстрационная версия ГИА—2013 по математике.
2. Задание 24 № 3416872. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 5, AC = 20.
Решение.

Поскольку BH — высота треугольника ABC, прямоугольные треугольники ABC и AHB подобны.
Следовательно, , откуда
 
Ответ: 10.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 29.09.2015 вариант МА90103.
3. Задание 24 № 3117143. Медианы треугольника пересекаются в точке . Найдите длину медианы, проведённой к стороне , если угол равен 47°, угол равен 133°, .
Решение.

Обозначим середину стороны за . Продлим на свою длину за точку до точки . Четырёхугольник — параллелограмм, потому что и . Значит, = 133°, поэтому четырёхугольник — вписанный. Тогда .
 
Ответ: 6.
Критерии проверки:
Источник: Пробные варианты. Московская область — 2013, вариант 2.
4. Задание 24 № 3112404. Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС и пересекает его стороны АВ и ВС в точках К и Е соответственно. Отрезки АЕ и СК перпендикулярны. Найдите ∠КСВ, если ∠АВС = 20°.
Решение.

Углы АКС и АЕС равны, т. к. опираются на одну дугу окружности; следовательно, ∠ВКС = ∠ВЕА, как смежные с ними. Из четырёхугольника ВКDЕ: Из ВКС: ∠КСВ = 180° − 125° − 20° = 35°.
 
Ответ: 35°.
Критерии проверки:
5. Задание 24 № 3119685. В треугольнике ABC угол С равен 90°, радиус вписанной окружности равен 2. Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 12.
Решение.
Пусть A1, B1 и C1 — точки касания вписанной окружности со сторонами BC, AC и AB соответственно. Радиус вписанной окружности обозначим r. Тогда AC1 = AB1 и CA1 = CB1 = r. Периметр треугольника ABC равен 2AC1 + 2BC1 + 2CA1 = 2AB + 2r. Полупериметр p равен AB + r.
По формуле площади треугольника находим
 

 
Ответ: 28.
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 19.11.2013 вариант МА90202.
6. Задание 24 № 1546. В треугольнике АВС углы А и С равны 20° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.
Решение.
Найдем
 

 
Так как BD - биссектриса, то
Треугольник HBC- прямоугольный. Так как то
 
Таким образом, искомый угол DBH равен
 
Ответ:
Критерии проверки:
Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1313.
7. Задание 24 № 1807. Прямая AD, перпендикулярная медиане ВМ треугольника АВС, делит её пополам. Найдите сторону АС, если сторона АВ равна 4.
Решение.
Так как высота AD, проведенная к медиане BM делит ее пополам, то треугольник ABM является равнобедренным, поэтому AB=AM=4. Так как BM- медиана, то AM=MC, таким образом, AC=2AM=8.
 
Ответ: AC=8.
Критерии проверки:
Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1317.
8. Задание 24 № 3330258. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 18 и 30. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
Решение.
По теореме Пифагора второй катет равен . С одной стороны, площадь треугольника равна половине произведения катетов, а с другой стороны, она равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведённую к ней. Следовательно, искомая высота равна .
 
Ответ: 14,4.
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 17.04.2014 вариант МА90601
9. Задание 24 № 3393959. Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH = 16.
Решение.
Угол — вписанный, он равен 90° и опирается на дугу следовательно, дуга равна 180°, значит, хорда — диаметр окружности и
 
Ответ: 16.
Критерии проверки:
10. Задание 24 № 33940010. Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25 .
Решение.
Углы и равны как накрест лежащие, углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники и подобны по двум углам.
Значит, Следовательно,
 

 
Откуда
 
Ответ: 15.
Критерии проверки:
Ответ: 15
339400
15
11. Задание 24 № 33948711. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 18, а сторона BC в 1,2 раза меньше стороны AB.
Решение.
Поскольку четырёхугольник вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°, следовательно, Углы и — смежные, следовательно, Из приведённых равенств, получаем, что Рассмотрим треугольники и угол — общий, углы и равны, следовательно, треугольники подобны, откуда Используя равенство найдём
 

Ответ: 15.
Критерии проверки:
12. Задание 24 № 33965612. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 13, AC = 65, NC = 28.
Решение.
Рассмотри треугольники и углы и равны как соответственные при параллельных прямых, угол — общий, следовательно, эти треугольники подобны, откуда Найдём
 

 
Ответ: 7.
Критерии проверки:
Источник: Банк заданий ФИПИ
13. Задание 24 № 31170013. Найдите отношение двух сторон треугольника, если его медиана, выходящая из их общей вершины, образует с этими сторонами углы в 30° и 90°.
Решение.

Пусть в треугольнике отрезок служит медианой, при этом  = 90°,  = 30°. Возьмем на продолжении отрезка точку так, что . Тогда треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,  = 90°. Поэтому треугольник  — прямоугольный с углом , равным 30°. Следовательно, .
 
Ответ: 1:2.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа № 2(1вар)
14. Задание 24 № 31170614. Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 8 и 9. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота треугольника делит ее пополам.
Решение.

Пусть высота треугольника разбивает основание на отрезки и , высота пересекает высоту в точке , причем . Треугольники и подобны, поскольку они прямоугольные и первые два имеют равные углы (углы и равны как вертикальные), а вторые два имеют общий угол. Получаем пропорцию
, то есть , откуда .
 
Следовательно, и .
 
Ответ: 12.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2012. Математика. Тренировочная работа №2(2вар)
15. Задание 24 № 31170715. Биссектрисы углов и при боковой стороне трапеции пересекаются в точке . Найдите , если .
Решение.

 — трапеция с основаниями и , то есть прямые и параллельны. Углы и  — внутренние односторонние при параллельных прямых и и секущей , следовательно,  = 180°.
Учитывая, что и  — биссектрисы углов и то  = 90°.
Треугольник  — прямоугольный, тогда по теореме Пифагора получаем .
Ответ: 26.
Критерии проверки:
Источник: Типовые экзаменационные варианты. А. Л. Семенова, И. В. Ященко — 2013, вариант 1.
16. Задание 24 № 31192416. В треугольнике ABC угол С равен 90°, радиус вписанной окружности равен 2. Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 12.
Решение.

Пусть A1, B1 и C1 — точки касания вписанной окружности со сторонами BC, AC и AB соответственно. Радиус вписанной окружности обозначим r. Тогда AC1 = AB1, BC1 = BA1 и CA1 = CB1 = r. Периметр треугольника ABC равен
 
2AC1 + 2BC1 + 2CA1 = 2AB + 2r,
 
а его полупериметр p равен AB + r.
По формуле площади треугольника находим
 
Ответ: 28.
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 19.11.2013 вариант МА90201.
17. Задание 24 № 35340917. Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC относится к длине стороны  AB как 7:10. Найдите отношение площади треугольника AKM к площади треугольника ABC.
Решение.
По свойству медианы известно, что медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольников. Таким образом, . По свойству биссектрисы имеем: . Из условия задачи известно, что , следовательно,
 

 
Так как высота h является общей для треугольников и , имеем:
 




 
 
Ответ:
18. Задание 24 № 35344118. Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH = 11.
Четырёхугольники
1. Задание 24 № 3112491. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр равен 56.
Найдите площадь трапеции.
Решение.

Трапеция равнобедренная, значит,
 
и
Тогда,
 

 
Ответ:
Критерии проверки:
2. Задание 24 № 3409342. В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 8.
Решение.
Поскольку в данный параллелограмм можно вписать окружность, суммы его противоположных сторон равны. Так как противоположные стороны также равны, получаем, что все стороны данного параллелограмма равны, а значит, этот четырехугольник является ромбом. Следовательно, его периметр равен 8 · 4 = 32.
 
Ответ: 32.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.11.2014 вариант МА90204.
3. Задание 24 № 3412853. Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 12 и CH = 3. Найдите высоту ромба.
Решение.

Поскольку ABCD — ромб, AD = DC = DH + HC = 15.
Треугольник ADH прямоугольный, поэтому:
 
Ответ: 9.
Критерии проверки:
4. Задание 24 № 3412904. Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 12 и CH = 1. Найдите высоту ромба.
Решение.

Поскольку ABCD — ромб, AD = DC = DH + HC = 13.
Треугольник ADH прямоугольный, поэтому:
Ответ: 5.
Критерии проверки:
5. Задание 24 № 3115665. Периметр прямоугольника равен 56, а диагональ равна 27. Найдите площадь это прямоугольника.
Решение.
Пусть одна из сторон прямоугольника равна  . Тогда другая сторона равна  , а площадь  . По теореме Пифагора:

 
 

 
Значит, искомая площадь равна 27,5.
Ответ: 27,5.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2013. Математика. Диагностическая работа № 2.(5 вар)
6. Задание 24 № 3116716. Прямая, параллельная основаниям и трапеции , проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны и в точках и соответственно. Найдите длину отрезка , если см, см.
Решение.

1) по двум углам:
а) как вертикальные;
б) как внутренние накрест лежащие углы при и секущей .
 

 

 
2) по двум углам:
а) — общий;
б) как соответственные при и секущей .
 

 
см.
3) Аналогично см.
4) см.
Ответ: 30 см.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа № 1(2 вар)
7. Задание 24 № 3116667. Диагонали и трапеции пересекаются в точке . Площади треугольников и равны соответственно и . Найдите площадь трапеции.
Решение.

По условию , поэтому и являются не боковыми сторонами, а основаниями трапеции. Тогда треугольники и подобны по двум углам, а отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия . Поэтому . Поскольку треугольники и имеют общую высоту, проведённую из вершины , отношение их площадей равно отношению их оснований, т. е. . Значит, .
Площади треугольников и равны, так как эти треугольники имеют общее основание и их высоты, проведённые к этому основанию, равны как высоты трапеции, следовательно
.
 
Поэтому и .
Ответ: .
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2013. Математика. Тренировочная работа №2.(4 вар)
8. Задание 24 № 1828. В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 2. Найдите площадь трапеции.
Решение.

Опустим перпендикуляры BH и CK на большее основания AD. По условию тогда Катет, лежащий напротив в угла в равен половине гипотенузы, тогда Так как по условию, а HK=x, то Треугольники ABH и DCK равны по двум катетам, таким образом, трапеция ABCD- равнобедренная. Таким образом, АВ=2, AD=4, BH=. Площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту, имеем:
 

 
Ответ:
Критерии проверки:
Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1317.
9. Задание 24 № 3117119. В выпуклом четырёхугольнике длина отрезка, соединяющего середины сторон и , равна одному метру. Прямые и перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей и .
Решение.
Пусть точка — середина , точка — середина , точка — середина диагонали , точка — середина диагонали . Тогда — средняя линия треугольника , поэтому параллельно и . Аналогично получаем: — средняя линия треугольника , поэтому параллельно и ; — средняя линия треугольника , поэтому параллельно и ; — средняя линия треугольника , поэтому параллельно и . Отсюда заключаем, что в четырёхугольнике стороны попарно параллельны и попарно равны, поэтому — параллелограмм. А так как параллельно параллельно , а перпендикулярно , то и перпендикулярно . Поэтому — прямоугольник. А так как диагонали прямоугольника равны, то метру.
Ответ: 1 метр.
 
Приведём решение методом координат.
Пусть сторона BC лежит на оси Ox, а сторона AD лежит на оси Oy. Найдем координаты вершин четырехугольника:
Пусть M — середина AB, и N — середина CD. По формуле нахождения координат середины отрезков, найдем координаты точек M и N: Определим длину отрезка MN через координаты его концов:
Пусть точки P и Q — середины диагоналей AC и BD. Аналогично получаем:
Тема самым, что Следовательно, искомая длина равна 1 метру.
Критерии проверки:
Источник: Тренировочные работы. Иркутск — 2013, вариант 2.
10. Задание 24 № 31171710. Каждое основание и трапеции продолжено в обе стороны. Биссектрисы внешних углов и этой трапеции пересекаются в точке , биссектрисы внешних углов и пересекаются в точке . Найдите периметр трапеции , если длина отрезка равна 28.
Решение.

Углы и — односторонние при параллельных прямых и и секущей . Значит их сумма равна 180°.
— биссектриса угла ; .
— биссектриса угла ; .
Тогда сумма углов и равна 90°, значит треугольник — прямоугольный. Аналогично, треугольник — прямоугольный. Точки и — точки пересечения биссектрис внешних углов трапеции , значит, и — равноудалены от параллельных прямых и . (Точка равноудалена от сторон угла и , и равноудалена от сторон угла и , т. к. лежит на биссектрисах соответствующих углов).
Таким образом, прямая параллельна прямым и , и по теореме Фалеса точки и , середины сторон и и — средняя линия трапеции (по определению).
Из прямоугольного треугольника , ( — медиана, проведенная к гипотенузе). Из прямоугольного треугольника , ( — медиана, проведенная к гипотенузе.
Значит, периметр трапеции равен 56.
Ответ: 56.
Критерии проверки:
Источник: Пробный экзамен. Санкт-Петербург — 2013, вариант 1.
11. Задание 24 № 31171211. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 8 и 5, если отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны.
Решение.

Пусть — данный четырёхугольник, — середина стороны — середина стороны — середина стороны — середина стороны . Проведём диагонали и и отрезки и , последовательно соединяющие середины сторон четырёхугольника. Тогда, по свойству средней линии треугольника, отрезки и параллельны диагонали и равны её половине, а отрезки и параллельны диагонали и равны её половине. Поэтому — параллелограмм. А так как, по условию задачи, его диагонали и равны, то — прямоугольник, и угол — прямой. Отсюда следует, что и угол между диагоналями и тоже прямой, и, следовательно, площадь четырёхугольника будет равна половине произведения его диагоналей, то есть
 
Ответ: 20.
Критерии проверки:
Источник: Тренировочные работы. Иркутск — 2013, вариант 3.
12. Задание 24 № 12812. В трапеции АВСD боковые стороны AB и CD равны, CH — высота, проведённая к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции равна 16, а меньшее основание BC равно 4.
Решение.
Так как AB = CD, то трапеция является равнобедренной. Опустим перпендикуляр BL из точки B на большее основание AD. Прямоугольные треугольники ABL и CHD равны по гипотенузе и прилежащему острому углу, поэтому AL = HD. Средняя линия равна полусумме оснований:
 

 
Так как AL = HD, имеем: , значит,
 
Ответ: HD = 12.
Критерии проверки:
Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1309.
13. Задание 24 № 33951113.
В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 57. Найдите площадь четырёхугольника ABMN.
Решение.
Поскольку — средняя линия треугольника и Рассмотрим треугольники и углы и равны как соответствующие углы при параллельных прямых, угол — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Откуда коэффициент подобия Площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому Найдём площадь четрыёхугольника
 

Ответ: 171.
Критерии проверки:
14. Задание 24 № 31511614.
В трапеции АВСD боковые стороны AB и CD равны, CH — высота, проведённая к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции равна 16, а меньшее основание BC равно 4.
Решение.
В трапеции средняя линия равна полусумме оснований, поэтому можем найти большее основание зная и
 

 

Проведём в трапеции вторую высоту Трапеция равнобедренная, поэтому Рассмотрим два треугольника: и , они прямоугольные, имеют равные углы и равно следовательно, эти треугольники равны. Таким образом, равны отрезки и
Также рассмотрим четырёхугольник , все углы в нём — прямые, следовательно, это прямоугольник, значит,
Теперь найдём длину отрезка
 

 
Ответ: 12.
Критерии проверки:
Ответ: 12
315116
12
Источник: Банк заданий ФИПИ
15. Задание 24 № 31186015. Основания трапеции равны 16 и 34. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
Решение.

Пусть в трапеции ABCD с основаниями BC = 16 и AD = 34. Обозначим середину диагоналиAC через N, середину диагонали BD через M, а середину стороны CD через K.
ТогдаNK — средняя линия треугольника ACD, MK — средняя линия треугольника BCD. Значит, точки N, M и K лежат на одной прямой, и NM = NK − MK = 9.
 
Ответ: 9.
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 01.10.2013 вариант МА90106.
16. Задание 24 № 31635916. Биссектриса угла A параллелограмма пересекает его сторону в точке Найдите площадь параллелограмма если а
Решение.

Накрест лежащие углы и равны, — биссектриса угла следовательно,
 

 
Значит, треугольник равнобедренный и
 
По формуле площади параллелограмма находим

 
Ответ: 35.
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 19.02.2014 вариант МА90501.
17. Задание 24 № 33313017. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 10.
Решение.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180° , значит,
 

 
Получаем, что треугольник ABF прямоугольный с прямым углом F . По теореме Пифагора находим AB:
 

 
Ответ: 26.
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 17.04.2014 вариант МА90605
18. Задание 24 № 33940318. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите AB, если BC = 34.
Решение.
По определению параллелограмма — секущая при параллельных прямых, следовательно, углы и равны как накрест лежащие. Поскольку треугольник — равнобедренный, откуда Аналогично, треугольник — равнобедренный и Стороны и равны, как противоположные стороны параллелограмма, следовательно:
 

Ответ: 17.
Критерии проверки:
19. Задание 24 № 33970919. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 19, а расстояние от точки K до стороны AB равно 7.
Решение.
Проведём через точку пересечения биссектрис высоту. Введём обозначения как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, углы и равны, сторона — общая, следовательно, треугольники равны, откуда Аналогично, равны треугольники H и откуда Найдём площадь параллелограмма как произведение основания на высоту:
 

 
Ответ: 266.
Критерии проверки:
20. Задание 24 № 33961920. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 7, а средняя линия равна 10.
Решение.
Пусть — длина средней линии. Проведём высоту и проведём прямую параллельную Рассмотрим четырёхугольник следовательно, — параллелограмм, откуда Рассмотрим треугольник Пусть — полупериметр треугольника Найдём площадь треугольника по формуле Герона:
 


 
Выразим площадь треугольника как произведение основания на высоту откуда найдём
 

Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму длин оснований:
 
Ответ: 42.
Критерии проверки:
21. Задание 24 № 35199221. Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 60° и 150°, а CD = 33.
Решение.

Введём обозначения как показано на рисунке. Проведём высоты и В трапеции сумма смежных углов при боковой стороне равна 180°, поэтому Из прямоугольного треугольника найдём сторону

 
Углы и равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Высоты и равны. Из прямоугольного треугольника найдём
 

 
Ответ:
Источник: Банк заданий ФИПИ
22. Задание 24 № 35256822. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 20, BF = 15.
Решение.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180° , значит,
 

 
Получаем, что треугольник ABF прямоугольный с прямым углом F . По теореме Пифагора находим AB:
 

 
Ответ: 25.
Ответ: 25
352568
25
23. Задание 24 № 35351123. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 16 и 12, а средняя линия равна 10.
Окружности
1. Задание 24 № 3116501. В треугольнике угол равен 72°, угол равен 63°, . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
Решение.
Угол треугольника равен  = 180° − −  = 45°.
Радиус описанной окружности равен .
Ответ: 2.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2013. Математика. Пробные варианты от ФИПИ (1 вар.)
2. Задание 24 № 3408532. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 15, AC = 25.
Решение.
Пусть DC = x. Тогда по свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, получаем:
 
откуда
 
Ответ: 16.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.11.2014 вариант МА90201.
3. Задание 24 № 3408793. Окружность, вписанная в треугольник ABC , касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 49°, 69° и 62°.
Решение.
Пусть
∠BAC = α , ∠ABC = β , ∠ACB = γ;
∠PKM = 49°, ∠MPK = 69°, ∠KMP = 62°.
 
По свойству касательных AM = AP, BM = BK , CP = CK . Значит, треугольники AMP, BMK и CPK равнобедренные, откуда получаем:
 


 
Значит, Аналогично получаем, что и
Решая систему относительно α , β и γ , получаем, что углы треугольника ABC равны 82°, 42°, 56°.
 
Ответ: 82°, 42°, 56°.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.11.2014 вариант МА90202.
4. Задание 24 № 3394924. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 18, а сторона AC в 1,2 раза больше стороны BC.
25 геометрическая задача на доказательство
треугольники
четырехугольники
окружность
Треугольники и их элементы
1. Задание 25 № 1031. На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
Решение.
Так как по условию то треугольник является равнобедренным. Пусть угол при основании этого треугольника равен x, тогда Треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому и треугольник —равнобедренный.
Критерии проверки:
Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1305.
2. Задание 25 № 3403412. Высоты AA1 и BB1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны.
Решение.
Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны, откуда Рассмотрим треугольники и углы и равны как вертикальные, следовательно, эти треугольники подобны, откуда
 
См. также.
Аналогичное задание с тупоугольным треугольником: 340854.
Критерии проверки:
3. Задание 25 № 3408543. В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что треугольники A1CB1 и ACB подобны.
Решение.

Поскольку угол ACB тупой, основания высот A1 и B1 будут лежать на продолжениях сторон BC и AC соответственно. Диагонали четырёхугольника AA1B1B пересекаются, поэтому он выпуклый. Поскольку ∠AA1B = ∠AB1B = 90°, каждый из прямоугольных треугольников AA1B и AB1B вписан в окружность с диаметром AB. Это означает, что все вершины четырёхугольника AA1B1B лежат на одной окружности. Тогда углы ∠AB1A1 и ∠ABA1 равны как вписанные углы, опирающиеся на дугу A1A. Аналогично, ∠BA1B1 = ∠BAB1. Значит, указанные треугольники подобны по двум углам.
 
Укажем общую теорему.
Основания двух высот треугольника (остроугольного или тупоугольного) и одна из его вершин образуют треугольник, подобный исходному; коэффициент подобия равен модулю косинуса их общего угла.
 
См. также.
Аналогичное задание с остроугольным треугольником: 340341.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.11.2014 вариант МА90201.
4. Задание 25 № 3408804. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.
Решение.
Поскольку ABCD выпуклый и ∠ABD = ∠ACD, получаем, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность. А тогда ∠DAC = ∠DBC как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу CD.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.11.2014 вариант МА90202.
5. Задание 25 № 3409065. Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что CD ⊥ EF.
Решение.
Точка E равноудалена от C и D , поэтому она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD. То же можно сказать и о F. Значит EF — серединный перпендикуляр к CD, то есть CD ⊥ EF.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.11.2014 вариант МА90203.
6. Задание 25 № 3416886. Высоты AA1 и BB1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны.
Решение.

Поскольку диагонали четырехугольника AB1A1B пересекаются, он является выпуклым, а так как , около него можно описать окружность. Тогда углы AA1B1 и ABB1 равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу AB1.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 29.09.2015 вариант МА90103.
7. Задание 25 № 1297. В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний.
Решение.
Так как точки M, N, K - середины сторон и треугольник ABC- равносторонний, то отрезки AM, MB, BN, NC, KC, AK равны. В равностороннем треугольнике все углы равны, таким образом, треугольники AMK, NMB, CNK равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда MN=MK=KN, значит треугольник MNK- равносторонний.
Критерии проверки:
Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1309.
8. Задание 25 № 3115618. На стороне  треугольника  отмечены точки  и  так, что . Докажите, что если , то  .
Решение.

Треугольник   — равнобедренный, поэтому  . Значит,    и треугольники    и    равны по первому признаку равенства треугольников. Значит,  .
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2013. Математика. Диагностическая работа № 2.(1 вар)
9. Задание 25 № 3115679. На медиане  треугольника  отмечена точка . Докажите, что если , то .
Решение.

Поскольку треугольник   — равнобедренный, получаем, что его медиана    также является высотой. Значит, в треугольнике    отрезок    является высотой и медианой. Поэтому треугольник   — равнобедренный, то есть  .
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2013. Математика. Диагностическая работа № 2.(5 вар)
10. Задание 25 № 31160210. Докажите, что биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны.
Решение.
Имеем:

Докажем, что .
1) по стороне и двум прилежащим к ней углам:
а) — общая;
б) по свойству углов равнобедренного треугольника;
в) по определению биссектрисы и равенству углов при основании равнобедренного треугольника.
2) как соответствующие элементы равных треугольников.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа № 1 (1 вар)
11. Задание 25 № 31160511. Два равносторонних треугольника имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки и равны.
Решение.
Рассмотрим треугольники и . В них и
60° .
 
Следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому как соответствующие стороны равных треугольников.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа №2 (2 вар.)
12. Задание 25 № 31160612. Два равных прямоугольника имеют общую вершину (см. рис.). Докажите, что площади треугольников и равны.
Решение.
Две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого: и . Рассмотрим углы между ними:
360° 180° .
 
Поэтому
.
 
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа №2 (3 вар.)
13. Задание 25 № 31166513. Докажите, что у равных треугольников и биссектрисы, проведённые из вершины и , равны.
Решение.
Пусть и  — биссектрисы треугольников и . В треугольниках и соответственно равны стороны и , а также углы и , и . Следовательно, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников. Значит, , что и требовалось доказать.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2013. Математика. Тренировочная работа №2.(4 вар)
14. Задание 25 № 31166914. В треугольнике угол равен 36°,  — биссектриса. Докажите, что треугольник  — равнобедренный.
Решение.
Треугольник равнобедренный, поэтому  = 72°. Значит,  = 36°. Таким образом, углы и равны, поэтому треугольник  — равнобедренный.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2013. Математика. Пробные варианты от ФИПИ (1 вар.)
15. Задание 25 № 31177315. В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A, C, центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот треугольника ABC лежат на одной окружности.
Решение.

Обозначим центр описанной окружности треугольника ABC черезO, а точку пересечения высот через H. Тогда и Таким образом, точки A, C, O и H лежат на одной окружности.
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 01.10.2013 вариант МА90101.
16. Задание 25 № 31196916. Окружность касается стороны AB треугольника ABC, у которого ∠C = 90°, и продолжений его сторон AC и BC за точки A и B соответственно. Докажите, что периметр треугольника ABC равен диаметру этой окружности.
Решение.

Пусть O — центр окружности, d — её диаметр, а M, N и K — точки касания окружности с прямыми AC, AB и BC соответственно. Радиус OM перпендикулярен AC, а OK перпендикулярен BC. Следовательно, в четырёхугольнике OMCK имеем ∠C = ∠M = ∠K = 90°, а значит, OMCK — прямоугольник. Поскольку OM = OK, прямоугольник OMCK — квадрат. Следовательно,
Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны: AM = AN, BN = BK и CM = CK. Периметр треугольника ABC равен
 
P = AB + BC + AC = AC + AN + BN + BC =
= AC + AM + BK + BC = MC + CK = 2MC = d.
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 19.11.2013 вариант МА90202.
17. Задание 25 № 31506217. На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что углы АDB и BEC равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки AЕ и CD тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
Решение.

Углы и равны, поэтому треугольник — равнобедренный, то есть
Углы и — развёрнутые, поэтому:
 

 
Рассмотрим треугольники и следовательно, эти треугольники равны, а значит, то есть треугольник — равнобедренный.
Критерии проверки:
Источник: Банк заданий ФИПИ
18. Задание 25 № 31508518. На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что углы АDB и BEC тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
Решение.

Углы и — развёрнутые, поэтому:
 

 
Углы и равны, следовательно, треугольник — равнобедренный, значит
Рассмотрим треугольники и следовательно, эти треугольники равны, а значит, то есть треугольник — равнобедренный.
Критерии проверки:
Источник: Банк заданий ФИПИ
19. Задание 25 № 31624419. В остроугольном треугольнике ABC точки A, C, центр описанной окружности O и центр вписанной окружности I лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60°.
Решение.
В треугольнике ABC имеем , а
Таким образом, значит,
Критерии проверки:
Источник: Диагностическая работа 01.10.2013 Вариант МА90105
20. Задание 25 № 31633420. В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60° . Докажите, что точки A, C, центр описанной окружности треугольника ABC и центр вписанной окружности треугольника ABC лежат на одной окружности.
Решение.
Обозначим центр описанной окружности треугольника ABC через O, а центр вписанной окружности через I.
Тогда

 

 
Таким образом, точки A, C, O и I лежат на одной окружности.
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 01.10.2013 вариант МА90103.
21. Задание 25 № 33334821. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.
Решение.
Поскольку четырёхугольник ABCD вписанный, сумма углов ABC и ADC равна 180°.
Следовательно,
 
∠KDC =180° − ∠ADC = ∠ABC.
 
Получаем, что в треугольниках KAB и KCD углы ABK и CDK равны, угол K общий, следовательно, эти треугольники подобны.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.11.2014 вариант МА90702.
22. Задание 25 № 33938422. Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны между собой.
Решение.
Введём обозначения как показано на рисунке. Проведём медиану и высоту Площадь треугольника , площадь треугольника Отрезки и равны, следовательно,
Критерии проверки:
23. Задание 25 № 34024323. В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что треугольники A1CB1 и ACB подобны.
Решение.
Углы и равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, углы и равны, следовательно, эти треугольники подобны, откуда Рассмотрим треугольники и углы и равны как вертикальные, следовательно, эти треугольники подобны.
Критерии проверки:
24. Задание 25 № 34926624. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.
Решение.
Поскольку четырёхугольник ABCD вписанный, сумма углов ABC и ADC равна 180°.
Следовательно,
 
∠KDC =180° − ∠ADC = ∠ABC.
 
Получаем, что в треугольниках KAB и KCD углы ABK и CDK равны, угол K общий, следовательно, эти треугольники подобны.
 
----------
Дублирует задание 333348
25. Задание 25 № 35082925. В треугольнике ABC с тупым углом BAC проведены высоты BB1 и CC1. Докажите, что треугольники AB1C1 и ABC подобны.
Решение.
Углы и равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, углы и равны, следовательно, эти треугольники подобны, откуда Рассмотрим треугольники и углы и равны как вертикальные, следовательно, эти треугольники подобны.
26. Задание 25 № 35316226. В остроугольном треугольнике проведены высоты и . Докажите, что углы и равны.
Четырёхугольники и их элементы
1. Задание 25 № 771. В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рисунок). Докажите, что ВFDЕ — параллелограмм.
Решение.
Прямоугольные треугольники ABE и CDF равны по гипотенузе и острому углу (AB = CD как противолежащие стороны параллелограмма;  ∠BAE = ∠DCF как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC). Следовательно, BE = DF. Кроме того, BE || DF, т. к. это перпендикуляры к одной прямой. Таким образом, в четырёхугольнике BFDE противолежащие стороны равны и параллельны, поэтому BFDE — параллелограмм.
Критерии проверки:
Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1301.
2. Задание 25 № 3409352. Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка L — середина стороны BC. Докажите, что DL — биссектриса угла CDA.
Решение.
Проведём LF параллельно CD (см. рис.). Тогда BL = LC = CD. Следовательно, параллелограмм CDFL является ромбом. Диагональ DL ромба CDFL является биссектрисой угла CDA.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.11.2014 вариант МА90204.
3. Задание 25 № 3409693. Сторона AB параллелограмма ABCD вдвое больше стороны BC. Точка N — середина стороны AB. Докажите, что CN — биссектриса угла BCD.
Решение.
Проведём FN параллельно BC (см. рис.). Тогда AD = AN = NB. Следовательно, параллелограмм BCFN является ромбом. Диагональ CN ромба BCFN является биссектрисой угла BCD.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Диагностическая работа по математике 30.09.2014 вариант МА90101.
4. Задание 25 № 3412864. В треугольнике ABC с тупым углом ABC проведены высоты AA1 и CC1. Докажите, что треугольники A1BC1 и ABC подобны.
Решение.

Поскольку угол ABC тупой, основания высот будут лежать на продолжениях сторон. Так как диагонали четырёхугольника AA1C1C пересекаются, он выпуклый, а поскольку около него можно описать окружность. Тогда как вписанные углы, опирающиеся на дугу AA1, а как вписанные углы, опирающиеся на дугу CC1. Значит, указанные треугольники подобны по двум углам.
Критерии проверки:
5. Задание 25 № 3412915. В треугольнике ABC с тупым углом ABC проведены высоты AA1 и CC1. Докажите, что треугольники A1BC1 и ABC подобны.
Решение.

Поскольку угол ABC тупой, основания высот будут A1 и B1 лежать на продолжениях сторон BC и AC соответственно. Так как диагонали четырёхугольника AA1C1C пересекаются, он выпуклый, а поскольку около четырёхугольника AA1C1C можно описать окружность. Тогда углы и равны как вписанные углы, опирающиеся на дугу A1C1, Аналогично, равны углы и Значит, указанные треугольники подобны по двум углам.
Критерии проверки:
6. Задание 25 № 3413446. Биссектрисы углов C и D трапеции ABCD пересекаются в точке P, лежащей на стороне AB. Докажите, что точка P равноудалена от прямых BC, CD и AD.
Решение.
По свойству биссектрисы угла точка P равноудалена от прямых AD и CD (так как лежит на биссектрисе угла D ) и равноудалена от прямых BC и CD (так как лежит на биссектрисе угла C). Значит, точка P равноудалена от всех трёх указанных прямых.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 07.04.2015 вариант МА90701.
7. Задание 25 № 3413707. Сторона AB параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AD. Точка K — середина стороны AB. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Решение.
Проведём FK параллельно AD (см. рис.). Имеем AD = AK = KB, следовательно, параллелограмм AKFD является ромбом. Диагональ DK ромба AKFD является биссектрисой угла ADC.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 07.04.2015 вариант МА90702.
8. Задание 25 № 3413968. Точка K — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции.
Решение.
Продолжим BK до пересечения с прямой AD в точке F. Заметим, что в треугольниках FDK и BCK стороны CK и DK равны по условию, углы при вершине K равны как вертикальные, а углы KDF и KCB равны как накрест лежащие. Значит, треугольники FDK и BCK равны.
Следовательно, их площади равны, то есть площадь трапеции равна площади треугольника ABF. Но из равенства треугольников также вытекает, что FK = BK, то есть AK — медиана в треугольнике ABF. Тогда треугольник KAB по площади составит половину треугольника FAB, а значит, и данной трапеции.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 07.04.2015 вариант МА90703.
9. Задание 25 № 3415119. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит её на две равные по площади части.
Решение.
Пусть ABCD — трапеция, M и N — середины оснований AD и BC соответвенно.
Пусть AM = MD = a и BN = NC = b, а h — высота трапеции. Тогда площадь каждой из частей, на которые отрезок MN делит трапецию, равна то есть, эти части равновелики.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 07.05.2015 вариант МА90901.
10. Задание 25 № 34153710. Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что CM — биссектриса угла BCD.
Решение.
Проведём FM параллельно AB (см. рисунок). Тогда CD = AM = MD. Следовательно, параллелограмм DCFM является ромбом. Диагональ CM ромба DCFM является биссектрисой угла BCD.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 07.05.2015 вариант МА90902.
11. Задание 25 № 15511.
В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём АЕ = CK, BF = DM. Докажите, что EFKM — параллелограмм.
Решение.
Так как в параллелограмме противоположные стороны равны и по условию известно, что АЕ = CK, BF = DM, то BЕ = KD, CF = AM. В параллелограмме противоположные углы равны, то треугольники EBF и KDM, FCK и MAE равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что EF=MK, EM=FK. Так как противоположные стороны четырехугольника EFKM равны, то по признаку параллелограмма это четырехугольника- параллелограмм.
Критерии проверки:
Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1313.
12. Задание 25 № 18112. Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.
Решение.
Вычислим угол восьмиугольника по формуле Таким образом, угол восьмиугольника равен Если вершины последовательно соединить отрезками через одну, то образуются четыре равных равнобедренных треугольника, углы при основании которых равны Тогда угол между двумя отрезками, которые соединяют вершины равен Поскольку все четыре равнобедренных треугольника равны, то и стороны получившегося четырёхугольника равны. Таким образом, если вершины восьмиугольника последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.
Критерии проверки:
Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1317.
13. Задание 25 № 31503913. Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный шестиугольник.
Решение.
Рассмотрим маленькие треугольники и , следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу. Аналогично равны между собой и остальные маленькие треугольники. Следовательно
Любой угол правильного шестиугольника равен Треугольники и — равнобедренные, углы при основаниях равны Рассмотрим развёрнутый угол
 

 
Аналогично все остальные углы шестиугольника равны следовательно шестиугольник — правильный.
Критерии проверки:
Источник: Банк заданий ФИПИ
14. Задание 25 № 5114. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC=ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
Решение.

Треугольники BEC и AED равны по трём сторонам. Значит, углы CBE и DAE равны. Так как их сумма равна 180°, то углы равны 90°. Такой параллелограмм — прямоугольник.
Критерии проверки:
Источник: Демонстрационная версия ГИА—2013 по математике.
15. Задание 25 № 31166315. В параллелограмме проведены высоты и . Докажите, что подобен .
Решение.
В треугольниках и имеем как противоположные углы параллелограмма, как прямые углы, значит треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2013. Математика. Тренировочная работа №1 (3 вар.)
16. Задание 25 № 31157316. В параллелограмме  проведены высоты  и . Докажите, что  подобен .
Решение.
В треугольниках    и    имеем    как противоположные углы параллелограмма,    как прямые углы, значит треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2013. Математика. Тренировочная работа № 1 (1 вар.)
17. Задание 25 № 31160417. Два квадрата имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки и равны.
Решение.
Пусть общая вершина квадратов — точка . и . Следовательно, . Тогда треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, как соответствующие стороны равных треугольников.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа № 2(1вар)
18. Задание 25 № 31160318. В параллелограмме проведены биссектрисы противоположных углов. Докажите, что отрезки биссектрис, заключенные внутри параллелограмма, равны.
Решение.

— параллелограмм — биссектриса , — биссектриса .Докажите, что .
1) по стороне и двум прилежащим к ней углам:а) — по свойству противоположных сторон параллелограмма;б) по свойству противоположных углов параллелограмма;в) по определению биссектрисы и равенству противоположных углов параллелограмма.2) как соответствующие элементы равных треугольников.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа № 1(2 вар)
19. Задание 25 № 31160819. Середины сторон параллелограмма является вершинами ромба. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
Решение.

Пусть точки — середины сторон и параллелограмма соответственно
1) т. к. — середина ;
2) , т. к. как противоположные стороны параллелограмма, а и — середины этих сторон;
3) как стороны ромба.
Тогда треугольники и равны по трем сторонам. Это означает, что угол равен углу . Но эти углы в сумме дают 180°, поэтому каждый из них равен 90°. Таким образом, углы параллелограмма прямые. Значит, он прямоугольник.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2012. Математика. Тренировочная работа № 2(1 вар)
20. Задание 25 № 31160720. Дана равнобедренная трапеция . Точка лежит на основании и равноудалена от концов другого основания. Докажите, что — середина основания .
Решение.

Треугольник равнобедренный. Поэтому . В равнобедренной трапеции .
Отсюда следует, что . Значит, треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, .
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2012. Математика. Тренировочная работа №1 (1 вар.)
21. Задание 25 № 31166721. Три стороны параллелограмма равны. Докажите, что отрезок с концами в серединах противоположных сторон параллелограмма равен четверти его периметра.
Решение.
В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому если равны три стороны, то все стороны этого параллелограмма равны, значит, это ромб. Отрезки и равны и параллельны, следовательно, — параллелограмм, значит, длина равна длине стороны и, следовательно, равна четверти периметра параллелограмма.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2013. Математика. Тренировочная работа № 4.(1 вар.)
22. Задание 25 № 31192522. В параллелограмме ABCD проведены высоты BH и BE к сторонам AD и CD соответственно, при этом BH = BE. Докажите, что ABCD — ромб.
Решение.

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Тогда, с одной стороны, S = AD · BH, а с другой стороны, S = CD · BE. Поскольку BH = BE , получаем, что AD = CD. Следовательно, все стороны параллелограмма равны, а значит, ABCD — ромб.
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 19.11.2013 вариант МА90201.
23. Задание 25 № 31482223. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AKD.Решение.

Проведём высоту так, чтобы она проходила через точку Углы и равны друг другу как вертикальные. Вспомним также, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, следовательно, Рассмотрим треугольники и , они прямоугольные, имеют равные углы и равные гипотенузы, следовательно эти треугольники равны, а значит равны отрезки и . Таким образом,
Площадь параллелограмм равна а площадь треугольника
 

 
Критерии проверки:
Источник: Банк заданий ФИПИ
24. Задание 25 № 31504724. Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится равносторонний треугольник.
Решение.
Рассмотрим треугольники следовательно эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, значит, то есть треугольник — правильный.
Критерии проверки:
Источник: Банк заданий ФИПИ
25. Задание 25 № 31512025. Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.
Решение.
Рассмотрим треугольники
 

 
следовательно эти треугольники равны, то есть следовательно — ромб.
Любой угол правильного восьмиугольника равен Каждый их треугольников — равнобдеренный, следовательно углы при основании этих треугольников равны
Рассмотрим угол
 

 
Следовательно все углы, в ромбе — прямые, а значит, — квадрат.
Критерии проверки:
Источник: Банк заданий ФИПИ
26. Задание 25 № 31512426. Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный восьмиугольник.
Решение.
Рассмотрим маленькие треугольники и , следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу. Аналогично равны между собой и остальные маленькие треугольники. Следовательно
Любой угол правильного восьмиугольника равен Треугольники и — равнобедренные, углы при основаниях равны Рассмотрим развёрнутый угол
 

 
Аналогично все остальные углы восьмиугольника равны следовательно восьмиугольник — правильный.
Критерии проверки:
Источник: Банк заданий ФИПИ
27. Задание 25 № 33302627. Точка E — середина боковой стороны AB трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.
Решение.

Проведём отрезок EF параллельно основаниям трапеции, точка F лежит на стороне CD. Отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD, значит, высоты треугольников EFD и CEF , проведённые к стороне EF , равны между собой и равны половине высоты трапеции h. Имеем
 


 
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 17.04.2014 вариант МА90601
28. Задание 25 № 33313128. Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Решение.

Проведём через точку прямые, параллельные сторонам параллелограмма, пересекающие его стороны AB, BC , CD иAD в точкахK , L, M иN соответственно. Эти прямые делят параллелограммABCD на четыре параллелограмма. Поскольку диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника, получаем
 



 
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 17.04.2014 вариант МА90605
29. Задание 25 № 33332229. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.
Решение.

Поскольку четырёхугольник ABCD вписанный, сумма углов BAD и BCD равна 180°.
Следовательно,
 
∠MCB = 180° − ∠BCD = ∠BAD.
 
Получаем, что в треугольниках MBC и MDA углы MCB и MAD равны, угол M общий, следовательно, эти треугольники подобны.
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 06.05.2014 вариант МА90701.
30. Задание 25 № 33950630. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и ADB подобны.
Решение.
Углы CBD и BDA равны, как накрест лежащие при параллельных прямых. В треугольниках и следовательно, эти треугольники подобны по двум парам подобных сторон и углу между ними.
Критерии проверки:
31. Задание 25 № 33960231. Точка E — середина боковой стороны AB трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.
Решение.
Проведём построения и введём обозначения как указано на рисунке. Проведём параллельно Поскольку и по теореме Фаллеса получаем, что Следовательно, — средняя линия. Пусть — длина высоты трапеции. Площадь трапеции равна:
 

 
Откуда получаем, что
Критерии проверки:
32. Задание 25 № 33960932. Биссектрисы углов B и C трапеции ABCD пересекаются в точке O, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD.
Решение.
В задаче возможны два случая.
Первый случай, AD — одно из оснований. Проведём построения и введём обозначения как указано на рисунке. Рассмотрим треугольники OBH и BOK Рассмотрим треугольники OBH и OBK, они прямоугольные, углы HBO и KBO равны, OB — общая, следовательно, треугольники равны. Откуда OH = OK. Аналогично из треугольников KOC и COL получаем, что OK = OL. Таким образом, OH = OK = OL.
 
 
 
 
Второй случай, AD — одна из боковых сторон. Несмотря на другую геометрическую конфигурацию, доказательство полностью повторяет доказательство для первого случая.
Критерии проверки:
33. Задание 25 № 33962533. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы BCA и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.
Решение.
Проведём построения и введём обозначения как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники и углы и равны по условию, углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники и подобны. Откуда Равенство можно представить в виде Рассмотрим треугольники и углы и равны как вертикальные и имеется равенство следовательно, треугольники подобны. Поэтому углы и равны.
Критерии проверки:
34. Задание 25 № 34005534. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.
Решение.
Проведём высоты и они равны. Площадь треугольника равна Площадь треугольника равна Поскольку высоты и равны, равны и площади треугольников и Покажем, что площади треугольников и равны:
 

Критерии проверки:
35. Задание 25 № 34010435. Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и T соответственно. Докажите, что BP = DT.
Решение.
Проведём через точку прямую перпендикулярную стороне Поскольку стороны и параллельны, также перпендикулярно и стороне Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольники и равно , равно углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники равны. Поэтому равны их соответствующие элементы, то есть Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, равно углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники равны, поэтому равно Рассмотрим треугольники и равно равно углы и равны как вертикальные.
Критерии проверки:
36. Задание 25 № 34029736. Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что AB⊥IJ.
Решение.
Проведём медиану Стороны и равны как радиусы окружности, поэтому треугольник — равнобедренный, следовательно, медиана является также высотой. Проведём медиану Стороны и равны как радиусы окружности, поэтому треугольник — равнобедренный, следовательно, медиана является также высотой. прямые и перпендикулярны одной и той же прямой , следовательно они параллельны. Эти прямые проходят через одну и ту же точку значит, они совпадают. Таким образом прямая перпендикулярна прямой
Критерии проверки:
37. Задание 25 № 34032137. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции.
Решение.
Введём обозначения как показано на рисунке. Проведём высоту через точку Поскольку — средняя линия, Отрезки и равны, следовательно, по теореме Фалеса, Площадь треугольника равна Площадь треугольника равна Найдём сумму площадей этих треугольников:
 

 
Критерии проверки:
38. Задание 25 № 34034738. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит её на две равные по площади части.
Решение.
Проведём построения и введём обозначения как показано на рисунке. Пусть — длина высоты трапеции. Площадь треугольника равна площади треугольника поскольку высоты, проведённые к основаниям и равны, а основания и равны. Аналогично равны площади треугольников и Покажем, что площади четырёхугольников и равны:
 

Критерии проверки:
39. Задание 25 № 34037039. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.
Решение.
Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°, поэтому Углы и образуют развёрнутый угол, значит, Из приведённых равенств получаем, что Рассмотри треугольники и угол — общий, углы и равны, следовательно, треугольники подобны.
Критерии проверки:
40. Задание 25 № 34907440. Точка K — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции.
Решение.
Продолжим BK до пересечения с прямой AD в точке F. Заметим, что в треугольниках FDK и BCK стороны CK и DK равны по условию, углы при вершине K равны как вертикальные, а углы KDF и KCB равны как накрест лежащие. Значит, треугольники FDK и BCK равны.
Следовательно, их площади равны, то есть площадь трапеции равна площади треугольника ABF. Но из равенства треугольников также вытекает, что FK = BK, то есть AK — медиана в треугольнике ABF. Тогда треугольник KAB по площади составит половину треугольника FAB, а значит, и данной трапеции.
 
 
----------
Дублирует задание 341396
Критерии проверки:
41. Задание 25 № 35051741. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P. Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны.
Решение.
Проведём высоты и они равны. Площадь треугольника равна Площадь треугольника равна Поскольку высоты и равны, равны и площади треугольников и Покажем, что площади треугольников и равны:
 

42. Задание 25 № 35102042. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку K. Докажите, что сумма площадей треугольников BKC и AKD равна половине площади трапеции.
Решение.

Введём обозначения как показано на рисунке. Проведём высоту через точку Поскольку — средняя линия, Отрезки и равны, следовательно, по теореме Фалеса, Площадь треугольника равна Площадь треугольника равна Найдём сумму площадей этих треугольников:
 

 
43. Задание 25 № 35221143. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 3 и 12, BD = 6. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Решение.

Углы CBD и BDA равны, как накрест лежащие при параллельных прямых. В треугольниках и следовательно, эти треугольники подобны по двум парам подобных сторон и углу между ними.
44. Задание 25 № 35294944. Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках K и M соответственно. Докажите, что BK = DM.
Решение.

Проведём через точку прямую перпендикулярную стороне Поскольку стороны и параллельны, также перпендикулярно и стороне Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольники и равно , равно углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники равны. Поэтому равны их соответствующие элементы, то есть Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, равно углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники равны, поэтому равно Рассмотрим треугольники и равно равно углы и равны как вертикальные. Следовательно, , а поскольку - параллелограмм,
45. Задание 25 № 35337545. Биссектрисы углов C и D трапеции ABCD пересекаются в точке P, лежащей на стороне AB. Докажите, что точка P равноудалена от прямых BC, CD и AD.
Решение.
По свойству биссектрисы угла точка P равноудалена от прямых AD и CD (так как лежит на биссектрисе угла D ) и равноудалена от прямых BC и CD (так как лежит на биссектрисе угла C). Значит, точка P равноудалена от всех трёх указанных прямых.
 
 
----------
Дублирует задание 341344
46. Задание 25 № 35351746. Сторона CD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AD. Точка N — середина стороны CD. Докажите, что AN — биссектриса угла BAD.
Решение.

Проведём LN параллельно AD (см. рис.). Тогда AL = AD = ND. Следовательно, параллелограмм ADNL является ромбом. Диагональ AN ромба ADNL является биссектрисой угла BAD.
47. Задание 25 № 35355947. Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке , лежащей на стороне . Докажите, что - середина
Окружности и их элементы
1. Задание 25 № 3112411. В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, что ОК и OL равны.
Решение.

Треугольники АОВ и СОD равны по двум сторонам и углу между ними (AO = BO = CO = DO как радиусы окружности, ∠AOB = ∠COD по условию). Следовательно, высоты OK и OL равны как соответственные элементы равных треугольников.
Критерии проверки:
2. Задание 25 № 3414222. Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что отрезки AB и IJ перпендикулярны.
Решение.
Точка I равноудалена от A и B, поэтому она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. То же можно сказать и о J . Значит IJ — серединный перпендикуляр к AB.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 07.04.2015 вариант МА90704.
3. Задание 25 № 3112583. В окружности с центром проведены две равные хорды и . На эти хорды опущены перпендикуляры и . Докажите, что и равны.
Решение.
Проведем ОK, ON, OL, OM — радиусы. Треугольники KOL и MON равны по трем сторонам, тогда высоты OH и OS также равны как элементы равных треугольников. Что и требовалось доказать.
Критерии проверки:
4. Задание 25 № 3163604. В окружности через середину O хорды AC проведена хорда BD так, что дуги AB и CD равны. Докажите, что O — середина хорды BD.
Решение.

Вписанные углы ADB, CBD , ACB и DAC опираются на равные дуги, значит, они равны.
Получаем, что треугольники СOВ и AOD подобны по двум углам; их коэффициент подобия равен AO:OC. ПосколькуAO = OC , эти треугольники равны, следовательно, BO = OD.
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 19.02.2014 вариант МА90501.
5. Задание 25 № 3403245. Окружности с центрами в точках O1 и O2 не имеют общих точек. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.
Решение.
Проведём построения и введём обозначения как показано на рисунке. Пусть Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны, откуда
Критерии проверки:
6. Задание 25 № 3496266. Окружности с центрами в точках и не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a:b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a:b.
Решение.

Проведём построения и введём обозначения как показано на рисунке. Пусть Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны, откуда
7. Задание 25 № 3528467. Окружности с центрами в точках и пересекаются в точках и , причём точки и лежат по одну сторону от прямой . Докажите, что прямые и перпендикулярны
26 геом задача повышенной сложности
треугольники
четырехугольники
окружности
комбинации
Треугольники
1. Задание 26 № 781. Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.
Решение.
Проведём отрезок MT, параллельный AP. Тогда MT — средняя линия треугольника APC и CT = TP, а KP — средняя линия треугольника BMT и TP = BP. Обозначим площадь треугольника BKP через . Тогда площадь треугольника KPС, имеющего ту же высоту и вдвое больше основание, равна . Значит площадь треугольника CKB равна и равна площади треугольника СMK (треугольники имеют одну высоту, проведённую из вершины С, и равные равные основания), которая в свою очередь равна площади треугольника AMK. Площадь треугольника АВК равна площади треугольника АМК. Итак,         Значит,
 
Ответ: 0,6.
Критерии проверки:
Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1301.
2. Задание 26 № 3112422. Площадь треугольника ABC равна 80. Биссектриса AD пересекает медиану BK в точке E, при этом BD:CD=1:3. Найдите площадь четырехугольника EDCK.
Решение.

 
 
Пусть AK=KC=3x, тогда AB=2x, так как по свойству биссектрисы. Значит,
Пусть S - площадь треугольника ABC, тогда
 


 
Таким образом,
 
Ответ: 36.
Критерии проверки:
3. Задание 26 № 3403253. В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK : KM = 4 : 1. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.
Решение.

Пусть площадь треугольника равна Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, значит, У треугольников и высота, проведенная к стороне общая, поэтому площади этих треугольников относятся как их основания и откуда:
 

 
Проведём прямую параллельную Точка — середина следовательно, — средняя линия треугольника значит, По теореме Фалеса для угла находим: а так как получаем, что
Стороны треугольников и сонаправлены, их площади относятся как произведение отношений сонаправленных сторон, поэтому

 
то есть откуда
Тем самым, для искомого отношения площадей имеем:
 

Ответ:
Критерии проверки:
4. Задание 26 № 3148294.
На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?
Решение.

Введём обозначения как показано на рисунке. Здесь AC — положение «журавля» до опускания, BD — положение после опускания, AH — высота, на которую поднялся конец короткого плеча, CK — высота, на которую опустился конец длинного.
В равнобедренных треугольниках AOB и COD углы AOB и COD, противолежащие основаниям, равны как вертикальные, поэтому равны и углы при их основаниях. Тем самым, эти треугольники подобны по двум углам, и
 

 
Накрест лежащие углы 1 и 2, образованные при пересечении секущей BD прямых AB и CD, равны, поэтому прямые AB и CD параллельны. Тогда стороны углов 3 и 4 попарно параллельны, а значит, эти углы равны.
Следовательно, прямоугольные треугольники AHB и CDK подобны, поскольку имеют равные острые углы. Имеем:
 

 
Ответ: 1,5.
Критерии проверки:
Источник: Банк заданий ФИПИ
5. Задание 26 № 3148415. Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади четырёхугольника KPCM к площади треугольника AMK.
Решение.
Проведём отрезок параллельный вспомним, что точка — середина следовательно, — средняя линия треугольника значит Аналогично — средняя линия треугольника то есть
Пусть площадь треугольника равна Рассмотрим треугольник он имеет общую высоту с треугольником и вдвое большее основание, следовательно его площадь равна Площадь треугольника равна и такую же площадь имеет треугольник поскольку они имеют одну высоту, проведённую из вершины и равные основания. Аналогично площадь треугольника равна площади треугольника а площадь треугольника равна площади треугольника
Подведём итог:

 
Отношение площади четырёхугольника к площади четырёхугольника
 

 
Ответ:
Критерии проверки:
Источник: Банк заданий ФИПИ
6. Задание 26 № 3150706. Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади четырехугольника KPCM к площади треугольника ABC.
Решение.

Пусть площадь треугольника равна Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, поэтому Биссектриса делит площадь треугольника пропорционально прилежащим сторонам, то есть:
 

 
Откуда Рассмотрим треугольник — биссектриса, следовательно:
 

 
Откуда Выразим площадь треугольника
 

 
Найдём отношение площади четрёхугольника к площади треугольника
 

 
Ответ:
Критерии проверки:
Источник: Банк заданий ФИПИ
7. Задание 26 № 3148667. Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.
Решение.

Пусть площадь треугольника равна Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, поэтому Биссектриса делит площадь треугольника пропорционально прилежащим сторонам, то есть:
 

 
Откуда Рассмотрим треугольник — биссектриса, следовательно:
 

 
Откуда Выразим площадь треугольника
 

 
Найдём отношение площади треугольника к площади четырёхугольника
 

 
Ответ:
Критерии проверки:
Источник: Банк заданий ФИПИ
8. Задание 26 № 3163618. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 12, а площадь равна 18.
Решение.

Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника проведём медиану и высоту Тогда
 

 

 
В прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы поэтому
 
Следовательно,
 
Ответ: 15°, 75° .
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 19.02.2014 вариант МА90501.
9. Задание 26 № 3333239. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 96. Найдите стороны треугольника ABC .
Решение.
Пусть — точка пересечения отрезков и (см. рис.). Треугольник  — равнобедренный, так как его биссектриса является высотой. Поэтому
 
; .
 
По свойству биссектрисы треугольника
 

 
Проведём через вершину прямую, параллельную . Пусть — точка пересечения этой прямой с продолжением медианы . Тогда
Из подобия треугольников и следует, что Поэтому и Следовательно
 
;
;
Ответ: ; ;
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 06.05.2014 вариант МА90701.
10. Задание 26 № 33951410. Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC относится к длине стороны AB как 9:7. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.
Решение.

Пусть площадь треугольника равна Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, поэтому Биссектриса делит площадь треугольника пропорционально прилежащим сторонам, то есть:
 

 
Откуда Рассмотрим треугольник — биссектриса, следовательно:
 

 
Откуда Выразим площадь треугольника
 

 
Найдём отношение площади треугольника к площади четырёхугольника
 

 
Ответ:
Критерии проверки:
11. Задание 26 № 31125211. Стороны треугольника равны соответственно. Точка расположена вне треугольника причем отрезок пересекает отрезок в точке, отличной от Известно, что треугольник с вершинами и подобен исходному. Найдите косинус угла если
Решение.

Рассмотрим подобные треугольники и и установим соответствие между их углами. —наибольшая сторона треугольника а значит, — наибольший угол треугольника Так как в треугольнике есть тупой угол то в треугольнике это угол Следовательно, угол треугольника не равен углу треугольника Он также не равен углу т. к. больше его (луч проходит между лучами и ). Следовательно, . По теореме косинусов в треугольнике имеем:

Ответ:
Критерии проверки:
12. Задание 26 № 34006512. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 40:1, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 30.
Решение.
Проведем построения и введём обозначения как показано на рисунке. Рассмотрим треугольник — биссектриса, по свойству биссектрисы:
 

 
Рассмотрим треугольник — биссектриса, по свойству биссектрисы:
 

 
Складывая два получившихся равенства, получаем:
 

 
Таким образом, периметр треугольника равен 1230.
 
Ответ: 1230.
Критерии проверки:
13. Задание 26 № 35129613. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 28, а площадь равна 98.
Решение.

Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника проведём медиану и высоту Тогда
 

 

 
В прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы поэтому
Следовательно,
 
Ответ: 15°, 75° .
14. Задание 26 № 35241814. В треугольнике на его медиане отмечена точка так, что . Найдите отношение площади треугольника к площади треугольника
Решение.
По свойству медианы, медиана делит треугольник на два равновеликих, т.е. . Из условия известно, что . Следовательно,
 



 
Ответ: 0,15
15. Задание 26 № 35337715. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 7:2, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 16.
Решение.
Проведем построения и введём обозначения как показано на рисунке. Рассмотрим треугольник — биссектриса, по свойству биссектрисы:
 

 
Рассмотрим треугольник — биссектриса, по свойству биссектрисы:
 

 
Складывая два получившихся равенства, получаем:
 

 
Таким образом, периметр треугольника равен 72.
 
Ответ: 72.
Ответ: 72
353377
72
16. Задание 26 № 35338016. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 84. Найдите стороны треугольника ABC.
Четырёхугольники
1. Задание 26 № 3393881. Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8. Найдите высоту ромба.
Решение.
Введём обозначения как показано на рисунке. Угол и равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, углы и равны, следовательно, эти треугольники подобны, откуда Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам: Получаем:

 
Из прямоугольного треугольника используя теорему Пифагора найдём
 

 
Ответ: 20.
 
-----------
Приведем другое решение:
 



Критерии проверки:
2. Задание 26 № 3393732. Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 28.
Решение.
Введём обозначения как показано на рисунке. Поскольку и получаем, что — параллелолограмм, следовательно, углы и равны. Рассмотрим треугольники и угол — общий, углы и равны как соответственные при параллельных прямых, углы и — аналогично, следовательно, треугольники и подобны по двум углам. Откуда Аналогично подобны треугольники и откуда Пусть сторона ромба равна а длина короткой диагонали равна Сложим два полученных уравнения:
 

 

 
Площадь ромба можно найти как произведение сторон на синус угла между ними: Площадь параллелограмма можно найти как половину произведения диагоналей на синус угла между ними: Найдём отношение площадей ромба и параллелограмма:
 

 
Ответ:
Критерии проверки:
3. Задание 26 № 3393983. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 20 и 25, а основание BC равно 5. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Решение.
Введём обозначения как показано на рисунке. Продолжим биссектрису до пересечения с прямой в точке Углы и равны как накрест лежащие при параллельных прямых. Значит, следовательно, треугольник — равнобедренный: Найдём Углы и равны как вертикальные. Рассмотрим треугольники и стороны и равны, углы и равны как вертикальные, углы и равны как накрест лежащие при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники равны, откуда Проведём прямую параллельную Прямая параллельна прямая параллельна следовательно, четырёхугольник — параллелограмм, откуда Найдём Рассмотрим треугольник заметим, что

 
Следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, получаем, что треугольник — прямоугольный, следовательно, — высота трапеции. Найдём площадь трапеции:
 

 
Ответ: 250.
Критерии проверки:
4. Задание 26 № 3403594. Основания трапеции относятся как 1:3. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?
Решение.
Введём обозначения как показано на рисунке. Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, равен среднему гармоническому её оснований. Пусть тогда и Поскольку треугольники и подобны, их высоты и , проведенные соответственно к сторонам и относятся как 3:1. Тем самым, для отношения искомого отношения площадей трапеций и имеем:
 

 
Ответ: 5:27.
Критерии проверки:
5. Задание 26 № 3412925. Основания трапеции относятся как 2:3. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?
Решение.

Пусть диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC = 2a, AD = 3a пересекаются в точке O, а прямая, параллельная основаниям и проходящая через точку O, пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и N соответственно (см. рис.).
Треугольник BOC подобен треугольнику DOA с коэффициентом поэтому треугольник AMO подобен треугольнику ABC с коэффициентом Значит, Аналогично, Следовательно, Пусть h1 и h2 — высоты подобных треугольников BOC и DOA, проведённые из общей вершины O. Тогда Следовательно,
 

 
Ответ: 44:81.
Критерии проверки:
6. Задание 26 № 3119266. В равнобедренной трапеции ABCD боковые стороны равны меньшему основанию BC. К диагоналям трапеции провели перпендикуляры BH и CE. Найдите площадь четырёхугольника BCEH, если площадь трапеции ABCD равна 36 .
Решение.

По свойству равнобедренной трапеции следовательно, треугольники и равны. Так как  =  треугольники и равнобедренные, следовательно, и — соответствующие медианы этих треугольников. Значит, Отрезок соединяет середины диагоналей трапеции, следовательно, и прямые и параллельны, поэтому, — трапеция. Проведём — высоту трапеции и — высоту трапеции . Прямоугольные треугольники и подобны, значит,
Площадь трапеции :
 
Площадь трапеции

 
Ответ: 9.
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 19.11.2013 вариант МА90201.
7. Задание 26 № 3150097. В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60° , сторона AB равна 4. Найдите площадь трапеции.
Решение.

Пусть длина стороны равна тогда длина стороны — а стороны — Проведём высоты и в трапеции. Рассмотрим прямоугольный треугольник и найдём из него отрезок
 

 
Рассмотрим четырёхугольник равно и прямая параллельна поскольку обе эти прямые перпендикулярны прямой следовательно — параллелограмм, значит, и Найдём отрезок
 

 
Рассмотрим треугольники и — они прямоугольные, , следовательно эти треугольники равны, значит,
Найдём высоту из треугольника
 

 
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
 

 
Ответ:
Критерии проверки:
Источник: Банк заданий ФИПИ
8. Задание 26 № 3117018. В трапеции проведен отрезок, параллельный основаниям и делящий ее на две трапеции одинаковой площади. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции равны см и см.
Решение.
Пусть . Проведем отрезок , делящий трапецию на две равновеликие трапеции и обозначим его длину . Проведем из высоту и отрезок , параллельный стороне . Точки пересечения этих отрезков с отрезком назовем и соответственно.
Из условия следует, что
.
 
Из подобия треугольников и следует:
откуда .
Следовательно,
.
Разделим обе части равенства на :
,
откуда
.
Подставляя и , получаем:
.
 

Ответ: 25.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа №2 (2 вар.)
9. Задание 26 № 3397309. Углы при одном из оснований трапеции равны 77° и 13°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 10. Найдите основания трапеции.
Решение.
Продлим стороны и до пересечения в точке В треугольнике сумма углов и равна 90°, следовательно, величина Значит, треугольник — прямоугольный. Рассмотрим треугольник он прямоугольный, следовательно, центр описанной окружности — середина гипотенузы, то есть точка Значит,
Рассмотрим треугольники и угол — общий, углы и равны как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники подобны по двум углам, коэффициент подобия равен Аналогично, подобны треугольники и их коэффициент подобия равен Покажем, что отрезки и равны: Рассмотрим треугольник он прямоугольный, аналогично треугольнику точка — центр описанной окружности треугольника откуда Аналогично, в треугольнике —
Получаем: откуда Значит,
Отрезок — средняя линия трапеции, следовательно, откуда
 
Ответ: 1; 21.
Критерии проверки:
10. Задание 26 № 34005410. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Решение.
Проведём построения и введём обозначения как показано на рисунке. В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны:
 

 
Периметр трапеции — сумма длин всех сторон:
 

 

 
Следовательно, Площадь трапеции можно найти как произведение полусуммы оснований на высоту:

 
Высоты и равны. Из прямоугольного треугольника найдём
 

 
Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, равно равно следовательно, треугольники равны, откуда Прямые и перпендикулярны прямой поэтому они параллельны, равно , следовательно, четырёхугольник — параллелограмм, по признаку параллелограмма, откуда Рассмотрим выражение для отрезка
 

 
Получаем систему уравнений на отрезки и
 

 
Рассмотрим треугольники и углы CAD и BCA равны как накрест лежащие при параллельных прямых, углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны. Откуда:
 

 
Высота Значит, искомое расстояние
 
Ответ: 1,8.
Критерии проверки:
11. Задание 26 № 31486711. В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 1. Найдите площадь трапеции.
Решение.
Пусть точка — середина стороны Поскольку то треугольник — равнобдеренный. Угол при вершине этого треугольника равен 60°, следовательно углы при основании равны значит, треугольник — равносторонний. Угол равен Аналогично получаем, что треугольник — равносторонний. Найдём угол Аналогично двум предыдущим треугольникам получаем, что треугольник — равносторонний. Получили, что площадь трапеции равна сумме площадей трёх равных равносторонних треугольников:
 

 
Ответ:
Критерии проверки:
Источник: Банк заданий ФИПИ
12. Задание 26 № 35284012. Основания трапеции относятся как 1:2. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?
Решение.
Введём обозначения как показано на рисунке. Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, равен среднему гармоническому её оснований. Пусть тогда и Поскольку треугольники и подобны, их высоты и , проведенные соответственно к сторонам и относятся как 2:1. Тем самым, для отношения искомого отношения площадей трапеций и имеем:
 

 
Ответ: 7:20.
13. Задание 26 № 35298713.  = В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 160, а площадь равна 1280, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Решение.
Проведём построения и введём обозначения как показано на рисунке. В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны:
 

 
Периметр трапеции — сумма длин всех сторон:
 

 

 
Следовательно, Площадь трапеции можно найти как произведение полусуммы оснований на высоту:

 
Высоты и равны. Из прямоугольного треугольника найдём
 

 
Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, равно равно следовательно, треугольники равны, откуда Прямые и перпендикулярны прямой поэтому они параллельны, равно , следовательно, четырёхугольник — параллелограмм, по признаку параллелограмма, откуда Рассмотрим выражение для отрезка
 

 
Получаем систему уравнений на отрезки и
 

 
Рассмотрим треугольники и углы CAD и BCA равны как накрест лежащие при параллельных прямых, углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны. Откуда:
 

 
Высота Значит, искомое расстояние
 
Ответ: 6,4.
Ответ: 6,4
352987
6,4
14. Задание 26 № 35318514. Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 44, BC = 24, CF:DF = 3:1.
Решение.
Проведём построения и введём обозначения как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники и угол C — общий, углы и равны друг другу как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, треугольники и подобны. Откуда поэтому Аналогично, из треугольников и получаем, что Таким образом,
 
Ответ: 39.
Ответ: 39
353185
39
Источник: Банк заданий ФИПИ
15. Задание 26 № 35323615. Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 56.
Решение.
Введём обозначения как показано на рисунке. Поскольку и получаем, что — параллелолограмм, следовательно, углы и равны. Рассмотрим треугольники и угол — общий, углы и равны как соответственные при параллельных прямых, углы и — аналогично, следовательно, треугольники и подобны по двум углам. Откуда Аналогично подобны треугольники и откуда Пусть сторона ромба равна а длина короткой диагонали равна Сложим два полученных уравнения:
 

 

 
Площадь ромба можно найти как произведение сторон на синус угла между ними: Площадь параллелограмма можно найти как половину произведения диагоналей на синус угла между ними: Найдём отношение площадей ромба и параллелограмма:
 

 
Ответ:
16. Задание 26 № 35343216. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 12 и 20, а основание BC равно 2. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Решение.
Введём обозначения как показано на рисунке. Продолжим биссектрису до пересечения с прямой в точке Углы и равны как накрест лежащие при параллельных прямых. Значит, следовательно, треугольник — равнобедренный: Найдём Углы и равны как вертикальные. Рассмотрим треугольники и стороны и равны, углы и равны как вертикальные, углы и равны как накрест лежащие при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники равны, откуда Проведём прямую параллельную Прямая параллельна прямая параллельна следовательно, четырёхугольник — параллелограмм, откуда Найдём Рассмотрим треугольник заметим, что

 
Следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, получаем, что треугольник — прямоугольный, следовательно, — высота трапеции. Найдём площадь трапеции:
 

 
Ответ: 120.
Ответ: 120
353432
120
17. Задание 26 № 35356517. Углы при одном из оснований трапеции равны 85° и 5°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 1. Найдите основания трапеции.
Окружности
1. Задание 26 № 3162451. Три окружности с центрами и и радиусами 2,5, 0,5 и 4,5 соответственно попарно касаются внешним образом. Найдите угол
Решение.

Из условия касания окружностей находим стороны треугольника
 

 
По теореме косинусов
 

 

 
Откуда
 
Ответ: 120°.
Критерии проверки:
Источник: Диагностическая работа 01.10.2013 Вариант МА90105
2. Задание 26 № 3163352. Две окружности с центрами и и радиусами 4,5 и 2,5 касаются друг с другом внешним образом и внутренним образом касаются окружности с центром радиусом 7,5. Найдите угол
Решение.

Из условия касания окружностей находим стороны треугольника
 

 
По теореме косинусов
 

 

 
Откуда
 
Ответ: 120°.
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 01.10.2013 вариант МА90103.
3. Задание 26 № 3115683. Три окружности, радиусы которых равны 2, 3 и 10, попарно касаются внешним образом. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры этих трёх окружностей.
Решение.
Стороны треугольника, вершинами которого является центры этих трёх окружностей, равны 5, 12 и 13. Поскольку  , этот треугольник прямоугольный. Площадь этого треугольника равна 30. В то же время, она равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр. Значит, искомый радиус равен .
Ответ: 2.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2013. Математика. Диагностическая работа № 2.(5 вар)
4. Задание 26 № 3330274. Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 16 и 48, вписаны в угол с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
Решение.

Пусть Q — центр большей окружности, а O — центр меньшей, QM и ON — радиусы, проведённые в точки касания окружностей с прямой AC, S — центр окружности, описанной около треугольника ABC , r — радиус окружности, описанной около треугольника ABC .
Поскольку BC иAB — общие касательные к окружностям, BO иBQ — биссектрисы углов ABK и смежного с ним. Значит, угол OBQ прямой, следовательно, из треугольника OBQ находим, что
Пусть AN = x. Прямоугольные треугольники ANO и AMQ подобны с коэффициентом 3, значит,AM = 3x , MN = 2x.
Отрезки MC , CK и CN равны как отрезки касательных, проведённых из одной точки, значит, , , откуда .
В прямоугольном треугольникеABK находим неизвестный катет:
 

 
В прямоугольном треугольнике SBK по теореме Пифагора имеем
 
;
 
 
Ответ: 32.
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 17.04.2014 вариант МА90601
5. Задание 26 № 3115625. Окружность радиуса 4 касается внешним образом второй окружности в точке . Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку , пересекается с некоторой другой их общей касательной в точке  . Найдите радиус второй окружности, если  .
Решение.
Обозначим центры первой и второй окружностей за    и  , а точки касания, с общей касательной, не проходящей через точку  , за    и  . Прямоугольные треугольники    и    равны по катету и гипотенузе. Аналогично, равны треугольники    и   . Значит, прямые    и    являются биссектрисами углов    и    соответственно. Прямые    и    параллельны, поэтому сумма углов    и    равна 180°, а сумма углов    и    равна 90°, то есть треугольник   — прямоугольный. Поскольку   — высота, проведённая к гипотенузе, треугольники    и    подобны. Значит,  .
Ответ: 9.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2013. Математика. Диагностическая работа № 2.(1 вар)
6. Задание 26 № 3116706. В окружности с центром в точке проведены две хорды и . Прямые и перпендикулярны и пересекаются в точке , лежащей вне окружности. При этом . Найдите .
Решение.
Обозначим радиус окружности, точкой середину отрезка , а точкой середину отрезка . Поскольку треугольники и равнобедренные, и перпендикулярны и соответственно. Отрезок равен . Четырёхугольник является прямоугольником, поэтому .
Из прямоугольного треугольника находим .
Из прямоугольного треугольника находим .
Из прямоугольного треугольника находим .
Ответ: 29.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2013. Математика. Пробные варианты от ФИПИ (1 вар.)
7. Задание 26 № 3117087. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B, проведена биссектриса угла A. Известно, что она пересекает серединный перпендикуляр, проведённый к стороне BC в точке K. Найдите угол BCK, если известно, что угол ACB равен 40°.
Решение.

Так как биссектриса острого угла прямоугольного треугольника не может быть перпендикулярна , то биссектриса угла и серединный перпендикуляр к имеют ровно одну общую точку.
Пусть  — середина . Рассмотрим окружность, описанную около . Пусть серединный перпендикуляр к пересекает меньшую дугу в точке (см. рисунок), тогда точка является серединой этой дуги, ⌣ = ⌣ . Но тогда как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, а отсюда  — биссектриса . Но это означает, что точка совпадает с точкой , то есть с точкой пересечения серединного перпендикуляра к и биссектрисой . Заметим, что как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги.
Пусть . Четырехугольник  — вписанный, поэтому , то есть , откуда Так как точки и совпадают,
Ответ: 25°.
Критерии проверки:
8. Задание 26 № 3331328. Окружности радиусов 14 и 35 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Решение.

Линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, поэтому расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов, т. е. 49. Опустим перпендикуляр OP из центра меньшей окружности на радиус второй окружности. Тогда
 

 
Из прямоугольного треугольника находим, что
 

 
Опустим перпендикуляр из точки на прямую . Прямоугольный
треугольник подобен прямоугольному треугольнику по двум углам, поэтому . Следовательно.
 

 
 
Ответ: 40.
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 17.04.2014 вариант МА90605
9. Задание 26 № 3331599. Окружности радиусов 60 и 90 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Решение.

Линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, поэтому расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов, т. е. 150. Опустим перпендикуляр OP из центра меньшей окружности на радиус второй окружности. Тогда
 

 
Из прямоугольного треугольника находим, что
 

 
Опустим перпендикуляр из точки на прямую . Прямоугольный треугольник подобен прямоугольному треугольнику по двум углам, поэтому . Следовательно.
 

 
 
Ответ: 144.
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 17.04.2014 вариант МА90606
10. Задание 26 № 35299310. Окружности радиусов 22 и 99 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Решение.

Линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, поэтому расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов, т. е. 121. Опустим перпендикуляр OP из центра меньшей окружности на радиус второй окружности. Тогда
 

 
Из прямоугольного треугольника находим, что
 

 
Опустим перпендикуляр из точки на прямую . Прямоугольный треугольник подобен прямоугольному треугольнику по двум углам, поэтому . Следовательно.
 

 
 
Ответ: 72.
Ответ: 72
352993
72
11. Задание 26 № 35347611. Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 36 и 45, вписаны в угол с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
Решение.

Пусть Q — центр большей окружности, а O — центр меньшей, QM и ON — радиусы, проведённые в точки касания окружностей с прямой AC , S — центр окружности, описанной около треугольника ABC , r — радиус окружности, описанной около треугольника ABC .
Поскольку BC иAB — общие касательные к окружностям, BO иBQ — биссектрисы углов ABK и смежного с ним. Значит, угол OBQ прямой, следовательно, из треугольника OBQ находим, что
Пусть AN = x. Прямоугольные треугольники ANO и AMQ подобны с коэффициентом 1,25, значит,AM = 1,25x , MN = 0,25x.
Отрезки MC , CK и CN равны как отрезки касательных, проведённых из одной точки, значит, , , откуда .
В прямоугольном треугольникеABK находим неизвестный катет:
 

 
В прямоугольном треугольнике SBK по теореме Пифагора имеем
 
;
 
 
Ответ: 182,25.
12. Задание 26 № 35356412. Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 8, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 129° и 96°.
Комбинация многоугольников и окружностей
1. Задание 26 № 521. Основание равнобедренного треугольника равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания в его середине . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник .
Решение.

Пусть — центр данной окружности, а — центр окружности, вписанной в треугольник . Точка касания окружностей делит пополам. и — биссектрисы смежных углов, значит, угол прямой. Из прямоугольного треугольника получаем:
Следовательно,

 
Ответ: 4,5.
 
----------
Дублирует задание 314827.
Критерии проверки:
Источник: Демонстрационная версия ГИА—2013 по математике.
2. Задание 26 № 3398252. В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Решение.
Проведём построения и введём обозначения как показано на рисунке. Пусть — центр окружности, вписанной в треугольник Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, поэтому — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём
 

 
Отрезки и равны как радиусы вписанной в треугольник окружности, то есть Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, углы и равны, — общая, следовательно, треугольники равны, откуда Аналогично из равенства треугольников и получаем а из равенства треугольников и — Площадь треугольника можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:
 

 

 
Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:
 

 
Рассмотрим треугольники и равно , равно углы и равны, следовательно, треугольники и равны. Поэтому площадь треугольника равна половине площади параллелограмма:
 

 
Площадь параллелограмма равна:
 
Ответ:
Критерии проверки:
3. Задание 26 № 3398863. Высоты остроугольного треугольника ABC, проведённые из точек B и C, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках B1 и C1. Оказалось, что отрезок B1C1 проходит через центр описанной окружности. Найдите угол BAC.
Решение.
ВВедём обозначения как показано на рисунке. Отрезок проходит через центр описанной окружности, следовательно, — диаметр. Углы и — вписанные и опираются на одну и ту же дугу, значит, они равны. Из прямоугольного треугольника Из прямоугольного треугольника Рассмотрим прямоугольный треугольник углы и равны, значит
 
Ответ: 45°.
Критерии проверки:
4. Задание 26 № 3408554. В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 14, BC = 12.
Решение.
Пусть T — точка пересечения прямых AB и CD, P — проекция точки E на прямую CD, Q — проекция точки C на прямую AD (см. рис.). Обозначим ∠CDA = a, CD = x.
Поскольку QD = AD − AQ = AD − BC = 2, получаем, что
Из подобия треугольников TBC и TAD находим, что TC = 6x.
Поэтому

 
Следовательно,

 
Ответ:
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.11.2014 вариант МА90201.
5. Задание 26 № 3409075. В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 15 , BC = 14.
Решение.
Пусть T — точка пересечения прямых AB и CD, P — проекция точки E на прямую CD, Q — проекция точки C на прямую AD (см. рис.). Обозначим ∠CDA = α, CD = x.
Поскольку QD = AD − AQ = AD − BC = 1, получаем, что
Из подобия треугольников TBC и TAD находим, что TC = 14x.
Поэтому

 
Следовательно,

 
Ответ:
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.11.2014 вариант МА90203.
6. Задание 26 № 3409366. В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 16 , BC = 8.
Решение.
Пусть T — точка пересечения прямых AB и CD, P — проекция точки E на прямую CD, Q — проекция точки C на прямую AD (см. рис.). Обозначим ∠CDA = α, CD = x.
Поскольку QD = AD − AQ = AD − BC = 8, получаем, что
Из подобия треугольников TBC и TAD находим, что TC = x.
Поэтому

 
Следовательно,

 
Ответ:
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.11.2014 вариант МА90204.
7. Задание 26 № 3413457. В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK : KM = 7 :3 . Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника BKP к площади четырёхугольника KPCM.
Решение.
Медиана KM разбивает треугольник AKC на два равновеликих треугольника — пусть их площади равны по 3S. Поскольку получаем, что
Пусть и Тогда отсюда Далее, а тогда то есть и
Получаем, что
Ответ: 49 : 81.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 07.04.2015 вариант МА90701.
8. Задание 26 № 3413718. В выпуклом четырёхугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S. Найдите NS, если известно, что около четырёхугольника NPQM можно описать окружность, PQ = 14, SQ = 4 .
Решение.
Поскольку ∠QPS = ∠QPM = ∠MNQ = ∠QNP (см. рис.), треугольник PQS подобен треугольнику NQP по двум углам (угол при вершине Q общий). Поэтому
Пусть NS = x. Тогда
Из этого уравнения находим, что x = 45.
Ответ: 45.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 07.04.2015 вариант МА90702.
9. Задание 26 № 3413979. Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 96, тангенс угла BAC равен Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Решение.
Заметим, что ∠CAB = 90° − ∠CBA = ∠PCB, так что треугольник ABC подобен треугольнику CBP.

Пусть радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен r, тогда Поскольку тангенс угла BAC равен получаем, что, Значит, откуда r = 204.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 07.04.2015 вариант МА90703.
10. Задание 26 № 34151210. На стороне AB треугольника ABC взята точка D так, что окружность, проходящая через точки A, C и D, касается прямой BC. Найдите AD, если AC = 40, BC = 34 и CD = 20.
Решение.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что ∠BCD = ∠CAD = ∠CAB, значит, треугольник ABC подобен треугольнику CBD по двум углам, причём коэффициент подобия равен (см. рисунок). Тогда
 

 
Следовательно,
 

 
Ответ: 51.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 07.05.2015 вариант МА90901.
11. Задание 26 № 31157411. Диагонали четырёхугольника  , вершины которого расположены на окружности, пересекаются в точке  . Известно, что   = 72°,   = 102°,   = 110°. Найдите  .
Решение.
Пусть  .
= 180° − 110° = 70°;

= 102° − x;     + 102° − x = 70°;    x = + 32°.
= 72°;   ;    = 72° − x;   2x = 104°, x=52°.

Ответ: 52°.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2013. Математика. Тренировочная работа № 1 (1 вар)
12. Задание 26 № 31170312. Длина катета прямоугольного треугольника равна 8 см. Окружность с диаметром пересекает гипотенузу в точке . Найдите площадь треугольника , если известно, что .
Решение.

Пусть см, см и см. Поэтому гипотенуза см. По теореме Пифагора:
.
 
По теореме о секущей и касательной
.
 
Следовательно, , откуда . Тогда .Следовательно, площадь треугольника равна
.
 
Ответ: .
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2012. Математика. Тренировочная работа №1 (1 вар.)
13. Задание 26 № 34142313. Углы при одном из оснований трапеции равны 85° и 5°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 1. Найдите основания трапеции.
Решение.
Пусть ABCD — данная трапеция, AD — большее основания, K и L — середины сторон AB и CD соответственно. Сумма углов при одном из оснований равна 85° + 5° = 90°, так что это большее основание AD.
Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке O (см. рис.).
Легко видеть, что ∠AOD = 180° − (85° + 5°) = 90°.
Пусть N — середина отрезка AD. Тогда — медиана прямоугольного треугольника AOD. Поскольку медиана ON делит пополам любой отрезок с концами на сторонах AO и DO треугольника AOD, параллельный стороне AD, она пересекает основание BC также в его середине M.
Значит, Таким образом, Средняя линия KL трапеции при этом равна
Получаем, что AD = MN + KL = 11 + 1 = 12; BC = KL − MN = 11 −1 = 10.
Ответ: 12; 10.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 07.04.2015 вариант МА90704.
14. Задание 26 № 34153814. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 28 и 35, а основание BC равно 7. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Решение.
Пусть M — середина AB (см. рис.). Продолжим биссектрису DM угла ADC до пересечения с продолжением основания BC в точке K. Поскольку ∠CKD = ∠ADK = ∠CDK, треугольник KCD равнобедренный, KC = CD = 35. Тогда KB = KC − BC = 35 − 7 = 28.
Из равенства треугольников AMD и BMK следует, что AD = BK = 28. Проведём через вершину C прямую, параллельную стороне AB, до пересечения с основанием AD в точке P. Треугольник CPD прямоугольный, так как CD2 = 352 = 282 + 212 = PC2 + PD2.
Поэтому CP — высота трапеции. Следовательно,
 

 
Ответ: 490.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 07.05.2015 вариант МА90902.
15. Задание 26 № 13015. Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 8, тангенс угла BAC равен . Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.
Решение.

Угол BAC равен углу BCP так как и . Так как тангенс это отношение противолежащего катета к прилежащему, имеем: Тогда а гипотенуза по теореме Пифагора. Площадь треугольника равна произведению половины его периметра на радиус вписанной окружности, но площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, имеем:
 

Таким образом, а Так как то а по теореме Пифагора.
В треугольнике площадь равна произведению половины его периметра на радиус вписанной в него окружности, но площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, имеем:
 

Ответ:
Критерии проверки:
Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1309.
16. Задание 26 № 31170516. На каждой из двух окружностей с радиусами 3 и 4 лежат по три вершины ромба. Найдите его сторону.
Решение.

Пусть вершины и ромба лежат на окружности радиуса 3, а вершины и лежат на окружности радиуса 4. Примем сторону ромба за , а величину угла за .
Тогда по теореме синусов для треугольника
 
.
Аналогично по теореме синусов для треугольника :
.
 
Значит, и . Получаем уравнение
.
 
Откуда . Следовательно, сторона ромба равна 4,8.
Ответ: 4,8.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2012. Математика. Тренировочная работа № 2(1 вар)
17. Задание 26 № 15617. Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Длина стороны AC равна 4. Найдите радиус описанной окружности треугольника ABC.
Решение.

Медиана BM делит AC пополам. Центр окружности лежит на середине медианы BM, тогда ON — средняя линия в треугольнике BMC, где O — центр окружности, а N — точка пересечения этой окружности стороны BC. Средняя линия в треугольнике равна половине основания, поэтому ON = 1. Средняя линия ON является радиусом окружности. Так как медиана BM является диаметром, то BM = 2ON = 2. Проведем MN в треугольнике BMC. Так как угол BNM опирается на диаметр BM, то таким образом, треугольник BNM — прямоугольный. Так как MN — средняя линия, то она параллельна AB, тогда треугольник ABC — прямоугольный. Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы, таким образом, радиус описанной вокруг треугольника ABC окружности равен 2.
Критерии проверки:
Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1313.
18. Задание 26 № 31512618. Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Найдите длину стороны AC, если радиус описанной окружности треугольника ABC равен 7.
Решение.

Введём обозначения как показано на рисунке. Рассмотрим треугольник — он равнобедренный, следовательно, . Аналогично в треугольнике имеем: Теперь рассмотрим треугольник : сумма его углов равна 180°, поэтому
 

 
Поскольку кроме этого имеем:
 

 
Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, имеют общий катет и равно следовательно, эти треугольники равны, а значит, .
Точка отстоит на равное расстояние от всех трёх вершин треугольника, , следовательно, точка — центр окружности, описанной около треугольника . Найдём сторону
 

 
 
 
Ответ: 14.
Критерии проверки:
Источник: Банк заданий ФИПИ
19. Задание 26 № 31494419. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 16. Окружность радиуса 12 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Решение.
Введём обозначения, приведённые на рисунке. Лучи и — соответственно биссектрисы углов и , поскольку эти лучи проходят через центры вписанных окружностей. — середина основания следовательно Углы и равны друг другу, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим треугольники и — они прямоугольные и имеют равные углы и , следовательно эти треугольники подобны:
 

 
Отсюда следует, что радиус вписаной окружности:

 
Ответ:
Критерии проверки:
Источник: Банк заданий ФИПИ
20. Задание 26 № 33967520. Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 25 и CD = 16 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
 
Для решения этой задачи необходимо знание формул тригонометрии.
Решение.
Проведём через точку прямую, параллельную диагонали Дуги и равны, следовательно, равны и стягивающие их хорды:
Вертикальные углы и равны. Углы и равны как накрест лежащие:
Четырёхугольник вписан в окружность, следовательно, суммы противолежащих углов равны 180°, откуда
Рассмотрим треугольник По теореме косинусов:
 

 
Найдём радиус описанной вокруг треугольника окружности по теореме синусов:
 
Ответ:
 
Приведём другое решение.
 

Передвинем хорду так, чтобы она стала параллельна стороне (см. рисунок). Заметим, что при таком движении угол остаётся равен 60°, поскольку он равен полусумме дуг и Параллельные прямые отсекают равные дуги, поэтому дуги и равны. Углы и равны, как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. Таким образом, треугольник — равнобедренный:
 

 
Все углы треугольника равны 60°, следовательно, треугольник — равносторонний, значит Аналогично можно показать, что треугольник — равносторонний, откуда
Рассмотрим треугольник По теореме косинусов:

 
По теореме синусов:
 
Приведём другое решение.
 

Рассмотрим треугольник сумма углов треугольника равна 180°: Углы и являются смежными, следовательно, откуда:
 


 
Пусть — радиус описанной окружности, угол обозначим как Рассмотрим треугольник он вписан в окружность, следовательно, по теореме синусов:
 

 
Аналогично, из треугольника
 

 
Разделим на

 
Откуда:

 
Найдём

 
Таким образом, радиус описанной окружности равен:
 

Критерии проверки:
21. Задание 26 № 33941321. Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM = 17 и MB = 19. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.
Решение.

Угол равен половине дуги на которую он опирается, поскольку это угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведённой через точку касания. Угол — вписанный, поэтому он также равен половине дуги, на которую опирается. Углы и опираются на одну и ту же дугу, следовательно, они равны. Рассмотрим треугольники и угол — общий, углы и равны, следовательно, треугольники подобны, откуда Биссектриса угла делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: Получаем:
 

Найдём
 


 
Ответ:
Критерии проверки:
22. Задание 26 № 31166822. В треугольнике угол равен 120°, а длина стороны на меньше полупериметра треугольника. Найдите радиус окружности, касающейся стороны и продолжений сторон и .
Решение.
Центр окружности является точкой пересечения биссектрис углов и . При этом по свойству касательных . Следовательно, длины ломаных и равны полупериметру . По условию .
Найдем радиус из прямоугольного треугольника . В треугольнике
 

 
катет лежит против угла 30°, значит,
 

 
 
Ответ: 3.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2012. Математика. Тренировочная работа № 4(1 вар)
23. Задание 26 № 33945123. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 38°, 78° и 64°.
Решение.
Введём обозначения как показано на рисунке. Отрезки касательных, проведённые из одной точки равны, поэтому Следовательно, треугольники — равнобедренные, поэтому в каждом треугольнике углы при основании равны. Угол — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается. Угол образован хордой и касательной, следовательно, он равен половине величины дуги, которую заключает. Значит, Сумма углов треугольника равна 180°. Найдём угол
 

 
Аналогично, из треугольников и получаем,
 
Ответ: 24°; 104°; 52°.
Критерии проверки:
24. Задание 26 № 34013324. В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 84, AC = 98, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.
Решение.
Проведём построения как показано на рисунке. Угол — вписанный и опирается на диаметр, значит, угол — прямой. Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, угол — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Откуда:

 
Угол — вписанный и опирается на диаметр, следовательно, он прямой. Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, угол — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Откуда
 

 
Подставляя выше найденное равенство:
 

 

Ответ: 26.
Критерии проверки:
Источник: Банк заданий ФИПИ
25. Задание 26 № 31158125. Окружность проходит через вершины    и    треугольника    и пересекает его стороны    и    в точках    и    соответственно. Отрезки    и    перпендикулярны. Найдите  , если   = 20°.
Решение.
Из    имеет   = 90° − 20° = 70°, тогда   = 180° − 70° = 110°. Далее  , так как они опираются на одну дугу окружности: следовательно,  . В четырёхугольнике    имеем   = 360° − 90° − 2 · 110° = 50°.
Ответ: 50°.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2013. Математика. Тренировочная работа №1 (3 вар.)
26. Задание 26 № 31170226. В прямоугольном треугольнике катет равен 8, катет равен 15. Найдите радиус окружности, которая проходит через концы гипотенузы треугольника и касается прямой .
Решение.
По условию окружность проходит через точку и это единственная общая точка окружности и прямой . Следовательно, радиус окружности перпендикулярен прямой . Поэтому прямые и параллельны. Центр окружности равноудален от точек и , следовательно, он лежит на серединном перпендикуляре к . Обозначим середину буквой .
 — это накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей .
Следовательно, прямоугольные треугольники и подобны.
По теореме Пифагора найдем, что . Коэффициент подобия равен

 
Тогда
Ответ: .
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа №2 (9 вар.)
27. Задание 26 № 33966527. Точки и лежат на стороне треугольника на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины Найдите радиус окружности, проходящей через точки и и касающейся луча если
Решение.
Введём обозначения как показано на рисунке. По теореме о касательной и секущей:
 

 
Рассмотрим треугольник по теореме косинусов найдём сторону
 


 
Аналогично из треугольника найдём сторону
 

 
В треугольнике стороны и равны, следовательно, треугольник — равнобедренный, откуда Из основного тригонометрического тождества найдём
 

 
Найдём искомый радиус окружности по теореме синусов:
 

Ответ: 5,4.
Критерии проверки:
28. Задание 26 № 34023728. На стороне AB треугольника ABC взята точка D так, что окружность, проходящая через точки A, C и D, касается прямой BC. Найдите AD, если AC = 12, BC = 18 и CD = 8.
Решение.
Проведём построения и введём обозначения как показано на рисунке. Угол, образованный касательной и хордой равен половине дуги, которую он заключает, поэтому угол равен половине дуги Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, поэтому угол равен половине дуги Следовательно, углы и равны. Рассмотрим треугольники и углы и равны, угол — общий, значит, треугольники подобны. Откуда Значит, и Таким образом
 
Ответ: 15.
Критерии проверки:
29. Задание 26 № 33940229. На стороне BC остроугольного треугольника ABC (AB ≠ AC) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD = 27, MD = 18, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.
Решение.
Проведём построения и введём обозначения как указано на рисунке. Угол — вписанный, опирающийся на диаметр, поэтому он равен 90°. Значит, точка пересечения прямых и — точка пересечения высот Продолжим высоту до пересечения с окружностью в точке Получаем, что По теореме о секущих получаем, что Треугольники и — прямоугольные, угол — общий, следовательно, эти треугольники подобны, откуда:
 

 
Ответ: 15.
Критерии проверки:
Ответ: 9
339402
9
30. Задание 26 № 34037630. В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 49 и 21, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 20.
Решение.
Продолжим стороны и до их пересечения в точке Угол равен 90°, поскольку сумма углов и равна 90°. Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, углы и равны как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники подобны, откуда Найдём
 

 

 
 
Пусть окружность касается прямой в точке причём точка может лежать или на стороне или на её продолжении. Отрезок перпендикулярен прямой как радиус проведённый в точку касания, и — радиусы.
Треугольник — равнобедренный, — высота, следовательно, является медианой и биссектрисой. Четырехугольник — прямоугольник, потому что все его углы прямые. Откуда:
 

Ответ: 25.
Критерии проверки:
31. Задание 26 № 35202331. Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 45, тангенс угла BAC равен . Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.
Решение.

Угол BAC равен углу BCP так как и . Так как тангенс это отношение противолежащего катета к прилежащему, имеем: Тогда а гипотенуза по теореме Пифагора. Площадь треугольника равна произведению половины его периметра на радиус вписанной окружности, но площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, имеем:
 

Таким образом, а Так как то а по теореме Пифагора.
В треугольнике площадь равна произведению половины его периметра на радиус вписанной в него окружности, но площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, имеем:
 

Ответ:
Критерии проверки:
32. Задание 26 № 35249832. В треугольнике биссектриса угла делит высоту, проведённую из вершины , в отношении , считая от точки . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника , если .
Решение.

Обозначим высоту, проведённую из вершины . Биссектриса, проведённая из угла , делит высоту в отношении, равному отношению и . Значит , поэтому . По теореме синусов радиус описанной около треугольника окружности
Ответ: 5.
Ответ: 5
352498
5
33. Задание 26 № 35250333. На стороне BC остроугольного треугольника ABC (AB ≠ AC) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD = 81, MD = 9, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.
Решение.
Проведём построения и введём обозначения как указано на рисунке. Угол — вписанный, опирающийся на диаметр, поэтому он равен 90°. Значит, точка пересечения прямых и — точка пересечения высот Продолжим высоту до пересечения с окружностью в точке Получаем, что По теореме о секущих получаем, что Треугольники и — прямоугольные, угол — общий, следовательно, эти треугольники подобны, откуда:
 

 
Ответ: 80.
Ответ: 80
352503
80
34. Задание 26 № 35268634. В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 14, BC = 7.
Решение.
Проведём построения как показано на рисунке. Расстояние от точки до прямой — отрезок Продолжим стороны и до пересечения в точке проведём отрезок параллельный Рассмотрим четырёхугольник прямая параллельна прямая параллельна прямой угол — прямой, следовательно, — прямоугольник. Откуда Значит, Из прямоугольного треугольника Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, углы и равны как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники подобны:
 

 
По теореме о касательной и секущей:
 

 
Откуда Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, угол — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Значит, углы и равны, а значит, Найдём из прямоугольного треугольника
 

 
Ответ:
35. Задание 26 № 35292735. Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM = 7 и MB = 17. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.
Решение.

Угол равен половине дуги на которую он опирается, поскольку это угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведённой через точку касания. Угол — вписанный, поэтому он также равен половине дуги, на которую опирается. Углы и опираются на одну и ту же дугу, следовательно, они равны. Рассмотрим треугольники и угол — общий, углы и равны, следовательно, треугольники подобны, откуда Биссектриса угла делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: Получаем:
 

Найдём
 


 
Ответ:
Ответ: 11,9
352927
11,9
36. Задание 26 № 35316536. Точки и лежат на стороне треугольника на расстояниях соответственно 12 и 45 от вершины Найдите радиус окружности, проходящей через точки и и касающейся луча если
Решение.
Введём обозначения как показано на рисунке. По теореме о касательной и секущей:
 

 
Рассмотрим треугольник по теореме косинусов найдём сторону
 


 
Аналогично из треугольника найдём сторону
 

 
В треугольнике стороны и равны, следовательно, треугольник — равнобедренный, откуда Из основного тригонометрического тождества найдём
 

 
Найдём искомый радиус окружности по теореме синусов:
 

Ответ: 24.
Ответ: 24
353165
24
37. Задание 26 № 35324637. На стороне AB треугольника ABC взята точка D так, что окружность, проходящая через точки A, C и D, касается прямой BC. Найдите AD, если AC = 48, BC = 28 и CD = 24.
Решение.
Проведём построения и введём обозначения как показано на рисунке. Угол, образованный касательной и хордой равен половине дуги, которую он заключает, поэтому угол равен половине дуги Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, поэтому угол равен половине дуги Следовательно, углы и равны. Рассмотрим треугольники и углы и равны, угол — общий, значит, треугольники подобны. Откуда Значит, и Таким образом
 
Ответ: 42.
Ответ: 42
353246
42
38. Задание 26 № 35343938. В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 34 и 14, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 12.
Решение.
Продолжим стороны и до их пересечения в точке Угол равен 90°, поскольку сумма углов и равна 90°. Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, углы и равны как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники подобны, откуда Найдём
 

 

 
 
Пусть окружность касается прямой в точке причём точка может лежать или на стороне или на её продолжении. Отрезок перпендикулярен прямой как радиус проведённый в точку касания, и — радиусы.
Треугольник — равнобедренный, — высота, следовательно, является медианой и биссектрисой. Четырехугольник — прямоугольник, потому что все его углы прямые. Откуда:
 

Ответ: 14,4.
Ответ: 14,4
353439
14,4
39. Задание 26 № 35344739. Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 2 и CD = 5 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
 
Решение.
Проведём через точку прямую, параллельную диагонали Дуги и равны, следовательно, равны и стягивающие их хорды:
Вертикальные углы и равны. Углы и равны как накрест лежащие:
Четырёхугольник вписан в окружность, следовательно, суммы противолежащих углов равны 180°, откуда
Рассмотрим треугольник По теореме косинусов:
 

 
Найдём радиус описанной вокруг треугольника окружности по теореме синусов:
 
Ответ:
 
40. Задание 26 № 35351640. В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 8, AC = 64, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.
Решение.
Проведём построения как показано на рисунке. Угол — вписанный и опирается на диаметр, значит, угол — прямой. Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, угол — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Откуда:

 
Угол — вписанный и опирается на диаметр, следовательно, он прямой. Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, угол — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Откуда
 

 
Подставляя выше найденное равенство:
 

 

Ответ: 63.
Ответ: 63
353516
63
41. Задание 26 № 35358541. В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 8 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Использованы материалы сайта https://math-oge.sdamgia.ru/

Приложенные файлы

  • docx 4016821
    Размер файла: 7 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий