57b_1- ГДЗ. Алгебра и начала анализа 11кл. Колмогоров_2002 -221с


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
учебнику
учреждений
Дудницин
ГЛАВА
Первообразная
26.
Определение
первообразной
326.
) F(x) = x
первообразная
f(x) = 5x
) F(x) = x
первообразная
f(x) = -3x
(0;
) F(x) =
первообразная
f(x) = x
) F(x) =
первообразная
f(x) = x
(0;
327.
(x) = –cosx
cosx, F(x) = 3 – sinx
(x) = (5 – x
образом
F(x) = 5 – x
первообразной
f(x) = -4x
(x) = (cosx – 4)
= -sinx
образом
F(x) = cosx – 4
является
первообразной
f(x) = -sinx
(x) = (x
+ 2)
(0;
),
образом
F(x) = x
+ 2
является
первообразной
f(x) =
(0;
328.
) F(x) = 3,5x + 10,
(x) = f(x)
для
) F(x) = sinx + 3,
(x) = f(x)
) F(x) = x
+ 2,
(x) = f(x)
любого
) F(x) = 8,
(x) = f(x)
329.
) F(x) = cosx + 4,
. F`(x) = f(x)
любого
) F(x) = 3 –
(x) = f(x)
любого
) F(x) = 4(5 – x),
(x) = f(x)
) F(x) = 1 – sinx,
(x) = f(x)
R.
330.
(x) = (sin
= 2sinxcosx = sin2x
(x) =
(cos2x)
(-2)sin2x = -sin2x
любого
(x) = (sin3x)
= 3cos3x
(x) =
cos2
любого
331.
(x) =
)(
cos2
xf
=−=

x
R;
(x) =
)(
xf
−=
любого
(-2;2);
(x) =
21
xx
−=
любого
(0;
(x) =
)(6
444
xfxx
xxx
==⋅=
любого
(0;
332.
) F(x) =
+ 2x + 8,
(x) = f(x)
для
) F(x) = x + cos x + 2,
. f(x) =
xx
sin1
−=
(x)=1 – sinx
) F(x) = x – 12,
. f(x) = sin
x + cos
x = 1
(x) = f(x)
) F(x) = x
+ x = 5,
(x) = f(x)
любого
R.
333.
(x)=x
(x)=x
+13 –
первообразные
f(x)=2x
(x) = x + cosx + 12
(x) = x + cosx – 1 –
первообразные
f(x) = 1 – sinx
(x) =
(x) =
первообразные
для
f(x)=x
(x) = sinx + 2x + 2
(x) = sinx + 2x – 7 –
первообразные
f(x) = cosx + 2
334.
) g(x) =
первообразная
f(x) =
;0)
(x) =
) f(x) =
– cosx –
первообразная
h(x) = x + sinx
(x) = 1 + cosx = g(x);
) h(x) =
первообразная
для
g(x)=x + 2
R, g
(x)=1=f(x);
) g(x) = 3x + 2cosx –
первообразная
для
f(x) = 3 – 2sinx
(x) = –2cosx = h(x).
Основное
свойство
первообразной
335.
a) f(x) = 2 – x
F(x) = 2x –
Cx
) f(x) = x + cosx;
Cxx

) f(x) = 4x; F(x) = 2x
) f(x) = -3; F(x) = -3x + C.
336.
) f(x) = x
Cx
) f(x) =
; F(x) =
Cx
−−
) f(x)=1–
) f(x) = x
; F(x) =
Cx
337.
) f(x) =
, F(x) =
;C
−
;10,122
−=−=−=
CC
−−
) f(x) =
;1,01
;)(,
−===
=
CC
FCtgxxF
F(x) = tgx – 1;
) f(x) = x
, F(x) =
1,2
)1(;
===−
CC
FC
1x
)x(F
=
) f(x) = sinx, F(x) = -cosx + C; F(-
) = 1 + C, C = -2;
F(x) = -cos-2 –
первообразная
f(x) = sinx; F(-
) = -1.
338.
(x) = (sinx)
- (xcosx)
= cosx – cosx + xsinx = f(x);
F(x) = sinx – xcosx + C –
общая
первообразная
(x) =
);(
xf
xx
⋅=
C1x

общая
первообразная
(x) = (cosx)
+ (xsinx)
= -sinx + sinx + xcosx = xcosx = f(x);
F(x) = cosx + xsinx + C –
общая
первообразная
(x) =
);(
11
xf
==
xxF
−=
)(
общая
первообразная
339.
) f(x) = 2cosx, F(x) = 2sinx + C;
;3,12
==−=
CC
F(x) = 2sinx + 3 –
искомая
первообразная
) f(x) = 1 – x
, F(x) = x –
;Cx
F(-3) = –3 + 9+
=6 + C = 9, C = 3;
F(x) = x –
3x
искомая
первообразная
) f(x)=sin
;2,11cos
cos)(,
−=−==π−=
−=
CCC
FCxxFx
F(x) = -cos
искомая
первообразная
) f(x) =
5,3
)(,
==−=
−=
CC
FC
xF
−
искомая
первообразная
340.
) f(x) = 2 – sinx, F
(x) = 2x + cosx
(x) = 2x + cosx + C;
(x) – F
(x) = C = 4; F
(x) = 2x + cosx
(x) = 2x + cosx + 4 –
искомые
первообразные
) f(x)=1+tg
CtgxxF
=
)(,
;)(
tgxxF
(x)–F
(x)=C=1;
(x) = tgx + 1
= tgx –
две
первообразные
) f(x) =
xxFx
xx
sin)(,cos
−=
−=−
(x) = -sinx + C;
(x) – F
(x) = C =
(x) = -sinx
(x) = -sinx + 0,5 –
искомые
первообразные
) f(x) =
xxF
2)(,
;2)(
CxxF
=
(x) – F
(x) = C = 2;
(x) =
x2
22)(
=
xxF
две
искомые
первообразные
341.
) a(t) = -2t, v(t) = -t
+ C
21
CtC
−
v(1) = -1 + C
= 2, C
= 3; x(t) =
,3
Ct
−
x(1) =
1,43
22
==−
CC
x(t) =
−
) a(t) = sint, v(t) = -cost + C
, x(t) = -sint + C
;1
==
Cv
x(t) = -sint + t+C
3,2
22
−==
−=
CC
x(t)=–sint+t+3–
) a(t) = 6t, v(t) = 3t
, x(t) = t
t + C
; v(0) = C
= 1;
x(t) = t
+ t + C
, x(0) = C
= 3; x(t) = t
+ t + 3;
) a(t) = cost, v(t) = sint + C
, x(t) = -cost + C
; v(
) = C
x(t) = -cost + C
) = 1 + C
= 0; x(t) = -cost.
правила
нахождения
первообразных
342.
) f(x) = 2 – x
поэтому
F(x) = 2x –
−
общий
первообразных
f(x);
) f(x) = x –
;cos
Cx

общий
первообразных
f(x);
) f(x) =
;sin
Cx
−
общий
первообразных
f(x);
) f(x) = 5x
– 1;
Cxx
−
общий
первообразных
f(x).
343.
) f(x) = (2x – 3)
; F(x) =
CxCx
−=−⋅
)32(
)32(
первообразных
для
f(x);
) f(x) = 3sin2x; F(x) =
Cx
Cx
−=⋅−⋅
2cos5,12cos)3(
общий
первообразных
f(x);
) f(x) = (4 – 5x)
Cx
Cx
−−=−⋅−
)54(
)54(
общий
первообразных
f(x);
) f(x) =
43
−−
−−=
−⋅⋅−
43
43
sin3
общий
первообразных
f(x).
344.
) f(x) =
)154(
F(x) =
=
−⋅−
)154(15
154
общий
первообразных
f(x);
) f(x) =
F(x) = -2tg
Cx
общий
первообразных
f(x);
) f(x) =
)13(
F(x) =
−=
−⋅
)13(3
)13(
общий
первообразных
f(x);
) f(x) =
)13(cos
12
25
−
Cxtg
−
)13(
общий
первообразных
f(x).
345.
) f(x) = 4x +
F(x) = 2x
общая
первообразная
F(-1)=2+1+C = 4, C = 1; F(x) = 2x
искомая
первообразная
) f(x) = x
+ 2; F(x)=
Cx2

общая
первообразная
F(2) = 4+4+C=15, C = 7; F(x) =
7x2

первообразная
) f(x) = 1 – 2x; F(x) = x – x
+ C –
общая
первообразная
F(3) = 3–9+C = 2, C = 8; F(x) = x – x
+ 8 –
искомая
первообразная
) f(x) =
;3x10
−
Cxx
−−
32
общая
первообразная
– 2 + 3 + C = 5;
= 4
1
F(x) =
5,432
−−
xx
искомая
первообразная
346.
) f(x) = 1 – cos3x + 2sin
F(x) = x –
Cx
cos23sin
общая
первообразная
) f(x) =
;3
4sin
xx
Cxxxctg
−−−−
224
общая
первообразная
) f(x) =
;2)4sin(3
)13(cos
xx
−−
Cxx
xtg
−−
)4cos(3)13(
общая
первообразная
) f(x) =
cos2
25
)23(
xx
Cx
−
sin225
)23(4
общая
первообразная
347.
) f(x) = 2x + 1; F(x) = x
+ x + C –
общая
первообразная
F(0) = 0: C = 0; F(x) = x
+ x –
искомая
первообразная
) f(x) = 3x
– 2x; F(x) = x
+ C –
общая
первообразная
F(1)=4:1–1 + C = 4, C = 4; F(x) = x
искомая
первообразная
) f(x) = x + 2; F(x) =
+ 2x + C –
общая
первообразная
F(1)=3:
+2+C=3, C=
2
1

xx
искомая
первообразная
) f(x) = -x
+ 3x; F(x) =
Cxx
−
23
общая
первообразная
F(2)=–1:
4,16
−=−=−
CC
23
−−
xx
первообразная
348.
v(t) = t
+ 2t – 1,
. v(t) x
(t),
x(t) =
Ctt
−
x(0)=0:C=0; x(t) =
tt
−
искомая
349.
v(t) = 2cos
x(t) = 4sin
t
2

;2,42,4
sin4:4
===
x(t) = 4sin
350.
a(t) = 12t
(t),
v(t) = 4t
+ 4t + C
v(1) = 10:4+4+C
=10;
= 2; v(t) = 4t
+ 4t + 2; x(t) = t
+ 2t
+ 2t + C
x(1)=12:1+2+2+C
=12, C
=7; x(t)=t
+ 2t
+ 2t + 7 –
искомая
351.
) F = ma,
. a(t) =
;32
96)(
tF
−=
v(t) = 2t –
;Ct
v(1) = 2 –
=3,5; x(t)=t
;5,3
Ct
−
x(1)=–5·1–0,5+3,5+
= -5, C
= -9; x(t) = t
95,3
−−
искомая
) F = ma,
. a(t) =
;sin2
sin14)(
tF
==
v(t) = -2cost + C
= 0; v(t) = -2cost; x(t) = -2sint + C
; x(
x(t) = -2sint + 3 –
искомая
) F= ma,
. a(t) =
;cos5
cos25)(
tF
==
v(t) = 5sint + C
;3,25
11
−===
CC
v(t) = 5sint – 3; x(t) = -5cost – 3t + C
4,4
22
==
−=
CC
x(t) = -5cost – 3t + 4 +
) F = ma,
;22
88)(
=
tF
v(t)= t
+ 2t + C
; v(2) = 4 + 4 + C
= 9, C
v(t) = t
+ 2t + 1 = (t + 1)
; x(t) =
x(2) = 9 + C
= -2;
x(t) =
352.
) f(x) = 3x
– 2x + 4; F(x) = x
+ 4x + C –
общая
первооб
разная
(-1) = 1: -1 – 1 – 4 + C
= 7;
(x) = x
+ 4x + 7 –
первообразная
(0) = 3: C
= 3; F
(x) = x
– x
+ 4x + 3 –
первообразная
(x) – F
(x) = 4 –
следовательно
график
(x)
расположен
выше
графика
(x);
) f(x)=4x – 6x
+ 1; F(x) = 2x
+ x + C –
общая
первообразная
(0) = 2: C
= 2; F
(x) = 2x
+ x + 2 –
первая
первообразная
(1) = 3: 2 – 2 + 1 + C
= 3, C
(x) = 2x
– 2x
+ x + 2 –
вторая
первообразная
следует
графики
) f(x) = 4x – x
; F(x) = 2x
−
общая
первообразная
(2)=1:2
4–4+C
=–3; F
(x)=2x
−−
первая
первообразная
(-2) = 3: 2
4 – 4 + C
= 3, C
(x) = 2x
−−
вторая
первообразная
(x) – F
(x) = -2 –
таким
образом
график
(x)
расположен
графика
(x);
) f(x) = (2x + 1)
; F(x) =
12
общая
первообразная
(-3) = -1:
19,1
11
=−=−
CC
(x) =
)12(
первая
первообразная
(1) =
1,
==
CC
(x) =
)12(
вторая
первообразная
(x) – F
(x) = 18 –
отсюда
что
график
(x)
расположен
графика
(x).
криволинейной
трапеции
353.
) y(x) = x
; S = Y(3) – Y(0) =
;9
) y = cosx; Y =sinx; S =
;10sin
sin)0(
=−
=−
YY
) y = sinx; Y(x) = –cosx; S = Y(
) – Y(0) = 1 + 1 = 2;
) y(x) =
первообразная
для
S = y(2) – y(1) =
)1(
=−−−
354.
) Y(x) =
первообразная
функции
+ 1;
S = Y(2) – Y(0) =
;62
=
) Y(x) = x – 2cosx –
первообразная
y = 1 + 2sinx;
;2
0cos2
cos2
)0(
=
=−
YY
) Y(x) = 4x
первообразная
функции
y = 4 – x
y = 0
при
x =
поэтому
S = Y(2) – Y(-2) =
242
−⋅⋅
) Y(x) = x +
первообразная
функции
y = 1 +
;xcos
.1
22
π=
−−
YY
355.
) Y(x) =
)2(
первообразная
функции
y = (x + 2)
y=0
при
x=2; x = –2
при
y = 4,
S =Y(0) – Y(-2) =
==
) Y(x) =
первообразная
для
;1
)1(
S = Y(2) – Y(0) =
212
12
=
) Y(x) = x
первообразная
y = 2x – x
y = 0
при
x = 0, x = 2,
поэтому
S = Y(2) – Y(0) = 4
=−
) Y(x) =
)1(
первообразная
для
y = -(x – 1)
ограничена
[0;1]
S = Y(1) – Y(0) =
)1(
356.
) Y(x) = -3cos
4
3
x

S =
;30cos3
cos3
=
−=
−−
YY
y = 2cos2x;
) y(x) = sin2;
;2
44
−−
−−
yy
xsin
)y(x) = -cosx
2
1
S =
126
66
−=
−=
yy
y = 1 – cosx;
) y(x) = x – sinx; S =
.2
22
222
−π=
−
−−
yy
Лейбница
357.
====
dxx
=−
==
0sin
sin|sincos
xxdx
;101
)
;20
==−==
dxx
=−
==
tgtgtgx
.101
358.
)12(2
)12(
=−=
−=
12
)
;6060sin6
sin6|
sin6
cos3
=−=−
==
;9,01
=−=−=
)1(
coscos
|2cos
2sin
=−
−=
−π−=
−=
359.
;1
==
tgtgx
;1|
==
xdx
. 1 = 1,
³³
10cos
cos|cos
=−=
−=−=
2|2
=−=−==
1
2
1

³³
;10sin
sin|sin
=−
==
xxdx
;101
³³
=−==
dxx
. 1 = 1,
³³
dxxxdx
;2|
)12(
==
xxdxx
;224|
)1(
=−=−=−
dxx
. 2 = 2,
.)1()12(
³³
−=
dxxdxx
360.
= 2S
y = x
22
=⋅=
dxx
ACDE
= 2
5
2
5
3
1
5
8

) S
==−=−=−
23
2032
|52
)54(
xxxdxxx
= 20 –
==
361.
=−=−=−
1|
)1(
xdxx
) S
+ 2 –
= 4 – 2 =
;22|
212)2(
=−−=⋅−−
dxx
)
=−−=−−=
|2
)4(
dxxx
7)189(2
=−
−=
=−
SSS
52
72)4(
=−=−−−=
dxxx
362.
;3
cos6
cos3|
cos3
=⋅=
−=
−=
π−
π−
;219|52
52
=−==
;39
9|
==
.4)19(2|32
=−==
363.
−=
=
cos2
sin1
xdx
xx
;1
21
0cos2
cos2
=−
=
;78
)21(
)21(
==−=
=
dxx
126
|2sin
)2cos1(
=
xxdxx
42
|2
==−−=
=
364.
−=
SSS
38|
81
=−=−=−⋅=
dxx
=−=
SSS
−=
⋅−
|sin2
1cos2
32
–2x+4=3, x
–2x+1=0, (x–1)
=0, x=1;
−=
SSS
=⋅−−
32)42(
dxxx
26
86|4
=−=−
−=
xx
)
−=
SSS
⋅−
66
−−=
36
|cos
−=
365.
) 4x– x
= 4 – x; x
–5x+4=0; x=4; x= 1;
=−=
SSS
=−
−=
−−=
33
)4(
dxxx
=−=−
−−
−=
)
= 8; x = 2;
=
==
42
SSS
;8844|
=−=−=
;88
84
=−
=−=
SSS
= 2x
при
x = 0; 2.
=−
=−=
42
dxx
SSS
4|
==−=−
) 6 + x – x
= 6 – 2x;
– 3x = 0; x = 0; x = 3.
−−=−=
)6(
dxxx
SSS
99
189|
32
63
32
=−−=−
−=
xx
366.
– 4x + 4 = 4 – x
– 4x = 0; x
– 2x = 0; x = 2; x = 0;
−−=−=
)4(
dxx
SSS
−=−=−−
2)24()44(
xdxxxdxxx
16
=
==−
– 2x + 2 = 2 + 6x – x
– 8x = 0; x
– 4x = 0; x = 0; x = 4.
=−=
SSS
−=−=
4)28(
xdxxx
164
==−⋅
= 2x – x
– x = 0; x = 0; x = 1;
=−=
SSS
1|
)22(
=−=
−=−
xdxxx
(1 – x) = 0; x = 0; x = 1;
=−=−=
³³
dxxdxxSSS
43
)(
43
32
=−=
−=−=
xx
dxxx
367.
y = 8x – 2x
= 16 – 8 = 8.
(2;8); y
(x) = 8 – 4x, y
(2) = 0;
=y(2)+y
(2)(x–2)=8 –
уравнение
каса
=−−⋅=−=
)28(82
dxxx
SSS
82
1616|
416
−=
−−=
368.
f(x) = 8 – 0,5x
(x) = -x, f
(-2) = 2; f(–2) = 6;
y(x)=f(-2)+2(x+2)=2x+10 –
уравнение
касательной
; y(1)=2
1+10 = 12;
−−=
−−
⋅=−=
5,0
827)5,08(
63
63
dxx
SSS
.5,4245,28
827
=−=
−
−−
369.
)()()(
aFbFdxxf
−=
),()()(
aGbGdxxg
−=
G(x) –
первообразные
[a;b]
f(x)
g(x)
соответст
=−−==
)()()()(|)()())()((
aGaFbGbFxGxFdxxgxf
;)()()]()([)]()([
³³
=−−=
dxxgdxxfaGbGaFbF
)],a(F)b(F[kdx)x(fk
−=
F(x) –
первообразная
f(x)
[a;b];
,)()]()([|)]([)(
=−==
dxxfkaFbFkxkfdxxkf
k – const.
Применение
интеграла
370.
π=π=π=
35
24
22
)12()1()(
xx
dxxxdxxxV
11
π=
π=
8|
)()(
π=
−π=⋅π=
π=
dxxxV
)()(
=⋅π=
π=
dxxxV
) y = 1 – x
= 0; x
= 1; x =
1;
18
−π=−π=−π=
53
42
22
53
)21()1()(
xx
xdxxx
dxx
xV
π=
=⋅π=
371.
) V = V
конуса
конуса
π=π
hr
. r = h = 1.
dxx
=⋅π=π
π=π−π=
³³
=π−π=
π−π=
4)96()2()3(
dxxdxxxdxxdxxV
;11)1913(|)93()396(
π=−⋅π=−π=−π=
xxxdxxx
=π−π=π−π=
³³
|)44(
)2(
xdxxxdxdxxV
16288
2|42
π=π−
π=π−
π=
xx
)
632
)(
=π−⋅π=π−
π=
³³
xx
dxxdxxV
372.
Пусть
|OB| = x,
тогда
S(x) =
– x
),
площшадь
шара
[R – H; R].
=−−
−π=π−π=−π=
22
)(
)(
HRRHR
xRdxxRV
HR
HR
HR
33
322
RHHRHHRHR
−π=−
−π=
Пусть
|OD| = x, S(x) –
rHR
;0
.)(
)(
xH
yxS
−π=π=
этом
меняется
пределах
)(
rRH
⋅
−π=−π=
rRH
rRH
rRH
dxR
dxxH
)(
)(
)(
)(
−−π=⋅
rRH
rRH
rRH
rRRHdxx
)(
)(
)(
)(
rRrR

373.
F = k
x, k =
при
F = 2H, x = 0,01
· k =
;200
01,0
16,0|100
04,0
04,0
xxdx
374.
при
F = 4H, x = 0,08
· k =
;50
08,0
16,0|2550
08,0
08,0
==
xxdxA
375.
−=
закону
Кулона
работа
равна
drrFA
,)(
11
J=
−J=
−=
ba
ab
qdr
) a b, q 0;
;0)(
)(
>−
J=
ab
ba
qA
) b a, &#x a8,;&#x 6q ;q 0:
.0
)(
J=
ba
qA
376.
расстоянии
верхнего
основания
плотины
толщиной
Тогда
полоску
равна
gxy
подобен
NBM,
FB
NM
AF
xh
by
ba
y = b + (a – b)
h
x
1
−−
ρ=
−−ρ=
ba
xbabx
gdx
babgxP
)(
)2(
332
222
baghbhahah

−ρ=
Пусть
толщина
слоя
воды
находящегося
расстоянии
нижнего
основания
Тогда
затрачиваемая
подъем
этого
слоя
равна
x.
Полная
работа
равна
xxrgA
∆πρ=
22
hrgx
rgxdxrgA
πρ
=⋅πρ=πρ=
378.
Разобьем
шар
толщиной
R2
один
таких
находящийся
расстоянии
против
при
погружении
этого
Пусть
|OB| = a,
тогда
– (x – R)
)Rx(R
−−π
x(2R – x)
тогда
43
)2(
43
Rg
Rg
xRx
gdxxRxgA
πρ=
−⋅πρ=
−πρ=−πρ=
379.
Разобьем
равных
цилиндров
которых
высоту
n
1
m =
цилиндра
∆
⋅ϖ=
xx
скорость
цилиндра
x
0,

v

x.
.
.
22
xSE
⋅∆ρ|∆


⋅ρ=
lSxSx
SdxE
32
3222
322
380.
масс
кругового
объем
V,
находящийся
вершины
равен
x.
;,
⋅==
xx
∆π|∆
Координата
ценра
dxx
dxx
dxx
===
степени
свойства
381.
,216
� 2 0;
,11
−=−
(-1)
= -1;
,21024
= 1024
� 2 0;
,3243
−=
(-3)
= -243.
382.
,11
= 1;
,7343
−=−
(-7)
= -343;
,264
= 64
� 2 0;
,00
383.
;3)3(27
−=−=−
;3381
==
;2)2(32
−=−=−
.4464
==
384.
2
1
2
1
32
1
5
5
)
5
3
5
3
625
81
4
4
)
−=
−=−
385.
+ 4 = 0; x =
;44
−=−
= 5; x =
;5
= 4; x =
;4
= 10; x =
.10
386.
– 15 = 0; x
= 15; x =
;15
+ 128 = 0; x
= -128; x =
;2128
−=−
– 64 = 0; x
= 64; x =
= 3; x =
.3
387.
) 16x
– 1 = 0; x
16
1
±=±=
) 0,01x
+ 10 = 0; x
= -1000;
;101000
−=−
) 0,02x
– 1,28 = 0; x
= 64;
264
−=±
;0x
=−
= 17;
.17
388.
;6,0x
−=
;6,0x
−=
x = -0,216;
;3x
;3x
x = 81;
;5x
;5x
x = 25;
;1x
−=
;1x
−=
x = -1.
389.
1111111
=⋅−=−
;642322222
−=⋅−=⋅−=−
;777
==
.2212
=−=−
390.
;10526251662516
44
=⋅=⋅=⋅
;6322433224332
55
=⋅=⋅=⋅
;147234383438
33
=⋅=⋅=⋅
.2,021,0160001,0160001,0
=⋅=⋅=⋅
391.
;1052532625160
=⋅=⋅=⋅
;632278278924
33
=⋅=⋅=⋅=⋅
)
;632811681162748
44
=⋅=⋅=⋅=⋅
.153527125271254575
33
=⋅=⋅=⋅=⋅
392.
;3273999
33363
==⋅=⋅
;2128816
777
−=−=−⋅
;3243927
555
==⋅
.51255252525
33363
−=−=⋅−=⋅−
393.
;5125
==
;216
===
;327
−=−=−=
.264
===
394.
=−
3:
;15,0
−=−=
⋅⋅=
;1
5,4
=−=−=−⋅=−⋅
)5(
==
=−⋅−
;2
28
327
===
=⋅
395.
,221
<<
2 2
; 1,1
,2,12
. 1,1
2 1,2
1,18
,19,12
. 1,18
2 1,19
...;18,12
,251
<<
5 2
,8,15
. 1,7
5 1,8
,71,1570,1
<<
. 1,7
5 1,71
...;70,15
,372
<<
7 3
,7,276,2
<<
7 2,7
,65,2764,2
<<
. 2,64
7 2,65
...;64,27
,231
<<
3 2
,5,134,1
<<
3 1,5
,45,1344,1
<<
. 1,44
3 1,45
....44,13
396.
;17,217,10
;43,871
;63,321,13
.22,211
397.
;34,17,13
;47,110
;29,18,2
.38,113
398.
,02,0
. 0,�20
;00
4,0
. 0,4 =
=<
,18,1
. 1,8 � 1
;11
,3,02,0
88
. 0,2 0,3.
399.
=⋅=
2
1
2
1
2
6
33
2
1
2
2
1
6
3
)
,43,0
;43,0
=<=
,32
. 2 3;
,18,0
. 0,8 1
.1
400.
;00243,03,03,0
105
==
;0025,005,005,0
==
,00243,00025,0
;05,03,0
;1024
44
==
;51288
==
,512
;84
;4977
==
,4049
66
;407
63
;62555
==
,500625
88
.5005
401.
;01024,04,04,0
−=−=−
;009,03,03,0
−=−=−
;009,0
01024,0,009,0
01024,0
−>
−<
;3,04,0
−>−
;125555
−=−=−=−
;243
333
−=−=−=−
,243125
>−
;35
35
−>−
;4422
333
−=−>−=−
;3125
55
−=−=−
;2733
−=−=−
,273125
,27
−<−
.35
53
−<−
402.
;2
)2(
52
52
118
baabbaabba
=⋅=
;424)2(
aaaaa
−=⋅−=−
;6
6)(6
23
43
612
bbabbaba
=⋅=
.232)3(54
33
aaaaa
=⋅=
403.
;33
bb
−=⋅−=−
;5
88
ba
=⋅=
;77
aa
=⋅=

.44
33
33
ba
ba
=−⋅−=−−
404.
aa
aa
−=
только
при
aa
−=
при
0;
aa
при
aa
aa
только
при
aa
при
0;
aa
aa
справедливо
только
при
aa
при
405.
aa
прилюбом
= -
при
= 0,
aa
−=
при
aa
aa
−=
при
значит
aa
−=
при
0;
aa
при
aa
при
406.
)57(3
)5()7(
)57(3
57
22
222
)2(
)2(
22
−
25
)2()5(
25
25
32
627
6216
)16(
16
16

407.
aaa
)1(
xx
xx
2264
44
xx
===
53
55
53
==
408.
;16
42
==
;1259
53
536
2527
⋅=
⋅⋅
;108
274
32
323
=⋅=
⋅⋅
.454
210
55
===
409.
;5525
==
;85,02
====
;6
32
32
44
412
=⋅=
.320
225
45
=⋅⋅=⋅==
410.
;06x5x
63
=−
;tx
0;
– 5t + 6 = 0; t
,2x
x = 2
= 64;
,3x
x = 3
= 729;
;2xx
=
;tx
0;
+ t – 2 = 0; t
2x
−=
решений
,1x
x = 1;
;02x3x
=−
;tx
0;
– 3t + 2 = 0; t
,1x
x = 1;
,2x
x = 2
= 16;
;6x5x
63
=−
;tx
0;
– 5t – 6 = 0; t
= 6;
1x
−=
решений
,6x
x = 6
= 46656.
411.
) + – +


3; x
,3
.3
.3;3
44
) – +

7; x =
;7
.;7
) + – +


� 2; x
,2
.2
.;22;
1010
∞∪−∞−
) – +

5; x =
.5
.5;
−∞−
412.
) – +
-343
;7x
−<
x = (-7)
= -343;
;-343).
) – +
;2x
x = 64.
.;64
) – +
8
;2x
x = 8;
Ответ
: (8;
) – +
;3x
x = 81.
: [0; 81].
413.
,aaa
−==
0;
;a
,aa
==
0;
414.
,2
aaaaaaa
==−=−
,322
aaaaaaa
===
0;
,0
=−=−=−
aaaaaa
0;
,233
aaaaaaa
−=−==
415.
;327)73(1073107310
==−=−⋅
;41717417
)17(4
)174(
174
)174(
−=−=
=
;216)65(9659659
==−=⋅−
.24)5(35353
22
==−=⋅−
416.
;964
332232
3322
32
33
−−−=
⋅
⋅
ba
bbaa
bbaaba
bbaa
ba

−

⋅−
⋅−
33
33
775575
77552
75
493525
333
−
33
33
33
ba
baa
bababa
baa
baba
−
−
417.
œ=
1019
+ 19 = 100
= 81
3;
œ=−
228
– 28 = 8
6;
28
)
±=œ
=−
≥−
œ=−
;6
,61
;2561
,061
561
.18
27939
−=œ−=−œ−=−
418.
;5
;8
,3
;1
,5
,02411
;01
,05
,)5(1
51

−≥
=−
≥
≥−
−=
œ−=
xx
xx
xx
;6
;11
,3
,6
,03314
;032
,06
,)6(32
632

−≥
=−
≥
≥−
−=
œ=
xx
xx
xx
;2
;5
,1
;2
,056
012
;02
,)2(12
212

=−
≥−
≥−
−=−
œ−=−
xx
xx
xx
;3
;8
,1
,3
,089
;013
,03
,)3(13
133

−≥
=−
≥
≥−
−=
œ=
xx
xx
xx
419.
−≥
=−
≥
−=
œ−=
;5,0
,034
;012
,4212
4212
xx
xxx
xxx
;3
,1
;5,0
;3
,1
−≥
131
;3
,1
131
,032
;03
,0
,3

−=
=−−
≥−−
−−=
œ−−=
xx
xx
xxx
xxx
;5,1
,5
;032
,02
,322
322

≥−
≥
−=
œ−=
xx
xx
;0
,1
;3
,3
;0
,1
;3
,3
,0)1(
;09
,09
,99
−=
−≥
−=
−≥
=
≥
≥−
=−
œ=−
xx
xx
xx
420.
œ=−œ=−œ−=
;4
,2
086
86
86
23
23
23
xxxxxxxxxx
œ−=−−œ−=−œ−=−
881268)2(82
23
23
xxxxxxxx
œ=−œ
;4
,3
,0
0)127(
xxx
−=
œ=−œ−−=œ−−=
;2
,10
0208208
208
233
23
xxxxxxxxxx
=œ=œ=
13322)1(21
23
233
23
xxxxxxxxxx
.1012
23
−=œ=œ=
xxxxx
421.
−=
=
=−
=
=−
=
;3
),1(
;217
,12
;2026
,12
;10
,12
xy
yx
yx
yx
yx
yx
−=
−=
;3
,1
−=
=
=−
=
=−
;21414
,224
;2832
,26312
;2832
,22
xy
yx
yx
yx
yx
−=
;2
,224
xy
−=−
−=
=−
−=−−
=−
=
;2211
,27
;643
,2848
;634
,7
xy
yx
yx
xy
yx
⋅−=
;2
,227
−=
=−
=
=−
=
;51111
,355
;552
,51062
;525
,553
yx
yx
xy
yx
−=
;5
,5355
422.
;1
;3
,10
;1
,0307
;06
,01
,36)6)(1(
661

−≥
−=
−≥
=−
≥
≥
=
œ=⋅
xx
xx
xx
30
)
>−
≥−
=−−
>−
≥−
=−⋅−
œ=
;012
,01
,)1()12)(1(
;012
,01
,1)12()1(
12
xxx
xxx
;1
;5
,0
;1
,05
;5,0
,1
,12132

=−
=−
xx
xxxx
>−
≥
=−
≥
>−
=−⋅
œ=
;02
,023
,)6()2)(23(
023
;02
,6223
23
xxx
xxx
;2
;10
,2
;2
,040162
;2
,3612443

−=
=−−
=−−
xx
xxxx
=−
≥−
=−
œ=−
;2
,0
,42
;02
,0
,4)2(
22
22
xxx
xxx
xxx
;4,0
,0
;2
,0
;4,0
,0
;2
,0
,0)4,0(5
=−
xx
423.
,335
=
,935
=
x + 3 = 64, x = 61.
Проверка
.33615
=
Итого
: x = 61.
,216
=−
xx
,416
=−
xx
–16=(4–x)
–16 = x
– 8x + 16,
-8x + 32 = 0, x = 4.
Проверка
.24164
=−
Итого
: x = 4.
,410
=−
,1610
=−
x + 10 = 8, x = -2.
Проверка
.410218
=−−
Итого
: x = -2.
,15
=−−
xx
,15
=−−
xx
– 5 = (x – 1)
, 2x – 6 = 0, x = 3.
Проверка
.1533
=−−
Итого
: x = 3.
424.
,413
−=−
,44213
−−=−
xx
,04
=−
x = 4.
Проверка
.44134
−=−
Итого
: x = 4.
)
,262
=−−
xx
,66442
−−=
xx
,16
=−
x = 7.
Проверка
.26727
=−−
Итого
: x = 7.
,22
102
xx
−=−
,22101044
xxx
−=−−
,210
=−
x = 6.
Проверка
.6226102
−=−
Итого
: x = 6.
,16321
=−−
,16921621
xx
=−−−
.36216
xx
=−−
1 – 2x = 0,25x
+ x + 1, x(x + 12) = 0,
−=
.12
,0
Проверка
;0163021
z−⋅−
При
x = -12:
.121631221
−=−⋅
Итого
: x = -12.
425.
;3x63x
−=−−
;t3x
=−
– t – 6 = 0; t
= 3;
при
t= -2:
23
−=−
решений
при
t = 3:
;33x
=−
x – 3 = 81; x = 84.
Итого
= 84.
;3121
=
xx
;t1x
=
+ 2t – 3 = 0; t
= 1;
при
t = -3:
31
−=
решений
при
t = 1:
;11
=
x + 1 = 1; x = 0.
Итого
= 0.
;5305
−−=−
;5
tx
=−
+ t – 30 = 0; t
= 5;
при
t = -6:
65
−=−
решений
t = 5:
;55x
=−
x – 5 = 625; x = 630.
Итого
= 630.
;4333
=−−
xx
;3
tx
=−
+ 3t – 4 = 0; t
= 1;
при
t = -4:
43
−=−
решений
при
t = 1:
;13
=−
– 3 = 1; x=
Итого
426.
=−−
−=
=−
−=
=⋅
=−
;035)(2
,52
;3)52(
,52
;3
,5
xx
xy
xx
xy
yx
yx
−=
−=
−=
−=
.1
,9
;3
,1
,6
;3
,52
xy
32
=−
−=−
=−
−=−
;643465
,50431565
;665434
,104336
yx
yx
yx
−=
=
=
=
−=
.4
,2
;443
,26
;443
,433106
=−
−=
=−
−=
=⋅
=
;0810)(3
,310
;8)310(
,310
;8
103
yy
yy
yx
yx
−=
.4
,16
,36
;2
,4
,6
;2
,310
−=−−
=−
−=−−
=−
;215223
,1615224
;215223
,81522
yx
=−
=
.6
,3
;22
,415
427.
=−
=
=−
=
=−
=
;2
,8
;16))((
,8
;16
,8
yx
yx
yxyx
yx
yx
yx
.9
,25
;3
,5
=−
−=
=−
−=
−=
=
;065
,5
;65
,5
;6
,5
;216
,5
33
xx
xy
xx
xy
xy
yx
−=
.27
,8
;8
,27
;3
,2
;2
,3
;3
,2
,5
xy
=
=−
=−
=−
=−
=−
;8
,4
;32
,4
;32
,4
yx
yx
yxyx
yx
yx
yx
.4
,36
;2
,6
)
=−
=
=
=
=
=−
;032
,2
;32
,2
;3
,2
;27
,2
33
yy
yx
yy
yx
yx
yx
−=
=
;1
,3
,2
yx
−=
−=
−=
−=
;1
,27
;27
,1
.1
,3
;3
,1
показателем
428.
;729333
2,1
===
55
==
;1024444
25,1
===
666
===
−−
429.
aa
;)3(3
bb
bb
.44
430.
;933243
4,0
54,0
===
8
3
3
8
3
8
3
64
8
1
8
8
1
8
4
)
;322216
===
431.
9898898:8
=⋅=⋅⋅=
5255225252
2100
12
22
=⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=
⋅⋅
3281:881:8
37
75,0
==⋅==
5,0
5,0
=⋅=
432.
)()(
=
yxaayax

;1
−=−
aaaa
;13333
=
.53)5()3(
−=−
xxx
433.
;1111
−=
−−
−=−−
xyyyxyxyx
;1
=
cccc
;141441444444
−=
−=−
=−
11
=

=
baaabaabaaba
434.
ba
ba
baba
ba
ba
=
;2
42
422
42
−=



zz
zzz
zz
44
xx
ba
bbaa
bbaaba
bbaa
ba
=
−
−
−
435.
⋅
yxyxx
yxyxyxyx
yx
yxyx
yxx
yx
1
2
1
2
1
4
1
yxy
=


=

11
aaa
aa
aa
aa
;121221
=−=
−=
aaaaa

−

33
33
)(
baba
ba
baa
baba
baba
ba
baabaa
)(
)(
baba
bababa
baa

−
;2
)(
)(2
baa
baa

−−


)1(
)1(
xx
xxxxxxx
xxx
xxxxxx
.1
)1)(1(
)1()1)(1(
−=

−

−−
xx
xxx
xx
xxxx
436.
,333
<=
3 � 1;
4,0
7,2
7,2
70
150
70
189
2
5
)
,66666
7,1
=<==
� a 6 1;
=<
15
21
35
2
1
437.
()()
=−=
75,0
75,0
253
23
−=−
()()
=−⋅−=−⋅−−
1)2(22109864)2(001,0
342
712210
42
=−=−−=
()()
;125235
2325
32
5,0
75,0
35,0
75,0
=−=−
=−
()()
−−=−
−−−
25,0
25,04
52319
2625)5,0(
.10111
23523192)3(
33
43
=−=−−=−⋅−−=⋅−⋅−
438.
;111
11
aa
aa
aa
aa
aa
=−=
−
=⋅

−−
⋅
12
xx
xxxx
xx
xxx
xx
12

xx
xx


=−

93
93
31:
93
bbaa
bbaabaa
bbaa
baa
;0
=−=−
=−
aaa
ba
abaa
ba
)
−
−−−
−⋅
22
422
22
mmm
mm
222
22
22
22
mmm
mmm
mm
−=
⋅−
−⋅
−=
−
439.
;2
222
35
xaxa
=⋅⋅⋅=
aaaaa
=⋅=⋅
bbbbb
=⋅=⋅
.33327
⋅=⋅⋅=⋅
440.
2353
55
==⋅=⋅
baba
=⋅=
82
=⋅=
67
cbcbcb
=⋅=
441.
,33
;333
−−
=⋅=
33
,72933
6600
==
;625
55
4400
==
,625
;53
,2
;222
=⋅
;22
⋅=
,34377
330
==
;25644
440
==
,256343
.47
4030
442.
. a 0;
=−
выражение
смысл
12555
==
выражение
смысл
. x 0.
443.
) x + �1 0
при
x � -1,
;;11
∞−=
=
xyD
смысл
только
при
;;0
∞=
xyD
38
)
смысл
при
� x 0,
;;0
∞=
xyD
) x – 5
при
.;55
∞=
−=
xyD
444.
aa
при
0;
aaa
−==
при
0;
aa
==
при
1;
aaaa
−==
7,0
при
= 0.
логарифмическая
функции
Показательная
функция
445.
) y = 4
; D(y) = R, E(y) = (0;
), y(x)
возрастает
y(0) = 1, y(1) = 4;
) y = 0,2
; D(y) = R, E(y) = (0;
), y(x)
убывает
R; y(-1)=5, y(0)= 1;
) y = 0,7
; D(y) = R, E(y) = (0;
), y(x)
убывает
y(0) = 1, y(1) = 0,7;
) y = 2,5
; D(y) = R, E(y) = (0;
), y(x)
возрастает
y(0) = 1, y(1) = 2,5.
446.
0
при
) = (-
;0);
11
>
при
);;1(1
∞=
yE
при
);0;(
−∞=
−=
yE
– 2 � -2
при
R: E(y = 5
– 2) = (-2;
447.
4
7
7
4
5
2
5
2
5
4
7

)
8,2
8,212
3
1
)
,14,05,2
22
<=
02
14,0
)
,3,03,03,0
=<
25
0,3 1.
448.
;22
==
;2733393
332232131321
==⋅=⋅
−−
;12:22:8
2323232

.9333
232
===
449.
212
12
aaa
=⋅=
42
42
xxxxxx
=⋅=
π−
ππ
aa

3,123,12
233,12
yyyy
−
450.
−
=
=
32
3232
32
3232
32
3222
ba
baba
ba
baba
ba
ba
32
ba


11
333
3323
33
334
3333232
aa
aaaaa
aa
aaaa
;1
11
33
333
=
aa
72
52
72
52
72
52
75
bbaa
bbaaba
bbaa
ba
ba
−=
=−=
−
ππππππ
ππ
yxyyxxxy
yx
=−=
ππππ
yyxx
ππππ
−=−
yxyx
451.
25,7; 10
26,3;
25,9; 10
26,0;
169,8; 10
173,8;
) 10
172,2; 10
172,6.
452.
;101010221
22
<<Ÿ<<
;10101042,1241,1
42,1241,1
<<Ÿ<<
7,2510
41,1
;3,2610
42,1
;101010415,12414,1
415,12
414,1
<<Ÿ<<
9,25
414,1
;0,2610
415,1
9,2510
;101010352
352
<<Ÿ<<
;10101024,2523,2
24,2523,2
<<Ÿ<<
8,16910
23,2
;8,17310
24,2
;101010237,25236,2
237,25
236,2
<<Ÿ<<
2,172
236,2
;6,172
237,2
4,17210
453.
2y12
=Ÿ>
возрастает
=Ÿ<<
251250
−=Ÿ<−<
25
25
=Ÿ>
возрастает
=Ÿ>
возрастает
=Ÿ<
731730
−=Ÿ<−<
73
73
=Ÿ>
возрастает
454.
),13(333
1x
−=−
� 0
при
3(3
– 1)� -3
при
E(y = 3
– 3) = (-3;
<−
≥−
=−=
.1,22
,1,22
22
y(1) = 0.
y(x)
возрастает
[1;
убывает
;1]; E(y = |2
– 2|) = [0;
122
=
при
12
при
);;2(2
∞=
yE
==
;0,
,0,4
y(0) = 1. y(x)
[0;
;0];
.;14
∞=
yE
455.
-1
откуда
;2;
)(min
xy
;2)(max
xy
42
)
;35y
xcos
=
1xcos0
≤≤
;8356331
≤≤Ÿ≤≤Ÿ
,6)(min
xy
;8)(max
xy
) y = 4
cosx
;4)(max,
)(min44
Ÿ≤≤Ÿ
xy
xy
;2
xsin
|sinx|
;12
11
−≤−
≤−Ÿ≤
≤Ÿ
.1)x(ymax,
1)x(ymin
−=
−=
456.
y(x)�1
при
x 0
при
x 0;
y(x) 1
при
� x 0
0,3
= 0,1
при
x � 0;
возрастает
y(x)� 1
при
�x 0
= 4
при
x � 0;
) y = 0,7
убывает
y(x)� 1
при
x 0
= 5
при
x 0.
457.
) y = 3
возрастает
R, y = 4 – x
более
одной
точки
Очевидно
это
точка
(1;3)
x = 1.
)
R,
y = x + 3
возрастает
графики
этих
могут
одной
пересечения
это
точка
(-1;2),
значит
x = -1.

)
могут
более
одной
точки
точка
(0;1),
x = 0.
) y = 4
возрастает
R, y = 5 – x
графики
более
одной
точки
точка
D(1;4),
x = 1
венное
решение
уравнения
= 5 – x.
458.
) y = 3
R, y = 2x – 1
возрас
графики
могут
одной
точка
(1;1),
x = 1.
) y = 4
+ 1
возрастает
R, y = 6 – x
графики
одной
точка
(1;5),
значит
x = 1.
) y = 2
– 2
возрастает
R, y = 1 – x
графики
одной
точка
B(1;0),
значит
x = 1.
при
;0) 3
>−
−=
возрастает
при
(0;
;0
<−
графики
y = 3
−=
могут
одной
пересечения
одной
пересечения
;0).
точка
(-1;3),
значит
x = -1.
459.
показательных
уравнений
460.
= 4
x = 3;
;3
3327
−=œ=œ=
= 81
= 3
x = 4;
.6

œ=
461.
;3

œ=
xx
23
48
)2(
)3(
22
48279
;3513
===
xx
;4663663632
=œ=œ=œ=⋅
xx
3513
3513
3513
=œ−=−−œ
−−
xxx
462.
= 3
6-x=3x – 2

)
−=
œ=−œ
œ=
−
−
;5,0
,1
5,05,02
5,02
5,02
xx
xx
xx
;42
3393
=œ=œ=œ=
−=
œ=−œ=
œ=
−
−
.1
,3
5,25,02
224
25,25,02
5,02
xx
xx
xx
463.
+ 4
= 539
7
x = 1.
= 15
x = 1.
+ 4
= 320
x = 3.
x = -1.
464.
– 9 = 0
– 9 = 0
– 8t – 9 = 0
(t = 3
�) t 0
=œ=œ
−−=
−=
;293
;93
13
;9
,1
) 100
+ 10 = 0
+ 10 = 0
– 11t + 10 = 0
(t = 10
�) t 0
.1
,0
;1010
,110
;10
,1
– 12 = 0
– 4
– 12 = 0
– 12 = 0
(t = 6
�) t 0
;166
;66
26
;6
,2
=œ=œ
−−=
−=
) 49
+ 7 = 0
+ 7 = 0
– 8t + 7 = 0
(t = 7
�) t 0
.1
,0
;77
,17
;7
,1
465.
−=
−=
−=
=
=
−
−
.1
,3
;1
,2
;12
,2
;44
,44
;14
,164
012
12
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
−=
−=
−=−
=−
−−
.5,0
,0
;0
,5,03
;5,02
,5,03
;22
,66
,66
5,02
5,03
xy
xy
yx
xy
yx
xy
yx
−=
−=
=
−=
=−
−=−
−
−−
−
.3
,2
;1
,3
;32
,42
;33
,33
;273
32
yx
yx
xy
yx
xy
yx
xy
=
=−
=−
.4
,5,0
;24
,5,25
;5,09
,24
;77
,55
;77
,25
5,09
24
xy
yx
xy
yx
xy
yx
yx
466.
;33
3327
−≤œ≥−œ≥œ≥
xx
;42
66
−≤œ−≤œ≤œ≤
;2
2,0
≥œ
ϲ
) (1,5)
(1,5)
1,5
x 2.
467.
0,25
5 – 2x
) 0,3
� 0,027
0,3
� 0,3
7 + 4x 3
x -1;
) 0,4
0,4
2x + 1 2
x 0,5;
27
2 – x 3
�x -1.
468.
– 2
= 75
2
3
753
=⋅
x = 3;
œ=
œ=⋅
⋅−
⋅œ=
−
8,4
8,4
58,4
11
xx
;0
46
)
œ=⋅
⋅
⋅œ=
1625,40
5,0
40162
;24
−=œ=
.2819406
594069
95406995
=œ=œ=⋅œ=⋅⋅œ=⋅
xx
469.
право
уравнение
;2021
32
22
=œ=−œ=
œ=
−−
xx
;11124
11
=œ=œ=
;11
85
11
−=œ=
œ=

xx
.20212847
22
=œ=−œ=
œ=
−−
470.
œ=−œ=⋅œ=
027t12t1232731233
x3x
.2
,1
;93
,33
;9
,3
016t10t016210
2210164
2x
2x22x
2x
=−œ=⋅−
œ⋅=
=−
=−
.11
,3
;32
,12
;82
,22
;8
,2
96,4
2,096,4
⋅œ=
xx
xx
.2
04,0
02,096,40

−−=
œ=−œ>
tttt
xx
1541641525,04
=⋅−œ=−
œ=
œ>
0t
.244
;16
01615
=œ=œ
−−=
œ=−−œ
tt
471.
=−−
−=
=−−
=
−−
;01)32(
,3
;01)(
,3
;1
,1255
xy
yx
yx
yx
yx
−=
±=−
−=
.1
,2
;2
,1
;2
,1
,3
;132
,3
xy
xy
=⋅−
−=
=
−=
=
=
;010244804
,5
;8044
,5
;8044
,5
xx
yx
xy
xy
yx
−=
−=
.3
,2
;2
,3
;2
,3
,5
;164
,644
,5
xy
xy
=⋅
−=
=
;123273
,3
;2166
,1233
yx
yx
xy
−=
−=
=⋅−
−=
.1
,2
;2
,1
;2
,1
,3
;93
,33
,3
;0273123
,3
xy
xy
xy
xx
=
=−
=
=−
−−
.5,1
,2
;105
,722
;323
,722
;323
,22
;1
,1284
7)(2
323
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
472.
−<
œ>−œ>œ
.1
,3
032
22
223
32
xx
; –3)
<−œ

75,3
55
75,3
75,3
075,38
>œ
xx
; -7,5)
(-0,5; +
–3; –1
−≤
−≥
œ≤œ≤œ
−
.1
,3
034
33
34
34
xx
xx
œ>−−œ>œ
0810344
3810
xx
xx
−<
.4
.;4
∞∪
−∞−
473.
;01
5,2
5,25,2
<œ>
œ>
⋅œ>
xx
.5,44486444482
448222
5,4
322212
<œ<œ⋅<œ<⋅œ<
−−−
xxx
.2
−>œ
œ>
œ>
œ>
.133283
2833
12
<œ<œ<⋅œ<
−
xx
474.
0)1(0
≥π−πœ≥π−π
xx
xx
� 0
;01
;01
,0
≤œ≤πœ
≥π−
≥π
œ<
⋅−
⋅œ<⋅−
03
303310
12
−>
;1
,1
;3
(–1; 1);
.2
;22
,42
082220824

−<
œ>−⋅−œ>−−
xx
xx
−≥
œ≤−
⋅−
œ≤−⋅−
;6
,1
06
0665
.1
−≥œ
475.
3 – x;
возрастает
y = 3 – x
убывает
следовательно
них
одна
точка
пересечения
(1;2),
3 – x
при
)
;52
≤
y=2x+5 –
возрастает
они
пересекаются
одной
(-1;3),
52
≤
при
-1;
)
;12
≥
y=2x+1 –
возрастает
они
пересекаются
одной
(0;1),
12
≥
при
0;
4 – x;
. y = 3
возрастает
y = 4 – x –
убывает
они
пересекаются
одной
точке
D(1;3), 3
при
Логарифмы
свойства
476.
) log
9 = 2;
) log
) log
16 = 2;
) log
477.
) log
3 =
) log
1 = 0;
) log
2 =
) log
478.
) log
9 =
) log
8 =
) log
27 =
) log
25 =
3
479.
) log
= -4, 3
) log
1 = 0, 16
= 1;
) log
16 = 2, 4
= 16;
) log
125 = 3, 5
= 125.
480.
) log
0,04 = -2, 5
= 0,04;
) log
343 = 3, 7
= 343;
) lg 0,01 = -2, 10
= 0,01;
) log
1
481.
,68log
;82
,627log
;27
,29log
−=
;9
) log
4 = -2, 0,5
= 4.
482.
128log
22
;128
222
) log
0,008 = 3, 0,2
= 0,008;
,22,0log
−=
;2,05
) log
125 = -3, 0,2
= 125.
483.
) log
25 = 2,
,1
−=
5log
) log
64 = 2,
,1
−=
2log
) log
16=4,
,2
−=
2log
) log
27=3,
,2
−=
3log
484.
) log
x = -1, x = 3
3
1
)
,3log
;2166
==
) log
x = 2, x = 5
= 125;
,2log
−=
==
485.
,3log
−=
==
,0log
;15
==
,1log
7
1
7
x
)
,3log
.8
486.
81 = 4, x
= 3
, x = 3;
,2
4
1
2
x
4
1
x
)
,2
−=
,2x
22
−−
x = 2;
27 = 3, x
= 3
, x = 3.
487.
x=2, x=4
=16; log
16 = 2; log
x =
2
1
:24
==
2log
log
x = 1, x = 4
= 4; log
4 = 1; log
x = 0, x = 4
= 1: log
1 = 0;
) log
x = 3, x = 3
= 27; log
27 = 3; log
x = -1, x = 3
3
1
;1
−=
log
x = -3, x = 3
27
1
;3
−=
log
x = 1, x = 3
= 3; log
3 = 1;
) log
x = 3, x = 2
= 8; log
8 = 3; log
x =
2
1
;2
2log
log
x = 0, x = 2
= 1; log
1 = 0; log
x = -1, x = 2
2
1
;1
−=
) log
x = 1, x = 5
= 5; log
5 = 1; log
x = -2, x = 5
25
1
;2
−=
log
x = 0, x = 5
= 1: log
1 = 0; log
x = 3, x = 5
= 125: log
125 = 3.
488.
;27,1
2log
7,1
;2,5
2,5log

;52
5log
.118,3
11log
8,3
489.
;1535555
3log
3log1
=⋅=⋅=
;5
2lg
2lg1
===
2log
2log1
=⋅=
⋅=
18log
18log2
===
490.
;9344
3log3log2
==
;8
log3
;813
3log
3log4
==
56
5log5log2
===
491.
===
ba
ba
ba
ba
3
log
log
5
2
3
a
52
)
;log
log2
2,0
ba
ba
ba
−==
⋅=
;log
log42log
log9log
9log
33
ba
ba
ba
==
.log73log2log27log
ba
−−=−−=
492.
===
cba
cba
cab
2lglglg100lg
100lg
bac
)lg(
=
;lg
lg21lg5lglg1,0lglg
1,0
bcabc
bc
−−=−−−=
;lg
lg4lg
lglglg10lg
10lg
cba
cba
cba
−==
.lg3lg
2lglglg01,0lg
01,0
bac
bac
ba
−−−=−−=
493.
;lg3lg
lg43lglglg10lg
10lg
43
43
cba
cba
cba
−==
;lg5lg65lg
lglg10lglg
565
565
cabca
ca
−−−=−−−=
;lg
lg5lg24lglglg10lg
10lg
524
524
cba
cba
cba
−==
.lg8lg
7lg
lglg10lglg
ba
cba
ba
−−−=−−−=
494.
72 = log
9 = 3 log
2 + 2log
3 = 3a + 2b;
) log
15 = log
5 + log
3 = 1 + b;
) log
12 = log
3 = 2log
2 + log
3 = 2a + b;
) log
30 = log
2 + log
3 + log
5 = a + b + 1.
495.
) lg8+lg 125=lg(8
125) = lg 10
= 3;
;42log
log7log
22
==−
) log
4 + log
36 = log
= 2;
) lg13 – lg 130 = lg 10
= -1.
496.
;2
12lg
12lg2
12lg
144lg
3lg2lg2
18lg8lg
===

;2
4log
4log2
4log
16log
==
;2
log44log11log
−==−
.23,0log
log10log29log
3,0
3,0
3,0
3,0
497.
log9log5log8log3log225log5,02log3
66666
=−=−
4,
loglog
66
)5(
lglglg)5lg(lg4lg35lg
43
=−=−
ca
cbacba
)5(
lglg
ca
)5(
ca
lglglglglg
lg5
=−=−
nm
pnmpnm
,lglg
nm
nm
log
216 – 2log
10 + 4log
3 = log
100 + log
81 =
;86,4log
816
log
x = log
4,86, x = 4,86.
498.

==
log2
3log
log3log
54
2log
−=
;2
log3log
−<
;7
54
4log
4log
7log
7log
4log7log
−
=−=−
7log
17log27log
7log
3log
7log23log7log
73
7log
17log
;23log7log
73
>
.5
23
3log
3log
5log
5log
3log5log
Логарифмическая
функция
499.
) 10 – �5x 0
x 2; D(y) = (-
� 0
−>
;3
,3
D(y) = (-3;3);
) x – 4 � 0
�x 4; D(y) = (4;
– 16 � 0
−<
;4
,4
D(y) = (-
500.
) 6 + x – x
� 0
−>
;3
,2
D(y) = (-2; 3);
) + – +
-2,5 1 X
;0
52
yD
;-2,5)
(1;
) + – +

2,5
;0
52
32
25
32
œ>
.5,2;
−=
yD
– 2x – 3 � 0
−<
.3
,1
yD
(3;
501.
) log
3,8 log
. 3,8 4,7
� 2 1;
,2,0log15,0log
. 0,15 0,2
) log
5,�1 log
4,9,
3 � 1;
) log
1,�8 log
2,1,
. 1,8 2,1
0,2 1.
502.
2log13log
=>
23
12
,5,2log9,1log
. 1,9 2,5
) log
2,9 1 = log
. 2,9
� 1;
,3,0log2log
7,0
7,0
3,02
0,7 1.
503.
10 � log
8 = 3, log
30 log
125 = 3
log
10 � log
30;
) log
2 log
3,0
;3log2log
5log3log
53,0
55
Ÿ=>
) log
�5 log
3 = 1, log
4 log
7 = 1
log
�5 log
4;
) log
10� log
9 = 2, log
57 log
64 = 2
log
10� log
57.
504.
x; D(y) = (0;
), E(y) = R, y(x)
возрастает
(0;
y(1) = 0, y(3) = 1, y(9) = 2;
)
;xlogy
D(y) = (0;
), E(y) = R, y(x)
(0;
,1
y(1) = 0, y(2) = -1;
) y = log
x; D(y) = (0;
), E(y) = R, y(x)
возрастает
y(1) = 0, y(4) = 1, y(16) = 2;
)
;xlogy
D(y) = (0;
), E(y) = R, y(x)
(0;
,1
y(1) = 0, y(3) = -1, y(9) = -2.
505.
) sinx�0
при
kx
+ 2
k, k
Z; D(y) = (2
+ 2
k/k
– 1 � 0
� 2
�x 0; D(y) = (0;
) cos �x 0
,n2
xn2
π
<<π
;2
π
−=
Zn
yD
) 1 – 3
3
x 0; D(y) = (-
506.
sinlog
coslog
sin2log
⋅
=
−
33
33
337737log92149log37log
;14log
==
) lg tg4 + lg ctg4 = lg (tg4ctg4) = lg 1 = 0;
625log625log
−
;01log2425log
==−=
507.
(x – 2);
)
;log
xy
−=
) y = log
(x + 1);
)
.2log
=
xy
508.
x=2log
6 – log
log
log
x =
1
;3

−=
7625
loglog725log235loglog
2,0
2,0
2,0
3log008,0loglog
2,0
=œ=œ

xx
;252log)75,012(loglog75,0log144log
35
=œ=œ⋅=œ
xx
=
1log24log3log
1,0
1,0
2log
2564
loglog
1,0
=œ−=œ
xx
509.
этом
номере
всегда
одна
возрастает
авторая
вследствии
они
могут
одной
) lg x = 1 – x;
графики
y = lgx
y = 1 – x
пересекаются
(1;0),
)
;4xxlog
−=
y = x – 4
xlogy
пересекаются
(3,-1),
. x = 3.
)
;6
−=
xx
функций
xlogy
пересекаются
x = 3 – x;
графики
функций
y = log
y = 3 – x
пересекаются
.D(2;1),
. x = 2.
510.
511.
xxf
log)(
D(f),
поэтому
,0)1()(max
]4;1[
fxf
;1)4()(min
]4;1[
−==
fxf
) f(x) = log
возрастает
D(f)
поэтому
,1
)(min
9;
−=
fxf
;1)9()(max
9;
fxf
) f(x) = log
возрастает
D(f)
поэтому
,1
)(min
1;
−=
fxf
;0)()(max
1;
xfxf
) f(x) =
xlog
D(f)
поэтому
,1
)(max
4;
fxf
.2)4()(min
4;
fxf
Решение
логарифмических
уравнений
неравенств
512.
log
0,7
x = log
0,7;
) (0,3)
= 7
log
(0,3)
x = log
7;
= 10
log
= log
x = log
10;
) 10
lg10
x = lg
513.
x=2
x = 25;
) log
x = -1
x=(0,4)
x = 2,5;
=œ=œ−=
xx
) lgx = 2
x = 10
x = 100.
514.
;4442
42242log
=œ=−œ
=−œ−=−
) log
+2x+3)=log
+ 2x + 3 = 6
+ 2x – 3 = 0
−=
.1
,3
) log
(5 + 2x) = 1
5 + 2x = 0,3
x = -2,35.
) log
(3 – x) = 0
3 – x = 1
x = 2.
515.
) (0,2)
= 3
4 – x = log
x = 4 – log
.7log
7log
75
±=œ=œ=
).8log2(
8log3283
32
−=œ=−œ=
.4log
4log247
=œ=œ=
516.
x � 2
�x log
x � 9.
) log
x � -2
25
.0
,25
Итого
: (0;25).
) log
x 1
x � 0,7.
) log
x 2
6,25
.0
,25,6
Итого
: (0;6,25).
517.
(x – 2) 2
(x – 2) log
>−
<−
.2
,18
;02
,162
1)23(log
−>−
.03233log)23(log
xx
) log
(3x + 1) � 2
(3x �+ 1) log
25
3x� + 1 25
x � 8.
.12491449log)14(log2)14(log
œ−<
518.
x=2log
3+log
x=log
x = 45
при
a � 0
) lg(x – 9) + lg(2x – 1) = 2
.13
.9
;13
5,3
;5,0
,9
,091192
;012
,09
,100)12)(9(

−−=
=−−
>−
>−
=−−
xx
xx
) log
x = log
10 – log
log
x = log
x = 5
при
a � 0
) log
(x + 1) + log
(x + 3) = 1
−>
=
−>
−>
=
>
>
=
;1
;0)4(
;3
,1
,334
;03
,01
,3)3)(1(
xx
xx
xx
.0
.1
;0

−>
−−=
519.
œ=−
−
3log)1x2(log
)4x(log
−−=
=−−
>−
>−
=−−
;4
;5
5,0
;4
,0592
;012
,04
,9)12)(4(
xx
xx
x=5.
) lg(3x
+ 12x + 19) – lg(3x + 4) = 1
−>
=−−
−>
=
>
>

,021183
,403019123
;043
,019123
,10
43
19123
xx
xxx
xx
xx
−=
−>
−=
.1
,7
;1
,7
) lg(x
+ 2x – 7) – lg(x – 1) = 0
.2
;221
;2
,3
;1
;221
,221
,06
;01
,072
,172

−>
−=
−>
−−<
=−
>−
>−
−=−
xx
xx
xxx
) log
+ 8) – log
(x + 1) = 3log
−>
−>
=−
>
.8
,0
;1
;8
,0
;1
,08
;01
,8
xx
520.
−=
œ=−
œ=−
.4
;1log
,5,1log
05,1log5,0log05,1loglog
xx
xx
x–lg x
+1=0
x–2lg x+1=0
(lg x–1)
lg x=1, x = 10.
−=
œ=−−œ=−
.25
;2log
,1log
02loglog2loglog
xx
xx
−=
œ=−−
.27
;3log
,1log
03log2log
xx
521.
=−
−=
=
=
;10lg)7lg(lg
,7
;1lglg
,7
xx
xy
yx
yx
−=
=−
−=
>−
=−
−=
;2
,5
;5
,2
;5
,2
,7
;7
,0
,0107
,7
;07
,0
,10)7(
,7
xy
xx
xy
xx
xy
=
=
=
=
;0
,0
,63
,16
;0
,0
,63log)(log
,16log)(log
;7log2loglog
,2)(log
33
yx
yx
yx
yx
−=
=−
−=
=−
−=
.7
,9
;9
,7
;0
,0
;9
,7
,16
;0
,0
,06316
,16
;0
,0
,63)16(
,16
xy
xx
xy
xx
xy
=−
−=
−=
=
=
;0
,0
,64log)34)((log
,34
;0
,0
,64log
,34
;6loglog
,34
22
xx
xy
xy
yx
yx
=−
−=
;0
,0
,06434
,34
xx
xy
>>
−=
.2
,32
;32
,2
;0,0
;32
,2
,34
yx
xy
>>
=−
>>
=−
=−
=−
;0,0
,044
;0,0
,045
;045
,0loglog
22
22
44
yx
xy
yx
yx
yx
yx
yx
>>
−−=
.1
,1
;0,0
;1
yx
xy
522.
œ=

−
œ=
)5)(lg1(lg
)5)(lg1(lg6lg65lg
5lg
1lg
xx
xxxx
xx
−z
−z
−=
−z
−z
=−−
œ=

−−
;5lg
,1lg
;3lg
,2lg
;5lg
,1lg
,06lglg
)5)(lg1(lg
6lglg
xx
xx
xx
.1000
,01,0
=−œ
2log
4log
()()
œ=
−−
œ=
−−
4log
7log6log
4log
154log2log
xx
xx
−=
=−−
.128
,5,0
;4log
;7log
,1log
;4log
,07log6log
xx
œ=
−−
œ=
45lg
45lglg2
45lg
lg2
xx
=−
z−
>−
z−
;1
;8,0
,045
;145
;8,0
,1
45
;045
,0
,045lg
,0
45
xx
;4
;1
,8,0
;4

−=
()()
œ=
−
−−−
œ=
2lg6lg
2lg6lg30lg52lg
2lg
6lg
xx
xx
xx
xx
−z
−z
=−
œ=
−
−
;2lg
,6lg
;8lg
,2lg
;2lg
,6lg
,016lg10lg
)2(lg6lg
16lg10lg
xx
xx
xx
.10
,100
523.
3log4loglog3log2loglog
aaa
=
loglog
=œ=
aa
при
� a 0, a
1;
>z
−
>z
=−
œ=−
;0,1
,0
log6
log7log63
;0,1
,0
2log
log2log
xx
xx
xx
>z
−=
>z
=−−
;8
;0,1
;0,1
,03log7log6
xx
xx
xx
)
6log2log6log2log
œ=−
xx
xx
;92log
xx
8log2log2log8loglog
15
œ
=
xx
xx
loglog
55
=œ=
524.
(9 – 2
) = 3 – x
+ 8
– 9 = 0
+ 8 = 0
;3
,0
;82
,12
) log
–1)=2+log
+1)
log
– 1) = log
+ 4)
=−⋅−⋅
>⋅
⋅=⋅
;2525
,01510053125
;1515625
,55500515625
;2
;3
;04,05
008,05
−=œ
−>
−−=
) log
–1) =2x–4
=⋅−⋅
>−⋅
=−⋅
−−
;22
,014
;0142
,4142
1)2(2
422
xx
.2
;5,1
,44
;142
,0164

−>−
=−
) log
x+1
– 3)
log
+ 4) = log
=−⋅−
>−
⋅−⋅=
,04232
;032
,234244
xx
xx
.242
;42
12
=œ=œ
−−=
525.
) lg(2x – 3) � lg(x + 1)
−>
>
>−
>−
;1
,5,1
,4
;01
,032
,132
xx
Итого
: (4;
) log
(2x – 4) � log
(x + 1)
−>
>
>−
<−
.1
,2
,5
;01
,042
,142
xx
Итого
: (2;5).
) lg(3x – 7)
lg(x + 1)
−>
≤−
>
>−
.4
;4
,1
;173
,01
,073
xx
) log
(4x – 7) log
(x + 2)
.3
;2
,3
;02
,074
,274

−>
>
>−
>−
xx
526.
x � log
(3 – 2x)
œ−>
23log
<<
−−
−
>−
−>
;5,1
,0
;1
,5,00
;5,1
,0
,0
)1)(5,0(2
;5,1
,0
,0
231
;02
,0
,23
xx
xx
<<
<<
.5,11
,5,00

Итого
: (0;0,5)
(1;1,5).
) log
(x + 1) + log
x log
−>
−>
<−
>
<
.0
,1
;0
,1
,2
;0
,1
,02
;0
,01
,2log)1(log
xx
xx
Итого
: (0;1).
) lg x + lg(x – 1) lg6
<−−
>−
<−
;1
,0
,06
;01
,0
,6lg)1(lg
xx
xx
−>
.1
,3
;1
,3
,2

Итого
: (1;3).
) log
– x – 12) 3
– x – 12) log
>−−
<−−
;012
,812
xx
xx
<<
−<<−
−<
−>
−<
<−−
.54
,34
;4
,3
;5
,4
;4
,3
,020
xx
Итого
: (-4;-3)
(4;5).
527.
œ≤−−œ≤−
06loglog6loglog
xx
xx
−≥
.8
;3log
,2log
Итого
.8;
)
−<
œ>−
.0
;9
;9loglog
loglog
;2log
,2log
04log
Итого
.;9
;0
∞∪
) lg
x + 2 lg �x 3
x +2lg x – 3 � 0
−<
.0
;001,0
,10
;3lg
,1lg
Итого
: (0;0,001)
(10;
).
−≥
œ≤−
.0
,27
loglog
,27loglog
;3log
,3log
09log
33
33
Итого
.27;
528.
œ<
œ−<
;0
sinlog1
sinlog
πππ
π
π∈
nn
nn
2;2
;2
πππ
π
π∈
nn
nnx
42;4
;4
−>−
<−
œ<−
.32
,2
;32loglog
,2loglog
;2log3
,2log3
2log3
Итого
: (2;32).
œ>
œ>
;02cos
2cos
log2coslog12coslog
∈π
<<π
π
−<<π
∈π
<<π
π
−<<π
.,
;,2
22
,2
22
Zkkxk
kxk
Zkkxk
xk
Итого
.,
Zkkk
kk
π
π
π
−π
66
)
−>
−>−
<−
œ<−
.0
,10
,10
,1lg
;21lg3
,21lg3
21lg3
Итого
.10;
529.
>−
>
−=
>−
>
=−
=
=−
=
=−
=
;0
,0
82
92
;0
,0
,9
;9log)(log
log)(log
;2)(log
,2)(log
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
−=
>>
=
>>
=
=
=
.6
,8
;8
,6
;0,0
,48
,100
;0,0
,48log
,100lg)lg(
;1log
,2)lg(
22
22
22
yx
yx
yx
yx
yx
yx
−=
=−
=
;3
;1log
,3log
;4loglog
,2loglog
yx
yx
>−
>
−=
=
>−>
=
−=
=
;0
,0
,88
,130
;0,0
,8lg
,130lg)lg(
;8lg)lg()lg(
,13lg1)lg(
22
22
22
yx
yx
yxyx
yx
yxyx
yx
yx
yx
yxyx
yx
−−=
−=
>−
>
>−
>
=
.7
,9
;7
,9
;0
,0
,81
;0
,0
,130
22
yx
yx
xy
yx
yx
xy
xx
530.
=−
−=
=
=
=−
=⋅
;0
,9)4(
,24
;0
,9)(
,42
;9lg
)(
,33
;3lg2lg)lg(
,8193
42
xx
xy
xyx
yx
yx
xyx
yx
xy
−=
−=
=−
−=
.28
,16
;2
,1
;16
,1
,24
;0
,01617
,24
xy
xx
xy
>−
>
=−
=
>−
>
=−
=
−=−

;0
,0
,20
,5
;0
,0
,20lg)lg(
,5
;5lg2)lg()lg(
,50
22
22
)lg(1
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yxyx
yx
>−
>
>−
>
=−
=
;5,0
,5,4
;0
,0
,12
,92
;0
,0
,4
,5
yx
yx
yx
yx
yx
yx
>−
=−
=⋅
=−
=⋅
=−
=⋅
;0
,4
,57623
;4log)(log
,57623
;4)(log
,57623
xy
xy
xy
xy
yx
yx
yx
=
=
=⋅
;6
,2
;4
,366
;4
,57623
xy
xy
xx
=
=−
>>
=
−=−
.6
,9
;0
,0
,7813
,11713
;0
,0
,3923
,032
;0,0
;3923
lglg
;39
,115lglglg
)23lg(
yx
yx
yx
yx
yx
yx
обратной
функции
531.
) f(x) = 2x + 1; D(f) = E(f) = R; y = 2x + 1, x =
2
1
)(
xg
обратная
f(x); D(g) = E(g) = R;
) f(x) =
- 1; D(f) = E(f) = R;
,1x
−=
x = 2y + 2;
g(x) = 2x + 2 –
обратная
f(x); D(g) = E(g) = R;
) f(x) = -2x + 1; D(f) = E(f) = R; y = -2x + 1,
y1
g(x) =
x1
обратная
f(x); D(g) = E(g) = R;
) f(x) =
;1x
−−
D(f) = E(f) = R;
,1x
−−=
x = -2y – 2;
g(x) = -2x – 2 –
обратная
для
f(x); D(g) = E(g) = R.
532.
)x(f
−=
D(f) = E(f) = (-
;0)
x,
−=−=
g(x) =
обратная
f(x); D(g) = E(g) = (-
(0;
) f(x) = 2x
(x
0); D(f) = E(f) = [0;
); y = 2x
2
y
x
g(x) =
обратная
f(x); D(g) = E(g) = [0;
)(
−=
xf
D(f) = (-
(-2;
), E(f) = (-
;1)
(1;
y1
y2
x,
2x
g(x) =
x1
x2
обратная
f(x);
D(g) = E(f) = (-
(1;
), E(g) = D(f) = (-
;-2)
(-2;
);
) f(x) =
;1x
D(f) = [-1;
), E(f) = [0;
,1xy
=
– 1;
g(x) = x
обратная
для
f(x); D(g)=E(f)=[0;
), E(g)=D(f) = [-1;
533.
) f(x) = 2x
+ 1; y = 2x
+ 1,
2
1
x
)(
xg
обратная
f(x);
) f(x) = (x + 1)
;-1]; y = (x + 1)
, x = -1 –
;y
g(x) = -1 –
обратная
f(x);
) f(x) = -2x
+ 1; y = -2x
g(x) =
обратная
f(x);
) f(x) = (x – 1)
[1;
); y = (x – 1)
, x = 1 +
;y
g(x) = 1 +
обратная
f(x).
534.
) g(-2)= -4, g(1) = 0,5, g(3) = 1,5;
D(g) = [-2;8], E(g) = [-4;4];
) g(-2) = 1, g(1) = -1, g(3) = -3;
D(g) = [-6;4], E(g) = [-4;3];
) g(-2) = -2, g(1) = -0,5, g(3) = 1;
D(g) = [-6;7], E(g) = [-4;5];
) g(-2) = 4, g(1) = 0, g(3) = -1;
D(g) = [-3;7], E(g) = [-3;5].
535.
) f(x) = x
0;
. f(x)
;0],
; 0]
g(x),
обратная
f(x); y = x
+ 1,
;1yx
−−=
,1x)x(g
−−=
D(g) = [1;
), E(g) = (-
;0];
) f(x) = 2x, (-
. f(x)
возрастает
g(x),
обратная
f(x); y = 2x,
;y
g(x) =
D(g) = E(g) = R;
) f(x) =
,x
0;
. f(x)
возрастает
∞), то на [0; +∞) существует g(x),
обратная
f(x);
;yx,xy
==
g(x) = x
, D(g) = [0,
), E(g) = [0;
) f(x) = x
. f(x)
возрастает
g(x),
обратная
f(x); y = x
+ 1,
;1yx
−=
g(x) =
,1x
536.
) f(x) = sinx, x
ππ
. f(x)
возрастает
ππ
ππ
g(x),
обратная
f(x);
y = sin x, x = arcsin y; g(x) = arcsin x, D(g) = [-1;1], E(g) =
ππ
) f(x) = tgx, x
ππ
. f(x)
возрастает
ππ
ππ
g(x),
обратная
f(x);
y = tg x, x = arctg y; g(x) = arctg x, D(g) = R, E(g) =
ππ
) f(x) = cos x;
. f(x)
при
π],
[0;
g(x),
обратная
f(x);
y = cos x, x = arccos y; g(x) = arccos x, D(g) = [-1;1], E(g) = [0;
) f(x) = ctgx, x
(0;
. f(x)
(0;
существует
g(x),
обратная
f(x);
y = ctg x, x = arcctg y; g(x) = arcctg x, D(g) = R, E(g) = (0;
логарифмической
функции
41.
Производная
показательной
логарифмической
функции
537.
) ln3
1,0986, ln5,6
1,7228, ln1,7
0,5306;
) ln8
2,0794, ln17
2,8332, ln1,3
0,2624;
) ln2
0,6931, ln35
3,3551, ln1,4
0,3365;
) ln7
1,9459, ln23
3,1355, ln1,5
0,4055.
538.
;454`
eey
=
;32)32(`
exy
−=
=
72
)
3`
eey
−=
−=
.25)5(`
xexey
−−=
−=
539.
);sin(cos)cos(`
xxexey
−=
;2ln23)23(`
xxxx
ey
=
=
;63ln3)33(`
xy
−=
−=
).2()(`
xxeexy
xx
=
540.
) f`(x) = (e
)`= -e
, f(0) = 1, f`(0) = -1; y = 1 – x;
) f`(x) = (3
)` = 3
ln3, f(1) = 3, f`(1) = 3ln3;
y = 3 + 3ln3(x – 1) = 3ln3
x + 3(1 – ln3);
) f`(x) = (e
)` = e
, f(0) = 1, f`(0) = 1; y = 1 + x;
) f`(x) = (2
ln2, f(1) =
f`(1) =
2ln
)2ln1(
2ln
)1(2ln
⋅−=−−=
541.
) f(x) = 5e
, F(x) = 5e
) f(x) = 2
, F(x) =
3ln
⋅
) f(x) = 4
, F(x) =
4ln
,1
)(
=
exf
)(
CxexF
=
542.
2ln2
5,0ln
5,0
5,0ln
5,0ln
5,0
5,0ln
5,0
5,0
=−=−==
=−==
eedxe
2ln4
2ln4
2ln
2ln
=−==
3ln3
139
3ln3
3ln
3ln
=−==
543.
⋅
⋅=
sin2
22
sin`
xx
ex
ey
sin2
xx
xe
⋅=
xtg
xtgy
3cos
73
7ln737`
3cos
37
7ln
xtg
⋅⋅=
3cos
7ln
⋅=
xtg
)
xxexxexey
22sin
2cos
2cos`
xe
exe
xe
2sin2
2cos
2sin2
2cos
−⋅
2ln2
2`
ctgy
sin3
2ln2
sin3
2ln2
−=−
−=
544.
54
304ln64
54
4ln4546
54
−⋅
⋅−⋅
xxx
xx
22
22
−
⋅−−
xxe
xexe
−
52
)5ln52ln2(3523ln3
52
xx
xxxxxx
xx
)52(
)6,0ln55,1ln2(3
52
)5ln3(ln53)2ln3(ln23
xx
xx
xx
xx
xx
−⋅−⋅
5,0
3,05,03,0ln3,0
5,0
3,0
⋅−⋅
545.
) f(x) = xe
; D(f) = R; f`(x) = e
+ 5xe
(x+0,2);
f`(x) = 0
при
x = -0,2, f`(x) 0
при
;-0,2), f
(x) � 0
при
(-0,2;
); f(x)
;-0,2], f(x)
возрастает
[-0,2;
e5
)2,0(f)x(fmin
−=−=
) f(x) = x
; D(f) = R; f`(x) = 2x
+ x
(-x)`=2
x(2 – xln2);
f`(x) = 0
при
x = 0;
2ln
– + –
2ln

f(x)
;0]
,;
2ln
f(x)
возрастает
2ln
;0
x = 0 – min f(x), f(0) = 0;
2ln
– max f(x),
;2
2ln
2ln
2ln
) f(x) = xe
; D(f) = R; f`(x) = e
– xe
(1 – x); f`(x) = 0
при
x = 1,
f(x)
возрастает
;1], f(x)
[1;
),
x = 1 –
)1(f)x(fmax
==
) f(x) = x
0,5
; D(f) = R; f`(x) = 4x
0,5
0,5
ln0,5=0,5
(4 – xln2);
f(x) = 0
при
x = 0;
2ln
– + –
2ln
f(x)
;0]
,;
2ln
f(x)
возрастает
2ln
;0
x = 0 – min f(x), f(0) = 0;
−=
2ln
max f(x);
.5,0
2ln
2ln
2ln
546.
) f(x) = e
, F(x) =
;Ce
x23
−
) f(x) = 2
0,9
– 5,6
, F(x) =
6,5ln
6,5
9,0ln
9,02
xx

) f(x) = 2
, F(x) =
2ln
1,0
⋅−
) f(x)=e
2,3
, F(x)=
3,2ln
3,2
3,2ln
3,2
3,2
eC
=
547.
−===
;1|
eedxeS
xx
=−−=
−=−=
³³
3ln
9ln
3ln
9ln
3ln
9ln
39
xx
xx
dxdxS
3ln
3ln
3ln2
=−
)
2ln2
2ln2
2ln
2ln
=−===
dxS
−=−−=
−=−=
³³
eeeeedxedxeS
xx
xx
548.
=−==
−⋅=−=
3ln
3ln3
6|
3ln
32
SSS
3ln3
−=
= S
– S
DOCK
– 2S
dxe
;2222|22
=−=−=
eeee
)
=−−=−−=⋅−
=−=
2ln
2ln
2|
2ln
12
SSS
;2
2ln
−=
76
)
−=−
−⋅=−−=
³³
2ln
124
43
dxdx
SSSS
2ln
2ln2
2ln
4ln
4ln
2ln
2ln
12|
4ln
−=−−=−−=−
логарифмической
функции
549.
32
)`32(
32
))`32((ln(`
=⋅
==
;cos
3,0ln
)`sin
(log`
3,0
xxy
==
51
`51
51
))`51(ln(`
=⋅
==
.sin
10ln
)`cos(lg`
xxy
=−=
550.
);1ln2(
2ln
ln2
2ln
)`log(`
⋅
xxx
xxy
ln1
`ln
xxx
⋅−⋅
;1ln
ln)`ln(`
=⋅==
xxxxy
1ln
xx
⋅−
551.
17
)(
xf
CxxF
=
17ln
)(
−z
)
21
)(
−=
xx
xf
C5xln2xln)x(F
−=
-5, x
0;
)(
xf
C2xln)x(F
=
-2;
)(
xf
Cxln4)x(F
=
552.
)`(
xf
f(0) = ln1 = 0, f
(0) = 1; y = x;
10ln
)`2(lg)`(
xxf
==
f(1) = lg1 + 2 = 2,
10ln
)1`(
10ln
10ln
)1(
10ln
−=−=
)`xln2()x`(f
==
f(e) = 2 lne = 2,
)`(
ef
ex
)(
=−=
)1(2ln
))`1((log)`(
=−=
xxf
,01log)2(
2ln
)2(1
2ln
2ln
)2(
2ln
−=−=
xy
553.
;7ln21ln27ln2|ln2
=−==
;5ln
|23ln
23
=−−=
;11lnln|ln
=−==
ex
.10ln
1ln
10ln
|13ln
13
=−==
554.
()()
351
35ln35213
235ln3)1(
35
)35ln(
xxxx
xx

−
⋅−⋅⋅
−⋅
21ln
21
10ln2
21ln10ln
21ln
10ln
21lg
()()
()()
21ln212
421ln2110ln
xxx
xxx
−−
−−
5ln
15ln2
5ln
5ln2
5ln
xx
xxx
⋅⋅−
()()
1ln1
3ln
ln1
3ln
13ln
ln2
−
⋅=
−
⋅=
xx
xx
xx
555.
) f(x)=
;xlnx
D(f)=(0;
2ln
)`(
xf
==
D(f`)=(0;
0)x`(f
при
f(x)
;0
f(x)
возрастает
,;
−=
min f(x)
21
−=
xln
)x(f
D(f) = (0;
ln1
)`(
xx
xf
−⋅
D(f`) = (0;
f`(x)=0
при
x=e, f(x)
возрастает
(0;e], f(x)
∞); x = e –
max f(x)
1ln
)(
ee
ef
==
) y=2x–lnx; D(f)=(0;
)5,0(21
2)`(
xf
=−=
D(f`) = (-
(0;
f`(x)=0
при
x = 0,5; f(x)
(0;0,5], f(x)
возрастает
[0,5;
),
. x = 0,5 – min f(x)
f(0,5) = 1 + ln2;
) f(x) = xln x; D(f) = (0;
;1xln
xxln)x`(f
=⋅=
D(f`) = (0;
f`(x) = 0
при
f(x)
;0
f(x)
возрастает
,;
– min f(x)
−=
556.
) f(x) = xln
x; D(f) = (0;
);2x(lnxln
xlnx2xln)x`(f
=⋅=
f`(x) = 0
при
x = 1
f(x)
возрастает
;0
[1;
), f(x)
;1;
– max f(x)
41
22
ee
x = 1 – min f(x)
f(1) = 0;
)(
xf
D(f) = (0;1)
1ln
10ln2
)`(
xf
⋅=
D(f
)=(0;1)
(1;
); f`(x) = 0
при
x = e; f(x)
(0,1)
(1;e],
f(x)
возрастает
∞), x = e – min f(x)
f(e) = 2eln10;
xln
)x(f
D(f) = (0;
ln2
ln2
11
)`(
xf
−⋅
D(f`) = (0;
);f`(x) = 0
при
x = e
f(x)
возрастает
], f(x)
2;∞), x = e
–min f(x)
f(e
e
2
)
;xln
)x(f
=
D(f)=(0;
111
)`(
xf
=−=
D(f`) = (-
;0)
f`(x) = 0
при
x = 1;
f(x)
(0;1], f(x)
[1;
), x=1–min f(x)
f(1) = 1.
557.
;3ln482ln446ln412|ln42
=−−==
=
xxdx
)
;2ln4)4ln1(ln2|ln2
=−−=−=−=
xdx
)
;2ln
ln2ln
|ln
−===
xdx
.2ln96ln183ln9|)ln(3
=−−=−−=
−=
xxdx
функция
558.
;)(
xxf
D(f) = (0;
)`(
−=
xxf
80
)
;)(
xxf
D(f) = [0;
;3)`(
13
xxf
)
;)(
xxf
D(f) = [0;
)`(
xxf
)
;)(
xxf
D(f) = (0;
.5)`(
15
−−
⋅−=
xxf
559.
) f(x) = x
; D(f) = (0;
); f`(x) = -ex
)
)x(f
5lg
D(f) = (0;
5lg
)x`(f
15lg
−−
⋅−=
) f(x) = x
; D(f) = [0;
); f`(x) =
) f(x) = (2x)
; D(f) = [0;
); f`(x) = 2
ln3
(2x)
560.
;89,2
263
39
13
13)327(24
|=
−|
−⋅=−=
;57,601,15,6
85,2
14,0
13,1514,03,15353625
|⋅|
⋅⋅⋅|⋅==⋅
;33,403,12,4
4,13
25,0
14,1325,04,133381
33
|⋅|
⋅⋅|==
.63,201,16,2
485,2
14,0
13,1214,03,123248
44
|⋅|
⋅|⋅==
561.
;11,3
93
13
12732730
33
⋅|
⋅==
;08,3
94
13
18198190
44
⋅|⋅==
;003,3
13
1902,9
⋅|⋅=
.01,2
325
12
13213233
55
⋅|⋅==
562.
x)x(f
возрастает
;4)32(f)x(fmax,1)1(f)x(fmin
]32;1[
]32;1[
==
==
x)x(f
,16
)(max
27;
fxf
)27()(min
27;
==
fxf
. f(x)=x
,16
)(max
2;
fxf
;1)1()(min
1;
fxf
82
)
x)x(f
возрастает
)(min
81;
fxf
.27)81()(max
81;
fxf
563.
)(
−=
xxf
)21(2122
)(
21
12
xF
=
−
−=
−
,x)x(f
32
132
)(
132
xF
) f(x) = 3x
, F(x) = 3ln|x| + C;
,x)x(f
)(
xF
564.
3612
12
=−⋅=
−=⋅=
xdxx
;121812|
=−=
−
⋅=
−
;2lnln2|ln22
=−==
eexdxx
.8442114234|
55
=⋅=
−=
⋅=
dxx
565.
12
12
12
==
dxxS
−=−=−=
³³
13
xdxxdx
SSS
;2ln
13
12
13
13
1313
−
−=
−−−−
)
;51325|x5|
18,0
dxxS
18,0
8,0
=−==
−
−
.3ln5ln|xlndx
−===
566.
,4142,12
,4422,13
,7321,13
,2574,15,2
,3572,15,2
,3161,13
,5811,15,2
1892,12
;4143,1
96,12
04,0
14,1
96,1
04.0
14,104,04,12
|⋅==
;4435,1
744,23
256,0
14,1
744,2
256,0
14,1256,04,13
|⋅==
;7326,1
8561,22
1439,0
169,1
8561,2
1439,0
13,11439,03,13
|⋅==
;2575,1
4414,22564
125,1
4414,2256
125,1
25,15,2
⋅⋅
|
⋅==
;3598,1
197,23
303,0
13,1
197,2
303,0
13,1303,03,15,2
|⋅==
;3164,1
8561,24
1439,0
13,1
8561,2
1439,0
13,11439,03,13
|⋅==
;5813,1
56,22
06,0
16,1
56,2
06,0
16,106,06,15,2
−|−⋅=−=
.1787,1
0736,22
0736,0
12,1
0736,2
0736,0
12,10736,02,12
−|−⋅=−=
567.
0)0()(min
fxf
дифференциальных
уравнениях
568.
) y`(t) = -6sin(2t +
), y``(t) = -12cos(2t +
-12cos(2t +
) = -12
cos(2t +
32
cos2)`(
ty
32
sin)``(
−−=
ty
−⋅−=
−−
32
sin4
32
) y`(t) = -8sin4t, y``(t) = -32cos4t; –32cos4t + 32
cos4t = 0;
),1t1,0cos(
)t`(y
);11,0sin(
)``(
−=
ty
0)11,0sin(
)11,0sin(
=⋅
569.
y`(x) = 15e
= 3
570.
y`(x) = -14e
, -14e
= -2
571.
y`(x) = -21e
, -21e
= -7
572.
очевидно
что
y = Asinkx –
решение
y`(x) = A
kcoskx, y``(x) = -Ak
sinkx;
y`` + 25y = 0
sinkx + 25Asinkx = 0, sinkx(25 – k
) = 0; k =
5;
y(x) = Asin5x,
– const;
очевидно
что
y = Asinkx –
решение
,0kxsinA4kxsink
0y4``y
−Ÿ=
;6,0)36(sin
±==−
kkkx
y(x) = Asin6x,
– const;
очевидно
что
y = Asinkx –
решение
4y`` + 16y = 0
-4Ak
sinkx + 16Asinkx = 0, sinkx(4 – k
) = 0, k =
2;
y(x) = Asin2x;
– const;
очевидно
что
y = Asinkx –
решение
,0
sin,0sin
−Ÿ−=
kkxkxAkxAkyy
±=
sinA)x(y
; A – const.
573.
) x` = -4sin(2t – 1), x`` = -8cos(2y – 1);
-8cos(2t – 1) + 4
2cos(2t – 1) = 0
x`` + 4x = 0;
1,0sin64,0`
−=
1,0cos064,0``
−=
1,0cos4,601,0
1,0cos064,0
⋅
x`` + 0,01x = 0;
3sin4
−=
tx
3cos12
3sin36``
−−=
3sin49
3sin36
−⋅
x`` + 9x = 0;
) x` = 0,213cos(0,3t – 0,7), x`` = -0,0639sin(0,3t – 0,7);
-0,0639sin(0,3t – 0,7) + 0,09
0,071sin(0,3t – 0,7)=0
x`` + 0,09x = 0.
574.
Пусть
x(t) = x
(t) + x
(t) = A
cos(
) + A
cos(
периодическая
наименьшим
положительным
периодом
x(t + T) = A
) + A
cos(
) =
cos(
) + A
cos(
) = x(t).
это
выполнено
при
Zk
nnT
kT
==
π=Z
π=Z
,2
,2
рациональное
число
при
575.
Зависимость
вещества
времени
: m(t) = m
n = me
,ln
);ln(ln
nm
−=
период
полураспада
радия
находим
2
m
2ln
lnln
2ln
)ln(ln
2ln
nm
nm
576.
;ln
01
temm
=Ÿ=
2ln
125,0
2ln
2ln
=⋅=
577.
01
emm
;ln
2ln
⋅=
при
,10
= 1
3,310ln
2ln
2ln
t = 100
лет
= 1500
.64,0
2ln
578.
= –k(T – T
), T
= 0.
этого
уравнения
T(t) = T
k� 0 – const.
первого
тела
,eT)t(T
tk
)1(
)1(
;eT)t(T
tk
)1(
)1(
время
температура
,T
)1(
температура
тела
:T
)2(
11
)1(
)1(
tk
eTT
,ln
)1(
)1(
11
tk
:ln
)1(
)1(
12
)2(
)2(
tk
eTT
;ln
)2(
)2(
времени
температуры
тел
находим
условия
:)()(
)2()1(
tTtT
)2(
)2(
)1(
)1(
)2(
)1(
eT
eT
)1(
)1(
)2(
)2(
lnln
)2(
)1(
86
,ln
)1(
)2(
)2(
)1(
)1(
)2(
TT
TT
)2(
)1(
)1(
)2(
)1(
)2(
TT
TT
tt
при
= 10
мин
,C200T
)1(
°=
,C100T
)2(
°=
,C80T
)2(
°=
;100
)1(
°=
75,14
6,1ln
2ln
|=
⋅=
579.
задачу
578.
)1(
)1(
)1(
)1(
)(
eTtT
)(
)2(
)2(
)2(
)2(
eTtT
)()(
)2(
)2(
)2(
)1(
)1(
)1(
lnln
)2()1(
etTtTT
=−=∆
при
,25
CT
°=∆
,100
)2(
)1(
TT
°==
,80
)1(
CT
°=
;64
)2(
CT
°=
мин
10025
;64,01008,010025
⋅−⋅=
,025,08,08,0
=−
tt
;05,08,0
;5,0
8,0
;5,0log
8,0
08,31
8,0ln
5,0ln
105,0log10t
8,0
|=
580.
)(
)()(
tvtkvtv
−=−=
v(0) = v
;)(
evtv
при
,30
.4,3500
500)3(
ee
|=⋅=
Рациональные
иррациональные
Обозначим
последовательных
натуральных
числа
1;
+ 2.
+2=3
+3 –
делится
три
поскольку
каждое
слагаемое
делится
Произведение
этих
чисел
равно
+2).
этих
чисел
делится
два
другое
значит
изведение
делится
шесть
) 52365;
) 52344.
содержит
пятьдесят
девяток
оно
3, 9.
11
делится
Поскольку
попробовав
поделить
11
09
99
99
99
55 99
9...........9999
909...909
54
)(
35.
Предположим
ba
сократима
делитель
существует
общий
делитель
чисел
или
чисел
Пусть
следовательно
дробь
противоречит
условию
||||
;0
,
,0
,
||
;0
,
,0
,
aa
аа
aa
аа
−=
<−
=−
<−
<−
;0
,
,0
,
хх
хх
получим

0
получим
22
22
||
, ;)(
;0
,
,0
,
xx
хх
хх
хх
−=
2435
21035
5,2
35,2
3(4,05,2
31,1:75,2
⋅⋅
⋅⋅
−−
5617
5128
10:
:175,010:
===
⋅−
) (1,4 – 3,5 : 1
) : 2,4 + 3,4 : 2
1
52
47
175
817
⋅⋅−
=
−=
125
12857
125
57
3596
==
75,0
21
102,21
25,0
==
⋅
⋅
5,0
5,0)5,0(
)1,04,0(
)15,0(5,0
1,04,021,04,0
5,05,0
22
−=
⋅−
⋅⋅
5,2
53
)6,0(2,1
)6,0(3
)8,02,0(2,1
)8,12,1)(8,12,1(
8,02,12,02,1
8,12,1
22
−⋅
−⋅
−
⋅−⋅
5,1
5,0
)5,0(5,1
5,0
)5,11(5,1
)1,06,0(
5,15,1
1,06,021,06,0
22
−=−=
−⋅
⋅⋅−
−=⋅
−−
−−
:4,2
44
−=
−⋅=
10.
) 3,82
0,1 –
– 3
8;
) 1,980
0,001
9;
) 7,891
0,1 –
верные
цифры
1;
) 2,8
0,3
верных
11.
) 1,002
= (1 + 0,002)
1 + 5
0,002 = 1 + 0,01 = 1,01;
) 0,997
= (1 – 0,003)
1 – 4
0,003 = 1 – 0,012 = 0,988;
) 2,004
= 8(1 + 0,002)
8(1 + 0,006) = 8,048;
) 3,01
01,0
= 243
243
= 247,05.
12.
) 15,3;
) 30,7;
) 43,7;
) 3,0.
13.
) 2,(3) = 2
) 0,(66) =
) 1,0(8) = 1
) 1,(33) = 1
14.
Пусть
p
p

Z,
q

N,

несократимая
поэтому
натуральные
есть
откуда
следует
Подставляя
= 5
равенство
= 5
получим
25
Получим
что
5.
противоречит
что
несократима
значит
предположение
неверно
иррационально
рациональное
рациональное
Пусть
m
m

Z,

N,
несократимая
поэтому
можно
считать
натуральные
что
следовательно
делятся
7,
есть
Подставляя
получаем
Отсюда
видно
что
делится
Дробь
сократима
Предположение
неверно
72
иррационально
Пусть
рационально
),
рационально
противоречит
иррациональности
)
рационально
иррационально
15.
рациональные
также
число
иррациональное
случая
a = –b
быть
как
рациональным
так
иррациональным
Например
1472
=⋅
иррациональное
22
рациональное
иррациональное
иррациональное
число
16.
1,42 + 0,55 = 1,97;
2,24 – 0,29 = 1,95 ;
1,72 + 0,83 = 2,55;
2,45 – 0,09 = 2,36.
17.
) –2 –
рациональное
, –1,7 –
рациональное
иррациональное
иррациональное
) –
иррациональное
, –1 –
рациональное
рациональное
log
иррациональное
иррациональное
, 0,(2) –
рациональное
рациональное
) –1,(6) –
рациональное
, lg100 –
рациональное
иррациональное
иррациональное
18.
) 4 7
lg
0,
поэтому
74
) (
= 5 + 4
+ 4 = 9 + 4
� 17, (
= 17,
) log
�7 1, log
3 =
7log
значит
, log
3log
�7 log
) (
= 7 + 6
+ 9 = 16 + 6
� 31. (
= 31,
�+ 3 31.
�+ 3 31.
19.
10log
3log
10log
15log
,
значит
10log
5log
= 2 + 2
+ 3 = 5 + 2
10,
= 30 – 2
+ 3 = 33 – 2
� 13,
) (
) 7,98 – 2
7,98 –6,28
1,70;
2,1
1,7
sin2,1 sin7,98;
= 8 + 2
+ 5 = 13 + 4
= 3 + 2
+ 10 = 13 + 2
значит
20.
562262362
23
)23(
62
23
23
=−=−
=−
01722211222)17)(17()21()12(
=−−=−−−
63535635
)57(
57
57
=−=−
=−
2:)2202429(2:)50482183(
=

= 9+4+20 = 33.
21.
) 320–100%,
5,2320
) 2,5%–75, 100%–
5,2
75100
) 84–100%, 2,8–
1008,2
) 35–100%,
–140%;
14035
22.
1987
продукции
104%,
год
прирост
продукции
выпущенного
год
два
года
прирост
составил
8,32%+4%=12,32%,
значит
средний
прирост
продукции
12,32%:2 = 6,16%.
23.
, III
число
–20
0,15=3
условию
5
– 3
= 15; I
число
число
III
–300, IV
число
–45.
24.
условная
осенне
зимнего
периода
периода
она
составила
1,25
условных
1,25–100%, 1–
%80
25,1
1001
Поэтому
20%.
25.
) 12 :
1
5
1
512
5
: (–0,3) = 0,15 : 1,5,
: (–0,3)= 0,1,
= (–0,3)
0,1,
= –0,03;
2613,0
, 26
3100
1013
1023
⋅⋅
2,6
5,2
2,65,2
)2,6(5,2
−=
−=−
26.
5,2
– 2) = 15,
–15 = 0,
= 5,
= –3; (–3; 5);
2,1
8,4
= 4
+ 20, –3
= 20,
2
5,1
5,6
, (
– 3)3 = (
– 2)13, 10
= 1,7;
2,1
, (4 –
+ 3) = 6, –
+ 12 = 6,
– 6 = 0,
= 3;
(–2; 3).
27.
двум
= 22,5 –18 = 4,5,
5,4
5,22
5,22
155,4
= 15 – 3 = 12;
5,2
5,7
55,7
5,7
ABC
S
= 9,
= 8,
АЕКС
= 72 – 8 = 64.
Прогрессии
28.
201
aa
daa
17
, 20 = 2 + 6
,
= 3,
daa
120
=
= 2 + 57 = 59,
592
1061
= 610.
29.
= 4,
= 40,
+ 5
, 40 – 4 = 5
= 7,2;
= 11,2,
= 18,4,
= 25,6,
= 32,8.
30.
2log
3,
2log
6 = log
3 + 1,
2log
12 = log
3 + log
3 + 2.
log
3 + 1; log
3 +2
образуют
арифметическую
прогрессию
31.
=⋅
=
;160
,26
42
51
аа
аа
=
=
;160)3)((
,264
11
11
da
аа
=
−=
;16034
,213
dd
аа
=⋅−⋅−
−=
;1603)213(4)213(
,213
ddd
169 – 52
+ 4
+ 52
+ 3
– 160 = 0, –
+ 9 = 0,
= 3,
= –3,
= 7,
= 19.
= 7 + 15 = 22
или
= 19 –15 = 4.
873296
227
=⋅=⋅


693236
419
=⋅=⋅
32.
a =b
b = b
,
,
d = b
+ (
−
22
qbb
−−−
62
42
22
42
32
22
42
bqbqbqbqbqbqbqb
62
32
=−
qbqb
33.
22
)12)(12(2
12
)12)(22(
12
12
12
22
−
−
второго
числа
22
22
22
третье
Значит
образуют
геометрическую
прогрессию
34.
=
=−
;6
,24
32
24
bb
bb
=
=−
;6
,24
11
qbqb
qbqb
=
=−
;6)1(
,24)1(
qqb
qqb
24)1(6
=−
41
=−
= 5,
51
15
35.
= 3,
= 12,
= 3072;
⋅=
qbb
3072 = 3
= 1024;
– 1 = 5,
36.
1
14
qbb
⋅=
1
27
1
:
54
1
qb
−⋅
)1(
1
3
1
1
2
1
162
121
−=
3162
4121
=−
3162
4121
=−
= 5.
37.
искомые
условию
имеем
=
=
,14
,12
41
32
bb
bb
=−
=⋅⋅
;14)(
,12
2331
11
bbbb
qbqb
=−
=⋅
;14
,12)1(
231
bbb
qqb

=−
=⋅
;14
21(
,12)1(
qqb
qqb
)1(
21
qq
qq
−
qq
qq
1224121414
−=
0122610
=−
qq
06135
=−
qq
= 2,
= 0,6,
= 2
= 12,5,
= 4,
= 7,5,
= 8,
= 4,5,
= 12,
= 1,5.
: 2; 4; 8; 12
12,5; 7,5; 4,5; 1,5.
38.
33
39
)33(2
33
3)13(
3:
13
−=
b
S
1
11
−
39.
−=
=⋅
−⋅
);1(12
,5,10)1(
;12
,5,10
)1(
qb
qqb
qb
12(1 –
)(1 +
) = 10,5,
12(1 –
) = 10,5, 1 –
= 10,5 : 12,
1
= 12
(1 –
) = 6.
Ответ
= 6;
40.
геометрическая
прогрессия
+ log
, log
= log
+ 2log
, log
; log
арифметическая
прогрессия
Преобразования
алгебраических
41.
);2)((
)(2)()(22222 a)
22
22
−−=
=−−=−=−−
baba
bababababaabbaba
)(1(
)1()1(
)1(
yxxx
xyxxyxxyxyxyx
−=
=−=−=−
);42)(2)(2()42)(2(2)(8
24
2423326
−=−=−=−
aaaaaaa
aa
).)()(1)(1())(1(
)1()1(
)1(
222
2222222242224
yxyxxxyxx
xyxxyxyxxyyxx
−−=−−=
=−−−=−−=−
42.
)2)(1()1()2()1(
)2)(1()1(2)1(2
2 a)
22
22
234
⋅−=⋅⋅−=
=−=−−=−−
nnnnnnn
nnnnnnnnnnn
произведение
четырех
последовательных
натуральных
2, 3, 4,
24
при
= 2, 3, ...;
)4)(3)(2)(1(
)4)(2)(1)(3()86)(34(
=
==
nnnn
nnnnnnnn
произведение
последовательных
натуральных
делится
2, 3, 4,
делится
)1()1()1(
−=−=−
nnnnnnn
произведение
последовательных
натуральных
которое
делится
при
= 2, 3, ...;
)2()2()2)(2()4(4
⋅−=−=−=−
nnnnnnnnnn
−
)1(22)1(2)22(2)22()2()2(
knkknknnn
)1()1(8
−=
kkk
произведение
3,
делится
48.
43.
)1(
)1)(1(
)1(
)1()1(
12
23
−=
−
−

−−
aa
aaa
aa
aaa
)4(
)4)(3(
168
−−

−
xx
xx
xx
12
)3)(2(
)12)(2(
)3(2)3(
)12)(2(
632
252
−−
−−
−−−
−−
−−
−
ba
aa
bba
aa
abab
aa
xxy
xxx
yxyyx
)93(
)93)(3(
93

−

44.
4)(
a)
22
nm
mnnm
nm
mn
nm
nm
nm
−
−
−
−−−−
22
22
)(
)(2
nm
nm
nm
nm
nm
mnnmnmnm
)(
)(
))((
)()(
222
nm
nm
nmnm
nmnm
−=

−−
−=
−
−
2222
22
22
33
)(2
)(:
ba
bab
ba
baba
ba
ba
ba
ba
ba
;1
22
22
22
22
22
−−−
ba
ba
ba
abbabbaba
ba
−
)2(
)4(
)168(
22
xx
xx
xx
xx
xxx
)4)(4(
)2()4(
−−
−−
xx
xx
xx
−



12)3(
65
34
23
сс
cccc
cc
−



1296
)3)(2(
)3)(1(
)2)(1(
ссс
сссс
сс


)3(
)3)(2)(1(
1)2(23
ссс
сссс
.2
2)3(
)3(4
)3(
)3)(2)(1(
)2)(1(2
⋅
⋅


ссс
сс
45.
52
2436
52
a)
22
22
−
yx
yx
yxyx
yx
yxyxyx
)52)(4(
4254
52
52
22
2222
22
2222
yxyx
yxyx
yx
yx
yx
yx
yx
−−
−−
25
52
4)52)(4(
)4(24
22
222
22
xyyx
yyxyx
yxy
yx
−−
−
)3(3
12
65
aa
aa
−−
−−
−−
−−
)3(3
12
)3)(2(
232
)3(3
12
)3)(2(
62463
aa
aa
aa
aa
aa
aa
)3(3
)3(3
129
)3(3
)3(3
)12)(3)(2(
3)12)(2(
−
−−
−
aa
aaa
aa
⋅=
−−⋅
xxx
xx
)242(
)4(2
12
)2(
xx
)3(
)3(
33
3:
22
kk
kk
kk
⋅=
.33
93
)3)(27(
39
=−=
−
−
−=
−
kk
kk
kk
kk
Преобразование
выражений
радикалы
степени
дробными
показателями
46.
610
106
53
)53(2
53
615
25
)25(3
25
152
)27(3
27
)27(3
27
47.
155,155,2)55,1(|5,25|1)55,1()5,25(
=−−=−−−=−−−−
−
−
5075
)625()2535(
)2575(
245)(5035(
;12425)625)(625(
)625()2535(
=−=−=
−
175,05,075,0)2125,1(75,0))21()5,12((
==−−=−−−
=⋅
=⋅
)30211(
56
)56(
)30211(
2452
2062
.1120121)30211)(53026(
=−=−=
48.
)2(2
222
)2(2
42224
)2(2
)2(22)2()2)(2(
)2(
)2(22
222
22
−−
⋅⋅−−−
aa
aaa
aa
aaaaa
aa
aaaaa
aaa
aaa
−−=
ba
ba
abbaba
ba
ba
ba
bbaa
;1
)(
)(
)(
)()(
⋅−
ba
ba
ba
baba
)1(
)1()1(
−=

−
xx
xx
xxxx
xxxx
−−
)1()1(
сс
.4
)1(4
))2(2()1(
==
−⋅−
сс
сс
49.
−−−=
)(
)1
kkk
kkk
kk
;1
)1(
−−=
kk
−
ba
bb
ba
ba
ba
bba
)2()(
−−
−
ba
bb
ba
babbabba
)()2
)(2
32)(
))(
3)((
bb
bbba
babababa
==
⋅−
−−
−
−−
−
−−
))((
)((
1)(
yx
yxyx
yxyxyx
yx
yx
yx
44
)(
)(
yyx
yxxy
yx
yx
yxyxyxyx
yx
−=
−
−−−
−
−
−−
−−
)()(
)()(
3223
baabab
babbaa
aabbab
bbaab
).(
))((
))((
))((
44
44
4444
44
ba
ba
baba
abba
baba
−=
−
−
−
50.
=

−
=

5,0
5,05,0
5,15,05,0
5,0
5,1
5,0
)1)(1(
)1)(1)(1(2
a)
xxx
xxx
xx
xx
=
−−
5,0
5,05,0
)1)(1(
xx
;12)1(
5,025,0
=−
xx
100
−⋅=
−⋅
ba
bab
baa
ba
ba
bab
baa
ba
)(
)(
)(
−−
−−
)()(
))()(
)()(
))()((
babba
bababbaba
babba
babababa
);(
)()(
baab
baabbaaba
ba
=
−⋅
yx
yx
yx
yx
yxx

)2(
)2(
yxx
yx
yyxx
yxx
−
yxxyyxx
;y
)yx(y
)yx(x
−
⋅
−
cc
cc
cc
cc
21
−
2)1(
)1(2
)1(
)1(2
cc
cc
cc
cc
2)2(
))1(21(
22
⋅−−=
cc
cc
51.
−
=⋅
−
−−−
−−
()
2(
a)
babaabaabaabbaa
bbaaa
abbaa
101
)(
baaba
baa
−−
)(
)(
ba
baa
baa
=
−−
−−
−−
−−
yx
yxyxxy
yx
yx
xy
yx
yxyx
)(2
)(2
)(
2(
)(
−−
−−=
−=
−−
xy
yx
yxyx
xxy
xy
yx
yxx
=⋅
cc
cc
;111
)1(
)1(
cc
cc
cc
=−=⋅
−
−
))((
)(3
2)(3)(3
baba
bab
ba
baba
ba
bab
−−
33
ba
babbaaba
.3
33
−
ba
ab
ba
bbaa
ba
Преобразования
тригонометрических
52.
−α−
=α⋅α−α−α
2222
sintgsin tga)
α−α−α
α−α⋅α−α
22
4222
)sincos1(sin
sincossinsin
;0
0sin
⋅α
βββ
βββ
)sin(coscos
)cos(sinsin
=ββββββ=
)sin(coscos)cos(sinsin
|;cossin|)cos(sin
ββ=ββ
102
;13)cos
(sin4
)cos
(sin9cos9cossin12sin4cos4
cossin12sin9)cos3sin2()cos2sin3(
22
=αα
αα=αα⋅α−αα
α⋅αα=α−ααα
.sin
cos1
cosctg
tgcos
β=
β−
=β⋅β−
ββ
53.
) 2tg
–tg(
) = 2tg
– tg
= 2tg
1111
)sin(
)sin(
−=−−=
α
α−
α−π
α−
α⋅
α⋅
β−
β−
⋅β−π⋅β−π
tg)cos()(tg
ctg)tg(cos)1(
ctg)cos()tg(
β−β−⋅β−
β⋅β−⋅β−
π⋅⋅⋅α−π
α
ππ
2cossincos)(ctg
.1
sin)1)(1(
sincosctg
2sin)(ctg
−⋅
−−
π⋅⋅α−
−π
−π⋅α−⋅−
54.
β=
βα⋅α
β−α−βα
)(tgtg
tgtg)(tg
)tgtg(tg
)tgtg(tgtg
)tgtg(tg
tgtgtgtgtgtgtgtg
tgtg1
)tgtg(tg
tgtg1
tgtgtgtgtgtgtgtg
)(tgtg
tgtg)(tg
β=
βαα
βαβ⋅α
βαα
β⋅αβ−β⋅αα−βα
β⋅α−
βαα
β⋅α−
β⋅αβ−β⋅αα−βα
βα⋅α
β−α−βα
образом
равенство
истинное
103
α=
αα
αα−
2sin2cos1
2sin2cos1
.
.tg
cossin2cos2
cossin2sin2
2sin2cos1
2sin2cos1
α=
α⋅αα
α⋅αα
αα
αα−
α=
β−αβα
β−αβα
)sin()sin(
)cos()cos(
α=
β⋅α
β⋅α
β⋅α−β⋅αβ⋅αβ⋅α
β⋅αβ⋅αβ⋅α−β⋅α
cossin2
coscos2
sincoscossinsincoscossin
sinsincoscossinsincoscos
α−=
α−α
α−α
2ctg
3coscos
3sinsin
.2ctg
2sin
2cos
cossin2
cossin2
)cos
(sinsin
cossin2sincos2coscos
cossin2sin2sinsin
)cossin2sin)sin21((cos
)cossin2cos)sin21((sinsin
)2sinsin2cos(cos
)2sincos2cos(sinsin
3coscos
3sinsin
α−=
−=
αα
α−α
−=
αα
α−αα
ααααα−α
αα−αα−α
αα⋅α−α−α−α
αα⋅αα−α−α
αα−αα−α
αααα−α
α−α
α−α
55.
coscos
=α−
при
2
π<
22
2
cos
−=
⋅−=α−
cos2
)cos1(
=
⋅=
cos)
cos1(
,
cos,0
cos,
244
απ
104
=α−−
24
cos22cos
при
<α<π
<α<π
sin
0, | sin
|= – sin
24
cos2
24
cos2
24
24
cos2
24
24
sin2
sin2sin
sinsin1sin1
α−
α
=α
=α=α−
.0
24
cos,
4242
244
ππ
−<
cos2cos
−=α
при
π<
π<α<
24
,2
cos)cos1(
2cos
2cos
−=
=α⋅=
=α=α=α
=α−
24
cos2cos
при
π<
π<α<
24
,2
44
cos2
44
cos2
44
442
sin2
22
22
sin2
sin1
sin1cos
=
=α−
,2
π<α<
44
cos,
8444
ππ
−<
105
56.
cos
πππ
−=
−π
ππ
πππ
cos-
πππ
преобразуем
sin2
sin2
sin2
⋅=
π⋅−=
⋅−=
ππ
−=
πππ
⋅−=
πππ
⋅−=
ππππ
полученное
выражение
равно
правой
исходное
равенство
=⋅−
oo
50sin4
20cos
20sin50sin20sin4
20cos
20sin
20cos
)70sin30(sin21
20sin
−=
−−
oo
20cos
)2090sin(
20sin2
20cos
70sin211
20sin
.20sin2
20cos
20cos
20sin2
−=
⋅−=
Равенство
верно
.2
10sin
10sin
10sin
)1090cos(
10sin
280cos21
10sin
)60cos80(cos21
10sin
70sin10sin41
70sin4
10sin
⋅−
oo
oo
Равенство
справедливо
.120cos110cos110cos120cos65sin45sin2
110cos120cos65sin255sin220cos
=−−=
−−=
oo
Равенство
справедливо
106
57.
части
правую
– 2 = tg
1
)1tg(
tg21tg
−
xx
(tg
–1)
0; tg
� 0
при
;0(
Неравенство
верно
Преобразуем
дробь
части
учитывая
что
⋅−
⋅=
α
α
α
sin4
26
cos4
26
26
26
sin4
26
sin2
412
412
sin2
sin2
4122
412
4122412
sin2
cos32
равенство
принимает
32
sin2
sin2
cos32
32
cos32
верно
при
любых
Рассмотрим
неравенства
перемножим
первую
четвертую
вторую
третью
(1 + sin
+ cos
)(sin
+ cos
– 1)(1 + (cos
– sin
))
(1 – (cos
– sin
)) = ((sin
– 1)(1 – (cos
– sin
+ cos
+ 2sin
cos
(1 – cos
– sin
+ 2sin
cos
cos
= sin
1.
Неравенство
верно
при
всех
Преобразуем
часть
неравенства
2sin4
+ cos6
= cos2
– cos6
+ cos6
= cos2
– 1.
Неравенство
верно
при
58.
αα
sincos
+sin
+2sin
– 2sin
= (cos
+ sin
1
1
107
2

=−=⋅−=
⋅−
α
sin1
sin21
tg
m
.
tg1
tg1
sin2
sin2
sin1
sin21
α
m
,

tg1
tg1
Поскольку
1

, 2cos
+ cos
–2 = 0,
откуда
cos
171
±−
171
±−
значит
171
±−
Поскольку
tg
α−
cos1
α−−
=−
sin11
,sin11sin2
α−−=−α−
,sin1sin2sin221
α−=αα
0sin)22sin3(,0sin22sin3
=α⋅α
=αα
0,
что
22
−=α
Тогда
cos2
= 1 – 2sin
= 1 –2
8
7
11(
)sin11(
)cos1(
==−=α−=α=
±=
22
−=
108
59.
) lgtg1
+ lgtg2
+ … + lgtg89
= tg89
поскольку
tg1
= tg(90
) = ctg89
, tg2
= ctg88
lgtg1
+ lgtg2
+ … + lgtg89
= lg (tg1
tg2
… tg89
= lg (ctg89
ctg88
tg45
tg88
tg89
) = lg1 = 0.
) lgtg1
lgtg2
lgtg89
= lgtg1
lgtg2
lgtg45
lgtg89
= 0.
60.
) lgsin32
lgcos7
lgtg40
lgctg20
отрицательны
; ctg20
логарифм
основанию
10
больше
0;
следовательно
произведение
отрицательных
одного
положительного
отрицательное
, lgsin32
lgcos7
lgtg40
lgctg20
0.
) lgtg2
+ lgtg4
+ lgctg2
+ lgctg4
= lg (tg2
ctg2
ctg4
) = lg1 = 0.
61.
Воспользуемся
формулой
α
α−
cos1
cos1
.
Тогда

−

−

−
=
cba
cba
cba
bac
cba
acb
cb
cb
cb
cb
cb
cb
cos1
cos1
cos1
cos1
cos1
22
.1



−−−
cba
cba
cba
cbabacacb
Преобразования
выражений
степени
логарифмы
62.
) 3
поскольку
81� 64,
81
значит
, 3
� 4
) –log
1log
; –log
1
5 = 1,
1log
1log
7= 7
= 1,
следовательно
1log
7;
) 5
2
, 2
= 32
так
32� 25,
25
32
, 5
2
500
) log
log
1
1
1
log
(3)
= – 4;
1
109
63.
) log
2 + log
7 = log
(2
7) = log
14; log
(2 + 7) = log
9 = 2;
поскольку
�3 1,
, log
14� log
9,
поэтому
2 + log
�7 log
(2 + 7);
) log
5 – log
3 = log
, log
(5 – 3) = log
2;
�4 1,
, log
значит
5–log
3log
(5–3);
) 3log
2=log
�80, log
(3–2)=log
1=0,
значит
, 3log
�2log
(3 – 2);
1,5 + log
2 = log
(1,5
2) = log
3 = 1, log
1,5
2,25,
= log
3� 2,25,
log
2,25 log
поэтому
log
1,5 + log
64.
4log
8log
4log
81:81
8log
4log
)9(:81
44
)8(4:3)5(
8log
====
.1
152152
52
log2
log4
−−=
=−−=−−=−
aa
65.
25,175
125
)7(
2log
2log1
===
=
34,0
1024
)6(
10log
5log
10log
5log
==
=
66.
12lg
12lg2
12lg
12lg
12lg
144lg
3lg2lg2
18lg8lg
====
) 2log
3 – 2log
10 = log
9 – log
100 = log
log
(0,3)
= 2;
1,0lg
1000lg
1,0lg
125lg8lg
130lg13lg
5lg32lg3
−=
==
) (2log
2 + log
3)(2log
6 – log
3) = log
12 = 1.
67.
) 25
= 5;
log
25 + log
= 2 + 3 log
log
0016,0
cc
при
= 0,2,
� 0,
� 0;
110
log
0,0016 + 4 log
= 4 + 4 log
– 1
log
68.
a) log
= 2log
10 +
log
81 –
log
125;
27100
8110
32
28log8log16log
−
;
2816
69.
a)
5381,0
6256,27
8981,1832,7
256,5
98,12832,7
94,365
341,65101,4
3,10465
341,614,92
3,102
70.
log
9 =
3010,02lg
10lg
2lg
10lg
9lg
9lg
8lg
8lg
7lg
7lg
6lg
6lg
5lg
5lg
4lg
4lg
3lg
3lg
2lg
|==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
71.
Поскольку
13
13
13
13
)13)(13(
13
−
=−
26
26
46
26
)26)(26(
26
−
=
=−
26
13
log)26(log)13(log
.2)26(log2log)13(log2log
22
22
−=−−−
Рациональные
функции
72.
Пусть
=
DF
=
.
ADBC
32
22
)(
xxx
xx
xS
=⋅
⋅
111
Пусть
тогда
= CD
,
Периметр
трапеции
) = 2
+ 2
+ 2
+ 2
+ 2
(4 +
73.
Пусть
призмы
V = S
(x) =
1

x


3

x
=
объɺм
призмы
сторона
основания
4
S
P


4
=
) = 3
4

= 3
Ответ
: S(
) = 3
74.
1)
xtx
Z=
; 2)
tx
cos)(
75.
) I –
30
, II –
часов
) I
турист
– 4
+ 1,5 = 5,5
, II
– 2,5 + 2 = 4,5
) I
турист
, II

30
мин
) I
– 1
, II
турист
– 2,5
) I
остановки
двигался
скоростью
==ν
),
после
остановки
5,1
==ν
112
остановки
5,2
==ν
после
остановки
==ν
Средняя
движения
первого
туриста
5,5
==ν
),
второго
туриста
==ν
).
76.
) 1) (–
; –3]
[–2; 1,5)
2) [–3; –2]
(1,5;
3)
max
= –3,
(–3) = 2,5,
min
= –2,
(–2) = 0,5;
4)
max
при
= 1,5,
= 0,5
при
= –2;
5)
точке
= 1,5,
(1,5) = 3,5; 6)
(–
; 1,5)
(1,5;
7)
) 1)
каждой
точке
непрерывности
2)
; 4)
max
min
при
= –2, 0, 2;
5)
точках
–2; 0; 2; 4; 6; 8;
равны
0;
6)
(–4; –2), (–2; 0), (2; 4), (4; 6), (6; 8);
7)
) 1)
; –3]
[–1; 0)
(0; 1]
2)
[–3; –1]
(1; 3];
3)
max
(–3) = –1,5,
max
(1) = 2,
min
= –1,
(–1) = –2,
min
= 3,
(3) = 1,5;
4)
max
при
= 1,
min
при
= –1;
113
5)
= 0,
этой
точке
6)
непрерывна
; 0)
(0;
); 7)
) 1)
возрастает
; –2,5]
(0; 2,5];
2)
[–2,5; 0)
[2,5;
3)
max
= –2,5,
(–2,5) = 2,5,
max
(2,5) = 2,5,
min
(0) = 0,5;
4)
max
при
= –2
= 2,
min
= 0,5
при
= 0;
6)
непрерывна
при
всех
77.
–4,
; –4)
(–4, 2)
(2; +
– 1)(
+ 1)
; –1)
(–1; 1)
+ 20
0,
5,
5,
(–
; –2)
(–2; 2)
(2;
(
+ 4
).
78.
0,
– 1)
0,
0,
1,
– 1;
промежутки
непрерывности
; –1)
(–1; 0)
(0; 1)
(1;
0,
1;
непрерывность
; 1)
0.
непрерывна
+ 5 = 0, (
+ 1)(3
+ 5) = 0,
=–1, 3
. D0,
функция
непрерывна
;–1)
(–1;
79.
–3(–
= –(
– 3
) = –
) –
нечетность
)(
)(1
)(5
ху
−=
−=
−−
нечетная
) =
)()2()2)(()(
24
24
хухххх
==−−
четная
)(
)(
2||
)(
2||
xy
−
четная
80.
03)1(
>−
xx
114
0;0)2(,0)
(,0)3(
>>−<
при
);1()0;(
при
(0; 1);
)3)(3(
)1)(5(
,0
54
−
−
−−
xx
xx
хх
0)4(,0)4(,0)8(
yyy
;0)2(,0)0(
>−<
yy
при
),5;3()1;3(
∪−−∈
при
);5()3;1()3;(
−∞∈
,0
32
325
−−
xx
0;0)0(,0)4(,0)9(,0
38
>><>
yyyy
при
0),;5()
2;(
<∞∪−∞∈
при
)5;
2(
,0252,252
>−−=
xxxxy
,0)2)(
(2
>−−
xx
при
0),;2()
;(
<∞∪−∞∈
при
)2;
81.
– 1.
Производная
38
ху
Критическая
+3 = 0, 8
= –3,
,0)1(,0)0(
<−
yy

возрастает
);
∞−
;(
−−∞
Производная
функции
= 0.
;0)3(,0)2(
>−
).
115
– 2.
Производная
)1(4
−=
xy
= 1.
;0)0(,0)3(
yy
точка
[1;
(–
; 1].
=
Производная
)1(
)1(
11
)1(
)1()1(
−−−
−−
хх
хх
= 1.
;0)0(,0)3(
82.
– 5;
);(:)(
∞−∞∈
xxD
);(:)(
yyE
– 5 = 0,
промежутки
знакопостоянства
при
);
1(
∞∈
0
при
1;(
−∞∈
экстремумов
= 3 = const,
= 2
);(:)(
∞−∞∈
xxD
−=
−=
);
3(:)(
∞−∈
yyE
+ 3 = 0,
3,
==
xx
промежутки
знакопостоянства
116
при
);3()
;(
∞∪−∞∈
,
при
)3;
– 7, 4
– 7 = 0,
точка
,
3)
1(
−==
(2)� 0,
(0) 0,
);
1[
,
1;(
);(:)(),;(:)(;
∞−∞∈
∞−∞∈
−=
yyE
xxD
ху
промежутки
знакопостоянства
при
8,
при
� 8;
);
= 12 – 4
);(
∞−∞∈
= 16;
)16;(:)(
−∞∈
yyE
: 12 – 4
= 0,
+ 4
– 12 = 0,
= –6,
при
)2;6(
при
);2()6;(
−∞∈
= –4 – 2
, –4 – 2
= 0,
(0) 0,
(–6)� 0,
= –2 –
(–2) = 16;
; –2],
[–2;
).
83.
);1()1;(
∪−−∞∈
);2()2;(:)(
∞∪−∞∈
yyE
: 2 –
= 0,
322
−
– 1 = 0,
1
117
промежутки
знакопостоянства
12
, (2
–1)(
+� 1) 0,
(2�) 0,
(0) 0,
(–2) � 0,
� 0
при
);
()1;(
∞∪−−∞∈
0
при
;1(
−∈
)1(
(–2) � 0,
(0�) 0,
точка
экстремумов
функция
фозрастает
; –1)
(–1;
–1;
);
–1 = 0, (
– 2 –1)(
+ 4 +
– 2 + 1) = 0,
– 3)(
– 3
+ 3 = 0 –
уравнение
решений
имеет
промежутки
знакопостоянства
(4�) 0,
(2) 0,
� 0
при
(3;
),
0
при
;3);
= 0,
(4)� 0,
(0�) 0,
экстремумов
).
=
; 0)
(0;
(1;
при
критическая
точка
(1) 0,
(–1) � 0,
118
(–
(0;
).
= 4 – (
+ 2)
; 4];
: 4 – (
+ 2)
= 0,
= 4,
– 2,
2 – 2;
промежутки
знакопостоянства
(–2)� 0, y(3) 0,
y(–10) 0;
= –4(x + 2)
–4(x + 2)
= 0,
(x + 2)
= 0, x = –2,
(0) 0,
(–�3) 0, x = –2 –
точка
(–2) = 4;
; –2),
убывает
(–2;
84.

119
85.
При
при
0
) –
+ 2 = 0,
+ 2 = 0,
= 1,
при
[–2; 1]
+ 2,
при
; –2)
(1;
– 2;
при
� 3
имеем
+ 3,
+ 3,
при
+ 3),
– 3;
при
� 0
+ 3,
при
+ 4
120
86.
При
при
−−=
)
=
При
� 0
2
,
−=
при
−−
−−=
)
12
87.
+ 6,
– 6 = 0,
= 3,
= –2.
Ответ
хххх
хх
443,)1(43,0),1(4
=⋅=z=
644816,0344
===−
хх
84
−=
−−
1
:
.
121
012,12
2424
=−−=
xxxx
= 4 + 4 = 8,
= 1 +
= 1 –
есть
корней
012,21,0,2
2424
=−−−=z−=
хххххх
Пусть
= 4 + 4 = 8,
= 1 +
= 1 –
= 1 –
корней
88.
+ 2
определена
[0; 1].
(0)=0–0+�20,
(1) = 1 – 6 + 2 = –3 0.
Уравнение
данном
непрерывна
она
принимает
(1)=1–3+
2
(2)=16–12+
2
уравнение
корень
[1; 2].
(1) = 1 + 3 – 5 = –1 0
– 5 –
непрерывной
(2) = 32 + 6 – 5 = 33� 0,
[1; 2].
= 4 + 2
непрерывна
(–1) = 4 – 2 + 1 = �3 0,
(2) = 4 + 16 – 32 0,
уравнение
корень
[–1; 2].
89.
= 4 –3
+ 2.
= –
[0,5;
).
: 0; 1.
= 4
+ 2
+ 1.
: –0,5; 0,5.
122
90.
8
1–



: 2
приблизительно
: –0,5; 1,5.
) y
– 1



: –1; 1.
: –1; 2.
91.
условия
5,3,93
,510
,21
−===
=
=
baa
ba
ba
= 3,
= –5.
123
92.
)
)
)
� 0,
как
параболы
направлены
вверх
� 0,
параболы
<−=
ордината
точки
графика
рицательна
� 0,
парабола
двух
точках
аналогично
имеем
0,
0,
0,
= 0;
� 0,
0,
0;
0,
0,
= 0,
� 0;
0,
0,
0;
� 0,
� 0,
� 0,
= 0;
93.
например
может
например
94.
||||
=
|)|()3(
xxxy
−=
11
xx
)32()8(
xxxy
−=
124
95.
)(3253)(2)(5)(
26
xyxxxxxy
=−−=−−−−⋅=−
четная
)(
24)()(2)(4)(
35
xyxxxxxxxy
−=−−=−−−−=−
)(
1)(
)(
xy
xx
xy
−
=−
)(
)(
)(
33
xy
xx
xy
−==
−=−
Тригонометрические
функции
96.
) cos
Znnx
∈π
,02sin21
z
2sin
−z
Zkk
∈π
−−z
)1(2
Zk
−z
212
)1(
cos,
32
cos,
cos3,0
cos3
zz
z−
xx
Znnx
∈π
±z
,2
sin,0
z⋅
xx
2
cos
x
ZkkxZkn
kx
∈π=∈π
,,,
22
97.
≥⋅
0cos
,0sin
,0cossin
xx

.0cos
,0sin
:
Znnnx
∈π
π∈
;[
π
,0
nx
xn
xx
π
≤≤π
≥−
22
,02cos,0cossin
125
ZnnxnZn
∈π
≤≤π
Znnnx
∈π
π
. г) ⎩⎨⎧≥≥.0cos
,0sin
Znnnx
∈π
π∈
],;
;2[
98.
];4;2[:)(
−∈
yyE
);2;2(:)(
yyE

];5;1[:)(
−∈
yyE
]1;1[:)(
−∈
yyE
99.
);;
[:)(
∞∈
yyE
4cos1
−=
cos4
0, 0
];2;0[:)(
yyE
sin2
cos1
1cos
−=
;[:)(
−−∞∈
yyE
tgctgtg
≥==
xxxy
);2[]2;(:)(
∞−−∞∈
yyE
100.
при
Znn
xn
∈π
<π
,2
24
;,2
Znnxn
∈π
<<π
при
Znn
xn
∈π
<π
,2
Znnxn
∈π
<<π
,2
� 0
при
;),2
;2
Znnn
∈π
π
−∈
0
при
Znnnx
∈π
π
),2
;2
0,
1 – tg3x 0, tg3x &#x 0-6;&#x,1 ;&#x-6t5;&#xg3x ;&#x-600;1
при
Znnxn
∈π
<<π
,2
;,
36312
Zn
<<
1 – tg3x � 0,
126
tg3x 1
при
Znnxn
∈π
<<π
Zn
<<
312
36
0
при
Zn
nn
ππ
36
312
� 0
при
Zn
nn
ππ
312
36
� 0,
если
2
2
sin
x
π
π
−∈
nn
;2
π
π
−∈
nn
;4
0,
если
2
2
sin
x
Znkkkx
π
π
,,4
;4
� 0,
если
2cos,12cos2,02cos21
−>
−>
>
Znn
xn
∈π
<<π
,2
22
Znnxn
∈π
<<π
2cos,12cos2,02cos21
−<
−<
<
Znn
xn
∈π
<<π
,2
22
Znn
xn
∈π
<<π
,2
� 0
при
Znnnx
∈π
π
−∈
0
при
Znnnx
∈π
π
101.
)(
ctg3tg)
(ctg)3(tg)(
xy
xxy
−=−=−−−=−
)(
cossin
)(
)(cos)sin(
)(
xy
xx
xx
xy
⋅−
−⋅−
=−
−=
−
−−
−−−
=−
1)(
)()(
sin)(
xx
xx
xx
xy
)(
xy
xx
−=
−=
)(cos
)cos(
)sin(
)(
xyx
xy
=−=−
=−−
=−
127
102.
Периодическая
c
периодом
непериодическая
периодическая
период
xxxxxy
2sin1coscossin2sin
=⋅=
периодическая
103.
Производная
yx
0)
Znn
∈π
26
Znnx
∈π
� 0
Znn
∈π
π
),2
;2
значит
промежутке
функция
Znnn
∈π
π
),2
;2
Znn
∈π
,2
производная
«–»,
это
максимума
Znn
∈π
,2
производ
знак
«–»
«+»,
это
точка
возрастает
Znn
∈π
π
],2
;2
Znnn
π
π
,2
;2
Znn
∈π
,2
Znn
∈π
,2
sin2
)cos1(
)(sin2
Znkkxnx
πzππ==
,,2,2,0
� 0
+ 2
; 2
+ 2
0
+ 2
образом
при
π + 2πn; 2π + 2
),
при
πk; π + 2
),
следовательно
точке
роизводная
«–»
это
точка
точки
максимума
нет
kx
128
2sin()2
sin()2())2
sin((5,0
−−=−
=−⋅−
−=
2sin(
−−
Znnx
∈π=
Znnx
∈π
Zn
26
�) 0
при
nn
π
π
Z,
при
π
π
nn
0
Znn
∈π
π
при
π
π
nnx
Znn
∈π
Znn
∈π
|cos|2
2sin
)cossin2(
sin12
xx
−=⋅−
Znnn
πππ
,;
Znnn
π
max
точек
минимума
104.
= cos
– sin
+ sin
= cos
max
min
min
= –3,
max
min
max
min
max
существует
105.
= 2sin
= 1 – cos
)
|sin|cos1
xx
=−=
129
2cos21
)
−=
xy
106.
xx
sin||
при
= sin
при
= –sin
xxy
2sin1)cos(sin
−=−=
|cos|cos
xxy
=
при
Znn
∈π
π
−∈
),2
;2
xy
cos2
при
Znn
∈π
π
),2
;2
= 0;
130
= sinx
ctgx =
Znnxx
∈πz=⋅
,,cos
107.
−=
);(:)(
xyD
. 2)
−∈
1;
:)(
yyE
3)
Нули
sin,0
−=
−
Zkk
xZkk
∈π
−=∈π
−−=
66
)1(,,
)1(
4)
Промежутки
знакопостоянства
Zmm
xm
∈π
−<π
−>
,2
,0
Zmm
xm
∈π
<<π
,2
Zmm
xm
∈π
−<
−<π
−<
,2
66
,0
Zmmxm
∈π
<<π
,2
5)
нечетная
6)
cos),
−=
xy
Znn
∈π
26
Znnx
∈π
−=
Znnn
π
π
,2
;2
Znn
π
π
,2
;2
131
max
Znn
∈π
,2
min
Znn
∈π
,2
7)
Периодичная
периодом
−=
32
1)
Zmm
Zmm
yD
∈π
z∈π
,,
232
:)(
Zmm
∈π
,2
2)
3)
Нули
Zkk
∈π=
−=
32
,0
32
tg,0
32
Zkk
xZkk
∈π
=∈π
,2
,,
32
4)
Промежутки
знакопостоянства
Znnn
∈π
π
),2
;2
Znn
∈π
π
−∈
),2
;2
5)
нечетная
6)
32
cos4
32
=⋅
⋅=
при
всех
экстремумов
7)
Периодичная
период
132
1)
−=−
=
1;
Нулей
при
всех
Периодичная
период
sin,
−−=
ZnnxZnnx
∈π
=∈π=
.,
π
π
nn
;2
Z,
Znn
π
π
,2
;2
xn
π
=π
,2
= 1 – tg2
1)
Zk
xZkkxyD
z∈π
24
,,
2:)(
Нули
: tg2
= 1,
Zm
xZmmx
=∈π
28
,,
Промежутки
знакопостоянства
Zn
Znnxn
<<
−∈π
<<π
2824
,,
0,
Zn
Znnxn
<<
∈π
<<π
2428
,,
133
Периодичная
периодом
7)
2cos
<−=
при
всех
108.
Поскольку
) = –
корень
уравнения
109.
π−
π=
π−

sin)
cos)
(sin(2)
cos()
sin(2)
sin(2
π<
ππ
ππ
π=
sin(2


π<π<π
33
, tg
1,
� 1,
тогда
ctg
) tg2 –1, &#x 61,;&#x 6 c;&#xtg2 ; ctg2 –1,
значит
, tg2 ctg2;
) sin1�
, cos1
, sin1 � cos1.
110.
) sin
+ cos
0
; sin
+ cos
� 1, sin
α−
sin1
� 1,
α−
sin1
квадрат
134
1 – sin
� (1 –sin
, 1 – sin
� 1 – 2sin
–sin
� –2sin
+ sin
, –sin
– 2),
–sin
� sin
–2, 1 � sin
что
верно
(0;
|sin
1
cos(sin
�) 0.
111.
= sin
= –
: 0.
x
,
22
<<
Ответ
: 0.
: 0.
135
показательная
логарифмическая
функции
112.
0)4)(4(,0)16(,016
≥−≥−≥−
xxxxxxx
; –4]
[0; 4].
+ �8 0,
(–2;
).
) 5 –
0,
45
−−
xx
, (–
+ 5
– 4)
0,
– 1)(
– 4)
; 0)
[1; 4].
– 2�0 0, (
– 4)(
+ �5) 0.
; –5)
113.
,0)
(3,0)
(3,033
≥−≥−
≥−⋅
xx
хх
� 0
при
всех
−≤
1
x
:
(–
1
2,22,012
=≥≥−
возрастает
, sin
πn; π + 2
],
) 4 – 3
� 0,
+ �4 0,
0.
: :
� 0.
: :
+ 2
),
136
114.
>
z
≥−
;0)10(
,0)10lg(
,065
xx
−z
z
≥≤
.10
,110
,3,2
xx
:
);3[]2;9()9;10()10;(
−−−−−∞∈

ty
;0cos
,0coslog
возрастает
,
;0cos
,1cos
= 1,
= 2
n, n
−zz
−zz
z−−
>−
.1,2
;1,2
,23
;02
,023
xx
xx
xx
).;2()2;
>−
≥−
;023
,023lg
xx
xx
= lg
>−
≥−
;0)23(
,123
xx
xx
1,0123
≥≥−−
xxx
−≤
−≤≥
><
0
xx
xx
).;1[]
;(
∞−−∞∈
115.
);0[:)(,01
∞∈
≥
yyEx
);1(:)(,1
∞−∈
⋅=
yyE
);(:)(
∞−∞∈
yyE
);0(:)(
∞∈
yyE
116.
]2;
[:)(
yyE
]2;(:)(
yyE
);1[:)(
∞∈
yyE
);1[:)(
∞∈
yyE
117.
2,22,04
=>>−
, –
� 2,
–2.
� 0
при
),2;(
0
при
);2(
>
>
;03
,0)3(log
= log
>
>
;03
,13
.2
;3
,2
−>
−>
−>
� 0
при
),;2(
0
при
)2;3(
137
3,23,23,032
=<−>−>−
возрастает
� 0
при
),2log;(
−∞∈
0
при
);2(log
∞∈
16,4
;0
,04
>>
>−
xx
� 0
при
),;16(
0
)16;0[
118.
,0415,04416,044
>⋅>−⋅>−
xx
xx
любое
� 0
при
всех
tyx
lg,1)2lg(
;02
,01)2lg(
=>−
>−
>−−
возрастает
>−
>−
.2
,12
;2
,102
;2
,10lg)2lg(
� 0
при
),;12(
0
)12;2(
)
.0
;0
,3
;0
,03
−>
>
при
);0[
x
)
8,2,02
<<>−
xxx
� 0
при
),;8(
0
)8;(
119.
) = 5
+ 5
= 5
+ 5
) –
четная
) = lg(1 – (–
) = lg(1 –
xy
)2(
)(
==−
четная
)()(
xxxxxy
⋅=−⋅−=−
120.
)(
)()(
xyxxxy
==−=−
четная
)()33(3333)(
)(
xy
xy
xxxxxx
−=−−=−=−=−
−−−−
)(22)(
cos)cos(
xy
xy
===−
)(11)()(
xyx
xxy
==−=−
121.
) 1)
[0;
2)
[–1;
3)
– 1 = 0,
1
1
1
138
4)
при
при
5)
� 0
экстремумов
6)
) 1)
2)
(–2;
3)
= 2, 2
– 2 = 1, 2
= 3,
= 1,5;
4) 4
– �2 0, 2
� 2
возрастает
, 2
– 2 � 1,
� 3,
при
(1,5;
),
0
при
; 1,5);
5)
= 4
ln4, 4
l�n40,
экстремумов
6)
периодическая
) 1)
� –1;
2)
3)
: log
+ 1) = 0,
+ 1 = 1,
= 0;
4) log
+ 1) � 0,
� + 1 1,
� 0;
� 0
при
при
(–1; 0);
5)
2ln)1(2
2ln)1(
⋅=
экстремумов
при
� –1
� 0 ,
6)
периодическая
) 1)
2)
3)
012
=−
–2 = –1,
= 1;
4)
� 0
при
(1;
при
5)
)2(3
при
всех
возрастает
экстремумов
6)
периодическая
1,5
139
122.
)
1
= 2 –
= 1 + log
+ 2).
123.
�1,
– 1,
)1(log
– 1;
= 2
<−
.0
)(log2
,0
log2
xx
xx
140
124.
= 0
при
= 6
= –6,
наиб
при
= 0;
= 1
при
= 0,
= –7
при
= –2;
= 3
при
Zkk
∈π
,2
при
Zkk
∈π
,2
= 4
при
= –1,
наим
= 0
при
= 1.
125.
1

)

3
: 2.
: 3.
= 2
= 2
= 11 – |
: 4.
: 3; –3.
141
126.
– 3.

3

= (0; 2).
[2; 3]
+ 1.
= 2
: 0.
(0; 3).
127.
= (log
= (log
log
�3 1,
значит
наибольшее
первой
равно
log
при
sin
= 1; log
2 1,
поэтому
наибольшее
второй
при
cos
= –1
равно
2log
2log
3log
142
128.
]1;
;11
;01
,014
:)(
−∈
≤≤−
−>
≥−
>
yD
14
,1
14
,01
14
−=
−=
=−−
+ 1)(1 –
) = 1, 4
+ 1 –
= 1,
+ 4
= 0, –
–4) = 0,
= 0, 4
– 4 = 0,
= 65,
165
651
−−
входит
10015),15(lg2;0
;0
,015
:)(
==>
>
xxxx
fD
– 100 = 0,
= –20 –
входит
),
= 5.
129.
Пусть
рассмотрим
разность
) =
хх
)
).
Таким
образом
(0;
– log
= log
� 0 (
log
возрастает
значит
) = log
неравенства
Рациональные
уравнения
неравенства
130.
) 3(
– 2) – 5 = 4 – (5
– 1), 3
– 6 – 5 = 4 – 5
+ 1, 8
= 16,
= 2;
– 3| = 5, 2
– 3 =5
– 3 = –5, 2
= –2,
: –1; 4.
) 7 – 2(3 –
) = 4(
– 1) + 5, 7 – 6 + 2
= 4
– 4 + 5, –2
= 0,
= 0;
) |4 – 3
| = 2, 4 – 3
или
4 – 3
= –2, – 3
= –2
= –6,
= 2.
; 2.
143
131.
1243039),3(430)13(3,
)3(4
13
−=−−=
−=
хх
= 39,
= 3.
: 3.
45
,45
=
=
45
−=
– 3 + 10 = 8
– 3 + 10 = –8,
= 1,
= –15.
Ответ
: 1; –15.
)25(614)3(714,
)25(3
ххх
−−=−−
−=
14 – 7
+ 21 = 14
– 30 + 12
, –33
= –65,
65
32
1
)
1,5
−=
−=
, 1 –
= 15
= –15,
= –14

= –16,
= 16.
Ответ
: 16; –14.
132.
= 3(
– 1),
– 2
= –3, (
= –3;
при
5
одно
решение
при
= 5 –
решений
(1 –
) + 2 = 3
+ 2 – 3
= 0, –3
+ 2,
+ 2;
решение
(2 –
, 2
= 5, –
= 5;
при

одно
решение
при
= 0
решений
) 5+3(
)=9
+5, 3
– 9
, 3
= 0;
решение
133.
80,7321,5,35,1
<⋅<−<
xxxxx
Ответ
639410,63)3()25(2,1
25
>−−>−−−>
xx
1,1913
>>
xx
– 4(3 –
+ 7,
– 12 + 4
7, 3
19,
1
6
[
6;
1411,8314,2
32
−≥≤−≤
xxxx
3
1
x
:
134.
–3|5, –54
–35, –24
8,
Ответ
; 2).
+ 5|
1,
−≤
−≥
−≤
≥
.3
,2
;152
,152
Ответ
);2[]3;(
x
144
131,676,6|7|,2
|7|
≤≤≤−≤−≤−≤
) 4|2 –
12, |2 –
3, –3
3, –5
1, –1
135.
0,0
|32|
>>
поскольку
– 3|
0; 2
3
:
);
()
;0(
∞∪∈
2,02,0
|4|
−≤≤≤
+ 4|
–4.
; –4)
(–4, –2].
–4)|5 – 3
| 0,
– 4 0,
4,
как
|5 – 3
0; 5 – 3
2
1
:
)4;
1()
1;(
∪−∞∈
+ 7|(3 –
0, 3 –
–3,
+ 7|
0
= –3,5.
);3[5,3
∞
−∈
136.
3,5,0152
=−==−
xx
xx
0,0)57(,057
===
xxxx
7
+ 5 = 0,
−=
– 3)(
– 2) = 6(
– 3), (
– 3)(
– 8) = 0,
= 3,
= 8.
711
,4972121,03116,0
==−==−=−
Dxx
,5,1,
711
==
xx
137.
корень
– 3
= –
(3 –
) = –
этом
оба
выражения
равны
0,0
1,0
==
=⋅
хх
– 4 = 0,
= 4.
= 0
= 4.
: 0; 4.
–1)
–3 = 4
+ 3)
+ 9, 3
+ 12 = 0,
, 3
123
хх
1243
−
При
выражения
равны
145
03
1243
=−
−
хх
031243
=−−−
хххх
3,0217,09312433
22
==−=−−−
хххх
33
124393
⋅−⋅
,8)1(,
=−=−=
аххааххахх
при
этом
выражений
обращается
ноль
что
0)1(8)8()1(,08
=−−−=
хххххх
2,8,0888
223
===−−−
хх
ххххх
получим
12
82
−=
: –6.
– 3 = 6
– (2
– (2
+ 2 = 0,
= 4
хх
244
24
45

=−
этом
значения
обращаться
ноль
031
244
32
=−

⋅
хх
03244
22
=−−
хххх
01556121210
22
=−−
хххх
297
8417
,84188949,09722
±−
±−
==⋅==−
хх
1
.
Тогда
221

⋅⋅
или
⋅⋅−
⋅−⋅
⋅−
⋅−⋅
⋅−
⋅−⋅
1195
1114814
95
2294
995
852
)81277(
995
−=
−=⋅−
.
Ответ
: 2,
34
146
138.
044163,44163)1)(7(4)4(
=−−−−=−−=
kkkkkkkD
7,2
−==
kk
при
= 1
решение
= 2,
−=
= 1.
,06)2(9,0629
=−−=−−
kxkxkxkxx
220409)6(4)2(
−=⋅−−−=
kkk
kD
72040
,7208801600,022040
==−==−
kk
5620,
72040
,5620
=
=
при
= 20 + 6
= 20 – 6
5.
643246024484)52(34))1(2(
−=−−=−⋅⋅−−=
kkkkkk
kD
4,0168
==−
kk
при
при
при
= 4
= 2,5.
0362412,2412363)2(436
=−−=⋅−−=
kkkkkkD
1,3,032
−===−−
kk
kk
при
при
–1,

139.
5
)
=⋅−=
21
21
2)(
хххххх
22
===
=⋅−=⋅−=
)(()
)((
21
121
221
121
хххххххххххххх
93
435
637
⋅=
⋅=
140.
013266,1,1
32
66
=−−−−z=
−−
ххххх
хх
1,2,023,023
21
===−=−−
хххххх
удовлетворяется
0)12(54)12(,
,0,5
12
412
22
=−−zz=
хххх
хх
147
012,05104144
22
=−=−−
ххххххх
.
: 0,5; –1.
5,5,0,
102
−zzz
ххх
хх
)25(2
30)5(3)5(4
−−
хх
хххх
5,
,020113,030153204
=−==−−=−−
хх
хххххх
при
условие
4
)
)2(
)2(
,2,2,
)2(
)2(
−zz
ххх
хх
хх
,0)2(5)2(3)2)(2(14
=−−−
ххх
;020205121235614
=−−−
хххх
1,4,01683
=−==−
хх
хх
141.
0)5)(4(2)4(5)5(4,2
22
22
=−=
хххх
хх
092,040182205204
24
24
=−−=−−−
хх
хх
+ 2 = 0.
1
= –
2
2
0,02
z=
тогда
– 3
+2 = 0,
= 2,
= 1,
,2
= 0,
0,5,2
z=
,2,0252,0
51
21
===−=−
уууу
148
1,012,
,2
==−=
ххх
022
=−
хх
корней
.
: 1.
142.
0,01762,01762
<=>
хх
как
= �2 0
D 0,
0762
>
хх
при
.
–3,2
= 0,
–3,2) = 0,
–3,2
0
при
0
3,2;
–3)
0, 9
–12
+ 4 – 8
0,
при
) (6
–1)(1 + 6
) + 14 7
(2 + 5
), 36
– 1 + 14 – 14
– 35
0,
–14
+130;
–14
+13=0,
=13;
–14
+130
13.
143.
)3(
)2)(1(
−−
хх
(–2) 0,
2
1
(4�) 0.
[1; 2]
).
82
32
−
−
хх
хх
082,0
)82(
)3)(1(
>−≤
−
−
хх
хх
хх
при
любом
13,0)3)(1(
≤≤−≤−
xx
[–3; 1].
)5)(3(
−−
xx
0)5)(3)(2(
ххх
(3; 5).
65
45
−−

хх
хх
0)6)(4()1(,0
)1)(6(
)4)(1(
>−>
−

xxx
xx
xx
).
149
144.
) (
– 1)(
+ 2)(
– 3)(
– 4)
[–2; 1]
[3; 4].
023
24
≤−
хх
023
24
=−
хх
= –1,
+ 1)(
– 1)(
)(
0.
; –1]
].
)1)(5(
)5()1)(4(
−−
−−−−
xx
xxx
)1)(5(
)3(
,0
)1)(5(
96
,0
)1)(5(
54
−−
−−
−
−−
−−
xx
xx
xx
xx
xxx
)3(
� 0
при
3,
)1)(5(
xx
при
1
(1; 3)
(3; 5).
127
,0
712
,0,
712
−
−
z<
xx
xx
0,0)4)(3(,0
)4)(3(
><⋅−−<
−−
xxxx
xx
при
(3; 4).
145.
mm
)2(
44
−
=−
при
выражение
больше
)1(
12
mm
−=
−−
=−
разность
при
неположительна
при
любых
ba
baba
)(
−
=−
при
разность
неотрицательна
значит
≥
)(
)(
)(
cbb
bac
cbb
bcabacab
cb
ca
−−
Эта
разность
при
� 0,
� 0,
отрицательна
образом
cb
ca
150
Иррациональные
уравнения
неравенства
146.
0102;12102
>−=
ххххх
при
любых
0;
– 1
0,
0144102,)12(102
22
=−−−=
ххххххх
1,3,032,0963
21
−===−−=−−
хххххх
удовлетворяет
условию
: 3.
≥−
≥−
−=−
;22
,4
;022
,016
;22
хх
– 16 = (
– 22)
– 16 =
+ 484,
+ 500 = 0,
= 20,
= 5,
= –5,
= –2
удовлетворяют
условию
≥−
≥
=−
;01723
,01
;13217
хх
ххх
17 + 2
– 3
+ 1, 4
– 16 = 0,
= 2,
= –2 –
удовлетворяют
условию
11,011;119
−≤≥−−=
ххх
7,4,4,011223,121229
21
24242
−=−===−−=
ххх
ххххх
удовлетворяют
условиям
147.
;7
;07
,017
;4717
≥−
≥
=−−
хх
0)7)(17(262,167)7)(17(217
=−−−=−−−
ххх
ххх
)7)(17(
−
хх
– 3,
,96)7)(17(
−=−
хххх
– 7
– 119 – 9 + 6
= 0, 16
= 128,
= 8.
Ответ
: 8.
1,01;3112
≥≥−=−−
хххх
тогда
– 3 = 0,
3
= 1,
или
=
смысла
812)2)(7(27
;02
,07
;927
=−−
≥−
≥
=−
ххх
хх
151
,276)2)(7(2,81)2)(7(252
хх
ххх
−=−
=−
)2)(7(
−
хх
= 38 –
38, (
+ 7)(
– 2) = 1444 – 76
– 2
– 14 = 1444 – 76
, 81
= 1458,
= 18.
: 18.
1,01;6112
−≥≥=−
хххх
ух
=
тогда
– 6 = 0,
= 2;
смысла
+ 1 = 64,
= 63.
: 63.
148.
;0
;02
,0
;02
≥
=
448,2,2)2(,024)2(
ххххххххххх
−=≤−==−
,46
==
хх
0;02
≥=−
ххх
тогда
– 2 = 0,
2;1,2
−==−=
хуу
имеет
смысла
= 1;
,5
577;5,05;
=−−≥≥=

−
хххххх
хх
хх
= 8
, 36
= 64(
+ 5), 36
+ 320, 9
– 16
– 80 = 0,
20
Ответ
: 4;
2
2
)
,013;01313
−≥≥=−
хххх
0)13()13(
=−
013,0131)13(
==−
131
−
= 0,
+ 1 = 0,
13
+ 1 = 1,
= 0.
Ответ
149.
47,47,047;47
22
−≤≥≥−−=
хх
ххх
225 +
– 94
+ 2209,
+ 1984 = 0,
= 31;
= 64
= 31,
удовлетворяет
условиям
удовлетворяет
: –8; 8.
.0)2(12,0)2(2,22
−−−=−−−−=−
хххх
= 0
)2(1
−−
= 0,
)2(
– 2 =
1,
= 3,
= 1.
: 2; 3; 1.
152
54,054;54
−<≥−−=
ххх
– 109
+ 2880 = 0.
Тогда
тогда
– 109
+ 2880 = 0,
= 45;
= 64
= 8,
= –8,
= –3
удовлетворяют
условиям
81265165,25165
23
23
−−=−−−=−−
хххххххххх
3,1,034
−=−==
хххх
150.
3,9,45,25
52
−≤≥≥−≥−
хх
);3[]3;(
∞−−∞∈
0)21)(2(,0)21)(2(,1)21)(2(
≥−−≥−−−>−−
хххх
]2;5,0[
]2;5,0[
17,16,116,116
−≤≥≥−≥−
17.
);17[]17;(
−−∞∈
01,0)1)(3(
>>−
хх
� 0,
� 9.
(9;
151.
33,3|3|,3)3(,396
>−>−>−>−
xx
хх
– 3 –3,
� 6,
0.
);6()0;(
)
012,0
12
32
>≥

−
хх
хх
хх
; (
0),
32
−
хх
0,032
<≥−
хх
произвольное
≤−
≥−
≤−
≥−
≤−
;1)25(
,0)25(
;142025
,042025
,142025
хх
хх
хх
32 1,2
-5-1
≤≤≤≤
.
Ответ
[2; 3].
0)43(15
2,0)43(15
≤−−−≤−−
хххх
хххх
– 4 0; (D 0),
0152,0152
≥−≥−
хх
хх
– 15 = 0,
[–3; 5].
[–3; 5].
153
Тригонометрические
уравнения
неравенства
152.
,12cos2cos
xx
.03cos
cos4,01cos22cos
cos2
,01)cos1(2cos
cos2
=−
=−−
=−−−
xx
xx
xx
cos =
, 4
– 3 = 0,
= –1,
= –1,
= –
+ 2
arccos
: –
arccos
+ 2
52cos32sin4,5)2
sin(32sin4,5)
2sin(32sin4
=
=−
−−
xx
xx
,0cos,0cos5sin5sin3cos3cossin8
z=−−−⋅
xxxxxx
02tg8tg8
=−
xx
, 8
+ 2 = 0,
+ 1 = 0, (2
–1)
= 0, 2
= arctg
: arctg
0)cos1(3cos4cos2,sin3cos4cos2
=−−
=
xxxxx
03cos4cos5,03cos4cos3cos2
=−
=−
xx
xxx
. cos
+ 4
– 3 = 0,
= 16 + 60 = 76,
192
−
192
−−
192
−
Znn
∈π
−
±=
,2
192
192
−<
−−
имеет
смысла
Znn
∈π
−
,2
192
0cossin4sin4cos,2sin2sin4cos
=⋅−
=
xxxxxxx
,0)1tg2(,01tg4tg4,0tg4tg41,0cos
=−=−
=−z
xx
xx
Znn
xxx
∈π====−
arctg,
tg,0tg2,01tg2
Znn
∈π
154
153.
=⋅
=−
)coscossin)(sincos(sin,
2sin
1cossin
33
xxxxxx
xx
0)cossin1()cossin1)(cos(sin,cossin1
=⋅−⋅−
⋅=
xx
xxxxxx
0cossin1,0)1cos(sin)cossin1(
⋅⋅
xx
xxxx
22sin,1cossin,12sin
,01cossin
−=
=−
−=
=−−
xx
xx
смысла
1cossin2cossincos1sin
−
=
xxxxxx
xx
cossin2
= 0, sin
= 0
= 0, sin
0, cos
Znnxn
∈ππ=π
,2,2
Znnxn
∈ππ=π
,2,2
,1)
cos()
=−

cos,1cos2,1cos)
cos(2
==
xx
sin2
sin,0
xx
Znn
∈π
±=
,2
)sin
)(cossin
(cos,
sincos
2222
44
=−
=−
xxxx
xx
Znn
xx
xx
∈π
±==
=−
,2
2,
2cos,
sincos
22
Znn
∈π
±=
66
66
sin2,1)
(sin)
(sin

−
=−
−
xx
xx
1sin3,1
sin2,1
cossin2
=⋅=
Zkk
∈π
−=
arcsin)1(
154.
12cos12sin2cos,1cos24cos
=−
=
xx
xx
02cos212cos2
=−
xxx
2cos
12cos;
,1,012
−=
=−==−
yyyy
2cos
ZnnxZkk
xZnnx
∈π
=∈π
±=∈ππ=
,,2
2,,22
Zkkx
∈π
±=
.
Znn
∈π
Zkk
∈π
155
sin3
cos24,
sin3)cos1(4
=⋅−⋅⋅=
xxx
xx
0)
sin3
cos8(
xxx
ZkkxZkk
xx
∈ππ=∈π
==
,2,,
22
,0
cos33
cos8
=−
cos
x
,
cos;
,3,0383
−=
=−==−
yyyy
имеет
смысла
Znn
xn
xx
∈π
±=π±==
,4
arccos2,2
Zkk
∈ππ
,2
Znn
∈π
,4
arccos2
0)3cos(cos
3cos,02sinsin3cos
=−
=⋅
xxx
xxx
0)cos3(cos
,0cos
3cos
,03cos
3cos
=
=
=−
xx
xx
xxx
02cos,0cos2cos2
=⋅⋅
xx
= 0,
Znnx
∈π
Zn
xZkkx
=∈π
24
,,
Ответ
Zn
24
Zkk
∈π
sin3
sin24,
sin3)cos1(4
=⋅−⋅
⋅=−
xxx
xx
0)
cos3
sin8(
xxx
1)
ZnnxZnn
xx
∈π=∈π==
,2,,
,0
2)
sin33
sin8,0
cos3
sin8
=−
=−
xx
sin
x
,
sin;
,3,0383
−=
=−==−
yyyy
имеет
,2
arcsin)1(2,,
arcsin)1(
xZkk
xx
π
−⋅=∈π
−==
Zk
: 2
Zn
,2
arcsin)1(2
π
−⋅
Zk
155.
04sin2sin2,0
sin2,06cos2cos
=⋅
=⋅
−=−
xx
xx
xx
02sin
Zk
xnxkxx
=π=π==
,4,2,04sin
Zn
156
02sincos
sin2,03sin2sinsin
=⋅
=
xx
xxx
02sin,0)1cos2(2sin,02sincos2sin2
⋅
xx
xxx
;,
cos,2,01cos2
Zk
xxkxx
=−=π==
Znn
∈π
±=
,2
Zk
Znn
∈π
,2
02sin,0cos2sin2,03sinsin
=
xx
xx
0cos
Zn
ZkkxZnnx
∈π
=∈π=
, ,,
,,2
03cos2sin5sin,3cos2sin)5
=−−
=
xxxxxx
,03cos23cos2sin2,03cos25sinsin
−−
xxx
xxx
03cos,0)12(sin3cos2
=
xx
nxx
π
=−=
3,12sin
ZkkxZn
xZkk
xZn
∈π
−=∈
=∈π
−=∈
;,
36
,,2
2,
156.
xxx
Znnx
ctg26ctgctg36
;)2(arcctg
,,
;ctg3
2ctgx
−−=
π−z
∈πz
−=
0ctg,0)1ctg(ctg,0ctgctg
=−
=−
xxxx
– 1 = 0,
ZnnxxZkkx
∈π
==∈π
,1ctg;,
Zkk
∈π
Znn
∈π
02cos4cos2cos1,02coscos3cos21
−⋅
xxx
xxx
Zn
xZnnxx
=∈ππ=−=
24
,,24,14cos
Zn
24
Znn
xxx
∈π
−z−z
−=
,2
,1sin;sin211
1sin
xx
sin2sin211sin1115
−−=
4sin;
,4,0492
21
====−
yyyy
имеет
смысла
Zkk
xx
∈π
−==
)1(,
Zkk
∈π
)1(
157
∈ππz
π
−z
π
;,2
;1cos
;2
cos1
Znnx
nx
nx
0)cos1(sin2sincoscos,02
cos1
22
=−=−
xx
xx
0)cos1(sin2)1(cos,0cossin2sin21cos
=−
=⋅−−
xx
xxxx
1cos,0)sin21)(1(cos
−==−
xx
Znnxx
,2,1sin2
удовлетворяет
условиям
Zkk
xx
∈π
−==
)1(,
157.
∈π
∈π
∈π
=−
;,
,,
36
;,
,,
;0tg3tg
Znnx
Zn
Znnx
Znnx
xx
,,2,02sin,0
cos3cos
2sin
xZnnxx
xx
=∈π==
Ответ
Zn
xx
Znnx
xx
cos1sin
;,
sin2sintg
−=−
∈π
=−
,0coscossincossin
=−⋅−
xxxxx
,0)cos)(sincos1(,0)cos1(cos)cos1(sin
=−
−=−−−
xxx
xxxx
0cos1
=−
Znnxxxx
,2,1cos,0cossin
разделим
,0cos
Zkkxxx
∈π
===−
,1tg,01tg
Ответ
Znn
,2
Zkk
∈π
0tgcostgsin;,
;tgcostgsin
=−−⋅∈π
z=⋅
xxxxZnnxxxxx
,0
=−−
,0sincossin
22
=−−
xxx
0sinsin1sin
=−−
xxx
1sin;
,1,012
21
=−===−−
yyyy
Zkkxx
∈π
=−=
удовлетворяет
Zkk
∈π
−−
)1(
xxxZnnxxxx
cossin2sin;,
,tg2sinsin
∈π
z=
0)1cos2(cossin,0sincossin2cossin
=−
=−
xxxxxxxx
= 0,
158
2cos
+ cos
– 1 = 0;
= cos
, 2
– 1 = 0,
= 9,
= –1, y
1
cos,,2,1cos
∈ππ=−=
xZkkxx
Zkk
∈π
±=
,2
Zkkx
∈ππ=
,2
Zkk
∈π
±=
,2
158.
21
−=
значит
21
−=
2 + 4
= –3,
= –1
1
)
)12(arctg
−=−
−=
–1=–1, 2
= 0,
= 0;
34
−=
−=
−=
+ 4 = –4
, 2
– 4,
– 2;
)32(arctg
=−
решений
ππ
−∉
24
159.
≤−
≤−
−≥
Znn
∈π
π
−∈
],2
;2
1)
(tg3
−≥−
(tg
−≥−
nxn
π
<−
≤π
246
Znnxn
∈π−
≤<π−
.
Znnn
∈π−
π−
159
2cos(,
cos2cos
sin2sin
>−>⋅−⋅
5,2cos,
)5,2cos(
−<
Znn
xn
∈π
<<π
,2
5,22
Zn
<<
3cossincos3sin
≤⋅⋅
xxxx
4sin
Znnxn
∈π
≤≤π
,2
42
Zn
≤≤
21223
160.
sin,1sin2
xx
≤≤−
Znnxn
∈π
≤≤π
2tg,12tg3
xx
2tg
≤≤−
nxn
π
≤≤π
212212
≤≤
160
cos,3cos4
≤≤−
Znnxn
∈π
≤≤π
1tg,1
tg,01
−≤≥
≥−
Znn
∈π
<≤π
224
.1tg
Znnxn
∈ππ<≤π
,2
Znn
∈π
≤<π
22
Znn
xn
∈π
≤<ππ
,2
Znnn
nnx
∈π
πππππ
],2
;2()2;2
. 161.
– 1|
0,5, –
cos
0,5
cos
1,5, 0,5
Znnxn
∈π
≤≤π
,2
) sin
cos
, sin
– cos
0,
0)
sin(,0)
sin(2
−<
Znnxn
∈π<
−<ππ−
,2
Znnxn
∈π
<<π
,2
161
2sin
2sin|
≤≤−≤
Znnxn
π−≤≤−
,222,02sin1
Znnxn
∈π≤≤π
Znnn
∈ππ
−∈
],;
. г) tg
+ ctg
� 0, tg
tg
1
1tg
� 0, tg
�+ 1 0 –
при
� 0,
Znnx
∈π
<<π
.
Znnnx
∈π
π∈
;(
162.
,3cos3sin
>−
xx
xx
>
−>
Znn
xn
∈π
<
<π
,2
Znnxn
∈ππ<<π
,2
;5,0logsinlog,1sinlog
5,0
5,0
5,0
ty
5,0
, sin
0,5.
Znnn
∈π
π
−∈
),2
;2
) sin
+ cos
1,
2
cos
2
2
sin
2
2
x
x
2
)
4
cos(
x
Znn
xn
∈π
−<π
,2
Znn
xn
∈ππ<<π
,222
Ответ
Znnn
∈πππ
),22;2
162
−>
logcoslog,1coslog
возрастает
2
cos
:
Znnn
∈π
π
−∈
),2
;2
Показательные
уравнения
неравенства
163.
,55
5,55
)2,0(
5,3716
5,3716
−
−−
хх
хх
2,18,03616,5,15,3716
−===−−=−
хх
хх
хх
,101010,)10(01,052
3323
31
33
−−−
−−
⋅=
⋅=⋅
хх
,023,533,1010
23323
=−−=−
−−−
хххх
= 2,
= 1;
5,45,06,2
2,
216
25,45,06
5,06
−=−
−−
−
хх
хх
хх
– 6
+ 5 = 0,
= 1,
= 5;
151212
1515
1212
1212
6,3266,
−−
−−−
⋅=⋅
хх
9,3,02712,151212
21
===−−=−
хх
хх
хх
164.
) 5
605
=⋅−⋅−
1255,60
5,60)
1(5
==⋅=−−
= 3,
= 1;
33
4,2334
125,05,0
хх
хх
−⋅=−
−=−
232,3433232432
−⋅−⋅⋅=⋅−⋅⋅
хх
хх
5,1,
,33
5,1
2,896
,896222
555
352515
=⋅=
=
−−−
ххх
ххх
2,22,10242,
8896
105
==
163
ххх
хххх
222
222212
2452
,2525
⋅−=
−=
,20
55
,22055255
22
⋅=
⋅−⋅=⋅
ххх
1,
,25
165.
039
,033369
=⋅−=⋅−
08133693
=⋅−⋅
хх
тогда
081363
=−
уу
– 12
+ 27 = 0,
= 3,
= 9;
33
33
= 1,
= –1;
−=
05753455,575345
213
=⋅−⋅⋅⋅=⋅
хх
ххх
+ 34
+ 34
– 7) = 0,
= 0
+ 34
– 7 = 0,
= –7
05;
==
75
−=
корней
13
55
= –1,
−=
08964504,89625016
=−⋅−
=⋅−
хх
–50
–896=0,
=–14;
корней
07787,07787
=⋅−=⋅−
– 8
+ 7 = 0,
= 7,
= 1;
2
2
2
= 1, 2
: 0; 0,25.
166.
хх
ххх
653223,659243
⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅
уравнения
3,06
, 3
– 5 = 0, 3
+ 2 = 0,
= 1,
2
= 1
3
2
= 0;
= 1;
164
.02
,2
,272188
=−
⋅=
хх
хх
– 2 = 0,
– 1 +
– 1 = 0,
0)11)(1(,0)1()1)(1(
=−=−−
ууу
уууу
1,0)2)(1(
==−
уууу
02
=
уу
корней
=0;
02252552,042105252
=⋅⋅⋅−⋅=⋅⋅−⋅
хххх
ххх
02
=
⋅−
2
5
,
,0252
==−
ууу
2
5
1
=
2log
= –
2log
хх
ххх
хх
22
44
3253223,365812163
⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅
05
=−
⋅
2
2
,
05
=−
+ 2 = 0,
= 1,
2
2
2
2
2
,
= 0,
= 0; 2
= 1,
= 0,5.
167.
13,11
3,1133
22
222
−
=−
=
хх
хх
1,1,22,33,
911
3,11
13
22
===
=⋅
ххх
xx
cos2sin,55,0255
cos2
=−
0cos2cos1
=−−
xx
012
=−
yy
= –1 –
= –1 +
= –1 –
имеет
= –1 +
2,
arccos(–1 +
) + 2
.322,322
sin1sin
=
=
22,12;2,1,023,03
21
===−=−
yyyy
= 0, sin
= 1
sin
= –1,
165
Zll
xZnn
∈π
−=∈π
,2
;,2
Zll
Znn
∈π
−∈π
,2
;,2
0222333,42693
2112111
=⋅−⋅⋅⋅=⋅
xxxxxxx
⋅−
1
3
,
13
=−
,1,023
−=
=−==−
yyyy
имеет
смысла
.1,1
−=−=
168.
2;22,2
35,13
−−
−−
возрастает
1,5
–3 –
–3 – 1,5,
– 4,5.
[–4,5;
хххх
хх
3;33,93,103
9lg
=<
возрастает
)1;2(,0)2)(1(,02,2
−∈<−<−<
xx
xxxx
25,12
11
)32(
32
33,33,3
33,
−
−−
⋅<
,25,1
−<−<
xx
хх
хх
4;4
4,54
4log
=>
−
−
возрастает
,0)3)(4(,012,111
>−>−>−
xxxxxx
);3()4;(
169.
0252,026)2,0(,0252,02604,0
≤⋅−
≤⋅−
2,0
251,0)1)(25(,02526
≤≤≤−−≤−
уу
уу
5;555,252,01
=≤≤≤≤
, 0
2.
[–2; 0].
3843,0
3849
>⋅−>⋅−
,0252
3,0,0
184
>−>>−
yyy
166
0)9)(
(3
−<>−
yy
� 9, 3
� 9, 3
= 3
, 2
� 2,
� 1;
0162104
<⋅−
. 2
� 0,
– 10
+ 16 0,
– 2)(
– 8) 0, 2
8, 2
, 1
3;
12
12
≥−
12
� 0,
,0)
)(2(,0252,0
51
≤≥−−≥−≥−
yy
yy
2,2
12
2;22,22
11212
=≤
−
возрастает
;1,22,112
−≤−≤−≤
xx
0,02,112
≥≥≥
xx
);0[]1;(
−−∞∈
170.
03,0)3(3,033
>≤−
≤−⋅
xx
при
всех
33,03
≤≤−≤−
3;3
xx
7,3;1
7,3
152
=>
−
возрастает
152
−
xx
0)4)(3)(5(,0
)3)(5(
>−−>
−
xxx
xx
Ответ
);4()3;5(
−∈
05,0)25(5,055
><−
<−⋅
xxx
при
любых
– 25 0, –5
5;
xxxxx
xxxx
525552162824,5222
1432
⋅−⋅>⋅−⋅−⋅>−−

xxx
52,520220,525
<⋅−>⋅−⋅−
разделим
неравенства
� 0.
=<
;1
убывает
Логарифмические
уравнения
неравенства
171.
0,log34log
−=
xx
– 4 = 0,
= –4,
= 1;
= –4
= 3;
167
;9
;9
;09
,012
;9lg1)12lg(
>−
>−
−−=−
,1)9)(12lg(
,1)9lg(
)12lg(
=−−
=−−
xx
2)9)(102lg(
xx
100)9)(102(
=−−
xx
01009010182
=−−−
xxx
010282
=−−
xx
0514
=−−
xx
637,637
−=
=
удовлетворяет
ОДЗ
: 7 +
63
;032
,05
;132log5log
>−
>−
=−
−
1)32)(5(log
,1)32(log
)5(log
=−−
=−
−
xx
9)32)(5(,2)32)(5(log
=−−
xx
xx
09151032
=−−−
xxx
,6,06132
21
===−
xxxx
удовлетворяет
ОДЗ
1;03)1lg(10)1(lg3
>=−−−
)1lg(
+ 3 = 0,
= 3,
)1lg(
)1lg(
– 1 = 1000,
= 1001;
– 1 =
= 1 +
: 1 +
; 1001.
172.
0lg910,0lg,0),lg910(log)(lglog2
>>
xxx
),lg910(log)(lglog;
−=
lg910)(lg
−=
+ 9
– 10 = 0,
или
= 1; lg
= –10,
удовлетворяет
условиям
; lg
= 1,
= 10.
xxx
−=−
30lg)173lg(
−=−
30lg)173lg(
−=−−
30lg)173lg(
−
10lg
173
173
−
3173
=−
017
= 17.
)lg23lg()lg(lg2
−=
>−
,0
,1
;0
,0lg23
,0lg
168
xx
lg23)(lg),lg23lg()lg(lg
−=
−=
= –3
= 1,
= 0,001 –
удовлетворяет
= 10.
),32lg(5lg),32lg(5lg
−=−−=−
xx
xx
xx
)5)32lg((10lg,5lg)32lg(
xxx
⋅−=
−=
)32(
−
=0, 5
–3)=0, 5
�0,
= 3.
173.
5log5,5log4log,0,1,5
2log
=
>z=
xx
= 2.
6log2log,0,1,6log
loglog
−
xxx
= 4,
= 9.
,3
log4,0,1,3
log2
=
>z=
log4
=−
03
=−−
– 1 = 0,
= 1,
= 1
= 3;
1
=
: 3;
1
)
16log
2log2,16log
log4log
=
=
xx
1,
2,6log,
314
log,14log
==
xx
= 64.
174.
1,0,8
2log
z>=
xx
Прологарифмируем
части
уравнения
основанию
8loglog)2(log
xx
log2
=−
xx
– 3 = 0,
= –1,
= 8;
1,0,125
z>
xxx
xx
55
log2125logloglog
=⋅
0125loglog2log
=−−
xx
– 3 = 0,
= 3,
или
= –1,
= 125;
1
169
= 10000,
� 0;
= lg10000, lg
= 4, lg
= 2
= 100,
1
)
1,0,
3log
z>=
xx
2log3log;
loglog)3(log
333
−=−
=−
xx
xx
= 2,
= 3;
175.
;2)2cos1(logsinlog3
=−
2)sin2(logsinlog3
2sinlog22logsinlog3

sinlog
– 1 = 0,
= –1,
sinlog
sinlog
1
sin
x
=
, sin
смысла
Zkk
∈π
−=
)1(
7lgcoslg2sinlg;7lgcoslg2sinlog
1,0
xx
xx
,7lg
2sin
2sin
= 7, cos
– 7sin2
= 0, cos
(1 – 14sin
) = 0,
удовлетворяет
условию
, sin
arcsin
1
,
n

Z
.
: (–1)
1
,
n

Z
.
;5log)4(5log
−=
;4
,2
;04
,02
−≥
≥−
≥
,42,55,5log5log
424
−=
−−
xx
xxx
– 9
удовлетворяет
условию
= 7;
18lg)202453lg(
=⋅⋅
1810lg)202453lg(
⋅=⋅⋅
01810202453
=⋅−⋅⋅
xx
0)2184243(5
=⋅−⋅
xx
03218224
=⋅−⋅
xx
, 24
– 18
+ 3 = 0,
+ 1 = 0,
2;
===
уу
= –1;
= –2.
176.
171
,04;3)4(log
<>−−<−−
xxxxx
171
– 4)
– 4 8,
–120, (
–4)(
+3)0, –3
Ответ
)4;
171
()
171
;3(
−∈
170
13
(5 – 2
�) 2; 5–2
�0,
13
(5–2
13
y
=
13
, 5 – 2
– 1)
5–2
3–2
–1–2
�0,5+
Ответ
(0,5+
; 2,5).
) lg(
+ 8)
1;
+ 8 � 0
при
любых
+ 8)
возрастает
+ 8
10,
– 2)(
+ 1)
0,
–1
2.
17
(3 – 2
) 2; 3 – 2
� 0;
1,5;
17
(3 – 2
17
17log
17
, 3 – 2
17
7 – 2
+ 1, –2
8 – 2
– 3, 2
� 2
– 5,
7 – 2,5.
– 2,5; 1,5).
177.
) 2log
2+log
+ 3);
;03
,0
>
4+log
+3),
log
= log
1)3(log)10(log
−
xx
>−
>−
;3
,10
;03
,010
10;
6log)3)(10(log
xx
(10 –
– 3)
6, 10
– 30 –
0, –
+ 13
– 36
– 9)(
0,
9.
)10;9[]4;3(
– 2) +
(12 –
–2;
122
;12
,2
<<
– 2)( 12 –
1
=
убывает
– 2)(12 –
9, 12
– 24 + 2
0,
– 14
+ 33
0,
– 3)(
– 11)
11.
)12;11[]3;2(
) log
(4 –
2 – log
– 1);
41
;01
,04
<<
>−
>−
171
2log)1)(4(log)1(log)4(log
5,0
5,0
5,0
5,0
≥−−≥−−
xx
5,0
2)1)(4(
xx
, 4
0,
+ 5
0, (
– 3)(
–2)
0,
2
или
3.
)4;3[]2;1(
178.
– 6) – lg(
+ 3)
−>
−<
>
>−
;3
,2
,3
;03
,06
хх
� 2;
3lg
)6(
−
xx
возрастает
−
xx
936
−−−
xx
152
−−
xx
)3)(5(
−
xx
0)3)(5(
≤−
xx
.5,3
Ответ
: (2; 5
13
13
<<
2log
13
13
2413
−−
55
, 5(
– 1)(2 –
) 0,
1
� 2.
)1;
) ln(
– 10) – ln(
– 2)
ln4;
>−
>−
>−
;2
,0)5)(2(
;02
,0103
xx
xx
возрастает
103
−
xx
)2(
84103
−−
xx
)2(
−−
xx
)2(
)2)(1(
−
xx
2,1,2,0)2)(1(
z−>z≥−
xx
хх
.
(2;
).
53
53
, (3
+ �1) 0,
);
()1;(
∞−−∞∈
3log
53
53
3353
−−−
� + 1 0,
� –1.
);
∞∈
172
179.
08254;2)8
4(log
25
>⋅−>−
xx
xx
при
4log)8
4(log
25
>−
xx
04254,48
25
>⋅−>−
xx
xx
– 5
+ 4� 0, (
– 1)(
– 4) � 0,
� 4, 2
1, 2
� 4,
0;
� 2.
);2()0;(
0,log56log
5,0
5,0
≥
xx
5,0
– 5
0, (
– 2)(
– 3)
3;
5,0
или
5,0
3;
5,0
0,25,
0,125.
);25,0[]125,0;0(
) lg
+ 2,
� 0. lg
,
– 2
0, (
+ 1)(
– 2)
–1
2; lg
–1
100,
≥≤
хх
1,0366;2)366(log
<>−−≥−
xx
xx
5log)366(log
≥−
xx
1

,
05666,5366,
366
≤−⋅−≤−
≤−
xx
xx
xx
,
0, (
– 5)(
1)
0,
1
5; 6
1
0,
5.
)1;5[log]0;(
−∞∈
Системы
рациональных
уравнений
неравенств
180.
1,77
;31215
,4128
;145
,132
==
=
=−−
=
−=
xx
yx
yx
yx
yx
1,132
yy
=−
=−
=−
=−
.43
,43
;16124
,1293
yx
yx
yx
yx
произвольные
бесконечное
множество
решений
173
=−
−=−−
=−
=
;532
1442
;532
,72
yx
yx
yx
yx
,97
==−=−
xyy
3
4
x
:
1;
4(
05,0885
;6,11
,08)6,11(5
;16,1
,085
z=−
=
=−
=−
=−
yy
yx
yy
yx
yx
решений
181.
0,0
,5
;5
zz
−=
=
=
yx
yx
yx
6)5(
)5(136)5(6
⋅−
−−⋅−
yy
yyyy
)5(
15012525
−
yy
yy
2;3;3;2;0)5(
;5,0,065
2121
====
z−
zz=−
xxyy
yy
yy
yy
Ответ
: (3; 2); (2; 3).
=
=−
=−
=−
=−
=−
;7
,1
;7)
)((
,1
;7
,1
33
yxyx
yx
yxyxyx
yx
yx
yx
07
21
;7)1()1(
,1
22
=−
=
=
yyyyy
yyyy
yx
2,1,0)2)(1(,02
21
−===−=−
yy
yy
yy
= –1.
: (2; 1); (–1; –2).
=−
=−
;14)1(
,2
,0
;1)1(
,2
22
22
xx
xy
yx
4,0,
,0)25(,025,01412
−=
=−=−=−−
xxxx
xxx
= 0,8.
: (0,4; 0,8).
=
=
;5
,35
33
yx
yx
−=
=−
=−
;5
,7
,35)
(5
yx
yxyx
yxyx
1025,7)5()5(
22
=−−=−−−
yyyyy
yyyy
3,2,065,018153
21
===−=−
yyyy
yy
= 3,
= 2.
: (3; 2); (2; 3).
182.
=
=−−
=
=−−
;5
,45))()((
;5
,45
)(
22
yx
yxyxyx
yx
yxyx
=
=−
=−=−
,3
,9)(,45)(5
yx
yx
yx
yx
=
−=−
;5
,3
yx
yx
= 8,
= 4,
= 1; 2
= 2,
= 1,
= 4.
: (4; 1); (1; 4).
174
=−
=
=−
=
;4)(
,12)(
;4
,12
22
22
2332
2332
xyyx
xyyx
yxyx
yxyx
первое
уравнение
второе
;2,33,3
xyxyxy
xy
xy
=−==
2,1,1212,1248,1248
55
2332
===
==⋅⋅
yxx
xxxxxx
0,0
;2
,16
23
32
zz
yx
yx
yx
,22,16)8(;8,8
5459
32
==⋅=⋅==
xx
xxxy
4,
==
yx
4,16)(
;12
,28
=−=−
−=−
=−
yxyx
xyy
xyx
= –4,
= –4 +
28)4()4(
=⋅−
yyy
124,28
4816,28)4()4(
==−−=−−−
yyyyy
yy
7,3,124;7,3
−=−==−==
xyyxy
Ответ
: (7; 3); (–7; –3).
183.
08
;8
,7
;8
,7
63
33
33
33
=−
−=−
−=
−=⋅
=
yy
yy
yx
yx
yx
087
36
=−−
yy
,
087
=−−
zz
= –1;
= 8
= 2,
= –1;
2;1,17,87
=−==−=
xx
: (–1; 2); (2; –1).
054
;0
,5
;2
,5
48
42
=−
=
=
yy
yx
2,1,4;1,4,045
44
21
======−
yyyzzzz
2,2,1,1;1,1,2
4321
43
====−==−=
xxxxyy
: (1;
); (1; –
098
;0
,9
;2
,9
36
33
=−
=
=
yy
yx
175
1,2,1,8;1,8,089
21
121
=======−
yyyyzzzz
: (1; 2); (2; 1).
1110
;0,0
,13
11
;13
11
,5
11
22
22
=−
zz
=
−=
=
=
yy
yx
yx
yx
yx
012
102
=−
y
1
;3,2,065
121
=====−
yyzzzz
==
xx
184.
22)51(,225
;1555
,75
;3
,75
=−=−
=−
=−
−=−
=−
axaxx
yax
yx
yax
yx
при
– 1
решение
при
нет
решений
=
=
;542
,2
yx
ayx
= 2,5 –
бесконечное
множество
решений
2,5 –
решений
12)23(,023
;623
,633
;623
,2
==−−
−=−
−=−−
−=−
=
ayyay
yx
ayx
yx
ayx
бесконечное
множество
решений
одно
решение
=−
=−
;222
,2
ayx
yx
при
= 2 –
бесконечно
решений
при
решений
185.
−<−
−>
<−
−>
);203(2)7(123
,2133322
203
)7(
213
32
xx
xx
176
,1
;449
,3535
4;1(
<−
−−≤−−
<−
;5,25,1
,24)1(3)4(4)1(612
;5,25,1
,2
xx
xxxx
xx
xxx
−≤−
−−≤−−−−
.5
,5
;5
,5
;5,25,0
,24331646612
xxxx
решений
<
−−−≥−
−<
−−
≥−
;25,0
,2412)1(34)1(6
;25,0
,2
32
xx
xxxx
xx
xxx
−−−≥−
;25,1
,241233466
xxxx
−≥
−≥
,3
,3311
1;3[
−∈
<−
<
<−
<
<−
;0
,216
;8348
,1631226
;83)2(4
,16)14(3)13(2
xx
xx
xx
xx
−>
.0
,5,3
(–3,5; 0).
Системы
иррациональных
уравнений
186.
=
−=−
=
=−
.1832
,822
;1832
,4
yx
yx
yx
yx
= 10,
= 2,
= 4,
– 2 = 4,
= 6,
Ответ
: (36; 4).
015
;15
,8
;15
,8
=−−
=−
−=
=⋅
=
yy
yy
yx
yx
yx
,
+ 15 = 0,
= 3,
= 5,
= 9,
= 25,
= 8 – 3,
= 8 – 5,
= 9.
: (25; 9); (9; 25).
177
=
=−
=
=−
.192
,1626
;192
,8
yx
yx
yx
yx
= 25,
5 + 2
= 19, 2
=14,
= 49.
: (25; 49).
=−
=
.07
;7
,12
yx
z
,
,4,3,4,3,0712,07
21
=====−=−
yyzzzz
=16,
16,3,4,47,37
12
===−=−=
xxx
= 9.
187.
,6,305
;5
,30
;5
,30
=⋅
=
=
=
=
yx
yxxy
yx
xyyx
05
,0,
=−z
yy
z
,
9,4,3,2,3,2,065
212
21
=======−
yyyyzzzz
4,35,9,25
=−==−=
xx
Ответ
: (4; 9), (9; 4).
=
=−
=−
;9
,37
;3
;9
,7
yx
xyyx
xyyx
=−
=−−
−=
.9
,1
;1
,9
,0910
;09)10(
,10
yy
yy
yx
=
=⋅−
=−
=
=−
=
;6
,126
;12
,6
;12
,6
yx
yx
yxyx
yx
yx
yx
4,2,64,16,4,82
;6
,2
======
=
=−
yyy
xxx
yx
yx
=
=
=−
=−
;12
,64)12(
;208
,8
;20
,64
yx
yy
yx
xyyx
−=
−=
=−
.4
,16
;16
,4
,064
yy
178
188.
=
=
.6
,26
yx
yx
,
=
=
;6
,26
22
vu
vu
1236
;6
,26
)6(
22
22
=−
−=
=−
vvv
vu
vv
1,625,1,5
;1
,5
;5
,1
,056
====
=−
xxxx
vv
625,1,5,1
====
yyyy
.
: (625; 1), (1; 625).
=−−
=−
.0
,0
;1
yx
z
,
,4,
,4,04154,0
151
=−==−==−=−−
yyzzzz
−=
−=
−=
−=
.64
,64

: (
; –64), (
1
=−
=−
=−
=−
;1
,5))((
;1
,5
yx
yxyx
yx
yx
=−
=
;1
,5
yx
yx
,
.2,3
;1
,5
==
=−
=
ba
ba
ba
= 3,
= 81;
=2,
= 16.
: (81; 16).
=⋅
−=
−=
.2
,3
;8
,3
yx
yx
yx
,
=−−
−−=
−=
;2)3(
,3
.2
,3
bb
ba
ba
,023
,023
=
=−−−
bb
bb
,1,)1(,1
−=−=−=
yy
= (–2)
= –8;
= –2,
= –8,
= –1,
= –1.
: (–8; –1), (–1; –8).
179
Системы
тригонометрических
уравнений
189.
=⋅
=⋅
.75,0cossin
,25,0cossin
xy
yx
Сложим
уравнения
вычтем
первого
второе
уравнение
−=−
=
−=⋅−⋅
=⋅⋅
)sin(
,1)sin(
sincoscossin
,1sincoscossin
yx
yx
yxyx
yxyx
∈π
−−=−
∈π
=
;,
)1(
,,2
Zkk
yx
Znnyx
ZnZkk
nx
∈∈π
−π
,,
)1(2
ZnZk
nx
∈∈
−π
,,
212
)1(
ZnZkk
ny
∈∈π−
−−π
,,
)1(2
ZnZk
ny
∈∈
−−π
,,
212
)1(
ZnZk
∈∈
−π
ππ
−π
,,
212
)1(
212
)1(
=πππ−π
−=−
=π−π
−=−
;0)cos
)(coscos
;0)(cos)(cos
yxyx
yx
yx
cos2
sin2
π−π
ππ
π−π
ππ
yxyxyxyx
)sin(
= 0,
ππ
yx
yx
π−π
yx
ππ
или
yx
π−π
yx
ππ
yx
π−π
Zll
yx
∈π
ππ
22
Znn
yx
∈π
π−π
22
1)
Zmmymxmx
yx
Zmmyx
∈=−=−=
−=−
∈=
22
,,2
180
2)
,,2
−=
−=−
∈=−
yx
Zkkyx
решений
3)
Zllylxlx
yx
Zllyx
∈===
−=−
∈=
,2
,,21
4)
,,21
−=
−=−
∈=−
yx
Znnyx
решений
−
mm
ZmZlll
∈∈

;,
,3
coscos
;3
coscos
sinsin
sinsin
;3tgtg
,3sinsin4
=⋅
=⋅
=⋅
yx
yx
yx
yx
yx
yx
=⋅
=⋅
=⋅
coscos
sinsin
coscos
yx
yx
yx
1)cos(,1coscossinsin
yxyxyx
)cos(,
coscossinsin
=−=⋅−⋅
yx
yxyx
Zkk
yxyx
∈π
±=−=
,2
)cos(
∈π
±=
∈π=−
;,2
,,2
Zkk
yx
Znnyx
ZnZkkn
∈∈ππ
±=
,,22
ZnZkkn
∈∈ππ
±=
,,
ZnZknkn
∈∈π−ππ
±=
,,2
ZnZknky
∈∈π−π
±=
,,
ZnZknknknknk
∈∈π−π
−ππ
−π−π
ππ
,),
(),
⋅=
⋅=
;sinsincos
,coscossin
yxx
yxx
1)cos(,sinsincoscos1
yxyxyx
=π
∈π=∈π=−
)2(sin;,2,,2
yn
ZnynxZnnyx
,0cossin,cossin,,cos)2cos(
222
=−
∈⋅π=
yyyyZnyyn
,1tg,,
±=∈π
±=
yZkky
= 2
Zkk
∈π
ZnZkknkknk
∈∈π
−ππ
−π
ππ
,),
;2
(),
;2
181
190.
=⋅
=⋅
=
coscos
,2
coscos
)sin(
coscos
,2
yx
yx
yx
yx
tgytgx
Перемножив
уравнения
получим
∈π
==⋅
=
,,2
coscos
,1)sin(
Znnyxyx
yx
Znyyn
Znynx
∈=⋅−π
∈−π
cos)2
cos(,,2
cossin,
cos)
=⋅=⋅−
yy
yy
ZkkyZkkyy
∈π
=∈π
==
,,2
2,12sin
ZnZkknx
∈∈π−π
,,2
−=
−=
=
;12cos
;12cossin
yy
yx
yx
yx
,12coscos
−=
yy
0coscos2,11cos2cos
=
−=−
yy
yy
0cos,0)1cos2(cos
=
yy
−=
Zkk
yZkk
yZnny
∈π
−=∈π
=∈π
,2
,,2
,,
ZnnxZnn
∈π=∈π−
,,,
22
Zkk
xZkk
∈π−
=∈π−
,2
,,2
),2
;2
(),2
;2
(),
;(
kk
kk
nn
π
−π−
π
π−
π
ZnZk
)
=⋅
=⋅
.3ctgctg
sinsin
yx
yx
Перемножим
уравнения
1)(cos1sccsinsin
scc
sinsin
=⋅⋅
=⋅
=⋅
x-y,yoosxyx
yoosx
yx
182
ZnynxZnnyx
∈π=−
,2,,2
sin,
sinsin,,
sin)2sin(
=⋅
∈=⋅π
yyZnyyn
Zkk
yy
∈π
±−=±=
)1(,
ZnZkk
nx
∈∈π
±−π=
,,
)1(2
;2
)1((),
)1(;2
)1((
nk
nk
ππ
−π
−ππ
ZnZkk
∈∈π
,)
)1(
=
=
,1cos2cos
yx
xy
,1
cos2cos
yx
1sin
,1sin2cos
sin21
=
=
yy
yy
0sin,0)1sin2(sin,0sinsin2
==−=−
yyyy
1
y
n
,
n


Z
,
ZnnxZkn
∈π−
=∈π
−=
;,
)1(
Zkk
∈π
−−
)1(
ZkZnk
nn
∈∈π
−π
−−
ππ−
,),
)1(;
)1(
(),;
Системы
показательных
логарифмических
уравнений
191.
=−−
=
−−
−−
;01
,3
;33
,99
;13
,7299
01
yx
yx
yx
yx
yx
yx
= 4,
= 2,
.0162
;9
,1622
;9
,1622
=−−
−=
=−
=
=−
yy
yx
yx
yx
,
016
512,016
=−−=−−
zz
32,16,051216
−===−
zz
zz
322,162
−==
решений
нет
= 5;
: (5; 4).
183
=−
=−
=−−
−−
−−
;16
,4
;016
,2
;66
55
;16
,255
016
16
yx
yx
xy
yx
xy
yx
xy
yx
= 5,
= 1,
: (5; 1).
28328,283327
;3
,2833
;3
,2833
=⋅=⋅
=
=
=−
=
yy
yy
yx
yx
yx
= 3.
: (3; 0).
192.
=
=
−=−
=
−=−
.1
,3
;55
,12
;2,555
,12
;2,555
2log
xy
yx
xyx
=⋅−⋅
=
=
=

.53324
,1732
;532
1732
12
yx
yx
yx
yx
, 3
,82;8,9,637
;534
,6844
;534
,17
===−=−
=−
−=−−
=−
=
uvv
vu
vu
vu
vu
.2,3;93
===
yx
.0,2
;42
,2
;42
,2
;162
,2
)(log
==
=
=
=
=
yx
yx
yx
yx
xy
yx
xy
=
=⋅
=⋅
=−
−
;4
,171
323
;171323
,4)(log
24
xy
xy
yx
6,2,93,171319,1713183,171
323
24
====⋅=⋅=⋅
−
yx
xx
193.
=
=⋅
.1673
,6373
yx
yx
; 7
,
=
=⋅
;16
,63
vu
vu
9,7,06316,063
;16
,63)16(
21
===−=−−
−=
=−
vv
vv
vv
vu
vv
;97,77;7log,2;73,93;7,9
321
21
==
======
xx
xx
uu
9log
: (2; 1); (
7log
9log
=−
=−
=−
=−
.723
,7723
;723
,7723
yx
yx
yx
, 2
;2,9
;7
,11
;7
,77)(7
;7
,77
22
==
=−
=
=−
=
=−
=−
vu
vu
vu
vu
vu
vu
vu
.1;22,4,2
,93
=====
: (4; 1).
184
=−
=⋅
.6344
,6444
yx
yx
4
, 4
,
=−
=⋅
;63
,64
vu
vu
64,1;1,64,06463
;63
,64)63(
12
=−==−==−
=
=
uuvvvv
vu
vv
= –64 –
уравнение
= 1,
= 0;
= –1 –
уравнение
= 64,
= 3.
.0222,222
;532
,732
=−−−=−
−=−
−=−
yx
yx
Пусть
,
12,22;1,2,02
21
−==−===−−
zzzz
смысла
= 2; 2
– 3
= –5, 3
= 9,
= 2.
194.
=
=−
.5lglg
,1lglg
22
yx
yx
, lg
,
=
=−
;5
,1
22
vu
vu
0422,5
21
;5)1(
,1
22
22
=−=
=
=
vvvvv
vv
vu
,2lg,1lg;2,1;1,2,02
12
=−==−==−==−
xxuuvvvv
.10,01,0,1lg,2lg;100,1,0
21
yyyy
xx
: (0,1; 0,001); (100; 10).
=
>>
=
=
>>
=
=
;16
,32
,0,0
;16logloglog
,32log)(log
,0,0
;4loglog2
,5)(log
22
22
22
24
22
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
,0)16(,025632,32
22
24
=−=−=
yyy
4;0
4,4
21
−−==
xx
yy
Ответ
: (4; 4).
,5lg6;10,6lg,12lg2
;0
,0
;5lglg
,7lglg
====
=
=−
xxx
yx
yx
,1lg
=−=
yy
: (10
; 0,1).
−>
−>
>−
>
>
=
,0
,1
,0
;0
,0
,01
,0
;0
log2log
log)1(log
yx
185
−=−
−=
−=−
−=
=
yy
yx
yx
yx
yx
.25,0,1,0)1(,012,0
===−=−=−−
xy
yyyyyy
195.
.1,0
;3
,1log
z>
=−
xx
xy
=
=
.12log)log1(
,log1
;3log12log
,log1
33
xx
xy
xy
xy
, (1 +
= 12,
– 12 = 0,
= –4,
= 3;
= 21;
= 1+ 3 ,
= 4.
; –3); (27; 4).
z−
z
=−−−

,0
,0
;0)(log)(log
,15
22
22
22
)(log1
22
yx
yx
yx
yx
yx
yx
−=
=−
=
=
;1
,153)1(3
;1)(
,15
;1
,15
33
22
22
22
)(log
22
yx
yy
yx
yx
yx
yx
yx
+ 3
+ 3
– 15 = 0, 6
– 6
– 12 = 0,
– 2 = 0,
= –1;
= 2; (–1; 2) –
решением
−=
=
=
;12)(log
,log7
;5log12log
,7
;5
,73log
xy
xy
yx
.12log)log7(
=⋅−
xx
, (7 –
,3log;4,3,0127,0127
15
21
===−=−−
zz
zz
zz
= 125,
= 4;
4log
25
= 625,
: (125; 4); (625; 3).
=−
=−
=−⋅
=−
−
;1
,5
;1
,25
);(log
,25
22
22
22
22
)(log1
22
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
.2,3
;1
,5
==
=−
=
yx
yx
yx
: (3; 2).
186
196.
>>
=−
=−
=−
=−
;0,0
;82
,0log2log
;82
,0loglog
22
22
24
yx
yx
yx
yx
yx
– 2
– 8 = 0,
= 2
= –2 –
удовлетворяет
условию
= 2,
= 4.
Ответ
: (4; 2).
=−
>>
>>
⋅=
=
;30
,4
,0,0
;0,0
,310lglg
,3
;3lg1lg
,81
yx
yx
yx
yx
yx
=⋅
=−
>>
.30
,4
,0,0
yx
yx
yx
Пусть
=⋅
=−
;30
,42
vu
vu
3,5,0152,03042
;30)42(
,42
21
−===−−=−−
=−⋅
−=
uuuu
uu
uu
uv
3,5;10,6
21
−==−==
xx
vv
уравнение
10,6,25
−===
yyx
уравнение
= 36.
045
;045
,0,0
;045
,0loglog
24
22
22
39
=−
=−
>>
=−
=−
yy
yx
yx
yx
yx
yx
= 4;
= –2 –
удовлетворяет
условию
= 1;
= –1 –
удовлетворяет
условию
: (4; 2), (1; 1).
=
=−
.3log2log3
,153log2
xx
Пусть
тогда
=⋅
=−
;32
,152
vuuv
vu
04562152
);152(32)152(
,152
=−−−
−=−
−=
uuuu
uuuu
uv
9log;10,3;5,2,9,045232
12
21
21
−=====−
vvuu
uu
103,1,33;2,512;5,2log
5,2
22
−===
===
xxx
уравнение
смысла
Ответ
: (512; 1).
187
Задачи
уравнений
систем
уравнений
197.
Пусть
скорость
автобуса
старому
расписанию
(
+ 10)
скорость
новому
расписанию
время
расписанию
новому
расписанию
Составим
систему
уравнений
=−−
−
=⋅
;325
,325
xttxxt
tx
tx
+ 30
– 20 = 0,
,5,06523,01015
==−−=−−
ttt
−=
является
решением
задачи
= 325 : 5 = 65 (
+ 10 = 65 + 10 = 75 (
скорость
расписанию
новому
– 75
198.
Пусть
скорость
течения
тогда
(15 –
скорость
против
+ 15)
скорость
течению
Можно
составить
уравнение
задачи
;15,15,20
)15(3
)15(3
,20
−zz=
xx
xx
418(15–
)+418(
+15)=60(15
), 418(15 –
+ 15) = 30(15
),
4,16,15209),15(3030209
222
22
−==−=
−⋅=⋅
xxx
является
решением
= 4.
Ответ
скорость
течения
4
199.
Пусть
скорость
время
= 220; (
+ 5)
новая
скорость
– 2
время
затраченное
оставшийся
Получим
систему
уравнений
=−−
−
=⋅
252
2)5(2
,220
xtxtxtx
xttxx
tx
188
,065
6600,0
2205
;0
=−−=−−
=−−
xx
xt
,55,0660065
−===−
xx
xx
является
решением
первоначальная
55
200.
Пусть
скорость
теплохода
тогда
скорость
второго
теплохода
они
перпендикулярно
22
222
60)6(44,60))6(2()2(
=
=
xx
xx
24,18,04326,36001444844
22
−===−
=
xx
xx
xxx
решение
+ 6 = 18 + 6 = 24 (
).
Ответ
: 18
201.
Пусть
время
встречи
первого
– 5)
время
второго
Путь
первого
тела
ttttt
33336
)1(612
=−=
−
Путь
второго
: 12(
– 5).
390601233
=−
ttt
15,10,01505
21
−===−
tt
tt
является
решением
положительным
временем
: 10
202.
Пусть
норма
nnnn
320432320
2160802160,4
32320
22
−=⋅
,240,0172800
−=
==−
nn
nn
может
выражать
объем
грунта
.
: 240
203.
Пусть
необходимое
тогда
необходимое
второй
уравнение
4,6,0242,02486,
11
21
−===−−=−=
xxxxxxx
xx
выражать
: 6
, 12
204.
Пусть
затребовали
машин
грузоподъемность
Имеем
уравнение
04804,120)4()4(120,
5,0
=−
=−
=−
xxxxxx
xx
= –24 –
является
решением
: 20
машин
189
205.
Пусть
первом
меди
втором
уравнение
025015,4534075050,30
10041005
=−−==
xxxxx
xx
= –10 –
является
решением
: 25%
206.
Пусть
было
количество
процентное
содержание
первоначальном
растворе
+ 200 –
нового
раствора
процентное
содержание
новом
условию
задачи
уравнение
1,0
4040
хх
+ 8000 – 40
= 0,1(
+ 200
),
+ 200
– 8000 = 0,
= 200,
= –400 –
решением
смыслу
16040200%,20%100
=−
=⋅
).
: 20%, 160
207.
Пусть
скорость
движения
машины
встречи
первой
Составим
систему
=
⋅=
⋅=
;50100
4020
;50250
,40
xxt
tx
34020
1080,
1080,4020
50100
=
==−
txttxt
3,1,032,1206020160
21
−===−
=
ttttt
tt
решением
задачи
= 20 + 40 = 60 (
).
: 60
208.
Пусть
= 7
21,37818,737825,
7378
==
=
VV
= 7
21 = 147 (
).
= 21
= 147
209.
Пусть
первоначальная
первого
пешехода
второго
пешехода
) = 50,
);1)(1(2)1)(550()1(5
,2
;10,10
12
21
11
21
−=−−−
−==
VV
VV
VV
VVVV
VV
−=
190
)1)(110(2)110)(550()1(5
11
11
11
−−
VV
VV
VV
,026438
=−
VV
: 6
, 4
210.
Пусть
двигателей
изготовили
штук
систему
.20,30
;13034160
,280
;802
,13032
==
=−
−=
=
=
xy
yy
yx
yx
yx
: 20
двигателей
, 30
двигателей
211.
Пусть
нужно
первому
рабочему
второму
необходимо
25 –
Составим
уравнение
приняв
всю
работу
xx
xxxxxx
xx
66150
25,6)25(6)25(;
)25(2
−=−−=−
=
.10,15,015025
===−
xx
xx
второй
соответственно
10
15
.
: 15
дней
10
212.
Пусть
первой
жидкости
тогда
II
первой
жидкости
2,1
второй
6,1
объем
2,1
6,1
плотность
смеси
равана
)60(34
8,460
6,1
2,1
:60
−
xxx
откуда
+ 180
– 2304 = 0,
= 12
или
= –192 –
решением
Следовательно
при
= 12
плотность
смеси
равна
1,5
первой
жидкости
12
второй
– 48
: 12
, 48
, 1,5
213.
Пусть
серебра
серебра
составит
90%,
масса
равна
+ 3;
образом
3)3(
=
xm
массой
+ 2
серебро
составит
84%;
серебра
содержится
=⋅
поэтому
новом
5
9


)2(
=
хт
Получим
систему
191
=
=
=
=
=
=
;45254221
,3010279
(25)2(21
),3(10)3(9
)2(
,3)3(
хт
хт
325)310(
;325
310
310
;32521
,3109
=
=
=
=
xx
xm
xm
+ 21 = 75
+ 9, 5
= 21 – 9,
12
34,210
⋅
= 3. 2,4% –
%, 3 – 100%,
%80100
4,2
=⋅=
процентное
содержание
серебра
80%.
214.
Пусть
первая
+ 5)
первая
точка
оборотов
вторая
оборотов
условию
60
60(
+ 5),
– 300 = 0,
= –20 (
подходит
что
первая
полный
оборот
20
Скорость
первой
4
второй
Ответ
: 4
, 3
215.
Пусть
число
единиц
10
= 13; 10
– 9 = 10
=−
=
=−
=
;1
,13
;999
,13
22
22
ba
ba
06,01222,1312,13)1(
22
=−=−==
bb
bbbbbbb
= 2
= –3 –
смыслу
� 0,
поэтому
= 2,
= 3
исходное
равно
32.
: 32.
216.
,55))((.,,55
22
=−∈
=−
babaNba
ba
причем
ba
ba
натуральные
55 = 55
11,
либо
=
=−
,55
,1
ba
ba
=
=−
.11
,5
ba
ba
первой
системы
= 54,
= 27
= 28;
второй
системы
2
= 16,
= 8
= 3.
: 27
28; 3
8.
192
217.
),()(
xfxxff
∆=∆
05,1
1,0
105,0
,105,021,0
)11,1(
)1,1(
2222
==
=⋅=−=⋅−=∆
1,011,112121,2
=−=−−−=∆
21,0
1,0
==
2,0
4,0
,4,0434,43)223()2,2(23
−=
−=−−=⋅−−−=∆
1,2
11,1
−=−=−=−
=∆
1011
1,0
−=−=
−=
218.
−−∆−
−∆
o∆
o∆
o∆
xxx
xfxxf
xf
)41()(41)()(
)(
limlim
41441
−=
∆−
−∆−−
o∆
o∆
xxx
−∆∆
−∆
o∆
o∆
xxxxx
xxx
xf
22
22
5,15,135,1
5,1)(5,1
)(
;3)5,13(
)5,13(
xxx
xxx
=∆=
∆−∆
o∆
o∆
при
= 2
имеем
) = 6;
−−∆
−−∆
o∆
o∆
xxx
xxx
xf
23233232)(3
)(
o∆
−−∆
==
o∆
xxx
xf
11)(
)(
33
−−∆∆∆
o∆
xxxxxxx
11
33
32
23
∆∆∆
o∆
xxxxx
)33(
22
3)33(
xxxxx
=∆∆−
o∆
при
= –1
3)(
xf
193
219.
)(,5
)(
23
234
−−=
−−=
xxxxfxxxxxf
−⋅
−=
−=
))(sin4(sin)4()(,sin)4()(
xxxxxfxxxf
xxxx
cos)4(sin2
−⋅−=
=−−−=
−=
)23)(5()22(2)(),22)(5()(
22
32
xxxxxxfxxxxf
10417
101523442
24
224
24
−−=−−−=
xxx
xxxxxx
)(
xf
cos3sin
sin2
)3(cos)2(sin
)(
xxxxx
xxxx
xf
−
−⋅−−−
220.
)(
⋅−⋅=−=
xxx
xf
19
)3(3)(
xx
xxxf
−−−=⋅
−⋅−−⋅=
xxxf
tg)2()(
−=
xf
)(
−=
xx
xf
21
)(
23
32
)21(
334
)21(
626363
)21(
)2)(3()21)(33(
)(
xx
xxxxx
xxxx
xf
−−
−−−
−−−−−
xf
cos21
)(
)cos21(
sin2sin)cos21(cos
)(
xxxx
xf
⋅−−
)cos21(
2cos
221.
10ln
2ln2)(,lg2)(
xfx
xf
=
=
3ln
3ln2
3)(,2log2)(
exfx
exf
−=−=
=
)5ln1(525ln5252)(,5)(
222
22
xx
xxxfxxf
⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=
⋅=
)(
)(ln)(
)(,
)(
xx
xx
xx
xx
ee
eexee
xf
ee
xf
−−
222.
xxxfxxxf
5sin53cos3)(,5cos3sin)(
=
)12(
14
)(;
)12(
1)(
=
xf
xxf
194
432
243
53
)23(30)6()23(5)(,)23()(
xxxx
xfxxf
−−=−⋅−=
−=
2(tg3)3lg()(
−=
xxxf
=
=
2cos
10ln
2cos
23
10ln3
)(
xf
223.
1,1,0,0)1(4,044,44)(
321
−====−
=−−=
xxx
xxxxxxxf
,01cos52cos3,1cos52cos3)(
−=
xx
xxxf
01cos53cos6
=−−−
, 6
– 5
– 4 = 0,
1cos;
−=
имеетсмысла
Znn
xx
∈π
±=−=
,2
0910,0910,910)(
24
24
24
=−=−−−−=
xx
xxxxxf
Пусть
+ 9 = 0,
= 9,
= 1;
= 9,
= 1;
= 1,
= –1;
Zkk
xxx
xf
∈π
−===−
−=
)1(2,
2sin,02sin21,2sin21)(
Zk
−=
212
)1(
224.
) 1)
0)(
xf
точке
)(
xf
точках
)(
xf
точках
2)
)(
xf
при
)(
xf
при
)(
xf
= 0
при
3)
производную
точках
).
) 1)
)(
xf
� 0
точках
)(
xf
0
)(
xf
= 0
2)
)(
xf
при
)(
xf
при
)(
xf
при
3)
производной
.
195
) 1)
)(
xf
� 0
)(
xf
0
)(
xf
2)
)(
xf
при
)(
xf
при
; 0)
)(
xf
3)
Производная
) 1)
)(
xf
� 0
)(
xf
)(
xf
2)
)(
xf
при
) ;
)(
xf
при
)(
xf
3)
Производная
225.
)()(
xyxy
)()(
xyxy
)()(
xyxy
)()(
xyxy
226.
)()(
xyxy
)()(
xyxy
)()(
xyxy
)()(
xyxy
227.
wuvwvuvwuwvwvuvwuvwuvwuvwuuvw
⋅=
)()()())(()(
требовалось
доказать
Применение
производной
исследованию
функций
228.
xxfxxf
|
)()()(
1)(,
)(
−=
−=
xxfxxxf
==⋅−=⋅
|
0171,0
0057,032
0057,0)2()2()(
ffxf
6838,000171
6667,0
==
196
604,06037,0063,06667,0021,0)2()2()(
−|
ffxf
005,03;24)(,
42)(
42
=−=
−=
xxxxfxxxxf
=−⋅−=
|
)2764(005,081
9122)3(005,0)3()(
fxf
02,02;375,25125,025,20525005,0
205
−=
==⋅
=
=−−⋅−=
−|
)844(02,016
482)2(02,0)2()(
ffxf
84,916,010802,010
−=⋅−=
229.
,30005,03001,0
13001,013)001,01(9009,9
==
⋅|==
0015,10001,0151)0001,01(0001,1
=⋅=
=
005,1)5(001,01)001,01(999,0
=−⋅−|−=
|⋅|
⋅|=
001,0
2001,0
12001,012)001,1(8008,8
006,2001,0666,02
=⋅|
230.
78)(),;()(,1874
)(
23
−−=
∞−∞=
−−=
xxxf
fDxxxxf
критические
точки
1,7,078,078,0)(
21
===−=−−=
xxxxxxxf
;0)8(,0)2(,0)0(
><
fff
возрастает
при
[1; 7],
при
; 1]
[7;
min
max
);3()3;()(,
)(
−∞=
fD
xf
)3(
122
)3(
2124
)3(
2)3(4
)(
xx
xxx
xxx
xf
−
−
−
Критические
)3(
122
xx
−
6,0,0)122(,0122
21
===−−=−
xx
xxxx
197
0)7(,0)4(,0)1(,0)1(
<−
fff
возрастает
при
[0;3)
(3;6],
при
;0]
[6;
min
max
);()(),4(
)4(
)(
∞−∞=
−=
fDxx
xx
xf
;22)44(
)(
−=−⋅=
xxxf
,022,0)(
=−=
xxf
.1,1,0)1(2
===−
xx
)(;0)2(,0)0(
xf
ff
возрастает
∞),
убывает
при
; 1];
min
);4()4;()(,
)(
−∞=
fD
xf
)4(
)4(
)4(
)1(4
)(
xx
xx
xx
xf
−
−−−
при
4
поэтому
возрастает
),
экстремумов
231.
);()(,cos22cos)(
∞−∞=
−=
fDxxxf
,0sin2cossin4;sin22sin2)(
−=
xxxxx
xf
0sin,0)1cos2(sin2
=−
xx
Znnxx
,,1cos2
Znn
xx
∈π
±==
,2
возрастает
при
ππ
nn
20;2
πππ
nn
2;2
Z,
π
−ππ−
;2
π
nn
;2
.20,2
,2
xn
xn
π=π
=π
−=
,0
)(),;()(,
sin2)(
=−
−=
∞−∞=
−=
xf
fD
xf
;,2,,
22
,0
ZnnxZnn
xx
∈ππ=∈π
==
198
;0
,0
возрастает
π + 4πn; 3π + 4
],
при
–π + 4
min
+ 4
max
+ 4
),;()(,2cos2sin2)(
∞−∞=
=
fDxxxf
;2sin2cos2)(
xxxf
02sin2cos2
=−
xx
,0cossin4cos2
⋅−
xxx
0cos,0)sin21(cos2
=−
xx
1
sin
;,
)1(,
Zkk
xnx
∈π
−=π
при
π
π
nn
;2
Znnn
π
π
,2
;2
при
π
π
π
π
π
π
Znn
∈π
,2
;3sin33)(),;()(,3cos3)(
xf
fDxxxf
=
∞−∞=
−=
Znnxx
∈π
==
=−
,2
3,13sin,03sin33
Zn
(0�) 0,
возрастает
(–
232.
;44)2()(
23422
xxxxxxf
−=−=
1)
);;(:)(
∞−∞∈
xfD
);0;(:)(
yfE
3)
0)2(
22
=−
xx
= 2;
4)
промежутки
знакопостоянства
(–2)� 0 ;
(5) � 0;
(1)� 0,
0
при
199
5)
),()()2()2()()(
22
xfxfxxxxxf
−zz−−=−−−=−
6)
;8124)(
23
xxxxf
−=
точки
,0,1,2,0)23(4,08124
321
23
====−
=−
xxx
xxxxxx
[0; 1]
∞],
при
; 0]
[1; 2],
,0)0(,0)3(,1,2,0
ff
xxx
;0)2(,1)1(
==
ff
)(
xx
xf
==
1)
);;0()0;(:)(
−∞∈
xfD
);;4()4;(:)(
yfE
3)
4)
знакопостоянство
при
� 0,
0
при
5)
)(
)(2
)(16
)(
xf
xf
−=
−=
−
=−
6)
−⋅
21622
)(
xxx
xf
−−
2324
xx
322
7)
критические
= 0,
,4
;0)5(,0)1(,0)1(,0)5(
<>
fff
(–4) = –4,
min
(4) = 4,
; –4]
[4;
),
при
[4; 0)
(0; 4];
200
93)(
23
xxxxf
−−=
1)
);;(:)(
∞−∞∈
xfD
2)
);;(:)(
∞−∞∈
yfE
3)
,3
09
=−
xxx
,3
0)9(
=−
xxx
533
533
4)
(20)� 0;
5)
)()(93)(9)(3)()(
23
23
xfxfxxxxxxxf
−zz−−=−−−−−=−
6)
963)(
−−=
xxxf
точки
– 9 = 0,
– 2
– 3 = 0,
; –1]
[3;
),
убывает
при
[–1; 3],
max
= –1,
min
= 3,
(–1) = 5,
(3) = –27;
)(
xf
1)
)2;(:)(
−∞∈
xfD
);;2()2;2(
2)
);;(:)(
∞−∞∈
yfE
3)
,0,0
==
4)
(3) 0,
(1) � 0,
(–1) 0,
(–3)� 0;
5)
4)(4
)(
xf
−=
−−
=−
201
6)
)4(
)4(
24
)4(
)2(4
)(
22
22
22
22
xx
xxx
xf
−
−−−
точки
разрыва
функции
; –2)
(–2; 2)
(2;
),
(5) � 0,
,0)5(,0)0(
>−
экстремумов
233.
;2sin21)(
xf
−=
1)
);;(:)(
∞−∞∈
xfD
2)
];3;1[:)(
−∈
yfE
3)
: 1 – 2sin2
= 0,
,,
)1(
2,
2sin
Zkk
xx
∈π
−=
==
,,
)1(
Zkk
∈π
−=
4)
5)
)()(2sin21)2sin(21)(
xfxfx
xf
−=−
четная
6)
;2cos4)(
xf
−=
критические
точки
: –4cos2
24
,,
xZnnx
=∈π
возрастает
при
Znnn
π
−π
при
Znnn
π
π
Znn
∈π
−=
ZnnfZnn
∈=π
−∈π
,3)
(,,
Znnf
∈−=π
,1)
202
7)
периодическая
xxxf
coscos)(
−=
1)
);(:)(
∞−∞∈
xfD
2)
]2;
[:)(
−∈
yfE
3)
: cos
– cos
= 0,
(cos
– 1) = 0,
= 0
– 1 = 0,
Znnx
∈π
= 1,
4)
5)
xxxx
xf
coscos)cos()(cos)(
−=−−−=−
6)
)cos21(sinsinsincos2)(
xxxxx
xf
⋅−=
критические
точки
)cos21(sin
xx
= 0, sin
,,2
cos,,,0cos21
Zkk
xxZnnxx
∈π
==
∈π==−
,,2
Zkk
∈π
−=
,,
Znnx
∈π=
Zkk
xk
∈π
−=π
,2
,2
2)(,
,0)0(,
=π−=
−=
ff
при
]20;2
nn
ππ
Znnn
∈πππ
],2;2
, убывает при
]2
;2[
nn
π
Znn
∈π
ππ
],;2
;2[
7)
периодическая
= 2
cos3)(
xf
−=

203
1)
);(:)(
−∞∈
xfD
; 2)
]4;2[:)(
yfE
3)
cos,0
cos3
=−
4)
при
5)
cos3)
cos(3)(
xf
−=−−=−
6)
)(
xf
критические
точки
Znnxn
xx
∈π=π==
,2,
,0
возрастает
Znnn
],22;20[
убывает
Znn
xZnnn
πππ
,42;],24;22[
2)0(,,4
,4)2(

fZnn
7)
периодическая
= 4
xxxf
sinsin)(
−=
1)
);(:)(
∞−∞∈
xfD
]2;
[:)(
−∈
yfE
3)
= 0, sin
– 1) = 0,
0sin
Zkk
xZnnxx
∈π
=∈π==
,2
,,,1sin
12
4)
5)
)()(sinsin)sin()(sin)(
xfxfxxxxxf
−zz=−−−=
6)
xxxxf
coscossin2)(
⋅=
критические
точки
0coscossin2
xxx
sin,,
,0cos,0)1sin2(cos
∈π
===−
xZnnxx
xx
Zkk
∈π
−=
)1(
возрастает
при
204
,2
;2
;2
π
π
π
π
nn
nn
при
ZkZnkk
kk
∈∈π
π
π
π
,,2
;2
;2
Zkk
Znn
∈π
−=
∈π
)1(
,,
,0
−=
7)
периодическая
234.
xxxf
ln)(
; 1)
);0(:)(
xfD
2)
∞−∈
:)(
yfE
3)
0,0ln
==
xxx
)(0;1
fD
∈=
4)
5)
6)
xx
xy
=
ln1
)(
критические
точки
x
x
x
2
ln
2ln
xx
xxx
0)2(ln,02ln
xxxxx
),(0,2ln,0
∈−==
exfD
xx
возрастает
при
при
(0;
fex
21
−=
7)
периодическая
xf
)(
; 1)
);0()0;(:)(
−∞∈
xfD
2)
);[)0;(:)(
−∞∈
yfE
3)
4)
205
при
� 0,
0
при
5)
)()(
)(
xfxf
xf
−zz−=
=−
четная
6)
критические
exe
xx
1,0
)1(
==
xe
при
)0;(
−∞∈
(0; 1],
возрастает
при

ef
)1(,1
);;1[
7)
периодическая
xx
xf
2)(
1)
);(:)(
−∞∈
xfD
2)
);
[:)(
∞∈
yfE
3)
4)
� 0
при
)()(2
2)(
4)(4)(
xfxf
xf
xxxx
−zz=
=−
−−−
6)
)42(2ln2)(
−⋅⋅=
xf
xx
)42(2ln2
−⋅⋅
xx
возрастает
);2[
∞∈
убывает
при
]2;(
−∞∈
)2(,2
==
fx
7)
периодическая
xxxf
ln)(
−=
1)
);0(:)(
∞∈
xfD
; 2)
);1[:)(
∞∈
yfE
; 3)
4)
� 0
при
всех
5)
6)
xf
11
1)(
=−=
критические
точки
= 1,
при
(0; 1],
возрастает
∞),
1)1(,1
==
fx
7)
периодическая
206
235.
Найдем
функции
концах
2338181318118)1(
=⋅−⋅⋅=
135813278918)3(
Критические
0122436,122436)(
32
32
=−
−=
xxxxxxxf
0,0)23(,23
32
==−−
xxxxxxx
]3;1[1,1,3,032
32
∈−−===−−
xxxx
критической
точке
(0) = 0.
наибольшее
значение
равно
135,
,1120cos0cos2)0(
−=
3122coscos2)(
,2sin2sin2)(
xxxf
−=
0cossin4sin2,02sin2sin2
xxx
xx
,,
cos,0sin,0)cos21(sin2
=π==
=−−
xxx
xx
cos2)
(,3)(
−=π
]1;
[,
)(
xf
=
xf
)(,31
)1(,
−=
==
==
=
3)1(,1,1,022,02
,0)(
====−=−=
fxxx
xf
,)()sin()(],;[,sin)(
π−−=
xxxf
(,
,1cos,01cos,1cos)(,sin)(
ππ
===−−=
π−=π=π
fxx
xxxf
значение

236.
первое
второе
10 –
+ (10 –
[0; 10],
наибольшее
наименьшее
промежутке
(0) = 1000,
(10) = 1000,
) = 60
– 300, 60
– 300 = 0,
= 5;
(5) = 125 + 125 = 250.
237.
Пусть
первый
катет
тогда
второй
20 –
)20(
)(
xxxS
−=
равную
этого
треугольника
наибольшее
значение
(x)=10–x, S
(15)0, S
(5�)0,
10 –
точка
максимума
: I, II
катеты
10
207
238.
Пусть
вторая
12 –
квадратов
равна
всех
)12()(
xxxP
−=
,244)(
−=
xxP
,6,0244
точка
(6) = 72 –
: 72
239.
Пусть
первая
находится
Когда
первая
время
обозначим
= 2 – 40
)503()402(
−−=
Рассмотрим
)503()402()(
tS
−−=
значение
,04608200,
)503()402(2
4608200
)(
==−
−−
tS
tttttttt
4604100
2500300916001604)503()402(
−=−−=−−
минимума
наименьшее
240.
Пусть
находится
точке
76,5
4,1
8,12,3
8,12,3
⋅
xx
xx
f
(
x
) =
76,5
4,1
<∠<
при
;0(
возрастает
при
принимает
наибольшее
(0;
).
208
0)(;
)76,5(
)76,5(4,1
4,1
)76,5(
2)76,5(
)(
22
22
=⋅
⋅−
xf
xx
xf
при
= 2,4.
(2,4;
0)(
xf
при
(2,4;
).4,2()(
fxf
)4,2()(
fxf
(0; 2,4).
max
(2, 4).
241.
Пусть
наблюдатель
находится
статуи
точке
ВОС
).(
48
48
xf
xx
xx
AOCtgAOBtg
⋅
−∠=∠
∈∠
;0
;0
22
22
22
)32(
)32(4
)32(
4128
)32(
24)32(4
)(
⋅−
xx
xf
= 0
при
2432
±=±=
max
24
24
242.
теореме
Пифагора
2222
400,
hRhlR
−=−=
образующая
радиус
оснований
высота
)400(
hh
hRV
−π=π=
).
Таким
образом
наибольшее
значение
400)(
hhhf
−=
[0; 20].
0)(,400)(
−=
hfhhhf
при
Имеем
(0) =
(20) = 0,
� 0,
поэтому
наибольшее
при
243.
теоремы
Пифагора
222
BOAOABAOB
−=
22
Rr
−=
радиус
основания
цилиндра
hRhrV
−π=π=
209
Определим
наибольшее
значение
функции
()(
hRhV
−π=
[0; 2
].
0)(),
()(
22
−π=
hVhRhV
при
3
= 4
при
) = 0,
наибольшего
при
2
R
h
244.
Пусть
цилиндра
==
Преобразовав
получим
HrR
)(
полная
поверхность
цилиндра
равна
rRHHRr
HrRr
rrhrrS
−
π=
π=ππ=
)(
)(
222)(
наибольшее
квадратичная
при
поэтому
она
достигать
наибольшего
если
параболы
направлены
вершины
параболы
интервале
HR
−=
(2
HR
2)
HR
(2
2(
значит
При
получаем
что
) = 2
наибольшего
(0; R).
Пусть
высота
радиус
основания
цилиндра
соответственно
высота
радиус
основания
конуса
Получим
==
=π=
HRRV
)(,
)(3
rR
hR
(2;
).
23
)(3
)32(
)(
rR
rRRh
RV
−π
210
)(
RV
при
rRR
23
32
Итак
)5,1(
rV
min
),
; 1,5
возрастает
[1,5;
).
246.
Рассмотрим
Отсюда
BC
EO
OA
22
xH
RH
22
xH
RH
2222
222
2222
))((,)(
HRRRHxxRHxRHR
=−−
−=
откуда
RH
HR
Таким
образом
RH
HR
HxV
23
22
=π=
значение
(2
22
)2(3
)4(
)(
RH
RHHR
HV
−π
)(
HV
при
при
при
min
).
: 4
247.
Рассмотрим
осевое
сечение
ОВС
xH
22
поэтому
22
22
RH
RH
22
)(
RH
RHxHV
⋅π=π=
)(3
)3(
)(
)23)((
)(
222
2242
22
32222
RH
RHHR
RH
HHHRHR
HV
−π
−−π
)(
HV
= 0
RH
248.
222
bDh
−=
Прочность
выражается
формулой
Также
)1600()()(
22
bkbbDkbbR
−=−=
наибольшее
промежутке
[0; 40].
)31600()(
bkbR
−=
)(
bR
при
.
211
,0)40()0(
==
RR
наибольшее
значение
при
при
этом
249.
Пусть
периметр
Площадь
окна

=ππ−−⋅=
)2(
2)(
RRRPRRS
222
PRRRRPR
−=ππ−−=
квадратичная
0,
следовательно
имеет
точку
0)(,)4(2
2)(
π−=⋅
−=
RSRPR
PRS
при
π
π
π
π−−π
⋅=
π
π
−=π−
24
))2((
PPPRP
прямоугольная
окна
форму
250.
Пусть
Тогда
прямоугольном
поэтому
)2(
yRyx
−=
)2(
3222
yRyyxS
−==
значение
)2()(
yRyyf
−=
[0; 2
].
23
64)(
Ryyyf
−=
)(
yf
при
= 0
(0) =
)5,1(
RRf
образом
треугольника
наибольшая
хорда
проведена
расстоянии
1,5
точки
: 1,5
касания
251.
основание
треугольника
угол
при
основании
α=α⋅==
tgtg
bHCOHr
Выразим
заданную
площадь
треугольника
α⋅=⋅⋅=
5,0
bbBHACS
2tg
наибольшее
значение
радиуса
212
αα−
α−
=α=
tg2
tg)tg1(
tg1
tg2
22
222
SS
br
Пусть
tg
– tg
Найдем
наибольшее
;0[
α−
tg31
tg3
)(
au
)(
au
= 0
при
±=α
при
Zkk
±π=α
x
,0
(0)=
=0
6
33
max
Угол
при
вершине
=α−π
252.
точкой
параболе
данной
22
)2()(
−−=
xxxr
)()(
xrxf
должны
)1(44424242
2)1)(2(2)(
−=−=−−=⋅
−−−=
xxxxxxxxxf
)(
xf
= 0
при
= 1,
причем
при
)(
xf
при
)(
xf
� 0,
минимума
следовательно
).
: (1; 1).
253.
сторона
основания
площадь
основания
объем
равен
призмы
),
Полная
поверхность
)
(0;
34
3)(
xxS
−=
)(
xS
при
при
возрастает
при
значит
VS
наименьшее
V
213
физике
геометрии
254.
32)(,
2)(
23
−=
ttxttx
)(),2)(,8)(
21
tvtvtxttx
<=
при
,14,28
22
<<−<<<
ttt
)()(,3)(,18)(.)(,19)(
21
tvtvttvttvttxttx
=
при
0,0)18(,018,18
22
>>−>−<
tttttt
255.
;5,02,0)()(;2,05,01,0)(
−=M
=Z−=M
tttttt
=−⋅=Z
5,35,0202,0)20(
256.
);()(2)(),()(),
(01,0)(
trtrtStrtS
tr
π=
π=
при
ссм
04,001,022
π=⋅⋅π=
257.
tttstts
−=
2)(,5)(
расстояние
−=
)()()(
tststs
=⋅
60cos)()(2
21
tsts
)()()()(
21
tstststs
−=
=−−−=
−=
)2(5)2(25)()()()()(
2222
21
tttttttststststs
;311445104425
234232342
ttttttttt
−=−−=
скорость
друг
друга
равна
−
−
=−⋅−=
234
23
23
234
311442
)31218(2
)624216()31144(
)(
ttt
ttt
ttttttts
31144
31218
31144
)31218(
−
−
−
−
tt
tt
ttt
ttt
При
314236
316372
3131494
3132198
)3(
==
−
−
⋅−⋅
⋅−⋅
).
214
258.
Пусть
) = 2
координат
425)(25)(
ttxty
−=−=
Скорость
равна
425
4252
)(
ty
момент
когда
= 3 (
),
(c),
⋅−
−=
425
925
−=−=
259.
) = 2
Верхний
конец
находится
xy
−=
425)(
ty
−=
скорость
движения
верхнего
конца
=−⋅−=
)8()425(
)(
tt
ty
425
4252
−=
скоростью
конца
425
ускорение
32
22
)425(
425)425(
)4425(4
425
425
44254
)(
tt
tt
tt
ty
−−
−
⋅−−
′′
425
32
)425(
260.
10)2(;)(
mkxxm
4,
1)
(12) = 2,5
144 = 360;
) = 5
2)
(0) = 0;
(12) = 60.
: 1) 360
; 2) 0
; 60
215
261.
)(
ktt
=M
при
= 8
,642,2)(
=⋅=ππ=M
kk
скорость
колеса
равна
π=⋅
=Z
=⋅
=M
=Z
348
)48(;
)()(
tttt
262.
)(
00
xtvt
tx
−=
),
= 10
= 10
10405)(
−=
tttx
(5) = –5
25 + 40
5 + 10 = 210 – 125 = 85 (
).
Тело
точке
при
) = 0,
;c4,04010,4010)()(
−=
ttxtv
(4) = –5
16 + 40
4 + 10 = –80 + 160 + 10 = 90 (
263.
коэффициент
которой
) = 1
)
) = –1.
1) = –1,5;
(1) = –1,5.
= –1,
= 1,
(–1; –1,5);
(2; –1,5).
264.
tg135° = –1.
,0,03,113,1
3)(
−===−=−−
xxxx
xxx
xxf
265.
0,013,1
3)(
<=−
xxx
xxf
корней
угловой
коэффициент
обращается
ноль
касательная
266.
5)(
xxf
)(
xf
принимает
значения
при
значит
угловые
коэффициенты
касательные
образуют
острый
угол
267.
0242,244,2)2(
22
222
=−=−=
xxxxxxx
1,0)1(,012
−===
xxxx
при
−=
это
означает
что
точка
= –1
общая
точка
графиков
этих
уравнения
графиков
этх
точках
абсциссой
равной
–1.
000
))((
yxxxfy
−
321222)1(2,1)1(,2)1(,42)(
====−=−
=
xx
xyf
fxxf
321)1(2,1)1(,2)1(,2)(
=−
−=
xy
gxxg
+ 3
+ 3.
общую
касательную
216
Первообразная
268.
cxx
xF
−=
3sin
cos4)(
xxx
xF
−=
−
33
43
)(
3343
cxxxF
−=
|1|ln32)(
cctg3x-tg2x)(
xF
269.
Найдем
4,22,
ln22,||ln2)(
=−===
cc
cxxF
4||ln2)(
=
xxF
,sin
)(
cx
xF
−=
1,1
22
12
−=
−=
−
−=
cc
1sin
)(
−−=
xF
2,
3,
)(
−=−=−−=
cc
xF
)(
−−=
xF
5,1,
1,0cos
1,2cos
)(
=−=−=−=
cc
cx
xF
5,12cos
)(
−=
xF
270.
)=2
–3,
cxxxf
−=
3)(
Найдем
(2) = 2,
откуда
= 4.
43)(
−=
xxxf
271.
) =
при
= 2
= 3.
Получаем
3 = 2
272.
ttttx
2sin
cossin)(
ct
tx
−=
2cos
)(
3 = –0,25cos
откуда
= 3;
32cos25,0)(
tx
273.
=π=π
)5,05,1sin(2)5,05,1cos(
dxx
20
22sin2
cos2)
5,1sin(2)
5,1sin(2
=−⋅=π−
−=
π−
π=
==−−=
−=
22
)(
dxxx
217
2cos
3sin
)2sin3(cos
xx
dxxx
=⋅−−=
−−
=−−−−−=
−−=−−
7525(
1210
35)65(
xxdxxx
393978
=−=−−
274.
=−=
ax
sin20sin2
sin2
sin2
1)
наибольшее
: 2
при
интеграл
2)
при
= –
+ 4
интеграл
–2.
=⋅−
)02sin)
(2(sin
2sin
2cos
2sin
)2sin(
−=π=
1)
наибольшее
= –
2)
1
=
275.
Пределы
интегрирования
xxx
−=−
7325,0
07325,0
=−−
xxx
082
=−−
xx
=–2,
=4;
218
−−
−=−
−−=
62
7)325,0()7(
xx
xx
xxx
dxx
10)64
1216
(214828
=−−−−=
−−
−=
42
33
xx
xx
xS
−−−=
88
=−
Пределы
интегрирования
1,3,034,143
===−=−
xx
xxxxx
−−
=−−=
23
)43()1(
xx
dxxxdxxS
464
91
=−=
−−−−−−=
интегрирования
3,0,0)3(2,062,4222
21
22
===−=−−=−
xx
xxxxxx
xx
219
−−
−=−−−=
33
22)22()42(
xx
xx
xxdxxxdxxxS
9615)699(9186
−−−=
= 9.
276.
−=−=
8)4(8
xdxxdx
343064)82168(3232
−−=
−=
−=
−=
)4(
dxxdxxS
30–12=18;
==−==
62
dxxS
934
=−
277.
Уравнение
.74)3(1,4)3(,1)3(
,2
−=−−==−=
xyy
xy
220
−=−−−=
)5,025,2()7(
dxxx
dxxS
−−−−−
−−
15,2
95,77
5,2
xx
1324
=−=
.).
278.
Уравнения
−=
−=
2222)1(2,2)1(,2)1(,42)(
xyy
yxxy
+ 4;
−−−−−−−=−−−
−=−−−−=
)4184(52
15189)4()4(
52
)42()42()54(
xxxx
xx
dxxdxxdxxxS
11
2)84129(
=−−=−−−
279.
систему
координат
параболы
проходит
через
точку
(0; 0),
уравнение
парабола
,
k
4
x
y
⋅=⋅=
23
338
84
aa
dxx
aS
−=
;
=⋅=
221
280.
=−
=−=
)4(
axx
SdxaxxS
2428
=−=
aa
поэтому
281.
xaxf
ππ⋅=
cos)(
.221
)sin(
bxx
dxbxa
⋅
−=

−=π
(2) = 2, 2 =
cos2
, 2 =
,4)(
dxxf
= 4,
= 2.
2
= 2.

Приложенные файлы

  • pdf 8820186
    Размер файла: 3 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий