Зонная теория твердых тел

Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.

1
Элементы физики твердого тела.

Зонная теория твердых тел.


1.

Энергетические зоны в кристаллах.

2.

Зонная структура металлов, диэлектриков, и полупроводн
и
ков.

3.

Собственная проводимость полупроводников.

4.

Примесная

проводимость полупроводников.

5.

Контакт двух металло
в.

6.

Контакт электронного и
дырочного

полупроводников.



1. Энергетические зоны в кристаллах.


Энергия электронов в атоме квантована, то есть имеет определенные
дискретные значения. Считается, что электрон находится на определенных
энергетических уровнях, ко
торые зависят от главного


и орбитального
l

квантовых чисел.


Верхний энергетический уровень, занятый электронами при абсолю
т
ном нуле температуры, называется уровнем Ферми. От него отсчитывается
работа выхода эл
ектрона из металла. Число занятых электронами энергет
и
ческих уровней равно по порядку величины числу свободных электронов в
металле.



Исходные представления зонной теории твёрдых тел.


Модель свободных электронов в металле, хорошо объясняет ряд физ
и
чески
х свойств металлов, однако существуют и такие свойства, для инте
р
претации которых модель свободных электронов оказывается бесполезной.
Так данная модель не в состоянии объяснить различие между электросопр
о
тивлением проводников и изоляторов 10
8

м
Ом




у металлов и
10
22
м
Ом




у диэлектриков. Квантовая теория электропроводности не
объясняет существование полупроводников, электрические

свойства которых
резко увеличиваются с возрастанием температуры. Статистика Ферми

Дирака не учитывала электрическое поле положительных ионов кристалл
и
ческой решетки мета
л
лов.


Эти и ряд других вопросов рассматриваются в зонной теории твердых
тел.

Ранее
было получено, что энергия валентных электронов в кристалле
изменяется квазинепрерывно, то есть спектр разрешенных значений энергии
состоит из множества близко расположенных дискретных уровней.


2
На движение электрона оказывает влияние периодическое поле реш
е
т
ки, этим объясняется то, что спектр возможных значений энергии электрона
расп
а
дается на ряд чередующихся разрешенных и запрещенных зон.

Зонная структура энергетических уровней получается из решения
уравнения Шредингера для электрона, движущегося в период
ическом сил
о
вом поле








W
U

2
2
2

.

Решением является
ik
k
k


U







функция Блоха,

где



U
k



функция имеющая периодичность решетки,

k




волновое число,





равновесное

расстояние между двумя соседними атомами в кр
и
сталле.

Область
k

пространства, внутри которой энергия электрона в криста
л
ле уменьшается квазинепрерывно, называется зоной Бриллюэна, на границах
зоны эне
р
гия претерпевает разрыв.



Эне
ргетическая щель

обусловлена первым Брэгговским отражением
;

для данного интервала энергии не существует решений волнового уравнения.

Решение задач данной теории возможн
о

с помощью методов
:



приближение сильной связи
дв
к
свз
E
W


электронов

измен
е
ние
энергетических уровней по мере сближения атомов в результате п
е
реходов валентных электронов;



приближение слабой связи
дв
к
свз
E
W



рассматривается движение
свободного электрона в
поле

кристалла

.

При объединении одинаковых атомов в молеку
лах или кристаллах
происходит расщепление энергетических уровней на группы из близких
уровней
–

энергетических зон.

При сближении, когда расстояние между атомами уменьшается до в
е
личин, сравнимых с параметрами кристаллической решетки, сильное взаим
о

3
действи
е атомов приводит к перекрытию их электрических полей. Потенц
и
альные кривые частично накладываются, что приводит к понижению и суж
е
нию потенциального барьера для валентных электронов.


Благодаря туннельному эффекту электрон уходит от сво
его атома и п
е
реходит к соседнему. Такие электроны становятся обобществленными ко
л
лективизированными и образуют квант
о
вый электронный газ.

Энергетические уровни электронов в атомах, находящихся в возбу
ж
денном состоянии, имеют конечную ширину
l

W
,

, связанную соотношен
и
ем неопределенности для энергии и времени
h
W

l




,
,

где




время жизни электрона в возбужденном состоянии
c
8
10



.




/
1




частота просачивания электр
онов сквозь потенциальный
барьер.




Среднее время жизни валентного электрона в этом случае
15
10
2





с,
что на семь порядков меньше


электрона в изолированном атоме.


По мере сближения свободных атомов кулоновское вза
имодействие
между атомными остовами и электронными оболочками приводит к расще
п
лению энергетических уровней в образующейся сложной системе
–

из ка
ж
дого уровня изолированного атома образуется два различных энергетических
уровня сист
е
мы из двух атомов.



4

Так
им образом, получили, что расширение энергетического уровня
электрона связано с уменьшением времени жизни в результате взаимодейс
т
вия атомов в кристалле.


Узкий энергетический уровень расширяется в широкую полосу
–

зону
разрешенных значений энергии электро
на.


Разрешенные энергетические зоны отделены друг от друга зонами з
а
прещенных значений энергии электронов.


Ширина разрешенной зоны характеризуется энергией
l

W
,


электрона
на соответствующем уровне в изолированном атоме.

В пределах зоны

энергии энергия также квантована. Число дискретных
уровней в зоне
N
l

1
2




N



число атомов в кристалле, на каждом из таких
уровней может находиться не более двух электронов с антипараллельными
спинами.


При внесени
и в основную кристаллическую решетку полупроводника
примеси, в кристалле возникают дополнительные энергетические уровни,
расположенные в запрещенной зоне, и называемые локальными или приме
с
ными энергетич
е
скими уровнями.


В зависимости от вида примеси лока
льные уровни могут располагат
ь
ся: вблизи дна зоны проводимости

и выше верхнего края валентной зоны.










2. Зонная структура металлов, диэлектриков, и полупроводн
и
ков.



Электрические свойства тел объясняются шириной запрещенных эне
р
гетич
е
ских зон и

различными заполнениями разрешенных зон.

Электроны в кристаллах могут переходить из одной зоны в другую, а
также совершать переходы внутри одной зоны. Для этого электрону необх
о
дима энергия равная ширине запрещенной з
о
ны.

Необходимым условием электрическ
ой проводимости является нал
и
чие в разрешенной зоне свободных энергетических уровней, на которые
электрическое поле сторонних сил могло бы перевести электрон.


5
Зона, заполненная электронами частично или пустая
K
T
0

, назыв
а
ется зоной пров
одимости. Уровни энергии в ней соответствуют энергиям
внешних эле
к
тронов коллективизированных.

Зона, целиком заполненная электронами 
K
T
0

, называется вален
т
ной. Зона образована из энергетических уровней электронов внутренних об
о
лочек

свобо
д
ных атомов.

В зависимости от степени заполнения валентной зоны электронами и
ширины запрещенной зоны различают:


1. Металлы

У металлов зона проводимости заполнена
частично и содержит свободные верхние, не зан
я
тые электронами уровни, то есть при а
бсолютном
нуле
T

валентные электроны заполняют попарно
нижние уровни валентной зоны.

Достаточно сообщить электронам, наход
я
щимся на верхних уровнях, небольшую энергию

22
23
10
10




эВ для того, чтобы перевести их
на более

высокие уровни. Энергии электрическ
о
го
поля достаточно для перевода электрона, следов
а
тельно, электроны ускоряются в направлении пр
о
тивоположном п
о
лю.





2. Диэлектрики


В диэлектриках первая
,

не заполненная з
о
на отделена от нижней целиком заполненной з
о
ной широкой запрещенной зоной. Поэтому, пр
о
бой изолятора возможен только в сильных эле
к
трических п
о
лях.

Для того, чтобы перевести электрон в св
о
бодную зону ему надо сообщить энергию бол
ь
шую или равную ширине запрещенной зоны
.

В

случае
, когда

0
W


равна нескольким

электрон
вол
ьтам
, тепловое движение не может перебр
о
сить в свободную зону заметное число электр
о
нов.

эВ
W
2
0








6


3. Полупрово
д
ники


У кристаллических полупроводников з
а
прещенная зона между полн
о
стью заполнен
ной
валентной зоной и первой незаполненной зоной
не очень вел
и
ка.

Если


0
W
несколько десятых эВ, то
энергии теплового движения достаточно для п
е
реброса электрона в
свободную верхнюю

зону
зону пр
о
водимости. Одновременно становится
воз
можен переход электрона внутри валентной
зоны на осв
о
бодившиеся уровни.






2.Собственная проводимость пол
у
проводников.


Представителями полупроводников являются германий, кремний, те
л
лур. Это большой класс веществ, удельное сопротивление которых изменяе
т
ся в широких пределах и уменьшается с увелич
е
нием температуры.

Полупроводник называется беспримесными, если он идеально химич
е
ски чист и имеет идеально правильную кристаллическую р
е
шетку.

Электропроводность химически чистого полупроводника называется
собст
венной пр
о
водимостью.

Электронная проводимость 


–

типа возникает при « перебросе »
электрона из валентной зоны в зону проводимости. Для этого необходимо з
а
тратить энергию
0
W


большую или равную энергии запрещенн
ой зоны.



0
W

–

энергия активации собственной проводимости.


П
роводимость полупроводников может быть вызвана:



действием сильного электрического поля;



нагреванием
KT
W

2
0
0





;


7


освещением.


При перебросе э
лектрона в валентной зоне, на оставленном им месте
возникает избыток положительного заряда


«положительная» дырка. Дв
и
жение электрона, находящегося в этой зоне, под действием электрического
поля эквивалентно движению «положительного» заряда дырки, числ
енно
равн
о
му заряду электрона; дырки перемещаются по полю.

Электропроводность полупроводника,
обусловленная

перемещением
«дырок», называется дырочной проводимостью 
p

–

типа.

Для учета влияния электрического поля кристалла вводится п
онятие
эффективная масса электрона
*

.
*


может быть как «отрицательна», так и
«положительна»; то есть электрон с
*


движется только под влиянием
внешнего п
о
ля.

*


изменяется при изменении энергетического состояния электр
о
на.

co


*

для электронов, находящихся на дне зоны проводимости

0
*


 и


у «потолка» валентной зоны 
0
*


.

Поэтому
э
W

о
тсчитывают от «дна» зоны проводимости;
W


от
«потолка» валентной зоны.

Уровень Ферми расположен посередине запрещенной зоны

co
W
T
э
э





2
/

0



0


,

где
э




химический потенциал, определяющий уровень Ферми, с
ув
елич
е
нием
T

уровень Ферми смещается вверх.



3. Примесная проводимость полупроводн
и
ков.


При введении примесей в кристалл, возникают дополнительные эне
р
гетические уровни, расположенные в запрещенной зоне получившие назв
а
ние примесных

локальных энергетич
е
ских уровней.

Примеси играют двоякую роль:

1. Рассмотрим замещение атома германия в решетке атомом примеси,
обладающим пятью валентными
электронами фосфор, мышьяк.
Один эле
к
трон не может образ
о
вать ковалентной связи и является
ли
шним; он слабо связан с ядром
и его легко переводят в зону пр
о
водимости полупроводника.

Энергетические уровни
примесных электронов распол
а
гаются вблизи дна зоны провод
и
мости. Эти уровни частично з
а
полнены электронами и назыв
а
ются
доно
р
ными
.


8
Для перевода
электронов с донорного уровня в зону проводимости,
требуется незначительная энергия
o
W

активации электронной проводим
о
сти, которую электрон может получить при тепловом возбуждении.

Атомы примесей, поставляющие электроны, называются атом
ами
–

д
о
нор
а
ми.

В результате переброса электронов с донорных уровней в зону пров
о
димости в пол
у
проводнике возникает электронная примесная проводимость
проводимость


–

типа. Полупроводники такого типа называются электро
н
ными 


–

т
и
па.

2. Рассмотрим за
мещение чет
ы
ре
х
валентного атома германия атомом
с тремя в
а
лентными электронами бор,
алюминий, индий. В этом случае во
з
никает недостаток о
д
ного электрона
для образования квантовых связей.

Недостающий электрон может
быть з
а
имствован у соседнего атома
герм
ания в решетке, у которого по
я
вится положительная дырка. Послед
о
вательное заполнение электронами
образующихся у атомов германия д
ы
рок приводит к появлению провод
и
мости у полупрово
д
ника.

В запрещенной энергетической
зоне появляются примесные энергет
и
ческие

уровни, не занятые электрон
а
ми акцепторные уровни. Они расп
о
лагаются несколько выше верхнего
края валентной зоны основного кр
и
сталла.


Электроны у верхнего края з
а
полненной зоны могут перех
о
дить на

9
акцепторные уровни. Следовательно, нижняя зона будет со
держать вакан
т
ные электронные уровни. Под действием электрического поля, электроны в
нижней зоне будут последовательно заполнять дырки, что эквивалентно п
е
ремещению дырок в направлении, противоположном движению электр
о
нов.
Данный тип проводимости называетс
я проводимостью
р
–

типа
, полупрово
д
ники с такой проводимостью
дырочными

и
полупроводниками р
–

т
и
па.


Уровень Ферми при
K
T
0


зависит от типа примесной пров
о
димости.



–

типа



2
0
o
W




;

p

–

типа



2
0
0
op
W
W






.

Влияние температуры на ур
о
вень Ферми:


Согласно диаграмме, при
достаточно высоких темпер
а
турах происходит переход к
собственной проводимости п
о
лупроводника.










Контактными называется ряд физических явлений, возникающих в о
б
ласти соприкосно
вения разнородных твердых тел.

Г
оворят о контакте двух металлов,

металла и
полу
проводника, двух п
о
лупроводников.

5
. Контакт двух м
е
таллов.


Рассмотрим контакт двух металлов.




10
1
2
A
A

, т.е. электроны во втором металле занимают более высок
ие
энерг
е
тические уровни.

W

–

энергия, принятая на нуль, энергия покоящегося электрона вне
металла.




–

глубина потенциальной ямы, для электрона внутри металла.

A

–

работа выхода, отсчитанна
я от уровня Ферми.


При соприкосновении металлов электроны проводимости частично
переходят из
1
2

; происходит выравнивание электрохимических потенци
а
лов
2
2
2
1
1











; происходит смещение энергетических уровней
электронов, т.е
. в металле, заряжающемся отрицательно уровни смеща
ются
вверх, в металле, заряжающе
мся п
о
ложительно
–

вниз.

Разность уровней Ферми в контактирующих
металлах приводит к возникновению внутренней
контактной разности п
о
тенциалов:




2
1
2
1








Возни
кший контактный слой толщиной


можно рассмотреть как плоский конденсатор, т
о
гда:









0
0





S
S

S

q
.

Изменение концентрации электронов
0


в контактном слое, по сравн
е
нию со всем объемом металла незначительно
150
1










;
0
~



.
Поэтому


и


контактного слоя почти не отличаются от характеристик с
а
мих металлов. Электроны в металлах подчиняются статистике Ферми

Дир
ака: функция распределения электронов по ячейкам


f


и функция
распределения
W


незначительно изменяются при повышении температуры
только на «хвосте» распределений, т.е. зависимость


T


очень сл
абая вну
т
ренняя контактная разность потенциалов при повышении температуры изм
е
няется незначительно.

Различают и внешнюю контактную разность потенциалов, она определ
я
ется работой выхода электронов из металла.




A
A
2
1
1
2
1
1






,
B
..,
1
,...
0


и зависит от частоты состояния п
о
верхности.


6
.

Контакт электронного и дырочного полупроводников.




11
Рассмотрим контакт двух полупроводников с различными



и

p
типами проводимости. Такой контакт называется электр
онно

донорным
переходом или

переходом

p


.

Они используются для выпрямления переменных токов, для генерир
о
вания и усиления высокочастотных токов.

Предположим, что донорный полупроводник с работой выхода

A

и
уровнем Ферми



приведен контакт с акцепторным полупроводником с
p
A

и
p

. В результате контакта, электроны переходят из


в
p
, а дырки в о
б
ратном направлении. Одновр
еменно будет идти выравнивание химических
потенциалов и уст
а
новление равновесия.

В контактном слое толщиной
1




полупроводника образуется об
ъ
емный положительный заряд, в контактном слое
2



p
полупроводника
создается отр
и
цательный заряд.

При равных концентрациях электронов и дырок
2
1



.

Между слоями
1


и
2


возникает
к


контактная разность поте
нци
а
лов, направленная от донорного к акцепто
р
ному полупроводнику.

Переход электрона из


в
p

связан с преодолением
к


и совершением
работы, которая переходит в потенциал
ь
ную энергию.

В резул
ьтате, на протяжении толщины контактного слоя

, все энерг
е
тические уровни электронов в полупроводнике
p

подняты по сравнению с
уровнями электронов в полупроводнике


на высоту
к


. Электрическое
поле, связанное с
к


затрудняет переход электронов из


в
p

и облегчает их
переход из
p

в


пол
у
проводник.


Поток элект
ронов из


в
p

определяется выражением:







кT

B
J
к

p







xp
0

p

J
J
p




0
0


12
Поток электронов из
p

в




кT
B
J
p
p





xp
0

Аналогично равны и встречные потоки дырок. Следовательно, при ра
в
новесии
потоки основных носителей тока компенсируются не основными

и
результирующий поток носителей через

p


переход равен 0. Приложим к

p


переходу внешнюю разность потенциалов


в направлении, совп
а
дающем с направлением контактной разности потенциалов
к

. Т.е. «» по
д
ключен к

, «
–
» к
p
.

Это приводит к увеличению высоты потенциального барьера для эле
к
тронов, которые переходят из


в
p

на



и нарушению равновесия

p


перехода. Поток электронов
p
J

уменьшается, т.к. барьер высотой





к


смогут преодолеть в


кT



xp

раз меньшее число электронов, чем бар
ь
ер высотой


KT

J
J
опр
пр



xp


Изменение высоты барьера не изменяет потока электронов из
p

в

,
который определяется
p

. В итоге в цеп
и возникает результирующий поток
электр
о
нов

p

, а электрический ток в обратном направлении.



1
0
0





кT

p
p
p


J
J
J
J

.

На
p



переходе этот ток идет через контактный слой увеличенной
толщины
1

. Н
аправление внешней разности потенциалов называется
запо
р
ным
.

В запорном направлении

p


переход практически не пропускает
эле
к
трический ток.

Приложим внешнюю

разность потенциалов так, что «»у


проводн
и
ка, «» у

p
.


13
При этом высота потенциального барьера уменьшается на
к



и равна





к

, поток электронов слева направо увеличивается в


кT

к

xp

раз.

Результирующий ток, направленный справа нал
ево, проходит через
контактный слой уменьшенной толщины
2

.





1
xp
0
0
0





кT

p
пр
p
p


J
J
кT

J
J
J


.

Направление внешней разности потенциалов, которое приводит к т
а
кому т
о
ку, называется пропускным.


Полный ток через

p


переход
p

J
J
