Хозяйкина Е. Г. Математика Древнего Вавилона с точки зрения математики XXI века с исправлениями


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Новосибирск 2016

Федеральное агентство связи

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования

«Сибирский государственный университет телекоммуникаций и
информатики»
(СибГУТИ)

Кафедра Высшей математики

11.03.02 Инфокоммуникационные
технологии и системы связи,
профиль Сети связи и системы
коммутации

(очная форма обучения)


Математика Древнего Вавилона с точки зрения математики XXI века

РЕФЕРАТ

по дисциплине «Математиче
ский анализ»



Выполнил:

студент ФАЭС, гр. А
-
54



___________/ Е. Г. Хозяйкина/

«__»_________ 2016

г
. (подпись)


Проверил:

Доц.

Кафедры ВМ




___________/ Д.

В
. Лыткина/

«__»_________ 2016

г.

(подпись)



2


СОДЕРЖАНИЕ

Содержание

................................
................................
................................
....

2

Вв
едение

................................
................................
................................
.........

3

Математика Древнего Вавилона

................................
................................
.

4

Находки Древнего Вавилона

................................
................................
...

4

Вави
лонская алгебра

................................
................................
...................

12

Древневавилонские клинописные вычисления в переводе

................

12

Пояснение к переводу

................................
................................
.............

14

Заключение

................................
................................
................................
..

16

Список использован
ной литературы

................................
........................

17




3


ВВЕДЕНИЕ

Из более 500 тыс. глиняных табличек, найденных археологами при
раскопках в Древней Месопотамии, около 400 содержат математические
сведения. Большинство из них расшифрованы и позволяют составить
довольно ясное представление о поразительных алгебраических и
геометрических достижениях вавилонских учёных.

О времени и месте рождения математики мнения разнятся.
Многочисленные исследователи

этого вопроса приписывают создание её
различным народам и приурочивают к разным эпохам. Единой точки зрения
на этот счёт не было ещё у древних греков, среди которых особенно была
распространена версия, что геометрию придумали египтяне, а арифметику


фини
кийские купцы, которые нуждались в подобных знаниях для торговых
расчётов. Геродот в «Истории» и Страбон в «Географии» отдавали приоритет
финикийцам. Платон и Диоген Лаэрций родиной и арифметики, и геометрии
считали Египет. Таково же и мнение Аристотеля, п
олагавшего, что математика
зародилась благодаря наличию досуга у тамошних жрецов.

Но безусловно, благодаря расшифровке древних сведений, мы можем
утверждать, что математика древнего Вавилона была невероятно развита для
своего века и вполне могла послужить
основой некоторых аспектов
современной науки.




4


МАТЕМАТИКА ДРЕВНЕГО
ВАВИЛОНА

Находки Древнего Вавилона

Хорошо сохранившиеся глиняные таблички, покрытые клинописными
текстами, найденные в Месопотамии и датируемые от 2000 г. до н.э. и до 300
г. н.э.,
свидетельствуют
о том, что представляла собой математика в древнем
Вавилоне. Это был довольно сложный сплав арифметики, алгебры, геометрии
и даже начатков тригонометрии.


Рис. 1


Небольшие глиняные бляшки, найден
ные в Иране,
предположительно использовались для записи мер зерна 8 тыс. до н.э.
Норвежский институт палеографии и истории, Осло.

Математике учили в писцовых школах, и каждый выпускник обладал
довольно серьёзным для того времени объёмом знаний. Видимо, име
нно об
этом говорит Ашшурбанипал, царь Ассирии в 7 в. до н.э., в одной из своих
надписей, сообщая, что научился находить «сложные обратные дроби и
умножать». Прибегать к вычислениям, жизнь заставляла вавилонян на каждом
шагу. Арифметика и нехитрая алгебра
нужны были в ведении хозяйства, при
обмене денег и расчётах за товары, вычислении простых и сложных
процентов, налогов и доли урожая, сдаваемой в пользу государства, храма или
5


землевладельца. Математических расчётов, причём довольно сложных,
требовали масш
табные архитектурные проекты, инженерные работы при
строительстве ирригационной системы, баллистика, астрономия, астрология.

Важной задачей математики было определение сроков
сельскохозяйственных работ, религиозных праздников, другие календарные
нужды. Ско
ль высоки в древних городах
-
государствах междуречья Тигра и
Евфрата были достижения в том, что греки позже назовут так удивительно
точно mathema («познание»), позволяют судить расшифровки месопотамских
глиняных клинописей. К слову, у греков термин mathema
поначалу обозначал
перечень четырёх наук: арифметику, геометрию, астрономию и гармонику,
собственно математику он начал обозначать много позже. В Месопотамии
археологи уже нашли и продолжают находить клинописные таблички с
записями математического характер
а частью на аккадском, частью на
шумерском языках, а также справочные математические таблицы. Последние
сильно облегчали вычисления, которые приходилось производить
повседневно, поэтому в ряде расшифрованных текстов довольно часто
содержится исчисление про
центов.

Сохранились названия арифметических действий более раннего,
шумерского периода месопотамской истории. Так, операция сложения
называлась «накопление» или «прибавление», при вычитании употреблялся
глагол «вырывать», а термин для умножения означал «ск
ушать». Интересно,
что в Вавилоне пользовались более обширной таблицей умножения


от 1 до
180 000, чем та, которую пришлось учить в школе нам, т.е. рассчитанная на
числа от 1 до 100. В Древней Месопотамии были созданы единообразные
правила арифметических
действий не только с целыми числами, но и с
дробями, в искусстве оперирования которыми вавилоняне значительно
превосходили египтян. В Египте, например, операции с дробями долгое время
продолжали оставаться на примитивном уровне, так как они знали лишь
алик
вотные дроби (т.е. дроби с числителем, равным 1). Со времён шумеров в
6


Месопотамии основной счётной единицей во всех хозяйственных делах было
число 60, хотя была известна и десятеричная система счисления, которая была
в ходу у аккадцев.

Вавилонские математи
ки широко пользовались
шестидесятеричной
позиционной

системой счёта

(Рис. 2)
. На её основе и были составлены
различные вычислительные таблицы. Кроме таблиц умножения и таблиц
обратных величин, с помощью которых производилось деление, существовали
таблицы
квадратных корней и кубических чисел. Клинописные тексты,
посвящённые решению алгебраических и геометрических задач,
свидетельствуют о том, что вавилонские математики умели решать некоторые
специальные задачи, включавшие до десяти уравнений с десятью
неизв
естными, а также отдельные разновидности кубических уравнений и
уравнений четвёртой степени. Квадратные уравнения вначале служили, в
основном, сугубо практическим целям


измерению площадей и объёмов, что
отразилось на терминологии. Например, при решении у
равнений с двумя
неизвестными, одно называлось «длиной», а другое


«шириной».
Произведение неизвестных называли «площадью»

(Пример вычислений на
плоскости


Рис. 3)
.
Эти названия невероятно схожи, а если точнее, то
фактически идентичны названиям величин в

современной математике.


Рис. 2
-

Вавилонские 60
-
ричные цифры

7



Рис. 3


Геометрические

задачи с рисунками трапеций и треугольников и
решением теоремы Пифагора. Размеры таблички: 21,0x8,2. 19 в. до н.э.
Британский музей

8


В задачах, приводящих к кубическом
у уравнению, встречалась третья
неизвестная величина


«глубина», а произведение трёх неизвестных
именовалось «объёмом». В дальнейшем, с развитием алгебраического
мышления, неизвестные стали пониматься более абстрактно. Иногда в
качестве иллюстрации алгебр
аических соотношений в Вавилоне
использовались геометрические чертежи. Позже, в Древней Греции они стали
основным элементом алгебры, тогда как для вавилонян, мысливших, прежде
всего, алгебраически, чертежи были лишь средством наглядности, и под
терминами «
линия» и «площадь» чаще всего понимались безразмерные числа.
Потому
-
то и встречались решения задач, где «площадь» складывалась со
«стороной» или отнималась от «объёма» и т.п. Особое значение имело в
древности точное измерение полей, садов, строений


ежего
дные разливы рек
приносили большое количество ила, который покрывал поля и уничтожал
межи между ними, и после спада воды землемерам по заказу их владельцев
частенько приходилось вновь перемеривать наделы. В клинописных архивах
сохранилось немало таких земл
емерных карт, составленных свыше 4 тыс. лет
тому назад.

Первоначально единицы измерения были не очень точными, ведь длину
измеряли пальцами, ладонями, локтями, которые у разных людей разные.
Получше обстояло дело с большими величинами, для измерения которы
х
пользовались тростником и верёвкой определённых размеров. Но и здесь
результаты измерений нередко различались между собой, в зависимости от
того, кто мерил и где. Поэтому в разных городах Вавилонии были приняты
разные меры длины. Например, в городе Лагаш
е «локоть» был равен 400 мм,
а в Ниппуре и самом Вавилоне


518 мм. Многие сохранившиеся
клинописные материалы представляли собой учебные пособия для
вавилонских школьников, в которых приводились решения различных
несложных задач, часто встречавшихся в пра
ктической жизни. Неясно, правда,
решал ли ученик их в уме или делал предварительные вычисления прутиком
9


на земле


на табличках записаны только условия математических задач и их
решение.

Основную часть курса математики в школе занимало решение
арифметическ
их, алгебраических и геометрических задач, при формулировке
которых было принято оперировать конкретными предметами, площадями и
объёмами. На одной из клинописных табличек сохранилась такая задачка: «За
сколько дней можно изготовить кусок ткани определённо
й длины, если мы
знаем, что ежедневно изготовляется столько
-
то локтей (мера длины) этой
ткани?» На другой приведены задачи, связанные со строительными работами.
Например, «Сколько земли потребуется для насыпи, размеры которой
известны, и сколько грунта дол
жен перетаскать каждый рабочий, если
известно их общее число?» или «Сколько глины должен заготовить каждый
рабочий для возведения стены определённых размеров?»

Школьник также должен был уметь вычислять коэффициенты,
подсчитывать итоги, решать задачи по изм
ерению углов, вычислению
площадей и объёмов прямолинейных фигур


это был обычный набор для
элементарной геометрии. Интересны сохранившиеся с шумерских времён
названия геометрических фигур. Треугольник назывался «клин», трапеция


«лоб быка», круг


«обруч
», ёмкость обозначалась термином «вода», объём


«земля, песок», площадь именовалась «поле». Один из клинописных
текстов содержит 16 задач с решениями, которые относятся к плотинам, валам,
колодцам, водяным часам и земельным работам. Одна задача снабжена
ч
ертежом, относящимся к круговому валу, ещё одна рассматривает усечённый
конус, определяя его объём умножением высоты на полусумму площадей
верхнего и нижнего оснований.

Вавилонские математики решали также планиметрические задачи,
используя свойства прямоуг
ольных треугольников, сформулированные
Пифагором впоследствии в виде теоремы о равенстве в прямоугольном
треугольнике квадрата гипотенузы сумме квадратов катетов. Другими
10


словами, знаменитая теорема Пифагора была известна вавилонянам не менее
чем за тысячу

лет до Пифагора

(Рис. 3)
. Помимо планиметрических задач,
решали и стереометрические, связанные с определением объёма различного
рода пространств, тел, широко практиковали черчение планов полей,
местностей, отдельных зданий, но обычно не в масштабе.
Наиболее
значительным достижением математики было открытие того факта, что
отношение диагонали и стороны квадрата не может быть выражено целым
числом или простой дробью. Тем самым в математику было введено понятие
иррациональности.

Считается, что открытие
одного из важнейших иррациональных чисел


числа π, выражающего отношение длины окружности к её диаметру и
равняющееся бесконечной дроби ≈ 3,14..., принадлежит Пифагору. По другой
версии, для числа π значение 3,14 впервые предложил Архимед на 300 лет
позже
, в 3 в. до н.э. Ещё по одной, первым вычислившим его был Омар Хайям,
это вообще 11


12 в. н.э. Достоверно известно лишь, что греческой буквой π
это отношение впервые обозначил в 1706 г. английский математик Уильям
Джонс, и лишь после того как в 1737 г. э
то обозначение позаимствовал
швейцарский математик Леонард Эйлер, оно стало общепринятым. Число π


древнейшая математическая загадка, это открытие следует искать также в
Древней Месопотамии.

Вавилонские математики прекрасно знали о важнейших
иррациональны
х числах, и решение задачи по вычислению площади круга
также можно найти в расшифровках клинописных глиняных табличек
математического содержания. Согласно этим данным π принималось равным
3, что, впрочем, было вполне достаточно для практических землемерных

целей. Исследователи считают, что шестидесятеричная система была выбрана
в Древнем Вавилоне из метрологических соображений: число 60 имеет много
делителей. Шестидесятеричная запись целых чисел распространения за
пределами Месопотамии не получила, но в Евр
опе вплоть до 17 в. широко
11


применялись и шестидесятеричные дроби, и привычное нам деление
окружности на 360 градусов. Час и минуты, делящиеся на 60 частей, также
берут начало в Вавилоне.


12


ВАВИЛОНСКАЯ АЛГЕБРА

Древневавилонские клинописные вычисления в переводе

Рассмотрим математику Древнего Вавилона с типичного
древневавилонского клинописного текста

(Рис. 1)
,

«
в
едь о том, что
происходило в голове математ
ика времен Гамму ради, мы знаем только то, что
можно вычитать из самих текстов.
»
[
№1
, 86]


Рис. 1


Математический клинописный текст АО 8862, скопированный
Нейгебауэром, MKT, II, табл. 35.

строчке.


13



Один из примеров перевода
текста АО 8862 из Сенкере (рис. 1)


древневавилонский,
(т.

е. эпохи династии Гаммурапи):

«Длина, ширина.
Длину и ширину я перемножил и площадь получил. Затем
избыток длины над шириной я прибавил к площади; 3,3 (т. е. 183) получилось
у меня. Затем я длину и ширину сложил: 27. Спрашивается длина,

ширина и
площадь.

(Даны) 2,7 и 3,3 суммы


(Резу
льтат) 15 длина

12 ширина

Ты сделаешь так:

27+3,3 = 3,30

2+27 =29.

Возьми половину от 29 (это дает 14;30).

14;30 X 14 ;30 = 3,30;15

3,30 ;15

-


3,30 =0,15.

0; 15 имеет 0; 30 квадратный корень.

14
;
0 + 0; 30=15 длина

14;30

-

0; 30 = 14 ширина.

Отними 2, которые ты прибавил к 27, от ширины 14; 12 истинная ширина.

15 длину, 16 ширину я перемножил:

15 х 12 = 3,0 площадь.

15

12 = 3 3,0 + 3 = 3,3».



3,0
-

площадь

14


Пояснение

к переводу

Первые строчки устанавливают задание: 2 уравнения с 2 неизвестными,
каждое из к
оторых изображается одним значком:
us

и sag

длина и ширина.
С сумерийскими словами обращаются, как с нашими алгебраическими
знаками х и у; у них то же самое преимущество, они остаются неизменными
во всех падежах. Таким образом, мы наверняка можем переписа
ть задачу при
помощи двух алгебраических уравнений:


(
ݔ
)
=
{
ݔݕ
+
ݔ

ݕ
=
183
,
ݔ
+
ݕ
=
27
,


(1)
В последних четырех строчках текста только проверяется, что
найденные числа х = 15 и у = 12 действительно удовлетворяют (1).


По смыслу решения видно, что автор для упрощения задачи вместо
настоящей ширины у ввел новую ширину у'
:

у'=у + 2, так что

у
=
y
'



2

Этим задача действительно упрощается, так как уравнения для
x

и у'
будут
:


(
ݔ
)
=
{
ху


=

183

+

27

=

210
,
х

+

у


=

27

+

2

=

29
,


(2)
Первое из уравнений (2) непосредственно
получается, если сложить друг
с другом оба уравнения (1). Приведение системы (1) к (2) в тексте передается
очень лаконично, двумя строчками:

27 + 3,3 = 3,30,

2 + 27 = 29.

После этого идет решение упрощенной системы (2). Оно полу
чается при
помощи твердо установленного правила, которое постоянно встречается и в
15


других текстах. В современной алгебраической символике это правило можно
записать так:


(
ݔ
)
=
{
ху


=


,
х

+

у


=

a
,

(3)
Будет

ݔ
=
1
2

+


ݕ
=
1
2






(4)

=

(
1
2

)
2



Действительно, все то, чт
о вавилоняне шаг за шагом вычис
ляли на
конкретных числах, ра
вносильно применению формул (4)
.

Но этих формул
они не дают: дается только ряд примеров, которые иллюстрируют один и тот
же способ вычисления.


16



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Фактически можно сказать, что несмотря на использование арабской
системы знаков для вычислений, логики расчета основанной на геометр
ии, в
отличии от Древнего Вавилона, ведущего расчеты с точки зрения алгебры


очень и очень многое было взято из размышлений и расчетов математиков
Вавилона или вновь выведено к нашему времени.

Вавилоняне

не следовали арабскому

способу


опре
делить одно
из
неи
звестных из одного уравнения

и подставить его в другое
,

как мы это делаем
сейчас, взяв

арабскую логику расчета задач
. Арабы любую алг
ебраическую
задачу обычно приво
дили к одному уравнению с одним неизвестным.
Это не
значит, что
вавилоняне не умели вести расчеты подобным образом

-


это
значит лишь то, что подобный вариант они рассматривали как
побочный
.

Формулы квадрата разности, квадрата суммы, разности суммы
-

до сих пор не
известно какими пу
тями

они были выведены в Древнем Вавилоне,
учитывая,
что мыслили и вели р
асчеты они чисто

алгебраически.

Теоремы, сформулированные Пифагором, бесконечные дроби,
иррациональные числа и даже минимальное использование цифровых знаков


все
это было в Древнем Вавилоне. Кто знает возможно древние знания, давно
утерянные, содержат
решения

современных

математических

задач
.


17



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННО
Й ЛИТЕРАТУРЫ

1)

Варден, В. д. (1959).
Пробуждающаяся наука.
Математика древнего
Египта, Вавилона и Греции.

Москва: Наука.

2)

Малинский, А. (2014).
Математика в Древнем Вавилоне.

Статья для
сайта "Дом фактов".

3)


Перевод текста

заим
ствован

из монументального про
изведения О.
Нейгебауэра
«Клинописные математические текс
ты»

(Mathematische
Keilschrifttexte, Quellen u. Studien Gesch. Math. [
А
] 3, Berlin, 1935),
пополненного Тюро
-
Данженом (Textes mathematiques babyloniens,
Leiden, 1938) и О. Нейгебауэром и А. Саксом (Mathematical Cuneiform
Texts, New Haven, Conn., 1945).


Приложенные файлы

  • pdf 1245505
    Размер файла: 880 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий