Элементы кристаллографии. Пособие.PDF


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Арисова В. Н.

Слаутин О.В



ЭЛЕМЕНТЫ
СТРУКТУРНОЙ
КРИСТАЛЛОГРАФИИ



УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ




ВОЛГОГРАД 2007


ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ



В. Н. Арисова, О. В. Слаутин


ЭЛЕМЕНТЫ СТРУКТУРНОЙ

КРИСТАЛЛОГ
РАФИИ



Учебное пособие





РПК

«Политехник»

Волгоград

2007

УДК 548. 4


Рецензенты:

лаборатория службы технического надзора за оборудованием

«ЛУКОЙЛ
-
Волгограднефтепереработка», начальник лаборатории,

канд. техн. наук
Н.И.Теплова
;

доктор технических наук,
профессор Волгоградского государственного
архитектурно
-
строительного университета, Заслуженный деятель науки и
техники РФ
В. Д. Орешкин.


Печатается по решению редакционно
-
издательского совета
Волгоградского государственного технического университета


Арис
ова, В.Н. Элементы структурной кристаллографии: учеб.пособие/

В. Н. Арисова, О.В. Слаутин.


ВолгГТУ.


Волгоград. 2007.


94 с.

ISBN



Рассмотрены теоретические вопросы структурной
кристаллографии: параметры и типы пространственных решеток
кристаллических

материалов, кристаллографические индексы плоскостей
и направлений, построение их проекций, элементы симметрии
континуума и дисконтинуума.

Предназначено для студентов специальности 121000 (150502)
«Конструирование и производство изделий из композиционных
м
атериалов» при изучении дисциплины «Структура и свойства
композиционных материалов».

Ил. . Табл. . Библиогр.: назв.


ISBN

© Волгоградский государственный
технический

университет, 2007



Составители: Вера Николаевна Арисова


Олег Викторович Слаутин



Элементы структурной кристаллографии


Учебное пособие


Авторская редакция

Темплан 2007, позиция №

Подписано в пе
чать . Формат 60х84 1/16

Бумага газетная. Печать офсетная. Гарнитура
Times
.

Усл.печ.л. . Тираж 150 экз. Заказ .

Тираж 150 экз. Заказ .




Волгоградский государственный технический университет.

400131 Волгоград, просп. им. В.И
. Ленина, 28.




РПК «Политехник» Волгоградского государственного технического
университета.

400131 Волгоград, ул.Советская, 35.


СОДЕРЖАНИЕ:


Введение

................................
................................
................................
..............

6

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
№1 АНАЛИЗ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РЕШ
ЕТОК

................................
........................

8

1. 1. Понятие о простра
нственной решетке и

................................
..............

8

элементарной ячейке

................................
................................
......................

8

1.2. ПРАВИЛА ВЫБОРА
ЭЛЕМЕН
ТАРНОЙ ЯЧЕЙКИ

................

9

1.3. ПРИМИТИВНЫЕ И С
ЛОЖНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
ЯЧЕЙКИ

................................
................................
................................
.......

11

1.4.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЯЧЕЙКИ
БРАВЕ

................................
..................

13

1.5. ПОНЯТИЕ О КООРД
ИНАЦИОННОМ ЧИСЛЕ

......................

17

1.6. ПРОСТРАНСТВЕННЫ
Е РЕШЕТКИ МЕТАЛЛОВ

................

18

1.7. ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕ
НИЯ НА ЛАБОРАТОРНОМ
ЗАНЯТИИ

................................
................................
................................
....

19

1.8. ПРИМЕР РАБОТЫ С

МОДЕЛЯМИ КРИСТАЛЛИЧЕ
СКИХ
СТРУКТУР. АНАЛИЗ СТР
УКТУРЫ ХЛОРИСТОГО ЦЕ
ЗИЯ.

.

20

1. 9. ЗАДАНИЕ ДЛЯ СА
МОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

.............

22

1.10. КОНТРОЛЬНЫЕ ВО
ПРОСЫ

................................
......................

22

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
№ 2
КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИ
Е
ИНДЕКСЫ

................................
................................
................................
.......

23

2.1. КРИСТАЛЛОГРАФИЧ
ЕСКИЕ ИНДЕКСЫ ПЛОСКО
СТИ

.

23

2.2. ОСОБЕ
ННОСТИ ИНДИЦИРОВАНИЯ

В ГЕКСАГОНАЛЬНОЙ
СИНГОНИИ

................................
................................
................................
..

29

2.3. КРИСТАЛЛОГРАФИЧ
ЕСКИЕ ИНДЕКСЫ УЗЛА

.................

31

2.4. Кристаллографические индексы направления

................................
...

32

2.4.1. Порядок нахождения индексов направления

...............................

33

2.4.2. ПОРЯДОК ПОСТР
ОЕНИЯ НАПРАВЛЕНИЯ ПО

ИЗВЕСТНЫМ ИНДЕКСАМ

................................
................................
...

34

2.5. УСЛОВИЯ ТИПОВЫХ

ЗАДАЧ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НА

ЛАБОРАТ
ОРНОМ ЗАНЯТИИ

................................
................................
...

35

2.6. Задание для самостоятельной работы (табл. 2.2).

...............

36

2.7. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОП
РОСЫ

................................
........................

38

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
№ 3
ЛИНЕЙНЫЕ И УГЛОВЫЕ
СООТНОШЕНИЯ В ПРОСТР
АНСТВЕННОЙ РЕШЕТКЕ

...

38

3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕЖ
ПЛОСКОСТНОГО РАССТОЯ
НИЯ

38

3.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛ
А МЕЖДУ НАПРАВЛЕНИЯМ
И,

......

41

ПЛОСКОСТЯМИ, ПЛОСКОС
ТЬЮ И ПРЯМОЙ.

...........................

41

3.3. ПОНЯТИЕ О КРИСТ
АЛЛОГРАФИЧЕСКОЙ ЗОНЕ

И УСЛОВИИ
ЗОНАЛЬ
НОСТИ

................................
................................
..........................

43

3.4. УСЛОВИЯ ТИПОВЫХ

ЗАДАЧ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НА

ЛАБОРАТОРНОМ ЗАНЯТИИ
................................
................................
.....

46

3.5. ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМ
ОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

...............

47

3.6. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОП
РОСЫ:

................................
..............................

49

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
№ 4КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕС
КИЕ
ПРОЕКЦИИ

................................
................................
................................
.....

49

4.1. ПОНЯТИЕ О КРИСТ
АЛЛИЧЕСКОМ И ПОЛЯРНО
М
КОМПЛЕКСЕ

................................
................................
.............................

50

4.2. ПОНЯТИЕ О СТЕРЕ
ОГРАФИЧЕСКОЙ И
ГНОМОСТЕРЕОГРАФИЧЕСК
ОЙ ПРОЕКЦИИ И ЕЕ
ПОСТРОЕНИИ.
................................
................................
............................

51

4.3. ПОСТРОЕНИЕ СТЕР
ЕОГРАФИЧ
ЕСКОЙ ПРОЕКЦИИ
НАПРАВЛЕНИЯ

................................
................................
.......................

52

4.4. ПОСТРОЕНИЕ СТЕР
ЕОГРАФИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦ
ИИ
ПЛОСКОСТИ

................................
................................
.............................

53

4.5. СВОЙСТВА СТЕРЕО
ГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ

...........

57

4.6. СЕТКА ВУЛЬФА

................................
................................
..............

57

4.7. СВЯЗЬ МЕЖДУ СФЕ
РИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ
И И
КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИМ
И ИНДЕКСАМИ ПЛОСКОСТ
И

60

4.8. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ

ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СЕТК
И
ВУЛЬФА

................................
................................
................................
......

60

4.9. УСЛОВИЯ ТИПОВЫХ

ЗАДАЧ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НА

ЛАБОРАТОРНОМ ЗАНЯТИИ

................................
................................
..

66

4.9. ЗАДАНИЕ Д
ЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНЕЙ Р
АБОТЫ

...............

68

4.10.
Контрольные вопросы:

................................
................................
..

69

ЛАБОРАТОРНА
Я РАБОТА № 5
СИММЕТРИЯ
КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МНОГ
ОГРАННИКОВ (СИММЕТРИ
Я
КОНТИНУУМА)

................................
................................
..............................

71

5.1. ПОНЯТИЕ О СИММЕ
ТРИИ

................................
.........................

71

5.2. ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТ
РИИ

................................
................................

73

5.3. ПОНЯТИЕ О КЛАСС
Е СИММЕТРИИ

................................
......

80

5.4. СВЯЗЬ МЕЖДУ ПРО
СТРАНСТВЕННОЙ РЕШЕТК
ОЙ И
ЭЛЕМЕНТАМИ СИММЕТРИИ

................................
................................
...

81

5.5. ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМ
ОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

...............

86

5.6. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОП
РОСЫ:

................................
.......................

87

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
№ 6
СИММЕТРИЯ СТРУКТУРЫ
КРИСТАЛЛОВ

(СИММЕТ
РИЯ ДИСКОНТИНУУМА)

..............................

88

6.1. ПОНЯТИЕ О СИММЕ
ТРИИ ДИСКОНТИНУУМА И

ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ГРУ
ППЕ

................................
..............................

88

6.2. ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТ
РИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ

РЕШЕТОК

................................
................................
................................
...

89

6.3. ОБОЗНАЧЕНИЕ ПРО
СТРАНСТВЕННОЙ ГРУППЫ

СИММЕТРИИ

................................
................................
............................

92

6.4. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ
ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

................................

94

6.5. ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМ
ОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

...............

99

6.6. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОП
РОСЫ

................................
.............................

100

Список литературы

................................
................................
....................

100


Введение


Большинство современных конструкци
онных материалов, в том
числе и композиционных


это кристаллические вещества. Кристалл
представляет собой совокупность правильно расположенных атомов,
образующих закономерную структуру, возникшую самопроизвольно из
окружающей его неупорядоченной среды.
Пр
ичиной, вызывающей
симметричное расположение атомов является стремление кристалла к
минимуму свободной энергии. Кристаллизация (возникновение порядка из
хаоса, то есть из раствора, пара) происходит с такой же неизбежностью, как,
например, процесс падения т
ел. В свою очередь минимум свободной
энергии достигается при наименьшей доле поверхностных атомов в
структуре, поэтому внешним проявлением правильного внутреннего
атомного строения кристаллических тел является огранение кристаллов. В
1669 г. датский ученый

Н. Стенон обнаружил закон постоянства углов: углы
между соответствующими гранями кристалла постоянны и характерны для
данного вещества. Любое твердое тело состоит из взаимодействующих
частиц. Этими частицами, в зависимости от природы вещества, могут быть
отдельные атомы, группы атомов, молекулы, ионы и т.п. Соответственно
связь между ними бывает: атомная (ковалентная), молекулярная (связь Ван


дер


Вальса), ионная (полярная) и металлическая.

В современной кристаллографии можно выделить четыре
направления
, которые в известной мере связаны одно с другим:

-

геометрическую кристаллографию, изучающую различные формы
кристаллов и законы их симметрии;

-

структурную кристаллографию и кристаллохимию, которые
изучают пространственное расположение атомов в кристалла
х и
зависимость его от химического состава и условий образования
кристаллов;

-

кристаллофизику, изучающую влияние внутреннего строения
кристаллов на их физические свойства;

-

физико
-
химическую кристаллографию, которая изучает вопросы
образования искусствен
ных кристаллов.

Интерес к отступлениям от правильного внутреннего строения
кристаллов, к разного рода дефектам кристаллической структуры,
которые оказывают решающее влияние на прочность, пластичность,
многие физические свойства и разнообразные процессы стр
уктурных
изменений в материалах, стал быстро возрастать, начиная с середины
тридцатых годов 20 века. Для материаловедения, при создании
композиционных материалов весьма важно то, что в настоящее время
экспериментально можно определять количество и располож
ение разного
типа дефектов кристаллической структуры непосредственно в
промышленных сплавах, изучать появление, перераспределение и
исчезновение этих дефектов при получении, обработке давлением,
термической обработке и эксплуатации изделий. Это не только п
озволяет
глубже понять поведение кристаллических материалов в разных условиях
обработки и эксплуатации, но и открывает новые возможности для
целенаправленного формирования оптимальной кристаллической
структуры с заданным количеством и распределением дефект
ов
структуры, которые обеспечивают требуемые свойства материалов.


ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
№1
АНАЛИЗ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РЕШ
ЕТОК


1. 1. Понятие о пространственной решетке и

элементарной ячейке


При изучении вопроса кристаллического строения тел прежде всего
необх
одимо иметь четкое представление о терминах: "пространственная
решетка" и "элементарная ячейка". Эти понятия используются не только в
кристаллографии, но и в целом ряде смежных наук для описания, как
расположены в пространстве материальные частицы в криста
ллических
телах.

Как известно, в кристаллических телах, в отличие
o
т аморфных,
материальные частиц» (атомы, молекулы, ионы) располагаются в
определенном порядке, на определенном расстоянии друг от друга.
Пространственная решетка



это схема, которая показы
вает
расположение материальных частиц в пространстве.

Пространственная решетка (рис. 1.1.) фактически состоит из
множества одинаковых параллелепипедов, которые целиком, без
промежутков, заполняют пространство. Материальные частицы обычно
располагаются в уз
лах решетки


точках пересечения ее ребер.

Элементарная ячейка



это наименьший параллелепипед, с
помощью которого можно построить всю пространственную решетку
путем непрерывных параллельных переносов (трансляций) в трех
направлениях пространства.

Вид элем
ентарной ячейки представлен на рис.1.2. Три вектора
,
,
, являющиеся ребрами элементарной ячейки, называют
векторами трансляции. Их абсолютная величина (
а
,
в
,
с

)


это периоды
решетки, или осевые единицы. Вводят в рассмотрение и углы между
векторами тр
ансляций


α

( между векторами
,
),
β

(между
,
) и
γ

(между
,
). Таким образом, элементарную ячейку определяют шесть
величин: три значения периодов (
а, в,
c

) и три значения углов между
ними (
α, β, γ

).




Рис. 1.1. Пространственная решетка




Рис. 1
.2. Элементарная ячейка


1.2. ПРАВИЛА ВЫБОРА
ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ЯЧЕЙКИ


При изучении представлений об элементарной ячейке следует
обратить внимание на то, что величину и направление трансляций в
пространственной решетке можно выбрать по
-
разному, поэтому форма и
размеры элементарной ячейки будут различны. На рис. 1.3 рассмотрен
двумерный случай. Показана плоская сетка решетки и разные способы
выбора плоской элементарной ячейки.



Рис. 1. 3. Способы выбора элементарной ячейки


В середине
XIX

в. французский кристал
лограф О. Браве предложил
следующие условия выбора элементарной ячейки:

1) симметрия элементарной ячейки должна соответствовать
симметрии пространственной решетки;

2) число равных ребер и равных углов между ребрами должно быть
максимальным;

3) при наличии

прямых углов между ребрами их число должно быть
максимальным;

4) при соблюдении этих трех условий объем элементарной ячейки
должен быть минимальным.


На основании этих правил Браве доказал, что существует только 14
типов элементарных ячеек, которые получи
ли название трансляционных,
поскольку строятся они путем трансляции


переноса. Эти решетки
отличаются друг от друга величиной и направлением трансляций, а
отсюда вытекает различие в форме элементарной ячейки и в числе узлов с
материальными частицами.

1.3
. ПРИМИТИВНЫЕ И СЛОЖ
НЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
ЯЧЕЙКИ

По числу узлов с материальными частицами элементарные ячейки
подразделяется на примитивные и сложные. В примитивных ячейках
Браве материальные частицы находятся только в вершинах, в сложных


в вершинах и дополн
ительно внутри или на поверхности ячейки. К числу
сложных ячеек относятся объемноцентрированная
I

,
гранецентрированная
F

и базоцентрированная
С
. На рис.1.4 показаны
элементарные ячейки Браве.

В элементарной ячейке узел с материальной частицей, расположен
ный
в вершине, принадлежит одновременно восьми соприкасающимся ячейкам;
данной ячейке он приходится лишь 1/8 частью. Поэтому, на объем
примитивной ячейки Браве, где таких вершин 8, приходится 1 узел (1/8


8
= 1).


а


б


в


г



Рис. 1.4. Элементарные

ячейки Браве: а


примитивная, б


базоцентрированная, в


объемноцентрированная, г


гранецентрированная


В объемноцентрированной ячейке имеется дополнительный узел в
центре ячейки, принадлежащий только данной ячейке, поэтому здесь
имеется два узла (1/8


8  1  2). В гранецентрированной ячейке узлы с
материальными частицами находятся, кроме вершин ячейки, еще в
центрах всех шести граней. Такие узлы принадлежат одновременно двум
ячейкам: данной и другой, смежной с ней. На долю данной ячейки
каждый из так
их узлов принадлежит 1/2 часть. Поэтому в
гранецентрированной ячейке будет четыре узла (1/8


8 + 1/2


6 = 4).
Аналогично в базоцентрированной ячейке находятся 2 узла (1/8


8 + 1/2


2  2) с материальными частицами. Основные сведения об
элементарных яче
йках Браве приведены в табл. 1.1.

Примитивная ячейка Браве содержит трансляции
,
,
, только
вдоль координатных осей. В объемноцентрированной ячейке добавляется
еще трансляция вдоль пространственной диагонали
-

к узлу,
расположенному в центре ячейки. В гр
анецентрированной, кроме осевых
трансляций
,
,

имеются дополнительная трансляция вдоль
диагоналей граней, а в базоцентрированной


вдоль диагонали грани,
перпендикулярной оси
Z
.

Таблица 1.1

Основные сведения о примитивных и сложных ячейках Браве.

Тип р
ешетки Браве

Число
узлов

Основные трансляции

Базис

1. Примитивная
Р

1

,
,

[[
000
]]

2.

Объемноцентрированная
I

2

,
,
,

[[000
;
]]

3. Гранецентрированная
F

4

,
,
,
,
,

[[000
;
;
;
]]

4. Базоцентрированная
С

2

,
,
,

[[
000,
]]


Примитивная ячейка Б
раве содержит трансляции
,
,
, только
вдоль координатных осей. В объемноцентрированной ячейке добавляется
еще трансляция вдоль пространственной диагонали


к узлу,
расположенному в центре ячейки. В гранецентрированной, кроме осевых
трансляций
,
,
имеютс
я дополнительная трансляция вдоль
диагоналей граней, а в базоцентрированной


вдоль диагонали грани,
перпендикулярной оси
Z
.

Под базисом

понимают совокупность координат минимального числа
узлов, выраженную в осевых единицах, трансляцией которых можно
получ
ить всю пространственную решетку. Базис записывается в
сдвоенных квадратных скобках. Координаты базиса для различных типов
ячеек Браве приведены в табл.1.1.


1.4. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЯЧ
ЕЙКИ БРАВЕ


В зависимости от формы все ячейки Браве распределяются между
семью

кристаллическими системами (сингониями). Слово «сингония»
означает сходноугольность. Каждой сингонии соответствуют
определенные элементы симметрии. В табл.1.2 указаны соотношения
между периодами решетки
а, в, с

и осевыми углами α, β, γ для каждой
сингони
и.


Таблица 1.2

Характеристики сингоний кристаллов


На рис. 1.5 представлены все четырнадцать типов элементарных
ячеек Браве, распределенные по синг
ониям. Гексагональная ячейка Браве
представляет собой базоцентрированную шестигранную призму. Однако
очень часто ее изображают иначе


в виде четырехгранной призмы с
ромбом в основании, которая представляет одну из трех призм,
составляющих шестигранную (на

рис. 1.5 она представлена сплошными
линиями). Такое изображение проще и удобнее, хотя связано с
нарушением принципа соответствия симметрии (первый принцип выбора
элементарной ячейки по Браве).

Для ромбоэдрической сингонии элементарной ячейкой,
удовлетворя
ющим условиям Браве, является примитивный ромбоэдр
R
, у
которого
авс

и
α β γ ≠ 90
0
. Наряду с
R
-

ячейкой для описания
ромбоэдрических структур пользуются и гексагональной ячейкой,
поскольку ромбоэдрическую ячейку всегда можно свести к
Сингонии

Соотношения между периодами решетки и
углами

1.

Триклинная

а ≠ в ≠ с, α ≠ β ≠ γ ≠ 90
0

2.

Моноклинная

а ≠ в ≠ с, α  γ 90
0

≠ β

3.

Ромбическая

а ≠ в ≠ с, α  β  γ 90
0

4.

Тетрагональная

а  в

≠ с, α  β  γ 90
0

5.

Гексагональная

а  в ≠ с, α  β 90
0
, γ 120
0

6.

Ромбоэдрическая

а в  с, α  β γ ≠ 90
0

7.

Кубическая

а  в  с, α  β  γ  90
0

гексагональной (ри
с. 1.6) и представить ее как три примитивные
гексагональные ячейки. В связи с этим в литературе ромбоэдрическую
сингонию иногда отдельно не рассматривают, представляя, ее как
разновидность гексагональной.

Принято сингонии с одинаковыми соотношениями между
осевыми
единицами объединять в одну категории. Поэтому триклинную,
моноклинную и ромбическую сингонии объединяют в низшую категорию
(
а ≠ в ≠ с
), тетрагональную, гексагональную (и производную от нее
ромбоэдрическую)


в среднюю (
а  в ≠ с
), к высшей категор
ии (
а  в  с
)
относится кубическая сингония.









Рис. 1.5. 14 типов элементарных ячеек Браве





Рис. 1. 6. Три примитивные гексагональные ячейки, эквивалентные

ромбоэдрической


1.5. ПОНЯТИЕ О КООРД
ИНАЦИОННОМ ЧИСЛЕ


В сложных ячейках материальные ч
астицы уложены более плотно,
чем в примитивных, более полно заполняют объем ячейки, больше
связаны друг с другом. Для характеристики этого вводят понятие о
координационном числе
. Под координационным числом

данного атома
понимают число ближайших соседних а
томов. Если речь идет о
координационном числе иона, то подразумевается число ближайших к
нему ионов противоположного знака. Чем больше координационное
число, тем с большим числом атомов или ионов связан данный, тем
больше места занято частицами, тем компак
тнее решетка.


1.6. ПРОСТРАНСТВЕННЫ
Е РЕШЕТКИ МЕТАЛЛОВ


Наиболее распространенные среди металлов пространственные
решетки относительно просты. Они большей частью совпадают с
трансляционными решетками Браве: кубической объемноцентрированной
и гранецентрирова
нной. В узлах этих решеток располагаются атомы
металлов. В решетке объемноцентрированного куба (ОЦК
-

решетки)
каждый атом окружен восемью ближайшими соседями, и
координационное число КЧ  8. Решетку ОЦК имеют металлы:


-

Fe
,
Li
,
Na
,
K
,
V
,
Cr
,
Ta
,
W
,
Mo
,
Nb

и др. В решетке гранецентрированного куба
(ГЦК
-

решетки) КЧ  12: любой атом, расположенный в вершине ячейки
имеет двенадцать ближайших соседей, которыми является атомы,
находящиеся в центрах граней. Решетку ГЦК имеют металлы:
Al
,
Ni
,
Cu
,
Pd
,
Ag
,
I
r
,
Pt
,
Pb

и др.

Наряду с этими двумя, среди металлов (
Be
,
Mg
,
Sc
,


-

Ti
,


-

Co
,
Zn
,
Y
,
Zr
,
Re
,
Os
,
Tl
,
Cd

и др.) встречается еще гексагональная компактная.
Эта решетка не является трансляционной решеткой Браве, так как
простыми трансляциями ее нельзя оп
исать. На рис. 1.7 представлена
элементарная ячейка гексагональной компактной решетки.

Элементарная ячейка гексагональной компактной решетки
представляет собой шестигранную призму, однако чаще всего ее
изображают в виде четырехгранной призмы, основанием ко
торой
является ромб (
a
=
b
)
c

углом γ  120°. Атомы (рис. 1.7, б) расположены в
вершинах и в центре одной из двух трехгранных призм, образующих
элементарную ячейку. Ячейке принадлежат два атома: 1/8


8  1  2, ее
базис [[000;


]].

Отношение высоты эле
ментарной ячейки
c

к расстоянию
a
, т.е.
c
/
a
,
равно 1,633; сами же периоды
c

и
a


для разных веществ различны.

Каждый атом гексагональной компактной решетки окружен
двенадцатью ближайшими соседями: шестью в том же слое, тремя в
соседнем слое сверху и трем
я в соседнем слое снизу (рис. 1.7, а), то есть
КЧ  12.




а

б

Рис. 1.7. Гексагональная компактная решетка: а


шестигранная призма,

б


четырехгранная призма.


1.7. ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕ
НИЯ НА ЛАБОРАТОРНОМ
ЗАНЯТИИ


Разобравшись с представлениями о простран
ственной решетке и
элементарной ячейке, студенты приступают к анализу моделей
кристаллических структур. Для заданных моделей кристаллических
структур необходимо:

1. Зарисовать элементарную ячейку и определить ее сингонию.

2. Определить число материальных ч
астиц (атомов или молекул) в
элементарной ячейке.

3. Охарактеризовать тип элементарной ячейки Браве.

4. Записать базис ячейки.

5. Записать основные трансляции и показать их на рисунке.

6. Определить координационное число.


1.8. ПРИМЕР РАБОТЫ С

МОДЕЛЯМИ КРИ
СТАЛЛИЧЕСКИХ
СТРУКТУР. АНАЛИЗ СТР
УКТУРЫ ХЛОРИСТОГО ЦЕ
ЗИЯ.


Структура хлористого цезия s
l

изображена на рис. 1.8. Темными
шарами обозначены ионы хлора, светлыми


цезия.


Рис. 1.8. Структура хлористого цезия


1. Из равенства осевых единиц
a
=
b
=
c

и осевых
углов αβγ90°

следует, что сингония является кубической.

2. Определим число ионов цезия
Z
Cz

и хлора
Z
Cl

в элементарной

ячейке,
Z
Cz

 1/8 х 8  1, где 1/8
-

доля каждого иона цезия,

находящегося в вершине, в элементарной ячейке данной структуры;

8


числ
о таких ионов.

Z
Cl

 1, так как ион хлора полностью принадлежит данной ячейке.
Число ионов цезия равно числу ионов хлора. На одну элементарную
ячейку приходится одна молекула хлористого цезия.

3. Из рис. 1.8 очевидно, что ионы цезия образуют примитивную
яч
ейку Браве
Р
, ей соответствует
Z
Cz

 1. Чтобы определить, какую
ячейку образует ионы хлора, нужно рассмотреть и соседние ячейки.
Выделив в них ионы хлора, нетрудно видеть, что они также образуют
примитивную ячейку Браве
Р

, при этом
Z
Cl

= 1.

4. В структу
рах, состоящих из различных частиц, базис записывается
отдельно для каждого вида частиц. Поэтому запишем базис для ионов
цезия и ионов хлора. Поскольку ячейки ионов цезия к хлора
примитивные, в базисе должны быть указаны координаты одного иона.

Для иона хл
ора


[[


]], для иона цезия


[[000]].
Записывая базис, мы указываем координаты того иона, трансляцией
которого можно получить всю пространственную решетку: ион хлора
находится в центре ячейки; из ионов цезия, расположенных в вершинах
ячейки, удо
бно выбирать тот, который находится в начале координат.

5. Основные трансляции для ионов цезия


,
,
. Они присущи

примитивной ячейке Браве. Перемещая любой из ионов цезия (например,
расположенный в начале координат) на величины
,
,
, мы получим
все

другие ионы цезия в пространственной решетке, расположенные в
вершинах ячеек. Для ионов хлора трансляция те же.

6. В структуре хлористого цезия каждый ион хлора окружен восемью

ионами цезия, расположенными в вершинах ячейки. Число ближайших

ионов хлора к
каждому иону цезия также равно восьми. Чтобы в этом

убедиться, надо рассмотреть все восемь соседних ячеек, в которых

участвует каждый ион цезия. Поэтому КЧ
С
z

по
Cl

 8 и КЧ
С
l

по
Cz

= 8.













1. 9. ЗАДАНИЕ ДЛЯ СА
МОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ



Проанализирова
ть модели кристаллических структур меди,
вольфрама, α
-
Ti
,
NaCl

и записать ответы на вопросы 1


6 (п. 1. 7).





1.10. КОНТРОЛЬНЫЕ ВО
ПРОСЫ


1. Что такое пространственная решетка, элементарная ячейка, каковы
правила выбора элементарной ячейки?

2. Классифик
ация пространственных решеток по числу
материальных частиц, по форме (соотношение между осевыми единицами
и углами).

3. Понятие о базисе решетки.

4. Координационное число и методика его вычисления в различных
структурах (состоящих из атомов одного сорта, и
з различных атомов).

5. Какие пространственные решетки встречаются среди металлов?



ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
№ 2
КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ

ИНДЕКСЫ


2.1. КРИСТАЛЛОГРАФИЧ
ЕСКИЕ ИНДЕКСЫ ПЛОСКО
СТИ


В кристаллографии часто приходится описывать взаимное
расположение отде
льных плоскостей кристалла, его направлений, для
чего удобно пользоваться кристаллографическими индексами.
Кристаллографические индексы дают представление о расположении
плоскости или направления относительно системы координат. При этом
не имеет значения,
прямоугольная или косоугольная система координат,
одинаковые или разные масштабные отрезки по координатным осям.

Представим себе ряд параллельных плоскостей, проходящих через
одинаковые узлы пространственной решетки. Эти плоскости
расположены на одинаковом

расстоянии друг от друга и составляют
семейство параллельных плоскостей (рис. 2.1).




Рис. 2.1. К определению кристаллографических индексов

семейства параллельных плоскостей


Они одинаково ориентированы в пространстве и потому
характеризуются одинаковы
ми индексами. Выберем из этого семейства
какую
-
либо плоскость и

введем в рассмотрение отрезки, которые
плоскость отсекает по координатным осям (координатные оси
x
,
y
,
z

обычно совмещают с ребрами элементарной ячейки, масштаб по каждой
оси равняется соотве
тствующей осевой единице


периоду
a
,
ИЛИ
b
, или
c
). Величины отрезков выражают
в
осевых единицах.
Кристаллографические индексы плоскости



это три
наименьших
целых числа, которые обратно пропорциональны числу осевых единиц,
отсекаемых плоскостью
на
коорд
инатных
осях
.

Индексы плоскости обозначаются буквами
h
,
k
,
l
,
записываются
подряд и заключаются в круглые скобки


(
hkl

).

Для семейства параллельных плоскостей (рис. 2.1) имеем (табл. 2.1):


Таблица 2.1

Определение индексов плоскостей по отсекаемым отре
зкам

Номер
Отрезки по осям

Отношение
Индексы
плоскости

x

y

Z

индексов

плоскости

1





2 : 3 : 0

(230)

2

1




1 :
: 0

(230)

3


1



: 1 : 0

(230)

4

2




:
: 0

(230)


Индексами (
hkl
) характеризуются все плоскости семейства
параллельных плоско
стей. Этот символ означает, что семейство
параллельных плоскостей рассекает осевую единицу вдоль оси
x

на
h

частей, вдоль оси

y

на
k

частей и вдоль оси
z

на
l

частей. При этом
плоскость ближайшая к началу координат, отсекает на координатных
осях отрезки
1/
h

(по оси
x
),
1/
k

(по оси
y
),
1/
l

(по оси
z
).

Порядок нахождения кристаллографических индексов плоскости.

1. Находим отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях
,
измеряя их в осевых единицах.

2. Берем обратные значения этих величин.

3. Приводим

отношение полученных чисел к отношению трех
наименьших целых чисел.

4. Полученные три числа заключаем в круглые скобки.

Пример.
Найти индексы плоскости, которая отсекает на
координатных осях следующие отрезки:

;
;
.

Поскольку длины отрезков выражены в

осевых единицах, имеем

;
;
.

Находим обратные значения и берем их отношение

h

:
k

:
l

= 2 : 4 : 4.

Сократив на два, приведем отношение полученных величин к
отношению трех целых наименьших чисел:

h

:
k

:
l

= 1 : 2 : 2.

Индексы плоскости записываем в к
руглых скобках подряд, без
запятых


(122). Они читаются порознь



"один, два, два".

Если плоскость пересекает кристаллографическую ось в отрицательном
направлении, над соответствующим индексом сверху ставится знак "минус".

Если плоскость параллельна како
й
-
либо координатной оси, то в
символе плоскости индекс, соответствующий этой оси, равен нулю.
Например, символ
(
hko
)
означает, что плоскость пересекается с осью
z

в
бесконечности и индекс плоскости по этой оси будет 1/∞  0.

Плоскости, отсекающие на каждой

оси по равному числу осевых
единиц, обозначаются как (111). В кубической сингонии их называют
плоскостями октаэдра, т. к. система этих плоскостей, равноотстоящих от
начала координат, образует восьмигранник


октаэдр

(рис. 2.2).

Плоскости, отсекающие по дв
ум осям равное число осевых единиц и
параллельные третьей оси (например, оси
z
) обозначаются (110). В
кубической сингонии подобные плоскости называют плоскостями
ромбического додекаэдра, так как система плоскостей типа (110) образует
двенадцатигранник (дод
ека


двенадцать), каждая грань которого



ромб

(рис. 2.3).

Плоскости, пересекающие одну ось и параллельные двум другим
(например, осям
y

и
z
), обозначают


(100) и называют в кубической
сингонии плоскостями куба, то есть система подобных плоскостей
образ
ует
куб
.

При решений различных задач, связанных с построением в
элементарной ячейке плоскостей, систему координат целесообразно
выбрать так,
чтобы иск
омая
плоскость располагалась в заданной
элементарной ячейке.
Например, при построении плоскости (
11) в
ку
бической ячейке начало
координат удобно перенести из узла
О

в узел
О’

(рис

2.4).



Рис. 2.2. Октаэдр




Рис. 2.3. Ромбический додекаэдр




Рис. 2.4 Плоскость (211)

Иногда индексы плоскости записывают в фигурных скобках
{
hkl
}
.
Эта запись означает симв
ол совокупности идентичных плоскостей. Такие
плоскости проходят через одинаковые узлы в пространственной решетке,
симметрично расположены в пространстве и характеризуются
одинаковым межплоскостным расстоянием (понятие о межплоскостном
расстоянии рассматрив
ается в следующей теме). Плоскости октаэдра в
кубической сингонии принадлежат к одной совокупности {111}, они
представляют грани октаэдра и имеют следующие индексы:
{111} →

(111), (
11), (1
1), (11
), (
1), (
1
), (1
), (
). Символы всех
плоскостей сов
окупности находят путем перестановки
местами

и
изменения знаков отдельных индексов. Для плоскостей ромбического
додекаэдра обозначение совокупности:
{110}
→ (110), (
10), (1
0),
(
0), (101), (
01), (10
), (
0
), (011), (0
1), (01
), (0
).

2.2. ОСОБЕННОС
ТИ ИНДИЦИРОВАНИЯ В Г
ЕКСАГОНАЛЬНОЙ
СИНГОНИИ


В гексагональной сингонии индицирование

плоскостей имеет
некоторые особенности. Рассмотрим боковые плоскости шестигранной
призмы (рис. 2.5). Они принадлежат одной совокупности идентичных
плоскостей. Однако по инд
ексам отдельных плоскостей невидно, что это
идентичные плоскости. Например, передняя грань имеет индексы (100),
боковая левая (1
0) и т. д. В связи с этим для гексагональной
сингонии

рассматривается система координат из четырех осей: вертикальной
z

и
трех
горизонтальных
х
,
y
,
t
,
параллельных ребрам оснований и
составляющих друг с другом угол 120
°

(рис. 2.6). Любая плоскость
характеризуется четырьмя индексами
(
hkil
), где третий индекс
i

соответствует оси

t
. Индекс
i

не является независимым,
i
=
-
(
h
+
k
)
, он
опре
деляется значениями
h

и
k
.

Индексом
i

часто пренебрегают и ставят
на третьем месте в символе плоскости точку:
(
hkl
).

В новой системе координат индексы рассматриваемых боковых
граней шестигранной призмы будут, соответственно, (10
0) и (1
00).
Индексы указыв
ают, что плоскости принадлежат к одной совокупности, и
их индексы можно получить перестановкой и переменой знака первых
трех индексов. Все
они
параллельны оси
z
.
{1100}
→ (
100), (1
00),
(10
0), (
010), (01
0), (0
10).




Рис. 2.5. Некоторые плоскости гек
сагональной решетки



Рис. 2.6. Система координат в гексагональной сингонии


2.3. КРИСТАЛЛОГРАФИЧ
ЕСКИЕ ИНДЕКСЫ УЗЛА


Кристаллографические индексы узла


это его координаты, взятые в
долях осевых единиц и записанные в сдвоенных квадратных скобках. При
этом

координата, соответствующая оси
x
,
обозначается в общем виде
буквой
u
, для оси
y



v
, для оси
z




w
. Символ узла имеет вид
[[
uvw
]]
.
Символы некоторых узлов в элементарной ячейке показаны на рис. 2.7.



Рис. 2.7. Некоторые узлы в элементарной ячейке


2.
4. Кристаллографические индексы направления


В кристалле, где все параллельные направления идентичны друг
другу, направление, проходящее через начало координат, характеризует
все данное семейство параллельных направлений. Положение в
пространстве направлен
ия, проходящего через начало координат,
определяется координатами любого узла, лежащего на этом направлении.
Координаты любого узла, принадлежащего направлению, выраженные в
долях осевых единиц и приведенные к отношению трех целых
наименьших чисел, и есть
кристаллографические индексы направления.
Они обозначаются целыми числам

U
,
V
,
W

и записываются слитно в квадратных скобках
[
UVW
]
.


2.4.1. Порядок нахождения индексов направления


1. Из семейства параллельных направлений выбрать такое, которое
про
ходит че
рез начало координат, или перенести данное направление
параллельно самому себе в начало координат, или перенести начало
координат в узел, лежащий на данном направлении.

2. Найти координаты любого узла, принадлежащего данному
направлению,
выразив их в осевы
х единицах.

3. Взять отношение координат узла и привести его к отношению
трех
целых наименьших чисел.

4. Полученные три числа заключить в квадратные скобки.

Важнейшие направления в кубической решетке и их индексы
представле
ны на рис. 2.8.




Рис. 2.8. Нек
оторые направления в кубической решетке


2.4.2. ПОРЯДОК ПОСТР
ОЕНИЯ НАПРАВЛЕНИЯ ПО

ИЗВЕСТНЫМ ИНДЕКСАМ


Для того, чтобы построить в элементарной ячейке направление с
индексами
[
UVW
]
, нужно:

1)

Найти положение характерного узла
[[
UVW
]]
, через который
должно прох
одить направление. При этом следует иметь в виду, что
индексы направления не обязательно численно равны координатам узла.
Они должны быть им прямо пропорциональны. Например, если
проводится направление с индексами [12
], то необязательно строить
узел с инд
ексами [[12
]]. Такой узел находится за пределами
элементарной ячейки, поэтому можно взять в качестве характерного узла
следующий: [[
1
]] (рис. 2.8).

2)

Из начала координат в характерный узел
[[
UVW
]]

провести

прямую,


это и есть искомое направление
[
UVW
]
.

В кристаллографии рассматривается представление о совокупности
идентичных направлений. Это направления, которые проходят через
аналогичные узлы, характеризуются одинаковой плотностью
расположения частиц и симметрично расположены в пространстве.
Совокупност
ь идентичных направлений обозначают индексами одного из
направлений и заключают в ломаные скобки. Например, совокупность
ребер куба может обозначаться <100>, она содержит шесть направлений

<100> →
[100], [010], [001], [
00], [0
0], [00
].



2.5. УСЛОВИЯ Т
ИПОВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ РЕШ
ЕНИЯ НА
ЛАБОРАТОРНОМ ЗАНЯТИИ


1)

Найти индексы плоскости, которая отсекает на
координатных осях
следующие отрезки:

1; 2; 3

1; ∞; 2

; ∞;
-

-
;
;

2)

Показать в ячейке кубической сингонии расположение плоскостей

куба, октаэдра, ромбическ
ого додекаэдра и записать их индексы.

3)

Показать в ячейке кубической сингонии расположение

следующих плоскостей:

(1
0) (211)

(11
) (021)

4) Показать в ячейке гексагональной системы расположение

следующих плоскостей:

(0001)

(10.0)

(11
0)

(1
.1)

5)

Определить индексы следующих направлений в кубической решетке:




ребер;




диагоналей граней;




пространственных диагоналей.

6) Показать в ячейке кубической системы расположение следующих
направлений:

[112]

[231]


2.6. Задание для самостоятельной работы

(табл. 2.2).


1)


Найти индексы плоскости, отсекающей по координатный осям
заданные
отрезки. Построить положение плоскости в кубической
ячейке.

2)


Построить
плоскость с

заданными индексами в кубической ячейке.

3) Построить направление с заданными индексами а к
убической ячейке.

4)

Построить плоскость с заданными индексами в ячейке
гексагональной сингонии.




Варианты условий задач для самостоятельной работы

Таблица 2.2




2.7. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОП
РОСЫ


При изучении материала обратить внимание на следующие вопросы:

1
. Кристаллографические индексы плоскости, узла, направления.

2. Порядок нахождения кристаллографических индексов.

3. Особенности индицирования в гексагональной сингонии.



ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
№ 3
ЛИНЕЙНЫЕ И УГЛОВЫЕ

СООТНОШЕНИЯ В ПРОСТР
АНСТВЕННОЙ
РЕШЕТКЕ


П
ри решении ряда задач в кристаллографии, рентгеноструктурном
анализе и других науках приходится вычислять межплоскостные
расстояния, узлы между отдельными плоскостями,
кристаллографическими направлениями, углы между прямой и плоскостью
и т.п. В данной теме

рассматриваются основные формулы и приемы
определения подобных величин.


3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕЖ
ПЛОСКОСТНОГО РАССТОЯ
НИЯ


Любое семейство параллельных плоскостей имеет определенные
кристаллографические индексы
(
hkl
)

и характеризуется определенным
межплоскостн
ым расстоянием
d
.
Под
межплоскостным расстоянием

понимают кратчайшее расстояние между двумя соседними
параллельными плоскостями данного семейства параллельных
плоскостей.

Между индексами
(
hkl
)

семейства параллельных плоскостей, его
межплоскостным расстояни
ем и периодами решетки существует
математическая связь. Формула, показывающая зависимость между этими
величинами, получила название квадратичной формы. Вид квадратичной
формы различен в разных сингониях. Для ортогональных сингоний
(осевые углы прямые) квад
ратичные формы имеют следующий вид:

кубическая сингония

=

(3.1),

тетрагональная сингония

=

+

(3.2),

ромбическая сингония

=

+

+

(3.3).

Из формул видно, что чем больше индексы плоскости, т
ем меньше
межплоскостное расстояние для данного семейства плоскостей.

Межплоскостное расстояние является важнейшим признаком
кристаллографически идентичных плоскостей. Пользуясь выражением
квадратичной формы, можно проверить, принадлежит ли какая
-
то
плоско
сть к данной совокупности идентичных плоскостей, так как у всех
плоскостей, принадлежащих к одной совокупности, должно быть
одинаковое межплоскостное расстояние.

Например, в кубической сингонии плоскость с индексами (310)
будет принадлежать к совокупности
{103}, так как для всех плоскостей
этой совокупности межплоскостное расстояние одинаково:


=
;
.

В тетрагональной сингонии рассматриваемая
плоскость

не будет
принадлежать
к совокупности {103}, поскольку для плоскостей
совокупности {103}


=
+
,

а для
плоскости (310)



=
.

Количество кристаллографически идентичных плоскостей равно
числу возможных перестановок местами и знаками индексов, входящих в
данную совокупность, без изменения величины межплоскостного
расстояния. Кристаллографически идентичные пл
оскости симметрично
расположены в пространстве.

В качестве примера рассмотрим двенадцать плоскостей
ромбического
додекаэдра в кубической решетке:


{110} → (110),
(101), (011), (
10), (1
0), (
0), (
01), (10
),
(
0
), (0
1), (01
), (0
). Вс
e

эти плоскости

симметрично
расположены

в пространстве, образуя грани многогранника на рис. 11,
харак
теризуются одинаковым межплоскостным расстоянием

и
кристаллографически
идентичны, входят в одну совокупность, В случае
не тетрагональной
сингонии они разбиваются на две

совокупности с
разным
межплоскостным расстоянием. Для совокупности {110}
межплоскостное расстояние
, в нее входят четыре плоскости (110),
(
10), (1
0),

(
0).
Вторая совокупность
{110}
объединяет восемь
плоскост
ей

(101), (011), (
01
), (10
),
(
0
),
(0
1
), (01
), (0
), для
нее
межплоскостное расстояние имеет другое значение:

=
+
.

Количество плоскостей в совокупности принято обозначать буквой
Р
. В
кубической
СИНГОНИИ
Р
{110}

12. В тетрагональной сингонии


Р
{110}

 4 И
Р
{101}

= 8.

В ромбической синго
нии, где

=
+
+
,
данная
сово
купность {110} разобьется уже на три:

1) совокупность {110}; для нее квадратичная форма имеет вид:


=
+
; {110} → (110), (1
0), (
10), (
0)
; Р  4
;


2) совокупность
{101}
; для нее квадратичная форма

=
+
;

{101} →

(101), (
01), (10
), (
0
);

Р
= 4;

3)
совокупность {011}; для нее

=
+
;


{011} → (011), (0
1), (01
), (0
);

Р
= 4.

Наибольшее значение
Р

имеет в кубической сингонии и составляет
48


для случая, когда все индексы
hkl

разные числа и не равны нулю.


3.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛ
А МЕЖДУ НАПРАВЛЕНИЯМ
И,


ПЛОСКОСТЯМИ, ПЛОСКОС
ТЬЮ И ПРЯМОЙ.


Исходя из кристаллографических индексов, можно зачислить углы
между направлениями в пространственной решетке, между плоскостями,
между направлением и плоскостью, не прибегая к
графическим
построениям. Наиболее простой вид имеет формулы в случае кубической
сингонии.

Если

через φ обозначить угол между двумя какими
-
то
направлениями, то в кубической сингонии


(3.4),

где
[
U
1
V
1
W
1
]

и
[
U
2
V
2
W
2
]



кристаллографические
индексы н
аправлений.

Если направления взаимно перпендикулярны (φ  90
°
), то

U
1
U
2

+
V
1
V
2

+
W
1
W
2

=
0 (3.5).

Это уравнение представляет условие перпендикулярности двух
направлений в кубической решетке.

Угол ψ между плоскостями с индексами
(
h
1
k
1
l
1
)

и
(
h
2
k
2
l
2
)

в


кубической сингонии вычисляется по аналогичной формуле:


(3.6).

Условие перпендикулярности двух плоскостей в кубической
сингонии:

h
1
h
2

+
k
1
k
2

+
l
1
l
2

=

0 (3.7).

Угол между направлением и плоскостью выч
исляем следующим
образом.

В кубической сингонии используется формула:


(3.8),

где
(
hkl
)

-

кристаллографические индексы плоскости;

[
uvw
]



кристаллографические индексы направления; δ


угол
между направлением
[
uvw
]

и нормалью к плоскос
ти
(
hkl
)
, (рис. 3.1).



Рис. 3.1. К вычислению угла между направлением и плоскостью


Если прямая и плоскость перпендикулярны: ( ε  90°, δ  0), то


и уравнение (3.8) превращается в тождество. Числитель и
знаменатель
тождественно при условии

,
,


(3.9).

Соотношение (3.9) рассматривается как условие перпендикулярности

прямой к плоскости: индексы взаимоперпендикулярных направления и
плоскости в кубической сингонии одинаковы.

Если прямая и плоскость пара
ллельны ( ε  0, δ  90°), то


(3.10)

Формулы для нахождения углов в других сингониях можно найти в

учебной литературе по кристаллографии.


3.3. ПОНЯТИЕ О КРИСТ
АЛЛОГРАФИЧЕСКОЙ ЗОНЕ

И УСЛОВИИ
ЗОНАЛЬНОСТИ


Понятие о кристаллографической зоне применяется в
кристаллографии, в рентгеноструктурном анализе.

Под кристаллографической зоной понимают серию плоскостей,
параллельных какому
-
то направлению
[
uvw
]

в решетке, а само
направление называют осью зоны. На рис. 3
.2 показано несколько
плоскостей, принадлежащих к одной зоне, осью которой является
направление [001]:



Рис. 3.2. Зона [001]


Условие, параллельности прямой и плоскости (3.10
)

применительно к
зоне плоскостей, характеризует принадлежность какой
-
либо плоск
ости и
индексами
(
hkl
)

к зоне с осью зоны
[
uvw
]
. Для того чтобы проверить
принадлежит ли какая
-
то плоскость к рассматриваемой зоне плоскостей,
нужно индексы этой плоскости подставить в уравнение (3.10) и убедиться
в том, что ее индексы удовлетворяют этому
уравнению. Поэтому
уравнение (3.10) применительно к зоне плоскостей получило название
условия зональности.

Пример.

Проверить, что плоскость

принадлежит к зоне [001]
представленной на рис. 3.2.

Проверку можно провести, не прибегая к построению положения
п
лоскости в ячейке. С этой целью индексы плоскости подставляем в
уравнение (3.10):

1


0 + 2


0 + 0


1 = 0

Индексы плоскости удовлетворяют условию зональности, значит,
данная плоскость принадлежит рассматриваемой зоне.

Используя условие зональности, можн
о определять индексы
направления
[
uvw
]
, по которому пересекаются две плоскости в решетке.
Если направление считать осью зоны, к которой принадлежат
рассматриваемые плоскости
(
h
1
k
1
l
1
)

и
(
h
2
k
2
l
2
)

записав условие
зональности применительно к каждой плоскости,

мы получим систему
двух уравнений с тремя неизвестными величинами


u
, v, w
.



(3.11)


Такая система уравнений решается с помощью определителя
II

порядка с точностью до постоянного множителя (который можно не
писать, поскольку
u
, v, w

-

наименьшие целы
е числа).


Составляем таблицу коэффициентов из значений
h
1
k
1
l
1

и
h
2
k
2
l
2

:

Вычеркивая поочередно, первый, второй, третий столбец,

находим
u
, v, w:


;
;

(3.12)


Аналогично решается задача о нахождении индексов плоскости, если
известн
а индексы любых двух направлений, принадлежащих этой
плоскости.

Пример:

Найти индексы плоскости в кубической сингонии, в
которой находятся направления

и
.

Решение
. Составляем таблицу коэффициентов:


и находим
(
hkl
)
:


;
;
.


h
:
k
:
l

=
-

2 :
-

2 : 0 = 1 : 1 : 0.


Индексы плоскости
(110)
. Расположение плоскости и направлений
показаны на рис. 3.3.



Рис. 3.3. Направления

и
, лежащие в плоскости (110).


3.4. УСЛОВИЯ ТИПОВЫХ

ЗАДАЧ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НА

ЛАБОРАТОРНОМ ЗАНЯТИИ


1) Записать индексы всех п
лоскостей, входящих в совокупность
{110} в кубической сингонии, я найти их число. Определить, на сколько
совокупностей разобьется данная совокупность в случае тетрагональной и
ромбической сингоний. Записать индексы плоскостей, входящих в
каждую совокупност
ь, и найти число плоскостей в каждой совокупности.

2) Найти угол между плоскостями совокупности {110} в кубической
сингонии.

3) Показать, что в кубической сингонии плоскость

принадлежат
к зоне с осью зоны
. Проверку провести расчетом и построением.

4) П
оказать, что в кубической сингонии плоскости
,
,
,

образуют зону. Найти индексы оси зоны. (Решение провести
расчетным путем, проверить правильность расчета построением).

5) Найти в кубической сингонии индексы направления, по которому
пе
ресекаются пло
скости

и

[или

и
]. Проверить расчет
построением плоскостей и направления.

6) Найти в кубической сингонии индексы плоскости, которой
принадлежат следующие направления:

и

(или

и
).
Проверить расчет построением направлений и плоскости.


3.5. ЗА
ДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕ
ЛЬНОЙ РАБОТЫ


1) Записать индексы всех плоскостей в заданной совокупности {. . .}
для кубической сингонии найти их число. Определить, на сколько
совокупностей разобьется данная совокупность в случае . . .


сингонии;
найти индексы плоск
остей, входящих в каждую совокупность, и их число.

2) Найти индексы линии пересечения плоскостей
(. . .)

и
(. . .)

кубической сингонии. Проверить расчет построением плоскостей и
направления в ячейке кубической сингонии.

3) Найти индексы плоскости, в кото
рой лежат направления и
[. . .]

(кубическая сингония). Проверить расчет построением направлений и
плоскости в ячейке кубической сингонии.


Таблица 3.1

Варианты условий задач для самостоятельной работы


Номер

варианта

Номер задачи

1

2

3

1

2

3

4

1

{21
0} тетрагональная


и



и


2

{210} ромбическая


и



и


3

{211} тетрагональная


и



и


4

{211} ромбическая


и



и


5

{310} тетрагональная


и



и


6

{310} ромбическая


и



и



7

{311} тетрагональная


и



и


8

{311} ромбическая


и



и


9

{221} тетрагональная


и



и


10

{221} ромбическая


и



и


11

{321} тетрагональная


и



и


12

{321} ромбическая


и



и


13

{320} тетрагональная


и



и


14

{320} ромбическая


и



и


15

{322} тетрагональная


и



и


16

{322} ромбическая


и



и


17

{331} тетрагональная


и



и


18

{3
31} ромбическая


и



и


19

{332} тетрагональная


и



и


20

{332} ромбическая


и



и


21

{410} тетрагональная


и



и


22

{410} ромбическая


и



и


23

{411} тетрагональная


и




и


24

{411} ромбическая


и



и


25

{421} тетрагональная


и



и


26

{421} ромбическая


и



и


27

{431} тетрагональная


и



и


28

{431} ромбическая


и



и


29

{430} тетрагона
льная


и



и


30

{430} ромбическая


и



и


31

{433} тетрагональная


и



и




3.6. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОП
РОСЫ:


1. Понятие о межплоскостном расстоянии и квадратичной форме.

2. Квадратичная форма для разных сингоний.

3.
Понятие о совокупности идентичных плоскостей.

4. Как найти индексы всех плоскостей, принадлежащих


к одной совокупности ?

5. Определение угла между направлениями, между плоскостями,

между направлением и плоскостью.

6. Условие перпендикулярности двух напра
влений, двух плоскостей


в кубической сингонии.

7. Условие перпендикулярности направления и плоскости


в кубической сингонии.

8. Условие параллельности направления и плоскости

в кубической сингонии.

9. Понятие с кристаллографической зоне, оси зоны,


услов
ии зональности.


ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
№ 4
КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ

ПРОЕКЦИИ



Для решения различных задач кристаллографии и
рентгеноструктурного анализа, таких, как определение взаимной
ориентации плоскостей и направлений, нахождения углов между ними,
изображен
ия симметрии, анализа текстур и др., используют
кристаллографические проекции. Кристаллографические проекции
представляют собой особое графическое изображение кристаллов. Они
дают представление не о внешней форме, а об угловых соотношениях в
кристалле, поз
воляют производить количественные расчеты этих
соотношений. Определение углов между плоскостями, между прямыми с
помощью кристаллографических проекций проводится гораздо проще, чем
при аналитических методах расчета с помощью формул.


4.1. ПОНЯТИЕ О КРИСТ
АЛ
ЛИЧЕСКОМ И ПОЛЯРНОМ
КОМПЛЕКСЕ


Метод кристаллографических проекций основан на одной из
характерных особенностей кристаллов


законе постоянства углов,
заключавшемся в том, что углы между определенными гранями и ребрами
кристалла всегда постоянны. Так, когд
а кристалл растет, меняются
размеры граней, их форма, но углы остаются неизменными. Поэтому в

кристалле можно перенести все ребра к грани параллельно самим себе в
одну точку пространства; угловые соотношения при этом сохраняется.
Такая совокупность плоскос
тей и направлений, параллельных плоскостям
и направлениям в кристалле и проходящая через одну точку, получила
название кристаллического комплекса, а сама точка называется центром
комплекса. При постро
ении кристаллографических проекций кристалл
всегда заменяют кристаллическим комплексом. Однако чаше
рассматривают не кристаллический комплекс, а полярный (обратный).
Полярный комплекс, получают из кристаллического (прямого) путем
замены плоскостей нормалям
и к ним, а направлений
-

перпендикулярными
к ним плоскостями. На рис. 4.1 показано расположение шести плоскостей
куба (
а
), кристаллический комплекс для этих плоскостей
-

три плоскости,
параллельные граням куба и проходящие через точку
О

(
б
), полярный
компл
екс
-

совокупность нормалей к этим плоскостям (
в
).


а


б


в


Рис. 4.1. Куб (
а
), его кристаллический (
б
) и полярный комплекс (
в
)


4.2. ПОНЯТИЕ О СТЕРЕ
ОГРАФИЧЕСКОЙ И
ГНОМОСТЕРЕОГРАФИЧЕСК
ОЙ ПРОЕКЦИИ И ЕЕ
ПОСТРОЕНИИ.


Существует несколько видов кристалл
ографических проекций,
наиболее распространенный среди них являются стереографическая и
тесно, связанная с ней гномостереографическая проекции (от греческого
слова "гномон"


нормаль).

Стереографическая и гномостереографическая проекции строятся по
общим з
аконам, только в первом случае кристаллический многогранник
заменяют кристаллическим (прямым) комплексом, а во втором


полярным (обратным).

Построение стереографической (гномостереографической) проекции
производится в два этапа. Сначала строится сферическ
ая проекция
(проекция комплекса на поверхности сферы), а потом сферическая
проекций переносится на плоскость.


4.3. ПОСТРОЕНИЕ СТЕР
ЕОГРАФИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦ
ИИ
НАПРАВЛЕНИЯ


На рис. 4.2 показано построение стереографической проекции
направления. Через центр крист
аллического комплекса
О

проведена
сфера произвольного радиуса, на которой строится сферическая
проекция. Сферическая проекция какого
-
то направления
Оа
1

будет
расположена в точке
А

на сфере проекций. Для построения
стереографической проекции проводится гори
зонтальная плоскость
Q
,
проходящая через, точку
О
. Часть этой плоскости, находящаяся внутри
сферы, проекций, называется основным кругом проекций;
стереографическая проекция изображается на основном круге проекций.
Чтобы получить стереографическую проекцию
направления, его
сферическую проекцию соединяют прямой линией с противолежащим
полюсом сферы. Для направления
Оа
1

точку
А

соединяют с южным
полюсом
S
. Точка пересечения луча
AS

с основным кругом проекции
(точка
а
) и есть стереографическая проекция направле
ния
Оа
1
.




Рис. 4.2. Построение стереографической проекции направления


Таким образом, стереографическая проекций направления,
изображается точкой на основном круге проекций. Точка отмечается на
чертеже кружком, если сферическая проекция направления лежи
т на
верхней полусфере, как в рассматриваемом случае, с направлением
Оа
1
,
или крестиком, если сферическая проекция расположена на нижней
полусфере
-

соединять эту точку нужно с северным полюсом
N
.

Очевидно, вертикальное направление проектируется в центр кр
уга
проекций, горизонтальное
-

в точку на окружности основного круга
проекций.

Точкой, на плоскости проекций изображается и
гномостереографическая проекция плоскости. В этом случае кристалл
заменяется полярным комплексом, где каждая плоскость представлена
нормалью, сферическая поверхность этой нормали


точка на сфере,
соединяя которую с противолежащим полюсом, мы и получим точку на
плоскости проекции.


4.4. ПОСТРОЕНИЕ СТЕР
ЕОГРАФИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦ
ИИ
ПЛОСКОСТИ


Построение стереографической проекции плоскости про
изводится по
тем же законам, что и направления. Плоскость кристаллического
комплекса, проходящую через его центр, точку
О

продолжают до
пересечения со сферой проекций и получают сферическую проекцию
плоскости


окружность. Далее переносят сферическую прое
кцию на
основной круг проекции, для чего каждую точку окружности на сфере
последовательно соединяют прямой линией с соответствующим полюсом


северным или южным. Геометрическое место точек пересечения этих
прямых с плоскостью проекций и есть стереографичес
кая проекция
плоскости (рис. 4.3).

Совершенно очевидно, что стереографическая проекция
горизонтальной
плоскости совпадает с окружностью основного круга
проекций, а вертикальной плоскости изображается прямыми линиями,
диаметрами основного круга проекций. Дл
я наклонной плоскости
получаются кривые линии, дуги окружности. Они пересекают окружность
основного круга в диаметрально
противоположных точках и получили
название


дуги большого круга.


Рис. 4.3. Построение стереографической проекции плоскости


Дуга бол
ьшого круга изображается сплошной линией, если
сферическая проекция плоскости находится в верхней полусфере, и
пунктиром, если сферическая проекция расположена в нижней полусфере
(рис. 4.4).

Совершенно очевидно, что в гномостереографической проекции дуги
б
ольшого круга представляет собой проекцию направлений.

Стереографические проекции применяются главным образом для
изображения элементов симметрии кристалла. При определении
взаимного расположения плоскостей удобнее гномостереографические
проекции. Зону пло
скостей представляют обычно в
гномостереографической проекции. Здесь плоскости, принадлежащие
одной зоне, изображаются точками, расположенными на одной дуге
большого круга, а сама дуга большого круга


это
гномостереографическая проекция оси зоны.



Рис.

4.4. Стереографическая проекция наклонной плоскости



Гномостереографическую проекцию плоскости


точку на основном
круге проекции


называют еще полюсом плоскости, а
гномостереографическую проекции плоскостей кристалла


полюсной
фигурой. Полюсные фигуры

применяются в рентгеноструктурном
анализе при определении ориентации монокристаллов и расшифровка
текстур. Для кристаллов кубической сингонии гномостереографическая и
стереографическая проекции совершенно одинаковы. Это обусловлено
тем, что в кубической с
ингонии плоскость и нормаль к ней имеют
одинаковые кристаллографические индексы.


4.5. СВОЙСТВА СТЕРЕО
ГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ


Для стереографической (и гномостереографической) проекции
особенно важны следующие два свойства:

1) Любая окружность, проведенная на

сфере проекций, изображается на
плоскости проекций также окружностью (в частном случае



прямой
линией).

2) Угловые соотношения на стереографической проекции не

искажаются: угол между полюсами плоскостей на сфере проекций равен
углу между полосами н
а плоскости проекций.

Эти свойства стереографической проекции используются на
практике.


4.6. СЕТКА ВУЛЬФА


Для проведения количественных расчетов и определения угловых


соотношений в кристалле по его стереографической

(гномостереографической) проекции ну
жна координатная градусная
сетка. Наиболее употребительна сетка, предложенная русским
кристаллографом Ю.В. Вульфом и носящая его имя.

Чтобы получить сетку Вульфа, выберем любую точку
"
а
"

на
поверхности сферы проекции. Его положение можно охарактеризовать
д
вумя сферическими координатами (рис. 4.5):
ρ




широта, или полярное
расстояние; отсчитывается вдоль любого меридиана от нуля (северный
полюс) до 180° (южный полюс);
φ



долгота измеряется по экватору
(окружности основного круга проекций) от меридиана, при
нятого за
нулевой, до меридиана, проходящего через заданную точку на сфере.
Долгота
φ

отсчитывается по часовой, стрелке и может изменяться в
пределах от 0 до 360°.

Ю.В. Вульф спроектировал на плоскость проекции меридианы и
параллели, нанесенные на поверхно
сти сферы (рис. 4.5), при этом в
качестве плоскости проекции была выбрана вертикальная плоскость,
проходящая через северный и южный полюсы сферы проекций.

Стандартный диаметр сетки Вульфа составляет 20 см, линии
параллелей и меридианов проходят через 2°. С
етка обеспечивает
проведение всех расчетов и построений на плоскости проекций с
точностью до 1°, что достаточно для большинства технических расчетов.



Рис. 4.5. Сферические координаты на поверхности сферы


Все построения и расчеты, выполняемые с помощью
сетки Вульфа,
производятся на кальке, наложенной на сетку Вульфа. При этом на кальке
обязательно отмечает крестиком центр проекции и горизонтальной
черточкой у правого конца экватора сетки нулевую точку. По этим двум
отметкам чертеж на кальке всегда можно
привести в исходное положение.
На кальку предварительно наносится стереографическая
(гномостереографическая) проекция кристалла.

Положение любой точки на основном круге проекций
характеризуется ее сферическими координатами
φ

и
ρ
, которые
отсчитываются с по
мощью сетки Вульфа. В соответствии с рис. 4.6,
широта
ρ

отсчитывается на плоскости проекций по радиусу от центра до
окружности основного круга проекций (в пределах от 0 до 90°). Если 90°

ρ

≤ 180°, отсчет производится в радиальном направлении от центра
до
окружности (
ρ

 90°) и далее продолжается в обратном направлении, к
центру.



Рис. 4.6. Схема сетки Вульфа и отсчета углов на ней


Если положение точки на плоскости проекций совпадает с
вертикальным или горизонтальным диаметром сетки Вульфа, то угол
ρ

отсчитывается непосредственно по этому диаметру. Если точка не
находится на диаметре, то ее нужно вывести на один из этих диаметров
концентрическим

поворотом кальки относительно центра и по нему
отсчитывать угол
ρ
.

Долгота

φ

отсчитывается вдоль окружности

основного круга
проекций от правого конца горизонтального диаметра (начало отсчета,
φ

 0) по часовой стрелке, в пределах от 0 до 360°.

Если положение точки на плоскости проекции совпадает с
окружностью основного круга проекций, то угол
φ

отсчитывается
не
посредственно. Если точка находится внутри основного круга проекций,
то через нее необходимо провести радиус до пересечения с окружностью
основного круга или, что проще, концентрическим поворотом кальки
вывести точку на ближайший диаметр. Угол между точкой

начала и концом
этого диаметра и есть угол
φ
.


4.7. СВЯЗЬ МЕЖДУ СФЕ
РИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ
И И
КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИМ
И ИНДЕКСАМИ ПЛОСКОСТ
И


Между кристаллографическими индексами плоскости
(
hkl
)

и ее
сферическими координатами (и гномостереографической проекции)
существует строгая математическая зависимость. Вид этого соотношения
различен для разных сингоний и зависит от установки кристалла, то есть
от того, какая плоскость кристалла совпадает с плоскостью проекции.

Для кубической сингонии при условии, что плоскос
ть куба
расположена в плоскости проекции, соотношение имеет следующий вид:

;

(4.1),

h : k : l
 sin φ : cos φ : ct ρ

(4.2).

Соотношение (4.1) используется обычно для

вычисления
сферических координат по известным индексам
(
hkl
)
, соотношение (4.2)


для нахождения индексов
(
hkl
)
по сферическим координатам.


4.8. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ

ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СЕТК
И
ВУЛЬФА


Задача 1.

Построить на плоскости проекции точку
К

со
сферическ
ими координатами
φ

и

ρ
.

Решение

1) Накладываем кальку на сетку Вульфа, отмечаем крестиком центр
проекции и черточкой
-

нулевое значение
φ

(рис. 4.7, а).

2) По часовой стрелке от нулевой точки вдоль основного круга
проекций отсчитываем угол
φ

и ставим в
спомогательную точку
К
1

(рис.
4.7, б).

3) Путем концентрического поворота кальки относительно центра
сетки выведем точку
К
1

на конец одного из диаметров сетки и от центра
сетки в направлении точки
К
1

отсчитываем координату
ρ
.

Полученную
точку обозначаем б
уквой
К

(рис. 4.7, в).

4) Возвращаем кальку в исходное положение (рис. 4.7, г).

Данная задача применяется при построении стереографической
проекции направления или гномостереографической проекции плоскости
по известным сферическим координатам.







А


б


В


г


Рис. 4.7. Построение точки
К
по заданным сферический координатам


Задача 2 (обратная)
. Определить сферические координаты точки на
плоскости проекций.

Решение

1) Вращением кальки приводим заданную точку на ближайший
диаметр сетки. По этому ди
аметру от центра сетки до заданной точки
измеряем сферическую координату

ρ

и отмечаем вспомогательной точкой
на круге проекций тот конец диаметра, в направлении которого лежит
заданная точка.

2) Приводим кальку и исходное положение и по основному кругу
про
екций отсчитываем сферическую координату
φ

от нулевой точки по
часовой стрелке до вспомогательной точки.

Задача 3.

Определить угол между двумя направлениями по их
стереографической проекции.

Два пересекающихся направления (именно с таким мы имеем дело в
к
ристаллическом комплексе) всегда лежат в одной плоскости. Угол между
ними удобно измерить на сфере проекций как длину дуги окружности,
которая опирается на центральный угол, образованный данными
направлениями. В качестве окружностей на сфере проекций можно

использовать меридианы. На плоскости проекций направления
изображаются точками, и угловые расстояния между ними можно
измерить по меридиану сетки Вульфа. Если обе точки находятся в одной
полусфере (обе изображаются кружками или обе крестиками), то, вращая

кальку относительно центра, выводим обе точки на один меридиан, по
которому и отсчитываем угол (точки 1 и 2 на рис. 4.8). Если же точки
лежат в разных полусферах (кружок и крестик, например, точки
1

и
3

на
рис. 4.8), то поворачивают кальку так, чтобы обе

точки попали на
меридианы, симметричные относительно центра сетки, и отсчитывают
угол сначала по одному меридиану от точки до полюса, а затем по
симметричному меридиану
-

от полюса до второй точки.

Совершенно аналогично решается задача об определении угла

между
двумя плоскостями по их гномостереографической проекции.


Задача 4
. Построить на плоскости проекций точку, диаметрально
противоположную данной.

Концентрическим поворотом кальки приводим данную точку на один
из меридианов сетки и отсчитываем по нему
угол 180° (рис.4.9).
Диаметрально противоположные точки
А

и
А'
находятся в разных
полусферах и на плоскости проекция отмечаются разными знаками
(кружок и крестик).


Задача 5.

Построить зону и найти ось зоны.

Для этой задачи обычно пользуются гномостереогр
афической
проекцией.

Зона



это совокупность плоскостей, параллельных какому
-
либо
направлению в кристалле (оси зоны), или совокупность плоскостей,
перпендикулярных определенной плоскости. Поэтому
гномостереографические проекции всех плоскостей должны наход
иться
на угловом расстоянии 90° от проекции, изображающей ось зоны. Они
находятся на одном меридиане сетки Вульфа, если проекция оси зоны
располагается на экваторе.







а


б


в


Рис. 4.8. К определению угла между направлениями



Рис. 4.9. Построе
ние диаметрально противоположной точки


Практически задача решается следующим образом. Если заданы
точки


гномостереографические проекции двух плоскостей, то
концентрическим поворотом кальки эти точки выводят на один меридиан
сетки и от точки пересечения
с экватором отсчитывают 90° к центру
проекций (рис. 4.10). Полученная точка и есть проекция оси зоны.

Взаимное расположение важнейших, плоскостей кристалла обычно
анализируют по стандартным проекциям


проекциям всех плоскостей
кристалла на какую
-
либо
плоскость кристалла с малыми индексами.
Важнейшие стандартные проекции кристалла приведены в учебной
литературе.





Рис. 4.10. Построение зоны


4.9. УСЛОВИЯ ТИПОВЫХ

ЗАДАЧ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НА

ЛАБОРАТОРНОМ ЗАНЯТИИ



Задача 1.

Построить стереографическую проекци
ю направления по
сферическим координатам: φ
1

 120°, ρ
1

 30°;

φ
2

 60°, ρ
2

 100°.

Построение следует проводить на кальке с помощью сетки Вульфа в
соответствий с п. 4.7 (задача 1).


Задача 2.

Определить сферические координаты диаметрально
противоп
оложной точки (по задаче 1, п. 4. 8).

Решение задачи производится на основании п. 4.8 (задачи 4 и 2).

Задача 3.

Построить стереографическую проекцию двух
направлений по сферическим координатам φ
1

 150°, ρ
1

 60°;

φ
2

 290°, ρ
2

 30°.

Найти стереогра
фическую проекцию плоскости, в которой лежат оба
направления. Определить угол между направлениями.

Ход решения задачи описан в п. 4.8 (задача 3).


Задача 4.

Построить гномостереографическую проекцию двух
плоскостей по известным сферическим координатам:

φ
1

 240°, ρ
1

 60°;

φ
2

 150°, ρ
2

 30°.

Определись угол между этими плоскостями.


Задача 5.

Построить гномостереографические проекции плоскостей
А


А

 270°, ρ
А

 45°) и
В


В

 45°, ρ
В

 90°). Найти угол между этими
плоскостями. Найти индексы этих
плоскостей, если сингония кристалла
кубическая, а плоскость проекции совпадает с плоскостью (001). Указать
зону, к которой принадлежат плоскости
А


и
В
, найти индексы оси зоны и
ее положение.

Решение задачи проводится в следующей последовательности:



на

основании п. 4.8 (задача 1) по заданным сферическим
координатам с помощью сетки Вульфа на кальке строятся точки


гномостереографические проекции плоскостей
А


и
В
;



в соответствии с задачей 3 (п. 4.8) надо найти угон между ними;



по соотношению 4.2 о
пределяются кристаллографические
индексы плоскостей

А


и
В
;



на основании задачи 5 (п. 4.8) находится положение оси зоны и по
п. 8 (задача 2) измеряют сферические координаты
φ
,

ρ

найденной точки;



по соотношениям 4.2 по найденным
φ
,

ρ

вычисляют
крис
таллографические индексы.


Задача 6.

Построить гномостереографические проекции плоскостей
(313) и (131), если сингония кристалла кубическая и с плоскостью
проекции совпадает плоскость (001). Найти угол между плоскостями.
Указать зону, найти индексы оси зо
ны и ее положение.


Последовательность решения задачи:



вычислить сферические координаты для заданных плоскостей по
известным индексам (соотношение (4.1));



построить на кальке точки


гномостереографические проекции
плоскостей (п. 8, задача 1);



опре
деляют угол между плоскостями (п. 4.8 задача 3);



находят положение оси зоны (задача 5) к ее сферические


координаты (задача 2);



вычисляют кристаллографические индексы оси зоны


(соотношение (4.2)).


4.9. ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМ
ОСТОЯТЕЛЬНЕЙ РАБОТЫ


Задача 1.

Построить стереографическую проекцию двух
направлений по сферическим координатам (φ
1
, ρ
1
) и (φ
2
, ρ
2
). Определить
сферические координаты диаметрально противоположных направлений.

Задача 2.

Построить стереографические проекции направлений
А
и
В

по заданным с
ферическим координатам (φ
А
, ρ
А
) и (φ
В
, ρ
В
).

Определить
угол между направлениями. Построить стереографическую проекцию
плоскости, в которой лежат оба направления.

Задача 3.

Построить гномостереографические проекции плоскостей
С

и
D

по сферическим координата
м

С
, ρ
С
)

и

D
, ρ
D
)
. Определить угол между
этими плоскостями. Найти индексы плоскостей
С

и

D
, если сингония
кристалла кубическая и с плоскостью проекции совпадает плоскость
(001)
.
Определить положение оси зоны, к которой относятся плоскости

С

и
D
, и ее
и
ндексы.


4.10.
Контрольные вопросы:


1. Что такое "кристаллический комплекс"? Как он строится ?

2. Что такое "полярный (обратный) комплекс"? Как он строится ?

3. Как строится стереографическая проекция направления в
кристалле?

4. Как изображается стереогра
фическая проекция вертикального

направления ? Горизонтального ? Наклонного ?

5. Как строится стереографическая проекция плоскости ?

6. Как изображается стереографическая проекция вертикальной

плоскости ? Горизонтальной ? Наклонной ?

7. Как строится гн
омостереографическая проекция

направления в кристалле?

8. Как изображается гномостереографическая проекция

вертикального направления ? Горизонтального ? Наклонного ?

9. Как строится гномостереографическая проекция плоскости ?

10. Как изображается гномос
тереографическая проекция

вертикальной плоскости ? Горизонтальной ? Наклонной ?

11. Почему стереографическая и гномостереографическая проекции
кубического кристалла выглядят одинаково ?

12. Какие сферические координаты применяют в кристаллографии ?
Как их

отсчитывают на сфере проекций ? На круге проекций ?

13. Как построить стереографическую проекцию направления

по заданным сферическим координатам ?

14. Как определить сферические координаты точки на плоскости

проекций ?

15. Как определить угол между дв
умя направлениями по их

стереографической проекции ?

16. Как определить угол между двумя плоскостями по их

гномостереографической проекции ?

17. Как связаны индексы плоскости со сферическими координатами ?

18. Как найти положение оси зоны и ее индексы п
о

гномостереографической проекции плоскостей ?

Таблица 4.1

Варианты условий для п.4.9


Номер
варианта

Номер задачи

1

2

3

φ
1

ρ
1

φ
2

ρ
2

φ
А

ρ
А

φ
В

ρ
В

φ
С

ρ
С

φ
D

ρ
D

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1

30°

120°

230°

30°

180°

110°

330°

90°



45°

90°

90°

2

120°

120°

280°

45°

240°

60°

150°

30°

90°

45°



90°

3

150°

45°

250°

100°

310°

120°

30°

150°

270°

90°



45°

4

180°

60°

50°

170°

120°

30°

160°

60°

90°

45°



45°

5

210°

30°

70°

90°

210°

100°

300°

140°



90°

270°

45°

6

240°

75°

90°

110°

30°

25°

320°

70°

45°

90°



45°

7

280°

100°

110°

10°

220°

110°

330°

150°

180°

45°

90°

90°

8

45°

135°

330°

45°

45°

35°

320°

70°

180°

45°

270°

90°

9

60°

100°

300°

40°

220°

90°

340°

120°

90°

45°

45°

90°

10

75°

45°

190°

120°

60°

45°

230°

60°

270°

45°



90°

11

100°

60°

240°

1
35°

30°

110°

150°

150°

270°

45°

180°

90°

12

80°

30°

270°

150°

140°

90°

350°

30°

180°

45°

270°

45°

13

135°

70°

20°

160°

110°

120°

310°

150°

90°

45°

180°

45°

14

160°

80°

310°

170°

40°

45°

160°

90°

270°

45°



45°

15

190°

110°

30°

80°

50°

30°

220°

70°

45°

55°



90°

16

200°

135°

40°

20°

90°

130°

190°

160°

45°

55°

90°

45°

17

270°

150°

60°

70°

320°

100°

60°

150°

90°

90°

45°

55°

18

220°

110°

1
40°

40°

40°

30°

230°

60°

315°

55°

45°

55°

19

250°

130°

170°

10°

170°

135°

310°

170°

270°

90°

45°

55°

20

260°

130°

100°

60°

80°

20°

250°

70°

180°

90°

45°

55°

21

290°

160°

120°

20°

120°

90°


210°

150°

135°

55°

45°

55°

22

300°

20°

10°

130°

60°

45°

135°

90°

135°

55°

90°

90°

23

310°

50°

80°

140°

60°

135°

280°

170°

135°

55°

270°

90°

24

320°

140°

130°

50°

35°

60°

150°

90°

135°

55°

180°

45°

25

330°

170°

160°

75°

290°

100°

110°

150°

135°

55°

225°

55°

26

340°

150°

180°

55°

220°

40°

340°

90°

225°

55°

180°

90°

27

350°

20°

200°

145

50°

150°

300°

100°

225°

55°

270°

45°

28

2


140°

340°

80°

30°

20°

145°

75°

225°

55°

315°

55°

29

10°

50°

250°

120°

180°

105°

120°

160°

225°

55°



90°

30

40°

160°

320°

30°

30°

35°

150°

45°

135°

55°



90°

31

210°

50°

45°

150°

250°

45°

45°

6


90°

90°

315°

55°



ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
№ 5
СИММЕТРИЯ
КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МНОГ
ОГРАННИКОВ (СИММЕТРИ
Я
КОНТИНУУМА)


5.1. ПОНЯТИЕ О СИММЕ
ТРИИ


Кристаллы существуют в природе в виде кристаллических
многогранников. Кристаллы разных веществ отличаются друг о
т друга по
своим формам. Каменная соль


это кубики; горный хрусталь


шестигранные призмы, заостренные на концах; алмаз


чаще всего
правильные восьмигранники (октаэдры); кристаллы граната


двенадцатигранники (рис. 5.1). Такие кристаллы обладают симметри
ей.

Характерной особенностью кристаллов является анизотропия их
свойств: в различных направлениях они разные, но в параллельных
направлениях
одинаковы, а также одинаковы и в симметричных
направлениях.

Не всегда кристаллы имеют форму правильных многогранник
ов.


В реальных условиях роста, при затруднении в свободном росте
симметричные грани могут развиваться неравномерно и правильная
внешняя форма может не получиться, однако правильное внутреннее
строение при этом полностью сохраняется, а также сохраняется
си
мметрия физических свойств. Поэтому для кристаллов с плохой
огранкой их симметрию можно определить по зависимости физических
свойств от направления.

Рассматривая симметрию внешней огранки кристалла,
кристаллическую среду представляют себе как непрерывную,
сплошную,
так называемый континуум (в переводе с латинского на русский
-

означает
непрерывный, сплошной). Все точки такой среде совершенно одинаковы.
Элементы симметрии континуума описывают внешнюю форму
кристаллического

многогранника,
поэтому их еще назыв
ают
макроскопическими элементами симметрии.

Фактически же кристаллическая среда является дискретной.
Кристаллы состоят

из отдельных частиц (атомов, ионов, молекул),
которые расположены в пространстве в виде бесконечно простирающихся
пространственных решето
к. Симметрия в расположении этих частиц,
конечно, сложнее и богаче, чем симметрия внешних форм
кристаллических многогранников. Поэтому наряду с континуумом
рассматривается и дисконтинуум


дискретная, реальная структура
материальных частиц и ее законы симм
етрии, получившие название,
микроскопических элементов симметрии.


а


б


в


г


Рис. 5.1. Различные формы природных кристаллов:

а


каменная соль, б


горный хрусталь, в


алмаз, г


гранат


Греческое слово "симметрия" означает соразмерность. Симм
етрич
ная
фигура состоит из равных, одинаковых частей. Под симметрией
понимают свойство тел или геометрических фигур совмещать отдельные
части друг с другом при некоторых симметрических преобразованиях. В
идеально развитом кристалле путем операций симметрии



поворотов,
отражений


совмещаются равные элементы (грани, ребра, вершины).
Геометрические образы, с помощью которых задаются и осуществляются
симметрические преобразования, называют элементами симметрии.


5.2. ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТ
РИИ


В кристаллических мног
огранниках встречаются простые элементы
симметрии (центр симметрии, плоскость симметрии, поворотная ось)
сложный элемент симметрии (инверсионная ось). Для обозначения
элементов симметрии используются две системы обозначений:
международная символика, принят
ая Интернациональным союзом
кристаллографов, и старая символика, основанная на формулах
симметрии»

Центр симметрии

(или центр инверсии)


особая точка внутри
фигуры, при отражении в которой любая точка фигуры имеет
эквивалентную себе, то есть обе точки (на
пример, пара вершин)
расположены на одной прямой, проходящей через центр симметрии, и
равноудалены от него. При наличии центра симметрии каждая грань
пространственной фигуры имеет параллельную и противоположно
направленную грань, каждому ребру соответствуе
т равноудаленное,
равное, параллельное, но противоположно направленное ребро. Поэтому
центр симметрии представляет собой как бы

зеркальную точку.

На рис. 5.2 показан многогранник


куб, который имеет центр
симметрии, расположенный в точке пересечения его п
ространственных
диагоналей. Обозначается центр симметрии двояко: буквой
С

(старое
обозначение) и

(международное обозначение). Графически отмечается
буквой
С
.

Плоскость симметрии



это такая плоскость, которая делит фигуру
на две части, расположенные друг

относительно друга как предмет и его
зеркальное отражение, то есть на две зеркально равные части
Обозначения плоскости симметрии


Р

(старое) и
m

(международное).
Графически плоскость симметрии обозначается сплошной линией. У
фигуры может быть одна или не
сколько плоскостей симметрии, и все они
пересекаются друг с другом. В кубе имеется девять плоскостей
симметрии (рис. 5.3).




Рис. 5.2. Центр симметрии куба











Поворотная ось



это такая прямая, при п
овороте вокруг которой на
некоторый определенный угол



фигура совмещается сама с собой.
Величина угла поворота


определяет порядок поворотной оси
n
,

который
показывает, сколько раз фигура совместится сама с собой при полном
обороте вокруг этой оси (на 36
0°):


(5.1).

В геометрических фигурах возможны оси симметрии любых
порядков, но в кристаллических многогранниках порядок оси ограничен,
он может иметь только следующие значения:

n
=

1, 2, 3, 4, 6.

В кристаллических многог
ранниках невозможны оси симметрии
пятого и выше шестого порядков. Это вытекает из принципа
непрерывности кристаллической среды.

Обозначения осей симметрии:
старые


буквой
L

с цифровым
индексом
n



L
n

(
L
1
,
L
2
,
L
3
,
L
4
,
L
6
)

и
международные
арабскими

цифрами, соответствующими порядку
поворотной оси (
I
, 2, 3, 4, 6). Графически поворотные оси изображаются
многоугольниками:





6

;



4;



3 ;



2.


На рис. 5.4


5.6 показано расположение в кубе поворотной оси
второго, третьего и четвер
того порядка и на рис. 5.7


всех осей
симметрии куба.

Инверсионная ось



сложный элемент симметрии. Она позволяет
совмещать равные части фигуры путем двойной операции


поворота на
определенный угол, задаваемый порядком оси, и отражения в точке на

этой ос
и, как в центре симметрии. Обозначения инверсионной оси: старые
L
in
,
и международные
. На чертежах инверсионные оси

обозначаются
светлыми многоугольниками:




6

;



4;



3;




2.

Рис. 5.3. Плоскости симметрии куба



Рис. 5.4 . Поворотная ось второго порядка
L
2

в кубе




Рис. 5.5. Пространственная диагональ куба
B
1
D



поворотная ось
третьего порядка
L
3



Рис. 5.6. Поворотная ось четвертого порядка
L
4

в кубе



Рис. 5.7. Оси симметрии в кубе

Формально могут существовать оси
,
,
,
,
, однако
самостоятельным элементом си
мметрии является лишь ось
.
Инверсионная ось первого порядка эквивалентна центру симметрии,
инверсионная ось второго порядка


перпендикулярной ей плоскости
симметрии, то есть


;
.

Инверсионная ось третьего порядка может рассматриваться как
совок
упность отдельно действующих поворотной оси 3 и центра
симметрии:

, а инверсионная ось

.

В этом нетрудно убедиться, рассматривая на
гномостереографической проекции расположение точек, симметричных
относительно осей


,
,
,
,


(рис. 5.8).




Рис. 5.8. Расположение точек, симметричных относительно

инверсионных осей 1, 2, 3, 4, 6 (гномостереографическая проекция)


5.3. ПОНЯТИЕ О КЛАСС
Е СИММЕТРИИ


Каждый кристаллический многогранник обладает сочетанием,
набором элементов симме
трии; у одних кристаллов эти наборы элементов
симметрии могут быть богатыми, у других


бедными. Сочетаясь друг с
другом, элементы симметрии кристалла обязательно пересекаются, и при
этом возможно появление новых элементов симметрии. В
кристаллографии дока
зываются следующие теоремы сложения элементов
симметрии:


1. Линия пересечения двух плоскостей симметрии есть ось
симметрии, для которой угол поворота вдвое больше угла между
плоскостями.

2. Через точку пересечения двух осей симметрии проходит

третья ось

симметрии.

3. В точке пересечения плоскости симметрии с перпендикулярной к
ней осью симметрии четного порядка возникает центр симметрии.

4. Число осей второго порядка, перпендикулярных главной оси
симметрии высшего порядка (третьего, четвертого, шестог
о), равно
порядку главной оси.

5. Число плоскостей симметрии, пересекающихся по глазной оси
высшего порядка, равно порядку этой оси.


Число сочетаний элементов симметрии друг с другом в кристаллах
строго ограничено. Все возможные сочетания элементов симме
трии в
кристаллах выводятся строго математически, принимая во внимание
теоремы сложения

элементов симметрии. Полный набор элементов
симметрии, присущих данному кристаллу, называется его классом
симметрии. Строгий математический вывод показывает, что все
во
зможные для кристаллических многогранников сочетания элементов
симметрии исчерпываются тридцатью двумя классами симметрии.



5.4. СВЯЗЬ МЕЖДУ ПРО
СТРАНСТВЕННОЙ РЕШЕТК
ОЙ И
ЭЛЕМЕНТАМИ СИММЕТРИИ


Наличие тех или иных элементов симметрии определяет геометрию
пр
остранственной решетки, накладывая определенные условия на
взаимное расположение координатных осей и равенство осевых единиц.
Существуют общие правила выбора координатных осей, учитывающие
набор элементов симметрии кристалла.

1. Координатные оси совмещают

с особыми направлениями


поворотными или инверсионными осями, для которых порядок оси
больше единицы, и нормалями к плоскости симметрии.

2. Если в кристалле только одно особое направление, с ним совмещают
одну из координатных осей, обычно ось
Z
. Две друг
ие оси располагают в
плоскости, перпендикулярной особому направлению параллельно ребрам
кристалла.

3. При отсутствии особых направлений координатные оси выбирают
параллельно трем не лежащим в одной плоскости ребрам кристалла.

Исходя из этих правил, можно
получить все семь кристаллических
систем, или сингоний. Они отличаются друг от друга соотношением
масштабных единиц
а,
b
,
c

и осевыми углами

,

,

.
Три возможности:
,
,

позволяют распределить все
кристаллографические координатные системы (сингонии) по

трем
категориям
-

низшей, средней и высшей (табл. 5.1).

Каждая категория
характеризуется наличием определенных элементов симметрии. Так, у
кристаллов низшей категории нет осей высшего порядка, то есть осей 3, 4

и 6, а могут быть оси второго порядка, плоск
ости и центр симметрии. У
кристаллов средней категории имеется ось высшего порядка, а также
могут быть оси второго порядка, плоскости симметрии, центр симметрии.
Самые симметричные кристаллы относятся к высшей категории. У них
имеется несколько осей высшег
о порядка (третьего и четвертого), могут
быть оси второго порядка, плоскости и центр симметрии. Однако
отсутствуют оси шестого порядка.

Таблица 5.1


Классы симметрии кристаллов

Категория

Сингония

Классы симметрий

Название

Характерная
симметрия

Название

Ха
рактерная
симметрия

Расположение осей

Обозначение

Кол
-

Во

Низ
-
шая

Нет осей
симметрии

высшего
порядка

Триклинная

Ось 1 или

По ребрам
кристалла

1(
L
1
),
(
C
)

2



Моноклинная

Ось 2 или
m

Ось оси 2 или
перпендикулярна
m

2(
L
2
),
m(P)

2
/
m
(
L
2
PC
)

3



Ромбическая

Т
ри взаимно
перпендикулярны
е оси 2 или
плоскости
m

Оси
X
,
Y
,
Z

|| оси 2
или
перпендикулярны
m

222(3
L
2
),

mmm
(3
L
2
3
PC
),

mm2(
L
2
2
PC
)

3

Сред
-
няя

Одна ось
высшего
порядка

Тетрагональная

Одна ось 4 или

Главная ось вдоль
Z
, остальные в
плоскости
XY

4(
L
2
), 422(
L
4
4
L
2
),4
mm

(
L
4
4
P
),4/
m(L
4
PC
)

4/
mmm

(
L
4
4
L
2
5
PC
),
2
m
(
L
i
4
2
L
2
2
P
),
(
L
i
4
)

7



Гексагональная

Одна ось 6 или


6(
L
6
), 622(
L
6
6
L
2
), 6
mm
(
L
6
6
P
),
6/
m(L
6
PC
),6/
mmm
(L
6
6L
2
7PC),
m
2(
L
i
6
3
L
2
3
P
),
(
L
i
6
=
L
3
P
)

7



Ромбоэдрическа
я

Одна ось 3 или


3(
L
3
), 32(
L
3
3
L
2
), 3
m
(
L
3
3
P
),
(
L
i
3
),
m
(
L
i
3
3
L
2
3
P
=

L
3
3
PC
)

5

Высшая

Несколько
осей
высшего
порядка

Кубическая

Четыре оси 3

Оси
X
,
Y
,
Z

|| трем
взаимно
перпендикулярным
осям 4, или
, или 2

23(3
L
2
4
L
3
), 3(3
L
2
4
L
3
3
PC
),
432(3
L
4
4
L
3
6
L
2),
m
3
m

(3
L
4
4
L
3
6
L
2
9
PC
),
3
m
(3
L
i
4
4
L
3
6
P
)

5


Обозначения в скобках пр
едставляют собой формулу симметрии


перечень всех элементов симметрии. Международный символ класса
симметрии (без скобок) содержит обозначения лишь некоторых
элементов симметрии, входящих в формулу симметрии. Эти элементы
симметрии расположены в определен
ных кристаллографических
направлениях.

В обозначении некоторых классов симметрии имеется черта

(например,
2
/
m
), Этот символ обозначает перпендикулярность плоскости
симметрии и оси симметрии,

В триклинной сингонии могут бить только два класса симметрии. В
классе 1 нет элементов симметрии, и формально обозначено наличие оси
симметрии первого порядка
L
1
. В классе


имеется центр симметрии

В моноклинной сингонии могут быть три класса симметрии. Они
характеризуются наличием оси 2, или плоскости симметрии
m
(
), или
взаимоперпендикулярных плоскости симметрии
m

и оси 2; При выборе
элементарной ячейки ось
Y

совмещают с осью 2 и

, оси

X

и
Y

с
ребрами, расположенными в плоскости, перпендикулярной оси

Y
.
Поэтому осевые углы элементарной ячейки

=

 90°,

90°.

При наличии трех взаимоперпендикулярных осей 2 или

(ромбическая сингония) координатные оси элементарной ячейки
совмещают с осями симметрии. Отсюда следует равенство осевых углов

=

=

90°.

В кристаллах средней категории в качестве оси
Z

выбирают

ось
высшего порядка, оси
X

и
Y



в плоскости, перпендикулярной оси

Z

(вдоль осей второго порядка, а если их нет, то параллельно ребрам
кристалла)


в тетрагональной и гексагональной сингониях осевые углы

=

90°.

Угол


между осями
X

и
Y

определяет поряд
ком главной оси:

=90
°

для
оси четвертого порядка (тетрагональная сингония) и

=
120
°

для оси
третьего (ромбоэдрическая) и

шестого порядка (гексагональная
сингония). Отсюда также следует равенство осевых единиц вдоль осей
X

и
Y

(а 
b
)
.

Международный симво
л класса симметрии средней категории
обязательно на первом месте содержит обозначение оси высшего порядка
(третьего, четвертого, шестого), совпадающего с осью
Z

элементарной
ячейки. На

втором месте в символе класса симметрии ставится
обозначение элемента с
имметрии, совпадающего с осями
X

и
Y
, если он
есть. На третьем месте указывается элемент симметрии (если он есть),
расположенный вдоль биссектрисе угла между осями

X

и
Y
.

В

кубической

сингонии главным элементом симметрии
являются
четыре

оси третьего порядк
а. Координатные оси
X

,
Y
,
Z

эл
ементарной
ячейки выбирают так, чтобы они были равно наклонены к осям третьего
порядка. При этом оси третьего порядка оказываются пространственными
диагоналями куба. Классы симметрии кубической сингонии в

международном символе

содержат обозначения следующих

элементов
симметрии: на первом месте ставится обозначение элемента симметрии
совпадающего с координатными осями

X

,
Y
,
Z
, т.е. с направлениями типа
<100>, на втором месте с пространственными диагоналями куба, т.е. с
направлен
иями <111>
,
на третьем месте



с диагоналями граней (<110>).

Правила записи международного символа класса симметрии
различных сингоний приведены в табл. 5.2.


Таблица 5.2

Правила составления международного

символа класса симметрии.

Сингония

Место символа

Первое

Второе

Третье

Триклинная

Только один символ, соответствующий любому
направлению в кристалле

Моноклинная

Единственная ось
2

или плоскость
m

по оси
Y

Ромбическая

Ось
2

или
плоскость
m
вдоль
X

ось
2

или
плоскость
m
вдоль
Y

ось
2

или
плоскость
m
вд
оль
Z

Ромбоэдрическая,
гексагональная,
тетрагональная

Главная ось
симметрии
(вдоль
Z
)

Оси
2

или
m
вдоль
X
,
Y

Диагональные оси
2 или плоскости
m

Кубическая

Координатные
элементы
симметрии
(вдоль
X
,
Y
,
Z
)

Оси
3

Диагональные
элементы
симметрии


5.5. ЗАДАНИ
Е ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНО
Й РАБОТЫ


В заданных многогранниках:

1) указать все элементы

симметрии;

2)
записать формулу симметрии;

3) найти определяющий элемент симметрии;

4) определить сингонию
;

5) записать класс симметрии;


Пример выполнения задания

В качестве
многогранника возьмем куб.

1. На рис. 5.5 показано расположение одной из осей третьего
порядка. Действительно, пространственная диагональ
В
1
Д

является
поворотной осью третьего порядка поворот фигуры на угол 120° вокруг
этой оси в направлении, указанной стр
елкой, совместит вершину
А
1

с
вершиной
В
, вершина В займет положение вершины
С
1
, вершина
C
1

займет положение вершины
A
1
. Аналогично ребро
A
1
B
1

займет положение
равного ему ребра
B
1
B

ребро
B
1
B

станет на место ребра
B
1
C
1
,
ребро
Д
1
C
1

-

на место
A
1
B
1

и.т.д. Ве
ршины
B
1

и
Д
, через которые походит ось
симметрии, останутся на своих местах. Диагональ
В
1
Д

является осью
симметрии третьего порядка, поскольку за один полный оборот вокруг
В
1
Д

куб трижды совместится со своим исходным положением.

Кроме
В
1
Д
, остальные три п
ространственные диагонали

(
AC
1
,
A
1
C
, ВД
1
)

также являются поворотными осями третьего порядка.

На рис. 5.6 показано расположение одной из осей четвертого
порядка. Она проходит через середины двух параллельных граней куба.
При повороте вокруг нее на угол 90°

обмениваются местами вершины
Д

и
С
,
С

и
В

и т.д., ребра
СД

и
ВС

и т.д. Осей симметрии четвертого порядка
три, они проходят через середины параллельных граней куба.

Кроме осей третьего и четвертого порядка, в кубе можно указать оси
второго порядка. Они сое
диняют середины противолежащих
параллельных ребер (рис. 5.4). Действительно, при повороте вокруг такой
оси на угол 180


обмениваются местами: вершины
А

и
А
1


и
C
1
, ребра
ВВ
1

и
ДД
1

и т.д. Осей симметрии второго порядка в кубе шесть.

В кубе имеются также пл
оскости симметрии. Три из них
расположены параллельно граням куба, остальные шесть являются
диагональными плоскостями {110}
-

(рис. 5.3). Центр симметрии куба
находится в

его центре (рис. 5.2).

2. Учитывая все найденные элементы симметрии куба, получим е
го
формулу симметрии
4
L
3
3
L
4
6
L
2
9
PC
.

3. Определяющим элементом симметрии следует считать четыре оси
третьего порядка (4
L
3
).

4.
Наличие четырех осей третьего порядка определяет

сингонию


кубическую.

5. Международный символ записи класса симметрии,

со
ответствующий полученной формуле симметрии,


m
3
m
.


5.6. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОП
РОСЫ:


1. Какие элементы симметрии характерны для сплошной

кристаллической среды?

2. Что такое "класс симметрии" ? Сколько их существует ?

3. Как выбирают расположение координатных
осей элементарной
ячейки различных сингоний с учетом симметрии ячейки ?

4. Какие элементы симметрии определяют различные сингонии:

триклинную,

моноклинную,

ромбическую,

тетрагональную,

гексагональную и ромбоэдрическую,

кубическую?

5. Как расшифровывается с
имвол класса симметрии?


ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
№ 6
СИММЕТРИЯ СТРУКТУРЫ
КРИСТАЛЛОВ

(СИММЕТРИЯ ДИСКОНТИН
УУМА)


6.1.
ПОНЯТИЕ О СИММЕТРИИ
ДИСКОНТИНУУМА И
ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ГРУ
ППЕ


Наличие 32 классов симметрии кристаллических многогранников
показывает, что все мно
гообразие, вся красота внешних форм кристалла
подчиняется простым и строгим законам симметрии. Симметрия
внутренней структуру кристаллов, расположения частиц (атомов, ионов,
молекул) внутри кристаллов должна быть сложнее и богаче. Ведь
внешняя форма криста
ллов ограничена, а кристаллическая решетка
простирается бесконечно во все стороны пространства.

Законы расположения частиц в кристаллах были установлены
великим русским кристаллографом Е. С. Федоровым в 1891 г. Им было
найдено 230 способов расположения час
тиц в пространственной решетке,
230 способов сочетания элементов симметрии друг с другом в
кристаллических структурах


230 пространственных групп симметрии.

Хотя симметрия пространственной решетки многообразнее и богаче, но
и здесь действуют строгие матем
атические законы. Е. С. Федоров вывел все
возможные геометрические законы сочетания элементов симметрии в
пространственных решетках, то есть законы симметрии расположения частиц
внутри кристаллов. Пространственная группа представляет собой сочетание
элемен
тов симметрии, описывающее расположение частиц в кристаллах.


6.2. ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТ
РИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ

РЕШЕТОК


Законы симметрии дисконтинуума имеют свои особенности. Помимо
описанных выше элементов симметрии (центр симметрии, плоскость
симметрии, поворотн
ые и инверсионные оси), в дискретной среде
возможны и другие элементы симметрии, связанные с бесконечностью
пространственной решетки и периодической повторяемостью в
расположении частиц. Имеется и другое отличие. Если в кристаллических
многогранниках элеме
нты симметрии пересекаются в одной точке, то в
пространственной решетке элементы симметрии периодически
повторяются, то есть имеются серии взаимно параллельных осей,
плоскостей и т.д.

Рассмотрим новые виды симметрии, присущие только дисконтинууму. Их
три:
трансляция, плоскость скользящего отражения и винтовая ось.

Трансляция


это перенос всех частиц по параллельным направлениям в
одну и ту же сторону на одинаковую величину. На рис. 6.1 показан
симметричный бесконечный ряд фигурок (это могут быть какие
-
то
г
руппы атомов), расположение которых характеризуется единственным
элементом симметрии


трансляцией, показанной стрелкой. Трансляция
является простым элементом симметрии, присущим каждой
пространственной решетке. Комбинация трансляции с плоскостью
симметрии

приводит к появлению плоскости скользящего отражения,
сочетание трансляции с поворотной осью создает винтовую ось.



Рис. 6.1. Бесконечный ряд частиц с трансляцией t


Плоскость скользящего отражения, или плоскость скольжения


это
такая плоскость, при от
ражении в которой как в зеркале с последующей
трансляцией вдоль направления, лежащего в данной плоскости, на
величину, равную половине периода идентичности для данного
направления, совмещаются все точки тела. Под периодом идентичности,
как и ранее, будем п
онимать расстояние между точками вдоль какого
-
то
направления (например, периоды а, , с в элементарной ячейке


это
периоды идентичности вдоль координатных осей X, Y, Z).

На рис. 6.2, а показано расположение частиц, симметричных
относительно плоскости си
мметрии, а на рис. 6.2, б представлены
частицы, расположенные симметрично относительно плоскости
скольжения. На чертежах плоскость скольжения обозначается штриховой
линией.


а


б


Рис. 6.2. Действие плоскости симметрии (а) и плоскости скольжения (б)


В

зависимости от вида трансляции различают пять типов плоскостей
скольжения (табл. 6.1).


Таблица 6.1.

Плоскости скользящего отражения

Обозначение
плоскости скольжения

Направление трансляции

Величина
трансляции

1

2

3

a

(вдоль [100])


b

(вдоль [010])


c

(вдоль [001])


n

Диагональ
нецентрированной грани
(типа <110>)

, или
, или

d

Диагональ
центрированной грани
(типа <110>)

, или
, или


Винтовая ось


это прямая, поворот вокруг которой на некоторый угол,
соответствующий порядку оси, с после
дующей трансляцией вдоль оси на
величину, кратную периоду идентичности t, совмещает точки тела.
Обозначение винтовой оси в общем виде nS ,где n характеризует порядок
поворотной оси (n 1, 2, 3, 4, 6), а



величину трансляции вдоль оси.
При этом S

целое число, оно может принимать следующие
значение S  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Итак, для винтовой оси второго порядка
трансляция составляет

, для винтовой оси третьего порядка
наименьший перенос


Обозначение винтовой оси второго порядка будет 21. Совмеще
ние частиц
произойдет после поворота вокруг оси на 180


с последующей
трансляцией вдоль направления, параллельного оси, на
. Наименьший
перенос для винтовой оси третьего порядка равен



ось 31. Однако
возможны оси с переносом, кратным наименьшему. Поэто
му возможна
винтовая ось 32 с трансляцией
. Оси 31 и 32 означают поворот вокруг
оси на 120° по часовой стрелке с последующим переносом. Эти винтовые
оси называются правыми. Если же поворот производить против часовой
стрелки, то центовые оси симметрии назы
ваются левыми. При этом
действие оси 31 правой тождественно действию оси 32 левой и 32 правой


31 левой. Так же могут рассматриваться винтовые оси симметрии
четвертого и шестого порядков: оси 41 и 43 оси 61 и 65, 62 и 64. могут
быть правам и левыми. Дейст
вие осей 21, 42 и 63 не зависит от выбора
направления вращения вокруг оси. Поэтому они являются нейтральными.
Условные обозначения винтовых осей симметрии:



21

41

61

64


31

42

62


65


32

43

63


На рис. 6.3 показано действие поворотной оси симметрии 3 и винтовой
31.




А

б

Рис. 6.3. Действие поворотной оси 3 (а) и винтовой 31 (б)


6.3. ОБОЗНАЧЕНИЕ ПРО
СТРАНСТВЕННОЙ ГРУППЫ

СИММЕТРИИ


Символ

пространственной группы содержит полную информацию о
симметрии кристаллической структуры. На первом
-
месте в символе

пространственной группы ставится буква, характеризующая тип решетки
Браве, то есть трансляционную симметрию:

Р



примитивная,

С



базоцент
рированная,

I



обьемноцентрированная,

F


гранецентрированная.

В ромбоэдрической сингонии на первом

месте ставят букву
R
.

Далее следуют одно, два или три числа или буквы, указывающие
элементы симметрии в главных направлениях, аналогично тому, как это
дела
ется при составлении обозначения класса симметрии.

Если в структуре в каком
-
нибудь из главных направлений
одновременно располагаются и плоскости симметрии и оси симметрии,
предпочтение отдается плоскостям симметрии, и в символ
пространственной группы запи
сываются плоскости симметрии. При
наличии нескольких осей предпочтение отдается простым осям


поворотным и инверсионным,

поскольку их симметрия является более
высокой, чем симметрия винтовых осей.

Имея символ

пространственной группы, легко можно определит
ь тип
решетки Браве, сингонию ячейки, элементы симметрии в главных
направлениях. Так, пространственная группа
P
4
2

/
mnm

характеризует
примитивную ячейку Браве в тетрагональной сингонии (винтовая ось
четвертого порядка 4
2

определяет тетрагональную сингонию)
. В главных
направлениях расположены следующие элементы симметрии. С
направлением [001]


оси
Z

совпадает винтовая ось 4
2

,которая
перпендикулярна симметрии
m
.

В направлениях [100] и [010] (оси
Х

и
Y
)

расположена плоскость скользящего отражения типа
n
,
в н
аправлении
[110] проходит плоскость симметрии
m
.

6.4. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ
ТИПОВЫХ ЗАДАЧ



Задача.

У модели кристаллической структуры железа:

1)

найти элементы
симметрии ;

2)

выделить элементы симметрии в главных направлениях;

3)

записат
ь символ пространствен
ной группы симметрии.

Решение.

1) Элементарная ячейка железа (р
ис. 6.4) представляет собой
обьемноцентрированный

куб,
то есть
ячейка Браве
I

типа. В ней имеются
характерные для куба элементы симметрии, описываемые формулой
симметрии
4
L
3
3
L
4
6
L
2
9
PC
,

а также
трансляции
,

плоскости
скользящего отражения и винтовые оси.



Рис. 6.4. Схема элементарной ячейки железа


На рис. 6.5 показана одна из плоскостей скольжения типа

n
.
Действительно, после отражения атома 4 относительно данной плоскости
с последующей тра
нсляцией вдоль направления диагонали грани на
величину, равную ее половине, мы

попадем в центр ячейки (атом 9) На
рис. 6.6 изображена плоскость типа
С
. Отразив относительно нее атом 6 и
перенеся его параллельно оси 2


на величину, равную половине периода
и
дентичности
С
, мы совместим его с атомом 9. На рис. 6.7 представлена
проекция структуры железа на грань (001), указано расстояние всех
атомов ячейки от плоскости проекций в осевых единицах и штрихами
изображены плоскости скользящего отражения
n

и
c
, пер
пендикулярные
этой грани.

В структуре железа имеются также плоскости скольжения типа
а

и
b
,
в чем нетрудно убедиться, взяв проекцию ячейки на грани (100) и (010).

В структуре железа легко найти винтовые оси 4
2

и 2
1
. На рис. 6.8.
изображены оси 4
2

и 2
1
, па
раллельные координатной оси. На рис. 6.9
показана проекция структуры на плоскость грани (001
)
. Нетрудно
убедиться, что указанные направления действительно являются
винтовыми осями

4
2

и 2
1
. Повернув атом 4

(рис. 6.8) на 180° вокруг оси 2
1

и смещая его парал
лельно оси
Z

на величину
,
попадем на место атома
9. Аналогичным образом, произведя поворот атома 1 вокруг оси 4
2

н
a
угол 90° с последующей трансляцией на

, попадем на место атома 9. В
структуре железа имеются также оси 4
2

и 2
1
, расположенные параллельн
о
координатным осям
X

и
Y
.

2)Найдем элементы симметрии в главных направлениях <100>,
110腁ጄ,

<111> (рис. 6.10). Вдоль направлений <
100�
проходят поворотные оси
четвертого порядка 4, которым перпендикулярны плоскости симметрии.
Последние вносятся в символ пр
остранственной группы на втором месте.
Вдоль направлений <111> проходят поворотные оси третьего порядка 3,
которые запишутся на третьем месте в символе пространственной группы.
Вдоль направления <110> проходят поворотные оси второго порядка, им
перпендикул
ярны плоскости симметрии
m

и плоскости скольжения типа

a
,
b
,
c
.

В символ пространственной группы на третьем месте запишутся
только плоскости
m

поскольку из всех элементов симметрии отдается
предпочтение плоскостям симметрии.

3) Символ пространственной груп
пы железа
Im
3
m
.



Рис. 6.5. Плоскость скользящего отражения типа
n

в решетке железа




Рис. 6.6.
Плоскость скользящего отражения типа
С

в решетке железа



Рис. 6.7. Плоскость скользящего отражения типа
С

в


решетке железа (проекция)




Рис. 6.8. Винтов
ые оси 2
1

и 4
2

в решетке железа



Рис. 6.9. Расположение винтовых осей в решетке железа (проекция)




Рис. 6.10. Главные направления для кубической решетки железа


6.5. ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМ
ОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ


1. Определить элементы симметрии дисконтинуума.

2
.

Проанализировать символ заданной пространственной группы.

3.

О
пределить тип ячейки

Браве.

4. Указать сингонию
.

5. О
пределить элементы симметрии в главных направлениях.

Символы пространственных групп для самостоятельной работы
приведены в табл. 6.2.


Табл
ица 6.2

Варианты заданий дня самостоятельной работы

1

2

3

4

5

6

7

P
2
1

Pm
3
m

C
2/
m

Pna
2
1

P
6
3
/
m

I
a
3
d

P
2
1
/
m

8

9

10

11

12

13

14

Pnma

P
6
3
mc

P
4
2
/
mmc

P
2
1
2
1
2
1

F
3
m

Fd
3
m

I
a
3

15

16

17

18

19

20

21

P
m
2

I
4
/
mcm

I
4
1
/
a

I
2
d

P
2
1
/
c

Pa
3

Pca
2
1

22

23

24

25




P
6
3
/
mmc

I
4
1
/
amd

F
222

I
bca






6.6. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОП
РОСЫ


1. Какие элементы симметрии характерны в дискретной

кристаллической среде ?

2. Что такое плоскость скользящего отражения ?

3. Какого типа бывают плоскости скользящего отражения ?

Чем они отличаются друг от др
уга?

4. Что

такое винтовая ось ? Как обозначаются винтовые оси?

5.

Что характеризует пространственная группа ?

6.

Как составляется символ пространственной группы ?


Список литературы


1. Попов, Г. М. Кристаллография/Г. М. Попов, И. И. Шафрановский.


М.: В
ысшая школа, 1972


352 с.

2. Бокий, Г. Б. Кристаллохимия/Г. Б. Бокий.


М.: Наука, 1971.


400
с.

3. Келли, А. Кристаллография и дефекты в кристаллах: Пер. с
англ./А. Келли, Г. Гровс.


М.: Мир, 1974.


496 с.

4. Шаскольская, М. П. Кристаллография / М.

П. Шаскольская.


М.: Высшая школа, 1982.


375 с.

5. Васильев, Д. М. Физическая кристаллография/Д. М. Васильев.


М.: Металлургия, 1981.


248 с.

6. Кристаллография, рентгенография и электронная микроскопия /
Я. С. Уманский, Ю. А. Скаков, А. Н. Иван
ов, Л. Н. Расторгуев


М.: Металлургия, 1982


631 с.

7. Современная кристаллография / Под ред. акад. Б. К. Вайнштейна.


М.: Наука. Т. 1.


1979.

383 с.; т. 2.


1979

359 с.; т. 3.


1980.


407 с.; т. 4.

1981.

488 с.

8. Горелик, С. . Рентгеногр
афический и электроннооптический
анализ / С. С. Горелик, Л. Н. Расторгуев, Ю. А. Скаков.


М.: Металлургия, 1970.


368 с.

10. Кушта, Г. П. Введение в кристаллографию/Г. П. Кушта.


Львов:
Вища школа, 1976.


238 с.


11.
Розин, К.
М. Практическое руководство по кристаллографии и
кристаллохимии / К. М. Розин, З. Б. Гусев.


М.: Металлургия, 1982.


168 с.




































Приложенные файлы

  • pdf 8942621
    Размер файла: 3 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий