Динамика полета лекции

Лекция 1.
Введение. Предмет курса
Основным содержанием курса «Аэродинамика и динамика полета самолетов, ракет и вертолетов (ЛА)» является составление и исследование уравнений движения ЛА, изучение траекторий полета, летно-технических характеристик (ЛТХ), условий устойчивости и управляемости. Вывод уравнений движения ЛА опирается на основные положения теоретической механики, аэродинамики, теории автоматического управления.
Задача исследования полета ЛА в общей постановке весьма сложная. ЛА с фиксированными рулями имеет, как всякое твердое тело, 6 степеней свободы и его движение в пространстве описывается системой 12 дифференциальных уравнений первого порядка. Динамика нежестких ЛА, динамика ЛА с учетом работы автоматических средств управления описывается значительно б13eq \o (о;ґ)15льшим числом дифференциальных уравнений. Ввиду чрезвычайной сложности задачи исследования полета любого ЛА ее обычно решают по частям, разбивая исследования на несколько этапов и постепенно переходя от менее трудных задач к более трудным.
I этап. ЛА заменяется тяжелой материальной точкой равной массы, расположенной в центре масс ЛА. Такая математическая модель используется для построения траекторий движения, определения ЛТХ, включающих в себя область возможных режимов горизонтального полёта, взлётно-посадочные характеристики (ВПХ), максимальные дальности полёта и радиуса действия, маневренные характеристики и при решении ряда других задач.
II этап. ЛА считается телом или системой тел переменной массы или состава. Эта модель используется для теоретического исследования реализуемости траекторий с учетом работы автоматических средств управления, оценки устойчивости и управляемости. При полностью автоматическом управлении движения ЛА рассматривается как объект управления в замкнутой системе управления.
III этап. ЛА - в полноразмерном объеме или используются его динамически подобные аналоги. На этом этапе проверяется реализация траекторий на практике, определение вероятности выполнения поставленных задач, доводка летных характеристик. Параллельно могут использоваться пилотажные стенды, экспериментальные летающие лаборатории, динамически подобные модели ЛА.
Характеристики Земли, ее атмосферы (см. рис.1)

13 EMBED Word.Picture.8 1415
Более грубая модель Земли – сфера с Rз=6371 км и вектором угловой скорости суточного вращения 13 EMBED Equation.3 1415.
Наиболее простая модель Земли – местная горизонтальная плоскость (М.Г.П.).

13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 13 SEQ Рис. \* ARABIC 14115
Эллипсоид вращения, сфера используются при исследовании движения космических аппаратов, баллистических ракет. В случае если рассматривается движение ЛА с умеренными скоростями V( 2000(3000 м/с в малой окрестности поверхности Земли, то Землю заменяют МГП. В этом случае горизонтальный полет на постоянной высоте считается прямолинейным. В других моделях Земли горизонтальный полет на постоянной высоте не является прямолинейным и будет иметь вид (рис.2).
Для реализации горизонтального полета в безвоздушном пространстве около сферы приближенно действует (без учета влияния других планет и Солнца) одна физическая сила земного притяжения 13 EMBED Equation.3 1415 ЛА, являющаяся центростремительной силой и в противоположном направлении- -фиктивная центробежная сила13 EMBED Equation.3 1415. Из условия равновесия получаем

13 EMBED Equation.3 1415
У поверхности Земли: Н=0, Rз=6371000 м, g0=9,81 м/с2, имеем V0(7,9км/с=7900м/с.
Атмосфера становится исчезающе малой на высотах Н ( 100-115 км. В этом случае для спутника на высоте круговой орбиты Н = 100 км значение скорости определим как:

13 EMBED Equation.3 1415.

Эта скорость называется круговой или первой космической.
Схематически траектории полёта в зависимости от величины начальной скорости V в начальной точке при угле наклона траектории ( = 0 можно изобразить в следующем виде (рис.3).
Если 13 EMBED Equation.3 1415то скорость называется параболическая или вторая космическая. При этой скорости ЛА уходит из сферы притяжения Земли. Иногда эту скорость называют «скоростью ухода». При Vгип > Vпар скорости называют гиперболическими, используемыми для дальних космических полётов. В случае V < Vкр траектории становятся приближённо эллиптическими (без учёта влияния атмосферы Земли).
В различных эллиптических траекториях центр масс Земли располагается в эксцентриситете эллипса. Эллипсы, пересекающие поверхность Земли, могут использоваться для описания движения баллистических ракет.
Расчеты показывают, что для

Земли: Vкр = 7,9 км/с; Vпар = 11,2 км/с;

Луны: Vкр = 1,7 км/с; Vпар = 2,4 км/с;

Марса: Vкр = 3,5 км/с; Vпар = 5 км/с.

Венеры: Vкр = 7,2 км/с; Vпар = 10.2 км/с.
На рис. 4 изображено распределение температуры воздуха в атмосфере Земли
На рис.5 показано распределение плотности воздуха в атмосфере Земли (0 и ( выбирается в зависимости от исследуемого диапазона высот Н0 и Н


Рис. 13 SEQ Рис. \* ARABIC 14415

Рис. 13 SEQ Рис. \* ARABIC 14515


У поверхности Земли 13 EMBED Equation.3 1415

Лекция 2.
Аэродинамические силы и продольный момент изолированного крыла
ЛА можно разделить на составляющие, которые участвуют в создании аэродинамических сил и моментов. Наибольшую долю в создании подъемной силы обычно дает крыло. Суммарные силы и моменты всего ЛА складываются из сил и моментов его составляющих частей с учетом взаимного влияния (интерференции).
Рассмотрим сначала теоретические основы и предположения (гипотезы), на основе которых можно вывести соотношения для сил и момента изолированного крыла.
Исторически аэродинамика малых скоростей основывалась на постулате Н.Е. Жуковского (1847 - 1921) и С.А. Чаплыгина (1869 - 1942). Согласно этому постулату, точка схода воздушного потока, обтекающего крыло, фиксируется около задней кромки.
Это хорошо подтверждается экспериментально при плавном (безотрывном) ламинарном обтекании профиля крыла. С помощью этого постулата удалось определить значение подъемной силы крыла аналитически.


Вторая важная гипотеза и на ее основе теория пограничного слоя разработана немецким ученым А. Прандтлем. Согласно этой гипотезе вязкость (внутреннее трение) воздуха проявляется только в узком слое (пограничном слое), непосредственно примыкающем к поверхности обтекаемого крыла (см. рис. 7).
На рис. 8 а, б изображены картины обтекания крыльев на различных скоростях полета.

Рис. 13 SEQ Рис. \* ARABIC 14715

Рис. 13 SEQ Рис. \* ARABIC 14815а


Рис. 8б
О- точка критическая 13 EMBED Equation.3 1415
А, В – точки перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный.
С – точка отрыва пограничного слоя.

Скачки уплотнения – поверхности, где скачком изменяются давление и скорость потока. При этом возникает дополнительное сопротивление профиля (крыла), которое называют волновым сопротивлением.

Наименьшее сопротивление профиля возникает при ламинарном течении потока. Турболизация потока вызывает увеличение сопротивления трения и уменьшение подъемной силы крыла.
Дополнительные потери возникают при отрыве пограничного слоя на верхней поверхности крыла, которые обычно появляются на больших углах обтекания профиля крыла.
Рассмотрим уравнение (интеграл) Бернулли с целью объяснения причин изменения параметров воздушного потока при обтекании крыла. Бернулли, ученый швейцарского происхождения, состоявший членом Петербургской Академии Наук, применил закон сохранения энергии к двигающейся жидкости (газа) внутри трубопровода с переменным сечением (рис. 9).


Рис.9

Обозначим:

dF1, dF2 – площади сечений 1, 2;
13 EMBED Equation.3 1415давления и массовые плотности в сечениях 1, 2;
13 EMBED Equation.3 1415массы 13 EMBED Equation.3 1415 в сечениях 1, 2.
Если пренебречь изменением внутренней тепловой энергии и внутренними потерями, то можно для несжимаемой жидкости записать сумму
трех видов энергий и считать эту величину постоянной
13 EMBED Equation.3 1415,
где: 13 EMBED Equation.3 1415 - потенциальная энергия,
13 EMBED Equation.3 1415 - кинетическая энергия,
13 EMBED Equation.3 1415 - потенциальная энергия давления (работа сил давления).
Поделив и умножив на 13 EMBED Equation.3 1415 третью составляющую, будем иметь:
13 EMBED Equation.3 1415
или, поделив на m слева и справа, получим уравнение Бернулли (уравнение напоров)
13 EMBED Equation.3 1415. (3.1)
Рассмотрим (3.1) для двух расчетных сечений, умножив предварительно на 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 , (3.2)
13 EMBED Equation.3 1415 -аэростатическое давление; p2- статическое давление;
13 EMBED Equation.3 1415- динамическое давление. Часто обозначают:13 EMBED Equation.3 1415-скоростной напор.
Пример 1 (см. рис. 10).

Рис. 13 SEQ Рис. \* ARABIC 141015
Откуда 13 EMBED Equation.3 1415. По гипотезе (постулату) Жуковского-Чаплыгина V2>V1 и q2>q1, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415>0, получаем 13 EMBED Equation.3 1415 >0 и p1>p2, т.е. на верхней поверхности крыла (профиля) давление понижается по сравнению с давлением набегающего потока 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2.
2 листа бумаги сходятся при выдувании воздуха между ними.
Пример 3 (рис.11).
Пульверизатор

Рис. 13 SEQ Рис. \* ARABIC 141115
Распределение давления на профиле можно получить экспериментально, просверлив отверстия в различных точках крыла на нижней и верхней поверхности (дренировав) и поставив датчики давлений. Такие дренированные модели крыльев ЛА продуваются в аэродинамических трубах. Рассмотрим физическую картину возникновения аэродинамических сил на прямоугольном крыле (профиле).

Примеры (рис. 12-14).















Симметричный профиль


Рис. 13 SEQ Рис. \* ARABIC 141215
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 13 SEQ Рис. \* ARABIC 141315

В т. B,D –скорости потока равны 13 EMBED Equation.3 1415, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415
В т. A, V=0, pmax


Координатные диаграммы распределения давления.


Рис. 13 SEQ Рис. \* ARABIC 141415
Рассмотрим профиль и схему элементарных действующих сил на него в связанной с носком профиля системе координат OXY (рис. 15).

Рис. 13 SEQ Рис. \* ARABIC 141515
Для прямоугольного крыла размаха 13 EMBED Equation.3 1415 выделим участки профиля с размерами dx и dy.Учитывая, что 13 EMBED Equation.3 1415=dx определим элементарную нормальную силу от давления на элемент крыла 13 EMBED Equation.3 1415dx
dYp=13 EMBED Equation.3 1415(pн –pв)dx 13 EMBED Equation.3 1415
Аналогично для элементарной продольной силы от давления
dXр=13 EMBED Equation.3 1415 (pп –pз )dy
Интегрируя эти выражения соответственно от A до B вдоль оси OX и от yн до yв вдоль оси OY,получим формулы для нормальной и продольной сил без учета сил трения
13 EMBED Equation.3 1415
Записав выражение для элементарного момента от нормальной силы (момент от продольной силы обычно пренебрежимо мал, в силу того что крыло обычно “тонкое”) относительно точки A
13 EMBED Equation.3 1415
Определим продольный момент крыла от давления
13 EMBED Equation.3 1415
Здесь минус принят в виду того, что момент направлен против часовой стрелки, если смотреть вдоль 0Z, расположив ее от нас вдоль передней кромки.
В этих формулах целесообразно перейти от сил к их коэффициентам, учитывая, что площадь S прямоугольного крыла S = b13 EMBED Equation.3 1415, а также принимая, что (здесь формулы объединены в записи)
13 EMBED Equation.3 1415
В частности для Y, полагая
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415 (3.3)
13 EMBED Equation.3 1415 (3.4)
13 EMBED Equation.3 1415 (3.5)
где:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (3.6)
В формулах (3.3) ( (3.5) и в дальнейшем индекс (
·) опущен в выражениях V
· и q
·, если не оговаривается особо.
На практике крылья ЛА, как правило, отличаются от прямоугольной формы, поэтому для удобства расчетов и сравнительного анализа крыльев ЛА вводят понятие средней аэродинамической хорды (САХ) (см. рис.16).
Для крыла произвольной формы в плане подбирается такое эквивалентное прямоугольное, момент МZ Э которого, силы YЭ, XЭ и площадь SЭ были бы равны исходным MZ.ИСХ, YИСХ, XИСХ,SИСХ.
MZ Э(xA, yA,bA, 13 EMBED Equation.3 1415)= MZ КР ИСХ ;
YЭ(xA,yA,bA, 13 EMBED Equation.3 1415)= YКР ИСХ ; (3.7)
XЭ(xA,yA,bA, 13 EMBED Equation.3 1415)= XКР ИСХ;
SЭ=bA13 EMBED Equation.3 1415=SИСХ.
Из четырех уравнений определяются хA, yA, bA, 13 EMBED Equation.3 1415.
Здесь xA, yA- координаты эквивалентного прямоугольного крыла в системе осей OXY, связанной с носком исходного крыла; bA- значение САХ; 13 EMBED Equation.3 1415- размах эквивалентного крыла. Остальные параметры профиля эквивалентного крыла можно оставить прежними и равными исходным.


Лекция 3.
Полная аэродинамическая сила и продольный момент ЛА
4.1 Аэродинамические характеристики крыла
В предыдущем разделе выведены формулы (3.3)-(3.5) для нормальной и продольной сил и продольного момента изолированного крыла. Пересечение векторов этих сил происходит в “центре давления”, положение которого обозначим Хд в принятой системе
Рис.17
координат (рис.17).
Суммарный вектор (полная аэродинамическая сила) при симметричном обтекании крыла равен 13 EMBED Equation.3 1415.
В случае если происходит «боковая обдувка» профиля появляется поперечная сила 13 EMBED Equation.3 1415 и полная аэродинамическая сила крыла выражается формулой
13 EMBED Equation.3 1415; (4.1)
где 13 EMBED Equation.3 1415;
CZ- коэффициент поперечной силы крыла определяется аналогично (3.6).

При исследовании динамики полета всего ЛА удобнее ввести понятие центра тяжести (масс) ЛА и располагать его относительно плоскости хорд, как показано на рисунке 18.


Продольный момент целесообразнее вычислять относительно оси OZ, проходящей через центр тяжести ЛА от нас, и его в этом случае называют моментом тангажа. Тогда, принимая во внимание (3.3) и (3.4)


Рис.18
13 EMBED Equation.3 1415
Умножив и разделив на bA, получаем
13 EMBED Equation.3 1415, (4.2)
где: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415 . (4.3)
4.2 Системы координат и углы, определяющие положение ЛА в пространстве
Для описания движения ЛА используют обычно различные системы координат: системы координат (отсчета), относительно которых рассматривается движение и системы координат (одна или несколько), на оси которых проецируются уравнения движения в векторной форме. По ГОСТ 20058-80 все системы принимаются правыми, т.е. если смотреть с конца ОХ, то поворот от OY к OZ происходит против часовой стрелки.
Различают инерциальные и неинерциальные системы отсчета (координат). Для решаемых задач в нашем курсе условно будем пренебрегать неинерциальностью систем координат (СК). В большинстве случаев системы отсчета располагают, «привязываясь» к местной горизонтальной плоскости и географической сетке на сферической поверхности Земли (параллели и меридиану) [1]. Так, например, стартовая система отсчета OXCYCZC располагается иногда в точке старта с осью ОХС, направленной по касательной к меридиану по направлению на север. OYC направляется вдоль радиуса-вектора точки старта. Нормальная система координат OXgYgZg направляется так же как стартовая, только начало координат располагается в центре масс ЛА.
Связанная система координат OXYZ располагается в центре масс ЛА. Ось ОХ совпадает с продольной осью, OY лежит в вертикальной плоскости симметрии ЛА. Наиболее рационально OX, OY и OZ направлять вдоль главных осей инерции ЛА. Положение связанной СК относительно Земли задается углами: рыскания, тангажа и крена.
Углом рыскания ( называется угол между ОХg и проекцией ОХ на местную горизонтальную плоскость (МГП).
Угол ( - положителен, когда ОХg совмещается с проекцией ОХ на МГП поворотом ОХg против часовой стрелки, если смотреть с конца оси ОYg.
Углом тангажа 13 EMBED Equation.3 1415 называется угол между ОХ и МГП. Угол 13 EMBED Equation.3 1415 положителен, когда ОХ находится выше МГП.
Углом крена ( называется угол между OY и вертикальной плоскостью, содержащей ось ОХ. Угол ( – положителен, когда ОYg совмещается с OY поворотом вокруг ОХ против часовой стрелки, если смотреть с конца оси.
Скоростная (аэродинамическая) система координат ОХaYаZa располагается в центре масс ЛА. ОХa направлена вдоль вектора воздушной скорости 13 EMBED Equation.3 1415. Если воздух неподвижен, то воздушная скорость совпадает с земной 13 EMBED Equation.3 1415. При наличии скорости ветра 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415 (4.4)

Ось OYa помещается в верти-кальной плоскости симметрии ЛА. Положение ЛА относительно воз-душного потока определяется угла-ми ( и (.
Углом атаки ( называется угол между ОХ и проекцией воздушной скорости 13 EMBED Equation.3 1415на вертикальную плос-кость симметрии ЛА (рис.19).
Угол скольжения ( измеряется между 13 EMBED Equation.3 1415 и вертикальной плоскостью симметрии ЛА.
По отношению к нормальной СК (географической сетке) скоростная система по-вернута на углы (a, 13 EMBED Equation.3 1415a и (a – скоростные углы рыскания, тангажа и крена, аналогичные (, 13 EMBED Equation.3 1415 и (.
Траекторная система координат OXкYкZк располагается в центре масс ЛА; ось ОХк совпадает с направлением земной скорости 13 EMBED Equation.3 1415 ЛА. Ось OYк лежит в местной вертикальной плоскости, содержащей OXк. По отношению к нормальной траекторная СК повернута на углы ( и (.
Угол пути ( – угол между проекцией 13 EMBED Equation.3 1415 на МГП и направлением ОХg.
Угол наклона траектории ( – угол между 13 EMBED Equation.3 1415 и МГП. При отсутствии ветра ОХa(OXк; ( ((a; ( ( 13 EMBED Equation.3 1415a. При подъеме ЛА ( - положителен, на траектории снижения ((0.

Лекция 4.
4.3 Полная аэродинамическая сила всего ЛА
По аналогии, как это делается для изолированного крыла ЛА, можно вывести выражения для составляющих и полной аэродинамической силы фюзеляжа самолета и вертолета, корпуса ракеты, горизонтального и вертикального оперения и других частей ЛА. При этом чаще всего в аэродинамических испытаниях частей и всего ЛА использу-ется скоростная (аэродинамическая) СК.
Для крыла полную аэродинамиче-скую силу 13 EMBED Equation.3 1415 (4.1) удобнее представлять в проекциях на скоростные оси. В этом случае после разложения 13 EMBED Equation.3 1415 по ОХа, OYа и OZа, получаем (рис.20):

13 EMBED Equation.3 1415, (4.5)

где:
13 EMBED Equation.3 1415 – сила лобового сопротивления крыла;
13 EMBED Equation.3 1415 – подъёмная сила крыла;
13 EMBED Equation.3 1415 – боковая сила крыла (на рисунке обозначена крестиком, направленной от нас).
В качестве примера можно аналогичные выражения записать для изолированного фюзеляжа
13 EMBED Equation.3 1415; (4.6)
изолированного горизонтального оперения (г.о.)
13 EMBED Equation.3 1415; (4.7)
изолированного вертикального оперения вертолета (в.о.)
13 EMBED Equation.3 1415 (4.8.)
и так далее.
Полная аэродинамическая сила всего ЛА вычисляется суммированием всех составляющих сил с учетом интерференции
13 EMBED Equation.3 1415, (4.9)
где 13 EMBED Equation.3 1415 – полная аэродинамическая сила мото-гондол,
13 EMBED Equation.3 1415 – полная аэродинамическая сила подвесных баков,
13 EMBED Equation.3 1415 – поправка на интерференцию частей ЛА.
Составляющие 13 EMBED Equation.3 1415 на скоростные оси координат
13 EMBED Equation.3 1415 (4.10)
Здесь 13 EMBED Equation.3 1415 – сила лобового сопротивления ЛА;
13 EMBED Equation.3 1415 – подъёмная сила ЛА;
13 EMBED Equation.3 1415 – боковая сила ЛА.
При вычислениях обращается внимание на то, что часть составляющих сил малы. Например, при вычислении подъёмной силы 13 EMBED Equation.3 1415, составляющей, обусловленной вертикальным оперением пренебрегают.
Примеры
1. Для ракеты с оперением, расположенным позади крыла подъемная сила может быть представлена в виде ([2], стр. 154).
13 EMBED Equation.3 1415 (4.11)
При наличии газовых рулей или поворотного двигателя подъемная сила, создаваемая ими, добавляется к написанной сумме. Здесь и в дальнейшем будем опускать индекс “ЛА”, если это не требуется в специальных задачах. Кроме того, составляющие, обусловленные интерференцией, также будут опускаться в целях упрощения выражений.
2. Для самолета силу лобового сопротивления можно представить следующим образом ([5], стр. 329)
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, (4.12)
где 13 EMBED Equation.3 1415- обозначена составляющая силы лобового сопротивления, обусловленная “зализами” между крылом и фюзеляжем.
3. Для вертолета сила сопротивления:
13 EMBED Equation.3 1415 (4.13)
Здесь значения сил сопротивлений с индексами “ф”, “в.о”, “ш”, “в”, “п”, “хр” соответственно приняты для фюзеляжа, вертикального оперения, шасси, несущего винта, подвесок, хвостового ротора (рулевого винта).
Модули значений 13 EMBED Equation.3 1415 входящих в (4.10), также как и для изолированного крыла (см. (3.3), (3.4), (4.1)) определяются следующим образом:
Xа = Cха(
·)qµ;
Ya = Cya(
·)qS; (4.14)
Zа = Cza(
·,
· )q S,
где Cxa, Сy a, Сza – являются безразмерными коэффициентами соответственно сил лобового сопротивления, подъемной и боковой силы ЛА, зависящей от указанных углов
· и
· при фиксированных отклонениях рулей.
4.4.Полный момент ЛА, обусловленный аэродинамическими силами
Для произвольной формы в плане изолированного крыла имеем выражение для продольного момента (4.3). После суммирования моментов, создаваемых аэродинамическими силами от всех частей ЛА, получаем:
13 EMBED Equation.3 1415, (4.15)
где:
13 EMBED Equati
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Здесь 13 EMBED Equation.3 1415– полный момент ЛА, моменты крена – 13 EMBED Equation.3 1415, рыскания –13 EMBED Equation.3 1415 и тангажа – 13 EMBED Equation.3 1415 определяются также как и для изолированного крыла через безразмерные коэффициенты соответственно моментов крена – mх, рыскания - mу, и тангажа – mz, зависящих от углов атаки13 EMBED Equation.3 1415и скольжения13 EMBED Equation.3 1415. Различие состоит лишь в том, что в формулах (4.16), (4.17) принят характерный линейный размер – 13 EMBED Equation.3 1415, а в формуле (4.18) используется значение bA.
Если крылья отсутствуют, то принимается, например, для ракеты – ее длина корпуса, или другой характерный размер, а в качестве S принимается площадь максимального (миделева) сечения корпуса ракеты.
Уравнения движения ЛА
5.1 Уравнения движения в векторной форме
Движение ЛА рассматривается относительно выбранной системы отсчета на поверхности Земли, или в центре масс Земли. Для инерциальной системы отсчета, движущейся прямолинейно равномерно относительно «абсолютно неподвижного пространства» движение твердого тела описывается векторными уравнениями [1], [2]
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415, (5.1)
где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 главный вектор и момент количества движения твердого тела относительно его центра масс (тяжести), 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 – главные вектор и момент, относительно центра масс всех внешних сил, действующих на твердое тело. ЛА не являются твердым телом и должен рассматриваться как система переменного состава. Для этой цели можно считать ЛА мгновенно затвердевшим телом и добавить для фиктивного ”затвердевшего” тела реактивные силы, внутренние силы Кориолиса и вариационные силы, которые обозначим 13 EMBED Equation.3 1415.
Внутренние кориолисовы силы инерции возникают из-за относительного движения масс внутри твердой оболочки тела при ее вращении. Вариационные силы обусловлены нестационарностью движения масс внутри твердой оболочки.
Часто группу сил: реактивную силу, статические силы от разности атмосферного давления и давления газов во входном сечении воздухозаборника и во входном сечении сопла и вариационные силы объединяют вместе и называют силой тяги двигателя и обозначают вектором13 EMBED Equation.3 1415. Иногда различают понятия двигатель и движитель.
Движитель – это агрегат, создающий силу тяги, а двигатель – источник энергии.
Внутренние кориолисовы и вариационные силы 13 EMBED Equation.3 1415 обычно малы и ими пренебрегают по сравнению с силами внешними и реактивными.
По принципу «затвердевания» (m=const, при t=const) для главного вектора 13 EMBED Equation.3 1415 количества движения твердого тела можно записать в общем виде:
13 EMBED Equation.3 1415 , (5.2)
(Сравним: второй закон Ньютона- 13 EMBED Equation.3 1415),
где m-масса ЛА, 13 EMBED Equation.3 1415–вектор абсолютной скорости центра масс ЛА, 13 EMBED Equation.3 1415– вектор ускорения центра масс.
Главный момент 13 EMBED Equation.3 1415 количества движения относительно центра масс твердого тела определяется формулой:
13 EMBED Equation.3 1415. (5.3)
Здесь 13 EMBED Equation.3 1415– момент внутренних кориолисовых сил.
Если система отсчета движения принимается неинерциальной, то в правую часть (5.2) добавляются соответственно кориолисовы и переносные силы инерции, а в (5.3) – моменты этих сил.
Лекция 5.
5.2 Уравнения движения ЛА в скалярной форме
В практических исследованиях векторные уравнения (5.2), (5.3) заменяют эквивалентной системой дифференциальных уравнений в проекциях на выбранные (обычно связанные с центром масс ЦМ ЛА) системы координат.
Будем считать, что путем параллельного переноса силы приложены в ЦМ ЛА. Если вектор силы направлен от нас, обозначим 13 EMBED Equation.3 1415, а в случае - к нам будем обозначать (.
Рассмотрим схему действующих сил для 3-х видов ЛА (рис.21).

Рис. 21
(р – угол установки двигателя, угол поворота 13 EMBED Equation.3 1415 по отношению к связанной СК
13 EMBED Equation.3 1415- полный вектор тяги несущего винта, (13 EMBED Equation.3 1415–компоненты 13 EMBED Equation.3 1415 в связанной СК), 13 EMBED Equation.3 1415–гироскопический момент от вращающихся частей (винты, ротор) 13 EMBED Equation.3 1415– тяга рулевого винта

Уравнения движения ЦМ самолетов и ракет и их вращательное движение в инерциальной системе отсчета в векторной форме (5.2),(5.3) c учетом действующих сил и моментов запишем в виде:
13 EMBED Equation.3 1415m13 EMBED Equation.3 1415; (уравнение сил) (5.4)
13 EMBED Equation.3 1415. (уравнение моментов) (5.5)
Если система отсчета неинерциальная, то добавляются кориолисовы и переносные силы инерции. Для большинства ЛА 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415- малы. Индекс “0” в выражениях для 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 здесь и в дальнейшем будет опускаться. 13 EMBED Equation.3 1415, т.к. обычно выбранные системы координат располагаются в ЦМ ЛА.
Уравнения движения вертолета
13 EMBED Equation.3 1415m 13 EMBED Equation.3 1415;
(уравнение сил) (5.6)
13 EMBED Equation.3 1415.
(уравнение моментов) (5.7)
Наиболее простую форму система уравнений движения ЦМ самолетов и ракет примет, если (5.4) спроецировать на оси траекторной системы координат13 EMBED Equation.3 1415.Получим уравнения движения относительно сферической невращающейся Земли при отсутствии ветра ([1], стр.29).
13 EMBED Equation.3 1415; (5.8)
13 EMBED Equation.3 1415; (5.9)
13 EMBED Equation.3 1415 (5.10)
Составляющие 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
представляют собой центробежные силы инерции, обусловленные кривизной земной поверхности. Здесь 13 EMBED Equation.3 1415 - угол местной широты. Если Землю считать плоской т.е.13 EMBED Equation.3 1415,то этими составляющими пренебрегают. Ускорение, обусловленное кривизной Земли при скорости ЛА около 100013 EMBED Equation.3 1415 достигает 1,613 EMBED Equation.3 1415 от g(H). Для ЛА, у которых скорость 13 EMBED Equation.3 1415 кривизна Земли обычно не учитывается, или учитывается в виде поправок в конечные результаты расчетов.
В уравнения (5.8) – (5.10) входит масса самолета или ракеты, которая меняется с течением времени из-за выгорания топлива, поэтому рассматривается дополнительное дифференциальное уравнение для учета изменения массы ЛА.
13 EMBED Equation.3 1415 (5.11)
где 13 EMBED Equation.3 1415 – секундный массовый расход топлива;
13 EMBED Equation.3 1415 – степень дросселирования тяги двигателя.
Проецирование векторных уравнений на выбранные СК удобно производить с помощью таблиц (матриц) направляющих косинусов между различными СК [1], [2] и использовать матричные преобразования (см.Приложение 1,таблица 1,2.).
Тот же результат можно получить, если использовать «теорию бесконечно малых величин» для описания изменения параметров траектории.
Например: (Земля принимается плоской) (рис. 22).

Рис. 22
Здесь t2=t1+(t, OXk совпадает с 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому проекция ускорения 13 EMBED Equation.3 1415 на OXk будет равна:
13 EMBED Equation.3 1415
Проекция 13 EMBED Equation.3 1415 на OYk:
13 EMBED Equation.3 1415.
Проекция 13 EMBED Equation.3 1415 на OZk:
13 EMBED Equation.3 1415
У нас 13 EMBED Equation.3 1415. Аналогично можно вывести проекции сил и ускорений, обусловленных кривизной Земли.
Рассмотрим уравнения моментов в скалярной форме при проектировании (5.5) на оси связанной СК, ориентированных вдоль главных осей инерции самолета (ракеты), для которых центробежные моменты инерции нулевые (Ixz=Iyz=0), а значения Ixy - малы. Из курса теоретической механики известно, что уравнения вращательного движения ЛА в проекциях (5.5) на OXYZ запишутся в виде [1], [2]
13 EMBED Equation.3 1415; (5.12)
13 EMBED Equation.3 1415; (5.13)
13 EMBED Equation.3 1415, (5.14)
где: 13 EMBED Equation.3 1415 – проекции вектора угловой скорости 13 EMBED Equation.3 1415 вращения ЛА на главные центральные оси инерции;
Mx, My, Mz – сумма проекций моментов сил, входящих в правую часть (5.5), соответственно на оси OX, OY, OZ;
Ix, Iy, Iz – главные центральные моменты инерции ЛА, являющиеся функциями массы: Ix(m), Iy(m), Iz(m).
Уравнения движения центра масс (5.6) вертолета часто используют в проекциях на связанные оси координат OXYZ в следующей форме ([2], стр.40):
13 EMBED Equation.3 1415; (5.15)
13 EMBED Equation.3 1415; (5.16)
13 EMBED Equation.3 1415. (5.17)
Здесь Vx, Vy, Vz, 13 EMBED Equation.3 1415 – проекции векторов линейной и угловой скорости 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 соответственно на оси OX, OY, OZ; X, Y, Z – проекции сил, входящих в правую часть (5.6), соответственно на оси OX, OY и OZ.
Уравнения вращательного движения вертолета в проекциях на оси связанной СК имеют вид (5.12) – (5.14), в которых Mx, My, Mz определяются как сумма проекций моментов, входящих в правую часть (5.7), соответственно на оси OX, OY и OZ.
Отметим, что если для вертолета или любого другого ЛА значение центробежного момента инерции Ixy является существенной величиной, то можно использовать уравнения в форме (1.57) [1] стр.33.
Обычно в математической модели движения вертолета к системам уравнений (5.12) – (5.14) добавляют уравнение равновесия моментов относительно вала несущего винта
13 EMBED Equation.3 1415, (5.18)
где Myв – суммарный крутящий момент, обусловленный несущими винтами вертолёта, и момента, создаваемого силовой установкой; Iyв- приведённый момент инерции вращающихся элементов относительно вала несущего винта; 13 EMBED Equation.3 1415- угловая скорость вращения винта.
Кинематические уравнения. Связь между углами
6. 1 Кинематические уравнения движения центра масс (ЦМ) ЛА можно получить, разложив векторное уравнение


13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 (6.1)

на стартовые оси координат с началом координат на пересечении радиуса-вектора13 V=dr/dt 15 13 EMBED Equation.3 1415 с поверхностью Земли (рис.23). Получаем:

13 EMBED Equation.3 1415; (изменение высоты полёта) (6.2)







13 EMBED Equation.3 1415; (изменение дальности полёта по поверхности Земли), (6.3)

13 EMBED Equation.3 1415 ; (изменение широты), (6.4)
13 EMBED Equation.3 1415 ; (изменение долготы). (6.5)
6.2 Кинематические уравнения, описывающие вращение ЛА относительно нормальной системы координат (рис.24)
Вид по стрелке А


Рис. 24
13 EMBED Equation.3 1415; (6.6)
13 EMBED Equation.3 1415(проекция на промежуточное направление 13 EMBED Equation.3 1415), где 13 EMBED Equation.3 1415- раскладывается на сумму векторов, направленных вдоль 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, тогда
13 EMBED Equation.3 1415 (6.7)
13 EMBED Equation.3 1415 (6.8)
6.3 Связь между углами. С помощью таблиц направляющих косинусов можно получить различные геометрические соотношения между углами [1]. Таблицы I, II, Приложения I. Для этой цели, например, используют произведения матриц (таблиц) по схеме:
(траекторная/нормальная)=(траекторная/связанная)
·(связанная/нормальная)
и свойство тождества одинаковых элементов матриц.
В частности, после приравнивания соответствующих элементов, получаем:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
и для матриц (скоростная / нормальная) аналогично
13 EMBED Equation.3 1415. (6.9)
Здесь при отсутствии ветра 13 EMBED Equation.3 1415, крена и скольжения (13 EMBED Equation.3 1415=0) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415. (6.10)
Лекция 6.
Уравнения движения центра масс ЛА в частных случаях
7.1 Полёт без крена и скольжения относительно сферической невращающейся Земли при отсутствии ветра
В уравнениях (5.8) – (5.10) при 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и правая часть (5.10) будет содержать только составляющую, обусловленную кривизной Земли. Учитывая, что приближённо
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415,
получаем:
13 EMBED Equation.3 1415; (7.1)
13 EMBED Equation.3 1415; (7.2)
13 EMBED Equation.3 1415 . (7.3)
Угол пути 13 EMBED Equation.3 1415 не входит в (7.1) и (7.2) , следовательно, не влияет на V и 13 EMBED Equation.3 1415 поэтому уравнение (7.3) может быть исключено из рассмотрения, если не требуется знание значений 13 EMBED Equation.3 1415.
В (7.2) объединим последние два слагаемых справа, принимая во внимание выражение для круговой скорости на уровне моря (H=0)
13 EMBED Equation.3 1415 и13 EMBED Equation.3 1415. В этом случае (7.1) и (7.2) принимают вид:

13 EMBED Equation.3 1415; (7.4)
13 EMBED Equation.3 1415
(7.5)
Эти уравнения целесообразно использовать при скоростях ЛА не менее V=1000 м/с.
7.2 Полет без крена и скольжения относительно плоской невращающейся Земли при отсутствии ветра.
При умеренных скоростях полета с малыми углами атаки, 13 EMBED Equation.3 1415 – малы и слагаемым Р13 EMBED Equation.3 1415 можно пренебречь. Тогда уравнения (7.4), (7.5)
13 EMBED Equation.3 1415; (7.6)
13 EMBED Equation.3 1415. (7.7)
В частном случае горизонтального полета с установившейся скоростью V=const, 13 EMBED Equation.3 1415= 0;
· = 0
13 EMBED Equation.3 1415 (7.8)
13 EMBED Equation.3 1415 (7.9)
7.3 Горизонтальный полет с креном и без скольжения
13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415; (7.10)
13 EMBED Equation.3 1415; (7.11)
13 EMBED Equation.3 1415 . (7.12)
Если центростремительное ускорение, обусловленное кривизной Земли, незначительно: V(1000 м/с и малые высоты, то
13 EMBED Equation.3 1415; (7.13) 13 EMBED Equation.3 1415; (7.14)
13 EMBED Equation.3 1415. (7.15)
7.4 Перегрузка. Уравнения движения центра масс в безразмерной форме
Перегрузка – это отношение суммы векторов тяги и полной аэродинамической силы к величине силы тяжести
13 EMBED Equation.3 1415. (7.16)
Проекции вектора перегрузки на оси скоростной СК равны
13 EMBED Equation.3 1415 (тангенциальная)
13 EMBED Equation.3 1415 (нормальная скоростная) (7.17)
13 EMBED Equation.3 1415 (боковая)
Проекции вектора перегрузки на оси траекторной СК при отсутствии ветра:
13 EMBED Equation.3 1415 (7.18)
Разделив левые и правые части уравнений (5.8)- (5.10) на 13 EMBED Equation.3 1415, получим динамические уравнения движения центра масс ЛА в перегрузках
13 EMBED Equation.3 1415 (7.19)
13 EMBED Equation.3 1415 (7.20)
13 EMBED Equation.3 1415 (7.21)
При рассмотрении частных случаев движения выражения для проекций перегрузки значительно упрощаются.
При полете без скольжения (
·=0, Za=0) с малыми углами атаки 13 EMBED Equation.3 1415 формулы (7.17), (7.18) примут вид
13 EMBED Equation.3 1415 (7.22)
и, без ветра,
13 EMBED Equation.3 1415. (7.23)

В проекциях на связанные оси вектор перегрузки может быть представлен составляющими nx, ny, nz, которые называются продольной, нормальной и поперечной соответственно. Между связанными и скоростными проекциями,используя таблицы направляющих косинусов, получаем:
13 EMBED Equation.3 1415; (продольная)
13 EMBED Equation.3 1415; (нормальная) (7.24)
13 EMBED Equation.3 1415. (поперечная)
Часто нормальную скоростную составляющую перегрузки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 для краткости называют
«нормальной».
Лекция 7.
Установившиеся режимы полета
Установившиеся режимы полета имеют место, когда основные параметры движения и, чаще всего, скорость постоянные или меняются достаточно медленно. Если некоторые кинематические параметры изменяются несущественно и принимаются постоянными, в таком случае говорят о квазиустановившихся режимах.
8.1. Установившийся горизонтальный полет. Метод тяг
Расчет летных характеристик методом тяг
В установившемся 13 EMBED Equation.3 1415 горизонтальном 13 EMBED Equation.3 1415 прямолинейном 13 EMBED Equation.3 1415 полете дифференциальные уравнения (5.8)-(5.10) превращаются в алгебраические равновесия сил:
13 EMBED Equation.3 1415, (8.1)
13 EMBED Equation.3 1415. (8.2)
При этом составляющие перегрузки (7.22):
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Тягу двигателей P и аэродинамическую подъёмную силу Ya можно целенаправленно изменять в полёте при управлении ЛА (дросселированием двигателя и отклонением рулей ЛА).
Одним из основных методов определения лётных характеристик самолётов и вертолётов являются методы тяг и мощностей. Метод, основанный на сравнении величин потребной и располагаемой тяг называется методом тяг Жуковского.
Под располагаемой тягой Pр понимается максимальная тяга всех двигателей, уста- новленных на ЛА, определённая для данного режима полёта (V
·
·
·
·
·
·Потребная тяга Pп для установившегося горизонтального полёта подбирается лётчиком из условия (8.1) и не должна превышать располагаемой
13 EMBED Equation.3 1415. (8.3)
Здесь: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415и13 EMBED Equation.3 1415-скорость звука и давление воздуха на высоте13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Аэродинамические коэффициенты Cxa и Cyа задаются обычно в виде следующих зависимостей:
13 EMBED Equation.3 1415 (8.4)
(линейная зависимость до значений (((доп) (рис.25).
Это типичная зависимость для дозвуковых скоростей полёта M < 1.











Рис. 26 а)

- угол стреловидности крыла по передней кромке.




Рис. 26 б)



Рис. 26в)
На рис. 26а)
1 – ограничение (доп = (св - 30 ;
2 – ограничение по тряске; 3- ограничение по устойчивости и управляемости.



Рис. 27

На рис.26в) показано изменение составляющей 13 EMBED Equation.3 1415 от числа М, где cxa пр – профильная составляющая коэффициента сопротивления; cxa тр – составляющая, обусловленная трением; cxa в (() – волновая составляющая коэффициента сопротивления. Приближенно
cxaв ((=0)13 EMBED Equation.DSMT4 1415(М((). Коэффициент b зависит от формы профиля крыльев и их относительной толщины. Коэффициент сопротивления можно выразить формулой
13 EMBED Equation.3 1415. (8.5)
Поляра ЛА. (см. рис. 27). Величина соотношения:13 EMBED Equation.3 1415-аэродинамическое качество. Кmax-cоответствует максимальному тангенсу агла наклона касательной, проведен-
ной из начала координат к поляре. В линейном диапазоне зависимости13 EMBED Equation.DSMT4 1415 от углов атаки часто используют квадратическую зависимость для поляры
13 EMBED Equation.3 1415 (8.6)
Эта зависимость обычно используется для несимметричных крыльев, установленных под ненулевым углом к продольной оси. Сxаm – минимальное значение Сxa и соответствующее ему значение Сya m; A – коэффициент наклона поляры.
При симметричном профиле, расположенном вдоль продольной оси ЛА:
13 EMBED Equation.3 1415. (8.7)
Для дозвуковых скоростей и стреловидных крыльев
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, (8.8)
где 13 EMBED Equation.3 1415 геометрическое удлинение крыла, 13 EMBED Equation.3 1415–угол его стреловидности по передней
кромке крыла. Для сверхзвуковых скоростей:
13 EMBED Equation.3 1415 (8.9)
Если использовать аналитическое выражение для поляры, то можно вычислить
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (8.10)
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 28
Примерная зависимость Kmax(M) для различных ЛА (рис 28).

Для ТРД (турбореактивного двигателя) (см. рис. 29). 13 EMBED Equation.3 1415

Рис. 29а) Рис. 29б)
Последовательность расчётов. Для заданных V и H определяется Сха=Сха(Сyа) по поляре ЛА для потребного в горизонтальном полете значения Сyа гп( удовлетворяюще- го условию Yа= СyаqS ) в первом приближении, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415. (8.11)
Решая совместно (8.4) и (8.2), найдем во втором приближении
13 EMBED Equation.3 1415, (8.12)
где Сха - определяется по поляре ЛА при известном Сy aг.п(1).
Когда ограничиваются только первым приближением, то метод называют упрощенным методом тяг.
Повторяя расчеты найдем различные значения потребных тяг для горизонтального полета, которые наносятся на график совместно с располагаемыми тягами (см. рис. 30).

Рис. 30
Здесь:
13 EMBED Equation.3 1415;
в точке Г : 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
Суа доп.=0,8 ( 0,9 Суа max.


Повторив расчеты строится "сетка" потребных и располагаемых тяг (диаграмма потребных и располагаемых тяг) (рис. 31).


Рис. 31
Затем определяется зона (области) высот и скоростей установившегося горизонтального полета (рис. 32).


Рис. 32




qпред обычно вводится на малых высотах из-за ограничений по прочности или перегрузок.

Лекция 8.
8.2 Установившийся набор высоты. Скороподъемность ЛА
Воспользуемся методом тяг. ((0, V = const,
по (7.6) 13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда
13 EMBED Equation.3 1415, (8.13)
т.к. с изменением высоты Рнб. изменяется, то sin( также должен быть переменным. Однако темп изменения ( обычно невелик и в уравнении (7.2), полагая (Rз + H)((, 13 EMBED Equation.3 1415, получаем
или 13 EMBED Equation.3 1415 (8.14)
Отсюда можно выразить потребное значение коэффициента подъемной силы Суа.нб и следовательно (нб при наборе на данном (, учитывая (8.4)
13 EMBED Equation.3 1415, (8.15)
где 13 EMBED Equation.3 1415; nya определяется по (8.14) для ( из (8.13), а коэффициент тяги Сp соответствует заданному режиму работы двигателя
13 EMBED Equation.3 1415. (8.16)
Решая совместно (8.15), (8.16) при известных Cxa (Cya) и Рнб (V,H) можно при заданных V, H найти угол (, а значит и Vy, т. к.
Vy=Vsin( (8.17)
и значение Cуа нб. Решение, как и ранее, удобно, проводить методом последовательных приближений. Последовательность расчетов следующая.
В первом приближении при заданных V и H для 13 EMBED Equation.3 1415 по поляре определяется
13 EMBED Equation.3 1415,
далее определяется sin( по (8.13). В этом случае
13 EMBED Equation.3 1415,
что позволяет использовать кривые потребных тяг, построенные ранее. 13 EMBED Equation.3 1415 – определяется графически. Найдя sin(1 в первом приближении, можно по (8.15) определить Суа нб. Затем по поляре рассчитать Сха(Cya нб) и повторить весь расчет снова по уточненному Сха.
Учитывая, что 13 EMBED Equation.3 1415, можно построить (13 EMBED Equation.3 1415 - обозначен относительный избыток располагаемой мощности) зависимости Vy(V) (рис. 33) и зависимости H (Vymax) (рис. 34).


Рис. 33

Рис.34

Решая уравнение (6.2) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 с учетом (8.17) вычислим
13 EMBED Equation.3 1415 (часто решают графо-аналитически)

Здесь Vy=Vy max, т.к. принимаются max значения, чтобы получить tmin= tнб.
Зная Vу max(V) для различных Нi, можно нанести зависимость Н(V), где будет скорейший подъем (tmin) (рис. 35).

Рис. 35
8.3 Особенности летных характеристик и динамики вертолета
Рассмотрим схему сил, действующих на вертолет в вертикальной плоскости. (Проекции представлены на траекторные оси координат, 13EMBED Equation.31415, полет без крена и скольжения, рис.36)




13EMBED Equation.31415- полная аэродинамическая сила;
13EMBED Equation.31415 - пропульсивная сила;
13EMBED Equation.31415 - подъемная сила несущего винта;
13EMBED Equation.31415 - подъемная сила фюзеляжа ( планера);
13EMBED Equation.31415- вредное лобовое сопротивление фюзеляжа (планера).


Согласно (5.6), (5.8) и (5.9)

13EMBED Equation.31415 (8.18)
Для расчета и анализа летных характеристик вертолета применяют метод мощностей. Располагаемая мощность вертолета 13EMBED Equation.31415. Потребная мощность равна
13EMBED Equation.31415. (8.19)
Здесь 13EMBED Equation.31415 – мощность, затрачиваемая на преодоление вредного сопро- тивления; 13EMBED Equation.31415 - мощность, затра-чиваемая на преодоление профильного сопротивления лопастей несущего винта; 13EMBED Equation.31415 - мощность, затрачиваемая на преодоление индуктивного сопротивления лопастей несущего винта.
Зависимости 13EMBED Equation.31415,13EMBED Equation.31415 для вертолета в прямолинейном горизонтальном полете приведены на рис. 37.
На малых скоростях 13EMBED Equation.31415 велик13eq \o (а;ґ)15 из-за большого индуктивного сопротивления лопастей. Однако даже при V=0, в отличие от самолета, может быть меньше располагаемой. Это обеспечивает висение вертолета. При больших скоростях потребная мощность увеличивается из-за роста сопротивления 13EMBED Equation.31415 и профильного сопротивления лопастей. При экономической скорости 13EMBED Equation.31415 потребная мощность минимальна.
Лекция 9.
8.4. Диапазон высот и скоростей полета вертолета
Границы эксплуатационного диапазона скоростей и высот полета вертолета при-ведены на рис. 38.
Максимальная скорость полета вертолета ограничена из-за опасного увеличения маховых движений лопастей несущего винта, что приводит к развитию срыва потока с концов лопастей на азимутах 270( - 300( (углах положения лопастей винта по отношению к продольной оси). Максимальные скорости вертолетов достигают 300 - 400 км/ч.
Максимальная высота полета ограничена из-за опасности общего срыва потока с лопастей, которые на больших высотах для создания необходимой подъемной силы приходится переводить на большие углы установки (атаки).
Висение рекомендуется только на малых высотах на взлете, на посадке и в специальных случаях. В обычном полете на вертолете, так же как и на самолете, минимальная скорость ограничена минимально допустимой скоростью 13EMBED Equation.31415.Ограничения 13EMBED Equation.31415и минимальной высоты обеспечивают безопасный переход винта на режим авторотации после остановки двигателя. Они также исключают неправильные показания указателя скорости.
По располагаемой мощности вертолет имеет статический и динамические потолки. Статический потолок (потолок висения) составляет 1.5 - 2 км. Динамический потолок, то есть потолок прямолинейного горизонтального полета, при 13EMBED Equation.31415 больше статического и достигает 5 - 8 км.
В наборе высоты вертикальная скорость равна
13 EMBED Equation.3 1415.
Видно, что наибольшее значение вертикальной скорости набора высоты достигается при скорости V=Vэк., где избыточная мощность максимальна. График зависимости Vy(V) приведен на рисунке 39. Максимальная вертикальная скорость у вертолета равна примерно 10-20 м/с.

Схема сил вертолета при выполнении разворота в горизонтальной плоскости отличается от схемы сил самолета несущественно (рис.40)
13 EMBED Equation.3 1415
Отсюда радиус разворота в горизонтальной плоскости, учитывая что 13 EMBED Equation.3 1415 (после деления из первого соотношения)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.3 1415, (8.20)
а угловая скорость (Г равна

13 EMBED Equation.3 1415, (8.21)
где нормальная перегрузка в скоростной СК 13 EMBED Equation.3 1415


Нормальная перегрузка у вертолета ограничена допусти мой по срыву потока с концов лопастей тягой несущего винта значением nyаp (1.5(2. Поэтому
13 EMBED Equation.3 1415, а максимальный угол крена ра вен (max(45(60o.
С увеличением тяги несущего винта увеличивается и индуктивное сопротивление лопастей. Это приводит к увеличению потребной мощности при увеличении пере- грузки (рис. 41). Поэтому график зависимости максимальной нормальной перегрузки правильного виража (nya=nyaуст.) от скорости имеет вид (рис. 42). При этом можно установить границы виражей в зависимости от скорости полета в следующем виде (см. рис. 43). Видно, что при V=0 вертолет имеет радиус Rв=0 (рис.43).
Вертолеты выполняют следующие боевые маневры: горки, пикирование, виражи, боевые развороты, cпирали, повороты на горке и другие (рис.44).






13 EMBED Word.Picture.8 141513 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 44 а) Рис. 44 б) Рис. 44 в) Рис. 44 г)

8.5 Установившееся снижение самолета. Планирование
(Уравнения те же, что и при подъеме, только (<0)
1) (P=mg sin(;
2) Ya=mg cos(=CyaqS,
P((+() мало в 2)
После деления 1) на 2)
13 EMBED Equation.3 1415, с учетом того, что (P<0 и (<0.
Отсюда: 13 EMBED Equation.3 1415; (если тяга выключена или мала при планировании),
13 EMBED Equation.3 1415, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415 из 2), то
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;

Поскольку: 13 EMBED Equation.3 1415

то после деления: 13 EMBED Equation.3 1415; и интегрируя левую и правую часть, получаем (см. рис. 45):
13 EMBED Equation.3 1415, (=const ; Lk=-K(Hk-H0)=K(H0-Hk),

Lkmax=Kmax(H0-Hk), если Hk=0, то Lkmax=Kmax (H0.
8.6 Виражи.
Вираж - разворот в горизонтальной плоскости на 360
·. При V=const,
·a=const,
·=0 – вираж правильный.
Разворот с минимальным радиусом и с торможением называется форсированным виражем.
Схема сил при полете с креном и скольжением см. на рис. 46.
1) (проекция на горизонталь) Yasin
·a+Zacos
·a=Fцентростр.=13 EMBED Equation.3 1415;
2) (проекция на вертикаль) Yacos
·a-Zasin
·a=G;
Если посмотреть на уравнения движения относительно плоской невращающейся Земли (см.(7.19)-(7.21)), то nxa=sin
·=0; nyacos
·a-nzasin
·a=cos
·=1; nyasin
·a+nzacos
·a=13 EMBED Equation.3 1415,
что соответствует 1) и 2), если поделить правую и левую часть на G.

В результате получаем

1)13 EMBED Equation.3 1415;
2)13 EMBED Equation.3 1415(угловая скорость поворота).
Если разворот только с креном 13 EMBED Equation.3 1415 и
·=0 без скольжения (координированный вираж), то Za=0 и nza=0.

1)13 EMBED Equation.3 1415; (8.22)
2)13 EMBED Equation.3 1415, (8.23) (т.к. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415)
8.7 Правильный вираж (без скольжения, с креном и постоянной скоростью).
13 EMBED Equation.3 1415; Rв=const, nXa=0; (8.24)
13 EMBED Equation.3 1415. (8.25)
Время выполнения виража
13 EMBED Equation.3 1415, (8.26)
т.е. достаточно знать V и nуа или V и
·a, чтобы рассчитать хара
·ктеристики виража.
Предельные характеристики виража, т.е. минимальные и максимальные характеристики вычисляются с учетом допустимых перегрузок, например,
13 EMBED Equation.3 1415 , (при V=const) (8.27)
13 EMBED Equation.3 1415 и т.д. (8.28)
Аналогично рассчитываются различные маневры самолетов и вертолетов.

Лекция 10.
Методы наведения при атаке воздушной цели
9.1 Область возможных атак по методу погони
При ведении воздушного боя можно выделить следующие этапы: поиск, сближение, атака, выход из атаки. При исследовании воздушного боя применяют критерии: вероятность сбития противника, разность вероятностей сбития самолета противника и своего самолета, отношение вероятностей сбития самолета противника и своего самолета. Исследования обычно проводятся с помощью теории игр, а затем моделируются на стендах.
Сближение осуществляется различными методами наведения: погоня, параллельное сближение, пропорциональное сближение и др.
При погоне вектор скорости атакующего самолета всегда направлен на цель. Если принять 13 EMBED Equation.3 1415, то путь, пройденный каждым самолетом равен скорости. Пусть в первую секунду самолёт движется примерно по направлению А0С1 (на больших дальностях) проходя путь А0А1, численно равный V0. (рис. 47).


Рис. 47а)

Рис. 47б)

Цель «как бы останавливается», и относительное движение рассматривается по принципу «обращения движения».
Относительное движение атакующего самолёта описывается следующими кинематическими уравнениями:
13 EMBED Equation.3 1415
где:13 EMBED Equation.3 1415- курсовой угол; r – расстояние между самолётами – относительная дальность.
Определим потребную нормальную скоростную перегрузку при движении по кривой погони.
Потребная угловая скорость (пусть движение происходит в горизонтальной плоскости)
13 EMBED Equation.3 1415 угловые скорости
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 (9.1)
потребная располагаемая
равна располагаемой.
Отсюда
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 (9.2)
и потребная перегрузка атакующего
13 EMBED Equation.3 1415 (9.3)
Примерный вид зависимости 13 EMBED Equation.3 1415 дан на рисунке 48. Видно, что возможны случаи, когда атака не может быть выполнена, то есть погоня невозможна. Поэтому важно знать область, из которой погоня невозможна.
Из (9.2) при заданных 13 EMBED Equation.3 1415, Vц=const, V=const
13 EMBED Equation.3 1415;

с учётом (8.25)
13 EMBED Equation.3 1415
Минимальному rmin соответсвует 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Это уравнение двух окружностей, которые касаются вектора 13 EMBED Equation.3 1415 в центре масс цели. Из внутренних областей, выделенных окружностями погоня невозможна.
Dmin обусловлена безопасностью,
Dmax - определяется максимальной дальностью стрельбы.
Это - характерные области, обусловленные методом погони. Область, из которой возможна погоня, ограничена линиями Dmin , Dmax и окружностями зависящими от предельных эксплуатационных 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 перегрузок.

Лекция 11.
9.2 Движение ракеты в плотных слоях атмосферы
Рассмотрим, как определить параметры движения ракеты в плотных слоях атмосферы и максимальную дальность её пуска по воздушной цели Dmax(13 EMBED Equation.DSMT4 1415).
Пусть tp max – максимальное время управляемого полёта ракеты.
Согласно рисунку 50: Dрmax – максимальная дальность управляемого полёта ракеты.
Для определения дальности Dmax графическим способом необходимо рассчитать tp max и Dрmax. Для этого необходимо решить следующие уравнения движения ракеты
13 EMBED Equation.3 1415
На активном участке при работе двигателя тангенциальная перегрузка:
13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда ускорение ракеты:
13 EMBED Equation.3 1415
и 13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда скорость полёта в конце активного участка равна:
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 - время работы ракетного двигателя. На пассивном участке(P=0) перегрузка:
13 EMBED Equation.3 1415.
Ракета движется с большой сверхзвуковой скоростью полёта, где:
13 EMBED Equation.3 1415. (M>>1)
Так как V = aM, то:
13 EMBED Equation.3 1415,
где аp=const- баллистический коэффициент ракеты.
Тогда на пассивном участке:
13 EMBED Equation.3 1415; с начальным условием 13 EMBED Equation.3 1415;
Отсюда 13 EMBED Equation.3 1415.
Если минимальная скорость управляемого полёта ракеты Vp , то максимальное время пассивного полета:
13 EMBED Equation.3 1415,
а максимальное время полёта:
13 EMBED Equation.3 1415.
Определим дальность Dp max. Для активного участка:
13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда пройденный путь ракеты на активном участке:
13 EMBED Equation.3 1415.
На пассивном участке:
13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда:
13 EMBED Equation.3 1415.
При t = t13 EMBED Equation.3 1415, дальность L = L13 EMBED Equation.3 1415. Тогда:
13 EMBED Equation.3 1415
и 13 EMBED Equation.3 1415.
Обычно 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда дальность 13 EMBED Equation.3 1415.
Примерный вид зависимостей V(t) и L(t) для ракеты дан на рисунке

13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 51
Лекция 12.
10. Устойчивость и управляемость движения
Начнём с понятия устойчивости положения (см. рис. 52).




Рис. 52 а)

Рис. 52 б)

Рис. к пояснению устойчивости положения при «малых возмущениях»
Рис. к пояснению устойчивости движения

10.1. Виды устойчивости движения
Среди различных видов устойчивости, наибольшее распространение получило понятие устойчивости по А.М.Ляпунову. Предполагается, что движения исследуемой динамической системы описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415(начальное условие),
где 13 EMBED Equation.3 1415– n-мерный фазовый вектор, u – m-мерный вектор управления, f( )- вещественная непрерывная вектор-функция, удовлетворяющая условиям Липшица. Пусть для некоторого заданного закона управления 13 EMBED Equation.3 1415t
·t0, через начальное состояние y°(t0)=13 EMBED Equation.3 1415
проходит невозмущенная (опорная, программная) траектория.
Ставится задача об исследовании поведения невозмущенной траектории в случае, если начальные значения y(t0) отличаются от 13 EMBED Equation.3 1415.
Невозмущенная траектория y°(t) исходной системы называется устойчивой по Ляпунову, если для любого
·>0 можно подобрать
·(
·, t0)>0 такое, что для всякого решения y(t) той же системы, начальное движение которого удовлетворяет неравенству:
13 EMBED Equation.3 1415 y(t0)- 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 <
·(
·, t0)
для всех t
·t0 справедливо:
13 EMBED Equation.3 1415y(t, y(t0), t0, u°(t)) - y°(t, 13 EMBED Equation.3 1415, t0, u°(t)13 EMBED Equation.3 1415 <
·,
т.е. близкие по начальным значениям решения остаются близкими для всех t
·t0. Здесь
под нормой 13 EMBED Equation.3 1415 понимается13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
Решение y(t, y(t0), t0, u°(t)), построенное для заданного программного (опорного)
управления называется возмущенным и исследование устойчивости движения сводится
к анализу свойств решений возмущенного движения. Для проверки свойств возмущенного движения целесообразно сделать замену переменных:

·y= y(t, y(t0), t0, u°(t)) - y°(t, 13 EMBED Equation.3 1415, t0, u°(t))
и задача сводится к проверке на устойчивость тривиального решения
·y(t)
·0.
Пример устойчивого тривиального решения
·y(t)
·0 при заданном
·>0 изображен на
рис.53б) для одной из компонент вектора
·yi (t).



Рис. 53 а)

Рис. 53 б)

Аналогичное поведение изображается для всех без исключения компонент вектора
·y.
Иногда рассматривают частный вид устойчивости только по части компонент вектора
·y.
Асимптотическая устойчивость предполагает полное устранение возмущения по параметру движения, например уменьшение возмущения по скорости ЛА до нуля
·V(t)(0 с течением времени t(
· (рис.53а). В общем случае для анализа устойчивости ЛА используется другое определение.
Под устойчивостью ЛА понимается его способность без участия летчика сохранять заданный опорный режим полета и возвращаться к нему после непроизвольного отклонения от него под действием внешних возмущений, при условии прекращения
действия возмущений. Различают устойчивость «в малом» и устойчивость «в большом» соответственно при малых (конечных) и больших возмущениях.
Под управляемостью ЛА понимается его способность выполнять в ответ на целенаправленные действия летчика или автоматики любой, предусмотренный в процессе эксплуатации маневр (причем наиболее просто при минимальных затратах энергии летчика) в любых допустимых условиях полета, в том числе при наличии возмущений.
Управляемость различают: 1. продольную (относительно OZ) или по тангажу;
2. путевую (относительно OY) или по рысканию;
3. поперечную (относительно OX) или по крену.
При решении задач динамики полета обычно на первом этапе определяют потребные (оптимальные) траектории движения ЛА, а затем на втором этапе решаются проблемы реализации этих траекторий на практике. Часто в качестве траекторий движения рассматривают «опорные траектории» и требуемые для их выполнения отклонения органов управления, значения тяги двигателей.
Однако реальные движения ЛА всегда отличается от расчетного опорного из- за отличия характеристик самого ЛА, воздушной среды от опорных (заданных, стандартных), неточностей пилотирования, турбулентности воздуха, разброса тяги двигателей и т.п. Поэтому на втором этапе решается задача управления полетом в условиях, максимально приближенных к реальным. Устойчивость и управляемость ЛА проверяется на первом и втором этапах, особенно тщательно исследуется в задачах реализации потребных траекторий на практике.
10.2. Статическая и динамическая устойчивость и управляемость ЛА
Как отмечалось ранее (см. раздел 10.1) обычно выделяется желаемая опорная траектория движения ЛА (на первом этапе) без учета возмущений, а затем рассматривается поведение ЛА (как системы: ЛА+ САУ+ летчик) для случая, когда реальное движение под действием возмущений отклонилось от опорного.
Многие опорные режимы таковы, что угловое ускорение или равно нулю, или невелик13eq \o (о;ґ)15. В этом случае можно принять
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 (10.1)
и считать, что действующие на ЛА моменты сбалансированы. Режимы, удовлетворяющие (10.1) называются балансировочными, а потребные для них отклонения органов управления называются балансировочными отклонениями органов управления. Потребные для балансировки ЛА отклонения органов управления, перемещения рычагов управления, усилия на них в установившемся опорном движении количественно характеризуют статическую управляемость. Основными показателями статической управляемости являются производные: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, где Xв- величина линейного отклонения ручки управления рулем высоты; Pв- усилие, прикладываемые к ручке; а представленные производные – градиент хода ручки и усилия по перегрузке. Аналогично показатели используются для оценки управляемости по скорости, путевой (по рысканию) и поперечной (по крену) статистической управляемости. Оцениваются также максимальные значения отклонения органов управления, усилий, сама возможность балансировки на предельных режимах полета.
Другая группа показателей – характеристики динамической управляемости. В этом случае рассматривается характер реакции ЛА на отклонение органов управления от их балансировочных значений при переходе от одного установившегося режима полета к другому, для парирования возмущений и для выполнения существенно неустановившихся маневров.
Оценка устойчивости опорного (невозмущенного) движения ЛА производится с помощью количественных показателей статической и динамической устойчивости. Статическая устойчивость ЛА характеризует равновесие сил и моментов в опорном движении. Статически устойчивым по тому или иному параметру движения называют ЛА, у которого отклонение этого параметра от опорного значения сразу же приводит к появлению силы или момента направленных на уменьшение этого отклонения. Если силы или моменты направлены на увеличение этого отклонения, ЛА – статически неустойчив.
Пример. Пусть в опорном режиме, который является сбалансированным горизонтальным полетом 13 EMBED Equation.3 1415 (см. рис.54а)

Рис. 54 а)

·Mz = 13 EMBED Equation.3 1415((
·
·). Если 13 EMBED Equation.3 1415 - частная производная отрицательна, то при
·
·>0 возникает пикирующий момент
·Mz<0, и при
·
·<0 – кабрирующий момент
·Mz>0 (рис. 54 б), направленный на возвращение ЛА в исходный режим движения.
Признак продольной статической устойчивости: M13 EMBED Equation.DSMT4 1415<0.
К количественным показателям статической устойчивости ЛА относятся степень продольной, путевой и поперечной статической устойчивости.

Другая группа показателей – характеристики динамической устойчивости. При определении динамической устойчивости оценивается уже не начальная тенденция к устранению возмущения, а конечное состояние – устойчивость или неустойчивость в смысле Ляпунова (обычно асимптотическая). К характеристикам динамической устойчивости относятся также показатели качества процесса уменьшения (затухания) возмущений: время затухания отклонений, характер движения в процессе их уменьшения, максимальные значения отклонений, колебательность или монотонность и другие.
Требования к количественным характеристикам (показателям) устойчивости и управляемости закреплены в Нормах летной годности гражданских самолетов (НЛГС-2), в Требованиях и нормативных документах военно-воздушных сил (ВВС) и других аналогичных документах.
Показатели устойчивости и управляемости проверяются в процессе летных испытаний и доводки ЛА. Как показывает опыт, обеспечить статическую и динамическую устойчивость и хорошую управляемость во всем диапазоне высот и скоростей полета очень трудно. Необходимые характеристики обычно обеспечиваются за счет специальных автоматических устройств.

Лекция 13.
10.3. Управление движением ЛА. Использование автоматических средств управления
В любом процессе управления участвует объект управления и управляющая система. Для нашего случая объектом является ЛА. В режиме автоматического управления управляющей системой является автопилот; а в режиме ручного (штурвального) управления – летчик с необходимым комплексом пилотажно-навигационных приборов.
Процесс управления осуществляется по замкнутому контуру, в котором ЛА можно рассматривать как звено системы управления.
Если управляющей системой является автопилот, то в совокупности с ЛА они образуют систему автоматического управления – САУ. Упрощенно структуру САУ можно представить в виде схемы (см. рис.55), на которой yзад=((зад, Hзад, nyaзад,)
В соответствии с yф – yзад =
· – рассогласованием вырабатывается закон управления “u”, который в виде сигнала поступает на рулевой привод и отклоняет орган управления (о.у. для устранения рассогласования.
Замкнутая система «ЛА – автопилот» должна быть устойчивой и обеспечивать высокое качество процесса управления, т.е. обладать достаточной точностью и быстродействием при выполнении требований безопасности полета. При этом должны максимально использоваться маневренные свойства ЛА, упрощаться пилотирование на всех режимах полета.
Разновидностей САУ множество. Например, АПУ – автомат продольного управления, АУП – автомат устойчивости пути, СВ и П – система взлета и посадки, АПХ – автомат улучшения пилотажных характеристик, СТУ – система траекторного управления, АТ – автомат тяги, АБ – автомат балансировки и другие.
При ручном управлении летчик сравнивает фактические значения yф параметров (nx, ny, nz,
·, (, V, H) и др. с желаемыми для выполнения того или иного маневра yжел. При рассогласовании он отклоняет соответствующие органы управления (о.у непосред-
ственно через тяги от рычага управления для обратимой системы или через силовой привод – бустер для необратимой системы управления. Схема управления следующая (см. рис.56)




Рис. 56

Так как возможности конструктивной компоновки ЛА и летчика ограничены, то обычно применяют автоматические системы управления для помощи летчику. Для этой цели в систему ручного управления вводят автомат регулировки управления (АРУ), меняющий передаточный коэффициент рулевого тракта и градиент загрузки рычагов управления (АРЗ – автомат регулировки загрузки) по режимам и условиям полета, МТЭ – механизм траекторного эффекта и др.
Эти автоматы не формируют сами отклонение органов управления (о.у., но меняют соотношение между отклонением органа управления и соответствующего рычага управления летчиком в зависимости от измеренных значений высоты, скорости полета. Например, одно из соотношений – передаточный коэффициент рулевого тракта определяется как:
13 EMBED Equation.3 1415 где Xл – перемещение рычага (ручки, педали) летчиком. Меняя автоматически величину Кш по режимам полета, АРУ –изменяет характеристику управляемости- расход рычага управления на выполнение того или иного маневра. АРУ, АРЗ– облегчают пилотирование на различных режимах полета (уменьшают усилия и улучшают различные характеристики управляемости).
Для улучшения устойчивости и управляемости АРУ, АРЗ недостаточно и необходима быстродействующая автоматическая система, работающая параллельно с летчиком, обеспечивая приемлемые характеристики устойчивости и управляемости. Такая система улучшения устойчивости и управляемости (СУУ) формирует дополнительные управляющие сигналы и в итоге – управление в соответствии с измеренными параметрами движения ЛА.
В зависимости от решаемых задач СУУ, в них применяются автоматы различных типов. Простейшими из автоматов являются автоматы демпфирования или демпферы. Они состоят из датчиков
·x
·y
·z угловых скоростей крена, рыскания и тангажа (ДУС), исполнительных механизмов, позволяющих параллельно летчику и независимо от него формировать сигнал на отклонение органа управления. Суммарное отклонение органа управления складывается из отклонения летчиком (о.у.л.. и демпфером (автоматом) (о.у.а.:
(о.у.= (о.у.л.+ (о.у.а., (10.2)
где (о.у.а.=К
·
·.
Для канала тангажа это
·z , для крена -
·x , для рыскания -
·y . К
· – коэффициент усиления. Знак (о.у.а. выбирается так, чтобы гасить, демпфировать возникшее вращение.
Возвращение на исходный режим полета обеспечивает более сложный автомат – автомат устойчивости, в котором сигнал (о.у.а. формируется по изменению не только угловой скорости, но и углового отклонения -
·
· ,
·
· или отклонения перегрузок
·ny ,
·nz . Например, для автомата продольной устойчивости (канал тангажа) руль высоты отклоняется по закону:
(в.a. = К
·
·z + К
·
·
· (10.3)
при измерении датчиком отклонения угла ( или
(в.a. = К
·
·z + Кn
·ny (10.4)
при измерении акселерометром отклонения перегрузки от расчетного значения в опорном движении. Подбором
·
·
·
·
·
·
·
·
·n) -добиваются улучшения динамических характеристик ЛА как объекта управления.

Лекция 14.
10.4. Показатели статической устойчивости и управляемости
В продольном движении принято рассматривать статическую устойчивость по перегрузке и скорости, а статическую управляемость характеризуют балансировочными отклонениями руля (стабилизатора) и их изменением (градиентом) при изменении скорости и перегрузки nya.
Степень продольной статической устойчивости по перегрузке при фиксированном руле высоты 13 EMBED Equation.3 1415 выражается формулой:
13 EMBED Equation.3 1415 (10.5)
или
13 EMBED Equation.3 1415. (10.6)
Приближенно
13 EMBED Equation.3 1415, (10.7)
где обозначены частные производные: 13 EMBED Equation.3 1415( - относительная плот-
ность ЛА,13 EMBED Equation.DSMT4 1415и13 EMBED Equation.DSMT4 1415- соответственно относительные фокусы по углу атаки всего ЛА ( с учетом тяги двигателей) и обусловленного только аэродинамическими силами;












13 EMBED Equation.DSMT4 1415;13 EMBED Equation.DSMT4 1415-зависит от двух составляющих

13 EMBED Equation.3 1415 (10.8)
где вторая составляющая 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,зависящая от тяги работающего двигателя, обычно невелика и приближенно можно считать, что фокус ЛА по углу атаки (или кратко «фокус ЛА») представляет собой точку на продольной оси приложения приращения подъемной силы, обусловленной изменением угла атаки, т.е. точку, относительно которой момент тангажа остается постоянным при изменениях 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (рис.57)
13 EMBED Equation.3 1415. (10.9)
Продольная статическая устойчивость по скорости с фиксированным рулем высоты определяется в прямолинейном полете с изменяющейся скоростью и постоянной nya=const. Обозначается степень устойчивости следующей полной производной
13 EMBED Equation.3 1415 (10.10)
13 EMBED Equation.3 1415 вычисляется при M=const; 13 EMBED Equation.3 1415 вычисляется при Cya=const. Принимается
(<0) - для статистически устойчивого ЛА;
(>0) - для статистически неустойчивого ЛА (см. рис. 58).
В частности, в случае горизонтального полета
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (10.11)

Степень путевой (флюгерной) статической устойчивости (по13 EMBED Equation.3 1415определяется величиной производной(()
13 EMBED Equation.3 1415; (10.12)
Принимается (<0) – для статически устойчивого ЛА
Рис. 58

Для увеличения путевой статической устойчивости увеличивают площадь верти-кального оперения, устанавливают симметричные кили, шайбы на горизонтальном оперении, автоматические средства повышения устойчивости и др.
Степень поперечной статической устойчивости определяют величиной производной
13 EMBED Equation.3 1415. (10.13)

Принимается (<0) – для статически устойчивого ЛА.

Характеристики статической управляемости определяются потребными для балансировки ЛА отклонениями органов управления, перемещениями рычагов управления. Для этой цели строятся различные балансировочные зависимости. Например, для самолёта балансировочные зависимости могут иметь вид:
13 EMBED Word.Picture.8 1415

Рис. 59 а)

Рис. 59 б)


Рис. 59 в)
В области неустойчивости по скорости производные, характеризующие управляемость становятся обратного знака (отрицательными): 13 EMBED Equation.3 1415.
В случае криволинейного полёта с постоянной скоростью степень управляемости характеризуют производными
13 EMBED Equation.3 1415, (10.14)
которые называют соответственно коэффициентами расхода ручки (штурвала) и усилий на перегрузку 13 EMBED Equation.3 1415.
В боковом движении определяются аналогичные производные 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 60 (а, б, в, г)
Эти балансировочные кривые используются для характеристик управляемости ЛА в путевом (по
·) и поперечном (по
·) отношении. Коэффициенты 13 EMBED Equation.3 1415 характеризуют расход усилий и ручки с педалями на угол крена.
На все характеристики управляемости устанавливаются нормативные ограничения.
Лекция 15.
10.5 Диапазон центровок ЛА
На крылатых ракетах, вертолётах и самолётах выделяют положение “13 EMBED Equation.3 1415”- т. е. САХ и положение центра масс (тяжести) ЛА относительно 13 EMBED Equation.3 1415(рис.61)
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 61 а)
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 61 б)




13 EMBED Equation.3 1415 (10.15)
При положении ЦМ (ЦТ) в точке 13 EMBED Equation.3 1415 самолёт (ракета) становятся нейтральными. Эта точка находится позади фокуса, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415 обычно >0. Величина 13 EMBED Equation.3 1415 САХ, т.е. различие между 13 EMBED Equation.3 1415 невелик13eq \o (о;ґ)15.
Предельно заднее положение ЦТ определяется как
13 EMBED Equation.3 1415; (10.16)
где:13 EMBED Equation.3 1415 - требуемый запас статической устойчивости по принятым нормативам.
Предельно переднее положение ЦТ определяется по условиям балансировки ЛА обычно в прямолинейном полёте, т.е. при 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415. (10.17)
Здесь: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 ;
13 EMBED Equation.3 1415 -относительное плечо горизонтального оперения (рис.62).


13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 62


13 EMBED Equation.3 1415, (10.18)
где 13 EMBED Equation.3 1415 -коэффициент относительной эффективности руля высоты;
13 EMBED Equation.3 1415 - предельное положение руля высоты;
13 EMBED Equation.3 1415 - угол установки стабилизатора;
13 EMBED Equation.3 1415 - требуемый угол атаки для горизонтального полёта;

13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
(см. ”метод тяг”), откуда получаем


13 EMBED Equation.3 1415; (10.19)
Предельно передняя центровка 13 EMBED Equation.3 1415 определяется для наихудших условий обычно при заходе на посадку с учётом выпущенных закрылков, щитков и другой механизации. Эксплуатационная область допустимых центровок выбирается, как показано на рис. 61, с учётом всего диапазона скоростей полёта.
Нетрудно видеть, что с ростом относительной площади 13 EMBED Equation.3 1415 и плеча 13 EMBED Equation.3 1415 горизонтального оперения т.е. статического момента оперения AГ.О. 13 EMBED Equation.3 1415 фокус ЛА, а значит 13 EMBED Equation.3 1415 сдвигается назад. Одновременно, при неизменной относительной площади руля высоты 13 EMBED Equation.3 1415 растёт эффективность орга- нов управления и 13 EMBED Equation.3 1415 сдвигается вперед (см.рис.63).

















Из условия 13 EMBED Equation.3 1415потребного можно найти значение АГ.О. и все параметры горизонтального оперения. Аналогично решаются все задачи по выбору вертикального оперения.
11.Исследование возмущённого движения ЛА
11.1 Уравнения возмущённого движения ЛА
Собирая вместе динамические и кинематические уравнения движения ЛА, как материальной точки, и его вращательного движения вокруг центра масс, обозначим их в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415, (s=1,2,n) (11.1)
Здесь y1,,yn – фазовые переменные, u1,,un – управляющие воздействия на ЛА, fs()-нелинейные функции. Фазовыми переменными являются: 13 EMBED Equation.3 1415, и т.д. Управляющие воздействия: 13 EMBED Equation.3 1415, Р, и т.д. t – независимая переменная; чаще всего – время. 13 EMBED Equation.3 1415 - начальные условия при t=t0.
Пусть для заданных 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415существует опорная (программная, невозмущенная) траектория движения ЛА (рис. 64).
13 EMBED Equation.3 1415, удовлетворяющие (11.1)
13 EMBED Equation.3 1415
Полагаем, что при движении ЛА действуют возмущения: 13 EMBED Equation.3 1415 ветер и др., которые приводят к отклонению движения от опорной (программной, невозмущенной) траектории, а суммарное движение описывается вектор-функциями
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
и в соответствии с (11.1) (в векторной форме)
13 EMBED Equation.3 1415. (11.2)
Опорная траектория описывается уравнением
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 (11.3)
Раскладывая правую часть (11.2) в ряд Тейлора относительно опорных значений y0(t), u0(t), ограничиваясь линейными членами и вычитая (11.3) из (11.2), получаем
13 EMBED Equation.3 1415. (11.4)
Здесь мы воспользовались “методом малых возмущений” в соответствии с которым составляющие более высокого порядка по сравнению с линейными становятся пренебрежимо малыми.
Систему линейных дифференциальных уравнений (11.4) можно разделить на простые подсистемы, которые можно исследовать независимо друг от друга. Например, если в уравнениях (5.2),(5.3) обозначить 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и их проекции соответственно на траекторные и связанные оси координат обозначить как:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, то разделить уравнения в случае опорной траектории – прямолинейного полёта без крена и скольжения можно при следущих допущениях: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415

в которых параметрами принимаются (13 EMBED Equation.3 1415) – для описания продольного возмущенного движения, (13 EMBED Equation.3 1415) – для описания бокового движения.
Система уравнений, описывающих продольное возмущённое движение (в отклонениях от опорного)
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; (11.5)
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;

Система уравнений бокового возмущённого движения (в отклонениях от опорного)

-13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; (11.6)
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
В уравнениях (11.5), (11.6) величины Fxk.в; Fyk.в; Fzk.в; MRx.в; MRy.в; MRz.в представляют собой возмущающие силы и моменты, не обусловленные непосредственно изменениями кинематических параметров. Это обычно функции параметров атмосферы, либо другие известные функции. Система (11.5) может быть разделена на две подсистемы, описывающие короткопериодическое (уравнения 2, 3, 4, 5) и длиннопериодические движения Л.А. (1, 6, 7).
13 EMBED Equation.3 1415Рассмотрим подробнее математическую модель, описывающую короткопериодическое движение. Используя стандартные матричные обозначения для уравнений собственного возмущенного движения (
·u(t)
·0 )
·13 EMBED Equation.3 1415; A=[aij], из (2),(3),(4),(5) получаем
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415,
где:13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Если принять за исходный опорный режим полета – горизонтальный и положить 13 EMBED Equation.3 1415, то часть системы преобразуется к виду:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Уравнение для 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 представим в несколько другой форме, используя третье уравнение системы (11.5)
13 EMBED Equation.3 1415;
где; 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415;

Дифференцируя уравнение для 13 EMBED Equation.3 1415 и подставляя последнее, получаем уравнение собственного короткопериодического быстрого вращательного движения ЛА с почти неизменной скоростью.
13 EMBED Equation.3 1415
где: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415,
а также: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Аналогично выводятся уравнения для медленной составляющей продольного длиннопериодического движения и ненулевых управляющих воздействий на ЛА 13 EMBED Equation.3 1415.

Лекция 16.
11.2 Математические методы исследования
Системы уравнений возмущённого движения (11.4), (11.5) и (11.6) являются неоднородными линейными дифференциальными уравнениями в общем случае с переменными коэффициентами. В случае, если в правую часть явно не входит независимая переменная t и производные в правой части этих уравнений изменяются незначительно, то их принимают постоянными на маленьком отрезке времени (в соответствии с “методом замороженных коэффициентов”) и системы уравнений становятся системами дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При 13 EMBED Equation.3 1415 в уравнении (11.4) система становится однородной и описывает собственное возмущенное движение ЛА. Такое движение можно получить, если находящемуся в равновесном режиме полета ЛА сообщить некоторые начальные возмущения, а затем предоставить самому себе.
11.2.1 Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами классическим методом
Если в полете ЛА будет подвергаться постоянно действующим возмущениям, то его возмущенное движение будет описываться системой неоднородных уравнений, правые части которых представляют собой некоторые известные функции времени. Такими функциями могут быть внешние силы, вызванные управляющими воздействиями или какими-либо другими возмущениями, например, ветровыми.
Известно, что общее решение системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений состоит из общего решения соответствующей системы однородных уравнений и частного решения полной (неоднородной) системы.
Общему решению однородной системы соответствует собственное возмущенное движение ЛА, а частному - вынужденное. Следовательно, решение уравнений в общем случае можно представить как сумму собственного и вынужденного движений. При исследовании собственного возмущенного движения ЛА выясняется устойчивость опорного движения. Анализ вынужденного движения позволяет определить реакцию ЛА на управляющие воздействия и сделать оценку его управляемости.
В качестве примера решения уравнений классическим методом рассмотрим дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами четвертого порядка, записанные в форме Коши (в скалярной форме), в которой s=1,2,3,4
13 EMBED Equation.3 1415. (11.7)
Здесь 13 EMBED Equation.3 1415 - отклонения (вариации) параметров движения, 13 EMBED Equation.3 1415 - известные постоянные коэффициенты.
Общее решение получается из суммы произведений частных решений на произвольные постоянные. Поэтому будем сначала искать линейно независимое частное решение (11.7) в виде:
13 EMBED Equation.3 1415 , (13 EMBED Equation.3 1415=1,2,3,4) (11.8)
Постоянные 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 определяются так, чтобы при подстановке (11.8) в (11.7) достигалось тождество. Подставляя (11.8) в (11.7) и сокращая на 13 EMBED Equation.3 1415 получим систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно 13 EMBED Equation.3 1415 .
13 EMBED Equation.3 1415 (11.9)
Известно, что для получения ненулевых решений таких уравнений определитель системы (11.9) должен быть равен нулю:
13 EMBED Equation.3 1415 (11.10)
Раскрывая определитель (11.10), получим уравнения четвертого порядка для определения 13 EMBED Equation.3 1415, которое называется характеристическим уравнением для системы (11.7):
13 EMBED Equation.3 1415, (11.11)
где 13 EMBED Equation.3 1415 - коэффициенты характеристического уравнения, которые выражаются через известные постоянные коэффициенты уравнений (11.7).
При решении характеристического уравнения возможны случаи, когда все корни - различные (простые) или все (или часть) корней будут кратными. Предположим, что все корни уравнения (11.11) действительные и различные. Для каждого корня 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415=1,2,3,4) напишем систему уравнений (11.9). Таких систем будет четыре, из которых определим 16 коэффициентов 13 EMBED Equation.3 1415. Причем в каждой системе уравнений один из коэффициентов будет произвольным, который можно принять равным единице (например, 13 EMBED Equation.3 1415=1). Подставляя найденные значения 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 в (11.8), получим частные решения системы (11.7)
13 EMBED Equation.3 1415 (11.12)
Следовательно, общее решение будет иметь вид:

13 EMBED Equation.3 1415 (11.13)

где 13 EMBED Equation.3 1415 определим из начальных условий при t=0, 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415 (11.14)

Решение этой системы можно найти, например, по методу Крамера. Из общего решения (11.13) видно, что когда все (K действительные, то отклонения (ys изменяются с течением времени по апериодическому закону и будут возрастать или убывать в зависимости от знаков (K. Если все (K будут отрицательными, то при t(( все (ys ( 0 и, следовательно, невозмущенное движение будет асимптотически устойчивым, так как все параметры в возмущенном движении будут стремиться к параметрам невозмущенного. Если среди корней (K найдется хотя бы один положительный, то при t ( ( все (yS будут неограниченно возрастать, и, следовательно, невозмущенное движение будет неустойчивым.
Рассмотрим случай, когда среди корней характеристического уравнения имеются комплексные сопряженные. Пусть два корня окажутся комплексно сопряженными, например (1,2 = ( ( i(. Этим корням будет соответствовать частное решение
13 EMBED Equation.3 1415
где постоянные AS1 и AS2 определяются из решения системы (11.9) и являются комплексными сопряженными числами
AS1 = aS ( ibS и AS2 = aS + ibS , тогда
13 EMBED Equation.3 1415
Пользуясь формулами Эйлера 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, получим 13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415 ( новые произвольные постоянные. Откуда видно, что частное движение, соответствующее паре комплексных сопряженных корней, будет колебательным с амплитудой 13 EMBED Equation.3 1415, круговой частотой ( и фазой (S. Амплитуда будет неограниченно возрастать, если вещественная часть комплексного корня – положительная (( > 0) и затухать, если ( < 0. Если два оставшиеся корня (3, (4 действительные, то собственное возмущенное движение представляет собой наложение одного колебательного и двух апериодических движений, соответствующих корням (3, (4.
11.2.2 Алгебраические критерии устойчивости
Для решения вопроса об устойчивости или неустойчивости невозмущенного движения можно не определять корни характеристического уравнения, а лишь определить знак вещественной части всех корней, которые для устойчивого дижения должны быть строго отрицательными.
Косвенные признаки, по которым можно судить о знаке вещественной части корней характеристического уравнения линейных систем с постоянными коэффициентами, минуя вычисление самих корней, называются критериями устойчивости. Они подразделяются на алгебраические и частотные.
Алгебраические критерии позволяют судить об устойчивости и неустойчивости систем по коэффициентам характеристического уравнения. Имеются различные формы критериев. Наибольшее применение получили критерии Гурвица и Рауса.
Пусть характеристическое уравнение n-ой степени имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415 (11.15)
в котором все коэффициенты ak – вещественные числа, а an > 0. Построим из коэффициентов матрицу Гурвица (n ( n)


(1

an-1
an
0
0
(
0


(2

an-3
an-2
an-1
an
(
0


(3

an-5
an-4
an-3
an-2
(
0


(4

an-7
an-6
an-5
an-4
(
0


(

(
(
(
(
(
0


(n

0
0
0
0
0
a0


Теорема Гурвица. Для того, чтобы все корни алгебраического уравнения (11.15) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы Гурвица были положительны.
В частности для уравнения четвёртой степени
13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415) (11.16)
должны выполняться неравенства: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Равносильными для уравнения 4-ой степени являются условия Рауса-Гурвица, которые имеют вид: 13 EMBED Equation.3 1415.
Лекция 17.
11.2.3 Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операторным методом
Сущность этого метода состоит в том, что посредством интегрального преобразования от систем линейных дифференциальных уравнений переходят к вспомогательной системе алгебраических уравнений. Затем находят решение вспомогательной системы, а из него при помощи обратного преобразования получают решение исходной системы дифференциальных уравнений.
В качестве интегрального преобразования чаще всего используют преобразование Лапласа:
13 EMBED Equation.3 1415, (11.17)
где параметр p – некоторое комплексное число, y(t) – кусочно-непрерывная и ограниченная функция независимой переменной t, называемая оригиналом; Y(p) – изображение функции y(t). Помимо прямого преобразования существует обратное преобразование Лапласа, позволяющее по изображению Y(p) находить оригинал y(t). Сокращённое обозначение обратного преобразования: 13 EMBED Equation.3 1415.
В курсах операционного исчисления приводят таблицы прямого и обратного пре-
образования основных функций.
Математическая операция
Оригинал
Изображение

Исходное преобразование
y(t)
Y(p)

Сложение оригинала
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Умножение на постоянное число
аy(t)
аY(p)

Дифференцирование
dy/dt
частн. случай: при y0=0
pY(p)-y0
pY(p)

n– кратное дифференцирование
13 EMBED Equation.3 1415
PnY(p)-[pn-1y0+
+pn-213 EMBED Equation.3 1415++13 EMBED Equation.3 1415]

Интегрирование
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Сдвиг оригинала на 13 EMBED Equation.3 1415
(смещённый аргумент )
y(t -13 EMBED Equation.3 1415)
13 EMBED Equation.3 1415

При анализе возмущенного движения ЛА часто возникает необходимость определить предельные значения решения дифференциального уравнения по виду этого уравнения, не решая его. Например, надо оценить поведение функции y(t) при t13 EMBED Equation.3 1415 0 или при t13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, при условии, что система устойчива. Эту задачу решают при помощи следующих теорем о предельном переходе в преобразованиях Лапласа:
1. Если существует предел функции 13 EMBED Equation.3 1415, то
13 EMBED Equation.3 1415 (11.18)
2. Если существует предел функции 13 EMBED Equation.3 1415, то
13 EMBED Equation.3 1415 (11.19)
Пример.
Рассмотрим решение уравнения (аналог описания короткопериодического движения ЛА, если 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415)
13 EMBED Equation.3 1415 (11.20)
Переходя от оригиналов y(t) и x(t) к изображениям (см. таблицу), получаем
(p2+a1p+a0)Y(p)=X(p)+13 EMBED Equation.3 1415+(a1+p)y0
Отсюда изображение Y(p) функции y(t)
13 EMBED Equation.3 1415.
Соответствующий этому изображению оригинал
13 EMBED Equation.3 1415.
Предполагая, что корни 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 знаменателя 13 EMBED Equation.3 1415 простые и действительные, по таблицам обратного перехода от изображения к оригиналам находим:
13 EMBED Equation.3 1415 .
Для определения оригинала, соответствующего изображению 13 EMBED Equation.3 1415 следует задаться конкретным видом функции x(t) и определить ее с помощью 13 EMBED Equation.3 1415.
Достоинство этого метода состоит в том, что уменьшается объем и сложность вычислительных работ по сравнению с классическим методом. Не требуется определения произвольных постоянных, т.к. сразу находится решение, удовлетворяющее исходным условиям.
11.2.4 Исследование управляемого движения с помощью передаточных функций
Оценки управляемости различных ЛА принято рассматривать как их реакцию на скачкообразное (ступенчатое) отклонение органов управления и на отклонение по гармоническому закону.
При ступенчатом отклонении изучаются переходные или временные характеристики (функции) ЛА, а при гармоническом - частотные.
Частотные характеристики системы (звена) определяются как зависимость отношения амплитуды выходной величины к амплитуде входного сигнала и сдвига по фазе выходной величины по отношению к входному сигналу от частоты входного воздействия.
При изучении переходных характеристик (процессов) удобно пользоваться передаточными функциями, а частотных характеристик - частотными функциями.
Передаточной функцией называют отношение изображения выходной величины к изображению входной при нулевых начальных условиях:
13 EMBED Equation.3 1415. (11.21)
Пример. Пусть задано уравнение, описывающее короткопериодическое движение ЛА, в виде (начальные условия - нулевые):
13 EMBED Equation.3 1415, (11.22)
здесь: 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415Переходя от оригиналов к изображениям, получаем
13 EMBED Equation.3 1415 (11.23)
и передаточная функция:
13 EMBED Equation.3 1415 (11.24)
Поскольку знаменатель (11.24) составляется по левой части (11.22), то он является характеристическим полиномом дифференциального уравнения (11.22) с той лишь разницей, что вместо ( стоит параметр 13 EMBED Equation.3 1415.Приравнивая к нулю знаменатель передаточной функции (11.24), получим
13 EMBED Equation.3 1415 (11.25)
Корни этого уравнения называются полюсами передаточной функции или корнями характеристического уравнения (11.22).Если 13 EMBED Equation.3 1415 то корни будут комплексными сопряженными
13 EMBED Equation.3 1415 (11.26)
В этом случае будет переходной процесс изменения выходной величины и звено являются колебательными. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то оба корня будут действительными
13 EMBED Equation.3 1415.
Процесс будет апериодическим, а звено - апериодическим второго порядка.
Выражая 13 EMBED Equation.3 1415 через передаточную функцию (11.24), получим
13 EMBED Equation.3 1415. (11.27)
Для определения переходной (временной) функции надо за входное воздействие принять ступенчатую функцию13 EMBED Equation.3 1415, изображение которой 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно
13 EMBED Equation.3 1415 .
По (11.19) 13 EMBED Equation.3 1415
Переходя при помощи таблиц от изображения к оригиналу для случая 13 EMBED Equation.3 1415 получим переходную функцию колебательного звена

·13 EMBED Equation.3 1415, (11.28)
где 13 EMBED Equation.3 1415 – передаточный коэффициент, 13 EMBED Equation.3 1415 – коэффициент демпфирования, 13 EMBED Equation.3 1415 – круговая частота колебаний, 13 EMBED Equation.3 1415 – опорная частота или частота недемпфированных колебаний, 13 EMBED Equation.3 1415- сдвиг по фазе
13 EMBED Equation.3 1415. (11.29)
В (11.28) первое слагаемое определяет вынужденное движение, а второе – собственное (свободное) колебательное движение, определяющее переходный процесс.

Рассмотрим пример определения одной из характеристик управляемости, в частности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с помощью передаточной функции. Эта производная может быть представлена в видe 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 .Изображение Лапласа для знаменателя этого выражения
обозначим как передаточную функцию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=13 EMBED Equation.DSMT4 1415.Зададим
входное воздействие в виде ступенчатого единичного 1(t),имеющего изображение
по Лапласу 1/p, и приближенно величину 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415.Передаточная функция в нашем
случае имеет вид 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= p13 EMBED Equation.DSMT4 1415(p) и в соответствии со свойством (11.19) имеем
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415(p).
При известной структуре 13 EMBED Equation.DSMT4 1415(p) можно вычислить (после взятия пределов) установившееся значение выходной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и определить 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 по формуле
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415




Приведем здесь перечень некоторых из решаемых задач динамики полета с помощью передаточных функций.
Используя знаменатель передаточной функции, можно исследовать динамическую устойчивость (по Ляпунову) по первому приближению, т.к. знаменатель по форме совпадает с характеристическим уравнением с той лишь разницей, что вместо «
·» стоит параметр «p».
Если в качестве входного воздействия принять 13 EMBED Equation.3 1415 в (11.22), то изображение по Лапласу 13 EMBED Equation.3 1415 и W(p) = p Y(p) можно использовать для определения установившегося значения переходной функции y(t) на основе теоремы 2) (11.19), т.к. 13 EMBED Equation.3 1415.
При построении систем автоматического управления (САУ) изучаются
передаточные функции «замкнутых» систем, являющихся функциями исходных W(p) и проблема сводится к выбору параметров САУ такими, чтобы характеристики устойчивости и управляемости ВС были оптимальными, удовлетворяющими нормативным документам (АП –23, 25 и др.).
Для устойчивых систем от W(p) нетрудно перейти к частотным характеристикам, положив p = i
· и исследовать показатели («запасы») устойчивости и управляемости по АФЧХ.
Некоторые из показателей статической управляемости можно вычислить непосредственно по Wyx(p).
С помощью перехода от изображений к оригиналам нетрудно перейти к исследованиям во временной области.
В заключении заметим, что обычно для ВС составляются перечни (таблицы, «библиотека») передаточных функций, которые широко используются при решении различных задач динамики полета.
11.2.5 Исследование управляемого движения с помощью частотных характеристик
Для определения реакции ЛА на гармоническое воздействие в правую часть, например, (11.22) (k=1), подается сигнал 13 EMBED Equation.3 1415. В этом случае на выходе вынужденная составляющая будет изменяться по гармоническому закону
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415- амплитуда и частота вынужденных колебаний выходной величины, 13 EMBED Equation.3 1415- сдвиг по фазе. Величины 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 весьма просто определяются по частотной функции 13 EMBED Equation.3 1415, представляющей собой комплексную величину.
Можно показать, что 13 EMBED Equation.3 1415 получается из передаточной функции 13 EMBED Equation.3 1415путем замены13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - частота вынужденных колебаний.
Частотную функцию можно представить в виде
13 EMBED Equation.3 1415,
где: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415- соответственно вещественная и мнимая часть частотной функции; 13 EMBED Equation.3 1415 - модуль частотной функции, называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ); 13 EMBED Equation.3 1415- аргумент частотной функции, называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ). Для определения модуля и аргумента частотной функции 13 EMBED Equation.3 1415изображается на комплексной плоскости для одного значения «13 EMBED Equation.3 1415» (см. рис. 65).
Из этого рисунка видно, что
(при 13 EMBED Equation.3 1415)

13 EMBED Equation.3 1415
С помощью этих выражений можно строить амплитудную и фазовую частотные характеристики системы (звена) при изменении 13 EMBED Equation.3 1415 от 13 EMBED Equation.3 1415 до 13 EMBED Equation.3 1415.









13PAGE 14115


13PAGE 14115


13PAGE 14315


13PAGE 14115


13PAGE 14115


13PAGE 14515




Рис. 13 SEQ Рис. \* ARABIC 141715


13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 40а, б)


Рис. 41



Рис. 39



Рис. 42




Рис. 40а)




Рис.38
ис. 38



13 EMBED Word.Picture.8 1415 Рис.37
Рис. 37

13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 36



Рис. 23





13 EMBED Equation.3 1415


Рис. 13 SEQ Рис. \* ARABIC 14615



Рис. 13 SEQ Рис. \* ARABIC 14315



Рис. 13 SEQ Рис. \* ARABIC 14215



Рис. 20












Рис. 13 SEQ Рис. \* ARABIC 141915



Рис. 13 SEQ Рис. \* ARABIC 141615


Рис. 43


Рис.45



Рис. 46



Рис. 48



Рис. 49



Рис. 50



































Векторные диаграммы распределения давления

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415


Рис. 25


13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Word.Picture.8 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415



13 EMBED Equation.3 1415

А – передняя
критическая
точка

13 EMBED Equation.3 1415



Сxаm





13 EMBED Equation.3 1415(=const
M=const

13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 54 б)










(автопилот)

Вычислительное устройство

Привод системы управления

ЛА

Измеритель

САУ


Рис. 55


обратная связь

yф (фактическое)

yзад
(заданное)

(о.у.

u

f возмущение






СУУ

пилотажно навигационные приборы


летчик

(бустер)
силовой привод


ЛА

Измеритель

Вычислительное устройство

Исполнительный механизм







yжел

f возмущения

(о.у.



13 EMBED Equation.DSMT4 1415


Рис. 57


Эксплутационная область

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415



Рис. 64



Рис. 65































































13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 63





Приложенные файлы

  • doc 8881627
    Размер файла: 6 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий