ШПОРЫ ПО ДИФФУРАМ


1. Виды дифференциальных уравнений. Интеграл дифференциального уравнения. Общий интеграл. Интегральная кривая.
При изучении химии, физики, экологии, экономики, биологии и иных явлений, часто возникает уравнения связывающие неизвестную функцию и ее производные. Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями.
dx/dt=-kx—уравнение радиоактивного распада, где k-постоянная распада, x-количество неразложившегося вещества в момент времени t. Скорость распада dx/dt пропорц. количеству нераспавшегося вещества. 2)md2rdt2=F(t,r,drdt)—Уравнение движения точки массой m под действием силы F , F=m∙a3)∂2U∂x2+∂2U∂y2+∂2U∂z24π ρx,y,z-Уравнение Пуассона, U x,y,z- потенциал электростатического поля. ρx,y,z- плотность заряда. Нахождение неизвестных функций, определяемых дифференциальными уравнениями, является основной задачей теорий дифференциальных уравнений. Если в дифференциальном уравнении неизвестные функция является функциями одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Например уравнения 1 и 2. Если неизвестная функция зависит от двух и более переменных, то уравнение называется уравнением частных производных. Например уравнение 3. Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок, входящий в уравнение производной неизвестной функции. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в дифференциальное уравнение, обращает его в тождество.
Например уравнение радиоактивного распада: dx/dt=-kx (1.1)x=ce-kt(1.2)
где c- произвольная постоянная
Уравнение (1.1) не вполне определяет закон распада x=x(t).
Нужно также знать количество вещества x(t0)=x0 в момент времени t0. Тогда закон Распада примет вид:
x=x0*e-k (t-t0)Процесс нахождения решений дифференциальных уравнений, называется интегрированием дифференциальных уравнений. Не всегда решение находится в явном виде, как в этом примере.
Однако, используя компьютеры, можно решить уравнение приближенно с большой точностью.
Пусть математическая точка массой m движения под действием силы F:
Уравнение движения примет вид: mr= F(t,r,r) (1,3)
Для нахождения закона движения r(t)необходимо знать начальное положение точки и скорость: r (t0) = r0 (1.4)
r (t0) = r0 (1.5)
Задача нахождения r(t) при заданных начальных условиях (1.4) и (1.5) называется задачей Коши.
Вектор уравнения 2-ого порядка (1.3) можно переписать в виде системы 2-ух векторных уравнений 1-го порядка, если рассмотреть скорость v как вторую неизвестную формулу:
drdt=vdvdt=F (t, r, v) (1.6)
Каждое векторное уравнение в трёхмерном пространстве может быть заменено системой из 3-х скалярных уравнений для проекции векторов на оси координат. При интегрировании дифференциального уравнения обычно ставят цель найти все его решения. Например: в уравнение (1.1) все решения получаются из решения (1.2) при некотором выборе постоянной C. Решение (1.2) – общее решение уравнения (1.1) Решения дифференциального уравнения , получившиеся из общего решения называется частными. Однако иногда не удаётся включить в общее решение все решения уравнения. Решения, не являющиеся частными, называются особыми. Говорят, что для дифференциального уравнения поставлена задача, если заданы некоторые дополнительные условия. В простейшем случае задаются начальные значения искомой функции и её производных. То есть, ставится задача Коши. Например: в задаче (1.1) задаётся начальное количество вещества x0. Не всегда удаётся найти решение в явном виде y=y(x) Иногда оно задаётся неявно соотношением Ф (x,y)=0 , наз. интегралом уравнения. Соответственно при неявном задании общего решения уравнения, получается общий интеграл уравнения Ф (x,y,с)=0
Рассмотрим уравнение 1-го порядка y’=f(x,y) (1.7)разрешённого относительно 1-ой производной. Пусть функция f(x,y) имеет некоторую область определений D область из R2,которая также является областью определения уравнения (1.7) Обычно предполагается, что f непрерывна в D Функция y= φ(x) , x∈[a,b] , непрерывная и непрерывно дифференцируема на [a,b] такая, что точка (x, у(x)) ∈ D при x∈[a,b] и при этом выполняется равенство φ ‘ (x)= f (x , φ(x)) , xϵ[a, b] называется решением уравнения (1.7) на [a, b]
Пример 5. y'= 33y2dxdy = 3 y 23 dy * y-23 = 3 dx 3 y13+ c =3x y=(x-c3) 3Областью определения является вся плоскость R2. Заметим, что это уравнение имеет решение y(x)=0,которое нельзя получить из общего решения при выборе константы C. Это решение является особым. Геометрическое решение уравнения (1.7) y=φ(x) соответствует линия, лежащая в области D в плоскости R2 и представляющая собой график функции φ(x). Эта линия называется интегральной линией уравнения (1.7) Так как функция φ(x) имеет непрерывную производную φ'(x) интегральная линия имеет в каждой точке (x , φ(x)) касательную, угловой коэффициент которой определяется из уравнения φ'(x) =f (x, φ(x)) Очевидно угловой коэффициент можно вычислить в любой точке (x,y) ϵD не находя самой интегральной кривой. Выбрав направляющий вектор касательной, сопоставим каждой точке области D некоторый ненулевой вектор. Так в области D получим поле направлений. И так уравнению (1.7) соответствует в области D векторное поле касательных направлений. Задача решения этого уравнения имеет следующую геометрическую интерпретацию: через каждую точку области D требуется провести кривую называемую интегральной, касательная которой в каждой точке определяется векторным полем уравнения (1.7) Заметим, что общему решению соответствует семейство кривых, а решению задачи Коши - интегральная кривая, проходящая через точку (x0, y0) ϵD
При геометрическом решении уравнения (1.7) можно воспользоваться методом изоклин.
Изоклином называется некоторое геометрическое место точек, в каждой точке которого векторное поле задаёт параллельное направление. f(x, y)= k=const Различным значениям K соответствуют различные изоклины. B точках пересечения с изоклинами интегральная линия имеет касательную с угловым коэффициентом K.
2. Задача Коши. Существование и единственность решения.
Задача Коши, x0, y0 - начальные данные:
INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/a/7/a/a7a60840e8c7b7f3040d2e783e53514b.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/a/7/a/a7a60840e8c7b7f3040d2e783e53514b.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/a/7/a/a7a60840e8c7b7f3040d2e783e53514b.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/a/7/a/a7a60840e8c7b7f3040d2e783e53514b.png" \* MERGEFORMATINET
Решением задачи Коши является функция, определённая на интервале <a,b>, включающем x0, являющаяся решением уравнения (1) и удовлетворяющая начальному условию (2).
однородным уравнением.
//*Теорема существования и единственности для ДУ n-го порядка и системы ДУ *//
Теорема 3.5 Существует единственное решения ДУ n-го порядка
y(n) = f (x, y, y’, y’’ … y(n-1)) удовлетворяющее условию: y (x0) =y0, y’ (x0) = y0’, y"(x0) = y0 ‘’, … y(n-1) (x0) = y0(n-1)Если в окрестности нач. знач. (x0 , y0 ,y0’, … , y0(n-1))
Функция f является непрерывной функцией всех своих аргументов и удовлетворяет условию Липшица по всем аргументам начиная со второго.
Теорема 3.6 Существование и единственности решения системы:
dyidx=fi( x, y1, y2, …, yn) yix0=yi0 (i= 1, 2, … , n) (3.9)
Предположим, что в области D , определённой неравенствами:
x0 – a ≤ x ≤x0 + a i = (1, 2…yn)
yi0 –bi≤yi≤yi0+biправые части уравнения (3.9) удовлетворяют условиям:
Все ф-ции fi(x, y1, y2, …, yn)- непрерывны и ограничены. i= (1, 2, … , n) │fi│ ≤ M
Все ф-ции fi(x, y1, y2, …, yn) удовлетворяет условию Липшица
fi(x, y1, y2,…yn )-fi (x, z1, …zn)≤N≤i=1nyi-zi3. Простейшие ОДУ первого порядка, разрешенные относительно производной.
Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка первой степени можно разрешив относительно производной представить в виде (1.7). Простейший пример такого уравнения:
dydx = f(х)
В этом случае:
y=fxdx +cСодержит произвольную постоянную, которая может быть определена, если известно начальное значение:
y(x0) = y0Тогда y=y0 + x0xftdtВообще, при некоторых ограничениях на функцию f(x,y), уравнение dydx = f (x, y)
также имеет единственное решение удовлетворяющее условию y (x0) = y0 , а его общее решение зависит от одной произвольной постоянной .
4. Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение вида:
f2 (y) dy= f1 (x) dx (2.1)
Называется уравнением с разделёнными переменными
Функции f1 (x) и f2 (y) будем считать непрерывными. Если y–решение, то после подстановки его в (2.1) и интегрирования получим: f2 ydy=f1 xdx+С (2.2)
Уравнение (2.2)и (2.1) равносильны.
Может получиться так, что интегралы f2 ydy и f1 xdx нельзя выразить в элементарных функциях. Однако, в этом случаи мы будем считать задачу интегрирования дифференциального уравнения (2.1) выполненной, поскольку мы свели её к нахождению неопределенных интегралов или квадратур.
Если надо выделить частное решение, удовлетворяющее условию y (x0)= y0, то оно очевидно определяется из уравнения y0yf2 t dt = x0xf1 tdt которое мы получаем из
y0yf2 t dt = x0xf1tdt + С воспользовавшись начальными условиями:y = (x0)= y0Уравнение вида φ1 x* Ψ ydx= φ2 х*Ψydy в которых коэффициенты при дифференцировании распадаются на множители зависящие только от x и от y, называется дифференциальными уравнениями с разделёнными переменными и после деления на Ψ1 y* φ2 y приводится к уравнению с разделенными переменными
φ1 (x)φ2 (x)dx = Ψ2 (y)Ψ1у dy
При деление на Ψ1 (y) * φ2 (x) могут потеряться частные решения, обращающие в нуль произведение Ψ1(y) * φ2 (x)
Пункт 2.3. Уравнение, приводящиеся к уравнениям с разделенными переменными
Некоторое уравнение путем подходящей замены переменных, можно привести к уравнению с разделенными переменными.
dydx =f ax+by , где а и b –постоянные числа, которые заменой z = ax + by приводят к уравнению с разделенными переменными.
dzdx = a+b dydxdzdx = a+bf (z) ∙dxa+b f (z) dza+b f (z)= dxx = dza+bf (z) + C
Пример dydx = 2k + y
z= 2x + ydzdx=2+ dydx = 2 + z ∙dxz+2dzz+2 = dx
Ln (z + 2) = x + Cz = - 2 + c1ex 2 x + y = -z +c1ex y = -2 -2x +c1exК уравнениям с разделёнными переменными приводятся и однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка, имеющие вид dydx= f ( yx)z = yx y = x z dydx= z+x dzdx xdzdx+z= f (z)xdzdx = fz-zdzfz-z =dxx
Интегрируем dzfz-z = dxx dzfz-z = ln │x│+lnCx = C1 еdzfz-zНапомним, что функция Ф(x, y) называется однородной степени k, если выполняется следующее неравенство Ф (tx , ty ) = tkФ (x , y)
Правая часть однородного уравнения является однородной функцией х и у нулевой степени однородности, поэтому уравнение вида M (x, y) dx + N (x ,y) dy = 0 будет однородным, если M(x , y) и N (x , y) является однородными функциями x , y одинаковой степени однородности, то есть в этом случае
dydx = -M (x , y)N (x , y)= f( yx)5. Уравнение вида dy dx = f (a1 x+ b1 y + C1a2 x+ b2 y + C2) (2.3) преобразуется в однородное уравнение путем переноса из начала координат в точку пересечения с координатами (x1 , y1) прямых а1 x+ b1 y + C1=0a2 x+ b2 y + C2=0Действительно в новых координатах
x = x - x1y = y - y1Свободный член в уравнениях этих прямых будет равен 0, коэффициенты при текущих координатах остаются неизменными, а производная dydx= dУdХ и уравнение (2.3) преобразуется к виду dУdХ=f (a1 Х + b1Уa2 Х+ b2У) или dУdХ=f( a1 +b1 УХa2 +b2 УХ) = φ (УХ) является однородным уравнением
Этот метод не применим, только если прямые a1x + b1y + c1 = 0 a2x + b2y + c2 = 0 параллельны, но в этом случае a2 = кa1
b2= kb1 и уравнение (2.3) может быть записано в виде dydx=f (a1 x+ b1y+ c1ka1x+ b1y+ c2)=f (a1 x+ b1y) которое, как и ранее с заменой
z=a1x+b1y, преобразованное уравнение с разделёнными переменными
6. Однородное уравнение.
(1) Функция М(x,y) называется однородной функцией относительно своих аргументов, если ∀t выполняется равенство M(tx,ty)=tmM(x,y). Показатель m называется измерением или степенью однородности.
(2) ДУ М(х,у)dx + N(x,y)dy=0 называется однородным, если функции M(x,y) и N(x,y) являются однородными функциями одинаковой степени однородности.
(3) Уравнение y'=f(x,y) является однородным, если функция f(x,y) – однородная функция 0 степени измерения, т.е. ftx,ty=f(x,y).
(4) ДУ называется однородным, если его можно представить в виде y'=fyx.
Замечание: Однородные ДУ сводятся к ДУ с разделяющимися переменными с помощью подстановки: y=uxx=x или x=uyy=yПример:
xdy=x+ydxy=uxx=x иdy=xdu+udxdx=dxx2du+xudx=xdx+uxdxx2du=xdxxxdu-dx=01) x = 0
2) du=dxxU=lnx + ln C
eu=Cx7.Уравнение в полных дифференциалах.
Дифференциальное уравнение вида INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi1.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi1.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi1.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi1.gif" \* MERGEFORMATINET , называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция двух переменных u(x,y) с непрерывными частными производными, что справедливо выражение : INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi2.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi2.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi2.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi2.gif" \* MERGEFORMATINET
Общее решение уравнения в полных дифференциалах определяется формулой INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi3.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi3.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi3.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi3.gif" \* MERGEFORMATINET где C − произвольная постоянная.
Необходимое и достаточное условие
Пусть функции P(x,y) и Q(x,y) имеют непрерывные частные производные в некоторой области D. Дифференциальное уравнение P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 будет являться уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, если справедливо равенство: INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi4.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi4.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi4.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi4.gif" \* MERGEFORMATINET
Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах:
Сначала убедимся, что дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, используя необходимое и достаточное условие: INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi4.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi4.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi4.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi4.gif" \* MERGEFORMATINET            
Затем запишем систему двух дифференциальных уравнений, которые определяют функцию u(x,y): INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi5.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi5.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi5.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi5.gif" \* MERGEFORMATINET            
Интегрируем первое уравнение по переменной x. Вместо постоянной C запишем неизвестную функцию, зависящую от y: INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi6.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi6.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi6.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi6.gif" \* MERGEFORMATINET            
Дифференцируя по переменной y, подставим функцию u(x,y) во второе уравнение: INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi7.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi7.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi7.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi7.gif" \* MERGEFORMATINET   
Получим: INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi8.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi8.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi8.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi8.gif" \* MERGEFORMATINET            
Интегрируя последнее выражение, находим функцию φ(y) и функцию u(x,y): INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi9.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi9.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi9.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi9.gif" \* MERGEFORMATINET            
Общее решение уравнения в полных дифференциалах записывается в виде: INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi10.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/4fodi10.gif" \* MERGEFORMATINET
8. Уравнения, допускающие интегрирующий множитель.
Для того чтобы левая часть уравнения (2.8) является полным дифференциалом некоторой функции U (x , y) необходимо и достаточно условие Эйлера
∂ M(x, y)∂ y ≡∂ N(x, y)∂ x(2.10)
dU(х,у)= ∂u∂x dx+ ∂u∂y dy Если условие Эйлера выполняется, то уравнение (2.8) легко интегрировать
dU = Mdx + NdydU= ∂u∂x dx+ ∂u∂y dy ∂u∂x =M x,y, ∂U∂y=N(x,y)
Ux,y=M x,ydx+C (y)
При вычиcлении интегралаMx, ydx величина у рассматривается как const , поэтому c(y) является произвольной функцией y. Для определения функции C(y) дифференцируем найденную функцию U(x, y) по y и так как ∂U∂y=N(x,y), получим:
∂∂y (Mx,ydx)+C'y=N (x, y)В некоторых случаях, когда левая часть уравнения (2.8) не является полным дифференциалом, легко удается подобрать функцию μ(x,y) после умножения на которую левая часть уравнения (2,8) превращается в полный дифференциал, то есть dU = μMdx + μNdy и в этом уравнение эти функции удовлетворяют условию Эйлера.
Такая функция µ называется интегрируемым множеством. Заметим, что умножение μ(x,y) может привести к появлению посторонних решений , обращающих ϻ µ(x, y) в 0
В общем случае не всегда так легко удаётся найти интегрир. множитель.
Вообще, надо подобрать хотя бы одно ненулевое решение уравнения:
∂(ϻµM) ∂y= ∂(ϻµN)∂x∂µϻ∂y M+ϻµ∂ M∂y=∂µϻ∂х N+ϻµ ∂N∂x∂lnµϻ∂y M- ∂lnµϻ∂x N= ∂N∂x- ∂М∂y (2.11)
Вообще задача интегрирования (2.11) ничуть не проще задачи интегрирования (2.10)
Однако, если мы можем считать µ функцией только одной переменной будь то x, y, х2+у2 и т.д., то задача существенно упрощается .
Например, найдём условие, когда µ можно найти как функцию от х
-d Ln µ dx N= ∂N∂x- ∂M∂y ; ∂M∂y- ∂N∂xN считаем это выражение непрерывной функцией х.
Проинтегрируем и получим
Ln µ =∂M∂y- ∂N∂xN dx+Ln CM= C * e(∂M∂y- ∂N∂x)dx N (2.12)
Можно считать c=1, так как нам нужен хотя бы один интегрирующий множитель
Если ∂M∂y-∂N∂xN является функцией только x, то интегрирующий множитель найдется по формуле(2.12)
Аналогично можно выписать условие при которых интегрирующий множитель зависит от другой выбранной переменной.
9. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Лагранжа.
Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется линейное уравнение относительно неизвестной функции и её производной
Линейное уравнение имеет вид dydx+p x y=f x (2.4)Где p(x) и f (x) в дальнейшем будем считать непрерывными функциями от x в той области в которой требуется проинтегрировать уравнение (2.4)
Если f(x) ≡ 0 , то уравнение (2.4) называется линейным однородным.
В линейном однородном уравнение переменные разделяются dydx+p x y=0; dyy=-p xdхИнтегрируя получим :ln у= -pxdx+lnc1 , c1> 0
y = Cе-pxdx , с≠0 (2.5)
При деление на y мы потеряли решение y=0. Однако его можно включить в общее решение (2.5), позволив C принимать значение С=0. При интегрирования неоднородного линейного уравнения (2.4) может быть применён метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа), который состоит в следующем
Интегрируя соответствующее однородное уравнение и его решение имеет вид (2.5);
потом чтобы найти общее решение (2.4) , позволяем константе C быть функцией от x , то есть решение имеет вид y = C (x) e-pxdx
Вычислим производную dydx= dcdx * е- pxdx-C (x) p(x) * e- pxdx и подставим в исходное неоднородное уравнение (2.4)
dсdx * e - pxdx-C (x) p (x)е-pxdx+ p(x) C (x) e-pxdx = f(x)
dcdx = fx* epxdxC (x) = f xepxdx * dx
y (x) = e-pxdx * f x*e-pxdx * dx (2.6)
В конкретных случаях нецелесообразно пользоваться для запоминания формулой (2.6), а нужно проделывать вычисления по методу Лагранжа.
Многие дифференциальные уравнения могут быть сведены к линейным
10. Уравнение Бернулиdydx+p xy=f xyn n ≠1
y-ndydx+р(х)y1-n=f x (2.7)
Делают замену Z = y1-n дифференцируя получим
(1 – n )y1-ndydx= dzdx и подставляя в (2.7) получим линейное уравнение
11-ndzdx + p (x) z = f (x)

11. Уравнение Риккатиdydx +pxy+q xy2=f(x)Математики доказали, что существует такие p,q,f, что нельзя свести задачу к решению неопределённых интегралов.
В общем случае нельзя интегрировать в квадратурах . Однако, если известно одно частное решение y1 x, то уравнение Риккати можно свести к уравнению Бернулли.
Для этого положим y = y1+z. В этом случае можно всегда найти решение.
y1' + z1 ' + p(x) QUOTE y1 y1 + p (x) z + q (x) * QUOTE y12 y12 + q (x) * 2 QUOTE y1 y1z + q (x) QUOTE z2 z2 = f (x)
z' + p(x) z + 2q (x) y1 z +q(x) z2= 0
z'+z (p (x) + 2q (x)y1) + q (x) z2=0
n=2 Бернулли
Уравнение в полных дифференциалах
dU = 0
U = C
U (x ,y) = C
Может быть , что левая часть уравнения :
M (x ,y) dx + N(x , y ) dy = 0 (2.8)
является полным дифференциалом некоторой функции U (x, y)
dU (x, y) = M (x, y) dx + N (x , y) dy =>уравнение (2.8) принимает вид dU (x , y) = 0
Если функция y(x) является решением уравнения (2.8) тогда dU (x, y(x)) ≡ 0 сл-но
U (x, y(x))= c (2.9)
C= constИ наоборот, если некоторая функция y(x) обращается в тождество конечное уравнение (2.9) , то дифференцируя это тождество получим:
dU (x, y (x)) = 0, значит U (x, y) = C является общим интегралом исходного уравнения.
Для того чтобы левая часть уравнения (2.8) является полным дифференциалом некоторой функции U (x , y) необходимо и достаточно условие Эйлера
∂ M(x, y)∂ y ≡∂ N(x, y)∂ x(2.10)
dU(х,у)= ∂u∂x dx+ ∂u∂y dy Если условие Эйлера выполняется, то уравнение (2.8) легко интегрировать
dU = Mdx + NdydU= ∂u∂x dx+ ∂u∂y dy ∂u∂x =M x,y, ∂U∂y=N(x,y)
Ux,y=M x,ydx+C (y)
При вычиcлении интегралаMx, ydx величина у рассматривается как const , поэтому c(y) является произвольной функцией y. Для определения функции C(y) дифференцируем найденную функцию U(x, y) по y и так как ∂U∂y=N(x,y), получим : ∂∂y (Mx,ydx)+C'y=N (x, y)В некоторых случаях, когда левая часть уравнения (2.8) не является полным дифференциалом, легко удается подобрать функцию μ(x,y) после умножения на которую левая часть уравнения (2,8) превращается в полный дифференциал, то есть dU = μMdx + μNdy и в этом уравнение эти функции удовлетворяют условию Эйлера.
Такая функция µ называется интегрируемым множеством. Заметим, что умножение μ(x,y) может привести к появлению посторонних решений, обращающих ϻ µ(x, y) в 0
В общем случае не всегда так легко удаётся найти интегрир. множитель.
Вообще, надо подобрать хотя бы одно ненулевое решение уравнения:
∂(ϻµM) ∂y= ∂(ϻµN)∂x∂µϻ∂y M+ϻµ∂ M∂y=∂µϻ∂х N+ϻµ ∂N∂x∂lnµϻ∂y M- ∂lnµϻ∂x N= ∂N∂x- ∂М∂y (2.11)
Вообще задача интегрирования (2.11) ничуть не проще задачи интегрирования (2.10)
Однако, если мы можем считать µ функцией только одной переменной будь то x, y, х2+у2 и т.д., то задача существенно упрощается .
Например, найдём условие, когда µ можно найти как функцию от х
-d Ln µ dx N= ∂N∂x- ∂M∂y ; ∂M∂y- ∂N∂xN считаем это выражение непрерывной функцией х.
Проинтегрируем и получим
Ln µ =∂M∂y- ∂N∂xN dx+Ln CM= C * e(∂M∂y- ∂N∂x)dx N (2.12)
Можно считать c=1, так как нам нужен хотя бы один интегрирующий множитель
Если ∂M∂y-∂N∂xN является функцией только x, то интегрирующий множитель найдется по формуле(2.12)
Аналогично можно выписать условие при которых интегрирующий множитель зависит от другой выбранной переменной.

12. Уравнение Лагранжа.
y=xφy'+γ(y') y'=p и дифф. по х получим
p=φp+xφ'dpdx+γ'(p)dpdx (2.13)
p-φ(p)dxdp=xφ'p+γ'(p) (2.14) – это уравнение будет линейным по отношению к х и dxdp и легко интегрир., например, методом вариации произвольной постоянной.
Получив интеграл Ф(х,р,с) =0 уравнение (2.14) y=xφp+γp получим уравнение опред. искомые интегр. кривые. При делении на dрdх мы потеряли реш., если они сущ., для которых р постоян., а значит dрdх≡0Если p=const, то уравнение (2.13) удовлетворяет только в случае, если p-φp=0Если уравнение p-φp=0 имеет действительные корни, то к найденным решениям надо ещё добавить p=pi
p-φp=0 ; p=pi ; y=xφp+γp, p=pi ; y=xφpi+γpi . Отдельно нужно рассматривать случай, когда p-φp=0 и сл-но при делении на dрdх теряется решение р=с , где с – произв. постоянная. В этом случае φy'=y' тогда

13. Уравнение Клеро
(y=xφy'+γ(y') ; y=xy'+γ(y') уравнение Клеро
y'=р ; y=xp+γp Дифференцируем и получаем: y'=p+xdpdx+φ'pdpdx=pdpdxφ'p+x=0 откуда => dpdx=0 => p=c
x+γ'p=0 В первом случае, исключив р получаем: y=cx+γ(c) (2.15) - однопараметрическое семейство интегральных прямых. В другом случае, решение определяется уравнениями: y=xp+γpx+γ'p=0 (2.16)
При чём, уравнение (2.16) называется огибающей семейства прямых (2.15)
Теорема существования и единственности решения
Уравнение dydx=fx, yСо времен Эйлера дифференциальные уравнения приближённо решали численными методами. Это связанно с тем, что лишь немногие уравнения интегрируются в квадратурах. В связи с развитием компьютерной техники становится проще решать уравнения с заданной точностью. Однако, для численного решения нужно быть уверенным в существовании решения и его единственности. Для уравнения dydx=f(x, y) достаточным условием существования и единственности решения даны в след. теореме
Теорема 2.1:
Пусть в уравнение dydx=f(x, y) (2.17) функция f(x, y) непрерывна в прямоугольнике D
D: QUOTE x0 x0 – a QUOTE ≤ <=x QUOTE ≤ x0 <=x0 +a
QUOTE y0 y0 – b<=y QUOTE ≤ y0 <=y0 +b
И удовлетворяет условию Липшица:
f x1, y1-f (x1, y2) ≤N(y1-y2) (условие Липшица) , где N= const , тогда существует единственное решение y=y(x), x0- H≤x≤x0+H. Удовлетворяет условию y (x0)=y0, где H<min (a; bM; 1N) ; M – max f (x, y) в D
14. Дифференциальные уравнения порядка выше первого. Случаи понижения порядка.
Определение. Уравнение вида F(x,y,y',y'',…,y(n)) = 0, (*) связывающее аргумент х, функцию у(х) и ее производные, называется дифференциальным уравнением n-го порядка.
Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция у = φ(х, С1,С2,…,Сn), которая зависит от аргумента х и n независимых произвольных постоянных С1, С2, …, Сn, обращающая вместе со своими производными у', у'',…, у(n) уравнение (*) в тождество.
Определение. Частным решением уравнения (*) называется решение, которое получается из общего решения, если придавать постоянным С1, С2, …, Сn определенные числовые значения.
Дифференциальное уравнение n-го порядка в общем случае имеет вид: Fx,y,y',y'',…yn где F − непрерывная функция указанных аргументов.
Порядок уравнения можно понизить, если оно не содержит некоторых аргументов или обладает определенной симметрией. Ниже мы рассмотрим подробнее некоторые случаи понижения порядка применительно к дифференциальным уравнениям произвольного n-го порядка.
Случай 1. Уравнение вида F(x, y (k), y (k+1),..., y (n)) = 0
Если дифференциальное уравнение не содержит исходной функции и ее k − 1 первых производных, то с помощью замены y(k)=p(x)порядок такого уравнения понижается на k единиц. В результате исходное уравнение преобразуется к виду Fx,p,p',…, pn-k=0. Из полученного уравнения (если это возможно) определяется функция p(x). Первоначальная функция y(x) находится последующим k-кратным интегрированием.
Если дифференциальное уравнение не содержит лишь исходную функцию y, т.е. имеет вид
Fx,y', y'',…, yn=0, то его порядок можно понизить на единицу с помощью замены y' = p(x).
Случай 2. Уравнение вида F(y, y', y'',..., y (n)) = 0
Здесь левая часть не содержит независимой переменной x. Порядок уравнения можно понизить с помощью замены y' = p(y). Производные записываются через новые переменные y и p следующим образом: Видно, что при подстановке производных в исходное уравнение мы получим новое дифференциальное уравнение (n − 1)-го порядка. Решая это уравнение, можно определить функцию p(y) и затем найти y(x).
Случай 3. Однородное уравнение F(x, y, y', y'',..., y (n)) = 0
Уравнение F(x, y, y', y'',...,y (n)) = 0 называется однородным относительно аргументов y, y', y'',...,y (n), если выполняется тождество Fx, ky,ky',ky'',…,kyn=kmFx,y,y',y'',…,yn. Порядок такого уравнения можно понизить на единицу с помощью подстановки y=exp⁡(zdx),где z(x) − новая неизвестная функция.
После определения z(x) исходная функция y(x) находится интегрированием по формуле yx=C1expzdxгде C1 − произвольное число.
Случай 4. Функция F(x, y, y', y'',..., y (n)) является точной производной
В некоторых случаях левую часть F(x, y, y', y'',...,y (n)) дифференциального уравнения можно представить как полную производную по x от дифференциального выражения (n − 1)-го порядка:
Fx,y,y',y'',…yn=ddxФ(x,y,y',y'',…yn-1)Тогда решение исходного уравнения записывается в виде Фx,y,y',y'', …yn-1=C

15. Линейные дифференциальные уравнения п-го порядка. Вронская. Фундаментальная система решений.
ЛОДУ n- го порядка , имеющие вид :
y(n) + P1 (x) y(n-1) + P2 (x) y(n-2) + … + Pn (x) y = 0 (3.8) Если функция y1= y1(x) , y2= y2(x) … yn= yn(x)является частным решением уравнением (3.8) , то и функция
y=C1y1 + … + Cnyn является его решением
Функцииy1, y2, … , yn называются линейно независимыми на (a;b), если равенство:
α1y1 + α2y2 + ….. + αnyn = 0 выполняется лишь в случае, когда все αi =0 (i = 1 , n) В противном случае функция y1 ,……,yn линейно зависимы
Определитель Вронского имеет вид:
y1, y2, … , ynW(x) = y1', y2 , … , yn'y1, ny2, …, nyn(n-1) y1(n-1),y2(n-1), ….,yn(n-1)Частное решение y1, ….,yn уравнение (3.8) образует фундаментальную систему, если W (x) ≠0 , x ∈ (a ; b)
Общее решение ЛОДУ (3.8) имеет вид:
y=C1y1 +C2y2+…+ Cnynгде y1,… , yn - образуют фундаментальную систему решений
16. Однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
Интегрирование ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами
Общий вид ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами :
y’’ + py’ + qy = 0 (4.1)
Пункт 4.1. Интеграция ДУ 2-го порядка с носителем коэффициента
В частном случае, в рассмотренном выше линейных однородных уравнений является ЛОДУ 2-го порядка.
Рассмотрим ЛОДУ 2-го порядка (4.1) где p и q = const
Будем искать его решения в виде y = eкx ( Эйлер)
Подставим y = eкx в уравнение (4.1) получим
y‘=keкx , y‘’=k2eкxk2eкx + pk eкx + qeкx = 0 (4.2)k2 + pk +q = 0 (4.2 a)
Опред.: Уравнение (4.2 а) называется характеристическим для уравнения (4.1). При решении уравнения (4.2 а) возможны 3 случая:
1 случай:Корни в (4.2 а) действительны и различны к1,к2 ϵR, к1≠к2; тогда функции y1 = eк1x, y2 = eк2x линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений уравнения (4.1). В этом случае, общее решение можно записать в виде:
y= C1eк1x+C2eк2x, C1,C2 = const
2 случай:Корни к1,к2 ϵR, k1=k2. Дискриминант, в этом случае, уравнения (4.2а)=0. Имеем 1 решение :
y1 = eк1x
Покажем, что функция y2 = xeк1x будет также решением уравнения (4.1)
y2’ = k1xeк1x + ек1x= eк1x(k1x + 1)y2’’=eк1x( k12x + k1 +k1 )y’’ + py’ + qy = 0 (4.1)
eк1x (k12x + 2k1) + peк1x (к1x + 1) + qeк1x x = 0x (k12x + pk1 +q) + 2k1 + p = 0
Поскольку дискриминант = 0 =>k1 = p2 y2 = xeк1xявляется решением уравнения (4.1)
Общее решение записывается в виде:y=C1eк1x+C2kek1x
3 случай:Корни к1= α + Bi, к2= α - Bi следовательно Д < 0
y1 = eα - Biхy2 = eα - BiхПо формуле Эйлера: eiφ = cosφ + sinφy1 = eαx( cos βx + i sin βx)y2 = eαx( cos βx - i sinβx)
По теореме 3.1. решениями уравнения (4.1) также будут являться
y1 = y1+y22 = eαxcosβxy2= y1-y22 = eαx sin βxy =C1eαxcosβx +C2eαxsin βx
Пример 1 :Решение уравнения : y"-6y ‘ + 25 y = 0 K2 – 6k + 25 = 0
Д = 36 – 100 = -64K1,2 = 6±8i2= 3± 4 iОтвет :y1 = C1 * e3xcos 4x + C2 * e3x sin 4x
Таким образом, чтобы решить уравнение (4.1) нужно решить характеристическое уравнение (4.2 а) и выписать решение без интегрирований.
Пункт 4.2 Интегрирование ЛОДУ п–го порядка с постоянными коэффициентами
Задача нахождения общего решения ЛОДУ n–го порядка (n>2) с постоянными коэффициентами y(n) + p1y(n-1) + p2y(n-2) + …. pny = 0 (4.4), где pi∈R, решается аналогичного случаю уравнения 2 – го порядка. Выписывается характеристическое уравнение
кn + p1kn-1 + p2kn-2 + ….+ pn = 0 (4.5) и находится n его корней, в том числе и комплексных
k1,k2,…,kn. Корни могут совпадать при кi = kjПример: (k-5)3 = 0 имеет 3 одинаковых корня. В этом случае кратноcть корня m1 = 3. Если кратность mi = 1 , то кi называется простым корнем
Cлучай1:Все корни уравнения (4.5) kiϵ R и не равны друг другу. Тогда общее решение записывается:
y=C1ek1x+C2ek2x+…+CneknxПример 2 :Найти общее решение уравнения :y’’’- y’’’ – 4y’ + 4y = 0k3-k2 – 4k +4 = 0
k1 = 1k2 (k-1) – 4 (k-1) = 0(k-1) (k2 -4) = 0
(k-1) (k-2) (k+2) = 0
k1=1 k2=2 k3=-2y =C1exC2e2xC3e-2x∆Случай 2:
Все корни kiϵ R, но есть и кратные. Тогда корню к, кратности m соответствует линейно независимое решение
y = eкx,xeкx,…,xm-1eкxСлучай 3 :
Среди корней есть комплексно сопряжённые, тогда любой паре α±βiпростых корней соответствует пара решений: eαxcos βx eαx sin βx . Каждой паре α±βi кратности М, соотв. 2М-реш. xm-1eαxcos βx; eαxsinβx , … , xm-1eαxsinβx
17. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ). Отыскание частного решения в случае с квазиполиномом.
Структура общего решения ЛНДУ 2-го порядка :
y’’ + p1 (x) y’ +p2(x) y = f (x) (5.1) - ЛНДУp1 (x) , p2(x) ∈С (a, b) - непрерывная функция
y’’ + p1 (x) y’ +p2(x) y = 0 (5.2) - соответствующее однородное уравнение
Теорема (5.1) структура общего решения ЛНДУ
Общее решение уравнение (5.1) является сумма его произвольного частного решения y* и общего решения
y = C1y1+C2y2y = y*+ y∿ (5.3)Доказательство:
y = y* + C1y1+C2y2y’ = ( y*) ‘ + C1y1'+C2y2’y’’ = ( y*) ‘’ + C1y1''+C2y2’’y’’ = ( y*) ‘’ + C1y1''+C2y2’’ + p1(x) (y*)’ C1y1'+C2y2’ + p1(x) (y*+ C1y1+C2y2 ) = f (x)’( y*) ‘’ + p1(x) (y*)’ + p2(x) (y*) + C1(y1'' + y1'*p1(x) + p2(x) y1 ) + C2 (y2’’ + p1(x) y2’ + p2(x) y2=f(x,y) y= y* + C1y1+C2y2 (5.4)
Для этого нужно доказать, что из решения (5.4) можно выделить единственную частное решение удовлетворяющее начальным условиям. Дифференцируем (5.4) и подставляем условия (5.5) y (x0) = y0y ‘(x0) = y0' (5.5)
C1y1(x0)+C2y2(x0)=y0-y*(x0)C1y1'(x0)+C2y2'(x0)=y0-y*'(x0)∆ -y1(x0)y2(x0)y1'(x0)y2'(x0)= W(x0)≠ 0∃ ! C10 , C20Интегрирование ЛНДУ 2-го порядка и правой частью специального вида:
Рассмотрим ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами :y’’ + p y’ + q y = f(x) (5.7)
Можно искать частное решение y* методом Лагранжа, однако можно найти y* проще. Рассмотрим эти случаи:
f(x) = pn (x)eαxf(x) = eαx (pn (x) cos b x + Qn (x) sin b x)
Квазиполином Эйлера
В этих случаях записываем ожидаемую форму решенияy* с неопределенными коэффициентами и подставляем в уравнение (5.1) Из получения тождества находим значения коэффициентов
Случай 1 : правая часть (5.7) имеет вид :f(x) = pn (x)eαx α∈ R pn (x) y’’ + p y’ + q y = pn (x)eαx (5.8)
В этом случае y* : y* = xrQn (x) eαx (5.9)
Где n – число = кратности α как корня характеристического уравнения. При этом Qn (x) = Aox ‘’ + A1xn-1 + …. + A ‘’ Ai (i= 0, 1, 2,…) А) Пусть α – не является корнем характеристического уравнения:
k2 + p k + q = 0 α≠k1,2 r = 0y* = Q u (x) * eαxБ) Пусть α является 2-ух однократным корнем характеристического уравнения:
α = k1=k2k2 + p k + q = 0 r = 1 y* = x2 * Q n (x) * eαx
В) Пусть α является 2-ух кратным корнем характеристического уравнения :
α = k1=k2k2 + p k + q = 0 r = 2 y* = x2 * Q n (x) * eαxСлучай 2:
Правая часть (2.7) или вид:
f(x) =eαx (pn (x) cosβx + Q m (x) sin β (x )
Гдеpn (x)и Qm (x) многочлен степени nиm соответствуют α и β действительного числа
Уравнение (5.7) тогда запишется в виде
y’’ + py’ + qy = eαx (pn (x) cosβx + Qm (x) sinxβ ) (5.10)
y* = x n * eαx * (Me (x) * cosβx + Ne (x) * sin βx ) (5.11)
r-число равное кратности (α + βi) как корня уравнения :
k2 + pk + q = 0 Многочлены степени е с неопределенным коэффициентом Me (x)Ne (x) е - max (n, m)
Замечание 1 :После подстановки функции из (5.11) в (5.10) приравниваем многочлен перед одноименной тригонометрической функциейв левой и правой частях уравнения
Замечание 2 : Формула (5.11) сохраняется и при pn (x)≡ 0 или + Qm (x)≡ 0
Замечание 3 : Если правая часть уравнения (5.7) есть сумма вида 1 или 2 то для нахождения y* используется теорема (5.2)
Интегрирование ЛНДУ п-го порядка (n>2) постоянным коэффициентом и правой частью специального вида
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнениеn-го порядка
y(n) + p1 (x) y(n-1) + p2 (x) y(n-2) + … + pn (x)y = p1 (x) , …, p1 (x) , f(x) , x∈ (а, в) = f(x)
y(n) + p1 (x) y(n-1) + … + pn (x)y = 0
Теорема (5.3) : ( О структуре общего решения ЛНДУ n-го порядка)
Общее решение yЛНДУ n-го порядка = сумме частного решения y* НУ и общего решения y ОУ y=y+y*y* может быть найдено если известно общее решение y ОУ
y* = C1xy1(x) + C2xy2(x) + … + Cnxyn(x)y(x) – частное решение образующее фундаментальную систему решений ОУ
C1'y1 + C2'y2 + … + Cn'yn = 0C1'y1' + C2'y2' + … + Cn'yn' = 0C1'y1'' + C2'y2'' + … + Cn'yn'' = 0
C1'y1'(n-1)' + C2'y2'(n-1)' + … + Cn'yn'(n-1)' = f (x)
Однако для ЛНДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами, правая часть f(x) которая имеет специальный вид, y* можно найти методом неопределенных коэффициентов
Метод подбора частного решения y* для уравнения:
y’’ + p1y(n-1) + … + pn y = f (x) p1∈ R
18. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ). Отыскание частного решения методом вариации произвольных постоянных
Структура общего решения ЛНДУ 2-го порядка :
y’’ + p1 (x) y’ +p2(x) y = f (x) (5.1) - ЛНДУ
p1 (x) , p2(x) ∈С (a, b) - непрерывная функция
y’’ + p1 (x) y’ +p2(x) y = 0 (5.2) - соответствующее однородное уравнение
Теорема (5.1) структура общего решения ЛНДУ
Общее решение yв уравнение (5.1) является сумма его произвольного частного решения y* и общего решения
y = C1y1+C2y2y = y*+ y∿ (5.3)
Доказательство:
y = y* + C1y1+C2y2y’ = ( y*) ‘ + C1y1'+C2y2’
y’’ = ( y*) ‘’ + C1y1''+C2y2’’
y’’ = ( y*) ‘’ + C1y1''+C2y2’’ + p1(x) (y*)’ C1y1'+C2y2’ + p1(x) (y*+ C1y1+C2y2 ) = f (x)’
( y*) ‘’ + p1(x) (y*)’ + p2(x) (y*) + C1(y1'' + y1'*p1(x) + p2(x) y1 ) + C2 (y2’’ + p1(x) y2’ + p2(x) y2=f(x,y)
y= y* + C1y1+C2y2 (5.4)
Для этого нужно доказать , что из решения (5.4) можно выделить единственную частное решение удовлетворяющее начальным условиям
Дифференцируем (5.4) и подставляем условия (5.5)
y (x0) = y0y ‘(x0) = y0' (5.5)
C1y1(x0)+C2y2(x0)=y0-y*(x0)C1y1'(x0)+C2y2'(x0)=y0-y*'(x0)∆ -y1(x0)y2(x0)y1'(x0)y2'(x0)= W(x0)≠ 0
∃ ! C10 , C20Метод Лагранжа (Вариации произвольных постоянных)
Для нахождения общего решения (5.1) необходимо найти частное решение y*.
Его можно найти из общего решения уравнения (5.2) некоторых вариаций произвольных постоянных
y* = C1xy1(x) + C2xy2(x) (5.6)
(y*)' = C1' xy1'(x) +C1' xy1'(x) + C2' xy2'(x) +C2' xy2'(x)(y*)'' = C1' xy1'(x) + C2' xy2'(x) + C1xy1''(x) + C2xy2''(x)Подставим в (5.1)
C1' xy1'(x)+ C2' xy2'(x) + C1xy1''(x) + C2xy2''(x) + p1(x)(C1xy1'(x)+C2xy2'x+p2(x) (C2xy1'(x) + C2xy2'x = f (x)
C1' xy1'(x) + C2' xy2'(x) + C1x(y1''(x) + C2xy2''(x) + p1'(x) y1'(x) + C2xy2'x+ p2-(x) (C2xy1'(x) + C2xy2'x = f (x)
C1'xy1'x+ C2'xy2'x=0C1'xy1'x+ C2'xy2'x=f(x)∆ = W (x) ≠ 0
C1' x = φ1 (x)
C2' x = φ2 (x)
Интегрированием найдем C1x и C2xЗатем по формуле (5.6) составим общее решение
Теорема (5.2): о наложение решения
Если правая часть уравнения (5.1) представляет собой сумму 2-ух функций:
f(x) = f1 (x) + f2(x) ,
аy1*uy2*- частное решение уравнения
y1* + p1 (x) y ‘ + p2 (x) y = f1 (x)
y2* + p2 (x) y ‘ + p2 (x) y = f2 (x)
То функция y*=y1*+y2*Является решение данного уравнения
∇ (y1*+y2* ) ‘’ + p1(y1*+y2*) ‘ +p2(y1*+y2*) ‘=(y1*) ‘’ + p2(y1*)' + p2y1* + (y2*) ‘’ + p1(y2*) ‘ +p2y2* = f1 (x) + f2(x) = f(x)
19. Одномерное движение. Гармонические колебания. Колебания груза на пружине. Колебания математического маятника (случай чисто гармонических колебаний).
Одномерное движение. В этом случае уравнение движения можно проинтегрировать до конца и выразить ответ через интеграл, или, как говоpят в квадратурах. Легче всего это сделать, воспользовавшись законом сохранения энергии:
E= 12mdxdt2+Ux (25)
Поскольку кинетическая энергия всегда положительна, то неравенство mv22=E-Ux>0 (26) определяет классически доступные области движения (границы движения) в одномерном случае. Другими словами, движение может происходить лишь в областях пространства, где E > U(x).
Ниже, на pис. 7, показан пример. Согласно этому пpимеpу, движение может происходить лишь на конечном отрезке
xA< x <xB, что соответствует финитному движению и в полубесконечном интервале. В последнем случае движение инфинитно, так как частица может уходить на бесконечность. Точки xA, xB и xC называют точками остановки, поскольку скорость в них обращается в нуль.

Рис. 7. Гpаницы движения в одномеpном случае.
Hайдем тепеpь зависимость кооpдинаты x от вpемени t. Для этого выразим из уравнения (25) скорость
dxdt=±2mE-U(x) (27)
Это есть дифференциальное уравнение с разделяющими переменными, которое можно легко проинтегрировать (то есть pешить): ±dx2mE-U(x)=t (28)

Рис. 8. Пеpиодическое движение.
В случае финитного движения, которое мы сейчас рассмотрим, можно вычислить период движения как функцию энергии системы E (см. pис. 8): TE=2mx1x2dxE-U(x) (29)
где x1 и x2 — точки поворота, где скорость обращается в нуль, то есть E = U(x).
Применим теперь эту формулу в качестве примера для движения в поле
Ux= kx22 (30)
В этом случае x2=-x1=2E/k (см. pис. 9), поэтому

Рис. 9. Движение в квадратичном потенциале. Гармонические колебания.
T=2m-2E/k2E/kdxE-kx22=22m02E/kdxE-kx22
Введем тепеpь новую переменную интегрирования
x=2Eky ⇒dx=2Ek dy Тогда T=22m012EkdyE-k22Eky2=22m2EkE01dy1-y2 dy1-y2=arcsiny 4mkarcsin01=4mkπ2-0=2πmkто есть в этом случае получается известная формула T=2πmkдля периода колебаний грузика на пружине, который не зависит от энергии (так называемые гармонические колебания). Во всех остальных случаях период колебаний зависит от энергии системы (ангармонические колебания).
Колебания математического маятника
Рассмотрим в качестве примера колебания математического маятника – материальной точки или грузика, размерами которого можно пренебречь и который подвешен на нерастяжимой невесомой нити. Положение нити вертикально вниз является положением устойчивого равновесия.

Если отклонить направление нити от вертикали, то возникает сила, возвращающая её в прежнее положение. Попробуем описать движение такого маятника математически.
В качестве обобщённой координаты удобно выбрать угол φ отклонения нити от вертикали. Потенциальная энергия тогда определяется выражением:
U=mgh=mgl(1-cosφ) (1)
Кинетическая энергия ровна:
T= 12mv2=12mlφ2=12ml2φ2 (2)
В результате полная энергия ровна:
E=12ml2φ2+ mgl(1-cosφ) (3)
Она остается постоянной в процессе движения. Если мы интересуемся малыми колебаниями φ≪1, то cos φ можно разложить в ряд Тейлора:
cosφ≈1-φ22! (4)
Тогда
E=12ml2φ2+12mglφ2=12ml2φ2+glφ2 (5)
Можно прийти к выводу, что математический маятник колеблется с частотой:
ω=gl (6)
хорошо известной из начального курса физики. Уравнение колебаний имеет следующий вид:
φ+ω2φ=0Его можно получить, воспользовавшись, например, законом сохранения энергии. Дифференцируя (5) по времени и приравнивая производную нулю, мы приходим к нужному результату
dEdt=12ml2ddtφ2+glφ2=ml2φφ+ω2φ=0Поскольку в общем случае ml2φ≠0, то должно обращаться в нуль выражение в круглых скобках.
Нелинейные колебания математического маятника
Если условие малости угловой амплитуды колебаний не выполнено, то маятник совершает нелинейные колебания. Покажем, что период нелинейных колебаний ММ существенно зависит от его полной энергии ε=2E/Iω02. Сделаем безразмерным закон сохранения энергии. Для этого разделим обе части выражения на характеристическую энергию системы Iω02/2:
θ2ω02+uθ=ε (7)
где uθ=-2cosθ – безразмерная эффективная потенциальная энергия ММ.
На рис. 4.2. представлен график эффективной потенциальной энергии. Он выглядит как потенциальная яма, ограниченная двумя вертикальными стенками θ=0 и θ=π. На этих значениях углов точка, изображающая движение маятника, зеркально отражается от стенок. Если это стенка левая, то точка после отражения в сторону увеличения угла θ (увеличивается ее потенциальная энергия). Если – правая, то после отражения точка движется в сторону уменьшения угла θ (уменьшается её потенциальная энергия).

На рис. 4.2. указано движение трех изображающих точек с различной полной энергией ε1=-1,5; ε2=1,5;ε3=3. Точки, энергия которых удовлетворяет неравенству -2<ε<2, совершают нелинейные колебания. Они ограничены справа значением угла θ0, а слева нулевым значением угла (финитные по углу состояния движения). Значение угла θ0 зависит от энергии и находится из равенства
θ=0 или ε=u(θ0):
θ0=arccos-ε/2 (8)
На рис. 4.2 θ0=θ01<π2 для значения ε1=-1,5, а θ0=θ02>π/2 для значения ε2=1,5При значении ε=-2 маятник покоится на дне ямы, а при ε>2 неравномерно вращается (инфинитные по углу состояния движения 0≤θ≤π). Значение ε=2 отмечено пунктирной прямой. Оно разделяет упомянутые выше два вида состояний и называется сепаратриссой.
Найдём период нелинейных колебаний ММ при условии, что -2<ε<2. Тогда интегрирование сводится к квадратуре
ω0T4=0θ0dθε-u(θ) (9)
где Т – период нелинейных колебаний.
Интеграл в (9) в элементарных функциях не берётся, а выражается через специальную функцию, которая называется полным эллиптическим интегралом 1-го рода K(k)
0θ0dθε+2cosθ=Kk=0π/2dφ1-k2sin2φ (10)
где 0≤k=ε+24=sinα≤1 называют параметром состояния ММ, а угол α называют модулярным углом эллиптического интеграла. Выражая в (9) период нелинейных колебаний через период линейных колебаний получим
T=2T0πK(k) (11)
Из (11) видно, что период нелинейных колебаний всегда больше периода линейных колебаний маятника и при k→1, T→∞. Если ε→-2, то k→0 и Kk→π2, а T→T0.
Оценим значение периода нелинейных колебаний для ε=0 (рассматриваются колебания маятника с нулевой полной энергией). При ε=0 угловая амплитуда колебаний θ0=π/2, параметр состояний k=1/2, модулярный угол α=450, а значение K(1/2)=1,8541. Тогда TT0=2∙1,85413,1415=1,18 (12)
Сложение гармонических колебаний. Метод векторных диаграмм. Фигуры Лиссажу.
Пусть точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинакового периода, направленных вдоль одной прямой.
Сложение колебаний будем проводить методом векторных диаграмм (рис. 2.2). Пусть колебания заданы уравнениями x1=A1cosωt+φ1 и x2=A2cosωt+φ2 (2.2.1)

Отложим из точки О вектор А1под углом φ1 к опорной линии и вектор А2 под углом φ2. Оба вектора вращаются против часовой стрелки с одинаковой угловой скоростью ω, поэтому их разность фаз не зависит от времени (φ2-φ1=const). Такие колебания называют когерентными.
Нам известно, что суммарная проекция вектора A равна сумме проекций на эту же ось. Поэтому результирующее колебание может быть изображено вектором амплитуды A=A1+A2 , вращающимся вокруг точки О с той же угловой скоростью ω, что и А1 , и А2 . Результирующее колебание должно быть также гармоническим с частотой ω: x=Acos(ωt+φ)По правилу сложения векторов найдем суммарную амплитуду:
A2=x1+x22+y1+y22=x12+2x1x2+x22+y12+2y1y2+y22= A12cos2φ1+2A1A2cosφ1cosφ2+A22cos2φ2+A12sin2φ1+2A1A2sinφ1sinφ2+A22sin2φ2=A12+A22+2A1A2× 12cosφ2-φ12-12cosφ2+φ1+12cosφ2-φ1+12cosφ2+φ1= A12+A22+2A1A2cosφ2-φ1Результирующую амплитуду найдем по формуле
A2=A12+A22+2A1A2cosφ2-φ1Начальная фаза определяется из соотношения
tgφ= A1sinφ1+A2sinφ2A1cosφ1+A2cosφ2Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания.
Фигуры Лиссажу – замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно 2 гармонических колебания в 2х взаимно перпендикулярных направлениях. Вид фигур зависит от соотношения между периодами, фазами и амплитудами обоих колебаний.
Т1=Т2 – эллипсы, при φ=0;π- вырождаются в отрезки прямых, при φ=π2 – в окружность
При существенно различных периодах фигуры Лиссажу не наблюдаются. Но, если периоды относятся как целые числа, то через промежуток времени точка снова возвращается в то же положение. Фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник центр которого совпадает с начальной координатой, а стороны параллельны осям координат и расположены по обе стороны от них на расстояниях, равных амплитудах колебаний
xt=Asin(ωt+φ)yt=Bsin(ωt)21.Затухающие колебания. Декремент затухания. Случай апериодического движения.
В реальных колебательных системах всегда происходит потери энергии (в механических системах – из-за трения, в электрических – из-за наличия электрического сопротивления). Поэтому свободные колебания будут затухающими (а, следовательно, не гармоническими).
Рассмотрим случай малого затухания β<ω0-1009658255000При этом α=-β±iω02-β2 и используя формулу Эйлера, можно записать так:
αt=A0∙e-βt∙cosωct+φ0где ωс=ω02-β2 – частота собственных затухающих колебаний;
φ0- начальная фаза. Как видно из рис. 1.8, колебания осциллятора в этом случае напоминают гармонические, но амплитуда колебаний постепенно уменьшается по экспоненциальному закону. Такие колебания не являются гармоническими. Параметр, β определяющий темп затухания амплитуды называется коэффициентом затухания.
Для описания колебаний с малым затуханием используют следующие характеристики:
Время релаксации амплитуды τА – время уменьшения амплитуды колебаний в «е» раз.
A0A0e-βτA=e, откуда τА=1βКоличество колебаний Ne, за которое амплитуда уменьшится в «е» раз:
Ne=τAT=1βTЗдесь T=2πωc – период колебаний.
Декремент затухания D=A(t)A(t+T)=eβTЛогарифмический декремент затухания γ – логарифм отношения амплитуд двух последовательных колебаний:
γ=lnD=lnA(t)A(t+T)=βT=1NeДобротность колебательной системы Q:
Q=πNe=πγ=πβT=ωc2βПри очень малом затухании (β≪ω0) можно использовать приближенное соотношение Q≈ω02β, которое в случае электрического контура легко преобразуется к виду: Q≈1RLC.
Далее мы встретимся ещё с несколькими определениями добротности. В частности, этот параметр при малом затухании пропорционален отношению энергии, запасённой осциллятором, к энергии, теряемой за период.

Сравнивая рисутки 1.8 и 1.9, легко понять, почему режим с большим затуханием часто называют «апериодическим». Существенно, чтоо время возращения системы к равновесию определяется в апериодическом режиме экспонентой с наибольшей постоянной времени τ1=1β-β1. При очень сильном затухании (β≫ω0) эта постоянная времени может быть весьма большой (β≅β1,τ1→∞). Очевидно. Режим с большим затуханием нецелесообразно использовать при работе стрелочных приборов, как, впрочем, и режим с малым затуханием – см.рис.1.8. С этой точка зрения наиболее интересен т.н. «критический» режим, когда выполняется условие β=ω0, т.е. β1=0.
22. Вынужденные колебания. Резонанс.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (механических) и его решение
Чтобы в реальной колебательной системе осуществлять незатухающие колебания, надо компенсировать каким-либо потери энергии. Такая компенсация возможна, если использовать какой-либо периодически действующего фактора X(t), который изменяется по гармоническому закону: Xt=X0cosωtПри рассмотрении механических колебаний, то роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила F=F0cosωt (1) С учетом (1) закон движения для пружинного маятника запишется как mx=-kx-rx+F0cosωtИспользуя формулу для циклической частоты свободных незатухающих колебаний пружинного маятника и (10) предыдущего раздела, получим уравнение
x+2δx+ω02x=Fomcosωt (2) Колебания, которые возникают под действием внешней периодически изменяющейся силы называются соответственно вынужденными механическими колебаниями. Уравнения (2) и (4) приведем к линейному неоднородному дифференциальному уравнению d2sdt2+2δdsdt+ω02s=x0cosωt (5) причем далее мы будем применять его решение для вынужденных колебаний в зависимости от конкретного случая (x0 если механические колебания равно F0/m). Решение уравнения (5) будет равно (как известно из курса дифференциальных уравнений) сумме общего решения (5) однородного уравнения (1) и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение ищем в комплексной форме. Заменим правую часть уравнения (5) на комплексную переменную х0eiωt : s+2δs+ ω02s= x0eiωt(6) Частное решение данного уравнения будем искать в виде s=s0eintПодставляя выражение для s и его производных ( s=iηs0eiηtи s=-η2s0eiηt) в выражение (6), найдем s0eiηt-η2+2iδη+ωo2=x0eiωt (7) Поскольку это равенство должно быть верным для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Значит η=ω. Учитывая это, из формулы (7) найдем величину s0 и умножим ее числитель и знаменатель на (ω02 - ω2 - 2iδω) s0=x0ω02-ω2+2iδω=x0ω02-ω2-2iδωω02-ω22+4δ2ω2
Это комплексное число представим в экспоненциальной форме: s0=Ae-iφгде A=x0ω02-ω22+4δ2ω2 (8) φ=arctg2δωω02-ω2 (9) Значит, решение уравнения (6) в комплексной форме будет иметь вид s=Ae-iωt-φЕго вещественная часть, которая является решением уравнения (5), равна
s=Acos(ωt-φ) (10) где А и φ определяются соответственно формулами (8) и (9). Следовательно, частное решение неоднородного уравнения (5) равно s= x0ω02-ω22+4δ2ω2cosωt-arctg2δωω02-ω2 (11) Решение уравнения (5) есть сумма общего решения однородного уравнения s1=A0e-δtcosω1t+φ1(12) и частного решения уравнения (11). Слагаемое (12) играет значительную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, которое определяется равенством (8). Графически вынужденные колебания изображены на рис. 1. Значит, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω и являются гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, которые определяются уравнениями (8) и (9), также зависят от ω.

Рис.1
Резона́нс — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты внешнего воздействия к некоторым значениям (резонансным частотам), определяемым свойствами системы. Увеличение амплитуды — это лишь следствие резонанса, а причина — совпадение внешней (возбуждающей) частоты с внутренней (собственной) частотой колебательной системы. При помощи явления резонанса можно выделить и/или усилить даже весьма слабые периодические колебания. Резонанс — явление, заключающееся в том, что при некоторой частоте вынуждающей силы колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие этой силы.

23. Системы дифференциальных уравнений. Запись задачи в матричной форме.
(1)
Система такого вида называется нормальной системой дифференциальных уравнений (СНДУ). Для нормальной системы дифференциальных уравнений можно сформулировать теорему о существовании и единственности такую же, как и для дифференциального уравнения.
Теорема. Если функции определены и непрерывны на открытом множестве , а соответствующие частные производные тоже непрерывны на , то тогда у системы (1) будет существовать решение
(2)
а при наличии начальных условий (3)
это решение будет единственным.
Эту систему можно представить в виде:
(4)
Система обыкновенных дифференциальных уравнений вида
dy1dx=a11xy1+a12xy2+…+a1nxyn+b1xdy2dx=a21xy1+a22xy2+…+a2nxyn+b2xdyndx=an1xy1+an2xy2+…+annxyn+bnxгде aij(x) и bi (x) — известные, а yj (x) — неизвестные функции, (i = 1,2, … ,n, j = 1,2, … , n) называется линейной системой дифференциальных уравнений.
При описании линейных систем дифференциальных уравнений удобнее пользоваться векторной (матричной) формой записи. Обозначим
Y=y1y2…yn,Y'=dYdx=y1'y2'…yn', Ax= a11x a12x… a1n(x)a21x a22x… a2n(x)… …. … ….an1 x an2x… ann(x), bx=b1(x)b2(x)…bn(x)Тогда линейная система дифференциальных уравнений в векторной (матричной) форме записывается в виде Y' = A(x)Y + b(x) или, что то же самое, в виде:
dYdx=AxY+b(x) Матрица A называется матрицей системы, а вектор–функция b(x) — неоднородностью системы.
Система Y' = A(x)Y + b(x) называется неоднородной линейной системой дифференциальных уравнений, а система Y' = A(x)Y— однородной линейной системой.
Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейной системы дифференциальных уравнений.
Если A(x) и b(x) непрерывны на отрезке [a, b] , то какова бы ни была начальная точка (x0, Y0) из Rn + 1, задача Коши Y' = A(x)Y + b(x), Y(x0) = Y0,имеет единственное на [a,b] решение Y = Y(x) .
Важно отметить, что для линейной системы дифференциальных уравнений разрешимость задачи Коши глобальная: решение существует всюду, где непрерывны коэффициенты и неоднородность системы.

24. Системы дифференциальных уравнений. Запись задачи в матричной форме.
Для решения многих задач в математике , физике , техники , биологии не редко требуется несколько функций
Нахождение этих функций может привести к нескольким дифференциальным уравнениям образующих систему
Системой ДУ – называется совокупность дифференциальных уравнений, каждое из которых содержит независимые непеременные, искомые функции и их производные
Общий вид системы ДУ 1-го порядка содержат n искомых функций :
y1, y2, …,ynF1 x ,y1, …,yn,y1 ',…,yn'=0Fn x ,y1, …,yn,y1 ',…,yn'=0Система ДУ 1-го порядка решают относительно производных, то есть система вида:
dy1dx = f1 (x, , y1, …,yn)
dd1dx = f1 (x, , y1, …,yn)
Число уравнений= числу искомых функций
Часто система уравнения и система уравнения высшего порядка можно привести к нормальным системам вида (6.1)
24. Сведение систем дифференциальных уравнений к одному уравнению более высокого порядка.
Уравнение 3- го порядка
y’’’ = f ( x , y , y’ , y’’)
Путем замены:y’ = py’’ = q
y'=pp'=qq'=f(x, y, p, q)Решение системы (6.1) называется совокупностью из nфункций :
y1, y2, …,yn удовлетворяет каждому уравнению из этой системы
Вначале условия для (6.1) имеют вид:
y1 (x0) = y10y0 (x0) = y20 ….. , yn (xn) = yn0 (6.2)
Задача Коши для (6.1) :
Нужно найти решение системы (6.1) удовлетворяющее условию (6.2)
Условия существования и единственности решения задач Коши сформулирована в § 3.3 (т 3.6)
Общее решение (6.1) имеет вид:
y1 = φ1 (x, C1 , …,Cn)
yn = φn (x, C1 , …,Cn)
Решение получившиеся из общего из конкретного значения constC1, C2 … Cn называются частными решениями системы (6.1)
25. Запись системы в симметричной форме. Нахождение интегрируемых комбинаций.
Одним из основных методов интегрирования нормальной системы ДУ является метод сведения к одному ДУ высшего порядка
Он основывается на следующих положениях :
Возьмем из (6.1) 1-ое уравнение и продифференцируем:
d2y2dx2 = df1dx + dfdy1* dy1dx + … + dfdn1 * dn1dxПодставим значение производной:
dy1dx , dy2dx , … , dyndx=>d2y1dх2 +∂f1∂y1∙f1+…+∂f1∂y1∙fnПродифференцируем это равенство еще раз и заменив их производную выразим систему (6.1)
∂1y1dx2 = ∂f1∂x + ∂f1∂y1 * f1 +…+ ∂f1∂yn*fn∂1y1dx2= Fn (x,y1 ,…,yn)
Соберем полученное уравнение в системе:
dy1dx = f1(x, y1,y2,…yn)d2y1dx = f2(x, y1, …yn) (6.3)d2y1dxn = f2(x, y1,y2,…yn)
Из первых (n- 1) - го уравнений системы (6.3) выразим функцию y2,y3 ,…yn Через x :
x, y1,y1',y1'',… y1(n-1)y2 = Ψ2(x, y1, y1’, …y(n-2))
yn = Ψn(x, y1, y1’, …y(n-1)) (6.4)
Найдем значение y2…ynподставим в n-ое уравнение (6.3) и получим уравнение n-го порядка
dny1dxn = φ(x, y1, y1’, …y(n-2))
y1=φ1 (x, C1…Cn)
Продифференцируем (n – 1) раз и подставим значения производных
y1’,…, y1(n+1) в уравнении (6.4)
Найдем функцию :y2,y3,yny2=φ2 (x, C1…Cn) yn= φn (x, C1…Cn)
Замечание : система уравнения (6.1) можно решить методом интегрируемых комбинаций
Суть метода : что выполняемые арифметические операции над уравнением получить легко интегрированные уравнения относительно новых переменных
26. Устойчивость решений дифференциальных уравнений. Асимптотическая устойчивость.
При математическом описании различных процессов происходит некоторое округление, так как мы не учитываем факторы незначительно влияющие на процесс.
Возможно, что не учитываемые факторы сильно влияют на процесс, меняя его количественную и качественную характеристику
Во многих случаях можно указывать условия, при которых упрощение не возможно
Пусть некоторое явления описываются системой ДУ :
dyidt = ϕi( t, y1,y2,…,yn)
(i=1,2,…, n)yi(t0) = yio (i=1,n) (7.3)
Если решение φi t →φit (i=1,n) не только устойчивое, но и удовлетворяет условию:
lim │yi(t) - φit │=0 (7.5)
t→ ∞
│yi (t0) - φit0│<б1,б1>0
φi(t0) - асимпатичная устойчивость
Заметим , что из условия (7.5) не следуете устойчивость решения φitfi = 1,n)
Из устойчивости решения не следует его асимптатичности
Исследование на устойчивость решения yi системы (7.3) может быть сведено к исследованию на устойчивость тривиального решения
Тогда система (7.3)
`yi= yi (t) (i = 1,n xi = yi (t) (i = 1,n) (7.6)
dxidt = -dydt + ϕi (t, x1 + y1(t), x2 +y2(t),…,yn+yn(t)) (7.7)
Решение yi = yi(t) уравнения (7.7), которое мы исследовали на устойчивости в силу замены xi = yi - yI (t) соответствует тривиальному решению (7.7)
Поэтому мы будем исследовать на устойчивости точку покоя, расположенную в начале координат.
Условия устойчивости точки покоя :xi =0 (i=1,n )
Устойчивость в смысле Ляпунова если для каждой ε>0 можно подобрать δ; (ε) такое, что
i=1nx2i t0<δ12ε=>i=1nxi2(t)<ε2То есть траектория начальная точка которой находится в точке δ1 окрестности начальной координаты при t≥T не выходит за пределы ε – окрестности начальной координаты.
27. Типы точек покоя. Узел, седло.
Исследуем расположение траектории в окрестности точки покоя: x=0, y=0
Система 2-ух линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами
dxdt= a11x+ a12ydydx= a21x+ a22y (7.8)
a11a12a21a22≠ 0
Ищем решение в виде
x= α1ekt y= α2ektДля получения корней характеристического уравнения :
a11-ka12a21a22-k = 0
k2- (a11 + a22 )k + (-a12a21 + a11a22) = 0
α1и α2 с точностью до постоянного множителя определяемого из одного из уравнений
a11-kα1+a12α2=0a12α1+a22-kα2=0 (7.9)
Рассмотрим следующие случаи :
УЗЕЛ:
k1∈R ;k2∈ R k1≠k2x=C1α1ek1t+ C2β2ek2ty=C1α1ek1t+ C2β2ek2t (7.10)
αiи βiПри k=k1и при k=k2C1иC2 произвольная постоянная
k1< 0 k2< 0
X=0 y=0
Асимптатично устойчивы ek1tek2tТак как точки лежащие в любой δ – окрестности начальные координаты при достаточно большом tпереходе в точке лежащей в ε – окрестности начальной координаты
На рисунке (7.1) изображено расположение траектории для точки покоя данного типа – устойчивый узел.
СЕДЛО
k1> 0 k2< 0
x= C1α1ek1t y= C1α2ek1t (7.11)
Однако существует движение приближенное к началу координат :
x= C2β1ek2t y = C2β2ek2ty= β2β1 x
Движение (7.11) проходит по прямойy= α2α1x
C1≠0,C2≠0t→∞ t→ -∞
Точка покоя такого вида называется Седлом

28. Типы точек покоя. Фокус, центр.
Корни характеристического уравнения
k1,2 = P±qi q≠0
x=eqt(C1cosqt+ C2sinqt)y=eqt(C1*cosqt+ C2*sinqt) (7.12)
Здесь возникли следующие случаи
ФОКУС
k1,2 = P±qip<0 q≠0
ept p<0
Второй множитель ограничен
p=0 - траекторией замкнутых кривых
ept→(p<0)
Превращающееся замкнутые кривые в спирали асемптатично приближены к началу координат
Фокус отличается от узла тем, что касательные к траектории не стремятся ни к какому приделу при t→∞
ЦЕНТР
k1,2 = P±qip>0
q≠0
Этот случай переходит в предыдущий при замене tна –t
Поэтому траектории те же но движение в другую сторону
Точка покоя не устойчива - не устойчивый фокус
Траектория – замкнутые кривые , содержащие внутри себя точку покоя называется центром рисунка (7.4)
Она устойчива, но асимптатичной устойчивости нету
29. Решение дифференциальных уравнений с использованием степенных рядов.
Пусть дано уравнение :
y’’ + p(x)y’ +q(x)y=0 (9.1)
в котором коэффициенты p(x) и q(x) являются голоморфными функциями в окрестности (*) x=x0то есть
P(x) = k=0 ∞fk(x-x0)kq(x)= x=0∞qk(x-x0)kПричем ряды справа сходятся в области │x-x0│<ρТеорема (9.1) Если функцииp(x) иq(x) голоморфны в области │x-x0│<ρ , то существующее единственное решение (9.1) голоморфно в той же области
y= y0 , y’ = y0’ при x=x0Где y0 и y0’ - произвольные заданные числа то есть решение вида :
y= y0+ y0’ (x-x0) + ρ=2∞C3(x-x0)s│x-x0│<ρ(9.3)
В приложениях чаще всего встречаются случаи , когда коэффициент уравнений (9.1) является либо полиномами , либо отношениями полиномов
В непрерывном случае мы получаем решение в виде степени ряда
Во втором случае радиус сходит степени ряда представим решение не меньше расстояния они (*) x=x0до ближайшей известной точек в координате знаменатель коэффициента рассматривается как формула комплексныхпеременных обращенная в ноль
Коэффициент Сs в формуле (9.3) определяется единственным образом : если заданы y0 и y0’
Их можно определить подстановкой ряда (9.3) в уравнение (9.1) и приравнивание к нулю коэффициенты при разделении степени x=x0в левых частях получится равенство.
/*П. 13.2Гипергеометрическая функция*/
Эта функция является обобщением геометрической прогрессии. Она обладает рядом свойств.
Свойства геометрической функции:1)F(a,b,c,z)зависит от 4-ёх параметров2)F1,b,b,z=11-z3)F-n,b,b,z=(1-z)n 4)F1,1,2,-z=ln⁡(1+z)5)expz=limb→∞F1,b,1,z/bЭто значит, что многие элементарные функции выражаются через гипергеометрическую функцию с определённым набором параметров.
Эту функцию можно разложить в ряд по степеням z с параметрами a, b, c, z:
Fa,b,c,z=1+ab1cz+a(a+1)b(b+1)1*2*c(c+1)z2+a(a+1)(a+2)b(b+1)(b+2)1*2*3*c(c+1)(c+2)z3+…(13.7)
Название гипергеометрической этой функции дал Валлис в 1655г. Позже его изучали Эйлер, Куммер. Однако, только Гаусс доказал его сходимость, и следовательно, гипергеометричность (её существование).
Fa,b,c,z=s=0∞aa+1…a+s-1bb+1…b+s-1zscc+1…(c+s+1) (13.7a)
Здесь предполагаем, что с=0, с∉zВоспользовавшись признаком Даламбера для сходимости рядов легко показать, что радиус сходимости (13.7)=1. Эйлером получено интегральное представление произведения Г-функций:
Гp-Гq=Гp+q*01Vp-1(1-V)q-1dV (13.8)
Re(p)>0, Re(V)>0. Используя это представление Эйлер выразил гипергеометрическую функцию через гамма- функцию: Fa,b,c,z=Г(c)ГbГ(с-b)01tb-1(1-b)a-b-1(1-tz)-adt (13.9)
Эта функция позволяет продолжить функцию Fa,b,c,z во внешности единичного круга.
Гипергеометрическим уравнением называется уравнение вида:
z1-zw"+(c-(a+b+1)z)w'-abw=0 (13.10)
Cпомощью прямой подстановки ряда (13.7) в уравнение (13.10) можно убедиться, что гипергеометрическая функция является решением гипергеометрического уравнения
/* П. 13.3Функция Бесселя*/
Уравнение Бесселя имеет вид: w"+1zw'+(1-v2z2)w=0 (13.11)
Можно искать решение этого уравнения в виде степенного ряда. Таким образом приходим к функции Бесселя:
JVz=(z2)Vkw∞(-1)кk!ГV+k+1(z24)k (13.12)
Параметр V – порядок функции Бесселя; z – аргумент. Воспользовавшись признаком Даламбера можно доказать, что ряд (13.12) сходится. Если V∈z+, то функция Бесселя – целая функция. Если V∉z+, то функция Бесселя является точкой ветвления bz=0. Главная ветвь функции Бесселя определяется главной ветвью функции zV. Связь различных ветвей функции Бесселя даёт формулу: JVz*exp2iπm=exp2iπmνJVz30. Линейные и Квазилинейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка
Линейные неоднородные уравнения или квазилинейные уравнения первого порядка в частных производных называется уравнение вида
x1(x1,x2,…,xn, z)∂z∂x1+ x2(x1,x2,…,xn, z)∂z∂x2+…..+xn(x1,x2,…,xn, z)∂z∂xn= z(x1,x2,…,xn, z)(8.1)
Это уравнение линейное относительно производной но может быть изменено относительно не известнойz.Если правая часть ≡0 а коэффициентxiне зависит от z, то уравнение (8.1) называется линейно однороднымРассмотрим более подробно квазилинейные уравнения с 2-умя независимыми переменнымиP (x, y, z) dzdx + Q (x, y, z) dzdy = R (x, y, z) (8.1a)
Функцию P, Q, R будем считать не прерывной в рассматриваемой области изменённой переменой и не обращающейся в ноль одновременноРассмотрим непрерывное поле F :
F= P (x, y, z) i + Q (x, y, z) y1 + n (x, y, x) kВекторные линии поля , то есть линии, касательно которых в каждой точке имеют направленияt= i dx + jdy + kdz ,t ││ Fdxp(x,y,z) - dyQ (x, y, z) = dz R (x, y, z)Поверхность целиком содержащая векторные линии, или хотя бы одну общую точку с поверхностью называется векторной поверхностьюВекторные поверхности характерны тем, что вектор N направлен по нормали к поверхности.В ∀ точке поверхность ортогональна полю F, то есть :(N*F) =0 (8.2)
Если векторная поверхностьNdzdxi + dzdyj - kи условие (8.2) принимает вид:
P (x, y, z) *dzdx + Q (x, y, z) dzdy = R (x, y, z) (8.3)
Если векторная поверхность задаётся:
U (x, y, z) = 0
Ndzdxi + dzdyj - dudy kИ уравнение (8.2) приобретает вид :
P (x, y, z) *dudx + Q (x, y, z) dudy + R (x, y, z) dudz = (8.4)
Так как векторные поверхности могут быть составлены из векторных линий
То интегрирование уравнения (8.3) или (8.4) сводиться к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений векторных линий
Составим систему дифференциальных уравнений векторных линий :
dxp(x,y,z) - dyQ (x, y, z) = dzR (x, y, z) (8.5)
Ψ1x,y,z= C1Ψ2x,y,z= C2 Выделяя из 2-ух параметрических семейств векторных линий
Ψ1x,y,z= C1Ψ2x,y,z= C2Называется характеристиками уравнения (8.3) или (8.4) произвольным способом параметрического семейства Устанавливая какую – нибудь зависимость Ф (C1,C2) = 0 тогда параллелограмм C1 и C2 Исключение из системы :Ψ1x,y,z= C1Ψ2x,y,z= C2ф(C1,C2) = 0Ф- произвольная функция (непрерывная) Найдем интеграл квадратного уравнения (8.3) зависящего от произвольной функции Если требуется найти не произвольный вектор поверхностного поля FF = P (x, y, z) i + Q (x, y, z)j + R (x, y, z) kА поверхностный проход через заданную линию определяется уравнением ф1(C1,C2) = 0ф2(C1,C2) = 0То функция (8.6) уже не будет произвольной , определяемая присутствием исключенийx, y, z из системы
ф1(x, y, z) = 0ф2x, y, z= 0Ψ1 (x, y, z) = C1Ψ2 (x, y, z) = C2Которые должны одновременно удовлетворять в задней линии φ1=0 , φ2=0
Через которую мы проводим характеристики определяемые уравнениями :
Ψ1x,y,z= C1Ψ2x,y,z= C2Заметим, что задание станет неопределяемым если задание меньше φ1 (x, y, z) = 0φ2 (x, y, z) = 0 является характеристикой , т.к. в этом случае эту линию можно включить в различныеоднопараметрические семейства характерные тем самым получим различные интегралы появляющееся через эту линию.
31. Задача Коши для дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.
Найти u (x1 ,.., xn), удовлетворяющую дифференциальному уравнению: A1x1,…,xn∂u∂x1+A2x1,…,xn∂u∂x2+…+ An∂u∂xn=0которая при фиксированном значении одной из независимых переменных обращается в заданную функцию от остальных переменных.(6)  при xn = xn0   u = H (x1 ,.., xn -1).
Общее решение дифференциального уравнения (1)   u = Φ(ψ1 ,.., ψn -1).
Найдем решение уравнения (1), удовлетворяющее н.у.(6). Для этого воспользуемся 1ми интегралами (5)
c1=φ1x1,…,xn2=φ2x1,…,xn…cn-1=φn-1x1,…,xnили ci=φix1,…,xni=1,…n-1 (5)
системы (2)
(2) dx1A1(x)=dx2A2(x1,…,xn)=…=dxnAn(x1,…,xn), положив в них xn = xn0 :
** φ1x1,…,xnxn0=c1…φn-1x1,…,xnxn0=cn-1или φ1x1,…,xn-1xn0=c1i=1,…,n-1Эта система разрешима в окрестности точки  (x10 ,.., xn0) относительно x1 ,.., xn -1 :
x1=φ1c1,…,cn-1……xn-1=φ1c1,…,cn-1Подставим полученные соотношения xi в начальное условие   u = H(x1 ,.., xn -1 )  ( H - известная функция) ; так как   u = Φ(ψ1 ,.., ψn -1), то при подстановке (**) получим:   u = Φ (c1 ,.., cn -1) = H [ φ1 (c1 ,.., cn -1 ),.., φn -1 (c1 ,.., cn -1) ] ;  (где Φ-неизвестная), т.е. мы получили общий вид функции   Φ(α1 ,.., αn -1) ; так как общее решение уравнения (1) определяется как   Φ(ψ1 ,.., ψn -1), остается вместо сi подставить интегралы  ψi :
u ( x1 ,.., xn -1 ) = Φ(ψ 1 ,.., ψn -1) = H [ φ1 (ψ1 ,.., ψn -1 ),..,φn -1 (ψ1 ,.., ψn -1) ] 
32. Система дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка
Во многих областях науки встречаются системы величин, которые связаны между собой не одним, а сразу несколькими соотношениями , рассматривается задача Коши для систем из двух уравнений с двумя начальными условиями
∂u1∂t + 8 ∂u2∂t =0
∂u2∂t + 2 ∂u1∂x =0
∞ <x< +∞
0 <t< ∞
u1 (x, 0) = f(x)
u2 (x, 0) = d(x)
Эта задача может соответствовать определению давления u1 и плотности u2, как формула uпространствует координатам xи времени t
u1 (x, 0) = f(x) - давление
u2 (x, 0) = d(x) - плотность
x- координат
t – времяЗапишем систему уравнений в матричной форме
∂u1∂t∂u2∂t + 0820∂u1∂x∂u2∂x = 00Ut + A Ux = 0 (8.7)
A = 0820Ut = ∂u1∂t∂u2∂tUx = ∂u1∂x∂u2∂x0 = 00Введение новой неизвестной функции v = v1v2 с помощью преобразования u = pv, где p- матрица , по столбцам которой стоят собственные векторы матрицы А.
Собственные числа матрицы А являются корнями уравнения :
det (A –λ E)=0
или-λ82-λ = 0 λ2 – 16 = 0 λ1 = 4 λ2 = - 4
Найдём собственный вектор x1 соответствующий собственному значению λ1= 4 из системы
(A – λ1 E) (x1) = 0
-4x11+8x212x11+(-4)x21x11 = 2x21x21 =1
x11 =2 =>x121P= 21λ2 = - 4
4x12+8x222x12++4x22x12 = 2x22x22 = 1,
x12 = - 2
x2-21P= 2-211p-11det pA11A21A12A22 * 1412-12 = 14;12-1412 det p= 4
P-1AP = 1412-141208202-211 = 121-22-211 = 400-4 = B
Оказалось, что после замены переменных по формуле u=pv для определенияv получится очередная простая система 2 уравнения относительно новыхv1 и v2 , после того по формуле pv находится искомая формула v1 и v2 но сначала вычислим, как выглядит система для определения v продифференцируем обе части соотношения u=pv получаем :
∂u∂t = p ∂v∂t∂u∂x = p ∂v∂x (8.8)
Теперь подставим соотношения (8.8) в системе :
Ut + A Ux = 0
PVt + A│ Vx = 0 │* P-1Vt + P-1 APVx =0
Vt + BVxx= 0 (8.9)
Раньше мы уже видели , что B400-4Заменим (8.9) в развернутой форме :
∂V1∂t+4 ∂V1∂x=0∂V2∂t-4 ∂V2∂x=0 (8.10)
Получилась система из 2х не связанных уравнений которые решаются независимо их решениями будут :
dt1 = dx4x- 4t = C1x1 = ϕ (x-4t)
x2 : dt1 = dx-4x-+4t = C1x1 = ϕ (x+4t)
Для получения общего решения нужно выполнить по формуле :u=pv2-211φ(x-4t)φ(x+4t) = 2φx-4t-2Ψ(x+4t)2φx-4t-Ψ(x+4t)= u1u2u1 (x, t) = 2φx-4t-2Ψ(x+4t)u2 (x, t) = φx-4t-Ψ(x+4t)Решается задание Коши:
2φx-2Ψx=fx=u1(x,0)φx-Ψx=fx=u2(x,0)│2
Φ(x) = 14 (f(x)+2y(x))
Ψ(x)=14 (2f(x)- f(x)) =>
Ответ :u1 (x, t) = 12 (f(x-4t)+2y(x-4t))- 12(2y(x+4t)-f(x+4t))
u2 (x, t) =14(2y(x-4t)-f(x-4t)+14(2d(x+4t)-f(x+4t))
Замечание: часто численные методы ориентируются на решение систем уравнений, а значит многие программы для компьютера написаны так чтобы решить систему уравнений первого порядка, поэтому приходится преобразовывать свое уравнение высшего порядка в систему первого порядка.
33. Однородное уравнение теплопроводности.
Для функции u(x,y,z,t) трёх пространственных переменных (x,y,z) и времени t, уравнение теплопроводности 
∂u∂t-α∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2=0Для произвольной системы координат:
, где α — положительная константа, а Δ или ∇2 —  оператор Лапласа
Способы решения уравнений теплопроводности 
Метод разделения переменных (Метод Фурье) 
Однородное уравнения. Рассмотрим следующую задачу

Требуется найти функцию  для .
Представим искомую функцию в виде произведения
Затем предполагаемую форму решения подставим в исходное уравнение, получим
Разделим выражение на :
Так как в левой части уравнения у нас находится функция зависящая только от , а в правой — только от , то, фиксируя любое значение  в правой части, получаем, что для любого  значение левой части уравнения постоянно. Таким же образом можно убедиться, что и правая часть постоянна, то есть равна некой константе  (минус взят для удобства). Таким образом, мы получаем два обыкновенных линейных дифференциальных уравнения:
Обратим внимание на граничные условия исходной задачи и подставим в них предполагаемый вид уравнения, получим:
откуда  (, так как в противном случае мы имели бы решение , а мы ищем только нетривиальные решения).
С учетом полученных граничных условий мы получаем задачу Штурма — Лиувилля:

Её решение сводится к решению линейного дифференциального уравнения и рассмотрению трёх случаев:
В этом случае общий вид решения будет следующим: Подставив граничные условия, мы убедимся, что решение будет , а мы ищем только нетривиальные решения, следовательно, этот случай не подходит.
Общий вид решения Несложно убедиться, что этот вариант нам также не подходит.
Общий вид решения
Подставим граничные условия: Так как мы ищем только нетривиальные решения,  нам не подходит, следовательно

Отсюда
C учетом найденных , выведем общее решение линейного дифференциального уравнения

Должен получиться ответ
Теперь всё готово для того, чтобы записать решение исходной задачи:

В результате у нас получилось бесконечное количество частных решений уравнения. Все эти частные решения линейно независимы, то есть линейная комбинация любого количества решений равна нулю, только если все коэффициенты при них равны нулю. Поэтому логично предположить, что суммируя все частные решения по  от единицы до бесконечности, мы получим общее решение исходной задачи.

Осталось определить значение константы  (зависящей от ) из начального условия
Для того, чтобы определить значение , необходимо разложить функцию  в ряд Фурье:

Получаем:

Откуда общее решение:
lefttop
34. Неоднородное уравнение теплопроводности.
Рассмотрим способ решения неоднородного уравнения:

Пусть

Тогда, пользуясь очевидным соотношением , перепишем исходное уравнение как:

Решим последнее линейное неоднородное уравнение методом вариации постоянной. Сначала найдём общее решение однородного линейного уравнения

В общем решении заменим постоянную  на переменную  и подставим в исходное уравнение.

Из начального условия получаем:

С учетом условия для , получаем

Так как

то , очевидно, является коэффициентом ряда Фурье, и равен

В результате, общая формула такова:

Общая первая краевая задача 
Во многих случаях удаётся решить уравнение теплопроводности с неоднородными краевыми и начальным условиями

с помощью методов, описанных выше и следующего несложного приёма. Представим искомую функцию в виде суммы:

Найдём функцию :

Таким образом, исходная задача свелась к следующей:

После того, как мы найдём функцию , искомую функцию найдём по формуле

35. Однородное уравнение колебаний струны.
Уравнение вида
(1)
с краевыми условиями
(2)
и начальными условиями
(3)
(4)
описывает закон колебаний однородной тонкой нерастяжимой струны длины l, закрепленной на концах в точках х=0 и х=l (условия (2)), с начальной формой (х) (условие (3)) и начальной скоростью (х) (условие (4)), в поле действия внешней силы (например, силы тяжести, в магнитном поле и т.п.). Постоянный параметр a2 зависит от свойств струны, функция F(x;t) - от внешней силы. Если F(x;t)=0 – это значит, что внешней силы нет (или ей можно пренебречь) и колебания называются свободными.
Отметим, что колебания рассматриваются малые (отклонение u точек струны от положения равновесия – оси Ох – мало), плоские (колебания происходят только в плоскости хOu), поперечные (каждая точка струны движется строго перпендикулярно положению равновесия).
Уравнение свободных колебаний струны, закрепленной на концах:

имеет решение вида
,
где коэффициенты Аn и Вn находят из начальных условий:
подставляя t=0 получаем
,
то есть Аn – коэффициенты Фурье для функции (х) при разложении на интервале (0; l) по синусам кратных дуг.
Далее, дифференцируя u(х;t) по t и подставляя t=0 получаем:
,
то есть – коэффициенты Фурье для функции (х) при разложении на интервале (0; l) по синусам кратных дуг.
Напомним, что коэффициенты Фурье в общем случае вычисляются при помощи интегралов (см. тему «Ряд Фурье», с.38), а иногда их можно подобрать (если раскладываемая функция представляет собой сумму синусов кратных дуг).
36. Неоднородное уравнение колебаний струны.
,
где заданная функция.
Эти вынужденные колебания общего типа можно представить себе как результат сложения двух колебательных движений, из которых одно есть чисто вынужденное колебание, то есть такое, которое совершается по действием силы, причем струна в начальный момент не выведена из состояния покоя, другое есть свободное колебание, которое струна совершает без действия силы, только вследствие начального возмущения. Аналитически это приводит к введению вместо U двух новых функций V и W.Ищем решение в виде суммы двух функций U(x,t)=V(x,t)+W(x,t) одна из которых удовлетворяет однородному уравнению и неоднородным начальным условиям, а вторая удовлетворяет неоднородному уравнению и однородным начальным условиям.
.
Рассмотрим систему (3).  и  разложим в ряд по синусам.
Разложим функцию f(x,t) в ряд Фурье по синусам на отрезке :
, , ,
Как и в случае свободных колебаний, мы будем искать функцию W в виде ряда:
. Решим уравнение системы (3). Для этого найдем производные:
,

Подставим выражения (4), (7), (8) в уравнение (3) и решим его.

. Необходимо удовлетворить начальным условиям: 
.
Для определения мы получили обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Начальные условия дают:

откуда следует:
Эти дополнительные условия полностью определяют решение уравнения (9).
 -решение неоднородного уравнения с нулевыми начальными условиями и
 - решение однородного уравнения с заданными начальными условиями. Таким образом, искомое решение запишется в виде


Приложенные файлы

  • docx 8883790
    Размер файла: 557 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий