Матан-Матан


Матрицы
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m-строк одинаковой длины и n-столбцов. Говорят что это матрица размером mxn и ее записывают в виде: А=a11⋯a1n⋮⋱⋮am1⋯amn. Более кратко матрицу обозначают А=(аij), где i-нмер строки, j-номер столбца.
Матрица у которой m=n называется квадратной
Если у матрицы все элементы, кроме эл. стоящих на главной диагонали, равны 0, то она называется диагональной. Диагональная матрица должна быть квадратной.
Матрица вида Е=100010001 называется единичной матрицей.
Кв. матр. наз. треугольной, если все элементы расположены по одну сторону от главной диагонали равны 0.Матр. у которой все элементы равны 0 наз. нулевой.
Матр. вида А=(а11...а1n) наз. матрица-строка
Матрица полученная из данной заменой каждого ее строки на столбец с тем же номером наз. матр. транспонированной к данной
Операция умн. 2-х матриц вводится, только для случая, когда число столбцов 1-й матр. равно числу строк 2-й матр.
Определители
Кв. матрица А порядка n можно поставить в соответствие число называемое ее определителем. Определитель обозначается: Δ, |А|, detA (детерминант)
Определитель 4, 5… порядка можно вычислить только с помощью св-в определителя.
Св-во определителя:
Определитель имеющий 2 одинаковых ряда равен 0.
При перестановке 2-х параллельных рядов опред. изменит знак.
Умножение всех элем. одного ряда на любое число k равносильно умножению опред. на это число.
Если все элем. одного ряда равны 0, то и сам опред. тоже равен 0
Если элем. 2-х рядов опред. пропорциональны то опред. равен 0
Если элем. какого либо ряда представляют собой сумму 2-х слагаемых, то опред. можно разбить на сумму 2-х соответствующих опред.
Опред. не изменится если к элементам некоторого ряда прибавить элементы другого параллельного рада умноженные на любое число k.
Минором элемента aij опред. n-ого порядка наз. опред. (n-1)-ого порядка полученный из данного путем вычеркивания i строки и jстолбца.
Алгебраическим дополнением эл. аij наз. минор взятый со знаком +, если сумма i+j=четное число. И со знаком - , если сумма i+j=не четное число.
Разложение определителя по рядам. Опред. равен сумме произведений эл. некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.
Сумма произведений какого-либо ряда определителя на соответствующие алгебраические дополнения параллельного ряда равны 0
Система линейных уравнений

Метод Крамера:
Метод обр. матриц: А-1=1detAA11A21A12A22Метод Гаусса: Приводим к треугольному виду. Строки можно менять местами; строки можно складывать и вычитать; строку можно умножать на любое число и прибавить к другому. Ранг матр. – это кол-во не нулевых строк в Δ матр. rangA=rangB=n – ед. решение; rangA=rangB≠n – имеет множество решений.
Вектор
Вектор – направленный отрезок прямой
Коллинеарные вектора – если они расположены на одной прямой или параллельно
Равенство векторов: два вектора наз. равными если их модули и направления равны.
Единичный вектор – это вектор длина которого равна 1
Компкланарные векторы – если они расположены в одной плоскости или в параллельных плоскостях
Операции над векторами
Сложение, вычитание. Правило многоугольника (конец 2 к началу 1)
Умножение вектора на число: |b|=λ|a|
Свойство сложения и умножения на число:
a+b=b+a; (a+b)+c=a+(b+c); λ1*(λ2*a)= λ1*λ2*a; λ(a+b)=λa+λbРазложение вектора по ортам координатных осей
|a| - длина вектора
cosα , cosβ , cosγ – направляющие косинусы; cosα=x|a| , cosβ=y|a| , cosγ=z|a|Действия над векторами, заданными проекциями
a=ax*i+ay*j+az*k; b=(bx;by;bz); a=(ax;ay;az); c=a+b=cx*i+cy*j+cz*k; cx=ax+bx;
Коллинеарность векторов: axbx=ayby=azbzСкалярное произведение вектора и его свойства
a(орт)=ax|a|;ay|a|;az|a|(ab)=|a|*|b|*cos(a^b)
Свойство: (ab)=(ba); (λab)=λ(ab); a(b+c)=(ab)+(ac); (aa)=|a|2; a┘b: (ab)=0
(ab)= ax bx+ayby+azbzУгол между векторами: сosα=(ab)a|b|Проекция вектора a на вектор b: Прba=|a|*cosα=(ab)|b|Вектороное произведение
axb=-bxa; λ(axb)=(λa)xb=ax(λb); (a+b)xc=(axc)+(bxc); axb=0 a||b
axb=ijkaxayazbxbybzS=|axb|; V=|(axb)*c| - см. произв. Vпир=1/6|(axb)*c|
Смешанное произведение – число равное скалярному произведению вектора axb и c.
Если 3 вектора компланарны то их смешенное произведение = 0
Аналитическая геометрия
плоскости
М0(х0;y0;z0) N{A;B;C}
A*(x+x0)+B*(y+y0)+C*(z+z0)=0 – уравнение плоскости
М1(х1;y1;z1) М2(х2;y2;z2) М3(х3;y3;z3) x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1Отрезки a,b,c: xa+yb+zc=1Ax+By+Cz+D=0 – общее уравнение плоскости
Угол между 2-мя плоскостями cosα=NαNβ|Nα||Nβ|α||β A1A2=B1B2=C1C2; α_|_β NαNβ=0расстояние от точки до плоскости d=Ax+By+Cz+DA2+B2+C2прямая
М1(х1;y1;z1) М2(х2;y2;z2) x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1М0(х0;y0;z0) S{m;n;p} x-x0m=y-y0n=z-z0pS=NαxNβУгол между прямой и плоскостью: sinα=NαSaNα|Sa|Точка пересечения прямой и плоскости: x=mt+x0y=nt+y0z=pt+z0Ax+By+Cz+D=0Кривые 2-ого порядка
Окр. Радиуса R с центром в точке M0 наз. множество всех точек М плоскости удовлетворяющих условию: М0М=R
(x-x0)2+(y+y0)2=R2 – каноническое уравнение окружности
Эллипс – множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от 2-х данных точек, называемых фокусами, постоянно иона больше, чем расстояние между фокусами.
x2a2+y2b2=1Гипербола – множество всех точек плоскости для которых модуль разности растояний от 2-х данных точек наз. фокусами есть величина постоянная и меньшая чем расстояние между фокусами.
Парабола – множество всех точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от главной точки наз. фокусом и от длинной прямой наз. директрисой
МатанализПределы
Ф-ция наз. б.б. если для любого числа М существует такое число δ>0, что для всех х удовлетворяющих неравенству 0<|x-x0|<δ выполняется неравенство вида |f(x)-A|<ε. Limx->x0f(x)=∞
Бесконечно большой величиной наз. переменная величина, абсолютноезначениекоторой неограниченно возрастает.
Ф-ция наз. б.м. при х->x0, если предел этой ф-ции = 0
Св-во б.м.ф.: алгебраическая сумма б.м.ф. есть б.м.ф.; произведение ограниченной ф-ции на б.м.ф. есть б.м.ф.; произведение 2-х б.м.ф. есть б.м.ф.; если ф-ция f(x)- б.м.ф., то ф-ция1/f(x)- есть б.б.ф., т.е. ф-цияобратная б.м.ф. есть б.б.ф. и наоборот.Основные теоремы о пределах.
Предел суммы (разности) 2-х ф-ций равен сумме (разности) пределов этих ф-ций.
Предел произведения 2-х ф-ций равен произведения пределов этих ф-цийПостоянный множитель можно выносить зазнак придела
Предел отношения равен отношению пределов при условии что lim=\0
Чтобы найти придел от показательной ф-ции надо перейти к пределу в показателе.
{0/0}: 1. возникло в результате отношения ироцианальных выражений, то чтоб ее раскрыть надо числитель умножить на сопряженное число.
2. в результате отношения целых много членов, то надо числитель и знаменатель разложить на множители
3. табл. эквивалентных ф-цийSinα(x)~ α(x); arcsinα(x)~ α(x); tg α(x)~ α(x); arctg α(x)~ α(x); e α(x)~ α(x); ln(1+ α(x))~ α(x)
{∞/∞}: перейти к б.м.ф.
1-ый замечательный передел. Limn→0sinxx : предел отношения синуса к своему аргументу равен 1.
{1∞}: раскрывает 2-ой замечательный передел: limn→∞1+1nn=eСхема исследования ф-ции на непрерывность.
Найти обл. определения ф-цииВыявить точки в которых возможен разрыв
Найти односторонние пределы и сделать вывод:
если f(x0-0)≠ f(x0+0) => разрыв 1-ого рода
если f(x0-0)=∞ или f(x0+0)=∞ => разрыв 2-ого рода
A= f(x0-0)= f(x0+0)≠ f(x0)=B => устранимый разрыв
f(x0-0)= f(x0+0)= f(x0)=А => ф-ция не прерывна
производная
(a)`=0
(x)`=1
(un)`=n*un-1*u`
(au)`=au*lna*u`
(eu)`=eu*u`
(logau)`=1u*lna*u`(lnu)`=1uu`u`=12uu`(sinu)`=cosu*u`
(cosu)`=-sinu*u`
(tgu)`= 1cas2uu`(ctgu)`=-1sin2uu`(arcsinu)`= 11-u2u`(arccosu)`=-11-u2u`(arctgu)`= 11+u2u`(arcctgu)`=-11+u2u`Правило дифференцирования
(с*u)`=c*(u)`
(u±v)`=u`±v`
(u*v)`=u`v+uv`
(uv)`=u`v-v`uv2(uc)`= 1c*(u)`

Приложенные файлы

  • docx 8957650
    Размер файла: 48 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий