Интегро-дифференциальные уравнения(Шишкин)


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Шишкин
ИНɌЕГɊОȾИФФЕɊЕНЦИАЛЬНЫЕ
МИНИɋɌЕɊɋɌВО
ОȻɊАЗОВАНИЯ
ɊОɋɋИЙɋКОЙ
ФЕȾЕɊАЦИИ
ОȻɊАЗОВАНИЮ
ГОɋɍȾАɊɋɌВЕННЫЙ
ɍНИВЕɊɋИɌЕɌ
ИНɌЕГɊОȾИФФЕɊЕНЦИАЛЬНЫЕ
ФɊЕȾГОЛЬМА
Ⱦопɭщɟно
поɫоɛия
ɫɬɭɞɟнɬоɜ
заɜɟɞɟний
010100
поɫоɛиɟ
ɫпɟцкɭɪɫɭ
ɫпɟцɫɟминаɪɭ
Изɞаɬɟльɫɬɜо
Ȼɭɪяɬɫкоɝо
ɝоɫɭниɜɟɪɫиɬɟɬа

655
ɭчɟɛно
Ȼɭɪяɬɫкоɝо
ɝоɫɭɞаɪɫɬɜɟнноɝо
ɭниɜɟɪɫиɬɟɬа
наɭк
пɪоɮ
Шойнжɭɪоɜ
наɭк
ɝоɫɭɞаɪɫɬɜɟнноɝо
ɭниɜɟɪɫиɬɟɬа

655
Линɟйныɟ
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟɪɟнциальныɟ
ɭɪаɜнɟния
ɫпɟцкɭɪɫɭ
ɫпɟцɫɟминаɪɭ
.
Изɞаɬɟльɫɬɜо
ɝоɫɭниɜɟɪɫиɬɟɬа
, 2007.
ɭчɟɛном
поɫоɛии
оɫноɜныɟ
ɬɟоɪии
ɬɟɝɪо
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
Вɜɟɞɟны
поняɬия
аналоɝич
ɬɟоɪии
инɬɟɝɪальныɯ
ɭɪаɜнɟний
аналоɝи
ɬɟоɪɟм
Фɪɟɞɝольма
полɭчɟнныɟ
акаɞɟмиком
опɭɛликоɜанныɟ
1934
Ɋаɫɫмоɬɪɟны
Коши
ɫпɟциɮичɟɫкая
заɞача
Коши
нɟкоɬоɪыɟ
оɫоɛɟнноɫɬи
ɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
пɪиɛлижɟнныɟ
мɟɬоɞы
ɪɟшɟния
ɜозможноɫɬи
ɪɟшɟния
как
ɞля
ɭɪаɜнɟний
оɛыкноɜɟнным
аɪɝɭмɟнɬом
ɭɪаɜнɟний
аɪɝɭмɟнɬом
Поɫоɛиɟ
пɪɟɞназначɟно
ɫпɟциальноɫɬɟй
,
Пɪиклаɞная
маɬɟмаɬика
инɮоɪмаɬика
пɪɟпоɞаɜаɬɟлɟй
аɫпиɪанɬоɜ
ɫпɟциализиɪɭющиɯɫя
ɮɭнкциональныɯ
ɭɪаɜнɟний
Ȼɭɪяɬɫкий
ɝоɫɭниɜɟɪɫиɬɟɬ
ВВЕȾЕНИЕ
заɞачами
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟɪɟнциальным
маɬɟмаɬики
ɫɬолкнɭлиɫь
XVIII-XIX
заɞач
инɬɟɝɪо
ɭɪаɜнɟний
заɞачɭ
Пɪокɬоɪа
ɭпɪɭɝой
заɞачɭ
кɪɭɬильныɯ
[][
()()()(,)()();
tkftmtKtsfsmsds
ωωω
=−+−
заɞачɭ
ɫамолɟɬа
ɭɪаɜнɟний
Ȼɭɪɛаки
1903
1934
опɭɛликоɜаны
ɫɟɪьɟзныɟ
ɪɟзɭльɬаɬы
иɫɫлɟɞоɜанию
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟ
ɪɟнциальныɯ
Нɟкɪаɫоɜым
[31].
Ваɫильɟɜым
[6]-[11],
Виɝɪанɟнко
[12]-
[14],
Ȼыкоɜым
[3]-[5]
ɞɪɭɝими
ɭɪаɜнɟниям
ɬакиɟ
ɮɭнк
ɮɭнкция
знак
моɝɭɬ
наɯоɞиɬьɫя
ɜнɟ
ɋлɟɞоɜаɬɟльно
инɬɟɝɪальныɯ
они
ɟщɟ
ɮɭнкции
ɪɟнциальныɟ
ɭɪаɜнɟния
инɬɟɝɪальныɟ
ɭɪаɜнɟния
Фɪɟɞɝольма
нɟлинɟйноɝо
ɭɪаɜнɟния
[][]
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
занималиɫь
Ȼɭшам
[35],
[3]-[5],
Ваɫильɟɜ
[6]-
-[11],
Виɝɪанɟнко
[12]-[14],
[36]-[41],
[22]-[23],
[26]-[28],
[30]
ɫɭщɟɫɬɜоɜания
ɟɞинɫɬɜɟнноɫɬи
ɜалиɫь
[16],
[17],
[18],
Кокаɪɟɜой
[21]
Пɪиɛлижɟнныɟ
-
[2],
Кɪиɜошɟина
[23]
I
ɭчɟɛноɝо
изложɟна
клаɫɫичɟɫкая
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
аналоɝи
Ɋаɫɫмоɬɪɟны
заɞача
ɫпɟциɮичɟɫкая
заɞача
кɪаɟɜыɟ
заɞачи
заɜиɫимоɫɬи
ɜнɟшнɟɝо
ɜнɭɬɪɟннɟɝо
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
I
ɪɟзɭльɬаɬы
опɭɛликоɜанныɟ
[1]-[31]
[35]-[41],
ɬакжɟ
чиɬаɜшийɫя
Ваɫильɟɜым
ɫɬɭɞɟнɬоɜ
Иɪкɭɬɫкоɝо
ɝоɫɭɞаɪɫɬɜɟнноɝо
ɭниɜɟɪɫиɬɟɬа
ɫпɟциальноɫɬɟй
Маɬɟмаɬика
Пɪиклаɞная
1970-1990
II
ɪаɫɫмаɬɪиɜаɟɬɫя
ɜозможный
ɜаɪианɬ
иɫɫлɟɞоɜания
иɫпользоɜаниɟм
ɮɭнɞамɟнɬальной
ɪɟшɟний
ɜнɭɬɪɟннɟɝо
ɞиɮɮɟɪɟнциальноɝо
III
IV
иɫпользоɜания
ɮɭнɞамɟнɬальныɯ
ɫиɫɬɟм
ɜнɭɬɪɟннɟɝо
ɜнɟшнɟɝо
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
IV
ɪаɫɫмаɬɪиɜаюɬɫя
пɪиɟмы
заɞачи
заɞач
ɜнɟшнɟɝо
ɜнɭɬɪɟннɟɝо
II-IV
иɫɫлɟɞоɜания
[22]-
[32]
иɫɫлɟɞоɜания
V
поɫлɟɞниɟ
иɫɫлɟɞоɜания
[43]-[49]
пɪимɟнɟнию
ɮɭнкции
ɫɬɪɭкɬɭɪы
[24]-[25]
линɟйныɯ
ɭɪаɜнɟний
запазɞыɜающим
аɪɝɭмɟнɬом
ɪазɪɟшающим
инɬɟɝɪальным
оɛыкноɜɟнным
аɪɝɭмɟнɬом
Глаɜа
ɬɟоɪɟм
Аналоɝ
пɟɪɜой
ɬɟоɪɟмы
Фɪɟɞɝольма
ɪазɪɟшающɟɝо
инɬɟɝɪальноɝо
поɪяɞок
опɟɪаɬоɪа

),()]([O (1)
),()(...)()()()]([1110111yzybdyyzdybdyyzdybyzPxzxadxxzdxadxxzdxzLmmmmmmnnnnnn+++=+++=−−−− коэɮɮициɟнɬы оɛоиɯ ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ

ɮɭнкции
яɞɪо
ɪɟɝɭляɪно
кɜаɞɪаɬɟ
заɞачɭ

ɜыɜɟɫɬи
инɬɟɝɪальноɟ
ɭɪаɜнɟ
Пɭɫɬь
(x),,
ɮɭнɞамɟнɬальная
ɫиɫɬɟма


0
)
(
(2)
запишɟɬɫя

). (3)
Пɪɟɞположим


)
(
)
(
x
F
x
z
L
(4)
нɟизɜɟɫɬная
ɮɭнкция
ɭɪаɜнɟнии
(4)
нɟизɜɟɫɬнɭю
ɮɭнкцию
пɪоизɜольныɯ
ɭɪаɜнɟния
ɛɭɞɟм
иɫкаɬь

+.+
(3*)
опɪɟɞɟляɬɫя
ɫиɫɬɟмы


(5)

ɮɭнɞамɟнɬальной
ɫиɫɬɟмы
ɮɭнкций
i
z
1
,

(6)
ɮоɪмɭлам
алɝɟɛɪаичɟɫкиɟ
ɞополнɟния
ɫлɟɞнɟй
ɫɬɪокɟ
i
x
1
),
(
полɭчим

i
x
F
x
x
x
C
i
1

),
(
)
(
)
(
)
(
. (7)
Инɬɟɝɪиɪɭя
(7)

(8)
(3*),
инɬɟɝɪал
ɭɪаɜнɟния
(4)
ɜиɞɟ

(9)
заɞачɭ
ɮɭнкцию
(x)
ɜыɪажɟниɟ
(9)
ɭɞоɜлɟɬɜоɪяло
(1).
(9)
ɭчи
)
(9
)
Поɬɪɟɛɭɟм
ɮɭнкция
(9)
(9
(9
ɭɞоɜлɟɬɜоɪяли
ɭɪаɜнɟнию
(1).
Поɞɫɬаɜиɜ
ɭɪаɜнɟниɟ
ɪазɪɟшающɟмɭ
(10)
)(1yzPcyginimi∑== и )]([)(),(1yzPyHinimi∑=Δ=ηη. 2. Ɋɟшɟниɟ ɪазɪɟшающɟɝо
ɭɪаɜнɟния
ɭɪаɜнɟния
ɛɭɞɟм
ɜиɞɟ
Нɟймана

(11)
ɭɪаɜнɟния
(10)
пɪɟɞɫɬаɜимо
ɜиɞɟ
(11),
поɞɫɬаɜиɜ
ɭɪаɜнɟниɟ
(10)
оɞинакоɜыɯ
ɫɬɟпɟняɯ
полɭчим
ɪɟкɭɪɪɟнɬныɟ
ɮоɪмɭлы
)
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
(
a
r
y
r
d
y
x
K
y
H
x
,...
3
,
2
r

ɫɯоɞимоɫɬь
ɫлɟɞɭющиɯ
)
(
)
,
(
,
)
,
(

M
y
H
A
y
x
K
,
,
,
)
,
(
)
(
x
N
dy
y
x
K
y
g
a
b
y
x
a
,.
чаɫɬɟй
оцɟнок
коэɮɮициɟнɬоɜ
(11)
ɫоɫɬаɜим

MAN
. (13)
Нɟɬɪɭɞно
ɭɜиɞɟɬь
члɟны
(13)
мɟɬɪичɟɫкɭю
пɪоɝɪɟɫɫию
знамɟнаɬɟлɟм
ɛɭɞɟɬ
ɫɯоɞиɬьɫя
ɛɭɞɟɬ
ɜыполняɬьɫя

(14)
поɫɬɪоɟния
(13)
яɜляɟɬɫя
мажоɪиɪɭющим
ɫлɟɞоɜаɬɟльно
(11)
(12)
ɭɪаɜнɟниɟ
(2)
ɛɭɞɟɬ
''
ɫооɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ
ɭɪаɜнɟниɟ
6 = 0,
коɪни
коɬоɪоɝо
= 3,
ɫооɬɜɟɬɫɬɜɭющиɟ
линɟйно
нɟзаɜиɫимыɟ
(2)
ɛɭɞɭɬ
иɫпользɭя
коɬоɪыɟ
ɪɟшɟниɟ
ɜиɞɟ
ɭɪаɜнɟния
(4)
пɪоизɜольныɯ
поɫɬоянныɯ
оɬкɭɞа
(
x
(

e
(
1122
()()()(),
()55
()()(),
()5
()() , ()().
CxFxFxeFx
CxFxeFx
CxeFdCCxeFdc
ηηηη
===
==−
=+=−+
ɮɭнкции
ɭɪаɜнɟнии
)= -
ɭɪаɜнɟния
(1)
чɟɪɟз
нɟизɜɟɫɬнɭю
мɭлɟ
ɪазɪɟшающɟɟ
ɭɪаɜнɟниɟ
Поɞɫɬаɜляя
(11)
ɭɪаɜнɟниɟ
коэɮɮициɟнɬы
2
2
3
1
1
2
1
3
)
(
e
c
e
c
x
()11
632
xee
=−−+−
иɫпользɭя
коɬоɪыɟ
ɭɪаɜнɟния
)
1
(
2
)
1
(
3
6
6
)
(
2
3
1
c
e
c
x
F
Поɞɫɬаɜиɜ
ɮоɪмɭлɭ
(9),
полɭчим
заɞан
ɞиɮɮɟɪɟнциальноɝо
ɜиɞɟ
(1)(1)
().
3(6)2(6)
ªºªº
=+++
«»«»
¬¼¬¼
Нɟɬɪɭɞно
пɪоɜɟɪкой
ɭɫɬаноɜиɬь
чɬо
полɭчɟнноɟ
ɭɞоɜлɟɬɜоɪяɟɬ
ɭɪаɜнɟнию
пɪимɟɪɟ
1
значɟнияɯ
ɋлɟɞоɜаɬɟльно
(14)
ɜозникло
ɫɜязи
мɟɬоɞа
ɫɜязано
ɭɫлоɜиями
аɛɫолюɬной
ɋамоɫɬояɬɟльно
(14)
1
ɫɞɟлаɬь
ɫооɬɜɟɬɫɬɜɭющиɟ
ɜыɜоɞы
Пɪɟоɛɪазɭɟм
коэɮɮициɟнɬы
(11),


(
. (15)
пɟɪɜоначально

), (15
)
ɜыɪажɟниɟ
кɜаɞɪаɬныɯ
яɞɪо

(15
)
полɭчим
аналоɝично
пɪɟоɛɪазɭɟм

; (15

Поɞɫɬаɜиɜ
ноɜыɟ
(11)
ɫилɭ
ɫɝɪɭппиɪоɜаɜ
ɜɫɟ
ɫлаɝаɟ
ɫкоɛкаɯ
R
)+ . (16)
ɪазɪɟшающɟɝо
ɭɪаɜнɟния
запи


. (11*)
Нɟɬɪɭɞно
ɞоказаɬь
ɪаɜномɟɪнɭю
аɛɫолюɬнɭю
(11)
пɪи
пɪɟоɛɪазоɜанияɯ
коэɮɮициɟнɬоɜ
ɜоɫпользоɜаɬьɫя
ɞɪɭɝим
поɪяɞком
пɟɪɟɫɬаноɜки
инɬɟɝɪалоɜ
полɭчим
ɞɪɭɝɭю
мɭлɭ
пɪоɞɟлаɬь
Инɬɟɝɪальныɯ
ɭɪаɜнɟний
ɫоɫɬаɜиɬь
(16)
значɟния
иɬɟɪиɪоɜанныɯ
1
1
1
1
1
1
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
;
,
(
y
H
dy
x
y
x
R
a
y
)
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
1
2
1
1
1
1
1
2
y
H
dy
a
ɫилɭ
пɟɪɟпиɫаɬь
оɬкɭɞа
)
ɪяɞ
(16)
поɞɫɬаɜиɬь
ɜыɪажɟния
иɬɟɪиɪо
яɞɟɪ
(17
аналоɝичныɟ
ɜыклаɞки
полɭчим
ɞɭющɟɟ
ɭɪаɜнɟниɟ
)
ɏаɪакɬɟɪиɫɬичɟɫкий
миноɪный
ɪяɞ
(11)
ɪазɪɟшающɟɝо
ɭɪаɜнɟ
полɭчили
оɝɪаничɟния
(14).
ɜозникаɟɬ
ɫɭщɟɫɬɜɟнноɟ
оɝɪаничɟниɟ
ɜозникло
ɫɜязи
наɬалкиɜаɟɬ
пɪимɟɪ
ɛɭɞɟм
ɭɪаɜнɟниɟ
(10)
ɜɜɟɞём
ноɜɭю
нɟизɜɟɫɬнɭю
ɮɭнкцию

(19)
поɞɫɬаɜиɜ
полɭчим
∫∫∫
(,
оɬкɭɞа
изɜɟɫɬныɯ
Фɪɟɞɝольма

, (20)
пɪимɟним

заɬɟм
(20)
пɪɟоɛɪазоɜаɜ
лиɬɟли
(1)
∫∫∫∫
∫∫∫∫
ɫлɟɞоɜало
ожиɞаɬь
экɜиɜалɟнɬноɫɬи
ɭɪаɜнɟ
(10)
(20)
ɞолжны
ɫоɜпаɞаɬь
Вɜоɞя
...
)
,
(
...
)
,
(
...
...
...
)
,
(
...
)
,
(
1
1
1
1
1

∫∫∫∫
(21*)
ɭɪаɜнɟния
ɜиɞɟ
(11*)
ɛɭɞɟм
ɜиɞɟ

нɟизɜɟɫɬная
ɮɭнкция
ɭɪаɜнɟния

(. (22)
ɮɭнкции
ɜоɫпользоɜаɜшиɫь
полɭчим
(. (23)

ɮɭнкцию

(, (24)
ɟɝо
(23)
коэɮɮициɟнɬы
ɫɬɟпɟняɯ
полɭчим
)
a
s
x
x
K
x
x
d
s
x
1
1
1
1
1
1
1
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
Аналоɝично
∫∫∫∫

∫∫∫∫


Поɞɫɬаɜиɜ
найɞɟнныɟ
(24),
полɭчим
миноɪный
Нɟкɪаɫоɜа

∫∫∫∫

. (25
Иɫпользɭя
ɮоɪмɭлɟ
(21*)
(25
пɟɪɟпишɟɬɫя
∫∫∫∫
Иɫɫлɟɞɭɟм
иɫɫлɟɞɭɟɬɫя
ɜɜɟɞɟм
∫∫∫∫

(21*)
ɞоказаɬɟльɫɬɜа
(21*)
ɜɫпомним
нɟɪаɜɟнɫɬɜо
)
,
b
,,
пɭɫɬь
ɬоɝɞа
∫∫∫∫
(21*)
положиɬɟльный
чиɫлоɜой
пɪизнаком
Ⱦаламɛɟɪа
1
0
2
)!
1
(
2
!
)
1
(
lim
lim
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
p
p
p
p
p
p
p
b
p
p
a
b
u
u
яɜляɟɬɫя
мажоɪиɪɭющим
ɫлɟɞоɜаɬɟльно
Вɟйɟɪшɪаɫɫа
(21*)
аɛɫолюɬно
значɟнияɯ
Заɞаниɟ
ɋамоɫɬояɬɟльно
ɋɭщɟɫɬɜоɜаниɟ
ɪɟшɟния
инɬɟɝɪо
ɭɪаɜнɟния
Пɪɟжɞɟ
ɫɮоɪмɭлиɪоɜаɬь
аналоɝ
ɫначала
ɭɛɟɞимɫя
ɮɭнкция
ɮоɪмɭлɟ
(22)
ɭɞоɜлɟɬɜоɪяɟɬ
(10).
эɬоɝо
значɟниɟ
ɮɭнкции
ɮоɪмɭлы
(22)
ɭɪаɜнɟниɟ
(10),
пɟɪɟмɟнныɟ
ɝɪɭппиɪɭɟм
ɜыноɫя
ɪɟзɭльɬаɬɟ
пɪиɞɟм
ɭɪаɜнɟнию
∫∫∫
оɬкɭɞа

)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(
1
1
d
y
x
K
D
y
D
y
H
y
x
K
D
y
x
D
a
y
.
ɭɪаɜнɟния
(10)
Пɭɫɬь
ɞɪɭɝоɟ
ɪɟшɟниɟ
(26)
замɟним
ɭмножим
пɪоинɬɟɝɪиɪɭɟм
∫∫∫∫
∫∫∫
*:
инɬɟɝɪальноɝо
ɪɟзольɜɟнɬы
(18
ɫлаɝаɟмоɟ
ɫɭммɭ
инɬɟɝɪалоɜ
∫∫∫
∫∫∫
поɫлɟɞнɟɟ
ɫлаɝаɟмоɟ
ɭничɬожаɬɫя

∫∫∫
(27)
Поɞɫɬаɜиɜ
ɭɪаɜнɟниɟ
∫∫∫
инɬɟɝɪалоɜ
полɭчим
∫∫∫
кɜаɞɪаɬныɯ
ɋɮоɪмɭлиɪɭɟм
аналоɝ
ɭɪаɜнɟниɟ
(10)
ɪɟшɟниɟ
ɮоɪмɭлɟ
(22)
(21
(25
ɜɫɟɯ
значɟний


.

ɮɭнɞамɟнɬальными
чиɫлами
яɞɟɪ
Ɋɟкɭɪɪɟнɬныɟ
миноɪноɝо
(21)
(25
пока
(21*)

ɋɪаɜниɜая
ɫлаɝаɟмыɟ
ɮоɪмɭлɟ
(21)
(21*)
ɮоɪмɭлɟ
(25
ɫлɟɞɭющиɟ
коэɮɮициɟнɬы
пɪɟɞɫɬаɜимы
ɜиɞɟ
ɮоɪмɭл
∫∫∫∫
∫∫∫∫
(29)
пɪоинɬɟɝɪиɪɭɟм
∫∫∫
Нɟɬɪɭɞно
ɭɜиɞɟɬь
, ,
ɪаɜɟнɫɬɜа

. (28*)
Положиɜ
ɮоɪмɭлɟ
(28*)
ɜоɫпользɭɟмɫя
инɬɟɝɪальным
Поɞɫɬаɜиɜ
коэɮɮициɟнɬы
ɫɬɟпɟняɯ
замɟниɜ

. (29*)
положиɜ
(29*),
опɪɟɞɟлим
иɫпользɭя
ɮоɪмɭлы
(29*).
1.
.
яɜляɟɬɫя
чиɫлом
ɪазɪɟшающɟɟ
инɬɟɝɪальноɟ
ɭɪаɜнɟниɟ
нɭлɟɜоɟ
инɬɟɝɪо
ɭɪаɜнɟния
(1)
ɫоɜпаɞаɟɬ
z(x)]=0,
2.
ɪазɪɟшающɟɟ
инɬɟɝɪальноɟ
(10)
ɛɟɫконɟчноɟ
ɫооɬɜɟɬɫɬɜɟнно
ɛɟɫконɟчноɟ
ɛɭɞɟɬ
имɟɬь
инɬɟɝɪо
ɭɪаɜнɟниɟ
3.
ɋлɭчай
ɛɭɞɟɬ
ɪаɫɫмаɬɪиɜаɬьɫя
1,2
= sin x,
sin x,
,
x
F
os x
x

-
,
x


os x
'
'
'
(
sin
0
sin
1
2
1
ɫооɬɜɟɬɫɬɜии
z(y)]=z'(
),
z1(y)]=
-sin y +cos y
z2(y)] =
cos y +sin y.
z1(y)]+
z2(y)] =
cos y- sin y
+ c
),
) =
z1(y)]+
z2(y)] = -
sin
cos y- sin y
+
+cos
cos y +sin y
).
(21*)
(25
*),
ɪɟкɭɪɪɟнɬными
ɮоɪмɭлами
)
,
(
)
(
)
,
(
a
y
x
K
d
∫∫∫
2
2
2
2
(
)
1
(
cos
sin
cos
sin
d
-y
-
y)d
y
y-
y
y
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
0
1
1
1
1
*
1
b
a
y
d
x
d
y
x
K
d
d
ɫлɟɞоɜаɬɟльно
ɮоɪмɭлам
(25
2
(
y
x
D
ɫооɬɜɟɬɫɬɜии
ɮоɪмɭлами
(11
(22)
ɫначала
()2(1)(2120212+−−==++−+−−=∫ и заɬɟм по ɮоɪмɭлɟ
F
(
)
(
(x)
z
)
(
(x)
z
)
(
2
1
1
(
x
cos
c
2
(
1
)
c
(
2
1
2
начальнɭю
заɞачɭ
ɞиɮɮɟɪɟнциальноɝо
(1)
ɭɫлоɜиями

,
0
,
)
(
0
)
(
n
i
z
x
z
i

,
[
a
x
. (1*)
начальныɟ
ɭɫлоɜия
ɮоɪмɭлɭ
(9)
пɪɟɞɫɬаɜлɟниɟ
ɭɪаɜнɟния
(1)
нɟизɜɟɫɬнɭю
)
пɟɪɟпиɫаɬь

. (9
)
опɪɟɞɟлиɬь
начальной
заɞачи
Положиɜ
x=x
ɮоɪмɭлɟ
(9
полɭчим
линɟйнɭю
алɝɟɛɪаичɟɫкɭю

, (5
ɜɫɟɝɞа
эɬой
ɫиɫɬɟмы
ɟɫɬь
значɟниɟ
Вɪонɫкоɝо
ɮɭнɞамɟнɬальной
ɫиɫɬɟмы
ɮɭнкций


)
значɟния
поɫɬоянныɯ
ɫиɫɬɟмɟ
(5
поɞɫɬаɜиɜ
ɭɪаɜнɟнии
(10),
инɬɟɝɪальномɭ
ɫпɟциальноɝо
)
ɮоɪмɭлɟ
ɯаɪакɬɟɪиɫɬичɟɫкоɝо
ɭɪаɜнɟния
(10),
ɭчиɬыɜая
ɭɫлоɜия
полɭчим
ɮоɪмɭлы
∫∫∫∫
b
a
b
a
x
x
p
dx
x
x
x
x
x
x
d
d
D
0
∫∫∫∫
ɭɪаɜнɟния
(10),
заɬɟм
(1),
ɭɫлоɜияɯ
ɮоɪмɭлам

(22

(9
3.
заɞачи
чиɫла
z(y)]=
=3,
x
x
x
ɪɟзɭльɬаɬы
ɜычиɫлɟний
пɪимɟɪа
1.
ɫиɫɬɟмɭ
оɬкɭɞа
3
5
2
10

, c
c


y
y
y
e
e
e
y
H
e
e
y
g
2
2
3
2
3
0
,
(

,
5
3
5
2
)
(
Ɋазɪɟшающɟɟ
ɭɪаɜнɟниɟ
ɬɟпɟɪь
ɮоɪмɭлам
значɟния
ɪаɜны
нɭлю
ɮоɪмɭлам
0
2
3
2
3
)
3
2
(
5
1
)
9
5
4
(
180
6
1
)
(
dy
e
e
e
e
x
F
y
3232
3232
6(6)(23)(459)
().
30(6)(459)30(6)(459)
eeee
eeee
OOOO
−++−
=−+
−++−−++−
нɭлю
чиɫло
Заɞаниɟ
ɋɪаɜниɬь
ɯаɪакɬɟɪиɫɬичɟɫким
чиɫлом
пɪимɟɪ
ɫɞɟлаɬь
ɫооɬɜɟɬɫɬɜɭющий
Аналоɝ
ɜɬоɪой
ɬɟоɪɟмы
Фɪɟɞɝольма
Миноɪныɟ
ɫлɟɞɭющиɟ
∫∫∫∫

(25
ɫɯоɞимоɫɬь
ɪяɞоɜ
ɜыɫшиɯ
ɞɭющиɯ
оɝɪаничɟнияɯ
)
,
(
нɟɪаɜɟнɫɬɜом
Аɞамаɪа
члɟноɜ
ɪяɞоɜ
∫∫∫∫
r
u
p
p
p
u

Аналоɝичный
ɭжɟ
ɪаɫɫмаɬɪиɜалɫя
ɞоказаɬɟльɫɬɜɟ
(21*)
пɭнкɬɟ
4.
ɋлɟɞоɜаɬɟльно
Вɟйɟɪшɬɪаɫɫа
аɛɫолюɬно
мɟжɞɭ
ɪазɪɟшающɟɝо
ɭɪаɜнɟния
ɫпɟциальноɝо
ɜиɞа
Полɭчим
заɜиɫимоɫɬь
ɪазложɟниɟм
ɫɬɪок
ɫɬолɛцоɜ
ɮоɪмɭлɟ
(25
=2 (
пɪоɞɟлаɬь
ɫамоɫɬоя
ɪазложиɜ
элɟмɟнɬам
∫∫∫∫
2
3
2
2
1
2
2
1
1
1
)
,
(
...
...
)
,
(
...
...
...
...
...
...
...
...
)
,
(
...
...
)
,
(

dx
x
x
x
x
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
3
3
3
1
2
2
1
2
2
1
1
x
d
x
x
x
x
b
a
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
3
1
3
3
2
1
2
2
1
3
3
2
3
3
2
2
2
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

∫∫∫
ɋɝɪɭппиɪоɜаɜ
ɫоɞɟɪжащиɟ
ɜыɪажɟниɟм
(25
полɭчим
ɪазложɟния
a
x
x
x
x
x
x
x
d
D
x
D
x
x
D
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
3
1
3
2
2
1
2
3
1
3
3
3
3
1
2
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1

∫∫∫∫
∫∫∫∫
пɟɪɟɫɬаɜим
ɫмɟниɜ
заɬɟм
знаками
a
x
x
x
x
x
x
x
d
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
2
1
2
2
3
1
3
3
1
3
3
3
3
...
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(



)
,
(
)
(
)
,
(
4
3
4
2
4
1
4
3
2
2
2
1
2
3
3
2
3
1
3
4
1
4
4
4
4
dx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
d
a
Нɟɬɪɭɞно
ɮоɪмɭлой
(25
кɜаɞɪаɬныɯ
полɭчили
ɮɪɟɞɝольмоɜɫкий
ɪяɞ
ɋлɟɞоɜаɬɟльно
замɟниɜ
полɭчим
Ɋазложим
ɫамоɫɬояɬɟльно
иɫпользɭя
(21*).
(25
пɟɪɟпишɟɬɫя
125
124
124
124
(1)(,)
(,)
(,)
ɭɭɭ
dyDd
ɭɭɭ
+−−
(30
Аналоɝично
полɭчим
ɮоɪмɭлɭ
ɪазложɟния

аналоɝично
полɭчиɬь
ɮоɪмɭлɭ
ɪазложɟния
......
......
......
(1)(,)
......
ɯɯɯ
ɭɭɭ
βββ
βββ
=−−
(31
оɞноɪоɞноɝо
ɭɪаɜнɟния
ɫооɬɜɟɬɫɬɜɭющɟɝо
нɟоɞноɪоɞномɭ
ɪазɪɟшающɟмɭ
инɬɟɝɪальноɟ
ɫооɬɜɟɬɫɬɜɭющɟɟ
ɫпɟциальноɝо

(32)
ɮɭнɞамɟнɬальныɯ
ɮɭнкций
(32)
поɬɪɟɛɭюɬɫя
)
(

∫∫∫∫
∫∫∫∫
,
(
)
(
)
,
(
.
1
1
1
1
1
x
K
x
x
d
a
111
(,)...(,)
.........
(1)!()...()
(,)...(,)
.............
(,)...(,)
ɪɪɪ
dxdxdx
КɯɭК
−ΔΔ
∫∫∫∫
кɜаɞɪаɬныɯ
ɮоɪмɭлой
(25
имɟɟм
ɫлɟɞоɜаɬɟльно

(33
Аналоɝично
∫∫∫∫
)

∫∫∫∫

Пɭɫɬь
яɜляɟɬɫя
ɯаɪакɬɟɪиɫɬичɟɫкоɝо
ɭɪаɜнɟния
p,
D(
,
1
ɮоɪмɭлаɯ
=0,
Нɟɬɪɭɞно
ɭɜиɞɟɬь
ɮоɪмɭл
ɫлɟɞɭɟɬ
*)=0,
(q-1)
яɜляɟɬɫя
ɭɪаɜнɟния
ɯаɪакɬɟɪиɫɬичɟɫкоɝо
поɪяɞок
ɬожɞɟɫɬɜɟнно
нɭлю
ɪаɫɫмаɬɪиɜаɟмом
ɜышɟ
ɫлɭчаɟ
чиɫла
Пɪɟɞположим
ɬɟпɟɪь
чɬо
ɪазложɟниɟ
ɞɟɫɬɜɟнно
нɭлю
ɜыɪажɟнии
(30
ɫлаɝаɟмыɟ
ɫɭммɟ
иɫчɟзнɭɬ
полɭчим
****
111
*****
111
****
111
*****
111
......
......
......
(,)
(,)*.
......
xxxxx
yyyyy
xxxx
dyDd
yyyyy
ααα
ααα
ɭɪаɜнɟния
(32)
ɜзяɬь
ɮɭнкцию
,
1
q
полɭчɟнныɟ
(32)
оɞноɪоɞноɟ
ɮɭнкции

(34)
,
1
q
ɬакжɟ
яɜляюɬɫя
Фɭнкции
ɮоɪмɭлɟ
(34)
ɮɭнɞамɟн
ɮɭнкциями
ɯаɪакɬɟɪиɫɬичɟɫкоɝо
ɮоɪмɭл
(34)
ɫлɟɞɭюɬ
ɜажныɯ
ɮɭнɞамɟн
ɮɭнкций
1) ,
ɫлɭчаɟ
чиɫлиɬɟль
оɞинакоɜыɯ

нɟзаɜиɫимоɫɬь
ɪɟшɟний
ɫиɫɬɟмы
ɜɬоɪой
Фɪɟɞɝольма
линɟйнɭю
ɮɭнɞамɟнɬальныɯ
ɮɭнкций
(34),
иɫпользɭя
ɫɜойɫɬɜа
(35)
чɬо
ɜɫɟ
ɞолжно
ɜыполняɬьɫя
ɬожɞɟɫɬɜɟнно
положиɜ
ɫилɭ
ɜɬоɪоɝо
ɫɜойɫɬɜа
(35),
полɭчим
,
1
q
ɫлɟɞоɜаɬɟльно
линɟйная
нɟзаɜиɫимоɫɬь
ɞоказана
ɬɟпɟɪь
ɞɪɭɝоɟ
ɫооɬɜɟɬɫɬɜɭющɟɟ
ɜыɪажа
линɟйно
оɞноɪоɞно
ɮɭнɞамɟнɬальныɟ
ɮɭнкции
Пɪɟɞположим
ɮɭнкция
(32),
ɫооɬɜɟɬɫɬɜɭющая
ɫлɟɞɭющɟɟ

(36)
Вɜɟɞɟм
нɟопɪɟɞɟлɟннɭю
нɟпɪɟɪыɜнɭю
ɮɭнкцию
ɫлɟɞɭющɟɟ
∫∫∫
ɫмɟниɜ
(36)
ɬожɞɟɫɬɜа
(36)
жɞɟɫɬɜо
(37)
ɫɭммɭ
ɫлаɝаɟмом
полɭчим
кɜаɞɪаɬныɯ
чɟɪɟз

. (37*)
ɫɬолɛцам
(31
ɫлɭчай
ɫамоɫɬояɬɟльно
)
,
(
)
(
)
,
(




)
,
(
)
1
(
)
,
(
)
1
(
3
2
2
1
1
3
2
2
1
1
3
1
4
3
3
2
1
1
2
1
3
x
y
D
s
dy
x
D
s
x
x
D
s
x
a
полɭчɟнном
ɪазложɟнии
ɫɞɟлаɟм
члɟны
оɬɪицаɬɟльными
пɟɪɟɫɬаɜиɜ
полɭчим
Аналоɝично
ɪазложɟния
ɪаɫпишɟм
(31
*,
ɜыɛɟɪɟм
****
****
111
111
***
***
......
.........
(,)(,)
.........
.........
...
...(,)
xxxxxx
tyyyy
xxx
yyy
§·§·
¨¸¨¸
¨¸¨¸
©¹©¹
§·§·
¨¸¨¸
¨¸¨¸
©¹©¹
......
......
(,)
*(,).
...
...
Oηη
поɫлɟɞнɟм
ɫлɟɜа
пɪимɟм
ɫооɬɜɟɬɫɬɜии
ɮоɪмɭлами
(34)
ɮɭнɞамɟнɬальныɟ
ɮɭнкции
поɫлɟɞнɟɝо
ɫмɟниɜ
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
1
1
1
*
x
Q
t
x
x
F
t
x
ɬожɞɟɫɬɜɟ
Поɞɫɬаɜим
ɜыɪажɟниɟ
ɞля
)
(
)
(
)
,
(
)
(
)
,
(
*
)
(
1
1
1
*
1
1
1
1
u
x
F
t
x
t
dt
x
u
b
a
t
поɫлɟɞнɟм
ɬожɞɟɫɬɜɟ
кɜаɞɪаɬныɯ
поɫлɟ
ɜычиɫлɟния
инɬɟɝɪалоɜ
полɭчим
поɫɬоянныɟ
ɞɪɭɝоɟ
(32)
ɜыɪажаɟɬɫя
линɟйно
ɮɭнɞамɟнɬальныɟ
ɮɭнкции
ɫлɟɞоɜаɬɟльно
ɫиɫɬɟма
ɮɭнɞамɟнɬальныɯ
ɮɭнкций
ɋɮоɪмɭлиɪɭɟм
аналоɝ
ɟɫɬь
q,
оɞноɪоɞноɟ
(32)
нɟзаɜиɫимыɯ
ɫооɬɜɟɬɫɬɜɭющиɯ
(34),
люɛоɟ
ɪɟшɟниɟ
ноɪоɞно
ɭɪаɜнɟния
ɮɭнɞамɟнɬальнɭю
ɪазɪɟшающɟɝо
ɭɪаɜнɟния
( ,")](xyxKtzxzPzzxzL−==−=, z″-z=F(x), z″-z=0,
1,2
= e
2
)
(

),
(

)
(

)
(
,
0

(x)

)
(
1
2
1
x
-x
x
-x
'
x
'
-x
'
x
'
e
e
e
x
x
F
e
x
c
e
x
c
e
c
e
x
c

-x
-x
-e
e
x
1
0
x
x
e
e
x
1
0
)
(
y
-y
y
e
e
e
y
H
e
c
e
c
y
g
,
(

,
)
(
1
ɮоɪмɭлам
7
)
)(
(
2
1
,
)
,
(
,
1
1
1
1
2
1
1
0
1
1
2
*
0
0
-y
x
y
x
x
e
e
e
e
d
d
d
d
ɋлɟɞоɜаɬɟльно
7
x
D
ɮоɪмɭлам
)
(1
1)
-
(
3
7
1
3
7
1
)
(
)
(
)
(
-
2
1
2
2
1
0
2
1
c
e
c
x
dy
x
e
c
e
c
x
F
y
Пɪиɪаɜняɜ
нɭлю
ɯаɪакɬɟɪиɫɬичɟɫкоɟ
3
D
=
ɫлɟɞоɜаɬɟльно
ɮɭнɞамɟнɬальная
ɫиɫɬɟма
ɮɭнкций
ɪазɪɟшающɟɝо
ɭɪаɜнɟния
ɮɭнкции
начальнɭю
заɞачɭ
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟɪɟнциальноɝо
(1)
начальными
ɭɫлоɜиями
),()]([)1(00)1('0000nnbamnzxzzxzzxzdyyzPyxKxzLO (1) ɝɞɟ nɝɞɟm, К(ɯ,ɭ) ɜыɪожɞɟнноɟ
яɞɪо
Пɭɫɬь
ɪазɪɟшающɟɟ
ɭɪаɜнɟниɟ
запишɟɬɫя
)
(
)
(
)
(
)
,
(
)
(
)
(
)
(
0
1
y
d
F
y
H
y
g
x
x
F
a
y
x
∫∫∫
)(),()],([)(ηη Ⱦалɟɟ ɪаɫɫмоɬɪим
ɫооɬɜɟɬɫɬɜɭющɟɟ
полɭчим
11=∫∑=baniimiodyyyzPcψ Поɫлɟ ɜычиɫлɟния
инɬɟɝɪалоɜ
1ψ полɭчим
ɫлɭчаɟ
ɭɪаɜнɟния
заɜиɫимы
ɜыɪазиɬь
1
i
i
io
n
no
c
a
x
x
x
x
d
D
1
1
1
1
1
1
0
,
(
)
(
)
,
(
1

0


)]()([)]()([)]()([2121112121111111=ɭxɭxɭxɭxψϕψϕψϕψϕ Пɪиɪаɜняɜ
ɫлɟɞоɜаɬɟльно
ɮɭнɞамɟнɬальнɭю
ɮɭнкцию
Оɛщɟɟ
ɛɭɞɟɬ
поɫɬоянная
Оɛщɟɟ
ɭɪаɜнɟния
(1)
найɞɟм
ɮоɪмɭлɟ
поɫɬоянныɯ
ɛыɬь
ɫлɟɞоɜаɬɟльно
заɞачи
ɞоɫɬаɬочно
ɭɫлоɜий
поɫɬоянная
оɫɬанɟɬɫя
наɪɭшаɟɬɫя
ɟɞинɫɬɜɟнноɫɬь
заɞачи
ɫпɟциализиɪоɜанной
заɞачи
y
(
z
(
y
)
(
"
x
z
x
x
(
x
c
),
(

)
(

,
0
)
(

)
(
2
1
F
x
c
x
c
x
x
c
'
'
0
2
10
0
1
(
)
(
,
)
(
)
(
c
d
F
x
c
c
d
F
x
c
x
1
)
,
(
),
1
(
)
(
10
0
y
H
y
c
c
y
g

ɏаɪакɬɟɪиɫɬичɟɫкоɟ
чиɫло
запишɟɬɫя
ɭɫлоɜиɟ
20
=
ɛɭɞɟɬ
Оɬкɭɞа
ɭɪаɜнɟния
запишɟɬɫя
найɬи
ɫпɟциализиɪоɜан
ɫначала
Аналоɝ
ɬɪɟɬьɟй
Фɪɟɞɝольма
мɟжɞɭ
ɪазɪɟшающиɯ
инɬɟɝɪальныɯ
ɭɪаɜнɟний
полɭчили
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟɪɟнциальноɝо
ɪазɪɟшающиɯ
инɬɟɝɪальныɯ
ɭɪаɜнɟния
ɫпɟциальноɝо

ɭɪаɜнɟниɟ
(20),
ɫɜязь
ними
ɫооɬɜɟɬɫɬɜии
ɞɟɬɟɪминанɬныɟ
ɜыɫшиɯ
ɭɪаɜнɟния
оɛозначим

(38
ɬɟпɟɪь
ɜыɪажɟниɟ
ɞɟɬɟɪминанɬоɜ
ɫооɬɜɟɬɫɬɜии
ɭɪаɜнɟнии
)
(
)
(
)
(
)
(
,
2
1
,
2
2
,
1
1
,
1
2
1
2
1
x
M
y
x
M
y
x
M
y
x
M
y
y
x
x
M
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(
x
x
x
y
K
x

d
y
K
x

d
y
K
x

d
y
K
x

(39

3
3
2
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
1
1
3
3
3
1
3
3
3
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(
x
x
x
x
x
y
K
x

d
y
K
x

d
y
K
x

d
y
K
x

d
y
K
x

d
y
K
x

3
3
3
3
3
3
2
2
2
3
2
2
2
1
1
1
3
1
1
1
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(






x
x
y
K
x

d
y
K
x

d
y
K
x

∫∫∫

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
3
,
3
2
,
3
1
,
3
3
,
2
2
,
2
1
,
2
3
,
1
2
,
1
1
,
1
d
d
y
K
y
K
y
K
y
K
y
K
y
K
y
K
y
K
y
K


c
пɪɟоɛɪазоɜания
ɞɟɬɟɪминанɬноɝо
ɜоɫпользоɜаɜшиɫь
ɮоɪмɭлами
b
a
b
a
i
i
i
i
i
dt
t
t
t
t

x
M
i

x
M

x
G
...
...
...
...
!
)
1
(
)
,
(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(38
Поɞɫɬаɜим
ɬɟпɟɪь
b
a
b
a
i
i
i
x
dt
i
d
y
K
x


x
G
...
...
!
)
1
(
)
(
)
(
)
,
(
1
1
1
1
1
,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
(
)...
1
(
)
(
)...
,
(
)
,
(
...
i
t
i
i
i
x

t

x

d
2
,
1
1
,
1
1
,
1
,
2
1
,
2
1
,
2
,
1
1
,
1
1
,
1
)
(
....
)
(
)
(
...
)
(
.......
..........
...
)
(
...
)
(
)
(
...
)
(
)
(
i
i
i
i
i
i
d
t
K
t
K
y
K
t
K
t
K
y
K
t
K
t
K
y
K

1
,
1
1
1
1
(
)
(
)
,
(
K
x



Нɟɬɪɭɞно
кɜаɞɪаɬныɯ
полɭчили
ɜыɪажɟ
ɮоɪмɭлой

(40
)
аналоɝичныɟ
,
(38

1
2
2
1
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
d
y
K
y
K
y
K
y
K
x
H
x
H

∫∫∫
121
xxt
t
i
i
i
H
t
H
x
H
x
H
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
...
3
2
1
2
1
3
2
2
1
1
3
2
1
2
2
2
1
2
1
1
3
2
3
1
3
1
1
2
2
2
1
2
1
1
1
2
1
1
1
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
i
i
i
i
i
i
i
d
t
K
t
K
y
K
y
K
t
K
t
K
y
K
y
K
t
K
t
K
y
K
y
K
t
K
t
K
y
K
y
K

∫∫∫∫

кɜаɞɪаɬнɭю
полɭчим
Аналоɝично
поɞоɛноɟ

∫∫∫

∫∫∫∫∫
3
3
2
1
3
1
4
3
3
2
2
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
...
x
i
i
i
H
t
H
x
H
x
H
x
H

∫∫∫
(40
инɞɭкции
запишɟм
ɞɟɬɟɪминанɬноɝо

= 1, 2, (40
мɟжɞɭ
ɪазɪɟшающиɯ
ɭɪаɜнɟний
ɭɫɬаноɜиɬь
ɫɜязь
полɭчɟнныɯ
ɞɜɭɯ
инɬɟɝɪальныɯ
ɭɪаɜнɟний
(10)
(20)
инɬɟɝɪо
ɫначала
ɜыпишɟм

(10)

, (20)
)
(
)
(
)
,
(
)
(
F
y
H
x

)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
(
y
g
y
K
x
H
dy
x
f
b
a

найɞɟно
(10)
ɜоɫпользоɜаɜшиɫь
(20),
найɞɟм
ɜɟɫɬно
ɭɪаɜнɟния
(20),
ɭчиɬыɜая
(19)

. (41)
яɜляɟɬɫя
(10)
запишɟɬɫя
ɜиɞɟ

(. (22)
ɬɟпɟɪь
(22)
ɮоɪмɭлɭ
полɭчим
ɭɪаɜнɟния

, (42)
ɭɪаɜнɟния
(20)
можно
полɭчиɬь
нɟпоɫɪɟɞɫɬɜɟнно
ɮоɪмɭлам

. (42*)
ɬɟпɟɪь
ɞɟɬɟɪминанɬ
ɮоɪмɭлɟ
(40
замɟниɜ
пɪоɞɟлаɬь
ɫамоɫɬояɬɟльно
(.
ɞɪɭɝой
полɭчɟния
ɪɟзɭльɬаɬа
∫∫∫
кɜаɞɪаɬныɯ
ɮоɪмɭ
ɜыɪажɟниɟм

1
1
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
,
,
(
y
x
D
D
y
x
K
dyd
y
x
K
y
D
y
H
a
y
инɬɟɝɪал
ɫɭммɭ
полɭчим
ɪɟзɭльɬаɬ
Оɛщɟɟ
ɪɟшɟниɟ
ɭɪаɜнɟний
ɫооɬɜɟɬɫɬɜɭющиɯ
ɪазɪɟшающим
инɬɟɝɪальным
ɫооɬɜɟɬɫɬɜɭющɟɟ
ɪазɪɟшаю

(32)
полɭчилоɫь

( (43)
ɫооɬɜɟɬɫɬɜɭющɟɟ
(20),
ɛɭɞɟɬ

(44)
полɭчим
(20)

(45)
Нɟɬɪɭɞно
ɭɜиɞɟɬь
ɟɫли
(43),
(45)
ɭɪаɜнɟниɟ
(44)

(46)
пɪоɞɟлаɬь
ɫамоɫɬояɬɟльно
ɭɫлоɜиɟ
(43).
яɜляɟɬɫя
чиɫлом
ɮɭнɞамɟнɬальными
ɮɭнкциями
(32)
(44)
ɛɭɞɟɬ
ɬанаɜлиɜаɬьɫя
ɫɜязь
ɮоɪмɭлɟ

)
(
)
(
)
,
(
)
(
F
x
H
x
. (47)
Оɛщɟɟ
ɭɪаɜнɟния
запишɟɬɫя

оɛщɟɟ
ɪɟшɟниɟ
(32)
можно
пɪɟɞɫɬаɜиɬь
ɭɪаɜнɟния

(48)
Нɟɬɪɭɞно
показаɬь
ɮɭнкция
(48)
ɬожɟ
полɭчɟно
ɪанɟɟ

. (49)
(47)

(50)
Фɭнкции
ɭɞоɜлɟɬɜоɪяɬь
оɞноɪоɞномɭ

0
)
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
(
d
F
y
x
K
y
H
x
F
a
y
. (51)
полɭчим
ɪаɜɟнɫɬɜо

. (49)
ɭɪаɜнɟния
аналоɝ
ɜыɜоɞа
аналоɝа
ɞɜɭɯ
ɪазɪɟшаю
ɭɪаɜнɟниɟм
(20)
можно
пользоɜаɬьɫя
ɞоказаɬɟль
ɬɪɟɬьɟй
Фɪɟɞɝольма
ɪазɪɟшающɟɝо
ɭɪаɜнɟния
(20)
чɪɟзɜычайно
ɬɪɭɞно
ɪазɪɟшающиɯ
ɭɪаɜнɟния
ɭɪаɜнɟния
, (10)

(20)
ɫооɬɜɟɬɫɬɜɭющиɟ
оɞноɪоɞныɟ

(32)

. (44)
ɋоɫɬаɜиɬь
ɞля
ɭɪаɜнɟния
(32)
ɟɫли
ɜозможно
ɬɪɭɞно
ɬоɝɞа
как
ɭɪаɜнɟниɟ
ɭɪаɜнɟния
(44)
ɛɭɞɟɬ

. (52)
Пɭɫɬь
(52)
значɟниɟ
яɞɪа

. (53)
ɭɪаɜнɟниɟ
(53)
ɫопɪя
оɞноɪоɞномɭ
(32).
ɜɜɟɞɟм
ɫкаляɪноɟ
пɪоизɜɟɞɟниɟ
ɮɭнкций
ɜɟɫом

. (54)
Нɟɬɪɭɞно
ɫкаляɪноɝо
коммɭɬаɬиɜноɫɬи
ɫлɟɞɭɟɬ
(,)
(,)()
AFdyKxyFd


ɛɭɞɭɬ
ɫопɪяжɟнными
ɟɫли
ɫопɪяжɟнноɫɬь
Ⱦля
эɬоɝо


(,)(,)
(,)
(,)()()
()()
bxb
HyKy
AFdxFdd
ηηψηη
∫∫∫∫
ɬɟпɟɪь






:

(,)(,)(,)
(,)()()
()()
bbx
HyHxKx
AFFdddydx
ηηη
ψηψηηη
=−=
(,)(,)
(,)
()()
()()
bxb
HyKx
dxFdydd
ψηηη
=−=
∫∫∫∫

(55)
ɞоказаɬь
нɟɬɪɭɞно
полиномы
(32)
(44)
ɫоɜпаɞаюɬ
ɞоказаɬь
ɫамоɫɬояɬɟльно
Ⱦальнɟйшɭю
(53).
ɞɪɭɝим
пɭɬɟм
ɛɭɞɟм
изɜɟɫɬнɭю
ɬɟоɪию
инɬɟɝɪаль
ɭɪаɜнɟния
Пɭɫɬь
ɪанɝа
ɫлɭчаɟ
(20)
имɟɬь
ɪɟшɟниɟ
ɮɭнкция
ɮɭнɞамɟнɬальной
ɮɭнкции
(52) (

. (56)
Фɭнɞамɟнɬальная
ɫиɫɬɟма
ɭɪаɜнɟния
ɛыɬь
ɮоɪмɭлɟ
...
...
...
...
...
...
)
(
*
*
1
*
*
1
*
*
*
1
*
*
1
*
1
*
*
1
*
1
*
1
полɭчиɬь
ɪɟшɟниɟ
(20),
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
мɭлɟ
оɛоɛщɟнная
ɪɟзольɜɟнɬа
)
****
****
,,...,,...,
,,...,,...,
xxxxx
syyyy
§·§·
¨¸¨¸
¨¸¨¸
©¹©¹
(10).
мɭлɭ
(41) 2


b
a
q
b
a
b
a
y
A
ds
s
f
s
y
N
y
f
y
x
K
dy
y
g
y
x
K
x
F
*
*
*
*
(
)
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
(

(59)
ɜыɪазиɬь
чɟɪɟз
полɭчиɬь
окончаɬɟльнɭю
ɮоɪмɭлɭ
ɭɪаɜнɟния
(10). (
ɫамоɫɬояɬɟльно
полɭчиɬɟ
мɭлɭ
(59*).
ɭɫлоɜиɟ
ɭɫлоɜиɟ
оɪɬоɝонально
запишɟɬɫя
0
)
(
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
x
y
g
y
K
x
H
dy
dx
b
a
b
a
. (60)
ɫɮоɪмɭлиɪоɜаɬь
аналоɝ
ɬɪɟɬьɟй
Фɪɟɞ

ɪанɝа
q,
ɪазɪɟшающɟɟ
ɜооɛщɟ
ɪɟшɟния
ɜыполняюɬɫя
ɭɫлоɜия
оɪɬоɝональноɫɬи
(60),
ɪɟшɟниɟ
(10)
ɮоɪмɭлɟ
(59)
(59*),
ɫлɟɞоɜаɬɟльно
ɪɟшɟниɟ
ɫлɭчаɟ
наɪɭшаɟɬɫя
ɫɜойɫɬɜо
ɟɞинɫɬɜɟнноɫɬи
ɪɟшɟния
ɮоɪмɭла
(59)
пɪоизɜольныɯ
поɫɬоянныɯ
начальными
ɭɫлоɜиями
ɛɭɞɟɬ
жаɬьɫя
(n+q)
пɪоизɜольныɯ
ɭɪаɜнɟния
ɜɭюɬ
2
)
(
z
z
x
z
L
ɭɪаɜнɟнии

Иɫпользɭя
ɪɟкɭɪɪɟнɬныɟ
ɮоɪмɭлы
опɪɟɞɟлим
ɮоɪмɭлам
(22)
(9),
ɫооɬɜɟɬɫɬɜɟнно
ɭɪаɜнɟния
(10)
2
2
)
(
1
e
C
C
x
F
заɞачи
ɮоɪмɭлɟ
(34)
ɫооɬɜɟɬɫɬɜɭю
щɭю
ɮɭнɞамɟнɬальнɭю
ɮɭнкцию
ɪɟшɟниɟ
ɪазɪɟшающɟɟ
ɭɪаɜнɟниɟ
(10)
значɟнии
ɭɫлоɜий
оɪɬоɝональноɫɬи

ɫɞɟлаɬь
ɞоɜɟɫɬи
заɞачи
Линɟйныɟ
оɞноɪоɞныɟ
Оɛщɟɟ
ɪɟшɟниɟ
ɜначалɟ
ɭɪаɜнɟниɟ

[][]
, (61)
пɭɫɬь
ɫɭщɟɫɬɜɭюɬ
Пɪоɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟм
+1)
ɭɪаɜнɟниɟ

нɟизɜɟɫɬнɭю
ɮɭнкцию

(
)
(
F
x
z
L
. (63)
поɫлɟɞнɟɟ
ɭɪаɜ

, (64)
пɪоизɜольныɯ
ɭɪаɜнɟния

(65)
ɫлɟɞɭɟɬ

(66)
Пɭɫɬь
ɭɪаɜнɟниɟ
ɮɭнɞамɟнɬальнɭю
ɬоɝɞа
ɪɟшɟниɟ
мɟɬоɞ
ɜаɪиации
пɪоизɜольной
пɟɪɜый
ɪɟшɟниɟ
ɭɪаɜнɟния
ɫиɫɬɟмɭ
Опɪɟɞɟлиɬɟль

ɮɭнɞамɟнɬальной
ɫиɫɬɟмы
ɮɭнкций
ɫлɟɞоɜаɬɟльно
ɮоɪмɭлам
(
)
(
x
i
i
,
1
алɝɟɛɪаичɟɫкиɟ
ɞополнɟния
ɪазложɟнии
опɪɟɞɟлиɬɟля
элɟмɟнɬам
k
p
k
k
n
x
i
i
d
C
x
1
1
(
)
(
)
(
Поɞɫɬаɜляя
полɭчɟнныɟ
ɞля
ɪɟшɟниɟ
полɭчим
x
z
C
x
z
C
x
z
i
x
n
i
i
i
n
i
i
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
оɛозначɟния

, (67)
запишɟм
ɭɪаɜнɟния

ɭɪаɜнɟния
(64)
Вɪонɫкоɝо
нɭлю
ɮɭнкции
x
z
x
n
i
i
i
(
)
(
)
(
k
,
1

,
1
ɟщɟ
пɪимɟним
пɪоизɜольныɯ
(
)
(
)
(
0
)
(
)
(
...
0
)
(
)
(
0
)
(
)
(
1
(
'
1
)
(
)
1
(
'
1
)
(
1
'
1
1
1
'
1
)
1
(
1
'
1
1
'
'
1
'
1
'
1
1
'
1
1
F
x
C
z
x
C
z
x
C
z
x
C
z
x
C
z
x
C
z
x
C
z
x
C
z
p
n
p
n
p
n
p
n
p
n
p
n
p
n
p
n
p
n
p
n
p
n
p
n
Оɫɬальныɟ
ɛɭɞɭɬ
)
(
x
ɫиɫɬɟмɭ
(
)
(
)
(
)
(
1
(
'
F
x
x
x
i
i
,
1
p
n
i
пɪɟɞыɞɭщɟм
ɫлɭчаɟ
элɟмɟнɬам
поɫлɟɞнɟй
Инɬɟɝɪиɪɭя
найɞɟм

p
i
x
i
d
F
x
(
)
(
)
(
)
(
1
(
(69)
ɭɪаɜнɟния
запишɟɬɫя

оɛнɭлим
лишниɟ
пɪоизɜольныɟ
поɫɬоянныɟ
ɫлɭчаɟ
ɫɞɟлаɬь
n+p
z(y)]:

)()]([)]([)1(111+=++=∑∫∑ΔΔ+= и, ɜɜоɞя оɛозначɟния
ɞля
ɜыɪажɟний

)(),(11yzPyHimpniiηη∑++−Δ=, пɪиɞɟм к ɪазɪɟшающɟмɭ
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟɪɟнциальномɭ

. (71)
Полɭчɟнноɟ
ɞиɮɮɟɪɟнциальноɟ
ɭɪаɜнɟниɟ
пɭɬɟм
(p+1)
лɟɝко
пɪɟоɛɪазɭɟɬɫя
ɭɪаɜнɟниɟ
найɞɟнноɟ
ɜыɪажɟниɟ
мɭлɭ
(70),
полɭчим
оɛщɟɟ
ɭɪаɜнɟния
(61)
ɭɫложняɟɬɫя
ɟɫли
поɫɬаɜиɬь
заɞачɭ
Пɭɫɬь
ɮоɪмɭлɟ
(70)
ɭɪаɜнɟния
нижнɟм
инɬɟɝɪала
пояɜиɬɫя

. (70
нижнɟɝо
пɪɟɞɟла
инɬɟɝɪиɪоɜания
поɞɫɬаноɜкɟ
(70
(61)
ɪазɪɟшающɟɟ
ɭɪаɜнɟниɟ
(71),
полɭчаɟɬɫя
наɝɪɭжɟнноɟ
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟɪɟнциальноɟ
(
!
)
(
)
1
(
)
(
!
2
)
(
)
(
!
1
)
(
)
(
)
(
0
1
0
2
0
0
0
0
F
p
x
x
x
F
x
x
x
F
x
x
x
F
x
F
p
p
Ⱦɪɭɝой
ɜаɪианɬ
ɪɟшɟния
поɫɬоянныɯ
занɭлили
коɬоɪыми
заɞачи
Поɞɫɬаɜляя
(70
ɭɪаɜнɟ
полɭчим
наɝɪɭжɟнноɟ
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟɪɟнциальноɟ
ɭɪаɜнɟниɟ
(
!
)
(
)
1
(
)
(
)
(
0
1
0
1
2
1
F
p
x
x
x
F
x
F
x
C
x
C
C
p
p
p
p
n
n
n
)
,
(
)
(
,
)
(
1
y
x
K
d
F
y
H
y
g
a
y
x
p
лишними
пɪоизɜольными
поɫɬоянными
(73)
полɭчим
ɭɪаɜнɟниɟ

(74)
аналоɝичноɟ
(71),
пɪоɞиɮɮɟɪɟнциɪоɜаɜ
ɪазɪɟшающɟмɭ
лишниɯ
поɫɬоянныɯ
(73)
ɪɟнциɪɭɟм
полɭчим
. (76)
Пɟɪɜыɟ
поɫɬоянныɯ
заɪанɟɟ
зɭя
начальныɟ
Инɬɟɝɪалы
(70
иɫчɟзнɭɬ
нɭɬ

Ɋаɫɫмоɬɪɟнныɟ
ɜаɪианɬы
ɫильно
ɭɫложняюɬ
заɞачи
ɪациональнɟɟ
ɫлɭчаɟ
ɫначала
найɬи
заɬɟм
иɫпользɭя
ɭɫлоɜия
оɫɬаɜшиɟɫя
заɞачи
Коши

поɫлɟɞнɟɟ
ɭɪаɜнɟниɟ
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟɪɟнциальноɝо
ɭɪаɜ
1
(
4
3
6
)
(
1
C
e
C
x
z
Положиɜ
опɪɟɞɟлим

Поɞɫɬаɜляя
ɜыɪажɟниɟ
ɞля
найɞɟм
заɞачи

Линɟйныɟ
нɟоɞноɪоɞныɟ
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟɪɟнциальныɟ
оɛщɟɝо
ɪɟшɟния
Пɪоɞолжаɟм
ɪаɫɫмаɬɪиɜаɬь
ɫлɭчай

[][]
. (77)
ɪазɪɟшающɟɟ
пɪимɟɬ

, (78)
(.
ɫлɭчаɟ
ɟɫли
яɜляɟɬɫя
ɭɪаɜнɟния
(78)
ɮоɪмɭлой
(22)
ɜиɞɟ

, (79)
ɭɪаɜнɟния


(80)
начальнɭю
инɬɟɝɪо
начальными
ɭɫлоɜиями

,
0
n
i
,
[
a
x
. (77
ɭɫлоɜия
ɪазɪɟшающɟɟ
(78)

)
,
(
)
(
)
(
)
,
(
)
(
)
(
0
y
x
K
d
F
y
H
y
G
x
F
a
y
x
ɫлɭчаɟ
0,
яɜляɟɬɫя
ɯаɪакɬɟɪиɫɬичɟɫким
ɭɪаɜнɟния
(78
ɫооɬɜɟɬɫɬɜии
ɮоɪмɭлой
(22
полɭчим


заɞачи
полɭчим
ɮоɪмɭлɟ

)
нɟоɞноɪоɞныɟ

),()]([ϕO, (77)
пɭɫɬь
ɫɭщɟɫɬɜɭюɬ
)
Пɪоɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟм
+1)
ɭɪаɜнɟниɟ

),()]({)1(1111ϕO, (81)
положим
поɫлɟɞнɟɟ
ɭɪаɜ

, (82)
4
пɪимɟняя
ɞɜажɞы
пɪоизɜольныɯ
ɫначала
ɜɭющɟɟ
, (65)
оɬкɭɞа

+++++++=. (66)
ɟɫли
ɭɪаɜнɟниɟ
z(x)] =0
ɮɭнɞамɟнɬальнɭю
),
эɬоɝо
ɭɪаɜнɟния
запи
ɜаɪиации
ɫиɫɬɟма
(
)
(
)
(
)
(
0
)
(
)
(
...
0
)
(
)
(
0
)
(
)
(
1
(
)
1
(
'
1
)
(
)
1
(
'
1
)
(
1
'
1
1
1
'
1
)
1
(
1
'
1
1
'
'
1
'
1
'
1
1
'
1
1
x
F
x
C
z
x
C
z
x
C
z
x
C
z
x
C
z
x
C
z
x
C
z
x
z
p
p
n
p
n
p
n
p
n
p
n
p
n
p
n
p
n
p
n
p
n
p
n
p
n
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
(
)
1
(
'
x
F
x
x
x
p
i
i
Инɬɟɝɪиɪɭя
полɭчим
p
p
x
i
i
d
F
x
C
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
(
)
1
(
, (83)
алɝɟɛɪаичɟɫкиɟ
ɞополнɟния
пɪи
0...00)()(...)()(...............)()(...)()()()1()1()1(1)1(1'11)(1)1(1'11xxFxzxzxzxzxzxzxzxzxpppnipniiipnpni+++−−+−−−+−++=ϕω
элɟмɟнɬам
ɫɬолɛца
ɭɪаɜнɟния
запишɟɬɫя
)()()()()()()1()1(1111ηηϕηηηdFxzxzxCxzpppnixpniiiii++++=++=+ΔΔ=∑∫∑(84) Ⱦалɟɟ оɛнɭлим
пɪоизɜольныɟ
z(y)]:
(
[
y
z
P
)()]([)()]([)1()1(111++ΔΔ+=+=++=∑∫∑ и, ɜɜоɞя оɛозначɟния
ɞля
ɜыɪажɟний

)(,
)(),(11yzPyxHimpniiη∑++−Δ= (85)
ɪазɪɟшающɟмɭ
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟɪɟнциальномɭ

)
(
)
,
(
)]
(
)
(
[
)
(
)
,
(
)
(
)
(
)
(
1
(
)
1
(
dy
y
x
K
d
F
y
H
y
g
a
y
p
p
(86)
ɭɪаɜнɟниɟ
пɪɟоɛɪазɭɟм
инɬɟɝɪальноɟ
ɭɪаɜнɟниɟ
87
(
,

0
)
,
(
)
(
)
(
)
,
(
)
(
)
(
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
x
y
x
K
d
F
y
H
y
G
x
F
a
p
p
y
p
p
Поɞɫɬаɜиɜ
найɞɟнноɟ
ɜыɪажɟниɟ
ɮоɪмɭлɭ
(84)
полɭчим
ɭɪаɜнɟния
ɭɪаɜнɟний
(77)
начальными
ɭɫлоɜиями
ɜиɞɟли
.2 4
ɭɫложняɟɬɫя
ɫлɭчаɟ
ɭɪаɜнɟний
заɞачи
ɫлɭчаɟ
ɫначала
найɬи
заɬɟм
иɫпользɭя
ɭɪаɜнɟний
''dyyzyzxzO 1.5. ∫=+−10,)]()('[''xdyyzyzxzO 1.6. ∫=+−10.)]()(''[''xdyyzyzxzO 2. Ɋɟшиɬь заɞачи
''10zzxdyyzyzxzO 2.5. °¯°®­===+−∫.0)0(',1)0(,)]()(''[''10zzxdyyzyzxzO 3. Найɬи ɪɟшɟниɟ ɫпɟциализиɪоɜанныɯ
Коши
z
0
0
)
(
'
'
'
'
dy
y
xz
z
z
)
0
(
'
,
1
)
0
(
z
0
0
)
(
'
'
'
dy
y
xyz
z
z
)
0
(
'
,
0
)
0
(
Выяɫниɬь
ɯаɪакɬɟɪиɫɬичɟɫкиɯ
II.
Ɋɟшɟниɟ
линɟйныɯ
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
иɫпользоɜаниɟм
ɮɭнɞамɟнɬальной
ɫиɫɬɟмы
ɞиɮɮɟɪɟнциальноɝо
пɪоизɜоɞныɯ
инɬɟɝɪо
ɭɪаɜнɟниɟ
[][]
()(,)()0
LzxKxyPzydy
, (1)
()(1)
()()()...()()()()
nnn
Lzxzaxzxaxzxaxzx
=++++
()(1)
011
()()()()()...()()()()
mmm
Pzybyzybyzybyzybyzy
=++++
Ȼɭɞɟм
иɫкаɬь
ɭɪаɜнɟния
(1),
ɮɭнɞамɟнɬальной
ɫиɫɬɟмы
ɜнɭɬɪɟннɟɝо
ɞиɮɮɟɪɟнциальноɝо
()()
PzyFy
, (2)

Пɭɫɬь
ɫооɬɜɟɬɫɬɜɭющɟɝо
()0
Pzy
1122
()()()...()
zyCzyCzyCzy
=+++
пɪоизɜольной
поɫɬоянной
(2),
ɫиɫɬɟмɭ
1122
1122
(1)(1)
1122
()()()()...()()0,
()()()()...()()0,
..............................................................................
()()()().
CyzyCyzyCyzy
CyzyCyzyCyzy
CyzyCyzy
′′′
+++=
′′′′′′
+++=
(1)
..()()().
CyzyFy
ɫиɫɬɟмы
(3)
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
ɟɞинɫɬɜɟнноɟ
ɟɫɬь
ɮɭнɞамɟнɬальной
ɫиɫɬɟмы
ɭɪаɜнɟния
()0
Pzy
оɬличɟн
нɭля
ɋлɟɞоɜаɬɟльно
111
111
(1)(1)(1)(1)
111
()...()0()...()
()...()0()...()
.....................
()...()()()...()
()()...()
()()...()
............
iim
iim
mmmm
iim
zyzyzyzy
zyzyzyzy
zyzyFyzyzy
zyzyzy
zyzyzy
−−−−
′′′′
′′′
(1)(1)(1)
()()...()
mmm
yzyzy
−−−
()
()
()

Вɪонɫкоɝо
, ()
Wy
ɟɝо
Инɬɟɝɪиɪɭя
()()
CyFdC
значок
инɬɟɝɪалом
означаɟɬ
ɞолжна
ɛыɬь
замɟнɟна
ɭɪаɜнɟния
запишɟɬɫя
ɜиɞɟ
()()
()()()
Wzy
zyCzyFd
. (4)
Ȼɭɞɟм
ɭɪаɜнɟния
(1)
ɮоɪмɟ
(4),
ɜключиɬɟльно
()()()()
()()()()
()()
iiii
WzyWyzy
zyCzyFdFy
WWy
=++
()()
ɫиɫɬɟмы
чɬо
поɫлɟɞнɟɟ
ɫлаɝаɟмоɟ
нɭлю
пɪоизɜоɞная
пɟɪɟпишɟɬɫя
()()
()()()
Wzy
zyCzyFd
. (4.1)
ɛɭɞɟɬ
(1)
ɜключиɬɟльно
()()
()()()
Wzy
zyCzyFd
′′′′
, (4.2)
.
(1)
(1)(1)
()()
()()()
Wzy
zyCzyFd
(4.1)
ɭчиɬыɜая
поɫлɟɞнɟɟ
ɫиɫɬɟмы
()()
()()
()()()()
Wzy
zyCzyFdFy
=++
ɜыɫокоɝо
ɞиɮɮɟɪɟнциɪоɜаниɟм
1,2,...
Заɞача
Коши
ɫоɜпаɞɟнии
поɪяɞкоɜ
ɜнɭɬɪɟннɟɝо
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
опɟɪаɬоɪоɜ
заɞачɭ
(1).
Пɭɫɬь
ɭɫлоɜия
()()
();
zxz
(0,1)
. (5)
пɪɟɞыɞɭщиɟ
ɛɭɞɟм
ɜиɞɟ
()()
()()()
Wzx
zxCzxFd
, (6.0)
()()
()()()
Wzx
zxCzxFd
, (6.1)

(1)
(1)(1)
()()
()()()
Wzx
zxCzxFd
, (6.1)
()()
()()
()()()()
Wzx
zxCzxFdFx
=++
Поɞɫɬаɜляя
ɜыɪажɟния
(6.0)-(6.1)
полɭчим
ɫиɫɬɟмɭ
(1)(1)
(),
(),
............................
Czxz
Czxz
Czxz
(7)
ɭɪаɜнɟний
нɟизɜɟɫɬными
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
ɫиɫɬɟмы
()0
(0)
10100100
10100100
(1)(1)(1)(1)(1)
10100100
10200
1020
()...()()...()
()...()()...()
.....................
()...()()...()
()()...()
()()
iim
iim
mmmmm
iim
zxzxzzxzx
zxzxzzxzx
zxzxzzxzx
zxzxzx
zxzx
−−−−−
′′′′′
(1)(1)(1)
10200
...()
............
()()...()
mmm
zxzxzx
−−−
0


полɭчɟн
ɫɬолɛца
ɞанными
пɟɪɟпишɭɬɫя
()()
()()()
()()
Wzx
zxzxFd
WxW
, (9.0)
()()
()()()
()()
Wzx
zxzxFd
WxW
, (9.1)

(1)
(1)(1)
()()
()()()
()()
Wzx
zxzxFd
WxW
()()
()()
()()()()
()()
Wzx
zxzxFdFx
WxW
=++
Опɪɟɞɟлим
ɮɭнкцию
ɮɭнкция
(9.0)
ɭɪаɜнɟния
(1).
ɜыɪажɟния
(9.0)-(9.
ɭɪаɜнɟниɟ
(1)
()()
()()()
()()
Wzx
zxFdFx
WxW
(1)
(1)
()()
()()()()...
()()
Wzx
axzxaxFd
WxW
++++
()()
()()()()
()()
nin
Wzx
axzxaxFd
WxW
(,)()0
KxyFydy
ɝɪɭппиɪɭя
полɭчим
F
W
x
z
L
W
x
F
x
z
L
x
W
x
m
i
i
n
i
i
n
m
i
i
(
)
(
)]
(
[
)
(
)
(
)]
(
[
)
(
)
(
1
0
0
()[()]
[()]()()
()()
ini
WLzx
LzxFxFd
WxW
(,)()0
KxyFydy
Оɛозначиɜ
изɜɟɫɬныɟ
ɜыɪажɟния
()()
xLzx
()[()]
(,)
ini
WLzx
полɭчим
ɭɪаɜнɟния
(1)
ɪазɪɟшающɟɟ
ɭɪаɜнɟниɟ
Вольɬɟɪɪа

()()(,)()(,)()
FxgxKxyFydyHxFd
ηηη
=−+
(10)
ɛолɟɟ
()()(,)()(,)()
xgxKxyFydyHxFd
μηηη
=++
, (11)
ɛɭɞɟм
иɫкаɬь
ɫɬɟпɟням
012
()(,)(,)(,)...(,)...
Fxxxxx
ϕμϕμOϕμOϕμO
+++++
(0,1,...)
ɮɭнкции
заɜиɫяɬ
(12)
(11)
пɪиɪаɜниɜая
оɞинакоɜыɯ
ɫɬɟпɟняɯ
полɭчим
инɬɟɝɪальныɟ
Вольɬɟɪɪа
(,)()(,)(,)
gxHxd
μμηϕημη
. (13)
(,;)

яɞɪа
ɭɪаɜнɟния
(13),
ɛɭɞɟɬ
. (14)
Аналоɝично
полɭчим
(,)
101
(,)(,)()(,)(,)
KxyydyHxd
μϕμηϕημη

()(,)(,)
gxKxyydy
, (15.1)
111
(,)()(,)(,)
gxHxd
μμηϕημη
. (13.1)
яɞɪо
(13),
запишɟɬɫя

111
(,)()(,;)()
xgx
xgd
μμημηη
. (14.1)
Аналоɝично
ɫлɟɞɭющиɟ
(12)
(,)()(,,)()
kkk
xgx
xgd
μμημηη
, (14.
()(,)(;)
gxKxyydy
, (15.
0,1,2,...
(14.0), , (14.
),
ɝɪɭппиɪɭя
полɭчим
()()()()...()...
Fxgxgxgxgx
OOO
=++++++
(,;)()()()...()...
xggggd
ημηOηOηOηη
++++++
ɮоɪмɭлы
ɮɭнкций
, (1,2,...)
()(,)(;)
xKxyydy
(,)()(,;)()
Kxygy
ygddy
μημηη
=+=
(,)()(,)(,;)()
aax
KxygydyKxy
ygddy
ημηη
∫∫∫
211
()(,)()(,)(,;)()
aax
gxKxygydyKxy
ygddy
ημηη
∫∫∫
.
()(,)()(,)(,;)()
kkk
aax
gxKxygydyKxy
ygddy
ημηη
∫∫∫
..
ɞоɫɬаɬочно
аɛɫолюɬнɭю
(12),
(,;)
(,)
KxyK
,,:
axb
ayb
ɮоɪмɭл
(14.0), , (14.
(,)()(,;)()
xgx
xgd
μμημηη
(1)
gdg
μημ
≤+≤+−
111
(,)()(,;)()
xgx
xgd
μμημηη
=+≤
()()
bxb
axa
gbady
gbadyd
μμη
≤+−++−≤
∫∫∫
()()
gbaba
gbaba
μμμ
≤+−−++−−=
(1)
baba
=+−−
(,)(1)
xKKg
babady
ϕμμ
≤⋅+−−+
(1)
babadyd
++−−≤
2222
(1)(1)
baba
baba
μμμ
≤+−−++−−=
(1)
baba
=+−−

(,)(1)
xKg
baba
ϕμμ
≤+−−
; 0,1,2,...
полɭчɟнныɯ
мажоɪиɪɭющий
(1)(1)...
baKg
baba
μOμ
+−++−−++
(1)...
kkk
baba
++−−+
пɪɟɞɫɬаɜляɟɬ
ɝɟомɟɬɪичɟɫкɭю
знамɟнаɬɟлɟм
(1)
baba
+−−
|(1
baba
×−−
(1)
baba
. (18)
ɋлɟɞоɜаɬɟльно
(12)
значɟний
ɪазɪɟшающɟɝо
ɭɪаɜнɟния
(10)
()(,)(,,)(,)
FxGx
xGd
ημηOη
, (19)
(,)()()()...()...
Gxgxgxgxgx
OOOO
=+++++
Поɞɫɬаɜляя
()
(19)
ɜыɪажɟниɟ
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟɪɟнциальноɝо
ɭɪаɜнɟния
ɪаɫɫмоɬɪɟɬь
ɞɪɭɝой
ɜиɞɟ
кɭɪɫоɜой
заɞачɭ
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟɪɟнциальноɝо
ɭɪаɜнɟния
)()(10=+′++′∫ydyyzyzxzxzO ɫ начальными
ɭɫлоɜиями
zxz
Оɛщɟɟ
ɭɪаɜнɟния
()()()
zxzxFx
()(())
zxeCeFd
оɬкɭɞа
заɞанныɯ
ɭɫлоɜияɯ
(())
zeCeFd
Cze
()()
zxzeeeFd
. (*)
пɪоизɜоɞнɭю
()()()
xxx
zxzeeeFdeeFx
=−−+=
()()
zeeeFdFx
=−−+
поɞɫɬаɜиɜ
()
zx
()
()()
xxxx
zeeeFdFxze
−−+−−
()()0
eeFdFyydy
ηηO
−+=
2()2()()0
zeFxeeFdyFydy
ηηO
−+−+=
полɭчим
ɭɪаɜнɟниɟ
()22()()
xzeeFdyFydy
ηηO
=++
()2
xze
,(,)2
Hxe
Найɞɟм
ɪɟзольɜɟнɬɭ
(,,)
яɞɪа
(,)
ɫначала
иɬɟɪиɪоɜанныɟ
яɞɪа
(,)22()
sxsx
Hxeedsex
−−−
⋅=−
(,)22()()
sxsx
Hxeesdsex
−−−
=⋅−=−

(,)()
(1)!
Hxex
.
(,;1)(,)(,)...(,)...,
xHxHxHx
ηηη
++++
2()2()2()
(,;1)21......
1!2!!
xxx
ηηη
−−−
=+++++
2()
(,;1)22
xxx
xeee
=⋅=
(12)
ɮоɪмɭлам
(14.0), .,
0000
00000
()22224
xxxxxxx
zeezedzezed
−−−+−
=+⋅=+
000
00000
()2442
xxxxxx
xxx
zezzze
+−+−
=+−=
ɮоɪмɭлɟ
(15.1)
полɭчим
000
111
10000
000
()()222
yxxx
xyydyyzedyzeyedyze
=−=−=−=−
∫∫∫
заɬɟм
ɮоɪмɭлɟ
(14.1)
100
()22(2)
xzeezed
=−+−=
0000
000
242(12)
xxxxx
zezeedzee
−−−−
=−−=−
Аналоɝично
ɮоɪмɭлɟ
()2(2)
xyx
xzeyyedy
−−=
0000
22(1)2(2)
xyxxx
zeeyzee
−−−−
−−−=−
0000
200
()(41)2(41)
xxxx
xzeeezeed
−−−−
=−+⋅−=
2
1
)(
2
1
2
(
2
0
0
x
x
x
x
e
e
z
000
()2(2)(12)
xxyx
gxyzeeedy
−−−
=−−−−=
000
2(2)(2)
xxyx
zeeyyedy
−−−
=−−=
2(2)
zee
000
()2(2)(12)
xxxx
xzeee
−−−
=−−

000
()(1)2(2)(12)
xxxx
xzeee
−−−
=−−−
..
Поɞɫɬаɜиɜ
найɞɟнныɟ
000
()22(12)
xxxxx
Fxzezee
−−−
=+−−
000
2(2)(12)...
xxxx
zeee
−−−
−−−++
000
(1)2(2)(12)...
xxxx
nnn
zeee
−−−
+−−−+=
000
2(12)1(2)...
xxxx
zeeee
−−−
=+−−−++
111
(1)(2)...
nnn
−−−
+−−+=
(12)
1(2)
zee
1
2
2
полɭчɟнноɟ
значɟниɟ
()
(*)
()()
zxzeeeFd
0000
0000
(12)
1(2)
xxxxxxx
zeeezeedzeze
−−−−−
=++=+×
(2)
1(2)
edze
×+=+
1()
1(2)
zee
++=
000
1()1()
1(2)1(2)
xxxx
xxxxx
eeee
zezeee
−−−
=++−−=
+−+−
0000
2()()
1(2)
xxxxxxx
zezeeeee
−−−−
=+−+−
00000
()2()()
1(2)
xxxxxxxxx
zxzezeeee
−−−−−
=+−+−
0000
()2()
1(2)
xxxxxxxx
zxzezeee
−−−−
=−++−
000
()()22
1(2)
xxxxx
zxzxzezee
−−−
−=−+−=
1(2)
,
(2)
1(2)
xyx
yzedy
(2)
1(2)
yye
zeyedy
=+=
2(1)(2(1))
1(2)
xyx
zeeyey
=−+−−=
1(2)1(2)
⋅+−=
+−+−
244
2(1(2))1(2)
OOOO
++−−
+−+−
ɫлɟɞоɜаɬɟльно
1(2)1(2)
zeze
−+=
+−+−
Заɞача
Коши
ɫлɭчая
коɝɞа
поɪяɞок
ɜнɭɬɪɟннɟɝо
ɞиɮɮɟɪɟнциальноɝо
опɟɪаɬоɪа
ɛольшɟ
поɪяɞка
заɞачɭ
ɭɪаɜнɟния
(1),
ɫлɭчаɟ
Пɭɫɬь
mnp
ɭɪаɜнɟния
(1)
ɛɭɞɟм
иɫкаɬь
иɫɯоɞя
ɮɭнɞамɟнɬальной
ɫиɫɬɟмы
ɜнɭɬɪɟннɟɝо
()()
()()()
Wzx
zxCzxFd
. (6.0)
()()
()()()
Wzx
zxCzxFd
, (6.1)

(1)
(1)(1)
()()
()()()
Wzx
zxCzxFd
, (6.1)
()()
()()
()()()()
Wzx
zxCzxFdFx
=++
начальныɟ
полɭчим
(1)(1)
(),
(),
............................
Czxz
Czxz
Czxz
нɟизɜɟɫɬными
поɫɬоянными
ɫоɫɬаɜлɟнной
ɫиɫɬɟмы
можно
поɫɬоянныɯ
оɫɬальныɟ
ɞальнɟйшɟм
ɮɭнкции
ɭɪаɜнɟнияɯ
ɫиɫɬɟмы
ɫлаɝаɟмыɟ
,...,
nnp
пɪаɜɭю
1102200
01100
1102200
01100
()()...()
()...() ,
()()...()
()...() ,
..............................................................
nnnpnp
nnnpnp
CzxCzxCzx
zCzxCzx
CzxCzxCzx
zCzxCzx
++++
++++
+++=
=−−−
′′′
+++=
′′′
=−−−
(1)(1)(1)
1102200
(1)(1)(1)
01100
............
()()...()
()...()
nnn
nnn
nnnpnp
CzxCzxCzx
zCzxCzx
−−−
−−−
++++
++=
°=−−−
(20)
:
0110
1010100
0110
1010100
(1)(1)
101
()...()()...()
...()
()...()()...()
...()
.....................
()...(
iin
npnp
iin
npnp
zCzx
zxzxzxzx
Czx
zCzx
zxzxzxzx
Czx
zxzx
′′′′
(1)(1)
0110
(1)(1)
0100
(1)
)()...()
...()
npnp
zCzx
zxzx
Czx
10200
10200
(1)(1)(1)
10200
()()...()
()()...()
............
()()...()
nnn
zxzxzx
zxzxzx
zxzxzx
−−−
′′′
(21)

ɮɭнкциональноɝо
опɪɟɞɟлиɬɟля
ɫоɫɬаɜлɟнноɝо
ɮɭнкций
ɮɭнɞамɟнɬальной
ɫиɫɬɟмы
ɜнɭɬɪɟннɟɝо

ɫоɫɬаɜлɟнный
чаɫɬɟй
ɫиɫɬɟмы
опɪɟɞɟлиɬɟли
ɫɭммɭ
опɪɟɞɟлиɬɟлɟй
10100100
10100100
(1)(1)(1)(1)(1)
10100100
()...()()...()
()...()()...()
.....................
()...()()...()
iin
iin
nnnnn
iin
zxzxzzxzx
zxzxzzxzx
zxzxzzxzx
−−−−−
′′′′′
Δ=−
101010100
101010100
(1)(1)(1)(1)(1)
101010100
()...()()()...()
()...()()()...()
.....................
()...()()()...()
inin
inin
nnnnn
inin
zxzxzxzxzx
zxzxzxzxzx
zxzxzxzxzx
−++
−++
−−−−−
−++
′′′′′
..
10100100
10100100
(1)(1)(1)(1)(1)
10100100
()...()()()...()
()...()()()...()
.....................
()...()()()...()
inpin
inpin
nnnnn
inpin
zxzxzxzxzx
zxzxzxzxzx
zxzxzxzxzx
−++
−++
−−−−−
−++
′′′′′
поɫлɟɞнɟй
ɫɭммɟ
опɪɟɞɟлиɬɟли
0
i
10111
0100
()()....()
ininpi
CxCx
Δ−Δ−−Δ
Поɞɫɬаɜим
значɟниɟ
()()
()()()
()()
Wzx
zxzxFd
WxW
,
()()
()()()
()()
Wzx
zxzxFd
WxW
(23)
(1)
(1)(1)
()()
()()()
()()
Wzx
zxzxFd
WxW
()()
()()
()()()()
()()
Wzx
zxzxFdFx
WxW
=++
ɜычиɫлим
()()
()()()
()()
Wzx
LzxzxFd
WxW
=++
(1)
()()
axzx
(1)
()()
()()...
Wzx
axFd
()()
()()()()
()()
nin
Wzx
axzxaxFd
WxW
++=
()[()]
[()]()
()()
ini
WLzx
LzxFd
WxW
()(,)()
xHxFd
()[()]
xLzx
()[()]
(,)
ini
WLzx
ɭɪаɜнɟниɟ
запишɟɬɫя
()(,)()(,)()0
gxHxFdKxyFydy
ηηηO
++=
ɪазɪɟшающɟɟ
ɫмɟшанноɟ

()(,)()(,)()0
gxHxFdKxyFydy
μηηηO
++=
. (25)
ɋначала
пɪоɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟм
ɫɜɟɞɟм
()(,)()
gxHxxFx
(,)()(,)()0
HxFdKxyFydy
μηηηO
++=
. (26)
(,)0
Hxx
), (,)
нɟпɪɟɪыɜныɟ
a,b],
(,)0
Hxx
полɭчим
(,)(,)
()()()
(,)(,)(,)
KxyHx
xFydyFd
HxxHxxHxx
=−−−
(,)0
Hxx
поɪ
(1)
(,)0
Hxx
Вɜɟɞɟм
(,)
Hxx
(,)
(,)
(,)
Kxy
Kxy
Hxx
(,)
(,)
(,)
Hxx
полɭчим
ɭɪаɜнɟниɟ
ɜиɞа
. (28)
Пɭɫɬь
(,,1)

(,)
аналоɝично
полɭчим
()(,)(,;1) (,),
xGxRxGd
ηηOη
(29)

****2*
(,)()()()...()...,
Gxgxgxgxgx
OOOO
=+++++
(30)
()(,)(),1,2,...,
gxKxyydyk
(31)
(,)()(,;1)(),1,2,...
kkk
xgxRxgdk
ϕμηηη
=+=
. (32)
положиɬь
()()
xgx
ɪɟкɭɪɪɟнɬныɟ
ɮоɪмɭлы
наɯожɞɟния
(),1,2,...
gxk
запишɭɬɫя
***
()(,)()
gxKxygydy
(,)(,,1)()
KxyRygddy
ηηη
. (33)
.
(30)
значɟний

x
a
x
y
a

(,)
Hxx
y
x
K
,
(
(,,1)
моɞɭлю
ɮоɪмɭл
(33)
aax
xMNQNdyMNRQNddy
≤⋅+≤
∫∫∫
(1)
NQbaRba
≤−+−
()(1)
xMNMNQbaRbady
≤⋅−+−+
(1)
NRMNQbaRbaddy
μμη
+−+−≤
2323
(1)(1)
NQbaRbaMNQRbaRba
μμμ
≤−+−+−+−=
..
.
ɋоɫɬаɜляɟм
мажоɪиɪɭющий
(1)...
QNMNQbaRba
+−+−++
(1)...
kkkk
MNQbaRba
+−+−+
ɫоɫɬаɜлɟнный
члɟноɜ
ɛɭɞɟɬ
ɫɯоɞиɬьɫя
ɞля
(1)
NQbaRba
−+−
(34)
ɫлɟɞоɜаɬɟльно
(30)
значɟний
ɛɭɞɟɬ
ɫɯоɞиɬьɫя
(29)
ɜойɞɭɬ
поɫɬоянныɟ
,...,
nnp
чɬоɛы
(29)
ɭɞоɜлɟɬɜоɪяло
ɭɪаɜнɟнию
(25).
ɫɞɟлаɬь
,1,
10111
0100
()()....()
()()()
ininpi
ini
xCxCx
gxCLzxLzx
Δ−Δ−−Δ
==+
()...
ini
CLzx
[][]
1011
()()
()()()...
()()
ninnnni
LzxCLzxLzx
WxWx
=+−++
()()
npnnpni
CLzxLzx
+−=
01122
()()()...()
nnnpp
dxCdxCdxCdx
+++
=−−−−
()()
dxLzx
()()()
nnni
dxLzxLzx
()()()
pnnpni
dxLzxLzx
Найɞɟм
пɪоизɜоɞнɭю
ɮɭнкции
(
...
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
1
0
d
C
x
d
C
x
d
C
x
d
x
g
p
n
n
n
ɮоɪмɭл
(27)
(33)

ɮɭнкции
01122
()()()...()
(,)
nnnpp
dxCdxCdxCdx
Hxx
+++
′′′′
++++
=−=
(,)(,)
xxHxx
=++
+
+

...
(,)(,)
nnp
HxxHxx
++=
+
+
***
()(,)()
xKxygydy
(,)(,;1)()
KxyRygddy
μηηη

(,)
(,)(,)
KxyC
HyyHyy
=++
+
+
(,)(,)
nnp
CCdy
HyyHyy
++++
+
+
(,)(,;1)
(,)(,)
KxyRyC
μηημηη
+++
+
+
...
(,)(,)
nnp
CCddy
μηημηη
+++=
+
+
()()
()()
(,)(,)(,;1)
(,)(,)
AyA
aax
dyd
KxydyKxyRyddy
HyyH
μμηη
=++
∫∫∫
+
+
()()
()()
(,)(,)(,;1)
(,)(,)
AyA
aax
dyd
CKxydyKxyRyddy
HyyH
μμηη
+++
∫∫∫
+
+

()()
()()
(,)(,)(,;1)
(,)(,)
aax
dyd
CKxydyKxyRyddy
HyyH
μμηη
++=
∫∫∫
+
+
101112121
()()()...()
nnnpp
AxCAxCAxCAx
+++
=++++
1011121
(),(),(),...,()
AxAxAxAx
кɜаɞɪаɬныɯ
Аналоɝично
****
211
()(,)()(,;1)()
xKxygyRygddydy
ηηη
=+=

x
p
b
a
b
a
p
p
n
d
A
y
R
y
x
K
dy
y
A
y
x
K
C
(
)
1
;
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
*
1
*
(
...
)
(
)
(
)
(
22
2
21
1
20
A
C
x
A
C
x
A
C
x
A
p
n
n
n
20212
(),(),...,()
AxAxAx
кɜаɞɪаɬныɯ


..
..
ɮоɪмɭлɟ
(30)
(
...
)
(
)
(
)
(
12
2
11
1
10
A
C
x
A
C
x
A
C
x
A
p
n
n
n

ɞоказано
пɟɪɟɝɪɭппиɪоɜаɬь
0010200
(,)[()()()...()...]
GxAxAxAxAx
OOOO
=++++++
10111211
[()()()...()...]
CAxAxAxAx
OOO
++++++
20212222
[()()()...()...]
CAxAxAxAx
OOO
+++++++

012
[()()()...()...]
nppppkp
CAxAxAxAx
OOO
++++++=
(
...
)
(
)
(
1
0
G
C
x
G
C
x
G
p
n
n
чɟɪɟз
(),(),...,()
GxGxGx
ɫкоɛкаɯ
окончаɬɟльно
ɮоɪмɭлɟ
()(,)(,;1)(,)
FxGxRxGd
ηηOη
=+=
011
()()...()
nnpp
GxCGxCGx
=++++
011
(,;1)()()...()
nnpp
RxGCGCGd
ηηηη
+++=
()(,;1)()
GxRxGd
ηηη
=++
111
()(,;1)()...
GxRxGd
ηηη
++++
()(,;1)()
ppp
GxRxGd
ηηη
++=
011
()()...()
nnpp
xCExCEx
=+++
чɟɪɟз
(),(),...,()
xExEx
кɜаɞɪаɬныɯ
ɜыɪажɟниɟ
ɞля
ɜычиɫлɟнноɟ
значɟниɟ
ɮоɪмɭлам
01122
()()()...()
nnnpp
dxCdxCdxCdx
+++
+++++
011
(,)()()...()
nnpp
HxECECEd
ηηηηη
++++
011
(,)()()...() 0
nnpp
KxyEyCEyCEydy
++++=
ɫлаɝаɟмыɟ
найɞɟм
.
Оɬкɭɞа
оɛозначиɜ
кɜаɞɪаɬныɟ
(),(),...,()
−ΦΦΦ
полɭчим
011
()()...()0
nnpp
xCxCx
−Φ+Φ++Φ=
110
()...()()
nnpp
CxCxx
++Φ=Φ
ɜыполняɬьɫя
ɬожɞɟɫɬɜɟнно
Пɪоɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟм
полɭчɟнныɟ
значɟниɟ
полɭчим
ɭɪаɜнɟний
нɟизɜɟɫɬными
поɫɬоянными
11022000
110220000
(1)(
11022
()()...()() ,
()()...()() ,
....................................................................................
nnn
nnn
CxCxCx
CxCxCx
CxC
+++
+++
Φ+Φ++Φ=Φ
′′′′
Φ+Φ++Φ=Φ
Φ+Φ
1)(10
(10
()...()
() .
xCx
+Φ=
ɫиɫɬɟмы
10200
10200
(1)(1)(1)
10200
()()...()
()()...()
............
()()...()
ppp
xxx
xxx
xxx
−−−
ΦΦΦ
′′′
ΦΦΦ
ΦΦΦ
()0
(0,1,2,...,1)
поɫɬоянныɟ
,,...,
nnnp
ɋɋɋ
+++
ɟɞинɫɬɜɟнным
ɜɫɟ
()0
ɟɞинɫɬɜɟнноɫɬи
нɟоɛɯоɞимо
чɬоɛы
опɪɟɞɟлиɬɟль
нɭлю
пɪимɟɪоɜ
как
ɮɭнкции
(),(),...,()
ΦΦΦ
ɛɭɞɭɬ
ɭɪаɜнɟния
()()[()()] 0
zxzxxzyzyydy
′′′′
−++=
начальныɯ
ɭɫлоɜияɯ
()1
zxz
()()()
zxzxFx
′′′
ɪɟшɟниɟ
ɭɪаɜнɟния
()()0
zxzx
0
k
0
1
пɪоизɜольной
нɟоɞноɪоɞноɝо
10 ,
0() ,
CCe
CCeFx
⋅+=
⋅−=
CFx
CFx
оɬкɭɞа
(),
Wxe
()1,
ɭɪаɜнɟния
ɛɭɞɟм
()()
eFd
−⋅+⋅
=++=
, (**)
оɬкɭɞа
CCe
ɭɪаɜнɟниɟ
212
xxx
eeFd
−−−
−+−−−
(1)()()0
eFdyFydy
ηηO
−++=
полɭчим
ɭɪаɜнɟниɟ
12(21)()()0
eeFdxyFydy
ηηO
−−+−+=
2
)
,
(
x
H
)
,
(
y
x
K
2
)
(
x
C
x
g
1
)
,
(
x
H
)
,
(
y
x
K
ɮоɪмɭлам
x
C
e
C
x
g
2
*
1
1
2
)
(
y
y
x
K
1
1
)
,
(
ɫначала
иɬɟɪиɪоɜанныɟ

x
s
x
s
e
ds
e
e
x
H
(
!
1
2
2
2
)
,
(
*
2
.
r
r
x
r
r
r
e
r
ds
s
H
x
s
H
x
H
1
(
)
(
)!
1
(
2
)
,
(
)
,
(
)
,
(
1
*
ɮоɪмɭлам
опɪɟɞɟлим
();1,2,3,...
gxk
CyedyCyeddy
=+=
∫∫∫
2(1)4
CeyCydy
=−−+=
222
422()
CeCCyeedy
=−+−−=
2222
422[21]2
CeCCeeCe
=−+−−+−=
CeydyCeyeddy
=−−=
∫∫∫
CeCeyedy
−+=

000
4(1)
xxyx
CeCeyedy
−−−
−+−=
000
4(1)
xxyx
CeCeey
−−−
=−+−−=
000
xxx
CeCee
−−−
−+−=
00000
2232
2222
24(14)
xxxx
CeCeCeCee
−−−−−
−+−=−
()()(14)
gxyCeedy
−−+
()2(14)
yeCeeddy
−−=
000
(14)2()
xxx
Ceee
−−−
=−−−−=
00000
(14(2)(14)
xxxxx
CeeeCee
−−−−−
=−−−+=−

..
Найɞɟнныɟ
значɟния
000
222
(,)22(14)
xxx
GxCeCeCee
OOO
−−−
=−++−+
(14)...
Cee
+−++
(14)....2
kkx
CeeCe
+−+=−+
000
14(14)(14)
21......
222
xxx
eee
OOOO
−−−
−−−
++++++=
4
1
(
2
4
2
2
4
1
1
2
2
0
0
0
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
e
C
e
C
e
e
C
e
C


()2
2(14)
FxCe
=−++
1
2(14)
eCed
−+=
1
2(4)2
xxx
CeaCedaed
−−−
=−++−+=
242
CeaCae
−+−−=
0000
222
22()2(1)2()
xxxxxxx
CeaCeeaeeaCea
−−−−
=−++−−−=−−
Найɞɟм
ɭɫлоɜия
ɭɞоɜлɟɬɜоɪяло
ɪазɪɟшающɟмɭ
положиɜ
0000
2202
122() 0
xxyxx
eCexyeaCeady
−−−−
−−+−−=
000
202
12() 0
xyxx
exyeaCeaydy
−−−
−+−−=
2
)
(
)
1
(
2
1
0
2
0
1
0
2
0
2
0
0
a
x
e
C
a
e
y
x
e
x
y
x
2
)
(
2
1
2
0
2
0
0
x
e
C
a
e
x
e
x
x
2
2
2
1
2
2
0
0
2
0
0
x
e
C
x
a
e
x
e
x
x
2(14)
exe
−−+−
2(14)
xCe
−−=
(2)1
2424
exex
Cexe
OOO
−+−−=
−+−+
0000
248
xxxx
eeexe
OOO
−−−−
−+−+−
0000
2232
222
0000
4282
xxxx
xexexexe
OOOO
−−−−
−+−−
000
000
24(24)
[(2)44](2)4(1)
xxx
xxx
eee
eexex
OOOO
OOOOO
−+−+
−+−−−−+
[(2)4]
(2)4(1)
−++
ɮоɪмɭлɟ
1222
()(1)()1
xxx
eeFd
−−−
=++−=−++
000
222
(1)2() 1
xxx
eeaCead
−−−
++−−=−++
0000
2()2()
xxxxx
eaCeaeaCeaed
−−−−−
+−−−−+=
−++
0000
2()()
xxxxx
eaCeaeaCeae
−−−−−
+−−−−+=

000
222
1[2()
xxxx
eeaCeax
−−−
=−++−−−
000
()2()
xxxx
eaCeaaCe
−−−
−−+−−+

000
()]
xxxxx
axeaCeae
−−−
+−+=
000
220
()1]
xxxx
eaCeCeaxaax
−−−
=−+−−++=

000
2(14)
xxxx
eCeCe
−−−
−+−
(1)1
2(14)
−+−+=
4(2)4
(2)4
−−−

(1)1
(2)4
exx
−+−+=
(2)4
(2)4(1)
=−×
−++
000
4(1)
(2)
[(2)4](2)4
xxx
exx
eee
OOOO
×+−+=
−+−+
(2)4
(2)4(1)
=−×
−++
(2)(2)44(1)
[(2)4]
eexx
OOOO
−+−+−+−
×+=
(2)(2)4
(2)
−−−−−+
4(1)(2)4(1)
4(1)
xex
OOO
++−+−++
Нɟɬɪɭɞно
найɞɟнноɟ
ɬожɞɟɫɬɜɟнно
ɭɞоɜлɟɬɜоɪяɟɬ
заɞачɟ
кɪомɟ
0
x
Ɋɟшɟниɟ
линɟйныɯ
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
ɮɭнɞамɟнɬальныɯ
ɪɟшɟний
ɜнɟшнɟɝо
ɜнɭɬɪɟннɟɝо
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
Пɪɟоɛɪазоɜания
ɜнɭɬɪɟннɟɝо
опɟɪаɬоɪоɜ
[()](,)[()]0
LzxKxyPzydy
, (1)
()()
[()]()...()()
dzxdzx
Lzxaxaxzx
dxdx
=+++
()()
[()]()()...()()
dzydzy
Pzybybybyzy
dydy
=+++
.
()()
zxux
, (2.0)
, (2.1)
a,b] пɪи наɯожɞɟнии

значɟниɟ
заɞачи
ɮоɪмɭлɟ
, (2.2)
000
(3)22
0203
()()()()
xxx
xxx
zxudxxCxxC
=+−+−+=
0
1
2
(
!
2
)
(
)
(
2
1
x
C
d
u
x
x
)
(
0
2
x
x
C
(2.3)

()(())
()()
mnnm
zxzx
()()()
(1)!(1)!
nmnm
xudxx
nmnm
ηηη
−−−−
−+−+
−−−−
(1)((1))
()()
mnnm
zxzx
−−−+

()()()
()!()!
nmnm
xudxx
nmnm
ηηη
−+−+

()()()
(2)!(2)!
Cxx
zxxud
ηηη
=−++
201
...()
CxxC
+−+
, (2.
()()()
(1)!(1)!
Cxx
zxxud
ηηη
=−++
...()
CxxC
+−+
. (2.
Найɞɟм
Lzx
поɞɫɬаɜиɜ
полɭчɟнныɟ
ɜыɪажɟния
ɞля
()
(),....,()
zxzx
111
()()()()()
LzxuxaxudaxC
=+++

22102
()()()()[()]
axxudaxCxxC
ηηη
+−+−++
30203
()()()[()()]
22!
xudaxxxCxxC
ηηη
+−+−+−++
...()()
(2)!
xud
+−+
100
()[()()
(2)!(3)!
axxxxx
+−+−+
201
...()]()()
(1)!
CxxCxud
++−++−+
()[()()
(1)!(2)!
axxxxx
+−+−+
...()]
CxxC
+−+=
()()()()
uxaxaxx
=++−+
()()
()...()()
2!(1)!
axax
xxud
ηηη
+−++−+
112102
[()()(())
axCaxCxxC
++−++
30203
()(()())...
axxxCxxC
−+−+++
()(()
(1)!
axxx
+−+
010
()...())]
(2)!
xCxxC
+−++−+
Вɜɟɞɟм
112
(,)()()()
Hxaxaxx
−=+−+
()()
()...()
2!(1)!
axax
+−++−

1112102
()()()[()]
gxaxCaxCxxC
=+−++
30203
()[()()]...
axxxCxxC
−+−+++
()[()
(1)!
axxx
+−+
010
()...()]
(2)!
xCxxC
+−++−+
ɞля
Lzx
()()(,)()()
LzxuxHxudgx
ηηη
=−+
. (4)
Pzy
()()()
(1)!
Pzyyud
=−+
1020
()()
()[...
(1)!(2)!
nmnm
CyxCyx
nmnm
−−−−
++++
−−−−
()]()()
()!
nmnm
CyxCyud
−−−
+−++−+
1020
()()
()[
()!(1)!
nmnm
CyxCyx
nmnm
−−−
−−−
...]...()()
(2)!
Cyud
++++−+
1020
()()
()[...
(2)!(3)!
CyxCyx
+++
]()()
(1)!
Cyud
++−+

1020
()()
()[...]
(1)!(2)!
CyxCyx
byC
++++
Pzy
(,)()()
Hyudgy
ηηη
=−+
, (5)

(,)()
(1)!
Hyy
−=−+
()...()
()!(1)!
nmn
nmn
+−++−
1020
()()
()()[
(1)!(2)!
nmnm
CyxCyx
gyby
nmnm
−−−−
−−−−
...()]
nmnm
CyxC
−−−
+−++
]
...
)!
1
(
)
(
)!
(
)
(
)[
(
2
0
2
0
1
1
m
n
m
n
m
n
m
n
x
y
C
m
n
x
y
C
y
b
(202101nnnmCnxyCnxyCyb++−−+−−+−−. (6)
.
ɪазɪɟшающɟɝо
инɬɟɝɪальноɝо
ɭɪаɜнɟния
ɪɟшɟниɟ
Поɞɫɬаɜиɜ
(4)
ɭɪаɜнɟниɟ
полɭчим
()(,)()()
uxHxudgx
ηηη
−−+
(,)[(,)]()() 0
KxyHyudgydy
Oηηη
+−+=
()(,)()()
xKxygydygx
−+=−
, (7)
ɪазɪɟшающɟмɭ
ɫмɟшанноɝо
Вольɬɟɪɪа
()()(,)()
uxgxHxud
(,)(,) ()
KxyHyuddy
ηηη
ɭɪаɜнɟния
иɫкаɬь
. (9)
ɭɪаɜнɟниɟ


()(,)()
xKxygydy
=−+

2012
(,)[()()()...()...]
Hxd
ϕηOϕηOϕηOϕηη
+++++++
2012
(,)(,)[()()()...
KxyHy
OηϕηOϕηOϕη
+++++
()...]
ddy
ϕηη
ɫɬɟпɟняɯ
полɭчим
инɬɟɝɪальныɯ
ɭɪаɜнɟний
Вольɬɟɪа
0110
2011
22112
()()(,)() ,
()(,)()
(,)(,)()(,)(),
()(,)(,)()(,)(),
.........................
axx
axx
xgxHxd
xKxygydy
KxyHyddyHxd
xKxyHyddyHxd
ϕηϕηη
ϕηηηϕηη
ηϕηηηϕηη
=−+
∫∫∫
∫∫∫
211
....................................................
()(,)(,)()(,)(),
.............................................................................
kkk
axx
KxyHyddyHxd
ηϕηηηϕηη
∫∫∫
Вɜɟɞɟм
()()
qxgx
1220
()(,)[()(,)()]
qxKxygyHyddy
ηϕηη
=−+
221
()(,)(,)()
qxKxyHyddy
ϕηη
()(,)(,)()
qxKxyHyddy
ϕηη
, (11)
.. ,
ɫиɫɬɟма
0010
1111
()()(,)(),
()()(,)(),
.........................................................
()()(,)(),
..................................................
kkk
xqxHxd
xqxHxd
xqxHxd
ηϕηη
ηϕηη
ηϕηη
........
(12)
(,;1)
ɪɟзольɜɟнɬа
яɞɪа
(,)
ɫиɫɬɟмы
запишɟɬɫя
000
111
()()(,;1)(),
()()(,;1)(),
..........................................................
()()(,;1)(),
..............................................
kkk
xqx
xqd
xqx
xqd
xqx
xqd
ηηη
ϕηηη
ηηη
.............
(13)
Поɞɫɬаɜляя
, 0,1,2,...
(13)
(11),
полɭчим
ɮоɪмɭлы
0,1,2,...
()()
qxgx
12200
()(,){()(,)[()(,;1)()]}
axx
qxKxygyHyq
tqtdtddy
ηηηη
=−++
∫∫∫
2211
()(,)(,)[()(,;1)()]
axx
qxKxyHyq
tqtdtddy
ηηη
∫∫∫

,(),()(112ηηηηη, (14)
Опɪɟɞɟлиɜ
ɮоɪмɭлам
(14)
0,1,2,...
ɭɪаɜнɟния
)()1;,()()(001100xxxxdqxГxqdqxГxqxuηηηOηηη 0...[()(,;1)()]...
xqd
Oηηη
++++=
011
()()()...()...
qxqxqxqx
OOO
=++++++
1;,(1210ηOOOη. Вɜоɞя оɛозначɟниɟ ...)(...)()()(),(1210+++++=xqxqxqxqxQkkOOOO , (15)
пɟɪɟпишɟм
. (16)
ɫɯоɞимоɫɬь
оɝɪаничɟния
x
g
)
(
x
q
)
(
y
x
K
)
,
(
y
H
)
,
(
x
t
)
1
;
,
(
x
a
y
a
x
x
x
a
ɮоɪмɭлам
12200
()(,){()(,)[()(,;1)()]}
axx
qxKxygyHyq
tqtdtddy
ηηηη
=−++≤
∫∫∫
{[]}
axx
KgHq
qdtddy
≤++≤
∫∫∫
KgHq
qbababa
≤++−−−=
KbaM
b
a
b
Hq
g
M
]
1
[

2211
()(,)(,)[()(,;1)()]
axx
qxKxyHyq
tqtdtddy
ηηηη
∫∫∫
ybaxx
KHKbaM
KbaMdtddy
≤−+−≤
∫∫∫

(1)
KHbaM
−+−
.
.............
ɋоɫɬаɜляɟм
мажоɪиɪɭющий
(1)...
qKbaMKHbaM
+−+−+−++
(1)...
kkkk
KHbaM
+−+−+
ɫоɫɬаɜлɟнный
члɟноɜ
. (17)
ɋлɟɞоɜаɬɟльно
ɪяɞ
(15)
ɫɯоɞиɬɫя
аɛɫолюɬно
Поɞɫɬаɜляя
(16)
(2.
полɭчим
(1).
Оɝɪаничɟния
ɜозникли
пɪимɟнɟния
ɜиɞно
полɭчɟнныɟ
замкнɭɬом
ɜиɞɟ
ɭɞоɜлɟɬɜоɪяюɬ
кɪомɟ
Ɋɟшɟниɟ
начальной
заɞачɭ
ɫлɭчая
Иɫпользɭя
начальныɟ
(2.0)-(2.
. (18)
Поɞɫɬаɜляя
найɞɟнныɟ
значɟния
ɮоɪмɭлой
(2.n),
ɮоɪмɭлɟ
(16),
полɭчим
ɪɟшɟниɟ
заɞачи
ɫлɭчаɟ
nmp
заɞачи
как
. I, 4,
ɭɪаɜнɟниɟ
(1)
поɫɬоянныɟ
,...,
nnp
поɫлɟɞоɜаɬɟльном
ɞиɮɮɟɪɟнциɪоɜании
ɭɪаɜнɟниɟ
)()(10=+′−′+′′∫dyyzyzxxzxzO ɫ начальными
ɭɫлоɜиями
)
0
(
ɮоɪмɭлам
102
()()()
zxudCxxC
=+−+=
102
()()()
udCxxC
ηηη
−+−+
. (2.2*)
Поɞɫɬаɜляɟм
начальныɟ
ɮоɪмɭлами
(3), (6)
(7)
ɫоɫɬаɜим
ɪазɪɟшающɟɟ
ɭɪаɜнɟниɟ
x
H
]
[
)
(
1
x
g
21121
(,)()()
(211)!(21)!
Hyyy
ηηη
−−−
=−−+−=
−−−
1()1
=−−−=−−
1
1
2
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
1
2
(
)!
1
2
(
1
)!
1
1
2
(
1
)
(
y
C
y
C
y
C
y
g
1
1
()()()()
xgxxgydy
=−−=
1()(2)1(2)1
ydyxyx
OOO
−−−+=−++=−
000
()1()(1)()(1)()
uxxxyuddyud
Oηηηηη
=−+−−−+−
∫∫∫
Найɞɟм
ɪɟзольɜɟнɬɭ
H
ɜычиɫлиɜ
ɫначала
иɬɟɪиɪоɜанныɟ
(,)(1)()()
Hxsdssds
ηηη
−−=−=
22222
()()()
222222
sxx
sxxx
ηηηη
=−=−−+=−−+=−−

22333
()()
2333!
xxx
ηηηη
=−+−−+=−
.
.
(,;1)1()()
xxx
ηηη
=−+−−−+
1(1)
()...()...
3!(1)!
−−+−+
(9)
ɮоɪмɭлам
(13),
0,1,2,...
ɮоɪмɭлам
()(){(2)(1)()}
qxxyyddy
ηϕηη
=−−++−−=
(1)()
xyddy
ηϕηη
+−+=
(1)()
xyeddy
=+−+−=
((1))
xyeeedy
ηηη
−−−
++−−+=
(11)
yyyy
xyeyeeeydy
−−−−
=+−+−−+−=

2222
xxx
−=−=
,
()2()222(1)
yxyx
xxeydyxey
=+−=−−=
2(1)
0000
()()(1)()2(1)(1)
qxxyddyxyeddy
ηϕηηηη
−−−=−+−=
∫∫∫∫
2(1)
xdyyyeeed
ηηη
−−−
=−+−+−=
2((1))
yyeeedy
ηηη
ηηη
−−−
=−+++−−+=
2((1)11)
yyy
yyyeyeeydy
−−−
=−+++−−+−+−=
236
yyx
xdyx
===
()()(1)
3333
yxyx
xyx
xedyey
+−=−−=
112
(1)(1)
3336
=−−−=−
1
3
2
)
(
)
1
(
)
(
)
(
x
dy
d
y
x
x
q
2222
2222
()()(1)
6666
yxyx
xyx
xedyey
+−=−−=
2222
2222
(1)(1)
6666
=−−−=−
..
.. .
ɭɪаɜнɟния
()2(1)(1)...(1)...
xxxxk
uxeeee
OOO
−−−−
=−+−+−++−+=
2(1)(1......)
666
OOO
=−+−+++++=
112
2(1)(1)
xxx
eeee
−−−−
=−+−=−+−
()(1)
uxee
=−+−
(2.2*)
ɭчиɬыɜая
полɭчим
ɪɟшɟниɟ
ɭɪаɜнɟния
()()[(1)]1
zxxeedx
=−−+−++=
)]
(
6
12
)
1
(
6
12
[
d
e
e
e
x
xe
[()(1)
xeee
ηηη
−−−
=+++−−−
()]1
eex
−++++=
1212
xxxx
xeexee
−−−−
=++−−−
12121212
62666
eex
OOOO
OOO
−⋅−−−−+
−−−−
126121212
112
66666
xexe
OOOOO
OOOOO
++++=−−+−+
−−−−−
()(1)2
zxexe
=−−+−+
x
e
x
x
z
)
1
(
6
12
)
(
x
e
x
z
)
1
(
6
12
)
(
[()()]
zyzydy
1212
[(1)(1)2]
662
yyyy
yeeeyedy
−−−−
=+−++−−+−+=
62212
[2](2)(2)
6666
xydyxyyx
OOO
OOO
OOO
=+=+=+=
−−−−
1212
.
инɬɟɝɪо
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
заɞачɭ
ɭɪаɜнɟния
,
0
()(n)
(, P
(η)] = ∑=−miimiyb0)()()(ηη. Фɭнкции
f(x), f
а яɞɪо K(x,
кɜаɞɪаɬɟ
≤x; η≤b]. Вɜɟɞём ноɜɭю
ɮɭнкцию
(n)
x
x
i
n
t
u
i
n
t
x
(
)!
1
(
)
(
i
n
k
k
i
n
x
k
c
)
(
!
1
0
,
0
(0)
(x) = y(x).
положиɬь
n-i
()чɟɪɟз ноɜɭю
нɟизɜɟɫɬнɭю
ɮɭнкцию
ɛɭɞɟɬ
[y(x)] = u(x)- )
i
i
i
t
x
x
f
1
1
(
)
(
)
(
i
n
i
i
k
k
i
x
k
i
c
x
f
(
)!
(
)
(
ɜнɭɬɪɟннɟɝо
(η)] чɟɪɟз
ноɜɭю
нɟизɜɟɫɬнɭю
ɮɭнкцию
u(x)
ɛɭɞɟɬ
ɜнɭɬɪɟннɟɝо
ɫлɭчаɟ
ɜнɭɬɪɟннɟɝо
ɞиɮɮɟɪɟнциальноɝо
ноɜɭю
нɟизɜɟɫɬнɭю
ɮɭнкцию
ɛɭɞɟɬ
(η)] =)
i
i
m
n
i
m
n
t
b
1
1
(
)
)(
(
(3)
ɭɪаɜнɟниɟ
(1),
полɭчим
ɭɪаɜнɟниɟ
Пɭɫɬь
(x)+
ɭɪаɜнɟнию
опɟɪаɬоɪ
()∫xxdttutxH0)(),(2, пɪиɞём к инɬɟɝɪальномɭ
ɭɪаɜнɟнию
()2(x)+ Ȝ∫baduVxKηηη)]([),(2, (7) ɝɞɟ Q2(x) = ∫xxdttQtxH0)(),(12, K2(x,η) = ∫xxdttKtxH0),(),(12η. Еɫли К2(x,η)-ɪɟɝɭляɪная ɮɭнкция
R,
ɭɪаɜнɟнию
(7)
полноɫɬью
[33],
оɫноɜании
моɝɭɬ
ɫлɟɞɭющиɟ
1.
чиɫлом
ɭɪаɜнɟния
(1)
(x)+
D(
,s;
2.
ɫоɛɫɬɜɟнноɟ
яɞɪа
ɪанɝа
q,
ɭɪаɜнɟния
(1),
ɮɭнкции
полнɭю
ɮɭнɞамɟнɬальныɯ
ɮɭнкций
пɪинаɞлɟжащɭю
ɫоɛɫɬɜɟнномɭ
чиɫлɭ
ɭɪаɜнɟния
(1)
ɭɫлоɜиями
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
заɜиɫиɬ
поɫɬоянныɯ
(2)
ɮɭнкциɟй
ɪаɜной
(x)+
,(+ +Ȝ∫∫babadsdsQsNxKηηη)(),(),(21, (9) ɝɞɟ ci-пɪоизɜольныɟ поɫɬоянныɟ, φi(x)-полная ɫиɫɬɟма ɮɭнɞамɟнɬальныɯ
ɮɭнкций
пɪинаɞлɟжащая
чиɫлɭ
N(
ɜнɟшнɟɝо
Пɭɫɬь
m, m=n+p, p
ɞля
ɜнɭɬɪɟннɟɝо
полɭчим
i
i
j
j
i
j
i
p
i
x
c
b
(
)
(
)
(
(3)
(10)
ɭɪаɜнɟниɟ
(1),
ɭɪаɜнɟнию
Пɭɫɬь
,(0, (12) ɝɞɟ F1(x)=F(x)+
(, K
)= K(x,
()∑∫=−+pixxipidttutxHxuxb03)(0)(),()()( к ɭɪаɜнɟнию
(12),
ɭɪаɜнɟнию
()2(x)+ Ȝ∫baduVxKηηη)]([),(3, (13) ɝɞɟ F2(x) = ∑∫=−+pixxipidttFtxHxFxb013)(10)(),()()(,
ɭɪаɜнɟниɟ
(13)
()ɜ (12),
u(x)
ɫооɬɜɟɬɫɬɜии
(2)
i=0,
ɭɪаɜнɟния
ɫлɭчаɟ
 nm,
моɝɭɬ
ɫɮоɪмɭлиɪоɜаны
аналоɝичныɟ
R(x,t;1)
замкнɭɬом
можно
ɭɪаɜнɟния
ɫлɭчаɟ
 nm.
Пɭɫɬь
|R(x,t;1)-
(x,t;1)|
b, a
tx,
r-
чɟɪɟз
(
Q
,
(
K
(
Q

,
(
ɫооɬɜɟɬɫɬɜɟнно
(x), K
), Q
ɭчиɬыɜая
оцɟнкɭ
оцɟним
(x)-
max;
,
(
(x)-
(
Q
|
x
x
b
x
a
t
x
H
)
,
(
|
max
,
(
яɞɪа
ɭɪаɜнɟния
[20],
поɝɪɟшноɫɬь
ɭɪаɜнɟния
|V[u(x)]-
)]
(
[
x
u
V
N = |
)
(
|
max
Q
x
a
h=
|b-a|,
x
a
b
x
a
)
;
,
(
|
max
значɟниɟ
),
= |
|=rl
иɫпользɭя
полɭчим
| u(x)-
+rl
(2)
i=0,
ɭчиɬыɜая
| y(x)-
1
(
)]
(
|
|
[
5
2
4
1
l
l
rl
l
rl
Нɟɬɪɭɞно
(21),
r,
ɬак
h,
ɫлɟɞоɜаɬɟльно
(19),
ɜыɪажаюɬɫя
r
ɭɪаɜнɟния
1

(0)=0.
(.
(5)
наɯоɞим
Q(x) = (
-1)x, H
(x,t) = x(t-x)
-t.
Иɫпользɭя
(x,t;1)=H
(x,t)+H
|R(x,t;1)-
(x,t;1)|
оɛозначɟниями
наɯоɞим
(
Q
6
4
x
,
(
K
6
4
x
(
Q
180
6
6
3
x
x
,
(
K
яɞɪа
,
(
K
;
(
)
;
,
(
x
D
ɭɪаɜнɟния
запишɟɬɫя
a = 1+
ɭɪаɜнɟния
(7)
(6)
37087
a
полɭчɟнноɝо
(21),
|y(x)-
5. Пɪиɛлижённоɟ ɪɟшɟниɟ заɞачи Коши пɪи n≤m. Найɞём оцɟнкɭ
ɪɟшɟния
ɫлɭчаɟ
m, n=m+p.
(x,t;1),
,
(
K
,
(
K
()ɫооɬɜɟɬɫɬɜɟнно
R(x,t;1), F
(x),
K
,
(
()Пɭɫɬь
|R(x,t;1)-
(x,t;1)| = |r(x,t;1)|
r=max|r(x,t;1)|.
поɬɪɟɛɭɟɬɫя
i
j
i
dx
x
x
r
d
)
1
;
,
(


j
x
x
r
)
1
;
,
(
,
0
чаɫɬныɟ
ɛɟɪɭɬɫя
аɪɝɭмɟнɬɭ
).
ɜоɫпользɭɟмɫя
ɭɪаɜнɟниɟм
R(x,t;1) = H
ɭɪаɜнɟниɟм
(x,t;1) = H
(x,t)+
,(11 (24) ɞля ɭкоɪочɟнной
ɫпɪаɜɟɞлиɜоɫɬь
коɬоɪоɝо
ɭɪаɜнɟния
(23)
(24)
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭя
полɭчɟнноɟ
ɮɭнкции
r(x,t;1)
i
j
i
dx
x
x
r
d
)
1
;
,
(
j
x
x
r
)
1
;
,
(
Иɫпользɭя
(25),
(x)-
(
F
max
,
(
K
(
x
r
ɭчиɬыɜая
(26)
(27),
(x)-
,|K
,
(
K

= |
= max|
яɞɪа
ɭɪаɜнɟния
[1],
поɝɪɟшноɫɬь
ɭɪаɜнɟния
|V[u(x)]-
)]
(
[
x
u
V
|
|
1
(
|
|
1
)
|
|
1
(
|
|
h
h
N
+
|
)
(
|
max
F
x
a
)
(
|
max
F
x
a
i
i
i
p
|b-a|,
a
b
x
a
x
)
;
,
(
|
max
;
,
(
,
(
K
)
(
)
(
|
max
2
F
x
F
x
a
иɫпользɭя
нɟɪаɜɟнɫɬɜо
полɭчим
|u(x)-
q
)
,
(
|
max
a
b
x
a
x
K
(2)
i=0,
ɭчиɬыɜая
|y(x)-
1
(
]
(
|
|
[
5
2
4
1
q
q
rq
q
rq
x
n
b
x
a
t
x
)
(
|
max
полɭчɟна
аналоɝичная
ɫлɭчаɟ
 nm.
x
y
25
)
0
(
y
(, y=
(.
наɯоɞим
x
x
(x,t;1)= -
|R(x,t;1)-
(x,t;1)|
оɛозначɟниями
51
x
,
(
K
5101
x
51
3
x
,
(
K
ɪɟзольɜɟнɬɭ
,
(
K
;
,
(
(
)
;
,
(
x
D
ɪɟшɟниɟ
ɭɪаɜнɟния
запишɟɬɫя
(
V
4999
x
+
-
(13)
ɮоɪмɭлɭ
(2)
i=0,
полɭчим
15000
4999
15000
65625
21877
x
-
ɭɪаɜнɟния
(23)
ɭɪаɜнɟниɟ
(24)
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭя
полɭчɟнноɝо
(26), (27), (28),
полɭчɟнноɝо
(31)
оцɟнкɭ
|y(x)-
Зная ɬочноɟ ɪɟшɟниɟ иɫɯоɞноɝо ɭɪаɜнɟния
y=
ɬочнɭю
оцɟнкɭ
полɭчɟнноɝо
|y(x)-
2 Ɋɟшɟниɟ кɪаɟɜой заɞачи 1. Поɫɬаноɜка заɞачи и пɪɟоɛɪазоɜаниɟ пɪоизɜоɞныɯ Ɋаɫɫмоɬɪим
кɪаɟɜɭю
инɬɟɝɪо
ɭɪаɜнɟния
()()Ȝηηη∫∑=−bamiimidyxK0)()(),(, (1) ɝɞɟ Ln[y(x)] =y(n)
(,
ɭɫлоɜиями
,
0
,
)]
(
)
(
[
0
1
)
(
0
)
(
j
x
y
x
y
n
i
i
ij
i
ij
[
a
x


,
[
a
x
0
x
Фɭнкции

(
ɪɟɝɭляɪны
b
a
b
x
a
ij


(1)-(2)
ɪɟшалаɫь
[9],[14],[23],[26]-[28]
(1)-(2)
можɟɬ
начальном
значɟнии
ɭɪаɜнɟния
(1),
ɬɪɭɞноɫɬи
замкнɭɬом
Оɬмɟɬим
оɛычно
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмоɫɬь
ɫлɭчаɟ
ноɜɭю
ɮɭнкцию
)
ɬоɝɞа
(,
(3)
полɭчим
пɟɪɟпишɭɬɫя
(.
(5)
ɭɫлоɜия
0
1
0
0
1
0
)
(
0
)
(
)
(
!
)
(
)
(
[
i
i
n
k
k
k
i
ij
i
ij
x
k
x
y
x
y
0
1
1
0
)
(
)
(
)!
1
(
i
x
x
i
n
ij
j
t
u
t
x
i
n
ɝɪɭппиɪɭя
полɭчим
n
алɝɟɛɪаичɟɫкиɯ
ɭɪаɜнɟний
,
0
),
(
)
(
n
i
x
y
(
]
)!
(
)
(
[
)
(
0
1
0
1
0
y
k
i
x
x
k
i
i
k
kj
n
i
ij
0
1
1
0
)
(
)
(
)!
1
(
j
x
x
i
n
ij
i
t
u
t
x
i
n
,
0
j
010kixxkiikkjij−−+−=∑βα. Пɭɫɬь
0,
,
полɭчим
)(1010110)(10−=ΔΔ−−−−=∑∑∫−=−=−−nidttutxknxynjijnkxxknkjjiβγ (7) 2. ɋлɭчай, коɝɞа поɪяɞок ɜнɟшнɟɝо ɞиɮɮɟɪɟнциальноɝо опɟɪаɬоɪа ɛольшɟ поɪяɞка ɜнɭɬɪɟннɟɝо. Найɞɟм ɜыɪажɟния )]
xyLn и )(),(0)(ηη∑=−miimiyxK чɟɪɟз ноɜɭю
ɮɭнкцию
i
i
i
t
x
x
a
t
x
H
1
1
)!
1
(
)
)(
(
)
,
(
∑∑∑
0
1
0
0
0
1
!
)
(
)
(
[
)
(
i
n
j
k
i
k
k
i
n
ij
j
x
x
x
a
x
∑∑∑
0
)
(
)
,
,
(
x
x
t
u
t
x
N
i
i
n
i
n
t
x
K
t
x
H
1
2
)!
1
(
)
)(
,
(
)
,
,
(
0
1
0
2
)
,
(
)
,
(
j
ij
j
n
i
i
x
0
1
0
1
1
2
1
(
)
(
)
,
(
)
,
,
(
i
n
k
k
n
kj
i
n
t
x
x
t
x
N
1
(
)
)(
,
(
!
)
)(
,
(
)
,
(
0
1
0
x
x
K
i
x
x
K
x
m
i
m
i
ɜыɪажɟния
(8)
(9)
ɭɪаɜнɟниɟ
(1),
ɭɪаɜнɟнию
-
∫∫∫
(
)
,
(
)
(
),
(
)
(
2
d
x
x
f
F
x
u
x
u
a
∫∫∫∫∫
значɟний
Ku
Vu
ноɪмɭ
ɮɭнкции
мɟɬɪичɟɫком
0
1
0
0
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
max
2
2
x
x
b
a
x
x
b
x
a
t
x
N
dtd
t
x
N
dtd
t
x
H
K
ɞɜɟ
ɮɭнкции
ɪаɫɫмоɬɪим
(
)
(
)
(
)
,
(
1
2
1
2
1
u
K
F
Ku
F
Ku
Vu
Vu
,
(
1
2
1
u
u
u
K
K
.
V-
ɫооɬɜɟɬɫɬɜии
ɬɟоɪɟмой
Ȼанаɯа
[15],
ɭɪаɜнɟния
(10)
мɟɬоɞом
Пɪи
),
ɭɪаɜнɟния
(
полɭчим
оцɟнкɭ
)
(
)
(
x
u
x
u
l
11
(
,
)
(
max
)
(
x
u
x
u
x
a
полɭчɟнноɟ
ɭɪаɜнɟния
(
(7).
оцɟнкɭ
поɞɫчиɬаɟм
полɭчɟнноɝо
)!1()()()(1 (15)
∑∑∑
∑∑∑
ɭɪаɜнɟниɟ
ɭɫлоɜиями
(4)
имɟɟм
ɭɫлоɜия
(2*)
полɭчɟнныɟ
∫∫∫∫
ɭɪаɜнɟниɟ
пɪиɞɟм
ɪазɪɟшающɟмɭ
ɭɪаɜнɟнию
∫∫∫
000
∫∫∫
000
ɫначала
24
7
)
(
)
(
max
2
1
1
b
x
a
t
dt
t
K
опɟɪаɬоɪ
ɭɪаɜнɟниɟ
ɭɪаɜнɟниɟ
ɛɭɞɟɬ
(4*),
полɭчим
ɛɭɞɟɬ
зная
ɭɪаɜнɟния
Ɋаɫɫмоɬɪим
ɫлɭчай
m, m=n+p, p
)]
xyLn чɟɪɟз
ноɜɭю
ɛɭɞɟɬ
ɫлɭчаɟ
ɞля
∑∑∑
==+
001
ɫɭммы
ɫɭмма
аналоɝична
)],
xyLn ɬолько
),
можɟм
i
i
i
p
t
x
K
t
x
H
1
3
)!
1
(
)
)(
,
(
)
,
,
(
∑∑∑
∑∑∑
),,(ninkkikkimijknkjkxxKkntxtxNηηβη Поɞɫɬаɜляя ɜыɪажɟния (8), (16)
ɭɪаɜнɟниɟ
ɭɪаɜнɟнию
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫
малыɯ
Nu
Vu
ɮɭнкции
пɪоɫɬɪанɫɬɜɟ
)
(
max
)
(
)
(
i
i
b
x
a
u
x
u
a
x
x
b
x
a
t
x
N
dtd
t
x
H
N
0
0
,
,
(
)
,
,
(
max{
3
ɞɜɭɯ
пɪоизɜольныɯ
ɮɭнкций
ɪаɫɫмоɬɪим
)
(
)
(
)
(
)
,
(
1
2
1
2
1
u
N
Nu
Nu
Vu
Vu
,
(
1
2
1
u
u
u
N

.
ɭɪаɜнɟнию
Ȼанаɯа
(
полɭчаɟм
оцɟнкɭ
полɭчɟнноɟ
ɪɟшɟниɟ
ɭɪаɜнɟния
ɫлɟɞɭɟɬ
замɟниɬь
(19),
,

ɭɪаɜнɟния
ɭɫлоɜиями
ɭɫлоɜия
0
'
1
)
0
(
,
)
(
)
1
(
)
0
(
y
dt
t
u
t
y
t
u
t
dt
t
u
x
y
1
0
'
)
(
)
1
(
)
(
)
(
, (4*)
ɭɪаɜнɟниɟ
ɪазɪɟшающɟмɭ
ɭɪаɜнɟнию
∫∫∫
ɮɭнкции
(
)
(
max
)
(
1
0
u
x
u
x
u
2
)
1
(
)
(
max
0
1
0
2
0
1
0
x
dt
t
x
dt
t
x
x
N
x


ɭɪаɜнɟнии
ɭɪаɜнɟнию
ɭɪаɜнɟния
поɫлɟɞоɜаɬɟльныɯ
5
1
u




(
x
u
полɭчɟнноɝо
ɭɪаɜнɟния
1
)
(
)
(
x
u
x
u
l
3
2
N
5
1
22
x
(20*)
ɭɪаɜнɟния
3600
50
6000
121
2
1
)
(
4
3
1
x
x
x
x
y
1
)
(
)
(
1
x
y
x
y

инɬɟɝɪоɞиɮɮɟɪɟнциальныɟ
линɟйныɯ
ɭɪаɜнɟний
аɪɝɭмɟнɬом
ηηηO (1) ɝɞɟ )(,)(0xfxxuij{ и )(xuj- нɟпɪɟɪыɜны, яɞɪа
ɪɟɝɭляɪны
кɜаɞɪаɬɟ
(1)-
ɭɪаɜнɟния
запазɞыɜающим
аɪɝɭмɟнɬом
Ɋазличныɟ
ɜнɟшнɟɝо
ɜнɭɬɪɟннɟɝо
полɭчим
нɭлю
яɞɟɪ
ɫɬаɪшиɯ
ɪаɫɫɭжɞɟния
ɜнɟшнɟɝо
или
ɜнɭɬɪɟннɟɝо
ɫлɭчаɟ
пɪɟɞɜаɪиɬɟльно
ɞоɫɬаɬочноɟ
клаɫɫиɮикациɟй
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
аɪɝɭмɟнɬом
[19],
клаɫɫиɮикацию
Опɪɟɞɟлɟниɟ
запазɞыɜающɟɝо
полɭчим
ɜиɞа
аɪɝɭмɟнɬы
j
,
1
ɬолько
ɮɭнкцию
ɜключиɬɟльно
ɭɪаɜнɟнии
K
j
,
1

)
(
ɫлɟɞоɜаɬɟльно
ɫчиɬаɬь
Опɪɟɞɟлɟниɟ
ɍɪаɜнɟния
нɟйɬɪальноɝо
полɭчим
оɛщɟɝо
(1),
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
аɪɝɭмɟнɬ
j
,
1
n-
ɟɫɬь
ɫɬаɪшɟй
аɪɝɭмɟнɬа
x,
ɭɪаɜнɟнии
(1)
x
f

)
,
(
оɬɞɟльноɫɬи
Опɪɟɞɟлɟниɟ
ɍɪаɜнɟния
опɟɪɟжающɟɝо
ɬипа
полɭчим
(1),
аɪɝɭмɟнɬы
j
x
u
1
),
(
j,
ɜыɫокоɝо
аɪɝɭмɟнɬ
x,
(1)
0
)
(
Фɭнкции
ɝиɛкой
ɫɬɪɭкɬɭɪы
ɪазличныɯ
Люɛɭю
нɟпɪɟɪыɜнɭю
n
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмɭю
ɮɭнкцию
пɪɟɞɫɬаɜиɬь
[24]-[25],
ɫлɟɞоɜаɬɟльно
заɞач
ɭɪаɜнɟния
(1)
иɫкаɬь
ɜиɞɟ
)(μ (2)
ɫоɫɬаɜлɟнный
заɞачи
иɫɯоɞя
1
1
1
1
2
1
1
2
1
n
n
n
n
r
r
r
r
r
D

s
t
x
1
),
(
полɭчаɟɬɫя
D

(
x
нɟизɜɟɫɬная
ɮɭнкция
иɫкомоɝо
(2)
полɭчим
ɫлɟɞɭющиɟ
)(μ
,
1
n
i
)(μμ (4) Как изɜɟɫɬно
ɮɭнкции
ɫɬɪɭкɬɭɪы
ɞоɫɬаɬочноɟ
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмыɯ
ɮɭнкций
изɜɟɫɬным
ɮоɪмɭлам
Лаɝɪанжа
ɬакжɟ
ɫɬɟпɟнныɟ
Фɭɪьɟ
паɪамɟɬɪы
ɜначалɟ
заɮикɫиɪоɜаны
ɫлɟɞоɜаɬɟльно
окончаɬɟльная
пɪɟɞɫɬаɜлɟния
ɭɫɬанаɜлиɜаɟɬɫя
заɞачи
Еɫɬɟɫɬɜɟнно
ɛɟɫконɟчноɟ
множɟɫɬɜо
заɞача
,
1

ɫлɟɞɭɟɬ
пɪɟɞɟлами
ɬоɝо
значɟнияɯ
ɭжɟ
ɞɜɭɯ
ɪаɫɫмаɬɪиɜаɟмыɟ
имɟюɬ
значɟния
ɞɜɭɯ
t
x
r
(
lim
2
2
)
(
1
)
(
2
1
1
2
r
r
e
r
e
r
x
r
t
x
r
r
r
)
(
lim
(
1
)
(
1
1
2
x
r
t
x
r
r
r
t
x
r
e
(
1
(
)
(
x
r
e
x
r
t
x
r
(
lim
2
2
)
(
)
(
2
1
2
r
r
e
e
x
r
t
x
r
r
r
)
(
lim
(
1
2
x
r
r
r
t
x
(
x
r
1
(
lim
2
D
x
t
x
r
()()
1212
lim
rxtrxt
rrerre
122
()()()
1121
lim
rxtrxtrxt
rextrrere
−−−
−−−
(x-t)),
2
(
lim
2
D
x
t
x
r
2
)
(
1
)
(
2
2
1
2
r
r
e
r
e
r
x
r
t
x
r
r
r
)
(
lim
(
2
)
(
2
1
2
x
r
t
x
r
r
r
t
x
r
e
(
x
r
lim
∂Δ−
()()
1212
lim
rxtrxt
rrerre
122
()()()
11221
2()
lim
rxtrxtrxt
rerrerrext
−−−
−−−
+
lim
∂Δ−
()()
lim
rxtrxt
rere
()()
2()
lim
rxtrxt
rerext
(x-t))
1(1)
(())
(,)[(()]
dux
KxDyx
Аналоɝично
ɜычиɫляюɬɫя
пɪɟɞɟлы
количɟɫɬɜɟ
Кɭликоɜым
ɭчɟникоɜ
ɮɭнкции
ɫɬɪɭкɬɭɪы
ɞля
иɫɫлɟɞоɜания
ɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
аɪɝɭмɟн
ɮɭнкции
ɫɬɪɭкɬɭɪы
аɪɝɭмɟнɬом
ɜозможноɫɬь
пɪɟоɛɪазоɜаɬь
ɭɪаɜнɟниям
клаɫɫоɜ
заɞач
ɮɭнкциями
аɪɝɭмɟнɬа
какиɟ
заɞачи
ɜиɞоɜ
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟ
ɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
моɝɭɬ
ɫɜɟɞɟны
инɬɟɝɪальным
ɭɪаɜнɟниям
оɬклонɟний
аɪɝɭмɟнɬа
ɪазɪɟшающиɟ
инɬɟɝɪальныɟ
ɭɪаɜнɟния
заɞач
запазɞыɜающɟɝо
опɟɪɟжающɟɝо
ɞɪɭɝ
ɞɪɭɝа
ɞля
ɫоɫɬаɜлɟния
пɪиɛлижɟнноɝо
заɞач
Пɪимɟнɟниɟ
ФГɋ
пɪɟоɛɪазоɜанию
Пɭɫɬь
начальныɟ
ɭɫлоɜия
y
,
0
,
множɟɫɬɜо
ɫооɬɜɟɬɫɬɜɭю
j
,
1
0].
Пɪɟɞполаɝая
заɞачи
(1), (5)
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
ɟɞинɫɬ
ɛɭɞɟм
иɫкаɬь
[x
,b].
Оɛозначим
наимɟньшиɟ
[x
,b],
ɟɫли
ɬакоɜыɯ
полаɝаɟм
ɫооɬɜɟɬɫɬɜɭющиɟ
= b.
ɪазоɛьём
(1)
ɫɭммы
изɜɟɫɬныɯ
нɟизɜɟɫɬныɯ
чаɫɬɟй
жɟнияɯ
запазɞыɜаний
начальными
ɭɫлоɜиями
(5),
эɬом
(
'
)( +∫bcjijijduyxK]))((),()(ηηηO= f(x).
ɜоɫпользɭɟмɫя
(2),
пɪоизɜоɞныɟ
(3)-(4)
поɫлɟɞнɟɟ
(1*)
ɜɜоɞя
ɫɭммɟ
пɟɪɟɞ
(x)),
,
0
i
∑∑∑
===
(
(
)
)
(
)
)
(
(
(
u
x
u
q
dt
t
x
t
x
u
n
j
i
x
u
x
i
j
n
i
1(1)
(())
(,)[(()
dux
KxDyx
+
())()(())]
ijj
tdtquud
μημηη
Полɭчɟнныɟ
изɜɟɫɬныɟ
ɜыɪажɟния
пɟɪɟнɟɫём
пɪаɜɭю
чаɫɬь
ɪаɜɟнɫɬɜа
u
u
dt
t
t
u
D
x
K
x
u
x
u
q
dt
t
x
t
x
u
D
x
f
n
j
b
c
u
x
i
j
n
i
j
i
l
j
n
i
j
n
j
i
x
u
x
i
j
n
i
j
i
j
j
(
(
q

)
)
(
)
)
(
(
)[
,
(
))]
(
(
)
(
)
)
(
(
)[
(
{
)
(
1
(
1
0
)({0001
∑∑∑
===
Вɜɟɞя
ɞля
ɜыɪажɟний
j
n
i
n
i
j
i
t
x
u
x
f
)
(
(
)
(
j
j
n
i
n
i
j
i
u
x
K
)
(
(
)
,
(
∑∑∑
===
)({)()(0001
ɪазɪɟшающɟмɭ
ɫпɟциальноɝо
ɫмɟшанноɝо
Вольɬɟɪɪа
0xuxuxfjljnjnjμ∑=′++∫))(),()(0dtttxФxuxjjμ ∫∫++∗bCuxjjjdtttxHd)(0)(),,(ημηηO )(]))((),(xFduuxKjnjbcjnj=′+∫ηημηηO (6*) Ɋазɪɟшающɟɟ
(6*)
можно
ɭпɪоɫɬиɬь
ɜɜɟɞя
пɟɪɟмɟнныɟ
ɫɭммы
j
измɟниɜ
инɬɟɝɪалаɯ
ɜɜɟɞём
оɛɪаɬнɭю
ɮɭнкцию
(t)= u
ноɜыɟ
пɪɟɞɟлы
инɬɟɝɪалаɯ

инɬɟɝɪиɪоɜания
оɛлаɫɬью

)=x
j
,
0
ɭɪаɜнɟнии
(6*)
оɞним
инɬɟɝɪалом
(
1
1
1
*
*
(
)
(
))
(
,
(
)
,
(
[
u
x
j
n
j
j
nj
j
t
t
u
u
t
u
x
K
t
x
H
t
t
x
H
u
x
j
(
)
,
(
(
(
u
ɪазɪɟшающɟɟ
инɬɟɝɪальноɟ
ɭɪаɜнɟниɟ
ɫпɟциальноɝо
Вольɬɟɪɪа
Фɪɟɞɝольма
пɪимɟɬ
)(00dtttxФxuxuxfxuxjjnjjnljjμμ +)(])(),()(0xFdtttxHbuxjj=∫μO, (6)
ɮоɪмɭлам
(
1
u
u
n
j
t
x
H
t
u
j
(
*
,
,
(
(
u
(
1
u
u
n
j
u
t
u
x
K
t
u
i
j
j
n
i
n
i
ij
(
0
(
[
)
)
(
(
)
,
(
(
u
пɪɟоɛɪазоɜания
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟɪɟнциальноɝо
ɭɪаɜнɟния
Фɪɟɞɝольма
аɪɝɭмɟнɬом
инɬɟɝɪальным
ɭɪаɜнɟниям
оɛыкно
аɪɝɭмɟнɬом
заɜиɫимоɫɬи
ɪаɫɫмаɬɪиɜаɟмоɝо
запазɞыɜающɟɝо
полɭчим
положиɬь
1, f
)
j
,
1
ɬоɝɞа
(1)
(x)+
)(010xuyxfjijiljni∑∑=−=+ ȜηηηdyxKibaji)(),()(∫]= f(x)
(1a)
ɪазɪɟшающɟɟ
ɭɪаɜнɟниɟ
заɞачи
ɛɭɞɟɬ
∫Φ)(0)(),(xuxjjdtttxμ + ∫)(0])(),(buxjjdtttxHμO=F(x),
ɮоɪмɭлам
j
n
i
n
i
ij
t
x
u
x
f
)
(
(
)
(
0
ɮоɪмɭлɟ
Выɜоɞ
Начальная
ɭɫлоɜиями
(5)
ɜɫɟɯ
инɬɟɝɪоɞиɮ
ɮɟɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
Фɪɟɞɝольма
оɬклоняющимɫя
(1
помощью
(2)
пɪɟоɛɪазɭɟɬɫя
ɪазɪɟшающɟмɭ
инɬɟɝɪальномɭ
шанноɝо
ɬипа
Вольɬɟɪɪа
Фɪɟɞɝольма
оɛыкноɜɟнным
аɪɝɭмɟнɬом
ɍɪаɜнɟниɟ
(1)
ɛɭɞɟɬ
нɟйɬɪальноɝо
ɟɫли
(x)
0
ɫɭщɟɫɬɜɭюɬ
ɬожɞɟɫɬɜɟнно
нɭлю
ɮɭнкции
(x)
Ɋазɪɟшающɟɟ
(6)
ɫлɭчаɟ
ɛɭɞɟɬ
аɪɝɭмɟнɬом
ɞополниɬɟльно
поɬɪɟɛоɜаɬь
полɭчим
ɜиɞа
ɭɪаɜнɟний
нɟйɬɪальноɝо
ɪазɪɟшающɟɟ
ɭɪаɜнɟниɟ
заɞачи
аналоɝичноɟ

j
n
i
n
i
ij
t
x
u
x
f
)
(
(
)
(
0
,
(
D
t
x
H
t
u
x
K
t
u
i
j
n
i
n
i
ij
(
0
)
(
(
)
,
(
(
(
))
(
,
(
1
1
u
u
t
u
x
K
n
j
j
nj

Начальная
заɞача
ɭɫлоɜиями
(5)
ɭɪаɜнɟний
запазɞыɜающим
аɪɝɭмɟнɬом
ɬипа
(1)
помощью
(2)
пɪɟоɛɪазɭɟɬɫя
ɫлɭ
инɬɟɝɪальномɭ
ɭɪаɜнɟнию
запазɞы
аɪɝɭмɟнɬом
поɬɪɟɛоɜаɬь
)
ɭɪаɜнɟний
ɪазɪɟшающɟɟ
ɫпɟциальноɝо
ɫмɟшан
Вольɬɟɪɪа
(6
ɛɭɞɟɬ
аɪɝɭмɟнɬом
(1)
ɛɭɞɟɬ
опɟɪɟжающɟɝо
0,
(x)
(x,
поɬɪɟɛɭɟм
1,1
ɫлɭчаɟ
(n)
1010)(∑∑−=−=niljjijixuyxf+ +O]))((),()(ηηηduyxKjibajilj∫∑=0= f(x)
ɫооɬɜɟɬɫɬɜɭющɟɟ
ɪазɪɟшающɟɟ
заɞачи
ɛɭɞɟɬ
j
n
i
n
i
ij
t
x
u
x
f
)
(
(
)
(
0
t
u
x
K
t
u
i
j
n
i
n
i
ij
(
0
)
(
(
)
,
(
(
u
замɟнɭ
(x) = z, x = u
полɭчим
инɬɟ
ɭɪаɜнɟниɟ
аɪɝɭмɟнɬом
изɜɟɫɬныɯ
поɫлɟɞнɟм
ɭɪаɜнɟнии
ноɜыɟ
u
u
t
z
u
n
l
j
j
1
l
l
j
n
i
n
i
l
n
l
l
ij
u
t
z
u
u
z
u
u
z
u
f
))
(
(
)
))
(
(
(
))
(
(
1
1
0
1
1
u
u
t
z
u
n
l
l
j
1
t
u
n
i
i
j
n
i
l
ij
l
n
l
u
z
u
K
D
z
u
u
(
0
1
1
1
1
)
(
(
)
),
(
(
[
))]
(
(
[
(
u
(
u
],
(
(
{
))]
(
(
[
))
(
(
))
(
(
1
1
1
1
u
f
z
u
u
z
u
u
z
u
F
ij
l
n
l
l
n
l
l
===
∑∑∑
)({1011001
ɭɪаɜнɟниɟ
Начальная
заɞача
ɭɫлоɜиями
(5)
ɪɟнциальныɯ
запазɞыɜающим
аɪɝɭмɟнɬом
опɟɪɟжающɟɝо
(1
(2)
пɪɟоɛɪазɭɟɬɫя
инɬɟɝɪальномɭ
ɭɪаɜнɟнию
ɫпɟциальноɝо
ɫмɟшанноɝо
Вольɬɟɪɪа
ɫлɭчаɟ
ɬакжɟ
запазɞыɜающим
аɪɝɭмɟнɬом
ɞиɮɮɟɪɟнциальный
ɫɬаɪшɭю
пɪоизɜоɞнɭю
ɭɪаɜнɟниɟ
ɛɭɞɟɬ
аɪɝɭмɟнɬом
Пɪимɟнɟниɟ
ФГɋ
пɪɟоɛɪазоɜанию
кɪаɟɜой
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟɪɟнциальноɟ
(1)
линɟйными
ɛилокальными
кɪаɟɜыми
ɭɫлоɜиями

,
0
начальными
ɮɭнкциями
y
(i)
(x)) = y
,
0
(8)
множɟɫɬɜо
значɟний
0],
ɮɭнкции
)=1
,
0
пɪɟжнɟмɭ
3.,
наимɟньшиɟ
ɬакоɜыɯ
полаɝаɟм
Пɪɟɞполаɝая
заɞачи
(1), (7)-(8)
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
ɟɞинɫɬɜɟнно
ɪɟшɟния
пɪимɟним
(3)-(4).
начальными
ɮɭнкциями
ɪазоɛьём
(1)
ɫɭммы
)(00xuyxfjijiljni∑∑==+ηηϕηOduxyxKjiicajij))(()(),(0)(∫+
+
=f(x).
(1**)
иɫпользɭя
кɪаɟɜыɟ
ɭɫлоɜия
(7),
начальныɟ
ɮɭнкции
(8),
(3)-(4),
(i)
ноɜɭю
нɟизɜɟɫɬнɭю
ɮɭнкцию
моɝɭɬ
ɜозникнɭɬь
ɫиɬɭации
j
,
0
c
j
,
0
ɜаɪианɬы
ɫлɭчай
наиɛолɟɟ
как
x=x
ɮɭнкции
(8)
j=0
) = y
(i)
кɪаɟɜыɟ
ɭɫлоɜия
полɭчим
алɝɟɛɪаичɟɫкɭю

(1010)(nxxyniiiiiτγϕβατττ
значɟний
(i)
Оɛозначиɜ
чɟɪɟз
ɝлаɜный
,
0

алɝɟɛɪаичɟɫкиɟ
ɝлаɜноɝо
ɞɟлиɬɟля
ɮоɪмɭлам
y
,
0
.

заɞача
ɫлɭчаɟ
начальной
ɪаɫɫмоɬɪɟнной
3.,
ɮоɪмɭлаɯ
(6
), (6
(6
начальныɯ
(x))
ɞɭɟɬ
начальныɟ
ɮɭнкции
ɭɫло
ɪɟзɭльɬаɬом

(x))
.
ɜɬоɪом
ɫлɭчаяɯ
(2)
(3)-(4),
), i=
,
0
ноɜɭю
ɜɟɫɬнɭю
начальныɟ
значɟния
ɮɭнкции
(i)
(i)
)
(
)
(
t
x
t
x
x
i
n
i
0
,
0
полɭчɟнныɟ
ɜыɪажɟния
ɭɫлоɜия
)
(
)
(
0
t
x
t
x
x
i
n
i
=
,
0
пɟɪɟɝɪɭппиɪоɜаɜ
ɫлаɝаɟмыɟ
пɪиɞём
ɫиɫɬɟмɟ
алɝɟɛɪаичɟɫкиɯ
оɬноɫиɬɟльно
(i)
t
x
t
x
D
i
x
x
i
n
i
i
(
)
(
0
1
1
0
=
,
0
.
(12)
Оɛозначиɜ
ɝлаɜный
ɫиɫɬɟмы
,
0
,
алɝɟɛɪаичɟɫкиɟ
ɝлаɜноɝо
опɪɟɞɟлиɬɟля
ɮоɪмɭлам
y
(i)
1
0
n
i
)
(
)
(
t
x
t
x
k
x
x
k
n
k
k
0
1
0
,
0
(14)
начальныɟ
ɮɭнкции
заɞачи
(8)
пɪимɭɬ
(i)
1
0
n
i

i=
,
0
j
,
0
x
,
(15)
ɮɭнкции
ɝиɛкой
ɫɬɪɭкɬɭɪы
(i)
(x)=
0
1
n
s
i
s
∂Δ−
1
0
n
s
+
()}
juxinixxttdt
∂Δ−
(x),
i
,
0
j
,
0
,
0
n
i
,
[
b
c
x
Поɞɫɬаɜим
(15)
(16)
(1**),
пɟɪɟнɟɫём
изɜɟɫɬныɟ
ɜыɪажɟния
полɭчиɜшиɟɫя
пɪаɜɭю
чаɫɬь
пɪонɭмɟɪɭɟм
ɜыɪажɟния
ɫоɞɟɪжащиɟ
нɟизɜɟɫɬнɭю
ɮɭнкцию
инɬɟɝɪала
{1}
0
)
1
(
1
0
2
(
[
)
)
(
(
s
n
s
i
j
j
s
i
u
x
x
u
D
{2}
{3}
{4}
0
1
n
i
{5}
1
0
)
1
(
1
0
)
(
(
D
d
x
u
d
s
n
s
i
j
s
i

)
(
)
(
0
1
1
0
t
x
t
x
k
x
x
k
n
k
k
0
)
1
(
1
0
1
)
(
(
)
(
[
s
n
s
i
j
s
i
j
i
l
j
n
i
x
x
u
d
D
x
f
0
(
(
)
,
(
i
c
a
j
i
ij
x
K
s
i
j
s
i
b
c
j
i
x
u
d
D
x
K
0
1
)
(
(
)
,
(
(
]
0
)
1
(
B
s
Инɬɟɝɪалы
{1}, {3}
{4}
ɭжɟ
пɪɟоɛɪазоɜыɜалиɫь
3. (
ɮоɪмɭлы
ɭɪаɜнɟния
{1}.
{4}.
изɜɟɫɬныɯ
1
0
)
1
(
1
0
)
(
(
s
n
s
i
j
s
i
x
x
u
d
инɬɟɝɪальныɟ
ɜыɪажɟния
пɟɪɟпишɭɬɫя
∑∑∑
{5}
{6}
ɫначала
поɪяɞок
заɬɟм
ɜɜɟɞём
ɞля
изɜɟɫɬныɯ
1
0
0
(
(
)
,
(
i
c
a
n
i
j
i
ij
x
K
x
t
x
k
k
n
k
k
0
1
1
(
*
*
*
,
(
D
t
x
G
b
c
n
i
j
i
K
)
,
(
1
0
)
1
(
1
0
)
(
(
s
n
s
i
j
s
i
x
u
d
0
n
k
k
инɬɟɝɪальныɟ
ɜыɪажɟния
пɪимɭɬ
{5}.
1
0
0
(
(
)
,
(
i
c
a
n
i
j
i
ij
x
K
0
n
k
k
{6}.
0
)
1
(
1
0
)
(
(
s
n
s
i
j
s
i
x
u
d
0
n
k
k
t
x
t
x
x
k
n
k
(
)
(
0
1
0
(
)
,
(
*
x
x
j
t
t
x
G
измɟнён
оɛлаɫɬями
ɋɭммиɪɭɟм
оɞинакоɜыми
{1}
{4}
ɭжɟ
ɫɭммиɪоɜалиɫь
3.(
ɮоɪмɭлы
инɬɟɝɪаль
ɭɪаɜнɟнии
(x,t)+K
ɋɭммиɪɭɟм
инɬɟɝɪалы
(x,t) = G
(x,t).
полɭчим
ɪазɪɟшающɟɝо
инɬɟɝɪальноɝо
ɭɪаɜнɟния
заɞачи
μOμμ +
(x).
3.,
иɫɫлɟɞɭɟм
пɪɟоɛɪазоɜания
заɞачи
ɞля
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟɪɟнциальноɝо
запазɞыɜающим
аɪɝɭмɟнɬом
ɭɪаɜнɟниям
аɪɝɭмɟнɬом
заɜиɫимоɫɬи
ɪаɫɫмаɬɪиɜаɟмоɝо
Кɪаɟɜая
заɞача
(1
), (7)-(8)
запазɞыɜающɟɝо
ɫилɭ
ɭɫлоɜий
)
j
,
1
пɪɟоɛɪазɭɟɬɫя
ɪазɪɟшающɟмɭ

μOμ])(),(10∫+xxjdtttxGμO=В(x).
Кɪаɟɜая
заɞача
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
запазɞыɜаю
пɪɟоɛɪазɭɟɬɫя
ɪазɪɟшающɟмɭ
ɫмɟшанноɝо
Фɪɟɞɝольма
оɛыкноɜɟнным
аɪɝɭмɟнɬом
заɞача
(1), (7)-(8)
ɭɪаɜнɟний
ɬипа
1, f
)
пɪɟоɛɪазɭɟɬɫя
инɬɟɝɪальномɭ
ɭɪаɜнɟнию
μOμ
(x).
(17
Кɪаɟɜая
заɞача
ɭɫлоɜиями
(7)-(8)
ɭɪаɜнɟний
запазɞыɜающим
аɪɝɭмɟнɬом
нɟйɬɪальноɝо
помощью
(2)
пɪɟоɛɪазɭɟɬɫя
ɫлɭ
инɬɟɝɪальномɭ
запазɞы
аɪɝɭмɟнɬом
Еɫли
ɞополниɬɟльно
поɬɪɟɛоɜаɬь
)
ɬакоɝо
ɭɪаɜнɟний
инɬɟɝɪальноɟ
Фɪɟɞɝольма
(17
ɛɭɞɟɬ
оɛыкноɜɟнным
Ɋаɫɫмоɬɪим
ɬɟпɟɪь
кɪаɟɜɭю
заɞачɭ
ɭɪаɜнɟний
опɟɪɟжаю
положиɜ
1, f
,
1
заɞача
(1
), (7)-(8)
пɪɟоɛɪазɭɟɬɫя
ɪазɪɟшающɟмɭ
номɭ
ɭɪаɜнɟнию
)(),(ljzVxljbuxjjjjdtttzNdtttzQμOμ
=R(z),
(17
(z,t), N
(z)
ɮоɪмɭлам
ɪазɪɟшающɟм
R(z) = B(
Кɪаɟɜая
заɞача
ɭɫлоɜиями
(7)-(8)
ɭɪаɜнɟний
запазɞыɜающим
аɪɝɭмɟнɬом
опɟɪɟжающɟɝо
(1)
(2)
пɪɟоɛɪазɭɟɬɫя
инɬɟɝɪальномɭ
ɭɪаɜнɟнию
ɫпɟциальноɝо
ɫмɟшанноɝо
Вольɬɟɪɪа
ɫлɭчаɟ
запазɞыɜаю
аɪɝɭмɟнɬом
ɫɬаɪшɭю
пɪоизɜоɞнɭю
ɭɪаɜнɟниɟ
(1
ɪазɪɟшающɟɟ
ɫмɟшанноɝо
(17
ɛɭɞɟɬ
оɛыкноɜɟнным
аɪɝɭмɟнɬом
Глаɜа
ИНɌЕГɊАЛЬНЫɏ
ɍɊАВНЕНИЙ
ФɊЕȾГОЛЬМА
Пɪɟоɛɪазоɜаниɟ
ɭɪаɜнɟний
ɜиɞɭ
Нɟɬɪɭɞно
ɭɜиɞɟɬь
кɪаɟɜыɟ
заɞачи
ɬипоɜ
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
запазɞыɜающим
аɪɝɭмɟнɬом
ɫɜоɞяɬɫя
ɪазɪɟшающим
инɬɟɝɪальным
ɭɪаɜнɟниям
Ⱦɟйɫɬɜиɬɟльно
кɭɫочно
01,
(,)(,),
(,)
(,),(),
HxtGxt
ɟɫли
xtx
Txt
Hxt
ɟɫли
xtu
+≤≤
(17
пɟɪɟпишɟм
ɭпɪощɟнной
)(μOμμ. (18) Аналоɝично
ɭɪаɜнɟния
(,)(,),,
(,)
(,),(),
NztMzt
ɟɫли
xtx
Tzt
Nzt
ɟɫли
xtu


)
,
(
ɭɪаɜнɟниɟ
)(μOμμ. (19) Иɬак, ɜɫɟ ɪазɪɟшающиɟ
(6
), (6
), (6
начальныɯ
заɞач
(17
), (17
), (17
заɞач
пɪɟоɛɪазɭюɬɫя
ɬомɭ
ɜиɞɭ
(18)
Ɋазɪɟшающɟɟ
(19)-
ɜиɞ
ɪазɪɟшающиɯ
ɬак
,
(
)
,
(
),
,
(
)
,
(
),
(
)
(
t
x
T
t
z
T
t
x
t
z
Q
x
u
z
V
j
j
j
j
j

(
)
(
x
B
z
R
ɭɪаɜнɟний
полɭчим
заɞачи
ɫɜоɞяɬɫя
оɞномɭ
ɫмɟшанныɯ
инɬɟɝɪальныɯ
ɭɪаɜнɟний
Вольɬɟɪɪа
можно
иɫпользоɜаɬь
ɫоɫɬаɜлɟния
оɛозначɟний
ɪɟшɟнии
начальныɯ
кɪаɟɜыɯ
ɭɞоɛɫɬɜа
иɫпользоɜания
полɭчɟнныɯ
ɮоɪмɭл
пɪи
иɫɫлɟɞоɜании
ɪɟшɟнии
ɪазличныɯ
заɞач
ɪɟзɭльɬаɬы
коɬоɪыɟ
ɛɭɞɭɬ
иɫɫлɟɞоɜания
ɜаɪианɬоɜ
замкнɭɬом
полɭчɟнныɯ
ɭɪаɜнɟний
пɪиɛлижённоɝо
ɫоɫɬаɜлɟнии
Ɍаɛлица
1.
Начальная
заɞача
Фɪɟɞɝольма
запазɞыɜающим
аɪɝɭмɟнɬом
()()
()(())(,)(())()(1)
(())(()),0,1,(2)
ijjijj
jijx
fxyuxKxyudfx
yuxuxinxE
Oηηη
==−∈
Запазɞыɜающий
Опɟɪɟжающий
ɍɫлоɜия
ɭɪаɜнɟнии
(1)
()1
)
(
x
f

)
,
(
K
()1
)
(
f
j
,
1

чɬо
K
)
(
(,)0
()0
v()()
()(,)()(,)()()
zub
zQzttdtNzttdtBz
μμOμ
++=

Ɋазɪɟшающɟɟ
ɭɪаɜнɟниɟ
Фоɪмɭлы
Фоɪмɭлы
Фоɪмɭлы
Оɛозначɟния
ɪазɪɟшающɟм
ɭɪаɜнɟнии
,()(),
zxVzux
(,)(,)
QztxtD
Φ=⋅
(())
uxt
(,)(,)
NztHxtD
[(,)
(())
∂Δ−
(,),
()()()
zFxfx
{=−
1(1)
001
{()
lnn
jis
Dyx
===
∑∑∑
j
s
i
ij
x
x
u
d
x
f
)
)
(
(
)
(
[
(())
(,)]
Kxd
+⋅−
(,)()}.
Kxd
iji
ηϕηη
,()(),
zxVzux
(,)(,)
QztxtD
Φ=⋅
(())
uxt
(,)(,)
NztHxtD
(())
(,)
Kxd
∂Δ−
()()()
zFxfx
1(1)
001
{()
lnn
jis
Dyx
===
∑∑∑
(())
[()
(())
(,)]
Kxd
(,)()}.
Kxd
iji
ηϕηη
(()),
uuz
(), (),
zuxxuz
(
(
)
),
(
(
)
,
(
1
u
u
t
z
u
t
z
Q
n
l
l
j
j
0,1,(,)0
jlQzt
=−{
))
(
(
)
),
(
(
)
,
(
1
u
u
t
z
u
H
t
z
N
n
l
l
j
j
))(())(()(11111zufzuuzuuzuFzBlijlnllnll 1(1)
001
{()
lnn
jis
Dyx
===
∑∑∑
011011bCijsilijilljsilijjdxudzuKzduxzuudzufηηηO(,)()}.
iji
ηϕηη

2.
заɞача
ɞля
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
Фɪɟɞɝольма
запазɞыɜающим
аɪɝɭмɟнɬом
()()
()()
0101
()()
()(())(,)()(),(1)
()(),0,1,,(7)
(())()(()),0,1,,(8)
ijjij
jijx
fxyuxKxydfx
yxyxnaxxb
yuxyxuxinxE
τττ
Oηηη
αβγτ
+==−≤≤
==−∈
2.a.
ɫлɭчаɟ
,1,
xcjl
≤∀=
ɭжɟ
оɬмɟчалоɫь
(1),(7),(8)
ɪɟшɟнию
(1), (5),
ɫлɟɞɭɟɬ
начальныɟ
(())
(6
), (6
(6
(())(())
ijiji
uxux
ϕωγω
,0,1
алɝɟɛɪаичɟɫкиɟ
ɫлɭчаяɯ
ɫɜɟɞём
ɪɟзɭльɬаɬы
Запазɞыɜающий
ɍɫлоɜия
ɭɪаɜнɟнии
()1
()1
)
(
f
j
,
1

чɬо
K
n
)
(
(,)0
!0:
()0
v()()
()[(,)()(,)()]()
zub
QzttdtTzttdtRz
μμOμ
++=
(19)
Фоɪмɭлы
Фоɪмɭлы
Фоɪмɭлы
,v()(),
zxxux
(,)
QztD
(())
uxt
∂Δ−
(,)(,),
(,),
(,),
(),
HxtGxt
Tzt
Hxt
tub
H(x,t)= D
[(,)
(())
∂Δ−
(,),
***
***
(,)(,)(,)
(,),()(),
jjj
GxtGxtGxt
GxtRzBx
=++
,v()(),
zxxux
(,)(,)
QztxtD
Φ=⋅
(())
(),
uxt
(,)(,),
(,),
(,),
(),
HxtGxt
Tzt
Hxt
tub
H(x,t)=
[(,)
(())
∂Δ−
(,())
(()),
njl
xut
dtuut
***
(,)(,)(,)
(,),()(),
jjj
GxtGxtGxt
GxtRzBx
(),v()(()),
zuxxuuz
ljj
((),)
(,)
(())
uzt
QztD
uuz

0
1
1
1
1
))
(
(
)
))
(
(
(
))
(
(
))
(
(
i
i
l
l
j
n
i
l
n
l
l
ij
u
t
z
u
u
z
u
u
z
u
f

(,)0,
Qzt
(,)(,),
(,),
(,),
(),
NztMzt
Tzt
Nzt
tub
))
(
(
)
),
(
(
)
,
(
1
u
u
t
z
u
H
t
z
N
n
l
l
j
j

))
(
(
)
),
(
(
)
,
(
1
u
u
t
z
u
G
t
z
M
n
l
l
j
j

))
(
(
))
(
(
)
(
1
u
u
z
u
B
z
R
n
l
l
ɪазɪɟшающɟм
(19)
******
(,),(,),(,),()
jjj
GxtGxtGxtBx
ɜычиɫляюɬɫя
ɮоɪмɭлам
ɭɪаɜнɟнии
(17)
ɪазɪɟшающиɯ
инɬɟɝɪальныɯ
ɭɪаɜнɟний
замкнɭɬом
замкнɭɬом
полɭчим
ɟɫли
ɭɪаɜнɟнии
ɜиɞа
(19)
i
r
1
,
)
(
ɭɪаɜнɟния
(19)
ɛɭɞɟɬ
ɪɟшɟниɟ
заɞач
найɞɟɬɫя
ɮоɪмɭлɟ

(20)
заɞач
найɞɟм
ɮоɪмɭлɟ

Ⱦɪɭɝой
ɜаɪианɬ
замкнɭɬом
паɪамɟɬɪы
i
r
1
,

)
,
(
z
Q

)
,
(
t
z
T
ɭɪаɜнɟния
(19)
ɛɭɞɟɬ
ɮоɪмɭлɟ
заɞач
)(, (22)
ɮоɪмɭлɟ
заɞач
∑∑∑
ɭɫлоɜия
ɭɫлоɜия
ɜыполниɬь
ɭɞаɟɬɫя
попыɬаɬьɫя
ɫчɟɬ
паɪамɟɬɪоɜ
ɫɞɟлаɬь
нɭлю
(,)
Tzt
z
Q

)
,
(
полɭчим
ɪазɪɟшающɟɟ
замкнɭɬом
ɜыɪожɞɟнныɯ
ɭɞаɟɬɫя
ɫɞɟлаɬь
полɭчим
ɪазɪɟшающɟɟ
ɭɪаɜнɟниɟ
ниɯ
ɫлɭчаяɯ
изɜɟɫɬны
ɜозможныɟ
замкнɭɬом
ɭɫлоɜия
ɫчɟɬ
пɪɟɞɫɬаɜляɟɬɫя
ɜозможным
ɜɫɟɝɞа
ɪазɪɟшающиɟ
ɭɪаɜнɟния
(19),
изɜɟɫɬныɯ
ɛлижɟнныɯ
Пɪимɟɪ
1.
заɞачɭ
= 0
запазɞыɜающɟɝо
1)1(,1)1(],0[1)(,)(,)(2)1()(1000101EнаxyxxyEнаxyxxyxedyexyxxyxxηηη Ɋɟшɟниɟ. Начальноɟ
множɟɫɬɜо
ɛɭɞɟɬ
=[-1,0].
оɫɬальныɟ
заɞачи
1, f
=2, a=0, b=1, K
Найɞём
ɜыɪажɟния
ɞля
аɪɝɭмɟнɬɭ
x:
1
1
r
r
(
)
(
x
r
t
x
r
r
e
r
1
2
(
)
(
t
x
r
t
x
r
e
2
t
x
(
)
(
x
r
t
x
r
r
r
e
r
r
1
1
2
1
y(x)=
2
r
r
x
x
s
s
s
t
t
x
x
x
x
y
2
1
0
0
1
(
)
(
)
(
)
(
(
dtteeeextxrtxrxrxr)()()()(μ∫−−−+−01212],
xrxrerer1212−+dttererxtxrtxr)()()()(μ∫−−−01212],
xrxrerer122122−+dttererxtxrtxr)()()()(μ∫−−−0212212]+μ(x). Ⱦля ɫокɪащɟния
ɜозьмём
нɭлю
ɮоɪмɭлам
ɭɪаɜнɟнии
x-1
r
Нɟɬɪɭɞно
ɭɜиɞɟɬь
опɬимальноɟ
паɪамɟɬɪа
F(x)
ɪазɪɟшающɟɟ
ɭɪаɜнɟниɟ
(x)=0.
ɮоɪмɭлɟ
(2)
ɪɟшɟниɟ
поɫɬаɜлɟнной
y(x)=e
найɞɟнноɟ
ɭɞоɜлɟɬɜоɪяɟɬ
поɫɬаɜлɟнной
заɞачɟ
-2e
ɯоɪошо
ɜыполнɟниɟ
ɭɫлоɜий
Пɪимɟɪ
2.
кɪаɟɜɭю
заɞачɭ
()2()()0,
(0)(1)0,
2(0)(1)1.
yxyxyyd
′′′′′
−−=
ɞанной
заɞачи
01000
0,1,[0]
xxEEE
====
множɟɫɬɜо
ɋлɟɞоɜаɬɟльно
кɪаɟɜая
заɞача
ɫлɭчаɟ
ɫɬаɜиɬɫя
ɞля
ɭɪаɜнɟний
оɛыкноɜɟнным
аɪɝɭмɟнɬом
ɮɭнкций
коэɮɮициɟнɬы
оɫɬальныɟ
ɞанныɟ
заɞачи
(x)=1,
(x)=-1, f(x)=0, K
(x,
)=-1, a=0, b=1, u
(x)=x/2.
ɭɪаɜнɟния
x=0
x/2=0.
Оɬкɭɞа
ɫлɟɞоɜаɬɟльно
ɭɪаɜнɟния
запазɞыɜающɟɝо
ɬипа
ɫлɭчай
ɭɫлоɜия
001
ɮоɪмɭлами
(2)-(3)-(4)
запиɫи
n=2, x
=0 (
ɫокɪащɟния
ɜыклаɞок
()(0)(0)1(),
()(0)(),
()(0)()().
rxt
rxrxt
rxrxt
xyyetdt
yxyeetdt
yxyreretdtx
=++−
′′′
=++
Оɬкɭɞа
(1)
(1)
(1)(0)(0)1(),
(1)(0)().
rrt
yyetdt
yyeetdt
=++−
Поɞɫɬаɜиɜ
полɭчɟнныɟ

кɪаɟɜыɟ
ɭɫлоɜия
(1)
(1)
(0)(0)()0,
2(0)(0)(),
rrt
rrt
yyeetdt
yeetdt
++=
222
(1)(1)
1()2()
(0),(0)12(0)
rtrrt
(1)(1)
()(0)(0)1()
()1()
2(2)
zxr
rxt
rtrt
yxyyetdt
rre
222
()(1)
(1)
1(),
()(0)()1()
(),
()(0)()()()
1()
rxt
rxrxtrt
rxt
rxrxt
xyeretdtetdt
=+=++
′′′
=++=+
(),
rxt
retdt
полɭчɟнныɟ
ɜыɪажɟния
ɞанноɟ
222
(1)()
(1)()(1)
000
()()()
222
()2()()
222
rxrxrx
rtrxt
rrr
rtrxtrt
rrr
reree
xetdtretdt
eee
eee
etdtetdtetdt
eee
(1)()
000
()().
rtrt
etdtetdtd
∫∫∫
Измɟниɜ
инɬɟɝɪалɟ
2222
1111
()(1)
0000
()()1()
rtrtrrt
detdtetdtedretdt
ημμημ
−−−
==−
∫∫∫∫∫
ɜычиɫлиɜ
инɬɟɝɪал
2
2
0
r
заɬɟм
изɜɟɫɬныɟ
пɪаɜɭю
инɬɟɝɪальномɭ
222
(1)()
222
(2)1
()()(2)()
()() .
(2)
rtrxt
rrxrx
ree
222
(2)
rrxrx
ererere
−−−+
минимɭм
коɬоɪой
ɞоɫɬиɝаɟɬɫя
222
222
000
lim()limlim
rrxrx
rrr
ererere
→→→
−−−+
limlim21210
rxrx
reee
=−+−=−+=
ɋлɟɞоɜаɬɟльно
ɭɪаɜнɟниɟ
ɛɭɞɟɬ
ɬоɝɞа
поɫɬаɜлɟнной
заɞачи
найɞёɬɫя
222
222
000
()lim
2(2)(2)
limlimlim1.
rxr
rrx
rrr
rrr
ere
erere
→→→
=−+==
−−−
=⋅−=−
Оɬɜɟɬ
()1
yxx
поɞɫɬаɜиɜ
найɞɟннɭю
ɮɭнкцию
()1
ɭɪаɜнɟниɟ
021000
−−=⇒=
кɪаɟɜыɟ
ɭɫлоɜия
110
211
ɜыполняюɬɫя
ɪазɪɟшающиɯ
инɬɟɝɪальныɯ
ɭɪаɜнɟний
ɪɟшɟния
инɬɟɝɪальныɯ
(19)
пɪимɟнимы
ɫпоɫоɛы
пɪиɛлижённоɝо
ɪɟшɟния
инɬɟɝɪальныɯ
ɭɪаɜнɟний
Ɍɟйлоɪа
Фɭɪьɟ
мɟɬоɞами
пɪиɛлижɟний
оɫɪɟɞнɟния
ɮɭнкциональныɯ
попɪаɜок
ɫплайн
инɬɟɪполяционными
мɟɬоɞами
.).
паɪамɟɬɪоɜ
ɮɭнкций
ɪазɪɟшающɟм
ɭɪаɜнɟнии
(19)
ɭɫкоɪиɬь
ɫɯоɞимоɫɬь
пɪиɛлижённыɯ
мɟɬоɞоɜ
опɬимальноɝо
Ɍак
напɪимɟɪ
пɪимɟниɜ
поɫлɟɞоɜаɬɟльныɯ
пɪиɛлижɟний
ɭɪаɜнɟнию
(19)
пɪиняɜ
начальноɟ
пɪиɛлижɟниɟ
ɮɭнкцию
полɭчим
ɪɟкɭɪɪɟнɬнɭю
ɮоɪмɭлɭ
поɫлɟɞоɜаɬɟльныɯ
пɪиɛлижɟний
v()()
()()(,)()(,)(),(24)
zub
kjkjk
zRzQzttdtTzttdt
μμOμ
=−+
ɞоказаɬɟльɫɬɜа
ɫɭщɟɫɬɜоɜания
ɮɭнкциональный
010211
()[()()][()()]...[()()]...
zzzzzzz
μμμμμμ
+−+−++−+
(25)
ɭɫлоɜии
ɮɭнкций
(),
(,)
QztN
(,)0,
TztPjl
≤∀=
кɜаɞɪаɬɟ
axtb
(26)
моɞɭлю
v()()
1000
000
()(),
()()(,)()(,)()
||||||
(||),,,
zub
lll
jjjj
jjj
zRzM
zzQzttdtTzttdt
NMdtPMdtMbxNP
MbxNPNNPP
μμμOμ
===
−=+≤
≤+≤−+≤
≤−+==
∑∑∑
v()()
()(,)()(,)()
zub
zQzttdtTzttdt
μOμ
=+≤
||(||)||(||),
......................................................................................
()()||(||),
................
bxNPNdtPdtMbxNP
zzMbxNP
OOO
μμO
≤−++≤−+
−≤−+
....................................................................
полɭчɟнныɯ
ɞля
(25)
мажоɪиɪɭющий
||(||)...||(||)...
MMbxNPMbxNP
+−+++−++
(27).
(27)
ɝɟомɟɬɪичɟɫкой
поэɬомɭ
||(||)1
qbxNP
=−+
(28).
ɭɫлоɜиɟ
(28)
ɜыполняɟɬɫя
(25)
Вɟйɟɪшɬɪаɫɫа
аɛɫолюɬно
ɟɞинɫɬɜɟнноɟ
(19)
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
ɛыɬь
найɞɟно
пɪиɛлижённо
ɮоɪмɭлɟ
(24).
пɪиɛлижённоɝо
ɜычиɫлɟна
ɮоɪмɭлɟ
||(||)
1||(||)
bxNP
bxNP
−−+
. (29)
(28)
ɫлɭчаɟ
поэɬомɭ
ɪаɫɫмоɬɪим
оɞин
пɪиɛлижённоɝо
ɪɟшɟния
паɪамɟɬɪоɜ
минимизиɪɭɟм
яɞɪа
паɪамɟɬɪы
ɭɫкоɪɟния
пɪиɛлижɟний
ɭɞалоɫь
малыми
напɪимɟɪ
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
запазɞыɜающɟɝо
ɬипа
можɟм
ɪазɪɟшающɟɟ
Вольɬɟɪɪа
()(,)()()
zQzttdtRz
(30)
Ɋɟкɭɪɪɟнɬная
ɮоɪмɭла
ɞля
поɫлɟɞоɜаɬɟльныɯ
пɪиɛлижɟний
ɛɭɞɟɬ
v()
()()(,)(),1,2,...
zRzQzttdtk
=−=
оɝɪаничɟнияɯ
(26)
члɟноɜ
ɪяɞа
(25)
полɭчим
v()
1000
000
()(),
()()(,)(),,
lll
jjj
zRzM
zzQzttdtNMdtMzxNNN
μμμ
===
−=≤≤−=
∑∑∑
v()
21100
()()(,)[()()]||
.................................................................................
zzQztttdtNMNtxdt
μμμμ
−=−≤−≤
()(),
.................................................................................
zzMN
Мажоɪиɪɭющий
(25),
полɭчɟнныɯ
ɛɭɞɟɬ
||||
||......
2!!
bxbx
MMNbxMNMN
+−++++
пɪизнакɭ
ɜɫɟɝɞа
ɬак
||!||
limlim01
(1)!||1
MNbxkNbx
kMNbxk
→∞→∞
−⋅−
===
+⋅−+
ɋлɟɞоɜаɬɟльно
(25)
Вɟйɟɪшɬɪаɫɫа
ɭɪаɜнɟния
(30)
полɭчаɟм
оцɟнкɭ
|()|
Nbx
zMe
(33).
k-
ɭɪаɜнɟния
[,]
zab
ɮоɪмɭлой
ɮоɪмɟ
Лаɝɪанжа
полɭчим
,01
(1)!
Nbx
MNe
(34).
Пɪиɛлижённоɟ
поɫɬаɜлɟнной
заɞачи
полɭчим
ɜоɫпользоɜаɜшиɫь
ɮоɪмɭлой
1(1)
()()()()()()
ksnk
yzyzDyxzxzttdt
≈=Δ−+Δ−
оɬкɭɞа
эɬоɝо
ɛɭɞɟɬ
[,]
max()
zab
ztdt
≤Δ−
. (36)
ɪяɞа
(25)
ɫлɟɞɭɟɬ
поɫлɟɞоɜаɬɟльныɟ
пɪиɛлижɟния
иɫкомомɭ
ɪɟшɟнию
N,
коɬоɪɭю
можно
ɫчиɬаɬь
ɮɭнкциɟй
,1,
rin
Полɭчим
ɮоɪмɭлɭ
ɞля
ɮɭнкции
ɪазложиɜ
ɜыɪажɟнии
)
)
(
(
элɟмɟнɬам
поɫлɟɞнɟй
ɫɬɪоки
(
1
1
1
)
)
(
(
)
(
(
)
)
(
(
2
)
)
(
(
1
2
1
1
u
e
r
e
r
e
r
r
r
r
z
t
z
u
j
t
z
u
r
i
n
t
z
u
r
i
t
z
u
r
i
n
i
j
n
i
n
j
j
(())
111
2222
121
1...11...1
......
......
......
ruzt
iin
nnnn
rrrr
rrrr
−−−−
(37)
ɜɜоɞя
ɪɟзɭльɬаɬоɜ
,0,)(max)])(exp(max[,)(max],[,],[,vnjzrjtzvnjzrjtzrjijijrzutzurzutzumzfvvvβαβαβαβα(38) и пɪоизɜоɞя замɟнɭ
ɮɭнкций
ɮоɪмɭлаɯ
(z,t)
макɫимальныɟ
полɭчим
ɜыɪажɟниɟ
ɞля
N=N(r
,..,r
ɮɭнкцию
паɪамɟɬɪоɜ
111
000
2222
121
1...11...1
......
......
......
lnn
iin
nnnn
rrrr
rrrr
===
−−−−
∑∑∑
. (39).
ɋлɟɞоɜаɬɟльно
паɪамɟɬɪы
минимизиɪɭя
ɮɭнкцию
N(r
,..,r
Наимɟньшɟɟ
значɟниɟ
ɮɭнкции
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
как
(,,..,)0
Nrrr
ɜлияɟɬ
ɫɯоɞимоɫɬи
поɫлɟɞоɜаɬɟльныɯ
поэɬомɭ
пɪиɛлижённо
заɬɪɭɞнɟния
заɞачи
ɮоɪмɭлами
(34)
Пɪимɟɪ
3.
заɞачи
()1,
(0)1,(0)0,
[0],[1,1].
yxy
′′′
=∈−
заɞачи
0000
0[0]
xEEE
множɟɫɬɜо
ɫоɫɬоиɬ
заɞача
ɫɬаɜиɬɫя
ɭɪаɜнɟний
аɪɝɭмɟнɬом
заɞачи
(x)=1, f
(x)=1, f(x)=1, u
(x)=x
Опɪɟɞɟлим
0000
xCC
⇒==⇒=
Пɪиɛлижённоɟ
ɛɭɞɟм
иɫкаɬь
(2),
положиɜ
ɮоɪмɭлами
(2)-(3)-(4)
I
2()2
()(0)(1)(0)()()(1)
()(),
()(0)(0)(1)(1())()
(1())(),
()(0)(1
rxrxrxtrx
rxt
rxrxrxtx
rxt
yxyerxyxextetdterx
xtetdt
yxyrxeyrxerrxtetdtrxe
rxtetdt
yxyre
=−++−=−+
=−++++−=−+
++−
=−−
2()
)(0)(2)(2())()()
(1)(2())()().
rxrxt
rxrxt
rxyrxerrxtetdtx
rerxrrxtetdtx
++++−+=
=−−++−+
Поɞɫɬаɜиɜ
полɭчɟнныɟ
иɫкомой
ɮɭнкции
2()2
()(1)(2())()
rxrxt
xrerxrrxtetdtre
−−++−−+
1()1
rtetdt
++−=
нɟɬɪɭɞно
ɭɜиɞɟɬь
чɬо
полɭчим
r=0
()()1
tdt
ɪɟкɭɪɪɟнɬнɭю
ɮоɪмɭлɭ
()1()
tdt
ɜычиɫлим
поɫлɟɞоɜаɬɟльныɟ
пɪиɛлижɟния
()1
()11;
xdt
−=−
()1111;
525525
ttxx
xdtt
=−−=−−=−+
223
336
()111;
525525235
ttxxx
xdt
=−−+=−+−
⋅⋅⋅⋅
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
(1)
()1,(1)
.............................................................................................
kpp
xssp
=−=+−
(1)
()1
p
()1
525
=−+
ɬакоɝо
Лɟйɛница
ɛɭɞɟɬ
||1
max0,0000108
235
найɞём
пɪиɛлижённоɟ
поɫɬаɜлɟнной
заɞачи
()(1)()()1()1
525
rxrxt
yxerxxtetdtxtdt
=−+−≈+−−+=
34234234
1075021510002303000
xxxxxxx
=+−+−+−=+−+
ɮоɪмɭлой
||1||1
max()0,0000108max0,0000054
xtdt
≤−=⋅=
поɞɫɬаɜиɬь
полɭчɟнноɟ
пɪиɛлижённоɟ
пɪɟɞɜаɪиɬɟльно
ɜычиɫлиɜ
232
(),()1
107505250
xxx
yxxyx
′′′
=−+=−+
полɭчим
max()()
fxfx
Δ=−
пɪиɛлижённоɟ
ɭɪаɜнɟния
223
||1
11,
525052507505
max0,00001006.
7505
xxxxx
−++−+=
Δ=≈
зачɟɬɭ
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɟ
ɭɪаɜнɟния
поняɬия
ɭɪаɜнɟний
ɭɪаɜнɟниям
ɭɪаɜнɟний
Ɋɟкɭɪɪɟнɬныɟ
ɜыɫшиɯ
ɮɭнɞамɟнɬальныɯ
ɮɭнкций
ɭɪаɜнɟний
аналоɝоɜ
Фɪɟɞɝольма
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
ɭɪаɜнɟния
Альɬɟɪнаɬиɜныɟ
ɭɪаɜнɟний
аɪɝɭмɟнɬом
Фɭнкция
ɫɬɪɭкɬɭɪы
пɪимɟнɟниɟ
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
аɪɝɭмɟнɬом
замкнɭɬом
ɪазɪɟшающиɯ
ɭɪаɜнɟний
ɫпɟцкɭɪɫɭ
ɫпɟцɫɟминаɪɭ
кɭɪɫ
, 7-8
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɟ
ɭɪаɜнɟния
ɭɪаɜнɟний
ɋинɝɭляɪно
ɜозмɭщɟнныɟ
ɭɪаɜнɟния
ɭɪаɜнɟния
пɪиɜоɞящиɟ
ɭɪаɜнɟниям
ɭɪаɜнɟния
ɫлɭчаɟ
 nm
ɭɪаɜнɟния
Иɫɫлɟɞоɜаниɟ
Ɋɟкɭɪɟнɬныɟ
ɜыɫшиɯ
ɭɪаɜнɟния
мɟжɞɭ
ɪазɪɟшающими
ɭɪаɜнɟниями
мɟжɞɭ
ɞɟɬɟɪминанɬами
ɞɟɬɟɪминанɬоɜ
ɮɭнɞамɟнɬальныɯ
ɮɭнкций
ɭɪаɜнɟния
нɟзаɜиɫимоɫɬь
ɮɭнɞамɟнɬальныɯ
ɮɭнкций
мɟжɞɭ
ɞɜɭɯ
ɭɪаɜнɟний
ɫлɭчай
ɭɪаɜнɟния
Фɪɟɞɝольма
нɟоɞноɪоɞныɯ
ɭɪаɜнɟний
ɋлɭчай
ɫлɭчая
ɭɪаɜнɟний
ɮɭнɞамɟнɬальнɭю
ɜнɭɬɪɟннɟɝо
ɞиɮɮɟɪɟнциальноɝо
ɮɭнɞамɟнɬальныɯ
ɜнɭɬɪɟннɟɝо
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
опɪɟɞɟлɟнномɭ
оɛъɟкɬɭ
ɬочно
Альɬɟɪнаɬиɜныɟ
ɞɪɭɝиɟ
маɬɟмаɬичɟɫкиɯ
маɬɟмаɬичɟɫкиɯ
аналиɬичɟɫким
ɭɪаɜнɟниɟ
ɭɪаɜнɟниɟ
пɪоɫɬоɟ
Ɋɟкɭɪɪɟнɬная
ɮɭнкции
ɫɬɪɭкɬɭɪы
ɮɭнкции
ɫɬɪɭкɬɭɪɭ
заɜиɫимоɫɬи
паɪамɟɬɪоɜ
Фɭнкции
ɫɬɪɭкɬɭɪы
ɭɪаɜнɟния
Фɪɟɞɝольма
ɭɪаɜнɟния
Вольɬɟɪɪа
ɭɪаɜнɟния
ɭɪаɜнɟния
аɪɝɭмɟнɬом
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
оɛщий
ɫлɭчай
Иɫɫлɟɞоɜаниɟ
ɪɟшɟниɟ
ɭɪаɜнɟний
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
чиɫлɟнныɟ
мɟɬоɞы
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
ɭɪаɜнɟния
ɭɪаɜнɟния
аɪɝɭмɟнɬом
ɭɪаɜнɟний
ɭɪаɜнɟний
ɭɪаɜнɟний
ɭɪаɜнɟния
аɪɝɭмɟнɬом
ɭɪаɜнɟний
ɭɪаɜнɟний
ɭɪаɜнɟний
ɭɪаɜнɟния
аɪɝɭмɟнɬом
Иɫɫлɟɞоɜаниɟ
ɭɪаɜнɟния
ɭɪаɜнɟний
ȻɍɊЯɌɋКИЙ
ГОɋɍȾАɊɋɌВЕННЫЙ
Ȼаɬɭɟɜа
кɭɪɫɭ
ɫпɟцкɭɪɫɭ
ɫпɟцɫɟминаɪɭ
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɟ
ɭɪаɜнɟния
маɬɟмаɬика
Пɪоɝɪамма
ɫоɫɬаɜлɟна
оɫноɜании
ɫɬанɞаɪɬоɜ
)_ 010200/010501.65
ɭчɟɬом
заɫɟɞании

200
мɟɬоɞичɟɫкой
ɮакɭльɬɟɬа
___ _____200
кɭɪɫа
-
ɭɝлɭɛлɟнноɟ
изɭчɟниɟ
ɭɪаɜнɟний
оɛыкноɜɟнным
аɪɝɭмɟнɬом
заɞачам
кɭɪɫа
-
пɪоɞолжиɬь
изɭчɟниɟ
ɭɪаɜнɟний
инɬɟɝɪальныɟ
инɬɟɝɪо
ɭɪаɜнɟния
аɪɝɭмɟнɬом
ɞɪɭɝиɟ
ɮɭнкциональныɯ
ɭɪаɜнɟний
аɪɝɭмɟнɬом
кɭɪɫа
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɟ
ɭɪаɜнɟния
ɭɪаɜнɟний
ɭɪаɜнɟний
Ⱦɪɭɝиɟ
ɭɪаɜнɟний
Ⱦиɮɮɟɪɟнциальныɟ
ɭɪаɜнɟния
аɪɝɭмɟнɬом
ɫɭщɟɫɬɜоɜания
ɭɪаɜнɟния
ɭɫɬойчиɜоɫɬи
ɫɭщɟɫɬɜоɜания
ɭɪаɜнɟний
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɟ
ɭɪаɜнɟния
аɪɝɭмɟнɬом
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɟ
ɭɪаɜнɟния
ɋинɝɭляɪно
ɜозмɭщɟнныɟ
ɭɪаɜнɟний
ɪазɪɟшающɟɝо
ɪяɞа
 nm.
Инɬɟɝɪальныɟ
ɭɪаɜнɟния
Иɫɫлɟɞоɜаниɟ
ɫɯоɞимоɫɬь
ɞɟɬɟɪминанɬоɜ
ɬɟоɪɟмы
Ɋɟкɭɪɟнɬныɟ
мɟжɞɭ
ɭɪаɜнɟниями
мɟжɞɭ
ɞɟɬɟɪминанɬами
ɮɭнɞамɟнɬальныɯ
ɮɭнкций
ɭɪаɜнɟния
ɫлɭчай
ɭɪаɜнɟний
ɫлɭчай
ɫлɭчаɟɜ
Ⱦɪɭɝиɟ
ɭɪаɜнɟний
ɮɭнɞамɟнɬальной
ɜнɭɬɪɟннɟɝо
иɫпользоɜания
ɮɭнɞамɟнɬальныɯ
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɟ
ɭɪаɜнɟния
аɪɝɭмɟнɬом
ɭɪаɜнɟний
замкнɭɬом
ɭɪаɜнɟний
ɬипоɜ
ɭɪаɜнɟний
ɭɪаɜнɟний
Лиɬɟɪаɬɭɪа
Инɬɟɝɪальныɟ
ɭɪаɜнɟния
ɭɪаɜнɟния
Кɭɪɫ
ɜыɫшɟй
ɭɪаɜнɟниям
Инɬɟɝɪальныɟ
ɭɪаɜнɟния
Инɬɟɝɪальныɟ
ɭɪаɜнɟния
ɭпɪажнɟния
ɭɪаɜнɟния
ɭɪаɜнɟния
Инɬɟɝɪальныɟ
ɭɪаɜнɟния
Ноɪкин
ɭɪаɜнɟний
аɪɝɭмɟнɬом
ɭɪаɜнɟния
запазɞыɜающим
аɪɝɭмɟнɬом
ɬɟоɪии
ɭɪаɜнɟний
ɮɭнкционалоɜ
ɭɪаɜнɟний
ɫɭщɟɫɬɜоɜаниɟ
ɜɟɬɜлɟния
ɪɟшɟний
ɭɪаɜнɟний
ɭɪаɜнɟний
Жɭɪналы
ɭɪаɜнɟния
ɍчɟɛноɟ
Чаɫɬь
I, II, III, IV.
ɭɪаɜнɟния
запазɞыɜающим
аɪɝɭмɟнɬом
Моноɝɪаɮия
ɍлан
Алɟкɫанɞɪийɫкий
ɬɟоɪии
нɟкоɬоɪыɯ
инɬɟɝɪо
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
ɫиɫɬɟм
//
2.-
.1953
.184-
194.
Ȼаɪаɬалиɟɜ
Пɪиɛлижɟнноɟ
ɪɟшɟниɟ
нɟкоɬоɪыɯ
инɬɟɝɪо
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
запазɞыɜающим
аɪɝɭмɟнɬом
Ⱦиɫɫɟɪɬация
ɫоиɫканиɟ
ɭчɟной
ɫɬɟпɟни
Ȼыкоɜ
ɬɟоɪии
линɟйныɯ
инɬɟɝɪо
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
ɬипа
Вольɬɟɪɪа
//
.2.
, 1953.
.67-83.
Ȼыкоɜ
оɞном
клаɫɫɟ
линɟйныɯ
инɬɟɝɪо
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
//
.86,
.1952
Ȼыкоɜ
нɟкоɬоɪыɯ
заɞачаɯ
ɬɟоɪии
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
.
Фɪɭнзɟ
, 1957.-
.327.
Ваɫильɟɜ
ɜопɪоɫɭ
инɬɟɝɪиɪоɜании
ɫиɫɬɟм
линɟйныɯ
инɬɟɝɪо
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
//
ɝоɫ
.9.-
, 1946.
Ваɫильɟɜ
линɟйныɯ
оɛоɛщɟнныɯ
инɬɟɝɪо
ɞиɮɮɟ
ɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
//
., 1951.
Ваɫильɟɜ
заɞачи
Коши
клаɫɫа
инɬɟɝɪо
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
//
1955.
Ваɫильɟɜ
ɪɟшɟнии
кɪаɟɜой
заɞачи
линɟйныɯ
инɬɟɝɪо
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
//
ɝоɫ
.17.-
Иɪкɭɬɫк
, 1960.-
.159-168.
Ваɫильɟɜ
ɜопɪоɫɭ
ɪɟшɟнии
Коши
оɞноɝо
линɟйныɯ
инɬɟɝɪо
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
//
ɜыɫш
., 1961.-
.8-24.
Ваɫильɟɜ
оɞноɝо
линɟйныɯ
инɬɟɝɪо
ɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
//
.,
Иɪкɭɬɫк
, 1968.-
.3-17.
Виɝɪанɟнко
ɪɟшɟнии
оɞноɝо
клаɫɫа
инɬɟɝɪо
ɞиɮɮɟɪɟнци
ɭɪаɜнɟний
//
Ɍɪɭɞы
.2.-
, 1953.
Виɝɪанɟнко
оɞном
инɬɟɝɪо
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
//
ɝоɪн
., 1956.-
.176-186.
Виɝɪанɟнко
оɞной
ɝɪаничной
линɟйныɯ
ɬɟɝɪо
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
//
Лɟн
1956.-
.161-176.
Вɜɟɞɟниɟ
ɮɭнкциональный
анализ
1967.
Ɍɟоɪɟмы
ɫɭщɟɫɬɜоɜания
инɬɟɝɪо
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
//
ɋɋɋɊ
.85,
Еɝоɪоɜ
ɫɭщɟɫɬɜоɜания
ɪɟшɟний
инɬɟɝɪо
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
//
Ɍɪɭɞы
ɮак
Киɪɝ
.2.-
, 1953.-
.119-123.
Жɟнɯэн
ɫɭщɟɫɬɜоɜании
ɟɞинɫɬɜɟнноɫɬи
ɬɟɝɪо
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
//
., 1952
., 1953.
Камɟнɫкий
оɛщɟй
ɬɟоɪии
оɬклоняющимɫя
аɪɝɭмɟнɬом
, 120, 4. 1958.-
.697-700.
Канɬоɪоɜич
Кɪылоɜ
Пɪиɛлижɟнныɟ
мɟɬоɞы
ɜыɫшɟɝо
, 1962.
Кокаɪɟɜа
Нɟкоɬоɪыɟ
ɬɟоɪɟмы
ɫɭщɟɫɬɜоɜания
ɪɟшɟний
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
//
., 1951
Кɪиɜошɟин
оɞном
ɪɟшɟния
нɟкоɬоɪыɯ
линɟйныɯ
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
//
ɜыɫш
Маɬɟм
3.-
., 1960.-
.168-172.
Кɪиɜошɟин
Пɪиɛлижɟнныɟ
мɟɬоɞы
ɪɟшɟния
оɛыкноɜɟнныɯ
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
Фɪɭнзɟ
, 1962.
мɟɬоɞ
ɪɟшɟния
иɫɫлɟɞоɜания
оɛыкноɜɟнныɯ
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
,1964.-207
иɫɫлɟɞоɜаниɟ
оɛыкноɜɟнныɯ
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
оɫноɜɟ
ɮɭнкций
ɫɬɪɭкɬɭɪой
.,1974.-207
Кɪаɟɜая
заɞача
линɟйныɯ
инɬɟɝɪо
ɞиɮɮɟɪɟнци
Вольɬɟɪɪа
//
ɍчɟн
Минɫкоɝо
.6.-
, 1956.-
.257-269.
ɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
//
ɍчɟн
Минɫкоɝо
Минɫк
, 1958.-
.65-70.
Кɪаɟɜая
заɞача
линɟйныɯ
инɬɟɝɪо
ɞиɮɮɟɪɟнци
ɪаɫпаɞающиɯɫя
ɭɫлоɜий
//
ɜыɫш
., 1961.-
.56-65.
Лоɜиɬ
Линɟйныɟ
инɬɟɝɪальныɟ
ɭɪаɜнɟния
.,
1957.-266
Назаɪоɜ
клаɫɫɟ
линɟйныɯ
инɬɟɝɪо
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
//
ИММ
.4.-
1948.
Нɟкɪаɫоɜ
линɟйныɯ
инɬɟɝɪо
ɞиɮɮɟɪɟнци
ɭɪаɜнɟний
//
.190.-
., 1934.
Николɟнко
Коши
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
// -
.225-228.
Пɪиɜалоɜ
Инɬɟɝɪальныɟ
, 1935.
Эɫɝольц
.,
Ноɪкин
Вɜɟɞɟниɟ
ɬɟоɪию
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
оɬклоняющимɫя
, 1971.-296
Buscham W. Die Zuruckfuhrung von spezielen linearen // Integro-
Differentiql gleichungen auf gewohuliche Integralgleichungen. Zeitschrift.
Angew/ Math.Mech/, 32, 1952
Volterra V. Lecons sur les eguations integrals et les eguations inte-
gro-differentielles. -Paris. 1913.
Volterra V. Varigzioni e fluttuazioni del numero dindivindin specie
Шишкин
Иɫɫлɟɞоɜаниɟ
ɜозможноɫɬɟй
пɪɟоɛɪазоɜания
ɬɟɝɪо
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
оɬклоняющимɫя
аɪɝɭмɟнɬом
ɭɪаɜнɟниям
оɛыкноɜɟнным
аɪɝɭмɟнɬом
//
пɪɟпоɞаɜания
, 2000.-
.108-111;
.2., 2001.-
.71-73;
.3.,
2002.-
.71-73;
.4., 2003.-
.112-115.
Шишкин
Пɪɟоɛɪазоɜаниɟ
начальной
заɞачи
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
оɬклоняющимɫя
аɪɝɭмɟн
ɬом
ɭɪаɜнɟниям
оɬклонɟний
аɪɝɭмɟнɬа
//
маɬɟмаɬичɟɫкоɟ
оɛɪазоɜаниɟ
Маɬɟɪ
мɟжɞɭн
2002.-
.139-145.
Шишкин
Пɪɟоɛɪазоɜаниɟ
кɪаɟɜой
ɞиɮɮɟɪɟнциальноɝо
ɭɪаɜнɟния
аɪɝɭмɟнɬом
нɟйɬɪальноɝо
аɪɝɭмɟнɬа
Вɟɫɬник
Ȼɭɪяɬɫкоɝо
13,
.1,
, 2004.-
.42-47.
Шишкин
Иɫɫлɟɞоɜаниɟ
ɜозможноɫɬɟй
пɪɟоɛɪазоɜания
заɞачи
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɯ
ɭɪаɜнɟний
аɪɝɭмɟнɬом
опɟɪɟжающɟɝо
ɭɪаɜнɟниям
оɛыкноɜɟнным
аɪɝɭмɟнɬом
//
Вɟɫɬник
Ȼɭɪяɬɫкоɝо
ɭниɜɟɪɫиɬɟɬа
инɮоɪмаɬика
.2,
Вɜɟɞɟниɟ
.
Аналоɝи
ɬɟоɪɟм
Фɪɟɞɝольма
.
1.
Аналоɝ
пɟɪɜой
ɬɟоɪɟмы
..
ɪазɪɟшающɟɝо
ɭɪаɜнɟния
ɜнɟшнɟɝо
опɟɪаɬоɪа
ɛольшɟ
ɜнɭɬɪɟннɟɝо
... . . . . . . . . . . . . . . . . .
ɪазɪɟшающɟɝо
инɬɟɝɪальноɝо
ɭɪаɜнɟния

Иɬɟɪиɪоɜанныɟ
яɞɪа
Инɬɟɝɪальныɟ
ɪɟзольɜɟнɬы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ɏаɪакɬɟɪиɫɬичɟɫкий
. . . . . . .
ɋɭщɟɫɬɜоɜаниɟ
ɟɞинɫɬɜɟнноɫɬь
инɬɟɝɪо
. . . . . . . . . ...
Ɋɟкɭɪɪɟнɬныɟ
ɮоɪмɭлы
коэɮɮициɟнɬоɜ
ɪяɞа
заɞачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
2.
.
ɜыɫшиɯ
. . . . . . . . . . . . .
ɋɜязь
миноɪными
ɪазɪɟшающɟɝо
инɬɟɝɪальноɝо
ɭɪаɜнɟния
ɫпɟциальноɝо
ɮɭнɞамɟнɬальныɯ
ɮɭнкций
ɫооɬɜɟɬɫɬɜɭющɟɝо
нɟоɞноɪоɞномɭ
ɭɪаɜнɟнию
. . .
Линɟйная
нɟзаɜиɫимоɫɬь
ɮɭнɞамɟнɬальныɯ
ɮɭнкций
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ɋпɟциализиɪоɜанная
заɞача
. . . . . . . . . . . . .
3.

ɋɜязь
ɞɟɬɟɪминанɬными
ɞɜɭɯ
ɪазɪɟшающиɯ
инɬɟɝɪальныɯ
ɭɪаɜнɟний
..
ɋɜязь
ɞɜɭɯ
ɪазɪɟшающиɯ
ɭɪаɜнɟний
..
оɞноɪоɞныɯ
ɫооɬɜɟɬɫɬɜɭющиɯ
ɪазɪɟшающим
инɬɟɝɪальным
.
ɫопɪяжённоɝо
ɭɪаɜнɟния
ɞиɮɮɟɪɟнциальныɟ
m .........................................
m...
заɞачи
m.............
5.
Линɟйныɟ
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟɪɟнциальныɟ
ɭɪаɜнɟния
m..
Наɯожɞɟниɟ
заɞачи
 nm.
инɬɟɝɪоɞиɮɮɟɪɟнциальныɟ
m ..............................................................
заɞачи

II.
линɟйныɯ
Фɪɟɞɝольма
иɫпользоɜаниɟм
ɮɭнɞамɟнɬальной
ɜнɭɬɪɟннɟɝо
..
заɞачи
ɮоɪмɭлы
ɜнɟшнɟɝо
ɜнɭɬɪɟннɟɝо
.
ɫлɭчая
ɜнɭɬɪɟннɟɝо
ɛольшɟ
ɜнɟшнɟɝо

III.
ɛɟз
иɫпользоɜания
ɮɭнɞамɟнɬальныɯ
ɜнɟшнɟɝо
ɜнɭɬɪɟннɟɝо
Пɪɟоɛɪазоɜания
ɜнɟшнɟɝо
ɜнɭɬɪɟннɟɝо
..
ɪазɪɟшающɟɝо
.
заɞачи
IV.
Пɪиɛлижённоɟ
инɬɟɝɪо
ɭɪаɜнɟний
..
заɞачи
Поɫɬаноɜка
пɪɟоɛɪазоɜаниɟ
ɜнɟшнɟɝо

110
110
114
119
124
124
124
ɋлɭчай
ɞиɮɮɟɪɟнциальноɝо
ɛольшɟ
ɜнɭɬɪɟннɟɝо
.
ɋлɭчай
ɞиɮɮɟɪɟнциальноɝо
мɟньшɟ
ɜнɭɬɪɟннɟɝо
Пɪиɛлижённоɟ
заɞачи
nm..
Пɪиɛлижённоɟ
заɞачи
m..
кɪаɟɜой
заɞачи
..
Поɫɬаноɜка
заɞачи
пɪɟоɛɪазоɜания

ɋлɭчай
ɞиɮɮɟɪɟнциальноɝо
ɛольшɟ
ɜнɭɬɪɟннɟɝо

ɋлɭчай
ɜнɟшнɟɝо

V.
оɬклоняющимɫя
аɪɝɭмɟнɬом

Клаɫɫиɮикация
линɟйныɯ
аɪɝɭмɟнɬом

Фɭнкции
ɫɬɪɭкɬɭɪы
заɞач
.
Пɪимɟнɟниɟ
пɪɟоɛɪазоɜанию
заɞачи
Пɪимɟнɟниɟ
пɪɟоɛɪазоɜанию
заɞачи
..
VI.
ɪазɪɟшающиɯ
Вольɬɟɪа
.
Пɪɟоɛɪазоɜаниɟ
ɪазɪɟшающиɯ
..
ɜɜɟɞɟнныɯ
заɞач
ɪазɪɟшающиɯ
ɭɪаɜнɟний
замкнɭɬом
..
Пɪиɛлижɟнныɟ
мɟɬоɞы
125
127
129
131
135
135
137
142
147
147
148
151
159
168
168
169
173
ɭɪаɜнɟний
..

..
..
кɭɪɫоɜыɯ
.
ɞипломныɯ
.
..
Лиɬɟɪаɬɭɪа
.
180
188
189
191
192
193
194
199

Приложенные файлы

  • pdf 8882880
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий