Коллок диффуры


Список вопросов.
1. Определение дифференциального уравнения. Понятие общего решения и частного решения.2. Уравнения с разделяющимися переменными.3. Однородные уравнения и уравнения, приводящие к однородным.4. Линейные уравнения первого порядка.5. Уравнение Бернулли.6. Уравнение Риккати.7. Уравнения в полных дифференциалах.8. Уравнения с интегрирующим множителем.9. Теорема Коши о существовании и единственности решения задачи дифференциального уравнения первого порядка.10. Метод последовательных приближений.11. Следствия из теоремы Коши.12. Принцип сжатых отображений.13. Особые точки и особые решения.14. Уравнения, не разрешенные относительно производной.
Определение дифференциального уравнения. Понятие общего решения и частного решения.
Дифференциальное уравнение – уравнение, связывающее независимую переменную x и y, y’, y’’,…,y(n)
Общий вид:
Fx, y, y', y'',…,yn=0φx, y, dx,dy,d2x,d2y, …,dnx,dny=0Решение ДУ – всякая функция y=y(x), которая, при подстановке в ДУ, обращает ДУ в тождество.
При этом график функции y=y(x) называется интегральной кривой.
Общее решение уравнения y'=f(x,y) это функция y=φ(x,c), удовлетворяющая следующим условиям:
∀ C φ обращает y'=f(x,y) в тождество
(∀x0, y0∈DF)(∃C*=φx, c*), C* удовлетворяет данным условиям, при этом y=φx, c* - частное решение.
По Степанову:




Уравнения с разделяющимися переменными.
MxPydx+NxQydy=0 (*)
y'=fxg(x)(*): MxPydx=- NxQydy :Py :N(x)MxdxNx=-QydyPyMxdxNx=-QydyPyПолучим
y=φ(x,c) или φx,y,c=0 при Nx≠0 и Py≠0 Затем проверим Nx=0 и Py=0Пусть Nx=0 при x=b, тогда x=b – частное решение.
Пусть Py=0 при y=a, тогда y=a – частное решение.
Однородные уравнения и уравнения, приводящие к однородным.
По Степанову:


Проверка уравнения на однородноеВ исходное уравнение:  
вместо  подставляем , вместо  подставляем , производную не трогаем:

Буква лямбда – это некоторый абстрактный числовой параметр, дело не в самих лямбдах, и не в их значениях, а дело вот в чём:
Если в результате преобразований удастся сократить ВСЕ «лямбды» (т.е. получить исходное уравнение), то данное дифференциальное уравнение является однородным.
Очевидно, что лямбды сразу сокращаются в показателе степени:Теперь в правой части выносим лямбду за скобки:
Обе части уравнения можно сократить на эту самую лямбду:В результате все лямбды исчезли как сон, как утренний туман, и мы получили исходное уравнение.
Вывод: Данное уравнение является однородным.
Приведение к уравнению с разделяющимися переменными
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными путем замены y=tx, где t-функция, зависящая от x.
Уравнения, приводимые к однородным

К однородным уравнениям первого порядка приводится уравнение вида:

Как определить, что дифференциальное уравнение приводится к однородномуДля того, чтобы определить, что дифференциальное уравнение приводится к однородному, нужно выделить две линейные формы:a1 x + b1 y + c1, a2 x + b2 y + c2, и выполнить замену:
a1 x + b1 y + c1 → t(a1 x + b1 y + c1);a2 x + b2 y + c2 → t(a2 x + b2 y + c2)
Если после преобразований t сократится, то это уравнение приводится к однородному.
Решение дифференциального уравнения, приводящегося к однородному уравнению
Решаем систему уравнений:

Здесь возможны три случая:
1) Система имеет бесконечное множество решений (прямые a1 x + b1 y + c1 = 0 и a2 x + b2 y + c2 = 0совпадают). В этом случае

Тогда

Это простейший вид уравнения с разделяющимися переменными:

Его решение:

2) Система не имеет решений (прямые a1 x + b1 y + c1 = 0 и a2 x + b2 y + c2 = 0 параллельны). В этом случае a1 b2 – a2 b1 = 0;



Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой z = a2 x + b2 y + c2.
3) Система имеет одно решение (прямые a1 x + b1 y + c1 = 0 и a2 x + b2 y + c2 = 0 пересекаются в одной точке). Обозначим это решение x0, y0. Тогда

Делаем подстановку x = t + x0, y = u + y0. Тогда dx = dt, dy = du,


или

Это однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно решается подстановкой u = zt, где z - функция от t.
Линейные уравнения первого порядка.


lefttop00

Решение линейного дифференциального уравнения с помощью интегрирующего множителя
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:

Существует три способа решения этого уравнения:
метод интегрирующего множителя;
метод введения двух функций (Бернулли);
метод вариации постоянной (Лагранжа).
Рассмотрим метод решения линейного дифференциального уравнения первого порядка с помощью интегрирующего множителя.
Умножим исходное уравнение на интегрирующий множитель -
:
(1)
Далее замечаем, что производная от интеграла равна подынтегральной функции:

По правилу дифференцирования сложной функции:


По правилу дифференцирования произведения:


Подставляем в (1):

Интегрируем:

Умножаем на   . Получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:

 
Метод введения двух функций (Бернулли)
Ищем решение исходного уравнения в виде произведения двух функций:
y = u·vгде u, v - функции от x. Дифференцируем:
y' = u'·v + u·v'
Подставляем в исходное уравнение:

Выносим u за скобки:
(1)
В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения:
(2)
Это уравнение с разделяющимися переменными

Разделяем переменные - умножаем на dx, делим на v:

Интегрируем:

Постоянную C возьмем равной нулю, поскольку нам нужно любое, отличное от нуля, решение. Тогда

Потенцируем и опускаем знак модуля (это сводится к умножению на постоянную ±1)

Подставим в (1) учитывая, что согласно (2) выражение в скобках равно нулю:

Отсюда

Интегрируем

Окончательно находим:


 
Метод вариации постоянной (Лагранжа)
Ищем решение однородного уравнения:

Это уравнение с разделяющимися переменными

Разделяем переменные - умножаем на dx, делим на y:

Интегрируем:

Интеграл по y - табличный:

Тогда

Потенцируем:

Заменим постоянную eC на C и уберем знак модуля, что сводится к умножению на постоянную ±1, которую включим в C:
(1)
Теперь считаем, что постоянная C является функцией от x:

Находим производную:

По правилу дифференцирования сложной функции:


По правилу дифференцирования произведения:


Подставляем в исходное уравнение:

Два члена сокращаются. Отсюда

Интегрируем:

Где C1 - постоянная интегрирования. Подставляем в (1):

Заменим постоянную C1 на C. В результате получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Уравнение Бернулли.

Дифференциальное уравнение Бернулли – это уравнение вида 
 
Решение дифференциального уравнения Бернулли приведением к линейному уравнению
Исходное уравнение:
(1)
Разделим на yn. При y ≠ 0 имеем

Это уравнение сводится к линейному с помощью замены переменной:

По правилу дифференцирования сложной функции

Подставляем:

Или:

Это линейное относительно z дифференциальное уравнение. После его решения следует рассмотреть случай y = 0. При n > 0, y = 0 также является решением уравнения и должно входить в ответ.
 
Решение методом Бернулли
Рассматриваемое уравнение можно решить методом Бернулли. Для этого ищем решение исходного уравнения в виде произведения двух функций:

где u, v - функции от x. Дифференцируем:

Подставляем в исходное уравнение (1):

(2)
В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения:
(3)
Уравнение (3) - это уравнение с разделяющимися переменными. После того, как мы нашли его частное решение v = v(x), подставляем его в (2). Поскольку оно удовлетворяет уравнению (3), то выражение в круглых скобках обращается в нуль. Получаем:


Это также уравнение с разделяющимися переменными. Находим его общее решение, а вместе с ним и решение исходного уравнения y = uv.
Уравнение Риккати.
В Степанове оказалось очень много и сложно, поэтому из него не стал приводить.
Дифференциальное уравнение Риккати – это уравнение вида 
Общее решение этого уравнения можно получить только в некоторых частных случаях.
 
Решение дифференциального уравнения Риккати при известном частном решении
Пусть известно частное решение y1(x) уравнения Риккати:

Тогда подстановкой y = y1 + u такое уравнение приводится к уравнению Бернулли:

Или:



Или:

Это уравнение Бернулли с n = 2.
 
Свойства уравнения РиккатиНе меняет вид уравнения:
Произвольное преобразование независимого переменного:
x = φ(x1)
Произвольное дробно-линейное преобразование зависимого переменного:

При таких подстановках уравнение также является уравнением Риккати, но с другими функциямиp, q, r.
 
Общее решение уравнения Риккати есть дробно-линейная функция от произвольной постоянной:

 
И наоборот если общее решение уравнения есть дробно-линейная функция от произвольной постоянной, то соответствующее уравнение есть уравнение Риккати.
 
Упрощение уравнение РиккатиПодстановкой:

где А - постоянная, уравнение Риккати приводится к виду:

где:

 
Далее, подстановкой:

оно приводится к виду:

где:

 
Упрощенное уравнение РиккатиУпрощенное уравнение Риккати - это уравнение вида:
(1)
где A, B - постоянные. Оно интегрируется при
где n = ±1, ±2, ±3,… - целое. Сделаем подстановку:


Подставляем в (1):

Умножаем на x2:
(2)
Но:

Подставляем в (2):

Или:
(3)
где:

Уравнение (3) интегрируется при  . Для этого разделим его на u2 и перепишем в виде:


Или:

Это уравнение с разделяющимися переменными. Оно легко интегрируется.
При  уравнение (3) можно преобразовать двумя путями:
Подстановкой , где , оно преобразуется к виду:

Подстановкой , где , оно преобразуется к виду:

Таким образом, при , где ν - целое число, ряд подстановок приводит к полному решению.
Уравнения в полных дифференциалах.
Дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах – это уравнения вида 
 
Если выполняется условие:
(1)
то выражение:

является дифференциалом некоторой функции:

Тогда:
(2)
Исходное уравнение:
(3)
принимает вид:
dU = 0
Отсюда получаем его интеграл:
U = C
 
Как распознать дифференциальное уравнение в полных дифференциалах
Для того чтобы определить, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах, нужно проверить выполнение соотношения (1). Поскольку вычисление производной занимает некоторое время, то сначала желательно проверить, не принадлежит ли уравнение одному из рассмотренному выше типов.Методы решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах
Метод последовательного выделения дифференциала
Наиболее простым методом решения уравнения в полных дифференциалах является метод последовательного выделения дифференциала. Для этого мы применяем формулы дифференцирования, записанные в дифференциальной форме:
du ± dv = d(u ± v)
v du + u dv = d(uv)


В этих формулах u и v - произвольные выражения, составленные из любых комбинаций переменных.
Метод последовательного интегрирования
Проинтегрируем первое уравнение (2):

где φ - функция от y.
Подставляем во второе уравнение (2):

Отсюда:

Интегрируя находим φ и, тем самым, U.
Метод прямого интегрирования
Функцию U, определяемую соотношением:

Можно найти непосредственным интегрированием:

где интегрирование выполняется по любой кривой, принадлежащей области существования p и q, соединяющей произвольную точку (x0, y0) и точку (x, y). После интегрирования члены, содержащиеx0 и y0 включают в постоянную C.
Для интегрирования этим методом нужно представить уравнение кривой, соединяющей точки (x0, y0) и (x, y) в параметрическом виде:
x1 = s(t);    y1 = r(t);
x0 = s(t0);    y0 = r(t0);
x = s(t1);    y = r(t1);
и интегрировать по t от t0 до t1.
Наиболее просто выполняется интегрирование по отрезку, соединяющем точки (x0, y0) и (x, y). В этом случае:
x1 = x0 + (x - x0)t;    y1 = y0 + (y - y0)t;
t0 = 0; t1 = 1
dx1 = (x - x0)dt;    dy1 = (y - y0)dtПосле подстановки, получается интеграл по t от 0 до 1.
Данный способ, однако, приводит к довольно громоздким вычислениям, поэтому применять его не стоит.
Уравнения с интегрирующим множителем.
Интегрирующий множитель M(x, y) – это такая функция от переменных x и y, умножив на которую, дифференциальное уравнение первого порядка становится уравнением в полных дифференциалах:
 
Свойства интегрирующего множителя
Рассмотрим дифференциальное уравнение:
(1)
Если

То левая часть уравнения (1) не является дифференциалом некоторой функции. Однако при выполнении условий существования единственного решения уравнения (1), его можно привести к уравнению в полных дифференциалах умножением на некоторую функцию M(x, y) от переменных xи y.

Методы определения интегрирующего множителя
Хотя каждое уравнение имеет интегрирующий множитель, совсем не обязательно, что он выражается через известные функции. Поэтому найти интегрирующий множитель можно не всегда. Но даже если интегрирующий множитель выражается через известные функции, нет методов, следуя которыми, можно было бы с гарантией определить его.
Поэтому, при решении уравнений, следует проверить, не принадлежит ли уравнение одному из известных типов. И в том случае, если оно не принадлежит ни одному из известных типов, попытаться найти интегрирующий множитель.
Ниже описан ряд методов, с помощью которых, в некоторых случаях, можно найти интегрирующий множитель.
 
Метод последовательного выделения дифференциала
Этот метод аналогичен методу выделения полного дифференциала для уравнений в полных дифференциалах. Только здесь полный дифференциал удается выделить, умножая уравнение на множители. Для этого применяем формулы дифференцирования, записанные в дифференциальной форме:
du ± dv = d(u ± v)
v du + u dv = d(uv)


В этих формулах u и v - произвольные выражения, составленные из любых комбинаций переменных.
Метод группировки членов уравнения
В этом случае исходное уравнение:

разбиваем на сумму слагаемых:

Пусть первое слагаемое имеет интегрирующий множитель:

Умножаем уравнение на M1:


Далее следует подобрать такую функцию φ(U1) от U1, чтобы при умножении на нее, второе слагаемое стало полным дифференциалом:

Первое слагаемое при этом остается полным дифференциалом:

Тогда:


Далее следует подобрать такую функцию φ2(W1+U2) от W1+U2, чтобы при умножении на нее, следующее слагаемое стало полным дифференциалом. И так далее, пока все выражение станет полным дифференциалом.
Определение интегрирующего множителя заданного вида
В предыдущем примере мы для уравнения

методом подбора угадали интегрирующий множитель вида M( xy ):

На самом деле процедуры подбора можно избежать. Можно точно определить, имеется ли для заданного уравнения интегрирующий множитель заданного вида. И если имеется, то определить его.
Пусть имеется уравнение:

для которого ищется интегрирующий множитель вида:
M = M(u)
где u = u(x, y) - заданная функция переменных x, y.
Найдем интегрирующий множитель, или определим, что множителя такого вида не существует.
Умножим исходное уравнение на M:

Это уравнение будет уравнением в полных дифференциалах при выполнении условия:

Или:


Теперь положим, что M - функция от u, где u = u(x, y) - заданная функция переменных x, y. Тогда:

Подставляем:

Отсюда:

Интегрирующий множитель заданного вида существует, если правая часть является функцией от u:

Тогда:

Или:

Интегрируем:

Отсюда:

Поскольку постоянная C для интегрирующего множителя никакого значения не имеет, положим C = 1:

Теорема Коши о существовании и единственности решения задачи дифференциального уравнения первого порядка.
См. Степанова. Более адекватного доказательства я не нашел.
Метод последовательных приближений.
Пусть требуется найти решение  дифференциального уравнения

(1)
удовлетворяющее начальному условию

(2)

Будем предполагать, что в некотором прямоугольнике  с центром в точке  для уравнения (1) выполнены условия а) и б) теоремы существования и единственности решения задачи (1)-(2).

Решение задачи (1)-(2) может быть найдено методом последовательных приближений, который состоит в следующем.

Строим последовательность  функций, определяемых рекуррентными соотношениями

(3)

В качестве нулевого приближения  можно взять любую функцию, непрерывную в окрестности точки , в частности  — начальное значение Коши (2). Можно доказать, что при сделанных предположениях относительно уравнения (1) последовательные приближения  сходятся к точному решению уравнения (1), удовлетворяющему условию (2), в некотором интервале, где

(4)

Оценка погрешности, получаемой при замене точного решения  n-м приближением , даётся неравенством

(5)

где . Применяя метод последовательных приближений, следует остановиться на таком , для которого не превосходит допустимой погрешности.
Следствия из теоремы Коши.
Опять же Степанов.
Принцип сжатых отображений.
Особые точки и особые решения.
Определение особого решения
Функция φ(x) называется особым решением дифференциального уравнения F(x,y,y') = 0, если единственность решения нарушается в каждой точке этой функции в области определения дифференциального уравнения. Геометрически это означает, что через каждую соответствующую точку (x0,y0) проходит более одной интегральной кривой с общей касательной. Примечание: Иногда используется более слабое определение особого решения, когда единственность решения нарушается лишь в некоторых точках. Особое решение дифференциального уравнения не описывается общим интегралом. Поэтому, оно не выводится из общего решения ни при каком значении постоянной C. Это можно проиллюстрировать следующим примером: Пусть требуется решить уравнение  (y')2 − 4y = 0. Видно, что общее решение данного уравнения описывается функцией  y = (x + C)2. Графически общее решение представляется в виде семейства парабол (Рисунок 1).
Рис.1 Кроме этого, функция  y = 0 также удовлетворяет дифференциальному уравнению. Однако эта функция не содержится в общем решении! Поскольку через каждую точку прямой  y = 0 проходит более одной интегральной кривой, то единственность решения на этой прямой нарушается, и, следовательно, данная прямая является особым решением дифференциального уравнения.
p-дискриминант
Одним из способов нахождения особого решения является исследование так называемого p-дискриминантадифференциального уравнения. Если функция F(x,y,y') и ее частные производные ,  непрерывны в области определения дифференциального уравнения, то особое решение находится из системы уравнений:

Уравнение ψ(x,y) = 0, которое получается при решении данной системы, называется p-дискриминантомдифференциального уравнения. Соответствующая кривая, определенная этим уравнением, называется p-дискриминантной кривой. После нахождения p-дискриминантной кривой необходимо проверить следующее:
Является ли p-дискриминант решением дифференциального уравнения?
Является ли p-дискриминант особым решением, то есть существуют ли другие интегральные кривые дифференциального уравнения, которые касаются p-дискриминантной кривой в каждой точке?
Это можно сделать следующим образом:
Сначала нужно найти решение дифференциального уравнения (обозначим его как y1);
Затем нужно записать условия касания кривой особого решения (обозначим его как y2) и семейства интегральных кривых общего решения y1 в произвольной точке x0:
         
Если данная система имеет решение в произвольной точке x0, то функция y2 будет являться особым решением. Особое решение обычно соответствует огибающей семейства интегральных кривых общего решения дифференциального уравнения.
Огибающая семейства интегральных кривых и C-дискриминант
Другой способ нахождения особого решения в виде огибающей семейства интегральных кривых основан на использовании C-дискриминанта. Пусть Φ(x,y,C) является общим решением дифференциального уравнения F(x,y,y') = 0. Графически уравнениеΦ(x,y,C) = 0 соответствует семейству интегральных кривых на плоскости xy. Если функция Φ(x,y,C) и ее частные производные непрерывны, то огибающая семейства интегральных кривых общего решения определяется системой уравнений:

Чтобы убедиться, что решение данной системы уравнений действительно является огибающей, можно воспользоваться методом, рассмотренным в предыдущем пункте.
Общий алгоритм нахождения особых точек
Более общий способ нахождения особых точек дифференциального уравнения основан на одновременном использовании p-дискриминанта и C-дискриминанта. Сначала мы определяем уравнения p-дискриминанта и C-дискриминанта:
ψp(x,y) = 0 − уравнение p-дискриминанта;
ψC(x,y) = 0 − уравнение C-дискриминанта;
Оказывается, что эти уравнения имеют определенную структуру. В общем случае, уравнение p-дискриминанта представляется в виде произведения трех функций:

где E означает уравнение огибающей, T − уравнение точек прикосновения и C − уравнение точек заострения. Аналогично, уравнение C-дискриминанта также раскладывается на произведение трех функций:

где E − уравнение огибающей, N − уравнение узловых точек, а C − уравнение точек заострения. Здесь мы имеем дело с новыми типами особых точек: C - точки заострения, T - точки прикосновения иN - узловые точки. Их вид в плоскости xy схематически представлен на рисунках 2-4.

Рис.2 Рис.3

Рис.4 Рис.5
Три типа особых точек из четырех, а именно: точки заострения, точки прикосновения и узловые точки, − являются внешними, то есть они не удовлетворяют дифференциальному уравнению и, поэтому, не являются особыми решениями дифференциального уравнения. Только уравнение огибающей будет являться особым решением. Поскольку огибающая входит в уравнения обоих дискриминантов в виде множителя в первой степени, то ее уравнение легко определяется из данной системы. 
Уравнения, не разрешенные относительно производной.
пределение и методы решения
Уравнение вида

где F − непрерывная функция, называется уравнением первого порядка, не разрешенным относительно производной. Если это уравнение можно решить относительно y', то мы получаем одно или несколько явных дифференциальных уравнений вида

которые решаются методами, рассмотренными в других разделах. Далее мы предполагаем, что дифференциальное уравнение не приводится к явной форме. Основной метод решения таких неявных уравнений − это метод введения параметра. Ниже мы покажем, как этот метод используется для нахождения общего решения для некоторых важных частных случаев уравнений, не разрешенных относительно производной. Отметим, что общее решение может не покрывать все возможные решения дифференциального уравнения. Помимо общего решения, дифференциальное уравнение может также содержать так называемые особые решения. Более детально это рассматривается на странице Особые решения дифференциальных уравнений.
Случай 1. Уравнение вида x=f(y,y').
В этом случае переменная x выражается явно через переменную y и ее производную y'. Введем параметр . Продифференцируем уравнение x = f(y,y') по переменной y. Получаем:

Поскольку , то последнее выражение можно переписать в виде:

Получаем явное дифференциальное уравнение, общее решение которого описывается функцией

где C − произвольная постоянная. Таким образом, общее решение исходного дифференциального уравнения определяется в параметрической форме системой двух алгебраических уравнений:

Если из этой системы исключить параметр p, то общее решение можно выразить в явном виде x = f(y,C).
Случай 2. Уравнение вида y=f(x,y').
Здесь мы встречаемся с похожим случаем, но теперь переменная y явно зависит от x и y'. Введем параметр и продифференцируем уравнение y = f(x,y') по переменной x. В результате имеем:

Решая последнее дифференциальное уравнение, получаем алгебраическое уравнение g(x,p,C) = 0. Вместе с исходным уравнением оно образует следующую систему уравнений:

которая описывает общее решение заданного дифференциального уравнения в параметрической форме. В некоторых случаях, когда параметр p можно исключить из системы, общее решение записывается в явной форме y = f(x,C).
Case 3. Уравнение вида x=f(y').
В данном случае дифференциальное уравнение не содержит переменную y. Используя параметр , легко построить общее решение уравнения. Так как dy = pdx и

то справедливо соотношение:

Интегрируя последнее уравнение, получаем общее решение в параметрической форме:

Случай 4. Уравнение вида y=f(y').Уравнение такого типа не содержит переменную x и решается аналогичным образом. Используя параметр , можно записать:  Отсюда следует, что

Интегрируя последнее выражение, получаем общее решение исходного дифференциального уравнения в параметрической форме:


Приложенные файлы

  • docx 8883547
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий