Аналитическая геометрия на плоскости

Тема 4. Аналитическая геометрия на плоскости

4.1 Уравнения прямой на плоскости

Пусть на плоскости задана система координат. Рассмотрим уравнение вида
13 EMBED Equation.3 1415. (4.1)
Это равенство, если оно выполняется не для всех пар чисел 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, называется уравнением некоторой линии 13 EMBED Equation.3 1415 в заданной системе координат 13 EMBED Equation.3 1415. Уравнение (4.1) определяет или задает линию 13 EMBED Equation.3 1415.
Известно, что любое линейное уравнение с двумя переменными определяет прямую линию на плоскости.
Чтобы написать уравнение прямой 13 EMBED Equation.3 1415, ее надо задать. Существуют разные способы задания прямой, что приводит к различным по форме уравнениям, которые равносильны между собой, так как имеют одно и то же множество решений – координаты точек прямой 13 EMBED Equation.3 1415.
Зададим прямую 13 EMBED Equation.3 1415 при помощи точки 13 EMBED Equation.3 1415, принадлежащей данной прямой, и ненулевого вектора 13 EMBED Equation.3 1415, перпендикулярного этой прямой (рис. 4.1).


13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

О 13 EMBED Equation.3 1415
Рис. 4.1

Эти условия однозначно определяют прямую, так как через точку перпендикулярно вектору можно провести только одну прямую.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 - произвольная точка прямой 13 EMBED Equation.3 1415. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, т.е.



13 EMBED Equation.3 1415 . (4.2)
Каждый ненулевой вектор 13 EMBED Equation.3 1415, перпендикулярный данной прямой, называется ее нормальным вектором.
Уравнение (1.2) называется уравнением прямой, заданной с помощью нормального вектора и точки.
Зададим прямую 13 EMBED Equation.3 1415 при помощи двух точек 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, принадлежащих этой прямой.
Эти условия однозначно определяют прямую, так как через две заданные точки можно провести только одну прямую.

13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· О 13 EMBED Equation.3 1415
Рис. 4.2.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 - произвольная точка прямой 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 и

13 EMBED Equation.3 1415 (4.3)


Уравнение (4.3) называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки.
Уравнения (4.2) и (4.3) с помощью тождественных преобразований приводятся к равносильному виду
13 EMBED Equation.3 1415. (4.4)
Уравнение (4.4) называется общим уравнением прямой линии. Здесь 13 EMBED Equation.3 1415 - какие-либо числа. Некоторые коэффициенты могут равняться нулю, однако хотя бы одно из чисел 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 должно быть отлично от нуля, иначе в уравнении исчезнут обе текущие координаты 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Если в (4.4) какой-либо из коэффициентов равен нулю, то:
1) при 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415 - прямая проходит через начало координат;
2) при 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415): 13 EMBED Equation.3 1415 - прямая, параллельная оси 13 EMBED Equation.3 1415;
3) при 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415):13 EMBED Equation.3 1415 - прямая, параллельная оси 13 EMBED Equation.3 1415;
4) при 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415 - ось 13 EMBED Equation.3 1415;
5) при 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415 - ось 13 EMBED Equation.3 1415.

13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
О 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Рис. 4.3
Если ни один из коэффициентов уравнения (4.4) не равен нулю, то его можно преобразовать к виду:
13 EMBED Equation.3 1415, (4.5)
где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - величины направленных отрезков, которые отсекает прямая на осях координат (рис. 4.3).


Уравнение (4.5) называется уравнением прямой «в отрезках».
Из уравнения (4.4) можно выразить переменную 13 EMBED Equation.3 1415 как функцию от аргумента 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415. (4.6)
Уравнение (4.6) известно из элементарной математики, его называют уравнением с угловым коэффициентом.
Угловой коэффициент 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - меньший из неотрицательных углов, образуемых прямой 13 EMBED Equation.3 1415 с положительным направлением оси 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. Ордината точки пересечения прямой с осью 13 EMBED Equation.3 1415 равна 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 4.4).
Приведем еще некоторые сведения справочного характера.
Если известны угловые коэффициенты 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 двух прямых (рис. 4.5.), то один из углов 13 EMBED Equation.3 1415 между этими прямыми определяется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415. (4.7)
Второй угол равен 13 EMBED Equation.3 1415.

13 EMBED Equation.3 1415







О 13 EMBED Equation.3 1415


Рис. 4.4

13 EMBED Equation.3 1415






13 EMBED Equation.3 1415
О 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

Рис. 4.5


Условие параллельности двух прямых:
13 EMBED Equation.3 1415. (4.8)
Условие перпендикулярности двух прямых:
13 EMBED Equation.3 1415 . (4.9)
Точка пересечения прямых 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 определяется как решение системы:
13 EMBED Equation.3 1415 (4.10)
Расстоянием 13 EMBED Equation.3 1415 от точки 13 EMBED Equation.3 1415 до прямой 13 EMBED Equation.3 1415 называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Расстояние 13 EMBED Equation.3 1415 определяется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415 . (4.11)

4.2 Кривые второго порядка

Любое линейное уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 задает на плоскости прямую. Линии, задаваемые уравнениями вида
13 EMBED Equation.3 1415 , (4.12)
называются кривыми второго порядка. За исключением вырожденных случаев имеется всего 3 кривых второго порядка: эллипс (частный случай - окружность), гипербола и парабола, они имеют следующие канонические уравнения и вид.

Окружность
Окружностью радиуса 13 EMBED Equation.3 1415 с центром в точке 13 EMBED Equation.3 1415 называется множество точек плоскости удаленных от точки 13 EMBED Equation.3 1415 на расстоянии 13 EMBED Equation.3 1415.
Уравнение окружности имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415. (4.13)
В частности, полагая, 13 EMBED Equation.3 1415 получим уравнение окружности с центром в начале координат 13 EMBED Equation.3 1415.

Эллипс
Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415
Здесь 13 EMBED Equation.3 1415 - полуоси эллипса; О (0; 0) – центр эллипса. 13 EMBED Equation.3 1415 - половина расстояния между фокусами. Вершины эллипса 13 EMBED Equation.3 1415.
Фокусы 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 -
Прямые 13 EMBED Equation.3 1415 называются директрисами эллипса.

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415



Рис. 4.6
Форму эллипса характеризует отношение 13 EMBED Equation.3 1415, называемое эксцентриситетом эллипса. Чем меньше эксцентриситет, тем меньше вытянут эллипс вдоль фокальной оси, т.е. оси на которой лежат фокусы.
В предельном случае при 13 EMBED Equation.3 1415 эллипс переходит в окружность.
Если в каноническом уравнении эллипса 13 EMBED Equation.3 1415, то фокусы располагаются на оси ОУ и имеют координаты 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Гипербола
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415
Здесь 13 EMBED Equation.3 1415 - действительная полуось гиперболы, 13 EMBED Equation.3 1415- мнимая полуось гиперболы.
Точки 13 EMBED Equation.3 1415- вершины гиперболы.
Фокусы гиперболы 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Гипербола имеет две асимптоты 13 EMBED Equation.3 1415








13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415


Для построения гиперболы сначала строят основной прямоугольник, ограниченный прямыми 13 EMBED Equation.3 1415, затем проводят его диагонали, которые совпадают с асимптотами гиперболы.
Форму гиперболы характеризует эксцентриситет 13 EMBED Equation.3 1415. Чем меньше эксцентриситет, тем более вытянут её основной в направлении фокальной оси.
Гипербола 13 EMBED Equation.3 1415 называется сопряженной к гиперболе (4.15).
Здесь 13 EMBED Equation.3 1415- мнимая полуось гиперболы, 13 EMBED Equation.3 1415 - действительная полуось гиперболы Вершины сопряженной гиперболы 13 EMBED Equation.3 1415 и фокусы 13 EMBED Equation.3 1415 лежат на оси ОY.
Парабола
Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от фиксированной точки, называемой фокусом и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса 13 EMBED Equation.3 1415 до директрисы, называется параметром параболы и обозначается через 13 EMBED Equation.3 1415.
Каноническое уравнение параболы имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415. (4.16)
Точка 13 EMBED Equation.3 1415 - вершина параболы, ось 13 EMBED Equation.3 1415- ось симметрии параболы.
Фокус 13 EMBED Equation.3 1415 и уравнение директрисы 13 EMBED Equation.3 1415.



13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Парабола 13 EMBED Equation.3 1415 располагается симметрично относительно оси 13 EMBED Equation.3 1415.

Уравнение кривых второго порядка с осями симметрии параллельными осям координат
Если в уравнении (4.12) кривой второго порядка 13 EMBED Equation.3 1415, то каноническое уравнение можно получить с помощью параллельного переноса системы координат, при котором начало 13 EMBED Equation.3 1415 новой системы 13 EMBED Equation.3 1415 помещается в точку 13 EMBED Equation.3 1415, а «старые» и «новые» координаты связаны формулами:
13 EMBED Equation.3 1415 (4.17)
Уравнение эллипса с центром 13 EMBED Equation.3 1415 имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415 Если 13 EMBED Equation.3 1415,
то вершины эллипса 13 EMBED Equation.3 1415, а фокусы 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415,
то вершины эллипса 13 EMBED Equation.3 1415, а фокусы
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение гиперболы с центром 13 EMBED Equation.3 1415 имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
Вершины гиперболы 13 EMBED Equation.3 1415, а фокусы
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение сопряженной гиперболы с центром 13 EMBED Equation.3 1415 имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415 Вершины гиперболы 13 EMBED Equation.3 1415 а фокусы
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение параболы с вершиной 13 EMBED Equation.3 1415 с осью симметрии параллельной оси OX :
13 EMBED Equation.3 1415 (4.21)
или
13 EMBED Equation.3 1415 (4.22)
Уравнение параболы с вершиной 13 EMBED Equation.3 1415 с осью симметрии параллельной оси OY :
13 EMBED Equation.3 1415 (4.23)
или
13 EMBED Equation.3 1415 (4.24)
Пример. Используя параллельный перенос системы координат привести уравнение кривой 13 EMBED Equation.3 1415 к каноническому виду и построить кривую.
Решение. Преобразуем уравнение линии, группируя члены с 13 EMBED Equation.3 1415 и члены с 13 EMBED Equation.3 1415, и вынося за скобки коэффициенты при квадратах:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415;
выделим в скобках полные квадраты:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
разделим обе части уравнения на (-36):
13 EMBED Equation.3 1415
Получили уравнение сопряженной гиперболы (4.20) с центром в точке 13 EMBED Equation.3 1415 .
Выполним параллельный перенос
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
получили каноническое уравнение гиперболы в системе 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - новое начало.



Полярная система координат

Полярная система координат на плоскости определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, луча 13 EMBED Equation.3 1415, исходящего из этой точки и называемого полярной осью, и единицы масштаба 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 4.10).
Пусть М – произвольная точка плоскости. Обозначим 13 EMBED Equation.3 1415= ОМ – расстояние точки М от полюса,  13 EMBED Equation.3 1415 – угол, отсчитываемый от полярной оси против часовой стрелки до направления ОМ.
Числа 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называются полярными координатами точки М, 13 EMBED Equation.3 1415 – полярный радиус, 13 EMBED Equation.3 1415 – полярный угол точки М.
Задание пары чисел (13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415) однозначно определяет точку М на плоскости. Если ограничить изменение 13 EMBED Equation.3 1415 пределами 13 EMBED Equation.3 1415 (или 13 EMBED Equation.3 1415), то каждой точке плоскости также будет однозначно соответствовать пара чисел (13 EMBED Equation.3 1415).
Исключение составляет полюс, для которого 13 EMBED Equation.3 1415 = 0, а угол 13 EMBED Equation.3 1415  не определен.

Рис. 4.10
Часто оказывается полезным рассматривать на плоскости полярную систему координат (ПСК) вместе с декартовой системой координат (ДСК). Выберем ДСК так, чтобы ее начало 0 совпадало с полюсом, а ось ОХ была направлена по полярной оси 13 EMBED Equation.3 1415 (рис.4.11). Тогда полярные координаты (13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415 ) и декартовы координаты (13 EMBED Equation.3 1415) точки М связаны соотношениями:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
(4.25)

13 EMBED Equation.3 1415
(4.26)

13 EMBED Equation.3 1415 (4.27)
Из этих формул следует: 
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
(4.28)

 


Рис. 4.11
Формула для 13 EMBED Equation.3 1415 определяет два угла 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415 в промежутке [0; 213 EMBED Equation.3 1415). Чтобы уточнить, какой из углов выбрать, нужно учесть четверть, в которой находится точка М, или воспользоваться формулами (4.28).
Чтобы перейти от уравнения линии в декартовых координатах к ее полярному уравнению, нужно вместо (13 EMBED Equation.3 1415), подставить в уравнение их выражения из формул (4.25). Обратный переход от полярного уравнения к уравнению в декартовых координатах осуществляется с помощью формул (4.26), (4.28).
Пример . Построить в полярной системе координат точки :

Решение. Построение точек показано на рис. 4.12.

Рис. 4.12

Тема 5. Аналитическая геометрия в пространстве

Уравнение , связывающее три переменные , задает в пространстве некоторую поверхность .
Основная задача: на основании некоторой информации о данной поверхности (обычно геометрического смысла) составить уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки поверхности и только они.
Рассмотрим простейшую поверхность – плоскость.

5.1 Плоскость в пространстве

Плоскость в пространстве можно задать различными способами; соответственно получим различные виды уравнений плоскости.
1) Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно нормальному вектору :
, (5.1)
где - нормаль.









Рис. 5.1
Уравнение (5.1) получено из следующих соображений. Если - произвольная точка плоскости , то вектор перпендикулярен нормали , т.е. , откуда следует, что
.


2) Общее уравнение плоскости

, (5.2)
где коэффициенты ,,- координаты нормального вектора .

Уравнение (5.2) следует из уравнения (5.1), если в нем раскрыть скобки и число обозначить за . Таким образом, плоскость задается уравнением первой степени относительно , и .
Верно и обратное утверждение: всякое уравнение первой степени вида (5.2) определяет в заданной прямоугольной системе координат плоскость.

3) Уравнение плоскости «в отрезках»
13 EMBED Equation.3 1415 (5.3)


13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Рис.5.2
где , 13 EMBED Equation.3 1415 и - величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях , и соответственно.
Уравнение (5.3) может быть получено из общего уравнения плоскости (5.2) переносом числа (если ) в правую часть равенства и делением уравнения на число .


4) Уравнение плоскости, проходящей через три точки , и , не лежащие на одной прямой, может быть записано в виде:
. (5.4)








Уравнение вида (5.4) получено из следующих соображений. Если - произвольная точка плоскости , то три вектора
, ,


лежащие на плоскости , компланарны, а следовательно, их смешанное произведение равно нулю, т.е. . Используя выражение смешанного произведения в координатной форме, получим уравнение (5.4).
Если в уравнении (5.4) раскрыть определитель (лучше всего разложением по первой строке) и привести подобные члены, то получим уравнение вида (5.2).

5) Расстояние от точки до плоскости , заданной общим уравнением вычисляется по формуле:
. (5.5)

6) Угол между двумя плоскостями.
Пусть даны две плоскости:
с нормалью и
с нормалью .
В качестве угла между плоскостями и принимается угол между их нормалями: или в координатной форме
. (5.6)

7) Условие параллельности двух плоскостей и :
или в координатной форме
. (5.7)
Если , то обе плоскости и совпадают.

8) Условие перпендикулярности двух плоскостей и :
или в координатной форме
. (5.8)
9) Неполные уравнения плоскости.
Общее уравнение плоскости называется полным, если все его коэффициенты ,, и отличны от нуля. Если хотя бы один из коэффициентов равнее нулю, то уравнение (5.2) называется неполным.
Рассмотрим различные виды неполных уравнений.
а) Если , то плоскость проходит через начало координат (поскольку координаты удовлетворяют этому уравнению);
б) Если , то плоскость параллельна оси ;
в) Если , то плоскость параллельна оси ;
г) Если , то плоскость параллельна оси .
Признак параллельности плоскости координатной оси:
- если в уравнении нет переменной , то плоскость параллельна оси ;
- если в уравнении нет переменной , то плоскость параллельна оси ;
- если в уравнении нет переменной , то плоскость параллельна оси ,
т.е. плоскость параллельна той координатной оси, наименование которой отсутствует в уравнении плоскости.
д) Если , то плоскость параллельна координатной плоскости (так как эта плоскость одновременно параллельна оси и оси );
е) Если , то плоскость параллельна координатной плоскости (так как эта плоскость одновременно параллельна оси и оси );
ж) Если , то плоскость параллельна координатной плоскости (так как эта плоскость одновременно параллельна оси и оси );
з) Если , то уравнение задает координатную плоскость (так как плоскость параллельна плоскости и проходит через начало координат);
и) Если , то уравнение задает координатную плоскость (так как плоскость параллельна плоскости и проходит через начало координат);
к) Если , то уравнение задает координатную плоскость (так как плоскость параллельна плоскости и проходит через начало координат).

5.2 Прямая в пространстве

Для задания прямой в пространстве одного уравнения недостаточно. Это объясняется тем, что всякое уравнение с тремя переменными задает в пространстве некоторую поверхность , а не линию.
Рассмотрим различные виды уравнений прямой в пространстве.
1) Уравнения прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору




Рис. 5.4

(5.9)





Уравнения (5.9) называются каноническими уравнениями прямой.
Уравнения (5.9) получены из следующих соображений.
Если - произвольная точка прямой, то вектор коллинеарен вектору , а значит, их координаты пропорциональны, из чего и следуют уравнения (5.9).

2) Уравнения прямой, проходящей через две точки и .





Рис. 5.5

(5.10)


Уравнения (5.10) также являются каноническими уравнениями прямой, так как числа, стоящие в знаменателях, есть координаты вектора , являющегося направляющим для данной прямой.

3) Параметрические уравнения прямой в пространстве:
где (5.11)

Уравнения (5.11) получаются из канонических уравнений (5.9), если все три отношения в них приравнять к некоторому параметру , а затем выразить и через .
При этом - координаты точки , через которую проходит прямая параллельно направляющему вектору .
Замечание. Если какая–либо координата вектора равна , то равен и знаменатель соответствующей дроби в уравнениях (5.9).
Не следует воспринимать такую дробь как деление на . Если, например, , то уравнения (5.9) примут вид: .
Перейдем к параметрическим уравнениям прямой. Получим
где или
Первое уравнение , означает, что прямая лежит на плоскости , перпендикулярной оси .
4) Общие уравнения прямой в пространстве
(5.12)

Уравнения (5.12) задают прямую, как линию пересечения двух плоскостей. Общие уравнения прямой могут быть преобразованы к каноническому или параметрическому виду.
5) Пусть даны две прямые, заданные каноническими уравнениями

Угол между прямыми и определяется, как угол между направляющими векторами данных прямых и :
, или в координатной форме
. (5.13)

6) Условие параллельности двух прямых и :
или . (5.14)
7) Условие перпендикулярности двух прямых и :
или . (5.15)

5.3 Прямая и плоскость в пространстве

Рассмотрим смешанные задачи на прямую и плоскость в пространстве.
Пусть дана прямая с направляющим вектором и плоскостью с нормалью .

1) Угол между прямой и плоскостью определяется формулой
. (5.16)

2) Условие параллельности прямой и плоскости:









Рис. 5.4
, или

. (5.17)


3) Условие перпендикулярности прямой и плоскости:










Рис. 5.5
, или
. (5.18)















































































































13 EMBED Equation.3 1415



















13 EMBED Equation.3 1415

Рис. 4.7



О



13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415



13 EMBED Equation.3 1415







13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415



13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415





























Рис. 5.3







13 EMBED Equation.3 1415





директриса

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

директриса

13 EMBED Equation.3 1415

Рис. 4.8

13 EMBED Equation.3 1415



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeаEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 33Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 27Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 8823127
    Размер файла: 745 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий