теория вероятностей, комбинаторика-1


Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:

У всякой случайности есть своя причина...Петроний, римский писатель (I в. н.э.) Изучая любое явление в природе пытаемся, определить его закономерности. Наиболее часто установление таких закономерностей происходит по следующей схеме:G - комплекс условий;А - событие, которое может произойти в результате осуществления комплекса условий G. G A ЯВЛЕНИЕ Тема: Основы ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Под случайным понимается событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания. Испытанием считают как целенаправленное действие, так и явление, происходящее независимо от наблюдателя. Пример 1. Испытание – подбрасывание монеты. Возможные события – выпадение «орел», «решка».Пример 2. Студент сдает экзамен – испытание. Студент получил оценку «отлично» – событие. Предположим, что комплекс условий G мы можемповторять многократно. Если в результате каждого выполнения G постоянно наступает событие А, то А называют достоверным. Например, если вода при атмосферном давлении в 760 мм рт. ст. нагревается выше 100° по Цельсию(комплекс условий G), то она превращается в пар(событие А). Или: при бросании игральной кости, достоверное событие – выпадение числа очков в пределах от 1 до 6. Если при многократном повторении условий G событие А ни в одном не может наступить, то событие - невозможное. Например, замерзание воды при её нагревании в ограниченном объеме.В окружающем мире имеется множество явлений, в которых при каждом осуществлении комплекса условий G интересующее нас событие А может произойти, или нет. (Подбрасывание монеты: событие А - выпадение герба.) Такие события - слyчайные. Вероятность можно понимать как меру достоверности данного события. Вероятность обозначают P (англ. probability – вероятность). Чем более достоверным представляется наступление события, тем больше его вероятность. Вероятность невозможного события полагают равной нулю, вероятность достоверного – единице. Теория вероятностей - наука, изучающая случайные события на основе предположения: при многократном осуществлении комплекса условий G доля той части наблюдений, при которых сл. событие А наступило, незначительно отклоняется от некоторого положительного числа, называемого его вероятностью.1-ый метод определения вероятности:Статистический - основан на свойстве устойчивости частоты появления события А при осуществлении достаточно большого количества комплекса условий G. ПРИМЕР: При большом числе подбрасываний монеты были получены результаты, известные из истории развития теории вероятности: Кол-во испытаний Герб ЧастотаБюффон 4040 раз 2048 0,5080Пирсон 12000 раз 6019 0,5016Пирсон 24000 раз 12012 0,5005Анализ частоты выпадения герба показывает, что при увеличении числа экспериментов она близка к определенному числу: P(А) = 0,5. Частоты появления букв русского языка При бросании кубика (игральной кости) пространство исходов имеет вид {1, 2, 3, 4, 5, 6}; каждому из шести исходов приписывается 1/6. Таким образом, вероятность - количественное выражение возможности того, что событие А произойдет при осуществлении комплекса условий G. Этот факт выражается формулой: Р(А)= pПринято обозначать достоверное событие - , а невозможное событие - . Р() = 1; Р() = 0; 0 ≤ Р(А) = p ≤1. 2-ой метод определения вероятности: Классическое определение вероятности.Пусть n – число всех равновозможных исходов данного испытания, наблюдения, эксперимента), а m – число исходов благоприятствующих событию A (т.е. таких, появление любого из которых приводит к наступлению события A ). Тогда вероятность события A определяют по формуле: Тема: Основные аксиомы теории вероятностейСлучайный эксперимент  это эксперимент, результат которого заранее предугадать нельзя. Каждый различный исход опыта (эксперимента) называется элементарным событием и обозначается ω.Множество всех элементарных событий, относящихся к одному и тому же эксперименту, называют пространством элементарных событий и обозначают Ω = {ω}. Случайное событиеСлучайным событием называют любое подмножество пространства элементарных событий. События обозначают прописными буквами латинского алфавита A, B, C, . . .Пример. Выпадение числа очков на игральной кости, выпадение «орла» или «решки» при бросании монеты; При тестировании выбор наугад одного ответа из 4 возможных, среди которых один ответ верный, – случайные события. Несколько событий составляют полную группу, если в результате эксперимента обязательно произойдет хотя бы одно из этих событий. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, всегда равна 1. Пример: Проводится подбрасывание монеты. В результате этого эксперимента обязательно произойдет одно из следующих событий:A: монета упадет орлом; B: монета упадет решкой; Таким образом, система {A, B} является полной группой событий. Cобытия называют несовместными, если происхождение одного из них исключает происхождение остальных в результате опыта. Классическим примером несовместных событий является результат подбрасывания монеты — выпадение лицевой стороны монеты исключает выпадение обратной стороны (в одном и том же опыте). События называют равновозможными, если условия, в которых ставится эксперимент, позволяют считать, что ни одно из событий не будет происходить чаще другого при многократном повторении испытания. Бросание 2-х игральных костейВсе равновозможные исходы (их число равно 36) можно записать в виде таблицы:(здесь пара (k, l) означает, что на первой кости выпало k очков, а на второй l). Найти вероятность выпадения в сумме 12 очков.Событие А: 12 очков = 6 + 6 – один возможный исход2. Найти вероятность выпадения в сумме 10 очков.Событие В: 10 очков = 5 +5 = 6 + 4 = 4 + 6 – три возможных исхода Пример. Подбрасывая две монеты – монету N1 и монету N2. Какова вероятность одновременного выпадения двух гербов?Перечислим сначала все возможные исходы:1) на обеих монетах выпали решки (РР),2) на монете N1 выпала решка, а на монете N2 – герб (РГ),3) на монете N1 выпал герб, а на монете N2 – решка (ГР),4) на обеих монетах выпал герб (ГГ) Из четырёх исходов интересующее нас событие – выпадение двух гербов – наблюдается только в одном. Так как все четыре исхода равновозможны, то вероятность выпадения двух гербов равна 1/4. Пример. Определить, образуют ли события полную группу:1) Испытание состоит в бросании монеты. События А- выпал герб; В - выпала решка. Да образуют, т.к. описывают все возможные исходы испытания.2) Испытание состоит в 2-х выстрелах по мишени. События А- ни одного попадания; В- ровно одно попадание; С- ровно два попадания. Да образуют, т.к. описывают все возможные исходы испытания.3) Испытание состоит в бросании 2-х монет. События А- выпало 2 орла; В - выпали 2 решки. Нет, не образуют, т.к. в результате опыта еще может выпасть 1 орел и 1 решка.4) Студент во время сессии сдает 2 экзамена. События А- студент сдал 1 экзамен; В - студент не сдал ни одного экзамена. Нет, не образуют, т.к. студент может сдать 2 экзамена. Пример. Являются ли следующие события несовместными?1) Испытание состоит в бросании монеты. События А- выпал герб; В- выпала решка. Да, так как одновременно в одном опыте эти события появиться не могут.2) Испытание состоит в бросании 2-х монет. События А- выпал орел на одной монете; В- выпал орел на второй монете. Нет, так при бросании 2-х монет может выпасть 2 орла – на первой и второй монетах. Пример. Выпущено 100 лотерейных билетов и установлены призы, из которых 8 по 1 руб., 2 - по 5 руб.и 1 -10 руб. Найти вероятность того, что купленный билет выиграл: а) 5 рублей; б) не более 5 рублей.Решение: а) Общее число исходов равно n =100. Благоприятное число исходов равно числу с выигрышем в 5 руб. m =2. Тогда: Р(А) = 0,02.б) Условие выигрыш “не более 5 руб.” означает, что купленный билет имеет выигрыш, равный 1 руб. (таких билетов 8), или выигрыш, равный 5 руб. (таких билетов 2). Общее число исходов n = 100, благоприятных исходов m = 8+2=10. Р(А) = 0,1. Алгебра случайных событийСуммой (объединением) событий А и В называют событие (А + В или А U В), которое происходит тогда и только тогда, когда произойдет хотя бы одно из этих событий, то есть или А, или В, или А и В одновременно. Пример. При бросании игральной кости пространство элементарных исходов – множество:Ω ={ ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6 }.Cобытие A= { ω1, ω3, ω5} – выпало нечетное число; В = {ω2, ω4, ω6 } - чётное число; С = { ω1, ω2, ω3} – выпало не более трех очков.Тогда сумма А + В = А U В ={ ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6 }- выпало некоторое число очков от одного до шести - событие достоверное. Сумма А + С = А U С = { ω1, ω2, ω3, ω5} – не выпало ни четырех, ни шести очков. Произведением (пересечением) событий А и В называется событие (А·В или А∩В ), которое происходит тогда и только тогда, когда происходят события А и В одновременно.Пример: Произведением событий А и В будет событие А·В = Ш. Это событие невозможное (невозможно одновременное выпадение чётных и нечётных чисел). Произведением событий В и С будет В ·С = В ∩ С = – выпало два очка при бросании игральной кости. Примеры произведения событий: пусть А - из урны вытянули белый шар, В - из урны вытянули белый шар, то А·В - из урны вытянули два белых шара; А - идет дождь, В - идет снег, то А·В - дождь со снегом; А - число четное, В - число кратное 3, то А·В - число кратное 6. Разностью событий А и В называется событие А–В, которое происходит тогда, когда происходит А, но не происходит В.Разностью указанных событий А и С будет А – С = , то есть выпадение «пятёрки». Два события, одно из которых обязательно должно произойти, но наступление одного исключает возможность наступления другого, наз. противоположными (А и Ā).Пример: Событием, противоположным к А будет событие = - чётное число очков . Противоположным к событию С будет – выпало более трёх очков. События А и В называют равносильными (эквивалентными) (А = В), если они состоят из одних и тех же элементарных событий, т.е. всегда происходят или не происходят одновременно. Пример. Среди общего списка студентов факультета, выбирают наудачу одного. Событие А = выбран юноша; В =не курит; С =живет в общежитии.а) Описать событие . - выбран курящий юноша, который живет в общежитии.б) При каком условии будет справедливо тождество АВС=А?При условии, что все некурящие юноши живут в общежитии. Домашнее заданиеБрошены две монеты. Рассматриваются события:А – выпал «герб» на первой монете;В – выпала «решка» на первой монете;С – выпал «герб» на второй монете;D – выпала «решка» на второй монете;E – выпал хотя бы один «герб»;F – выпали два «герба».Какими событиями этого списка являются: а) А+C; б) АС; в) B+D; г) BE; д) A+E; е) AE; ж) DF. Теоремы сложения и умножения вероятностей Условной вероятностью события А при условии В (обозначается p (A|B)) называют вероятность,вычисленную при условии, что событие В ужепроизошло и, тем самым, изменило ходэксперимента. События называют зависимыми, еслинаступление одного из них изменяет вероятность появления другого.События называют независимыми, если происхождение одного из них никак не влияет на вероятность появления другого. Теорема сложения совместных событий. Вероятность суммы 2-х совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: p (А + В) = p(А) + p(В) - p(А·В).Теорема сложения несовместных событий. Вероятность суммы 2-х несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: p (А + В) = p(А) + p(В). Теорема умножения вероятностейЕсли события А и В независимы (наступление одного из них никак не влияет на шансы наступления другого), то вероятность произведения этих событий А•В равна произведению их вероятностей:Р (А • В) = Р (А) • Р (В). Зависимые испытания.Пусть А и В - зависимые. Условной вероятностью P (B|A) события В называют вероятность события В, найденную в предположении, что событие А наступило.Вероятность произведения двух зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденного в предположении, что первое событие уже наступило: Р (А • В) = Р(А) • P (B|A). Пример.При подготовке к экзамену две студентки успели выучить только первые пять билетов из двадцати. Пусть событие А – «первая студентка вытянула один из этих (счастливых для неё) билетов», а событие В – «вторая студентка вытянула счастливый билет». Если событие А произошло, то среди оставшихся 19 билетов окажется только 4 счастливых, и значит, вероятность события В равна Р(В) = Если же событие А не произошло, то число счастливых билетов среди оставшихся 19 не изменится, и значит, вероятность события В будет другой: Р(В) = Пример. Ведутся поиски двух преступников. Каждый из них независимо от другого может быть обнаружен в течение суток с вероятностью 0,5. После поимки одного из них, в связи с увеличением числа сотрудников занятых в поисках, вероятность найти второго возрастает до 0,7. С какой вероятностью в течение суток будут обнаружены оба преступника? Решение.Событие А – «обнаружены оба преступника». Разобьем его на простые:В1– «обнаружен 1-ый», В2 - «обнаружен 2-ой после того, как пойман 1-ый преступник».По определению произведения событий А = В1 · В2.Тогда по теореме умножения вероятностей для зависимых событий:Р(А) = Р(В1 · В2 ) = Р(В1) · Р(В2 |В1)= = 0,5 · 0,7 = 0,35 Пример. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого стрелка – 0,9;второго стрелка – 0,8. Найти вероятность того, что а) в мишень попадет только один стрелок.б) мишень будет поражена. Решение: а) Пусть событие А – в мишень попадет только один стрелок. Рассмотрим события: А1 – в мишень попадет 1-ый; А2– в мишень попадет 2-ой. По условию: p(А1) = 0,9; p(А2) = 0,8. Тогда вероятности промахов стрелков: p (Ā1) = 1 - 0,9 = 0,1; p (Ā2) = 1 - 0,8 = 0,2.Событие А означает: в мишень попадет только 1-ый (т. е. 1-ый попадет и 2-ой промахнётся) или попадет только 2-ой (т.е. 1-ый промахнётся и 2-ой попадет). Тогда P(A) = 0,9 · 0,2 + 0,1 · 0,8 = 0,26. б) Найдем вероятность события В – мишень будет поражена. Событие В произойдет, если в мишень попадет хотя бы один стрелок: или только 1-ый, или только 2-ой, или оба. Тогда:P (В) = 0,9 · 0,2 + 0,1 · 0,8 + 0,9 · 0,8 = = 0,18 + 0,08 + 0,72 = 0,98. Найти вероятность события В также можно по теореме сложения совместных событий А1 и А2 . = 0,9 + 0,8 – 0,9·0,8 = 1,7 – 0,72 = 0,98. Пример. В порт приходят корабли только изтрех пунктов отправления. Вероятностьпоявления корабля из 1-го пункта - 0,2, из 2-го пункта – 0,6. Найти вероятность прибытия корабля из 3-его пункта.Решение. Обозначим p (Ai) – вероятность прибытия корабля из пункта i. Из свойств вероятности следует, что: Тогда вероятность прибытия корабля из 3-го пункта отправления равна p (A3) = 1 - 0,2 - 0,6 = 0,2. Дидактическая единица. Теория вероятностей.Задание №7. Игральный кубик бросают один раз. Вероятность того, что на верхней грани выпадет число очков, больше чем три, равна …Варианты ответов: 2) 0 4) 1Ответ: пункт № 1, т.е. выпадет или 4, или 5, или 6. Задание №8. Для посева берут семена из двух пакетов. Вероятность прорастания семян в первом и втором пакетах соответственно равна 0,9 и 0,7. Если взять по одному семени из каждого пакета, то вероятность того, что оба они прорастут, равна …Варианты ответов: 1) 0,63 2) 0,9 3) 1,6 4) 0,8Ответ: пункт № 1, т.к. согласно теоремы умножения вероятностей независимых событий 0,9 · 0,7 = 0,63. Задание №11. В урне находятся шесть шаров: три белых и три черных. Событие А – «вынули белый шар». Событие В – « вынули черный шар». Если опыт состоит в выборе только одного шара, то для этих событий неверным будетутверждение…Варианты ответов:1) «События А и В несовместны» 2) «События А и В равновероятны»3) «Событие А невозможно» 4) «Вероятность события В равна 0,5» Ответ: пункт № 3, другие пункты – верные утверждения. Задание №12. Вероятность наступления некоторого события не может быть равна …Варианты ответов:0 2)1 4) 2Ответ: пункт № 4, по свойствам вероятности. Пример. Преступник имеет 3 ключа. В темноте он открывает дверь выбирая ключ случайным образом. На открытие каждой двери он тратит 5 секунд. Найти вероятность что он откроет все двери за 15 секунд.Решение: Пусть событие А – «открыты все двери». Разобьём событие на более простые: В – «открыта 1-я дверь», С – «открыта 2-я дверь», D – «открыта 3-я дверь», тогда А = B·C·D по определению произведения событий. Следовательно P(А)=P(B·C·D), по теореме умножения вероятностей независимых событий P(B·C·D) = P(B)·P(C) ·P(D). Вычислим вероятность событий B, C и D. Имеется три равновозможных (каждый ключ выбираем из 3-х) исходов опыта. Каждому из событий B, C и D благоприятствует одно из них, поэтому P(B) = P(C)= P(D)= ; P(А)= P(B)·P(C) ·P(D) = Ч Ч = ПримерВ урне 5 белых, 20 красных и 10 чёрных шаров, не отличающихся по размеру. Шары тщательно перемешивают и затем наугад вынимают 1 шар. Какова вероятность, что он окажется белым или чёрным?Решение: Пусть А – появление белого или чёрного шара, разобьём событие на более простые. В – появление белого, С – появление чёрного, тогда А =В +С, следовательно Р(А) = Р(В +С). Так как В и С события несовместные, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий Р(В + С) = Р(В) + Р(С). Вычислим вероятность событий В и С. Имеется 35 равновозможных исходов опыта,событию В благоприятствует 5 из них, событию С – 10.Следовательно: Р(В) = Р(С) = Р(А) = Р(В) + Р(С) = + = -вероятность, что вынутый наудачу шар окажется белым или чёрным. Домашнее задание Найти вероятность того, что наудачу выбранное двузначное число а) делится без остатка на 8 и на 3;б) не содержит цифру 5. 2. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого стрелка - 0,6; второго стрелка - 0,3. Найти вероятность того, что:а) в мишень попадет только один стрелок;б) оба промахнутся. Если рассматривать некоторую случайную величину как сумму достаточно большого числа других случайных величин, то данная величина обычно подчиняется нормальному закону распределения. Суммируемые случайные величины могут подчиняться каким угодно распределениям, но при этом должно выполняться условие их независимости. Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности: f(x) = Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса. Параметры   и , входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины Х. График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса. Нормальная кривая обладает следующими свойствами:Областью определения функции f(x) является вся числовая ось. При всех х функция распределения принимает только положительные значения.3) Предел функции f(x) при неограниченном возрастании |х| равен нулю, т. е. ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика функции. 4) Функция является симметричной относительно прямой х = , т.к. разность (х – )  входит в функцию плотности распределения в квадрате. 5) Функция f{x) имеет в точке х =   максимум, равныйНормальная кривая имеет колоколообразную форму. Эта форма является отличительной чертой нормального распределения.

Приложенные файлы

  • ppt 8931052
    Размер файла: 527 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий