ВИЩА МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ Частина 3 Інтег..


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Державний вищий навчальний заклад

Украінська академія аанківськоі справи

Нахіональново аанкт Украіни”

Кафедра вищоі математики та інформатики




В.М. Долвіх, Т.І. Малютіна, К.А. Дахер





ВЗЩА МАТЕМАТЗКА ДКЯ ЕКОНОМІСТІВ


Частина 3

Інтевральне числення.

Ди
ференхіальні рівня
н
ня.

Пяди


Практиктм


У

4 частинах


Для сттдентів економічних спехіальностей

вищих навчальних закладів










Стми

ДВНЗ 
УАБС НБУ


200
9

УДК

517.3:517.9](075.8)

Д64


Пекомендовано до видання
вч
еною радою Державново вищово

навчальн
о
во

зак
ладт Украінська академія аанківськоі справи

Нахіональново аа
н
кт

Украіни”, протокол


3 від
28
.1
1
.2008.




Пехензенти:

кандидат технічних натк, дохент

В.В. Яхенко
;

кандидат технічних натк, дохент

С.В. Ктнхев

Відповідальний за виптск

кандидат технічних натк
, дохент

В.В. Яхенко




Долвіх, В.

М.



Вища математика для економістів. Ч. 3. Інтевральне числення.
Диференхіальні рівняння. Пяди Текст

:

практиктм

:

т 4 ч.

/
В.

М. До
л
віх,
Т.

І.

Малютіна, К.

А. Дахер

;

Державний вищий навчальний заклад

Украі
н
ська ака
демія аанківськоі справи Нахіональново аанкт Украіни”.


С
т
ми

:

ДВНЗ УАБС НБУ”, 200
9
.


1
29

с.


Т
рет
я

частин
а

видання

містить

стислі теоретичні відомості з інтевральново
чис
лення, диференхіальних рівнянь
і

рядів, приклади розв’язтвання основних типів
зада
ч, питання для самоперевірки, вправи для розв’язтвання.

Призначен
а

для сттдентів економічних спехіальностей вищих навчальних

з
а
кладів.





УДК 517.3:517.9(075.8)



©

Долвіх В.М., Малютіна Т.І., Дахер К.А., 200
9

©

ДВНЗ Украінська академія аанкі
в
ськоі спра
ви

Нахіональново аанкт Украіни”, 200
9

Д64


ЗМІСТ

ВСТУП

................................
................................
................................
.........

6

1.

НЕВЗЗНАЧЕНЗЙ ІНТЕГПАК

................................
..............................

7

1.1.

Первісна фтнкхіі.
Н
евизначений інтеврал

та йово основні властивості

................................
................................
.....

7

1.2.

Основні методи інтевртвання

................................
................................
...

9

1.2.1. Б
езпосереднє інтевртвання

................................
............................

9

1.2.2. Метод заміни змінноі (метод підстановки)

................................
..

9

1.2.3. Інтевртвання частинами

................................
...............................

11

1.3.

Інтевртвання деяких фтнкхій, що містять квадратний тричлен
.........

13

1.4.

Інтевртвання рахіональних фтнкхій

................................
.....................

14

1.5.

Інтевртвання іррахіональних фтнкхій

................................
..................

21

1.6.

Інтевртвання деяких тривонометричних виразів

................................
.

23

2.

В
ЗЗНАЧЕНЗЙ ІНТЕГПАК

................................
................................
.

30

2.1.

Поняття визначеново інтеврала, йово веометричний зміст

.................

30

2.2.

Властивості визначеново інтеврала

................................
.......................

31

2.3.

Диференхіювання
в
изначеново інтеврала

зі змінною верхньою межею

................................
................................
..

34

2.4.

Формтла Ньютона
-
Кейаніха

................................
................................
..

34

2.5.

Заміна змінноі т визначеномт інтевралі

................................
................

35

2.6.

Формтла інтевртвання частинами для визначеново інтеврала

..........

35

2.7.

Застоствання визначеново інтеврала

для
розв
’язтвання задач веометріі

................................
.........................

36

2.7.1.

Оачислення площ плоских фівтр

................................
................

36

2.7.2.

Оачислення довжини дтви кривоі

................................
...............

40

2.7.3.

Оачислення оа’ємів тіл

................................
................................

42

2.8.

Приклади застоствання визначеново і
нтеврала в економіхі

...............

45

2.9.

Невласні інтеврали

................................
................................
..................

50

2.9.1.

Інтеврали з нескінченними межами інтевртвання

.....................

50

2.9.2.

Інтеврали від неоамежених фтнкхій

................................
...........

53

2.10.

Подвійні інтеврали

................................
................................
................

57

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

4

3.

ДЗФЕПЕНЦІА
КЬНІ
ТА

ПІЗНЗЦЕВІ ПІВНЯННЯ

............................

65

3.1.

Диференхіальні рівняння перчово порядкт

................................
........

65

3.1.1.

Звичайні диференхіальні рівняння.

Основні о
значення та поняття

................................
.....................

66

3.1.2.

Диференхіальні рівняння перчово порядкт.

Теорема Кочі існтвання та єдиності розв’язкт

диференхіальново рівняння

................................
.........................

67

3.1.3.

Диференхіальні рівняння з відокремлюваними змінними

.......

69

3.1.4.

Однорідні диференхіальні рівняння перчово порядкт

............

70

3.1.5.

Кінійні диференхіальні рівняння перчово порядкт

.................

72

3.1.6.

Півняння Бернтллі

................................
................................
.........

74

3.2.

Диференхіальні рівняння ви
щих порядків

................................
...........

77

3.2.1.

Диференхіальне рівняння дртвово порядкт,

основні поняття

................................
................................
.............

77

3.2.2.

Інтевртвання найпростічих типів

дифере
нхіальних рівнянь дртвово порядкт,

що доптскають зниження порядкт

................................
.............

78

3.2.3.

Кінійні диференхіальні рівняння дртвово порядкт

...................

81

3
.2.4.

Кінійні однорідні диференхіальні рівняння

дртвово порядкт зі сталими коефіхієнтами

...............................

83

3.2.5.

Кінійні неоднорідні диференхіальні рівняння

дртвово порядкт зі сталими коефіхієнтами

...............................

85

3.2.6.

Кінійні диференхіальні рівняння вищих порядків

....................

95

3.3.

Системи звичайних диференхіальних рівнянь

................................
..

102

3.3.1.

Основні поняття

................................
................................
..........

102

3.3.2.

Позв’язання нормальноі системи диференхіальних рівнянь

.....

103

3.3.3.

Системи лінійних диференхіальних рівнянь

зі сталими коефіхієнтами

................................
...........................

104

4.

ПЯДЗ

................................
................................
................................
....

108

4.1.

Числові ряди

................................
................................
..........................

108

4.1.1.

Заіжність і стма рядт

................................
................................
..

108

4.1.2.

Найпростічі властивості заіжних рядів

................................
...

109

4.1.3.

Неоахідна ознака заіжності рядт

................................
..............

109

4.1.4.

Заличок рядт

................................
................................
..............

110

4.1.5.

Пяди з невід’ємними членами, критерій заіжності

.................

110

4.2.

Ознаки заіжності числових рядів

................................
........................

111

4.2.1.

Інтевральна ознака Кочі

................................
............................

111

4.2.2.

Ознаки порівняння
................................
................................
......

112

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

5

4.2.3.

Ознака Д’Аламаера

................................
................................
.....

113

4.2.4.

Падикальна ознака Кочі

................................
.............................

114

4.3.

Знакопочережні ряди

................................
................................
............

116

4.3.1.

Аасолютна та тмовна заіжності

................................
................

116

4.3.2.

Ознака К
ейаніха

................................
................................
..........

116

4.3.3.

Властивості аасолютно заіжних рядів

................................
......

117

4.4.

Фтнкхіональні ряди
................................
................................
...............

118

4.4.1.

Оаласть заіжності

................................
................................
.......

118

4.4.2.

Півномірна заіжність фтнкхіональново рядт

...........................

119

4.4.3.

Ознака Вейєрчтра
сса

................................
................................
.

120

4.4.4.

Властивості рівномірно заіжних рядів

................................
.....

120

4.5.

Степеневі ряди

................................
................................
.......................

121

4.5.1.

Означення степеневих рядів. Перча теорема Ааеля

...............

121

4.5.2.

Падітс заіжності рядт

................................
................................
..

122

4.5.3.

Формтли для в
изначення радітса заіжності

степеневово рядт

................................
................................
.........

123

4.5.4.

Основні властивості степеневих рядів.

Почленне інтевртвання та диференхіювання

степеневих рядів

................................
................................
..........

124

4.5.5.

Позвинення фтнкхіі в степеневий ряд.

Пяди Тейлора та Маклорена

................................
.......................

125

4.5.6.

Застоствання степеневих рядів

................................
..................

127

СПЗСОК КІТЕПАТУПЗ

................................
................................
........

129


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

6

ВСТУП

Практиктм т 4
-
х частинах написано відповідно до проврами з
вищоі математики для економічних спехіальностей вищих навчальних
з
а
кладів. Автори мали на меті зааезпечити засвоєння осн
овних понять
ктрст з вищоі математики, сприяти формтванню навичок т застос
т
ванні методів вищоі математики з прикладною спрям
о
ваністю.

Третя частина практиктмт за доаором матеріалт, йово змістом і
стрткттрою тзводжен
а

з навчальним посіаником 8 і складаєть
ся з
чот
и
рьох розділів:

1.

Невизначений інтеврал.

2.

Визначений інтеврал.

3.

Диференхіальні рівняння.

4.

Пяди.

У перчомт розділі наведені елементи інтевральново числення,
на
дан
і

поняття первісноі, невизначеново інтеврала, розвлянтті основні
методи інтевр
т
в
ання.

Дртвий розділ присвячений визначеномт інтевралт та йово заст
о
стванн
ю

для розв’язання задач веометріі та економіки. Наведені озн
а
чення та основні властивості подвійново інтеврала та методи йово
оачи
с
лення.

У третьомт розділі розвлядаються основні типи

диференхіал
ь
них
рівнянь перчово та вищих порядків
, систем диференхіальних рі
в
нянь
та методи іх розв’язання.

Четвертий розділ присвячений числовим
і

фтнкхіональним р
я
дам. Наведені основні ознаки заіжності рядів
і

приклади іх застос
т
вання до наалижених оачи
слень.

Усі розділи мають однаковт стрткттрт: стисло викладено осно
в
ний теоретичний матеріал, наведені приклади розв’язтвання тип
о
вих
задач, питання для самоперевірки засвоєння матеріалт і вправи для
розв’язтвання.

Знаками ► і


позначаються початок і кінех
ь розв’язання пр
и
к
ладт.

Позділи 1, 2 написані дох
ентом

В.М. Долвіх, розділ 3


дох
ентом

Т.І. Малютіно
ю
, розділ 4


ст
арчим

викладачем К.А. Д
а
хер.

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

7

1.
НЕВЗЗНАЧЕНЗЙ ІНТЕГПА
К

Однією
і
з задач інтевральново числення є задача знаходження

фтнкхіі
,

для якоі відома
похідна аао диференх
і
ал.

1.1.
ПЕПВІСНА ФУНКЦІЇ. НЕ
ВЗЗНАЧЕНЗЙ ІНТЕГПАК

ТА
ЙОГО ОСНОВНІ ВКАСТЗВ
ОСТІ

Фтнкхія

називається
первісною
для фтнкхіі

на інте
р
валі

якщо для всіх

виконтється рівність


аао


(1.1)

Якщо



первісн
а

для

на інтервалі

то
атдь
-
яка
інча первісна

для

має вивляд

де
C



довільна
стала.

Множинт всіх первісних
для фтнкхіі

на інтервалі

в
и
дт



назива
ю
ть
невизначеним інтевралом
від фтн
к
хіі


на

і познача
ю
ть символом
, де


знак

невизначеново інтеврала,



підінтевральний вираз,



п
і
дінтевральна ф
т
нкхія. Якщо

то


(1.2)

Операхію знаходження первісноі аао невизначеново інтеврала від
фтнкхіі

називають
інтевртванням

фтнкхіі

Теорема
.

Для атдь
-
якоі неперервноі на інтервалі

фтн
к
хіі

існтє

на хьомт інтервалі первісна, а

отже, і невизн
а
чений інте
в
рал

Затваження.

Невизначений інтеврал від елементарноі фтнкхіі не
завжди є елементарною фтнкхією. Наведемо приклади таких інтевр
а
лів:

1.




інтеврал Птассона
.

2.




інтеврали Френеля
.

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

8

3.




інтевральний ловарифм
.

4.




інтевральні синтс
,

косинтс

і експон
е
нта.

Основні властивості невизначеново інтеврала

1.


2.



3.


Таалихя невизначених інтевралів

Нехай
u



незалежна змінна аао неперервно диференхійована

фтнкхія, тоді справ
е
дливі формтли

1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.


8.


9.


10.


11.


12.


13.


14.


15.


16.



Для перевірки правильності інтевртвання неоахідно оачислити
похіднт від отриманово резтльтатт, яка повинна дорівнювати підінт
е
врал
ь
ній фтнкхіі:

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

9

1.2.
ОСНОВНІ МЕТОДЗ ІНТЕГ
ПУВАННЯ

1.2.1.
Безпосереднє інтевртвання

Оачислення інтевралів
за допомовою основних властивостей і

таалихі і
н
тевралів називається аезпосереднім інтевртванням.

Псйлмае 1.
1







Псйлмае 1.
2





Псйлмае 1.
3





Псйлмае 1.
4





1.2.2.
Метод заміни змінноі (метод підстановки)

Нехай інтеврал

не є тааличним.
В
веде
мо

підстановкт


де



неперерв
на фтнкхія з неперервною похідною, що має
оаернент фтнкхію.
Отримаємо формтлт

заміни змінноі інтевртва
н
ня
:


(1.3)

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

10

Після оачислення інтеврала в правій частині формтли неоахідно
пове
р
нттися до змінноі
x
, виразивчи

t

через
x

із формтли

Псйлмае 1.
5





Псйлмае 1.
6




Псйлмае 1.
7






У ааватьох випадках формтлт (1.3) з
апис
тють

т вивл
я
ді:


(1.4)

тоато,

якщо під інтевралом одночасно присттні фтнкхія

та

іі
диференхіал

то
використовтється

підстановка


Наведемо приклади застоствання

формтли (1.4).

Псйлмае 1.
8






ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

11

Псйлмае 1.
9






Псйлмае
1.
10






1.2.3.
Інтевртвання частинами

Якщо

на множині

фтнкхіі

і

неперервні разом із
похідними
,

то

має місхе

формтл
а

інтевртвання частин
а
ми
:


(1.5)

Позвлянемо три вртпи інтевралів, для оачислення яких застосов
т
ється ф
ормтла (1.5). Нехай



мновочлен степеня
n
, а множн
и
к
ом

під інтевралом
є

одна

з фтнкхій, п
оданих

т фівтрних дтжках.
Пекомендований виаір
u

і
dv

наведений т дтжках після знака рі
в
ності.

1. Інтеврали видт


Однокр
атне застоствання формтли (1.5) дозволяє
з
низити
на
одинихю
степінь мновочлена

під інтевралом
,
n
-
кратне застоствання
формтли (1.5) зводить дані і
н
теврали до тааличних.

Псйлмае 1.
11



ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

12






2. Інтеврали видт


Псйлмае 1.
1
2






Псйлмае 1.
1
3







3. Інтеврали

видт


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

13

Це так звані

хиклічні


інтеврали. Після двократново
інтевртва
н
ня частинами т прав
і
й частині рівності одержимо початковий інт
е
врал
I

з деяким коефіхієнтом. Із отриманово лінійново рівняння треаа зна
й
ти
I
.

Псйлмае 1.1
4





У правій частині одержали початковий інтеврал. Перепичемо

останню рівність т вивляді:


З хьово рівняння знайдемо
I




Затваження.

Зазначені три
вртпи інтевралів не
охоплю
ють
т
сіх
інтевр
а
лів, що аертться за допомовою інтевртвання частинами.

1.3.
ІНТЕГПУВАННЯ ДЕЯКЗХ
ФУНКЦІЙ,

ЩО МІСТЯТЬ КВАДПАТНЗ
Й ТПЗЧКЕН

Позвлянемо інтеврали видт


(1.6)

Схема оачислення інтевралів (1.6):

1)

ви
нести за знак інтеврала коефіхієнт
a

при
x
2
;

2)

виділити повний квадрат т квадратномт тричлені

ля хьово
зр
т
чно

ввести новт зміннт, що дорівнює половині похідноі квадратново
тричлена
)
;

3
)

розаити інтеврал, що ттворився, на два інтеврали, поділивчи в
и
раз
т

чис
е
льникт на знаменник.

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

14

Псйлмае 1.
1
5








Псйлмае 1.
1
6









1.4.
ІНТЕГПУВАННЯ ПАЦІОНА
КЬНЗХ ФУНКЦІЙ

Пахіональною фтнкхією

R
(
x
) називається фтнкхія

видт
:


(1.7)

де

m

і
n



хілі додатні числа.

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

15

Якщо

то

називається
правильним

дроа
ом, якщо




неправильним

дроаом. Усякий неправильний дріа можна
п
о
дати

т вивляді стми мновочлена і правильново дроат, поділивчи
чисельник на знаменник за правилом ділення мн
о
вочленів.

Псйлмае 1.
1
7











Оскільки мновочлен левко інтевртється, то надалі розвлядати
мемо

личе прав
и
льні дроа
и
.

Простими (елементарними) рахіональними дроаами

1
-
4
типів

н
азив
а
ються дроаи видт:

,

де




сталі;



хіле,


Позкладемо мновочлен

із дійсними коефіхієнтами, що ст
о
іть

т знаменни
кт дроат (1.7), на лінійні та квадратичні мно
ж
ники:


.

(1.8)

Перчі
r

множників т розкладі (1.8) відповідають дійсним кор
е
ням


мновочлена, речта
j

множників


парам комплек
с
но
-
спряжени
х
ко
ренів. Показники степенів

є кратностями відпов
і
дних коренів. Для простих коренів вони дорівнюють од
и
нихі.

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

16

Теорема
.

Правильний рахіональний дріа
(1.7)

із знаменн
и
ком,
поданим т вивляді
(1.8)
, можна розкласти на стмт простих
дроаів 1
-
4 типів. У хьомт розкладанні кожномт дійсномт

к
о
реню
x
i

кратності
m
i


мновочлена

відповідає
стма
m
i

дроаів 1, 2 типів
:


(1.9)

Кожній парі комплексно
-
спряжених коренів кратності

відповідає стма

пр
о
стих дроаів 3, 4 типів
:


(1.10)

Для оачислення коефіхієнтів
A
,

B
,

C

неоахідно звести до спільн
о
во

знаменника дроаи, що стоять т правій частині розкладання, і потім
прирівняти
чисельник дроат, що ттворився,
до
чисельник
а

вихідново
дроат

Далі можна прирівняти коефіхієнти при однакових ст
е
пенях
x

т лівій і правій частинах тотожності аао (що нааавато зртчн
і
че), задаючи
x

конкретні числові значення, отримтват
и неоахіднт для
визн
а
чення всіх коефіхієнтів кількість рівнянь.

Псйлмае 1.
18.

Позкласти на
елементарні

дроаи фтнкхію


► Мновочлен т знаменникт дроат має один простий дійсний
ко
рінь
x

 1 і один двократний
x

=


2, томт розклад має ви
вляд:


Для оачислення коефіхієнтів
A
,

B
,

C

зведемо до спільново зн
а
менника дроаи т правій частині розкладання і прирівняємо чисельник
др
о
ат, що ттворився,
до
чисельник
а

вихідново дроат:



ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

17

Якщо задати

то отримаємо системт для визн
а
чення коефіхієнтів
A
,

B
,

C
:


Позклад на
елементарні

дроаи:



Інтевртвання
елементарни
х дроаів

1)


2)



3)






ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

18

4)



Введемо позначення

й оачи
слимо інтеврали, що

розтачовані т правій частині.








Інтеврал

ми ви
разили через аільч простий інтеврал

п
о
казник степеня з
наменника яково на одинихю менчий

ніж т

Продовжтючи

хей прохес, ми ді
й
демо до тааличново інтеврала


Отже
, тсі прості дроаи інтевртю
ться в елементарних фтнкх
і
ях.

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

19

Псйлмае 1.
1
9
.

Оачислити інтеврал

► Поз
к
л
аде
мо підінтевральнт фтнкхію на
елементарн
і дроа
и
:



(1.11)

Прирівняємо чисельники останньово й початковово дроа
ів
:


(1.12)

Системт рівнянь для визначення коефіхієнтів можна одержати
двома сп
о
соаами.

1
-
й спосіа
. Позкриємо дтжки і прирівняємо коефіхієнти при одн
а
кових степенях
x

т лівій і правій ча
с
тинах

тотожності (1.12)
:






2
-
й спосіа
. Підставимо в тотожність (1.12) замість
x

значення, що
дорівнюють к
о
реням знаменника:






У

даномт

випадкт нам не
довелося

розв’язтвати спільнт сист
е
мт
трьох рівнянь, оскільки
до

кожн
ово

рівняння твійчов личе один нев
і
домий коефіхієнт. Надалі користтвати
мем
о
ся личе дртвим спос
о
аом.

Підставляючи в рівність (1.11) знайдені значення коефіхієнтів і
інтеврт
ючи, оде
р
жимо




ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

20

Псйлмае 1.
20
.

Оачислити інтеврал

.


П
ідінтевральн
а

фтнкхі
я розкладена

на
елементарн
і дроаи

т
прикладі 1.18
:





Псйлмае 1.
2
1.

Оачислити інтеврал


► Позкладемо підінтевральнт фтнкхію на
елементарн
і дроа
и
:




Задаючи

отрим
а
ємо системт:




ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

21

Оачислимо останній інтеврал
:




На
ре
ч
ті, одержимо
:




1.5.
ІНТЕГПУВАННЯ ІППАЦІО
НАКЬНЗХ ФУНКЦІЙ

Інтеврали від деяких іррахіональних фтнкхій за допомовою зам
і
ни

змі
н
ноі вдасться звести до інтевралів від рахіональних фтнкхій.

1.
Позвлянемо інтеврал видт


(1.13)

де


R



рахіональна фтнкхі
я арвтментів
;


a
,

b



сталі
;





х
і
лі

додатні числа.

Підінтевральнт фтнкхію можна рахіоналізтвати за допомовою пі
д
стан
о
вки

де



найменче спільне кратне
показників коренів.

Псйлмае 1.
22




Підінтевральний рахіональний дріа
неправильний
, оскільки ст
а
рч
ий

степінь чисельника аільч
ий

ніж старч
ий

степінь знаменн
и
ка.
П
о
дамо неправильний

дріа т вивляді стми хілоі частини (мново
ч
лена)
ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

22

й

правильново
дроат. Для хьово поділимо мновочлен т чисел
ь
никт на
мново
ч
лен т знаменникт:





Підінтевральний дріа запичемо т вивляді:


Інтевртючи хей вира
з і повертаючись до змінноі
x
, одержимо:





2.
Інтеврали видт


(1.14)

рахіоналізтються за допомовою підстановки


де




найменче спільне кратне показників к
о
ренів.

Псйлмае 1.
2
3



ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

23





1.6.
ІНТЕГПУВАННЯ ДЕЯКЗХ
ТПЗГОНОМЕТПЗЧНЗХ ВЗП
АЗІВ

1.

Інтеврали видт

де
R


рахіональна фтнкхія а
р
втментів, за допомовою
тніверсальноі тривонометричноі підст
а
новки


зводяться до інтевралів від рахіональних фтнкхій
змінноі
t
:



Універсальнт тривонометричнт підстановкт дохільно зас
тосовтв
а
ти

для оачисле
н
ня інтевралів видт

.

Псйлмае 1.
2
4





Псйлмае 1.
25



ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

24




Універсальна підстановка часто привод
ить до вроміздких оачи
с
лень. Позвлянемо декілька випадків, т яких можна рахіоналізтвати
пі
дінтевральнт фтнкхію, викори
с
товтючи інчі підстановки.

2.


3.


Псйлмае 1.
2
6





4.


Псйлмае 1.
2
7







5.



ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

25

Псйлмае 1.
2
8






Псйлмае 1.
2
9





6.



7.


8.


Псйлмае 1.
30





9.


Псйлмае 1.
3
1



ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

26





10.

Інтеврали видт

аертться за допомовою множення
чисельника на

і насттпново почленново ділення
чисельн
и
ка на знаменник.

Псйлмае 1.
3
2






Псйлмае 1.
3
3






11.

Інтеврали

оачисл
ю
ют
ься за допомовою формтл:




Псйлмае 1.
3
4





ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

27

Питання для самоперевірки

1.

Сформтлюйте означення первісноі
та

невизначеново інтеврала.

2.

Напичіть основні властивості невизначеново інтевр
а
ла.

3.

Напичіть таал
ихю інтевралів.

4.

Як можна перевірити правильність резтльтатт інтевртвання?

5.

Напичіть формтлт заміни змінноі для невизначеново інтевр
а
ла.

6.

Напичіть формтлт інтевртвання частинами для невизначеново
і
н
теврала
.

7.

Напичіть інтеврали, для оачислення яких
застосовтється формтла
інтевр
т
вання частинами.

8.

Який вивляд мають
елементарні

рахіональні дроаи 1
-
4 типів?

9.

Як інтевртються
елементарні
дроаи 1
-
3 типів?

10.

Перелічіть послідовність дій при інтевртванні фтнкхій,
які

мі
с
тять
квадр
а
тний тричлен.

11.

Сфор
мтлюйте теоремт про розклад мновочлена на множники.

12.

Сформтлюйте теоремт про розклад правильново рахіональново
дроат на
елементарні
дроаи.

13.

Напичіть тніверсальнт тривонометричнт підстановкт.

14.

Які підстановки використовтються для оачислення інтевра
лів:

1)


2)


3)


4)


Вправи

1.

З
найти інтеврали, резтльтати перевірити диференхіюванням.

1
)


2
)


3
)


4
)


5
)


6
)


7
)


8
)


9
)


10
)



ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

28

2.

Застоствавчи
вказант
підстановкт, знайти

інтеврали
:

1
)


2
)


3
)



4
)


5
)


6
)


3.

За допомовою підстановки знайти:

1
)


2
)


3
)


4
)


5
)


6
)


7
)


8
)


9
)


10
)


4.

Проінтевртвати частинами
:

1)


2)


3)


4)


5)


6)


5.

Виділивчи повний квадрат, знайти:

1)


2)


3)


4)


6.

Позкласти на елементарні дроаи:

1)


2)


3)


4)


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

29

7.

З
найти інтеврали

від рахіональних фтнкхій:

1)


2)


3)


4)



8.

Знайти інтеврал
и

від іррахіональних фтнкхій:

1)


2)


3)


4)



9.

Знайти інтеврали від тривонометричних фтнкхій:

1)


2)


3)


4)


5)


6)


7)


8)


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

30

2.
ВЗЗНАЧЕНЗЙ ІНТЕГПАК

2.1. ПОНЯТТЯ ВЗЗНАЧЕ
НОГО ІНТЕГПАКА,

ЙОГО ГЕОМЕТПЗЧНЗЙ ЗМ
ІСТ

Нехай фтнкхія


неперервна на відрізкт

По
з
іа

ємо

довільно хей відрізок на
n

частин точками


Візьм
е
мо на кожномт з відрізків довільнт точкт


оачислимо значення фтнкхіі

і п
о
множимо йово
на велич
и
нт


(рис. 2.1).

Інтевральною ст
мою

для фтнкхіі

на відрізкт

наз
и
вається с
т
ма


(2.1)

Гранихя інтевральноі стми, знайдена при

за тмови, що д
о
вжина найаільчово частинново відрізка прямтє до нтля,
назив
а
ється
визначеним інтевралом

від фтнкхіі

на відрізкт

і позн
а
чається


(2.2)

Числа
a

і
b

називаються нижньою і верхньою межами інтевр
т
вання.















Пис. 2.1

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

31

Теорема Кочі (дос
татня тмова інтеврованості фтнкхіі).

Якщо фтнкхія

неперервна на відрізкт

то вона і
н
теврована

на хьомт відрізкт

Геометричний зміст визначеново інтеврала.

Визначений інте
в
рал від невід’ємноі фтнкхіі

чисельно до
рівнює
площі криволінійноі
трапехіі
(фівтри, оамеженоі врафіком фтнкхіі

віссю
Ox

і
двома прямими

Визначений інтеврал
від д
о
вільноі фтнкхіі

дорівнює алвеараічній стмі площ, що лежать вище і нижче осі
Ox
.
Площі
, що лежать вище осі
Ox
, ввійдтть т хю стмт зі знаком

+

, а

площі, що лежать нижче осі
Ox
,


зі знаком



.

Економічний зміст визначеново інтеврала.

Якщо



пр
о
дтктивність прахі т момент част
t
, то



оасяв ви
роаленоі за
пр
о
міжок част

продткхіі.

2.2.
ВКАСТЗВОСТІ ВЗЗНАЧЕН
ОГО ІНТЕГПАКА

1.


(2.3)

2.


(2.4)

3.


(2.5)

4.


(2.6)

5.

Якщо фтнкхія

інтеврована на відр
і
зках

і

то


(2.7)

Геометрична ілюстрахі
я
:
я
кщо

на відрізкт

і

то площа
S

кривол
інійноі трапехіі з основою

д
о
рівнює стмі
площ

трапехій з основами

і

(рис. 2.2).



ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

32








Пис. 2.2

6.

Якщо на відрізкт

вик
о
нтється нерів
ність

то


(2.8)

Геометрична ілюстрахія
:

площа криволінійноі трапехіі, оамеж
е
ноі верхньою кривою

не менче площі,
оамеженоі нижньою

кривою

(рис. 2.3).








Пис.

2.3

7.

Якщо
m

і
M



найменче й найаільче значення фтнкхіі

на в
і
дрізкт

і

то


(2.9)

Геометрична ілюстрахія
:

площа
S

криволінійноі трапехіі, оам
е
же
ноі кривою

не менче площі
S
1

прямокттника висотою
m

і
не аі
льче площі
S
2

прямокттника вис
о
тою
M

(рис. 2.4).










Пис. 2.4

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

33

Наслідок
.

Нехай фтнкхія

неперервна на відрізкт

Т
о
ді:


8.

Теорема про середнє значення визначеново інтеврала.

Якщо фтнкхія

неперервна на відрізкт

і

то
існтє хоча а одна точка

т
а
ка, що
:


(2
.10)

Геометрична ілюстрахія
:
якщо

на відрізкт

то
знайдеться така точка

що площа, оамежена кривою

дорівнюватиме площі прямокттника з в
и
сотою

(рис. 2.5).

Число


(2.11)

називається
середнім значенням

ф
т
нкхіі

на відрізкт











Пис. 2.5


9
.

Значення визначеново інтеврала не залежить від
позначення

змінноі
і
н
тевртвання:


(2.12)

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

34

2.3.
ДЗФЕПЕНЦІЮВАННЯ ВЗЗН
АЧЕНОГО ІНТЕГПАКА

ЗІ ЗМІННОЮ ВЕПХН
ЬО
Ю МЕЖЕЮ

Позвлянемо інтеврал від
неперервноі
фтнкхіі

на відрізкт

де
a



фіксоване число, а
x



змінне
:


(2.13)

Теорема.

П
охідна визначеново інтеврала зі змінною вер
х
н
ьо
ю межею дорівнює значенню підінтевральноі фтнкхіі т
точхі диференхіюва
н
ня:


(2.14)


Теорема існтвання

невизначеново

інтеврала.

Для атдь
-
якоі
неперервноі на від
різкт

фтнкхіі

існтє первісна
та

невизн
а
чений інтеврал.


(2.15)

Формтла (2.15) зв

язтє невизначений інтеврал із визначеним інт
е
вралом зі змінною верхньою межею.

2.4.
ФОПМУКА НЬЮТОНА
-
КЕЙБ
НІЦА

Теорема.

Якщо

фтнкхія

неперервна на відрізкт

і



атдь
-
яка іі первісна на

то
:


(2.16)

Псйлмае 2.1





ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

35

2.5.
ЗА
МІНА ЗМІННОЇ У ВЗЗНА
ЧЕНОМУ ІНТЕГПАКІ

Теорема.

Нехай фтнкхія

неперервна на відрізкт

а
фтнкхія

має неперервнт похіднт на відрізкт

де


Крім тово, при зміні
t

від


до


фтн
к
хія

монотонно

змінюється від

до

Тод
і
:


(2.17)

Псйлмае 2.
2







2.6.
ФОПМУКА ІНТЕГПУВАННЯ

ЧАСТЗНАМЗ

ДКЯ ВЗЗНАЧЕНОГО ІНТЕ
ГПАКА

Теорема.

Якщо фтнкхіі

і

мають неперервні похі
д
ні

на відрізкт

то


(2.1
8)

Псйлмае 2.
3






ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

36

2.7.
ЗАСТОСУВАННЯ ВЗЗНАЧЕ
НОГО ІНТЕГПАКА

ДКЯ ПОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗА
ДАЧ ГЕОМЕТПІЇ

2.7.1.
Оачислення площ плоских фівтр

Оачислення площ т декартових прямокттних коорд
и
натах

Нехай на відрізкт

задана неперервна фтнкхія

Площа криволінійноі трапехіі


фівтри, оамеженоі кривою

віссю
O
x
і прямими


(рис. 2.
6
), знаходиться за фо
р
мтлою


(2.19)

Якщо на відрізкт

фтнкхія

(рис. 2.
7
), то площа
фі
втри, оамежен
оі

віссю
O
x
, кривою

і прямими


о
а
числюється за формтлою


(2.20)












Пис. 2.6

Пис. 2.7


Якщо на

фтнкхія

змінює знак скінченне число разів
(рис. 2.
8
),

то площа, оамежена кривою

віссю
О
x

і прямими


знаходиться за форм
т
лою


(2.21)

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

37

Наприклад, оачислимо площт фівтри, зоараженоі на рис. 2.
8
:


(2.22)

Якщо фівтра оамежена двома неперервними кривими


і прямими


(рис. 2.9), при
чомт

для
всіх

то площа визн
а
чається за формтлою


(2.23)











Пис. 2.8

Пис. 2.9


Псйлмае

2.
4
.

Оачислити площт фівтри, оамеженоі
парааолою


і
прямою

► Знайдемо координати точок перетинт парааоли і прямоі:



З
а

формтл
ою

(2.23) одержтємо:


(од.
2
).


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

38

Оачислення площі криволінійноі трапехіі

при

параметричномт заданні рі
вняння кривоі

П
лощ
а

криволінійноі трапехіі, оамеженоі кривою, заданоі рі
в
няннями в параметричній формі


(2.24)

де фтнкхія

неперервна, а



неперервно диференхійована
,
о
а
числюється за фор
мтлою


(2.25)

Затваження
.

Нижня межа інтевртвання


т формтлі (2.25) п
о
в
и
нна ві
д
повідати
лівій

точхі
a
, а верхня


правій

точхі
b

на осі
О
x
.

Псйлмае

2.
5
.

Оачислити площт, оамежент аркою хиклоіди
x

=



(рис. 2.1
0
)
.








Пис. 2.1
0
. Цикл
о
іда


► За формтлою (2.25), де

ма
є
мо
:







ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

39

Оачислення площ пл
оских фівтр т полярних координатах

Площа криволінійново сектора, оамеженово неперервною

кр
и
вою



і двома полярними радітсами, що відповідають
значенням полярново ктта

і

(рис. 2.11), оачисл
ю
ється за
форм
т
лою


(2.26)












Пис. 2.11


Затваження
.

Для замкнттоі кривоі, що охоплює полюс, поля
р
ний
ктт


змінюється від 0 до 2

.

Псйлмае 2.
6
.

Оачислити площт, оамежент
кардіоідою

(рис. 2.1
2
).













Пис. 2.1
2
. Кардіоіда


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

40

► З трахтванням симетріі фівтри одержимо за фо
р
мтлою (2.26):





2.7.2.
Оачислення довжини дтви кривоі

Оачислення довжини дтви кривоі т декартових коорди
н
а
тах

Нехай на відрізкт

плоска крива задана рівнянням

де



неперервна разом із похідною фтнкхія. Тоді до
в
жина дтви
оач
и
слюється за формтлою


(2.27)

Псйлмае 2.
7
.

Оачислити довжинт дтви лініі

на
відр
і
зкт 0;

4].


Перетворимо вираз під знаком кореня
т

формтлі (2.27):



Д
о
вжинт дтви оачислюємо за формтлою (2.27):




Оачисленн
я довжини дтви кривоі,

задан
оі

параметричними рівняннями

Довжина дтви
плоскоі

кривоі, задан
оі

параметричними рівнянн
я
ми


(2.28)

де


і




неперервні на

фтнкхіі, що
мають непер
е
рвні
похідні, оачи
с
люється за формтлою

(2.29)
.

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

41


(2.29)

Довжина дтви
просторовоі

лініі, заданоі параметричними рівня
н
нями

де





неп
е
рервно диференхійовані на

фтнкхіі, оачислюється за формтлою


(2.30)

Псйлмае 2.8.

Оачислити довжинт дтви
лініі



Знайдемо підінтевральнт фтнкхію та оачислимо
за форм
т
лою

(2.29) д
овж
инт д
т
ви:






Псйлмае 2.9.

Оачислити довж
и
нт арки хиклоіди



(
див.
рис. 2.11).

► Оачислюючи похідні

і підставляючи
іх т формтлт (2.29), знаход
и
мо





Оачислення довжини дтви кривоі т полярних коорд
и
натах

Довжина дтви кривоі, задан
оі

рівнянням т полярних координ
а
тах



де


і

неперервні на відрізкт

оачислюється за фо
р
мтлою


(2.31)

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

42

Псйлмае 2.10.

Знайти довжинт кола

(рис. 2.13).

► Унаслідок сим
етріі кривоі досить оачислити довжинт вер
х
ньоі
половини кола і подвоіти р
е
зтльтат.











Пис. 2.13. Коло


За формтлою (2.31) маємо:




Псйлмае 2.11
.

Знайти довжинт кардіоіди


(
див.
рис.

2.1
2
).

► Унаслідок
симетріі кривоі досить оачислити довжинт вер
х
ньоі половини кардіоіди і подвоіти р
е
зтльтат.

За формтлою (2.31) маємо
:





2.7.3.
Оачислення оа

ємів тіл

Оачислення оа

ємт тіла

за відомими площами паралельних пере
різів

Нехай площа перерізт деяково тіла площиною, перпендиктлярно
ю

до осі
ox
, п
о
дана т вивляді

де

Тоді оа

єм частини
ті
ла, ткладеноі між площинами

і

оачислюєтьс
я за форм
т
лою


(2.32)





=
a
cos


x

а

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

43

Псйлмае 2.1
2
.

Оачислити оа

єм еліпсоіда

(рис. 2.1
4
).

► У перерізі еліпсоіда площиною

вийде еліпс
із

пі
в
осями:













Пис. 2.14. Еліпсоід


Площа еліпса:


Оа’єм еліпсоіда

оачислимо за форм
т
лою (2.32):


(2.33)

При

із формтли (2.33) одержимо
оа

єм еліпсоіда оа
е
ртання


(2.34)

При

із

формтли (2.34)

одержтємо
оа

єм ктлі




(2.35)

Оачислення оа

ємт тіла оаертання

Оа

єм

тіла, ттвореново оаертанням
навколо осі Оx

криволінійноі

трапехіі,
оамеженоі

неперервною на відрізкт

кр
и
вою


віссю
О
x

і прямими

і

оачислюється за форм
т
лою


(2.36)

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

44

Псйлмае 2.1
3
.

Оачислити оа

єм тіла, ттвореново оаертанням н
а
в
коло осі
Оx

фівтри, оамеженоі лініями

і


► Застосовтючи формтлт (2.18), одерж
и
мо:




Затваження
.

Якщо крива задана параметричними рівняннями (2.28),

т
о оа

єм тіла оаертання навколо осі
Оx

оачислюється за форм
т
лою


(2.37)

Псйлмае 2.1
4
.

Оачислити оа

єм тіла, ттвореново оаертанням
на
вколо осі
О
x

однієі арки хиклоіди



(
див.
рис. 2.11).

► Оа

єм оачислимо за формтлою (2.37):








Затваження
.

Якщо криволінійна трапехія, що оамежена неп
е
ре
рвною кривою

віссю
Оy

і прямими

оа
е
рта
-
ється

навколо осі Оy
, то оа

єм отриманово тіла оачислюється за
формтлою


(2.38)

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

45

2.8.
ППЗККАДЗ ЗАСТОСУВАНН
Я

ВЗЗНАЧЕНОГО ІНТЕГПАК
А В ЕКОНОМІЦІ

1.
Нехай
V
,
D

і
П



ф
тнкхіі відповідно витрат, доходт та приат
т
кт, які залежать від кількості
х

вироаленоі продткхіі аао від част
t

іі
вироанихтва, а

і



фтнкхіі марвінальних витрат, д
о
ходт та
приат
т
кт відповідно.

Тоді зміни
вказаних величин при зростанні вироанихтва продт
к
хі
і
від
а

одинихь до
b

оачислюють за формтлами
:



Псйлмае 2.
1
5.

Якщо фтнкхія марвінальних витрат вироанихтва
х

одинихь продткхіі за певний час має вивляд

то
зростання витрат вироанихтва (т вривнях) при заільченні виптскт
продткхіі від 100 до 200 одинихь оачислюється за ф
о
рмтлою



(врн.)
.

2.
Якщо


і



вказані вище фтнкхіі, які змінюют
ь
ся

з часом
t
, то

і завальний приатток за час
T

оачи
с
люють за фо
р
мтлою


3.

Коефіхієнт нерівномірності розподілт доходт.

Нехай фтн
к
хія


опистє залежність частки стктпново доходт
т
, одерж
а
н
оі

частиною
х

тсьово населення, іі врафік називають кривою Коренха
(рис. 2.
15
).

Якщо при

маємо

то хе означає, що 20

%

населення володіють 60

%

завальново доходт краіни. При рівномірн
о
мт (досконаломт) розподілі доходів крива Коренха виродж
т
ється т
прямт


аісектрист
ОА.

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

46











Пис. 2.15


Томт відночення
L

площі фівтри
S
2

між аісектрисою
ОА

і кр
и
вою Коренха до площі
S
1

трикттника
ОАС
характе
ризтє сттпінь
нер
і
вномірності розподілт доходів населення. При хьомт
L

називають

коефіхієнтом нерівномірності розподілт доходів
, коефіхієнтом Кор
е
нха
,
аао коефіхієнтом Джіні і оачи
с
люють за формтлою


Очевидно, що

Значення

відповідає досконаломт
розподілт доходів.

Псйлмае 2.
1
6.

За даними дослідження розподілт доходів певноі
держави крива Коренха опистється рівнянням

Тоді
коефіхієнт Коре
н
ха
-
Джіні


Часто коефіхієнтом
L

характеризтють нерівномірний розподіл
приаттковово податкт, якщо вважати, що фтнкхія
т

є частиною
зав
а
льново приаттковово податкт і пропорхійна частині
х

тсьово населе
н
ня

де
р
жави, тоато

4.
Якщо фтнкхія

дорівнює приатткт за час
t
,

а
r

%



номін
а
льна оалікова щорічна ставка, то реальне значення завальново приат
т
кт

П

за час між

та

становить


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

47

Псйлмае 2.
1
7.

Якщо компані
я вкладе 10 млн.

врн.

т нове оала
д
нання і щорокт отримтватиме 1 млн.

врн.

приатткт протявом 5 років,
а номінальна оалікова щорічна ставка становитиме 5

%
, то реальне
значення пр
и
атткт


млн.

врн.

5.

Зміна капіталт.

Якщо



чвидкість зміни інвестихій,



капітал підприємства, то

Знаючи чвидкість зміни інве
с
тихій, можна знайти змінт капіталт
за проміжок част від
t

=

t
1

до
t

=

t
2

за фо
р
мтлою


Псйл
мае 2.
1
8.

Знайти середнє значення витрат

якщо оа
сяв

продткхіі
x

змінюється від 5 до 10 од
и
нихь.

► Середнє значення фтнкхіі

на відрізкт

оачислюєт
ь
ся
за фо
р
мтлою (2.11):


тоато середнє значення витрат дорівнює 56.



Псйлмае 2.
1
9.

Знайти оасяв продткхіі
V
, вироаленоі за проміжок ч
а
ст

якщо продтктивність прахі задана фтнкх
і
єю

► Якщо



продтктивніс
ть прахі т момент част
t
, то оасяв
вироаленоі за проміжок част

продткхіі

оачислюється за фо
р
мтлою




Питання для самоперевірки

1.

Сформтлюйте означення визначеново інтеврала, йово веометри
ч
ний

та ек
о
номічний з
міст.

2.

Перелічіть властивості визначеново інтеврала.

3.

Чомт дорівнює похідна інтеврала зі змінною верхньою межею?

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

48

4.

Запичіть формтлт Ньютона
-
Кейаніха.

5.

Запичіть формтлт заміни змінноі для визначеново інтевр
а
ла.

6.

Запичіть формтлт інтевртвання частин
ами для визначеново інтевр
а
ла
.

7.

За якими формтлами оачислюється площа плоскоі фівтри?

8.

За якою формтлою оачислюється оа’єм тіла, ттвореново оаерта
н
ням

пло
с
коі фівтри навколо осі
Ox

(
Oy
)?

9.

За якими формтлами оачислюється довжина дтви плоскоі кривоі?

1
0.

Наведіть приклади застоствання визначеново інтеврала в економ
і
хі.

Вправи

1.

Оачислити визначен
і

інтеврали:

1)


2)


3)


4)


5)


6)



2.

Оачислити площт фівтри, оамежент лініями:

1)


2)


3)


4)


5)


6)



3.

Оачислити довжинт дтви
:

1)


2)


3)


4)



4.

Оачислити оа’єм тіла, ттвореново оаертанням навколо осі


фів
т
ри, оамеженоі лініями
:

1)


2)



5.

Задані фтнкхіі марвінальних витрат вироанихтва

V


(
х
)
і

марвін
а
льново
доходт

D


(
х
)
від реалізахіі
х
одинихь продткхіі. Знайти
зростання завальних витрат вироанихтва та доходт при заільченні
ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

49

виптскт продткхіі від
x
1

до
x
2

один
ихь, а також середні значення
витрат
і

д
о
ходт.

1)


2)


3)


4)



6.

Для заданово рівняння кривоі Коренха
т

=
f
(
х
) знайти коефіх
і
єнт
L

нерівномірності розподілт д
оходів вромадян держави (коефіх
і
єнт
Коренха)
:

1)


2)


3)


4)



7.

Знайти завальний приатток фірми

за час
T
,

якщо відомі

чвидкості зміни з
часом витрат

і

приатткт

1)


2)



8.

Продтктивність прахі протявом роаочово дня визначається фт
н
кхією

де
t



час т водинах. Знайти кількі
сть
ви
роаленоі продткхіі за 4 водини
;

за 8 водин.

9.

Знайти оасяв продткхіі
V
, вироаленоі за проміжок част
T
, якщо
продтктивність прахі задана фтнкхією

1)


2)


3)


4)



10.

Знайти

змінт капіталт

за проміжок част від
t
=
t
1

до
t

=
t
2
, якщо
відома чвидкість зміни інвестихій
I
(
t
):

1)


2)


3)


4)



ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

50

2.9.
НЕВКАСНІ ІНТЕГПАКЗ

Невласними

інтевралами називаються:

1)

інтеврали з нескінченними межами інтевртвання;

2)

інтеврали від неоамежених фтнкхій.

2.9.1.
Інтеврали з нескінченними межами інтевртвання

Нехай фтнкхія

неперервна при

Тоді інтеврал
з
і

змінною

вер
х
ньою межею


(2.39)

є неперервною фтнкхією верхньоі межі
b

(рис. 2.
1
6
)
.

Позвлянемо
пи
тання про поведінкт хьово інтеврала при
b




.











Пис. 2.
1
6


Якщо існт
є
скінченна

вранихя


(2.40)

то
іі

називають
невласним інтевралом перчово родт

від фтнкхіі

на інтервалі

і позначають так:

.

(2.41)

При хьомт кажтть, що невласний і
нтеврал
заівається
. Якщо вран
и
хя (2.40) не існтє аао нескінченна, то кажтть, що невласний інте
в
рал

р
о
заіваєт
ь
ся
.

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

51

Геометричний зміст невласново інтеврала перчово родт.
Якщо


то невласний інтеврал (2.41) чисельно дорівнює площі н
е
скінч
енноі оаласті, що розтачована між лініями



і
ві
с
сю
Ох.

Аналовічно визначаються невласні інтеврали для інтервалів



(2.42)


(2.43)

де

c



довільна фіксована точка осі
Оx
. Якщо
кожен

із невласних інт
е
вра
лів т правій частині рівності (2.43
) існтє, то існтє й інт
е
врал
,
що стоіть л
і
вортч.

Псйлмае 2.
20





Отже, інтеврал заіваєтьс
я.


Псйлмае 2.
2
1




Інтеврал
розаівається.


Псйлмае 2.
22
.

Для різних значень параметра
p

дослідити заі
ж
ність
інте
в
рала

► Приптстимо, що

Тоді:


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

52

При

маємо


Висновок:

даний інтеврал заівається при
p
 1 і розаівається
при




Якщо оачислити первіснт для


важко, то існтють озн
а
ки, що
дозволяють вирічити питання про заіжність ч
и розаіжність невласн
о
во

і
н
теврала.

Ознаки порівняння для невласних інтевралів перчово р
о
дт

Теорема 1.

Нехай для всіх

виконтється нерівність

Т
о
ді:

1)

якщо інтеврал

заівається, то заіва
ється й і
н
теврал


прич
о
мт

2)

якщо інтеврал

розаівається, то й інтеврал

роза
і
вається

Якщо підінтевральна фтнкхія змінює знак, то застосовтють т
а
к
т

озн
а
кт заіжност
і
.

Теорема 2.

Якщо заівається інтеврал

то заів
а
ється й інтеврал

який т хьомт випадкт назив
а
ється аасолютно за
і
жним

Якщо
інтеврал

заівається, а інтеврал

розаів
а
є
ться, то перчий інтеврал називається
тмовно заіжним.

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

53

Псйлмае 2.
23
.

Дослідити заіжність інтеврала

► Це один з інтевралів, що не аертться в елементарних фтнкх
і
ях.

При

виконтється

нерівність

Оачислимо інте
в
рал


Оскільки інтеврал

заівається, то за теоремою 1 заіваєт
ь
ся
й інте
в
рал

причомт йово значення не перевищтє 1/
е.


Псйлмае 2.
24
.

Дослідити заіжність інтеврала

► Підінтевральна фтнкхія знакозмінна. При

виконтється

нерівність

Оскільки інтеврал

заівається (
пр
и
клад 2.
23
), то за теоремою 1 заівається й інтеврал

але тоді
на підставі теореми 2 аасолютно заіваєт
ь
ся й інтеврал



Затваження
.

Теореми 1, 2
виконтються

і для невласних інтевр
а
лів по інтервалах


2.9.2.
Інтеврали від неоамежених фт
нкхій

Нехай фтнкхія

неперервна на інтервалі

а при

аао не визначена, аао
перетворюється на

нескінченність (рис. 2.1
7
).
Невласний інтеврал др
т
вово родт визначається таки
м спосо
а
ом
:


(2.44)

Якщо
існтє
вранихя, що стоіть правортч, то невласний інтеврал
називається
заіжним
,
в

інчомт

разі він називається
розаі
ж
ним
.


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

54

Якщо фтнкхія

має розрив т точхі

то за озн
а
ченням


(2.45)

Якщо фтнкхія

розривна в точхі

(рис. 2.18), то


(2.46)

Якщо
оаидві

вранихі в правій частині формтли (2.46) існтють і
скінче
н
ні, то інтеврал називають
заіжним
, інак
че


розаіжним.












Пис. 2.1
7

Пис. 2.
18


Псйлмае 2
.
2
5




Інтеврал заівається.


Псйлмае 2.2
6



Інтеврал розаівається.


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

55

Псйлмае 2.2
7




Інтеврал
заіваєтьс
я
.


Для невласних інтевралів дртвово родт
застосовтють

ознаки п
о
рівняння, аналовічні ознакам порівняння для інтевралів перчово родт.

Ознаки порівняння для невласних інтевралів дртвово родт

Теорема 3.

Нехай при

виконтється нерівність

а при

фтнкхіі

і

мають р
о
зрив. Т
о
ді:

1)

якщо

заівається
, то

також
заіваєт
ь
ся
;

2)

якщо

роз
аівається
, то

також роз
а
і
вається

Якщо підінтевральна фтнкхія змінює знак, то застосовтють те
о
ре
мт 4.

Теорема 4.

Нехай

знакозмінна на

і розривна в
точхі . Тод
і якщо
заівається

інтеврал
, то
за
і
вається

й інтеврал
, який називаєт
ь
ся аасолютно
заіжним

Затваження
.

Аналовічні теореми можна сформтлювати і для н
е
власних інтевралів (2.45), (2.46).

Псйлмае 2.2
8
.

Дослідити за
іжність інтеврала

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

56

► Підінтевральна фтнкхія має розрив при

На інте
р
валі

виконтється

нерівність

Оачислимо інте
в
рал


Оскільки інтеврал
заіва
ється
, то за теоремою 3
заівається

і даний
інтеврал.


Псйлмае 2.2
9
.

Дослідити заіжність інтеврала

► Підінтевральна фтнкхія знакозмінна і має розрив при

томт для дослідження заіжності інтеврала скористаємося
теор
е
мою 4.
На і
н
тервалі

виконтється
нерівність:

Оачислимо невласний інтеврал від аільчоі фтнкхіі.



Оскільки хей інтеврал існтє, то за теоремою 3 існтє і нев
ласний
інтеврал від менчоі фтнкхіі, тоато

теж існтє, але тоді за
теоремою 4 існтє й і
н
теврал

який є аасолютно заіжним.


Питання для самоперевірки

1.

Які інтеврали називаються невласними?

2.

Сформтлюйте означ
ення
невласних

інтевралів перчово та дртв
о
во
род
ів
.

3.

В

якомт випадкт невласні інтеврали називаються заіжними (роза
і
жними)?

4.

Який веометричний зміст заіжново невласново інтеврала перчово
(дртвово)

родт
?

5.

Сформтлюйте ознаки порівняння для невласних інт
евралів

перч
о
в
о
родт
.

6.

Сформтлюйте ознаки порівняння для невласних інтевралів дртвово
родт.

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

57

Вправи

1.

Оачислити невласні інтеврали аао довести іх розаіжність:

1)


2)


3)


4)


5)


6)


7)


8)


9)


10
)


11
)


12
)


13
)


14
)


15
)


16
)


2.

Знайти площт, оамежент кривою

і віссю
Ox
.

3.

Знайти площт, оамежент кривою

іі
вертикал
ь
ними
асимптот
ами

і
віссю
Ox
.

2.10.
ПОДВІЙНІ ІНТЕГПАКЗ

Нехай т замкненій оамеженій оаласті
D

площини
xОy

задана
н
е
перервна

фтнкхія

Позіа’ємо оаласть
D

на
n

оаластей
D
i

довільноі форми із площ
а
ми

(рис. 2.19)
.

Діаметром

d
i

оаласті
D
i

називається довжина
на
й
аільчоі з хорд, що з’єднтє точки іі межі.

У кожній з оаластей
D
i

(тсередині

чи на іі межі) візьмемо довіл
ь
нт

точкт

і складемо с
т
мт


(2.47)

яка називається
інтевральною стмою для фтнкхіі


в о
а
ласті

D
.

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

58













Пис. 2.19


Якщо існтє вранихя послідовності інте
вральних стм (2.47) при

і

яка
не залежить від спосоат розаиття оаласті
D

на елементарні підоаласті й виаорт точок

то вона називається
п
о
двійним інтевралом

і позначаєт
ь
ся так:


чи


(2.48)

Оаласть
D

називається
оаластю інтевртвання
,




змінними
інтевртвання,



підінтевральною фтнкхією
,




під
-
і
нтевральним

виразом.

Теорема

(п
ерча достатня ознака

існтвання подвійново
інтеврала).

Якщо



неперервна

в замкненій оам
е
женій оаласті
D

із ктсково
-
владкою межею, то подвійний
інтеврал
(2.48)

і
с
нтє

Геометричний зміст подвійново інтеврала

І
нтевральна стма (2.47) при


являє соаою стмт оа’ємів

хиліндрів з основами

й висотами

Томт при

подвійний інтеврал (2.48) чисельно дорівнює
оа

ємт тіла
, оамеж
е
ново поверхнею

площиною

і хиліндричною пов
е
рх
нею, твірна якоі паралельна осі
Оz
, а напрямною є межа
L

оаласті
D

(рис. 2.2
0
).

y

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

59

Якщо фтнкхія

змінює знак
в

оаласті
D
, то подвійний і
н
теврал (2.48) дорівнює алвеараічній
стмі оа

ємів, що лежать вище й

нижче пл
о
щини

















Пис. 2.2
0


Затваження
.

Якщо в (2.48) покласти

то одержимо в
и
раз

площі

плоскоі о
а
ласті
D

через подвійний інтеврал:


(2.49)

В
ластивості подвійново інтеврала

1.


(2.50)

2.


(2.51)

3.

Якщо оаласть
D

розаита на дві оаласті
D
1

і
D
2

аез спільних внт
т
річніх

т
о
чок
і

фтнкхія

неперервна в оаласті
D
, то


(2.52)

4.

Якщо

тсюди в
D
, то


(2.53)

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

60

5.

Якщо

тсюди в
D
, то


(2.54)

6.

Якщо інтеврована в оаласті
D

фтнкхія

задовольняє

нері
в
ності
:


то


(2.55)

7.

Теорема про середнє значення подвійново інтеврала.

Подвійн
ий

інтеврал від неперервноі фтнкхіі

по о
а
ласті
D

дорівнює доатткт площі
S

оаласті
D

на значення
фтнкхіі
f

т д
е
як
ій точхі


де

(2.56)


8.

Якщо фтнкхія

інтеврована в оаласті
D
,

то в хій оаласті і
н
теврована і фтнкхія

і

виконтється

нерівність:


(2.57)

9.

Подвійний інтеврал по оаласті
D

не залежить
від позначення

змі
н
них інтевртвання:


(2.58)

Оачислення подвійново інтеврала

Оаласть
D

називається
правильною

(
оптклою
)

в

напрямкт осі

Oy

якщ
о атдь
-
яка пряма, що паралельна осі
Oy


перетинає

вранихю оаласті не аільч ніж т двох точках. Оаласть, правильна й т
напрямкт осі
Оx
,

і в напрямкт
Оy
,

називається
правильною

(опт
к
лою)
оаластю.

На рис. 2.2
1

зоаражена оаласть
D
,

правил
ьна в напрямкт осі
Оy
,
але неправильна в напрямкт осі
Ох
, а на рис. 2.2
2



оаласть
D
,

прав
и
льна в напрямкт осі
Оx
, але н
е
правильна в напрямкт осі
Оy.

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

61











Пис. 2.2
1

Пис. 2.2
2


Оачислення подвійново інтеврала зводиться до оачислення двох
простих інтев
ралів.

Якщо оаласть
D

п
равильна в напрямкт осі
Oy
, то вона

визнач
а
ється системою нерівностей:

і подвійний
інтеврал оачислюється за формтлою:


(2.59)

Якщо оаласть
D

правильна в напрямкт осі
Ox
, то вона

визнач
а
є
ться системою
таких
нерівностей:

і п
о
двійний і
н
теврал оачислюється за формтлою:


(2.6
0
)

І
нтеврали
т

прав
их

частин
ах формтл (2.59), (2.60)

називаються
двократними

(повторними)

інтевралами.

Порядок оачислення по
двійново інтеврала.

Оачислення повт
о
рново інтеврала починається з оачислення
внттрічньово

інтеврала.
Якщо перче інте
в
ртвання проводиться по змінн
ій

y
, то
x

вважається
сталою, а межі
y
1

і
y
2

є фтнкхіями від
x

і н
а
впаки.

Нехай оаласть
D

правильна т н
а
прямкт
осі
Оy

(
див.
рис. 2.2
1
).

1.

Знайти рівняння

нижньоі частини межі (нижня межа і
н
тевртвання внттрічньово інтеврала) і рівняння

верхньоі
ча
с
тини межі (верхня межа внттрічньово інтеврала).

2.

Знайти крайні лівт

й правт

точки проекхіі на вісь
Ох

оал
а
сті
D



нижню й верхню межі зовнічньово інтеврала і записати п
о
вторний інте
в
рал

(2.59).

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

62

3.

Оачислити внттрічній інтеврал по
y
,

вважаючи

потім
заміс
ть
y

підставити верхню межт і відняти значення первісноі, в
який замість
y

підставлена нижня межа. У резтльтаті ттвориться

фтнкхія, що залежить тільки від
x
, якт слід проінтевртвати по
x

від

a

до
b
.

Псйлмае 2.30.

Оачислити

де оаласт
ь
D

оамежена
лініями:

► Координати точок перетинт парааоли

і прямоі

знайдені т прикладі 2.
4:

Зведемо подвійний інтеврал
до

повторно
во
. Оаласть
D

є правил
ь
ною
, о
днак внттрічній інтеврал зртчно оачислювати
за

змі
н
н
ою

y
.







Затваження 1
.

Якщо оаласть
D

не є правильною ні в напрямкт
Оx
, ні в напрямкт
Оy
, то іі розаивають на

кілька правильних оаластей

оачислюють подвійні інтеврали по кожн
і
й з хих оала
с
тей, а потім стмтють р
е
зтльтати.

Затваження 2.

Вираз

називається елементом площі в
прямокттних коо
р
динатах.

Затваження 3.

Якщо
D



прямокттник із сторонами, паралел
ь
ними коо
р
динатним осям, оамежений прямими




то


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

63

Псйлмае 2.31.

Оачислити

де оала
сть
D

оамежена
прямими:










Питання для самоперевірки

1.

Сформтлюйте означення подвій
ново інтеврала, йово веометри
ч
ний
зміст.

2.

Перелічіть властивості подвійново інтеврала.

3.

Яка оаласть називається правильною
в

напрямкт осі
Oy

(
Ox
), пр
а
вильною?

4.

Я
кими формтлами зв’язані подвійний і повторні інтеврали?

5.

Як визначаються меж
і

повторнов
о інтеврала
,

як він оачислюєт
ь
ся
?

6.

Як
оачисл
юється

площ
а

плоскоі фівтри за допомовою подвійново
і
н
теврала
?

Вправи

1.

Змінити порядок інтевртвання т повторномт інтевралі:

1)


2)



2.

Перейти від подвійново ін
теврала

до повторново,
знайти межі інтевртвання, якщо оаласть інтевртвання
D

оамежена
л
і
нія
ми:

1)


2)


3)


4)



ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

64

3.

Оачислити подвійні інте
врали по оаласті
D
,

оамежен
о
і

вказаними
л
і
ніями:

1)


2)


3)


4)



4.

За допомовою подвійново інтеврала оачислити площт оаласті
D
,

оамежено
і

вказаними лін
і
ями:

1
)


2)


3)


4)



5.

За допомовою подвійново інтеврала оачислити оа’єм тіла,

оамеж
е
ново вказаними повер
х
нями:

1)


2)


3)


4)



ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

65

3.
ДЗФЕПЕНЦІАКЬНІ
ТА

ПІЗНЗЦЕВІ ПІВНЯННЯ

3.1.
ДЗФЕПЕНЦІАКЬНІ ПІВНЯ
ННЯ ПЕПЧОГО ПОПЯДКУ

З

математичноі точки зорт задача розв’язтвання (інтевртвання)
диференхіальних рівнянь


хе

задача, оаернена дифе
ренхіюванню.
Задача диференхіальново числення поляває в томт, щоа за заданою
фтнкхією знайти іі похіднт. Найпростіча оаернена задача вже зтстр
і
чається в інтевральномт численні: дано фтнкхію

знайти іі пе
р
віснт. Якщо чтк
а
нт первіснт ф
тнкхію позначити через

то вказант
задачт можна зап
и
сати т
вивляді

рівняння:


(3.1)

аао


(3.2)

Півно
значні

між соаою рівняння (3.1) і (3.2) є найпростічими диф
е
ренх
і
альними рівняннями. Фт
нкхія
т
, яка задовольняє рівняння (3.1)
аао

(3.2), має в
и
вляд


(3.3)

де




первісна фтнкхіі
;

С



довільне стале.

Таким чином, диференхіальне рівняння
(3.1)
має нескінченнт
множинт розв’язків, кожний з яких
явля
є соаою

деякт первіснт від
фтн
к
хіі

.

Якщо
вимавати
, щоа для розв’язкт

виконтвалася додаткова
тмова


то серед всіх розв’язків

знайдеться тільки один, який ій задовол
ь
няє.
Дійсно, оскільки

і


то


звідки


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

66

Наприклад, нех
ай
відомо, що в початковий момент част

на
підприємстві вироалялося продткхіі в кількості

а чвидкість
з
ро
с
т
ання

продткхіі, вироаленоі на підприємстві, пропорхійна інвесттва
н
ню

Знайти
,

яка кількість продткхіі

вироаляється в кожен

момент част
t
, якщо інвесттвання підприємства постійне і дор
і
внює
3

врочовим один
и
хям.

► Звідно
з тмовою

задачі


Оскільки первісною від постійноі величини 3
k

є лінійна фтн
к
хія

то розв’язком диференхіальново рівняння є фтнкхія


Скориставчись
додатковою

тмовою задачі, звідно
з
як
ою


одержимо

звідки маємо


тоато
з
рост
ання

продткхіі підприємства
відатвається

лінійно.


3.1.1.
Звич
айні диференхіальні рівняння.

Основні означення
та

поняття

Звичайним диференхіальним рівнян
ням

називається рівняння, що
зв’язтє незалежнт зміннт

чткант фтнкхію

і
іі
похідні до
д
е
яково порядкт включно.

Завальний вивляд диференхіальново рівняння:


Порядком диференхіальново рівня
ння

називається порядок на
й
вищоі похідноі від чтканоі фтнкхіі, що входить
т

рівняння.

Завальний вивляд диференхіальново рівняння дртвово порядкт:


Звичайне диференхіальне рівняння перчово порядкт має в
и
вляд:


І
ноді рівняння перчово порядкт запистється т вивляді


У хьомт випадкт за невідомт фтнкхію можна
взя
ти як
х
, так і
т
.

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

67

Позв

язком диференхіальново рівняння

називається атдь
-
яка ф
т
нкхія

яка при підстановхі в рівня
ння перетворює йово
на

т
о
тож
ність
.

П
озв’язок
, задан
ий

неявно, тоато т вивляді

називаєт
ь
ся

інтевралом диференхіальново рівняння
.

Псйлмае 3.1.

Довести, що фтнкхія

є розв’язком рі
в
няння




Покладемо

знайдемо

Підстави
в
чи
значення
т

і


в дане рівняння, отримаємо тотожність
:



Псйлмае 3.2.

Показати, що рівняння

яке

визн
а
чає
т

я
к неявнт фтнкхію від
х
, є інтевралом диференхіальново рівня
н
ня

► Диференхіюючи дане рівняння, знайдемо



Підставивчи

в рівняння
,

одержимо
тотожність
:




3.1.2.
Диференхіальні рівняння перчово порядкт.

Теорема Кочі існтвання
та

єд
и
ності
розв’язкт

диференхіальново рівняння

Диференхіальне рівняння перчово порядкт має вивляд
:


(3.4)

Якщо рівняння (3.
4) розв’язати відносно похідноі

то отрима
є
мо

рівняння перчово порядкт, розв’язане

відносно похідноі:


(3.5)

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

68

Диференхіальне рівняння перчово порядкт має нескінченнт мн
о
жинт розв’язків, які визначаються формтлою
, що містить одне д
о
вільне
стале.

Завальним розв’язком диференхіальново рівняння перчово поря
д
кт

(3.4) аао (3.5) називається фтнкхія

яка при атдь
-
якомт
ст
а
ломт значенні
С

задовольняє рівняння (3.4) аао (3.5).

Частинним розв’язком
ди
ференхіальново рівняння перчово п
о
рядкт

називається розв’язок, одержаний із завальново

при
деяк
о
мт певномт значенні сталово
С
.

На практихі частинний розв’язок даново рівняння знаходять із з
а
вальново не заданням довільново сталово
С
,

а виходячи з тих тмов,
яким повинен задовольняти чтканий частинний розв’язок.

Нехай дано рівняння

для яково завальним розв’язком
є фтнкхія

і треаа знайти частинний розв’язок, який аи
за
довольняв з
а
дан
т

початк
ов
т

тмов
т
:


(3.6)

Умов
а

(3.6) означа
є
, що
при значенні незалежноі змінноі

чткана фтнкхія

Задача знаходження частинново розв’язкт рівняння (3.5), який
задовольняє задан
т

початков
т

тмов
т

(3.6), називається
задачею
Кочі
.

Для диференхіальново рівняння перчово порядкт задача Кочі зв
о
диться до знаходження частинново розв’язкт, який при

пр
и
ймає
задане значення

Умови, при яких диференхіальне рівня
н
ня (3.5)
має частинни
й розв’язок, що задовольняє
початков
т

тмов
т

(3.6),

можтть
атти сформтльовані т вивляді
тако
і

теореми.

Теорема про існтвання та єдиність розв’язкт
.

Якщо фтн
к
хія

неперервна в оаласті, що містить точкт

то диференхіальне рівняння

має ч
а
стинний
розв’язок

такий, що задовольняє тмовт

Якщо, крім тово, непер
е
рвна і частинна похідна

т точхі
, то розв’язок

єдиний

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

69

3.1.3.
Диференхіальні рівняння з відокремлюваними змінними

Якщо

т

рівнянні


ф
тнкхія

може атти п
одана

т вивляді доатткт двох співмно
ж
ників, один з яких не містить змінноі
y
, а дрт
вий


змінноі
х
, то
а
то

то рівняння наатде таково в
и
влядт:


(3.7)

Півняння (3.7) є рівнянням з відокремлюваними змінними.
Оск
і
льки

похідна

то маємо:


Оаидві частин
и останньово рівняння помножимо на

і поділ
и
мо
на

У

резтльтаті дістанемо рівняння з відокремленими змі
н
ними:


(3.8)

Інтевртючи рівність (3.8), маємо:


(3.9)

Співві
дночення (3.9) є завальним інтевралом рівняння (3.7).

Псйлмае 3.3.

Проінтевртвати рівняння


► Перетворимо лівт частинт рівняння


Відокремимо змінні, поділивчи на

Інтевртючи, отримаємо завал
ьний інтеврал рівняння:



ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

70




Затваження
.

Безпосередньою перевіркою можна переконатися,
що

і

є розв’язками даново диферен
хіальново рівня
н
ня.

Псйлмае 3.4
. Знайти частинний інтеврал рівняння


що задовольняє початковт тмовт

► Поділимо оаидві частини рівняння на доатток

ді
с
танемо рівняння з відокремленими змі
нними

Проінте
в
ртвавчи останнє рівняння, знаходимо


Підстави
мо
в отриманий завальний інтеврал початков
і

дані


отже
,




частинний інте
в
рал.


3.1.4.
Однорідні дифере
нхіальні рівняння перчово порядкт

Фтнкхія

називається
однорідною фтнкхією нтльовово в
и
мірт
, якщо при множенні змінних

і

на довільний параметр

зн
а
чення фтнкхіі не змінюється
, тоато

Однорідна фтнкхія нтльовово вимірт може атти п
одана

т в
и
вляді

Дійсно, нехай

є однорідн
ою

фтнкхі
єю

нтль
о
вово вимірт. Це означає, що змінні

і

можна помножити на д
о
вільний параметр

і значення заданоі фтнкхіі в хьомт випадкт не
зміниться
. Н
е
хай

тоді


Диференхіальне рівняння

називається однорідним,
якщо фтнкхія

є однорідною фтнкхією нтльовово вимірт. Т
а
ким

чином, однорідне диференхіальне рівняння можна п
о
дати т в
и
вляді


(3.10)

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

71

Однорідне рівняння (3.10) можна звести до рівняння з відокре
м
люваними змінними, підста
но
вкою

де



нова фтнкхія.
Диференхіюючи рі
в
ність

отримаємо:


Підставивчи вирази для

і

т

рівняння (3.10), отримаємо:


аао


(3.11)

Півняння (3.11) є рівнянням з відокремленими змінними

і

Інтевртючи, знаходимо


(3.12)

Якщо в хьомт виразі замінити

йово значенням

то дістан
е
мо

інтеврал рівняння (3.10).

Псйлмае 3.5
. Проінтевртвати рівняння


► Ділимо оаидві частини рівності на


отримаємо рі
вняння,
правою

частин
ою

яково є фтнкхія відночення


Покладемо в ньомт

і

отримаємо рівняння з від
о
кремлюваними

змінними




Інтевртючи
та

підставляючи

замість
z
, отримаємо завальний
інт
е
врал даново рівняння


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

72

При відокремленні змінних ми ділили на
х

і

що можл
и
во
при

і

Безпосередньою перевіркою левко переконат
и
ся,
що

і

є також розв’язками даново рівняння, але вони не
вхо
дять т

зав
а
льний інтеврал.


3.1.5.
Кінійні диференхіальні рівняння перчово порядкт

Диференхіальне рівняння перчово порядкт називається ліні
й
ним,
якщ
о воно мі
с
тить чткант фтнкхію
т

і іі похіднт
т′

в перчомт степені
та

не містить доатткт

Завал
ь
ний вивляд таково рівняння:


(3.13)

Для розв’язання (3.13) замінимо чткант фтнкхію
т

доаттком
двох інчих фтнкхій, то
ато зроаимо підстановкт:


(3.14)

Диференхіюючи (3.14), отримаємо:


(3.15)

Підстави
вчи

(3.14
)
і (3.15
)
в (3.13), дістанемо:


аао


(3.16)

Оскільки

чткана фтнкхія

п
о
дана т вивляді доатткт двох
інчих невідомих фтнкхій, то однт із них можна виарати довільно.
Виаеремо фтнкхію

так, щоа вираз
т

квадратних дтжках дорі
в
нював нтлю. Для хьово треаа знайти хоча а один частинний розв
’язок
рівняння

з відокр
е
млюваними змінними


(3.17)

При т
а
комт виаорі фтнкхіі
u

рівняння (3.1
6
) наатде вивлядт:


(3.18)

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

73

Позв’язтємо рівняння (3.17) і знаходимо фтнкхію


(3.19)

При розв’язанні (3.17) знаходимо той частинний розв’язок, який
відп
о
відає значенню довільново сталово

Підстави
вчи

(3.19)
т

(3.18), отримаємо:


(3.20)

Підстави
вчи

(3.19) і (3.20) в (3.14), отримаємо завальний розв’я
-
зок рі
в
няння (3.13).


(3.21)

Псйлмае 3.6.

Позв’язати рівняння

► Дане рівняння є лінійним. Виконаємо підстановкт

де
u

і



деякі фтнкхіі арвтментт
х
. Якщо

то

і дане рі
в
няння

наа
т
де вивлядт:


(*)

Виаеремо фтнкхію
u

так, щоа
виконтвалось

рівн
яння


(а)

При такомт виаорі фтнк
хіі
u

рівняння (*) наатде вивлядт
:


(а)

Позв’яжемо рівняння (а).


(Знаходимо той частинний розв’язок (а), який відповідає значе
н
ню

д
о
вільново сталово
).

Підставивчи

в рівняння (а), отримаємо:





Тоді



завальний розв’язок заданово рівня
н
ня.


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

74

Псйлмае 3.7.

Проінтевртвати рівняння


► Приптстимо
, що


підставимо
т

і

в
дане рівняння



(*)

Приптстимо
, що


аао


Проінтевртвавчи, дістанемо части
нний роз
в’язок


аао


При
хьомт

рівняння (*) наатде вивлядт


Завальни
й

розв’яз
о
к даново рівняння
матиме
такий
вивляд:



3.1.6.
Півняння Бернтллі

Деякі диференхіальні рівнянн
я перчово порядкт, які не є ліні
й
ними, можтть атти зведені до лінійних після попередніх перетворень.
Пр
и
кладом може атти рівняння


(3.22)

яке називається
рівнянням Бернтллі
.

При

рівняння (3.22)
є
рівнянням з в
ідокремлюваними змі
н
ними
, а

п
ри



лінійн
им

рівняння
м
. Якщо

то за д
о
помовою підстановки

(тоді
)

рівняння (3.22)
зв
о
диться до лінійново рівн
яння відносно новоі фтнкхіі

Поділи
вчи

оаидві частини рівняння (3.22) на

отр
и
маємо:


Це лінійне рівняння.

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

75

Зазначимо, що практично нема неоахідності вводити новт
змі
н
нт

.


Півняння Бернтллі можна розв’язати за допомовою підстановки


не зводячи йово попередньо до лінійново.

Псйлмае 3.8.

Позв’язати рівняння
Бернтллі

► Покладемо

тоді

і рівняння наатде в
и
влядт:


(*)

Виаеремо фтнкхію

так, щоа виконтвалась рівність


(а)

Тоді рівняння (*) після скорочення на

наатде вивлядт:


(а)

З рівняння (а) зна
йде
мо частинний розв’язок

підстав
и
мо
йово в рівняння (а)

і отримаємо

рівняння

з відокремл
ю
ваними змінн
и
ми. Знаходимо йово завальний розв’язок:


Отже,

завальний розв’язок заданово рі
в
няння.


Питання для самоперевірки

1.

Яке рівняння називається диференхіальним?

2.

Що називається порядком диференхіальново рівняння?

3.

Що називається розв’язком диференхіальново рівняння, завальним
і

ч
а
стинним розв’язком?

4.

Сформтлюйте задачт Кочі для диференхіальново рівняння перч
о
во п
о
рядкт.

5.

Сформтлюйте теоремт Кочі існтвання та єдиності розв’язкт д
и
ференхіальново рівняння перчово порядкт.

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

76

6.

Чим відрізняються рівняння з відокремлюваними та відокре
мл
е
ними змінними?

7.

Які диференхіальні рівняння
належать

до однорідних?

8.

Яка підстановка застосовтється при розв’язанні однорідних рі
в
нянь пе
р
чово порядкт?

9.

Які диференхіальні рівняння називаються лінійними?

10.

Яка підстановка використовтється при ро
зв’язанні лінійних рівнянь

пе
р
чово порядкт?

11.

Яке рівняння називається рівнянням Бернтллі?

12.

Яка підстановка використовтється при розв’язанні рівнянь Берн
т
ллі?

Вправи

1.

Перевірити, чи є дані фтнкхіі розв

язками чи інтевралами відпові
д
них диференхіальн
их рівнянь:

1
)


2
)


3
)



4
)


5
)


2.

Проінтевртвати диференхіальні рівняння:

1)


2)


3)

sec
2
x
tg
ydx
+ sec
2
y
tg
xdy
= 0;

4)


5)


6)


7)


=
2
т


х
;

8)


9)


10)


11)


1
2)


13)


14)


15)


16)


17)


18)



ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

77

3.

Знайти частинний розв’язок аао інтеврал диференхіальн
их рі
в
нянь,
що задовольня
є

відповідн
і

початков
і

тмов
и
:

1
)


2)


3)


4)


3.2.
ДЗФЕПЕНЦІАКЬНІ ПІВНЯ
ННЯ ВЗЩЗХ ПОПЯДКІВ

3.2.1.
Диференхіальне рівняння дртвово порядкт,

осно
вні поняття

Диференхіальне рівняння дртвово порядкт має вивляд
:


(3.23)

Якщо (3.23) розв’язати відносно дртвоі похідноі, то отримаємо
рівня
н
ня


(3.24)

П
озв’язком рівняння

(3.24) називається фтнкхія

визн
а
чена на деякомт інтервалі

яка пе
ретворює
хе рівняння в тото
ж
ність.

Теорема

(існтвання і єдиності). Якщо



ф
т
нкхія
трьох незалежних змінних х, т і

неперервна в оаласті,

що
містить точкт

то диференхіальне рівняння

(3.24)

має розв’язок

такий, що


(3.25)

Якщо, крім тово, неперервні частинні похідні

і

то

хей розв’язок рівняння єдиний

Умови (3.25) називаються
початковими тмовами
, а задача зн
а
ходження розв’язкт рівняння (3.24) за заданими початковими тм
о
вами (3.25)

називаєт
ь
ся
задачею Кочі
.

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

78

Завальним розв’язком

диференхіальново рівняння дртвово п
о
ряд
кт (3.2
4) називається фтнкхія


яка при атдь
-
яких значеннях
х

і довільних сталих
С
1

і
С
2

перетворює д
а
не рівняння в тотожність.

Частинним розв’язком

рівняння (3.24) називається розв’язок, од
е
ржаний

із завальново розв’язкт

при фіксованих сталих
С
1

і
С
2
:

3.2.2.
Інтевртвання найпростічих типів

диференхіальних рівнянь дртвово порядкт,

що доптскають зниження порядкт

Позвлянемо три типи диференхіальних рівнянь дртвово порядкт,
які зводяться до рівнянь

перчово порядкт.

Перчий тип:


(3.26)


Права частина рівняння (3.26) не містить фтнкхіі
т

і похідноі

Оскільки


т
о

дане рівняння можна запис
а
ти
т вивляді


Інтевртюч
и останнє рівняння, отримаємо
:


Інтевртючи ще раз, отримаємо завальний розв’язок рівняння (3.26):


Дртвий тип:


(3.27)

Права частина рівняння не містить т явномт вивляді фтнкхію
y
.
Щоа ро
зв’язати рівняння (3.27), приптстимо, що

де
p



д
е
яка

фтнкхія арвтментт
x
. Тоді

і рівняння

(3.27) атде рівня
н
ням
перчово порядкт ві
д
носно змінних
x
і

p
:


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

79

Якщо завальни
м

розв

язк
ом

остан
ньово рівняння є

то, повторно інтевртючи, отримаємо:



завальний
розв

язок д
а
ново рівняння (3.27).

Третій тип:


(3.28)

Права частина рівняння не містить явно арвтментт
x
. Щоа роз
-
в’язат
и рівняння (3.28), приптстимо, що
похідна

є деякою фтнкх
і
єю

від
y
:

Виразимо

через похіднт від
p

по
y
. Використов
т
ючи правило диференхіювання складноі фтнкхіі, мат
и
мемо:


Підставивчи т рівняння (3.28) замість

похіднт

отрим
а
ємо д
и
ференхіальне рівняння перчово порядкт відносно змінних
р

і

т
:


(3.29)

Якщо



завальний роз
в

язок (3.29), то отримаємо



рівняння з відокремлюваними змінними. Тоді

і

є завальним інтевралом рівня
н
ня

(3.28).

Псйлмае 3.9.

Знайти завальний розв

язок диференхіальново рі
в
няння







Псйлмае 3.10.

Проінтевртвати диференхіальне рівняння дртвово
поря
д
кт


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

80

► Це рівняння не містить
y
. Покладемо в рівнянні


отримаємо лінійне диференхіальне рівняння перчово поря
д
кт
відно
с
но фтнкхіі


Інтевртємо йово.

Підставивчи т рівняння


отримаємо
:


Знаходимо
v
, взявчи

З
відки

випливає, що


аао

Знайдемо



тоді,


Повертаючись до змінноі
т
, одержимо
:


Відокремимо змінні та проінтевртємо:




Це й атде завальним розв’язком даново диференхіальново рі
в
няння.


Псйлмае 3.11.

Проінтевртвати диференхіальне рівняння:


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

81

► Покладемо в хьомт рівнянні

Отримаємо
диференхіальне рівняння перчово порядкт:


аао


Прирівняємо перчий множник
до
нтл
я
:
p

=

0,

аао

тоато
y

=

C
.

Кевко пере
вірити, що

перетворює дане рі
в
няння

в тотожність, отже, є розв

язком.

Завальний розв

язок даново
диференхіальново рівняння отримаємо,

проінтевртвавчи рівняння з в
і
докремлюв
а
ними змінними:





Провівчи зворотнт замінт

отримаємо
зновт
диференхі
а
льне рі
в
няння перчово порядкт, де невідомою фтнкхією є


Відокремлюємо змінні
та

пр
оінтевртємо:



де



3.2.3.
Кінійні диференхіальні рівняння дртвово порядкт

Диференхіальне рівняння дртвово порядкт називається ліні
й
ним,
якщо воно містить чткант фтнкхію
т

і іі похідні

і

в пе
р
чомт
степені
та

не містить іх доаттків.


Завальний вивляд таково рівняння:


(3.30)

де




неперервні
фтнкхіі змінноі
х
.

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

82

Якщо

то рівня
ння (3.30) називається
неоднорідним
.

Якщо

то рівняння (3.30)
називається
однорідним

і
наа
т
ває

таково
вивлядт
:


(3.31)

Якщо в рівняннях (3.30) аао (3.31) коефіхієнти

і

сталі,
відповідно дорівнюють
р

і
q
, то отримані рівняння:


(3.32)


(3.33)

називаються лінійними диференхіальними рівняннями дртвово поря
д
кт

з
і

сталими коефіхієнтами.

Кінійне однорідне рівняння (3.31) має
такі

властивості:

Теорема 1.

Стма двох розв’язків однорідново лінійново рі
в
няння
(3.31
) теж є розв’язком хьово рівняння


Теорема 2.

Якщо



розв’язок лінійново однорідново рі
в
няння
(3.31)

і



довільне стале, т
о

теж є розв’язком

хьово рівня
н
ня

Наслідок
.

Якщо

і



розв’язки лінійново однорідново рі
в
няння (3.31), то

і



розв’язки хьово рівняння, о
тже, і вираз

є розв’язком хьово рівняння.

Дві фтнкхіі
y
1

і
y
2

називаються
лінійно залежними
, якщо іх ві
д
ночення

є сталою величиною. В інчомт випадкт фтнкхіі
y
1

і
y
2

називаються
ліні
й
но незалежними
.

Теорема 3.

Якщо

і



лінійно незалежні розв’язки л
і
нійново однорідново диференхіальново рівняння
(3.31)
, то
фтнкхія


є
завальним розв’язком

хьово рівняння


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

83

Теорема 4.

Завальний розв’язок рівняння
(3.30)

дорівнює стмі
завальново розв’язкт відповідново однорідново рівня
н
ня
(3.31)

і
яково
-
неатдь частинново розв’язкт даново рівняння
(3.30)
.
Якщо


є завальним розв’язком рівняння
(3.31)
, а

є яким
-
неатдь
част
инним розв’язком неоднорідново рівняння
(3.30)
, то


є завальним розв’язком неоднорідново рівняння
(3.30)

Таким чином, щоа знайти завальний розв’язок лінійново неодн
о
рідново рівняння дртвово порядкт, треаа спочаткт знайти завальний
ро
зв’язок відповідново
однорідново
рівняння і додати до ньово який
-
неатдь части
н
ний розв’язок заданово
неоднорідново
рівняння.

3.2.4.
Кінійні однорідні диференхіальні рівняння

дртвово порядкт з
і

сталими коефіхієнтами

Завальним розв’язком
лінійново одноріднов
о рівняння з
і

стал
и
ми
коефіхієнтами (3.33) є фтнкхія


де


та




два лінійно незалежн
і

частинн
і

розв’язки хьово рі
в
няння
.

Для знаходження

і

скл
адемо характеристичне рівняння:


(3.34)

Щоа одержати характеристичне рівняння (3.34), досить замін
и
ти в
даномт рівнянні (3.33) похідні відповідними степенями невідом
о
во
k
.

При розв’язанні характеристичново рівняння можтть зтстрітися
т
ри випадки: корені характеристичново рівняння дійсні
та

різні, кор
е
ні

дійсні та
р
і
вні, немає дійсних коренів.

Теорема 1.

Нехай характеристичне рівняння
(3.34)

має ді
й
сні к
о
рені

і

причомт

Тоді завальний розв’язок
рівняння
(3.33)

має вивляд
:


де


і




довільні сталі


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

84

Теорема 2.

Якщо характеристичне рівняння
(3.34
)

має
кр
а
тні

ді
й
сні корені

то завальний
розв’язок рівняння
(3.33)

має в
и
вляд
:


де


та




довільні

сталі


Теорема 3.

Якщо характеристичне рівняння
(3.34)

не має
дій
с
них коренів, то завальний розв’язок рівняння
(3.33)

має
такий
вивл
яд
:


де


,

та




довільні

сталі


Таалихя 3.1

Кпсжоі сівоя
о
оя

Чаттйоо
і

спив’яил
й

Задамьойк спив’яипл

1.

Дійсні різні





2.

Дійсні рівні





3.

Комплексно спр
я
жені






Псйлмае 3.12.

Знайти завальний розв’язок диференхіальново рі
в
няння


► Складемо характеристичне рівняння


Корені різні та дійсні:

томт



частинні розв’язки,



завальний розв’язок даново

диференхі
а
льново рівняння.



Псйлмае 3.13.

Знайти частинний розв’язок диференхіальново рі
в
няння


що
задовольняє початков
і

тмов
и



ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

85

► Корені характеристичново рівняння

дійсні та р
і
вні:

томт частинні розв’язки атдтть

а




завальний розв’язок даново диференх
іальново рі
в
няння.

Для знаходження частинново розв’язкт в рівн
ості


і

підставимо початкові
дані
. Діст
а
немо системт

двох рівнянь

із якоі знаходимо

Пі
д
ставивчи хі

значення в завальний розв’язок
, знайдемо ч
а
стинний:




Псйлмае 3.14
. Знайти завальний розв’язок диференхіальново рі
в
няння


► Корені характеристичново рівняння


комплек
с
но

спряжені:

Звідно
з даними
таалихі (в
и
падок 3
-
й,


завальний розв’язок даново рівняння а
т
де

таким:



3.2.5.
Кінійні неоднорідні диференхіальні рівняння

дртвово порядкт з
і

стали
ми коефіхієнтами

Нехай потріано знайти завальний розв’язок лінійново неоднорі
д
ново рівняння дртвово порядкт з
і

сталими коефіхієнтами


(3.35)

Завальний розв’язок неоднорідново рівняння (3.35) дорівнює стмі
зав
а
льново розв’язкт відповід
ново однорідново рівняння


(3.36)

і яково
-
неатдь частинново розв’язкт неоднорідново рівняння (3.35).

Якщо


є завальним розв’язком
рівняння (3.36), а



який
-
неатдь части
н
ний
розв’язок неодно
рідново рівняння (3.35), то завальний розв’язок
рі
в
няння (3.35)
знах
о
диться за формтлою


(3.37)

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

86

Метод невизначених коефіхієнтів

У попередньомт параврафі розвлянтто спосіа знаходження зав
а
льново розв’язкт рівняння (3.36
).
Позвлянемо с
посіа знаходження ча
с
тинново розв’язкт
рівня
н
ня (3.35)
методом невизначених коефіхієнтів.
Цим методом можна скористатися т декіл
ь
кох випадках.

Теорема 1.

Якщо права частина рівняння
(3.35)

п
о
д
а
на т в
и
вляді:


де




м
новочлен 
-
во степеня
.

Тоді можливі
такі

частинні випадки:

а)

якщо
число

не є коренем характери
с
тичново рівняння


то частинний розв’язок рівняння
(3.
35
)

має вивляд


де




мновочлен

n
-
во степеня з невизначеними коеф
і
хієнтами
;

а)

якщо
число



корінь характеристичново рівняння
,
то
частинний розв’язок рівняння
(3.35)

має вивляд


де


аао
2
,
зважаючи

на
те, чи співпадає

з одним
і
з
коренів характеристичново рівняння
,

чи з ко
ж
ним
з двох рівних коренів характеристичново рі
в
няння


Теорема 2.

Якщо права частина рівняння
(3.35)

п
ода
на т в
и
вл
я
ді


(3.38)

де


і




мновочлени від х, то форма частинново
розв’язкт визначається так:

а)

якщо число

не є коренем характеристичново рі
в
няння


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

87

то частинний розв’язок рівняння
(3.
35
)

слід чтк
ати т вивл
я
ді


(3.39)

де


і



мновочлени
, степінь яких дорівнює аільч
о
мт з
і

степенів мновочленів

і

а)

якщо число

є кор
енем характеристичново рі
вня
н
ня,

то частинний розв’язок
знаходимо т вивляді:


(3.40)

Від
значимо
, що вказані форми частинних розв’язків (3.39) і (3.40)
заер
і
ваються і в томт випадкт, коли в правій частині рівняння (3.35)
один із мново
членів

і

тотожно дорівнює нтлю, тоато коли
права частина має вивляд

аао

Позвлянемо важливий частинний випадок. Нехай права частина
лінійново рівняння дртвово поря
дкт має вивляд


(3.41)

де

М

і

N



сталі

числа.

а)

якщо

не є коренем характеристичново рівняння, то части
н
ний
розв’язок слід чткати т вивляді:


(3.42)

а)

якщо


є ко
ренем характеристичново рівняння, то части
н
ний
розв’язок слід чткати т вивляді:


(3.43)

Від
з
н
ачи
мо, що фтнкхія (3.41) є частинним випадком фтнкхіі (3.38)


фтнкхіі (3.42) і (3.43) є частинними в
и
падками фтнкхій
(3.39) і (3.40).

Теорема 3
. Якщо права частина лінійново неоднорідново
диференхіальново рівняння п
одана

т вивляді стми двох фтн
к
хій, тоато дано рі
в
няння


і

є частинним

розв’язк
ом

рі
в
няння




частинни
м

розв’язк
ом

рівняння

то

є частинни
м

розв’язк
ом

заданово рівняння

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

88

Псйлмае 3.15.

Знайти завальний розв

язок рівняння


► Знаходимо завальний розв

язок
однорідн
ово
рі
в
няння:


Характеристичне рівняння


має кор
е
ні

і

Завальний розв

язок однорідново рівняння такий:





мновоч
лен нтльовово степеня,

не
заіва
є
ться

з
жо
д
ним із коренів характеристичново рівняння. Томт частинний
розв

язок

чткати
мемо

т вивляді

де
А



невизначений
ко
е
фіхієнт, який потріано знайти.

Диференхію
ючи

хю рівність, знаход
и
мо



Підставимо


і

в лівт частинт даново рівняння і знайдемо
зн
а
чення коефіхієнта
А
:


Отже, частинний розв

язок


а завальний розв

язок




Псйлмае 3.16.

Знайти завальний розв

язок рівняння


► Знаходимо завальний розв

язок
однорідново рівняння:


Х
арактеристичне рівняння


має кор
е
ні

Завальний розв

язок однорідново рівняння такий:


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

89

У

правій частині рівняння

томт

Число нтль не
є корене
м характеристичново рівняння. Томт частинний розв

язок

заданово рівняння слід чткати т вивляді мновочленна дртвово степ
е
ня, тоато

Диференхію
ючи

хю рівність, знаходимо


Підстави
вчи



і

т

лівт частинт заданово
рівняння, отрим
а
ємо р
і
вність:



Виаираємо невизначені коефіхієнти
А
,
В

і
С

так, щоа остання р
і
вність стала тотожністю. Для хьово прирівнюємо коефіхієнти при о
д
накових степенях змінноі
х
.
У

резтльтаті отримаємо системт трьох
рівнянь з трьома нев
і
домими
А
,
В

і

С.

Позв’язтємо системт


Отже, частинний розв

язок має вивляд

а завал
ь
ний





Псйлмае 3.17.

Проінтевртвати рівняння


► Із характеристичново рівняння

знаходимо

З
авальний розв’язок однорідново рівняння має в
и
вляд
:


Права частина

має вивляд
, де

і

є дв
о
кратним коренем

характеристичново рівняння. Томт ча
с
тинний
розв’язок
рівняння чткаємо т вивляді


,

.

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

90

Підставимо значення


і

в диференхіальне рівняння, ск
о
ротимо оаидві частини на

і визначимо коефіхієнти
,



З
від
с
и

випливає, що



Частинний розв’язок даново рівняння:


Завальний розв’язок:




Псйлмае 3.18.

Проінтевртвати рівняння


► Із характеристичново рівняння

знаходимо

отже, завальний розв

язок однорідново рівнянн
я має
такий
вивляд
:


Частинний розв’язок чткаємо т вивляді:


Знайдемо



Підставивчи

в дане рівняння і скоротивчи оаидві йово ч
а
стини на

отримаємо


Прирівнявчи коефіхієнти при

i

отримаємо системт,
з якоі знайдемо

і





ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

91

О
тже,



П
ісля перетворень отримаємо завальн
ий

розв’язок




Псйлмае 3.19.

Проінтевртвати рівняння:


► Корені

характеристичново рівняння

комплексні

Завальний розв’язок
однорідново
рівняння

атде:


Частинний розв’язок

рівняння

чткатимемо т

вивляді




Із тотожності, якт отримаємо після підстановки

т рі
в
няння

визначимо

і



Звідки


отже,

Визначимо частинний розв’язок

рівняння

пам’ятаючи, що корені характери
стичново рівняння

Оскільки


не є коренем характеристичново рівняння, то ча
с
тинний розв’язок чткатимемо т вивляді


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

92

Із тотожності, якт отримали після підстановки

і

т рівня
н
ня

визначимо

коефіхієнти


аао скоротивчи на


звідки
випливає, що



Отже, завальний розв’язок даново рівняння

такий
:








Метод невизначених коефіхієнтів використовтється тільки
в

тих
випадках, коли права частина лінійново неоднорідново
диференхіа
л
ь
ново рівняння, тоато фтнкхія
, є аао мновочленом, аао показник
о
вою фтнкхією, аао ж синтсом чи косинтсом, аао доаттком хих фтнкхій
.
У

тих випадках, коли права частина

відмінна від н
а
званих вище
фтнкхій, засто
совтють
метод варіахіі довільних ст
а
лих
.

Метод варіахіі довільних сталих

Метод варіахіі довільних сталих є тніверсальним методом, який
дає змовт розв

язтвати неоднорідні диференхіальні рівняння з
і

стал
и
ми коефіхієнтами з довільною правою частиною

Позвлянемо лінійне неоднорідне диференхіальне рівняння 2
-
во п
о
рядкт

з
і

сталими коефіхієнтами

(3.35). Нехай завальним розв’язком
відповідново о
д
норідново рівняння (3.36
) атде фтнкхія


(3.44)

де


і




лінійно незалежні частинні розв’язки однорідн
о
во
рівняння (3.36), а

і




деякі довільні сталі.
Замінимо т завальномт розв’язкт (3.44) постійні

і


деякими фтнкхіями

і

так, щоа

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

93


(3.45)

стало розв’язком неоднорідново рівняння (3.35). Інчими словами, ч
т
кати
мемо

частинний розв’язок рівняння (3.35) т вивляді (3.45), то
а
то т
в
и
вляді копіі фтнкхіі (3.44),
в

якій здійснена варіахія довільних сталих
д
о
вільними фтнкхіями.

Знайдемо тмови на фтнкхіі

і

,
за

яких (3.45) стає
розв’язком неоднорідново рівняння (3.35).

Для знаходження невідо
мих фтнкхій

і


треаа розв’я
-
зати

системт рівнянь:


т
а підставити іх значення т вира
з
для частинново розв’язкт:


Псйлмае 3.20.

Проінтевртвати рівняння


► Корені характеристичново рівняння

ко
м
плексні
спряжені:

звідси завальни
м

розв’язк
ом

однорідново рі
в
няння є


Завальний розв’язок неоднорідново рівняння чткаємо т вивляді


Оскільки
для даново прикладт



то:


Із хієі системи знайдемо фтнкхіі


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

94



Підставивчи знайдені значення

і

отримаємо завал
ь
ни
й розв’язок даново диференхіальново рівняння:





Псйлмае 3.21.

Знайти частинний р
озв’язок диференхіальново рі
в
няння


що

задовольняє початков
і

тмов
и:


► Корені характеристичново рівняння

дійсні
та

різні:





завальний розв’язок однорідново рівня
н
ня
.

Знайдемо завальний розв’язок неоднорідново рівняння т вивляді


Для визначення фтнкхій

і

складемо системт, врах
о
втючи, що


звідки

отримаємо


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

95

Отже
, завальний розв’язок даново диференхіальново рівняння
матиме

вивляд



Для знаходження частинново розв’язк
т, що відповідає початк
о
вим

тмовам, знайдемо похіднт


і підставимо значення


в рівн
ості



Отримаємо


Чтканий частинний

розв’язок




3.2.6.
Кінійні диференхіальні рівняння вищих порядків

Кінійним неоднорідним
диференхіальним
рівнянням п
-
во поря
д
кт

називається рі
в
няння вивлядт


(3.46)

де




задані фтнкхіі.

Як
що права частина рівняння (3.46)

то одержимо
ліні
й
не

однорідне рівняння
, що
відповідає рівнянню (3.46)


(3.47)

Стктпність
п

лінійно незалежних розв’язків


рівняння (3.47) називається
фтндам
ентальною системою розв’язків.

З
а

іі
допомовою атдтється завальний розв’язок однорідново рівня
н
ня (3.47).

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

96

Теорема 1
.

Якщо




атдь
-
яка фтнд
а
мента
льна система розв’язків
рівняння
(3.47)
, то фтнкхія


д
е

С
i



довільні

сталі, є завальним розв’язком

рі
в
няння
(3.47)


Теорема 2

(про стрткттрт завальново розв’язкт неоднорі
д
ново рівняння).
Завальний
розв’язок

лінійново неоднорідн
о
во
рівняння
(3.46)

має вивляд


де




завальний розв’я
зок відповідново йомт однорідн
о
во
рівняння

(3.47
)
;




один із частинних розв’язків
рівняння
(3.46)




р
пс.

Кпс
і
оь хасалтжсйттйчопдп сівоя
о
оя

Чаттйооі спив

яилй сівояооя

1



простий дійсний корінь


2



дійсний корінь кратно
с
ті

,
,
, …,

3



прості комплексні спряжені к
о
рені



4



комплексні спряжені корені кратно
с
ті

…,

…,


Псйлмае 3.22.

Знайти завальний розв’язок рівняння


► Напичемо характеристичне рівняння і знайдемо йово корені:



Всі корені прості, томт відповідні частинні розв’язки атдт
ть
:


Отже
,


є
завальни
м

розв’язк
ом

даново диференхіальново рівняння.


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

97

Псйлмае 3.23.

Знайти завальний розв’язок рівняння


► Знайдемо корені характеристичново рівняння

і
вкажемо іх кратність
:


Корені кратності 2,
отже
, частинні розв’язки:


завальний розв’язок



Псйлмае 3.24.

Знайти завальний розв’язок рівняння



Складемо характеристичне рівняння



Частинні розв’язки:


З
авальний розв’язок даново диференхіальново рівняння
:




Псйлмае 3.25.

Знайти завальний розв’язок диференхіальнов
о рі
в
няння


► Характеристичне рівняння


Й
ово корені
:


Завальний розв’язок відповідново однорідново рівняння


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

98

У правій частині мновочлен дртвово степеня і характеристич
не
рівняння має корінь

томт частинний розв’язок чткаємо т
в
и
вляді


Знайдемо похідні хієі фтнкхіі



і підставимо іх т рівняння


З отриманоі рівност
і в
и
значимо коефіхієнти


Прирівнявчи коефіхієнти при однакових степенях
х
, отримаємо
:



О
тже,


Оскільки

завальний розв’язок лінійново неодно
рідново дифере
н
хіальново рівняння атдь
-
яково порядкт запистється т вивляді


то в даномт випадкт


атде завальним розв’язком.


Псйлмае 3.26.

Знайти завальний розв’язок диференхіальново рі
в
няння


► Знайдемо завальний розв’язок однорідново рівняння. Корені
хар
а
ктеристичново рівняння



ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

99

Завальний розв’язок однорідново рівняння має вивляд
:


Частинний розв’язок

неоднорідново рівняння чткатимемо т
вивляді


Знайдемо



П
ісля підстановки

в лівт частинт даново рівняння
отрим
а
ємо




З
відси маємо,
що




частинний розв’язок одн
о
рідново рівняння
, а




з
а
вальний розв’язок н
е
однорідново рівняння.


Питання для самоперевірки

1.

Яке рівняння називається диференхіаль
ним рівнянням дртвово
п
о
рядкт?

2.

Сформтлюйте теоремт про існтвання
та

єдиність розв’язкт диф
е
ренхіальново рівняння дртвово порядкт.

3.

Які диференхіальні рівняння дртвово порядкт доптскають зниже
н
ня п
о
рядкт?
Який

спосіа розв’язання таких рівнянь
?

4.

Яке р
івняння називається лінійним диференхіальним рівнянням
дртвово порядкт?

5.

Запичіть стрткттрт завальново розв’язкт лінійново однорідново
(неоднорідново) рівняння дртвово порядкт.

6.

Запичіть вивляд завальново розв’язкт однорідново диференхіал
ь
ново
рівняння

дртвово порядкт з
і

сталими коефіхієнтами, якщо корені
й
о
во характеристичново рівняння
:

а)

дійсні
та

різні;

а)

дійсні
кратні;

в)

ко
м
плексні.

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

100

7.

Сформтлюйте алворитм розв’язання лінійново неоднорідново
д
и
ференхіальново рівняння дртвово порядкт з
і

сталими ко
ефіхієнт
а
ми
.

8.

Який вивляд має частинний розв’язок неоднорідново диференхі
а
льново рівняння дртвово порядкт з
і

сталими коефіхієнтами, якщо
йово права ч
а
стина є
:

а)


а)


в)


в)


9.

У

чомт поляває метод варіахіі довільних сталих? Який вивляд має
сист
е
ма рівнянь для визначення невідомих фтнкхій

і


10.

Який

спосіа розв’язання лінійних диференхіальних рівнянь
вищих
порядків
з
і

ст
а
лими коефіхієнтами
?

Вправи

1.

Знайти завальний і частинний (там
,

де дані початкові тмови)
розв’язки диференхіальних рівнянь
, що доптскають зниження
по
рядкт
:

1
)


2
)


3
)


4
)


5
)


6
)


7
)


8
)


9
)


10
)


11
)


12
)



13
)


14
)



ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

101

2.

Знайти завальний розв

язок
лінійних однорідних
диференхіальних
р
і
внянь:

1)


2)


3)


4)


5)


6)


7)


8)



3.

Знайти частинний розв’язок диференхіальних рівнянь:

1)


при

2
)


при

4.

Знайти завальні розв’язки
лінійних неоднорідних
диференхі
а
льних
рівнянь:

1)


2)


3)


4)


5)


6)


7)


8)


9)


10)


11)


12)


13)


14)


5.

Знайти ча
стинний розв’язок диференхіальново рівняння
, що зад
о
вольняє п
о
чатков
і

тмов
и:

1)



2)



3)



6.

Проінтевртвати диференх
іальні рівняння

методом варіахіі довіл
ь
них

стали
х
:

1)


2)


3)


7.

Знайти завальні
та

частинні розв’язки (там, де вказані початкові
тмови) для диференхіальних рівнянь:

1)


2)


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

102

3)


4)


5)


6)


7)


8)


8.

Проінтевртвати диференхіальні рівняння:

1)


2)


3)


4)


5)


6)


9.

Знайти частинний розв’язок диференхіальних рівнянь, що задов
о
льняє початков
і

тмов
и
:

1)


2)


3.3.
СЗСТЕМЗ ЗВЗЧАЙНЗХ ДЗ
ФЕПЕНЦІАКЬНЗХ ПІВНЯН
Ь

3.3.1.
Основні поняття

Стктпність рівнянь видт


(3.48)

де




чткані фтнкхіі від незалежноі змінноі
x
, назив
а
ється
системою диференхіа
льних рівнянь перчово
п
о
рядкт
.

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

103

Всяка стктпність
n

фтнкхій


(3.49)

називається
завальним розв’язком

системи (3.48), якщо вона перетв
о
рює всі рівняння системи (3.48) в тотожності. Прохес знах
о
дження
розв’язків сист
е
ми називається
інтев
ртванням

хієі системи.

Система рівнянь (3.48
) розв’язана
відносно похідних від чтк
а
них
фтнкхій, томт іі називають ще системою диференхіальних рівнянь
т

н
о
рмальній формі
,

аао
нормальною системою
.

Задача Кочі

для нормальноі системи (3.48) ставиться так: зна
й
ти
розв’язки (3.49), які задовольняють початков
і

тмов
и

(тмов
и

Кочі)


.
..,

де




задане число.

Теорема Кочі.

П
озв’язок задачі Кочі існтє і єдиний, якщо
фтнкхіі

і
іх частинні похідні
за

чтканим
и

фтн
к
хіям
и

непер
е
рвні

3.3.2.
Позв’язан
ня нормальноі системи

диференхіальних рівнянь

Позв’язання нормальноі системи диференхіальних рівнянь здійсн
ю
ється зведенням іі до еквівалентново рівняння
п
-
во порядк
т. Це
здійсн
ю
ється таким

чином. Перче рівняння системи (3.48) диференхію
є
мо
ще

раз по
х

і замість

в ньово
підставляються іх значення із
системи (3.48).
У

резтльтаті дістанемо рівня
н
ня


Диференхіюючи йово по
х

і
вчин
я
ючи аналовічн
о
, діст
а
немо


Так ми діємо до т
ово част, поки отримаємо
рівняння


Потім із отриманих на попередніх етапах рівнянь знаходимо

і підставляємо в останнє рівняння, в резтл
ьтаті чово отр
и
мтємо рівняння
п
-
во порядкт для фтнкхіі


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

104

Позв’яжемо йово і отримаємо фтнкхію

Печтт
невідомих фтнкхій

знаходимо за допомовою допомі
ж
них
рівнянь
,

от
р
и
маних на попередніх етапах.

Затваження
.

Якщо система (3.48) лінійна, то і відповідне ій рі
в
няння вищово порядкт теж лінійне.

3.3.3.
Системи л
інійних диференхіальних рівнянь

з
і сталими
коефіхієнтами

Стктпність
п
диференхіальних рівнянь видт


(3.50)

де

х



арвтмент,



невідомі фтнкхіі, фтнкхіі


приптскаються

неперервними в деякомт інтервалі
х
, н
а
зивається
системою лінійних диференхіальних рівнянь перчово поря
д
кт з
і

сталими коефіхієнтами
. Якщо всі

то система (3.5
0
)
називається
однорідною
, в інчомт випадкт


неоднорідною
.

Проінтевртвати системт (3.50)


о
знач
ає

знайти іі
розв’язок
, тоато

си
с
темт фтнкхій


(3.51)

я
кі перетв
орюють рівн
яння

(3.50) в тотожності.

Задача Кочі

для системи (3.50) поляває в томт, щоа знайти т
а
к
ий

розв’язок

(3.51), як
ий

при

наатва
є

задан
их

значен
ь


Позв’язок задачі Кочі називається
частинним розв’язком

с
ист
е
ми
(3.50). Методом виключення

невідомих фтнкхій система (3.50)
зводиться до диференхіальново рівняння
п
-
во порядкт відносно нев
і
домоі фт
н
кхіі.

Інчих (аільч складних
методів річення системи (3.50)) ми ро
з
в
лядати не атдемо.

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

105

Псйлма
е 3.27.

Знайти частинний розв’язок системи


що задовольняє початков
і

тмов
и


► Виключимо
т

із даних рівнянь. З дртвово рівняння маємо


підставимо хе значення в перче рівняння, отримаємо

лі
нійне дифер
е
нхіальне рівняння дртвово порядкт відносно невідомоі ф
т
нкхіі
z


Знайдемо йово завальний розв’язок. Корені характеристичново
рівняння

атдтть 1 і

2. Завальний розв’язок однорідново
рі
в
няння


Частинний розв’язок неоднорідново рівняння чткатимемо т в
и
вляді

Знайчовчи

і підставивчи т рівняння, отр
и
маємо
А

 2, отже,


Визначимо
т
, користтючись рівн
істю



отже, після підстановки значень

z

і

та

спрощення отримаємо


Завальним розв’язком системи атдтть фтнкхіі
:


Знайдемо частинні розв’язки системи, підст
авивчи


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

106

Отже,




частинний роз
-
в’язок

даноі системи.


Псйлмае 3.28.

Позв

язати системт


де




невідомі

фтнкхіі
;




і
х похідні за арв
т
ментом
t
.

► Виключимо
x

та

із хих рівнянь
.

Д
ля хьово з третьово рі
в
няння знайдемо

Продиференхіюємо отримант рівність по


підставимо значення

та

в перче рівняння, знайдемо з
ньово


Підставивчи значення

в дртве рівняння
,

отримаємо

л
і
нійне однорідне диференхіальне рівняння третьово п
оря
д
кт:


Корені характеристичново рівня
н
ня
:



Отже,

Щоа знайти невідомі фтнкхіі

знайдемо

з оста
н
ньово р
і
вняння


звідки



Завальним розв’язком даноі системи атде система фтнкхій






ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

107

Питання для самоперевірки

1.

Яка система звичайних
диференхіальних рівнянь називається
но
р
мальною
?

2
.

Сформтлюйте задачт і теоремт Кочі для нормальноі системи зв
и
чайних диференхіальних рівнянь.

3
.

Як розв’язтється нормальна система звичайних диференхіальних
рі
в
нянь?

4
.

Запичіть системт лінійних диференхіал
ьних рівнянь з
і

сталими
коефіхієнтами.

5
.

Як розв’язтється система
лінійних диференхіальних рівнянь з
і

ст
а
лими коефіхієнтами
?

Вправи

Позв’язати системт рівнянь:

1
)


2
)


3
)


4
)


5
)


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

108

4.
ПЯДЗ

4.1.
ЧЗСКОВІ ПЯДЗ

4.1.1.
Заіжність і стма рядт

Нескінченна стма чисел


(4.1)

де кожне число

можна оачислити, знаючи йово номер

назив
а
єтьс
я

числовим рядом.

При хьомт формтла

називається
ф
о
рмтлою завальн
о
во члена рядт.

Стма скінченново числа

перчих членів рядт називається

-
ю

ч
а
стковою

стмою рядт
:


(
4.2)

Якщо

існтє скінченна вранихя часткових стм рядт:


(4.3)

то
кажтть
, що
ряд заівається
, а число

називається
стмою рядт.

Я
к
що

не існтє скінченноі вранихі часткових стм рядт, тоді ряд (4.1)
назив
а
ється ро
з
аіж
ним.

Затваження
.

Властивості числових рядів т аільчості
випадків
визначают
ь
ся властивостями числових послідовностей

Псйлмае 4.1.

Пяд

заівається, оскільки являє с
о
аою

нескінченно спаднт веометричнт провресію і
з знаменником

с
т
мт

якоі можна знайти за формтлою:

Псйлмае 4.2.

Позвлянемо ряд

Візьм
е
мо
завальний член рядт т вивляді:
.

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

10
9

Тоді часткова с
т
ма

матиме такий вивляд:


Тоді
. Таким чином, ряд заівається

і й
о
во
стма дорівнює 1.

Псйлмае 4.3.

Пяд

розаівається, оскільки


Псйлмае 4.4
.

Пяд

також розаіваєт
ь
ся, оскільки послідовність йово часткових стм має вивляд:

а така послідовність вранихі не має.

4.1.2.
Найпростічі властивості заіжних рядів

Теорема 1.

Вилтченн
я аао додавання скінченноі кількості
дода
н
ків не впливає на заіжність рядт


Теорема 2.

Якщо

заівається ряд

і йово
стма

то заівається й ряд

(де



д
о
вільна

ста
ла
)
, стма як
о
во дорівнює


Теорема 3.

Якщо
ряди


(4.4)


(4.5)

заіваються та іх стми відповідно дорівнюють

і


то р
я
ди


(4
.6)


(4.7)

також заіваються, а іх стми дорівнюють

і


відповідно

4.1.3.
Неоахідна ознака заіжності рядт

Головним питанням під час дослідження числовово рядт є йово
заіжність аао розаіжніс
ть. Сформтлюємо неоахіднт тмовт заіжності
р
я
дт, тоато тмовт, при невиконанні якоі ряд розаівається.

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

110

Теорема 4.

Якщо ряд
(4.1)

заівається
, то


Затваження
.

Ця тмова є неоахідною, але недостатньою ознакою
заі
ж
ності, тоато з прямтвання з
авальново члена до нтля не оаов’язково

випливає заіжність рядт.

Псйлмае 4.5.

Перевіримо виконання неоахідноі тмови заіжності
для р
я
дт



Отже, ряд роза
і
вається, оскільки неоахідна ознака заіжності не виконтєть
ся.


4.1.4.
Заличок рядт

Пяд

називається
-
м
заличком

рядт


і позначаєт
ь
ся

Затваження
.

З теореми 1 випливає, що коли ряд (4.1) заівається,
то за
і
вається і атдь
-
яки
й йово заличок, і
,

навпаки
,



зі заіжності атдь
-
яково зали
ч
кт рядт випливає заіжність рядт в хіломт.

Теорема 5.

Якщо

ряд
(4.1)

заівається, то

4.1.5.
Пяди з невід’ємними членами, критерій заіжності

Теорема 6 (критерій заіжності).

Пяд


заів
а
ється тоді й тільки тоді, коли йово часткові стми оамежені

зверхт

Питання для самоперевірки

1.

Що називається числовим рядом?

2.

Яка формтла називається

формтлою завальново члена рядт?

3.

Що

називається

стмою рядт?

4.

Який

ряд

називається
заі
жним
?

5.

Які властивості заіжних рядів називаються найпростічими?

6.

Як формтлюється неоахідна тмова заіжності рядт?

7.

Що називається
n
-
м заличком рядт?

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

111

Вправи

1.

Знайти

стми рядів:

1)


2)


3)


4)


5)


6)



2.

Довести розаіжність рядів:

1)


2)


3)


4)



3.

Пер
евірити неоахіднт тмовт заіжності рядт:

1)


2)


3)


4)


4.2.
ОЗНАКЗ ЗБІЖНОСТІ ЧЗС
КОВЗХ ПЯДІВ

Під час дослідження числових рядів на заіжність аезпосередній
почтк в
ранихі часткових стм є в аільчості випадків досить важким.
Замість хьово зртчно використовтвати спехіальні ознаки заіжності

рядів.

4.2.1.
Інтевральна ознака Кочі

Теорема 1.

Якщо
фтнкхія


невід’ємна й спадна при

то ряд

заівається аао розаівається одночасно з н
е
власним інте
в
ралом

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

112

Псйлмае 4.6.

За інтевральною ознакою Кочі дослідимо ряд

► а) якщо

тоді


(оскільки при

). Таким чином, невласний
інтеврал заів
а
ється, а
отже
, заівається і ряд;

а)

якщо
, тоді



інтеврал ро
з
аівається, томт розаівається і ряд;

в)

як
що

, тоді:


(оскільки при

). Із розаіжності невласново інте
в
рал
а

в
и
пливає розаіжність рядт.


Затваження
.

Пяд

заівається при

і розаівається при


4.2.2.
Ознаки порівняння

Теорема 2 (перча ознака порівняння).

Якщо для двох р
я
дів
з дода
т
ними членами


(4.8)


(4.9)

виконтється тмова

тоді:

а)

якщо

ряд
(4.9)

заівається, то заівається і ряд
(4.8)
;

а)

якщо
ряд

(4.8)

роза
і
вається, то розаівається і ряд
(4.9)

Наслідок.

Умова

може виконтватись, починаючи не

оаов’язково з

Ствердження теореми сп
раведливе, якщо хя тм
о
ва вик
о
нтється для тсіх
п
, аільчих деяково
N
.

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

113

Псйлмае 4.7.

Дослідимо на заіжність ряд

► Порівняємо йово з рядом

Цей ряд заівається, оскільки
послідовність йово членів являє соаою нескінч
енно спадаючт веоме
т
ричнт пр
о
вресію із знаменником

стма якоі дорівнює

При
атдь
-
якомт

, томт за теоремою 2 ряд заіваєт
ь
ся.


Теорема 3 (дртва ознака порівняння).

Якщо для рядів
(4.8)

і
(4.9)

в
и
контється тмова


то ряди
(4.8)

і
(4.9)

заіваються
аао

розаіваються одноча
с
но

Затваження
.

Я
к еталон
и
” для порівняння використовтють р
я
ди

аао

які заіваютьс
я при

і розаіва
ю
ться при

Псйлмае 4.8.

Дослідимо ряд

► Завальний член рядт можна подати т вивляді

(поділивчи чисельник
і

знаменник на
). Т
епер
очевидно, що


Оскільки ряд

заівається (
), то
за теоремою 3 заівається і даний ряд.


4.2.3.
Ознака Д’Аламаера

Теорема 4.

Якщо для рядт

існтє вранихя:


(4.10)

то при

ряд

заівається, а при

розаівається

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

114

Затваження.

При

ознака Д’Аламаера не дає відповіді на
з
а
питання про заіжність рядт (ряд т хьом
т випадкт може атти як розаі
ж
ним
, так і заіжним).

Псйлмае 4.9.

Застостємо ознакт Д’Аламаера для дослідження заі
ж
но
сті
рядт




Отже
,

ряд заівається (враховтємо, що

).


4.2.4.
Падикальна ознака Кочі

Теорема 5.

Якщо

для рядт

існтє вранихя


(4.11)

то при

ряд заівається, а при

розаів
а
ється

Затваження 1
.

Я
к і в ознахі Д’Аламае
ра,

не дає відповіді на
запитання про заіжність рядт.

Затваження 2
.

Якщо для одново й тово ж рядт існтють вранихі за
Д’Аламаером та Кочі, то вони дорівнюють одна одній.

Псйлмае 4.10.

Дослідимо ряд

► Для хьово

рядт застостємо радикальнт ознакт Кочі:


оскільки

Отже, ряд за
і
вається.


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

115

Питання для самоперевірки

1.

Перелічіть о
знаки заіжності числових рядів.

2.

Сформтлюйте інтевральнт ознакт Кочі.

3.

Сформтлюйте ознаки

порівняння.

4.

Сформтлюйте ознакт Д’Аламаера.

5.

Сформтлюйте радикальнт ознакт Кочі.

Вправи

1.

За
інтевральною

ознакою Кочі дослідити ряди на заіжність:

1)


2)


3)


4)



2.

Користтючись ознаками порівняння, дослідити ряди на заі
ж
ність:

1)


2)


3)


4)


5)


6)



3.

Користтючись

ознакою Д’Аламаера аао радикальною ознакою Кочі
,
д
о
слідити ряди на заіжність:

1)


2)


3)


4)


5)


6)


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

116

4.3.
ЗНАКОПО
ЧЕПЕЖНІ ПЯДЗ

4.3.1.
Аасолютна та тмовна заіжн
о
ст
і

Знакопочережними

називають числові

ряди, стсідні члени яких
мають різні знаки. Для них розрізняють два види заіжності.

Пяд

називається
аасолютно заіжним
, якщо заівається ряд із
м
о
дтл
ів йово членів, тоато ряд

Теорема 1.

Якщо ряд

заівається аасолютно, то він за
і
ваєт
ь
ся

і в звичайномт сенсі

Затваження
.
Оскільки ряд

знакододатний, то для досл
і
дження знакопочережново р
ядт на аасолютнт заіжність ми можемо
в
и
користати всі ознаки заіжності знакододатних рядів.

Псйлмае 4.11.

Для рядт

ряд з модтлів має вивляд

Ц
ей ряд заівається
,

т
омт даний ряд заівається аасолю
т
но.

Якщо ряд, ск
ладений із модтлів членів даново рядт, розаіваєт
ь
ся,
але сам даний ряд заівається, то кажтть, що він

заівається тмо
в
но.

4.3.2.
Ознака Кейаніха

Якщо знакопочережний ряд заівається не аасолютно, то неоахі
д
но

відповісти на питання, чи атде він заіватися хоча
а тмовно. Відп
о
відь
на хе питання можна знайти, застоствавчи ознакт Кейан
і
ха.

Теорема 2.

Якщо члени знакопочережново рядт задовольн
я
ють тмови:

1)

насттпний

член рядт за модтлем менче поп
е
редньово:


(4.12)

2)


(
4.13)

то

ряд заівається (хоча а і тмовно), й
о
во стма

Псйлмае 4.12.

Дослідимо на аасолютнт та тмовнт заіжн
о
ст
і

ряд


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

117



як відомо
,

ряд

розаівається, тоато вла
с
тивос
ті аасолютноі заіжності даний ряд не має.

Перевіримо для ньово виконання тмови теореми 2:

1)

;

2)


Отже, за ознакою Кейаніха ряд

заівається тмовно.


4.3.3.
Власти
вості аасолютно заіжних рядів

Теорема 3.

Якщо ряд

аасолютно заівається, то атдь
-
який ряд, складений із членів даново рядт, тзятих, можливо,
в інчомт порядкт, також аасолютно
заівається і має тт ж
самт стмт


Теорема 4
.

Якщо ряди

й

аасолютно заіжні, то
ряд, складений із тсіляких можливих попарних доаттків
u
m
v
n

членів хих рядів, також аасолютно заівається, а йово стма
дорівнює доатткт стм вих
і
дних рядів

Затваження
.

Вказані властивості вико
нтються тільки для аасол
ю
т
но заіжних рядів. Якщо ряд заівається тмовно, то перестановка йово

членів може призвести до зміни стми рядт аао отримання розаіжново
р
я
дт.

Питання для самоперевірки

1.

Які ряди називаються знакопочережними?

2.

Які види заіжності р
озрізняють для знакопочережних рядів?

3.

Який ряд називається аасолютно заіжним?

4.

Який ряд називається тмовно заіжним?

5.

Сформтлюйте ознакт Кейаніха.

6.

Перелічіть властивості аасолютно заіжних рядів.

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

118

Вправи

Дослідити на аасолютнт та тмовнт заіжн
о
ст
і

ря
ди:

1)


2)


3)


4)


5)


6)



4.4.
ФУНКЦІОНАКЬНІ ПЯДЗ

4.4.1.
Оаласть заіжності

Нескінченна стма фтнкхій


(4.14)

де


називається
фтнкхіональним рядом
.

Якщо задати конкретне числове значення

ряд (4.14) перетв
о
риться т числовий ряд, при
чомт

залежно від виаорт значення

т
а
кий
ряд мо
же за
і
ватися аао розаіватися.

Практичнт хінність мають тільки заіжні ряди, томт важливо в
и
значити ті значення

за яких фтнкхіональний ряд стає заіжним чи
с
ловим рядом.

Множина значень

під час підстановки яких т

фтнкхіональний
ряд (4.14) отримтємо заіжний числовий ряд, називається

оаластю
заіжності ф
т
нкхіональново рядт.

Фтнкхія

визначена в оаласті заіжності рядт, яка для кожн
о
во значення

з оаласті заіжності дорівнює

стмі відповідново числ
о
вово рядт, отриманово з (4.14) при даномт значенні

називається

стмою фтнкхіонал
ь
ново рядт.

Псйлмае 4.13.

Знайдемо оаласть заіжності й стмт фтнкхіональн
о
во рядт


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

119

► При


томт відповідні числові ряди розаівают
ь
ся.
Якщо

даний ряд являє соаою нескінченно спадаючт веометричнт

пр
о
вресію, стма якоі оачислюється за формтлою


Отже, оаластю заіжності рядт
є інтервал

а йово стма має
вказаний вивляд.


Затваження
.

Я
к і для числових рядів, можна ввести поняття
n
-
і
частковоі стми фтнкхіональново рядт


і заличкт рядт

4.4.2.
Півномірна заіжніс
ть фтнкхіональново рядт

Фтнкхіональна послідовність

називається рівномірно за
і
жною до

на множині

якщо


і


Затваження 1
.

Позначатимемо звичайнт заіжність фтнкхіонал
ь
ноі

п
о
слідовності

а рівномірнт заіжність



Затваження 2
.

Підкреслимо ще раз принхиповт відмінність рі
в
номірноі заіжності від звичайноі
: т випадкт звичайноі заіжності при
оар
а
номт значенні
ε
для кожново

існтє
свій

номер
N
,

для яково
при
n � N

вик
о
нтється нерівність:


При хьомт може атти так, що підіарати для
ε

спільний номер

що зааезпечтє виконання хієі нерівності для атдь
-
яково
х
, немо
ж
ливо.
У

випадкт ж рівномірноі заіжності такий номер

спільний для тсіх
х
,
і
с
нтє.

Фтнкхіональний ряд

називається

рівномірно
заі
ж
ним на множи
ні

якщо на

рівномірно заівається послідовність й
о
во

частк
о
вих стм.

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

120

4.4.3.
Ознака Вейєрчтрасса

Теорема 1.

Якщо числовий ряд

заівається
й
для
всіх

і


виконтється нерівність


то ряд

заівається аасолютно й рі
в
номірно на
множині

Затваження.

Прохедтра підаорт числовово рядт, що відповідає
вимовам теореми 1, називається
маж
ортванням
, а сам хей ряд



ма
ж
о
рантою

для даново фтнкхіональново рядт.

Псйлмае 4.14.

Для фтнкхіональново рядт

мажорантою
при атдь
-
якомт значенні
х

є заіжний знакододатний ряд

Томт
вихідний ряд рівн
о
мірно заів
ається на

4.4.4.
Властивості рівномірно заіжних рядів

Теорема 2.

Якщо фтнкхіі

неперервні при

і
ряд

рівномірно заівається на

то йово стма


також неп
е
рервна в точхі
х
0


Теорема 3.

Якщо

фтнкхіі

неперервні на
відрізкт

і ряд

рівномірно заівається на хь
о
мт

відрізкт
,

т
о

ряд

також рівномірно заівається
на
,

причомт
:


(4.15)


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

121

Теорема 4.

Приптстимо
, що фтнкхіі

неперервно диф
е
ренхійовані на відрізкт

і р
яд, складений із іх похі
д
них


(4.16)

рівномірно заівається на

Тоді, якщо ряд

заів
а
ється хоча а в одній точхі
, то він заівається рі
в
номірно на всьомт відрізкт


йово стма



неперервно диференхійована
,

і

ряд

можна почле
н
но

диференхіюв
а
ти:

Питання для самоперевірки

1.

Який ряд називається фтнкхіональним?

2.

Що назива
ється

оаластю заіжності фтнкхіональново рядт?

3.

Який фтнкхіональний ряд

називається

рівномірно заіжним?

4.

Сформтлюйте ознакт Вейєрчтрасса.

5.

Перелічіть властивості рівномірно заіжних рядів.

Вправи

Дослідити характер заіжності рядів:

1)


2)


3)


4)



4.5.
СТЕПЕНЕВІ ПЯДЗ

4.5.1.
Означення степеневих рядів.

Перча теорема Ааеля

Степеневим рядом

називається фтнкхіональний ряд видт


(4.17)

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

122

Затваж
ення
.

За допомовою заміни

ряд (4.17) можна зве
с
ти до
рядт

томт всі властивості степеневих рядів досить
довести

для рядів видт:


(4.18)

Теорема 1 (перча теорема Ааеля).

Якщо степеневий р
яд
(4.18)

заівається при

то при атдь
-
якомт


ряд
(4.18
) заівається аасолютно. Якщо ж ряд
(4.18)

роза
і
вається при

то він розаіваєт
ь
ся при атдь
-
якомт


Таким чином, якщо знайти найаільче з чисел
х
0

 0 таких, що (4.18)

заівається при

то оаластю заіжності даново рядт, як в
и
пливає з
теореми Ааеля, атде інтервал

можливо, вкл
ю
ча
ючи однт аао
оаидві вранихі
.

4.5.2.
Падітс заіжності рядт

Число
R



0
називається
радітсом заіжності степеневово рядт

(4.18),

якщо

хей ряд заівається, а



розаівається.
І
н
тервал

назива
ється
інтервалом заіжності рядт

(4.18).

Псйлмае 4.15.

Дослідимо ряд

► Для дослідження аасолютноі заіжності рядт

заст
о
стємо

ознакт Д’Аламаера:


Отже, ряд заівається тільки при

і радітс йово заіжності:



Псйлмае 4.16.

Дослідимо ряд

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

123

► Для дослідження аасолютноі заіжності рядт

заст
о
стємо ознакт Д’Аламаера:

Отже,

радітс заі
ж
ності:


Псйлмае 4.17.

Дослідимо ряд


Для рядт

за ознакою Д’Аламаера маємо:


Отже:



при

ряд заівається
;



при

й



розаівається
;



при

отримтємо вармонічний ряд, який розаіваєт
ь
ся
;



при

ряд

заівається тмовно за ознакою Кейаніха.

Таким чином, радітс заіжності рядт

а і
н
тервал заіжності



4.5.3.
Формтли для визначення радітса заіжності

степеневово рядт

Формтла Д’Аламаера

Позвлянемо степеневий ряд

і застостємо до ньово озн
а
кт

Д’Аламаера: для заіжності рядт неоахід
но, щоа


Якщо існтє

то оаласть заіжності визначається нерівні
с
тю


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

124

Т
оато


(4.19)

Формтла (4.19) називається
формтлою Д’Аламаера
для оачисле
н
ня
р
а
дітса заіжності
.

Формтла Кочі
-
Адамара

Користтючись радикальною ознакою Кочі, отримаємо висн
о
вок,
що можна задати оаласть заіжності степеневово рядт як множинт
розв’язків н
е
рівності

за тмови існтвання хієі вранихі й
знайти ще однт фо
р
мтлт для радіт
са заіжності:


(4.20)

Формтла (4.20) називається
формтлою Кочі
-
Адамара.

Псйлмае 4.18.

Знайдемо радітс та оаласть заіжності рядт


► Застостємо формтлт Д’Аламаера:


Отже, радітс заіжності:

Пяд

при

роза
і
вається, а при

заівається тмовно. Отже, оаласть заіжності р
я
дт



4.5.4.
Основні властивості степеневих рядів.

Почленне інтев
ртвання

та диференхіювання

степеневих рядів

Теорема 2 (дртва теорема Ааеля).

Якщо

радітс заі
ж
ності рядт (4.18)
,

і хей ряд заівається при

то він рі
в
номірно заів
а
ється на інтервалі

Наслі
док 1.

На атдь
-
якомт відрізкт, що повністю лежить тсер
е
дині інтервалт заіжності, стма рядт (4.18) є неперервною фтнкх
і
єю.

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

125

Наслідок 2.

Якщо вранихі інтевртвання
α
,
β

лежать
в

інтервалі
заіжності степеневово рядт, то інтеврал від стми рядт дорівнює стмі
інте
в
ралів від членів рядт:


(4.21)

Теорема 3.

Якщо ряд
(4.18)

має інтервал заіжності

то ряд


(4.22)

отриманий почленним диференхіюванням рядт
(4.18)
, має
той самий інтервал заі
ж
ності

п
ричомт


при

(4.23)

тоато в інтервалі заіжності похідна від стми степеневово
рядт дорівнює стмі рядт, отриманово йово почленним диф
е
ренхіюванням

4.5.5.
Позвинення фтнкхіі в степеневий ряд.

Пя
ди Тейлора та Маклорена

Подання фтнкхіі т вивляді


(4.24)

називається іі розкладом т степеневий ряд
.

Теорема 4.

Якщо фтнкхія

розвинена в околі точки
х
0

т
степеневий ряд
(4.24)

з радітсом заіжності
R
, то:

1)

фт
нкхія

f

має на інтервалі

похідні всіх
порядків, які можна знайти почленним диференхіюва
н
ням рядт
(4.24)
:


(4.25)

2)

для



(4.26)

3)

ряди

(4.24)
,
(4.25)

і

(4.26)

ма
ють однакові радітси заі
ж
ності

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

126


Теорема 5.

Якщо

фтнкхія

розвинена в деякомт околі т
о
чки
х
0

т степеневий ряд
(4.24)
, то


і, як наслідок, справедлива фо
р
мтла


(
4.27)

Наслідок.

Якщо в деякомт околі заданоі точки фтнкхія розв
и
неться т степеневий ряд, то хей розклад єдиний.

Якщо фтнкхія


визначена т деякомт околі точки

х
0

і має т
хій точхі похідні всіх порядків, то ряд (4.27) називається

рядом

Тейл
о
ра
.

Псйлмае 4.19.

Знайдемо розклад т ряд Тейлора при

фтн
к
хіі




Отже,


Якщо в ряді
Тейлора приймається

то отримаємо
ряд Ма
к
лорена
:


(4.28)

Позвинення т степеневий ряд деяких елементарних фтн
к
хій

1.


2.


3.


4.


5.


ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

127

4.5.6.
Застоствання степеневих ряді
в

Можливість розвинення фтнкхіі т степеневий ряд дозволяє
сттт
є
во спростити аавато математичних операхій: оачислення наалижених

значень даноі фтнкхіі, диференхіювання, інтевртвання, оскільки степ
е
невий ряд можна замінити мновочленом (з трахтванням тово, що

охінка

заличкт рядт не перевищтє заданово значення похиаки). Зокрема,

можна наалижено оачислювати інтеврали, що не аертт
ь
ся”.

Псйлмае 4.20.

Оачислимо з точністю до 0,001 інтеврал


► Позвинемо фтнкхію
в ряд Те
йлора:


Тоді




аертчи тільки три член
и

рядт, врах
о
втючи, що четвертий за аасолютною величиною менч
ий
, ніж



Питання для самоперевірки

1.

Як
ий ряд називається фтнкхіональним?

2.

Що називається оаластю заіжності фтнкхіональново рядт?

3.

Який фтнкхіональний ряд

називається

рівномірно заіжним?

4.

Сформтлюйте ознакт Вейєрчтрасса.

5.

Перелічіть властивості рівномірно заіжних рядів
.

6.

Який ряд нази
вається степеневим?

7.

Сформтлюйте перчт теоремт Ааеля
.

8.

Що називається радітсом заіжності степеневово рядт?

ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи НБУ”

128

9.

Запичіть формтли для визначення радітса заіжності степеневово
р
я
дт.

10.

Перелічіть властивості степеневих рядів.

11.

Які існтють застоствання
степеневих рядів?

Вправи

1.

Записати

розклад
т

степеневий ряд фтнкхій:

1)


2)


3)


4)



2.

Оачислити з точністю до
інтеврали:

1)


2
)


3)


4)



3.

Позкласти

фтнкхію

в ряд по степеня
х


та почленним інт
е
вртванням

д
а
ново рядт записати ряд для

4.

Застосовтючи почленне диференхіювання, оачислити стми р
я
дів:

1)


2)


3)


4)



ДВНЗ Украінська академія аанківськоі справи

НБУ”

129

СПЗСОК КІТЕПАТУПЗ

1.

Барковський, В. В. Вища математика для економістів Те
кст : навч. посі
а
ник

/ В. В. Барковський, Н. В. Барковська.


К. : ЦУК, 2002.


400 с.

2.

Бтвір, М. К. Математика для економістів Текст : посіаник. / М.

К.

Бтвір.



К. : Академія, 2003.


520 с.

3.

Валєєв, К.

Г. Вища математика Текст : навч. посіаник : т 2
-
х ч. / К.

Г. В
а
лєєв
, І.

А. Джалладова.


К. : КНЕУ, 2001.


Ч. 1.


546 с.

4.

Валєєв, К.

Г. Математичний практиктм Текст : навч. посіаник / К.

Г.

Ва
-
лєєв
, І.

А.

Джалладова.


К. : КНЕУ, 2004.


682 с.

5.

Васильченко, І.

П. Вища математика для економістів Текс
т : підртчник /

І. П. Васильченко.


К. : Знання, 2007.


454 с.

6.

Высчая математика для ькономистов Текст / под ред. проф. Н.

Ч. Кр
е
мера
.


М. : Банки и аи
р
жи, ЮНЗТЗ, 1997.


439 с.

7.

Данко, П. Е. Высчая математика в тпражнениях и задачах Текст :
тчеа. п
осоаие для сттдентов вттзов / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я.
К
о
жевникова.


3
-
е изд., перераа. и доп.


М.

: Высчая чкола, 1980.


320 с.

8.

Долвіх, В. М. Вища математика для економістів. Ч. 3.
Інтевральне чи
с
лення. Диференхіальні рівняння. Пяди

Текст : на
вч. посіаник : т 4

ч. /
В.

М. Долвіх, К. А. Дахер, Т. І. Малютіна ; Державний вищий
навчал
ь
ний заклад Украінська академія аанківськоі справи Нахіональново аа
н
кт

Украіни”.


Стми : ДВНЗ УАБС НБУ”, 2009.


135 с.

9.

Дюженкова, К.

І. Вища математика. Приклади
і задачі Текст : посіаник /
К.

І.

Дюженкова, О.

Ю. Дюженкова, Г.

О.

Михалін.


К. : Академія, 2002.


624 с.

10.

Красс, М. С. Математика для ькономистов Текст / М. С. Красс, Б. П. Чт
п
рынов
.


СПа. : Питер, 2005.


464 с.

11.

Кривтха, В. Г. Вища математика: пра
ктиктм Текст / В. Г. Кривтха,
В. В. Барковський
, Н. В. Ба
р
ковська. К. : ЦУК, 2003.


536 с.

12.

Киман, Ф.

М. Вища математика Текст : навч. посіаник / Ф.

М. Киман,
С.

В. Петренко, О.

О. Одинхова


Стми : СтмДПУ ім.

А. С.

Макаренка,
2002.


Ч. 1.


224 с.

13.

Ов
чинников, П.

Ф. Высчая математика Текст / П.

Ф.

Овчинников,
Ф.

П. Яремчтк, В.

М. Михайленко.


К. : Вища чкола, 1987.


552 с.

14.

Пасттченко, С.

М. Вища математика. Основні поняття, формтли, зр
а
зки розв’язтвання задач Текст : навч. посіаник / С.

М. Пасттч
енко,
Ю.

П. Підч
е
нко



К. : Діал, 2000.


160 с.

15.

Саорник индивидтальных заданий по высчей математике Текст : тчеа.
посоаие : в 3 ч. / под оащей редакхией А.

П. Пяатчко.


Минск : Вычь
й
чая

чк
о
ла, 1990.


Ч. 1.


270 с.

16.

Чипачев, В. С. Высчая математика Те
кст : тчеа. / В. С. Чипачев.


М. :

Вы
с
чая чкола, 1996.


479 с.



Навчальне видання




Долвіх

Володимир Миколайович

Малютіна

Таісія Іванівна

Дахер

Катерина Анатоліівна



ВЗЩА МАТЕМАТЗКА ДКЯ ЕКОНОМІСТІВ

Частина 3

Інтевральне числення. Диференхіальні рі
в
ня
ння. Пяди


Практиктм

У 4 частинах






Педактор
І.О. Кртвляк

Комп’ютерна верстка
В.А. Івакін






Підписано до дрткт
02
.0
6
.2009. Формат 60х90/16. Гарніттра Tms.

Оал.
-
вид. арк
.
3,91
.

Умов. дртк. арк. 8,
25
. Тираж 5
0

пр. Зам. № 871

Державний вищий навчальни
й заклад

Украінська академія аанківськоі справи Нахіональново аанкт Украіни”

40030, м.

Стми, втл.

Петропавлівська, 57

Свідохтво про внесення до Державново реєстрт видавхів, вивотівників

і розповсюджтвачів видавничоі продткхіі: серія ДК, №

3160 від 10.04.2
008

Надртковано на
оаладнанні

Державново вищово навчальново закладт

Украінська академія аанківськоі справи Нахіональн
о
во аанкт Украіни”

40030, м.

Стми, втл.

Петропавлівська, 57































Приложенные файлы

  • pdf 8957505
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий