Кратные и криволинейные интегралы


ГЛАВА 11. КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
§11.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ , КРИВОЛИНЕЙНЫХ, ДВОЙНЫХ, ТРОЙНЫХ И ПОВЕРХНОСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ.
Df.1 Назовем фигурой либо линию в пространстве, или на плоскости, в частности это может быть отрезок оси, либо плоскую область, либо некоторое пространственное тело, либо поверхность в пространстве.
1) ● 2) ●

● ●
0 ● 0


3)



-114300-5080







Df.2 Назовем диаметром фигуры максимальное из расстояний между двумя точками этой фигуры. Т.е. .

и т.д.

Df.3 Рассматривая фигуры различных типов будем говорить о их мере. Т.е. термин «мера» - мера множества A:

Если , то - площадь множества A; , то - объем множества A.
Аналогично понятие меры обобщается на .
В случае линий под мерой будет пониматься их длина, а случае пространственных тел – площадь.
Пусть на каждой фигуре G задана скалярная функция f(P)/
Для каждой фигуры совершим одни и теже действия.
Разобьем каждую фигуру произвольным образом на n- частей.
На каждой части возьмем точку и определим значение функции в этой точке .
Значение умножим на меру соответствующей части.
Все полученные произведения суммируем (т.е. сложим).
Df.4 Полученная в результате перечисленных операций сумма, носит
название «n-ой» интегральной суммы.
Пусть , G – измеримое множество. -совокупность подмножеств множества G, что:
а) .
б) .
Тогда есть разбиение G. Так например:
n=2.


0
Используя обозначение :
Df.5 Шагом (мелкостью) разбиения называется , где - это расстояние , - длина максимальной хорды.

Пунктированным разбиением множества совокупность разбиения и набора точек , обозначение .
Очевидно, данному разбиению может соответствовать бесконечно много пунктированных разбиений в зависимости от расположения точек . Шаг пунктированного разбиения:
.
Пусть на определена скалярная функция , фиксируем некоторое пунктирное разбиение . Сумма вида:
(1)
называется интегральной суммой Римана или просто интегральной суммой.
Кратным интегралом (интегралом Римана) от функции , по множеству называется:
=
,
если последний предел существует и конечен.
При n=2 (двойной интеграл), :
, - площадь .
Обозначение:

При n=3 (тройной интеграл), :
.
.
- объем .
Отметим, что при n=1 это определение отлично от данного ранее. Здесь любое измеримое множество, а не отрезок, как в определенном интеграле. Однако можно показать их эквивалентность.
Df.6 Если определена на и интегрируема на по Риману. - множество функций, интегрируемых по Риману на .
Для всех рассматриваемых фигур, пользуясь предложенной схемой, составим интегральные суммы.
1-ый случай.



.
разбиваем участок точками на части произвольным образом, .
Выбираем точку на каждом отрезке деления . .
Находим значения функции в выбранных точках .
Составляем интегральную сумму:

Переходя к пределу при получим:

2-ой случай.






.
Дугу разобьем на «n» частей точками произвольным образом, -это длины дуг участков деления.
Выбираем точки на каждом участке деления дуги , .
Найдем значения функции в выбранных точках, или .
Составляем интегральную сумму:

Переходя к пределу при получим:
- криволинейный интеграл I-го рода.
3-ий случай.







, т.е функция принимающая в каждой точке из определенное значение.
-ограниченная, замкнутая и квадрируемая (имеет определенную площадь) область.
Выполним следующие операции:
Область разобьем произвольным образом на n – квадрируемых частей. Занумеруем их и обозначим -ую часть и ее площадь через ; -элемент разбиения. .
В каждой получившейся при этом части выберем произвольно точку , и вычислим .
Каждое значение умножим на площадь соответствующей части, т.е. составим произведения вида:

Это выражение называется элементом суммы.
Составим сумму всех этих произведений:

Эту сумму будем называть двумерной или двойной интегральной суммой.
Найдем предел суммы при стремлении к нулю наибольшего из диаметров частей разбиения (при этом число частей разбиения будет неограниченно возрастать при ).

Это двойной интеграл от функции по области .
4-ый случай.
3562350


Пусть в ограниченной замкнутой и кубируемой (имеет объем) области пространства, задана - непрерывная скалярная функция точки, т.е. функция, принимающая в каждой точке из области определенные значения.
Выполним следующие операции:
Область разобьем произвольным образом на n – кубируемых частей. Занумеруем их и обозначим -ую часть и ее площадь через ; -элемент разбиения. .
В каждой получившейся при этом части выберем произвольно точку , и вычислим .
Каждое значение умножим на объем соответствующей части, т.е. составим произведения вида:

4) Составим сумму всех этих произведений:

Эту сумму будем называть трехмерной или тройной интегральной суммой.
5) Найдем предел суммы при стремлении к нулю наибольшего
из диаметров частей разбиения (при этом число частей разбиения будет неограниченно возрастать при ).

Это тройной интеграл от функции по области . - элемент объема.
5-ый случай.



- непрерывная в каждой точке поверхности S функция.
Поверхность S разобьем произвольным образом на n частей. Занумеруем их и обозначим -ую часть и ее площадь через ; -это площадь элемента деления, .
В каждой получившейся при этом части выберем произвольно точку , и вычислим .
3) Каждое значение умножим на взятую площадь соответствующей части, т.е. составим произведения вида:

4) Составим сумму всех этих произведений:

Эту сумму будем называть интегральной по поверхности S.
Найдем предел суммы:

Это есть поверхностный интеграл I-го рода.
§11.2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ДЛЯ РАССМАТРИВАЕМЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ФИГУР.
1-ЫЙ СЛУЧАЙ.

● ● ( ● ) ●
0
Рассмотрим произвольную точку и содержащий эту точку отрезок . Массу отрезка обозначим . Средняя линейная плотность отрезка будет:
;
а линейная плотность стержня в точке будет:

2-ОЙ СЛУЧАЙ.







Аналогично определяется плотность в случае кривого стержня в произвольной точке .
Средняя линейная плотность изогнутого стрежня:
;
Линейная плотность изогнутого стержня в точке :
;
3-ИЙ СЛУЧАЙ.



Средняя поверхностная плотность плоской пластинки:

Тогда, поверхностная плотность пластинки в точке :

4-ЫЙ СЛУЧАЙ.
7200900


Средняя плотность объема :
;
Объемная (обычная) плотность в точке тела :
;
5-ЫЙ СЛУЧАЙ.



Средняя поверхностная плотность:
;
Поверхностная плотность в точке поверхности :
;
ЗАДАЧА.
В каждой точке фигуры известна ее плотность . Найти массу фигуры.
1-ый случай.

● ● ( ● ) ●
0

2-ой случай.







.
3-ий случай.



.
4-ый случай.
34290036195


.

5-ый случай.


.
ЗАМЕЧАНИЕ.
Если в интегралах по фигуре подынтегральную функцию заменить соответствующей функцией плотности, можно определить массу всех рассматриваемых материальных фигур.

Приложенные файлы

  • docx 8957579
    Размер файла: 549 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий