Лекции по инженерной графике


Министерство транспорта Российской федерации
Федеральное агенТство железнодорожного транспорта
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Самарский государственный университет путей сообщения
Кафедра «инженерная графика»
Инженерная и компьютерная графика
Курс лекций для студентов специальности 190901 "Системы обеспечения движения поездов" по специализации: "Электроснабжение железных дорог","Телекоммуникационные системы и сети железнодорожного транспорта", "Автоматика и телемеханика на железнодорожном транспорте"
очной и заочной форм обучения

Самара 2015
УДК 514.18
Н
Рецензенты:
К.т.н, доцент кафедры «Инженерная графика» Самарского государственного аэрокосмического университета им. акад.С.П.Королева В.И.Иващенко
К.т.н., доцент кафедры «Инженерная графика» В.Л. Береснев
Авторы:
Г.В. Изранова, Брылева М.А.
Инженерная компьютерная графика: курс лекций для студентов специальности 190901 "Системы обеспечения движения поездов" по специализации: "Электроснабжение железных дорог", "Телекоммуникационные системы и сети железнодорожного транспорта", "Автоматика и телемеханика на железнодорожном транспорте" очной и заочной форм обучении Г.В. Изранова, Брылева М.А.: – Самара: СамГУПС, 2015. – 130 с.
Настоящее издание предназначено для студентов, изучающих дисциплину «Инженерная компьютерная графика». Курс лекций имеет своей целью помочь студенту в освоении теоретических основ инженерной графики.
Изложение разделов курса построено по принципу «от простого к сложному».
Все разделы иллюстрированы чертежами и наглядными рисунками, что призвано облегчить восприятие студентами приведенного материала.
С помощью настоящего курса лекций студент сможет получить необходимый минимум знаний по указанному курсу, достаточный для выполнения и чтения технических чертежей.
Под редакцией доктора технических наук, профессора кафедры «Инженерная графика» Самарского государственного университета путей сообщения Мулюкина О.П.
Подписано в печать Формат 60х90 1/16
Усл.печ.л. 8,1.
Заказ N
© Самарский государственный университет путей сообщения, 2015
ВВЕДЕНИЕ
«Инженерная компьютерная графика» является одной из дисциплин, составляющих основу инженерного образования. Необходимость ее изучения обусловлена тем, что ни один инженерный проект не может быть выполнен без соответствующего графического оформления.
Учебный курс «Инженерная компьютерная графика» является
одной из основных дисциплин математического и естественнонаучного цикла (вариативная часть), обеспечивающая изучение проблем графического и геометрического моделирования конкретных инженерных изделий. Инженерная графика обеспечивает студента минимумом фундаментальных инженерно-геометрических знаний, навыками в области геометрического моделирования, на базе которых будущий бакалавр в области техники и технологий сможет успешно изучать прикладную механику; теоретическую механику; внутриреакторный контроль в процессе эксплуатации и другие конструкторско-технологические и специальные дисциплины, а также выполнять графическую часть курсовых и дипломных проектов.
Для ее освоения требуются знания школьных курсов «Черчение», «Информатика», «Геометрия», «Практикум на ЭВМ».
У будущего инженера важно выработать и развить пространственное (объемное) «видение» плоского изображения. Это позволяет не только правильно читать и понимать плоские чертежи, но и, используя целый ряд правил и положений, грамотно их выполнять. Все эти вопросы рассматриваются студентами вузов при изучении общепрофессиональной дисциплины «Инженерная и компьютерная графика».
В отличие от других изданий лекционный курс минимизирован до объема, предусмотренного рабочей программой инженерная компьютерная графика для студентов специальности 190901, достаточного для самостоятельной работы студента, выполнения им графических заданий.
Рекомендуется для студентов родственных специальностей, изучающих курс начертательной геометрии и обучаемых в ВУЗах министерства транспорта Российской Федерации.
1.ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
При изучении курса приняты следующие обозначения:
1.1 Плоскости проекций: горизонтальная — П1;
фронтальная — П2;
профильная — П3;
дополнительная — П4, П5
… аксонометрическая — П1.
1.2 Точки: А, В, С, Д... или 1, 2, 3, 4 ...
1.3 Проекции точек на плоскость: П1— А1,В1,С1,Д1 ... или 11, 21, 3,1 ,41;
П2 — А2,В2,С2,Д2 ... или 12 ,22, 3,2 ,42; П3 — А3,В3,С3,Д3 ... или 13 , 23, 33, 43; П1 — А1,В1,С1,Д1 ... или 11, 21, 31, 41
1.4 Точки на развертках: А0, В0, Со, Д0- - - или 10, 20, З0, 40 ...
1.5 Последовательный ряд точек: ...
1.6 Линии: a, b, c, d...
1.7 Проекции линий на плоскость:
П1— a1, b1, c1, d1 ...
П2 — a2, b2, c2, d2 ...
П3 — a3, b3, c3, d3 ...
1.8 Линии уровня:
горизонтальная (горизонталь) — h;
фронтальная (фронталь)— f;
профильная— р.
Координатные оси проекций:
абсцисс — x;
ординат — y;
аппликат — z.
1.10 Новые оси абсцисс, полученные при замене плоскостей проекций: х1, x2 .
1.11 Аксонометрические оси координат: x1,y1,z1.
1.12 Последовательный ряд линий: ...
1.13 Прямая, проходящая через точки А и В: АВ.
1.14 Плоскости (поверхности): …
1.15 Знак принадлежности
1.16 Знак совпадения ≡
2. ОБРАЗОВАНИЕ ПРОЕКЦИЙ.
МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ
Плоский чертеж какого-либо технического объекта может состоять из нескольких изображений, по которым и создается представление об объемных формах объекта. Такие плоские изображения называются проекциями рассматриваемого объекта.
Под проекцией любой точки понимают ее как бы «теневое» отображение на какой-либо плоскости. Так, если поместить материальную точку 1 между источниками света (световых лучей) 2 и какой-либо плоскостью 3 (рис. 2.1), на этой плоскости увидим тень 4 этой точки, которую и принято называть проекцией точки.
2
1
4
3
2
1
4
3

Рис. 2.1
Взаимное положение источника света и плоскости может быть произвольным. В зависимости от величины угла между лучом 2-1-4 и плоскостью 3 возможны два принципиально отличных варианта проекций точки:
значение угла не равно 90°, тогда проекция точки называется косоугольной;
значение угла равно 90° (прямой угол), тогда проекция называется прямоугольной, или ортогональной (от греч. orthogonios - прямоугольный).
Курс начертательной геометрии рассматривает два основных метода проецирования: центральный и параллельный.
2.1. Метод центрального проецирования
Суть метода заключается в следующем: пусть даны в пространстве треугольник ABC, плоскость П1 и произвольная точка S (рис. 2.2). Проведя из точки S прямые линии (лучи) через вершины треугольника ABC до пересечения их с плоскостью П1, получают точки А1, В1, С1. Эти точки называют центральными проекциями точек А, В, С. Соединив прямыми линиями точки А1, В1, С1, получают центральную проекцию треугольника ABC.
Точка S называется центром проецирования, плоскость П1 - плоскостью проекций, лучи SA1, SB1, SC1 - проецирующими лучами.
358965536195А
00А

109664564135S
П1С
A1
В
В1С100S
П1С
A1
В
В1С1
Рис. 2.2
2.2. Метод параллельного проецирования
Если точку S удалить от плоскости П1 в бесконечность, проецирующие лучи будут практически параллельны между собой. Тогда они пересекутся с плоскостью проекций П1 в точках А1, В1, С1, которые называются параллельными проекциями точек А, В, С. Соединив, как и в предшествующем случае, точки А1, В1, С1 между собой, получают треугольник А1В1С1, который будет уже параллельной проекцией треугольника ABC. На рис. 2.3 стрелкой s обозначено направление проецирования. Если направление s перпендикулярно к плоскости П1, то проекция треугольника называется параллельной прямоугольной или ортогональной.
Если направление луча s не перпендикулярно к плоскости П1, то проекция треугольника называется косоугольной.
866140130175П1В
С1А1В1Рис. 2.3
с.2.3
СХ
А
s
s00П1В
С1А1В1Рис. 2.3
с.2.3
СХ
А
s
s
2015490-391604500
2.3. Система плоскостей проекций в практике
решения инженерных задач
Наибольшее практическое применение нашёл метод параллельного ортогонального проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, одна из которых расположена горизонтально, а другая - вертикально. Они соответственно получили обозначения: горизонтальная плоскость проекций – П1, и фронтальная — П2. Эти плоскости пересекаются между собой под прямым углом, образуя линию пересечения — ось х, и делят пространство на четыре четверти (квадранты), которые принято обозначать римскими цифрами I, II, III и IV (рис. 2.4).
В случае недостаточной информативности об объекте по двум проекциям на указанные плоскости П1 и П2 используют третью плоскость П3, перпендикулярную плоскостям П1 и П2. Она называется профильной плоскостью проекций. Плоскость П3 пересекается с плоскостью П1 образуя ось у, и с плоскостью П2, образуя ось z. Указанные плоскости делят всё пространство вокруг уже на восемь частей, которые называются октантами и обозначаются римскими цифрами от I до VIII.
-8191522225П2П1II
III
I
IV
VI
V
VIII
П3
П1П2II
III
I
IV
Рис. 2.4
00П2П1II
III
I
IV
VI
V
VIII
П3
П1П2II
III
I
IV
Рис. 2.4

3. ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ
3.1. Проецирование точки на две и три плоскости проекций
Если из точки А, находящуюся в пространстве, относительно двух плоскостей проекций П1 и П2, опустить из нее перпендикуляры на эти плоскости, получают проекции точки А - А1 и А2, которые являются ортогональными проекциями относительно плоскостей проекций П1, и П2. Они характеризуются координатами, которые численно равны расстоянию от точки А до соответствующих плоскостей проекций. Координаты обозначаются теми же буквами, что и оси вдоль которых измеряется расстояние, с присвоением индекса самой буквы. Так, для точки А:
[A A1]=[A2Ax]=zA;
[AA2]=[A1 Ax]=yA.
Плоскость прямоугольника А1АА2Аx, перпендикулярна к: оси x, а линии пересечений плоскостей П1П2 и плоскости А1АА2Аx являются прямыми А1Аx и А2Аx, перпендикулярными к оси х. Изображение точки и её проекций на рис.3.1 является пространственным чертежом, что не всегда удобно для практики.
Чтобы получить плоский чертёж, поворачивают плоскость П1, вокруг оси х и совмещают её с плоскостью П2 (рис. 3.1), получая таким образом. комплексный чертеж (эпюр Монжа)
61595138430А2А1Х
П1П2А2А1А
Ах
х
Ах
00А2А1Х
П1П2А2А1А
Ах
х
Ах

Рис. 3.1 Рис. 3.2
Проекции а1 и А2 оказываются на одной линии, которая называется линией проекционной связи. Она перпендикулярна к оси х (рис. 3.2).
При проецировании точки А на три плоскости проекций от плоскости П3 она отстоит на расстоянии АА3 (рис. 3.3). При этом, аналогично вышесказанному:
[АА3]=[0Ах]=xА;
[A3Az]=[AA2]=[0AY]=yA;
[A3Ay]=[AA1]=0AZ]= za.Для получения плоского чертежа в этом случае уже две плоскости П1 и П3 совмещаются с плоскостью П2 путём поворота их соответственно вокруг осей х и z. При этом ось у как бы раздваивается (как бы разрезается вдоль), и положение плоскостей будет таким, как показано на рис. 3.3. Профильная проекция А3 точки А находится на пересечении линий связи A2AZA3 и A1AуA3 (расстояние 0Ау=0Ау). Перенос точки Ау в точку (Aу) - понятен из чертежа, а сам отрезок есть не что иное, как координата ya.
63500105410у
А3
А
А1А
П1П2П3
х
Z
у
А2А1А2у
х
А3
Z
0
Ах
АzАу
АzАу
Ах
Ау
00у
А3
А
А1А
П1П2П3
х
Z
у
А2А1А2у
х
А3
Z
0
Ах
АzАу
АzАу
Ах
Ау

177355590805Рис. 3.3
00Рис. 3.3

На плоском трёхмерном чертеже положительное направление оси х совпадает с отрицательным направлением оси у, а отрицательное направление оси y - с положительным направлением оси z.
762000914400
у
у
х
А3
А2А1АXАу
Ау
АZ000
у
у
х
А3
А2А1АXАу
Ау
АZ232092542545z00z
Pис. 3.4
Это не означает, что модули этих величин обязательно равны между собой, т.е. (в частном случае это равенство может быть). Те же рассуждения будут справедливы и в отношении направлений осей z и y (рис. 3.4).
Таким образом, горизонтальная и фронтальная проекции точки А на плоском чертеже лежат на одной линии проекционной связи, перпендикулярной к оси x, а фронтальная и профильная проекции точки А на линии проекционной связи, перпендикулярной к оси z.
Определение по плоскому чертежу принадлежности точки тому или другому октанту пространства
Точка, например А, принадлежит:
I или V октанту, если её проекция А1(лежит под осью х, а А2 - над осью х;
II или VI октанту, если и А1 и А2 лежат над осью х;
III или VII октанту, если A1 лежит над осью х, а А2 - под осью х;
IV или VIII октанту, если и А1 и А2 лежат под осью х.
3.3. Определение по плоскому чертежу принадлежности
точки плоскостям проекций
Точка А принадлежит:
-горизонтальной плоскости проекций П1 если А1≡ А, а А2оси х и A3 y;
-фронтальной плоскости проекций П2, если А2≡ А, а А1 оси х и A3 z;
-профильной плоскости проекций П3, если , а А1оси y и A2оси z;
Любая точка лежит на оси проекций, если её смежные две проекции совпадают. Так, точка А лежит на оси х, если А1 совпадает с А2; на оси у, если A2 совпадает с А3, и оси z, если А2 совпадает с А3.
3.4. Правила знаков координат проекции точки
При построении проекции точки координата x всегда откладывается от начала координат (точка 0).
Положительное значение координаты у будут иметь точки, находящихся перед фронтальной плоскостью проекций П2, отрицательное - расположенная за ней. Координату у можно откладывать непосредственно от оси х, от точки пересечения осей 0 (вниз - положительное значение, вверх - отрицательное).
Положительное значение координаты z будут иметь точки, расположенные выше горизонтальной плоскости проекций П1, а отрицательное - точки находящиеся ниже П1. Координату z на чертеже также можно откладывать от оси x, от точки пересечения осей 0 (вверх - положительное значение, вниз - отрицательное).
Если рассматривать все восемь октантов пространства, то знаки для всех трёх координат точки (х, у, z) приведены в табл. 3.1
Таблица 3.1
Координаты Октанты
I II III IV V VI VII VIII
x + + + + — — — —
y + — — + + — — +
z + + — — + + — —
4. ПРЯМАЯ в пространстве и ее изображение на комплексном чертеже.
ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ Задание прямой в пространстве
Любая прямая в пространстве может быть задана:
двумя точками, принадлежащими этой прямой;
одной точкой, принадлежащей данной прямой, и ее направлением.
В первом случае задаются координаты двух заданных точек, во втором — координаты точки и направляющим вектором.
Положение прямой в пространстве
Положение прямой в пространстве оценивается расположением ее относительно трех плоскостей проекций. При этом возможны следующие варианты.
4.2.1 Прямая не параллельная и не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций называется прямой общего положения (рис. 4.1).
421005121920П2П1А2В2В
А
В1А1П 1
П2х
В1А1В2А2Рис. 4.1
00П2П1А2В2В
А
В1А1П 1
П2х
В1А1В2А2Рис. 4.1

44450007556500
Все точки прямой имеют различные координаты х, у, z, и ее проекции не параллельны и не перпендикулярны осям проекций х, у, z.
4.2.2 Прямая параллельная одной из плоскостей проекций. Все точки прямой имеют одну постоянную координату x, y или z. При этом одна из проекций прямой параллельна какой-то оси проекции. Такую прямую называют линией уровня (рис. 4.2).
На рис. 4.2, а прямая h (горизонталь) параллельна плоскости П1, (ее фронтальная проекция h2 параллельна оси х), координата z для всех точек прямой постоянна, горизонтальная проекция прямой h1 проецируется в натуральную величину.
На рисунке 4.2, б прямая f (фронталь) параллельна плоскости П2, ее горизонтальная проекция f1 параллельна оси x:, координата у для всех точек постоянна, фронтальная проекция прямой (f2) проецируется в натуральную величину.
На рисунке 4.2, в прямая р параллельна плоскости П3, в этом случае ее горизонтальная проекция р1 параллельна оси у, фронтальная проекция р2 параллельна оси z, координата x для всех точек прямой постоянна, а профильная проекция прямой проекция прямой р3 проецируется в натуральную величину.
4.2.3 Прямая перпендикулярна к одной из плоскостей проекций и параллельна двум другим плоскостям проекций. Если все точки прямой имеют две постоянные координаты то на одну из плоскостей проекций прямая проецируется в точку. Такую прямую называют проецирующей прямой (рис. 4.3).
267335124460xh2
f2
f1
h1
р2р1р3
а)
б)
в)
у

0
00xh2
f2
f1
h1
р2р1р3
а)
б)
в)
у

0

Рис. 4.2
На рис. 4.3, а прямая а перпендикулярна к плоскости П1 и параллельна плоскостям П2 и П3. Координаты x и у всех точек прямой постоянны. На горизонтальную плоскость проекции П1 прямая а проецируется в точку (горизонтально-проецирующая прямая).
43180066675Рис. 4.3
а1а2b2
c2
b1
c1
а)
в)
б)
х

с3
у
00Рис. 4.3
а1а2b2
c2
b1
c1
а)
в)
б)
х

с3
у

311150063500
На рис. 4.3, б прямая b перпендикулярна к плоскости проекции П2 и параллельна плоскостям П1 и П3. Координаты х и z всех точек постоянны. На фронтальную плоскость П2 прямая b проецируется в точку (фронтально-проецирующая прямая).
На рис. 4.3, в прямая с перпендикулярна к плоскости проекции П3 и параллельна плоскостям П1 и П2. Координаты у и z всех точек прямой постоянны. На профильную плоскость П3 прямая с проецируется в точку (профильно-проецирующая прямая).
Принадлежность точки прямой
59690586740А1А2С2В2В1С1Х
Рис. 4.4
00А1А2С2В2В1С1Х
Рис. 4.4
Признаком принадлежности точки некоторой прямой является принадлежность проекций точки одноименным проекциям этой прямой. Так на рис. 4.4 точка А принадлежит отрезку прямой СВ, так как проекции точки А расположены на одноименных проекциях отрезка прямой СВ ().
Следы прямойСледом прямой называется точка пересечения прямой с плоскостью проекции. Горизонтальным следом прямой называют точку пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций (рис. 4.5). Горизонтальный след обозначают обычно буквой М. При этом координата z точки М равна нулю. Следовательно, для нахождения горизонтального следа прямой на ней определяют точку с нулевой координатой z (рис. 4.5).
Фронтальным следом прямой называют точку пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекции (рис. 4.5). Обозначают фронтальный след чаще всего буквой N. Координата у точки N равна нулю. Следовательно, для нахождения фронтального следа N прямой на ней определяют точку, имеющую нулевую координату у.
Профильным следом прямой называют точку пересечения прямой с профильной плоскостью проекции. Обозначают профильный след обычно буквой Р. Координата х точки Р равна нулю.
430530122555П2П1К2К1В2В1В
К
N1
M2
N2 N
M1 M
00П2П1К2К1В2В1В
К
N1
M2
N2 N
M1 M

100076041910M1
х
К2В2К1В1M2
N1
N2
Рис. 4.5
00M1
х
К2В2К1В1M2
N1
N2
Рис. 4.5

Пересекая плоскости проекции, прямая переходит из одной четверти (квадранта) пространства в другую. Линия общего положения и линия уровня может пройти через три четверти пространства; линия уровня и проецирующая линия — через две четверти.
Длина отрезка прямой и углы наклона прямойк плоскостям проекции.
Способ прямоугольного треугольника
Отрезок прямой, параллельной какой-либо плоскости проекции, проецируется на данную плоскость без искажения (в натуральную величину) (рис. 4.6, а и 4.6, б).
Так, отрезок АВ параллелен плоскости П1 (рис. 4.6, а), следовательно, длина отрезка равна его горизонтальной проекции A1B1. Угол β между осью х и горизонтальной проекцией отрезка определяет угол наклона отрезка АВ к плоскости П2.
150495118745K2F1
K3
в)
у
zxА2а)
В2В1А1С2б)
D2
D2
С2α
β
α
β
K1
F2
F3
у
00K2F1
K3
в)
у
zxА2а)
В2В1А1С2б)
D2
D2
С2α
β
α
β
K1
F2
F3
у

Рис. 4.6
Отрезок CD параллелен плоскости П2 (рис. 4.6, б), следовательно, длина отрезка равна длине его фронтальной проекции C2D2. Угол α определяет угол наклона отрезка CD к плоскости П1.
Отрезок KF параллелен плоскости П3 (рис. 4.6, в), следовательно, длина отрезка равна длине его профильной проекции K3F3. Углы наклона отрезка к плоскостям П1 и П2 определяют соответственно углы α и β.
Если отрезок не параллелен плоскостям проекций, то для определения его натуральной величины и угла наклона к плоскостям проекций необходимо выполнить дополнительные построения: построить вспомогательный прямоугольный треугольник, один катет которого равен проекции отрезка на плоскость П1 или П2, а другой - разности координат концов отрезка с другой проекции.
Так на рис. 4.7 один катет вспомогательного треугольника равен горизонтальной проекции отрезка A1B1 а другой – В1B0 - разности координат z концов отрезка (точек А и В) В2В1. Гипотенуза А1В0 определяет действительную длину отрезка АВ. Угол α при вершине A1 определяет угол наклона отрезка АВ к плоскости П1.
38354076200Рис. 4.7
В1В2А2А1Х
Н.В. AB
α
В0Δz AB
Δz AB
00Рис. 4.7
В1В2А2А1Х
Н.В. AB
α
В0Δz AB
Δz AB

Теорема о проецировании прямого угла.
Для того чтобы прямой угол проецировался на плоскость проекций в натуральную величину необходимо и достаточно, чтобы, по крайней мере, одна его сторона была параллельна этой плоскости проекции, а вторая сторона не перпендикулярна к ней.
На рис. 4.8 дано: a b ; плоскость П1, b||П1 .
Доказать, что a1 b1.
Для доказательства через прямую а (проекции а1 и а2) проводим дополнительную плоскость Σ. Прямая b перпендикулярна к плоскости Σ и параллельна плоскости П1. Плоскости П1 принадлежит проекция прямой b1. Отсюда следует, что прямая b1 тоже перпендикулярна к плоскости Σ.
20193068580а2а1b2
b1
X
Рис. 4.8
Рис. 15
П1Σ
00а2а1b2
b1
X
Рис. 4.8
Рис. 15
П1Σ
Прямая а принадлежит плоскости Σ, следовательно, а1 перпендикулярна к b1, т.е. прямой угол проецируется без искажения.
Взаимное положение прямых в пространстве
Две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися.
Если две прямые пересекаются, то точки пересечения одноименных проекций лежат на линии проекционной связи (рис. 4.9, а).
Если две прямые параллельны, то их одноименные проекции параллельны (рис. 4.9, б). Это утверждение справедливо, если прямые занимают общее положение.
Если две прямые не параллельны и не пересекаются, то есть не лежат в одной плоскости, то они являются скрещивающимися (рис. 4.9, в).
Взаимное положение двух прямых, в том случае, если одна из них является профильной прямой, устанавливается при помощи третьей проекции.
28892552070a2
b2
b1
a1
х
c2
c1
d2
d1
f2
к2к1f1
а)
б)
в)
Рис. 4.9
00a2
b2
b1
a1
х
c2
c1
d2
d1
f2
к2к1f1
а)
б)
в)
Рис. 4.9

ПЛОСКОСТЬ
Задание плоскости
Плоскость на комплексном чертеже можно задать:
тремя точками, не лежащими на одной прямой (рис. 5.1, а);
прямой и не принадлежащей ей точкой (рис. 5.1, б);
двумя пересекающимися прямыми (рис. 5.1, в);
двумя параллельными прямыми (рис. 5.1, г);
любой плоской фигурой (рис. 5.1, д);
следами (рис.5.2)
-12700095885В2D2
С2А2А1В1х
В2С2С1а)
К2К1б)
b1
b2
а1
в)
b1
b2
а2
а2
b2
г)
а1
b1
д)
D1
В1С1Рис. 5.1
00В2D2
С2А2А1В1х
В2С2С1а)
К2К1б)
b1
b2
а1
в)
b1
b2
а2
а2
b2
г)
а1
b1
д)
D1
В1С1Рис. 5.1

Часто применяется способ задания плоскости с помощью прямых линий (взаимно пересекающихся или параллельных), по которым данная плоскость пересекается с плоскостями проекций П1 П2, П3. Это задание плоскости следами сохраняет наглядность изображения (рис. 5.2).
5.2. Следы плоскости
Линия пересечения какой-либо плоскости с плоскостью проекций (П1, П2, П3) называется следом плоскости. Следу присваивается наименование той плоскости проекций, которой он принадлежит. Например, горизонтальный след получен при пересечении заданной плоскости с плоскостью П1 и обозначается Р1, фронтальный — с плоскостью П2 (Р2), профильный — с плоскостью П3 (Р3). Два следа одной и той же плоскости пересекаются на оси проекции в точке, называемой точкой схода следов.
-1651015240Рис. 5.2
Р2Р1Р3
xzyР2Р1Р3
xzyу
0
РхрхРzPyPyPz00Рис. 5.2
Р2Р1Р3
xzyР2Р1Р3
xzyу
0
РхрхРzPyPyPz

Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, остальные проекции оказываются лежащими на осях координат. Например, горизонтальный след плоскости Р (рис. 5.2) совпадает со своей горизонтальной проекцией Р1, фронтальная его проекция находится на оси x, а профильная на оси у. По расположению следов плоскости можно судить о положении данной плоскости в пространстве.
Положение плоскости относительно
плоскостей проекций
Любая произвольно взятая в пространстве плоскость может занимать общее или частное положение.
Плоскостью общего положения называется плоскость, которая не перпендикулярна и не параллельна ни к одной из плоскостей проекций (см. рис. 5.2). Все остальные плоскости относятся к плоскостям частного положения и подразделяются на проецирующие плоскости и плоскости уровня.
Проецирующей называется плоскость, перпендикулярная к одной из плоскостей проекций. Например, горизонтально-проецирующая плоскость перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекции П1 (рис. 5.3).
2159069850ΣхB1
B2
A2
A1
C2
C1
xΣ2
Σ1
β
B1
B2
A2
A1
C2
C1
xΣ2
Σ1
Σхβ
Σ
П2П100ΣхB1
B2
A2
A1
C2
C1
xΣ2
Σ1
β
B1
B2
A2
A1
C2
C1
xΣ2
Σ1
Σхβ
Σ
П2П1
Рис. 5.3
290830158369000450851323975ΔхE1
E2
F2
D2
D1
F1
Δ2
Δ1
Δхα
х
E2
F2
D2
E1
F1
Δ2
Δ1
α
х
П2П1D1
00ΔхE1
E2
F2
D2
D1
F1
Δ2
Δ1
Δхα
х
E2
F2
D2
E1
F1
Δ2
Δ1
α
х
П2П1D1
Горизонтальные проекции всех геометрических объектов (точек, прямых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с горизонтальным следом 1. Угол β, который образуется между плоскостями Σ и П2, проецируется на П1 без искажения. Фронтальный след 2 перпендикулярен к оси x. Фронтально-проецирующая плоскость () перпендикулярна к фронтальной плоскости П2 (рис. 5.4).
Рис. 5.4
Фронтальные проекции всех геометрических объектов (точек, прямых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с фронтальным следом плоскости 2. Угол α, который образуется между заданной плоскостью и П1, проецируется на П2 без искажения. Горизонтальный след плоскости 1 перпендикулярен к оси x.
Профильно - проецирующая плоскость Т (T1, T2) перпендикулярна к профильной плоскости проекции П3 (рис. 5.5).
Профильные проекции всех геометрических объектов, лежащих в этой плоскости, совпадают с профильным следом плоскости Т3.
Углы α и β, которые образуются между заданной плоскостью и плоскостями проекций П1 и П2 (угол α = углу наклона плоскости T к плоскости проекции П1; угол β = углу наклона плоскости Т к плоскости проекций П2), плоскость Т проецируются на плоскость П3 без искажений. Горизонтальный и фронтальный следы плоскости параллельны оси х.
-140970316230zА1С1Т3
х
β
α
С2Т1Т2А2В2А3
В3
С3
у
у
В1П2zх
β
α
С
Т1Т2П3
П1А
В
Т
Т3
А3
В3
С3
у
00zА1С1Т3
х
β
α
С2Т1Т2А2В2А3
В3
С3
у
у
В1П2zх
β
α
С
Т1Т2П3
П1А
В
Т
Т3
А3
В3
С3
у
Профильно-проецирующая плоскость может проходить через ось x (рис. 5.6).

584204127500
а)б)
Рис.5.5
Следы такой плоскости 1 ≡ 2 совпадают друг с другом и с осью x, поэтому не определяют положение плоскости в системе двух плоскостей проекций. Необходимо кроме следов задать в плоскости точку (рис. 5.6). В частном случае эта плоскость может быть биссекторной плоскостью, если угол α = β, а точка А равноудалена от плоскостей проекций П1 и П2.
Σ3
П1П3
П2zх
β
α
Σ1≡Σ2
А
А2Σ
А1А3
у
х
Σ1≡Σ2
А1А2zyyΣ3
А3
Σ3
П1П3
П2zх
β
α
Σ1≡Σ2
А
А2Σ
А1А3
у
х
Σ1≡Σ2
А1А2zyyΣ3
А3

Рис. 5.6
Плоскостью уровня называется плоскость, перпендикулярная одновременно к двум плоскостям проекций и параллельная третьей. Таких плоскостей может быть три разновидности (рис. 5.7):
250190495300
Σ3
А2Σ
А
П1П3
П2zх
у
Σ2
А3
А10
х
А1А2Σ2
0
А3
Σ3
у
у
z0
Σ1
Σ3
А1Σ
А
П1П3
П2zх
у
А2А3
х
А1Σ1
А2
А3
Σ3
0
zyyzΣ1
А1Σ2
Σ
А
П1П3
П2х
у
А2А3
0
х
А1Σ1
А2Σ2
yА3
у
z000
Σ3
А2Σ
А
П1П3
П2zх
у
Σ2
А3
А10
х
А1А2Σ2
0
А3
Σ3
у
у
z0
Σ1
Σ3
А1Σ
А
П1П3
П2zх
у
А2А3
х
А1Σ1
А2
А3
Σ3
0
zyyzΣ1
А1Σ2
Σ
А
П1П3
П2х
у
А2А3
0
х
А1Σ1
А2Σ2
yА3
у
z
а) б)
Рис. 5.7

горизонтальная плоскость параллельна плоскости П1 и перпендикулярна к П2, П3 (рис. 5.7, а);
фронтальная плоскость параллельна плоскости П2 и перпендикулярна к П1, П3 (рис. 5.7, б);
профильная плоскость параллельна плоскости П3 и перпендикулярна к П1, П2.
Из определения плоскостей уровня следует, что одна из проекций точки, линии, фигуры, принадлежащих этим плоскостям, будет совпадать с одноименным следом плоскости уровня, а другая проекция будет натуральной величиной этих геометрических образов
Признаки принадлежности точки и прямой плоскости.
Главные линии плоскости
Для определения принадлежности точки и прямой плоскости, следует руководствоваться следующими положениями:
точка принадлежит плоскости, если через нее можно провести линию, лежащую в плоскости;
прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие этой плоскости;
прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку данной плоскости и параллельна прямой, принадлежащей этой плоскости.
Через одну точку на плоскости можно провести бесконечное множество прямых.
Это могут быть произвольные линии и линии, занимающие особое положение по отношению к плоскостям проекций П1 П2, П3.
Прямая, принадлежащая рассматриваемой плоскости, проведенная параллельно горизонтальной плоскости проекций, называется горизонталью плоскости.
Прямая, принадлежащая рассматриваемой плоскости, проведенная параллельно фронтальной плоскости проекций, называется фронталью плоскости.
Горизонталь и фронталь являются линиями уровня плоскости.
Горизонталь плоскости следует начинать строить с фронтальной проекции, т.к. она параллельна оси x, горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости.
Все горизонтали плоскости параллельны между собой, можно считать горизонтальный след плоскости нулевой горизонталью (рис. 5.8).
Фронталь плоскости следует начинать строить с горизонтальной проекции, т.к. она параллельна оси x, фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу. Фронтальный след плоскости -нулевая фронталь. Все фронтали плоскости параллельны между - собой (рис. 5.9).
144145126365Σ2
Σ1
ΣхХ
h2
h1
Σ2
Σ1
ΣхХ
h2
h1

П2П1А1А1А2А200Σ2
Σ1
ΣхХ
h2
h1
Σ2
Σ1
ΣхХ
h2
h1

П2П1А1А1А2А2
4502143839800
а)б)
Рис. 5.8
К линии уровня относится и профильная прямая, лежащая в заданной плоскости и параллельная П3.
К линиям уровня плоскости относятся и профильные прямые, лежащая в заданной плоскости и параллельные П3.
К главным линиям плоскости, кроме линии уровня, относятся линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций.
К линиям уровня плоскости относятся и профильные прямые, лежащая в заданной плоскости и параллельные П3.
К главным линиям плоскости, кроме линии уровня, относятся линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций.
410845-22860Σ2
Σ1
Σхх
f2
f1
Σ2
Σ1
Σхх
f2
f1

П2П1А1А1А2А200Σ2
Σ1
Σхх
f2
f1
Σ2
Σ1
Σхх
f2
f1

П2П1А1А1А2А2
а)б)
Рис. 5.9
5.5. Определение угла наклона плоскости
к плоскостям проекций
Плоскость общего положения наклонена к плоскостям проекций. Для определения величины угла наклона заданной плоскости к какой-либо плоскости проекции используются линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций: к П1 - линия ската, к плоскости проекций П2 - линия наибольшего наклона плоскости к плоскости П2.
197485109855Σ2
Σ1
Σхх
h1

П2П1А1А2В1≡В2
φΣ2
Σ1
Σхх
ΔzАВ
В2А1А2В1ΔzАВ
φ00Σ2
Σ1
Σхх
h1

П2П1А1А2В1≡В2
φΣ2
Σ1
Σхх
ΔzАВ
В2А1А2В1ΔzАВ
φ
Рис. 5.10
Линии наибольшего наклона плоскости - это прямые, образующие с плоскостью проекций наибольший угол, проводятся в плоскости перпендикулярно к соответствующим линиям уровня. Линии наибольшего наклона и ее соответствующая проекция образуют линейный угол, которым измеряется величина двухгранного угла, между данной плоскостью и плоскостью проекций (рис. 5.10)
ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
Две плоскости в пространстве по отношению друг к другу могут занимать два положения:
плоскости пересекаются, при этом линия их пересечения всегда прямая;
плоскости параллельны друг другу.
Условия пересечения плоскостей
Две произвольные плоскости в пространстве всегда пересекаются по прямой линии. Как известно, две точки вполне определяют положение прямой в пространстве. Следовательно, задача по построению линии пересечения плоскостей сводится к определению положения двух принадлежащих обеим плоскостям точек.
Условия параллельности плоскостей
Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости:
если плоскости заданы пересекающимися прямыми, то они будут параллельны в случае, когда одноименные проекции прямых, лежащих в разных плоскостях, будут параллельны;
если плоскости заданы линиями уровня (фронталями и горизонталями), то они будут параллельны в случае, когда одноименные проекции линий уровня параллельны между собой;
если плоскости заданы следами, то они параллельны тогда, когда параллельны их одноименные следы;
если плоскости заданы любым другим способом, то в них необходимо построить пересекающиеся прямые (общего положения, уровня или следы) и сравнить одноименные их проекции. У параллельных плоскостей одноименные проекции пересекающихся прямых взаимно параллельны.
7. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ
И ПЛОСКОСТИ
7.1. Определение взаимного положения
прямой линии и плоскости
Прямая линия и плоскость в пространстве относительно друг друга могут занимать следующие положения:
прямая параллельна плоскости (частный случай — прямая лежит в плоскости);
прямая пересекается с плоскостью (частный случай — прямая перпендикулярна к плоскости).
Иногда на чертеже нельзя непосредственно установить взаимное
положение прямой линии и плоскости (рис. 7.1).
0137160Рис. 7.1
nmΔ
Σ
00Рис. 7.1
nmΔ
Σ
1249045312928000В этом случае прибегают к некоторым вспомогательным построениям, в результате которых от вопроса о взаимном положении прямой линии и плоскости переходят к вопросу о взаимном положении двух прямых. В задачах такого типа используют метод введения вспомогательной плоскости. Заключается он в следующем:
- через данную прямую m проводят вспомогательную плоскость . Подбор вспомогательной плоскости производится с учетом построений в ходе решения задачи, чтобы решение задачи было наиболее простым;
Строят линию пересечения плоскостей - заданной и вспомогательной ;
устанавливают взаимное положение прямой m и линии пересечения плоскостей n.
При этом возможны следующие случаи:
прямая m параллельна прямой n, следовательно, прямая m параллельна плоскости Σ;
прямая m пересекает прямую n, следовательно, прямая m пересекает плоскость Σ.
7.2. Пересечение прямой линии и плоскости
Если одна из пересекающихся фигур занимает частное положение, то точка пересечения находится значительно проще.
7.2.1. Задание: найти точку пересечения отрезка прямой АВ с проецирующей плоскостью Р (рис. 7.2).
Решение: проанализировав чертеж, легко заметить, что плоскость Р занимает проецирующее положение (плоскость Р перпендикулярна к плоскости П2.)
В первую очередь определяем фронтальную проекцию С2 точки пересечения отрезка прямой АВ с плоскостью Р. Горизонтальная проекция С1 искомой точки находится с помощью линии связи на горизонтальной проекции отрезка прямой АВ. На плоскость П2 плоскость Р проецируется в линию, совпадающую с фронтальным следом Р2 , следовательно прямая видима по обе стороны от следа Р2.
922655146685A1
P1
B2
A2
C2
P2
PxxВ1C1
00A1
P1
B2
A2
C2
P2
PxxВ1C1

Рис. 7.2
При определении видимости горизонтальной проекции прямой необходимо установить, какой участок прямой находится над плоскостью Р, т.е. будет видимым на горизонтальной проекции. Таким участком является часть проекции отрезка, расположенная левее проекции С1.
7.2.2. Задание: найти точку пересечения прямой m общего положения с плоскостью общего положения Σ (ABC) (рис. 7.3).
Решение: в данной задаче прямая m и плоскость Σ занимают общее положение относительно плоскостей проекции. Задача решается по следующей схеме:
прямую m заключают в плоскость . В данном случае плоскость является горизонтально проецирующей ();находят линию DE пересечения плоскостей Σ (АВС) и ;
определяют точку К пересечения прямой m с плоскостью Σ в пересечении прямых DE и т.д.
196850-48895E2
11≡D1
Рис. 7.3
Δ
A
D
К
E
С
mB
C2
К1К2Δ1
1
m2
m1
A1
B1
С1
A2
B2
x21
E1
22≡32
D2
12
31
00E2
11≡D1
Рис. 7.3
Δ
A
D
К
E
С
mB
C2
К1К2Δ1
1
m2
m1
A1
B1
С1
A2
B2
x21
E1
22≡32
D2
12
31


Видимость прямой m относительно плоскости (АВС) определяется с помощью метода конкурирующих точек.
Метод конкурирующих точек заключается в следующем:
Для определения видимости прямой m на горизонтальной плоскости выбирается пара точек 1 и D (см.рис.7.3). У этих точек координаты у одинаковы у1=уD, координаты z различны (zD > z2) , точка D выше точки 1 (координата точки D больше координаты точки 1). Следовательно, на горизонтальной проекции точка D видима, а 1 невидима.Tак как точка 1 принадлежит прямой m, то левее проекции точка K1 прямая m находится ниже плоскости треугольника ABC, то есть она не видима (должна быть проведена штриховой линией).
Для определения видимости на фронтальной проекции можно воспользоваться парой точек 2 и 3 и рассмотреть вопрос видимости аналогично точкам 1 и D.
8. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ
К ПЛОСКОСТИ
8.1. Основные положения
Обратимся к рисунку 8.1, на котором изображена плоскость и перпендикулярная к ней прямая n.
Прямая n перпендикулярна к любой прямой плоскости , т.е.. Каждый такой прямой угол проецируется на плоскость проекций в виде некоторого угла, но угол между прямой n и горизонталью плоскости h проецируется на горизонтальную плоскость проекций в виде прямого угла, так как его сторона параллельна плоскости П1 (h||П1).
Если , то .
635000143510nn1
b2
h1
Рис. 8.1
Рис. 15
П1Σ
hab
Σ1
00nn1
b2
h1
Рис. 8.1
Рис. 15
П1Σ
hab
Σ1

Угол между прямой n фронталью f плоскости проецируется на фронтальную плоскость проекций прямым углом (его сторона || П2).
Если , то .
Если прямая перпендикулярна к плоскости, то ее проекции перпендикулярны к одноименным проекциям линий уровня этой плоскости.
На рисунке 8.2 через точку N проведена прямая m, перпендикулярная к плоскости Σ. Для этого в плоскости Σ (а^b) определены горизонталь h и фронталь f, и горизонтальная проекция перпендикуляра проведена перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция — перпендикулярно к фронтальной проекции фронтали: .
Действительно, из чертежа следует, что прямая m перпендикулярна к прямой h, так как угол между горизонтальными проекциями сторон угла прямой и одна сторона его (h) параллельна плоскости П1. Точно так же прямая m перпендикулярна к прямой f. Но если прямая линия перпендикулярна к двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
617855-109220m1
N2
N1
a1
b1
а2b2
f1
m2
h1
f2
h2
xС2С111
12
22
21
31
32
00m1
N2
N1
a1
b1
а2b2
f1
m2
h1
f2
h2
xС2С111
12
22
21
31
32

Рис. 8.2
В том случае, когда плоскость задана следами (рис. 8.3), проекции перпендикуляра располагаются перпендикулярно к одноименным следам плоскости:.
Плоскость, перпендикулярную к данной прямой, определяют с помощью пересекающихся линий уровня. На рисунке 8.4 (а - условие, 6 - решение) через точку А проведена плоскость , перпендикулярная к заданной прямой m.
Горизонталь h плоскости проходит через точку А ). Фронталь этой плоскости может быть также проведена через точку А, но может пересекать горизонталь и в любой другой точке, поскольку все они находятся в искомой плоскости.
На рисунке 8.4 фронталь f2 проходит через точку В .
На рисунке 8.5 показана прямая n перпендикулярная горизонтально проецирующей плоскости. Эта прямая является горизонталью.
На рисунке 8.6 изображена прямая n, перпендикулярная к фронтально проецирующей плоскости. Эта прямая n является фронталью.
-12700077470N2
N1
Σ2
n2
xΣ1
n1
m1
A1
A2
xm2
f1
h1
f2
h2
m1
A1
A2
xm2
B1
B2
a)
б)
00N2
N1
Σ2
n2
xΣ1
n1
m1
A1
A2
xm2
f1
h1
f2
h2
m1
A1
A2
xm2
B1
B2
a)
б)

Рис. 8.3Рис. 8.4
На рисунке 8.7 изображен отрезок прямой (MN), перпендикулярный к профильно проецирующей плоскости . Заметим, что, проведя проекции М1N1Σ1 (Σ1≡h1) M2N2 Σ2 (Σ2≡f2) мы еще не определим величину искомого перпендикуляра.
Это не должно нас удивлять, так как (h≡f), а перпендикулярность прямой и плоскости обеспечивается перпендикулярностью этой прямой к двум пересекающимся прямым плоскости. Для решения задачи нужно построить профильный след. Тогдa M3N3 Σ3 .
1138555786765Σ2
n2
Σ1
n1
xxΣ2
n2
n1
Σ1
00Σ2
n2
Σ1
n1
xxΣ2
n2
n1
Σ1
Если требуется определить, перпендикулярна ли некоторая прямая т к заданной плоскости Σ, то через какую-нибудь точку М этой прямой следует провести перпендикуляр n к плоскости Σ (рис. 8.8). При совпадении линии m и n прямая m перпендикулярна к плоскости Σ .
Рис. 8.5Рис. 8.6
77279537466N2
M1
M2
Σ2
xyz
Σ1
N1
N3
M3
Σ3
0
М
mnΣ
МΣ
y00N2
M1
M2
Σ2
xyz
Σ1
N1
N3
M3
Σ3
0
М
mnΣ
МΣ
y
Рис. 8.7 Рис. 8.8
16287753326130n1
00n1

9. Методы ПРЕОБРАЗОВАНИЯ проекций
9.1. Метод замены плоскостей проекций
Суть метода заключается в замене одной плоскости проекции на другую. При этом сам объект четко зафиксирован в пространстве. При такой замене величина координаты любой точки на вводимой плоскости будет такой же, как координаты той же точки на заменяемой плоскости.
Индексы при обозначении плоскости меняются с заменой самой плоскости проекций (четный индекс - на ближайшую четную6158865485775Х
Q2
QxР2
Р1
M2
M1
N2
N1
Q1
PxL1
L2
Рис. 35
00Х
Q2
QxР2
Р1
M2
M1
N2
N1
Q1
PxL1
L2
Рис. 35
59874152912745L
MΞM2
NΞN1
M1
N2
L2
π1
L1
Q2
PxQ1
QxР2Р1π2
Рис. 36
00L
MΞM2
NΞN1
M1
N2
L2
π1
L1
Q2
PxQ1
QxР2Р1π2
Рис. 36
цифру, нечетный индекс - на ближайшую нечетную).
На комплексном чертеже преобразование выглядит следующим образом: например, если заменить фронтальную плоскость проекций П2 на новую плоскость П4 (рис. 9.1, а), то последняя должна быть перпендикулярна к плоскости П1 а расстояние от проекции точки A4 до оси x1,4 будет равно расстоянию от проекции точки А2 до оси х1,2. Новая ось проекции x1,4 проводится так, как этого требует решение задачи. В рассматриваемом случае она проведена произвольно.
При замене горизонтальной плоскости П1 на новую плоскость П5 (рис. 9.1, б) сохраняется неизменная координата Δу.
При решении конкретной задачи таких замен может быть выполнено последовательно несколько (как правило, не более двух). Главные условия этих действий — сохранение ортогонального проецирования в новой системе плоскостей проекций и величин соответствующих координат.
Линии проекционной связи всегда должны быть перпендикулярны к оси координат, как в первоначальной, так и в новой системе плоскостей проекций.
Задание: Дана прямая общего положения АВ (рис. 9.2). Необходимо преобразовать чертеж таким образом, чтобы прямая стала проецирующей, т.е спроецировалась на одну из плоскостей проекции в точку.
Решение: Преобразование выполняется в два этапа.
На первом этапе новую плоскость, например (П4), вводят взамен фронтальной плоскости П2, параллельно прямой АВ. Новую ось проекций x1,4 проводят параллельно горизонтальной проекции прямой (A1B1). Далее проводят от горизонтальной проекции линии связи, перпендикулярные к новой оси проекций, и на них откладывают координаты z, т.е. расстояние от оси проекций до фронтальных проекций точек. Новая проекция А4В4 будет определять натуральную длину отрезка АВ. Одновременно определяется угол наклона прямой к плоскости проекций, в рассматриваемом примере к горизонтальной плоскости П1 – угол α. Аналогично определяется угол наклона прямой АВ к плоскости П2 и обозначается угол - β.
76136589535А1А2А5
х1,2
х1,5
Рис. 9.1, б
А1А2х1,2
А4х1,4
Рис. 9.1, а
00А1А2А5
х1,2
х1,5
Рис. 9.1, б
А1А2х1,2
А4х1,4
Рис. 9.1, а

495300-177800А4А2В2А1В1В4х1,2
х1,4
А5 ≡ В5
х5,4
Рис. 9.2

00А4А2В2А1В1В4х1,2
х1,4
А5 ≡ В5
х5,4
Рис. 9.2


На втором этапе в системе плоскостей П1/П4 плоскость проекций П1 заменяют на П5. При этом ось х5,4 проводят перпендикулярно к проекции А4В4. В новой системе плоскостей проекций П4/П5 прямая заняла проецирующее положение, т.е. она стала перпендикулярна к плоскости П5, и на нее прямая спроецировалась в точку, а проекции концов отрезка АВ совпали (А5 ≡В5).
Способ применяется для определения расстояния между параллельными и скрещивающимися прямыми, величины двугранного угла, натуральной величины плоской фигуры.
В том случае, если прямые являются прямыми уровня, т.е. прямые параллельны одной из плоскостей проекций, первый этап решения опускается и преобразование начинается со второго этапа.
9.2. Метод вращение вокруг проецирующей оси
Этот метод заключается в том, что любая точка вращается вокруг какой-либо оси, перпендикулярной к одной из плоскостей проекции. При этом точка в пространстве движется по траектории - окружности, которая лежит в плоскости, перпендикулярной к оси вращения. Система плоскостей проекций остается неизменной.
-144780-36195Рис. 9.3
х
А
i1
А"1
i2
А'1
А"'1
А1А2А'2
А"'2
А"2
А2А1А
i2
i1
iП1П2Траектория
перемещения
точки А00Рис. 9.3
х
А
i1
А"1
i2
А'1
А"'1
А1А2А'2
А"'2
А"2
А2А1А
i2
i1
iП1П2Траектория
перемещения
точки А
Например, при вращении точки А вокруг оси i (рис. 9.3), перпендикулярной к П1, она движется по траектории, которая проецируется на плоскость П1 в виде окружности (точки А1 A1', А1", a1'" и т.д.), а на плоскость П2 - в виде горизонтальной линии. Все фронтальные проекции точки А (А2, А2', А2" и т.д.) находятся на фронтальном следе горизонтальной плоскости. Точка i1 горизонтальная проекция оси i, а прямая i2 — ее фронтальная проекция.
9.3. Метод плоскопараллельного перемещения
Применение метода вращения вокруг проецирующей оси при преобразовании нередко приводит к наложению на исходную новых проекций. При этом чтение чертежа представляет определенные сложности. Избавиться от указанного недостатка позволяет метод плоскопараллельного перемещения.
Суть метода заключается в том, что все точки фигуры перемещаются в пространстве параллельно некоторой плоскости проекций. Это означает, что каждая точка объекта перемещается в плоскости уровня.
Например, прямая общего положения АВ, заданная своими проекциями A1 B1 и А2В2 (рис. 9.4), перемещается таким образом, чтобы горизонтальная проекция АВ стала параллельной оси х.
39560593980х
Рис. 9.4
B2I
B1
A1
A1I
B2
A2
A2I
B1I
A1II Ξ B1II
A2II
B2II
Σ2
Р2α
Δ1
00х
Рис. 9.4
B2I
B1
A1
A1I
B2
A2
A2I
B1I
A1II Ξ B1II
A2II
B2II
Σ2
Р2α
Δ1

При этом фронтальная проекция прямой АВ (А2В2) перемещаются параллельно оси х (фронтальные проекции концов отрезка займут новое положение А2и В2). При перемещении длина горизонтальной проекции отрезка АВ остается постоянной, а величина фронтальной проекции А2В2 станет равной натуральной величиной отрезка. При этом угол α - угол наклона прямой АВ к горизонтальной плоскости проекции П1.
При перемещении прямой АВ во фронтальной плоскости уровня можно достичь положения прямой, перпендикулярного плоскости П1.
Этот метод применяется для определения натуральной величины отрезка, его угла наклона к плоскостям проекций, расстояния между параллельными прямыми и натуральной величины плоской фигуры.
9.4. Метод вращения вокруг линии уровня
(частный случай метода вращения)
Суть метода заключается в том, что осью вращения выбирается одна из линий уровня - горизонталь или фронталь. Таким образом, плоскость как бы поворачивается вокруг некоторой оси, принадлежащей этой плоскости, до положения, параллельного одной из плоскостей проекций.
Например, повернем плоский угол, образованный пересекающимися прямыми а и b (рис. 9.5).
Для решения поставленной задачи проводят в плоскости угла линию уровня (в данном случае горизонталь h) и используют ее как ось вращения, вокруг которой будут вращаться прямые а и b и вершина К. Все точки вращаются в плоскостях, перпендикулярных к горизонтали, при этом положение точек 1 и 2 остается неизменным, а точка К вращается вокруг горизонтали. Из горизонтальной проекции К1 точки К проводят линию, перпендикулярную к оси вращения h1. Отрезок K1O1- горизонтальная проекция радиуса вращения точки К. Находят натуральную величину этого радиуса (например способом прямоугольного треугольника).
62865055880х
12
Δz22
O2
h2
21
Kob1I
h1
O1
a1I
К2K1
Рис. 9.5
а2b2
Δz11
b1
a1
K0
00х
12
Δz22
O2
h2
21
Kob1I
h1
O1
a1I
К2K1
Рис. 9.5
а2b2
Δz11
b1
a1
K0

На продолжении проекции прямой O1K1 откладывают натуральную величину радиуса Ок и получают положение т.К после поворота (К0). Соединив точки 11 и 21 с точкой К0, получают натуральную величину угла при вершине К.
Этим методом находится натуральная величина любой плоской фигуры, занимающей общее положение в пространстве.
9.5. Примеры решения задач
Ниже приведены решения одной и той же задачи вышеописанными методами.
9.6.1. Задание: определить натуральную величину треугольника ABC (рис. 9.6), а также угол наклона плоскости треугольника к плоскости П1.
285750130810A2
C2
C1
A1
B1
х1,2
B2
00A2
C2
C1
A1
B1
х1,2
B2
1) Решение методом замены плоскостей проекций (рис. 9.7).
-23488652044065Рис. 9.6
00Рис. 9.6
Плоскость треугольника спроецируется в натуральную величину в том случае, если она будет параллельна одной из плоскостей проекций. Одним преобразованием задачу решить невозможно. Она решается в два этапа: при первой замене плоскостей проекций получают плоскость треугольника ABC, перпендикулярную к новой плоскости проекций, при второй замене - получают плоскость треугольника, параллельную новой плоскости проекций.
Первый этап. Одним из условий перпендикулярности двух плоскостей является наличие прямой, принадлежащей одной из плоскостей, перпендикулярной к другой плоскости. Используя этот признак, проводят через точку А в плоскости треугольника горизонталь (h). Затем на произвольном расстоянии от горизонтальной проекции треугольника A1B1C1 проводят ось x1,4 новой системы плоскостей проекций П1/П4 перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали h1. В новой системе треугольник ABC стал перпендикулярен к новой плоскости проекций П4.
На линиях проекционной связи в новой системе откладывают координаты z точек А, В, С с фронтальной проекции исходной системы плоскостей П1/П2.
228600-20955α
B2
Рис. 9.7
х1,4
х4,5
С5
C4
B4
A4≡h4 ≡14
A2
C2
C1
A1
B1
х1,2
h2
h1
A5
B5
11
12
н.в. ΔАВС
00α
B2
Рис. 9.7
х1,4
х4,5
С5
C4
B4
A4≡h4 ≡14
A2
C2
C1
A1
B1
х1,2
h2
h1
A5
B5
11
12
н.в. ΔАВС


При соединении новых проекций А4,B4, С4 получают прямую линию, в которую спроецировался треугольник ABC. На этом этапе определяется угол наклона плоскости треугольника к горизонтальной плоскости проекции П1 – угол α . На чертеже это угол между осью x1,4 и проекцией С4А4В4.
Второй этап. Выбираем новую плоскость проекции П5, параллельную плоскости треугольника, т.е. новую ось x4,5 проводят параллельно С4А4В4 на произвольном расстоянии. Получают новую систему П4/П5. Полученный треугольник А5В5С5 и есть искомая натуральная величина треугольника ABC.
2) Решение методом вращения вокруг проецирующей оси (рис. 9.8).
Задача решается в два этапа. На первом этапе выполняют вращение так, чтобы плоскость треугольника ABC преобразовалась в проецирующую плоскость, т.е. стала перпендикулярна к одной из плоскостей проекций. Для этого проводят горизонталь h (h1,h2) через точку А. (построение начинают с фронтальной проекции h2, она проходит через проекцию точки A2 и проекцию точки 12 при этом h2 параллельна оси х). Далее находят горизонтальную проекцию h1 горизонтали h (через проекции A1 и 11). Через точку А проводят ось i - ось вращения треугольника так, чтобы она была перпендикулярна к П1. На фронтальной проекции через вершины А2 и В2 проводят следы горизонтальных плоскостей уровня Δ и Σ в которых при вращении будут перемещаться точки А и В. Вершина С принадлежит плоскости П1 поэтому ее плоскостью вращения будет плоскость проекций П1. На горизонтальной проекции, взяв за центр вращения проекцию i1 поворачивают горизонталь А так, чтобы на плоскость П2 она спроецировалась в точку. На чертеже это выразится 590551677035Н.В.ΔАВСС
B1'
C2
х1,2
B2
Σ2
h2
12
C1
i1≡A1'≡A1
B1
11
h1
C1'≡C1"
11'
h1'
A2'≡A2≡h2'≡12'
B2'
A2"≡12"≡h2"
B2"
C2'≡j2≡C2"
Δ2
A1"
B1"
i2
j2
Рис. 9.8
α00Н.В.ΔАВСС
B1'
C2
х1,2
B2
Σ2
h2
12
C1
i1≡A1'≡A1
B1
11
h1
C1'≡C1"
11'
h1'
A2'≡A2≡h2'≡12'
B2'
A2"≡12"≡h2"
B2"
C2'≡j2≡C2"
Δ2
A1"
B1"
i2
j2
Рис. 9.8
αтем, что h'1 займет новое положение - перпендикулярно к оси х.
При этом на фронтальной проекции А2 остается неизменной, находясь на следе плоскости Σ2 и ее обозначим a2'.
На горизонтальной проекции поворачиваем оставшиеся вершины В и С вокруг оси i так, чтобы . На фронтальной проекции вершина В перемещается по следу плоскости 2, а вершина С - по оси х. Соединив новые положения проекций всех вершин треугольника ABC, получают проекцию А'2В'2С'2, сливающуюся в линию. Плоскость треугольника ABC заняла проецирующее положение. На данном этапе, при необходимости, находят угол наклона плоскости треугольника ABC к П1 – угол α .
На втором этапе проводят ось j через вершину С так, чтобы ось была фронтально проецирующая. При этом С'2 ≡ j'2, а горизонтальная проекция j'1 пройдет через проекцию С'1. Вокруг оси поворачивают треугольник так, чтобы он стал параллелен горизонтальной плоскости проекций. В данной задаче вращают точки А'2 и В'1, вокруг j2 до совмещения с осью х, при этом проекции B'1 и A'1 будут перемещаться параллельно оси х и займут новое положение В"1, и А"1 вершина С останется на месте. Соединив точки между собой, получают новое положение плоскости (оно соответствует натуральной величине треугольника ABC).
3) Решение методом плоскопараллельного перемещения (рис. 9.9).
Задача решается в два этапа. На первом этапе преобразуют чертеж так, чтобы плоскость треугольника ABC стала перпендикулярна к одной из плоскостей проекций. Для этого проводят в плоскости треугольника горизонталь h (фронтальная проекция А212║х,). Каждую вершину треугольника заключают в свою плоскость уровня, параллельную плоскости П1. В рассматриваемом примере вершина С принадлежит плоскости проекций П1, А принадлежит плоскости Σ, В — плоскости Δ.
Плоскость треугольника перемещается в пространстве до тех пор, пока горизонталь h1 треугольника не станет перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций П2.
Для этого на свободном поле чертежа вычерчивают горизонтальную проекцию треугольника A1′B1′C1′ с условием, чтобы А111П2, а значит А1′11′х. При этом вершины треугольника, перемещаясь каждая в своей плоскости, займут новое положение – (фронтальная проекция А2В2С2 заменится А'2В'2С'2). Соединив эти точки, получают новое положение треугольника ABC, спроецированного в линию, т.е. перпендикулярного к плоскости П2.
-106045-2540Н.В.ΔАВС
C2"
12"≡А2"≡h2"
B2"
θ2
T2
P2
B1"
A1"
C1"
A2
C2
х
B2
h2
12
C1
B1
11
h1
B1'
A1'
C1'
11'
h1'
Δ2
Σ2
C2'
12'≡А2'≡h2'
B2'
A1
αРис. 9.9
00Н.В.ΔАВС
C2"
12"≡А2"≡h2"
B2"
θ2
T2
P2
B1"
A1"
C1"
A2
C2
х
B2
h2
12
C1
B1
11
h1
B1'
A1'
C1'
11'
h1'
Δ2
Σ2
C2'
12'≡А2'≡h2'
B2'
A1
αРис. 9.9
На втором этапе, чтобы получить натуральную величину треугольника ABC, его плоскость поворачивают до тех пор, пока она не будет параллельна одной из плоскостей проекций. В рассматриваемом решении фронтальную проекцию треугольника А2'В2'С2' располагают на произвольном расстоянии от оси х параллельно плоскости П1. При этом вершины А, В и С треугольника заключают в горизонтально проецирующие плоскости θ, Т, Р. По следам этих плоскостей будут перемещаться горизонтальные проекции вершин А1'В1'С1'. От нового положения фронтальной проекции А2"В2"С2" проводят линии проекционной связи до пресечения с соответствующими следами плоскостей, в которых они перемещаются (θ1,T1,P1), и получая проекции точек А1" В1" C1". Соединив эти проекции, получают треугольник ABC в натуральную величину.
4) Решение методом вращения вокруг линии уровня (рис.9.10)
57150394970A2
C2
х
B2
O2
h2
12
C1
C0
B1
11
h1
A1≡A0
ΔzΔzB0
O1
RврРис. 9.10
00A2
C2
х
B2
O2
h2
12
C1
C0
B1
11
h1
A1≡A0
ΔzΔzB0
O1
RврРис. 9.10
Для решения задачи этим способом необходимо повернуть плоскость треугольника вокруг линии уровня, в данном случае вокруг горизонтали, до положения, параллельного горизонтальной плоскости проекции. Через точку А в плоскости треугольника ABC проводят горизонталь h, фронтальная проекция которой будет параллельна оси х. Отмечают точку 12 и находят ее горизонтальную проекцию 11. Прямая A111 является горизонтальной проекцией h1 горизонтали h. Вокруг горизонтали будут вращаться точки В и С. Определяют натуральную величину радиуса вращения точки С .
Для определения натуральной величины радиуса вращения используют любой метод (в данном случае способ прямоугольного треугольника) строят прямоугольный треугольник, в котором O1C1 - один из катетов. Второй катет - разность координат Δz отрезка О2С2, взятого с фронтальной проекции. В построенном треугольнике гипотенуза O1C0 - натуральная величина радиуса вращения.
На продолжении перпендикуляра O1C1 откладывают |RBp.| и получают новое положение вершины С после вращения — С0. Проекция вершины В0 получается пересечением луча C011 и перпендикуляра к горизонтальной проекции h1 проведенного через проекцию точки В1.
Треугольник A0B0C0 есть искомая натуральная величина треугольника ABC.
МНОГОГРАННИКИ.
СЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ ПЛОСКОСТЬЮ.
РАЗВЕРТКИ МНОГОГРАННИКОВ
10.1. Сечение многогранников плоскостью
Многогранник есть геометрическое тело, ограниченное плоскими многоугольниками - (гранями, пересекающимися по прямым линиям-рёбрам). Фигура сечения многогранника есть плоский многоугольник, сторонами которого являются линии пересечения заданной плоскости с плоскостями граней, а вершинами — точки пересечения рёбер многогранника с заданной плоскостью.
К многогранникам относятся призмы, пирамиды и более сложные объекты.
Призма – это многогранник, основания которого являются n-угольник, а боковые ребра взаимно параллельны.
Пирамида – многогранник, основанием которого является n-угольник, а боковые грани - треугольники.
Построение фигуры сечения многогранника плоскостью может выполняться двумя способами:
путем определения линии пересечения заданной плоскости с каждой из плоскостей (граней), ограничивающих геометрическое тело многогранника (эти линии - стороны фигуры сечения);
путем нахождения точек пересечения всех ребер с заданной плоскостью (эти точки - вершины фигуры сечения).
Первый способ называется способом граней, второй - способом ребер. Выбор способа построения фигуры сечения зависит от положения секущей плоскости, рёбер и граней многогранника относительно плоскостей проекций.
Способ граней
Суть способа сводится к последовательному определению линий пересечения двух плоскостей, одна из которых является заданной, а другая - какой-либо гранью многогранника (см. разд. 6). Для построения же самой фигуры сечения определяют точки пресечения найденных прямых, которые являются вершинами многоугольника сечения.
Способ ребер
Этот способ заключается в определении точек встречи прямых (ребер) с заданной плоскостью (см. разд. 7). Установив последовательно для всех ребер точки встречи их с секущей плоскостью, соединяют эти точки отрезками прямых и получают многоугольник сечения.
10.2. Развертки многогранников
В инженерном деле многогранники чаще всего реализуются как оболочки заданных форм и размеров. Для их изготовления необходимо уметь выполнить развертку (выкройку) таких оболочек.
Развёртка многогранника представляет собой плоскую фигуру, полученную последовательным совмещением всех граней многогранника с плоскостью чертежа таким образом, чтобы грани примыкали друг к другу по линиям сгиба (рёбрам).
Для построения развёртки многогранника необходимо знать натуральные величины всех его граней, поэтому задача построения развертки многогранника решается в два этапа:
определяют натуральную величину каждой грани (см. разд. 9);
потом путем вращения вокруг соответствующей линии (ребра) (см. разд. 9) совмещают грани с плоскостью чертежа.
10.3. Примеры решения задач
10.3.1. Задание: определить сечение трёхгранной призмы (рис. 10.1) плоскостью P(P1P2). Построить полную развёртку поверхности призмы и нанести на ней линию сечения.
Решение: секущая плоскость Р является фронтально проецирующей и пересекает все рёбра прямой призмы АА', ВВ', СС'. Для решения задачи используют свойство проецирующей плоскости, следуя которому фронтальная проекция 122232 сечения 1, 2, 3 совпадает с фронтальным следом Р2 плоскости Р (рис. 10.2).
Рёбра призмы АА', ВВ', СС' являются горизонтально проецирующими прямыми и на плоскость П1 проецируются в точки А1, В1, С1 поэтому горизонтальная проекция 11 21 31 фигуры сечения совпадает с горизонтальной проекцией призмы, т.е. 11 А1А′1; 21 В1В′1; 31С1С′1.
626745-123190х
А2В′2
С′2
А′2
С1≡С'1
А1≡А'1
Р2РхР1В1≡В'1
В2С212
22
32
00х
А2В′2
С′2
А′2
С1≡С'1
А1≡А'1
Р2РхР1В1≡В'1
В2С212
22
32

Рис. 10.1
В рассматриваемом примере основание призмы проецируется на горизонтальную плоскость проекций П1 в натуральную величину, рёбра призмы параллельны фронтальной плоскости проекций П2. Из этого следует, что фронтальные проекции рёбер А2А'2, В2В'2, С2С'2 являются натуральными величинами.
Для построения развёртки призмы совмещают ее боковые грани с фронтальной плоскостью проекций П2. На совмещенных положениях граней А0А'0, В2В'2, С2С'2 развертки призмы отмечают точки 10, 20, 30 и последовательно соединяют их отрезками прямых линий. Верхнее А'В'С' и нижнее ABC основания и натуральную величину фигуры сечения 102030 пристраивают к развёртке, как треугольники по трём известным сторонам.
-10160-73660А'0
20
РхС0А0В0С'0
В'0
10
12
22
32
20
С'0
30
С0С′2
С1≡С'1
Р2А 2
В′ 2
А′ 2
А1≡А'1
Р1В1≡В'1
В 2
С 2
00А'0
20
РхС0А0В0С'0
В'0
10
12
22
32
20
С'0
30
С0С′2
С1≡С'1
Р2А 2
В′ 2
А′ 2
А1≡А'1
Р1В1≡В'1
В 2
С 2

Рис. 10.2
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ.
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ ПЛОСКОСТЬЮ. РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ
Поверхностей вращения существует множество: цилиндр, конус, сфера, эллипсоиды, торы и др.
Поверхность вращения общего вида образуется вращательным перемещением образующей линии вокруг неподвижной оси.
Каждая точка образующей линии при вращении вокруг неподвижной оси описывает окружность с центром на оси вращения. Эти окружности называются параллелями.
Наибольшую из параллелей (окружностей) поверхности вращения называют экватором поверхности, а наименьшую - горлом (шейкой) поверхности.
Плоскости, проходящие через ось поверхности вращения, называют меридиональными, а линии, по которым они пересекают поверхность, - меридианами. Меридиональная плоскость, параллельная плоскости проекции, называется плоскостью главного меридиана, а линия пересечения этой плоскости с поверхностью вращения называется главным меридианом.
11.1. Пересечение поверхностей вращения плоскостью
При пересечении поверхности вращения плоскостью получается линия сечения - плоская фигура. Построение проекций линии пересечения необходимо начинать с определения опорных точек. К ним относятся точки, расположенные на очерковых образующих поверхности (точки, определяющие границы видимости проекций кривой), и точки, удаленные на экстремальные (максимальное и минимальное) расстояния от плоскостей проекций. После этого определяют произвольные (промежуточные) точки линии пересечения.
Для определения точек, принадлежащих линии пересечения, можно использовать различные методы. Один из них - метод вспомогательных секущих плоскостей. Суть его заключается в том, что заданные плоскость и поверхность вращения пересекают вспомогательными плоскостями. Находят линии пересечения этой плоскости с заданными плоскостью и поверхностью вращения. Затем отмечают точки, в которых пересекаются полученные линии пересечения. Построенные точки фигуры сечения соединяют плавной кривой линией.
11.2. Развертки поверхностей вращения
Построение разверток поверхностей вращения имеет большое значение, особенно при конструировании из листового материала моделей различных сооружений, форм для металлических отливок, сосудов, трубопроводов, резервуаров и т.п.
Приближенные развертки
Поверхности, которые можно совместить с плоскостью без разрывов и складок, называют развертывающимися поверхностями. Фигуру, полученную при совмещении развертывающейся поверхности с плоскостью, называют разверткой.
Для развертывающихся поверхностей можно построить приближенную развертку (условно-развертываемые поверхности).
При построении приближенной развертки поверхность аппроксимируют поверхностями вписанных или описанных многогранников, имеющих грани в форме прямоугольников или треугольников. Поэтому при графическом выполнении разверток поверхности всегда приходится производить разгибание или спрямление кривых линий, принадлежащих поверхности, что неизбежно приводит к потере точности.
Условные развертки
Неразвертывающиеся поверхности не могут быть совмещены с плоскостью без разрывов и складок, т.е. теоретически они не имеют своей развертки. Поэтому говорят лишь об условном решении задачи по построению разверток неразвертывающихся поверхностей.
На практике для получения развертки неразвертываемой поверхности, выполненной из листового материала, приходится кроме изгибания производить растяжение и сжатие определенных участков листа.
Построение условной развертки неразвертывающейся поверхности состоит в том, что отсеки заданной поверхности аппроксимируются отсеками развертывающихся поверхностей — гранными, цилиндрическими или коническими.
11.2.3. Задание: построить проекции и натуральный вид фигуры сечения поверхности цилиндра плоскостью Р (рис. 11.1). Построить развёртку боковой поверхности усечённой части цилиндра.
Решение: на рисунке 11.1 изображены прямой круговой цилиндр, основание которого принадлежит горизонтальной плоскости проекций П1 и секущая плоскость Р общего положения.
Поскольку секущая плоскость наклонена к оси цилиндра, то боковая поверхность цилиндра пересекается по эллиптической кривой. Форма сечения в этом случае зависит от того, пересекает ли плоскость Р основания цилиндра.
В рассматриваемом случае секущая плоскость Р не пересекает оснований цилиндра. Это видно из того, что горизонтальная проекция нижнего основания не пересекается с горизонтальным следом плоскости Р, а горизонтальная проекция горизонтали h1, по которой плоскость Р пересекается с плоскостью верхнего основания, не пересекает его горизонтальную проекцию.
Для нахождения эллипса сечения плоскости Р с боковой поверхностью цилиндра находят сначала его низшую А (А1 А2) и высшую В (В1 В2) точки. Эти точки являются концами большой оси эллипса сечения и лежат на линии наибольшего наклона плоскости Р к горизонтальной плоскости проекций. Следовательно, прямая АВ перпендикулярна к горизонтальному следу плоскости Р и пересекает ось цилиндра.
Для нахождения точек А и В проводят плоскость Σ, перпендикулярную к горизонтальному следу P1 и проходящую через ось цилиндра.
Для нахождения точек А и В проводят плоскость Σ, перпендикулярную к горизонтальному следу P1 и проходящую через ось цилиндра. Эта плоскость перпендикулярна к плоскости П1. Затем находят линию пересечения плоскостей Р и Σ.
Боковая поверхность цилиндра является горизонтально проецирующей и поэтому проецируется на горизонтальную плоскость проекций в окружность.
Так как отрезок АВ является частью линии пересечения плоскостей Р и Σ, а точки А и В лежат на боковой поверхности цилиндра, то горизонтальные проекции точек А и В должны лежать на одной окружности и на горизонтальной проекции прямой пересечения плоскостей Р и Σ. По горизонтальным проекциям точек А и В находят их фронтальные проекции, исходя из условия, что точки А и В лежат на найденной прямой пересечения плоскостей Р и Σ.
Для определения остальных точек эллипса сечения на цилиндрической поверхности выбирают ряд образующих. За первую образующую выбирают ту, на которой лежит точка А. Остальные образующие получают делением окружности (горизонтальной плоскости цилиндрической поверхности) на 12 равных частей (можно делить на другое количество частей).
Затем находят точки пересечения образующих с плоскостью Р. В рассматриваемом примере все образующие перпендикулярны к горизонтальной плоскости проекций. Следовательно, горизонтальные проекции точек пересечения образующих с плоскостью Р совпадают с горизонтальными проекциями самих образующих. Далее наносят горизонтальные проекции точек пересечения образующих с плоскостью Р (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) и находят фронтальные проекции этих точек, проводя через них горизонтали в плоскости.
Кривая линия, ограничивающая фронтальную проекцию фигуры сечения, включает видимые и невидимые участки. Точки, являющиеся границей видимости кривой, лежат на очерковых образующих. Отмечают горизонтальные проекции этих точек (111 и 121) и находят фронтальные проекции (112 и 122), проводя через эти точки в плоскости Р горизонтали.
Полученные точки соединяют плавной кривой линией. Кривая от точки 12 через точки 10, А, 1, 2, 3, 4 до точки 11 на фронтальной плоскости проекций является видимой, а остальная часть - невидимой.
Видимую часть кривой обводят сплошной линией, а невидимую - штриховой. Малой осью эллипса сечения является отрезок 3 - 8, проецирующийся в натуральную величину на горизонтальную плоскость проекций. Натуральная величина малой оси эллипса в рассматриваемом примере равна диаметру цилиндра.
Натуральную величину эллипса сечения строят путём совмещения плоскости Р с горизонтальной плоскостью проекций.
Развёртка боковой поверхности прямого кругового цилиндра, не усечённого плоскостью, представляет собой прямоугольник с основанием, равным длине окружности основания цилиндра, и высотой, равной высоте цилиндра.
При построении развёртки боковой поверхности цилиндра, пересечённого плоскостью, на развёртке необходимо наносить точки, принадлежащие линии пересечения, и затем эти точки соединять
плавной кривой линией (рис. 11.1).
Для этого на развёртке боковой поверхности цилиндра проводят 12 образующих, отстоящих друг от друга на равном расстоянии. За первую образующую рекомендуется выбирать ту, на которой лежит точка А. Затем наносят на все образующие последовательно точки А, 1, 2, 3, 4, 11, 5, В, 6, 7, 8, 9, 12, 10. Расстояние от этих точек до нижнего (или верхнего) основания проецируется на фронтальную плоскость проекций в натуральную величину. Соединив полученные точки плавной кривой линией, получают развёртку боковой поверхности усечённой части цилиндра.

-11550650Рис. 11.1
50
40
πd
10
20
РхР1Р0В030
А060
70
80
90
100
f1
f2
22
P2
A2
Σ2
72
Σ1
21
71
111
121
32
31
41
42
112
111
51
521
621
82
92
122
102
61
81
91
A1
B2
1211
101
В100Рис. 11.1
50
40
πd
10
20
РхР1Р0В030
А060
70
80
90
100
f1
f2
22
P2
A2
Σ2
72
Σ1
21
71
111
121
32
31
41
42
112
111
51
521
621
82
92
122
102
61
81
91
A1
B2
1211
101
В1
11.2.3. Задание: построить проекции и натуральную величину линии пересечения поверхности конуса плоскостью Р (рис. 11.3).
01018540 Две прямые
Двойная прямая
эллипс
окружность
парабола
гипербола
αо
φоαо
αо
φоφо00 Две прямые
Двойная прямая
эллипс
окружность
парабола
гипербола
αо
φоαо
αо
φоφоРешение: поверхность прямого кругового конуса относится к поверхностям вращения и является носителем кривых второго порядка: окружности, эллипса, параболы и гиперболы. Все эти кривые являются плоскими и, следовательно, могут быть получены в результате сечения конической поверхности плоскостью.
а) б)в)
Рис. 11.2
На рис. 11.2 приведены фронтальные проекции поверхности прямого кругового конуса, следы фронтально проецирующих секущих плоскостей и указан вид получаемой в сечении кривой. Можно установить признаки, обеспечивающие получение в сечении той или иной кривой второго порядка. Так, если обозначить угол наклона образующей конической поверхности к его оси через φ а угол между секущей плоскостью и той же осью через α , то можно утверждать, что при α > φ (рис. 11.2, а) в сечении получается эллипс (в частном случае, если α =90° - окружность), при α = φ (рис. 11.2, б) - парабола, и при α < φ (рис. 11.2, в) - гипербола.
На рис. 11.3 изображен прямой круговой конус и пересекающая его фронтально проецирующая плоскость Р. Угол между секущей плоскостью и осью конической поверхности больше угла наклона образующей конической поверхности к его оси, поэтому в сечении получается эллипс, большая ось которого АВ будет проецироваться на плоскость - П2 без искажения в А2В2, а малая ось эллипса 1-2 спроецируется на плоскость П2 в точку 12≡22, расположенную в середине отрезка А2В2. Величина малой оси 1-2 определяется из условия принадлежности ее плоскости Р. Для построения горизонтальной проекции малой оси 1121 применяют способ секущих плоскостей. Поверхность конуса рассекают горизонтальной вспомогательной секущей плоскостью и строят на горизонтальной проекции конуса проекцию фигуры сечения — круг. Определяют горизонтальные проекции малой оси эллипса 1121, которые лежат на линии пересечения (окружности) плоскости А и поверхности конуса, и проводят ряд вспомогательных секущих плоскостей для нахождения промежуточных точек 3, 4, 5, 6, принадлежащих фигуре сечения (эллипсу).
Натуральную величину эллипса находят совмещением плоскости Р с горизонтальной плоскостью проекции. Эллипс А0 50 10 30 В0 40 20 60 есть натуральная величина эллипса.
11.2.4. Задание: построить проекции и натуральную величину сечения конуса плоскостью Р (рис. 11.4). Построить развёртку усечённой части боковой поверхности конуса.
Решение: на рис. 11.4 изображены прямой круговой конус и секущая плоскость Р общего положения. Ось конуса расположена перпендикулярно к плоскости П1 основание конуса лежит на плоскости П1.
Решение задачи значительно упростится, если секущая плоскость Р будет проецирующей. Для этого преобразуют чертеж методом перемены плоскостей проекций, чтобы секущая плоскость Р стала фронтально проецирующей.
Построенная на П4 проекция показывает, что секущая плоскость пересекает только боковую поверхность конуса, не затрагивая его основания.
Для нахождения проекций сечения необходимо найти проекции эллипса, получаемого от пересечения конической поверхности плоскостью.
57150-111760S2
S1
P2
P1
PxP0
А0PxА1А2В2В1В030
20
10
50
60
40
А'0
В'0
52≡62
12≡22
32≡42
31
41
21
61
51
11
00S2
S1
P2
P1
PxP0
А0PxА1А2В2В1В030
20
10
50
60
40
А'0
В'0
52≡62
12≡22
32≡42
31
41
21
61
51
11

Рис. 11.3
На фронтальную плоскость проекции П4 эллипс проецируется в виде отрезка А4В4. Точки А и В являются низшей и высшей точками эллипса (линии пересечения плоскости поверхностью конуса, т. е. концами большой оси эллипса). А4В4 — натуральная величина большой оси эллипса. Малая ось эллипса перпендикулярна к большой оси и делит её пополам. Большая ось эллипса А1B1 параллельна плоскости проекций П4, а малая ось перпендикулярна П4 и проецируется на неё в точку 1424.
Затем задают на эллипсе сечения ещё ряд точек (3, 4, 5, 6, 7, 8). По их фронтальным проекциям на плоскость П4 находят горизонтальные проекции (проводя через точки на конической поверхности образующие). По горизонтальным проекциям находят фронтальные проекции на плоскость проекций П2 (проводя фронтали через проекции точек 11 З1 51 71).
-409575164465Р4Р1РхР2Σ2
Σ1
ΣхS2
S4
S1
х1,4
х1,2
А4В4А1В111
21
24≡14
22
12
31
41
42
32
61
51
52
62
71
72
81
82
91
92
А2В284≡94
34≡44
54≡64
74
00Р4Р1РхР2Σ2
Σ1
ΣхS2
S4
S1
х1,4
х1,2
А4В4А1В111
21
24≡14
22
12
31
41
42
32
61
51
52
62
71
72
81
82
91
92
А2В284≡94
34≡44
54≡64
74


4072255566801061
1
0061
1

Рис. 11.4
Для нахождения границы видимости кривой на фронтальной проекции находят проекции очерковых образующих, на которых лежат искомые точки, на фронтальную плоскость проекций П4. На пересечении этих образующих с плоскостью Р и будут искомые точки (проекции 94 и 104). По проекциям 94 и 104 находят горизонтальные проекции 91 и 101 а затем фронтальные проекции 92 и 102. Видимая часть кривой на фронтальной проекции - от точки 10 через точки А, 5, 1, 3, 7 до точки 9. Остальная часть невидимая.
Развёртка боковой поверхности прямого кругового конуса представляет собой сектор круга, радиус которого равен образующей конуса (рис. 11.5). Центральный угол сектора подсчитывается по формуле

где φ - радиус окружности основания конуса;
L - длина образующей конуса.
19685002443480Рис. 11.5
00Рис. 11.5

Чтобы избежать вычислений, связанных с определением длины дуги сектора или угла φ, обычно вписывают в основание конуса правильный многоугольник (в данном случае 12-угольник) и затем, описывают из произвольной точки S дугу радиусом L, откладывают последовательно из любой её точки количество дуг, равное сторонам многоугольника. Таким образом, развёртку боковой поверхности прямого кругового конуса заменяют, с достаточной для практики точностью развёрткой правильной пирамиды, вписанной в данный конус.
Для нанесения на развёртку боковой поверхности конуса линии сечения (рис. 11.5) переносят на развёртку точки пересечения с секущей плоскостью 12 образующих конуса, которые заменены рёбрами 12-угольной правильной пирамиды. Соединив полученные точки плавной кривой, получают развёртку усечённой части боковой поверхности конуса.

11.2.5. Задание: построить проекции и истинную величину линии пересечения сферы плоскостью общего положения Р (P1-Р2). (рис. 11.6).
Решение: для решения задачи плоскость общего положения Р (Р1-Р2) преобразуют методом замены плоскостей проекций в проецирующую. Заменяют фронтальную плоскость проекции П2 на П4 - Проводят ось х1,4 перпендикулярно к горизонтальному следу Р1 плоскости Р. Строят плоскость Р в новой системе плоскостей П1/П4. Для этого берут на фронтальном следе Р2 плоскости Р произвольную точку Е (Е2). Находят горизонтальную проекцию Е1 точки Е, затем строят проекцию Е4 в системе П1/ П4. Через проекцию Е4 и точку схода следов на оси x проводят фронтальный след плоскости Р4. Проекцию сферы переносят в систему П1/II4.
Для этого проводят через горизонтальную проекцию 01, центра 0 сферы линию проекционных связей перпендикулярно к оси x1 и отмечают на ней (на линии проекционных связей) координату z точки 0. Полученную проекцию обозначают 04. Затем строят проекцию сферы заданного радиуса в системе П1П4. После преобразования плоскости Р в проецирующее положение задача сводится к решению предыдущей задачи (см. п. 11.2.6), т. е. сначала строят горизонтальную проекцию фигуры сечения, а затем, используя признак принадлежности точки плоскости, строят фронтальную проекцию фигуры сечения сферы плоскостью общего положения.
Для определения натуральной величины сечения сферы необходимо выполнить вторую замену (плоскость проекций П1 заменить на плоскость П5 (рис. 11.6). С этой целью преобразовывают плоскость сечения Р в плоскость уровня. Проводят ось x4,5 параллельно фронтальному следу Р4.
Проецируют центр окружности 0 в систему П4 /П5.
Натуральная величина сечения окружности строится радиусом R, равным половине отрезка 1424.
.
-245110-45720Е2Р2Е1РхХ1,2
Х1,4
Х4,5
у’
У’
R

Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 1

O4
O5
65
25
55
54≡64
14
34≡44
24
74≡84
21
Е4O1
O2
11
31
41
61
81
51
71
12
32
52
72
22
82
62
42
Р2Р400Е2Р2Е1РхХ1,2
Х1,4
Х4,5
у’
У’
R

Рисунок 1
O4
O5
65
25
55
54≡64
14
34≡44
24
74≡84
21
Е4O1
O2
11
31
41
61
81
51
71
12
32
52
72
22
82
62
42
Р2Р4
Рис. 11.6
Поверхность сферы не может быть развёрнута точно. Для неразвертываемых поверхностей строят приближённую развёртку (рис. 11.7).
Поверхность сферы разбивается на равное число частей (рис. 11.7, а), например, на 12 частей. Разбивку производят плоскостями, проходящими через один из диаметров сферы MN.
Каждую часть поверхности сферы, находящуюся между двумя смежными плоскостями, заменяют частью цилиндрической поверхности с осью, проходящей через центр сферы и перпендикулярной к диаметру MN. Диаметр поверхности принимают равным диаметру сферы.
Для наглядности ниже рассмотрено построение только одной из частей поверхности сферы, расположенной между плоскостями Р и Σ .
Выделенную часть поверхности сферы заменяют цилиндрической с осью О1О1 , которая перпендикулярна к диаметру MN и плоскости дуги 1-4. Дугу 1-4 делят на равные части (в каждом случае - на три). Для построения развёртки откладывают на вертикальной прямой отрезки, равные хордам данных дуг Δ1. Величины этих хорд с достаточной степенью точности можно считать равными величинам дуг. По горизонтальной прямой откладывают величины соответствующих образующих поверхности Δ2, Δ3 и т.д. Полученные точки соединяют кривой линией (рис. 11.7, б).
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ
С ПОВЕРХНОСТЬЮ
Для построения точки пересечения прямой с поверхностью через прямую следует провести вспомогательную плоскость и найти линию пересечения этой плоскости с поверхностью. Точка пересечения (или точка встречи заданной прямой и построенной линии или фигуры сечения) на поверхности и будет искомой точкой пересечения прямой с поверхностью.
Сложность решения задачи зависит от трудоемкости нахождения линии пересечения, которая определяется следами поверхности и расположением прямой относительно как поверхности, так и плоскости проекций.
Чтобы получить рациональное решение, следует пользоваться наиболее простым способом определения линии пересечения. Этого можно достичь двумя путями:
выбором положения вспомогательной секущей плоскости;
переводом секущей прямой в частное положение.
17145016510х
а)
N2
О2М2Σ1
B1
P1
O1 ≡M1 ≡N1 ≡11
A1
31
41
21
41
31
21
11
A1
B1
O1
Δ1
Δ1
Δ1
Δ1
Δ1
Δ1
Δ1
Δ1
Δ1
1
2
3
4
б)
A
В
Δ2
Δ3
Δ2
Δ3
00х
а)
N2
О2М2Σ1
B1
P1
O1 ≡M1 ≡N1 ≡11
A1
31
41
21
41
31
21
11
A1
B1
O1
Δ1
Δ1
Δ1
Δ1
Δ1
Δ1
Δ1
Δ1
Δ1
1
2
3
4
б)
A
В
Δ2
Δ3
Δ2
Δ3

Рис.11.7
12.1. Вспомогательная секущая плоскость -проецирующая
12.1.1. Задание: определить точки пересечения прямой т с поверхностью пирамиды SABC (рис. 12.1).
Решение: для решения задачи прямую m заключают во фронтально проецирующую плоскость Σ ().Фронтальная проекция линии пересечения совпадает с фронтальной проекцией следа плоскости Σ 2. Отмечают проекции точек (12, 22, 32) пересечения плоскостью Σ ребер пирамиды (SA, SB, SC), в которых фронтальный след плоскости Σ пересекает эти ребра. Зная положение линии пересечения (12, 22, 32) на фронтальной проекции, определяют горизонтальную проекцию линии пересечения (11,21, 31). Соединив горизонтальные проекции (11,21,31) точек (1, 2, 3) прямолинейными отрезками ((1121), (2131), (З111)), получают фигуру сечения — треугольник 123. Далее определяют точки пересечения горизонтальной проекции фигуры сечения (112131) с горизонтальной проекцией m1 прямой m — точки M1 и N1. Затем строят фронтальные проекции (М2 и N2) точек пересечения прямой m с поверхностью пирамиды SABC.
57150-13970В1С1С2В2А2А1S1
S2
122
32
31
112
222
212
M22
M12
N22
N12
xm1
m2≡Σ2
00В1С1С2В2А2А1S1
S2
122
32
31
112
222
212
M22
M12
N22
N12
xm1
m2≡Σ2


Рис.12.1
12.1.2. Задание: определить точки пересечения прямой m с поверхностью прямого кругового цилиндра (рис. 12.2).
69723040640m2
m1
N1
N2
M2
M1
x00m2
m1
N1
N2
M2
M1
x

Рис.12.2
Решение: при решении задачи выделим проекции точек пересечения М и N прямой m с поверхностью цилиндра на горизонтальной проекции - точки m1 и N1. Так как образующие прямого кругового цилиндра являются горизонтально проецирующими прямыми, фронтальные проекции точек пересечения прямой т с поверхностью цилиндра М2 и N2 находят с помощью линий проекционной связи, как это показано на рисунке.
Перевод прямой общего положения, пересекающей заданную поверхность в частное положение
При пересечении поверхности сферы плоскостью в сечении получается окружность, которая проецируется на плоскости проекции в виде эллипсов или прямой и эллипса (если секущая плоскость - проецирующая). В случае, когда секущая плоскость параллельна плоскости проекции, окружность проецируется на эту плоскость проекции без искажения. Поэтому для упрощения решения задачи следует произвольно расположенную прямую перевести в положение, параллельное какой-либо плоскости проекции. Тогда прямую можно заключить в плоскость, параллельную плоскости проекции.
12.2.1. Задание: определить точки встречи прямой m, заданной отрезком АВ, с поверхностью сферы (рис. 12.3).
Решение: при решении этой задачи переводят прямую m общего положения в положение, параллельное плоскости проекции. Для этого вводят новую систему плоскостей П4/П1 в которой т||П4, и переходят от системы П2/П1 к системе П4П1. Новую ось проекций x1 проводят параллельно горизонтальной проекции прямой A1B1.
Далее от концов горизонтальной проекции прямой, точек A1 и В1 проводят линии проекционной связи, перпендикулярные к новой оси проекций, и на них на плоскости П4 откладывают координаты zA и zB т.е. расстояния от оси проекций х до фронтальных проекций точек А2 и В2. Новая проекция А4В4 будет натуральной длиной отрезка прямой АВ.
Аналогично находят и центр сферы О4.
В новой системе горизонтально проецирующая плоскость Р () пересечет поверхность сферы по окружности радиусом R, которая спроецируется на плоскость П1 в отрезок (1-2), а на плоскость П4 в окружность тем же радиусом R. Точки К4 и L4 -вспомогательные проекции точек пересечения, по которым определяют проекции точек K1 и L1 а затем К2 и L2.
ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Предложенные задания охватывают задачи не на все методы построения линий пересечения поверхностей, а только наиболее распространенные.
Ниже приведены решения типовых задач, когда применены различные способы в зависимости от формы и расположения пересекающихся поверхностей.
26606581280П2
П1
х1,2
О2О1О2А2А1А4В2В1В4К2К1К4L4
L1
L2
х1,4
R
R
\
\
<
<
00П2
П1
х1,2
О2О1О2А2А1А4В2В1В4К2К1К4L4
L1
L2
х1,4
R
R
\
\
<
<

Рис. 12.3
13.1. Одна из поверхностей занимает частное (проецирующее) положение
13.1.1. Задание: даны две поверхности: - тора и Р - цилиндра (рис. 13.1). Требуется построить линию их пересечения.
Решение: поверхность цилиндра перпендикулярна к П2, следовательно, она проецирующая. В таком случае фронтальная проекция линии пересечения уже известна. Она совпадает с фронтальной проекцией цилиндра. Решение задачи, т.е. построение горизонтальной проекции линии пересечения, сводится к нахождению второй проекции линии, принадлежащей поверхности . Для достижения этой цели на фронтальной проекции фиксируют опорные (1, 2, 4, 9) и промежуточные точки и находят их положения на горизонтальной проекции (рис. 13.2).
Ниже приводится построение горизонтальной проекции только одной точки 1 (рис. 13.1). Из этой точки вниз проводят линию проекционной связи. Одновременно из этой же точки радиусом 012 проводят дугу окружности, на которой лежит эта точка, как принадлежащая тору, и находят проекцию этой окружности на горизонтальной проекции тора - это прямая линия, параллельная оси x.
0106680L2
12
11
L1
02
Рис. 13.1
12
Рис. 13.2
82
22
32
52
62
72
92
91
81
21
41
61
71
31
11
51
42
01
00L2
12
11
L1
02
Рис. 13.1
12
Рис. 13.2
82
22
32
52
62
72
92
91
81
21
41
61
71
31
11
51
42
01

Рис. 13.1
Она проходит через точку L1 (точка пересечения окружности, проходящей через точку 1, с окружностью тора, лежащей на П1). Горизонтальная проекция точки 1 находится на пересечении линии проекционной связи, проведенной из точки 12, с горизонтальной проекцией окружности тора, на которой лежит точка 1. Остальные точки строят аналогично точке 1 (рис. 13.2).
Точки 4 и 9 определяют видимость линии пересечения на горизонтальной проекции, а точки 1 и 2 наиболее удаленные от контура на горизонтальной проекции.
Эту задачу можно решать и методом вспомогательных секущих плоскостей, который рассматривается далее.
Метод вспомогательных секущих плоскостей
Этот метод применяется для построения линии пересечения двух поверхностей, когда секущие (параллельные) плоскости при пересечении с данными поверхностями образуют простые для построения линии (прямую или окружность).
13.2.1. Задание: даны поверхности конуса и цилиндра Ф (рис. 13.3). Требуется построить линию их пересечения.
Решение: ось цилиндра перпендикулярна к плоскости П2, следовательно, поверхность цилиндра - проецирующая. В этом случае задача может быть решена так, как это было разобрано в предыдущем (п. 13.1.1) примере. Для этого определяют характерные - наивысшую и низшую точки линии пересечения 1 и 2, лежащие на пересечении фронтальной проекции цилиндра с очерковой образующей конуса. Их горизонтальные проекции 11 и 21 принадлежат горизонтальной проекции очерковой образующей конуса (l1 и 21, совпадают с осевой линией конуса). Точки 3 и 4 определяют видимость линий пересечения на горизонтальной проекции.
Для определения их горизонтальных проекций через ось цилиндра параллельно П1 проводят вспомогательную секущую плоскость Г (ее фронтальный след Г2).
Эта плоскость рассечет цилиндр по очерковым образующим, а конус по окружности радиуса R, которая на П1 будет проецироваться в натуральную величину. Пересечение этой окружности с очерковыми образующими цилиндра есть не что иное, как горизонтальные проекции характерных точек 31 и 41 (рис. 13.3).
-373380760095R
12
22
32≡42
11
21
41
31
R
Рис. 13.3
R
12
22
32≡42
91
Рис. 13.4
Г2Г2Т2К2λ2
52≡62
72≡82
92≡102
41
31
21
11
101
61
51
81
71
00R
12
22
32≡42
11
21
41
31
R
Рис. 13.3
R
12
22
32≡42
91
Рис. 13.4
Г2Г2Т2К2λ2
52≡62
72≡82
92≡102
41
31
21
11
101
61
51
81
71
Построение промежуточных точек аналогично построению точек 3 и 4, только образующие, по которым вспомогательная плоскость будет рассекать цилиндр, не будут очерковыми (рис. 13.4).
13.2.2. Задание: Даны две поверхности вращения - конус и цилиндр, оси которых пересекаются и находятся в одной плоскости, параллельной П2 (рис. 13.5). Требуется построить линию их пересечения.
Решение: на фронтальной проекции фиксируют точки пересечения заданных поверхностей вращения 12 и 22 - они принадлежат искомой линии пересечения. Горизонтальные проекции этих точек находятся на осевой линии конуса и цилиндра – 11 и 21. Другие точки линии пересечения можно построить, используя концентрические сферические поверхности. Из точки пересечения осей фронтальных проекций, как из центра, проводятся сферы. Первая - касательная к проекции конуса, а последующие - большим радиусом (рис. 13.6).
23241064770Рис. 13.5
12
22
41
31

32≡42
41
31

32≡42
52≡62
72≡82
21
11
71
81
61
51
Рис. 13.6
00Рис. 13.5
12
22
41
31

32≡42
41
31

32≡42
52≡62
72≡82
21
11
71
81
61
51
Рис. 13.6

Каждая сфера пересекает обе поверхности по окружностям, фронтальные проекции которых изображаются отрезками прямых линий. Эти проекции пересекаются в точках, являющихся фронтальными проекциями точек искомой линии пересечения поверхностей.
Горизонтальные проекции этих точек определяются по принадлежности одной из поверхностей. В данном случае удобнее их получать по принадлежности конусу. Например, точки 3 и 4 лежат на той же окружности, по которой вспомогательная сфера пересекает конус. Изменяя радиус вспомогательной секущей сферы, находят ряд точек линии пересечения, соединив которые, получают проекции искомой линии (рис. 13.6). Чтобы определить видимость горизонтальной проекции линии пересечения, на её фронтальной проекции отмечают точки, лежащие на проекции осевой линии цилиндра и принадлежащие линии пересечения.
Затем по линиям проекционной связи переносят их на очерковые образующие горизонтальной проекции цилиндра. Точки, лежащие ниже указанных, будут находиться на невидимой части цилиндра.
Метод эксцентрических сфер
Метод эксцентрических сфер применяется для построения линии пересечении поверхностей вращения, у которых оси расположены в одной плоскости, являющейся плоскостью симметрии.
При этом пересекающиеся поверхности должны иметь семейство круговых сечений.
13.3.1. Задание: даны две поверхности вращения - тор и конус, оси которых находятся в одной плоскости, параллельной П1 (рис. 13.7). Требуется построить линии их пересечения.
Решение: прежде всего, фиксируют опорные точки пересечения очерковых меридианов 1 и 2. Затем через ось вращения поверхности кольца проводят фронтальный след Σ2 фронтально проецирующей плоскости Σ. Линия пересечения её с поверхностью тора - окружность. Центр сферы, пересекающей кольцо по окружности, находится на перпендикуляре, восстановленном из центра такой окружности к секущей проецирующей плоскости. Чтобы конус пересекался вспомогательной секущей сферой по окружности, её центр должен находиться на оси конуса. Точка пересечения перпендикуляра к проецирующей плоскости с осью конуса (O2) выбирается центром вспомогательной секущей сферы.
116014599504542
12
32
22
Σ2
λ2
O2
O '2
21
31
3'1
4'1
41
11
Рис. 13.7
0042
12
32
22
Σ2
λ2
O2
O '2
21
31
3'1
4'1
41
11
Рис. 13.7
Радиус ее равен расстоянию от центра до точки пересечения меридиана тора со следом плоскости Σ2 . Такая вспомогательная секущая сфера пересекает кольцо и конус вращения по окружностям, фронтальные проекции которых - проекции прямых. Точка пресечения этих отрезков 32 (рис. 13.7) принадлежит искомой линии пересечения поверхностей.
Вспомогательные сферы имеют различные центры на оси конуса вращения; так, при построении проекции - точки 42 - О'2. Горизонтальные проекции точек пересечения строят по принадлежности этих точек к одной из поверхностей, используя параллели, например, конуса.
ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА
Инженерная графика – один из основных курсов, составляющих фундамент подготовки инженеров по инженерно - техническим специальностям.
Цель изучения инженерной графики – получить знания и умения выполнения и чтения изображений предметов на основе прямоугольного проецирования в соответствии с государственными стандартами (ГОСТ) единой системы конструкторской документации (ЕСКД), научиться пользоваться стандартами и иными справочными материалами, получить и закрепить умения построения изображений, ознакомиться с компьютерной графикой.
Задача предмета –научиться выполнять и читать чертежи.
Предметом инженерной графики является конкретные изделия.
Методы инженерной графики является метод проекций и метод сечений. Проекционное черчение является прикладной частью начертательной геометрии. В проекционном черчении изучаются практические приемы изображения простейших геометрических тел. Проекционное черчение имеет важное значение для развития пространственного мышления, без которого невозможно сознательно читать, а тем более выполнять чертеж.
В любой отрасли промышленности используются чертежи для изготовления деталей и узлов. Чертеж –это плоское изображение детали, выполненное таким образом, что можно определить его объемные формы.
Чертеж это документ, содержащий изображение детали и другие данные, необходимые для ее изготовления и контроля. Чертеж является международным техническим языком, но для того ,чтобы им пользоваться, необходимо выполнять чертежи по общим для всех правилам.
В 1925 г. были разработаны первые стандарты регламентирующие правила оформления чертежей.
В 1965 г. Комитетом стандартов создана «ЕСКД». В 1968 г. Утверждены новые стандарты.
ЕСКД – единая система конструкторской документации –комплекс государственных стандартов, определяющих правила и положения по разработке, оформлению и обращению конструкторской документации.
Основное назначение ЕСКД – установление единых правил оформления, выполнения и обращения конструкторской документации.
Стандарты ЕСКД являются государственным документом и применение их строго обязательно. Каждый стандарт имеет установленный срок действия 5 лет, 10 лет и без ограничения срока. Все стандарты объединены в классы.
В каждом классе по 10 классифицированных групп (от 0 до 9).
В каждую группу можно внести до 99 стандартов.
Пример обозначения стандартов

Рис.14.1
В курсе «Основы черчения» мы познакомимся с классом под кодом 2 и классификационным группами под кодами
1 – Основные положения (2.101-68 и последующие).
3 – Общие правила выполнения чертежей (2.301-68 и т.д.).
4 - Правила выполнения некоторых изделий
(машино и приборостроения) (2.401-68 т.д.).
7 – Правила выполнения схем (2.7-1-84 и последующ.).
Форма, размеры и порядок заполнения основной надписи определяется ГОСТ 2.104-2005.
Основная надпись Ф-1 (основная 185х55 и дополнительные графы 26 14х70 (обозначение документа повернутого на 180 гр.) Форма 1 55х185 (для конструкторских док-тов)Форма 2 40х185 (для текстовых док-тов)
Форма 2а 15х185 ( 2 и послед.листы текст. док.)
Основная надпись h -7 мм прописная буква; 5 мм – строчная буква.
Форма 1 55х185 (для конструкторских документов)

Рис.14.2
Форма 2 40х185 (для текстовых документов)

Рис.14.3
Форма 2а 15х185 ( 2 и послед.листы текстовых документов)

Рис.14.3
15. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ ЧЕРТЕЖЕЙ
1. ГОСТ 2.301-68 Форматы
А5148х210А3297х420А1594х841
А4210х297А2420х594А0841х11891м2
Формат определяется внешней рамкой (тонкой линией).
Рамка рабочего чертежа с 3-х сторон 5 мм, левая сторона -20 мм.
Кроме основных допускается применять дополнительные форматы А4х4 (297х841)
2. ГОСТ 2.302 -68 Масштабы.
Масштаб – отношение размеров изображения на чертеже к действительным (натур.) размерам изделия.
Масштабы уменьшения 1:2; 1:2,5; 1:4; 1:5; 1:10; 1:15; 20; 25; 40
Масштабы увеличения 2:1; 2,5: 1; 4:1; 5; 10; 20; 40; 50; 100:1
Масштабы 1:1 (натур.величина)
(в спец.графе основной надписи) на чертеже М 1:2
3. ГОСТ 2.303-2008 Линии. (рис.15.1)э
4. ГОСТ 2.304-81 Шрифты чертежные
Размер 2,5; 3,5; 5; 7; 10; 14; 20; 28; 40 и т.д.
Высота шрифта определяются высотой прописной буквы в мм. Два типа шрифта прямой и наклонный 750
Тип А с толщиной шрифта 1/14 h
Тип Б с толщиной шрифта 1/10 h.
5. ГОСТ 2.306-68 Обозначение материалов и правила их нанесения на чертежах
Для придания наглядности сечение покрывают штриховкой.
Линии штриховки проводят под углом 450 к линии контура или 300 и 600.
Расстояние от 1 до 10 мм между линиями штриховки.
Пример графического оформления материалов в сеченияъ (рис.15.2)

Рис.15.1

Рис.15.2
15.1 Основные положения ЕСКД
ЕСКД (единая система конструкторской документации) –комплекс государственных стандартов, определяющих правила и положения по разработке, оформлению и обращению конструкторской документации.
При выполнении конструкторской документации используется термин «изделие».
Изделия – предмет или набор предметов подлежащих изготовлению на предприятии.
ГОСТ 2.101-68 устанавливает следующие виды изделий:
Деталь – изделие, изготовленное из однородного материала, без применения сборочных операций.
Сборочная единица – изделие, составные части которого подлежат соединению между собой сборочными операциями на предприятии – изготовителе (спомощью резьбы, сварки и т.д.) пример : редуктор, станок, электродвигатель.
Специфицируемое изделие – изделия, состоящее из нескольких составных частей (сборочная единица, комплекс, комплекс)
Комплекс – два или более специфицируемых изделия не соединенных на предприятии-изготовителе сборочными операциями, но предназначенные для выполнения взаимосвязанных эксплуатационных функций. Например: автоматическая линия станков, сборочный конвейер и т.д.
Комплект - два (или более) изделия, не соединенных на предприятии-изготовителе сборочными операциями и представляющих собой набор изделий вспомогательного назначения (комплект зап.частей, инструментов)
15.2 Виды конструкторской документации
ГОСТ 2.102-68 устанавливает 27 видов конструкторских документов:
Чертеж детали - это документ, содержащий изображение детали и другие данные, необходимые для изготовления и контроля.
Сборочный чертеж – документ, содержащий изображение сборочной единицы и др. данные необходимые для сборки и контроля.
Чертеж общего вида – документ, определяющий конструкцию изделия, взаимодействие его составных частей и поясняющий принцип его работы.
Спецификация – документ, определяющий состав сборочной единицы, комплекса или комплекта.
Габаритный чертеж – документ, содержащий упрощенное контурное изображение изделия с габаритными, установочными и присоединительными размерами. Код Г4.
Монтажный чертеж – документ, содержащий контурное изображение изделия и данные для установки (монтажа). Код М4.
Схема - документ, на котором составные части изделия и связи показаны в виде условных изображение или обозначений (код зависит от типа схем
Г-гидравлические, Э-электрические.
ГОСТ 2.305-2008 Правила изображения предметов на чертежах установлены
Главное изображение выбирается так, чтобы оно давало наиболее полное представление о форме и размерах предмета.
Изображение предметов на чертежах выполняется по методу прямоугольного проецирования. В зависимости от содержания изображения подразделяются на виды, разрезы и сечения.
15.2.1 Виды
Видом наз. изображение обращенное к наблюдателю видимой частью поверхности предмета. Для уменьшения кол-ва изображений допускается на видах показывать необходимые невидимые части поверхности предмета с помощью штриховой линии.
25401905001 –вид спереди2 –вид сверху
3 – вид слева
4 –вид справа
5 - Вид снизу
6. Вид сзади.
Рис.15.3
Основные виды – получаются в результате прямоугольного проецирования предмета на шесть плоскостей проекций (шесть граней куба).
Кол-во видов должно быть наименьшим, но достаточным для полного представления о предмете. Наименование видов не подписывается, если они расположены в проекционной связи.
Если какая-либо часть предмета наклонена и на основных видах изображена искаженно, то применяются дополнительные виды.
Дополнительные виды - виды полученные на плоскостях, не параллельных основным плоскостях проекций. Доп.вид может быть изображен как полностью так и частью.
Если дополнительный вид изображен в непосредственной проекционной связи, то стрелку и надпись не наносят.
Если вид вынесен отдельно, то обозначают буквой и стрелкой. (рис.15.4)
Доп.вид допускается повертывать, при этом условное обозначение

Рис.15.4

Рис.15.5
Изображение отдельно ограниченного места поверхности предмета наз. местным видом. Местный вид обозначают как и доп.вид.(рис.15.5)
15.2.2 Разрезы
Чтобы выявить внутреннюю конструкцию предмета, применяют изображение, называемое разрезом.
Разрез – это изображение предмета мысленно рассеченного одной или несколькими секущими плоскостями. На разрезе показывают то, что получается в секущей плоскости, и то что расположено за ней.
Все линии плоской фигуры, расположенной в секущей плоскости, изображаются как линии видимого контура.
Наименование разреза зависит от секущей плоскости:
Горизонтальный
Фронтальный
Профильный
Наклонный
Наклонный, если плоскость расположена наклонно по отношению к плоскости проекции.
Горизонтальный разрез имеет секущую плоскость II горизонтальной плоскости проекции и т.д.
Положение секущей плоскости наз. линией сечения.

Рис.15.6
Допускается совмещать вид с разрезом. Разрез, служащий для выявления устройства предмета в отдельном, ограниченном месте наз. местным. Это место ограничивают сплошной волнистой линией.(рис.15.7)

Рис.15.7
Разрезы бывают простые и сложные.
Разрез, образуемый одной секущей
плоскостью наз. простым,
двумя или более – сложным.
Сложные разрезы бывают ступенчатые (Рис.15.8 ) и ломаные (Рис.15.9)

Рис.15.8

Рис.15.9.
15.2.3 Сечения
Сечение – это фигура, получаемая при мысленном рассечении предмета плоскостью. Сечения подразделяется на вынесенные и наложенные, а также сечение в разрыве детали.
Вынесенное сечение располагается вне контура проекции детали и обводится сплошными основными линиями.
Сечение может располагаться на любом месте поля чертежа.

Рис.15.10
Наложенное сечение располагается на самом виде и обводится сплошными тонкими линиями.

Рис.15.11
В разрыве детали
Сечения, расположенные в разрыве или наложенные, линию сечения проводят и наносят стрелки, но буквы не ставят.
Все сечения, в том числе и входящие в состав разреза, заштриховываются. Согласно ГОСТ 2.306-68 штриховка наносится сплошными тонкими линиями под углом 450 к линиям рамки чертежа. Расстояния между линиями штриховки одинаковые от 1-3 мм.
15.2.4 ВЫНОСНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
В случае если какая-либо часть предмета требует пояснений в отношении формы, размеров и других данных, выполняется дополнительно отдельное увеличенное изображение, называемое выносным элементом.
Выносной элемент может содержать подробности, не указанные на соответствующем изображении, и отличаться от него содержанием (например, изображение может быть видом, а выносной элемент — разрезом).
Место на изображении, к которому относится выносной элемент, отмечают сплошной замкнутой тонкой линией (окружностью или овалом и т. п.) и на полке линии-выноски указывают обозначение выносного элемента прописными буквами алфавита или их комбинацией с арабскими цифрами (например, A, Al, А2). Над выносным элементом ставится та же буква (или комбинация ее с цифрой) и масштаб по типу А(5 : 1) на рис. 5.14.
Выносной элемент следует располагать возможно ближе к соответствующему месту на изображении предмета.

Рис.15.12
Нанесение размеров на чертежах
Все изображения сопровождаются нанесением размеров. При нанесение размеров следует руководствоваться ГОСТ 2.307-68.
Общ. требования. Размеры на чертежах указываются размерными числами и размерными линиями. Общее количество размеров на чертежах должно быть минимальным, но достаточным для изготовления и контроля, не допускается повторения одних и тех же размеров. Размеры указываются в миллиметрах без обозначения единицы измерения. Угловые размеры в градусах и минутах.
Размерные и выносные линии. Размерная линия с обоих концов ограничена стрелками. Выносные линии выходят за размерную на 1…5 мм.
Размерные линии вне контура изображения. Размерные линии выполняются тонкими линиями. Расстояние между размерными линиями 10 мм.
Минимальное расстояние между размерными линиями 10 мм.
Не допускается использовать в качестве выносных – осевые, центровые и линии контура. При нанесении размеров угла размерная в виде дуги, а выносные (радиально).
При нанесении размеров дуги размерная линия концентрично дуге, а выносные параллельно биссектрисе угла и знак.
Размерная не прерывается. При недостатке места вместо стрелок точка или зачески под 450. Размерные числа желательно проставлять в шахматном порядке, желательно избегать пересечения размерных и выносных линий.
Размерные числа располагаются над размерной линией ближе к середине, если мало места, то можно наносить следующим образом.
Высота не менее 3, 5 мм. При указании диаметра знак . Размерные числа не допускается разделять или пересекать какими бы то ни было линиями чертежа.
Варианты обозначений

Рис.16.1
Плоские поверхности условно отмечают тонкими линиями диагоналей.


Рис.16.2
При изображении части вида и разреза размерные линии проводят с обрывом.
Не допускается наносить размеры в виде замкнутой цепи.
Уклон – наклон одной линии относительно другой.
Конусность – отношение диаметра основания конуса к его высоте.

Рис.16.3
Правила нанесения размеров на чертежах
ГОСТ 2.307-2008
Общее количество размеров на чертежах должно быть минимальным, но достаточным для изготовления и контроля.
Не допускается повторения одних и тех же размеров.
Размеры указываются в мм.
Размеры указываются размерными линиями и размерными числами.
Размерные и выносные линии не должны пересекаться.
Размерную линию ограничивают стрелками.
Выносные линии выходят за размерные на 1-5 мм.
Размерные линии наносят вне контура изображения.
Не допускается использовать осевые, центровые и линии контура в качестве размерных линий.
Расстояние от контура детали до размерной линии 10 мм. Расстояние между размерными линиями 10 мм. Расстояние от размерной линии до цифр 1-2 мм.
Условные обозначения: диаметр, радиус, квадрат,
плоская поверхность.
Размерные числа наносят в середине размерной линии.
При нанесении нескольких размерных линий, размеры проставляются в шахматном порядке.
Размерные числа не допускается разделять или пересекать какими бы то ни было линиями чертежа.
Для симметричной детали размеры наносятся симметрично оси детали.
Если изображение представляется в виде совмещенного вида с размером, размеры относящиеся к разрезу ставятся со стороны разреза относительно оси симметрии, а размеры относящиеся к виду со стороны вида.
Размеры отверстий и резьб в случае их выполнения в разрезе на каком либо виде обозначаются на разрезах.
Не допускается наносить размеры в виде замкнутой цепи.
Существует 3 типа простановки размеров, цепной, координатный и комбинированный.
Цепной (цепочкой) Рис.16.1.1


Рис.16.1.1
Координатный (от базы) комбинированный Рис.16.1.2


Рис.16.1.2
16.2 Условности и упрощения ГОСТ 2.305-2008
Если предмет имеет одно сечение и большую длину, то возможно выполнить, с разрывом. При этом размерная линия не прерывается.


Рис.16.2.1
На видах и разрезах допускается упрощенное изображение одинаковых предметов равномерно расположенных. Рис.16.2.2
68834016954500
Рис.16.2.2
Рифление поверхности для предотвращения проскальзывания пальцев руки при завинчивании. Рис.16.2.3

Рис.16.2.3
Пластины и др. элементы деталей (фаски, пазы, отверстия размером менее 2 мм ) допускается изображать с отступлением от масштаба в сторону увеличения.
17. Резьбовые соединения
Резьбовые соединения являются наиболее распространенными из разъемных соединений, применяемых в сборочных единицах. Они подразделяются на неподвижные (крепежные) и подвижные (ходовые). Крепежные применяются для соединения деталей конструкций машин и механизмов, а ходовые для передачи движения.
Резьба - элемент машины, с помощью которого осуществляется резьбовое соединение. Резьба получается путем нарезания на поверхности детали канавок, направленных по винтовой линии на цилиндрической или конической поверхности. Резьбу соответственно называют цилиндрической или конической
Часть резьбы, соответствующая одному обороту контура вокруг оси резьбы, называют витком резьбы. ГОСТ 11708-82 устанавливает основные параметры и дает основные определения резьбы.
В зависимости от профиля подразделяют на типы: треугольная, трапециидальная, упорная, прямоугольная, круглая.
Основные параметры резьбы: 1. Форма профиля, 2. Диаметр, 3. шаг, 4. Направление, 5. число заходов.
По расположению резьба подразделяется на наружную, выполненную на наружней поверхности и внутреннюю в отверстии.
Наружний диаметр резьбы – это диаметр воображаемого цилиндра, описанного вокруг вершин наружной резьбы или впадин внутренней резьбы.
Внутренний диаметр резьбы – это диаметр воображаемого цилиндра, вписанного во впадины наружней резьбы или в вершины внутренней резьбы.
Резьбы подразделяются по форме профиля.
1.Профиль резьбы – контур сечения резьбы плоскостью, проходящей через ее ось. Ось резьбы – это прямая, относительно которой происходит винтовое движение плоского профиля, образующего резьбу.
В зависимости от формы образующего профиля резьбы бывают треугольной, трапецеидальной, прямоугольной, круглой и т.п..
Угол профиля резьбы – это угол между его боковыми сторонами.
2.Диаметр резьбы (измеряется в мм или дюймах 1 дюйм =25,4 мм)
Длина резьбы L –расстояние , измеренное вдоль оси стержня от начала резьбы до ее полного окончания.
3. Шаг резьбы Р – расстояние между соседними одноименными боковыми сторонами профиля в направлении, параллельном оси резьбы.
4. По направлению винтовой линии резьба подразделяется на правую и левую.
Правая резьба образована контуром, вращающимся по ходу часовой стрелки и перемещающимся вдоль оси от наблюдателя.
Левая резьба образована контуром, вращающимся против часовой стрелки и перемещающимся вдоль оси от наблюдателя.
5. По числу заходов t расстояние между ближайшими одноименными боковыми сторонами профиля, принадлежащего одной и той же винтовой поверхности, в направлении, параллельном оси резьбы. Ход резьбы – это величина относительного перемещения винта (гайки) вдоль своей оси за один поворот.
Зависимость между ходом резьбы t и шагом Р резьбы выражается формулой t=nP, где n – число заходов.
Сбег резьбы – расстояние, измеренное вдоль оси стержня в конце резьбы при изменение глубины от макс. до мин. значения.
Недорез - это недорезанный участок резьбы, включаюший и сбег резьбы.
ГОСТ 10549 устанавливает размеры сбегов, недорезов, проточек и фасок.
Резьбы, размеры которых не входят в число стандартных, наз. специальными и обозначают Сп.
17.1 Цилиндрические резьбы
Метрическая резьба ГОСТ 9150-81. Применяется в основном в качестве крепежной резьбы для крепления деталей. Это резьба однозаходная, преимущественно правая. Профиль равносторонный треугольник с углом при вершине 600.
254017526000Резьбы подразделяются на резьбы с крупным и мелким шагом.
Гост устанавливает 3 класса
точности: точный, средний и грубый.
Устанавливает следующие степени точности резьбы: для наружной (болтов) 4, 6, 8 и внутреннего диаметра (гайка) 5, 6, 7-я.
Рис.17.1.1
Четыре основных отклонения для наружной резьбы обозначаются буквами h, G, e, d два для внутренней резьбы H, G.
Обозначение поля допуска диаметра резьбы состоит из цифры, показывающая степень точности, и буквы, обозначающей основное отклонение 6h, 6H
Трапецеидальная резьба ГОСТ 9484-81.
1281430123126500Применяется для преобразования вращательного движения в поступательное при значительных нагрузках.
Профиль в виде равнобочной трапеции с углом 300. Между ее боковыми сторонами. Резьба может быть однозаходная и многозаходная, правой левой.Рис.17.1.1
4064030226000Упорная резьба ГОСТ 10177-82 применяется для больших односторонних усилиях, действующих в осевом направлении. Форма профиля трапеция, одна сторона которой является рабочей стороной профиля с углом 30.. Другая сторона трапеции имеет угол 300. Упорная резьба может выполняться с разными шагами при одном диаметре
Рис.17.1.2
14922535877500Трубная цилиндрическая резьба ГОСТ 6357-81. Используется для соединения труб и арматуры трубопроводов. Профиль треугольный при вершине 550 со скруглением выступов. Она имеет более мелкий шаг и меньшую высоту профиля.
Рис.17.1.3
Конические резьбы применяются при соединении труб для обеспечения повышенной герметичности резьбовых соединений при больших давлениях жидкости. Резьба выполняется на конической поверхности.
Трубная коническая резьба ГОСТ 6211-81.
Угол профиля 550, вершины и впадины профиля закруглены. Размер резьбы, диаметр соответствует трубной цилиндрической резьбе.
Коническая дюймовая резьба с углом профиля 600 ГОСТ 6111-52.
Угол профиля равен 600. Вершины и впадины срезаны на 0,033Р.
Нестандартная резьба (прямоугольная) все размеры проставляются на самой резьбе, шаг, полшага, наружний диаметр, внутренний.
Для нестандартной резьбы проставляются все необходимые размеры.

Рис.17.1.4
17.2 Изображение резьбы на чертежах ГОСТ 2.311-68.
Все резьбы на чертежах изображаются одинаково. Наружняя резьба изображается сплошными основными линиями по наружнему диаметру резьбы и сплошными тонкими линиями по внутреннему диаметру.
Сплошные тонкие линии должны пересекать границу фаски.
На изображении, перпендикулярно оси резьбы по наружнему диаметру резьбы проводится окружность сплошной основной линией, а по внутреннему диаметру-тонкой сплошной линией дуга, равная ¾ окружности и разомкнутая в любом месте, фаска на таком виде не показывается.
Расстояние между тонкой и основной линией должно быть 0,8 мм. Изображение глухого отверстия показано на рис.17.2.1
Штриховка в разрезах и сечениях выполняется до сплошной основной линии.
Рис.17.2.1
Обозначение резьбы
Каждый тип резьбы имеет условное обозначение М-метрическая, Тr – трапецеидальная, G – трубная цилиндрическая, S – упорная.
В обозначении входит
Тип резьбы
Наружний диаметр (в мм или дюймах)
Шаг резьбы
Ход резьбы
Направление навивки.
Условное обозначение поля допуска или класса точности.
17.3 Технологические элементы резьбы
К технологическим элементам, связанным с выходом резьбы, относятся сбег, недорез, проточка и фаска (рис. 17.3.1.).

Рис.17.3.1
При нарезании резьбы на стержне или в отверстии часть витков получается неполного профиля, если на детали не предусмотрена проточка для выхода режущей части инструмента, которым нарезается резьба. Эту часть резьбы называют сбегом резьбы. Сбег зависит от угла заборной части режущего инструмента и от величины шага резьбы. На чертежах размер длины резьбы на стержне и в отверстии указывают, как правило, без сбега. Величина ненарезанной части поверхности детали между конусом сбега и опорной поверхностью детали (при переходе с одного диаметра на другой) называется недоводом резьбы. Участок поверхности детали, включающий сбег резьбы и недовод, называется недорезом резьбы. Для устранения сбега или недореза выполняют проточку — канавку прямоугольного или полукруглого профиля.

Рис.17.3.2
Форму и размеры сбегов, недорезов и проточек устанавливает ГОСТ 10549-80. Определяющим размером служит шаг резьбы Р. Для облегчения соединения между собой резьбовых деталей на конце стержня и в начале отверстия выполняются фаски, имеющие форму усеченного конуса. Фаски на метрической наружной резьбе имеют угол при вершине конуса 90°, на метрической внутренней резьбе — 120°. Для остальных типов резьб этот угол и на стержне, и в отверстии составляет 90°.
В резьбовых соединениях фаску изображают только на проекции, параллельной оси резьбы, или в сечении плоскостью, проходящей через ось резьбы. На проекции, перпендикулярной оси резьбы, фаску не показывают. Форму и размеры фасок для наружной и внутренней резьбы устанавливает ГОСТ 10549-80 (для наружной метрической резьбы крепежных изделий — ГОСТ 12414-66).
Определяющим размером служит наружный диаметр резьбы.
18. Аксонометрические проекции
Аксонометрическое проецирование состоит в том, что изображаемый предмет вместе с осями прямоугольных координат, к которым отнесена эта система в пространстве, проецируется параллельными лучами на плоскость. Эта плоскость носит название плоскость аксонометрических проекций или картинная плоскость [1, 2 … 4].
ГОСТ 2.317-69 устанавливает несколько видов аксонометрических проекции. Наиболее распространенным является прямоугольная изометрия.
Положение аксонометрических осей прямоугольной изометрической проекции приведено на рисунке 9, углы между осями равны 120°. Коэффициент искажения по осям X, У, Z равен 0,82. Для упрощения вычерчивания предметов этот коэффициент принимают равным единице. Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскостям проекций проецируются на аксонометрическую плоскость в виде эллипсов. Большая ось равна 1,22, а малая – 0,71 диаметра окружности. Величину осей можно получить и графическим способом. При построении аксонометрических проекций эллипсы заменяют овалами, оси которых соответствуют по величинам осям эллипсов и изображаются дугами окружностей.
На рисунке 18.2. показано последовательное построение овала для приведенной изометрической проекции. Размеры «АВ» = 0,71d для малой оси и
«СD» = 1,22 d для большой оси нужно отложить на направлении этих осей. Затем нужно отметить положение центров дуг. Построение центров показано на плоскости ХOZ.
Радиусом, равным малой полуоси «АО'», сделаны засечки на направлении большой оси в точке 1 ; радиусом, равным величине большой полуоси СО' , сделаны засечки на направлении малой оси в точке 4. Таким образом, получены четыре центра - 1, 2, 3, 4. Для того, чтобы выполнить плавное сопряжение необходимо учесть, что точки сопряжения лежат на линиях, соединяющих центры.

Рисунок 18.1 - Аксонометрические оси прямоугольной изометрии

Рисунок 18.2 – Изометрическая проекция. Построение овала
Для более полного выявления внутренней формы изображаемых предметов применяют разрезы. Как правило, производится «вырез» четверти предмета. Разрез в аксонометрии выполняется при помощи двух секущих плоскостей, проведенных параллельно плоскостям проекций. Секущие плоскости должны проходить также через оси цилиндрических поверхностей. Части предмета, которые попадают в секущие плоскости, заштриховывают. Штриховку для различных секущих плоскостей выполняют в разные стороны. Направление линий штриховки параллельны гипотенузам равнобедренных прямоугольных треугольников, лежащих в соответствующих координатных плоскостях.
Для построения верхнего основания цилиндрической части детали проводим оси эллипсов - малую по направлению аксонометрической оси Z , т.е. вертикально, большую - перпендикулярно ей. На осях отложены их размеры соответственно - 0,71 и 1,22 диаметра окружности. Из одного центра нужно построить два эллипса, т.к. деталь состоит из двух цилиндрических поверхностей - наружной и внутренней.
Построение эллипсов (овалов) описано выше. Нижние основания цилиндров расположены в разных уровнях: основание наружного цилиндра лежит на верхней плоскости плиты, основание внутреннего - на нижней. Для их построения нужно сместить по оси Z центры эллипсов относительно центра верхнего основания на высоту цилиндров.
Далее, через точки, лежащие на оси Z «откладывем» по положительному и отрицательному направлениям оси У отрезки, равные половине ширины детали, а по оси Х соответственно - длине. Отмечаем полученные точки засечками и через них проводим линии параллельно аксонометрическим осям. Дополняем чертеж вертикальными линиями, проведенными через конечные точки. Аналогично достраиваем горизонтальный паз по нижней грани основания, боковую стенку и ребро жесткости. В завершении выполняем «вырез» четверти. Для этого используем две взаимно-перпендикулярные секущие плоскости, принадлежащие соответственно плоскостям проекций XOZ и YOZ.

Рисунок 18.3 - Построение прямоугольной изометрии детали
СБОРОЧНЫЙ ЧЕРТЕЖ.
Сборочный чертеж – графический документ, содержащий изображение сборочной единицы и др. данные необходимые для сборки и контроля.
Согласно ГОСТ 2.109-73 сборочный чертеж должен содержать:
1. изображение сборочной единицы, дающее представление о расположении и взаимной связи составных частей и обеспечивающее возможность осуществления сборки и последующего контроля сборочной единицы;
2. размеры;
3. номера позиций составных частей, входящих в изделие;
4. основные характеристики изделия;
5.габаритные, установочные и присоединительные и другие необходимые справочные размеры.
К сборочному чертежу прилагается спецификация, в которой вносят перечень составных частей, входящих в изделие, и разрабатываемые к нему конструкторские документы.
Сборочный чертеж составляют по рабочим чертежам или эскизам деталей. Число изображений должно быть минимальным , но достаточным для полного представления о конструкции и взаимосвязям составных частей изделия.
Сборочные чертежи выполняют с разрезами, позволяющими выявить характер соединения деталей. Разрезы используют простые и сложные, полные и местные.
При штриховке деталей, попавших в плоскость разреза, необходимо иметь в виду, что одна и та же деталь на всех видах штрихуется одинаково.
Сборочный чертеж решает следующие задачи:
1. Показывает из каких составных частей состоит изделие, которые нумеруются – цифры ставятся над полочной с указательной линией на конкретный элемент изделия. Полочки выполняются на одном уровне по горизонтали и вертикали, нумерация элементов изделия идет в определенном порядке по часовой стрелке, желательно последовательно. Размер шрифта на 1-2 размера больще, чем шрифт размерных чисел на чертеже.
2. Показывает, как между собой связаны, скреплены, свинчены составляющие изделия.
3. Показывает работу изделия в целом.
Для решения данных задач необходимо определенное количество видов, разрезов, сечений, проверкой правильности выполнения сборочного чертежа является то, что по каждому элементу, входящему в изделие можно выполнить деталирование.
Размеры на сборочных чертежах можно разделить на две группы.
Размеры, подлежащие выполнению по данному сборочному чертежу, исполнительные размеры. Они включают в себя:
а) монтажные размеры;
б) эксплуатационные размеры;
в) размеры элементов деталей, которые выполняются в процессе и после сборки;
г) размеры сопрягаемых элементов деталей, которые обуславливают характер соединения.
2.Размеры, не подлежащие выполнению по данному сборочному чертежу и указываемые для большего удобства пользования чертежом (справочные размеры):
а) габаритные размеры, определяющие предельные внешние очертания изделия (высота, ширина, длина);
б) установочные и присоединительные размеры.
Простановка размеров на сборочных чертежах обусловлена расчетом, компоновкой, требованиями технологии и условиями эксплуатации изделия.
Спецификация – это текстовый конструкторский документ, определяющий состав сборочной единицы, комплекса или комплекта. Спецификация выполняется на отдельных листах формата А; по форме 1 и 1а (ГОСТ 2.108-68).
Форма 1 применяется для заглавного листа, а форма 1а - для последующих листов. Спецификация состоит из разделов в следующей последовательности: 1) документация; 2) комплексы; 3) сборочные единицы; 4) детали; 5) стандартные изделия; 6) прочие изделия; 7) материалы; 8) комплекты.
Наличие тех или иных разделов определяется составом изделия. При выполнении учебных чертежей применяются следующие разделы; документация, сборочные единицы, детали, стандартные изделия. Название раздела записывается в виде заголовка строчными буквами (кроме первой прописной) в графе «Наименование», подчеркивают сплошной тонкой линией и помещают посередине строки. Ниже и выше каждого заголовка должна быть оставлена одна свободная строка.
Бланк спецификации см. рис.19.1

Рис.19.1
Образец заполнения спецификации см. рис..19.2

Рис.19.2
Образец сборочного чертежа предствален на рис.19.3

Рис.18.3
20 Деталирование Деталирование – это выполнение чертежа отдельно взятой детали на отдельно взятом формате со сборочного чертежа, применив при этом необходимое количество видов, разрезов и сечений, с нанесением полного объема размеров. Проверкой правильности выполнения является возможность выполнения детали по данному чертежу.
Форматы при деталировании:
А4 (только вертикально): один вид или главный вид и вид сверху.
А3: главный вид и вид слева или и более видов.
Масштаб выбирается самостоятельно из расчета полного заполнения площади формата всеми видами данной детали.
Эскиз — это чертеж, выполненный от руки, в глазомерном масштабе (без применения чертежных инструментов с соблюдением пропорциональностей) с натурального образца или чертеж технической идеи выполненный также. Он должен содержать все сведения о форме, размерах, материале и качестве поверхностей детали.
В начале выбирается главный вид, дающий наиболее полное представление об изделии, о его формах и размерах. Рекомендуется следующий порядок выполнения эскиза:
1. Осмотреть деталь и установить из каких геометрических тел она состоит.
2. Назначить необходимое количество изображений.
Нанести тонкими линиями контуры изделия.
Выполнить разрезы и сечения.
Обмерить деталь и проставить размеры. Обвести чертеж мягким карандашом.
Заполнить основную надпись, указав материал детали по ГОСТ.
Пример выполнения эскиза дан на странице 30 (Рис. 21).…...

Рис. 20.1
ЧЕРТЕЖИ СХЕМ
Схема – графический конструкторский документ, содержаний составные части изделия и связи между ними в виде условных изображений или обозначений. Схема должна пояснять основные принципы действия, а также указывать необходимые данные для проектирования, регулирования, контроля, ремонта и эксплуатации соответствующего изделия.
Требования к оформлению и выполнению схем установлены стандартами седьмой классификационной группы ЕСКД, которые содержат следующие термины и определения:
Элемент схемы – составная часть схемы, выполняющая определенную функцию (назначение) в изделии, которая не может быть разделена на части, имеющая самостоятельное функциональное назначение (конденсатор, резистор и т.д.).
Линия взаимосвязи – отрезок линии на схеме, показывающий связь между отдельными элементами схемы.
Виды схем и соответствующие им буквенные обозначения установлены в зависимости от видов элементов и связей, входящих в состав их изделия: вакуумные – В, гидравлические – Г, деления –Е, китнематические – К, оптические – Л, пневматические – П, комбинированные – С, электрические – Э.
Типы схем и соответствующие им цифровые обозначения установлены в зависимости от назначения схемы: структурные -1, функциональные - 2, принципиальные полные для электрических сзем -3, соединений (монтажные) – 4, подключения -5, общие -6, расположения - 7, объединенные – 0.
Примеры кодов схем: электрическая принципиальная - Э3, гидравлическая соединений – Г4, электрическая соединений и подключений – Э0.
Принципиальная схема определяет полный состав элементов и связей между ними и дает представление о принципах работы изделия. Служит для разработки других конструкторских документов, например чертежей плат, монтажных схем.
Структурная схема определяет основные функциональные части изделия, их назначение и взаимосвязи.
Схема соединений (монтажная) показывает порядок соединения составных частей изделия, состав элементов соединений, места присоединений, ввода и выхода.
Схема подключения показывает внешние входные и выходные подключения изделия.
Схема расположения определяет относительное расположение составных частей изделия. Используется при монтаже.
Схема объединенная содержит в виде совмещения на одном конструкторском документе двух или нескольких типов схем, разрабатываемых для одного изделия.
Изображение схем. Схемы выполняются без соблюдения масштаба, при этом действительное расположение элементов не учитывается или учитывают приближенно. Элементы, входящие в состав изделия, изображаются на схеме в виде графических обозначений установленных стандартами ЕСКД на одном уровне по горизонтали и вертикали.
Каждый элемент, входящий в изделие и изображенный на схеме, имеет буквенно-цифровое позиционное обозначение, составленное из буквенного обозначения и порядкового номера, проставленного после буквенного обозначения.
Порядковые номера элементам имеют сквозную нумерацию в пределах группы элементов с одинаковым буквенным обозначением (например, R1,R2, R3 и т.п.). Если в изделие входит только один элемент данной группы, то порядковый номер в его позиционном обозначении может не указываться. Цифра порядковых номеров элементов и их буквенное позиционное обозначения выполняются шрифтом одного размера. Нумерация производится слева направо и сверху вниз, позиционные обозначения проставляются над элементом или справа от него.
Позиционные обозначения элементов заносятся в спецификацию. Перечень, последовательность и порядок записи позиционных обозначений устанавливает ГОСТ 2.710-75 (в порядке латинского алфавита).
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Линии электрической связи (проводов) должны состоять из горизонтальных и вертикальных отрезков, выполняемых толщиной 0,3- 0,4 мм. промежуток между двумя параллельными линиями должен быть не менее 5 мм и кратно 5.
Условные графические обозначения элементов вычерчиваются на схеме линиями той же толщины. Места соединения трех линий связи являются электрическими узлами и обозначаются точкой.
На схемах должно быть наименьшее количество изломов и пересечений линий связи, изображаемых горизонтальными и вертикальными участками. Схемы следует выполнять компактно, без ущерба для удобства их чтения.
52451069850Рис.20.1
Для полупроводниковых элементов направление стрелки на структурной блок-схеме совпадает с направлением проводимости полупроводниковых элементов на принципиальной электрической схеме.
В правой части листа выполняется спецификация – перечень элементов, входящих в данную схему.
593090123444000На принципиальных схемах изображаются все электрические элементы, связи между ними, а также электрические элементы, которыми заканчиваются входные и выходные цепи. Схемы выполняются для изделий находящихся в отключенном состоянии. Схемы выполняются в многолинейном и однолинейном изображении.

Рис.20.2
КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА
21.1 ВВЕДЕНИЕ В КОМПЬЮТЕРНУЮ ГРАФИКУ
Определение и основные задачи компьютерной графики. Области применения компьютерной графики. История развития компьютерной графики. Виды компьютерной графики.
Определение и основные задачи компьютерной графики
При обработке информации, связанной с изображением на мониторе, принято выделять три основных направления: распознавание образов, обработку изображений и машинную графику.
Основная задача распознавания образов состоит в преобразовании уже имеющегося изображения на формально понятный язык символов. Распознавание образов или система технического зрения (COMPUTER VISION) – это совокупность методов, позволяющих получить описание изображения, поданного на вход, либо отнести заданное изображение к некоторому классу (так поступают, например, при сортировке почты). Одной из задач COMPUTER VISION является так называемая скелетизация объектов, при которой восстанавливается некая основа объекта, его «скелет».
Обработка изображений (IMAGE PROCESSING) рассматривает задачи в которых и входные и выходные данные являются изображениями. Например, передача изображения с устранением шумов и сжатием данных, переход от одного вида изображения к другому (от цветного к черно–белому) и т.д. Таким образом, под обработкой изображений понимают деятельность над изображениями (преобразование изображений). Задачей обработки изображений может быть как улучшение в зависимости от определенного критерия (реставрация, восстановление), так и специальное преобразование, кардинально изменяющее изображения
Компьютерная (машинная) графика (COMPUTER GRAPHICS) воспроизводит изображение в случае, когда исходной является информация неизобразительной природы. Например, визуализация экспериментальных данных в виде графиков, гистограмм или диаграмм, вывод информации на экран компьютерных игр, синтез сцен на тренажерах.
Компьютерная графика в настоящее время сформировалась как наука об аппаратном и программном обеспечении для разнообразных изображений от простых чертежей до реалистичных образов естественных объектов. Компьютерная графика используется почти во всех научных и инженерных дисциплинах для наглядности и восприятия, передачи информации. Применяется в медицине, рекламном бизнесе, индустрии развлечений и т. д. Без компьютерной графики не обходится ни одна современная программа. Работа над графикой занимает до 90% рабочего времени программистских коллективов, выпускающих программы массового применения.
Конечным продуктом компьютерной графики является изображение. Это изображение может использоваться в различных сферах, например, оно может быть техническим чертежом, иллюстрацией с изображением детали в руководстве по эксплуатации, простой диаграммой, архитектурным видом
предполагаемой конструкции или проектным заданием, рекламной иллюстрацией или кадром из мультфильма.
Компьютерная графика – это наука, предметом изучения которой является создание, хранение и обработка моделей и их изображений с помощью ЭВМ, т.е. это раздел информатики, который занимается проблемами получения различных изображений (рисунков, чертежей, мультипликации) на компьютере.
В компьютерной графике рассматриваются следующие задачи:
представление изображения в компьютерной графике;
подготовка изображения к визуализации;
создание изображения;
осуществление действий с изображением.
Под компьютерной графикой обычно понимают автоматизацию процессов подготовки, преобразования, хранения и воспроизведения графической информации с помощью компьютера. Под графической информацией понимаются модели объектов и их изображения.
В случае, если пользователь может управлять характеристиками объектов, то говорят об интерактивной компьютерной графике, т.е. способность компьютерной системы создавать графику и вести диалог с человеком. В настоящее время почти любую программу можно считать системой интерактивной компьютерной графики.
Интерактивная компьютерная графика – это так же использование компьютеров для подготовки и воспроизведения изображений, но при этом пользователь имеет возможность оперативно вносить изменения в изображение непосредственно в процессе его воспроизведения, т.е. предполагается возможность работы с графикой в режиме диалога в реальном масштабе времени.
Интерактивная графика представляет собой важный раздел компьютерной графики, когда пользователь имеет возможность динамически управлять содержимым изображения, его формой, размером и цветом на поверхности дисплея с помощью интерактивных устройств управления.
История развития компьютерной (машинной) графики
Компьютерная графика насчитывает в своем развитии не более десятка лет, а ее коммерческим приложениям – и того меньше. Андриес ван Дам считается одним из отцов компьютерной графики, а его книги – фундаментальными учебниками по всему спектру технологий, положенных в основу машинной графики. Также в этой области известен Айвэн Сазерленд, чья докторская диссертация явилась теоретической основой машинной графики.
До недавнего времени экспериментирование по использованию возможностей интерактивной машинной графики было привилегией лишь небольшому количеству специалистов, в основном ученые и инженеры, занимающиеся вопросами автоматизации проектирования, анализа данных и математического моделирования. Теперь же исследование реальных и воображаемых миров через «призму» компьютеров стало доступно гораздо более широкому кругу людей.
Большинство традиционных приложений машинной графики являются двумерными. В последнее время отмечается возрастающий коммерческий интерес к трехмерным приложениям. Он вызван значительным прогрессом в решении двух взаимосвязанных проблем: моделирования трехмерных сцен и построения как можно более реалистичного изображения.
21.2 Области применения компьютерной графики
Область применения компьютерной графики не ограничивается одними художественными эффектами. Во всех отраслях науки, техники, медицины, в коммерческой и управленческой деятельности используются построенные с помощью компьютера схемы, графики, диаграммы, предназначенные для наглядного отображения разнообразной информации. Конструкторы, разрабатывая новые модели автомобилей и самолетов, используют трехмерные графические объекты, чтобы представить окончательный вид изделия. Архитекторы создают на экране монитора объемное изображение здания, и это позволяет им увидеть, как оно впишется в ландшафт.
Можно рассмотреть следующие области применения компьютерной графики.
Научная графика
Первые компьютеры использовались лишь для решения научных и производственных задач. Чтобы лучше понять полученные результаты, производили их графическую обработку, строили графики, диаграммы, чертежи рассчитанных конструкций. Первые графики на машине получали в режиме символьной печати. Затем появились специальные устройства – графопостроители (плоттеры) для вычерчивания чертежей и графиков чернильным пером на бумаге. Современная научная компьютерная графика дает возможность проводить вычислительные эксперименты с наглядным представлением их результатов.
Деловая графика
Деловая графика – область компьютерной графики, предназначенная для наглядного представления различных показателей работы учреждений. Плановые показатели, отчетная документация, статистические сводки – вот объекты, для которых с помощью деловой графики создаются иллюстративные материалы. Программные средства деловой графики включаются в состав электронных таблиц.
Конструкторская графика
Конструкторская графика используется в работе инженеров–конструкторов, архитекторов, изобретателей новой техники. Этот вид компьютерной графики является обязательным элементом САПР (систем автоматизации проектирования). Средствами конструкторской графики можно получать как плоские изображения (проекции, сечения), так и пространственные трехмерные изображения.
Иллюстративная графика
Иллюстративная графика – это произвольное рисование и черчение на экране компьютера. Пакеты иллюстративной графики относятся к прикладному программному обеспечению общего назначения. Простейшие программные средства иллюстративной графики называются графическими редакторами.
Художественная и рекламная графика
Художественная и рекламная графика – ставшая популярной во многом благодаря телевидению. С помощью компьютера создаются рекламные ролики, мультфильмы, компьютерные игры, видеоуроки, видеопрезентации. Графические пакеты для этих целей требуют больших ресурсов компьютера по быстродействию и памяти. Отличительной особенностью этих графических пакетов является возможность создания реалистических изображений и "движущихся картинок". Получение рисунков трехмерных объектов, их повороты, приближения, удаления, деформации связано с большим объемом вычислений. Передача освещенности объекта в зависимости от положения источника света, от расположения теней, от фактуры поверхности, требует расчетов, учитывающих законы оптики.
Одним из первых известных фильмов был фильм «Звездные войны». Он был создан с помощью суперкомпьютера Сгау. Этапы дальнейшего развития компьютерного кинематографа можно проследить по таким фильмам, как «Терминатор-2», «Вавилон 5», и др. До недавнего времени технологии компьютерной графики использовались для спецэффектов, создания изображений экзотических чудовищ, имитации стихийных бедствий и других элементов, которые являлись лишь фоном для игры живых актеров. В 2001 году вышел на экраны полнометражный кинофильм «Финальная фантазия», в котором все, включая изображения людей, синтезировано компьютером – живые актеры только озвучили роли за кадром.
Компьютерная анимация
Компьютерная анимация – это получение движущихся изображений на экране дисплее. Художник создает на экране рисунке начального и конечного положения движущихся объектов, все промежуточные состояния рассчитывает и изображает компьютер, выполняя расчеты, опирающиеся на математическое описание данного вида движения. Полученные рисунки, выводимые последовательно на экран с определенной частотой, создают иллюзию движения. Мультимедиа – это объединение высококачественного изображения на экране компьютера со звуковым сопровождением. Наибольшее распространение системы мультимедиа получили в области обучения, рекламы, развлечений.
Графика для Интернета
Появление глобальной сети Интернет привело к тому, что компьютерная графика стала занимать важное место в ней. Все больше совершенствуются способы передачи визуальной информации, разрабатываются более совершенные графические форматы, ощутимо желание использовать трехмерную графику, анимацию, весь спектр мультимедиа.
21.3 Виды компьютерной графики
Различают три вида компьютерной графики. Это растровая графика, векторная графика и фрактальная графика. Они отличаются принципами формирования изображения при отображении на экране монитора или при печати на бумаге.
Растровый метод – изображение представляется в виде набора окрашенных точек. Растровую графику применяют при разработке электронных (мультимедийных) и полиграфических изданий. Иллюстрации, выполненные средствами растровой графики, редко создают вручную с помощью компьютерных программ. Чаще всего для этой цели используют отсканированные иллюстрации, подготовленные художниками, или фотографии. В последнее время для ввода растровых изображений в компьютер нашли широкое применение цифровые фото– и видеокамеры.
Большинство графических редакторов, предназначенных для работы с растровыми иллюстрациями, ориентированы не столько на создание изображений, сколько на их обработку. В Интернете пока применяются только растровые иллюстрации.
Векторный метод – это метод представления изображения в виде совокупности отрезков и дуг и т. д. В данном случае вектор – это набор данных, характеризующих какой–либо объект.
Программные средства для работы с векторной графикой предназначены в первую очередь для создания иллюстраций и в меньшей степени для их обработки. Такие средства широко используют в рекламных агентствах, дизайнерских бюро, редакциях и издательствах. Оформительские работы, основанные на применении шрифтов и простейших геометрических элементов, решаются средствами векторной графики много проще.
Сравнительная характеристика растровой и векторной графики
Критерий сравнения Растровая графика Векторная графика
Способ представления изображения Растровое изображение строится из множества пикселей Векторное изображение описывается в виде последовательности команд
Представление объектов реального мира Растровые рисунки эффективно используются для представления реальных образов Векторная графика не позволяет получать изображения фотографического качества
Качество редактирования изображения При масштабировании и вращении растровых картинок возникают искажения Векторные изображения могут быть легко преобразованы без потери качества
Особенности печати изображения Растровые рисунки могут быть легко напечатаны на принтерах Векторные рисунки иногда не печатаются или выглядят на бумаге не так, как хотелось бы
Программные средства для работы с фрактальной графикой предназначены для автоматической генерации изображений путем математических расчетов. Создание фрактальной художественной композиции состоит не в рисовании или оформлении, а в программировании.
Фрактальная графика, как и векторная – вычисляемая, но отличается от неё тем, что никакие объекты в памяти компьютера не хранятся. Изображение строится по уравнению (или по системе уравнений), поэтому ничего, кроме формулы, хранить не надо.
Изменив коэффициенты в уравнении, можно получить совершенно другую картину. Способность фрактальной графики моделировать образы живой природы вычислительным путем часто используют для автоматической генерации необычных иллюстраций.

24. ТРЕХМЕРНАЯ ГРАФИКА
Основные понятия трехмерной графики. Области применения трехмерной графики. Программные средства обработки трехмерной графики.
Основные понятия трехмерной графики
Трехмерная графика нашла широкое применение в таких областях, как научные расчеты, инженерное проектирование, компьютерное моделирование физических объектов.
Для создания реалистичной модели объекта используются геометрические примитивы (куб, шар, конус и пр.) и гладкие, так называемые сплайновые поверхности. Вид поверхности определяется расположенной в пространстве сеткой опорных точек. Каждой точке присваивается коэффициент, величина которого определяет степень ее влияния на часть поверхности, проходящей вблизи точки. От взаимного расположения точек и величины коэффициентов зависит форма и гладкость поверхности в целом.
Деформация объекта обеспечивается перемещением контрольных точек, расположенных вблизи. Каждая контрольная точка связана с ближайшими опорными точками, степень ее влияния на них определяется удаленностью. Другой метод называют сеткой деформации. Вокруг объекта или его части размещается трехмерная сетка, перемещение любой точки которой вызывает упругую деформацию как самой сетки, так и окруженного объекта.
Еще одним способом построения объектов из примитивов служит твердотельное моделирование. Объекты представлены твердыми телами, которые при взаимодействии с другими телами различными способами (объединение, вычитание, слияние и др.) претерпевают необходимую трансформацию.
Все многообразие свойств в компьютерном моделировании сводится к визуализации поверхности, то есть к расчету коэффициента прозрачности поверхности и угла преломления лучей света на границе материала и окружающего пространства. Свойства поверхности описываются в создаваемых массивах текстур, в которых содержатся данные о степени прозрачности материала, коэффициенте преломления, цвете в каждой точке, цвете блика, его ширине и резкости и др.
После завершения конструирования и визуализации объекта приступают его "оживлению", т.е. заданию параметров движения. Компьютерная анимация базируется на ключевых кадрах.
Применение сложных математических моделей позволяет имитировать различные физические эффекты: взрывы, дождь, снег, огонь, дым, туман и др.
Основную долю рынка программных средств обработки трехмерной графики занимают три пакета: 3D Studio Max фирмы Kinetix; Softimage 3D компании Microsoft; Maya, разработанная консорциумом известных компаний (Alias, Wavefront, TDI). На сегодняшний день Maya является наиболее передовым пакетом в классе средств создания и обработки трехмерной графики для персональных компьютеров.
Трехмерная графика нашла широкое применение в таких областях, как научные расчеты, инженерное проектирование, компьютерное моделирование физических объектов (рис. 3). В качестве примера рассмотрим наиболее сложный вариант трехмерного моделирования – создание подвижного изображения реального физического тела.
В упрощенном виде для пространственного моделирования объекта требуется:
спроектировать и создать виртуальный каркас (“скелет”) объекта, наиболее полно соответствующий его реальной форме;
спроектировать и создать виртуальные материалы, по физическим свойствам визуализации похожие на реальные;
присвоить материалы различным частям поверхности объекта (на профессиональном жаргоне – “спроектировать текстуры на объект”);
настроить физические параметры пространства, в котором будет действовать объект, – задать освещение, гравитацию, свойства атмосферы, свойства взаимодействующих объектов и поверхностей;
задать траектории движения объектов;
рассчитать результирующую последовательность кадров;
наложить поверхностные эффекты на итоговый анимационный ролик.
Для создания реалистичной модели объекта используют геометрические примитивы (прямоугольник, куб, шар, конус и прочие) и гладкие, так называемые сплайновые поверхности. В последнем случае применяют чаще всего метод бикубических рациональных В-сплайнов на неравномерной сетке (NURBS). Вид поверхности при этом определяется расположенной в пространстве сеткой опорных точек. Каждой точке присваивается коэффициент, величина которого определяет степень ее влияния на часть поверхности, проходящей вблизи точки. От взаимного расположения точек и величины коэффициентов зависит форма и “гладкость” поверхности в целом.
После формирования “скелета” объекта необходимо покрыть его поверхность материалами. Все многообразие свойств в компьютерном моделировании сводится к визуализации поверхности, то есть к расчету коэффициента прозрачности поверхности и угла преломления лучей света на границе материала и окружающего пространства.
Закраска поверхностей осуществляется методами Гуро (Gouraud) или Фонга (Phong). В первом случае цвет примитива рассчитывается лишь в его вершинах, а затем линейно интерполируется по поверхности. Во втором случае строится нормаль к объекту в целом, ее вектор интерполируется по поверхности составляющих примитивов и освещение рассчитывается для каждой точки.
Свет, уходящий с поверхности в конкретной точке в сторону наблюдателя, представляет собой сумму компонентов, умноженных на коэффициент, связанный с материалом и цветом поверхности в данной точке. К таковым компонентам относятся:
свет, пришедший с обратной стороны поверхности, то есть преломленный свет (Refracted);
свет, равномерно рассеиваемый поверхностью (Diffuse);
зеркально отраженный свет (Reflected);
блики, то есть отраженный свет источников (Specular);
собственное свечение поверхности (Self Illumination).
Следующим этапом является наложение (“проектирование”) текстур на определенные участки каркаса объекта. При этом необходимо учитывать их взаимное влияние на границах примитивов. Проектирование материалов на объект – задача трудно формализуемая, она сродни художественному процессу и требует от исполнителя хотя бы минимальных творческих способностей.
После завершения конструирования и визуализации объекта приступают к его “оживлению”, то есть заданию параметров движения. Компьютерная анимация базируется на ключевых кадрах. В первом кадре объект выставляется в исходное положение. Через определенный промежуток (например, в восьмом кадре) задается новое положение объекта и так далее до конечного положения. Промежуточные значения вычисляет программа по специальному алгоритму. При этом происходит не просто линейная аппроксимация, а плавное изменение положения опорных точек объекта в соответствии с заданными условиями.
Эти условия определяются иерархией объектов (то есть законами их взаимодействия между собой), разрешенными плоскостями движения, предельными углами поворотов, величинами ускорений и скоростей. Такой подход называют методом инверсной кинематики движения. Он хорошо работает при моделировании механических устройств. В случае с имитацией живых объектов используют так называемые скелетные модели. То есть, создается некий каркас, подвижный в точках, характерных для моделируемого объекта. Движения точек просчитываются предыдущим методом. Затем на каркас накладывается оболочка, состоящая из смоделированных поверхностей, для которых каркас является набором контрольных точек, то есть создается каркасная модель. Каркасная модель визуализуется наложением поверхностных текстур с учетом условий освещения. В ходе перемещения объекта получается весьма правдоподобная имитация движений живых существ.
Наиболее совершенный метод анимации заключается в фиксации реальных движений физического объекта. Например, на человеке закрепляют в контрольных точках яркие источники света и снимают заданное движение на видео- или кинопленку. Затем координаты точек по кадрам переводят с пленки в компьютер и присваивают соответствующим опорным точкам каркасной модели. В результате движения имитируемого объекта практически неотличимы от живого прототипа.
Процесс расчета реалистичных изображений называют рендерингом (визуализацией). Большинство современных программ рендеринга основаны на методе обратной трассировки лучей (Backway Ray Tracing). Применение сложных математических моделей позволяет имитировать такие физические эффекты, как взрывы, дождь, огонь, дым, туман. По завершении рендеринга компьютерную трехмерную анимацию используют либо как самостоятельный продукт, либо в качестве отдельных частей или кадров готового продукта.
Особую область трёхмерного моделирования в режиме реального времени составляют тренажеры технических средств – автомобилей, судов, летательных и космических аппаратов. В них необходимо очень точно реализовывать технические параметры объектов и свойства окружающей физической среды. В более простых вариантах, например при обучении вождению наземных транспортных средств, тренажеры реализуют на персональных компьютерах.
Самые совершенные на сегодняшний день устройства созданы для обучения пилотированию космических кораблей и военных летательных аппаратов. Моделированием и визуализацией объектов в таких тренажерах заняты несколько специализированных графических станций, построенных на мощных RISC-процессорах и скоростных видеоадаптерах с аппаратными ускорителями трехмерной графики. Общее управление системой и просчет сценариев взаимодействия возложены на суперкомпьютер, состоящий из десятков и сотен процессоров. Стоимость таких комплексов выражается девятизначными цифрами, но их применение окупается достаточно быстро, так как обучение на реальных аппаратах в десятки раз дороже.
Программные средства обработки трехмерной графикиНа персональных компьютерах основную долю рынка программных средств обработки трехмерной графики занимают три пакета. Эффективней всего они работают на самых мощных машинах (в двух- или четырехпроцессорных конфигурациях Pentium II/III, Xeon) под управлением операционной системы Windows NT.
Программа создания и обработки трехмерной графики 3D Studio Max фирмы Kinetix изначально создавалась для платформы Windows. Этот пакет считается «полупрофессиональным». Однако его средств вполне хватает для разработки качественных трехмерных изображений объектов неживой природы. Отличительными особенностями пакета являются поддержка большого числа аппаратных ускорителей трехмерной графики, мощные световые эффекты, большое число дополнений, созданных сторонними фирмами. Сравнительная нетребовательность к аппаратным ресурсам позволяет работать даже на компьютерах среднего уровня. Вместе с тем по средствам моделирования и анимации пакет 3D Studio Max уступает более развитым программным средствам.
Программа Softimage 3D компании Microsoft изначально создавалась для рабочих станций SGI и лишь сравнительно недавно была конвертирована под операционную систему Windows NT. Программу отличают богатые возможности моделирования, наличие большого числа регулируемых физических и кинематографических параметров. Для рендеринга применяется качественный и достаточно быстрый модуль Mental Ray. Существует множество дополнений, выпущенных “третьими” фирмами, значительно расширяющих функции пакета. Эта программа считается стандартом «де-факто» в мире специализированных графических станций SGI, а на платформе IBM PC выглядит несколько тяжеловато и требует мощных аппаратных ресурсов.
Наиболее революционной с точки зрения интерфейса и возможностей является программа Мауа, разработанная консорциумом известных компаний (Alias, Wavefront, TDI). Пакет существует в вариантах для разных операционных систем, в том числе и Windows NT. Инструментарий Мауа сведен в четыре группы: Animation (анимация), Modeling (моделирование), Dynamic (физическое моделирование), Rendering (визуализация). Удобный настраиваемый интерфейс выполнен в соответствии с современными требованиями. На сегодняшний день Мауа является наиболее передовым пакетом в классе средств создания и обработки трехмерной графики для персональных компьютеров.
25. КОМПАС-ГРАФИК
Система КОМПАС-ГРАФИК предназначена для автоматизации проектно-конструкторских работ в различных отраслях деятельности. Она успешно используется в машиностроении, архитектуре, строительстве, составлении планов и схем - везде, где необходимо разрабатывать и выпускать графические и текстовые документы.
КОМПАС-ГРАФИК - графический редактор, позволяющий разрабатывать и выпускать различные документы - эскизы, чертежи, схемы, плакаты и т.д. (разработан в конце 80-х годов) В системе предусмотрены два вида графических документов - чертежи и фрагменты.
Чертеж имеет рамку и основную надпись. Специализированная модель позволяет работать с чертежом, как с документом, состоящим из нескольких листов. Каждый лист может состоять из отдельных видов (проекций, разрезов, сечений), штампа и технических требований. В свою очередь, вид можно разбивать на слои (не более 255). На листе чертежа могут быть размещены спецификация, технические требования, знак неуказанной шероховатости.
Фрагмент содержит изображение в натуральную величину без элементов оформления (рамки, технических требований и т.п.).
Любой вид чертежа или фрагмент может содержать до 255 слоев, каждый из которых можно делать текущим или недоступным для редактирования или вообще невидимым.
КОМПАС-ГРАФИК позволяет работать со всеми типами графических примитивов, необходимыми для выполнения любого построения. Для удобной работы со сложным чертежом можно использовать локальные системы координат и разномасштабную сетку. Обеспечен динамический вызов объектных привязок, а также измерение любых геометрических параметров на чертеже.
Модель чертежа КОМПAС-ГPAФИК ориентирована на ЕСКД, что позволяет безо всяких дополнительных оболочек и надстроек выпускать полностью соответствующую стандартам документацию. Реализованы все типы линейных, угловых, радиальных и диаметральных размеров (включая наклонные размеры, размеры высоты и размеры дуги). Среди объектов оформления все типы шероховатостей, линий-выносок, обозначения баз, допусков формы и расположения поверхностей, линии сечения, стрелки направления взгляда, штриховки, тексты, таблицы.
КОМПАС-ГРАФИК обеспечивает пользователя всеми инструментами, необходимыми для редактирования чертежа. Выполняются операции сдвига, копирования, поворота, масштабирования, симметричного отображения, деформации, удаления, выравнивания. Поддерживается перенос и копирование объектов через буфер обмена. Перетаскивание "мышью" характерных точек любых (как векторных, так и растровых) объектов позволяет быстро менять их размер и положение. При формировании и изменении чертежа можно использовать ссылки на связанные с ним внешние фрагменты, которые могут храниться как в отдельных файлах, так и в специальных библиотеках фрагментов.
КОМПAС-ГPAФИК ориентирован на быструю и удобную разработку собственных приложений пользователя. Он имеет мощный макроязык на базе стандартного С с более чем 300 встроенными функциями и интегрированную среду для написания и отладки текста приложения.
Любому графическому объекту в КОМПАС-ГРАФИК можно поставить в соответствие неграфическую информацию, называемую атрибутом. Атрибутом может быть число, строка, запись или таблица. Объект может иметь любое количество атрибутов. Атрибуты объекта могут быть просмотрены и отредактированы в любой момент работы над документом; они также используются для поиска графических объектов.
Система содержит набор команд для измерения длин, расстояний и углов, вычисления массо-центровочных характеристик плоских фигур, тел выдавливания и вращения.
Реалистичный режим заполнения граф основной надписи и текста технических требований облегчает оформление документа. В комплект поставки КОМПАС-ГРАФИК входит библиотека стандартных основных надписей графических документов; возможно создание пользовательских основных надписей.
В графическом редакторе КОМПАС-ГРАФИК могут создаваться параметрические модели. Отличие параметрической модели от обычной состоит в том, что в ней существуют взаимосвязи между объектами. Примерами взаимосвязей могут служить параллельность, касание объектов, совпадение их характерных точек, равенство длин отрезков и т.д. Взаимосвязи формируются как при вводе объектов автоматически, так и путем вызова специальных команд. Автоматическое формирование связей может быть запрещено, любая существующая связь может быть удалена.
Возможно также создание ассоциативных объектов оформления. Ассоциативные объекты "отслеживают" изменение положения своих базовых примитивов и автоматически перестраиваются в соответствии с ним.
В результате редактирования любого объекта остальные объекты изменяются так, чтобы заданные пользователем взаимосвязи не нарушались.
Текстовый редактор КОМПАС-ГРАФИК позволяет выпускать различные текстовые документы - расчетно-пояснительные записки, технические условия, инструкции и т.д. Текстовый документ является отдельным типом документа КОМПАС.
При работе с текстовым документом доступны все основные возможности: работа с растровыми и векторными шрифтами Windows, выбор параметров шрифта (размер, наклон, начертание, цвет и т.д.), выбор параметров абзаца (отступы, межстрочный интервал, выравнивание и т.д.), ввод специальных знаков и символов, надстрочных и подстрочных символов, индексов, дробей, вставка рисунков и графических файлов КОМПАС, автоматическая нумерация списков, в том числе с различными уровнями вложенности, и страниц, поиск и замена текста, формирование таблиц. Часто встречающиеся фрагменты текста могут быть сохранены для последующего быстрого ввода. Предусмотрена возможность автоматической замены ошибочно введенных латинских символов на кириллические и наоборот.
Функции текстового редактора КОМПАС-ГРАФИК доступны не только при создании отдельных текстовых документов, но и при вводе любого текста в графическом документе (например, при создании технических требований, таблиц, технологических обозначений).
КОМПAС-ГPAФИК очень прост и быстро осваивается. Как показывает практика, уже через одну-две недели после начала работы пользователь среднего уровня получает навыки, достаточные для полноценной работы с системой. Пpи этом не возникает никаких психологических барьеров, так как КОМПAС позволяет работать в привычном для конструктора стиле, а подробная контекстно-зaвисимaя помощь облегчает изучение новых операций.
Компьютерная графика – это наука, предметом изучения которой является создание, хранение и обработка моделей и их изображений с помощью ЭВМ. В том случае, если пользователь может управлять характеристиками объектов, говорят об интерактивной компьютерной графике.
Данная дисциплина формирует способность использовать компьютерные технологии для планирования и проведения работ по техническому регулированию и метрологии, позволяет овладеть навыками работы на ЭВМ с графическими пакетами для получения конструкторской и технологической документации
Исторически первыми интерактивными системами считаются системы автоматизированного проектирования (САПР), которые появились в 60-х годах.
Графические файлы
Под графическими файлами подразумеваются файлы, в которых хранятся любые типы устойчивых графических данных (в отличие, например, от текста, электронной таблицы или цифровых данных), предназначенные для последующей визуализации. Способы организации этих файлов называются графическими форматами. Когда изображение сохраняется в файле, то содержимое этого файла уже не является изображением, а становится устойчивыми графическими данными.
Типы графических форматов:
.cdw, .frw - Компас
.grb – T-FLEX
.dwg, .dxf – AutoCAD
Графические данные традиционно подразделяются на два класса: векторные и растровые.
Растровые данные представляют собой набор числовых значений, определяющих цвета отдельных пикселей. Пиксели — это цветные точки, расположенные на правильной сетке и формирующие образ. Растр является массивом числовых значений, задающих соответствующие пиксели при отображении образа на устройстве вывода.
Векторные форматы
Векторные файлы содержат не пиксельные значения, а графические примитивы , которые описаны математическими формулами. По математическим описаниям графических форм (линий, кривых, сплайнов) программа визуализации строит изображение.
КОМПАС - это комплекс Автоматизированных Систем для решения широкого круга задач проектирования, конструирования, подготовки производства в различных областях машиностроения. Разработан специалистами российской фирмы АО “АСКОН” (С.-Петербург, Москва и Коломна), которые прежде работали на предприятиях различных оборонных отраслей. Эта система обеспечивает полную поддержку ЕСКД. Кроме того, она имеет большое количество прикладных библиотек фрагментов, моделей и прикладных библиотек, которые значительно облегчают работу конструктора.
Достоинства этой программы:
-программа легка в освоении и использовании,
-хорошо развивает навыки точного черчения,
-легкость и удобство управления программой, возможности редактирования ошибок,
-российская программа, конкурент Autocad на российском рынке.

Приложенные файлы

  • docx 4949272
    Размер файла: 8 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий