методичка по высшей геодезии(лабораторные работ..

Министерство образования и науки Российской Федерации

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК)


Зимин В.М.






Методические указания
к выполнению лабораторных работ по разделам
сфероидической и теоретической геодезии курса
“Высшей геодезии”





Для студентов III – IV курсов
факультетов АФ, КФ и ФЭУТ

















Москва 2007 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1. Лабораторная работа № 1. Определение параметров основных элементов
земного эллипсоида и декартовых координат точки его поверхности . . . . . . . . 6

2. Лабораторная работа № 2. Вычисление длины дуги координатных линий
земного эллипсоида. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. Лабораторная работа № 3. Вычисление длины рамок и площади съемочной
трапеции масштаба m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4. Лабораторная работа№4. Решение малого сфероидического треугольника 12

5. Лабораторная работа №5. Решение главных геодезических задач на
поверхности эллипсоида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 17

6. Лабораторная работа №6. Вычисление плоских прямоугольных координат
проекции Гаусса – Крюгера по криволинейным геодезическим координатам
и обратно . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 Лабораторная работа №7. Переход от одного осевого меридиана зоны к
другому в проекции Гаусса -Крюгера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

8, Лабораторная работа №8. Редуцирование треугольника с поверхности
Земли на поверхность эллипсоида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

9. Лабораторная работа №9. Редуцирование треугольника с поверхности
эллипсоида на плоскость проекции Гаусса – Крюгера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

10. Лабораторная работа № 10. Вычисление аномалий силы тяжести
и построение гравиметрической карты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

11. Лабораторная работа №11. Вычисление нормальных и динамических
высот для разомкнутого нивелирного хода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54


















Введение
Курс высшей геодезии изучается студентами всех основных факультетов Университета, включая вечернего и заочного обучения.
Изучение вопросов высшей геодезии принято делить на три самостоятельных раздела: основные геодезические работы, сфероидическую геодезию и теоретическую геодезию. В первом рассматриваются теоретические и практические вопросы построения геодезических сетей; методы и способы геодезических измерений; технические средства измерений; предварительные вычисления и уравнивание сетей. Во втором - вопросы параметров основных элементов земных эллипсоидов, применяемых в России (Красовского, WGS-84 и ПЗ-90) и решения различных задач на их поверхности. В третьем - изучаются вопросы теоретических основ и методов решения научных проблем высшей геодезии; рассматриваются принципы определения поверхности и гравиметрического поля Земли при совместном использовании астрономо-геодезических, гравиметрических и спутниковых измерений, вопросы, связанные с преобразованием геодезических координат при переходе к прямоугольным координатам на плоскости и пространственным прямоугольным координатам; вопросы редуцирования геодезических измерений с поверхности Земли на поверхность относимости и далее на плоскость; вопросы составления гравиметрических карт аномалий силы тяжести, технологии определения разности нормальных и динамических высот и ряд других вопросов.
Особенностью изучения дисциплин курса высшей геодезии студентами негеодезических факультетов является то, что отводимое на это учебное время существенно ограничено и различно для специальностей факультетов АФ, КФ и ФЭУТ. В связи с этим объем и содержание лабораторных работ также различны.
Имеющиеся учебные пособия (“Практикум по высшей геодезии”, отдельные методические указания) для выполнения практических работ по курсу высшей геодезии составлены преимущественно для студентов геодезических специальностей. Подобного методического руководства по выполнению лабораторных работ по разделам теоретической и сфероидической геодезии для студентов негеодезических специальностей не имеется. Кроме того, в имеющихся пособиях из-за давности их издания содержатся существенные недостатки метрологического характера в области терминологии, названия и обозначения размерности измеряемых физических величин.
В связи с этим в целом возникают трудности в обеспечении преподавателей и студентов банком данных по составу и объему лабораторных работ для студентов негеодезических специальностей.
Настоящие единые методические указания разработаны на основе многолетнего опыта проведения лекций и лабораторных работ по высшей геодезии для специальностей факультетов ФФ, КФ и ФЭУТ и с учетом “Основных положений о государственной геодезической сети Российской Федерации” 2003 года. Они включают весь объем заданий на лабораторные работы и их методическое обеспечение в соответствии с учебной программой. Количество и конкретные виды лабораторных работ определяются для каждой специальности преподавателем в зависимости от реально отведенного учебного времени, предусмотренного календарными планами.
Новой отличительной чертой настоящих методических указаний является решение задач не только на одном референц-эллипсоиде Красовского, но и на эллипсоидах общеземных.
Спецификой решению многих задач по сфероидической и теоретической геодезии является необходимость “удержания” большого числа значащих цифр (иногда до 10 знаков после запятой). Поэтому выполнение лабораторных работ рассчитано на применение современных вычислительных технических средств.
Для наиболее сложных лабораторных работ приведены примеры решения подобных задач с ориентировкой удержания необходимого числа знаков исходных, определяемых и промежуточных величин.
Каждый студент выполняет лабораторные работы по своему варианту, установленному постоянно по номеру в списке журнала группы и представляет письменный отчет по определяемой преподавателем форме и в указываемый срок. Это позволяет значительно сократить объем содержания методических указаний.
В задании указываются исходные данные и возможные способы решения поставленной задачи, необходимые константы и графические пояснения.
В ряде задач в качестве исходных данных принимаются результаты предыдущих лабораторных работ. В связи с этим строго придерживаться устанавливаемых преподавателем сроков выполнения и защиты отчетов студентами.













Лабораторная работа №1
Определение параметров основных элементов земного
эллипсоида и декартовых координат точки его поверхности
Целью лабораторной работы является ознакомление с реальными значениями параметров основных элементов различных земных эллипсоидов, применяемых в России: Красовского, WGS – 84 и ПЗ – 90. Полученные результаты (формулы и константы) в дальнейшемv используются как справочный материал при решении задач других последующих лабораторных работ.
Дано:
1.Значения исходных параметров элементов эллипсоида:
Красовского WGS – 84 ПЗ –90
Полуось “а” 6 378 245 м 6 378 137 м 6 378 136 м
Сжатие “
·” 1 : 298,3 1 : 298,25 1 : 298,257839
(0,003 352 330 0,003 352 891 0,003 352 804)
2.Криволинейные координаты (геодезические) точки поверхности эллипсоида по вариантам n, где n – номер студента по списку в журнале учебной группы:
широта B = 550 10' 00,000” +10' n; долгота L = 370 30' 00,000”.
Определить:
1. Значения параметров основных элементов эллипсоида Красовского, WGS – 84 и ПЗ- 90:
1) значение малой полуоси b = a (1 -
·) определить до 10-4 метра.
2) квадрат значения первого эксцентриситета: е2 =
·(2 -
·);
3) квадрат значения второго эксцентриситета: (е1)2 = е2/ (1- е2);
значения эксцентриситетов определять до 10 –10 знака.
4) значение полярного радиуса кривизны: с = а2 / b ( до 10-4 метра).
Контроли: b2= а2(1-е2), b = a2/ c , е2 = (a2 –b2)/ a2, (е1)2 = (a2 –b2)/ b2,

· = (a –b)/ a =
· =1 -
· 1 - е2 a – b = a
·; с = а/ (1 -
·).
2. Значения основных (1-й и 2-й) сфероидических функций (W и V) геодезической широты B:
Wi2 = (1 - е2sin2Bi); Vi2 = (1+ (e1)2cos2Bi). Контроль: aW = bV.13 EMBED Equation.3 1415
3. Значения главных радиусов кривизны главных нормальных сечений и среднего радиуса кривизны: меридиана - М, первого вертикала – N, радиуса кривизны - Rср:
М = с / V3 ; N = c / V = а / W = a / (1 – е2 sin2B)1/2 ; Rср. =
· MN , удерживая 10-4 м. Контроль: N / M = V2.
4. Значения декартовых координат заданной точки поверхности эллипсоида, используя параметрические уравнения поверхности эллипсоида:
x = a cosUcosL,
y = a cosUsinL,
z = b sin U,
где U – приведенная широта: tg U =(1-e2)1/2 tgB.
Координаты вычислять до 0,001 м.
Контроль: x = N cosBcosL,
y = N cosBsinL,
z =N(1 – e2)sin B.

Полученные в первой работе значения параметров элементов земного эллипсоида являются справочными данными при выполнении последующих лабораторных работ.
Справка. В последующих лабораторных работах для значений
· использовать:

·0 = 57, 295 779 510;
·' = 3437,74677';
·” = 206264,8062”.

Рекомендуемая литература:
1. Бойко Е.Г. Сфероидическая геодезия, 2003 г. (глава 1).
2. Морозов В.П. Курс сфероидической геодезии, 1979 г. (глава 1).
3. Хаимов З.С. Основы высшей геодезии, 1984 г.(глава 4).
4.Конспект лекций.
Лабораторная работа №2

Вычисление длины дуги координатных линий
земного эллипсоида
Координатными линиями земного эллипсоида являются его меридианы и параллели. Геодезическими координатами точки на поверхности эллипсоида являются широта В и долгота L.
Целью лабораторной работы является закрепление теоретических знаний по данной теме и практическое сравнение результатов вычислений для различных земных эллипсоидов.
Дано: координаты первой точки дуги
B1=55010'00,000”+10'n;
L1 = 370 30' 00,000”,
где n – номер студента по списку в журнале.
1.Вычислить значение длины дуги меридиана эллипсоида Красовского, WGS-84 и ПЗ- 90 между точками с разностью их широт
·В =20 (В2 = В1 + 20) тремя способами:
1) с погрешностью не более 0,0001 м (по разности дуг от плоскости экватора):

·Х = Х2 – Х1,
где Хi = а0 Вi – а2 /2 sin2Bi + a4/4 sin4Bi –a6 /6 sin6Bi + ... .
Коэффициенты “a” для конкретного эллипсоида определяются по формулам:
а0 = m0
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· где а –значение большой полуоси эллипсоида,
е - значение первого эксцентриситета.
Например, для эллипсоида Красовского с а = 6 378 245 м и

·=1: 298,3 имеем:
а0 = 6 367 558,497 м, а2 = 32 072,960 м, а4= 67,312 м, а6 = 0,132 м.
2) с погрешностью не более 0,02 м с вычислением по формуле Симпсона:

·Х =
·В/6 (M1 + 4Mcр + М2),
где радиус кривизны Мi вычисляют по широте точек В1,,Вср. и В2 соответственно.
3) с погрешностью не более 2 м:

·Х = Мср.
·В.

2. Вычислить значение длины дуги параллели при разности долгот
·L = 20 на широтах пунктов с В1 и В2 тех же эллипсоидов:

·yi = Ni cos Bi
·L
3. Составить таблицу сравнения значений длины дуги меридиана и параллели: разности широт и долгот в 10 - в км, в 1
· и 1” - в метрах.
Значения длины дуги меридиана и параллели в 10, 1' и 1” являются справочным материалом при выполнении оценки точности результатов многих промежуточных вычислений.
Рекомендуемая литература:
1. Бойко Е.Г. Сфероидическая геодезия, 2003 г. (глава 1).
2. Хаимов З.С. Основы высшей геодезии, 1984 г. (глава4).
3. Практикум по высшей геодезии, 1982 г. ( глава15).
4. Конспект лекций.





Лабораторная работа №3

Вычисление длины рамок и площади съемочной трапеции
масштаба m

Схема трапеции

В а2 C

с d с

А а1 D
Целью работы является закрепление теоретических и практических знаний на примере определения длины координатных линий при расчетах размеров трапеций картографических материалов.
Дано: масштаб трапеции 1: 50 000, значение широты точки А рамки а1 трапеции условно принять равным В1 = 500 +10'n, где n - номер студента по журналу. Широта точки В2 рамки а2 определяется в соответствии с номенклатурой трапеции.
Вычислить для топографической карты масштаба 1: 50 000:
1. Значения длины рамок a1, a2, c и диагонали d трапеции в см
на поверхности эллипсоидов Красовского, WGS-84 и ПЗ.
Рабочие формулы выбрать из работы 2. Значения
·В и
·L определяются масштабом трапеции. Для выражения размеров рамок “a”, “с” и “d” в сантиметрах в числитель рабочих формул вводится коэффициент “100” , а в знаменатель - коэффициент, равный значению знаменателя m масштаба (50 000).
Для графического контроля размера трапеции вычисляют значение ее диагонали “d” как: d2 =(а1а2+ с2).
2. Площадь съемочной трапеции с погрешностью до 0,01 км2.
Р км2 = b2
·L(sin B2 – sin B1 + I + II + III) км2 ,

где: b – значение малой полуоси эллипсоида в км;
I = 2/3 е2 (sin3B2 – sin3B1),
II = 3/5 е4 (sin5B2 – sin5B1),
III = 4/7 е6 (sin7B2 – sin7B1).

Рекомендуемая литература:
1. Бойко Е.Г. Сфероидическая геодезия, 2003 г. (глава 1).
2. Хаимов З.С. Основы высшей геодезии, 1984 г. (глава4).
3. Практикум по высшей геодезии, 1982 г. ( глава15).
4. Конспект лекций.



















Лабораторная работа №4
Решение малого сфероидического треугольника

Решить треугольник – определить все его элементы: стороны и углы.
Треугольник на поверхности эллипсоида, образованный геодезическими линиями, называют сфероидическим треугольником. (Вопрос о редуцировании треугольника с земной поверхности на поверхность эллипсоида рассматривается в лабораторной работе №8). Решение такого треугольника с большими длинами сторон с требуемой высокой точностью затруднительно. Треугольник сравнительно малых размеров – со сторонами до 240 км – решается достаточно просто, принимая его за сферический, в котором стороны являются дугами большого круга).
Целью лабораторной работы является закрепление теоретических знаний по способам решения малых сфероидических треугольников на примере решения треугольника наиболее простыми известными способами: по способу аддитаментов (Зольднер,1820 г.) и с использованием теоремы Лежандра (1787 г.).
В геодезии известными обычно являются горизонтальные углы треугольника, измеряемые на пунктах, и длина одной из его сторон. Поэтому задача обычно сводится к нахождению длины двух других сторон треугольника.
1. Решение малого треугольника по способу аддитаментов
Суть способа: при решении малого сфероидического треугольника его углы оставляют сферическими, а длину сторон исправляют специальной “добавкой” - аддитаментом.
Исходной рабочей формулой для решения задачи является теорема синусов для сферического треугольника:
sin a/R sin b/R sin c/R
---------- = ---------- = ----------.
sin A sin B sin C
Стороны a, b, c малого треугольника значительно меньше радиуса земного шара R, поэтому, ограничивая разложение синуса малой дуги в ряд только двумя первыми членами, получаем:
sin a/R = (a – a3 / 6R2СР.) = a = a - a3 k = a - Aa,
sin b/R = (a – a3 / 6R2СР.) = b = b + b3k = b - Ab,
sin c/R = (a – a3 / 6R2СР.) = c = c + c3k = c - Ac,
где: в скобках –длина сторон a, b, c плоского треугольника;
Aa, Bb, Cc – аддитаменты (добавки) в длину сферической стороны для получения значения длины стороны плоского треугольника: Аа = ка3; Аb = кb3 ; Аc = кc3 ; коэффициент К = 1/ 6R2СР.
Для средней широты РФ, если Rср. и длину стороны треугольника выражать в км, значение “к” = 409х10-8. Тогда аддитаменты А будут выражаться в метрах.
Последовательность решения задачи:
1) вычислить аддитамент Ab исходной сферической стороны b как
Аb = кb3;
2) вычислить длину стороны b плоского треугольника
b = b – b3 Аb;
3) используя формулу синусов для плоского треугольника, определить длину двух других его плоских сторон а и с;
4) по полученным значениям а и с вычислить аддитаменты этих сторон Аа и Ас;
5) определить длину искомых сферичских сторон а и c как:
а = а + Аа и c = с + Ас .
Решение треугольника выполняется в форме таблицы.


Пример решения
Дано:
1) сферический треугольник на поверхности эллипсоида с известной стороной b = 45 297,282 м и сферическими углами
А = 600 12
· 45,257”, В = 510 20 20,552” , С = 680 26 59,701”, предварительно уравненными за невязку W треугольника:
W = А + В + С – 1800 -
·, где:

·” = (f b2 sinA sinC) / sinB – сферический избыток, А,В и С - углы треугольника (значения которых достаточно знать до минут), сторона b – в километрах, f - коэффициент в функции широты f =
·”/ 2R2 (для территории РФ при R и b в км коэффициент f принимается равным f =0,00253”/ км2). Если имеется невязка W, то она распределяется поровну
·i = - W / 3 в каждый угол.
Схема треугольника
B

c a

A b C
2) среднее значение широты треугольника: Втр.= 550.
Определить длину сторон “а” и “c” с округлением до 0,001 м.
Решение:
аддитамент исходной стороны Аb = кb3 = 0,380 м;
длина стороны b плоского треугольника b = b - b3Аb = 45296,902 м;
значения плоских сторон а1 = 52054,571 м; с1 = 54341,166 м;
аддитаменты сторон Аа = к а3 = 0,577 м; Аc = к c3 = 0,656 м.

Сферические углы
sin углов
Плоская сторона, м
А, м
Сферич. сторона, м

А
620 12 45,257”
0,884683284
52054,571
0,577
52055,148

B
50 20 20,552
0,769834642
45296,902
0,380
45297,282

C
67 26 59,701
0,923544670
54341,166
0,656
54341,822








· 1800 00 05,510”

· 5,510
W 0,000
2. Решение треугольника по теореме Лежандра
На практике способ аддитаментов используется обычно как контрольный. Решение треугольника выполняют по способу Лежандра, основанного на его теореме: “если стороны плоского и сферического треугольников равны между собой, то углы такого плоского треугольника равны соответствующим углам сферического треугольника, уменьшенным на одну треть сферического избытка”.
В связи с этим в данном способе решения треугольника сферические стороны остаются неизменными, а в сферические углы треугольника вводятся поправки -
·/3 за сферический избыток. Затем треугольник решается как плоский.
Последовательность решения:
1. Вычисление сферического избытка и невязки треугольника и распределение их поровну в исходные сферические углы (если значение сферического избытка и невязки не делятся ровно на три части, то доля в один из углов изменяется на одну единицу последнего разряда в большую или меньшую сторону); при отсутствии невязки треугольника значение сферического избытка контролируется отличием суммы углов от 1800.
2. Исправление углов за сферический избыток:
А1 = A –
·/3, B1 = B -
·/3, C1 = C -
·/3.

3. С исправленными за сферический избыток углами с длиной исходной сферической стороны по теореме синусов для плоского треугольника находят значение длины остальных сферических сторон треугольника.
Решение треугольника выполняется в форме таблицы.



Пример решения:
Исходные данные взяты из условий решения треугольника по способу аддитаментов.
Вычисляется значение сферического избытка
·” = 5, 510”

Сферические углы
-
·/3
Углы плоские
Sin углов
Сферичеcк. сторона,м

А
620 12 45,257”
-1,837”
62012 43, 420”
0,884679132
52055,148

B
50 20 20,552
-1,837
50 20 18, 715
0,769828958
45297,282

C
67 26 59,701
-1,836
67 26 57, 865
0,923541257
54341,823


· 180 00 00,000 - 5,510 180 00 00, 000

·” = 5,510
w = 0,000
Сопоставление полученных результатов решения треугольников обоими способами показывает, что они совершенно идентичны.
Задание по вариантам:
Значения сферических углов треугольника принять из примера данной работы;
Значение исходной стороны треугольника АС = “b” принять равным “b” = 44 797,282 м +100 м х n, где n – номер по списку в журнале группы;
среднее значение широты треугольника Вср. = 550.
Рекомендуемая литература:
1. Бойко Е.Г. Сфероидическая геодезия, 2003 г. (глава 2).
2. Хаимов З.С. Основы высшей геодезии, 1984 г. (глава 5).
3. Практикум по высшей геодезии, 1982 г. (глава 16).
4. Конспект лекций.







Лабораторная работа №5
Решение главных геодезических задач на поверхности
эллипсоида

Целью лабораторной работы является закрепление теоретического материала по решению задач на поверхности эллипсоида; ознакомление с технологией вычислительных работ при решении главных геодезических задач различными способами.
Прямой и обратной геодезическими задачами называют главными геодезическими задачами, решаемыми на поверхности относимости (эллипсоида) Решением этих задач определяется взаимное положение двух точек на эллипсоиде.
Прямая геодезическая задача заключается в том, что по известным координатам B1 , L1 некоторой начальной точки Q1 , прямому азимуту А12 и расстоянию S между точками Q1 и Q2 определяются координаты второй точки Q2: B2 , L2 и значение обратного азимута А21.
Обратная геодезическая задача заключается в том, что по положению точек Q1 и Q2 определяются длина расстояния S между ними, прямой А12 и обратный А21 азимуты направления Q1Q2 .
Способы решения прямой геодезической задачи

Существуют разные способы решения прямых задач на эллипсоиде. При выборе конкретного способа решения следует руководствоваться его эффективностью в зависимости от длины расстояния Q1Q2 и требуемой точностью определяемых элементов.
На практике приходится решать задачи для точек с длиной расстояния между ними вплоть до 20 000 км.
При малых расстояниях (до 300 км) для решения прямой задачи с погрешностью координат в пределах1015 см (0,003 0,005”) и азимута менее 0,003” наиболее часто применяют способ РУНГЕ-КУТТА - ИНГЛАНДА, в основу которого положен численный метод интегрирования дифференциальных уравнений первого рода. При решении задачи на любые большие расстояния это расстояние делится на части, которые соответствуют, например, средним расстояниям, рассматривая части как шаг интегрирования.
При любых больших расстояниях (более 1000 км) задачу решать целесообразно способом БЕССЕЛЯ (первый алгоритм).
Пример решения прямой геодезической задачи способом
Рунге – Кутта - Ингланда на эллипсоиде Красовского

Рабочие формулы:
B2 = В1 + 1/ 6 (
·В1 + 4
·В3 +
·В4);
L2 = L1 + 1/ 6 (
·L1 + 4
·L3 +
·L4); (1)

А2 = А1 + 1/ 6 (
·А1 + 4
·А3 +
·А4),
где
sin Аi

·Вi = S0 Vi3 cos Аi ,
·Li = S0 Vi ----------,
·А i =
·Li sin Вi (2)
cos Вi
(1 +0,6
·i)
Vi = ---------------,
·i =
· cos2 Вi,
· = 1,25 (е)2, S0 = (S/с)
·”,
(1 + 0,2
·i)
с – полярный радиус кривизны.
Для эллипсоида Красовского имеем:
с = 6 399 698,3 м,
· = 0,008 423 16, S0” = 0,0322304 S, где S – в м.
Значения Вi и Аi определяют в зависимости от номера приближения i (обычно достаточно четырех приближений).
Решение выполняется в форме таблиц 1 и 2.
Таблица 1
№ i
Вi
А i

1
В1
А1

2
В1 + Ѕ
·В1
А1 + Ѕ
·А1

3
В1 + ј(
·В1+
·В2)
А1 + ј(
·А1+
·А2)

4
В1 -
·В2 + 2
·В3
А 1 -
·А2 + 2
·А3


Последовательность операций решения задачи:

1) исходные данные для точки Q1 (В1 и А1) вписываются в строку 1 таблицы 1;
2) по этим данным по формулам (2) вычисляются значения
·В1,
·А1,
·L1 и определяются значения строки 2 таблицы: широту В2 и азимут А2;
Аналогично определяются значения строк 3 и 4.
Вычисление окончательные значений координат точки Q2 и значение обратного азимута А21 выполняется в форме таблицы 2.
Дано для точки Q1:
координаты точки B1 = 500 07 40,97”; L1 = 230 45 13,43”;
прямой азимут линии S12 ; А1 = А12 = 30 29 45,83”;
длина линии S12 = 281 260,18 м;
S0 = 9 065,125”;
· = 1,25х 0,006 738 525= 0,008 423 156;

·i =
· cos2 Вi = 0,0034617
Определить: координаты точки Q2 и значение азимута А21.
Таблица 2
i
1
2
3
4

Аi
30 29 45,83”
30 35 17,28”
30 35 29,24”
30 41 38,52”

Bi
50 07 40,97
51 23 23,91
51 23 23,18
52 39 03,89

Vi
1,001 384
1,001 311
1,001 311
1,001 239

Vi3
1,004 157
1,003 938
1,003 938
1,003 721


·В”
9 085,87
9 082,98
9 082,95
9 079,96


·L”
863,48
910,34
911,19
963,91


·А”
662,70
711,35
712,02
766,27



·В = 1/6 (
·В1 + 4
·В3 +
·В4) = 20 31 22,94”; В2 = В1 +
·В = 520 3903,91”;

·L = 1/6 (
·L1 + 4
·L3 +
·L4) = 0 15 12,02 ; L2 = L1 +
·L = 24 00 25,45 ;

·А=1/6(
·А1+4
·А3+
·А4)=001158,54”; А21= А12 +
·А ±1800 = 183 41 38,67.


Решение прямой геодезической задачи
способом Бесселя (1-й алгоритм)
Этапы решения прямой задачи
1. Операции перехода с эллипсоида на шар.
2. Решение задачи на шаре.
3. Переход с шара на эллипсоид.
Рабочие формулы
На первом этапе определяются значения:
1) приведенной широты U1 известной точки Q1 и вспомогательных
функций широты
tg U1 1
tg U1 =
·(1-e2) tg B1; sin U1= ---------------- и cos U1= ----------------

·(1 + tg2 U1)
·(1 + tg2 U1)

(контроль значений - по сумме квадратов функций)
2) вспомогательных значений функций А0 и
·1
cos A1
sin A0 = cos U1 sin A1; ctg
·1= ----------;
tg U1

2 ctg
·1 ctg2
·1 - 1
sin2
·1= -----------; cos2
·1= --------------.
ctg2
·1+1 ctg2
·1+1
3) коэффициентов А,В,С,
· и
·:
А = b (1 + k2/ 4 – 3k4/ 64 + 5k6/ 256) м,
B = b ( k2/ 8 – k4/ 32 +15k6/ 1024) м,
C = b ( k4/ 128 - 3k6/ 512) м,
где b – значение малой полуоси эллипсоида в метрах, k2 = (е)2 cos2A0.

·”= [(е2/2 + e4/8 + e6/16) - (e4 +e6) /16 cos2 A0 + 3e6 cos4A0 / 128]
·”,

·” = [(e4/ 32 + e6 / 32) cos2 A0 – e6 cos4A0 / 64]
·”.
При определении сферического расстояния
· в радианах поправку
· получаем в секундах.

4) сферического расстояния
· между точками Q1 и Q2

·0 = [S – (B +C cos 2
·1) sin 2
·1] / A,
sin2(
·1 +
·0) = sin 2
·1 cos2
·0 + cos2
·1 sin2
·0,
cos2(
·1 +
·0) = cos2
·1 cos2
·0 - sin 2
·1 sin2
·0,


sin2(
·1 +
·0)

· =
·0 + [B + 5 Ccos 2 (
·1 +
·0)] ------------------ ,
A
(обратить особое внимание на размерности величин
·1 ,
·0 и
·)
5) поправки
· в разность долгот
· – ,
где – неизвестная разность долгот точек Q1 и Q2 на эллипсоиде

· - разность долгот на шаре
(
· – ) =
· = {
·
· +
· [sin2(
·1 +
·0) - sin 2
·1] } sin A0.
На втором этапе задача решается на шаре

1) вычисление приведенной широты U2 точки Q2
sin U2 = sin U1cos
· + cos U1 cos A1 sin
·
2) вычисление разности долгот
· точек Q1 и Q2 на шаре

sin A1 sin
·
tg
· = --------------------------------------------
cos U1 cos
· - sin U1sin
· cos A1

При вычислении значения
· следует руководствоваться правилом:
Знак sin A1
+
+
-
-

Знак tg
·
+
-
-
+


· =
|
·|
1800 - |
·|
- |
·|
|
·| - 1800


3) вычисление значения обратного азимута А2 =
·2

cos U1 sin A1
tg A2 = -------------------------------------------
cos U1 cos
· cos A1 - sin U1sin
·

При вычислении значения A2 следует руководствоваться правилом:

Знак sin A1
-
-
+
+

Знак tg А2
+
-
+
-

А2 =
|А2|
1800 - |А2|
180 + |А2|
3600 - |А2|



Третий этап – переход с шара на эллипсоид
1) вычисление значения широты В2 точки Q2
1
tg В2 = ------------ tg U2

· 1 – е2
2) вычисление значения долготы L2 точки Q2
L2 = L1 + = L1 +
· -
·
3) вычисление значения обратного азимута А21 линии Q2Q1
А21 = А2 + 1800 .
Промежуточные контроли (приближенные):
1.
·B12
·
·U12
2.
·B012 111,2 k м = Q kм Q2 + P2
· S2

·L012 111,2 kм cos Bm = P kм
Основной контроль – результаты решения обратной задачи.























Пример решения прямой геодезической задачи
способом Бесселя (1-й алгоритм) на эллипсоиде
Красовского
Даны для точки Q1:
координаты точки B1 = 500 07 40,970”; L1 = 230 4513,430”;
прямой азимут линии S А12 = 30 29 45,830”;
длина линии S: S =281 260,18 м;

Определить: координаты Q2 и значение обратного азимута А21.
Обозначения
Значения
Обозначения
Значения

B1
50007 40,97”

·”
690,8886

L1
23 45 13,43

·”
0,2893

A1
3 29 45,83

·0 рад
0,043 345 949

S м
281 260, 18
2(
·0 +
·1)
1,835 019 318


·(1 – e2)
0,996 647 670
sin2(
·0 +
·1)
0.965 295 715

tg U1
1,193 163 659
сos2(
·0 +
·1)
- 0,261159 304

sin U1
0,766 418 545

· рад
0,044 154 621

cos U1
0,642 341 508

·”
1,195

sin A1
0,060 979 969
sin U2
0,793 971 915

cos A1
0,998 138 990
tg U2
1,305 972 728

sin A0
0,039 169 966
B2
520 39 03,91”

cos2 A0
0,998 465 714
sin
·
0,044 140 275

ctg
·1
0,836 548 266
cos
·
0,999 025 343


·1 рад
0,874 163 710
tg
·
0,004 427 466

sin2
·1
0,984 282 701

·”
913, 225

cos2
·1
-0,176600013
L2
240 00 25,46”

A м
6 367 542,105
tg A2
0,064 563 255

B м
5 337,303
A2
30 41 38,67”

C м
2,237
A21
1830 41 38,67”

Вывод по результатам лабораторной работы: сопоставление
полученных результатов решения прямой геодезической задачи обоими способами показывает, что они совершенно идентичны.
Исходные данные для решения задач по вариантам:
Координаты точки Q1: В1 = 500 07 40, 000”
L1 = 24 45 14, 000
Прямой азимут: А1 = 3 30 00, 000 + 10 n, где n- номер по списку в журнале группы
Длина S = 281 260, 18 м ; Эллипсоид ПЗ-90.

Решение обратной геодезической задачи
по формулам со средними аргументами
При решении обратной геодезической задачи для расстояний между точками Q1 и Q2 не более 400 км наиболее удобной оказывается формула со средними аргументами.
Точности определения длины линии, прямого и обратного азимутов характеризуются следующими предельными погрешностями:
S, км

·S, м

·А”

80
200
400
0,01
0,1
1,0
0,02
0,1
0,5


Технологическая цепочка решения задачи и рабочие формулы:
1) по координатам точек Q1 и Q2 вычисляются значения

(B2 - B1)” (L2 - L1)” B2 + B1

·Bрад = ------------, рад = ------------, Bm = ----------,

·”
·” 2
a Vm =
· (1 + e2 cos2Bm), Nm = c / Vm , Mm = c / Vm3, c = ------------

·(1– e2)
Контроль: Nm / Mm = V2.
2) вычисляются значения Q , Р ,
·A и Аm

2(2 + sin2 Bm)
Q = S cos Am =
·B Mm [ 1 - ---------------------]
24


·B2 - ( sin Bm)2
P = S sin Am = Nm cos Bm [ 1 + ----------------------]
24
3
·B2 + 2 2 - 2( sin Bm)2

·A” = sin Bm [ 1 + ------------------------------- ]
·”
24
tg Am = P / Q
3) вычисляются искомые значения прямого A12 и обратного A21 азимутов и расстояния S:
A12 = Am -
·A / 2, A21 = Am +
·A / 2 ± 1800,

S = P / sin Am = Q / cos Am =
·(Q2 + P2).
Контроль – сравнение с данными, полученными при решении
прямой геодезической задачи.
Исходные данные – геодезические координаты точек 1 и 2 принять из решения прямой задачи по своему варианту.
Пример решения обратной геодезической задачи на
эллипсоиде Красовского

Дано: значения координат точек Q1 и Q2
B1 = 500 07 40.97”, B2 = 520 39 03,91”, (е)2 = 0,006 738525,
L1 = 23 45 13,43 , L2 = 24 00 25,46, с = 6 399 698,9018 м

Определить: значения прямого А12 и обратного А21 азимутов и
расстояния S между точками Q1 и Q2.

Решение выполняется в форме таблицы
Обозначение
Значение
Обозначение
Значение

B2 рад
0,918 934 806
Q, м
280 706,7048

B1 рад
0,874 899 472
P, м
17 636,3685


·B рад
0,044 035 334
tg Am
0,062 828 461

рад
0,004 421 597
Am
30 35 42,29”

Вm рад
0,896 917 139
sin Bm
0,003 455 104

sin Вm
0,781 406 853

·A“
712,79

cos Вm
0,624 021 898

·A0/2
00 05 56,42”

(е)2сos2 Вm
0,002 624 004
A012
3 29 45,85

Vm
1.001 311 142
A0 21
183 41 38,71

Nm , м
6 391 318,9751
S=
· Q2 + P2
281 260,19 м

Mm , м
6 374 592,0259
S=P/sinAm=Q/cosAm
281 260,19 м

Вывод: результаты решения обратной геодезической задачи соответствуют результатам решения прямой задачи.
Рекомендуемая литература:
1. Бойко Е.Г. Сфероидическая геодезия, 2003 г. (глава 3).
2. Морозов В.П. Курс сфероидической геодезии, 1979 г. (глава IY)
3. Хаимов З.С. Основы высшей геодезии, 1984 г. (глава 5).
4. Практикум по высшей геодезии, 1982 г. (глава 17).
5. Конспект лекций.






















Лабораторная работа №6
Вычисление плоских прямоугольных координат
проекции Гаусса – Крюгера по криволинейным
геодезическим координатам и обратно

Необходимость введения системы плоских координат вызвана тем, что эллипсоидальная геодезическая система оказывается сложной и мало пригодной в массовых геодезических работах.
Цель работы: закрепить теоретические знания по вычислениям, связанным с применением в геодезии прямоугольной проекции Гаусса – Крюгера.
1. Вычисление координат Х, У проекции Гаусса – Крюгера
по криволинейным B, L геодезическим координатам
Р

- 1 +2
Q1 -y1 +y2 Q2

Q
L1 x1 X x2 L2

L0
-Y 0 +Y

Проекция Гаусса - Крюгера является конформной симметричной проекцией. Уравнения симметричных проекций при малом значении i = Li – L0 представляются степенными рядами общего вида как
x = a0 + a2 2 + a4 4 + а66 , или x = Х + a2 2 + a4 4 + а66 ,
у = b1 + b33 + b55 + .

где Х = А0В - А2/2 sin2B + A4/4 sin4B – A6/6 sin6B + ... ,
значения коэффициентов А для эллипсоидов Красовского, WGS-84 и ПЗ-90 равны соответственно:
А0 = 6 367 558, 497 м , 6 367 449,147 м 6 367 446,861 м
А2 = 32 072,960 32 077,017 32 076,935
А4 = 67,312 67,330 67,322
А6 = 0,132 0,132 0,130

Значения коэффициентов “a” и “b” вычисляют по формулам:
а2 = Ѕ N sinB cosB
a4 = 1/24 N sinB cos3B (5 - tg2B + 9
·2 + 4
·4), где
· = е
· cosB
a6 = 1/720 N sinB cos5B (61 – 58 tg2B + tg4B + 270
·2 - 330
·2 tg2B)
b1 = N cos B,
b3 = 1/6 N cos3B (1 - tg2B +
·2),
b5 = 1/120 N cos5B (5 - 18 tg2B + tg4B + 14
·2 - 58
·2 tg2B).
Если численные значения коэффициентов вычислять по элементам эллипсоида Красовского, то можно воспользоваться более удобными формулами:
х = 6 367 558,4969 В – {a0 – [0,5 + (a4 + a62) 2] 2 N} sinB cosB;
y = [1 + (a3 + a5 2) N] cosB,
где
a0 = 32 140,404 – [135,3302 –(0,7092 – 0,004cos2B)cos2B]cos2B,
a4 = (0,25 + 0.00252cos2B)cos2B – 0,04166,
a6 = (0,166cos2B – 0,084)cos2B,
a3 = (0,333 333 3 + 0,001123 cos2B)cos2B – 0,166 666 7,
a5 = 0,0083 – [0,166 7 –(0,1968 + 0,004cos2B)cos2B]cos2B.
Исходные данные для решения задачи по варианту:
Широта точки B = 500 07 40.9700” + 20 n,
Долгота точки L = 23 45 13,4300 + 20 n .
Определить значения плоских координат Х и У точки по ее геодезическим координатам на эллипсоидах Красовского и WGS-84 с погрешностью до 0,001 м.
Пример решения задачи для эллипсоида Красовского по
формулам общего вида

Исходные данные:B=5103843,9000” L=2400213,1360 L0 = 270
Обозначения
Значения
Обозначения
Значения

Врад
рад
sin B
cos B
cos2B
sinBcosB
A0 B
А2/2
A4/4
A6/6
X
tg2B

0,9013845503
-0,051 714 416
0,784186779
0,620524854
0,385051094
0,486607386
5 739 618,8120
16 036,480
16,828
0,022
5 724004,0994 м
1,597 057 931


·2
N
2
N sinB
a2
a4
a6
x
b1= NcosB
b3
b5
y

0,002 594 675
6 391412,450 м
0,002 674 380
5 012 061,142
1 555 054,254
170 966,378
- 19 050,150
5 728164,129м
3 966 030,2770
- 151 303,2139
- 109 538,5000
- 205079,973 м

2 Вычисление геодезических координат B, L по плоским
координатам х,у
Контролем результата решения первого преобразования координат является обратное преобразование: по полученным значениям плоских координат вычислить значения геодезических координат точки на тех же эллипсоидах.
Для симметричных проекций функции преобразования представляются в виде рядов разложения по степеням ординаты “у” :
B = A0 + A2 y2 + A4 y4+
= P1 y + P3 y3 + P5 y5 + .. , где = L - L0
Для любой точки осевого меридиана ( =0) при соблюдении условия Гаусса, что для осевого меридиана Х = х, ее широта равна ВХ = А0 . Используя формулу для длины дуги меридиана, имеем:
Х dХ х dх
А0 =ВХ =
·0 ---- =
·0 ----- - широта точки на осевом меридиане с
М М
плоскими координатами х и у= 0 и геодезическими Вх и L0 ,т.е. при =0.

Вх =
· + b2 sin 2
· + b4 sin 4
· + b6 sin 6
· + , где
· = х / a0

Для эллипсоидов: Красовского WGS-84
a0 = 6 367 558,497 м 6 367 449,146 м
b2 =
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Вычислив значение Вх, вычисляют значения коэффициентов А и Р:
V2x tg Bx
А2 = - -------------- , Nx = a /
· 1 – e2 sin2 Bx , Vx = c/ Nx ,
2 N2x
A2
A4 = - ------ (5 + 3 tg2 Bx +
·2x - 9
·2x tg2 Bx - 4
·4x),
12 N2x
A2
A6 = ----------(61+90tg2 Bx +45tg4 Bx +46
·2x -252
·2x tg2 Bx -90
·2x tg4 Bx)
360Nx4
1 Р1
Р1 = ------------- , P3 = - ------------ (1 +2 tg2 Bx +
·2x),
Nx cos Bx 6 Nx2
P1
P5 = ------------- ( 5 + 28 tg2 Bx + 24 tg4 Bx + 6
·2x + 8
·2x tg2 Bx )
120 Nx4
С этими коэффициентами значения координат выражаются в радианах.
Значение долготы определяется как
L = L0 + ,
т.е. необходимо знать значение долготы осевого меридиана L0 зоны, в которой находится точка.
Если численные значения коэффициентов вычислять по элементам эллипсоида Красовского, то можно воспользоваться более удобными формулами:
B = Bx – [ 1 – (b4 – 0,12z2)z2] z2b2;
= [1 – (b3 - b5z2)z2]z,
Bx=
·+{50221746+[293622 +(2350 + 22cos2
·)cos2
·] cos2
·}sin
·cos
· 10-10

· = x / 6 367 558,4969 z = y / Nx cos Bx
b2 = (0,5 + 0,003 369 cos2Bx )sinBx cosBx
b3 = 0,333 333 – (0,166 667 – 0,001 123 cos2Bx) cos2Bx
b4 = 0,25 + (0,16161 + 0,00562 cos2Bx) cos2Bx
b5 = 0,2 – (0,1667 – 0,0088 cos2Bx) cos2Bx.
Результаты решения представить в таблице для обоих эллипсоидов.
Пример решения по общим формулам для точки,
расположенной на эллипсоиде Красовского
Исходные данные: x = 5 728 164,129 м
y = - 205  079,973 м
L0 = 270
Обозначения
Значения
Обозначения
Значения


·рад
b2 sin 2
·
b4 sin 4
·
b6 sin 6
·
Вх рад
Nx
с
е2
(е)2
V2x

·2x

0,899 585 631
0,002 453 074
- 0,000 001 631
- 0,000 000 005
0,902 037 068
6 391 426,090
6 399 698,3 м
0,006 693 422
0,006 738 525
1,002 590 397
0,002 590 397

А2у2 рад
А4у4
А6 у 6
Врад
В0
Р1у
Р3у3
Р5у5
рад
0
L00
L0
- 0,000 653 111
+ 0,000 000 547
- 0,000 000 001
0,901 384 503
510 38 43,9000”
- 0,051 751 708
+ 0,000 037 343
- 0,000 000 050
- 0,051 714 415
- 20 57 46,8640”
270
240 02 13,1360”


Рекомендуемая литература:
1. Бойко Е.Г. Сфероидическая геодезия, 2003 г. (глава 5).
2. Морозов В.П. Курс сфероидической геодезии, 1979 г. (глава YI)
3. Хаимов З.С. Основы высшей геодезии, 1984 г. (глава 6).
4. Практикум по высшей геодезии, 1982 г. (глава 4).
5. Конспект лекций.
























Лабораторная работа №7
Переход от одного осевого меридиана зоны к другому
в проекции Гаусса - Крюгера
Разделение поверхности эллипсоида на зоны стандартизует вычисления, но вызывает затруднения при установлении связи между точками, расположенными в разных зонах - возникает необходимость перевычисления координат пунктов одной зоны в систему плоских координат зоны с другим осевым меридианом (по существу возникает необходимость в расширении одной из зон).
Задача преобразования плоских координат с осевым меридианом
одной зоны в другую систему состоит в том, чтобы по заданным координатам точки первой зоны определить координаты этой же точки в системе координат соседней зоны.
Цель работы: закрепить теоретические знания по теории преобразования плоских координат проекции Гаусса при переходе от осевого меридиана одной зоны к осевому меридиану другой зоны, понять сущность технологии решения такой задачи.
Технологическая цепочка решения задачи:

1) в исходной зоне с известными прямоугольными координатами точки x1,y1 определяют значения ее геодезических координат B1, L1 по методике, приведенной в работе № 6;
2) по значениям геодезических координат B1, L1 устанавливают значения осевых меридианов исходной L10 и соседней L20зон ;
3) определяют новое значение разность долгот 2 = L1 – L20 исходной точки относительно осевого меридиана L20 соседней зоны;
4) по геодезическим координатам исходной точки определяются значения ее плоских координат в системе координат соседней зоны с использованием нового значения 2 по формулам из работы №6.
С целью проверки правильности решения задачи, выполняется обратный переход в начальную зону - определяют геодезические координаты точки и сравнивают с вычисленными по плоским координатам точки первой зоны.
Исходная информация
Дано: значения плоских координат исходной зоны (выбрать по варианту из работы №6 для точки на эллипсоиде Красовского).
Определить: значения плоских координат заданной точки в системе соседней шестиградусной зоны (с номером варианта четным – с запада, при нечетном номере - восточнее).
В текстовой части отчета по работе привести рабочие формулы и последовательность вычислений.
Пример решения задачи для 6-ти градусной зоны с
элементами эллипсоида Красовского
Дано: плоские прямоугольные координаты точки на эллипсоиде Красовского в шестиградусной зоне с осевым меридианом L0 = 270:
x = 5 728 164,129 м
y = - 205 079,973 м
Определить плоские прямоугольные координаты этой точки в системе координат смежной с запада зоны с L0 = 210.
Геодезические координаты заданной точки и значения выписываются из примера работы №6:
B = 510 38 43,9000”
L = 24 02 13,1360
п = L– (L0)п = - 20 57 46,8640” и л = L – (L0)л + 30 02 13,1360”
Контроль: л - п = 60.
По геодезическим координатам точки с новым значением удаления от осевого меридиана левой зоны = + 30 02 13,1360”
вычисляются значения плоских координат точки в системе координат левой зоны.
Рабочие формулы для вычисления плоских координат на эллипсоиде с элементами Красовского:
х М = 6 367 558, 4969 В – {а0 – [0,5 + (а4 +а6 2) 2] 2N}sinB cosB,
y м = [ 1 + (a3 + a5 2) 2] N cosB.
Коэффициенты аi вычисляются по формулам:
а0 = 32140,404 – [135,3302 – (0,7092 – 0,004cos2 B) cos2 B] co s2 B;
а4 = (0,25 + 0,00252cos2B) cos2B – 0,04166;
a6 = (0,166 cos2B– 0,084 ) cos2B;
а3 = (0,3333333 + 0,00123 cos2B) cos2B – 0,1666667;
а5 = 0,0083 – [ 0,1667 – (0,1968 + 0,004 cos2B) cos2B] cos2B.
N = a /
· 1 – e2sin2B.
Решение записывают в таблицу
Обозначения
Значения
Обозначения
Значения

Врад
рад
sin B
cos B
cos2B
sinBcosB
2
N
N 2

0,901384503
0,053005340
0,784186779
0,620524854
0,385051094
0,486607386
0,002 809 566
6 391 412,450
17 957,095

а0
а4
а6
а3
а5
6367558,4969В
x
1 + (а3 +а5 2) 2
N cos B
y

32088,3990
0,05497640
- 0,00773241
- 0,03814984
- 0,02648124
5739618,5511
5 728 374,475м
0,999892651
210 220,7833
210198,207 м


Для контроля по полученным значениям плоских координат точки вычисляют ее геодезические координаты:
В = Вх – [1 – (b4 – 0,12z2 )z2]z2b2
= [1 – (b3 – b5 z2) z2]z.
Bx=
·+{50221746+[293622 +(2350 + 22cos2
·)cos2
·] cos2
·}sin
·cos
· 10- 10

· = x / 6 367 558,4969; z = y / Nx cos Bx
b2 = (0,5 + 0,003 369 cos2Bx )sinBx cosBx
b3 = 0,333 333 – (0,166 667 – 0,001 123 cos2Bx) cos2Bx
b4 = 0,25 + (0,16161 + 0,00562 cos2Bx) cos2Bx
b5 = 0,2 – (0,1667 – 0,0088 cos2Bx) cos2Bx.
Решение задачи с элементами эллипсоида Красовского приведено в таблице при х = 5 728 374,475 м и у= 210 198,207 м:


Обозначения
Значения
Обозначения
Значения


·рад
sin
·
sin 2
·
cos2
·
sin
· cos
·
Вх рад
е2
Nx
cos2Bx
cosBx
Nx cosBx
z

0,899 618 665
0,783 089 811
0,613 229 652
0,386 770 347
0,487 010 313
0,902 070 064
0,006693 4216
6 391 426,778
0,384384005
0,619 987100
3 962 602,157
0,053045 498

z2
b2
b4
b3
b5
z2 b2
Врад
В0
рад

0
L0

0,002 813 824
0,243 854 67
0,312 950 66
0,269 434 80
0,137 223 40
0,000 686 164
0,901 384 504
510 38 43,9000”
0,053 005 339
10933,1361
30 0213,1361”
240 02 13,1361”



Рекомендуемая литература:
1. Бойко Е.Г. Сфероидическая геодезия, 2003 г. (глава 5).
2. Морозов В.П. Курс сфероидической геодезии, 1979 г. (глава YI)
3. Хаимов З.С. Основы высшей геодезии, 1984 г. (глава 6).
4. Практикум по высшей геодезии, 1982 г. (глава 4).
5. Конспект лекций.















Лабораторная работа №8
Редуцирование треугольника с поверхности Земли
на поверхность эллипсоида
Цель работы: закрепить теоретические знания по вопросам решения редукционной задачи в геодезии – проектирования измеренных величин на поверхность эллипсоида .
Сущность задачи - перейти от значений измеренных величин элементов треугольника на земной поверхности к их проекциям на поверхности относимости (эллипсоид).
Метод решения данной редукционной задачи состоит в проектировании измеренных на земной поверхности величин элементов треугольника на поверхность эллипсоида по нормалям.
При решении данной редукционной задачи возникают следующие операции:
1.Редуцирование измеренных углов: 1) переход от отвесной линии к нормали; 2) вычисление поправок за высоту над поверхностью эллипсоида наблюдаемого пункта; 3) переход от нормальных сечений к геодезическим линиям на поверхности эллипсоида;
2. Редуцирование длины стороны треугольника.
Задание: редуцировать значения измеренных на земной поверхности элементов треугольника триангуляции 1 класса на поверхность относимости c параметрами элементов эллипсоида WGS - 84.
1. Рабочие формулы для вычисления поправок в углы до 0,001”:
1. Поправки v1 за уклонение отвесной линии в измеренный угол по направлению 1-2:
v1” = (
·аг1 cos A12 -
·аг1 sin A12) ctg z12,
где
·аг1,
·аг1– составляющие уклонения для пункта 1; A12 – азимут направления 1 - 2, z12 – зенитное расстояние по направлению 1-2.
2. Поправки v2 в угол по направлению 1-2 за высоту наблюдаемого объекта 2: v2” =к1H2 cos2В2 sin 2A12,
где к1 = [
·”(e)2 / 2a], a – большая полуось в км, e - второй эксцентриситет, H2-геодезическая высота наблюдаемого пункта в км.
Для элементов эллипсоида Красовского к1 = 0,109 ”/км
3. Поправка v3 в угол по направлению 1-2 за переход от нормального сечения к геодезической линии для сторон 50
·S
·100 км и В
· 750 (для сторон S до 50 км эта поправка не учитывается):
v3” = к2S2 cos2 B1 sin 2A12, где к2=
·”(e)2/12a2, S - в км.
Для эллипсоида с элементами Красовского к 2= 0,282 10-5 ”/км2.
4. Суммарная поправка в угол треугольника по направлению ik :

·ik= v1 + v2 + v3.
Поправка
· в измеренные углы треугольника между направлениями их образующих, вычисляется как разность поправок
· в эти направления :
В
· А =
·АС -
·АВ

·В =
·ВА -
·ВС

·С =
·СВ -
·СА.
А С
Вычисляются значения сферических углов треугольника на поверхности эллипсоида: А +
· А , В +
·В, С +
·С.
Невязка W = (А+В+С) + (
· А +
·В +
·С) - 1800 -
·,
где
· – сферический избыток треугольника.
2. Рабочие формулы для вычисления поправок в значения
длины измеренных наклонных расстояний
S Q2 1) вычисление хорды d
d =
· S2 -
·H2 (1 – Hm/ Rm) , где
Q1 Нi–геодезическая высота
H1 S0 H2
·H = | Н2 - Н1|
Q10 d Q20 Rm = a (1 – 0,5 e2 cos 2Bm);
Hm = (Н2 + Н1) /2
Rm Rm
2) вычисление длины S0

при S
· 60 км можно принять
0 S0 = d + d3/24R2m
Поправка
·S в измеренное наклонное расстояние S:
·S м = S0 – S.
Исходные данные по вариантам задания:

геодезический азимут стороны ААС= 10703000,00”+10 х n,
длина стороны АС: S = 45 324,432 м + 100 м х n,
где n – номер по списку в журнале,
среднее значение широты треугольника: Вm = 550,
значения измеренных углов треугольника:
А = 620 12 45,448 ”; В = 500 20 20,318 ”; С = 670 26 59,338 ”.
высота вершин треугольника:
НА = 2650,3 м; НВ = 2341,4 м НС = 1600,3 м
значения измеренных зенитных расстояний
·ik,
значения составляющих уклонения отвеса в вершинах треугольника
·” и
·“.
Таблица общих исходных данных:
Вершина

Измеренный угол
0 ”
Z
0
А
0
Н, м


·”


·“

В
А
С

62 12 45,448

90 19

90 46
450 20

107 33

2650,3


- 24,7

+18,0

С
В
А

50 20 20,318
90 21

89 40
175 00

225 20

2341,4

- 13,5

+24,4

А
С
В

67 26 59,338
89 14

89 42
287 33

355 00

1600,3

-14,4



- 1,0


Определить значения углов и стороны АС треугольника на поверхности эллипсоида с параметрами WGS -84





Пример решения задачи для эллипсоида Красовского
Схема треугольника
В Исходные данные из таблицы для нулевого варианта
сторона АС = S = 45 324,440м;
с а широта Вm = 550
А b C азимут ААС = 1070 30 00,00”
значения углов А,В,С, зенитных расстояний
·ik, высот Нi, составляющих уклонений отвеса
·i” и
·i“ - из таблицы.

1. Редуцирование измеренных горизонтальных углов
По рабочим формулам вычисляют значения поправок V1 и V2 по всем направлениям измеренных углов и значения сферических углов треугольника.
Результаты вычислений вносятся в таблицу:

v1
v2
v1 + v2

·
Измеренный
угол
Сферический
угол

АВ
А
АС
- 0,355”

- 0,421
0,072”

- 0,033
-0,263”

- 0,454

-0,191”


620 12 45,448”


620 12 45,257”


ВС
В
ВА
- 0,214

- 0,084
- 0,010

0,094
-0,224

+0,010

+0,234

50 20 20,318

50 20 20,552

СА
С
СВ
- 0,326

- 0,019
- 0,054

+0,002
-0,380

-0,017

+0,363

67 26 59,338

67 26 59,701






+0,406

180 00 05,104
180 00 05,510
05,510


2. Редукция измеренного наклонного расстояния S = АС
(эллипсоид Красовского)
S С
1) вычисление хорды d:
А S = 45 324,432 м
HA S0 HC
·H = | НC - НA| = |1050,0 м|
Hm = (НС + НА) /2 = 2125,3 м
d Bm = 550
Rm = a (1– 0,5 e2 cos 2Bm) = 6 385,546 м
Rm Rm -------------------
d =
· S2 -
·H2 (1 – Hm/ Rm) = 45 297,187 м

2)вычисление длины стороны сфероидического треугольника АС:

S0 = d + d3/24R2m = 45 297,187 м + 0,095 м = 45 297, 292 м
3) поправка
·S м = S0 – S = 45 297, 292 - 45 324,432 = - 27, 140 м
Рекомендуемая литература:
1. Морозов В.П. Курс сфероидической геодезии, 1979 (глава III).
2. Хаимов З.С. Основы высшей геодезии, 1984 г. (глава 2).
3. Практикум по высшей геодезии, 1982 г. (глава 20).
4. Конспект лекций.








·
·
·
·
·
·
·
· Лабораторная работа №9
Редуцирование треугольника с поверхности эллипсоида
на плоскость проекции Гаусса - Крюгера

На поверхности эллипсоида стороны треугольника изображаются геодезическими линиями. Поэтому суть редуцирования треугольника с поверхности эллипсоида на плоскость заключается в том, чтобы перейти от длины и азимутов геодезической линии на эллипсоиде к длине хорды ее изображения и к дирекционному углу на плоскости проекции Гаусса - Крюгера.
Целью лабораторной работы является закрепление теоретического материала по вопросу редуцирования и технологической цепочки практического решения задачи.
Теоретической основой рассматриваемой задачи являются формулы для вычисления сближения меридианов и вычисления поправок за кривизну и масштаб изображения геодезической линии на плоскости.
X Х
Р
·1
·12 Q2
Q2
A12 d12
Q1 s Q1
·12
·
L0 L1 L 2 L1

экватор 0 (L0) Y

На эллипсоиде: На плоскости:
s – геодезическая линия d - хорда
А12 – азимут линии
·12 – дирекционный угол хорды
L0 – осевой меридиан зоны Х–изображение осевого меридиана
L1,L2 – долгота точек Q1,Q2 Х-прямая, параллельная проекции
осевого меридиана 0Х (L0)

·1– cближение меридианов в точке Q1

·12–угол между кривой
· и хордой d12

Технологическая цепочка вычислительных работ содержит два следующих основных этапа:
1. Редуцирование углов
2. Редуцирование расстояний
1. Редуцирование углов
1) вычисление сближения меридианов
·1, используемого для перехода от азимута геодезической линии к дирекционному углу ее изображения на плоскости, по формулам общего вида (для любого эллипсоида) с погрешностью до 0,001”:
в функции геодезических координат
3

· =[ + ---- (1 +3
·2) cos2B]sinB , где
· = е cos B;
3
для контроля в функции плоских координат
y y3 у5

· = [------ - -----(1 + tg2Bx –
·x2)] tgBx + -------- (2+5 tg2Bx + 3 tg4Bx ) tgBx
Nx 3N3х 15 N5x
где Вх , Nх,
·x определяют по формулам, приведенным в работе №6 для определения геодезических координат по плоским прямоугольным;
для приближенного определения
· (в минутах) используют формулы:

· = 0,539 укм tgB или
· = sinB;
очевидно, что знак
· определяется знаком у или знаком .
В частности, для определения сближения меридианов по элементам эллипсоида Красовского в рекомендованной литературе приведены формулы, удобные при вычислениях на ЭВМ.
2) вычисление поправки
·12 в направление азимута А12 за кривизну изображения геодезической линии на плоскости (“поправка за кривизну”)

·12 = - f (
·x)(ym -
·y/6 –y3m/ 3R2m ),
где f =
·”/ 2R2m,
·x = x2 - x1,
·y = y2 – y1, ym = (y2 +y1) / 2,

·21 = f (
·x)(ym +
·y/6 – y3m/ 3R2m ).
Значение f можно выбрать из специальной таблицы по аргументам широты Вm или Хкм. Для территории РФ можно принять f = 0,00253 при выражении R,
·x,
·y и ym в км.
Поправка
·ik алгебраически прибавляется к направлениям измеренного угла.
Значения плоских координат вершин треугольника в километрах можно получить по схеме построения треугольника в масштабе, например, 1: 100 000 или 1: 200 000 (одна из вершин треугольника обычно имеет значения плоских координат, вычисленных по геодезическим).











В























А











С



5770км

5 760
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· -210 -200 -190 - 180 -170 -160 -150 км
3) вычисление дирекционного угла по формуле

·12 = А12 -
·1 +
·12;
4) вычисление значения поправки в сферический угол треугольника, например, А:
·А =
·АС -
·АВ.
Контроль:
·А +
·В +
·С = -
·”, (сумма плоских углов А +В +С = 1800).
2. Редуцирование расстояний
Для перехода от длины геодезической линии к длине ее изображения на плоскости в проекции Гаусса – Крюгера применяется формула общего вида dd= m dS или d
· mm S,
где mm – среднее значение масштаба изображения (в функции у при S
· 10 км,с обеспечением получения на краю 60-ой зоны хорды d c погрешностью не более 10-6, определяется как mm = 1 + y2/ 2R2m + y4m / 24R4m + ...).
Значение стороны d на плоскости определяется как dik = Sik +
· Sik
При вычислении поправки
· Sik c погрешностью не более 0,001 м используют формулу:

· Sik = f m (y2m +
·y2/ 12 + y4m / 12R2m)Sik,
1
где fm= ------ можно выбрать из специальных таблиц по Вm или Хкм:
2R2m

Таблица значений fm и fm при R в км
Широта
В0
х, км
f m

f m

50
52
54
56
5 541
5 763
5 986
6 209
0,0025322
0,0025310
0,0025299
0,0025287
1,22763 10-8
1,22706 10-8
1,22651 10-8
1,22597 10-8


Исходные данные для решения задачи по вариантам: значения элементов треугольника на поверхности эллипсоида взять из решения задачи по варианту работы №8;
азимут стороны АС= b принять равным ААС=1070 33 + 30 n , где n – номер по списку журнала группы;
геодезические и прямогольные координаты вершины А треугольника принять из решения задачи по варианту работы №6.
Пример решения задачи с использованием элементов
эллипсоида Красовского
Исходные данные:
схема треугольника
B Среднее значение широты треугольника Вm = 550

c a
A b C

сферические углы треугольника:
А= 620 12 45,257”
В= 50 20 20,552
С= 67 26 59,701
сторона сферического треугольника:
АС= b = 45297,282 м
координаты вершины А:
геодезические B = 510 38 43,9000”
L = 24 02 13,1361
плоские х = 5 728 164,129 м
у = - 205 079,973
азимут исходной стороны ААС = 1070 30 00,000”

Определить:
Элементы плоского треугольника и плоские координаты его вершин на плоскости проекции Гаусса – Крюгера.
Последовательность вычислений
1. Вычисление значения гауссова сближения меридиана
·А в исходной точке А по ее прямоугольным и геодезическим координатам для эллипсоида с параметрами элементов Красовского с погрешностью не более 0,001”:

· А={1–[(0,33333–0,00225cos4Bx)–(0,2 – 0,067cos2Bx)z2]z2} z sinBx.,
где Вх ,Nх ,
·х определяют по формулам, приведенным в работе №6;
для контроля - в функции геодезических координат:

· А={1+[(0,33333+0,00674cos2B)+(0,2cos2B–0,0067)2] 2cos2B} sinB,
очевидно, что знак
· А определяется знаком z или .
2. Построение схемы треугольника в масштабе 1:100 000 по координатам хА, уА исходной точки А, исходной стороне АС и углам треугольника. Снятие со схемы приближенных значений координат вершин В и С до десятых долей километра.
3. Вычисление в первом приближении поправок в секундах в направления углов
·”АС = -
·”СА = - 0,00253 уm (xС –xA) и поправок в стороны в метрах
·SАС = 0,123 (уm/100)2 SАС, где (xС–xA), уm и SАС – в километрах.
4. Вычисление значения дирекционного угла
·АС в первом приближении как
·АС = ААС -
·А +
·АС.
5. Вычисление поправок
·i в сферические углы треугольника в первом приближении

·А =
·АС –
·АВ;
·В =
·ВА –
·ВС;
·С =
·СВ –
·СА.
6. Вычисление значений координат вершин треугольника В и С в первом приближении как

xB = xA +
·хВА; уВ = уА +
·уВА; xС = xA +
·хСА; уС = уА +
·уСА,
где
·хВА = (SАВ +
·SАВ)cos
·АВ;
·хСА = (SАС +
·SАС)cos
·АС;

·уВА = (SАВ +
·SАВ)sin
·АВ;
·уСА = (SАС +
·SАС)sin
·АС.
7. Вычисление во втором приближении поправок в направления углов
·”ik и поправки
·SАС в исходную сторону:


·”ik = - fm(
·хki)[ym -
·уki /6 – y3m /3R2m];

·”ki = fm(
·хki)[ym +
·уki /6 + y3m /3R2m];

·SАС = SAС (у2m/ 2R2m +
·у2/24 R2m+y4m /24R4m),
где SAС , уm и
·yki выражают в километрах до 0,001 км.
8. Вычисление поправок
·” в углы вершин треугольника, длины исходной стороны на плоскости SАС и ее дирекционного угла
·АС во втором приближении.
9. Вычисление значений длин сторон SАВ SВС на плоскости во втором приближении по теореме синусов для плоского треугольника.
10. Окончательное вычисление плоских координат вершин В и С треугольника.

Результаты вычислений:
1. Сближение меридианов
· А :
по прямоугольным координатам
· А = - 0,040 567 790 рад = - 20 19 27,707”
по геодезическим координатам
· А = - 0,040 567 788 рад = - 20 19 27,707”

2. Значения длин сторон треугольника в первом приближении
Вершина Угол Синус Сторона:
А 620 12 45” 0,88468 а = BC = 52055 м

В 50 20 20 0,76983 b = AC = 45297

С 67 27 00 0,92354 c = AB = 54341
3. Построение схемы треугольника и снятие координат
вершин В и С:
ХВ = 5 767,0 км; ХС = 5 714,4 км;
УВ = - 166,3. УС = - 161,9.


4.Вычисление поправок
·”ik и
·S ik в метрах в первом приближении


·”ik = -
·”ki = - 0,00253 уm (xk –xi);

(
·S ik )м = 0,123 (у m/100)2Sik,

где (xk –xi), уm и Sik – в километрах.
Обозначение
А
С
А
В
С
В

хА, км
5 728,2
5 728,2
5 714,4

хС, км
5 714,4
5 767,0
5 767,0


·.ХСА = ХС - ХА, км
-13,8
+ 38,8
+ 52,6

Уm, км
- 183,5
- 185,7
- 164,1

УА, км
- 205,1
- 205,1
- 161,9

УС, км
- 161,9
- 166,3
- 166,3

У2m
33 672
34 484
26 929

SАС, км
45
54
52


·”ik
- 6”
+ 18”
+ 22”


·”ki
+6
- 18
- 22


·Sik, м
19
23
17


5. Вычисление дирекционного угла
·АС исходной стороны АС в первом приближении:


·АС = ААС –
·А +
·АС = 1070 30 00,000” – (-20 19 27,707”) +(-6”)= 1090 49 22”

6. Вычисление поправок
·i в углы треугольника в первом приближении:

·А =
·АС-
·АВ = - 6” – 18” = - 24”

·B =
·BА-
·ВC = -18 + 22 = + 4

·С =
·CВ-
·CА =+ 22 - 6 = +18

7. Вычисление координат вершин В и С треугольника в первом приближении и поправок
·”ik ,
·”ki и
·SАС во втором приближении


·”ik = - fm(
·хki)[ym -
·уki /6 – y3m /3R2m];

·”ki = fm(
·хki)[ym +
·уki /6 + y3m /3R2m];

·SАС = SAС (у2m/ 2R2m +
·у2/24 R2m+y4m /24R4m),
где для Вm = 550: Rm= 6384,653 км ; fm= 0,00253 ”/ км2, SAС – в метрах

·
Угол

·

·АС
S, км

·S, м
s, км
cos
·АС
sin
·АС
xA , км

·х, км
хС, км
уА, км

·у, км
уС, км
Вm
уm, км

·у / 6
Rm, км
у3m/3R2m
fm

·”ik

·”ki
у2m/2R2m

·у2/24 R2m
y4m/24 R4m

·S, м
dАС, м



1090 49 22”
45,297
19
45,316
- 0,33911
0,94075
5 728,164
-15,367
5 712,797
- 205,079
42,631
- 162,448
520
- 183,764
7,105
6 384,653
- 0,051
0,00253
- 7,419
+6,866
0,000414
0,000002
0,000000
18, 844
45 316,126
1090 49 22”
- 62 12 45
- 24
47 37 01
54,341
23
54,364
0,67408
0,73865
5 728,164
36,646
5 764,810
- 205,079
40,156
- 164,923
520
- 185,001
6,693
6 384,653
- 0,052
0,00253
17,768
- 16,536

2890 49 22”
+ 67 27 00
18
357 16 40
52,055
17
52,072
0,99887
- 0,04749
5 712,797
52,013
5 764,810
- 162,448
- 2,473
- 164,921
520
- 163,684
- 0,412
6 384,653
- 0,036
0,00253
21,480
- 21,599



8. Вычисление поправок
·”i в углы треугольника во втором приближении

·А =
·АС-
·АВ = - 7,419” – 17,768” = - 25,187”

·B =
·BА-
·ВC = -16,536 + 21,599 = + 5,063

·С =
·CВ-
·CА =+ 21,480 - 6,866 = +14,614

Контроль:
·
·i = -
·,
·= f ab sinC = 5.511”
·= - 5,510”
9. Окончательное решение треугольника на плоскости

Вершины

Сферический
угол

·”i
Углы
плоские
Синусы
углов
Сторона
d, м

А
6201245,257”
-25,187
62012 20,070”
0,88462635
52 072,252

В
50 20 20,552
5,063
50 20 25,615
0,76985031
45 316,126

С
67 26 59,701
14,614
67 27 14,315
0,92357184
54 364,722


·

·
180 00 05,510
05,510
- 5,510
180 00 00,000



10. Вычисление точного значения исходного дирекционного угла
·АС

ААС = 1070 30 00,000”
-
·А = - 2 19 27,707
+
·АС = - 7,419

·АС = 1090 49 20,288”
11. Вычисление окончательных значений координат
вершин треугольника

Окончательные значения ординат представляются в условной
форме с указанием № зоны.

Обозначение
А
С
А
В
С
В


·
Угол

·АС
cos
·АС
d, м
sin
·АС
xA , м

·x, м
xC , м
yA , м

·y, м
yC , м


1090 49 20,288”
-0,339 104 132
45 316,126
0,940 748 844
5 728 164,129
- 15 366,886
5 712 797,243
5 294 920,027
42 631,093
5 337 551,120
1090 49 20,288”
- 62 12 20,070
47 37 00,218
0,674086792
54 364,722
0,738652148
5 728 164,129
36 646,541
5 764 810,670
5 294 920,027
40 156,619
5 335 076,646
2890 49 20,288”
67 27 14,315
357 16 34,603
0,998870286
52 072,252
- 0,047520003
5 712 797,243
52 013,425
5 764 810,668
5 337 551,120
- 2 474,474
5 335 076,646



Рекомендуемая литература:
1. Бойко Е.Г. Сфероидическая геодезия, 2003 г. (глава 5).
2. Морозов В.П. Курс сфероидической геодезии, 1979 г. (глава YI)
3. Хаимов З.С. Основы высшей геодезии, 1984 г. (глава 6).
4. Практикум по высшей геодезии, 1982 г. (глава 5).
5. Конспект лекций.












Лабораторная работа № 10
Вычисление аномалий силы тяжести
и построение гравиметрической карты
Разность реального значения силы тяжести g на гравиметрическом пункте и ее нормального значения
· называют аномалией силы тяжести
·g в данной точке:

·g = g –
·.

Изучив аномалии силы тяжести по всей земной поверхности, можно определить высоты над общеземным эллипсоидом и уклонения отвеса от нормали к поверхности общеземного эллипсоида.
Для использования результатов гравиметрических определений в различных практических целях создаются специальные гравиметрические карты. Они служат для изучения гравитационного поля Земли, вычисления уклонений отвесных линий, аномалий высот, нормальных высот точек земной поверхности.
Основой гравиметрической карты обычно служит топографическая карта масштабов 1: 5 000 000 – 1: 200 000.
Наибольшее распространение имеют карты аномалий силы тяжести, на которых через определенные интервалы нанесены изоаномалы – кривые равных аномалий силы тяжести (подобно горизонталям при изображении рельефа на топографических картах).
Сечение изоаномал выбирают обычно в пределах от 20 до 2 мГал.
Создание различных гравиметрических карт является одной из задач геодезистов, гравиметристов и картографов.
Целью настоящей лабораторной работы является закрепление теоретических знаний по вопросам технологии создания специальных гравиметрических карт путем практического оформления фрагмента результата гравиметрической съемки в виде карт аномалий силы тяжести в свободном воздухе и аномалий Буге.
Содержание лабораторной работы.
Обозначения и рабочие формулы

·(B),
·(L), Н – широта, долгота и нормальная высота гравиметрического пункта;
g – значение измеренной силы тяжести на пункте;

·0 – нормальное значение силы тяжести пункта на уровенном эллипсоиде, вычисляемое по формуле Гельмерта:


· 0 = 978030(1+0,005302sin2
· – 0,000 007 sin22
·);


·1
· = 0,3086 Н мГал - редукция в свободном воздухе (поправка в значение нормальной силы тяжести
·0 при переходе к точке на
физической поверхности Земли с нормальной высотой Н в метрах, известной с погрешностью до 0,1 м);

· = (
· 0 -
·1
·) – значение нормальной силы тяжести на пункте;
(g –
·) – аномалия в свободном воздухе;

·2g = 2
·fDН – притяжение промежуточного слоя; при плотности слоя D=2,67 Г СМ-3 и гравитационной постоянной f = 6,664х10-8 см3с-2г-1и
Н в метрах

·2g = 0,1118 Н мГал;

000000000
·gБ = (g –
·) -
·2g - аномалия Буге.

Пример вычисления значений аномалий силы тяжести
в свободном воздухе (g –
·) и Буге
·gБ
Исходные данные: № пункта по каталогу, значения
·,
·, Н, g.


п/п

№ по
кат.

·

·
Н,м
g,мГал
98х104+

· 0,мГал
98х104+

·1
·,
мГал

·,мГал
98х104+

·2g,
мГал
(g–
·)
мГал

·gБ
мГал

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

1
68
4900734”
1801950”
267,0
906,9
988,19

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· По полученным в графах (11) и (12) таблицы данным строятся карты аномалий силы тяжести в свободном воздухе и Буге соответственно. Карты аномалий строятся на листах бумаги формата А-4 в масштабе 1: 300 000.
Изоаномалы проводить через 5 мГал для карты аномалий в свободном воздухе и через 2 мГал – для карты аномалий Буге.
В качестве основы карты строится сетка через десять минут по широте и долготе (с учетом длины дуги меридиана и параллели в принятом масштабе).
Количество прямоугольников зависит от максимального значения разности широт и долгот исходных гравиметрических пунктов.
На полученную основу по известным криволинейным координатам наносятся гравиметрические пункты, которые обозначаются точкой и подписываются через дробь: в числителе - номер пункта по каталогу, в знаменателе - вычисленное значение аномалий. По вычисленным значениям исходных аномалий проводятся линии равных значений аномалий –изоаномалы – по всей площади карты.
Пример оформления карты аномалии силы тяжести:
Исходные данные для выполнения работы по вариантам
представляются индивидуальными заданиями, в которых указаны: значения номера пункта по каталогу района съемки,
·,
·, Н и g (столбцы 1 - 6 таблицы).
Вычисляемые по формуле Гельмерта значения нормального ускорения силы тяжести контролируются табличными значениями:
В0 (
·0) 0
· 0
· 20
· 30
· 40
· 50
· 60
·
45 980 615,9 631,0 646,0 661,1
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· 1125,7 1140,5 1155,3

Рекомендуемая литература:
1. Огородова Л.В. Высшая геодезия, 2006 г. (глава 4).
2. Хаимов З.С. Основы высшей геодезии, 1984 г. (глава 14).
3. Практикум по высшей геодезии, 1982 г. (19).
4. Конспект лекций.
















13 EMBED Equation.3 1415Лабораторная работа №11
Вычисление нормальных и динамических высот
разомкнутого нивелирного хода
В целом геодезическая высота точки земной поверхности относительно поверхности земного эллипсоида состоит из двух составляющих: гипсометрической высоты - высоты над геоидом (квазигеоидом) и геоидальной высоты - высоты геоида (квазигеоида) над эллипсоидом. Геоидальную высоту принято называть аномалией высоты.
Если изменение гипсометрических высот может быть быстрым и достигать максимальной амплитуды 18 км, то аномалии высот изменяются плавно и их максимальная амплитуда достигает всего порядка 200 м.
Гипсометрическая высота обычно определяется методом высокоточного геометрического нивелирования с учетом того, что уровенные поверхности непараллельны между собой, т.е. с учетом уклонений отвесных линий в точках нивелирования.
Существуют различные системы гипсометрических высот в зависимости от метода их определения.
В частности высоты, вычисляемые по нормальным значениям силы тяжести, принято называть нормальными высотами. Нормальные высоты используются при создании топографических карт и приводятся в геодезических каталогах координат (“каталожные высоты”). Очевидно, что если “откладывать” значения нормальных высот от точки земной поверхности по нормали к эллипсоиду, то можно строго определить поверхность квазигеоида.
Основным свойством нормальных высот является их практическая независимость от пути нивелирования, так как по определению нормальная высота вычисляется строго без знания строения масс земной коры.
В инженерной практике следует учитывать имеющийся недостаток нормальных высот: высота уровенной поверхности несколько изменяется в зависимости от изменения широты положения точки земной поверхности Q. В связи с этим в водоемах, простирающихся особенно вдоль меридиана да еще в горной местности, образуется существенная разница в отметках урезов воды (высота может отличаться от нормальной до 20 м).
Это явление должно быть обязательно учтено при геодезическом обеспечении гидротехнических сооружений, например платин.
Чтобы обеспечить равенство отметок одной водной поверхности, применяют систему динамических высот.
Целью настоящей лабораторной работы является ознакомление с технологией вычисления нормальных высот с последующем переходом к динамическим высотам.
Общие исходные данные для вычисления высот

1. Формулы и обозначения при вычислении нормальных высот:


· (В), Н – широта и высота гравиметрического пункта (репера);
g – измеренное значение силы тяжести на пункте;

· 0 – нормальное значение силы тяжести на пункте;
(g -
·) = (
·g)Б + кН – аномалия в свободном воздухе ( кН м – притяжение промежуточного слоя);
(
·g)Б = (g -
·)Б – аномалия Буге;

·hизм. - измеренное значение превышения между реперами;
Н
· - значение нормальной высоты;

·(g -
·)m
·hизм.
·(
· 0i -
· 0K)m Hm
Н
·В = Н
·А +
·
·hизм+ ---------------------- - --------------------

· m
· m ,

или Н
·В = Н
·А +
·
·hизм + f1 - f2 ,

где
· m - среднее интегральное значение нормальной силы тяжести для средних значений высот реперов секций нивелирного хода. На практике значение
·m задается;
Hm ,
·(g -
·)m и (
·0i -
·0K)m - средние значения величин между смежными реперами.
Исходные данные к работе:
1) по индивидуальному варианту: значения аномалии Буге (
·g)Б, широта В(
·) ;
·hизм- измеренное превышение между реперами; Нqисх. – нормальная высота начального репера хода;
2) по общему варианту:
· m = 980 000 mГал; к = 0,1118 mГал/м.
1. Вычисление нормальных высот нивелирного хода:
(выполняется в таблице)
1) по значениям Нисх. и измеренным значениям превышений hik вычисляют значения Нi в целых метра всех реперов хода;
2) определяют среднее значение Нm для соседних реперов;
3) по карте аномалий Буге для реперов определяют поправки
·gБ;
4) вычисляют значение поправки за свободный воздух кН;
5)определяют значение аномалии силы тяжести в свободном воздухе
(g -
·)=(
·gБ+кН) и их среднее значение для соседних реперов (g -
·)m;
6) определяют значения нормальной силы тяжести
· 0i для реперов по формуле Гельмерта:

· 0 = 978030 (1 + 0,005302 sin2
· – 0.000 007 sin2 2
·)
и для контроля выбирают из специальной таблицы по аргументу
·i или Вi до 0,01 мГал ;
7) для смежных реперов вычисляют разности (
· 0к -
· 0i);
8) вычисляют поправки f1 и f2 за переход к нормальным высотам:
f1 = (g -
·)mhik /
·m и f2 = (
· 0к -
· 0i)Hm /
· m , f1и f2 в метрах до 0,0001 м;
9) полная поправка равна: fik = f1 - f2 ;
10) вычисляют разности нормальных высот как h
·ik = hik + fik и значения нормальных высот определяемых реперов Н
·i = Нi+ h
·ik.
Пример вычисления нормальных высот

Реп.

В

·hизм.,,
м
Н,
м
Нm,
м
(
·g)Б
мГал
кН
мГал
( g-
·)
(6+7)
(g -
·)m

· 0
980+

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

1
420 22,2

749,0000

-122
83
-39

378,3



+14,2519

75 6



-38


2
42 20,3

764

-123
85
-38

375,4



·
+14,2519








продолжение таблицы


(
·0 k-
·0i)m


(g-
·)m
·h м
f1= -------------- , м

·m
(
· 0 k-
· 0i)mНm
f2 = ----------------, м

·m

f ik
12 – 13

h
·
3 + 14

Н
·
м

11
12
1 3
1 4
15
1 6






749,4742

- 2.9
-0,0006
-0,0022
+0.0016
+14,2535







763,7277


·
-0,0006
-0,0022
+0.0016

+14,2535
+14,2535











Контроль :
·
·hизм+
·fik =
· h
·; +14,2519+0,0016 =+14,2535 м = Н
·2 -Н
·1;

2.Вычисление динамических высот реперов нивелирного хода

Исходные данные:

1) значения нормальных высот Н
· реперов хода (принимаются из решения задачи по части 1);
2)
· 45 = 980615,9 мГал
Рабочие формулы:
Разность значений нормальной Н
· и динамической высоты Нd одного репера определяется выражением

· 0m –
· 0
·
Нd - Н
· = ------------- Н
·,

· 0
·
где
· 0m - для репера с нормальной высотой Н
·;

·0
· – значение силы тяжести определяется для района работ с широтой
·. На практике обычно принимают
· = 450.
Отсюда значение динамической высоты равно
Нd = Н
· - q 10-6 H
·
где q = (q0+ 0,157 H
· ) , H
· в метрах.
Значение q0 можно вычислить как
q0 = ( 1 -
· 0m /
·045) 10 -6
или выбрать из специальной таблицы по аргументу
· или В.
Пример вычисления динамических высот

Реп.
В
H
·
м
q0
q
qHq10-6
м
Hd м


1
2
3
4
5
6
7

1
420 22,2
749,4742
+243
+361
0,2706
749,2036

2
42 20,3
763,7277
+246
+366
0,2795
763,4482


·
Нq2- Нq1
+14,2535



+14,2446








Контроль: (Н
·2- Н
·1) – (qH
· 2 – qH
· 1) = (Hd2 - Hd1)
+14,2535 м - 0,0089 м = + 14,2446 м






Табличные значения
· 0:
В0(
·)0 0
· 10
· 20
· 30
· 40
· 50
· 60
·
00 978 030,0 (экватор)
40 980 165,9
41 980 255,2 270,1 285,1 300,0 315,0 330,0 3
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·531,8 546,0 560,0 574,1 588,1
(
·0)
·
Табличные значения q0 = 1 – ------- :
(
·0)45
В0(
·)0 0
· 10
· 20
· 30
· 40
· 50
· 60
·
41 + 368 + 353 + 338 + 323 + 308 + 292 + 276
42 + 276 + 261 + 246 + 230 + 2
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·- 891 - 905
55 - 905 - 920 - 834 - 948 - 962 - 977 - 991
Рекомендуемая литература:
1. Огородова Л.В.Высшая геодезия, 2006 г. (главы 4, 7).
2 .Хаимов З.С. Основы высшей геодезии, 1984 г. (глава 1).
3. Практикум по высшей геодезии, 1982 г. (глава 19).
4.Конспект лекций.








13PAGE 141115


13PAGE 15


13PAGE 145815




Root EntryEquation NativeEquation NativeJј Заголовок 1Dј Заголовок 2FFј Заголовок 3Jј Заголовок 4Jј Заголовок 5Pј Заголовок 6Jј Заголовок 7Pј Заголовок 8>ј Заголовок 915тDјВерхний колонтитул,јНомер страницыRјОсновной текст с отступом4јОсновной текст8јКрасная строка<јКрасная строка 24јСписок 2F Нижний колонтитул

Приложенные файлы

  • doc 8859986
    Размер файла: 576 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий