Квантовая механика. Введение

УДК 621.735
Данные лекции издаются в соответствии с учебным планом по курсу общей физики (для всех специальностей).



Лекции рассмотрены и одобрены:
Кафедрой физики (М4-КФ) 4.12.2000 г.
протокол№ .
зав. кафедрой А.К. Горбунов.

методической комиссией Калужского филиала ..
протокол № ..

председатель методической комиссии В.Т. Дегтярев

Рецензент

Авторы: д. ф-м. н, профессор
Горбунов Александр Константинович.
ст. преподаватель
Нехаенко Раиса Владимировна



Аннотация
Кафедра сочла целесообразным издать настоящий конспект лекций в качестве учебного пособия. Для студентов это предельно ясный путеводитель по квантовой механике.

©Калужский филиал МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2001г.
© Горбунов А.К. 2001 г.
© Нехаенко Р.В. 2001 г.
Содержание:
Шкала электромагнитных волн....5
Закон Стефана-Больцмана (1884). ..8
Формула Планка....8
Некоторые характеристики фотоэффекта..9
Механизм передачи энергии..10
Корпускулярный механизм передачи энергии.10
Квантовое объяснение эффекта Комптона12
Опыты по рассеянию 13 EMBED Equation.3 1415-частиц. Формула Резерфорда. Ядерная модель атома.. 14
Атом Бора.. ..16
Линейчатые спектры атомов..18
Постулаты Бора19
Гипотеза де Бройля (1923 г.) ..19
Состояние микрочастицы20
Границы применимости классической механики.20
Дифракция микрочастиц. Опыт Девисона и Джермера. .20
Принцип неопределенности Гейзенберга.20
Уравнение Шредингера..21
Свойства уравнения Шредингера..22
Стационарное уравнение Шредингера..22
Задача о стационарных состояниях в квантовой механике. ...22
Частица в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. ..23
Частица в прямоугольном трехмерном потенциальном ящике. 25
Понятие о вырождении энергетических уровней. ...25
Одномерный потенциальный барьер. ...26
Гармонический осциллятор. Фотоны. ..31
Математический аппарат квантовой механики. ..32
Основные операторы квантовой механики. .34
Собственные значения и собственные функции операторов квантовой механики. 34
Средние значения физических величин. ..35
Условия возможности одновременного измерения разных механических величин. ..36
Соотношения неопределенностей. 37
Свободная частица..37
Движение в центральном поле.. 39
Собственные функции и собственные значения оператора проекции момента количества движения. 41
Уравнения Шредингера для атома водорода. ..44
Решение простейших задач в сферических координатах. ..51
Правила отбора. ..55
Идея квантования для объяснения законов теплового излучения, фотоэффекта и спектральных закономерностей. Гипотеза Планка, дискретный характер излучения и поглощения электромагнитного излучения веществом. Квантовое объяснение законов фотоэффекта эффекта Комптона. Опыты по рассеянию 13 EMBED Equation.3 1415-частиц, формула Резерфорда. Ядерная модель атома. Линейные спектры атомов. Постулаты Бора.
В теории Максвелла свет рассматривался как электромагнитная волна.




Векторы 13 EMBED Equation.3 1415находятся в фазе.
Волновое уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
Скорость волны:
13 EMBED Equation.3 1415
Решения этих уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
Волна распространяется вдоль оси со скоростью 13 EMBED Equation.3 1415.
A – амплитуда, T – период (13 EMBED Equation.3 1415)
13 EMBED Equation.3 1415 - фаза
Или 13 EMBED Equation.3 1415 - где
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 - волновое число,
13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
путь, пройденный волной за время одного периода.

Шкала электромагнитных волн



Радиоволны, УКВ
Инфракрасные волны

Ультрафиолетовые волны
Рентгеновские лучи
13 EMBED Equation.3 1415-лучи





Видимый свет:
13 EMBED Equation.3 1415м или 0.75 – 0.4 мкм.
Оптическое излучение: видимое излучение, ультрафиолетовое и инфракрасное излучение.

Излучение тел происходит:
под действием освещения тепла от внешнего источника – фотолюминесценция;
свечение газов или паров под действием электрического разряда – электролюминесценция;
Тепловое излучение – происходит путем нагревания тел, но оно имеет место и при низких температурах (комнатных). Последнее излучение соответствует низким длинам – инфракрасным волнам;
Химилюминесценция – сопровождается химическими превращениями внутри тела (свечение гниющего дерева, свечение фосфора, медленно окисляющегося на воздухе).

Тепловое излучение.
Это испускание электромагнитных волн за счет внутренней энергии тел.
Остальные излучения (свечения) за счет любого вида энергии, кроме внутренней (тепловой), называется люминесценцией. Химилюминесценция, электролюминесценция, катодолюминесценция, фотолюминесценция.
Тепловое излучение происходит при любой температуре. При невысоких температурах излучаются лишь инфракрасные волны. На рис.1 излучающее тело окружили оболочкой с идеально отражающей поверхностью (r – коэффициент отражения равен 1). Происходит непрерывный обмен между телом и заполняющим оболочку излучением. Излучение равновесное – то есть распределение энергии между телом и излучением остается неизменным.
Единственное тепловое излучение может находиться в равновесии с излучающим телом, это обусловлено тем, что его интенсивность возрастает при повышении температуры.

Основные характеристики:
Интенсивность теплового излучения характеризуется потоком энергии, измеряемой в ваттах.
Энергетическая светимость
13 EMBED Equation.3 1415- поток энергии, испускаемой единицей поверхности в интервале частот 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415- испускательная способность тела, функция частоты температуры тела.
Как 13 EMBED Equation.3 1415 так 13 EMBED Equation.3 1415 зависят от температуры.
Энергетическая (или испускательная) светимость равна:
13 EMBED Equation.3 1415
Излучение можно характеризовать вместо частоты 13 EMBED Equation.3 1415 длиной волны 13 EMBED Equation.3 1415. Участку 13 EMBED Equation.3 1415 будет соответствовать интервал длин волн 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, так как 13 EMBED Equation.3 1415
Продифференцируем это
13 EMBED Equation.3 1415
Знак « - »показывает, что с возрастанием 13 EMBED Equation.3 1415или 13 EMBED Equation.3 1415, другая величина убывает.
Доля энергетической светимости, приходящая на интервал 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - один и тот же участок спектра, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
то есть 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
С помощью этой формулы можно перейти от 13 EMBED Equation.3 1415 к 13 EMBED Equation.3 1415 и наоборот.
Пусть на элементарную площадку тела падает поток лучистой энергии 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, где
13 EMBED Equation.3 1415- поглощательная способность тела, безразмерная величина.
13 EMBED Equation.3 1415- падающий поток лучистой энергии,
13 EMBED Equation.3 1415 - поглощенная телом часть этого потока

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - серое тело,
13 EMBED Equation.3 1415 - абсолютно чёрное тело.

Закон Кирхгоффа (1859)
13 EMBED Equation.3 1415
Отношение испускательной способности тела к поглощательной способности тела не зависит от природы тела, есть универсальная для всех тел функция частоты и температуры.
Для абсолютно черного тела
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - универсальная функция Кирхгоффа есть не что иное, как испускательная способность абсолютно черного тела.

При теоретических исследованиях для характеристики спектрального состава равновесного теплового излучения, удобно пользоваться функцией частоты 13 EMBED Equation.3 1415. В экспериментальных - 13 EMBED Equation.3 1415
Обе функции связаны друг с другом
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Абсолютно черных тел в природе не существует.
Малое отверстие в полости близко по своим характеристикам к а. ч. т. Практически все излучение частицы поглощается в полости по закону Кирхгоффа
13 EMBED Equation.3 1415
где T – температура стенок.
Из отверстия выходит излучение, близкое по спектральному составу к излучению а. ч. т. при той же температуре. Разлагая это излучение в спектр при помощи дифракционной решетки и измеряя интенсивность различных участков спектра, можно построить график функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Кривые, относящиеся к различным значениям температуры T абсолютно черного тела.
Площадь под кривой дает энергетическую светимость а. ч. т. при соответствующей температуре, которая сильно возрастает при увеличении температуры.
В равновесном состоянии энергия излучения будет распределена в объеме полости с определенной плотностью 13 EMBED Equation.3 1415.
Спектральное распределение этой энергии характеризуется функцией 13 EMBED Equation.3 1415, определенной условием
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415- доля плотности энергии приходящаяся на интервал частот 13 EMBED Equation.3 1415

Полная плотность энергии 13 EMBED Equation.3 1415 равна: 13 EMBED Equation.3 1415

Экспериментально получили 13 EMBED Equation.3 1415

Эта формула связывает испускательную способность а. ч. т. с равновесной плотностью энергии. Max испускательной способности а. ч. т. с увеличением температуры смещается в сторону более коротких волн 13 EMBED Equation.3 1415. С классической точки зрения на излучение были получены законы в поисках 13 EMBED Equation.3 1415 универсальной функции Кирхгоффа.

Закон Стефана-Больцмана (1884)
13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415- спектральная плотность излучения,
13 EMBED Equation.3 1415- интегральная испускательная способность излучения а. ч. т., пропорциональная 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415- постоянная Больцмана.
Закон Вина смещения
13 EMBED Equation.3 1415
Длина волны, соответствующая максимуму светимости а. ч. т. обратно пропорциональна абсолютной температуре.
Закон Рылея и Джинса
13 EMBED Equation.3 1415
Интеграл расходится, т.е. был получен абсурдный результат, что было названо «ультрафиолетовой катастрофой».

Формула Планка (1900)
Для устранения этой катастрофы Планк выдвинул гипотезу:
Атомные осцилляторы излучают энергию только определенными порциями – квантами.
Он нашел вид функции 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, которая в точности совпадает с экспериментальными кривыми.
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415- энергия кванта излучения. Для света квант излучения Эйнштейном был назван фотоном.
13 EMBED Equation.3 1415 - энергия фотона
13 EMBED Equation.3 1415- постоянная Планка
13 EMBED Equation.3 1415 - число фотонов излучения
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Закон определяет энергию, приходящую на фотоны с частотами от 13 EMBED Equation.3 1415 до 13 EMBED Equation.3 1415, для излучения в объеме 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415- спектральная плотность энергии
g- число возможных проекций спина на направление внешнего поля
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415
Для электрона 13 EMBED Equation.3 1415
Число возможных проекций спина на заданное направление 13 EMBED Equation.3 1415, тогда для электрона 13 EMBED Equation.3 1415.
Из формулы Планка выводится все другие законы теплового излучения.

Закон смещения Вина

13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
При этих 13 EMBED Equation.3 1415 плотность получения максимальна.

Закон излучения Вина
В предельном случае 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

Закон Стефана-Больцмана
Интегрируя формулу Планка
13 EMBED Equation.3 1415
По всем частотам, находим полную энергию излучения, содержащуюся в объеме V=1 м3
13 EMBED Equation.3 1415
Мощность, излучаемая в единичный телесный угол в направлении нормали к 1 м2 черной излучающей поверхности в полосе частот от 13 EMBED Equation.3 1415 до 13 EMBED Equation.3 1415, называется спектральной плотностью потока энергии, 13 EMBED Equation.3 1415. Спектральная плотность энергии и спектральная плотность потока энергии связаны отношением
13 EMBED Equation.3 1415 ; где n0 – показатель преломления
Мощность излучения
Испускаемая с 1 м2 излучающей поверхности в полупространство, для случая n0=1, определяется законом излучения Стефана-Больцмана;
13 EMBED Equation.3 1415

Закон Релея-Джинса
В предельном случае 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Квантовое объяснение фотоэффекта
Фотоэлектронную эмиссию проявляют лишь некоторые вещества, такие как натрий и калий с работой выхода около 1 эв.

Некоторые характеристики фотоэффекта







Рис. 1. В фотоэлектронной эмиссии независимо от интенсивности падающего света вплоть до величины 10-10 Вт/м2 время нарастания тока с момента получения до установившегося значения составляет не более 10-9 с.
В термоэлектронной эмиссии с площади 3 см2 при подведении мощности 3 Вт(~104 Вт/м2)
Рис. 2. Для заданной частоты падающего света существует определенная максимальная кинетическая энергия выбитых электронов, значение которой не зависит от интенсивности падающего света. В термоэлектронной эмиссии, чем больше подводимая мощность T1, тем, больше максимальная кинетическая энергия электронов.
Рис. 3. В фотоэлектронной эмиссии максимальная кинетическая энергия электронов имеет линейную зависимость от частоты 13 EMBED Equation.3 1415 падающего света. Эта зависимость одна и та же для всех веществ. Пороговая частота, при которой значение 13 EMBED Equation.3 1415 спадает до нуля (прекращается фототок) для различных веществ, различна. Ниже пороговой частоты фототок не наблюдается ни при каких значения интенсивности света.
При термоэлектронной эмиссии, энергия электронов зависит только от полной подводимой энергии. Поэтому кинетическая энергия электронов не должна бы зависеть от частоты получения и не должно существовать пороговой частоты.
Теория противоречит экспериментальным данным.
Доподлинно известно, что:
Световая энергия вызывает мгновенное испускание электронов;
Она выбивает электроны при любых значениях своего потока;
Максимальная кинетическая энергия испущенных электронов зависит только от частоты света.

Механизм передачи энергии
Может осуществляться либо посредством частиц, либо посредством волн.
Энергия излучения распределена по волновому фронту, она равномерно распределится между тремя электронами так, что ни один из них не сможет вылететь из металла, хотя 13 EMBED Equation.3 1415 каждого возрастает. Все электроны остаются связанными.





Корпускулярный механизм передачи энергии

Энергия, переносимая частицами поступает «порциями» и она может быть передана одному электрону, который вылетает из металла. Это объясняет все свойства перечисленные ранее. Эксперимент с фотоэффектом указывает, что свет ведет себя подобно току частиц. Облучая светом объект, бомбардируют и дождем быстрых частиц.
Соотношение 13 EMBED Equation.3 1415 справедливо и по отношению к свету (фотонам) 13 EMBED Equation.3 1415 для фотонов.
Поток света переносит энергию, а следовательно и связанный с этой энергией импульс: 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Формула связывает импульс с длиной волны, т.е. имеет место корпускулярно-волновой дуализм, т.е. электрон в фото эмиссии частица, а электрон в атоме водорода – стоячая волна. Частицы имеют двойственную природу.
Это соотношение было установлено в опытах Лебедева П.Н. По определению давления света 13 EMBED Equation.3 1415, где E – энергетическая освещенность;
W – объемная плотность энергии излучения;
13 EMBED Equation.3 1415 - коэффициент отражения.

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; Радиус 1-ой боровской орбиты
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
113 EMBED Equation.3 1415=10-10 м=10-8 см
Длина волны электрона сравнима с размером атома. Если запасенная энергия электронной волны сохраняется, то это стоячая волна. Электрон в атоме водорода – стоячая волна. Электрон в фотоэффекте – частица. Корпускулярно-волновой дуализм.
Энергия в фотоэффекте линейно связана 13 EMBED Equation.3 1415 с частотой, должна существовать пороговая частота.
Диапазон видимого света:
0,75 мкм – 0,4 мкм.
13 EMBED Equation.3 1415 и тогда соответствующая работа выхода:
13 EMBED Equation.3 1415 если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
Соответствующая работа выхода
13 EMBED Equation.3 1415
1 эв =13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Соответствующая работа выхода
13 EMBED Equation.3 1415
Соответствующая этой частоте длина волны изучения и называется «красной границей» фотоэффекта.
13 EMBED Equation.3 1415- максимальная длина волны.
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415- минимальная частота света, при которой еще возможен фотоэффект.

Квантовое объяснение эффекта Комптона
Эффект можно объяснить, рассматривая рассеяние как процесс упругого столкновения фотонов со свободными электронами. Фотон передает электрону энергию при столкновении: 13 EMBED Equation.3 1415 (1) З.С.Э.
З.С.И.
13 EMBED Equation.3 1415 (2), где 13 EMBED Equation.3 1415- энергия рентгеновского фотона, где 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415- энергия свободного электрона, 13 EMBED Equation.3 1415- масса покоя электрона, 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415- энергия рассеянного рентгеновского фотона;
13 EMBED Equation.3 1415- энергия электрона после столкновения с фотоном;
13 EMBED Equation.3 1415- импульс рентгеновского фотона до столкновения, где
13 EMBED Equation.3 1415- волновой вектор;
13 EMBED Equation.3 1415- импульс электрона после столкновения с фотоном;
13 EMBED Equation.3 1415- импульс рентгеновского фотона после столкновения
13 EMBED Equation.3 1415- волновой вектор.
V- угол рассеяния между векторами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
З.С.Э. 13 EMBED Equation.3 1415 (1)
З.С.И. 13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Второе уравнение – векторное, его фиксирует 13 EMBED Equation.3 1415. Определяем из этого 13 EMBED Equation.3 1415, равной по величине 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415 (3) или
13 EMBED Equation.3 1415 (4).
Уравнение (1): 13 EMBED Equation.3 1415 (5) возведем в квадрат:
13 EMBED Equation.3 1415 (6).
Вычитая (4) из (6), получим
13 EMBED Equation.3 1415 (7), где 13 EMBED Equation.3 1415.
Простые преобразования в (7):
13 EMBED Equation.3 1415 (8), или
13 EMBED Equation.3 1415 (9).
Определяем 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415.
Это и есть формула для изменения частоты.
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, тогда
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415- комптоновская длина волны электрона.
Для V=0, 13 EMBED Equation.3 1415; для13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; для 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Окончательная формула:
13 EMBED Equation.3 1415.
Чтобы определить, является ли частица, обладающая импульсом P=mV классической или релятивистской физики, надо сравнить ее импульс с величиной m0c, называемой комптоновским импульсом, если 13 EMBED Equation.3 1415, то частица классическая!!!
Выводы теории были подтверждены в 1923 г.

Опыты по рассеянию 13 EMBED Equation.3 1415-частиц. Формула Резерфорда. Ядерная модель атома.

Модели атома:
Модель Томсона: в стабильных атомах все заряды неподвижны. У лития положительный заряд равен +3.

Модель атома Резерфорда.

В планетарной модели полная энергия:
13 EMBED Equation.3 1415
Скорость V и r связаны отношением:
13 EMBED Equation.3 1415.
Центростремительная сила обусловлена кулоновской силой притяжения: 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то электрон будет вращаться вокруг протона с постоянной скоростью по орбите постоянного радиуса.
Но вращающаяся электронно-протонная пара подобна вращающемуся диполю с разнесенными зарядами и представляет собой эффективно излучающую дипольную антенну.
Такой диполь генерирует поперечное электромагнитное поле, излучая свою энергию. При этом Et, r уменьшаются, система испытывает радиационный коллапс! Который должен произойти за время 10-8с. Модель несостоятельна.
Чтобы избежать коллапса, была предложена статическая модель атома - модель Томсона или как ее называют "пудинг с изюмом"; размер атома определяется протоном, а заряд распределен по объему атома. Электрон притягивается к протону и коллапсирует в него. В центре протона электрон приходит в состояние покоя. Если несколько электронов, то силы их взаимного отталкивания уравновесятся притяжением к "размазанному" в пространстве положительному заряду. Это модели и нужны эксперименты.
Резерфорд бомбардировал атомы золота "голыми" (без электронов) атомами гелия (13 EMBED Equation.3 1415 - частицами) с энергией 5,5 Мэв.
В двух моделях должен происходить совершенно разный характер рассеяния
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Начальная кинетическая энергия частиц больше критического
13 EMBED Equation.3 1415 , где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - число протонов соответственно в
налетающей частице и мишени. Для частиц с такой кинематической энергией в модели Резерфорда происходит в обратном направлении (под углом больше чем 90°), а в модели Томсона только вперед. Для золота соответствующий потенциал равен:
13 EMBED Equation.3 1415
Известно, что атомный радиус 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 поэтому при кинематической энергии
бомбардирующих мишень ионов гелия свыше примерно 3кэв наличие и отсутствие рассеянных в обратном направлении частиц. Выясним, какая из этих моделей является правильной.
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Формула Резерфорда:
13 EMBED Equation.3 1415
где b- прицельный параметр.
Резерфорд обнаружил:
1. обратное рассеяние,
2. положительный заряд атома золота сосредоточен в области с размерами порядка
10-14м,
3. в центре атома имеется компактный положительный заряд.
Опыт Резерфорда подтвердил планетарную модель атома и проблема радиационного коллапса остается.
Атом Бора.
Орбита круговая, длина окружности должна быть равна в соответствие с теорией де Бройля целому числу длин волн электрона, это условие стоячей волны: 13 EMBED Equation.3 1415
Где n=1,2,3,........ г- радиус.
13 EMBED Equation.3 1415
z - целое число протонов в ядре.
Условие стоячей волны связано с импульсом электрона:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - употребляется для сокращенной записи величины 13 EMBED Equation.3 1415
Надо исключить зависимость 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 или
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Радиус зависит лишь от фундаментальных констант. Подставим в формулу для энергии:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Et - величина полной энергии при условии стоячей волны принимает только определенные значения, на рис. Показаны разрешенные значения полной энергии электрона в атоме водорода.
E0 - энергия основного состояния, n - квантовое число.
Все другие значения энергии приводят к такому состоянию длины волны и радиуса орбиты, при котором электронная волна будет испытывать самогашение, т.е. не сможет существовать на этой орбите стационарно.
Cамое главное - доказательство существования наинизшего, наиболее связанного состояния!
Движение электрона с меньшей энергией не удовлетворяет условию стоячей волны м, следовательно, невозможно. В состоянии
Атом должен быть устойчивым относительно потерь на излучение. Мы имеем дело с волной!
Поэтому атом в состоянии n= 1 не излучает энергии.
n - квантовое число. При малых n квантовое свойство оказывается существенным -разрешенные уровни энергии сильно различаются по энергии (дискретные значения энергии).
При очень больших n, когда связь электрона с ядром значительно ослабевает, разность разрешенных значений энергии уменьшается и становится несущественной, то есть непрерывный спектр энергии, мы возвращаемся к представлениям классической физики. Это будет иметь место в случае любого квантового эффекта, что называется принципом соответствия.
Квантованию подвергается не только энергия. Из условия стоячей волны 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 следствием волновой природы электрона квантуется и его орбитальный момент
13 EMBED Equation.3 1415
Излучение происходит дискретными порциями. Находясь на более высоком, чем основной, энергетическом уровне, электрон испытывает притяжение к положительному заряду и переходит на энергетический уровень, которому соответствует более сильное
связанное состояние.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Именно, такую энергию надо затратить, чтобы вырвать электрон из атома (эта энергия называется ионизационным потенциалом).
13 EMBED Equation.3 1415
Энергия связи электрона с ядром атома водорода: 13 EMBED Equation.3 1415
Измеренное значение: 13 EMBED Equation.3 141513,588 эв , что прекрасно согласуется с теоретическим.

Линейчатые спектры атомов.
Разрешённые значения разности энергии двух состояний:
13 EMBED Equation.3 1415 но 13 EMBED Equation.3 1415
Все частотные излучения водорода определяются:
13 EMBED Equation.3 1415, где R=Const - постоянная, Ридберга, определяется по спектральным линиям излучения водорода.
13 EMBED Equation.3 1415откуда
13 EMBED Equation.3 1415
Эту величину необходимо сравнить с
13 EMBED Equation.3 1415
Что прекрасно согласуется с экспериментом.
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Постулаты Бора.
1. Постулат стационарных орбит: электроны движущиеся по стационарным орбитам не излучают.
2. Стационарными орбитами являются те, для которых
13 EMBED Equation.3 1415 n=1,2,3,
3. Постулат частот, который принял фотонный механизм излучения и поглощения света атомами:
При переходе с более удалённой орбиты на менее удалённую электрона атом излучает фотон, энергия которого
13 EMBED Equation.3 1415
Поглощение атомом фотона с энергией 13 EMBED Equation.3 1415, сопровождается переходом электрона, при котором его энергия равна 13 EMBED Equation.3 1415
.
Гипотеза де Бройля (1923 г.)
13 EMBED Equation.3 1415
Направление движения волны совпадает с направлением движения частицы.
Если V<E0=0,51Мэв то это классическая частица.
Если 13 EMBED Equation.3 1415 то это релятивистская частица.
13 EMBED Equation.3 1415
Состояние микрочастицы:
Описывается волновой функцией 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
В квантовой механике используется показательная форма записи.
13 EMBED Equation.3 1415
уравнение плоской монохроматической волны, распространяющейся вдоль оси x в пространстве.
Границы применимости классической механики.
13 EMBED Equation.3 1415;
условие применимости законов классической механики.
L - линейные размеры области пространства, в которой движется частица.
Например: Электрон в атоме водорода:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Длина волны соизмерима с размерами атома. Электрон в атоме стоячей волны, таким образом
13 EMBED Equation.3 1415~13 EMBED Equation.3 1415
пренебрегать квантовыми эффектами нельзя.
Дифракция микрочастиц. Опыт Девисона и Джермера.
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Электронная пушка. Резкое увеличение числа определённых электронов наблюдалось в тех случаях, когда выполнялось условие Вульфа - Брегга:
13 EMBED Equation.3 1415 (n=1,2,3,);
условие усиления волн де - Бройля, отражённых от кристалла. Кристалл - объёмная дифракционная решётка с периодом d. Явление дифракции наблюдалось для протонов, нейтронов, атомов, молекул и т.д. Всё это подтверждает волновые свойства частиц.

Принцип неопределённости Гейзенбера.
Из-за наличия волновых свойств у частиц существует связь между неопределённостями координат частицы : 13 EMBED Equation.3 1415 и неопределенностями импульса частицы:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Нельзя одновременно точно измерить координату частицы и проекции импульса. При одновременном точном измерении 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 =0, вступает в противоречие с этими неравенствами. Это означает, что в квантовой механике нельзя использовать понятие траектории, что предполагает одновременно точное определение координат и импульса.
Энергия состояния системы, существующей время 13 EMBED Equation.3 1415, имеет неопределённость 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение Шредингера.
Волновые свойства частицы описываются волновой функцией 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 которая зависит от пространственных координат и времени и удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных:
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
где 13 EMBED Equation.3 1415, m- масса покоя частицы.
13 EMBED Equation.3 1415 - оператор Лапласа.
U(x,y,z,t) - потенциальная функция для заданного силового поля в котором движется частица
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - является комплексной функцией.
Статистический смысл её:
Квадрат модуля волной функции определяет в каждой точке пространства плотность вероятности обнаружения частицы в данный момент времени, это означает, что вероятность dP обнаружения частицы в некотором элементе объёма dV=dxdydz или вероятность Р обнаружения частицы в конечном объёме пространства V определяется выражением:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Условия, которым она должна удовлетворять:
1. должна быть конечной,
2. однозначной,
3. непрерывной
4. и должны быть непрерывны и частные производные:
13 EMBED Equation.3 1415
Решения уравнения Шредингера, для которых волновая функция удовлетворяет всем этим условиям, называют регулярные решения.
Именно эти решения имеют определённый физический смысл.
Из вероятностного (статистического) смысла волновой функции следует, что волновая функция должна удовлетворять условию нормировки:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Интегрирование производится только по объёму V, так как вне этого объёма волновая функция равна 0.
Свойства уравнения Шредингера.
13 EMBED Equation.3 1415
Если волновая функция имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415
где E=const, 13 EMBED Equation.3 1415- некоторая функция координат, то плотность вероятности обнаружения частицы в любой точке пространства не зависит от времени.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Квантовые состояния, описываемые волновыми функциями рассмотренного вида, называют стационарными состояниями.
Исходя из вероятностного смысла волновой функции, вероятность Р обнаружения частицы в объёме пространства V.
13 EMBED Equation.3 1415
Стационарное уравнение Шредингера.
13 EMBED Equation.3 1415
Для одномерного случая
. 13 EMBED Equation.3 1415
или 13 EMBED Equation.3 1415
или 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задача о стационарных состояниях в квантовой механике.
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Частица в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.
Потенциальная энергия частицы имеет вид:
U(x)=13 EMBED Equation.3 1415
В области I и III частица находиться не может, так как стенки ямы имеют бесконечную высоту в шкале энергий 13 EMBED Equation.3 1415.
В области II, т.е. в области возможного движения частицы, решение стационарного уравнения Шредингера с учетом конечности, однозначности, непрерывности и нормировки для волновой функции имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
Выведем это: т.к. 13 EMBED Equation.3 1415непрерывна, то она должна быть равна нулю и на границе ямы.
13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение Шредингера для области 13 EMBED Equation.3 1415, где U(x) = 0 имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
то её можно обозначить через квадрат действительного числа
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 Это уравнение гармонических колебаний.
13 EMBED Equation.3 1415
Решение этого уравнения известно:
13 EMBED Equation.3 1415
А и В произвольные постоянные интегрирования. Определяются из начальных условий: при 13 EMBED Equation.3 1415 (sin 0=0; cos 0=1)

13 EMBED Equation.3 1415
где n=1,2,3, 13 EMBED Equation.3 1415
Значение n=0 исключается, так как в этом случае 13 EMBED Equation.3 1415, частица нигде не находится.
13 EMBED Equation.3 1415
Частица имеет в потенциальной яме дискретный энергетический спектр. Энергия квантована, то есть зависит от квантового числа. n=1 - основное состояние частицы. Все остальные состояния называются возбужденными.
Собственные значения волновой функции
13 EMBED Equation.3 1415
А определяется с помощью условия нормировки:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рассмотренная задача является моделью потенциального поля атома или молекулы. Изолированный атом является потенциальной ямой, в которой электрон может занимать одно из дискретных энергетических значений. Каждому квантовому состоянию волновой функции 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует значение полной энергии частицы (квантование энергии).
13 EMBED Equation.3 1415
Частица в прямоугольном трехмерном потенциальном ящике.
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Обозначим G{013 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Вне потенциального ящика волновая функция равна нулю.
Внутри потенциального ящика 13 EMBED Equation.3 1415 волновая функция может быть найдена как решение стационарного уравнения Шрёдингера:
13 EMBED Equation.3 1415
Это решение имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
Квантовое состояние частицы, находящейся в потенциальном ящике, определяется тремя квантовыми числами 13 EMBED Equation.3 1415. Каждому квантовому состоянию соответствует определенное значение энергии частицы.
13 EMBED Equation.3 1415
Только при этих значениях полной энергии частицы уравнение Шрёдингера имеет регулярные решения.

Понятие о вырождении энергетических уровней.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то есть для потенциального ящика кубической формы, когда задача обладает пространственной симметрией за счет равноправия всех трех межпространственных направлений, существуют квантовые соотношения (например
13 EMBED Equation.3 1415), находясь в которых частица имеет одинаковые значения полной
энергии.
Совокупность таких состояний, в которых частица имеет одинаковые значения полной энергии Е, называют вырожденными состояниями, а число состояний, соответствующих данному значению Е, называется кратностью или степенью вырождения.
Например: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415тогда 13 EMBED Equation.3 1415 так как нельзя подобрать три другие целые числа, сумма квадратов которых равна 3, то этому состоянию (1, 1, 1) соответствует только одно значение энергии.
Но если 13 EMBED Equation.3 1415, то соответствует значение энергии
13 EMBED Equation.3 1415

nx
ny
nz
13 EMBED Equation.3 1415

1
2
3
14

1
3
2
14

2
1
3
14

2
3
1
14

3
2
1
14

3
1
2
14


Этому значению энергии соответствует шесть различных состояний. Такие состояния вырожденные, а число совпадающих уровней энергии называется квантовым весом состояния. В первом случае квантовый вес равен 1, а во втором - 6. Кратность вырождения равна 6.
Одномерный потенциальный барьер.
13 EMBED Word.Picture.8 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Существует отличная от 0 вероятность того, что частица преодолеет такой высокий потенциальный барьер (туннельный эффект).
I. 13 EMBED Equation.3 1415
II. 13 EMBED Equation.3 1415
III. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Частные решения в комплексном виде: 13 EMBED Equation.3 1415
Плоские волны де Бройля.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415 характеризуют падающую и отраженную волну (точка x=0).
13 EMBED Equation.3 1415 - волна, прошедшая в область II или падающая на границу (x=0).
13 EMBED Equation.3 1415- волна, прошедшая в область Ш.
13 EMBED Equation.3 1415- отраженная волна, идущая из бесконечности.
В области III имеет место только одна волна, прошедшая через порог, то коэффициент 13 EMBED Equation.3 1415.
Вероятность нахождения частицы через потенциальный порог характеризуется коэффициентом прозрачности D, который равен отношению интенсивности прошедшей волны к интенсивности падающей волны:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - показатель преломления для области I.
13 EMBED Equation.3 1415 - показатель преломления для области Ш.
13 EMBED Word.Picture.8 1415
13 EMBED Equation.3 1415- амплитуды падающей и прошедшей волны.
13 EMBED Equation.3 1415- длина световой волны в вакууме.
13 EMBED Equation.3 1415- в средах с 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Для областей I и III 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Условие непрерывности 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 тогда
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
При EДля потенциального барьера произвольной формы (рис.) коэффициент прозрачности определяется:
13 EMBED Equation.3 1415
Прохождение частицы через потенциальный барьер называется туннельным эффектом. Теория туннельного эффекта позволяет объяснить автоэлектронную эмиссию электронов из металла, работу туннельных полупроводниковых диодов, 13 EMBED Equation.3 1415 - распад.
Потенциальная стенка (потенциальный порог)
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рассматривается случай движения частицы, когда потенциальная энергия U(x) меняется скачком в одной точке, то есть когда потенциальная кривая U=U(x) имеет вид ступеньки высотой U0
U(x)=0, x<0,
U(x)=U0, x>0.
Потенциальный барьер бесконечной ширины.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Общее решение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415
Рассматривается условия перехода частицы из области I в область II в двух случаях:
1)E>U0, полная энергия частицы больше высоты потенциального барьера.
2)EПри E>U0 классическая частица обязательно перейдет из области I в область II и будет двигаться в ней с кинетической энергией E-U0.
Квантовая частица на границе частично отразится, частично перейдет в область в область II как свет. Вероятность отражения характеризуется коэффициентом отражения
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - падающая волна;
13 EMBED Equation.3 1415- отраженная волна.
13 EMBED Equation.3 1415- вероятность отражения на границе x=0.
13 EMBED Equation.3 1415
В области I кинетическая энергия электрона Е и 13 EMBED Equation.3 1415
Если E>U- потенциальный барьер называется низким, EВ области II кинетическая энергия электрона равна (E-U) и 13 EMBED Equation.3 1415
Коэффициент отражения
13 EMBED Equation.3 1415
Разделим числитель и знаменатель на 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
Решая уравнение относительно 13 EMBED Equation.3 1415 получим
13 EMBED Equation.3 1415
Возведя обе части уравнения в квадрат, определим высоту потенциального барьера:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Если E 13 EMBED Equation.3 1415
Изменяя знак у правой и левой части, найдем d.
13 EMBED Equation.3 1415
Коэффициент преломления n волны де Бройля на границе низкого потенциального
барьера бесконечной ширины 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - длины волн де Бройля в областях I и II (частица движется из области I в область II); 13 EMBED Equation.3 1415- соответствующие значения волновых чисел.
Коэффициенты отражения 13 EMBED Equation.3 1415 и пропускания 13 EMBED Equation.3 1415 волн де Бройля через низкий (U-E) потенциальный барьер бесконечной ширины:
.13 EMBED Equation.3 1415
Коэффициент прозрачности13 EMBED Equation.3 1415
Если барьер произвольной формы: 13 EMBED Equation.3 1415
Гармонический осциллятор. Фотоны.
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Одномерный гармонический осциллятор - это частица, совершающая движение под действием квазиупругой силы 13 EMBED Equation.3 1415.
Потенциальная энергия такой частицы имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
Соответствующая потенциальная кривая есть парабола, которая образует что-то вроде ящика с отражающими стенками. Стационарное уравнение Шредингера:
13 EMBED Equation.3 1415
Это уравнение имеет регулярные решения только при значениях энергии
13 EMBED Equation.3 1415
Уровни энергии отстоят друг от друга на одинаковом расстоянии, равном 13 EMBED Equation.3 1415. Наименьшее значение энергии 13 EMBED Equation.3 1415 называют нулевой энергией осциллятора, она не исчезает и при абсолютном нуле температуры (T=0). Внутри такого ящика возникают стоячие волны.
13 EMBED Equation.3 1415 переходы возможны лишь между соседними уровнями. Это так называемое правило отбора, которое показывает, что энергия может изменяться только порциями 13 EMBED Equation.3 1415
Обозначим 13 EMBED Equation.3 1415 тогда
13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415
Дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение его:
13 EMBED Equation.3 1415
Надо взять только со знаком «-», так как со знаком «+» функция безгранично растет:
13 EMBED Equation.3 1415.13 EMBED Equation.3 1415

Математический аппарат квантовой механики.

Оператор показывает, какое действие необходимо произвести над функцией.
Оператор Лапласа - 13 EMBED Equation.3 1415
жаждет дважды продифференцировать 13 EMBED Equation.3 1415.
Оператор координаты показывает, что волновую функцию нужно умножить на координату.
13 EMBED Equation.3 1415
Оператор проекции импульса жаждет продифференцировать волновую функцию 13 EMBED Equation.3 1415по x.
13 EMBED Equation.3 1415
Оператор энергии показывает, что волновую функцию нужно дважды продифференцировать
13 EMBED Equation.3 1415
Оператор Гамильтона 13 EMBED Equation.3 1415изображает полную энергию системы.
13 EMBED Equation.3 1415
Обычно в квантовой механике используют линейные самосопряжённые операторы 13 EMBED Equation.3 1415 .
Оператор 13 EMBED Equation.3 1415 сопряжён оператору 13 EMBED Equation.3 1415, если скалярные произведения двух функций равны
13 EMBED Equation.3 1415
Если оператор сопряжённый данному совпадает с ним самим, т. е.
13 EMBED Equation.3 1415
в таком случае оператор называется самосопряжённым (ирмитовым).
Теорема: Собственные значения ирмитова оператора всегда действительны.
13 EMBED Equation.3 1415
т. е. если 13 EMBED Equation.3 1415 ирмитов оператор, то произведение на U равно действительному числу. Волновая функция, описывающая состояние системы, часто находится из операторного уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Собственные значения и собственные функции линейных операторов определяются из уравнения (1)
В результате применения 13 EMBED Equation.3 1415 к функции 13 EMBED Equation.3 1415 иногда получается вновь та же функция, умноженная на некоторое число L.
В квантовой механике главным уравнением является уравнение Шредингера:
13 EMBED Equation.3 1415
Для стационарных процессов
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415- собственные значения оператора Гамильтона.
13 EMBED Equation.3 1415 - собственные функции.
13 EMBED Equation.3 1415- могут принимать как дискретные, так и непрерывные значения.
Собственные значения 13 EMBED Equation.3 1415 и собственные значения 13 EMBED Equation.3 1415 находятся из решения уравнения
13 EMBED Equation.3 1415
Если одному уровню энергии соответствует несколько собственных функций или состояний, то такие уровни называются вырожденными.
Число состояний соответствующих данной энергии, называются кратностью вырождения и статистическим весом
g(E).
Оператор кинетической энергии
13 EMBED Equation.3 1415
Оператор потенциальной энергии есть оператор умножения.
. 13 EMBED Equation.3 1415
Основные операторы квантовой механики:
Динамические переменные квантовой механики
Оператор квантовой механики

Координата 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Импульс 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Момент количества движения ( момент импульса)
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Энергия (в отсутствии магнитного поля )
13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415


Оператор квадрата момента импульса

13 EMBED Equation.3 1415
Собственные значения и собственные функции операторов
квантовой механики.
Для каждого оператора можно найти функции, которые являются его собственными функциями, т. е. удовлетворяют требованию
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Это главный постулат квантовой механики.
где 13 EMBED Equation.3 1415 - действительное число для ирмитовых операторов и называется собственным значением оператора 13 EMBED Equation.3 1415, принадлежащим собственной функции 13 EMBED Equation.3 1415.
В классической механике:
13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение для собственных функций и собственных значений оператора энергии будет
13 EMBED Equation.3 1415
где Е - собственное значение оператора энергии; 13 EMBED Equation.3 1415 - собственная функция.
В явном виде.
13 EMBED Equation.3 1415

Интегрируя это уравнение в частных производных второго порядка и выбирая те решения, которые удовлетворяют стандартным условиям, получают совокупность собственных функций оператора энергии 13 EMBED Equation.3 1415.

Средние значения физических величин.

В классической механике каждая динамическая величина имеет определённое значение.
В квантовой механике дело обстоит иначе. Например, система находится в состоянии, которое является результатом суперпозиции состояний 13 EMBED Equation.3 1415 с собственными значениями 13 EMBED Equation.3 1415.
Если система находится либо в состоянии 13 EMBED Equation.3 1415, либо в состоянии 13 EMBED Equation.3 1415, то соответствующее измерение даст определенное число 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 соответственно. Какое значение будет получатся, когда система находится в состоянии
13 EMBED Equation.3 1415
Здесь в классической физике получилось бы одно строго определённое число.
В квантовой механике получается не одно определённое число, а одно из двух чисел: или 13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415 и никаких других. То или другое значение получается не с достоверностью, а лишь с определённой вероятностью. В квантовой механике нельзя приписать динамической переменной определённого значения, но всегда можно приписать определённую вероятность.
А если известны вероятности, то можно вычислить среднее значение.
Среднее значение координаты х.
13 EMBED Equation.3 1415
Если волновая функция нормирована к единице, то
13 EMBED Equation.3 1415
Учитывая, что оператор координаты “13 EMBED Equation.3 1415”есть просто умножение на х:
13 EMBED Equation.3 1415
Аналогично
13 EMBED Equation.3 1415
Второй постулат квантовой механики:
13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415.- обобщённые координаты.
Например: 1) 13 EMBED Equation.3 1415 линейного гармонического осциллятора в нормальном состоянии. Нормированная волновая функция этого состояния известна.
13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
все интегралы вида 13 EMBED Equation.3 1415 вследствие нечётности подынтегральной
функции.
2) Определим P
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Как и в классической механике, 13 EMBED Equation.3 1415 в этом случае равны нулю, что и следовало ожидать из соображений симметрии функции 13 EMBED Equation.3 1415 относительно х.
3) Вычислим средние значения кинетической и потенциальной энергии:
13 EMBED Equation.3 1415
т. е. средняя потенциальная энергия равна средней кинетической, как и в классической механике.
13 EMBED Equation.3 1415
И как и следовало ожидать, поскольку нулевое состояние есть состояние с определённой энергией.

Условия возможности одновременного измерения разных
механических величин.
Согласно одному из основных постулатов квантовой механики, механической величине можно приписывать определённое значение только в том случае, когда это значение является собственным значением 13 EMBED Equation.3 1415- функции, описывающей состояние, в котором находится система.
При каких условиях две или несколько механических могут иметь одновременно определённые значения.
Две механические величины F и G имеют определённые значения, если состояние описывается функцией 13 EMBED Equation.3 1415, являющейся собственной функцией того и другого оператора, т. е. общей собственной функцией.
Например: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Собственные функции этих операторов удовлетворяют уровням.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Где 13 EMBED Equation.3 1415 - собственные значения операторов.
Функция 13 EMBED Equation.3 1415 равная
13 EMBED Equation.3 1415
удовлетворяет всем этим трем уравнениям, т.е. является общей собственной функцией операторов 13 EMBED Equation.3 1415. Это показывает, что проекции количества движения на все три оси координат могут иметь одновременно определенные значения.
ТЕОРЕМА: Если операторы имеют общие собственные функции, то такие операторы коммутируют.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 общей собственной функцией операторов 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415
Обратная теорема: Если операторы коммутируют, то они имеют общие собственные функции.
Динамические переменные 13 EMBED Equation.3 1415 имеют общую собственную функцию, следовательно, их операторы коммутируют.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Откуда следует 13 EMBED Equation.3 1415
Аналогично 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Координатам соответствующая другой координате составляющая импульса также коммутируют.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Но координата и соответствующая ей составляющая импульса не коммутируют,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
т.е. 13 EMBED Equation.3 1415
или 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Не могут иметь определенные значения координаты m соответствующие mm составляющие количества движения, либо одна из них имеет определенное значение m тогда другая будет неопределенна.
Составляющие момента импульса не коммутируют:
13 EMBED Equation.3 1415
Соотношения неопределенностей.
В классической механике записаны так 13 EMBED Equation.3 1415.13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Т.е. на опыте, исходя на основе физических соображений, не можем одновременно получить абсолютно точные значения. Неопределенности обусловлены не совершенством наших измерений, а самой природой материи.
Квантовая механика приводить к неизбежности этих неопределенностей.
Неопределенности или неточности характеризуются квадратным корнем из среднего квадрата отклонения:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Они указывают верхний предел точности, который может быть достигнут при одновременном измерении координат m импульсов; произведение неточностей не может
быть меньше 13 EMBED Equation.3 1415
Свободная частица.
Одна частица, движущаяся в отсутствие действия сил в направлении, которое мы примем за ось X. Т.к. силы отсутствуют, то U=const мы можем принять ее равной нулю. Функция Гамильтона в классической механике состоит из одной кинетической энергии
13 EMBED Equation.3 1415
при выбранной оси координат x: 13 EMBED Equation.3 1415, оператор импульса будет
13 EMBED Equation.3 1415
Оператор Гамильтона:
13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение Шредингера
13 EMBED Equation.3 1415
Частные решения этого уравнения, таковы 13 EMBED Equation.3 1415
Эти условия удовлетворяют стандартным условиям конечности m непрерывности во всем пространстве при любых положительных значениях E: E>0.
Спектр собственных значений энергии в данном случае сплошной, в отличие от дискретного спектра.

Движение в центральном поле.
Оператор момента количества движения.

Движение в поле центральных сил. Важную роль играет в квантовой механике оператор момента количества движения.
В декартовых координатах:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Теперь мы должны перейти в этой главе к сферическим координатам:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Напишем полный дифференциал 13 EMBED Equation.3 1415 как функция x, у, z .
. 13 EMBED Equation.3 1415
Переход к сферическим координатам, пологая, что r и V остаются постоянными, а изменяется то 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Аналогично выводится 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Операторы 13 EMBED Equation.3 1415некоммутирующие операторы, поэтому определить можно одну компоненту, а две другие не определяются.
Оператор квадрата момента количества движения
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - оператор Лежандра. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Каждый из операторов коммутирует с оператором 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Оператор квадрата момента импульса имеет общие собственные функции с операторами каждой из его проекций.
Законы сохранения в центрально симметричном поле.
Оператор энергии полярных координатах:
13 EMBED Equation.3 1415
Вводится оператор радиального момента:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Если принять во внимание, что 13 EMBED Equation.3 1415 то13 EMBED Equation.3 1415.
Оператор любой составляющей момента количества движения коммутирует с 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Это означает, что численное значение момента количества движения сохраняется во времени. 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 коммутируют с 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно все три оператора 13 EMBED Equation.3 1415 имеют общие собственные функции.
А поэтому численное значение момента количества движения, одна из его проекций и энергия могут одновременно определенные значения.
13 EMBED Equation.3 1415, где У - шаровая функция. 13 EMBED Equation.3 1415.
Шаровыми функциями называются шаровые полиномы (одновременные), удовлетворяющие уравнению Лапласа 13 EMBED Equation.3 1415 или в декартовых координатах
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 в раскрытом виде
13 EMBED Equation.3 1415
В сферических координатах
13 EMBED Equation.3 1415
Где l есть квантовое число момента количества движения.
13 EMBED Equation.3 1415- собственное значение квадрата момента количества движения.
13 EMBED Equation.3 1415 т.е. 13 EMBED Equation.3 1415
тогда момент количества движения 13 EMBED Equation.3 1415принимает собственные значения 13 EMBED Equation.3 1415- собственная функция оператора.

Собственные функции и собственные значения оператора проекции момента количества движения.

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415- циклическая переменная, то условие однозначности решения:
13 EMBED Equation.3 1415, это будет только в том случае, если 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. при измерении z-составляющей момента количества движения должны получаться числа, являющиеся целыми кратными 13 EMBED Equation.3 1415.
m – магнитное квантовое число.
13 EMBED Equation.3 1415- собственная функция.
13 EMBED Equation.3 1415- собственные значения.
Различным значениям l, l=0,1,2,3,,(n-1) соответствуют различные состояния s,p,d,f,

Состояние
l
m
13 EMBED Equation.3 1415-функция
L
Lz
Lx
Ly

s
0
0
0
0
0
0
0

p
1
1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Неопр.
Неопр.

p
1
0
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
0
Неопр.
Неопр.

p
1
-1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Неопр.
Неопр.



Волновые функции нормированы. Для каждого l имеется (2l+1) значений проекции момента импульса на ось z, которые являются целыми кратными 13 EMBED Equation.3 1415.
В теории Бора все три проекции 13 EMBED Equation.3 1415 строго определены. На рисунке изображено пространственное квантование в состоянии P(1=1). Оператор 13 EMBED Equation.3 1415 имеет в этом состоянии три собственные функции:
13 EMBED Equation.3 1415.
Всем трем собственным функциям соответствует только одно собственное значение L2, равное 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому в состоянии P имеет место трехкратное вырождение. Вследствие вырождения состояние должно описываться линейной комбинацией трех функций 13 EMBED Equation.3 1415.
Все направления равновероятны. Всегда имеется отличная от 0 вероятность найти частицу на сфере с радиусом равным единице 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415- элемент поверхности сферы r =1
13 EMBED Equation.3 1415-функции приведены в таблицах при различных 1 и m.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415- нормирующий множитель.
13 EMBED Equation.3 1415- азимутальная функция, зависит только от азимутального числа 13 EMBED Equation.3 1415.
Эта функция соответствует бегущей по окружности волны и отвечает равномерному вращению электрона вокруг ядра, т.е. волна распространяющаяся в 13 EMBED Equation.3 1415-том направлении.
Из условия нормировки:
13 EMBED Equation.3 1415
Исчез множитель от 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415- вероятность найти частицу в любом месте сферы между кругами широт от 13 EMBED Equation.3 1415. Так как, 13 EMBED Equation.3 1415 площадь сферического пояса между этими кругами.
Вероятность, отнесенная к единице площади сферы,
13 EMBED Equation.3 1415- эта функция и характеризует распределение частиц на сфере по широте.
1
m
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

0
0
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415










Полярности диаграммы плотностей вероятности 13 EMBED Equation.3 1415при 13 EMBED Equation.3 1415. Принято электронное облако (орбиталь) графически изображать контуром, ограничивающим область, в которой вероятность обнаружения электрона составляет 0,9.
В состоянии l=0, m=0, E0=0, сферическая симметрия в распределении заряда электрона
S-состояние; 13 EMBED Equation.3 1415.
Покоящаяся частица может с равной вероятностью в любом месте сферической поверхности радиуса a, т.е. все положения равновероятны. Направление 13 EMBED Equation.3 1415 не зависит от угла 13 EMBED Equation.3 1415, классического аналога нет.
P-состояние:13 EMBED Equation.3 1415
График надо вращать вокруг оси z.
При 13 EMBED Equation.3 1415 правое вращение, при 13 EMBED Equation.3 1415 левое вращение (13 EMBED Equation.3 1415 антипараллелен оси z), при m=+1 параллелен.
l=1,m=0 наиболее вероятная орбита та, которая лежит в плоскости, проходящей через ось z.
Во всех случаях наблюдается размытость электронного облака.
Существуют фотографии электронного облака для различных состояний водородоподобного атома.

Уравнение Шредингера для атома водорода.

В сферической системе координат для электрона:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415- собственное значение энергии электрона в атоме, n=1,2,3,
13 EMBED Equation.3 1415-определяется тремя параметрами;
n – главное квантовое число, l – побочное квантовое число, m – магнитное квантовое число.
Вероятность 13 EMBED Equation.3 1415 того, что электрон находится в области, ограниченной элементом объема dv1, взятого в окрестности точки с координатами 13 EMBED Equation.3 1415 определяется
13 EMBED Equation.3 1415 (в сферических координатах).
В состоянии s(l=0, m=0) волновая функция сферически симметрична (т.е. не зависит от углов (13 EMBED Equation.3 1415)).
Нормированные собственные 13 EMBED Equation.3 1415-функции, отвечающие за 1s-состояние (основному) и 2s-состоянию, имеют вид:
13 EMBED Equation.3 1415
или в атомных единицах
13 EMBED Equation.3 1415
где в качестве единицы измерения длины выбран радиус первой боровской орбиты
13 EMBED Equation.3 1415
При таком выборе единицы длины расстояния осей ядра 13 EMBED Equation.3 1415 будет выражаться в безразмерных величинах.
В s-состоянии вероятность 13 EMBED Equation.3 1415 найти электрон в интервале (r,r+dr) одинакова по всем направлениям и определяется формулой
13 EMBED Equation.3 1415
Момент импульса L и магнитный момент P, обусловлены орбитальным движением электрона:
13 EMBED Equation.3 1415
где l – орбитальное квантовое число l=(0,1,2,3,,(n-1)),
13 EMBED Equation.3 1415
Проекция момента импульса Lz и магнитного момента Pz на направление внешнего магнитного поля:
13 EMBED Equation.3 1415
где m – магнитное квантовое число (13 EMBED Equation.3 1415).
Гиромагнитные отношения для орбитальных магнитного момента P и момента импульса L
13 EMBED Equation.3 1415
Момент импульса s и магнитный момент 13 EMBED Equation.3 1415, обусловлены спином электрона
13 EMBED Equation.3 1415
Проекции спиновых моментов импульса Sz и магнитного момента 13 EMBED Equation.3 1415 на направление внешнего магнитного поля
13 EMBED Equation.3 1415
Проекции Sz и 13 EMBED Equation.3 1415 могут принимать только два значения.
Гиромагнитное отношение для спиновых магнитного и механического моментов
13 EMBED Equation.3 1415
Распределение электронов по состояниям в атоме записывается с помощью спектроскопических символов:
Значение орбитального числа l
0
1
2
3
4
5
6
7

Спектрографический символ
s
p
d
f
g
h
i
k

Электронная конфигурация записывается следующим образом:
2p – (n=2, l=1); 2p2 – (электронов в атоме ровно 2m и т.д.)
Принцип Паули: в атоме не может находиться два и более электронов, характеризуемых одинаковым набором четырех квантовых чисел: n, l, m, ms (где ms – спиновое магнитное квантовое число: 13 EMBED Equation.3 1415).
Оператор Лапласа в сферических координатах:
13 EMBED Equation.3 1415
Ze – заряд ядра. Сила, связывающая электроны с ядром на расстояниях порядка атомных размеров (13 EMBED Equation.3 1415 см) есть кулоновская сила притяжения. Соответствующая ей потенциальная энергия
13 EMBED Equation.3 1415
Для низшего энергетического состояния l=0 и оно полной сферической симметрией, так что функция 13 EMBED Equation.3 1415 будет зависеть только от радиуса r и не будет зависеть от углов 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому члены, содержащие производные по 13 EMBED Equation.3 1415 в операторе Лапласа, равны нулю и уравнение Шредингера принимает вид:
13 EMBED Equation.3 1415
Обозначим 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
простейшее решение этого уравнения, имеющее конечное значение при r=0 и стремящееся к нулю при 13 EMBED Equation.3 1415 есть
13 EMBED Equation.3 1415
Действительно, имеем, прежде всего
13 EMBED Equation.3 1415
подставляем в выше написанное уравнение, и после сокращения на
13 EMBED Equation.3 1415
это соотношение должно иметь место при любом r, вследствие чего оба двучлена, взятые в скобки, должны равняться нулю, каждый в отдельности, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Сравнивая с формулой Бора для бальмеровых уровней энергии мы видим, что El, есть не что иное, как первый бальмеров уровень, соответствующий главному квантовому числу n=1, l=0, оно символически обозначается ls.
Z=1 и иногда энергия El водородного атома в нормальном состоянии, с обратным знаком, это и будет энергия ионизации атома водорода.
13 EMBED Equation.3 1415
хорошее совпадение с экспериментальными данными.
Вычислим теперь вероятность электрона в элементе объема 13 EMBED Equation.3 1415. Обозначим через N нормирующий множитель.
13 EMBED Equation.3 1415, где
13 EMBED Equation.3 1415
Постоянная 13 EMBED Equation.3 1415 имеет размерность см-1.
Введем новую постоянную 13 EMBED Equation.3 1415, связанную с 13 EMBED Equation.3 1415 отношением: 13 EMBED Equation.3 1415
тогда: 13 EMBED Equation.3 1415
плотность вероятности W(r) обращается в нуль при 13 EMBED Equation.3 1415 и асимптотически стремится к нулю при 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, имеется определенная вероятность найти электрон на любом расстоянии от ядра – между 0 и 13 EMBED Equation.3 1415. Эта вероятность достигает максимума на расстоянии: продифференцируем последнее уравнение и приравняем к нулю, и после сокращения на 13 EMBED Equation.3 1415
получим 13 EMBED Equation.3 1415
откуда 13 EMBED Equation.3 1415, где13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415; находим 13 EMBED Equation.3 1415;
С таким выражением встречались в теории Бора: n=1, Z=1
13 EMBED Equation.3 1415;
это радиус первой водородной орбиты. Азимутальное квантовое число теории Бора
13 EMBED Equation.3 1415
и здесь состояние ls характеризуется сферической симметрией, так что распределение вероятности представляет собой сферическое «облако», а не плоский образ, соответствующий «орбите». Заряд электрона представляют на всех графиках размазанный по всему пространству в виде облака.

Уравнение Шредингера

13 EMBED Equation.3 1415
следует решать по методу разделения переменных, полагая
13 EMBED Equation.3 1415
Умножая исходное уравнение на 13 EMBED Equation.3 1415 получаем:
13 EMBED Equation.3 1415
Так как слева стоит величина, зависящая только от r, справа – только от углов 13 EMBED Equation.3 1415, это равенство может иметь место только в том случае, когда и левая, и правая части равны по отдельности некоторой величине 13 EMBED Equation.3 1415, называемой постоянной разделения.
Для радиальной: 13 EMBED Equation.3 1415
Для угловой: 13 EMBED Equation.3 1415
Полагая 13 EMBED Equation.3 1415
ее разделяют по сферическим углам:
13 EMBED Equation.3 1415
Частные производные заменяются полными дифференциалами.
13 EMBED Equation.3 1415 - постоянная разделения.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Каждая из функций 13 EMBED Equation.3 1415 зависит только от одной переменной.
Таким образом, для определения собственных значений энергии 13 EMBED Equation.3 1415 и соответствующих им собственных значений функций 13 EMBED Equation.3 1415 получим три уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
нормировка производится для каждой из функций по отдельности.
13 EMBED Equation.3 1415
Частное решение для азимутальной функции: 13 EMBED Equation.3 1415,
либо 13 EMBED Equation.3 1415.
Волновая функция должна удовлетворять условию однозначности, 13 EMBED Equation.3 1415 необходимо наложить условие периодичности 13 EMBED Equation.3 1415, из которого следует
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415.
из условия нормировки 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
m – магнитное квантовое число, собственные значения его известны.
Решение второго уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415


l – орбитальное квантовое число, l= 0,1,2,3,,n-1
13 EMBED Equation.3 1415
квантовое число характеризует собственное значение 13 EMBED Equation.3 1415 оператора 13 EMBED Equation.3 1415, входящего в квантовое операторное выражение функции Гамильтона
13 EMBED Equation.3 1415.
Сравнивая с классической функцией Гамильтона
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415, видим, что оператору 13 EMBED Equation.3 1415 в классическом случае соответствует квадрат момента количества движения 13 EMBED Equation.3 1415, а оператору 13 EMBED Equation.3 1415 - квадрат радиального импульса 13 EMBED Equation.3 1415.
В классической механике момент количества движения 13 EMBED Equation.3 1415, а момент внешних сил 13 EMBED Equation.3 1415, и изменения 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
В случае центральных сил 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415 закон сохранения количества движения.
Чтобы обобщить классическое выражение на квантовый случай, надо заменить 13 EMBED Equation.3 1415 оператором импульса
13 EMBED Equation.3 1415,
тогда 13 EMBED Equation.3 1415- не коммутируемые операторы.
13 EMBED Equation.3 1415;
действуя 13 EMBED Equation.3 1415на шаровую функцию
13 EMBED Equation.3 1415;
m – характеризует проекцию момента количества движения на ось z.
13 EMBED Equation.3 1415 - собственная функция операторов 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
При 13 EMBED Equation.3 1415 обращается в нуль, в то время по классической теории это величина не может вообще обращаться в нуль. Состояние 13 EMBED Equation.3 1415 не имеет классического аналога. Механический момент атома, находящегося в наинизшем состоянии, обращается в нуль. Экспериментальные данные из области спектроскопии подтверждают этот квантово-механический результат.

Решение простейших задач в сферических координатах.

Ротатор – представляет собой частицу, движущуюся по сфере радиуса 13 EMBED Equation.3 1415. Это задача – движение под действием центральных сил, когда потенциальная энергия постоянна, и можно положить равной нулю. 13 EMBED Equation.3 1415.
Угловая часть описывается шаровыми функциями, а для определения радиальной функции берем уравнение
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415, подставим 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 - момент инерции.
13 EMBED Equation.3 1415
Энергия ротатора зависит от орбитального квантового числа, магнитное квантовое число, характеризующее проекцию момента 13 EMBED Equation.3 1415 на ось Z, в выражение 13 EMBED Equation.3 1415 не входит. Собственному значению 13 EMBED Equation.3 1415 соответствуют собственные функции 13 EMBED Equation.3 1415, зависящие от m. m может меняться от 13 EMBED Equation.3 1415, каждому значению энергии 13 EMBED Equation.3 1415 будут соответствовать (2l+1) собственных функций, описывающих состояния ротатора, отличающиеся лишь ориентацией момента 13 EMBED Equation.3 1415 относительно оси Z, то есть уровень энергии 13 EMBED Equation.3 1415 является 13 EMBED Equation.3 1415-кратно вырожденным.
При l=0 имеем однократно вырожденный уровень, который называется просто невырожденным.
Состояния: l=0, 1, 2, 3, 4
s, p, d, f, g и так далее.
Рассмотрим S и P состояния ротатора.
В S-состоянии 13 EMBED Equation.3 1415, собственная функция 13 EMBED Equation.3 1415, соответствующая нулевому собственному значению энергии 13 EMBED Equation.3 1415, будет равна 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415-квадрат модуля – плотность вероятности 13 EMBED Equation.3 1415
В P-состоянии 13 EMBED Equation.3 1415, квантовое число m может принимать три значения: -1, 0, +1, следовательно, собственному значению энергии 13 EMBED Equation.3 1415 соответствуют три собственные функции:
13 EMBED Equation.3 1415
Плотности вероятности:
13 EMBED Equation.3 1415
Величина 13 EMBED Equation.3 1415 представляет вероятность обнаружить частицу на сфере постоянного радиуса в области углов 13 EMBED Equation.3 1415.
Поскольку квадрат модуля 13 EMBED Equation.3 1415 не зависит от угла 13 EMBED Equation.3 1415, вероятность обнаружить частицу в одном и том же интервале углов 13 EMBED Equation.3 1415 становится одинаковой. В силу этого произведение 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует плотности вероятности обнаружить частицу между углами 13 EMBED Equation.3 1415.
Графически распределение плотности вероятности (1), (2), (3) представлены на рисунке:


Чтобы поучить полную картину нужно вращать вокруг оси Z. Рис а) и из (1) направление момента 13 EMBED Equation.3 1415 относительно оси Z для ротатора в состоянии S не зависит от угла 13 EMBED Equation.3 1415, так как 13 EMBED Equation.3 1415. Покоящаяся же материальная точка может с равной вероятностью находиться в любом месте сферической поверхности радиуса 13 EMBED Equation.3 1415, то есть все положения ротатора возможны и равноправны. Классического аналога S-состояние не имеет.
Из (2) и рис. б) следует, что наиболее вероятной из всех траекторий ротатора в P-состоянии с 13 EMBED Equation.3 1415 является та, которая расположена в плоскости (xy), причем состояния с 13 EMBED Equation.3 1415 отличаются одно от другого направлением оси вращения: при 13 EMBED Equation.3 1415 ротатор обладает правым вращением (момент количества движения 13 EMBED Equation.3 1415 параллелен оси Z), а при 13 EMBED Equation.3 1415 - левым (момент 13 EMBED Equation.3 1415 антипараллелен оси Z).
При l=1 и m=0 наиболее вероятной орбитой ротатора является та орбита, которая лежит в плоскости, проходящей через ось Z (рис. в)). При этом момент направлен перпендикулярно оси Z.
Аналогичным образом можно исследовать состояния с l= 2 (пять значений 13 EMBED Equation.3 1415), с l=3 и так далее.
Во всех случаях наблюдается размытость электронного облака.
Существуют фотографии электронного облака для различных состояний водородоподобного атома.
Правила отбора.

13 EMBED Equation.3 1415;
соответствует правому вращению 13 EMBED Equation.3 1415;
соответствующие левому вращению 13 EMBED Equation.3 1415.
Разрешенными будут только те переходы, для которых изменение квантового числа m орбитального числа l равны
13 EMBED Equation.3 1415
это имеет место для центрально-симметричных систем и, в частности, для атома водорода.
Литература.

Шпольский Э.В. «Атомные физика». т. I-II М. Наука, 1984 г.
Блохинцев Д.И. «Основы Квантовой механики» М. Наука, 1983 г.
Гольдин Л.Л., Новикова Г.И. «Введение в квантовую физику». М. Наука, 1988 г.
Матвеев А.Н. «Атомная физика» М.Высшая школа 1989 г.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. «Квантовая механика» М. Наука 1974 г.
Соколов А.А., Тернов Н.М., Жуковский В.Ч. «Квантовая механика» М. Наука 1979 г.
Фок В.А. «Начала квантовой механики» М Наука 1976 г.
Горяга Г.И. «Конспект лекций по атомной физике». М. Наука, 1985 г.
Киттель Ч. «Введение в физику твердого тела» (перевод с американского издания) М. Наука, 1978 г.
Бонч-Брусевич В.Л. «Физика полупроводников» М. Наука 1977 г.
Шиллинг Г. «Статистическая физика в примерах». М. МИР 1976 г.
Киреев П.С. «Физика полупроводников» М. Высшая школа,1975 г.
0.75-0.4 мкм

Видимый свет

Рис. 1.

T=const

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

0

Р-Д

T=2000K

T=1790K

T=1600K

t

I

4I0

2I0

I0

10-9 c

Рис. 1

13 EMBED Equation.3 1415

Рис. 2

13 EMBED Equation.3 1415

8

6

4

2

0

13 EMBED Equation.3 1415

I

Вещество A Вещество B

3


2


1

0

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Рис. 3

Падающая частица

До падения частицы

после падения частицы

после падения волны

До падения волны

13EMBED Equation.31415

13 EMBED Equation.3 1415

+e

-e

Кр О Ж З Г С Ф

Сплошной спектр видимого света

И.К.

D D

Р.В.

Кр

V

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415 0


V

A

13 EMBED Equation.3 1415A

13 EMBED Equation.3 1415

E

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415


электрон

Положительный заряд протона

+1

Положительный заряд

Сила притяжения электрона

Сила отталкивания электронов

+3

Водород

Литий

Протон

e-

ram

Электронная орбита, определяющая размер атома

+
0
Et


r

E

ram

Ep

Ek

Кулоновская потенциальная энергия

13 EMBED Equation.3 1415


0
13 EMBED Equation.3 1415


Рис.

Плоско-сть XY

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

m=+1

m=-1

Y

Z

Y

Z

13 EMBED Equation.3 1415

S-электрон

13 EMBED Equation.3 1415

l=0, m=0

m=+1

13 EMBED Equation.3 1415

m=0

m=-1

z

y

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415z

13 EMBED Equation.3 1415z

13 EMBED Equation.3 1415z

y

z

13 EMBED Equation.3 1415z

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

y

z

13 EMBED Equation.3 1415z

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

y

z

a)

б)

в)



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 8926992
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий