Матан. МР РГЗ Диф. исч. ФОП


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛО
ВСТВУ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ

БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕ
Р
СИТЕТ»




Кафедра Высшей математики и
программного обеспечения

ЭВМ



Методические указания

к выполнению расчетно
-
графического задания

«Приложения дифференциального исчисления функций одной
переменной»


по дисциплине:

«
Математический анализ
»
____
_______________
_________

название дисц
и
плины

для направления специальности
_____________
230100.62
____________
___

код направления специальности

______
«
Информатика и вычислительная техника
»
,
бакалавриат,
__________

наименование направления подготовки


очная форма обучения
__________________________________

код и наименование специальности, форма обучения







Мурманск

201
2


2

УДК 517.2076

ББК 22.161

М
-
54








Составитель


Кацуба Валентина Сергеевна, канд. физ.
-
мат.наук, доцент
кафедры Высшей математики и ПО ЭВМ



Методические указания к выполнению расч
етно
-
графического задания

«Приложения дифференциального исчисления функции одной переменной» по
дисциплине «Математический анализ» ра
ссмотрены и одобрены на заседании
кафедры
-
разработчика Высшей математики и программного обеспечения ЭВМ



«



»





2012

г., протокол № .

дата



Рецензент



Середа Владимир Игнатьевич, канд. физ.
-
мат.наук,
доктор
технических наук,
профессор кафедры Высшей математики и ПО
ЭВМ









Зарегистрировано как электронное издание МГТУ

Заказ 133

Уч
-
изд. листов


2, 3


3


О
главление


1. Общие организационно
-
методические указания

................................

4

2. Задание, план выполнения, требования к оформлению

....................

4

3. Список рекомендуемых источников

................................
....................

5

4. Образец заданий одного варианта

................................
........................

6

5. Пример
выполнения заданий РГЗ

................................
........................

7

Задача 1

................................
................................
................................
.....

7

Задача 2

................................
................................
................................
.....

8

Задача 3

................................
................................
................................
...

19

Задача 4

................................
................................
................................
...

20

Задача 5

................................
................................
................................
...

21

Задача 6

................................
................................
................................
...

22

Приложение А. Образец оформления титульного листа

.....................

24

Приложение Б. Варианты заданий

................................
.........................

25


.


4

1. О
бщие организационно
-
методические у
казания


Расчетно
-
графическое задание «Приложения дифференциального
исчисления функций одной переменной» предусмотрено в
дисциплин
е

«Математический анализ» и

включает в себя
часть
основны
х

пр
икладных

задач
по тем
е

«
Дифференциальное исчисление функций одно
й переменной
»
.

Кроме
РГЗ, по этой теме дисциплины
проводится текущий контроль в форме
самостоятельных работ
.

Целевая установка
: п
ри выполнении РГЗ студент должен показать
усвоенный материал по
свойствам функции
, исследован
ию функций с
помощью производных
,
решению задач на наибольшее и

(
или
)

наименьшее
значения функции в том числе текстовых задач, решению задач н
а
механический смысл производных

и приложения дифференциала.


2.
Задание, план выполнения, требования к оформлению


РГЗ содержит
6

задач

на основн
ые приложения производной и
дифференциала.


Содержание задач каждого варианта:

Задача 1.

Н
айти наибольшее и наименьшее значения функции на
замкнутом промежутке
.

Задача
2
.


П
ровести полное исследование

свойств

функци
й

и построить

их

график
и всего 4 функци
и.

Задача
3
.


Т
екстовая задача на наибольшее или наименьшее значение
некоторой величины
.

Задача
4
.


З
адача на применение свойства дифференциала
.

Задача
5
.


З
адача на механический смысл первой и второй производных
.

Задача
6
.


З
адача

на чтение свойств функции по её графику
.





5

Общие требования к оформлению РГЗ:



решения задач должны быть оформлены рукописью в отдельной
тетради;



к
аждая задача должна иметь усло
вие, подробное решение и ответ;



в

решении нужно ссылаться на теоретические фа
кты

из темы РГЗ
,
на основан
ии которых строится решение;



п
остроение чертежей или рисунков, приведение подробных
выкладок в решении обязательно.


План выполнения

РГЗ
:



РГЗ выдается
после

обзорной лекции «Приложения производной к
исследованию функции и п
остроению её графика» и вы
полняется

студентом

с использованием обучающей

программы
«Исследование функции

и построение её графика
» в течение двух


трех недель;



п
реподавателем может назначаться защита РГЗ всей группе или
отдельным студентам.


3. Список рек
омендуем
ых

источников


1.

Конспект лекций ведущего преподавателя дисциплины.

2.

Обучающая

программа «Исследование функции и построение графика
».
Разработчик
и
: Возженников А.П.
, Кацуба В.С.



Мурманск, 2005.

3.

Приложения производной функции одной переменной. Практ
икум по
высшей математике. Составитель: Тихонова В.Ф.


Мурманск, 2004.
электронный вариант

4.

Письменный Д.Т. Конспект лекций по вы
с
шей математике.
1

часть.


М.:
Рольф, 2000.


2
88
с.

5.

Данко П.Б., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2
-
х
частях. Часть
I
:
Учебное пособие для втузов.


М.: Высш. шк., 199
6
.


304
с.


6

4.
Образец заданий одного варианта



Задача 1

Найти наибольшее и наименьшее значени
я

функции

на замкнутом промежутке,
построив её график на этом промежутке
, если

.

Задача 2

Провести полное исследование

свойств

следующих функций и построить их графики:

1)
;


2)
;


3)
;


4)
.

Задача 3

Найти соотношение между радиусом
R

и высотой
H

цилиндра, имеющего при данном
объеме
V

наименьшую
площадь полной

поверхност
и
.

Задача 4

Используя равенство

вычислить приближенно

ес
ли
.

Задача 5

Баржу, палуба которой на 4 м ниже уровня пристани, подтягивают к ней при помощи каната,
наматываемого на ворот со скоростью 2 м
\
с. С каким ускорением


движется баржа в
момент, когда она удалена от

пристани на 8 м

по горизонтали?

Задача 6

Дан график функции

.
По графику ответить на следующие
в
опросы
:

1
)

чему равно значение
?

2
)

чему рав
н
ы

предел
ы:

,
?

3
)

за
пишите промежутки изменения аргумента,


на которых выполняются три условия
:





4
)

чему рав
ны пределы:

,
,
?

5
)

з
апишите нули функции;

6
)

запишите уравнения асимптот;

7 запишите промежутки знакопостоянства



и
;

8 чему равно значение
?



7


5.
Пример выполнения
заданий
РГЗ


Задача 1

Найти наибольш
ее и наименьшее значения функции

на замкнутом промежутке,
построив её график на этом промежутке, если

.


Решение


Данная функция является непрерывной на данном замкнутом промежутке, поэ
тому она
имеет на этом промежутке наибольшее и наименьшее значения это гарантируется теоремой
Вейерштрасса о свойствах непрерывных функций на замкнутых промежутках.


Наибольшее и наименьшее значения функции могут достигаться в точках локальных
экстремумо
в внутри отрезка или на концах отрезка.


Находим точки локальных экстремумов данной функции внутри данного отрезка:


, т.е
.



или


-

это
стационарные точки данной функции и обе они находятся внутри
отрезка
;

проверяем достаточные условия экстремумов в стационарных точках:





знаки



монотонность






Находим значения
f
(
x
)

на концах данного промежутка:

,
.


Схематично строим график функции и определяем, что




Ответ:

функция

на промеж
утке

имеет

наибольшее значение

при

и

наименьшее значение

при
.





8

Задача 2

Провести полное исследование

свойств


следующих

функций и пос
троить их графики:


1)
;


2)
;


3)
;


4)
.

Решение


1.



1)

ООФ:

;


2)

нули функции и промежутки

знакопосто
янства:


;



ООФ

нулей функции нет;



на

всем

промежутке

существования функии

;


3)

непрерывность, точки
разрыва, вертикальные асимптоты:

функция непрерывна на промежутке
так
к
ак

является элементарной,

с
ледовательно
,

непрерывной на своей ООФ;

проверим наличие вертикальной асимптоты

на границе ООФ, то есть

при
:




односторонняя
левосторонняя
вертикальная
асимптота графика функции;


4)

четность
, периодичность
:

свойством четности данная функция обладать не может, так как её ООФ не является
симметричной относительно нуля; следовательно, функция н
е является ни четной, ни
нечетной
;

ф
ункция не является периодической;


5)

монотонность и
локальные
экстремумы:

;


, т.е.


стационарная точка;


достаточные условия монотонности и экстремум
ов:



знаки



монотонность


вычисляем
значение
экстремум
а

фун
кции
:



9


;


функция убывает на промежутке

и


во
зрастает на промежутке
;


6)

вогнутость, выпуклость, точки перегиба:

;


точки,

подозрительные на перегиб
:

;


достаточные условия выпуклости, во
гнутости, точек перегиба:




знаки



выпуклость/вогнутость



вычисляем

ординату

точки перегиба:

;

т
очка перегиба
; график функции является вогнутым на промежутке

и выпуклым на промежутке

;


7)

наклонные горизонтальные асимптоты:

если график имеет наклонную асимптоту, то её уравнение
, где

,
;

в
ычисляем

значения
k

и
b

для исследуемой функции
:




т
ак как

, то
наклонных асимптот нет;


8)
дополнит
ельные точки

графика:



.


10

Ответ

1
: график функции






















сводная таблица свойств

функции
:


x

(0;1)

1

(1;3)

3

(3;
)




0

+

+

+


+

+

+

0





min

y
=2


перегиб

y
2,28



односторонняя
вертикальная а
симптота
x

=

0

при
)
.


2.


1)

ООФ:



2)

ОЗФ
, нули функции, промежутки знакопостоянства
:

нулей функции нет
;


при
;


3)

непрерывность, точки разрыва, вертикальные асимптоты:

функция непрерывна на
своей

ООФ
, так как явля
ется элементарной

нет точек
разрыва

нет вертикальных асимптот;


4)

четность
, периодичность
:

функция может обладать свойством четности, так как её ООФ симметрична
относительно нуля;


11



функц
ия ни четная, ни нечетная;

функция не

является периодической
;


5)

монотонность,

локальные

экстремумы
:

;

необходимое условие экстремумов:



это
стационарные
точк
и;

достат
очные условия монотонности и экстремумов:



знаки



монотонноть


значения локальных экстремумов
:





на промежутке
;

на промежутке
;


6)

вогнутость, выпуклость, точки перегиба:


необходимое условие перегибов:




это точки,
подозрительные на
перегиб
;

достаточные условия выпуклости, вогнутости, точек перегиба:





знаки



выпуклость/вогнутость



ординаты точек перегиба:


12


график функции имеет две точки перегиба
, является вогн
утым на
промежутках

и является выпуклым на промежутке
;


7)

наклонные и горизонтальные асимптоты:

е
сли график имеет наклонную асимптоту, то её уравнение

где


,

;

так как

при

и


при
, то
для данной функции
нужно
отдельно рассматривать пределы при

и

при

:


при

асимптот нет;


так как

, то

;


прямая



является горизонта
льной асимптотой, но только

при
;

8)

д
ополнительн
ые


точк
и

графика:

.

Ответ

2
:


график функции



















A

(0,6; 1,2)












B

(2; 1,54)












C

(3,
4; 1,4)

















13


сводная таблица свойств

функции
:


х


0


0,6


2

(2; 3,4)

3,4





0

+

+

+

0








+

+

+

0







0

+



min

y
=1


перегиб



max



перегиб




горизонтальная асимптота


y
=1

только

при


3.



1)

ООФ:

2)

непрерывность, точки разрыва, вертикальные асимптоты:

функция непрерывна на всей ООФ, т.е. при
, т
ак как

является
элементарной

точек разрыва
нет
и вертикальных асимптот нет;


3)

четность
, нечетность, периодичность
:

функция может

обладать свойством четности, так
к
ак

её ООФ симметрична
относительно нуля;

функция не является ни четной, ни нечетной;

функция
не

является периодической
;

4)

нули функции и промежутки знакопостоянства:

y

= 0

или


знаки



5)

монотонность,


локальные

экстремумы
:

;

необходим
ое условие экстремумов:



функция имеет две

критические точки

и
, причем, точка
x
2

является подозрительной на
острый экстремум;

достаточные условия монотонности и экстремумов:



з
наки



монотонноть





;

6)

вогнутость, выпуклость, точки перегиба:


;


необходимые усл
овия

для точки

перегиба:


функция имеет 2 точки, подозрительные

на перегиб;
достаточные условия

для выпуклости, вогнутости, точки
перегиба:



знаки



выпуклость/вогнутость


ордината точки перегиба:

;

график функции имеет одну точку перегиба
, является выпуклым на
промежутке

и является вогнутым на промежутке
;

7)

наклонные и горизонтальные асимптоты:

е
сли график имеет наклонную асимптоту, то её уравнение

где


наклонных асимптот нет;


8)

д
ополнительные точки графика:


15

;


.


От
вет

3
:

график функции






A
(
-
0,2;
-
0,41)

B
(0,4;
-
0,324)











сводная таблица свойств

функции
:

х


-
0
,2


0


0,4



+

+

+

не




0

+




0

+

не


+

+

+



перегиб

y
=

0,41


0


min

y

=

0,324



ас
имптот у графика нет.


4.


1)

ООФ:

, т
о есть

;

2)

нули функции
, промежутки

знакопостоянства

функции
:


16



нулей функции нет;


на промежутке
,




на промежутке
;

3)

непрерывность, точки разрыва, вертикальные асимптоты
:

функция имеет точку разрыва
, так как эта точка не принадлежит ООФ, но её
окрестность входит в ООФ;

чтобы

узнать поведение функции в окрестности точки
разрыва
, нужно вычислить односторонние пределы

функции при
:



-

точка бесконечного разрыва разрыв втор
ого рода,

пр
ямая

является вертикальной асимптотой графика функции;

4)

четность
, периодичность
:

ООФ не является симметричной относительно нуля, поэтому функция не может
обладать свойством четности/нечетности, следовательно, функция не является ни
ч
етной, ни нечетной;

также функция не является периодической;

5)

монотонность,

локальные

экстремумы
:

;

необходимое условие экстремумов:

;



не существует при
, но эта точка не входит в ООФ, поэтому не является
подозрительной на экстремум;

достаточные условия монотонности и экстремумов:



знаки




монотонноть










вычисляем
значения экстремумов

функции
:





данная
функция возрастает на промежутках


17


,


и

убывает на промежутках
,

,

имеет два

локальных

экстремума:


6)

вогнутость/выпуклость, точки перегиба:



необходимое условие
точки
перегиба:


нет точек перегиба;


не существует при
, н
о эта точка не входит в ООФ, поэтому в ней перегиб
быть не может;

достаточное условие выпуклости/вогнутости:


знаки



выпуклость/вогнутость







график функции является выпуклым н
а промежутке

и является вогнутым
на промежутке
;

7)

наклонные и горизонтальные асимптоты:


где


,

;

Вычисляем числа
k

и

b

для данной функц
ии:

;

;


18

по найденным числам

k

и

b

делаем вывод, что



уравнение наклонной
асимптоты.

Ответ

4
:


график функции







А
(3,45; 6,9)

В
(1,45;
-
2,9)











сводна
я таблица свойств

функции
:

х


-
1,45

(
-
1,45; 1)

1

(1; 3,45)

3,45



+

0






0

+









+

+

+



max





min







уравнение
наклонной асимптоты
,

x

=

1



уравнение вертикальной асимптоты.



19



Задача 3

Найти соотношение между радиусом
R

и высотой
H

цилиндра, имеющего при данном
объеме

V

наименьшую

площадь

полн
ой

поверхност
и
.


Решение

Записываем известную формулу для объема цилиндра:


;


так
к
ак

по условию задачи
, то

.


С
оставим площадь полной поверхно
сти
цилиндра
как функцию одной переменной
R
:



.


Таким образом, математическая модель задачи получилась в виде функции одной
переменной, для которой т
ребуется найти значение
аргумента
R
,

при котором составленн
ая
функция

имеет наименьшее значение.


Найдем

и точку
R
0
, подозрительную на
локальный
экстремум
:


;

, то
е
сть

;


проверим
достаточн
о
е условие экстремума

в точке
:






нарисуем
схематичный график функции

и по графику определим, что

, где
:



В
ыч
и
сляем

значение

H

при

значении

:


20

.




В

результате решения задачи получено, что при фиксированном объеме цилиндр будет
иметь наименьшую площадь полной поверхности

в том случае
,

когда

его высота в два раза
больше радиуса основани
я.


Ответ:

.


Задача 4

Используя равенство

вычислить приближенно

если
.


Решение

Используем следующие теоретические факты:





формула для
приращения функции


в точке
х
,

вызванного
приращением аргумента
;




связь между приращением

дифференцируемой
функции и её дифференциалом,
справедливая при малых приращениях аргумента

;





формула для вычисления дифференциала функции

f
(
х
).


Тогда

из совокупности этих теоретических фактов получаем, что





то есть при малых
значение функции

в некоторой приращенной точке

можно вычислить по

следующей

приближенной формуле
:





(
)









В данной задаче

имеем
:

;






;

.



21


При вычислении приближенного значения функции

по формуле 
 получается
погрешность, совпадающая с погрешностью при замене приращения этой функции на ее
дифференциал:



-

погрешность



этого приближенного равенства

теоретически
и
звестна и является величиной более высокого порядка малости, чем приращение аргумента
:

.

В данной задаче
, по
этому погрешность можно описать как величину,
имеющую более высокий порядок
малости, т.е.
.


Ответ:


Задача 5

Баржу, палуба которой на 4 м
етра

ниже уровня пристани, подтягивают к ней при помощи
каната, наматыва
емого на ворот со скоростью 2 м/
с.
Определить, с

каким ускорением


движется баржа в момент, когда она удалена от пристани на 8 м
етров

по горизонтали.


Решение

Рисунок к задаче:





S



расстояние

от баржи до пристани

по горизонтали
;

t



время
, отсчиты
ваемое от начала притягивания баржи к пристани
;




момент времени, в который баржа была удалена от пристани на 8 м
етров
;


[
S
] = [1
м
], [
t
] = [1 c
ек
].


Закон движения баржи функция
S
(
t
))

мо
ж
ет быть
составлен

по
теореме Пифагора:





где
A
0


начальная длина каната;


ООФ
S
(
t
):

Вычислим момент времени

,

в который

баржа была удалена на 8 м
етров

от пристани:


.


По механическому смыслу производ
ной имеем, что скорость движения баржи равна
, а
ускорение равно
.


Вычислим
:




22

.


Вычислим значение ускорения в момент времени
t
0
:




[
] = [1

м/с
ек
2
]
.


Ответ:


м/с
ек
2
.


Задача 6

По
данному графику функции ответить

на
следующие

вопросы:






















1
)

чему равно значение
?

2
)

чему равны
пре
дел
ы:
,
,

?

3
)

запишите промежутки изменения аргумента, на которых выполняются три условия





4
)

чему равны

п
ределы:

,
,
?

5
)

запишите нули функции;

6
)

запишите уравнения асимптот;


23

7 запишите промежутки знакопостоянства

и
;

8 чему равно значени
е
?


О
тветы
:


1)

;

2)

,
,
;

3)

н
а промежутках



выполняются три условия:








4)

,
,
;

5)


в точках
x

 0 и
x

=

3;

6)

уравнения асимптот:
x

=
-
1,5;

x

= 1,5;

x

= 4


это уравнения вертикальных асимптот;


y

= 0


уравнение горизонтальной асим
птоты при
;

7)


промежутки знакопостоянства первой и второй производных:


при
;






таких промежутков нет
;


при
;


при
;

8)

.


24

Приложение А. Образец оформления титульного листа


ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО

ПО РЫБОЛОВСТВУ

ФГ
Б
ОУ ВПО

«
М
урманский государственный технический

у
ниве
р
ситет»



Кафедра Математики,
информац
ионных технологий

и

ПО




Расчетно
-
графическое задание


«
Приложения дифференциального исчисления функций одной
переменной
»

по дисциплине «
Математический анализ
»







выполнил:


студентка

группы

ИВТ
-
111




Осетрова Т
.

проверил:

доцент
Кацуба В.С.

оценк
а:

_____________________

дата:


_____________________







Мурманск
,

20
16




25

Приложение Б. Варианты заданий


Специальность


09.03.01 «
И
ВТ
»



дисц. М
атематический

а
нализ



РГЗ


1


«Приложения дифференциального

исчисления функций одной переменной
»


Вариант 1

Задача 1

Н
айти наибольшее и наименьшее значения функции

на замкнутом промежутке,
построив ее график на этом промежутке, если

.

Задача 2

Провести полное исследование

свойств

функции и построить график:

1)
;


2)
;


3)

;


4)

.

Задача

3

Берман, №1252

На странице книги печатный текст должен занимать
S

квадратных сантиметров. Верхнее и
нижнее поля должны быть по
а

см, правое
и левое
поле


по
b

см. Если принимать во
внимание только экономию бумаги, то какими должны быть наиболее выгодные размеры
страницы?

Задача 4


Используя равенство
, вычислить приближенно
.

Задача
5

Берман,


8
22
)

Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот
был сделан колесом за 8 с
екунд
. Найти угловую скорость

через 32 с
екунды

после начала
движения
?


Задача
6

Да
н график функции.

Найти:

1)
з
начение

f
(
3
)
;

2)
,

;

3)
локальные
экстремумы ф
у
нкции
;

4)
значения
x
,

для которых выполняю
тся


три условия:
;

5)

значения
x
,

для которых


f
(
x
)

= 4
;

6)

значение
;

7)
уравнения асимптот;

8 промежутки знакопостоянства
.

26


Специальность 09.03.01 «И
ВТ
»



дисц. Математический

а
нализ



РГЗ


1


«Приложения дифференциального

исчисления функций одной переменной
»

Вариант 2




Задача 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на замкнутом промежутке,
построив ее график на этом промежутке, если
,
.

Задача 2

Провести полное исследование

свойств следующих

функции и построить
их
график
и
:

1)
;


2)
;

3)
;


4)
.


Задача 3

Берман, №1221

Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар
фиксированного
радиуса


R
.

Задача 4


Используя равенство
, вычислить приближенно

.

Задача 5

Берман, №1084

Тяжелую балку длиной 13 м спускают на землю так, что нижний конец
прикреплен к вагонетке, а верхний удерживается канатом, намотанным на ворот.
Канат сматывается со скоростью 2 м/мин. С каким ускорением откатывае
тся
вагонетка в момент, когда она находится на расстоянии 5 м от точки
О

рис.1
?

Задача 6

Дан график функции
.

Найти:

1)
промежутки

непрерывности функции;

2)
значения
, для которых выполняют
ся
одновременно условия
,
,
;

3)
значения
, для которых
;

4)
значение
;

5)
,
,
;

6)
,
;

7)
экстремумы функции.

8 промежутки знакопостоянства
.
рис.1

О



27


Специальность 09.03.01 «И
ВТ
»



дисц. Математический

а
нализ



РГЗ


1


«Приложения дифференциального

исчисления функций одной переменной
»



Вариант 3

Задача 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на замкн
утом промежутке,
построив ее график на этом промежутке, если
,
.

Задача 2

Провести полное исследование
свойств следующих
функции и построить

их

график
и
:

1)
;

2)
;


3)
;

4)
.


Задача 3

Берман, №1222

Найти высоту конуса наибольшего объема, который можно вписать в шар

фиксированного

радиуса

R
.

Задача 4

Бе
рман, №900

Используя равенство
, вычислить приближенно
.

Задача 5

Берман, №
824
)

Количество электричества, протекшее через проводник, начиная с момента времени
,
дается формулой

Кл. Найти силу тока в конце пятой секунды
?

Задача 6

Дан график функции

:

Найти:

1)
;

2)
,
,
;

3 значения
, для которых
;

4 знаки
,
,

для

;

5 значения
, для которых
;

6)
,
;

7 уравнения асимптот;

8 промежутки знакопостоянства

и




.




28



Специальность 09.03.01 «И
ВТ
»



дисц. Математический

а
нализ



РГЗ


1


«Приложения дифференциального

исчисления функций одной переменной
»


Вариант 4

Задача 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на за
мкнутом промежутке,
построив ее график на этом промежутке, если
,
.

Задача 2

Провести полное исследование свойств следующих функции и построить их графики
:

1)
;

2)
;


3)
;

4)
.


Задача 3

Берман, №1226

Три пункта
A
,
В

и
С

расположены так, что


A
ВС

 60°. Из пункта
А

выходит автомобиль, а
одновременно из пункта

В



поезд. Автомобиль движется по направлению к
В

со скоростью
80 км/ч, поезд


по направлению к
С

со скоростью 50 км/ч. В какой момент времени от
начала движения расстояние между поездом и автомобилем будет наименьшим, если
A
В

=
200 км?

Задача 4


Испол
ьзуя равенство
, вычислить приближенно
.

Задача 5

Берман, №1086

Точка движется прямолинейно так, что скорость ее изменяется пропорционально
квадратному корню из пройденного пути. Показать, что движени
е происходит под действием
постоянной силы.

Задача 6

Дан график функции

:

Найти:

1)
;

2)
,
,
;

3 значение
;

4 уравнения асимптот;

5 значения
, для которых
;

6)

локальные экстремумы функции
;

7 значения
, для
которых

выполняются


три
условия
,
,
;

8 значения
, для которых

существует.

29



Специальность 09.03.01 «И
ВТ
»



ди
сц. Математический

а
нализ



РГЗ


1


«Приложения дифференциального

исчисления функций одной переменной
»




Вариант
5

Задача 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на замкнутом промежутке,
построив ее график на эт
ом промежутке, если
,
.

Задача 2

Провести полное исследование свойств следующих функции и построить их графики
:

1)
;

2)
;



3)
;


4)
.

Задача 3

Берман, №1218

Из круга
фиксированного радиуса
R

вырезан сектор с центральным углом
. Из сектора
свернута коническая поверхность. При како
м значении угла

объем полученного конуса
будет наибольшим?

Задача 4

Берман, №901

Используя равенство
, вычислить приближенно
.

Задача 5

Берман, №
820
)

Тело массой 3 кг движ
ется прямолинейно по закону
;

расстояние
s

выражено в
сантиметрах,
время
t



в секундах. Определить кинетическую энергию


тела через 5 с
после начала движения.

Задача 6

Дан график функции

.

Найти:

1)
;

2)
,
,
;

3 промежутки
монотонности

функции;

4 уравнения асимптот;

5 значения
, для которых
;

6)
,
;

7)
локальные

экстремумы функции;


8 значение
.

30





Специальность 09.03.01 «И
ВТ
»



дисц. Математический

а
н
ализ



РГЗ


1


«Приложения дифференциального

исчисления функций одной переменной
»


Вариант 6

Задача 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на замкнутом промежутке,
построив ее график на этом промежутке, если
,
.

Задача 2

Провести полное исследование свойств


следующих функции и построить их графики
:

1)
;

2)
;

3)
;


4)
.

Задача 3

Берман, №1231

Найти высоту прямого кругового конуса наименьшего объема, описанного около шара
фиксированного
радиуса
R
.

Задача 4


Используя равенство
, вычислить
приближенно
.

Задача 5

Берман, №1001
)

Поезд и воздушный шар отправляются в один и тот же момент из одного пункта.
Поезд

движется равномерно со скоростью 50 км/ч, шар поднимается тоже равномерно со
скоростью 10 км/ч. С какой скорос
тью они удаляются друг от друга? Как направлен вектор
скорости?

Задача 6

Дан график функции

:

Найти:

1)
значение
;

2)
,
,

;

3 значение
;

4 уравнения асимптот;

5 значения
, для которых
;

6)

,
;

7 значения
, для которых

выполняются



три
условия
,

и

;

8 количество локальных экстремумов


функции.

31


Специальность 09.03.01 «И
ВТ
»



дисц. Математический

а
нализ



РГЗ


1


«Приложения дифференциального

исчисления функций одной переменной
»


Вариант 7

Задача 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на замкнутом пром
ежутке,
построив ее график на этом промежутке, если
,
.

Задача 2

Провести полное исследование функции и построить график:

1)
;


2)
;


3)
;


4)
.



Задача

3

Берман, №1252

На странице книги печатный текст должен занимать
S

квадратных сантиметров. Верхнее и
нижнее поля должны быть по
а

см, правое и левое


по
b

см
. Если принимать во внимание
только экономию бумаги, то какими должны быть наиболее выгодные размеры страницы?

Задача 4

Используя равенство
, вычислить приближенно
.

Задача 5

Берман, №
923
)

Ордината точки,
описывающей окружность
, убывает со скоростью 1,5см/
с . С
какой скоростью изменяется абсцисса точки, когда ордината становится равной 4см
?


Задача 6

Дан график функции
:

Найти:

1)
;

2)
,
,
;

3 уравнения асимптот;

4)
локальные
экстремумы функции
;

5)
значение
;

6)
значение
, если
;

7)
значение
,
при

которых выполняются
три

условия:
,
,
;

8 про
межутки знакопостоянства
.

32


Специальность 09.03.01 «И
ВТ
»



дисц. Математический

а
нализ



РГЗ


1


«Приложения дифференциального

исчисления функций одной переменной
»



Вариант 8

Задача 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на замкнутом промежутке,
построив ее график на этом промежутке, если
,
.

Задача 2

Провести полное исследование свойств следующих функции и построить их графики
:

1)
;

2)
;


3)
;

4)
.

Задача 3

Берман, №123
6
)

Доказать, что конический шатер данной вместимости требует наименьшего количества
м
атерии, когда его высота в

раз больше радиуса основания.

Задача 4


Используя равенство
, вычислить приближенно
.

Задача 5

Берман, №
924
)

В какой точке эллипса

ордината убывает с такой же скоростью, с какой
абсцисса возрастает
?


Задача 6

Дан график функции

:

Найти:

1)
значение
;

2)
значения
,
при
которых

;

3)
,
,
;

4)
,
,
;

5)

точки локальных экстремумов и


локальные экстремумы функции
;

6значения
, для которых в
ыполняются



три

условия
,
,
;

7 уравнения асимптот;

8 промежутки знакопостоянства

и
.

33


Специальность 09.
03.01 «И
ВТ
»



дисц. Математический

а
нализ



РГЗ


1


«Приложения дифференциального

исчисления функций одной переменной
»



Вариант
9

Задача 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на замкнутом промежутке,
построив ее график на этом промежутке, если
,
.

Задача 2

Провести полное
исследование свойств следующих функции и построить их графики
:

1)
;

2)
;

3)
;


4)
.

Задача 3

Берман, №12
44
)

Бревно дл
иной 20 м
етров

имеет форму усеченного конуса, диаметры оснований которого
равны соответственно 2 м
етра

и 1 м
етр
.

Требуется вырубить из бревна балку с квадратным
поперечным сечением, ось которой совпадала бы с осью бревна и объем которой был бы
наибольшим.


Каковы должны быть размеры балки?

Задача 4


Используя равенство
, вычислить приближенно
.

Задача 5

Берман, №
820
)

Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону
;

расстояние
s

выражено в
сантиметрах,
время
t



в секундах. Определить кинетическую энергию


тела через 5
с
екунд

после начала движения.

Задача 6

Дан график функции

:

Найти:

1)
значение
;



2)
,
,
;

3)

точки
локальных
экстремумов

функции
;

4)
значения
, для которых
выполняются


три
услови
я

,
,
;

5 значения
, для которых
;

6 уравнения асимптот;

7 численное значение
;

8 промежутки знакопостоянства
.

34


Специальность 09.03.01 «И
ВТ
»



дисц. Математический

а
нализ



РГЗ


1


«Приложения дифференциального

исчисления функций одной переменной
»


Вариант 10

Задача 1

Найти наибольшее и наименьшее

значения функции

на замкнутом промежутке,
построив ее график на этом промежутке, если
,
.

Задача 2

Провести полное исследование свойств следующих функции и

построить их графики
:

1)
;

2)
;


3)
;


4)
.


Задача 3

Берман, №12
47
)

Прямо над центром круглой площадки
фиксированного
рад
иуса
R

нужно повесить фонарь.
На какой высоте нужно это сделать, чтобы он наилучшим образом освещал дорожку,
которой обведена площадка. Степень освещения некоторой площадки прямо
пропорциональна косинусу угла падения лучей и обратно пропорциональна квадра
ту
расстояния от источника света.

Задача 4


Используя равенство
, вычислить приближенно
.

Задача 5

Берман, №1086

Точка движется прямолинейно так, что скорость ее изменяется пропорционально
квадратном
у корню из пройденного пути. Показать, что движение происходит под действием
постоянной силы.

Задача 6

Дан график функции

:

Найти:

1)
значение
;

2)
,
,
;

3)
точки
локальных
экстремумов

функции
;

4 значения
, для которых одновременно

выполняются условия
,
,
;

5 значения
, для которых
;

6 уравнения асимптот;

7 численное значение
;

8 промежутки знакопостоянства
.



35

Специальность 09.03.01 «И
ВТ
»



дисц. Математический

а
нализ



РГЗ


1


«Приложения дифференциального

исчисления функций одной переменной
»

Вариант 11

Задача 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на замкнутом проме
жутке,
построив ее график на этом промежутке, если
,
.

Задача 2

Провести полное исследование свойств следующих функции и построить их графики
:

1)
;

2)
;


3)
;

4)
.

Задача 3

Берман, №1235

Какова должна быть высота конуса, вписанного в шар
фиксированного
радиуса
R
, для того
чтобы его боковая поверхн
ость была наибольшей?

Задача 4


Используя равенство
, вычислить приближенно
.

Задача 5

Берман, №1084

Тяжелую балку длиной 13 м спускают на землю так, что нижний конец прикреплен
к вагонетке, а верхни
й удерживается канатом, намотанным на ворот. Канат
сматывается со скоростью 2 м/мин. С каким ускорением откатывается вагонетка в
момент, когда она находится на расстоянии 5 м от точки
О

рис.1
?

Задача 6

Дан график функции

:

Найти:

1)
значение
;

2)
,
,
;

3)
локальные
экстремумы функции
;

4 значения
, для котор
ых

выполняются


три
условия
,

и

;

5 значения
, для которых
;

6 уравнения асимптот;

7 значение
;

8 промежутки знакопостоянства
.




О


рис.1


36


Специальность 09.03.01 «И
ВТ
»



дисц. Математический

а
нализ



РГЗ


1


«Приложения дифференциального

исчисления функций одной переменной
»

Вариант 12

Задача 1

Найти

наибольшее и наименьшее значения функции

на замкнутом промежутке,
построив ее график на этом промежутке, если
,
.

Задача 2

Провести полное исследование сво
йств следующих функции и построить их графики
:

1)
;


2)
;
3)
;
4)
.

Задача 3

Берман, №1237

Через данную точку

Р
1;4 провести прямую так, чтобы сумма длин положительных
отрезков, отсекаемых ею на координатных осях, была наименьшей.

Задача 4


Используя равенство
, вычислить приближенно
, если
.

Задача 5

Берман, №10
01
)

Поезд и воздушный шар отправляются в один и тот же момент из одного пункта.
Поезд

движется равномерно со скоростью 50 км/ч, шар поднимается тоже равномерно со
скоростью 10 км/ч. С какой скоростью они удаляются друг от
друга? Как направлен вектор
скорости?

Задача 6

Дан график функции
:

Найти:

1)
значение
;

2 уравнени
е

наклонной асимптот
;

3 значение
;

4 значения
, для которых одновременно

выполняются условия
,
,
;

5)
,

;

6)
локальные
экстремумы ф
ункции;

7 значения
, для которых
;

8 промежутки знакопостоянства

.

37



Специальность 09.03.01 «И
ВТ
»



дисц. Математический

а
нализ



РГЗ


1


«Приложения дифференциального

исчислени
я функций одной переменной
»


Вариант 13

Задача 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на замкнутом промежутке,
построив ее график на этом промежутке, если
,
.

Задача 2

Провести полное исследование свойств следующих функции и построить их графики
:

1)
;


2)
;


3)
;

4)
.

Задача 3

Берман, №1233

Каков должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника заданной площади

S
,
чтобы радиус вписанного в этот треугольник круга был наибольшим?

Задача 4


Используя равенство
, вычислить приб
лиженно
.

Задача 5

Берман, №
822
)

Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени
.

Первый оборот
был сделан колесом за 8 с
екунд
. Найти угловую скорость

через 32 с
екунды

после начала

движения.

Задача 6

Дан график функции

:

Найти:

1)
промежутки

непрерывности функции;

2)
значение
;

3 значения
, для которых
;

4 уравнения а
симптот;

5)
,
;

6 значение
;

7 значения
, для которых одновременно

выполняются условия

и
;

8)
локальные
экстремумы функции
.

38


Специальность 09.03.01 «И
ВТ
»



дисц. Математический

а
нализ



РГЗ


1


«Приложения дифференциального

исчисления функций одной переменной
»



Вариант 14

Задача 1

Найти наибольшее и наименьшее значения
функции

на замкнутом промежутке,
построив ее график на этом промежутке, если
,
.

Задача 2

Провести полное исследование свойств следующих функции и построить

их графики
:

1)
;

2)
;


3)
;

4)
.

Задача 3

Берман, №1238

Найти стороны прямоугольника наибольшей площади, вписанного в элл
ипс
.

Задача 4


Используя равенство
, вычислить приближенно
.

Задача 5

Берман, №

432
)

Имеется тонкий неоднородный стержень
. Длина его

см. Масса отрезка

растет пропорционально квадрату расстояния точки
M


от точки
A
, причем известно, что
масса отрезка

см равна 8 г. Найти: а среднюю линейную плотность отрезка стержня

см; б среднюю линейную плотность всего стержня; в плотность стержня в точке
M
.


Задача 6

Дан график функции

:

Найти:

1)
значение
;

2)
,
,
;

3 уравнени
я

асимптот;

4)
точки экстремумов функции
;

5)
значение
;

6)
значени
я

,
для которых

;

7)
знач
ения
, для которых выполняются
три
условия
,
,
;

8 промежутки знакопостоянства
.

39



Специальность 09.03.01 «И
ВТ
»



дисц. Математический

а
нализ



РГЗ


1


«Приложения дифференциального

исчисления функций одной переменной
»



Вариант 15

Задача 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на замкнутом промежутке,
построив ее график на
этом промежутке, если
,
.

Задача 2

Провести полное исследование свойств следующих функции и построить их графики
:

1)
;

2)
;



3)
;


4)
.

Задача 3

Берман, №1234

Найти высоту конуса наименьшего объема, описанного около полушара
фиксированного
радиуса
R

центр основания конуса лежит в центре шара.

Задача 4


И
спользуя равенство
, вычислить приближенно
.

Задача 5

Берман, №
923
)

Ордината точки, описывающей окружность
, убывает со скоростью 1,5см/
с . С
какой скоростью изменяется абсцисса точки
, когда ордината становится равной 4см
?

Задача 6

Дан график функции

:

Найти:

1)
значение
;

2 уравнение наклонной асимптоты;

3 значение

;

4 значения
, для которых выполняются
три



условия
:

,
,
;

5)

,
;

6)
локальные
экстремумы функции
;

7
 значения
, для которых
;

8 промежутки знакопостоянства
.

40





Специальность 09.03.01 «И
ВТ
»



дисц. Математический

а
нализ



РГЗ


1


«Приложения дифференциального

исчисления функци
й одной переменной
»

Вариант 16

Задача 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на замкнутом промежутке,
построив ее график на этом промежутке, если
,
.

Задача 2

Провести полное исследование свойств следующих функции и построить их графики
:

1)
;


2)
;


3)
;

4)
.

Задача 3

Берман, №1227

На окружности дана точка
А
. Составить уравнение хорды

ВС
,

парал
лельно
й

касательной в
точке
А
,

так

чтобы площадь треуголь
ника
АВС

была наибольшей.

Задача 4


Используя равенство
, вычислить приближенно

.

Задача 5

Берман, №
824
)

Количество электричества, протекшее через проводник, начиная с момента времени
,
дается формулой

Кл. Найти силу тока в конце пятой секунды?

Задача 6

Дан г
рафик функции

:

Найти:

1)
значения
;

2)
,
;

3
)

локальные экстремумы

функции
;

4 значения
, для которых выполняются



три
условия
:

,
,
;

5 значения
, для которых
;

6 уравнения асимптот;

7 значение
;

8 промежутки знакопостоянства
.

41


Специальность 09.03.01 «И
ВТ
»



дисц. Математический

а
нализ



РГЗ


1


«Приложения дифференциального

исчисления функций одной переменной
»


Вариант 17

Задача 1

Найти наибольшее и наименьшее значени
я функции

на замкнутом промежутке,
построив ее график на этом промежутке, если
,
.

Задача 2

Провести полное исследование свойств следующих функции и построи
ть их графики
:




1)
;


2)
;


3)
;

4)
.

Задача 3

Берман, №1232

Найти угол при вершине осевого сечения конуса наименьшей бо
ковой поверхности,
описанного около шара

фиксированного радиуса

R
.

Задача 4


Используя равенство
, вычислить приближенно
.

Задача 5

Берман, №
432
)

Имеется тонкий неоднородный стержень
. Длина его

см. Масса отрезка

растет пропорционально квадрату расстояния точки
M


от точки
A
, причем известно, что
масса отрезка

см равна 8 г. Найти: а среднюю линейную плотность от
резка стержня

см; б среднюю линейную плотность всего стержня; в плотность стержня в точке
M
.

Задача 6

Дан график функции

:

Найти:

1)
значение
;

2)
,
;

3 значение
;

4 уравнения асимптот;

5 значения
, для которых
;

6)
,
;

7 значения
, для которых выполняются



три

условия
,

и

.

8)

значения
, для которых

существует.

42


Специальность 09.03.01 «И
ВТ
»



дисц. Математический

а
нализ



РГЗ


1


«Приложения дифференциального

исчисления функций одной переменной
»



Вариант 18

Задача 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на замкнутом п
ромежутке,
построив ее график на этом промежутке, если
,
.

Задача 2

Провести полное исследование свойств следующих функции и построить их графики
:

1)
;

2)
;


3)
;


4)
.


Задача 3

Берман, №1228

Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра, вписанного в полуокружность
фиксированного

радиуса
R
.


Зада
ча 4


Используя равенство
, вычислить приближенно
.

Задача 5

Берман, №
924
)

В какой точке эллипса

ордината убывает с такой же скоростью, с какой
абсцисса возрастает?


Задача 6

Дан г
рафик функции

:

Найти:

1)
значение
;

2)
,

;

3 промежутки
монотонности

функции;

4 уравнения асимптот;

5 значения
, для которых
;

6)
значение
;

7 координаты
точек перегиба;

8 промежутки знакопостоянства

и


.


43





Специальность 09.03.01 «И
ВТ
»



дисц. Математический

а
нализ



РГЗ


1


«Приложения дифференциального

исчисления функций одной переменной
»

Вариант 19

Задача 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на замкнутом промежутке,
построив ее график на этом промежутке, если
.

Задача 2

Провести полное исследование свойств следующих функции и построить их графики:

1)
;

2)
;


3)
;


4)
.


Задача 3

Берман, №1234

Н
айти высоту конуса наименьшего объема, описанного около полушара
фиксированного
радиуса
R

центр основания конуса лежит в центре шара.

Задача 4


Используя равенство
, вычислить приближенно
.

Задача 5

Берма
н, №
929
)

При каком значении угла скорости изменения синуса и тангенса одного и того же угла
одинаковы
?

Задача 6


Дан график функции
:

Найти:

1 значение
;

2)
,
;

3)
значение
;

4)
значения
, для которых

;

5
 уравнения асимптот;

6
 значения
, для которых


существует
;

7)
зн
ачения
, для которых

выполняются
три условия
,

и
;

8)
количество локальных экстремумов
функции
.




44





Специальность 09.03.01 «И
ВТ
»



дисц.

Математический

а
нализ



РГЗ


1


«Приложения дифференциального

исчисления функций одной переменной
»


Вариант
20

Задача 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на замкнутом промежутке,
построив ее график на этом п
ромежутке, если
.

Задача 2

Провести полное исследование свойств следующих функции и построить их графики:

1)
;

2)
;


3)
;


4)
.


Задача 3

Берман, №1226

Три пункта
A
,
В

и
С

расположены так, что


A
ВС

 60°. Из пункта
А

выходит автомобиль, а
одновременно из пункта
В



поезд. Автомобиль движется по направлению к
В

со скоростью
80 км/ч, поезд


по направлению к
С

со скоростью 50 км/ч.

В как
ой момент времени от
начала движения расстояние между поездом и автомобилем будет наименьшим, если
A
В

=
200 км?

Задача 4


Используя равенство
, вычислить приближенно

.

Задача 5

Берман, №
925
)

Сторона квад
рата увеличивается со скоростью
. Какова скорость изменения периметра и
площади квадрата в тот момент, когда
длина его стороны

равна
a
?

Задача 6

Дан график функции
:

Найти:

1 значение
;

2)
уравнения асимптот;

3 значение
;

4)
,
;

5
)
локальные экстремумы

функции;

6
 значения
, для которых

;

7 значения
, для которых

выполняются
три условия
:
,

и
;

8)
промежутки знакопостоянства
.



45





Специальность 09.03.01 «И
ВТ
»



дисц. Математический

а
нализ



РГЗ


1


«Приложения дифференциального

исчисления функций одной переменной
»


Вариант 2
1

Задача 1

Найти наибольшее
и наименьшее значения функции

на замкнутом промежутке,
построив ее график на этом промежутке, если
.

Задача 2

Провести полное исследование свойств следующих функции и построить их графики:

1)
;


2)
;


3)
;


4)
.


Задача 3

Берман, №122
1
)

Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар
фиксированного радиуса
R
.

Задача 4


Используя равен
ство
, вычислить приближенно
.


Задача 5

Берман, №92
6
)

Радиус круга изменяется со скоростью
. Какова скорость изменения длины окружности и
площади круга в тот момент,

когда

радиус р
авен
?


Задача 6

Дан график функции
:

Найти:

1)
;

2)
;

3 значение
;

4 уравнения асимптот;

5 значения
, для которых
;

6)
,
,
;

7 значения
, для которых выполняются


три условия
:

,
,
;

8 значения
, для которых

не
существует.



46




Специальность 09.03.01 «И
ВТ
»



дисц. Математический

а
нализ



РГЗ


1


«Приложения дифференциального

исчисления функций одной п
еременной
»

Вариант 2
2

Задача 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на замкнутом промежутке,
построив ее график на этом промежутке, если
.

Задача 2

Провести полное исследование свойств след
ующих функции и построить их графики:

1)
;


2)
;


3)
;


4)
.


Задача 3

Берман, №122
2
)

Найти высоту конуса наибольшего объема, который можно вписать в шар ф
иксированного
радиуса
R
.

Задача 4


Используя равенство
, вычислить приближенно
.


Задача 5

Берман, №92
7
)

Радиус шара изменяется со скоростью
. С какой скоростью изменяются объем и
пл
ощадь
поверхности

шара
?


Задача 6

Дан график функции
:

Найти:

1 значение
;

2)
;

3 значение
;

4 уравнения асимптот;

5 значения
, для которых
;

6)

,
,
;

7 значения
, для которых выполняются


три условия
:

,
,
;

8 точки локальных экстремумов функций.

47


Специальность 09.03.01 «И
ВТ
»



дисц. Математический

а
нализ



РГЗ


1


«Приложения дифференциального

исчисления функций одной переменной
»



Вариант 2
3

Задача 1

Найти наиб
ольшее и наименьшее значения функции

на замкнутом промежутке,
построив ее график на этом промежутке, если
.

Задача 2

Провести полное исследование свойств следующих функции и построить их графики:

1)
;


2)
;


3)
;


4)
.


Задача 3

Берман, №1236

Доказать, что конический шатер данной вместимости требует наименьшего количества
материи, когда его высота в

раз больше радиуса основания.

Задача 4


Используя равенство
, вычислить приближенно
.

Задача 5

Берман, №92
9
)

При каком значении угла скорости изменения синуса и танг
енса од
ного и того же угла
одина
ковы
?


Задача 6

Дан график функции
:

Найти:

1 промежутки монотонности функции;

2 значение
;

3 значения
, для которых
;

4 уравнения асимптот;

5)
,
,
;

6 значение
;

7 значения
, для которых одновременно

выполняются условия

и
;

8 локальные экстремумы

функции.



48


Специальность 09.03.01 «И
ВТ
»



дисц. Математический

а
нализ



РГЗ


1


«Приложения дифференциального

исчисления функций одной переменной
»



Вариант 2
4

Задача 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функци
и

на замкнутом промежутке,
построив ее график на этом промежутке, если
.

Задача 2

Провести полное исследование свойств следующих функции и построить их графики:

1)
;


2)
;


3)
;


4)
.


Задача 3

Берман, №1237

Через данную точку
Р
1;4 провести прямую так, чтобы сумма длин положительных
отрезков, отсекаемых ею на координатных осях, была наименьшей.


Задача
4


Используя равенство
, вычислить приближенно
.

Задача 5

Берман, №92
6
)

Радиус круга изменяется со скоростью
. Какова скорость изменения длины окружности и
площади круга в тот момент
, когда его радиус равен
?


Задача 6

Дан график функции
:

Найти:

1 значения
;

2)
,
,
;

3)
локальные

экс
тремумы функции;

4 значения
, для которых выполняются


три условия
:
,

и
;

5 значения
, для которых
;

6 уравнения асимптот;

7 значение
;

8 промежутки знакопостоянства
.

49


Спец
иальность 09.03.01 «И
ВТ
»



дисц. Математический

а
нализ



РГЗ


1


«Приложения дифференциального

исчисления функций одной переменн
ой
»



Вариант 2
5

Задача 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на замкнутом промежутке,
построив ее график на этом промежутке, если
.

Задача 2

Провести полное исследование свойств следующих

функции и построить их графики:

1)
;


2)
;


3)
;


4)
.


Задача 3

Берман, №1247

Прямо над центром круглой площадки фиксированного радиуса
R

нужно повесить фон
арь.
На какой высоте нужно это сделать, чтобы он наилучшим образом освещал дорожку,
которой обведена площадка. Степень освещения некоторой площадки прямо
пропорциональна косинусу угла падения лучей и обратно пропорциональна квадрату
расстояния от источник
а света.

Задача 4


Используя равенство
, вычислить приближенно
, если
.

Задача 5

Берман, №92
5
)

Сторона квадрата увеличивается со скоростью
. Какова скорость
изменения периметра и
площади квадрата в тот момент, когда
длина его стороны

равна
a
?

Задача 6

Дан график функции
:

Найти:

1 значение
;

2 уравнение наклонной асимптот;

3 значение
;

4 значения
, для которых одновременно

выполняются условия

и
;

5)
,

;

6 локальные экстремумы

функции;

7 значения
, для которых
;

8 промежутки знакопостоянства
.


Приложенные файлы

  • pdf 8957213
    Размер файла: 3 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий