Аналитикалық геометрия. Лекция.


Векторлар . векторларды қосу амалы және оның қасиеттері (дәлелдеуімен)
Егер кесіндінің ұзындығымен қоса бағытыда берілген болса,онда оны вектор деп атайды.Егер 2 век-дың ұзындығымен қоса бағыттас болса,олар тең.
Егер О (·)-сі А және В (·) арасында орналасса ,онда а және в қарама –қарсы бағытталған д/а.(а↑↓в)
Егер О (·) А және В (·)арасыда орналасса ,онда а және в бағыттас.(а↑↑в)
.Екі вектордың қосындысы a + b
векторы деп, b векторының басы a векторының ұшымен түйістірілген
жағдайда, басы a векторының басымен, ұшы b векторыныңұшымен сəйкес келетін векторды айтамыз. Анықтамаға сəйкес a жəне b
қосылғыштары мен олардың
қосындысы a + b үшбұрыш құрады. Сондықтан еківекторды қосу ережесі“үшбұрыш ережесі ” депаталады.Векторларды қосу амалы келесі қасиеттерге ие:
А) a + b = b + a (коммутативтілік);
б) (паралелограм)а+в =АВ +BC = АСв+а = АD+DС = АС
2) (a + b ) + c = a + (b + c ) (ассоциативтілік);
а+в=ОА +АВ=ОВ
ОВ+с=ОВ+ВС=ОС
в+с=АВ+ВС=АС
а+АС=ОА+АС=ОС
3) Кез келген a векторы үшін
a + θ=θ+а= a(нөлдік векторқасиеті);
бас нүктесімен ұшы беттесетін бектор нөлдік.бағыты анықталмаған,ұзындығы -0
а= АВ; ВВ=θ ; АВ+ВВ =АВ, а+θ=а;
АА=θ; АА+АВ=АВ; θ+а=а
4) а+в=в+а=θ
АВ+ВА=АА=θ
ВА+АВ=ВВ=θ в=-а
Кез келген a векторына a+ a1= 0 болатындай, қарама -қарсы вектор a1 табылады ( a1 векторын алу ұшын a
векторыының басы мен ауыстыру жеткілікті)a векторына қарама - қарсы векторды (−a) арқылыбелгілейміз.
2.Векторларды санға көбейту амалы және оның қасиеттері (дәлелдеуімен)
а векторының λнақты санына көбейтіндісі λ>0 жағдайда ↑↑ aλ бағыттас, λ<0 жағдайда aλ↑↓бағытталған және ұзындыығы | λ |*|а| тең веторды айтамыз.
Векторды санға көбейту амалы келесі қасиеттерге ие:
1) λ(μa) = (λμ)a (көбейткіштердің ассоциативтілік қасиеті);
2) λ(a+b)=a λ+ bλ
(λ+μ) a = aλ+aμ
( дистрибутивтілік қасиет).
3)1*а=а
4) (α*β)*a= α*(β*a)3. Сызықтық тәуелді векторлар жүйесі. Сызықтық тәуелді векторлар жүйесінің қасиеттері. (дәлелдеумен)
Егер Ө-ны а1,а2,…an векторлары арқылы ең болмағанда коэффициеттерінің біреуі нөлден өзгеше болатындай етіп сызықтық өрнектеледі :Ө=α 1a+ α 2a2+… αnan, онда а1,а2….аn векторлар жүйесі сызықтық тәуелді деп аталады:Қасиеттері:1 егер а1,а2….an векторлар-ң ең болмағанда біреуі нөлдік вектор болса,онда жүйе сызықтық тәуелді болады,Дәлелдеу:Анықтық үшін аn=Ө болсын,онда 0*а1+0*а2+….+0*an-1+1*an=Ө, демек а1,а2,….аn сызықтық тәуелді жүйе,2қасиет жалғыз вектордан тұратын жүйе сызықтық тәуелді болуы, үшін бұл вектордың нөлдік вектор болуы қажетті және жеткілікті дәлелдеу:егер жалғыз а1 векторы нөлдік вектор болса ,онда бұл жүйе қасиет 1 бойынша сызықтық тәуелді ;3)егер сызықтық тәуелді жүйеге бірнеше вектор қоссақ,онда жаңа жүйе де сызықтық тәуелді болады, дәлелдеу а1,а2,….ak векторлар жүйесі сызықтық тәуелді болсын,а-а бойынша α1, α2…. Αk нақты сандарды табылып:α1a1+ α1a1+….. αk ak=Ө,ал α 1, α2,,,,,αк сандары арасында ең болмағанда біреуі нөлден өзгеше,берілген жүйеге қосымша кез келген ак+1,ак+2,……,an векторларын қарастырайық,онда α1a1+….. α k ak+0ak+1+…..0an=Ө,демек а1,а2,….an векторлар жүйесі де сызықтық тәуелді;4)a1,a2,….an(2≤n)векторлар жүйесінің ,сызықтық тәуелді болуы үшін осы векторлардың кем дегенде біреуінің қалған векторлар арқылы сызықтық өрнектелуі қажетті және жеткілікті ;дәлелдеу:қажеттілік а1,а2….an жүйесі сызықтық тәуелді болсын,яғни α1, α2 ,…….αn нақты сандары табылып α 1a1+ α2a2+… αnan=Ө,ал α1 α2…. Αn сандардың арасында ең болмағанда біреуі нөлден өзгеше,анықтық үшін αn ≠0 болсын.
Онда аn=(-α 1/ α n ) a1+(- α2/ α n)a2+…. (-α n-1/α n) an-1
Жеткіліктілік: Анықтық үшін аn=β1а1+…+ βn-1аn-1болсын, ондаβ1а1+…+ βn-1аn-1+
(-1) аn= Ө. Соңғы өрнектегі аn векторының коэффиценті нөлден өзгеше, демек а1, а2...аn жүйесі сызықтық тәуелді.
4.Сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесі. Сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесінің қасиеттері. (дәлелдеумен)Егер α1а1+ α2а2+…. αnan=Ө болуы үшін α1= α 2= …. αn=0 шарты қажетті болса,онда а1,а2,…an векторлар жүйесі сызықтық тәуелсіз деп аталады.қасиеттері:1)a1≠Ө болғанда ,α*а1=Ө тендеуінің α=0 шешімінен өзге шешімі жоқ екендігі анық,ендеше нөлден өзгеше жалғыз вектор сызықтық тәуелсіз жүйені құрайды. 2)сызықтық тәуелсіз жүйеден бірнеше векторлардан алсақ,қалған векторларда сызықтық тәуелсіз жүйені құрайды.
5.Коллинеар векторлардың анықтамасы. Екі вектордың коллинеар болу белгісі. (дәлелдеумен).Бір түзудің бойында немесе параллел түзулердің бойында орналасқан векторларды коллинеарвекторлар депатаймыз.
Анықтама: Егер екі вектордың ұзындықтары тең және бағыттары бірдей болса,онда олар тең деп аталады,яғни коллинеар векторлар.
Екі вектордың коллинеар болу белгісі:
Анық: а,b векторлары коллинеар болады егер сонда, тек сонда гана табылады жалғыз a=αbболып табылады.
а мен в коллинеар ↔∃!α:а=αbДәлелдеу: а,b параллель түзулердің бойында жатыр.Векторды санға көбейту амалы бойынша табу.∃α:a=αb∃α1. ,α2:α1≠α2 ;а=α1ba=α2b ; θ=α1-α2*b→α1-α2=0;α1=α2 ; ∃!α:a=αb векторды санға көбейту амалы бойынша оның айқын шығады.
6. Компланар векторлардың анықтамасы. Үш вектордың компланар болу белгісі. (дәлелдеумен)
Бір жазықтықта н/е параллель жазықтықта жататын векторлар КОМПЛАНАР д.a, теорема: 3 вектордан тұратын жүйе сызықты тәуелді болу үшін олардың компланар болуы қажетті және жеткілікті (1-ші компланар белгісі)a,b,c компланар сода және сонда ғана Э α,β:c=αa+βb Д/у:қажеттілік a,b,c компланар 3-еуін бір нүктеге алып келу .a→b→c→,a,b,c 1 нүктеге алып келген соң 1 жазықтықта жатқаннан компланар болады,OA=αa,OB=βb;
OC=OA+OB=αa+βb, дәлелденді.
7.Вектордың скаляр проекциясы және оның қасиеттері. (дәлелдеумен)
Анықтама. АВвекторының l осіне түсірілген проекциясы немесе скалярлық проекциясы деп сол АВ векторының оң немесе теріс таңбасымен алынған векторлық проекцияның ұзындығына тең скалярды (санды) атайды: ол сан А1В1 векторы l осімен бағыттас болғанда, оң таңбамен ал қарама-қарсы бағытта болғанда теріс таңбамен алынады және былай Прl АВ белгіленеді.
φ
А
А1
В1
0
l
φ
А
А1
В1
0
l
А
А1
В
В1
l
φ
А
А1
В
В1
l
φ
(2)
(1)
Анықтама бойынша Прl АВ = А1В1 =АВ cosφ.(1-сурет),
Прl АВ = -А1В1=-АВ cos(π-φ)=АВ cosφ (2-сурет). Яғни Прl АВ =АВ cosφҚасиеттері:
Прl a = a cosφ;Прl(a+b) = Прl a + Прl b.
8. Вектордың векторлық проекциясы және оның қаситеттері.
Вектордың проекциясы келесі қасиеттерге ие:
1) Прb(a1+ a2) =Прba1+ Прba2(қосындының проекциясы
проекциялардың қосындысына тең);
2)Прb(λa) =λПрba (векторды санға көбейтіндісінің
Проекциясы вектордың проекциясын осы санға көбейткенге тең).
Анықтама. АВвекторының l осіне түсірілген векторлық проекциясы деп А1В1векторын атайды.Мұндағы А1 нүктесі АВ векторының l осіне түсірілген бастапқы А нүктесінің проекциясы, ал В1нүктесі оның В нүктесінің проекциясы және былай
Прl АВбелгілейді.
9. Екі вектордың скаляр көбейтіндісі және оның қасиеттері
Екі вектордың ұзындықтарының көбейтіндісін
олардың арасындағы бұрыштың косинусына көбейткенде пайда
болған шаманы олардың скаляр көбейтіндісідеп атаймыз. a жəне b
векторларының скаляр көбейтіндісін
(a, b )[немесе a* b; немесе ab] арқылы белгілейді. Егер 𝝋– a жəне b векторларының арасындағы бұрыш болса, онда
(a, b ) =| a|*|b| *cos𝝋
Скаляр көбейтінді келесі қасиеттерге ие:
1) (a,b ) = (b,a)(коммутативтілік).
2) (a,a) = |a |2 (вектордың скаляр квадраты оның ұзындығының
квадратына тең)
3) Скаляр көбейтінді нөлге тең сонда тек сонда ғана, егер
көбейткіштерортогоналнемесеолардыңеңбомағандабірі
нөлдік вектор болғанда.
4) (a, b) = |b|Прba= |a|Прab
5) (a+b,c)= (c,a)+(c,b)
6) (λa, b ) = λ(a, b )
№5 қасиетті дәлелдеу: (a+b,c)=(a+b)*(c)*cos(a+b,^c)=|c|*Прc(a+b)=|c|*(Прсa+Прсв)=|c|*|a|*cos (a,^c)+|c|*|b|*cos(c,^b)=(c,a)+(c,b).
11. Векторлардың векторлық көбейтіндісі және оның геометриялық мағынасы.Егер а, b, с оң қолдың баспармақ , сұқ саусақ, ортаңғы саусақ тарға сәйкес орналасса, онда а, b, c үштігін оң деп атаймыз, кез келген 3 вектордан 6 үштік құрауға болады:
Егер үштікте 2 вектордың орнын ауыстырса, үштік атын өзгертеді,
a, b, c; a, c, b; …..
Анықтама. а және в векторының векторлық көбейтіндісі деп келесі шартты қанағаттандыратын с векторын айтамыз:
1) а, в, с-оң үштік
2)а перпендук с, в перпендукляр с
3)|с|=|[a,b]|=|a||b|sin(a,b) c=[a,b]
a,bвекторларының векторлық көбейтіндісініңқасиеттері:
1)кез келген a,b [a,b]=-[b,a]
2 кез келген a,bкез келген α€IR [αa,b]=α[a,b]
3)[λa,b]=[a,λb]=λ[a,b]
4)[a,a]=0≠a2
Теоремасы : а={x1, y1, z1} b={x2, y2, z2}
Декарт координаттар жүйесінде а мен б-ның векторлық көбейтіндісі келесі формула бойынша есептеледі:
[a,b]=|ijk||x1y1z1||x2y2z2|Геометриялық мағынасы – сол вектордан құралған паралелограмның ауданына тең. S=|a||b|sin(a,b)=|[a,b]|
Теорема:Ө емес а, б вектор-ң векторлық көбейтіндісі 0-ге тең болады, сонда және сонда ғана егерде олар коллинеар. Коллениар векторлар арасындағы бұрыш 0 градусқа неемесе 180 градусқа тең.
[a, b]=Ө =>a, b – коллениар
Д/У: [a, b]=Ө => |[ a,b]|=|a||b|sin(a,b) =0
a=Ө немесе b=Ө нөлдік вектор кез келген векторға коллениар.
sin(a,b) =0=> (a^b)= π немесе(a^b)=0 векторлар параллел онда олар коллениар.
12. Векторлардың аралас көбейтіндісі және оның геометриялық мағынасы. Векторлардың аралас көбейтіндінің есептеу формуласы. (дәлелдеумен)
Үш вектордың аралас көбейтіндісі.Анықтама.Ретке келтірілген нөлдік емес a,b,c векторлары үштігінің аралас көбейтіндісі деп a*b векторымен c векторының скалярлық көбейтіндісіне тең санды айтады. Үш вектордың аралас көбейтіндісі a*b*c деп белгіленеді. Сонда, анықтама бойынша,а*b*c =(a*b)*c .
Егер a,b,с векторларының кем дегенде біреуі нөлдік вектор болса,онда аралас көбейтінді нөлге тең деп саналады.
Геометриялық мағынасы. 1-теорема. Компланар емес a,b,c векторларының көбейтіндісі ортақ бас нүктеден шыққан a,b,c векторларына салынған, егер a,b,c векторлар үштігі оң жақты болса,онда оң таңбамен,ал a,b,c үштігі сол жақты болса,теріс таңбамен алынған параллелепипедтің көлеміне тең болады. A,b,c векторлары компланар емес деп санап, мына екі жағдайды қарастырамыз. Алдымен, a,b,c үштігі оң жақты деп санайық.
А=OA, b=OB, c=OC векторларына салынған параллелепипедтің көлемін V арқылы белгілейік. Сонда V=S*h.
Мұндағы S a және b векторларына салынған параллелограмның ауданы,ал h=\OD\-параллепипедтің биіктігі. A*b=d деп белгілейік. Екі вектордың векторлық көбейтіндісінің анықтамасы бойынша;1\ \d\=s;
2\d векторы а және b векторлары жүргізілген жазықтығына перпендикуляр;
3\a,b,d векторлар үштігі оң жақты болады. Бұдан с және d векторлары жазықтығының бір жағында оорналасқандығы шығады,демек
OCD үшбұрышынан h=\c\*cosµ \1\
Енді d және с векторларының скаляр көбейтіндісін қарастырайық. Сонда ол бір жағынан d*c=(a*b)*c \2\
болса, ал екінші жағынан ,|d|=s теңдігі мен формуланы пайдалансақ,онда
d*c=|d|*|c|*cosµ=S*h=V \3\
болады,\2\ және\3\-формулалардың оң жақтарын теңестірсек,(a*b)*c=V болады.
Енді a,b,c векторлар үштігі сол жақты деп санайық. Сонда a*b=d және с векторлары α жазықтығының әртүрлі жағында жатады,демек,(c^,d)=µ>∏/2, яғни,соsµ< 0. OCD үшбұрышынан мына теңдік шығады. h=|c|*cosµ=|c|*cos(∏-µ)=-|c|*cosµ \4\
Егер |d|=S және \4\ формулаларын ескерсек,онда d*c=|d|*|c|*cosµ=S*(-h)=-S*h=-V \5\
Ал,егер a,b,c векторлар үштігі сол жақты болса, онда \2\ және \5\ формулалардан мына формуланы шығарып аламыз. (a*b)*c=-V. Сонымен, кез келген компланар емес a,b,c векторлар үштігі үшін V=|(a*b)c| формуласын аламыз.
Есептеy формаласы:
ТКЖ:a=(a1,a2,a3), b( b1,b2,b3)
i, j,k-орта нормаланған базис
[a,b]=|ijk||a1a2a3||b1b2b3|=i*|a2a3b2b3|-j|a1a3||b1b3|+K|a1a2||b1b2|[a,b]=(a2b3-b2a3-a1b3+b1a3*a1b2-b1a2) S=a2b3-b2a3+(-a1b3+b1a3)2+(a1b2-b1a2)2C=(c1,c2,c3) a=(a1,a2,a3) b=(b1,b2,b3)
(a, b ,c)=a1a2a3b1b2b3c1c2c313. Жазықтықтағы түзулердің параметрлік, канондік теңдеулерін қорытып шығару. Жазықтықтағы түзудің жалпы теңдеуі.
Мына есепті шығарайық:бағыттаушы векторы S =(l,m)–ке тең,берілгенM˳(x˳,y˳) нүктесін басып өтетін d түзуінің теңдеуін табыңдар.M(x,y)∈d нүкте болсын,сонда M˳M=(x-x˳,y-y˳). Cондықтан M˳M ||S /1/,бұдан x-x˳l =y-y˳m - (канондық теңдеу), яғни кез-келген нүктесінің M(x,y)ϵd координаталары /1/- теңдеуді қанағаттандырады.
Керісінше ,M*(x*,y*) нүктесі,координаталары \1\ теңдеуді қанағаттандыратын нүкте болсын,яғниx*-x˳l =y*-y˳m . Олай болса,M˳M*=(x*-x˳,y*-y˳)жәнеS =(l,m) векторлары коллинеар болады,демекM*(x*,y*)ϵd. Сөйтіп /1/ -теңдеу іздеген теңдеуіміз болып шықты. Бұл теңдеу түзудің канондық теңдеуі деп аталады. /2/-формуладағы бөлшектердің біреуінің бөлімі нөлге айналуы мүмкін. /әрине S≠ 0 болғандықтан екі бөлшектердің бөлімдері бір уақытта нөлге тең болмайды. Бұл жағдайда, ab=cdпропорциясын ad=bc теңдігінің орындалуын пара-пар деп түсінгендіктен,ол бөлшектің сәйкес алымын нөлге тнң деп санаймыз.
/1/теңдеудегі теңдіктің оң және сол жағындағы бқлшектердің жалпы мәнін t деп белгілейік. Сонда t парметрінің өзгеру облысының барлық сан осі (R) болатынына көз жеткізу қиын емес.
Шынында да,бөлшектердің кемінде біреуіңің бөлімі нөлге тең емес,демек,бөлшектің сәйкес алымы кез-келген мәнді хабарлай алады. Олай болса t∈R, яғни -∞<t<∞ Сонымен /1/-теңдеуден немесе теңдеулерін аламыз.
x-x˳=lt , y-y˳=mt немесе x=x˳+lt,y=y˳+mt \2\
/2/-теңдеулер түзудің парметрлік теңдеулері деп аталады.
Анықтама(Жазықтықтағы түзудің жалпы теңдеуі.).Ax+By+C=0 \1\ теңдеу түзудің жалпы теңдеуі деп аталады.
1-теорема.Жалпы теңдеуі арқылы анықталған түзуі,сол түзудің нормалдық векторы деп аталатын n=(A,B) векторына перпендикуляр болады.\1\ теңдеу кем дегенде бір (x˳,y˳) шешімі бар болатынын тексеру қиын емес.Шынында да,A және B коэффициенттері бір уақытта нөлге айналмайтын болғандықтан,A≠0 деп алайық.Егер y=y˳ десек,онда \1\ теңдеуден мына мәнді шығарамыз: x˳=-(B/A)y˳-(C/A).Демек,Ax˳+By˳+C=0 \2\
теңбе-теңдігі орындалатындай M˳(x˳y˳) нүктесі табылады.Егер \1\ теңдеуден \2\ теңбе-теңдігін мүшелеп алып тастасақ,онда \1\ теңдеуге мәндес мына теңдеуді аламыз:A(x-x˳)+B(y-y˳)=0 \3\.
\3\ шарт d түзуінде жатқан кез келген M˳M=(x-x˳,y-y˳)векторы мен n=(A,B) векторының перпендикулярлық (ортоганалдық) шартын (белгісін) көрсетеді.
2-анықтама./3/-теңдеу M˳(x˳,y˳) нүктесі арқылы өтетін. n=(a,b) векторына перпендикуляр түзу теңдеуі деп аталады.
2-теорема. Нөлдік емес S=(l,m) векторы /1/-жалпы теңдеумен берілген d түзуінің бағыттаушы векторы үшін Al+bm=0 \4\ шартының орындалуы қажетті және жеткілікті.
Қажеттілік.S=(l,m)≠ 0 векторы
Ax+by+c=0,A2+B2≠0tеңдеуімен анықталған d түзуінің бағыттаушы векторы дейік. 1-теорема негізінде n=(A,B)⏊d болады. Бұдан.S⏊n демек,бұл екі вектордың скалярлық көбейтіндісі нөлге тең,яғни S *n =A*l+ B*m=0. Қысқаша: s векторы d түзуінің бағыттаушы векторы болғандықтан, S*n =A*l+ B*m=0
Жеткіліктілік. Al+bm=0 болсын. Сонда 0= Al+bm=S*n ↔S||d→S≠0Яғни,анықтама бойынша s векторы d түзуінің бағыттаушы векторы болады.
Салдар.S =(-B,A)векторы жалпы теңдеуімен анықталған d түзуінің бағыттаушы векторы болады. Шынында да, S=(-B,A) векторы үшін /4/-шарт орындалады.
Жазықтықтағы екі түзудің өзара орналасуы және жазықтықтағы екі түзудің арасындағы бұрыш. (дәлелдеумен)
1-теорема.
P₁:A₁x+B₁y+C=0
p₂:A₂x+B₂y+C=0
1) P₁ мен p₂ түзулері беттеседі сжтсғ,егер де олардың теңдеулеріндегі барлық коэффиценттер пропоционал болса.
1) P₁≡ p₂↔A₁A₂= B₁B₂= C₁C₂=μ , μ≠0 2)мен түзулерінің қиылысуы бос жиын болады, сжтсғ, егер олардың теңдеулеріндегі х пен у-тің алдындағы коэфф, пропоционал болып, үшінші коэф-і пропоционал болмаса
2) P₁∩ p₂=∅↔A₁A₂= B₁B₂=μ,C₁C₂≠μ3)мен түзулері жалғыз нүктеде қиылысады, сжтсғ, егер олрадың теңдеулеріндегі х пен у-тің алдындағы коэф-і пропоционал емес болса
3) P₁∩ p₂=(.)↔A₁A₂≠ B₁B₂Формулалар(және жазықтықтағы екі түзудің арасындағы бұрыш)
p₁: x=x₁+l₁t
y=y₁+m₁t ,a₁=(l₁m₁)
p₂: x=x₂+l₂t
y=y₂+m₂t ,a₂=(l₂m₂)
tg(p₁^p₂)=tg(a₁^a₂)=l₂m₂-l₂m₁l1l2+m₁m₂2) P₁:A₁x+B₁y+C=0 ,a₁=(-B₁,A₁)
p₂:A₂x+B₂y+C=0 , a₂=(-B₂,A₂)
tg(p₁^p₂)=-B₁A₂+A₁B₂B₁B₂+A₁A₂3)p₁:y=k₁x+b₁ , a₁=(1,k₁)
p₂:y=k₂x+b₂, a₂=(1, k₂)
tg (p₁^p₂)=k₂-k₁1+k₁*k₂Ескерту! 1) p₁⏊p₂↔l₁l₂+m₁m₂=0
A₁A₂+B₁B₂=0
1+k₁*k₂=0, k₂=- -1k₁2)p₁││p₂↔l₁l2=m₁m2,
A₁A₂=B₁B2 , k₂=k₁
15. Жазықтықтағы түзудің нормал теңдеуін қорытып шығару.
D түзуі өзінің жалпы теңдеуі арқылы берілсін.
Ax+by+c=0, A2+B2≠0 /1/
n = (A,B)⏊d болатыны бізге белгілі. Енді мына дербес жағдайды қарастырамыз.n=n0=(cosα,sinα)Яғни,n-векторын бірлік вектор деп санайық. Бұл жағдайда бірлік вектордың координаталары сәйкес бағыттаушы косинустар болады. Сонда түзу теңдеуі былай жазылады:
xcosα+ysinα-p=0 \2\
Мұнда p≥0деп санауға болады,себебі егер олай болмаса,онда n векторының орнына -n векторын қарастырамыз.
/2/-теңдеуді түзудің нормаланған теңдеуі деп атаймыз. Бұдан,егер A2+B2=1,c≤0Болса,онда /1/теңдеу нормаланған теңдеу болып шығады. /2/-теңдеуді векторлық түрде былай жазамыз: n0*r-p=0 \4\
Мұндағы r=OM айнымалы M(x,y) нүктесінің радиус-векторы.
Нормаланғанбаған /1/-теңдеуді /2/-формуланы пайдаланып,нормаланған түрге оңай келтіріп алуға болады. Ол үшін /1/-теңдеудің екі жағында кейінірек анықталатын μ≠0 көбейткішіне көбейтіп,одан шыққан мына теңдеуді μAx+(μB)y+μC=0 \6\
Нормаланған теңдеу деп санаймыз. Олай болса /3/-формуланың негізінде μA2+μB2=1 және μC≤0 \7\
Бұдан μ -ның бізге керек болып отырған мәнін табамыз,яғни μ=±1A2+B2 \8\
Бұл сан /1/-теңдеуді нормалайтын көбейткіш деп аталады. /2/-теідеудегі p≥0 болғандықтан,егер с≠0 болса,онда μкөбейткішінің таңбасы С коэффицентінің таңбасына қарама-қарсы болып алынады. Ал,егер с=0 болса,онда /8/-формуладағы μтаңбасы ретінде кез-келген таңбаны алуға болады. /6/ және /8/-формулаларынын мына теңдеуді аламыз Ax+By+C±A2+B2=0
Бұл жалпы теңдеуі арқылы берілген түзудің нормаланған теңдеуі болып табылады
16.Жазықтықтағы нүктеден түзуге дейінгі арақашықтық. Жазықтықтағы түзудің координаталық осьтерге қатысты орналасуының дербес жағдайлары. М(α,β) нүктесінен Ах+Ву+С=0 теңдеуімен берілген L түзуіне дейінгі арақашықтық ρ(M,L)=Aα+Bβ+CA2+B2 формуласымен есептеледі.Дәлелдеу ρ(M,L)=δ(M,L) теңдігі мен AA2+B2x+BA2+B2y+CA2+B2=0 формуласынан және δM,L=Aα+Bβ+C формулалардан бірден көрініп тұр.Теорема: Егер (α,β) сандар жұбы М нүктесінің Декарт кординаталары, ал Aх+Bу+C=0 теңдеуі L түзуінің нормаланған теңдеуі болса, онда δM,L=Aα+Bβ+C. Бұл теорема көп жағдайларда пайдалануға ыңғайлы.
17. Жазықтықтың теңдеулерілерін қорытып шығару.
П-жазықтық, M0{x0,y0,z0}-тіркелген нүкте. (∙)M0ϵП, М{x,y,z}-кез келген нүкте. (∙)МϵП, авϵПОМ=r, OM0=r0ОМ=OM0+M0MM0M =r-r0, (∙) MϵM0<=>M0M компланар а,в<=>∃u,v :MM0=uа+vв<=>r-r0=φа+φв<=>r=r0+ uа+vв(1) векторлық түрдегі параметрлік теңдеуі
r=xe1+ye2+ze3 x = x0+ua1+vb1 => y = y0+uy1+vy2 (2) координаталық түрдегі параметрлік теңдеуі
Z = z0+ uz1+vz2x - x0=ua1+vb1 => y - y0=uy1+vy2 Z - z0= uz1+vz2a2a3b2b3a3a1b3b1a1a2b1b2 =>x-x0 y-y0z-z0a1a2b1b2a3b3=0 (3) бір нүкте арқылы өтетін және екі векторға параллель жазықтыктың теңдеуі
19. Екі жазықтықтың өзара орналасуы. (дәлелдеумен)
1-теорема.π₁:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0π₂:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0π₁және π₂ жазықтықтары беттеседі сжтсғ,егер олардың теңдеуіндегі барлық коэффициенттер өзара тең болса.
π₁= π₂↔ A₂A₁= B₂B₁= C₂C₁=D₂D₁=μrA₁B₁C₁A₂B₂C₂D₁D₂=1
π₁^ π₂жаз-ы параллель болады сжтсғ,егер теңдеудегі x,y,z алдындағы коэффициенттері пропорционал болса,ал бос мүшесі пропорционал болмаса.
π₁|| π₂↔A₂A₁= B₂B₁= C₂C₁=μD₂D₁≠μrA₁B₁C₁A₂B₂C₂ D₁ D₂=2rA₁B₁C₁A₂B₂C₂=1
π₁^ π₂жаз-ы түзу қиылысады сжтсғ,егер мына шарт орындалса,яғни матрица рангі 2-ге тең болса.
π₁∩ π₂↔q↔rA₁B₁C₁A₂B₂C₂=2
1-теорема. Дәлелдеу. π₁= π₂ , a₁=-BA0, b₁=-C0Aa₁ , b₁= π₂↔a₁ , b₁= π₂↔- B₁ A₂+ A₁B+0=0- C₁ A₂+ A₁ C₂=0π₂:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0π₂:A₂μx+B₂μy+C₂μz+D₂=0π₁:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0D₂ -μ D₁=0 , D₂=μ D₁20. Екі жазықтықтың арасындағы бұрыш.
Егер екі жазықтық жалпы түрдегі теңдеулерімен
А1х+В1у+С1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0 берілген болса, онда олардың арасындағы бұрыш үшін олардың нормаль векторларының арасындағы бұрыштың айтамыз.Өйткені екі жақты бұрыштың сызықтық бұрышпен өлшенетіні белгілі.Ал екі нормал арасындағы бұрыш осы сызықтық бұрыш болып саналады.Жазықтықтардың теңдеулерінен олардың нормаль векторларын
N1=A1i+B1J+C1k, N2=A2i+B2j+C2k табамыз,ал проекциялары арқылы берілген векторлардың арасындағы бұрыштың косинусының формуласы
Cosф=(N1+N2) / |N1|*|N2|=A1A2+B1B2+C1C2 / A1^2+B1^2+C1^2*
A2^2+B2^2+C2^2Сонымен екі жазықтық арасындағы бұрышты осы формула арқылы табуға болады.
21.Жазықтықтың нормаль векторы. Жазықтықтың нормал теңдеуін қорытып шығару. Кеңістіктегі нүктеден жазықтыққа дейінгі арақашықтық.
Бізге Ах+Ву+Сz+D=0 түрінде жазықтық берілсін. Осы жазықтықтың нормаль векторы деп осы жазықтыққа перпендикуляр N(A;B;C) түрінде болатын векторды айтамыз. Жазықтықтардың нормаль векторы N коорд.осьтерімен сәйкес α,β,γ бұрыштарын жасайтын болса, онда оны N=(cosα)*i+(cosβ)*j+(cosγ)*k түрінде жазуға болады.
=>cos(x-x0)+cos(y-y0)+cos(z-z0)=0 н/е
cosα*x+cosβ*y+cosγ*z-(x0*cosα+y0*cosβ+z0*cosγ)=0 түрінде жазуға болады.
X*cosα+y*cosβ+z*cosγ-p=0
-жазықтықтың нормаль теңдеуі. Ал жалпы теңд.түрде берілсе Ах+Ву+Сz+D=0/* μ
μ * Ах+ μ *Ву+ μ *Сz+ μ *D =0 μ * А= cosα, μ *В= cosβ , μ *С= cosγ cos2α+cos2β+cos2γ=1
cos2α+cos2β+cos2γ=1
μ 2*(A2+B2+C2)= cos2α+cos2β+cos2γ=1 μ=±1A2+B2 +C2 - нормалаушы көбейткіш.
22.Кеңістіктегі нүктеден жазықтыққа дейінгі арақашықтықтың формуласын қорытып шығару.
Кеңістіктегі нүктеден жазықтыққа дейінгі арақашықтық.
Кеңістікте бір М0 (x0, y0, z0) нүктесі және Ах+Ву+С z+D=0. Жалпы теңдеуі мен Q жазықтығы берілген. Олардың арасындағы қашықтықты d деп белгілеп, яғни М0 нүктесінен Q жазықтығына түсірілген перпендикуляр ұзындығын мына формула
d=Ах0+Ву0+Сz0+DA2+B2+C2арқылы табуға болады.
π:Ax+By+Cz+D Q –нүктесінен π жазықтығына перпендикул түсірейік.
(.) Q(x1,y1,z1)M0Q⊥π, (.)M0=x0,y0,z0|M0Q| = d((.)Q1,π) OQ=r1=(x1,y1,z1)OM0=ro=x0,y0,z0, e⊥ ( M0Q,e)= |M0Q||e|cos ( M0Q^e)=d(±1)=±d;
( M0Q,e)=OQ-OM0,e=r1-ro,e=(r1,e)-(r0,e)= (r1,e)-p=0=x1cosα+y1cosβ+z1cosγ-p=0d=|x1 cosα+y1cosβ+z1cosγ-p|
d = Ax1+By1+Cz1+DA2+B2+C2Z
Q
X
Y
Z
Q
X
Y

23. Кеңістіктегі екі түзудің өзара орналасуын зерттеу.Кеңістікте ОХУZ тік бұрышты Декарт координаталар жүйесі берілсін Алдымен L1 мен L2 екі түзуінің өзара орналасуын қарастырайық. Бұл түзулер M1єL1, M2єL2 берілген нүктелер және берілген а1//L1, а2//L2 бағыттаушы векторлармен толық анықталады. Ендеше олардың параллел болуы, бір нүктеде қиылысуы, беттесуі, айқасуы берілген нүктелер және векторлар арқылы сипатталуы керек.L1 мен L2 түзуінің канондық түзуі берілсін.
L1:x-x1α1=y-y1β1=z-z1γ1, L2: x-x2α2=y-y2β2=z-z2γ2Енді бағытталған кесінділердің коллинеарлық шарты мен аралас көбейтіндіні есептеу формуланы қолдансақ, жоғары L1 мен L2-нің өзара орналасу шарттары келесі түрде жазылады: L1// L2α1α2=β1β2 = γ1γ2 - параллель(1)
| L1⋂L2|=1 - бір нүктеде қиылысады. | x2-x1y2-y1z2-z1α1β1γ1α2β2γ2| =0 және
α1:β1:γ1ǂ α2:β2:γ2(2)
L1 мен L2 айқасадыx2-x1y2-y1z2-z1α1β1γ1α2β2γ2ǂ0 (3)
L1 мен L2беттеседі (x2-x1): (y2-y1) : (z2-z1)= α1:β1:γ1=α2:β2:γ2 (4).
24. Кеңістіктегі түзумен жазықтықтың өзара орналасуын зерттеу.
Р: х-x0l=y-y0m=z-z0n; a=(l,m,n) – бағыттаушы вектор; (.)M0(x0;y0;z0)єP;
π: Ax+By+Cz+D=0;
1) Pтүзуі π жазықтығымен беттеседі ↔ (.)M0єπ, a//π ↔
Ax0+By0+Cz0+D=0, Al+Bm+Cn=0;
295973573025002) P∩π=Ø(бос жиын); (.)M0єπ, a//π ← Ax0+By0+Cz0+D≠0, Al+Bm+Cn=0;
ҮҮ Ђ
3) P∩π = жалғыз нүктеде ↔ a//π ↔ Al+Bm+Cn≠0;
25. Кеңістіктегі түзумен жазықтықтың арасындағы бұрыш.
Кеңістіктегі L түзуі мен Q жазықтығының арасындағы бұрыш деп, берілген L түзуі мен оның жазықтығы проекциясыының арасындағы сыбайлас екі бұрыштың бірі θ бұрышын айтады.
L түзуі мен x-am=y-bn=z-cp канондық теңдеуімен берілсін. θ бұрышын түзудің бағыттаушы S және жазықтықтың нормаль N векторының арасындағы φ бұрышы арқылы өрнектейтін болсақ:
:φ=π2±θ; ал cosφ=cosπ2±θ=±sinθБірақ барлық кезде θ≤π деп қарастыратын болады. Өйткені сыбайлас бұрыштардың синустары өзара тең:sinπ-θ=sinθ≥0Ендеше sinθ=|cosφ|деп алуға болады.
sin θ=|cosφ|=|NS|N|S|=Am+Bn+CpA²+B²+C²·m²+n²+p². ЕгерL || Q болса, онда sinθ=0Am+Bn+Cp=0. Егер Л перпендикуляр Й болса, θ=π2 , sinθ=1. Онда бағыттаушы S және жазықтықтың нормаль N векторы өзара коллинеар болады. Am=Bn=Cp26. Эллипс. Канондық теңдеу

Анықтама F1, және F2 дейін арақашықтарының қосындысы константа (өзгермейтін сан) болатын жазықтықтың нүктелер жиыны эллипс r1+r2=2a деп аталады.
F1,F2 - эллипстың фокустары.
r1,r2-фокалдық радиустар.
Егер кез келген (.)M(x,y) үшін r1+r2=2a⇒(.)MϵEЕнді F2-c,0, F1c,0- қарастырайық. (.)M(x,y)ϵEr- кез келген нүктесі.
Онда r1=(x-c)2+(y-0)2r2=(x+c)2+(y-0)2Бізде r1+r2=2a. Сонда (x+c)2+y2=2a-(x-c)2+y2(x+c)2+y2=4a2-4a(x-c)2+y2+(x-c)2+y2cx-a2=-a(x-c)2+y2c2x2-2cxa2+a4=a2(x-c)2+a2y2⇒x2a2-c2+y2a2=a4-a2c2Біздеa>c⇒a2-c2>0, a2-c2=в2деп белгілейік.
b2x2+a2у2=a2b2⇒x2a2+y2в2=1элипстің канондық теңдеуі
Фокалдық радиустарды есептеу

r1=(x-c)2+y2=(2)(x-c)2+в2(1-x2a2)=x2-2cx+c2+в2-в2-в2x2a2=(a2-c2=в2)=a2-в2a2x2-2cx+a2=a2-2cx+C2a2x2=(a-cax)2=a-Cax,Бізде, r1=F1M⇒c<a, x<a⇒a-Cax>0⇒r1=a-CaxЭллипстің эксцентриситеті.
е=F1F2A1A2=2c2a=ca<1e- эксцентриситет
Бізде в2=a2-C21a2⇒в2a2=1-C2a2⇒e=1-в2a2Эллипстің параметрлік теңдеуі.
x=acosty=вsint27. Гипербола (канондық теңдеуін қорыту, фокалдық радиустар, эксцентриситет, параметрлік теңдеу, асимптоталар). F1,F2 нүктелеріне дейінгі арақашықтықтарының айырмасының модулы тұрақты сан болатын жазықтықтағы нүктелер жиынын гипербола деп атаймыз.
|r1-r2|=2a
Фокалдық радиустар:
r1=x-c²+y², r2=x+c²+y²Канондық теңдеуін қорыту:
|x-c²+y² – x+c²+y²|=2a
x-c²+y²=x+c²+y²±2a
x2-2cx+c2+y2=x2+2cx+c2+y2±4ax+c²+y²+4a2
cx+a2=±ax+c²+y²c2x2+2a2cx+a4=a2x2+2a2cx+a2c2+a2y2
x2(c2-a2)-a2y2=a2(c2-a2)
c2-a2=b2
x2b2-a2y2=a2b2
x²a² - y²b² = 1
Гиперболаның экцентриситеті деп, келесі санды айтамыз:
е=ca c>a, e>1
Гиперболалық косинус пен гиперболалық синус:
cht=e˖+e˗ͭ2sht = eͭ-e˗ͭ2Параметрлік теңдеу:
cht = xa , sht= yaАсимптота дегеніміз гипербола шексіз жуықтайтын түзу.
y = bax; y= - ba x.
28. Парабола. Бізге жазықтықта (.) F нүктесі және DD' түзуі берілсін, (∙)FнүктесіDD' түзуіне тиісті емес.
Анықтама.Жазықтықтағы нүктелер жиынын парабола деп атайды, егер сол жиынның әр бір нүктесінің F нүктесіне дейінгі арақашықтығы және DD' түзуіне дейінгі арақашықтықтары тең болса.
908050336550082295933655002014220161925005041893365500504189193039002088514193040005041901930390012484103365500yM
dr196088026669900208851424511000201422077660500-635085153400
1960880-100
D(-p2,,0)F(p2,0)4508505270500x
Бұл жерде F – фокус, DD' директриса, фокуспен директрисаның арасындағы арақашықты параболаның параметрі pдеп атайды.
Параболаның e – сін бірге тең деп аламыз, e=1.
Бізде r=(x-p2)2+y2, d=x+p2,егерx≤0,онда минус таңбасы шығады
⇒x-p22+y2=x+p2,x-p22+y2=x2+px+p24⟹y2=2px 1→параболаныңпараметрліктеңдеуі.Сондықтан, 1) егер (.) Mx,y∈ парабола ⟹y2=2px.2) егер (.)M(x,y)∉ парабола ⟹y2≠2px.29. Матрицаларды санға көбейту амалы және оның қасиеттері. (дәлелдеумен)
Матрицаны санға көбейту үшін оның барлық элементтерін сол санға көбейтеміз.
Кез келген γ Є IR, A берілсін. A= { aij }
γА= { γaij }
Қасиеттері:
1·A=A
(γ·μ)·A= γ·(μ·A)=μ·(γ·A)
γ·(A+B)=γ·A+γ·B
(γ+μ)·A=γ·A+μ·B
30. Матрицаларды қосу амалы және оның қасиеттері (дәлелдеуімен). Матрица дегеніміз сандардан тұратын таблица. Матрицалар квадрат, үшбұрышты т.с.с. болады. Матрицаларды қосу оның элементтері (сәйкес) бойынша жүргізіледі. Транспонирленген матрица. А= ∝11∝12…..a1n∝21∝22…..a2n………………..∝m1∝m2…..amnαίJ– сандары матрицаның элементтері. i –жол, j –баған. Қысқаша А=(αίJ). ЕгербарлықαίJ = 0 болса, онда матрица нөлдік матрица. Егерекі Ажәне В матр-ныңсәйкесорындардатұратынэлементтерітеңболса, онда А=В. Егержол мен бағанныңгержол мен бағанныңорындарынауыстырсақ, ондатранспонирленген матрица аламыз. Реттерібірдейматрицалардықосуғаболады. Айталық, А=( αίJ), В=( bίJ) болсын, сонда А+В = (αίJ + bίJ). Матрицалардықосудыңқасиеттері:
1. А+В = В+А;2. А+0 = А;3. А+(В+С) = (А+В)+С. Егер А матрицасыныңбарлықэлементтерінµсанынакөбейтсек, ондаµ А = (µαίJ). Матр-нысанғакөбейтудіңқасиеттері: 1)1*А=А*1=А ;2) µ (ℓ А) = (µ ℓ )А ; 3) µ (А+В) = µА+ µВ; 4) (µ+ℓ)А = µ А + ℓ А;
Дәләлдеуі: А =3 4 10 2-1В =1-1 23-2 1А+В = 4 3 33 0 0 .
31. Матрицаны аудару амалы және оның қасиеттері. Матрицаның жолдарымен бағандарының орындарын ауыстыруды оны транспонирлеу деп аталады. А матрицасына осы амалды қолданғанда шыққан матрицаны А' арқылыбелгілейміз. А= ∝11∝12…..a1n∝21∝22…..a2n………………..∝m1∝m2…..amnА'= ∝11∝21…..am1∝12∝22…..am2………………..∝1n∝2n…..amnA/ - n*m; A – m*n;
Аудару амалының қасиеттері:1)(A/)/ =A ;               2) (λA)/ = λ* A/ ;  
 3) (A+B)/ = A/+B/; 4) (A*B)/ = B/*A/. Дәлелдеуі: А =3 9 50 3-17 8 9 А'=3 0 79 3 85 -1 932. Матрицаларды көбейтуA-m*k  ретті,   B-k*n  ретті.
Cij=αi1+b1j+ αi2+b2j+….+ (i=1,2……..m) (j=1,2……...n)
формулаларымен анықталатын C=A·B матрицасы А мен В матрицасының көбейтіндісі деп аталады.С матрицасы ретті m* n болады.
Матрицаға қолданылатын амалдар қасиеттері:
1)A+B=A+B;
 2) (A+B)+C=A+(B+C);    3)λ*(A+B)= λ*A+ λ*B ;    4) A*(B+C)=A*B+A*C;
5) (A+B)*C=AC+BC ;          
6) λ(A*B)=(λ*A)*B=А*( λ*B); 7) A*(B*C)=(A*B)*C. Дәләлдеуі: A =1 3 4 1 0-22 х 3 ретті,  B = -1 0 42 3 45-1 0 3 х 3 ретті
A*B =25 5 16 -11 2 4 .
33. Матрицаны сатылы түрге келтіру Гаусс алгоритмі.
А=(αij)⋲Mk×n(P) қандай да бір мат/а бол/н.
А мат/ң жол/на элементар түрлендірулер жасап сатылыSмат/н алу керек д.е.Егер А мат/сы нөл/к мат/а болса,онда S=А=0. Егер А≠0 болса,она келесі процедура/ды біртіндеп жасаймыз.
1.A мат\ң кем дегенде бір нөлдік емес бағаны бар. Нөлдік емес баған/ң ең кіші нөмірін j1 деп белгілейік. j1ші бағанындағы нөлден өзге элементінің біреуін ,айталық αi1j1элементін ерекше белгілеп алып оны бастаушы элемент деп атаймыз.
2.(a)түрлендірудің көмегімен астаушы элементі орналасқан i1 ші жолын 1-ші жолмен алмастырып В мат/н аламыз.
B=0…0β1j1…0…0β2j1…0…0βkj1…β1nβ2nβknБұл жерде β1j1αi1j1.
3.B мат/ң 2-ші жолынан β2j1β1j1коэф/ке көбейтілген 1-ші жолын, 3-ші жолынан
β3j1β1j1коэф/ке көбейтілген 1-ші жолын, т.с.сk- ші жолынан βkj1β1j1коэф/ке көбейтілген 1-ші жолды алып тастасақ,
C=0…0ᵞ1j10…000…00ᵞ1j1+1…ᵞ1nᵞ2j1+1…ᵞ2nᵞkj1+1…ᵞknмат/н аламыз. Бұл жерде ᵞ1j=β1j, егер j=j1 ,n болса : ᵞij=βij-β1j∙βij1β1j1, егер i=2,k, j=j1+1,n болса.ᵞij, i=2,k, j=j1+1,n элементтерінен құралған мат/ны арқылы белгілейік. Егер D=0 болса онда S=C, керісінше D мат/на жоғарыда келтірілген процедураларын қайталаймыз, яғни С мат/ң 1-ші жолымен 1-j1+1- ші бағандары алгоритмімізде одан әрі өзгермейді.
Гаусс алгоритмін бағандарға да жургізуге болады.
34.Векторлар жүйесіне қолданылатын элементар түрлендірулер. P-қандайда бір өріс, n-кез келген натурал сан ,алa1,a2,…,ak ⋲Pn болсын.a1,a2,…,ak векторлар жүйесіне жасалатын элементар түрлендірулер 3 типке бөінеді:
1. жүйенің кез келген екі век/ң орнын алмастыру;
2. жүйенің қандайда бір век/н P өрісінің кез келген нөлден өзгеше коэф/не көбйту;
3. жүйенің қандайда бір век/на басқа век/н кез келген P-ға тиісті коэф/ке көбейтіп алып,содан кейін қосу.
А⋲Mk×n(P) мат/ң a1,a2,…,ak жол/н Pn арифметикалық кеңістігінің,ал a1,a2,…,an бағандарын Pk арифметикалық кеңістігінің век/р жүйелері ретінде қарастыруға болады.Ендеше мат/ң жолдарына не бағандарына элементар түрлендірулерді жасауға болады.
35. Векторлар жүйесінің базасы және рангі.ai1, ai2,…ainвекторлар жүйесі
a1, a2,…anвекторлар жүйесінің ішкі жүйесі болсын. Егер осы ішкі жүйе үшін келесі екі шарт орындалса, онда ол ішкі жүйені бастапқы жүйенің базасы деп атаймыз.
1.ai1,ai2,…,air сызықтық тәуелсіз
2.ai1,ai2,…,air ∼a1,a2,…,ak (эквивалентті).
a1, a2,…anвекторлар жүйесінің кез келген базасының қуатын осы векторлар жүйесінің рангы деп атайды. А⋲Mk×nk жолы мен n бағаны бар берілгенa1, a2,…an жолдар, векторлар жүйесінің А матрицасының жолдар рангі деп a1, a2,…anвекторлар жүйесінің рангін айтады. А матрицасының бағандарының рангі деп {а -1⋲ Rn, а -n⋲ Rn} вектор жүйесінің рангі деп аталады.
36. Векторлар жүйесінің рангін табу әдісі.Анықтама:a1,a2,…,akвекторлар жүйесінің кез келген базасындағы векторлар санын r(a1,a2,…,ak) арқылы белгілейміз де, оны a1,a2,…,akжүйесінің рангі деп атаймыз.
a1,a2,…,akжүйенің r(a1,a2,…,ak) рангі жүйедегі тәуелсіз векторлардың максимал санына тең.
Век-ға қолданылатын сыз-тық амалдардың қасиеттері ж/е матрицаға қолданылатын сыз-тық амалдар бірдей. Гаусс алгоритмі векторлар жүйесінің сызықтық тәуелділігін зерттеу және оның рангі мен базасын табуға өте қолайлы тәсіл болып табылады.
37.Матрицаның рангі. Матрицаның рангін табу әдісі.Ан\ма: A=(αij), i=1,k; j=1,n мат/сы берілсін.
А=α11α12α1kα21α22α2kαn1αn2αnk⃪a1a2akқатар -a1…ak⋲Rn ;баған-a1…an⋲Rn А мат/ң жолдар рангі депr(a1…ak) век/р жүйесінің рангін айтамыз
А мат/ң бағандар рангі деп r(a1…an) век/р жүйесінің рангін айтамыз
Мат/ң рангі туралы теорема: кез келген мат/ң жолдар ж/е бағандар рангі тең болады.
Матрицаның рангін табу әдісі.А мат/ң рангін табу үшін Гаусс алгоритмін қолданып, оны сатылы түрге келтіреміз S деп белгілейміз . Осы мат/ғы нөлдік емес жолдар саны А мат/ң рангі болады.
Век-ға қолданылатын сыз-тық амалдардың қасиеттері ж/е матрицаға қолданылатын сыз-тық амалдар бірдей.Сатылы мат-ның жолдар рангі бағандар рангіне тең ж/е ол бастауыш элементтер санына тең болады.А мат-ның рангін табу үшін оны сатылы түрге келтіреміз.
38. Матрицаның рангі туралы теорема және оның салдары.
Теорема. Кез келген мат-н ың жолдар рангі бағандар рангіне тең.
Салдар. Кез келген Аматрицасы үшін r (A)=r(A').
Теорема. Екі матрицаның көбейтіндінің рангі көбейткіштердің рангтерінен аспайды.Матрицаны керіленетін матрицаға көбейткенде оның рангі өзгермейді.
Салдар1. Элементар түрлендірулер матрицаның рангтерін өзгертпейді.
Салдар2. А⋲Mk×n(P) матрицасы керіленетін матрица болуы үшін r (A)= п болуы қажетті және жеткілікті.
А мат-ның рангін табу үшін оны сатылы түрге келтіреміз(сатылы түріне жол н/е баған бойынша келтіреміз).Оны S деп белгілейміз.S сатылы түрдегі мат-ғы нөлдік емес жолдардың саны А мат-ның рангі болады.
(a1,a2,…,an) век-лар жүйесі бер/сін.Осы вектор жүйесінен матрица аламыз.Егер А мат-ның сатылы түрінде соңғы жолы нөлдік болса, онда (a1,a2,…,an) век-лар жүйесі сыз-тық тәуелді.Егер А мат-ның сатылы түрінде соңғы жолы нөлдік емес болса, онда (a1,a2,…,an) век-лар жүйесі сыз-тық тәуелсіз.
39. Ауыстыру туралы лемма.
Тұжырым:с1,с2,…,сn, n≥2, векторлар жүйесінің бірінші векторы нөлден өзгеше болсын, яғни с1≠θ. онда с1,с2,…,сn,жүйесі сызықтық тәуелді болуы үшін кем дегенде бір сί векторы оның алдындағы с1,с2,…,сi-1векторлары арқылы сызықтық өрнектелуі қажетті және жеткілікті.
Салдар:с1,с2,…,сi-1векторлар жүйесі сызықтық тәуелсіз, ал с1,с2,…,сi-1, сiсызықтық тәуелді болса, онда сί векторы с1,с2,…,сi-1векторлары арқылы сызықтық өрнектеледі.
Теорема: егер a1,a2,…,aK мен b1,b2,…,bm векторлар жүйелері үшін келесі екі шарт орындалса: 1) a1,a2,…,aK жүйесі сызықтық тәуелсіз; 2) a1,a2,…,aKвекторлары b1,b2,…,bm векторлар жүйесі арқылы сызықтық өрнектеледі, онда k≤m теңсіздігі орындалады. Дәләлдеу: қосымшаaK ,b1,b2,…,bm векторлар жүйесін қарастырсақ. aKвекторы осы жүйенің қалған b1,b2,…,bm векторлары арқылы теореманың 2-шарты бойынша сызықтық өонектеледі. Демек, бұл жүйе сыз-қ тәуелді болады. Тұжырым бой-ша ,осы жүйенің бір bί векторы оның алдынғы aK,b1,b2,….bi-1 векторлары арқылы сызықтық өрнектеледі. Ендіa1,a2,…..ak-1ж/е,b1,b2,….bi-1,bi+1, …,bmвекторлар жүйелерітеореманың 2 шартынқанағаттандырады..
Шарт 1) a1,a2,…..ak-1 жүйесі үшін орындалуы сыз-қ тәуелділіктің 4-ші қасиеті (сыз-қ тәуелсізжүйеденбірнешевекторлардыалсақ, қалғанвекторлар да сыз-қ тәуелсіз жүйені құрайды.) 2-шарттың орындалуынa1 векторы үшін тексеретін болсам, теореманыңбастапқы 2-шарты бой-шаa1 векторын b1,b2,…,bm векторлары арқылы жіктепалып , солжіктеуіндеbίвекторын оның aK,b1,b2,….bi-1векторларыарқылыжасалғансыз-қ өрнегіменауыстырсақ, ондаak,b1,b2,….bi-1,bi+1, …,bm векторлары ар-ы өрнектелуін табамыз.a2,a3,…..ak-1векторларының
ak,b1,b2,….bi-1,bi+1, …,bm векторлары арқылы сыз-қ өрнектелуі дәл осылай дәләлденді.
Салдар.Егер тәуелсіз a1,a2,…,aK мен b1,b2,…,bm жүйелерінің барлық векторлары басқа жүйе арқылы жіктелетін болса, онда k =m.Дәлелдеу: теорема бой-ша k≤m.ендіb1,b2,…,bmжүйесін бірінші, ал a1,a2,…,aK жүйесін екінші деп қарастырсақ, онда теоремадан k≥mтеңсіздігішығады.Демекk =m.40.Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі және оның түрлері.
α 1 x1+ α 2x2 +…+α nxn=β (1) теңдіктіx1, x2 ... xnбелгісіздіктері бар сызықтық алгебралық теңдеу деп атайды.
Бұл жерде α1,α2,αn- сызықтық теңдеудің коэффициенттері деп аталады және олар нақты немесе комплекс сандар. Β саны-сызықтық теңдеудің бос мүшесі деп аталады және ол да нақты немесе комплекс сан. (1)теңдеуде коэффициенттердің жоқ дегенде біреуі 0≠αі болсын.
αіхі=β-α1x1-α2x2-…- αi-1xi-1-αi+1xi+1-…αnxn
хі=βαi- α1αix1-…-αi-1αixi-1 - …-αnαixn(2)
Екінші өрнекті бірінші теңдеудің жалпы шешімі деп атайды. Бұл жерде хі –базистік белгісіз, ал қалған белгісіздер-еркін белгісіздер.
Анықтама1.САТЖ анықталған деп аталады,егер де оның жалғыз шешімі бар болса.
Анықтама2.САТЖ үйлесімді деп аталады, егер оның жоқ дегенде бір шешімі бар болса.
Анықтама3.САТЖ анықталмаған деп аталады, егер де оның ақырсыз көп шешімі болса.
Анықтама4.САТЖ үйлесімсіз деп аталады, егер оның бір де бір шешімі жоқ болса.
САТЖ-ның шешімдер жиыны осы САТЖ-дағы барлық теңдеулердің шешімдер жиындарының қиылысуы болады.
41. Матрицаны сатылы түрге келтіру Гаусс алгоритмі.
А=(αij)⋲Mk×n(P) қандай да бір мат/а бол/н.
А мат/ң жол/на элементар түрлендірулер жасап сатылыSмат/н алу керек д.е.Егер А мат/сы нөл/к мат/а болса,онда S=А=0. Егер А≠0 болса,она келесі процедура/ды біртіндеп жасаймыз.
1.A мат\ң кем дегенде бір нөлдік емес бағаны бар. Нөлдік емес баған/ң ең кіші нөмірін j1 деп белгілейік. j1ші бағанындағы нөлден өзге элементінің біреуін ,айталық αi1j1элементін ерекше белгілеп алып оны бастаушы элемент деп атаймыз.
2.(a)түрлендірудің көмегімен астаушы элементі орналасқан i1 ші жолын 1-ші жолмен алмастырып В мат/н аламыз.
B=0…0β1j1…0…0β2j1…0…0βkj1…β1nβ2nβknБұл жерде β1j1αi1j1.
3.B мат/ң 2-ші жолынан β2j1β1j1коэф/ке көбейтілген 1-ші жолын, 3-ші жолынан β3j1β1j1коэф/ке көбейтілген 1-ші жолын, т.с.сk- ші жолынан βkj1β1j1коэф/ке көбейтілген 1-ші жолды алып тастасақ,
C=0…0ᵞ1j10…000…00ᵞ1j1+1…ᵞ1nᵞ2j1+1…ᵞ2nᵞkj1+1…ᵞknмат/н аламыз. Бұл жерде ᵞ1j=β1j, егер j=j1 ,n болса : ᵞij=βij-β1j∙βij1β1j1, егер i=2,k, j=j1+1,n болса.ᵞij, i=2,k, j=j1+1,n элементтерінен құралған мат/ны арқылы белгілейік. Егер D=0 болса онда S=C, керісінше D мат/на жоғарыда келтірілген процедураларын қайталаймыз, яғни С мат/ң 1-ші жолымен 1-j1+1- ші бағандары алгоритмімізде одан әрі өзгермейді.
Гаусс алгоритмін бағандарға да жургізуге болады.
43. Крамерлі жүйелер. САТЖ-ны шешудің Крамер әдісі.
Егер 1-ші сатыдағы белгісіздер санымен теңдеулер саны тең болса ,онда бұл Сатж-ны крамерлік тендеулер жүйесі деп атаймыз.
a11x1 +a12x2+…+a22x1+a22x2+…+an1x1+an2x2+…+a1n*xn=b1a2n*xn =b2amn*xn =bn∆=a11a12⋯⋯a1na21a22….a2nan1an2….amn, ∀j1≤j≤nүшін ∆j=a11…b1…a1na21…b2…a2nan1…bn…amnТеорема: (крамер формуласы)Егер үшінші Крамерләі жүйе үйлесімді болса ,оның 1 ғана шешімі болады және ол шешімдер келесі крамер формуласымен табылады.
x1=∆1∆, x2=∆2∆,……………….xn=∆n∆44. Кері матрицаның анықтамасы. Кері матрицаны табудың Гаусс-Жордан алгоритмі.
Ан-ма: А шаршылы матрицасы берілсін Аn*n . Вn*n матрицасы Аn*n матрицасының кері матрицасы деп атаймыз егер келесі теңдік орындалса А*В=E. Мұнда Е n-ретті бірлік матрица.
В=A-1кері матрицаның белгіленуі.
Кері матрицаны табудың Гаусс-Жордан әдісі: Рет-ретпен келесі процедураларды орындаймыз:
А және Е блокты матрицаларды құрамыз (A|E). А-ның жоғарғы сол бұрышынан бастап сатылы түрге келтіреміз. А-ға қандай түрлендіру жасасақ, Е-ға да сондай нәрсе істейміз. Нәтижесі (В1|В2) блокты матрица матрица шығады.
Егер В1 матрицаның соңғы жолы 0-дік болса, онда алгоритмді нәтижесіз тоқтатамыз.
Егер В1 матрицаның соңғы жолы 0-дік емес болса, келесі амалды орындаймыз: В1 матрицаның төменгі оң бұрышынан бастап жоғары қарай сатылы түрге келтіреміз.
Нәтижеде (В1|В2) (C1|C2) блокты матрица шығады. Бұл жерде С1 матрицасы диагональды болады.
С1 матрицасына екнші элементар түрлендіру жүргізіп, келесі түрге келеміз (В1|В2) (Е|D). D матрицасы А матрицасына кері болады.
А*А-1=E
А-1*A=E
45. Алмастырулар. Алмастырулардың қасиеттері.M={1, 2, …, n} жиынының өзінің өзіне өзара кез келген бір мәнді сәйкестігін М жиынының алмастыруы д.а. (i1, i2, …, in)
M {1, 2, 3}
M {1, 3, 2} M {2, 1, 3} – M-нің алмастырулары.Транспозиция –алмастырудағы кез-келген екі элемент-ң орнын алмастыру д.a.
Алмастырудың қасиеттері: 1)М-ның кез-келген алмастыруынан басқа алмастыруына бірнеше транспозиция жасап көшуге б-ды; 2)n-элемент-ң жиының барлық алмастырулар саны n! болады. Егер алмастыруларда инверсиялар саны жұп болса ,алмастырулар жұп болады, егер тақ болса тақ болады. 3)n –элемент-ң жиының жұп ж/е тақ алмастырулар саны тең болады ж/е ½ n! тең болады.
46. Қойылымдар. Екі қойылымның көбейтіндісі.
Ан-ма: М={1,2,…,n} жиынының өзіне бірмәнді сәйкестігін n дәрежелі қойылым деп аталады.
А=(1 2 … n
α 1α2 … αn)
Егер қойылымның астындағы және үстіндегі алмастырулар жұп болса, онда жұп алмастыру, қалған жағдайда тақ алмастыру болады.
А=(1 2 … n В=(1 2 … n)
α1α2 …αn) β1β2 …βn)
A*B=C=(1 2 … n
γ1γ2 …γn)
R αk βk= γj.
Мысал: Екі қойылымның көбейтіндісі.
Анықтама.Егер n-реттті алмастыруды бірінің астына бірін жазсақ, n-ретті қойылым шығады.
1 23 44 13 21 23 43 24 1=1 23 41 34 247. Анықтауыштың негізгі қасиеттері. (дәлелдеумен)
1)Егер анықтауышта екі жолдың(бағанның) орындарын ауыстырсақ онда анықтауыштың таңбасы қарама-қарсыға ауысады.
Дәлелдеу.α11⋯α1nα21⋱α2nαm1⋯αmn =α21⋯α2nα11⋱α1nαk1⋯αkn2)Егер матрицаны аударсақ онда оның анықтауышы өзгермейді:|А'|=|A|
3)Егер анықтауыштың бір жолының(бағанының) ортақ көбейткіші бар болса,онда оны анықтауыштың таңбасының сыртына шығаруға болады.
Дәлелдеу.
аα11аα12…аα1nα21α22…α2nαm1αm2…αmn=aα11(-1)1+1A11+aα12(-)1+2A12+…aα1n(-1)1+nA1n=a|A|
4)Егер матрицаның қандай да бір жолына(бағанына) басқа жолды (бағанды) санға көбейтіп алып қоссақ, онда анықтауыш өзгермейді
5)Егер анықтауыштың екі жолы(бағаны ) бірдей болса, онда анықтауыш нөлге тең болады.
6)Блокты үшбұрышты матрицалардың анықтауышы диагональдік блоктарының анықтауыштарының көбейтіндісіне тең болады.
7)Егер А матрицасының жолдары немесе бағандары сызықтық тәуелді болса, онда анықтауыш 0-ге тең.
50. Сызықтық кеңістіктің анықтамасы. Мысалдар. Сызықтық кеңістіктердің базисы және өлшемі. Сызықтық кеңістіктердің өлшемі туралы теорема.
(P, +, *) P өрісі берілген (X,⨁, ⨀) веторлар жиыны берілсін , ⨁, ⨀<= қосу; санға көбейту векторлардын.<X,P> жұбы сызықтық кеністік деп аталады , егер төмендегі аксиомалар орындалса:
∀x,y ∈ X x⨁y= y⨁x
∀x,y,z ∈ X (x⨁y)⨁ z = x⨁(y⨁z )
∀x ∈ X ∃⨁∈X x⨁y= y⨁x=θ∀x ∈ X ∃ y ∈X x⨁y= y⨁x=θ∀x ∈ X 1⨀x=x
∀α,β∈ P ∀x ∈ X (α*β)⨀x=α° (x⨀β)
∀β,ρ∈ P ∀x ∈ X (α+β)⨀x=α⨀x⨁β⨀x
∀α∈ P ∀ x,y∈ X α⨀( x⨁y)=α⨀x⨁α⨀yМысалы: 1. (Mn*k (R),t,*) – сызықтық кеңістік; 2. (М1*n↝Rn)- сызықтық кеңістік. <X,P> сызықтық кеністік а1,a2,a3,…,ak ∈XL(а1,a2,a 3,…,ak)={α1 a1+ α2a2+…αkak / α1,α2,αk ∈ P}-бұл сызықтық қабықша(a1…ak), {b1…bn} векторлар жуйесинің сызықтық эквиваленті деп аталады. Келесі шарттар орындалса: 1. ∀i ai ∈L{b1…bn} 2. ∀j aj ∈L(a1…an)a1,a2…ak сызықтық векторлар базисі деп аталады егер келесі 2 шарт орындалса:1.{a1…ak} сызықтық тәуелсіз 2. ∀ b ∈ X b ∈ L (ai…ak) сызықты өрнектейді<X,P> c.k. өлшемі деп к санын атаймыз егер кез-келген элемент сызықтық тауелсіз бола тура осы жүйеге Х жиынына(максимал сызықтық тәуелсіз ішкі жүйенін векторларынын саны ) кез келген веторды біріктірсек сызықтық тәуелді жүйе шықса dim x=k.Теорема.(сызықтық кеңістік өлшемі туралы) dim x=n болсын ,онда келесі шарттар эквивалентті: 1)X кеңістігінің веторлар жиынының базисі табылады.
2) X жиынының кез-келген 2 базисінін элементтері саны тең болады.
54.Сызықтық қабықшалар. Ішкі кеңістіктердің қосындысының өлшемі туралы теорема.сызықтық кеңістігінде кез келген a1,a2,..,ak векторларының жүйесі берілсін.Осы векторлардан құрылған барлық сызықтық өрнектерден тұратын L(a1,a2,..,ak)⇌{⍺1a1+⍺2a2+…+⍺kak⃓⍺1,⍺2…,⍺k⋴P} жиынын a1a2,..,ak векторларының сызықтық қабықшасы,ал а1,a2,..,ak векторлардын L(a1,a2,...,ak)сызықтық қабықшасының жасаушылары д.а.Ішкі кеңістіктерінің L=L1+L2+…+Lk қосындысы Ɵ вектор үшін a=a+Ɵ жіктелуінің жалғыз болған жағыдайында және тек сол жағдайында ғана тура қосынды б/ы. Дәләлдеу. Қ.Қандайда бір А⋴L векторы үшін a=a+Ɵ жіктеуі бар болсын:a=a1+a2+…+ak және a=a’1+a’2+…+a’k. Бір жіктеуден екіншісін шегеріп,нөлдік вектор үшін Ɵ=(a1-a’1)+(a2-a’2)+..+(ak-a’k) жіктеуін аламыз.Ɵ вектор үшінa=a+Ɵ жіктеуі жалғыз және Ɵ=Ɵ+Ɵ+..+Ɵ болғандықтан, (a1-a’1)=(a2-a’2)=..=(ak-a’k)= Ɵ демек a1= a’1, a2=a’2,…, ak=a’k болады.

Приложенные файлы

  • docx 8823069
    Размер файла: 184 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий