Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Лекция 7. Прямая на плоскости. Различные виды уравнений прямой на плоскости.

Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Лекция 7.
Прямая на плоскости

1.

Различные виды уравнений прямой на плоскости.


Общее

уравнение

прямой

Ax+By+C=0 ,
где

A
2
+B
2



0 .
(1)


Некоторые частные случаи общего уравнения прямой:

1) если А  0, то

уравнение приводится к виду у 
-
C
/
B
. Это есть уравнение прямой,
параллельной оси Ох;

2) если
B

 0, то прямая параллельна оси Оу;

3) если С  0, то получаем Ах
-
By

 0. Уравнению удовлетворяют координаты

точки


О(0; 0), прямая проходит через начало
координат.


Уравнение

прямой

с

угловым

коэффициентом

у
=kx+b
,

(2)

где

k = tg


-

угловой

коэффициент
,
b
-

величина

отрезка
,
который

отсекает

прямая

на

оси

Oy
,
считая

от

начала

координат
.




Уравнение

прямой
,
проходящей

чере
з

две

точки

М
1
(x
1
;y
1
)
и

M
2
(x
2
;y
2
)





(3)



Положение прямой на плоскости будет вполне определено, если задать точку, через
которую она проходит и вектор

ко
торому она перпендикулярна. Вектор

называют
нормальным вектором

прямой.



Уравнение прямой, проходящей через данную точку
перпендикулярно данному вектору






(4
)





Ненулевой
вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется
направляющим вектором


этой прямой.



Уравнение прямой, проходящей через данную точку


параллель
но данному вектору









(
5
)



Параметрические уравнения прямой















Уравнение прямой в отрезках на осях




2.

Угол между прямыми на плоскости, условия параллельности и
перпендикулярности прямых.





Пусть прямые (
l
1
)

и (
l
2
)

заданы уравнениями с

угловыми коэффициентами
у
=k
1
x+b
1

и
у
=k
2
x+b
2


. Требуется найти угол
φ

между прямыми.




Задание для самостоятельного решения
: получить формулу для вычисления угла
между прямыми как угла между нормальными векторами к этим прямым.




3.

Расстояние от
точки до прямой.


Пусть заданы прямая (
l
) уравнением Ах 
By

 С  0 и точка
М
0
(x
0
;y
0
)
. Требуется
найти расстояние от точки
M
0

до прямой (
l
) .



Расстояние
d

от точки
M
0

до прямой
(
l
)

равно
модулю проекции вектора

, где
М
1
(x
1
;y
1
)
-
(7)

произвольная точка прямой
(
l
)
, на направление нормального вектора
.
Следовательно,