Контрольная работа по аналитической геометрии в..

Контрольная работа по аналитической геометрии в пространстве
для студентов 1 ОЗО отделения математики
факультета математики, информатики и физики Южного федерального университета
на 2013/14 учебный год
Составитель: доц. И.А. Бреус.

Вариант 1
1. Векторы а и b образуют угол
· = 13 EMBED Equation.3 1415. Зная, что | а | = 6, |b| = 5, вычислить
|[аb] | .
2. Даны три вектора:
a = {1; 1; 3}, b = { 2; 2; 1}, с = {3;2;5}.
Вычислить a b c.
3. Установить, какие геометрические образы определяются следующими уравнениями в декартовых прямоугольных координатах пространства:
1) х = 0; 2) у = 0.
4. Составить уравнения линии пересечения плоскости Oxz и сферы с центром в начале координат и радиусом, равным 3.
5. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1(2; 1; 1) и имеет нормальный вектор n ={1, 2; 3}.
6. Привести уравнение плоскости к нормальному виду:
2х 2у + 2 18 = 0;
7. Для плоскости вычислить углы
·,
· и (, образуемые нормалью с осями координат, и расстояние р от начала координат:
х + у13 EMBED Equation.3 1415+z10 = 0.
8. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М 1 (2; 0; 3) параллельно: вектору а = {2; 3; 5}.
9. Составить уравнение сферы в случае, если сфера имеет центр С(0; 0; 0) и радиус r=9.
10. Установить, что плоскость х 2 = 0 пересекает эллипсоид
13 EMBED Equation.3 1415 по эллипсу; найти его полуоси и вершины.

Вариант 2
1. Даны: |а| = 10, |b| = 2 и a b=12. Вычислить |[аb] | .
2. Установить, компланарны ли векторы а, b, с, если:
a = {2;3; 1}, b = {l; - 1;3}, c = { 1; 9; 11};
3. Установить, какие геометрические образы определяются следующими уравнениями в декартовых прямоугольных координатах пространства:
1) z = 0; 2) х 2 = 0.
4. Составить уравнения линии пересечения сферы, центр которой находится в начале координат и радиус равен 5, с плоскостью, параллельной плоскости Охz и лежащей в левом полупространстве на расстоянии двух единиц от нее.
5. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор п = {5; 0; 3}.
6. Привести уравнение плоскости к нормальному виду:
х у z 13 EMBED Equation.3 1415 + 16 = 0;
7. Для плоскости вычислить углы
·,
· и (, образуемые нормалью с осями координат, и расстояние р от начала координат:
х у z13 EMBED Equation.3 1415+16 = 0.
8. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М 1 (2; 0; 3) параллельно прямой 13 EMBED Equation.3 1415.
9. Составить уравнение сферы в случае, если сфера имеет центр С (5; 3; 7) и радиус г = 2.
10. Установить, что плоскость z + 1 = 0 пересекает однополостный гиперболоид
13 EMBED Equation.3 1415 по гиперболе; найти её полуоси и вершины.

Вариант 3
1. Даны: |а| = 3, |b| = 26 и |[ab]| = 72. Вычислить аb.
2. Установить, компланарны ли векторы а, b, с, если:
a = {3; 2; 1 }, b = {2;1;2}, с = {3; 1; 2 );
3. Установить, какие геометрические образы определяются следующими уравнениями в декартовых прямоугольных координатах пространства:
1) y + 2 = 0; 2) z + 5 = 0.
4. Составить уравнения линии пересечения плоскости Oyz и сферы, центр которой находится в точке С(5; 2; 1) и радиус равен 13.
5. Точка Р (2; 1; 1) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.
6. Привести уравнение плоскости к нормальному виду:
4х 6у 12z 11=0;
7. Для плоскости вычислить углы
·,
· и (, образуемые нормалью с осями координат, и расстояние р от начала координат:
х + z 6 = 0.
8. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М 1 (2; 0; 3) параллельно оси Ох.
9. Составить уравнение сферы в случае, если сфера проходит через начало координат и имеет центр С(4; -4; 2).
10. Установить, что плоскость _у + 6 = 0 пересекает гиперболический параболоид
13 EMBED Equation.3 1415 по параболе; найти ее параметр и вершину.

Вариант 4
1. Векторы а и b взаимно перпендикулярны. Зная, что |а| = 3, |b|=4, вычислить:
1) |[(a + b) (a- b)]|; 2) | [(3ab)(a2b)]|.
2. Установить, компланарны ли векторы а, b, с, если:
а = {2; 1; 2}, b = {1;2; 3 }, с = {3; 4; 7 }.
3. Установить, какие геометрические образы определяются следующими уравнениями в декартовых прямоугольных координатах пространства:
1) х3 + у2 + z2 = 25; 2) (х 2)2 + (у + 3)2 + (z 5)2 = 49.
4. Составить уравнения линии пересечения двух сфер, одна из которых имеет радиус, равный 6, и центр в начале координат, другая имеет радиус, равный 5, и центр С(1; 2; 2).
5. Даны две точки М1(3; 1; 2) и М2(4; 2; 1). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1 перпендикулярно к вектору 13 EMBED Equation.3 1415.
6. Привести уравнение плоскости к нормальному виду:
4x 4у + 2z + 1 =0;
7. Для плоскости вычислить углы
·,
· и (, образуемые нормалью с осями координат, и расстояние р от начала координат:
у z + 2 = 0.
8. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М 1 (2; 0; 3) параллельно оси Оу.
9. Составить уравнение сферы в случае, если сфера проходит через точку А (2; 1; 3) и имеет центр С(3; 2; 1).
10. Установить, какая линия является сечением эллипсоида 13 EMBED Equation.3 1415 плоскостью
2х Зу + 4z 11=0, и найти её центр.

Вариант 5
1. Векторы а и b образуют угол
· = 13 EMBED Equation.3 1415. Зная, что |а| = 1, |b| = 2, вычислить:
1) [a b]2; 2) [(2а + b)(а + 2b)]2; 2) [(а + 3b)(3а b)}2;
2. Доказать, что четыре точки
А(1; 2; 1), В (0; 1; 5), С (1; 2; 1), D (2; 1; 3)
лежат в одной плоскости.
3. Установить, какие геометрические образы определяются следующими уравнениями в декартовых прямоугольных координатах пространства:
1) х2 + 2у2 + 3z2 = 0; 2) х2 + 2у2 + 3z2 + 5 = 0.
4. Найти точки пересечения трех поверхностей:
х2 +y2+x2 =49, у 3 = 0, z + 6 = 0.
5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1(3; 4; 5) параллельно двум векторам a1 = {3; 1; 1} и a2 = {1; 2; 1}.
6. Привести уравнение плоскости к нормальному виду:
5у 12z + 26 = 0;
7. Для плоскости вычислить углы
·,
· и (, образуемые нормалью с осями координат, и расстояние р от начала координат:
х13 EMBED Equation.3 1415+у + 10 = 0.
8. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М 1 (2; 0; 3) параллельно оси Oz.
9. Составить уравнение сферы в случае, если точки А(2; 3; 5) и В(4; 1; 3) являются концами одного из диаметров сферы.
10. Установить, какая линия является сечением гиперболического параболоида 13 EMBED Equation.3 1415плоскостью ЗхЗу + 4z + 2 = 0, и найти её центр.

Вариант 6
1. Даны векторы
а = {3; 1; 2} и b = {1;2;1}.
Найти координаты векторных произведений:
1) [ab]; 2) [(2a + b)b]; 3) [(2a b )(2a + b)
·].
2. Вычислить объём тетраэдра, вершины которого находятся в точках А (2; 1; 1), В (5; 5; 4), С (3; 2; 1) и D (4; 1; 3).
3. Установить, какие геометрические образы определяются следующими уравнениями в декартовых прямоугольных координатах пространства:
1) х у =0; 2) х + z = 0.
4. Найти точки пересечения трёх поверхностей:
х2 +y2+x2 =9, x2+y2 +(z 2)2 = 5, y - 2 = 0.
5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1(2; 1; 3) и М2(3; 1; 2) параллельно вектору а = {3; 1; 4}.
6. Привести уравнение плоскости к нормальному виду:
3х 4у 1=0;
7. Для плоскости вычислить углы
·,
· и (, образуемые нормалью с осями координат, и расстояние р от начала координат:
z 2 = 0.
8. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через две данные точки:
(1; 2; 1), (3; 1; 1).
9. Составить уравнение сферы в случае, если центром сферы является начало координат, и плоскость 16х15у12z + 75 = 0 является касательной к сфере.
10. Доказать, что эллиптический параболоид 13 EMBED Equation.3 1415имеет одну общую точку с плоскостью 2х 2у z 10 = 0, и найти её координаты.

Вариант 7
1. Даны точки А(2; 1; 2), B(1;2; 1) и C(3; 2; 1). Найти координаты векторных произведений 1) [13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 ]; 2) [(13 EMBED Equation.3 1415 2 13 EMBED Equation.3 1415) 13 EMBED Equation.3 1415].
2. Определить, какой является тройка а, b, с (правой или левой), если:
1) а = k, b = i, с = у; 2 )а = i, b = k, c = j;
3. Установить, какие геометрические образы определяются следующими уравнениями в декартовых прямоугольных координатах пространства:
1) у 2 = 0; 2) ху = 0.
4. Даны точки M1(3; 4; 4), M2(3; 2; 4). Определить, какие из них лежат на линии
13 EMBED Equation.3 1415
и какие не лежат на ней.
5. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки: М1 (3; 1; 2), М2 (4; 1; 1) и М3 (2; 0; 2).
6. Привести уравнение плоскости к нормальному виду: у + 2 = 0;
7. Для плоскости вычислить углы
·,
· и (, образуемые нормалью с осями координат, и расстояние р от начала координат: 2х + 1 = 0.
8. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через две данные точки:
(3; 1; 0),(1; 0, 3).
9. Составить уравнение сферы в случае, если сфера имеет центр С(3; 5; 2), и плоскость 2х у Зz + 11 = 0 является касательной к сфере.
10. Доказать, что двуполостный гиперболоид 13 EMBED Equation.3 1415 имеет одну общую точку с плоскостью 5х + 2z + 5 = 0, и найти её координаты.

Вариант 8
1. Вычислить синус угла, образованного векторами а = {2; 2; 1} и b = {2; 3; 6}.
2. Определить, какой является тройка а, b, с (правой или левой), если:
1) a = j, b = i, c = k; 2) а = i + y, b = j, c = k;
3. Установить, какие геометрические образы определяются следующими уравнениями в декартовых прямоугольных координатах пространства:
1) хz = 0; 2) yz = 0.
4. Даны точки М1( 1 4; 4) и M2(2; 3; 3). Определить, какие из них лежат на линии
13 EMBED Equation.3 1415
и какие не лежат на ней.
5. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют параллельные плоскости:
1) 2х 3у + 5z 7 = 0, 2х 3у + 5z + 3 = 0;
2) 4х+2у 4z + 5 = 0, 2х + у + 2z1=0;
3) х3z +2 = 0, 2х 6z 7 = 0.
6. Привести уравнение плоскости к нормальному виду:
х + 5 = 0;
7. Для плоскости вычислить углы
·,
· и (, образуемые нормалью с осями координат, и расстояние р от начала координат:
2у + 1=0.
8. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через две данные точки:
(0; 2; 3), (3; -2; 1).
9. Составить уравнение сферы в случае, если сфера проходит через три точки M1(3; 1; 3), M2(2; 4; 1) и M3 ( 5; 0; 0), а ее центр лежит на плоскости 2х + у 2 + 3 = 0.
10. Доказать, что эллипсоид 13 EMBED Equation.3 1415 имеет одну общую точку с плоскостью
4х 3у + 12z 54 = 0, и найти её координаты.

Вариант 9
1. Вектор х, перпендикулярный к векторам а = { 4; 2; 3 } и a = {0; 1; 3}, образует с осью Оу тупой угол. Зная, что |х| = 26, найти его координаты.
2. Определить, какой является тройка а, b, с (правой или левой), если:
1) a = i + j, b = i j, c= j; 2) a = i + y, b = i j, c = k.
3. Установить, какие геометрические образы определяются следующими уравнениями в декартовых прямоугольных координатах пространства:
1) хуz = 0; 2) х2 4х = 0.
4. Определить, какие из следующих линий проходят через начало координат:
1)13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
5. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют перпендикулярные плоскости:
1) 3ху 2z 5 = 0, х + 9у 32 + 2 = 0;
2) 2х + 3у 2 3 = 0, х у z + 5 = 0;
3) 2х 5у + z = 0, х + 22 3 = 0.
6. Привести уравнение плоскости к нормальному виду:
z + 3 = 0;
7. Для плоскости вычислить углы
·,
· и (, образуемые нормалью с осями координат, и расстояние р от начала координат:
х 2у + 2z 6 = 0.
8. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через две данные точки:
(1; 2; 4), (1; 2; 4).
9. Составить уравнение сферы в случае, если сфера проходит через четыре точки: M1(l; 2; 1), М2( 5; 10; 1), М3(4; 1; 11) и М4( 8; 2; 2).
10. Составить уравнение поверхности, образованной вращением эллипса
13 EMBED Equation.3 1415 вокруг оси Ох.

Вариант 10
1. Вектор т, перпендикулярный к оси Oz и к вектору a = {8; 15; 3}, образует острый угол с осью Ох. Зная, что |m| = 51, найти его координаты.
2. Векторы a, b, с, образующие правую тройку, взаимно перпендикулярны. Зная, что |а| = 4, |а| = 2, |а| = 3, вычислить abc.
3. Установить, какие геометрические образы определяются следующими уравнениями в декартовых прямоугольных координатах пространства:
1) ху у2 = 0; 2) уz + z 2 = 0.
4. На линии 13 EMBED Equation.3 1415 найти точку:
1) абсцисса которой равна 3; 2) ордината которой равна 2; 3) аппликата которой равна 8.
5. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат параллельно плоскости 5х 3у + 2z 3 = 0.
6. Привести уравнение плоскости к нормальному виду:
2z 1= 0.
7. Для плоскости вычислить углы
·,
· и (, образуемые нормалью с осями координат, и расстояние р от начала координат:
2х +3у 6z + 4 = 0.
8. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через две данные точки:
(0; 2; 4), (1; 0; 4).
9. Составить уравнение сферы радиуса r = 3, касающейся плоскости х + 2у + 2z+3 = 0 в точке M1 (l; 1; 3).
10. Составить уравнение поверхности, образованной вращением гиперболы
13 EMBED Equation.3 1415 вокруг оси Oz.








Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 8823206
    Размер файла: 134 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий