конспект лекции по высшей геодезии


1. Основные определения и задачи сфероидической геодезии.
Раздел высшей геодезии, в котором рассматриваются математические методы решения геодезических задач на поверхности эллипсоида, называется сфероидическая геодезия.
Закатов П.С. пишет: «геоид – уровенная поверхность, совпадающая в океане с невозмущенной поверхностью воды, мысленно продолженная под материками так, чтобы направления отвесных линий пересекали эту поверхность во всех ее точках под прямым углом».
У Подшивалова записано: «под физической моделью Земли понимают геоид – тело, которое ограничено гладкой, всюду выпуклой поверхностью, в каждой точке которой вектор силы тяжести является нормалью, а поле силы тяжести имеет характеристики поля силы тяжести реальной земли».
У Пеллинена определение геоида такое: «геоид – это уровенная поверхность поля силы тяжести, проходящая через начало отсчета высот».
Пеллинен дальше пишет: «однако средний уровень океана из-за различия температуры и солености воды в различных частях мирового океана и ряда других причин поверхность геоида строго не совпадает с указанным уровнем. Например, в зоне Панамского канала разность составляет 62 см. До 70 см выше уровня Черного моря и морей Северного Ледовитого океана и Тихого океана располагается нуль-пункт Кранштадского футштока. В открытых частях мирового океана отклонение среднего уровня воды от геоида может достигать 1 метра».
Фигуру геоида под районами суши определить невозможно, поэтому в геодезии переходят к определению квазигеоида. Квазигеоид – это такая поверхность, которая однозначно определяется по наземным измерениям, совпадающая с геоидом на морях.
Понятие квазигеоида было впервые предложено М.С. Молоденским.
В зависимости от ориентации в теле Земли различают общеземной эллипсоид, ось вращения и плоскость экватора которого совпадают с осью вращения и плоскостью экватора Земли на некоторую эпоху.
2. Основные параметры земного эллипсоида и соотношения между ними.
P

PP1 – ось вращения;
OEE1A – плоскость экватор;
OE = a – большая экваториальная
E
O
полуось эллипсоида;
OP = b – малая полуось;
A
P1
E1

Полярное сжатие: α=a-ba (2)
Первый эксцентриситет: e= a2- b2a (3)
Второй эксцентриситет: e'= a2- b2b (4)
b=a1-α=a1-e2= a1+e'2 (5)
e2= e'21+e'2; e'2= e21-e2 (6)
ba=ee' ; ab= 11-e2 (7)
c – полярный радиус кривизны меридиана;
с=a2b.
3. Системы координат употребляемые в высшей геодезии.
1. Система пространственных прямоугольных координат:

1 – Гринвичский меридиан;
2 – плоскость экватора;
OZ направлена по полярной оси эллипсоида;
OY расположена в плоскости экватора, 90◦ начального меридиана;
M лежит на поверхности эллипсоида;
3 – параллель точки M;
L – геодезическая долгота.
Из точки М проведем линию параллельную ОР, получим точку М1; проведем линию параллельную ОХ, получим точку М2.
Координаты точки М:
Хм = М1М2;
Yм = ОМ2;
Zм = ММ1.
Достоинство этой системы координат – можно использовать в космической геодезии.
Y
2. Система прямоугольных прямолинейных координат, отнесенных к плоскости меридиана данной точки:
P

M
x = OMΙ
x
R1
y

R
O
y = MMΙ
xmax = a
X
ymax = b
PR1P1R – меридианный эллипс,
проходящий через точку M.
P1

Для практических вычислений координаты в этой системе не используются.
3. Система геодезических координат:
P

L
1 – гринвичский меридиан;
M
1
PP1 – ось вращения эллипсоида;
β
n
R
O
PMRP1 – геодезический меридиан
точки M;
L – геодезическая долгота;
B – геодезическая широта;
P1
Mn – нормаль к эллипсоиду;
n – пересечение нормали с осью эллипсоида.
Это основная система сфероидической геодезии.
Достоинства этой системы координат:
- система едина для всей поверхности эллипсоида;
- не требует дополнительных построений, так как координатные линии это параллели и меридианы;
- определяет положение нормали в данной точке, а это важно при изучении уклонений отвесных линий.
В пространственных координатах здесь используется H – высота точки над эллипсоидом.
H – отрезок нормали от точек физической поверхности до точки на эллипсоиде.
P
4. Система геоцентрических координат:
r
φ
M
O
P1

r – геоцентрический радиус -
вектор;
φ – геоцентрическая щирота;
Y
5. Система координат с приведенной широтой и геодезической долготой.
B
u
φ
y
M
x
n
X
M’
2
1
1 – меридианный эллипс;
2 – окружность с центром в т.О;
u – приведенная широта;
В – геодезическая широта;
ОМ = r – геоцентрический радиус-
вектор.
4. Связь между разными системами координат.
ρ=x2-y2 (6)
x=ρ*cosφ; н=ρ*sinφ (7)
tgφ=yx (8)
tgB=11-e2*yx= 11-e2*tgφ (9)
x=a*cosu;y=b*sinu (10)
tgu= 11-e2*yx (11)
tgu=1-e2*tgB (12)
tgu= 11-e2*tgφ (13)
Из формулы 9 следует, что tgφ=1-e2*tgB (14)
tgS=(1-e2)k*tgz (*), где S и Z отвлеченные величины, а в зависимости от k можно получить формулы с 11-ой по 14-ую.
S Z k формулы
u B 1 tgu=1-e2*tgB (12)
φu 1 tgφ=1-e2*tgu (13)
B u -1 tgB= 11-e2*tgφ (12)
u φ-1 tgu= 11-e2*tgφ (13)
φB 2 tgφ=1-e2*tgB (14)
B φ-2 tgB=11-e2*tgφ (14)
x=a*cosB1-e2*sin2B=a*cosBW , где W – первая функция широты.
y=a*1-e2*sinBW (15)
V=1+e'2*cosB, где V – вторая функция широты.
x=a*1-e2*cosφ1-e2*cos2φ , y=a*1-e2*sinφ1-e2*cos2φ;
ρ=a*1-1-e2*e2*sin2BW2=a*1-e2*sin2u .
5. Связь между различными системами координат в пространстве.
Рассмотрим пространственную геоцентрическую систему координат.
X=x*cosL=a*cosu*cosL=N+M*cosB*cosLY=x*sinL=a*cosu*sinL=N+M*cosB*sinLZ=y=a*1-e2*sinu=N*1-e2+H*sinBL – долгота;
x, y – меридианные координаты эллипса;
а – большая полуось эллипсоида;
е – эксцентриситет эллипсоида;
u – приведенная широта;
N – радиус кривизны первого вертикала;
H – геодезическая высота;
B – геодезическая широта.
N=aW , где W – первая основная функция геодезической широты.
M – радиус кривизны меридиана: M=a*(1-e2)/W2Радиус кривизны произвольного нормального сечения:
RA=M*NN*cos2A+M*sin2A , где А – азимут.
Ro◦ = M; R90◦ = N
RA=N1+ƞ2*cos2A; ƞ2=e'2*cos2B;
Средний радиус кривизны:
R=M*N=bW2=a*1-R2W2 ;
V=1+e'2*cos2B следовательно, N=c/V, где с – полярный радиус кривизны меридиана.
R=cV2; M=CV3Неравенство N<R<M используется для контроля вычислений.
Рассмотрим формулы перехода от Х,Y,Z к B,L,H и обратно.
N= a1-e2*sin2B;tgL=yx
Для определения четверти L (смотреть рисунок):

tgu=zD*1-e2 (15) , где D=x2+y2B=Z+a*e2x2+y2*sin3uD-a*e2*cos3u (16)
tgB=tgφ*1+a*e2x2+y2+z2+a*e4*sin2φ2*x2+y2+z2 , где φ - геоцентрическая широта, tg=ZD (17)
tgB=Z+e2*N*sinBD (18) – требуется до пяти приближений.
tgB=1D*Z+a*e2*tgB1+1-e2*tg2B (19)
tgB=tgu1-e2 (20)
Подставив формулу (20) в формулу (15) получим:
tgB=ZD*(1-e2) (21)
6. Длинна дуги меридиана.
dS = M*dB, где dS – малое расстояние на эллипсоиде по меридиану; M – радиус кривизны меридиана, dB – малая разность широт.
М= a*(1-e2)W2 , W= 1-e2*sin2BОт дифференциального уравнения перейдем к интегральному. Интегрируем по S и B:
S=a*(1-e2)B1B2dBW3 ;
Это эллиптический интеграл, следовательно, для его нахождения применим ряд:
S=a*1-e2*{A*B2-B1-B2*sin2B2-sin2B1+c4*sin4B2-sin4B1-…}
A=1+34*e2+4564*e4+… универсальные формулы для любых
B=34*e2+1516*e4+… размеров эллипсоида
C=1564*e4+…
Для средней широты Bm=B1+B22 имеем:
S=a*(B1+B2)''ρ''*1-e2*14+34cos2Bm+e28*(B2''-B1'')2ρ''2*cos2Bmудобно пользоваться в градусных измерениях.
Для расстояний 400 км:
S=Mm*(B1+B2)''ρ''*1+e28*(B2''-B1'')2ρ''2*cos2Bm
дает ошибку в длине 1мм.
Для расстояний меньше 45 км:
S=Mm*(B1+B2)''ρ''=(B1+B2)''(1)m , где (1)m=ρ''Mm и 2=ρ''N , где N – радиус кривизны первого вертикала.
7. Вычисление длинны дуги параллели.
r=N*cosB - радиус параллели;
B – широта;
N – радиус кривизны первого вертикала;
S'=N*cosB*l''ρ''=l''*cosB(2)
l’’ – разность долгот в секундах.
l’’=(2)*S’*secB.
8. Расчет рамок съемочных трапеций.
А
С
В2

AB=CD=Mm*(B1+B2)''ρ'' BD=(LCD-LAB)''*N1*cosB1ρ''
AC=(LCD-LAB)''*N2*cosB12ρ''В
D
В1

Площадь трапеции:
T=(LCD-LAB)''ρ''*b22*sinB2W2-sinB1W1+12e*ln1+e*sinB2*(1-e*sinB1)1+e*sinB1*(1-e*sinB2)
e – основание натурального логарифма;
b – малая полуось.
9. Кривые на эллипсоиде вращения.
-18986517145A,Б – точки на эллипсоиде на
разных меридианах;
Аna – нормаль к эллипсоиду
в точке А;
Bnb – нормаль к эллипсоиду
в точке B;
Проведём плоскость через три точки АnаВ. В этой плоскости лежит нормаль Аnа. Эта плоскость называется нормальной плоскостью в точке А, проходящей через точку В. Кривая АаВ есть прямое нормальное сечение в точке А на точку В.
Плоскость, проходящая через три точки BnbА, образует на эллипсоиде нормальное сечение из точки В на точку А. Это новая плоскость оставит след на эллипсоиде b.
Кривая BbA будет не совпадать с а. b – называется кривая обратного нормального сечения.
а не совпадает с b потому что нормали Аnа и Bnb не лежат в одной плоскости. Нетрудно заметить, что несовпадение прямых и обратных нормальных сечений приводит к тому, что измеренные горизонтальные углы на трех пунктах не образуют на поверхности эллипсоида замкнутого треугольника, фигура получится разорванной.
В сфероидической геодезии точки на поверхности эллипсоида соединяются геодезическими линиями (это кратчайшее расстояние между двумя точками).
Из дифференциальной геометрии известно, что в каждой точке геодезической линии главная нормаль совпадает с нормалью к поверхности.

Если треугольник будет состоять из геодезических линий, то фигура не будет разорванной.
Δ – угол между взаимообратными сечениями.
δ – угол между геодезической линией и прямым нормальным сечением

При этом геодезическая линия на поверхности эллипсоида делит угол Δ в отношении 1:2 и располагается ближе к прямому нормативному сечению, то есть δ=Δ3.
Из теоремы Клеро известно:
sinA*cosu=const , где А – азимут; u – приведенная широта.
Зная, что cosu=cosBW, можем записать:
sinA1,2*cosB1W1=sinA2,1*cosB2W2
Исходя из этой формулы, запишем в окончательном виде формулу для вычисления δ:
δ2,1''=ƞ12*S2*sinA1,2*cosA1,23N12*ρ''-ƞ12*S3*sinA1,2*tgB18N13*ρ''
A2,1=A2,1n-δ2,1'';
Здесь An – азимут нормального сечения.
∆1,2=AAaB-AAbB;
ƞ=(e')2*cos2B
Решение малых сферических и сфероидических треугольников.
Для сферического треугольника:
А+С+В=180◦ + Ɛ, где Ɛ – сферический избыток.
Ɛ=P*ρ''R2 , где P – площадь треугольника, R – средний радиус кривизны эллипсоида на район работ.

Введем обозначения:
f=ρ''2R2 ,тогда
Ɛ=f*b*c*sinA1=f*b*a*sinC1=f*a*c*sinB1
A1, B1, C1 – плоские приведенные углы.
По теореме Лежандра:
A1=A-Ɛ3;
B1=B-Ɛ3;
C1=C-Ɛ3.
Если треугольник с большими сторонами, то его следует рассматривать как сфероидический треугольник:
A1=A-Ɛ3-Ɛ''*n60*m2-a2-Ɛ''12*na-nn;
B1=B-Ɛ3-Ɛ''*n60*m2-b2-Ɛ''12*nb-nn;
C1=C-Ɛ3-Ɛ''*n60*m2-c2-Ɛ''12*nc-nn.
n=na+nb+nc3;
nβ=1Rβ2 – гаусова кривизна вершин треугольника ABC.
S – стороны равностороннего треугольника,
если S = 60 км, то Ɛ = 8’’;
если S = 30 км, то Ɛ = 2’’;
если S = 20 км, то Ɛ = 1’’;
если S = 10 км, то Ɛ = 0,25’’;
если S = 5 км, то Ɛ = 0,07’’.
Решение треугольника по теореме Лежандра:
Измеренные
углы -W3Уравненные
сферические
углы. -Ɛ3Углы плоского треугольника sin βСтороны сферического треугольника
Bизм b известно
Aизм a
Cизм c
Ʃ=180◦ +Ɛ Ʃ=180◦
W=Ʃβ-Ɛ
Применение способа аддитаментов:
Измеренные
углы -W3Уравненные
сферические
углы sinβПриближен.стороны Аддита-менты Стороны сферич.тре-угольника
Bизм b’ Ab b известно
Aизм a’ Aa a
Cизм c’ Ac c
W=Ʃβ-Ɛ Ab=b36R2; Aa=a36R2; Ac=c36R2;
bизв- Ab=b';
a=a'+Aa;
c=c'+Ac.
Общие сведения о вычислении широт, долгот и азимутов.
Будем рассматривать задачу вычисления координат точек на поверхности эллипсоида вращения.
Здесь изучим методы вычисления геодезических координат.
На плоскости:
Прямая задача: Дано:x1,y1,S,α
Найти: x2,y2
Обратная задача: Дано:x1,y1,S,α
Найти: x2,y2
На эллипсоиде:
Прямая задача: Дано: B1,L1,S1,2,A1,2
Найти: B2,L2, A2,1
Обратная задача: Дано: B1,L1,B2,L2
Найти: S1,2,A1,2, A2,1
Прямая и обратная задачи называются главными геодезическими задачами.
Рассмотрим расстояние S1,2:
Они бывают: малые – 30-45 км;
средние – 300 км;
большие – до 5000 км;
очень большие – до 19000 км.
A,B – точки на эллипсоиде;
Р – полюс;
РА и РВ – меридианы;
l – разность долгот такая, что L2 = L1 + l.
Для решения главное геодезической задачи используют два пути:
- прямой; - косвенный.

Прямой путь решения: решаем сфероидический треугольник PAB.
Косвенный путь: вычисляем разности:
B2-B1=b;
L2-L1=l;
A2,1-A1,2±180◦=t
Тогда во втором косвенном пути:
В2=В1+В2-В1=В1+b;
L2=L1+L2-L1=L1+l;
A2,1=A1,2±180+(A2,1-A1,2).
Поговорим о точности вычислений:
mβ=mxM*ρ'', где mx - точность положения на плоскости;
M – радиус кривизны меридиана;
mβ - ошибка широты.
mL=myN*ρ''*secB
если mx=my=1см, то mβ=0,0003'', следовательно mL=0,0003''*secB, mА≈0,007''При расстояниях 25 км вычисления B и L требуется выполнить с семью значными цифрами, а азимут А до сотых.
Рассмотрим формулы решения прямой геодезической задачи косвенным способом:
Bm=B1+B22 , Am=A2,1+A1,2±1802 – средняя широта и азимут.
В2-В1=b=ρ''Mm*S*cosAm*[1+l212ρ2+l2sin2Bm24ρ2]
Mm-радиус кривизны меридиана для средней широты.
L2-L1=l=ρ''Nm*S*secAm*secBm*[1+b224ρ2+l2sin2Bm24ρ2]
Nm – радиус кривизны первого вертикала.
A2,1-A1,2±180=t=l*sinBm*[1+b28ρ2+l212ρ''-l2sin2Bm24ρ2]
Для решения этой задачи необходимы приближения.
Обратная геодезическая задача:
a=s*cosAm=ρ''*bMm*[1+2l2+(l*sinBm)224*ρ2]
P=s*sinAm=ρ''*l*cosBmNm*[1+b2-(l*sinBm)224*ρ2]
tgAm=PQ
расстояние S=PsinAm, контроль S=acosAm,
t=l*sinBm*[1+3b2+2l2-2(l*sinBm)224ρ2]
Решение главной геодезической задачи по способу Бесселя.
Задача решается на эллипсоиде путем конформного преобразования на поверхности шара.
Сделаем чертеж:
На эллипсоиде:
AB – длина геодезической линии;
l – разность долгот.


На шаре имеем 3 точки.
δ – длина стороны на шаре;
u1,u2 – приведенные широты;
m – сторона прямоугольного сферического треугольника.

Рассмотрим решение прямой геодезической задачи на эллипсоиде:
По теореме Клеро:
sinA1,2*cosu1=sinA2,1*cosu2=const
δ=α*S+β+sinδ*cos2M+δ+γ*sin2δ*cos⁡(4M+2δ)
δ – зависит от δ, т.е. задача решается методом приближений.
α=ρ''b*A ,β=ρ''*BA ,γ=ρ''*cA;
A=1+k24-3k464;
B=k24-k464;
c=k4128;
k2=(e')2*cos2m;
ctgm=cosA1,2tgu1;
В первом приближении δ≈α*SS=1α*[δ-β*sinδ*cos2m+δ-γ*sin2δ*cos4M+2δ] (Ф.1)
Далее вычисляют A1,2,w, и u2 по формулам:
Из треугольника A1P1B1 вычисляют A1,2,w, и u2 по двум сторонам 90-u, δ и углу A2.
Далее находят разность долгот:
l=w-sinm*[α1*δ+β1*sinδ*cos2M+δ] (Ф.2)
α1=e2*12+l28-l216*cos2m;
β1=ρ''*cos2m*e416;
B2=u2+(B2-u2)
B2-u2=346.3143*sin2u2+0.2507*sin4u2+0.0003*sin6u2 (Ф.3)
Решение обратной геодезической задачи по способу Весселя:
1) l=L2-L1
2) ui=Bi-(Bi-ui) .
разность Bi-ui находим по формуле Ф.3.
3) Вычислим w по формуле Ф.2.
4) Находим А1,2 и А2,1 из сферического треугольника A1P1B1
5) Находим сторону S по формуле Ф.1.
Это единственный способ позволяющий решать задачи до 20000 км.

Приложенные файлы

  • docx 8859980
    Размер файла: 285 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий