МУ(задачник по геом.)(1)


8572510795
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Брянский государственный технический университет

УТВЕРЖДАЮ
Ректор университета
____________ О.Н. Федонин « » ____________ 2014 г.
геометрия и топология
Задачи к практическим занятиям для студентов I курса
очной формы обучения по направлению подготовки 010500 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем»
Брянск 2014
УДК 511
Геометрия и топология [Текст]+[Электронный вариант]: задачи к практическим занятиям для студентов I курса очной формы обучения по направлению подготовки 010500 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем». − Брянск: БГТУ, 2014. − 38с.
Разработали: В.М. Кобзев, ст. преп.                     
Н.В. Сычева, канд. пед. наук, доц.
Рекомендовано кафедрой Высшая математика БГТУ
(протокол №10 от 4.06.14)
1. Линейные операции над векторами
Рис. 1
ij
O
B
M
C
A
N
1.1. По сторонам ОА и ОВ прямоугольника ОАСВ отложены единичные векторы и(рис. 1). Выразить через ивекторы QUOTE ОА, ОА,СВ, ВО, ОС и ВА, если ОА=3 и ОВ=4.
1.2. Пусть на рис. 1 М – середина ВС и N – середина АС. Определить векторы QUOTE ОМ, ON и MN при ОА=3 и ОВ=4.

1.3. На трех компланарных векторах , и построен параллелепипед. Указать те вектор-диагонали, которые соответственно равны , , , и .
1.4. AD,ВЕ и CF- медианы треугольника АВС. Доказать равенство AD+BE+CF =0.
1.5. AK и BM-медианы треугольника АВС. Выразить через =AK и =BM векторы AB,  BC и CA.
Ответ: AB=23p-23q; BC=23p+43q; CA=-43p-23q.
1.6. В параллелограмме ABCDобозначены: AB=, AD=. Выразить через и векторы MA,MB, MC и MD , где М – точка пересечения диагоналей параллелограмма.
Ответ: MA=-12(a+b); MB=12(a-b); MC=-MA; MD=-MB.
1.7. В треугольнике АВСAM=αAB и CN=βCM. Полагая, AB=, AC=, выразить AN и BN через векторы и .
Ответ: AN=αβa+1-βb; BN=αβ-1a+1-βb.
1.8. ABCDEF – правильный шестиугольник, причем AB=, BC=. Выразить через и векторы CD,DE, EF, FA ,AC и AE.Ответ: CD=q-p; DE=-p; EF=-q; FA=p-q;AC=p+q; AE=2q-p.
1.9. М – точка пересечения медиан треугольника АВС, О – произвольная точка пространства. Доказать равенство OM=13(OA+OB+OC).
1.10. В пространстве заданы треугольники АВС и A'B'C'; M и M'–точки пересечения их медиан. Выразить вектор MM' через векторы AA', BB' и CC'.
Ответ: MM'=13(AA'+BB'+CC').
1.11. Точки Е и F – середины сторон ADи BC четырехугольника АВСD. Доказать, что EF=12(AB+DC ). Ввести отсюда теорему о средней линии трапеции.
1.12. В трапеции ABCD отношение длины основания AD к длине основания BC равно . Полагая AC=, BD=, выразить через и векторы AB, BC ,CD и DA.Ответ: AB=λa-b1+λ; BC =a+b1+λ;CD=λb-a1+λ; DA=-λ1+λ(a+b).
1.13. В равнобедренной трапеции ОАСВ угол ВОА=60˚, ОВ=ВС=СА=2, М и N – середины сторон ВС и АС. Выразить векторы QUOTE АС, ОМ, ОN и MNи – единичные векторы направлений и QUOTE ОВ
Ответ: , , , .
1.14. На стороне [AD] параллелограмма АВСD отложен вектор AKдлины |AK|=1/5|AD|, а на диагонали [AC] – вектор ALдлины |AL|=1/6|AC|. Доказать, что векторы KL и LBколлинеарны и найти такое, что KL=LB.
Ответ: =5.
1.15. Разложить вектор по трем некомпланарным векторам: , , .
Ответ: s=25p+35q+35r.
1.16. Найти линейную зависимость между данными четырьмя некомпланарными векторами: , , , .
Ответ: 3p-4q-3r-2s=0.
1.17. Даны четыре вектора . Вычислить их сумму, если известно, что , и векторы некомпланарны.
Ответ: 0.
1.18. Даны три некомпланарных вектора . Доказать, что векторы , , компланарны.
1.19. Даны три некомпланарных вектора . Вычислить значения , при которых векторы , , компланарны.
Ответ: 1,-2.
1.20. Даны три некомпланарных вектора . Вычислить значения и µ, при которых векторы иколлинеарны.
Ответ: =µ=1.
2. Прямоугольные координаты точки и вектора. Базис
2.1. Построить вектор =ОМ=2+3+6 и определить его длину и направление (проверить по формуле cos2α+cos2β+cos2γ=1).
Ответ:
2.2. Даны точки А(1;2;3) и В(3;-4;6). Построить вектор АВ =, его проекции на оси координат и определить длину и направление вектора. Построить углы вектора с осями координат.
Ответ:
2.3. На плоскости хОу даны точки А(4;2); В(2;3) и С(0;5) и построены векторы , и . Разложить геометрически и аналитически вектор по векторам .
Ответ: .
2.4.Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;-2;3); В(3;2;1); С(6;4;4). Найти координаты его четвертой вершины D.
Ответ: D (4;0;6).
2.5. Даны три вершины А(3;-4;7); В(-5;3;-2) и С(1;2;-3) параллелограмма ABCD. Найти его четвертую вершину D, противоположную В.
Ответ: D(9;-5;6).
2.6. Даны две смежные вершины параллелограмма А(-2;6); В(2;8) и точка пересечения его диагоналей М(2;2). Найти две другие вершины.
Ответ: С(6;-2); D(2;-4).
2.7. Определить координаты вершин треугольника, если известны середины его сторон: К(2;-4); М(6;1); N(-2;3).
Ответ: А(-6;-2); В(2;8); С(10;-6).
2.8. На оси абсцисс найти точку М, расстояние от которой до точки А(3;-3) равно 5.
Ответ: М1(7;0) и М2(-1;0).
2.9. На оси ординат найти точку М, равноудаленную от точек А(1;-4;7) и В(5;6;-5).
Ответ: М(0;1;0).
2.10. Даны вершины треугольника А(3;-1;5); В(4;2;-5) и С(-4;0;3). Найти длину медианы, проведенной из вершины А.
Ответ: 7.
2.11. Отрезок с концами в точках А(3;-2) и В(6;4) разделен на три равные части. Найти координаты точек деления.
Ответ: (4;0) и (5;2).
2.12. Определить координаты концов отрезка, который точками С(2;0;2) и D(5;-2;0) разделен на три равные части.
Ответ: (-1;2;4) и (8;-4;-2).
2.13. Треугольник задан координатами своих вершин А(3;-2;1); В(3;1;5); С(4;0;3). Вычислить расстояние от начала координат до точки пересечения медиан этого треугольника.
Ответ: 182/3.
2.14. Задан тетраэдр OABC. В базисе из ребер OA, OB и OC, найти координаты:
а) вектора DE, где D и Е – середины ребер OA и BC;
б) вектора OF, где F – точка пересечения медиан основания АВС.
Ответ: а) (-1/2;1/2;1/2); б) (1/3;1/3;1/3).
2.15. В тетраэдре ОАВС медиана AL грани АВС делится точкой М в отношении . Найти координаты вектора OM в базисе из ребер OA, OB и OC.
Ответ: (7/10;3/20;3/20).
2.16. Вне плоскости параллелограмма ABCD взята точка О. В базисе из векторов OA, OB и OC найти координаты:
а) вектора OM, где М – точка пересечения диагоналей параллелограмма;
б) вектора OK, где К – середина стороны AD.
Ответ: а) (1/2;0;1/2); б) (1;-1/2;1/2).
2.17. В трапеции ABCD известно отношение длин оснований: |AB|/|CD|=. Найти координаты вектора QUOTE CD в базисе из векторов AB и AD.
Ответ: (1;-1/;-1).
2.18. На плоскости заданы векторы (-1;2), (2;1) и (0;-2). Убедиться, что β=(,) – базис в множестве всех векторов на плоскости. Построить заданные векторы и найти разложение вектора по базису β.Ответ: =-45e1-25e2.
2.19. Показать, что тройка векторов (1;0;0), (1;1;0) и (1;1;1) образует базис в множестве всех векторов пространства. Вычислить координаты вектора в базисе β=(,) и написать соответствующее разложение по базису.
Ответ: =-2е1+е2-е3.
2.20. Заданы векторы, , . Найти:
а) координаты орта ;
б) координаты вектора ;
в) разложение вектора по базису β=();г) .
Ответ: а) а0(2/13;3/13;0); б) а-12b+c=d(3;11/2;0); в) a+b-2c=-2j; г) прj(a-b)=6.
2.21. Найти координаты орта , если (6;7;-6).
Ответ: (6/11;7/11;-6/11).
2.22. Найти Z(), если Х()=3, Y()=-9 и ||=12.
Ответ: ±36.
2.23. Найти длину и направляющие косинусы вектора , если , ,.
Ответ: |p|=154, cosα=9/154, cosβ=8/154, cosγ=3/154.
2.24.Даны векторы ={3;-2;1}, ={-2;4;-3}. Найти длину и направление вектора .
Ответ: .
2.25. Найти вектор , коллинеарный вектору , образующий с ортом острый угол и имеющий длину ||=15.
Ответ: х=-5i+10j+10k.
2.26. Найти вектор , образующий со всеми тремя базисными ортами равные острые углы, если ||=23.
Ответ: х=2i+2j+2k.
2.27. Найти вектор , образующий с ортом угол 60о, с ортом – угол 120о, если ||=52.
Ответ: х=±5i+52j-52k.
2.28. При каких значениях α и β векторы и коллинеарны?
Ответ: α=-1, β=4.3. Скалярное произведение векторов
3.1. Определить углы ∆АВС с вершинами А(2;-1;3); В(1;1;1) и С(0;0;5).
Ответ: В=С=45˚.
3.2. Даны векторы: =++2, и =-+4. Определить и .
Ответ: .
3.3. Даны компланарные векторы,,, причем ||=3, ||=2, ||=5, (a,b)=60˚ и (b,c)=60˚. Построить вектор и вычислить его модуль по формуле и= QUOTE (a+b-c)2.
Ответ: 7.
3.4. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах: и , где и – единичные векторы, угол между которыми 60˚.
Ответ: .
3.5. Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах , , если известно, что ||=22,| |=3 и p,q=π/4.
Ответ: 15, 593.
3.6. Дан вектор , где и – единичные векторы с углом 120˚ между ними. Найти cos(a,m) и cos(a,n).
Ответ: cos(a,m)cos(a,n).
3.7. Найти угол между векторами: и , где и – единичные векторы, образующие угол 120˚.
Ответ: 120˚.
3.8. Определить угол между векторами и , если известно, что и ||=1, ||=2.
Ответ: 2π/3.
3.9. Найти косинус угла φ между диагоналями (АС) и (ВD) параллелограмма, если заданы три его вершины А(2;1;3), В(5;2;-1) и С(-3;3;-3).
Ответ: QUOTE 15785.
3.10. Даны точки А(2;2) и В(5;-2). На оси абсцисс найти такую точку М, чтобы АМВ=π/2.
Ответ: М1(1;0) и М2(6;0).
3.11. Даны векторы (1;1) и (1;-1). Найти косинус угла между векторами и , удовлетворяющими системе уравнений , .
Ответ: -4/5.
3.12. ||=3, ||=5. Определить, при каком значении α векторы и будут перпендикулярны.
Ответ: α=±3/5.3.13. Даны векторы: . При каких значениях n угол между векторами тупой, прямой, острый?
Ответ: n<; n=; n>.
3.14. В треугольнике АВСAB=, BC=. Вычислить длину его высоты CH, если известно, что и – взаимно перпендикулярные орты.
Ответ: 19/5.
3.15. Вычислить пр, если | |=||=1 и a,b=120o.
Ответ: 1/2.
3.16. Зная, что ||=3, ||=1, ||=4 и =0, вычислить .
Ответ: -13.
3.17. Векторы имеют равные длины и образуют попарно равные углы. Найти координаты вектора , если , .
3.18. Найти координаты вектора , коллинеарного вектору (2;1;-1) и удовлетворяющего условию =3.
Ответ: (1;1/2;-1/2).
3.19. Вектор перпендикулярен векторам (2;3;-1) и (1;-2;3) и удовлетворяет условию =-6. Найти координаты .
Ответ: (-3;3;3).
3.20. Квадрат разделен на три полосы одинаковой ширины и затем свернут в правильную треугольную призму. Найти угол между двумя смежными звеньями ломаной, образованной при этом диагональю квадрата.
Ответ:
3.21. Вычислить работу силы при перемещении материальной точки из положения А(-1;2;0) в положение В(2;1;3).
Ответ: 4.
3.22. Вычислить работу силы ={3;2;4}, если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения А(2;4;6) в положение В(4;2;7).
Ответ: А=6.
3.23. На материальную точку действуют силы 1=, 2=, 3=. Найти работы равнодействующей этих сил и силы 2 при перемещении точки из А(2;-1;0) в В(4;1;-1).
Ответ:1; -6.
4.Векторное произведение векторов
4.1. ||=1, ||=2 и a1,a2=2π/3. Вычислить:
а) |[,]|; б) |[2+, +2]|; в) |[+3, 3-]|.
Ответ: а) 3; б) 33; в)103.
4.2. Раскрыть скобки и упростить выражения:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Ответ: 1) 2) ; 3) ; 4) 3.
4.3.Доказать, что , и выяснить геометрическое значение этого тождества.
Ответ: Площадь параллелограмма, построенного на диагоналях данного параллелограмма, вдвое больше площади данного параллелограмма.
4.4. Векторы и составляют угол 45˚. Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если ||=||=5.
Ответ: 50
4.5.Дан треугольник с вершинами А(2;-1;2); В(1;2;-1); С(3;2;1). Найти его площадь.
Ответ: .
4.6. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(1;1;1), В(2;3;4) и С(4;3;2).
Ответ: 26.
4.7. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(7;3;4); В(1;0;6) и С(4;5;-2).
Ответ: 24,5.
4.8. В треугольнике с вершинами А(1;-1;2), В(5;-6;2) и С(1;3;-1) найти высоту h=|BD|.
Ответ: 5.
4.9.Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах - единичные векторы с углом между ними 30.
Ответ: 1,5.
4.10. Вычислить площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы 2- и 4-5, где и – единичные векторы (e1,e2)=π/4.
Ответ: 322.
4.11. Определить, при каких значениях α и β вектор будет коллинеарен вектору[,], если (3;-1;1), (1;2;0).
Ответ: α=-6; β=21.4.12. Найти координаты вектора , если известно, что он перпендикулярен векторам (4;-2;-3) и (0;1;3) образует с ортом тупой угол и ||=26.
Ответ: (-6;-24;8).
4.13. Найти координаты вектора , если он перпендикулярен векторам (2;-3;1) и (1;-2;3), а также удовлетворяет условию =10.
Ответ: (7;5;1).
4.14. Сила приложена к точкеА(4;-2;3). Определить момент этой силы относительно точки О(3;2;-1).
Ответ: .
4.15.Сила = приложена в точке М(2;-1;1). Найти ее момент относительно начала координат.
Ответ: .
4.16. Даны три силы: (2;-1;-3), (3;2;-1) и (-4;1;3), приложенные к точкеА(-1;4;2). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки О(2;3;-1).
Ответ: 66; cosα=1/66; cosβ=-4/66; cosγ=-7/66.
5. Смешанное произведение векторов
5.1. Векторы , , образуют правую тройку, взаимно перпендикулярны и ||=4, ||=2, ||=3. Вычислить .
Ответ: 24.
5.2. Векторы образуют левую тройку, ||=1, ||=2, ||=3 и a,b=30°; ⊥, ⊥. Найти .
Ответ: -3/2.
5.3. Заданы векторы (1;-1;3), (-2;2;1), (3;-2;5). Вычислить . Какова ориентация троек: а) (,,), б) (,,), в) (,,)?
Ответ: -7. а) левая; б) правая; в) правая.
5.4. Установить, образуют ли векторы , и базис в множестве всех векторов, если:
а) (2;3;-1), (1;-1;3), (1;9;-11); б) (3;-2;1), (2;1;2),(3;-1;-2).
Ответ: а) нет; б) да.
5.5. Проверить, компланарны ли данные векторы:
а) , , ;
б) , , .
Ответ: а) да; б) нет.
5.6.Доказать, что векторы  компланарны.Ответ:
5.7. Проверить компланарность векторов .
Ответ: компланарны.
5.8. При каком векторы будут компланарны?
а) (;3;1), (5;-1;2), (-1;5;4); б) (1;2;1), (1;;0), (0;;1).
Ответ: а) -3; б) при любом .
5.9. Доказать, что четыре точки А(1,2,-1), В(0;1;5), С(-1;2;1) и D(2;1;3) лежат в одной плоскости.
5.10. Проверить, лежат ли точки А(2;-1;-2); В(1;2;1); С(2;3;0); D(5;0;6) в одной плоскости.
Ответ: не лежат.
5.11. Построить параллелепипед на векторах , , и вычислить его объем. Правой или левой будет связка векторов ?
Ответ: V=51, левая.
5.12. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах .
Ответ: 51.
5.13. Построить пирамиду с вершинами О(0;0;0), А(5;2;0), В(2;5;0) и С(1;2;4) и вычислить ее объем, площадь грани АВС и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.
Ответ: V=14,
5.14. Вычислить объем тетраэдра ОАВС, если; ; .Ответ: 17/2.
5.15. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А(2;-3;5); В(0;2;1), С(-2;-2;3) и D(3;2;4).
Ответ: 6.
5.16. В тетраэдре с вершинами в точках А(1;1;1), В(2;0;2), С(2;2;2) и D(3;4;-3) вычислить высоту h=|DE|.
Ответ: 32.
5.17. Задана пирамида с координатами своих вершин: А(2;0;0); В(0;3;0); С(0;0;6) и D(2;3;8). Вычислить ее объем и высоту, опущенную на грань АВС.
Ответ: 14; .
6. Прямая на плоскости
В задачах 6.1-6.3 требуется:
написать уравнение прямой, привести его к общему виду и построить прямую;
привести общее уравнение к нормальному виду и указать расстояние от начала координат до прямой.
6.1. Прямая L задана точкой М0(х0, у0)L и нормальным вектором (A,B):
а) М0(-1;2), (2;2); б) М0(2;1), (2;0); в) М0(1;1), (2;-1).
Ответ: а) 2(х+1)+2(у-2)=0. Общее уравнение: х+у-1=0. Нормальное уравнение: 12x+12y-12=0; p=12; б) 2(х-2)=0. Общее уравнение: х-2=0, прямая параллельна оси Оу. Нормальное уравнение: х-2=0; р=2; в) 2(х-1)-(у-1)=0. Общее уравнение: 2х-у-1=0. Нормальное уравнение: 25x-15y-15=0; p=15.
6.2. Прямая L задана точкой М0(х0, у0)L и направляющим вектором (l,m):
а) М0(-1;2), (3;-1); б) М0(1;1), (0;-1); в) М0(-1;1), (2;0).
Ответ: а) x+13=y-2-1. Общее уравнение: х+3у-5=0. Нормальное уравнение: 110x-310y-510=0; p=510. б) x-10=y-1-1. Общее уравнение: -х+1=0, прямая параллельна оси Оу. Нормальное уравнение: х-1=0; р=1; в) x+12=y-10. Общее уравнение: у-1=0, прямая параллельна оси Ох. Нормальное уравнение: у-1=0; р=1.
6.3. Прямая L задана точками М1(х1,у1) и М2(х2, у2):
а) М1(1;2), М2(-1;0); б) М1(1;1), М2(1;-2); в) М1(2;2), М2(0;2).
Ответ: а) x-1-2=y-2-2. Общее уравнение: х-у+1=0. Нормальное уравнение: -12x+12y-12=0; p=12. б) x-10=y-1-3. Общее уравнение: х-1=0, прямая параллельна оси Оу. Нормальное уравнение х-1=0; р=1. в) x-2-2=y-20. Общее уравнение: у-2=0, прямая параллельна оси Ох. Нормальное уравнение: у-2=0; р=2.
6.4. Построить прямую, отсекающую на оси Оу отрезок b=3 и составляющую с осью Ох угол: 1) 45˚; 2) 135˚. Написать уравнения этих прямых.
Ответ: 1) 2) .
6.5. Определить параметры kи bдля каждой из прямых: 1) 2х-3у=6; 2) 2х+3у=0; 3) у=-3; 4) x4+y3=1.
Ответ: 1) 2) 3) 4)
6.6. Уравнения прямых: 1) 2х-3у=6; 2) 3х-4у+4=0 привести к виду в отрезках на осях.
Ответ: 1) 2)
6.7. Заданы прямая L и точка М. Требуется:
1) вычислить расстояние ρ(M,L) от точки М до прямой L;
2) написать уравнение прямой L', проходящей через точку М перпендикулярно заданной прямой L;
3) написать уравнение прямой L", проходящей через точку М параллельно заданной прямой L.
Исходные данные:
а) L: -2x+y-1=0, M(-1;2); б) L: 2y+1=0, M(1;0); в) L: х+y+1=0, M(0;-1).
Ответ: а) (М,L)=35, L': x+1-2=y-21, L": -2(x+1)+(y-2)=0;
б) (М,L)=12, L': x-10=y2, L": 2y=0;
в) (М,L)=0, L': x1=y+11, L": x+y+1=0.
6.8. Найти расстояния от точек А(4;3), В(2;1) и С(1;0) до прямой 3х+4у-10=0. Построить точки и прямую.
Ответ: 2,8; 0; 1,4.
В задачах 6.9-6.13 исследовать взаимное расположение заданных прямых L1и L2. При этом в случае, если прямые параллельны, то найти расстояние (L1,L2) между прямыми, а в случае, если прямые пересекаются – косинус угла (L1,L2) и точку М0 пересечения прямых.
6.9. L1: -2x+y-1=0, L2: 2y+1=0.
Ответ: пересекаются в точке М0(-3/4;-1/2); cos(L1,L2)=1/5.
6.10.L1:x-1-2=y1;  L2:x+21=y0.  Ответ: пересекаются в точке М0(1;0); cos(L1,L2)=2/5.
6.11. L1: x+y-1=0,L2: 2х-2y+1=0.
Ответ: Параллельны; (L1,L2)=2/4.
6.12. L1: x+y-1=0,L2:x2=y+1-2. Ответ: Параллельны; (L1,L2)=2.
6.13. L1: -x+2y+1=0,L2: 2х-4y-2=0.
Ответ: совпадают.
6.14. Среди прямых 3х-2у+7=0, 6х-4у-9=0, 6х+4у-5=0, 2х+3у-6=0 указать параллельные и перпендикулярные.
6.15. Определить угол между прямыми:
1) у=2х-3, у= QUOTE 14x+1; 2) 5х-у+7=0, 2х-3у+1=0.
Ответ: 1) 2) 45˚.
6.16. Показать, что прямые 2х-3у=6 и 4х-6у=25 параллельны, и найти расстояние между ними.
Указание. На одной из прямых взять произвольную точку и найти расстояние от нее до другой прямой.
Ответ: .
6.17. Построить области, координаты точек которых удовлетворяют неравенствам:
1) y<2-x, x>-2, y>-2;
2)y>2-x, x<4, y<0;
3) x4+y2≤1, y≥x+2, x≥-4.
6.18. Написать уравнения сторон ромба с диагоналями 10см и 6см, приняв бόльшую диагональ за ось Ох и меньшую – за ось Оу.
Ответ:
6.19. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(4;3) и отсекающей от координатного угла треугольник площадью, равной 3.
Ответ: или .
6.20. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку М(8;6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12.
Ответ: 3х-2у-12=0, 3х-8у+24=0.
6.21. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М0(2;4) и отстоящей от точки А(0;3) на расстояние =1.
Ответ: х+1=0, у-2=0.
6.22Найти уравнения прямых, параллельных прямой 12х+5у-7=0 и отстоящих от нее на расстоянии d=3.
Ответ: 12х+5у-46=0, 12х+5у+32=0.
6.23. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М0(1;2) и удаленной от точки А(-2;-5) вдвое дальше, чем от точки В(1;8).
Ответ: 13х+у-11=0, 15х-у-13=0.
6.24. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М0(-2;3) на одинаковых расстояниях от точек М1(5;-1) и М2(3;7).
Ответ: 4х+у+5=0 или у-3=0.
6.25. Написать уравнение прямой, проходящей на расстоянии 10 от точки А(5;4) перпендикулярно прямой 2х+6у-3=0.
Ответ: 3х-у-1=0, 3х-у-21=0.
6.26. Найти точку В, симметричную точке А(-2;4) относительно прямой 3х+у-8=0.
Ответ: (4;6).
6.27. В треугольнике с вершинами А(-2;0), В(2;6) и С(4;2) проведены высота ВD и медиана ВЕ. Написать уравнения стороны АС, медианы ВЕ и высоты ВD.
Ответ:
6.28. Дан треугольник с вершинами А(-2;0), В(2;4) и С(4;0). Написать уравнения сторон треугольника, медианы АЕ, высоты АD и найти длину медианы АЕ.
Ответ: АЕ: AD:
6.29. Найти длину высоты BD в треугольнике с вершинами А(-3;0), В(2;5) и С(3;2).
Ответ:
6.30. Написать уравнения сторон треугольника АВС, если задана его вершина А(1;3) и уравнения двух медиан x-2y+1=0 и y-1=0.
Ответ: х+2у-7=0, х-4у-1=0, х-у+2=0.
6.31. Написать уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину В(2;6), а также уравнения высоты x-7y+15=0 и биссектрисы 7x+y+5=0, проведенных из одной вершины.
Ответ: 4х-3у+10=0, 7х+у-20=0, 3х+4у-5=0.
6.32. Даны две противоположные вершины квадрата А(1;3) и С(-1;1). Найти координаты двух его других вершин и написать уравнения его сторон.
Ответ: В(1;1); D(-1;3); (АВ): х-1=0; (ВС): у-1=0; (CD): х+1=0;
(АD): у-3=0.
6.33. Известны уравнение одной из сторон квадрата x+3y-3=0 и точка пересечения диагоналей N(-2;0). Написать уравнения остальных его сторон.
Ответ: 3х-у+1=0, х+3у+7=0, 3х-у+11=0.
6.34. Из точки М(5;4) выходит луч света под углом φ=arctg2 к оси Ох и отражается от нее. Написать уравнения падающего и отраженного лучей.
Ответ: у-2х+6=0, у+2х-6=0.
7. Плоскость и прямая в пространстве
7.1. Построить плоскости: 1) 5х-2у+3z-10=0; 2) 3х+2у-z=0; 3) 3х+2z=6; 4) 2z-7=0.
7.2. Заданы плоскость Р и точка М. Написать уравнение плоскости P', проходящей через точку М параллельно плоскости Р, и вычислить расстояние (P,P'), если:
а) Р: -2х+у-z+1=0, М(1;1;1);
б) Р: х-у-1=0, М(1;1;2).
Ответ: а) 2х-у+z-2=0; 1/6; б) х-у=0, плоскость параллельна оси Оz и проходит через начало координат; 1/2.
7.3. Найти плоскость, проходящую через точку (2;2;-2) и параллельную плоскости х-2у-3z=0.
Ответ: х-2у-3z=4.
7.4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0(-2;7;3) параллельно плоскости х-4у+5z+1=0.
Ответ: х-4у+5z+15=0.
7.5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0(2;3;-4) параллельно плоскости YOZ.
Ответ: х-2=0.
7.6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0(-2;1;4) параллельно плоскости 3х+2у-7z+8=0.
Ответ: 3х+2у-7z+32=0.
7.7. Написать уравнение плоскости P', проходящей через заданные точки М1 и М2 перпендикулярно заданной плоскости Р, если:
а) Р: -х+у-1=0, М1(1;2;0), М2(2;1;1);
б) Р: 2х-у+z+1=0, М1(0;1;1), М2(2;0;1).
Ответ: а) х+у-3=0; б) х+2у-2=0.
7.8. Даны точки М1(0;-1;3) и М2(1;3;5). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М1 и перпендикулярной к вектору =M1M2.
Ответ: х+4у-2z=2.
7.9. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(-1;2;3) перпендикулярно вектору .
Ответ: х-2у-3z+14=0.
7.10. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (-1;-1;2) и перпендикулярной к плоскостям х-2у+z-4=0 и x+2у-2z+4=0.
Ответ: 2х+3у+4z=3.
7.11. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1(2;3;-1), М2(1;5;3) перпендикулярно плоскости 3х-у+3z+15=0.
Ответ: 2х+3у-z-14=0.
7.12. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(1;1;-1) и перпендикулярной к плоскостям 2х-у+5z+3=0 и х+3у-z-7=0
Ответ: 2х-у-z-2=0.
7.13. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (0;0;а) и перпендикулярной к плоскостям х-у-z=0 и 2у=х.
Ответ: 2х+у+z=а.
7.14. Даны точки М1(0;-1;3), М2(1;3;5). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М1 перпендикулярно вектору .
Ответ: х+4у+2z-2=0.
7.15. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки (0;-5;0) и (0;0;2) перпендикулярно плоскости х+5у+2z-10=0.
Ответ: 2у-5z+10=0.
7.16. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0(-2;3;6) перпендикулярно плоскостям 2х+3у-2z-4=0, 3х+5у+z=0.
Ответ: 13х-8у+z+44=0.
7.17. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М параллельно векторам и , если:
а) М(1;1;1), (0;1;2), (-1;0;1);
б) М(0;1;2), (2;0;1), (1;1;0).
Ответ: а) х-2у-z=0; б) -х+у+2z-5=0.
7.18. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0(2;-3;1) параллельно векторам .
Ответ: х+у-z+2=0.
7.19. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1 и М2, параллельно вектору , если:
а) М1(1;2;0), М2(2;1;1), (3;0;1);
б) М1(1;1;1), М2(2;3;-1), (0;-1;2).
Ответ: а) –х+2у-3z-3=0; б) 2х-2у-z+1=0.
7.20. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки М1, М2 и М3, если:
а) М1(1;2;0), М2(2;1;1), М3(3;0;1);
б) М1(1;1;1), М2(0;-1;2), М3(2;3;-1).
Ответ: а) х+у-3=0; б) 2х-у-1=0.
7.21. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1(1;-1;2), М2(2;1;2) и М3(1;1;4).
Ответ: 2х-у+z=5.
7.22. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1(3;-1;2), М2(4;-1;-1), М3(2;0;2) .
Ответ: 3х+3у+z-8=0.
7.23. Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки М1(1;-1;0), М2(2;1;-3), М3(-1;0;1) .
Ответ: х+у+z=0.
В задачах 7.24-7.27. исследовать взаимное расположение заданных плоскостей. При этом в случае, если плоскости параллельны, то найти расстояние (P1,P2) между плоскостями, а в случае, если плоскости пересекаются – косинус угла между ними.
7.24.Р1: -х+2у-z+1=0, Р2: у+3z-1=0.
Ответ: Пересекаются, cosP1,P2=1215.
7.25.Р1: 2х-у+z-1=0, Р2: -4х+2у-2z-1=0.
Ответ: параллельны, (Р1,Р2)=326.
7.26.Р1: х-у+1=0, Р2: у-z+1=0.
Ответ: Пересекаются, cosP1,P2=12.
7.27.Р1: 2х-у-z+1=0, Р2: -4х+2у+2z-2=0.
Ответ: Совпадают.
7.28. Найти расстояние от точки (5;1;-1) до плоскости x-2у-2z+4=0.
Ответ: 3.
7.29. Найти расстояние от точки (4;3;0) до плоскости, проходящей через точки М1(1;3;0), М2(4;-1;2) и М3(3;0;1).
Ответ:
7.30. Найти расстояние от точки М1(2;-1;-1) до плоскости 16х-12у+15z-4=0.
Ответ:1.
7.31. Найти расстояние от точки М0(1;3;-2) до плоскости 2х-3у-4z+12=0.
Ответ: .
7.32. Найти угол между плоскостями:
1) х-2у+2z-8=0 и x+z-6=0; 2) х+2z-6=0 и x+2y-4=0.
Ответ: 1) 45˚; 2) .
7.33. Найти угол между плоскостями х+у-1=0 и 2х-у+z+1=0.
Ответ: .
7.34. Найти угол между плоскостями х+2у-3z+4=0, 2х+3у+z+8=0.
Ответ: .
7.35. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0(1;7;-5) и отсекающей от осей координат положительные и равные отрезки.
Ответ: x+y+z-3=0.
7.36. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М1(-4;0;4) и отсекающей на осях Ох и Оу отрезки а=4 и b=3.
Ответ: .
7.37. Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью Р: 2х-3у+6z-12=0 и координатными плоскостями.
Ответ: 8.
7.38. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М0(2;0;-3) параллельно:
а) вектору (2;-3;5);
б) прямой x-15=y+22=z+1-1;
в) оси Ох;
г) оси Оz;
д) прямой 3x-y+2z-7=0,x+3y-2z-3=0;е) прямой х=-2+t, y=2t, z=1-1/2t.
Ответ: а) x-22=y-3=z+35; б) QUOTE x-25=y-3=z+35; в) x-21=y0=z+30;
г) x-20=y0=z+31; д) x-2-4=y8=z+310; е) x-21=y2=z+3-1/2.
7.39. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(4;3;0) и параллельной вектору {-1;1;1}. Найти след прямой на плоскости уОz и построить прямую.
Ответ: .
7.40. Написать уравнения прямой, проходящей через точку А(0;-4;0) и параллельной вектору {1;2;3}, найти след прямой на плоскости хОzи построить прямую.
Ответ: .
7.41. Написать уравнения прямой, проходящей через точку М0(2;-3;-4) параллельно прямой: .
Ответ: .
7.42.Написать уравнения прямой, проходящей через точку (-4;3;0) параллельно прямой .
Ответ: .
7.43. Написать уравнения прямой, проходящей через две заданные точки М1 и М2, если:
а) М1(1;-2;1), М2(3;1;-1);
б) М1(3;-1;0), М2(1;0;-3).
Ответ: а) x-12=y+23=z-1-2; б) x-3-2=y+11=z-3.
7.44. Построить прямую, проходящую через точки А(2;-1;3) и В(2;3;3), и написать ее уравнения.
Ответ: х=2, z=3.
7.45. Написать уравнения прямой, проходящей через точки А(-1;2;3) и В(2;6;-2). Найти ее направляющие косинусы.
Ответ:
.
7.46. Написать канонические уравнения прямой, образующей с осями координат углы и проходящей через точку М0(-1;0;5).
Ответ: .
7.47. Найти угол между прямыми: x-y+z-4=0, 2x+y-2z+5=0 и x+y+z-4=0, 2x+3y-z-6=0.
Ответ:
7.48. Найти угол между прямыми 2x-y-7=0, 2x-z+5=0 и 3x-2y+8=0, z=3х.
Ответ: Приведем уравнения к канонической форме: и ;
7.49. Найти угол между прямыми:
и .
Ответ: /3.
7.50. Найти угол между прямыми и .
Ответ: .
7.51. Доказать, что прямые и параллельны.
7.52. Написать канонические уравнения перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость 4х-у+2z-3=0.
Ответ: .
7.53.Написать уравнения прямой, проходящей через точку М0(2;1;-1) перпендикулярно плоскости х-у+z+1=0.
Ответ: .
7.54. Определить, при каком значении плоскость 5х-3у+z+1=0 будет параллельна прямойx-4z-1=0,y-3z+2=0.Ответ: -11.
7.55. Показать, что прямая x+12=y+1-1=z-33 параллельна плоскости 2x+y-z=0, а прямая x+12=y+1-1=z+33 лежит в этой плоскости.
Ответ: Для обеих прямых но точка первой (-1;-1;3) не лежит на плоскости, а точка второй (-1;-1;-3) лежит на плоскости.
7.56.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0(2;2;-2) перпендикулярно линии пересечения плоскостей 3х-2у-z+1=0 и х-у-z=0.
Ответ: х+2у-z-8=0.
7.57. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось ОZ и точку М0(1;-2;1).
Ответ: 2х+у=0.
7.58. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М0(1;-2;3) и прямую: .
Ответ: 7х+5у-9z+30=0.
7.59. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку (3;4;0).
Ответ: х-2у+z+5=0.
7.60. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости 3х+3у-z+1=0.
Ответ: 6х-5у+3z-11=0.
7.61. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости 2х+3у-z=4.
Ответ: 8х-5у+z-11=0.
7.62. Написать уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые x-32=y1=z-12 и x+12=y-11=z2.
Ответ: x+2y-2z=1.
7.63. Написать уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые x-11=y+1-2=z-23 и x1=y+1-2=z-13.
Ответ: х-у-z=0.
7.64. Написать уравнение плоскости, проходящей через пару параллельных прямых и .
Ответ: 3х-2у-3=0.
7.65. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямые и .
Ответ: х+2у-2z=1.
7.66. Найти точку пересечения с плоскостью 2х+3у-2z+2=0.
Ответ: (3;2;7).
7.67. Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскости х-3у+2z+1=0 с прямыми
x-55=y+1-2=z-3-1 и x-34=y+1-6=z-52.
Ответ: x+17=y-2-1=z-3-5.
7.68. Найти уравнения проекции прямой x-43=y+1-2=z4 на плоскость х-3у-z+8=0.
Ответ: x-154=y-1=z-237.
7.69. Найти проекцию точки (3;1;-1) на плоскость x+2y+3z-30=0.
Ответ: (5;5;5).
7.70. Найти проекцию точки (3;1;-1) на плоскость 3x+y+z-20=0.
Ответ: (6;2;0).
7.71. Найти проекцию точки (2;3;4) на прямую x=y=z.
Ответ: (3;3;3).
7.72. Найти проекцию точки (1;2;8) на прямую x-12=y-1=z.
Ответ: (3;-1;1).
7.73. Найти угол прямой y=3x-1,2z=-3х+2 с плоскостью 2x+y+z-4=0.
Ответ: .
7.74. Найти угол между прямой и плоскостью 6х-3у+2z=0.
Ответ: .
7.75. Заданы прямая L: x-12=y1=z+10 и точка М(0;1;2)L. Требуется:
а) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую L и точку М;
б) написать уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно прямой L;
в) написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую L;
г) вычислить расстояние (M,L);
д) найти проекцию точки М на прямой L.
Ответ: а) х-2у+z=0; б) 2х+у-1=0; в) x-2y+z=0,2x+y-1=0, или x-1=y-12= =z-25; г) 18/30; д) M'(3/5;-1/5;-1).
7.76. Найти расстояние между параллельными прямыми
x-23=y+14=z2 и x-73=y-14=z-32.
Ответ: 3.
7.77. Найти расстояние от точки А(2;3;-1) до заданной прямой L:
а) 2x-2y+z+3=0,3x-2y+2z+17=0; б) x=3t+5,   y=2t,            z=-2t-25.Ответ: а) 6/5; б) 21.
7.78. Найти расстояние от точки М(2;-1;3) до прямой x+13=y+24=z-15.
Ответ: .
7.79. Найти расстояние от точки М(3;0;4) до прямой y=2x+1,z=2х.
Ответ: А(0;1;0), .
7.80. Найти расстояние между прямыми и .
Ответ: .
8. Кривые второго порядка
8.1. Написать уравнение окружности с центром С(-4;3), радиусом R=5 и построить ее. Лежат ли на этой окружности точки А(-1;-1), В(3;2), О(0;0)?
Ответ: А иО – на окружности, В – вне ее.
8.2. Построить окружности: 1) х2+у2-4х+6у-3=0; 2) х2+у2-8х=0; 3) х2+у2+4у=0.
8.3. Построить эллипс х2+4у2=16, найти его фокусы и эксцентриситет.
Ответ:
8.4. Построить эллипс 9х2+25у2=225. Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнение директрис.
Ответ: а) а=5, b=3; б) F1(-4;0), F2(4;0); в) е=4/5; г) D1: х=-25/4; D2: х=25/4.
8.5. Написать каноническое уравнение эллипса, если: а) а=3, b=2; б) а=5, с=4; в) с=3, е=3/5; г) b=5, е=12/13; д) с=2 и расстояние между директрисами равно 5; е) е=1/2 и расстояние между директрисами равно 32.
Ответ: а) x29+y24=1; б) x225+y29=1; в) x225+y216=1; г) x2169+y225=1; д) x25+y21=1; е) x264+y248=1.
8.6. Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что: 1) расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось b=3;2) большая полуось а=6, а эксцентриситет е=0,5.
Ответ: 1) 2)
8.7. Земля движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Наименьшее расстояние от Земли до Солнца равно приблизительно 147,5 млн км, а наибольшее 152,5 млн км. Найти большую полуось и эксцентриситет орбиты Земли.
Ответ: а=150 млн км,
8.8. Эллипс, симметричный относительно осей координат, фокусы которого находятся на оси Ох, проходит через точку М(-4; 21) и имеет эксцентриситет е=3/4. Написать уравнение эллипса и найти фокальные радиус-вектор точки М.
Ответ:
8.9. Эллипс, главные оси которого совпадают с координатными осями, проходит через точки М1(2;3) и М2(0;2). Написать его уравнение, найти фокальные радиусы точки М1 и расстояния этой точки до директрис.
Ответ: x216+y24=1, r1,2=4±3, ρ1,2=23(4±3).
8.10. Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки М(23; 6) и А(6;0). Написать его уравнение, найти эксцентриситет и расстояния от точки М до фокусов.
Ответ:
8.11. Написать простейшее уравнение эллипса, у которого расстояния от одного из фокусов до концов большой оси равны 5 и 1.
Ответ: или
8.12. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, найти его центр С, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис:
а) 5х2+9у2-30х+18у+9=0;
б) 16х2+25у2+32х-100у-284=0;
в) 4х2+3у2-8х+12у-32=0.
Ответ: а) С(3;-1), а=3; b=5, е=2/3, D1: 2х+3=0; D2: 2х-15=0;
б) С(-1;2), а=5; b=4, е=3/5, D1: 3х+28=0; D2: 3х-22=0;
в) С(1;-2), а=4; b=23, е=1/2, D1: у+10=0; D2: у-6=0.
8.13. Определить траекторию точки М, которая при своем движении остается вдвое ближе к точке F(-1;0), чем к прямой х=-4.
Ответ:
8.14. Написать уравнение кривой, по которой движется точка М, если сумма расстояний от нее до точек F1(-1;-1) и F2(1;1) остается постоянной и равной 23.
Ответ: 2х2-2ху+2у2-3=0.
8.15. Написать уравнение кривой, по которой движется точка М, если расстояние от нее до точки F(3;0) остается в два раза меньше расстояния до прямой х+у-1=0.
Ответ: 7х2-2ху+7у2-46х+2у+71=0.
8.16. Построить эллипс x225+y29=1, его директрисы и найти расстояния от точки эллипса с абсциссой х=-3 до правого фокуса и правой директрисы.
Ответ: r=7,4, d=9,25.
8.17. Построить гиперболу 16х2-9у2=144. Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис.
Ответ: а) а=3, b=4; в) F1(-5;0), F2(5;0), в) е=5/3; г) у=±4/3х; д) х=±9/5.
8.18.Построить гиперболу х2-4у2=16 и ее асимптоты. Найти фокусы, эксцентриситет, угол между асимптотами.
Ответ:
8.19. Написать каноническое уравнение гиперболы, если: а) а=2, b=3; б) b=4, с=5; в) с=3, е=3/2; г) а=8, е=5/4; д) с=10 и уравнения асимптот y=±43x; е) е=3/2 и расстояние между директрисами равно 8/3.
Ответ: а) x24-y29=1; б) x29-y216=1; в) x24-y25=1; г) x264-y236=1; д) x236-y264=1; е) x24-y25=1. 8.20. Гипербола симметрична относительно осей координат, проходит через точку М(6;-22) и имеет мнимую полуось b=2. Написать ее уравнение и найти расстояния от точки М до фокусов.
Ответ:
8.21. Убедившись, что точка М(-5;9/4) лежит на гиперболе x216-y29=1, найти фокальные радиусы этой точки и ее расстояния до директрис.
Ответ: r1=9/4; r2=41/4; (М,D1)=9/5, (М,D2)=41/5.
8.22. Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса .
Ответ: .
8.23. Найти точки гиперболы x29-y216=1, находящиеся на расстоянии 7 от фокуса F1.
Ответ: (-6;±43).
8.24. Построить гиперболу x216-y29=1, ее директрисы и найти расстояния от точки гиперболы с абсциссой х=5 до левого фокуса и левой директрисы.
Ответ: Директриса х=3,2, е=1,25, r=10,25, d=8,2.
8.25. Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояния от одной из ее вершин до фокусов равны 9 и 1.
Ответ: или .
8.26. Найти точки пересечения асимптот гиперболы х2-3у2=12 с окружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат.
Ответ: (0; 0) и (6; ).
8.27. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, найти ее центр, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис:
а) 16х2-9у2-64х-54у-161=0;
б) 9х2-16у2+90х+32у-367=0;
в) 16х2-9у2-64х-18у+199=0.
Ответ: а) С(2;-3), а=3, b=4, е=5/3, уравнения асимптот: 4х-3у-17=0 и 4х+3у+1=0; уравнения директрис: 5х-1=0 и 5х-19=0; б) С(-5;1), а=8, b=6, е=5/4, уравнения асимптот: 3х+4у+11=0 и 3х-4у+19=0; уравнения директрис: х=-11,4 и х=1,4; в) С(2;-1), а=4, b=3, е=5/4, уравнения асимптот: 4х+3у-5=0 и 4х-3у-11=0; уравнения директрис: у=-4,2 и у=2,2.
8.28. Построить следующие параболы и найти их параметры:
а) у2=6х; б) х2=5у; в) у2=-4х; г) х2=-у.
Ответ: а) р=3; б) р=5/2; в) р=2; г) р=1/2.
8.29. Построить параболы, заданные уравнениями: 1) у2=4х; 2) у2=-4х; 3) х2=4у; 4) х2=-4у, а также их фокусы и директрисы и написать уравнения директрис.
8.30. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F(0;2) и от прямой у=4. Найти точки пересечения этой кривой с осями координат и построить ее.
Ответ:
8.31. Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что:
а) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Ох и р=1/2;
б) парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точку М(4;-8);
в) фокус параболы находится в точке F(0;-3).
Ответ: а) у2=-х; б) х2=-2у; в) х2= -12у.
8.32. Написать уравнение параболы: 1) проходящей через точки (0;0) и (-1;2) и симметричной относительно оси Ох; 2) проходящей через точки (0;0) и (2;4) и симметричной относительно оси Оу.
Ответ: 1) 2) .
8.33. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, найти координаты ее вершины А и величину параметра р:
а) у2=4х-8; б) х2=2-у; в) у=4х2-8х+7; г) у=-1/6х2+2х-7; д) х=-1/4у2+у; е) х=2у2-12у+14.
Ответ: а) А(2;0); р=2; б) А(0;2); р=1/2; в) А(1;3); р=1/8; г) А(6;-1); р=3; д) А(1;2); р=2; е) А(-4;3); р=1/4.
8.34. Вычислить фокальный радиус точки М параболы у2=12х, если у(М)=6.
Ответ: 6.
8.35. Зеркальная поверхность прожектора (рис.2) образована вращением параболы вокруг ее оси симметрии.
y
b

C
a
B
A

x
0



Рис.2

Диаметр зеркала 80 см, а глубина его 10 см. На каком расстоянии от вершины параболы нужно поместить источник света, если для отражения лучей параллельным пучком он должен быть в фокусе параболы?
Ответ: 40 см.
8.36. Определить область расположения кривой y=-9+x2. Построить кривую.
Ответ:
8.37. Определить область расположения кривой y=--x. Построить кривую.
8.38. Перенесением начала координат упростить уравнения:
1) (x-2)24+(y+1)2=1; 2) (x+3)29-(y-1)24=1;
3) (у+2)2=4(х-3); 4) 2у=-(х+2)2;
5) х2+4у2-6х+8у=3; 6) у2-8у=4х;
7) х2-4у2+8х-24у=24; 8) х2+6х+5=2у.
Построить старые и новые оси координат и кривые.
Ответ: 5) 6) 7) 8)
8.39. Выделением полных квадратов и переносом начала координат упростить уравнения линий:
1) 2х2 +5у2-12х+10у+13=0;
2) х2-у2+6х+4у-4=0;
3) у2+4у=2х;
4) х2-10х=4у-13.
Построить старые и новые оси координат и кривые.
Ответ: 1) 2) 3) 4)
8.40. Преобразовать к каноническому виду уравнения и построить кривые:
1) 3х2 -2ху+3у2-4х-4у-12=0; 2) х2-6ху+у2-4х-4у+12=0.
Ответ: 1) 2)
8.41. Преобразовать к каноническому виду уравнения линий:
1) х2+4ху+4у2-20х+10у-50=0; 2) х2 -4ху+4у2-6х+12у+8=0
и построить их.
Ответ: 1) 2) пара прямыхх-2у=31.
8.42. Преобразовать к каноническому виду уравнения и построить кривые:
1) х2-ху+у2-2х-2у-2=0; 2) 3х2 +10ху+3у2-12х-12у+4=0.
Ответ: 1) 2)
9. Полярная система координат
9.1. В полярной системе координат (φ,r) построить точки А(0;3); В(π/4;2); С(π/2;3); D(π;2); Е(3π/2;3).
9.2. Построить точки: А(π/2;-2); В(-π/2;3); С(-π/4;-4); D(2π/3;-3).
В номерах 9.3-9.8 записать уравнения заданных кривых в полярных координатах:
9.3. у=х.
Ответ: tgφ=1.
9.4. у=1.
Ответ: rsinφ=1.
9.5. х+у-1=0.
Ответ: rcosφ-π4=12.
9.6. х2+у2=а2.
Ответ: r=а.
9.7. х2-у2=а2.
Ответ: r2=a2cos2φ.
9.8. х2+у2=ах.
Ответ: r=acosφ.
В номерах 9.9-9.20 записать уравнения заданных кривых в декартовых прямоугольных координатах и построить эти кривые:
9.9. r=5.
Ответ: окружность х2+у2=25.
9.10.tgφ=-1.
Ответ: прямая у=-х.
9.11.rcosφ=2.
Ответ: прямая х=2.
9.12. rsinφ=1.
Ответ: прямая у=1.
9.13.r=1/2cosφ+π/4.
Ответ: прямая х-у-1=0.
9.14. r=2cosφ+π/4.
Ответ: прямая х+у-2=0.
9.15. r=2acosφ.
Ответ: окружность (х-а)2+у2=а2.
9.16. r=2asinφ.
Ответ: окружность х2+(у-а)2=а2.
9.17.sinφ=1/5.
Ответ: пара лучей х=±2у, у≥0.
9.18.sinr=1/2.
Ответ: семейство концентрических окружностей радиусов rn=(-1)nπ6+πn, n=0,1,2,…
9.19.r2sin2φ=2a2.
Ответ: гипербола ху=а2.
9.20.r2=a2cos2φ.
Ответ: лемниската Бернулли (х2+у2)2=а2(х2-у2).
9.21. Построить линии:
1) r=aφ (архимедова спираль); 2) r=a(1-cosφ) (кардиоида);
3) r2=a2cos2φ (лемниската); 4) r=a/φ (гиперболическая спираль);
5) r=a(1+2cosφ) (улитка Паскаля).
9.22. Написать в полярных координатах уравнение окружности с центром в точке С(0;а) и радиусом, равным а.
Ответ: .
9.23. Определить полярные координаты центра и радиус каждой из следующих окружностей:
а) r=4cosφ; б) r=3sinφ; в) r=-5sinφ; г) r=6cosπ3-φ;
д) r=8sinφ-π3; e) r=8sinπ3-φ.
Ответ: а) С(2;0); R=2; б) С(3/2; π/2); R=3/2; в) С(5/2;-π/2); R=5/2; г) С(3;π/3); R=3; д) С(4;5π/6); R=4; е) С(4;-π/6); R=4.
9.24. Построить кривые:
1) r=3-2sin2φ; 2) r=2+cos3φ; 3) r=1-sin3φ.
Указание. Определить сначала углы, при которых имеем rmaxи rmin.
Ответ: 1) rmax=5 при rmin=1 при r=3 при 2) rmax=3 при rmin=1 при 3) rmax=2 приrmin=0 при
9.25. Построить кривые: 1) r=3+2cos2φ; 2) r=3-sin3φ; 3) r=аcos2φ.
Ответ: 1) rmax=5 при rmin=1 при 2) rmax=4 при rmin=2 при 3) r=а при r=-а при r=0 при
9.26. Построить: 1) r=4(1+cosφ); 2) r=2-sinφ.
10. Поверхности
10.1. Найти центр и радиус сферы:
1) x2+y2+z2-3x+5y-4z=0; 2) x2+y2+z2=3аz
и построить изображение второй сферы.
Ответ: 1) С(1,5;-2,5;2), 2) С(0;0;а), .
10.2. Построить в левой системе координат поверхности
1) y2+z2=4; 2) y2=ах; 3) хz=4; 4) x2+y2=ax.
10.3. Написать уравнение цилиндрической поверхности с направляющей y2=4х, z=0 и с образующей, параллельной вектору {1;2;3}.
Ответ: .
10.4. Написать уравнение плоскости, проходящей через центр С поверхности x2+y2+z2-2x+y-3z=0 и перпендикулярной к прямой ОС.
Ответ: 2x-y+3z-7=0.
10.5. Написать уравнение конической поверхности с вершиной в начале координат и направляющей x2+y2=а2, z=с. Построить поверхности.
Ответ: .
10.6. Написать уравнение конической поверхности с вершиной в точке А(0;-а;0) и направляющей x2=2рy, z=h. Построить изображение поверхности.
Ответ: .
10.7. Написать уравнение поверхности, образованной вращением кривой z =x2, y=0: 1) вокруг оси Оz; 2) вокруг оси Ох. Построить обе поверхности.
Ответ: а) ; б) .
10.8. Написать уравнение поверхности, образованной вращением эллипса x2a2+z2c2=1, y=0 вокруг оси Оz.
Ответ: .
10.9. Построить гиперболоид x216+y24-z236=1 и найти его образующие, проходящие через точку (4;1;-3).
Ответ: и
11. Элементы топологии
11.1. Докажите, что фигура, являющаяся объединением боковой поверхности цилиндра и его нижнего основания («стакан»), гомеоморфна кругу.
11.2. Докажите, что плоскость гомеоморфна открытому кругу (т.е. кругу, к которому не причисляются точки ограничивающей его окружности), а также сфере, из которой «выколота» (удалена) одна точка.
11.3. Если фигура А состоит лишь из конечного числа точек, то через n(А) обозначим число ее точек; если же фигура А содержит бесконечно много точек, то условимся писать n(А)=∞. Является ли n(А) топологическим инвариантом?
11.4. Фигура А называется вложимой в плоскость, если она гомеоморфна некоторой фигуре, лежащей в плоскости. Например, «стакан» (задача 11.1) вложим в плоскость. Является ли свойство фигуры быть вложимой в плоскость топологическим инвариантом?
11.5. Докажите, что всякая простая замкнутая линия на сфере разбивает сферу на две области.
11.6. На плоскости проведены k ломаных линий, каждая из которых соединяет две заданные точки p и q. Докажите, что если других общих точек ломаные попарно не имеют, то плоскость разбита на k областей.
11.7. В шаре высверлены три сквозных цилиндрических отверстия, оси которых проходят через центр шара. Докажите, что поверхность получившегося тела, гомеоморфна сфере с пятью ручками.
11.8. На поверхности Pk проведеноqконтуров, не пересекающихся друг с другом, причем после разрезания по всем этим контурам поверхность остается связной. Докажите, что q≤k.
11.9. На замкнутой поверхности Q осуществлено топологически правильное разбиение: каждая грань – пятиугольник, в каждой вершине сходятся по четыре грани. Докажите, что если число граней не кратно восьми, то поверхность Q не ориентируема.
11.10. На замкнутой поверхности Q проведены три линии p,q,r, гомеоморфные отрезку, которые имеют общие концы и попарно не имеют других общих точек. Докажите, что если разрез по одной из линий p∪q, p∪r, q∪r составляет поверхность связной, то хотя бы одна из двух других также обладает этим свойством.
11.11. На сфере вырезаны m+n+p отверстий; m из них заклеены ручками, а n– лентами Мебиуса. Докажите, что эйлерова характеристика получившейся поверхности с краем равна 2-2m-n-p.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Сборник задач по высшей математике. Ч.1 Линейная алгебра и основы математического анализа: учеб. пособие для втузов / В.А. Болгов, Б.П. Демидович, А.В. Ефимов [и др.]; под ред. А.В. Ефимовича, Б.П. Демидовича. – М.Наука: Физ.мат. лит.,2004. – 464с.
Минорский, В.П. Сборник задач по высшей математике, учеб.пособ. для втузов/ В.П. Минорский. – М.:Физ.мат.лит., 2004г. 336с.
Болтянский, В.Г. Наглядная топология/ В.Г. Болтянский, В.А. Ефремович. – М.: Наука, Физ.мат.лит., 1983. – 160с.
Геометрия и топология. Задачи к практическим занятиям для студентов I курса очной формы обучения по направлению подготовки 010500 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем».
КОБЗЕВ ВЛАДИМИР МИХАЙЛОВИЧ
СЫЧЕВА НАДЕЖДА ВАСИЛЬЕВНА
Научный редактор А.И. Гореленков
Редактор издательства   Л.И. Захарова                    
Компьютерный набор А.П. Левкина
Темплан 2014г., п. 463  
Подписано в печать Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. Уч.-изд. л. Тираж 30экз. Заказ Бесплатно
Издательство Брянского государственного технического университета
241035, г. Брянск, бульвар им. 50 лет Октября, 7, БГТУ, 58-82-49
Лаборатория оперативной полиграфии БГТУ, ул. Институтская, 16

Приложенные файлы

  • docx 464801
    Размер файла: 757 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий