Индивидуальные задания по математической логике…


Индивидуальные задания по математической логике
К занятию 1
Задание 1
Проверить, является ли формула тавтологией,
противоречием или выполнимой:

варианта Формула:






























Задание 2
Что можно сказать об истинности высказывания A, если B и C истинные высказывания и при этом:
;

;
;
;
.
Известно, что высказывания A и B истинные, а C и D – ложные. Найдите значения истинности следующих высказываний:;
;
;
;
;
.
13.Известно, что высказывание истинно. Можно ли утверждать, что и высказывание истинно?
Какие из следующих выражений являются формулами алгебры высказываний?
;
;
;
;
;
.
Сколькими способами и как можно расставить скобки в выражении, чтобы получилась формула:
;
;
;
;
;
.
Выписать все подформулы формулы:
;
;
;
;
.
Задание 3
Формализовать следующие высказывания:
чтобы углы были смежными, достаточно, чтобы они имели общую сторону.
чтобы углы были смежными, необходимо и достаточно, чтобы две стороны их были противоположными лучами;
чтобы построить окружность, достаточно иметь на плоскости три различные точки, не лежащие на одной прямой;
чтобы построить окружность определенного радиуса, необходимо иметь на плоскости три точки;
чтобы треугольники были подобны, необходимо и достаточно, чтобы их углы были равны;
чтобы, достаточно, чтобы ;
чтобы , необходимо и достаточно, чтобы ;
чтобы множество A, разбить на классы, достаточно на множестве A задать отношение эквивалентности;
чтобы система n линейных уравнений была совместной, необходимо, чтобы ранги основной и расширенной матриц были равны;
Если в четырехугольнике две противоположные стороны конгруэнты и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм.
Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Если треугольник равнобедренный, то два угла его равны.
Если каждое слагаемое суммы чисел кратно некоторому числу a, то и сумма кратна этому числу.
Если многочлен делится на , то .
Если многочлен нечетной степени с целыми коэффициентами, то он имеет хотя бы один действительный корень.
Если , , .
Если алгебраическая система группа, то операция ассоциативна.
Равные векторы имеют равные соответствующие координаты.
Диагонали квадрата равны.
если два треугольника конгруэнты, то их площади равны;
вертикальные углы равны;
в точке дифференцирования функция непрерывна;
число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9;
параллельные прямые центрально симметричны;
если два комплексных числа равны, то равны их действительные и мнимые части соответственно;
если сумма квадратов действительных чисел a и b равна нулю, то a = 0 и b = 0;
если число делится на 2 и 5, то оно делится на 10;
диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
для того, чтобы две прямые были параллельными, необходимо, чтобы они были перпендикулярны третьей прямой;
чтобы квадратный трехчлен разлагался на множители над R, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был не меньше нуля.
К занятию 2
Задание 4
Проверить корректность рассуждений:
Для того чтобы быть допущенным к экзаменам, необходимо получить зачёт по логике. Я получу этот зачёт, если научусь проверять правильность рассуждений с помощью алгебры высказываний. Я не понял этот способ.Следовательно, я не буду допущен к экзаменам.
Если человек говорит неправду, то он заблуждается или сознательно вводит в заблуждение других. Этот человек говорит неправду, но явно не заблуждается. Следовательно, он сознательно вводит в заблуждение других.
Если человек удовлетворён работой и счастлив в семейной жизни, то он не жалуется на судьбу. Этот человек жалуется на судьбу. Следовательно, либо он удовлетворён работой, но не счастлив в семейной жизни, либо счастлив в семейной жизни, но не удовлетворён работой.
Если данное явление психическое, то оно обусловлено внешним воздействием на организм. Если оно физиологическое, то оно также обусловлено внешним воздействием на организм. Данное явление не психическое и не физиологическое. Следовательно, оно не обусловлено внешним воздействием на организм.
Я пойду или в кино, на новую кинокомедию, или на занятия по логике. Если я пойду в кино, то я от всей души посмеюсь. Если я пойду на занятия по логике, то испытаю большое удовольствие от следования по путям логических рассуждений. Следовательно, или я от всей души посмеюсь, или испытаю большое удовольствие от следования по путям логических рассуждений.
Если Антон ляжет сегодня поздно, то утром он будет в нерабочем состоянии. Если он ляжет не поздно, то ему будет казаться, что он много времени теряет бесполезно. Следовательно, или Антон будет в нерабочем состоянии, или ему будет казаться, что он много времени теряет напрасно.
Если фирма B не будет выпускать новую продукцию, то и фирма A не будет её выпускать. Если же фирма B будет выпускать новую продукцию, то её же будут выпускать и фирмы A и C. Следовательно, фирма C будет выпускать новую продукцию, если это будет делать фирма A.
Для того чтобы сдать экзамен, мне необходимо достать учебник или конспект. Я достану учебник только в том случае, если мой приятель не уедет. Он уедет, только если я достану конспект. Следовательно, я сдам экзамен.
Если философ – дуалист, то он не материалист, если философ диалектик, то он не метафизик. Он материалист или метафизик.Следовательно, он не дуалист или не диалектик.
Если завтра будет снег, то я надену тёплую куртку, если рукав будет починен. Завтра будет снег, а рукав не будет починен.Следовательно, я не надену тёплую куртку.
Если кража совершена "по наводке", то у преступника был сообщник, а если был сообщник, то налицо преступная группа. Если же преступление совершено группой, то это — преступление с отягчающими обстоятельствами. Значит, если кража совершена "по наводке", то она — с отягчающими обстоятельствами.
Если N хороший адвокат, то он выиграет это дело. N выиграл это дело. Значит, он хороший адвокат.
Лекция по логике может быть содержательной или занимательной. Если лекция содержательна — ее конспектируют, но не слушают, а если занимательна — ее слушают, но не конспектируют. Значит, лекции по логике конспектируют, но не слушают или слушают, но не конспектируют.
Если лекции не интересны, то их плохо посещают. А когда лекции плохо посещают — учебная часть проверяет посещаемость. Если же учебная часть проверяет посещаемость, то ее инспектора перегружены работой. Значит, если лекции интересны, то инспектора учебной части не перегружены работой.
Человек или трус, или он протестует против незаконного обращения. Если человек не трус, то он отстаивает свои убеждения. Если человек не протестует против незаконного обращения, то он заслуживает такого обращения. Значит, или человек не отстаивает свои убеждения, или он не заслуживает незаконного обращения.
У вас может быть либо социализм, либо свободная экономика. Но вы не достигли социализма. Значит, у вас свободная экономика.
Если вы будете говорить правду, люди проклянут вас, а если будете лгать, то вас проклянут боги. Но вы можете только говорить правду или лгать. Значит, вас проклянут боги или люди.
На встрече присутствовали выпускники прошлых лет, преподаватели факультета, студенты. N — выпускник 2002 года. Значит, он не преподаватель факультета и не студент.
Чтобы быть допущенным к экзаменационной сессии, достаточно сдать все зачеты. N не допущен к экзаменационной сессии. Значит, он не сдал зачеты.
В бюджете возникнет дефицит, если не повысят пошлины. Если в бюджете возникнет дефицит, то государственные расходы на общественные нужды сократятся. Значит, если повысят пошлины, то государственные расходы на общественные нужды не сократятся.*
Если бы он ей не сказал, она ни за что бы не узнала. А не спроси она его, он бы и не сказал. Но она узнала. Значит, она его спросила.
Если он принадлежит к нашей компании, то он храбр и на него можно положиться. Он не принадлежит к нашей компании. Значит, он не храбр или на него нельзя положиться.
Профсоюзы штата будут продолжать поддерживать губернатора, если он подпишет данный билль. А фермеры окажут ему поддержку, если он наложит на него вето. Губернатор либо не подпишет билль, либо не наложит на него вето. Значит, губернатор потеряет либо поддержку профсоюзов, либо поддержку фермеров.
Если не знаешь весь курс логики, то экзамен не сдашь. А если пропускаешь занятия, то не знаешь весь курс. Значит, если студент сдал экзамен по логике, то он не пропускал занятия.
Если он автор этого слуха, то он глуп или беспринципен. Он не глуп и не лишен принципов. Значит, не он автор этого слуха.
Если погода будет хорошей, то мы поедем за город завтра, а в противном случае — в следующее воскресенье. Погода хорошая. Значит, в следующее воскресенье мы не поедем за город.
Или этот предмет не сложен, или экзаменатор снисходителен. Если этот предмет интересен, то он сложен. Экзаменатор не снисходителен. Значит, этот предмет неинтересен.
Если цены возрастут, то политическая ситуация обострится, а если не возрастут, увеличится дефицит. Мы не допустим обострения политической ситуации. Значит, увеличится дефицит.
Если тело движется, то либо движение происходит в том месте, где тело находится, либо оно происходит там, где тела нет. Но движение не может происходить ни там, где тело находится, ни там, где тела нет. Значит, тело не может двигаться.
Чтобы сдать экзамен по логике, достаточно знать тему "Умозаключение", а знать эту тему можно только в том случае, если знаешь предыдущие темы. М. не знает предыдущих тем. Значит, он не может сдать экзамен по логике.
Задание 5
Доказать, что формула В – логическое следствие посылок .
, , ;
, , ;
, , ;
, , ;
, , .
Выяснить, является ли формула В логическим следствием посылок .
, , ;
, , ;
, , ;
, , ;
, , ,;
, , ;
, , ;
, , , ;
, , ;
, , .
Найдите все следствия из посылок:
, ;
, ;
, ;
, ;
, ;
, ,
, ;
, ;
, ,;
25. ,,.
К занятию 3
Задание 6
Найти множество истинности предиката, заданного на множестве А.
«», ,
«»; ,
«x делит y», A=Z;
«y делит x», где A=N,
«x – четное»; A=Z;
«x – натуральное число»,
«x – целое число»;
«x - помидор», A={x/x - овощ}
«x - овощ», A={ x/x - растение}
«», A={1,2,…,12}
«», A={1,2,…,13}
«»,; A={1,2,…,15}
«», A={1,2,…,100}
«»,; A={1,2,…,20}
«»,; A={1,2,…,19}
«»,; A={1,2,…,12}
«»,. A={1,2,…,120}
«»,A={1,2,…,32}
«»;A={1,2,…,18}
«»,; A={1,2,…,17}
«»,; A={1,2,…,55}
«»,; A={1,2,…,16}
«»,; A={1,2,…,65}
«x делит y»,; A={1,2,…,75}
«»,; A={1,2,…,10}
«x делится на y»,; A={1,2,…,15}
«»,; A={1,2,…,10}
«»,; A={1,2,…,105}
«»,. A={1,2,…,15}
Задание 7
Изобразите на координатной прямой множества истинности
предикатов, заданных на R. Является ли данный предикат: а) тождественно
истинным; б) тождественно ложным?
х>2;
|х|=1;
|х|<1;
|х|>1;
|х—2|>1;
|х+3|<1;
х2+2х+1 =0;
х2+6х+9>0;
х2+6х—16≤ 0
х2/х = х.
х = у;
х = 2у;
x2 + x/2=l;
у = |х|;
у>х2;
у = 1/х;
(х2—у2)/(х—у) = х+у.
х2+2х+3 =0;
х2+6х+3>0;
х2+6х—9≤ 0
х2/х = х.
х = 2у;
х = 3у;
x2 + x/2=2;
у = |х|-1;
у>2х2;
у = 3/х;
(х2—у2)/(х—у) = х+у.
Задание 8
Прочитайте следующие формулы (запишите на естественном языке) и установите их истинность (ложность) на соответствующих множествах:
, где , «», «»;
, где «x делит y», ;
, где , «x делит y», «x – четное»;
,«x – натуральное число»,«x – целое число»;
, где «x – целое число», «x делит y»;
, где ;
, где ;
, где ;
, где ;
, где
Пусть x, y, z – произвольные прямые плоскости α;
«x пересекает у»
«x параллельна у»
«x перпендикулярна у»
«x принадлежит плоскости α»
Прочитайте следующие формулы и установите их истинность (ложность):
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Задание 9
Запишите следующие предложения в виде формул алгебры предикатов, выделите в них субъекты и предикаты:
для любых действительных x, y, z, если и , то ;
для любых действительных x, y, если и , то ;
прямые х и у в пространстве параллельны или пересекаются, или скрещиваются;
диаметр больше хорды;
для всяких чисел x, y, z, если , то ;
для всякой прямой х плоскости α существует параллельная прямая у, лежащая в этой же плоскости;
всякое натуральное число, большее 1, простое или составное;
любое действительное число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби;
любые две непараллельные плоскости пересекаются;
любая система линейных однородных уравнений совместна.
Используя предикаты:
- «я вижу предмет x в момент времени t»,
- «я беру предмет x в момент времени t»,
- «момент времени предшествует моменту времени » ,
Запишите в виде формул алгебры предикатов следующие высказывания:
я всегда что-то вижу;
иногда я ничего не вижу;
существуют предметы, которые я никогда не вижу;
я вижу каждую вещь в некоторый момент времени;
если я вижу предмет, то я тут же его беру;
если я вижу предмет, то я беру его спустя некоторое время;
если я беру предмет, не видя его до этого, то через некоторое время я вижу его,
но не беру;
не существует предметов, которые я никогда не беру;
я беру всякий предмет, который я еще не взял до этого;
некоторые вещи, которые я видел ранее, я всегда вижу вновь, спустя определенное время;
существуют предметы, которые я всегда вижу.
Запишите с помощью формул алгебры предикатов следующие высказывания:
существует не более чем один x такое, что F(x);
существует, по крайней мере, два элемента x и y, такие что F(x) и F(y);
существует один и только один x, такой, что F(x);
существует не более двух элементов x и y, таких, что F(x) и F(y);
существует два и только два элемента x и y, таких, что F(x) и F(y).
существует, по крайней мере, два элемента x и y, такие что F(x) и F(y);
Задание 10
Используя предикаты:
x – точка;
x - прямая;
x - плоскость;
x лежит на у,
Запишите в виде формул алгебры предикатов следующие предложения:
через каждые при точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную плоскость;
через каждый две точки можно провести прямую, если эти точки различные, то прямая единственная;
определение параллельных прямых;
определение параллельных плоскостей;
через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной;
какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей;
две различные прямые либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке;
если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну;
через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну;
определение скрещивающихся прямых.
Запишите в подходящей сигнатуре определения:
предела числовой последовательности;
непрерывности функции на [a,b];
равномерной непрерывности функции на [a,b];
непрерывности (разрывности) функции в точке;
совместности (несовместности) системы уравнений ;
отношения эквивалентности;
равносильности уравнений и ;
пересечения (объединения) множеств;
пустого (единичного) множества;
наименьшего (минимального) элемента;
наибольшего (максимального) элемента.
полугруппы;
коммутативной группы;
кольца;
группы;
коммутативного кольца;
поля;
частично упорядоченного множества;
линейно упорядоченного множества.
Задание 11
Перед следующими предикатами поставьте соответствующие кванторы так, чтобы получились высказывания, истинные на множестве действительных чисел:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Для следующих формул установите их истинность (ложность) на множестве А, если:
«», ;
«», ;
«», ;
«», ;
«x делит y», ;
«», ;
«x делится на y», ;
«», ;
«», ;
«», .
Для следующих формул установите их истинность (ложность) на множестве А, если:
«», ;
«», ;
«», ;
«», ;
« y делит x», ;
«», ;
«x делится на y», ;
«», ;
«», ;
«», .

Приложенные файлы

  • docx 8958780
    Размер файла: 372 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий