Календ_план_Полн_ВычМат_4_сем_РК-6_2012

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН
для РК-6, 2 курс, 4 семестр, 2011/12 учебный год
Л Е К Ц И И
МОДУЛЬ 1: Приближение функций
Лекции 1-2. Задача приближения функций. Интерполяция и аппроксимация функций. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Эрмита. Оценка погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа. Интерполяция сплайнами. Линейная и кубическая сплайн – интерполяция. Метод наименьших квадратов.
Лекция 3. Решение систем нелинейных уравнений. Метод простых итераций. Метод Ньютона, его реализации и модификации. Скорость сходимости метода Ньютона.
МОДУЛЬ 2: Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
Лекция 4. Численное интегрирование. Квадратурные формулы. Порядок точности. Правило Рунге вычисления погрешности. Уточнение по Ричардсону. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона. Алгоритм вычисления интеграла с заданной точностью.
Лекция 5. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Разностная аппроксимация производных. Явный метод Эйлера. Методы Рунге – Кутта решения задачи Коши для систем ДУ первого порядка. Алгоритм метода при решении задачи с заданной точностью.
Лекция 6. Многошаговые методы решения дифференциальных уравнений. Методы Адамса. Явные и неявные схемы. Неявный метод Эйлера и метод трапеций. Проблема численной устойчивости. Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами. Понятие о жестких уравнениях и системах. Устойчивость и неустойчивость некоторых простейших разностных схем.
МОДУЛЬ 3: Численные методы решения задач оптимизации
Лекция 7. Численные методы решения задач оптимизации. Одномерная оптимизация. Унимодальные функции. Метод дихотомии. Метод золотого сечения. Многомерная оптимизация. Метод покоординатного и наискорейшего спуска.
Лекция 8. Метод сопряженных градиентов. Метод Ньютона. Многомерная оптимизация при наличии ограничений. Метод проекций градиента.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
МОДУЛЬ 1: Приближение функций
Занятие 1. Задача приближения функций. Интерполяция и аппроксимация функций. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Эрмита. Интерполяция сплайнами. Выдача вариантов заданий к лабораторной работе.
Занятие 2. Метод наименьших квадратов. Выдача вариантов заданий к лабораторной работе.
Занятие 3. Численные методы решения систем нелинейных уравнений. Метод простых итераций. Метод Ньютона. Выдача вариантов заданий к лабораторной работе.
Занятие 4. Численное интегрирование. Квадратурные формулы. Порядок точности. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона. Правило Рунге оценки погрешности. Уточнение по Ричардсону. Алгоритм вычисления интеграла с заданной точностью. Вычисление интегралов в среде MATLAB. Выдача вариантов заданий к лабораторной работе.
МОДУЛЬ 2: Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
Занятия 5. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы Рунге – Кутта решения задачи Коши для систем дифференциальных уравнений первого порядка. Алгоритм метода при решении задачи с заданной точностью. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений в среде MATLAB. Выдача вариантов заданий к лабораторной работе.
Занятия 6. Многошаговые методы решения дифференциальных уравнений. Жесткие дифференциальные уравнения и системы.
МОДУЛЬ 3: Численные методы решения задач оптимизации
Занятие 7-8. Численные методы решения задач оптимизации. Метод дихотомии. Метод золотого сечения. Многомерная оптимизация. Метод покоординатного и наискорейшего спуска. Выдача вариантов заданий к лабораторной работе.
ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ
Сплайн-интерполяция.
Метод наименьших квадратов.
Численные методы решения систем нелинейных уравнений.
Численное интегрирование.
Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Численные методы решения задач оптимизации.
КОНТРОЛЬНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ
МОДУЛЬ 1: Приближение функций
КМ-1: Домашнее задание №1. Сплайн-интерполяция
Сроки выполнения: выдача –1-я неделя; прием – 4-я неделя
Методические пособие: МП-1.
Типовое задание (максимум 8 баллов).
Задание
Для функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 построить таблицу значений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= на отрезке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415с шагом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
По полученной таблице вычислить коэффициенты сплайна, используя метод прогонки.
Вычислить значения сплайна и заданной функции в серединах получившихся интервалов, т.е. в точках 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вычисления произвести при n = 5, 25, 125.
Оформить таблицу, столбцами которой являются:
1. Значения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2. Значения заданной функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3. Значения сплайна при n = 5
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
в серединах получившихся интервалов.
4. Значения сплайна при n = 25
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
т.е. в тех же точках, что и при n = 5.
5. Значения сплайна при n = 125
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
т.е. в тех же точках, что и при n = 5.
Убедиться, что при увеличении n качество сплайн-интерполяции повышается.
Оформить отчет по теме «Сплайн-интерполяция», содержащий:
1) Теоретическую часть.
2) Текст программы.
3) Таблицу с результатами.
КМ-2: Лабораторная работ № 1 Метод наименьших квадратов.
Сроки выполнения: выдача –3-я неделя; прием – 5-я неделя
Методические пособие: МП-1.
Типовое задание (максимум 7 баллов).
Задание
1. Для функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 построить таблицу значений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= на отрезке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415с шагом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. По полученной таблице методом наименьших квадратов найти линейную функцию, параболу и кубическую функцию, на которых минимизируется сумма квадратов невязок.
2. Результаты программы оформить в виде таблицы, столбцами которой являются:
1. Значения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2. Значения заданной функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3. Значения получившейся линейной функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точках 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4. Значения получившейся параболы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точках 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5. Значения получившейся кубической функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точках 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
6. Три столбца значений невязок для линейной функции, параболы и кубической функции в точках 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
7.Суммарная невязка в нижней строке для соответствующих столбцов.
3. Оформить отчет по теме «Метод наименьших квадратов», содержащий:
1) Теоретическую часть.2) Текст программы. 3) Таблицу с результатами.
КМ-3: Лабораторная работа №2. Численные методы решения систем нелинейных уравнений.
Сроки выполнения: выдача –6-я неделя; прием – 8-я неделя
Методические пособие: МП-1.
Типовое задание (максимум 7 баллов).
Задание
1.Решить аналитически систему уравнений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2. Решить графически систему уравнений с помощью программы построения графиков функций.
Написать программу решения системы уравнений методом Ньютона. В качестве начального приближения брать результаты графического решения. Сравнить результаты аналитического решения и графического.
Оформить отчет по теме «Численные методы решения систем нелинейных уравнений», содержащий:
1) Теоретическую часть.
2) Графическое решение системы нелинейных уравнений.
3) Текст программы.
4) Результаты.
КМ-4: Поведение, прилежание и посещаемость в первом модуле – максимум 3 балла.
МОДУЛЬ 2: Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
КМ-5: Лабораторная работа №3. Численное интегрирование.
Сроки выполнения: выдача –8-я неделя; прием – 11-я неделя
Методические пособия: МП-2.
Типовое задание (максимум 7 баллов).
Задание
Вычислите интеграл 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
1) аналитически, 2) численно с точностью до 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = 0.000001:
по формуле средних прямоугольников,
по формуле трапеций,
по формуле Симпсона.
Точность вычислений определяется по практическому правилу Рунге.
3) Оформите отчет по теме «Численное интегрирование». Отчет должен содержать описание использованного метода, результаты и текст программы.
КМ-6: Домашнее задание №2. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
Сроки выполнения: выдача –10-я неделя; прием – 13-я неделя
Методические пособие: МП-1.
Типовое задание (максимум 11 баллов).
Задание
Для дифференциального уравнения второго порядка из предложенного варианта
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
1) Получить точное решение уравнения с заданными начальными условиями;
2) Написать программу численного интегрирования дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Для оценки точности вычислений воспользоваться правилом Рунге;
3) Найти численное решение дифференциального уравнения с точностью 0.0001 и оценить погрешность как максимум разности в узлах между точным решением и решением, полученным численным методом.
4) Оформить отчет по теме «Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений». Он должен содержать описание использованного численного метода, аналитическое решение, результаты расчетов и текст программы.
КМ-7: Поведение, прилежание и посещаемость во втором модуле – максимум 3 балла.
МОДУЛЬ 3: Численные методы решения задач оптимизации
КМ-8: Домашнее задание №3. Численные методы решения задач оптимизации
Сроки выполнения: выдача –12-я неделя; прием – 15-я неделя
Методические пособие: МП-7.
Типовое задание (максимум 12 баллов).
Задание
1.Найти экстремум функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 аналитически.
Написать программу нахождения экстремума функции:
а) Методом покоординатного спуска.
б) Методом наискорейшего градиентного спуска.
2. Оформить отчет по теме «Численные методы решения задач оптимизации», содержащий:
1) Теоретическую часть.
2) Аналитическое решение.
3) Текст программы.
4) Результаты (численные и аналитические).
КМ-9: Поведение, прилежание и посещаемость в третьем модуле – максимум 3 балла.
ПРОГРАММЫ ПО ТЕОРИИ К МОДУЛЯМ
МОДУЛЬ 1: Приближение функций
1. Задача приближения функций. Интерполяция и аппроксимация функций. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Эрмита. Оценка погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа. Интерполяция сплайнами. Линейная и кубическая сплайн – интерполяция. Метод наименьших квадратов.
2. Решение систем нелинейных уравнений. Метод простых итераций. Метод Ньютона, его реализации и модификации. Скорость сходимости метода Ньютона.
МОДУЛЬ 2: Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
3. Численное интегрирование. Квадратурные формулы. Порядок точности. Правило Рунге вычисления погрешности. Уточнение по Ричардсону. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона. Алгоритм вычисления интеграла с заданной точностью.
4. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Разностная аппроксимация производных. Явный метод Эйлера. Методы Рунге – Кутта решения задачи Коши для систем ДУ первого порядка. Алгоритм метода при решении задачи с заданной точностью.
5. Многошаговые методы решения дифференциальных уравнений. Методы Адамса. Явные и неявные схемы. Неявный метод Эйлера и метод трапеций. Проблема численной устойчивости. Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами. Понятие о жестких уравнениях и системах. Устойчивость и неустойчивость некоторых простейших разностных схем.
МОДУЛЬ 3: Численные методы решения задач оптимизации
6. Численные методы решения задач оптимизации. Одномерная оптимизация. Унимодальные функции. Метод дихотомии. Метод золотого сечения. Многомерная оптимизация. Метод покоординатного и наискорейшего спуска.
7. Метод сопряженных градиентов. Метод Ньютона. Многомерная оптимизация при наличии ограничений. Метод проекций градиента.
Рейтинговая система контроля освоения дисциплины
Максимальное число баллов (рейтинг по дисциплине), которое студент может получить за дисциплину, равно 100. Шкала перевода 100-бального рейтинга по дисциплине в традиционную оценку (2, 3, 4 и 5):
Рейтинг
0 – 49
50 – 69
70 – 89
90 – 100

Оценка
2 (неуд)
3 (удовл)
4 (хор)
5 (отл)


Не зачет
Зачет


Перечень контрольных мероприятий (КМ) в течение 4 семестра и их оценки в баллах
№ и назв. модуля
№ КМ
Наименование КМ
№ недели
Макс Балл
Зачетн. Балл
Порог для «автомата»
Автом начисл за зач

1. Приближение функций
1
ДЗ №1
1 –4
8+1
4




2
ЛР №1
3-5
7+1
4




3
ЛР №2
6-8
7+1
4




4
ППП-1
1-7
3
2





Итого по Модулю 1
7
28
14
18
6

2. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
5
ЛР №3
8-10
7+1
3




6
ДЗ № 2
10-12
11+2
7




7
ППП-2
8–12
3
2





Итого по Модулю 2
13
24
12
16
5

3. Численные методы решения задач оптимизации
8
ДЗ № 3
13-17
12+2
7




9
ППП-3
13 –17
3
2





Итого по модулю 3
16-17
18
9
12
4

Итого за работу в семестре

70
35
46
15

Зачет

30
15



Итого по дисциплине

100
50



Пояснения:
Баллы за все ДЗ (КМ-1, КМ-6 и КМ-8) ставятся после полного исправления всех недочетов в диапазоне от 4 до 8 баллов включительно за ДЗ №1, от 7 до 11 за ДЗ №2 и от 7 до 12 включительно за ДЗ №3, в зависимости от числа сделанных ошибок. При своевременной сдаче тетради на проверку и исправлении ошибок в течение 1 недели за ДЗ №1 начисляется дополнительно 1 балл, а за ДЗ №2 и ДЗ №3 начисляется 2 балла.
Лабораторные работы (КМ-2, КМ-3, КМ-5) оцениваются в 7 баллов. Студенту проставляются набранные баллы только после полного исправления всех недочетов. При сдаче каждого из этих КМ с первого раза студенту начисляются дополнительно по 1 баллу.
Баллы за посещаемость, прилежность и поведение – ППП (КМ-3, КМ-6 и КМ-8) ставятся в диапазоне от 0 до 3 баллов за каждый модуль. Зачетный минимум равен 2 балла в каждом модуле. Для увеличения своих баллов за ППП студент может предъявить преподавателю собственные конспекты лекций и выполненные текущие ДЗ.
Оценка за каждое КМ выставляется только после выполнения его на зачетный уровень и полного исправления всех недочетов. Оценка за КМ, содержащее теорию, выставляется только при условии, что ответ по теории не ниже зачетного уровня (примерно 50-60% от максимума за неё). Оценка за модуль выставляется только когда студент получил оценки за все КМ данного модуля, и равна их сумме.
Рейтинг за работу в семестре равен сумме баллов за три модуля. Допуск к зачету: при сумме баллов за первый, второй и третий модули не менее 14, 12 и 9 соответственно.
Зачетный билет состоит из нескольких теоретических и практических вопросов, по 2-3 вопроса из каждого модуля. Сумма максимальных баллов на зачете за первый, второй и третий модули составляют 12, 10 и 8 баллов соответственно. Зачет считается сданным, если сумма баллов за первый, второй и третий модули не менее 6 и 5 и 4 баллов соответственно.
«Зачет-Автомат»: при сумме баллов за первый, второй и третий модули не менее 18, 18 и 10 соответственно студент имеет право не делать задания соответствующей части зачетного билета, за которые ему автоматически начисляется 6, 5 или 4 балла соответственно. При желании, студент, имеющий право на автомат по какому-то модулю, может сдавать зачет по этому модулю. Если же у студента «автомат» по двум или трем модулям, то он может, на своё усмотрение, либо воспользоваться ими полностью и получить за эти модуля автоматические баллы, либо сдавать зачет только по одним модулям на свой выбор, получив за другой модуль (другие модули) автоматические баллы, либо сдавать зачет полностью. При этом автоматические баллы сохраняются за ним только в течение первых 20 минут зачета.
Общий рейтинг студента по дисциплине равен сумме рейтинга за работу в семестре и баллов, набранных за зачет.
Указанные выше распределения баллов между КМ и пороговые значения являются ориентировочными и могут быть уточнены в начале семестра.
ЛИТЕРАТУРА
Основная литература
Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы. М.: Издательский дом МЭИ, 2008. 672 с.
Костомаров Д.П., Фаворский А.П. Вводные лекции по численным методам: Учеб. пособие. – М.: Университетская лавка, Логос, 2006.
Вержбицкий В.М. Основы численных методов. – М.: Высшая школа, 2005.
Амосов А.А. Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. – М.: Высшая школа, 1994.
Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. – М.: Наука, 1994.
Лесин В.В., Лисовец Ю.П. Основы методов оптимизации. – М.: Изд-во МАИ, 1995.
Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – М.: Наука, 1989.
Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1986.
Дополнительная литература и методические пособия
Кокотушкин Г.А., Федотов А.А., Храпов П.В. Численные методы алгебры и приближения функций: методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу «Численные методы», – М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011 г.
Блюмин А.Г., Федотов А.А., Храпов П.В. Численные методы вычисления интегралов и решения задач для обыкновенных дифференциальных уравнений: методические указания. – М.: МГТУ, № гос. Регистрации 0320800709, 2008. - 75 с., [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] .
Блюмин А.Г., Гусев Е.В., Федотов А.А. Численные методы. – М.: МГТУ, 2002.
Кокотушкин Г.А., Храпов П.В., Методические указания к решению задач по курсу «Методы вычислений», – М.: МГТУ, 2001.
Кокотушкин Г.А., Храпов П.В., Методические указания к решению задач по курсу «Численные методы», – М.: МГТУ, 1999 г.
Голосов А.О., Федотов А.А., Храпов П.В. Численные методы вычисления интегралов и решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений: Методические указания. – М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1992. 52 с.
Барсов С.С., Храпов П.В., Чуев В.Ю. Численные методы поиска экстремума: Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу "Численные методы". – М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1990. 35 с.
Голосов А.О., Нарайкин О.С., Храпов П.В. Прикладной функциональный анализ: Учебное пособие. – М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана,1990. 74 с.

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native+Equation Native

Приложенные файлы

  • doc 8861096
    Размер файла: 201 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий