6 СР_Математическая статистика

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Саратовский государственный аграрный университет
имени Н. И. Вавилова»







МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
по выполнению самостоятельной работы
по дисциплине «Математическая статистика»


Направление подготовки

111801.65 Ветеринария


Специализация подготовки

Ветеринарная фармация













Саратов 2014

Методические указания по выполнению самостоятельной работы по учебной дисциплине «Математическая статистика» разработаны на основе Федерального государственного образовательного стандарта для специальности 111801.65 «Ветеринария»/ сост. Н.В. Дьяконова //ФГБОУ ВПО «Саратовский ГАУ».- Саратов, 2014.
Методические указания по выполнению самостоятельной работы по учебной дисциплине «Математическая статистика» составлены в соответствии с рабочей программой и предназначены для студентов специальности 111801.65 «Ветеринария». Они содержат вопросы, примеры и задания для самостоятельной работы на практических занятиях и вне аудитории. Позволяют студентам освоить основные математические методы, необходимые для анализа процессов и явлений в ходе поиска оптимальных решений практических задач, обучает методам обработки и анализа результатов эксперимента.



































Содержание
13 TOC \o "1-3" \h \z \u 1413 LINK \l "_Toc353976461" 141. Цели и задачи самостоятельной работы студентов154
13 LINK \l "_Toc353976463" 143. Содержание самостоятельной работы студентов ..415
3. Виды самостоятельной работы студентов......5
13 LINK \l "_Toc353976464" 144. Разделы самостоятельных работ..13 PAGEREF _Toc353976464 \h 1461515
13 LINK \l "_Toc353976466" 145. Вопросы для самостоятельной подготовки.615
13 LINK \l "_Toc353976467" 146. Оценка самостоятельной работы студентов...715
13 LINK \l "_Toc353976468" 147. Ресурсное и методическое обеспечение самостоятельной работы студентов815
13 LINK \l "_Toc353976469" 148. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов915
13 LINK \l "_Toc353976470" 149. Методические указания к разделам самостоятельных работ915
10. Задачи для самостоятельного решения25
13 LINK \l "_Toc353976471" 1411. Перечень рекомендуемых учебных изданий, интернет-ресурсов, дополнительной литературы...4615
15Приложения..47



















1. Цели и задачи самостоятельной работы студентов

Самостоятельная работа студентов является необходимым компонентом процесса обучения и может быть определена как творческая деятельность студентов, направленная на приобретение ими новых знаний и навыков.
Цель самостоятельной работы студентов – систематическое изучение дисциплин в течение семестра, закрепление и углубление полученных знаний и навыков, подготовка к предстоящим занятиям, а также формирование культуры умственного труда и самостоятельности в поиске и приобретении новых знаний и умений, и, в том числе, формирование компетенций.
Основная тенденция инноваций в области образования определяется как переход от «научения к изучению»
Самостоятельная работа студентов способствует развитию ответственности и организованности, творческого подхода к решению проблем учебного и профессионального (в том числе научного) уровня.
Процесс организации самостоятельной работы студентов включает в себя следующие этапы.
1. Подготовительный этап включает определение целей, задач, составление программы (плана) с указанием видов работы, её сроков, результатов и форм контроля, подготовку методического обеспечения, согласование самостоятельной работы с преподавателем.
2. Основной этап состоит в реализации программы (плана) самостоятельной работы, использовании приемов поиска информации, усвоении, переработке, применении и передаче знаний, фиксировании результатов работы. На основном этапе студент может получить консультации и рекомендации у преподавателя, руководящего его самостоятельной работой.
3. Заключительный этап означает анализ результатов и их систематизацию, оценку продуктивности и эффективности проделанной работы, формулирование выводов о дальнейших направлениях работы.

2. Содержание самостоятельной работы студентов

Содержание самостоятельной работы носит двусторонний характер:
с одной стороны это способ деятельности студентов во всех организационных формах учебных занятий и во внеаудиторное время, когда они самостоятельно изучают материал, определенный содержанием рабочей программы по учебной дисциплине;
с другой стороны – это вся совокупность учебных заданий, которые должен выполнить студент во время обучения: например, написать реферат, выполнить расчетно-графическую, контрольную, подготовиться к лабораторной работе т.п.
Кроме того, в современных условиях самостоятельная работа рассматривается как работа студента под руководством преподавателя для получения новых знаний. Обучая студента самостоятельно работать (научить учиться) преподаватель формирует у будущего специалиста умение учиться на протяжении всей его профессиональной деятельности. С позиции обеспечения качества подготовки специалиста это важнейший момент, так как постоянно возрастающий объем информации приводит к тому, что устаревание знаний специалиста – так называемый период полураспада компетентности (период снижения компетентности на 50 %) происходит очень быстро. Как отмечают исследователи, по многим специальностям этот период менее 5 лет.
Поэтому специалист вынужден на протяжении всей жизни прилагать усилия для поддержания необходимого уровня компетентности, т.е. самостоятельно работать над получением новых знаний.
Самостоятельная работа перестанет быть формальным звеном учебного процесса только в том случае, если она будет осознаваться студентом как необходимый элемент собственного развития.
3. Виды самостоятельной работы студентов

Основными видами самостоятельной учебной деятельности студентов учебного заведения являются:
1) предварительная подготовка к аудиторным занятиям, в том числе и к тем, на которых будет изучаться новый, незнакомый материал. Такая подготовка предполагает изучение учебной программы, установление связи с ранее полученными знаниями, выделение наиболее значимых и актуальных проблем, на изучении которых следует обратить особое внимание и др.;
2) самостоятельная работа при прослушивании лекций, осмысление учебной информации, сообщаемой преподавателем, ее обобщение и краткая запись, а также своевременная доработка конспектов лекций;
3) подбор, изучение, анализ и при необходимости – конспектирование рекомендованных источников по учебным дисциплинам;
4) выяснение наиболее сложных, непонятных вопросов и их уточнение во время консультаций;
5) подготовка к контрольным занятиям, зачетам и экзаменам;
6) выполнение специальных учебных заданий, предусмотренных учебной программой;
7) написание рефератов, контрольных работ и их защита;
8) выполнение собственных научных исследований, участие в научных исследованиях, проводимых в масштабе кафедры, учебного заведения в целом;
10) систематическое изучение периодической печати, научных монографий, поиск и анализ дополнительной информации по учебным дисциплинам.
Традиционно по своему характеру все многообразие учебной деятельности студентов объединяют в три группы.
1. Репродуктивная учебная деятельность:
- самостоятельное прочтение, просмотр, конспектирование учебной литературы,
- прослушивание лекций, заучивание, пересказ, запоминание, повторение учебного материала и др.
2. Познавательно-поисковая учебная деятельность:
- подготовка сообщений, докладов, выступлений на семинарских занятиях,
- подбор литературы по учебной проблеме,
- написание типовых расчетов и контрольной работы и др.
3. Творческая учебная деятельность:
- написание рефератов,
- написание научных статей,
- участие в научно-исследовательской работе в составе творческого коллектива,
- выполнение специальных творческих заданий и др.
Указанные виды самостоятельной работы осуществляются всеми студентами, независимо от специальности.
Все виды самостоятельной работы по дисциплине могут быть разделены на основные и дополнительные. Основные виды самостоятельной работы выполняются в обязательном порядке с последующим контролем результатов преподавателем, который проводит семинарские занятия в студенческой группе. Дополнительные виды самостоятельной работы выполняются по выбору студента и сопровождаются контролем результатов преподавателем, который является научным руководителем студента. Дополнительные виды самостоятельной работы по дисциплине рекомендуются тем студентам, которые наиболее заинтересованы в изучении.
К основным (обязательным) видам самостоятельной работы студентов при изучении дисциплины относится:
а) самостоятельное изучение теоретического материала,
б) решение задач к занятиям,
в) выполнение письменных заданий к занятиям,
г) решение типовых расчетов.
Дополнительными видами самостоятельной работы являются:
а) подготовка докладов и сообщений для выступления;
Данные виды самостоятельной работы не являются обязательными при изучении дисциплины и выполняются студентами по собственной инициативе с предварительным согласованием с преподавателем.
4. Разделы самостоятельных работ

Исторический обзор развития теории вероятностей. Предмет теории вероятностей.
Комбинаторика.
Случайные события.
Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.
Случайные величины.
Математическая статистика.
Элементы теории оценок.
Статистическая гипотеза.
Элементы корреляционного анализа.
Элементы регрессионного анализа.

5. Вопросы для самостоятельной подготовки

Классификация случайных событий. Классическое определение вероятности.
Свойства вероятности события, непосредственный подсчет вероятности. Примеры.
Несовместные и совместные события.
Сумма событий. Теорема сложения вероятностей. Полная группа событий.
Противоположные события. Соотношение между вероятностями противоположных событий. Примеры.
Зависимые и независимые события.
Произведение событий. Понятие условной вероятности.
Теорема умножения вероятностей. Примеры.
Формулы полной вероятности и Бейеса. Примеры.
Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Примеры.
Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применимости.
Функция Лапласа Ф(х) и ее свойства.
Понятие случайной величины и ее описание.
Дискретная случайная величина и ее закон (ряд) распределения. Независимые случайные величины. Примеры.
Математические операции над дискретными случайными величинами.
Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства. Примеры.
Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства. Примеры.
Среднее квадратическое отклонение случайной величины.
Случайная величина, распределенная по биномиальному закону, ее математическое ожидание и дисперсия.
Центральная предельная теорема. Закон больших чисел.
Теорема Бернулли и ее значение.
Функция распределения случайной величины, ее определение, свойства и график.
Непрерывная случайная величина (НСВ). Вероятность отдельно взятого значения НСВ. Математическое ожидание и дисперсия НСВ.
Плотность вероятности непрерывной случайной величины, ее определение, свойства и график.
Определение нормального закона распределения. Нормальная кривая и зависимость ее положения и формы от параметров.
Функция распределения нормально распределенной случайной величины и ее выражение через функцию Лапласа.
Генеральная и выборочная совокупности. Принципы образования выборки. Репрезентативная выборка.
Понятие об оценке параметров генеральной совокупности. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность.
Понятие об интервальном оценивании. Доверительная вероятность и доверительный интервал.
Интервальная оценка математического ожидания нормального распределение.
Проверка статистических гипотез.
Корреляционный анализ.
Регрессионный анализ.

6. Оценка самостоятельной работы студентов

Отдельной составляющей в итоговой оценке по предмету, оценка самостоятельной работы не является.
Вместе с тем оценка самостоятельной работы всё же имеет непосредственное отношение к итоговой оценке по дисциплине.
Во-первых, оценка самостоятельной работы включается в оценку такой формы промежуточного контроля, как оценка текущей работы на семинарских занятиях.
Во-вторых, так как самостоятельная работа по предмету поощряется, преподаватель может использовать (и, как правило, использует) оценку самостоятельной работы в качестве поощрительной составляющей на экзамене, зачете.
В спорных ситуациях оценка самостоятельной работы может разрешить ситуацию в пользу студента.
Независимо от вида самостоятельной работы, критериями оценки самостоятельной работы могут считаться:
а) умение проводить анализ (в том числе, умение отделить правовую проблему от правовых условий жизненной ситуации);
б) умение выделить главное (в том числе, умение ранжировать проблемы);
в) самостоятельность в поиске и изучении административно-правовых источников, т.е. способность обобщать материал не только из лекций, но и из разных прочитанных и изученных источников и из жизни;
г) умение использовать свои собственные примеры и наблюдения для иллюстрации излагаемых положений административного права, оригинальные пути их практического применения;
д) положительное собственное отношение, заинтересованность в предмете;
е) умение показать место данного вопроса в общей структуре курса, его связь с другими вопросами административного права;
ж) умение применять свои знания для ответа на вопросы.
Контроль самостоятельной работы осуществляет преподаватель в аудитории в отведенные для этой цели часы.
Формы проведения контроля определяются преподавателем. К ним относятся:
- собеседование;
- устный опрос;
- контрольная работа;
- проверка индивидуальных заданий;
- компьютерное тестирование;
- зачет по теме (разделу).

7. Ресурсное и методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

Для выполнения самостоятельной работы студенты должны быть обеспечены:
индивидуальными заданиями, раскрывающими цель, содержание, форму отчетности и контроля выполненной работы;
методическими указаниями по проведению самостоятельной работы, направленными на повышение ее эффективности и на формирование культуры умственного труда;
индивидуальным (групповым) рабочим местом в случае необходимости выполнения учебно-исследовательских, лабораторных или практических работ;
информационными ресурсами, в том числе электронными (учебно-методическими комплексами, учебниками, учебными пособиями, руководствами, практикумами, обучающими программами, пакетами прикладных программ и др.);
консультациями преподавателей;
временными ресурсами (доступность аудиторий, лабораторий, компьютерных классов, читальных залов для самостоятельной работы).


8. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

В связи с рекомендациями по увеличению доли самостоятельной работы в учебном процессе возрастает роль учебно-методических материалов. Они должны выполнять следующие функции:
информационную (содержание теоретических данных по дисциплине, разделу, теме);
управляющую (обеспечение рационального расходования времени для усвоения учебного материала);
организационно-контролирующую (рекомендации порядка изучения учебной дисциплины, наличие вопросов для самоконтроля, обучающих программ, программ для тренинга, графика текущего контроля).
Основное назначение методических указаний – показать каждому студенту возможность перейти от деятельности, выполняемой под руководством преподавателя к деятельности, организуемой самостоятельно.
Методическое обеспечение, создаваемое преподавателем, как в виде печатных изданий, так и в виде электронных изданий входит в состав образовательной среды. Применение новых технологий обучения, основанных на применении компьютеров, мультимедиа систем, аудиовизуальных материалов и т.д., позволяет активизировать учебный процесс, привлечь студентов к самостоятельной работе и организовать контроль ее выполнения.
При этом возникает возможность создания совместной организации учебного процесса, которая расширяет формы взаимодействия между сторонами, участвующими в учебном процессе и, в том числе, в самостоятельной работе студентов.
Данная организация учебного процесса обеспечивает студенту возможность освоения учебного материала в любое удобное для него время, не устанавливаемое расписанием занятий. Совместная организация предполагает, что студент работает с образовательной средой, предварительно созданной преподавателями.
Это могут быть телевизионные курсы лекций, учебные курсы виде традиционных учебников и учебных пособий, методических указаний по выполнению типовых расчетов, методических указаний по проведению практических занятий, сборников задач и упражнений, обучающие программы, задания в тестовой форме для самостоятельной работы, вопросы для самоконтроля.
Методические указания по самостоятельной работе студентов должны стать путеводителем в образовательной среде. Это означает, что в методических указаниях по самостоятельной работе должно быть показано как, какими способами и в какой последовательности должно происходить овладение знаниями по каждой дисциплине. Кроме того, должны быть установлены временные рубежи контроля и те ключевые знания и умения, которые подвергаются контролю.

9. Методические указания к разделам самостоятельных работ

Раздел №1. Предмет теории вероятностей. Основные формулы комбинаторики.
План и вопросы для изучения: предмет теории вероятностей и ее значение Испытания и события. Виды случайных событий. Классическое и геометрическое определения вероятности. Комбинаторика.

Типовые задачи
Правила комбинаторики
Перестановка
Пусть мы имеем некое упорядоченное множество N состоящее из n различных элементов. Перестановкой из n элементов называется такой набор элементов множества, которые отличаются от исходного лишь порядком элементов. Обычно перестановка обозначается как Pn и рассчитывается по формуле:
Pn = n!
Размещение
Пусть мы имеем некое упорядоченное множество N состоящее из n различных элементов. Размещением из n элементов по k будет называться упорядоченное подмножество из k не повторяющихся элементов выбранные из множества, состоящего из n элементов. Обычно перестановка обозначается как Ank и рассчитывается по формуле:
Ank =
n!
(n- k)!


Сочетание
Пусть мы имеем некое упорядоченное множество N состоящее из n различных элементов. Сочетанием из n элементов по k будет называться подмножество из k неповторяющихся элементов, выбранных из множества, состоящего из n элементов. Подмножества, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений. Обычно сочетание обозначается как Сnk и рассчитывается по формуле:
Сnk =
n!
k!(n - k)!


Задача 1. Восемь студентов обменялись рукопожатиями. Сколько было рукопожатий?
Решение. В рукопожатии участвует «подмножество», состоящее из двух студентов (m=2), тогда как всё множество» студентов составляет 8 человек (n=8). Так как в процессе рукопожатия порядок не важен, выбираем формулу для числа сочетаний:



Задача. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг из пяти различных по цвету отрезков материи?
Решение. Порядок важен, так как перестановка материи внутри трехцветного флга обозначает разные страны. Поэтому выбираем формулу числа размещений без повторений, где множество отрезков материи n = 5, а подмножество цветов m=3:


Задача 2. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было выполнять переводы с любого из шести языков на любой из них?
Решение. Множество включает 6 языков n=6. Поскольку перевод есть отношение между двумя языками, то m=2, причем порядок важен, так как, например, словари русско-английский и англо-русский имеют различное применение. Поэтому выбираем размещения без повторений:



Задача 3. Сколько имеется вариантов составления расписания на понедельник, если предметов у студентов 9, а в понедельник 4 пары занятий, и предметы не повторяются?
Решение. а) Для студентов порядок не важен, поэтому выбираем формулу числа сочетаний:


б) Для преподавателей порядок важен, поэтому выбираем формулу размещений без повторений:



Задача 4. Сколькими способами можно расставить на книжной полке девять книг, среди которых есть трехтомник А.С. Пушкина?
Решение.
Так как три тома, входящие в трехтомник, должны стоять рядом, причем по возрастанию номера славе направо, то рассматриваем их как один элемент данного множества, в котором имеется еще 6 элементов. Поэтому выбираем перестановки без повторений во множестве, содержащем семь элементов:

Р7 = 7! = 5040


Задача 5. Сколькими способами можно назначить в группе из 30 человек трех дежурных?

Решение.
а) Если их роль в процессе дежурства одинакова, то порядок не важен, поэтому выбираем сочетания без повторений:

С 330 = 30! / 3!27! = 4060

б) Если порядок важен, т.е. во время дежурства их функциональные обязанности различны, то по формуле размещения без повторений имеем:

А 330 = 30! / 27! = 24360

Задача 6. Сколько существует шестизначных телефонных номеров, у которых: а) возможны любые цифры; б) все цифры различные?

Решение.
а) 1. Так как в шестизначном наборе телефонного номера возможны любые цифры, то на каждом из шести мест может встретиться любая из 10-ти цифр от 0 до 9. Необходимо из всех возможных десяти цифр выбрать лишь те шесть, которые будут испльзованы для для шастизначных телефонных номеров. Поскольку в записи телефонных номеров порядок расположения цифр важен, по формуле размещений с повторениями имеем:

А 106 = 106 = 1000000

2. Как известно, не бывает шестизначных номеров, начинающихся с нуля, поэтому надо подсчитать их количество и вычесть его из общего числа комбинаций. Число номеров, первая цифра у которых 0, найдем по формуле размещений с повторениями, «зафиксировав» ноль т.е. на каждом из пяти остальных возможных мест может встретиться любая из десяти цифр от 0 до 9. Тогда число таких комбинаций:

А105 = 105 = 100000

3. Общее число шестизначных телефонных номеров, у которых могут быть любые, в том числе и повторяющиеся, цифры, равно разности:

А106 – А 105 = 106 – 105 = 1000000 – 100000 = 900000

б) 1. Пусть теперь в шестизначном наборе все цифры различные. Необходимо из всех возможных десяти цифр выбрать лишь те шесть, которые используются для шестизначных телефонных номеров, причем никакая цифра не повторяется. Тогда по формуле размещений без повторений имеем:

А 106 = 10! / (10 – 6)! = 5х6х7х8х9х10 = 151200

2. Поскольку шестизначных номеров, начинающихся с нуля, не бывает, надо посчитать их количество и вычесть его из общего числа комбинаций. Число номеров, первая цифра у которых 0, найдем по формуле размещений без повторений, «зафиксировав ноль», т.е. на каждом из пяти оставшихся возможных мест могут встретиться цифры от 0 до 9. Тогда число таких комбинаций найдем по формуле размещений без повторений. Имеем:

А 105 = 10! / (10-5)! = 6х7х8х9х10 = 30240

3. Общее число шестизначных телефонных номеров, у которых не может быть повторяющихся цифр, равно разности:

А106 – А 105 = 106 – 105 = 151200 – 30240 = 120960

Задача 7. Сколькими способами можно выделить делегацию в составе трех человек, выбирая их среди четырех супружеских пар, если:
а) в состав делегации входят любые трое из данных восьми человек;
б) делегация должна состоять из двух женщин и одного мужчины;
в делегацию не входят члены одной семьи?

Решение.
а) Порядок не важен:

С 83 = 8! / 3! 5! = 56

б) Выберем двух женщин из имеющихся 4-х С42 способами и одного мужчину из 4-х С 41 способами. По правилу произведения (и мужчина, и две женщины) имеем С42 х С41 = 24.

в) Из четырех семей выбираем 3-х членов делегации четырьмя способами (т.к. С 43 = 4! / 3!1! = 4). Но в каждой семье имеется по два способа выбора члена делегации. По правилу произведения С43 х2х2х2 = 4х8 =32.

Задача 8. В колледже учится 2000 студентов. Можно ли утверждать, что хотя бы двое из них имеют одинаковые инициалы и имени, и фамилии?

Решение.
В русском алфавите 33 буквы, из них ъ, ь, ы, й не могут быть использованы, поэтому n = 33-4 = 29. Каждая из 29 букв может быть инициалом и имени, и фамилии. По правилу произведения 29х29 = 841 < 2000. Значит может быть лишь 841 различных вариантов, и среди 2000 студентов обязательно будут совпадения.
Задачи для внеаудиторной и аудиторной самостоятельной работы: 1.11.20.

Раздел №2 Случайные события.

План и вопросы для изучения: испытания и события, виды случайных событий. классическое и геометрическое определения вероятности, теорема сложения вероятностей несовместных событий, полная группа событий, противоположные события. Принцип практической невозможности маловероятных событий. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий. Вероятность появления хотя бы одного события. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез, формула Бейеса.
Типовые задачи

Виды случайных событий. Операции над событиями
Задача 1.
Производится два выстрела по цели. Пусть событие А – попадание в цель при первом выстреле и В – при втором, тогда 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415- промах соответственно при первом и втором выстрелах. Обозначим поражение цели событием С и примем, что для этого достаточно хотя бы одного попадания. Требуется выразить С через А и В.
Решение. Цель будет поражена в следующих случаях: попадание при первом и промах при втором; промах при первом и попадание при втором; попадание при первом и втором выстрелах. Перечисленные варианты можно соответственно записать: А13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415В и АВ. Интересующее нас событие заключается в наступлении или первого, или второго, или третьего вариантов (хотя бы одного), то есть
С= А13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415В+АВ.
С другой стороны, событие 13 EMBED Equation.3 1415, противоположное С, есть промах при двух выстрелах, то есть 13 EMBED Equation.3 1415, отсюда искомое событие С можно записать в виде С=13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.


Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятностей

Классическое определение вероятности: вероятность Р(А) события А равна отношению числа возможных результатов опыта (М), благоприятствующих событию А, к числу всех возможных результатов опыта (N):
13 EMBED Equation.3 1415.

Задача 2. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры. Какова вероятность того, что он с первого раза наберёт эти цифры правильно, если он помнит, что они различны?
Решение. Обозначим А – событие, состоящее в том, что абонент, набрав произвольно две цифры, угадал их правильно. М – число правильных вариантов, очевидно, что М=1; N – число различных цифр, 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, Р(А)=M/N=1/90.

Задача 3. Шесть шариков случайным образом располагаются в шести ящиках так, что для каждого шарика равновероятно попадание в любой ящик и в одном ящике может находиться несколько шариков. Какова вероятность того, что в каждом ящике окажется по одному шарику?
Решение. Событие А – в каждом ящике по одному шарику. М – число вариантов распределения шариков, при которых в каждый ящик попадает по одному шарику, М=6! (число способов переставить между собой 6 элементов). N – общее число вариантов N=66 (так как каждый шарик может попасть в каждый из ящиков). В результате получаем 13 EMBED Equation.3 1415.

Задача 4. В урне 3 белых и 4 чёрных шара. Из урны вынимаются два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.
Решение. Обозначим: А – событие, состоящее в появлении белых шаров; N – число способов вытащить 2 шара из 7; 13 EMBED Equation.3 1415; M – число способов вытащить 2 белых шара из имеющихся 3 белых шаров; 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415

Сложение и умножение вероятностей

Вероятность противоположного события 13 EMBED Equation.3 1415 определяется по формуле: р(13 EMBED Equation.3 1415)=1- р(А).
Для несовместных событий вероятность суммы двух событий вычисляется по формуле:
р(А+В)=р(А)+р(В).

Задача 1. Завод производит 85% продукции первого сорта и 10% - второго. Остальные изделия считаются браком. Какова вероятность, что взяв наудачу изделие, мы получим брак?
Решение.
Р=1-(0,85+0,1)=0,05.
Вероятность суммы двух любых случайных событий равна р(А+В)=р(А)+р(В)-р(АВ).

Задача 2. Из 20 студентов 5 человек сдали на двойку экзамен по истории, 4 – по английскому языку, причём 3 студента получили двойки по обоим предметам. Каков процент студентов в группе, не имеющих двоек по этим предметам?
Решение.
Р = 1 - (5/20 + 4/20 - 3/20) = 0,7 (70%)


Условной вероятностью события В при условии, что событие А произошло, называется
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 3. В урне лежит N шаров, из них n белых. Из неё достают шар и, не кладя его обратно, достают ещё один. Чему равна вероятность того, что оба шара белые?
Решение.
Обозначим А – событие, состоящее в том, что первым вынули белый шар, через В событие, состоящее в том, что первым вынули чёрный шар, а через С событие, состоящее в том, что вторым вынули белый шар; тогда
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
Задача 4. Из 30 экзаменационных билетов студент подготовил только 25. Если он отказывается отвечать по первому взятому билету (которого он не знает), то ему разрешается взять второй. Определить вероятность того, что второй билет окажется счастливым.
Решение.
Пусть событие А заключается в том, что первый вытащенный билет оказался для студента «плохим», а В – второй – «хорошим». Поскольку после наступления события А один из «плохих» уже извлечён, то остаётся всего 29 билетов, из которых 25 студент знает. Отсюда искомая вероятность равна Р(В/А)=25/29.

Вероятность произведения:
p(AB)=p(A)*p(B|A)=p(B)*p(A|B).

Задача 1. По условиям предыдущего примера найти вероятность успешной сдачи экзамена, если для этого студент должен ответить на первый билет, или, не ответив на первый, обязательно ответить на второй.
Решение. Пусть события А и В заключаются в том, что соответственно первый и второй билеты «хорошие». Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 - появление «плохого» билета в первый раз. Экзамен будет сдан, если произойдёт событие А, или одновременно 13 EMBED Equation.3 1415 и В. То есть искомое событие С – успешная сдача экзамена выражается следующим образом: С=А+13 EMBED Equation.3 1415В. Отсюда
р(С)=р(А+13 EMBED Equation.3 1415В)=р(А)+р(13 EMBED Equation.3 1415В)=р(А)+р(13 EMBED Equation.3 1415)р(В/13 EMBED Equation.3 1415)=25/30+5/30*25/29=0,977
или
р(С)=1 - р(13 EMBED Equation.3 1415)=1 - р(13 EMBED Equation.3 1415*13 EMBED Equation.3 1415)=1 - р(13 EMBED Equation.3 1415)* р(13 EMBED Equation.3 1415/13 EMBED Equation.3 1415)=1 -5/30*4/29=0,977

Случайные события А и В назовём независимыми, если
р(АВ)=р(А)*р(В).
Задача 2. Рассмотрим предыдущий пример с урной, содержащей N шаров, из которых n белых, но изменим опыт: вынув шар, мы кладём его обратно и только затем вынимаем следующий. А – событие, состоящее в том, что первым вынули белый шар, В – событие, состоящее в том, что первым вынули чёрный шар, а С – событие, состоящее в том, что вторым вынули белый шар; тогда
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
т.е. в этом случае события А и С независимы.

Формула полной вероятности событий

Пусть события 13 EMBED Equation.3 1415 удовлетворяют условиям
13 EMBED Equation.3 1415(, если 13 EMBED Equation.3 1415, и 13 EMBED Equation.3 1415.
Такую совокупность называют полной группой событий.
Пусть интересующее нас событие А может наступить после реализации одного из Hi и известны вероятности p(Hi), p(A|Hi). В этом случае справедлива формула полной вероятности
13 EMBED Equation.3 1415.

Задача 1. Литьё в болванках поступает из 2-х цехов: 70% из первого и 30% из второго. При этом продукция первого цеха имеет 10% брака, а второго 20%. Найти вероятность того, что одна взятая наугад болванка имеет дефект.
Решение.
p(H1)=0,7; p(H2)=0,3; p(A|H1)=0,1; p(A|H2)=0,2; Р=0,7*0,1+0,3*0,2=0,13 (13% болванок в цехе дефектны).

Задача 2. В урне лежит N шаров, из которых n белых. Достаём из неё (без возвращения) два шара. Какова вероятность, что второй шар белый?
Решение.
H1 – первый шар белый; р (H1)=n/N;
H2 – первый шар чёрный; p(H2)=(N-n)/N;
A – второй шар чёрный; p(A|H1)=(n-1)/(N-1); p(A|H2)=n/(N-1)
Р(A)=p(H1)*p(A|H1)+p(H2)*p(A|H2)=13 EMBED Equation.3 1415

Формула Байеса.
Предположим, что выполняются условия предыдущего пункта и дополнительно известно, что событие А произошло. Найдём вероятность того, что при этом была реализована гипотеза Hk. По определению условной вероятности
13 EMBED Equation.3 1415
Полученное соотношение - это формула Байеса. Она позволяет по известным (до проведения опыта) p(Hi) и условным вероятностям p(A|Hi) определить условную вероятность p(Hi/А), которую называют апостериорной (то есть полученной при условии, что в результате опыта событие А уже произошло).

Задача 1. 30% пациентов, поступивших в больницу, принадлежат первой социальной группе, 20% - второй и 50% - третьей. Вероятность заболевания туберкулёзом для представителя каждой социальной группы соответственно равна 0,02, 0,03 и 0,01. Проведённые анализы для случайно выбранного пациента показали наличие туберкулёза. Найти вероятность того, что это представитель третьей группы.
Решение. Пусть H1, H2, H3 – гипотезы, заключающиеся в том, что пациент принадлежит соответственно первой, второй и третьей группам. Очевидно, что они образуют полную группу событий, причём p(H1)=0,3; p(H2)=0,2; p(H3)=0,5. По условию событие А, обнаружение туберкулёза у больного, произошло, причём условные вероятности по данным условия равны p(А/H1)=0,02; p(А/H2)=0,03; и p(А/H3)=0,01. Апостериорную вероятность p(H3/А) вычисляем по формуле Байеса:
13 EMBED Equation.3 1415
Задачи для внеаудиторной и аудиторной самостоятельной работы: 2.1-3.25..

Раздел №3 Случайные величины.

План и вопросы для изучения. Виды случайных величин. Дискретная случайная величина. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение .Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Центральная предельная теорема. Теорема Бернулли. Функция распределения вероятностей и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
Нормальное распределение вероятностей. Кривые Гаусса. Числовые характеристики нормального распределения. Правило трех сигм. Распределения «хи квадрат» и Стьюдента.Типичные законы распределения вероятностей. Показательное распределение. Равномерное распределение. Их числовые характеристики. Система двух непрерывных случайных величин, ее числовые характеристики. Свойства функции распределения. Вероятность попадания случайной точки в произвольную область. Коэффициент корреляции. Линейная регрессия.

Типовые задачи

Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин

Случайная величина – величина, численное значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента.
Дискретной назовём случайную величину, возможные значения которой образуют конечное множество.
Законом распределения дискретной случайной величины называется правило, по которому каждому возможному значению xi ставится в соответствие вероятность pi, с которой случайная величина может принять это значение, причём 13 EMBED Equation.3 1415.

Задача1. Абитуриент сдаёт два вступительных экзамена: по математике и физике. Составить закон распределения случайной величины х, числа полученных пятёрок, если вероятность получения пятёрки по математике равна 0,8, а по физике – 0,6.
Решение. Обозначим А1 и А2 – события, заключающиеся в том, что и математика, и физика сданы на 5. Очевидно, возможные значения х есть 0, 1, 2, причём
13 EMBED Equation.3 1415
Полученные результаты сведём в таблицу:

xi
0
1
2

pi
0.08
0.44
0.48


13 EMBED Equation.3 1415.

Нахождение числовых характеристик дискретных случайных величин
К важнейшим числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание и дисперсия.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины х называется произведение всех её возможных значений на их вероятности:
13 EMBED Equation.3 1415
Свойства математического ожидания:
- математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:
М(С)=С
- постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
М(Сх)=С*М(х)
- математическое ожидание суммы случайных величины равно сумме математических ожиданий слагаемых:
13 EMBED Equation.3 1415
- математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:
М(х1*х2**хn)=М(х1)*М(х2)*М(хn)

Дисперсией случайной величины х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:
D(x)=M((x-M(x))2) или D(x)=M(x2) – (M(x))2
Среднеквадратическое отклонение: 13 EMBED Equation.3 1415
Свойства дисперсии:
- дисперсия постоянной равно нулю:
D(С)=0
- постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:
D(Сх)=С2*D(х)
- дисперсия суммы (разности) случайных величины равно сумме дисперсий слагаемых:
13 EMBED Equation.3 1415
Свойства среднеквадратического отклонения:
- 13 EMBED Equation.3 1415
- 13 EMBED Equation.3 1415
Задача 1. Закон распределения случайной величины задан таблично. Найти р(х<2), р(х>4), р(2
·х
·4), математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

xi
1
2
3
4
5

pi
0,1
0,2
0,4
0,2
0,1


Решение. р(х<2)=0,1;
р(х>4)=0,1;
р(2
·х
·4)=0,2+0,4+0,2=0,8;
М(х)=1*0,1+2*0,2+3*0,4+4*0,2+5*0,1=3;
D(x)=12*0,1+22*0,2+32*0,4+42*0,2+52*0,1-32=1,2

·(x)=13 EMBED Equation.3 1415=1,095
Задача 2. Фермер считает, что, принимая во внимание различные потери и колебания цен, он сможет выручить не более 60 центов за десяток яиц и потерять не более 20-ти центов за десяток и что вероятности возможных выигрышей и потерь таковы:

цена за 10 яиц
0,6
0,4
0,2
0
-0,2

Р
0,2
0,5
0,2
0,06
0,04


Как оценить ожидаемую прибыль от продажи десятка яиц; от ожидаемых им в этом году 100000 яиц?
Решение.
х – случайная, прибыль от продажи 10 яиц.
М(х)=0,6*0,2+0,4*0,5+0,2*0,2+0*0,06-0,2*0,04=0,352
М(10000х)=10000*0,352=3520 $
D(x)=0.62*0.2+0.42*0.5+0.22*0.2+02*0.06+(-0.2)2*0.04-0.3522=0.037696

·(x)=13 EMBED Equation.3 1415=0.194154578
D(10000x)=100002* D(x)=19415457.76

·(x)=13 EMBED Equation.3 1415=0.441
Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность распределения

Случайная величина – величина, численное значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента.
Непрерывной назовём случайную величину, которая может принять любое значение из некоторого промежутка.
Распределение вероятностей непрерывной случайной величины х можно задавать либо функцией распределения F(x)=p(
·Зная F(x), можно найти плотность вероятности по формуле:
f(x)=F'(x),
а зная f(x), найдём функцию распределения:
13 EMBED Equation.3 1415
Для непрерывной случайной величины х вероятность попадания её в промежуток с концами a и b равна:
13 EMBED Equation.3 1415.
Причём 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача 1. Задана следующая функция распределения:
13 EMBED Equation.3 1415
Найти плотность распределения.
Решение.
Зная F(x), можно найти плотность вероятности по формуле:
f(x)=F'(x)=13 EMBED Equation.3 1415

Равномерное распределение. Случайная величина х называется равномерно распределённой на [a, b], если её плотность распределения f(x) на [a, b] постоянна, а вне [a, b] равна 0:
13 EMBED Equation.3 1415,

Задача 1. Время ожидания автобуса (х) измеряется в минутах и распределено равномерно на отрезке [0, 30]. Определить вероятность того, что ждать придётся не более 10 минут.

Решение.
13 EMBED Equation.3 1415

Задача 2. Задана плотность распределения: 13 EMBED Equation.3 1415
Найти h.
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415
h-2=1 ( h=3
Нормальное распределение. Случайная величина х называется нормально распределённой, если её плотность распределения f(x) имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415 ,
где а и
· – параметры нормального распределения,
· >0.
В этом случае говорят, что х распределено нормально согласно закону N(a,
·).
Если а=0 и
·=1, то 13 EMBED Equation.3 1415 и эта функция обозначается через
·(х) и называется плотностью нормированного и центрированного нормального распределения. Функция распределения в этом случае обозначается через 13 EMBED Equation.3 1415.
Значения Ф(х) затабулированы, 13 EMBED Equation.3 1415.

Задача 1. Рост мужчины в Москве имеет нормальное распределение. Средний рост мужчины в Москве а=175 см,
·=10 см. Какова вероятность, что рост первого встречного мужчины будет в пределах 160-190 см?
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415

Правило трёх сигм. Случайная величина х распределена нормально N(a,
·).
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 1. Рост мужчины в Москве имеет нормальное распределение. Средний рост мужчины в Москве а=175 см,
·=10 см. Какова вероятность, что рост первого встречного мужчины будет в пределах 145-205 см?
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415

Правило двух сигм. Случайная величина х распределена нормально N(a,
·).
13 EMBED Equation.3 1415
Правило одной сигмы. Случайная величина х распределена нормально N(a,
·).
13 EMBED Equation.3 1415

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415.
Дисперсия непрерывной случайной величины определяется по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415.
Свойства математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин справедливы и для непрерывных случайных величин.

Равномерное распределение. 13 EMBED Equation.3 1415
Задача 1. Время ожидания автобуса (х) измеряется в минутах и распределено равномерно на отрезке [0, 30]. Определить среднее время ожидания автобуса и дисперсию.

Решение.
13 EMBED Equation.3 1415.
Задачи для внеаудиторной и аудиторной самостоятельной работы: 6.1.-6.20..

Раздел № 4 Элементы теории оценок.

План и вопросы для изучения.. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Методы расчета сводных характеристик выборки. Эмпирические моменты. Метод произведений для вычисления выборочных средней и дисперсии. Построение нормальной кривой по опытным данным.
Точечные и интервальные оценки. Доверительный интервал
Если в процессе эксперимента для статистики получено некоторое значение, то значит оно принадлежит области I(, вероятность которой близка к 1. Эту вероятность называют доверительной вероятностью. Её обозначают (. По ней строят интервал, накрывающий значение оцениваемого параметра с вероятностью (. Его и называют доверительным интервалом с уровнем доверия (. Область I( и доверительный интервал по ней строятся в соответствии с распределением вероятностей используемой статистики.
Величина уровня доверия влияет на величину интервала: чем больше уровень доверия, тем шире интервал. Уровень доверия выбирается из соображений допустимого риска.
Формула для доверительного интервала для математического ожидания ( нормального распределения с уровнем доверия ( для случая, когда известно среднеквадратическое отклонение распределения (:
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Формула для доверительного интервала для математического ожидания ( нормального распределения с уровнем доверия ( для случая, когда среднеквадратическое отклонение распределения ( неизвестно:
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Задача 1. Для проверки фасовочной установки были отобраны и взвешены 20 упаковок. Получены следующие результаты (в граммах):
246
247
247,3
247,4
251,7
252,5
252,6
252,8
252,8
252,9

253
253,6
254,6
254,7
254,8
256,1
256,3
256,8
257,4
259,2

Найти доверительный интервал для математического ожидания с надёжностью 0,95, предполагая, что измеряемая величина распределена нормально.
Решение.
Находим точечные оценки a и (:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Определяем по таблице распределения Стьюдента для доверительной вероятности (=0,95 и числу степеней свободы (n-1)=19 соответствующее значение t(=2,093 и по формуле находим искомый интервал:

13 EMBED Equation.3 1415
или 251,27( а( 254,69.

Задача 2. Разыграть 8 значений дискретной случайной величины, заданной законом распределения:

Х 3 11 24
р 0,25 0,16 0,59

Решение.
1). Разобьем интервал (0,1) оси Or точками с координатами: 0,25; 0,25+0,16 = 0,41; на 3 частичных интервала: d1 – (0; 0,25), d2 – (0,25; 0,41), d3 – (0,41; 1).
2). Выпишем из таблицы 8 случайных чисел, например: 0,10; 0,37; 0,08; 0,99; 0,12; 0,66; 0,31; 0,85.
Случайное число r1 = 0,10 принадлежит частичному интервалу d1, поэтому разыгрываемая дискретная случайная величина приняла значение х1 = 3. Аналогично получим остальные возможные значения.

Задачи для внеаудиторной и аудиторной самостоятельной работы: 8.1.-8.20..

Задачи для самостоятельного решения

Случайные события
Задание 1. Комбинаторика. Классическое определение вероятности
1.1. Для включения в избирательный бюллетень нужно выбрать 8 из 10 кандидатов. Какова вероятность того, что в бюллетень попадет интересующий нас кандидат, если все кандидаты имеют одинаковые шансы?
1.2. Номер случайно встреченного автомобиля состоит из 4 цифр. Какова вероятность того, что в нем: а) все цифры различны; б) все цифры четные?
1.3. На предприятии из 14 автомобилей 4 неисправных. Какова вероятность того, что среди пяти случайным образом выбранных для осмотра автомобилей окажется два неисправных?
1.4. Из 10 билетов выигрышными являются 3. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов два выигрышных?
1.5. В проектном бюро работают 5 старших и 9 младших научных сотрудников. Для участия в научной конференции случайным образом отбирают 4 человек. Какова вероятность того, что среди них окажется 2 старших научных сотрудника?
1.6. Десять спортсменов разыгрывают одну золотую, одну серебряную и одну бронзовую медали. Какова вероятность того, что золотую медаль получит конкретный спортсмен?
1.7. Среди 20 студентов группы, в которой 7 девушек, разыгрывается 5 билетов в театр. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся три девушки.
1.8. Для 15 сотрудников фирмы организована лотерея. Разыгрываются три различных подарка. Какова вероятность того, что подарки достанутся менеджеру Иванову, начальнику отдела Петрову и секретарю Сидоровой (один человек не может получить 2 подарка)?
1.9. В конверте среди 20 фотографий находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 5 фотографий. Какова вероятность того, что среди них окажется одна нужная?
1.10. В мастерскую для ремонта поступило 15 телевизоров, 6 штук из них нуждаются в общей регулировке. Для работы в течение дня мастер случайным образом выбирает 5 телевизоров. Какова вероятность того, что 2 из них нуждаются в общей регулировке?
1.11. Девять человек случайным образом рассаживаются на девятиместную скамейку. Какова вероятность того, что 3 определенных человека окажутся сидящими рядом?
1.12. В группе из 24 студентов 4 студента получили за контрольную работу отметку «отлично», 8 – «хорошо», 12 –«удовлетворительно». К доске вызваны 3 студента. Какова вероятность того, что все они имеют разные отметки за контрольную работу?
1.13. Группа из 10 мужчин и 10 женщин делится случайным образом на две равные части. Найти вероятность того, что в каждой части окажется по 5 мужчин.
1.14. Школьники сдают 5 экзаменов, в том числе экзамены по алгебре и геометрии. Какова вероятность того, что в расписании 2 экзамена по математике не будут следовать один за другим?
1.15. В ящике находятся 15 красных, 9 голубых и 6 зеленых шаров. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность того, что среди них 1 зеленый, 2 голубых и 3 красных шара?
1.16. На полке стоят 15 книг, из них 5 в твердом переплете. Наудачу берут три книги. Какова вероятность того, что две их них в твердом переплете?
1.17. На 7 карточках написаны цифры 2, 3, 3, 5, 5, 5, 9. Карточки наудачу разложены в ряд. Какова вероятность того, что получившееся семизначное число является четным?
1.18. В течение месяца суд вынес 30 приговоров, в том числе 6 – за кражу. Для прокурорского надзора случайным образом выбраны 3 дела. Какова вероятность того, что в их числе окажутся два дела по обвинению в краже?
1.19. Собрание, на котором присутствуют 25 человек, в том числе 5 женщин, по жребию выбирает делегацию из 3 человек. Найти вероятность того, что в делегацию войдут одна женщина и двое мужчин.
1.20. Два приятеля, независимо друг от друга, садятся в электричку, состоящую из 8 вагонов. Какова вероятность того, что они окажутся: а) в одном вагоне; б) в разных вагонах?
1.21. В урне 5 белых и 7 черных шаров. Из урны наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что шары будут разного цвета.
1.22. Из цифр 3, 4, 5, 6, 7, 8 составляются всевозможные четырехзначные числа. Какова вероятность того, что случайным образом выбранное из этой совокупности число делится на 5, если: а) цифры в числе не повторяются; б) цифры могут повторяться?
1.23. Из 30 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент подготовил 20. Какова вероятность того, что он ответит на 2 вопроса из 5, включенных в вытянутый им экзаменационный билет?
1.24. Случайным образом в телефонном справочнике выбирается номер телефона. Найти вероятность того, что 5 последних цифр номера: а) различны; б) одинаковы.
1.25. Из колоды в 36 карт вынимают 4 карты. Какова вероятность того, что среди них окажется 1 король и 3 дамы?
Задание 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей
2.1. В урне 6 белых и 9 черных шаров. Последовательно без возвращения из урны вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров: а) все шары черные; б) все шары белые; в) первый и второй шары белые, а третий шар черный; г) ровно два черных шара.
2.2. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии: а) сработает только один сигнализатор; б)  сработают оба сигнализатора; в) не сработает ни один сигнализатор; г) сработает хотя бы один сигнализатор.
2.3. Четыре орудия делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания равны, соответственно, 0,85; 0,8; 0,7; 0,5. Найти вероятность того, что: а) все орудия поразят мишень; б) ни одно орудие не поразит мишень; в) ровно одно орудие поразит мишень; г) ровно два орудия поразят мишень.
2.4. Студент пришел на экзамен, подготовив 15 вопросов из требуемых 18. Экзаменатор задает студенту три вопроса. Найти вероятность того, что студент: а) ответит на все заданные вопросы; б) не ответит ни на один заданный вопрос; в) ответит хотя бы на один вопрос; г) ответит только на два вопроса.
2.5. Фирма имеет три независимо работающих подразделения. Вероятности того, что по итогам года получит прибыль первое, второе и третье подразделения, равны, соответственно, 0,7; 0,8 и 0,85. Найти вероятность того, что по итогам года: а) все подразделения получат прибыль; б) ни одно подразделение не получит прибыль; в) хотя бы одно подразделение получит прибыль; г) ровно два подразделения получат прибыль.
2.6. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу отобранное изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятности того, что из трех проверенных изделий: а) все изделия высшего сорта; б) только два изделия высшего сорта; в) ни одного изделия высшего сорта; г) хотя бы одно изделие высшего сорта.
2.7. Из колоды в 36 карт одну за другой (не возвращая их обратно) вытаскивают 3 карты. Найти вероятность того, что среди вынутых карт: а) три туза; б) нет ни одного туза; в) есть хотя бы один туз; г) карты вынуты в следующем порядке – дама, король, туз.
2.8. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка равна 0,65, а для второго и третьего – 0,5, а для четвертого – 0,4. Стрелки делают по одному выстрелу. Найти вероятность того, что: а) никто из стрелков не попадет в цель; б) хотя бы один стрелок попадет в цель; в) ровно три стрелка попадут в цель; г) ровно два стрелка попадут в цель.
2.9. Высажены яблони трех сортов. Вероятность того, что яблоня первого сорта приживется, равна 0,75. Для яблонь второго и третьего сортов эти вероятности равны, соответственно, 0,6 и 0,5. Найти вероятность того, что: а) все высаженные яблони приживутся; б) все яблони погибнут; в) приживется ровно одна яблоня; г) приживется хотя бы одна яблоня.
2.10. В первом ящике 11 красных и 4 синих шара, во втором – 7 красных и 8 синих шаров. Из каждого ящика наудачу извлекли по одному шару. Найти вероятность того, что: а) шары одного цвета; б) шары разных цветов; в) оба шара синие; г) хотя бы один шар красный.
2.11. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 13 EMBED Equation.3 1415. Какова вероятность того, что, купив 4 билета, гражданин: а) выиграет по двум билетам; б) выиграет ровно по одному билету; в) не выиграет ни по одному билету; г) выиграет хотя бы по одному билету?
2.12. Из колоды в 36 карт одну за другой (не возвращая их обратно) вытаскивают 3 карты. Найти вероятность того, что среди вынутых карт: а) три короля; б) ровно один король; в) нет ни одного короля; г) хотя бы один король.
2.13. Вероятность удачного завершения переговоров для первого менеджера равна 0,8, для второго – 0,9, для третьего – 0,7. Менеджеры одновременно начали переговоры. Найти вероятность того, что: а) все они закончат переговоры удачно; б) только два менеджера закончат переговоры удачно; в) все они завершат переговоры неудачно; г) хотя бы один из них завершит переговоры удачно.
2.14. Рабочий обслуживает 4 однотипных станка. Вероятность того, что любой станок в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,6. Предполагая, что неполадки на станках независимы, найти вероятность того, что в течение часа потребуют внимания рабочего: а) все четыре станка; б) ровно один станок; в) ни один станок; г) хотя бы один станок.
2.15. Студент знает 15 вопросов из 25. Вытянутый им экзаменационный билет состоит из 3 вопросов. Найти вероятность того, что студент: а) ответит на все вопросы билета; б) не ответит ни на один вопрос билета; в) ответит на первый вопрос, а на второй и третий не ответит; г) ответит хотя бы на один вопрос билета.
2.16. Экзаменационный билет содержит четыре вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый вопрос, равна 0,9, на второй – 0,8, на третий – 0,6, на четвертый – 0,3. Найти вероятность того, что студент: а) ответит ровно на два вопроса; б) ответит на все вопросы; в) не ответит ни на один вопрос; г) ответит хотя бы на один вопрос.
2.17. Работы на 4 строительных объектах ведут разные фирмы-подрядчики. Вероятность выполнения работы в установленный срок для первой фирмы равна 0,8, для второй и третьей фирм – 0,7, для четвертой – 0,9. Найти вероятность того, что работы: а) будут завершены в срок на всех объектах; б) будут завершены в срок только на двух объектах; в) не будут завершены вовремя ни на одном объекте; г) будут завершены в срок хотя бы на одном объекте.
2.18. В отделе работают 10 человек, 4 из них являются специалистами первой категории. По табельным номерам наудачу отобраны три человека. Найти вероятность того, что среди выбранных сотрудников: а) все имеют первую категорию; б) никто не имеет первой категории; в) хотя бы один имеет первую категорию; г) только один имеет первую категорию.
2.19. В соревнованиях участвуют 3 представителя спортивной школы. Вероятность того, что первый спортсмен выполнит норматив мастера спорта, равна 0,4. Для второго и третьего спортсменов эта вероятность равна, соответственно, 0,8 и 0,7. Найти вероятность того, что норматив выполнят: а) все спортсмены; б) только два спортсмена; в) только один спортсмен; г) не выполнит ни один спортсмен.
2.20. В книжном магазине имеются отделы учебной, художественной и детской литературы. Вероятность посещения покупателем отдела учебной литературы равна 0,9. Для отделов художественной и детской литературы эта вероятность равна, соответственно, 0,75 и 0,8. В магазин зашел человек. Найти вероятность того, что он посетит: а) все три отдела; б) ровно два отдела; в) ровно один отдел; г) не посетит ни одного отдела.
2.21. В департаменте работают 8 юристов и 4 экономиста. Случайным образом для участия в торжественном мероприятии выбирают 3 человек. Найти вероятность того, что среди них окажутся: а) только экономисты; б) только юристы; в) ровно два юриста; г) хотя бы один экономист.
2.22. В помещении 4 кондиционера. Для каждого кондиционера вероятность того, что он включен в данный момент, равна 0,4. Найти вероятности следующих событий: а) не включен ни один кондиционер; б) включены все четыре кондиционера; в) включены ровно три кондиционера; г) включены ровно два кондиционера.
2.23. Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы (за некоторый промежуток времени) первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятности того, что за этот промежуток времени безотказно будут работать: а) только один элемент; б) только два элемента; в) все три элемента; г) не будет работать ни один элемент.
2.24. Брошены три игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) на всех трех костях выпадет пять очков; б) пять очков выпадет ровно на одной игральной кости; в) пять очков не выпадет ни на одной игральной кости; г) пять очков выпадет хотя бы на одной кости.
2.25. Вероятность того, что во время эпидемии гриппа заболеет ребенок дошкольного возраста, равна 0,4. Для младшего школьника эта вероятность равна 0,3, для старшего школьника – 0,15. В семье четверо детей: один дошкольного возраста, один младший школьник и два старшеклассника. Найти вероятность того, что во время эпидемии: а) все дети в семье заболеют; б) никто из детей не заболеет; в) заболеет хотя бы один ребенок; г) заболеют ровно трое детей.
Задание 3. Формула полной вероятности. Формула Бейеса
3.1. Сборщик получает в среднем 40% деталей завода № 1, 25% - завода № 2, 35 % - завода № 3. Вероятность того, что деталь завода № 1 отличного качества равна 0,9, для заводов № 2 и № 3 эти вероятности равны, соответственно, 0,7 и 0,95. а) Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества. б) Деталь оказалась отличного качества. Какова вероятность того, что она поступила с завода №3?
3.2. Летчик катапультируется в местности, 60% которой занимают леса. Вероятность благополучного приземления в лесу равна 0,3, а в безлесной местности – 0,9. а) Какова вероятность благополучного приземления летчика? б) Летчик приземлился благополучно. Какова вероятность того, что он приземлился в лесу?
3.3. Дела в прокуратуру поступают из двух отделов: 70% из первого и 30% из второго. При этом материал первого отдела имеет 10% ошибок, а второго – 20%. а) Найти вероятность того, что одно взятое наугад дело не содержит ошибок. б) Взятое наугад дело не содержит ошибок. Найти вероятность того, что оно поступило из второго отдела.
3.4. На спартакиаду прибыли 20 лыжников, 15 гимнастов и 5 шахматистов. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжников – 0,8; для гимнастов – 0,6; для шахматистов – 0,9. Случайно вызывается один спортсмен. а) Какова вероятность того, что он выполнит норму? б) Случайно вызванный спортсмен выполнил норму. Какова вероятность того, что он лыжник?
3.5. Три автомата изготовляют одинаковые детали. Их производительность относится как 5:3:2, а стандартные детали среди их продукции составляют в среднем, соответственно, 95%, 90% и 85%. а) Найти вероятность того, что наудачу взятая из не рассортированной продукции деталь окажется нестандартной. б) Наудачу взятая деталь оказалась нестандартной. Найти вероятность того, что она произведена вторым автоматом.
3.6. В центральном округе зарегистрировано 150 торговых предприятий, в западном – 250, в восточном - 100. Среди предприятий центрального, западного и восточного округов добросовестно платят налоги, соответственно, 60%, 75% и 80% предприятий. а) Найти вероятность того, что случайно выбранное для проверки предприятие добросовестно платит налоги. б) Выбранное предприятие оказалось добросовестным налогоплательщиком. Какова вероятность того, что оно зарегистрировано в центральном округе?
3.7. В 35% случаев, когда фирма выпускает в продажу новый товар, конкурент выпускает в продажу аналогичный продукт. Вероятность того, что товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,75, а при наличии конкурирующего продукта – 0,4. а) Найти вероятность того, что выпущенной фирмой товар будет уметь успех. б) Товар имел успех на рынке. Какова вероятность того, что конкурент выпустил в продажу аналогичный продукт?
3.8. Трое рабочих обрабатывают однотипные детали. Первый обработал за смену 30 деталей, второй – 25, третий – 15. Вероятность брака для первого рабочего – 0,04, для второго – 0,02, для третьего – 0,03. Из общей выработки за смену наудачу взята и проверена одна деталь. а) Найти вероятность того, что она окажется бракованной. б) Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она обработана вторым рабочим.
3.9. Для данного аэропорта в 80% случаев метеоусловия считаются хорошими. При хороших метеоусловиях вероятность благополучной посадки самолета равна 0,9999, при плохих – 0,9991. Экипажу самолета, идущего на посадку, по техническим причинам не известны метеоусловия в районе аэропорта. а) Найти вероятность благополучного приземления самолета. б) Самолет приземлился благополучно. Найти вероятность того, что погодные условия были плохими.
3.10. Путешественник может купить билет в одной из трех касс железнодорожного вокзала. Вероятность того, что он направится к первой кассе, равна 13 EMBED Equation.3 1415, ко второй – 13 EMBED Equation.3 1415, к третьей – 13 EMBED Equation.3 1415. Вероятности того, что билетов в кассах уже нет, такие: в первой кассе – 13 EMBED Equation.3 1415, во второй – 13 EMBED Equation.3 1415, в третьей – 13 EMBED Equation.3 1415. Случайным образом путешественник выбирает кассу. а) Найти вероятность того, что он купит билет. б) Путешественник обратился в одну из касс и купил билет. Какова вероятность того, что он отправился к третьей кассе?
3.11. Автомобили поставляются в автосалон тремя поставщиками: 25% - первым поставщиком, 50% - вторым, 25% - третьим. Вероятности того, что автомобиль в течение года потребует ремонта, равны для этих поставщиков, соответственно, 0,1; 0,2; 0,4. а) Определить вероятность того, что купленный в автосалоне автомобиль не потребует ремонта в течение года. б) Купленный автомобиль не потребовал ремонта. Какова вероятность того, что он был поставлен первым поставщиком?
3.12. В ящике имеются детали трех типов: 40 деталей первого типа; 50 – второго и 60 – третьего, причем окрашенные среди них составляют, соответственно, 20%, 40% и 60%. а) Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из ящика деталь окажется окрашенной. б) Наудачу извлеченная деталь оказалась окрашенной. Найти вероятность того, что это деталь второго типа.
3.13. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 – с вероятностью 0,7; 4 – с вероятностью 0,6 и 2 – с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел. а) Найти вероятность того, что он не попадет в мишень. б) Стрелок не попал в мишень. Какова вероятность того, что он принадлежит к первой группе?
3.14. Имеются три одинаковые по виду ящика. В первом ящике – 20 белых и 30 черных шаров, во втором – 20 белых и 20 черных шаров, в третьем – 15 черных и 25 белых шаров. Из выбранного наудачу ящика вынули шар. а) Найти вероятность того, что шар окажется черным. б) Вынутый наудачу шар оказался черным. Найти вероятность того, что шар вынут из второго ящика.
3.15. Турист, заблудившись в лесу, вышел на поляну, от которой в разные стороны ведут пять дорог. Если турист пойдет по первой дороге, то вероятность его выхода из леса в течение часа составляет 0,6; если по второй – 0,3; если по третьей – 0,2; если по четвёртой – 0,1; если по пятой – 0,1. Турист наудачу выбрал дорогу. а) Найти вероятность того, что турист в течение часа выйдет из леса. б) Какова вероятность того, что турист пошел по первой дороге, если он через час вышел из леса?
3.16. В данный район изделия поставляются двумя фирмами в соотношении 5:8. Среди продукции первой фирмы изделия хорошего качества составляют 90%, второй – 85%. а) Найти вероятность того, что взятое наугад изделие имеет хорошее качество. б) Взятое наугад изделие оказалось хорошего качества. Найти вероятность того, что оно поставлено первой фирмой.
3.17. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,075, а на втором – 0,09. Производительность второго автомата втрое больше, чем первого. а) Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь нестандартна. б) Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась нестандартной. Какова вероятность того, что она произведена вторым автоматом?
3.18. На наблюдательной станции установлены 4 радиолокатора различных конструкций. Вероятность обнаружения цели с помощью первого локатора равна 0,8, второго – 0,9, третьего – 0,95, четвертого – 0,75. Наблюдатель наугад включает один из локаторов. а) Найти вероятность того, что цель будет обнаружена. б) Цель была обнаружена. Найти вероятность того, что был включен третий локатор.
3.19. Курс доллара повышается в течение месяца с вероятностью 0,9 и понижается с вероятностью 0,1. При повышении курса доллара фирма рассчитывает получить прибыль с вероятностью 0,85; при понижении – с вероятностью 0,5. а) Найти вероятность того, что в наступающем месяце фирма получит прибыль. б) Фирма по итогам месяца получила прибыль. Какова вероятность того, что курс доллара при этом понижался?
3.20. Среди 350 механизмов 80 имеют высокую степень износа, 110 – среднюю степень, 160 являются новыми. Вероятность сбоя в работе изношенного механизма (в течение дня) равна 0,15, для механизма средней степени износа эта вероятность равна 0,1, для нового механизма – 0,05. а) Найти вероятность того, что наудачу выбранный механизм будет исправно работать в течение дня. б) Механизм отработал без сбоев целый день. Какова вероятность того, что он имеет высокую степень износа?
3.21. В ремесленном цехе трудятся 3 мастера и 6 их учеников. Среди изделий, изготовленных мастером, в среднем встречается 5% бракованных, а среди изделий, изготовленных учеником, брак составляет 15%. Случайным образом выбирается одно изделие, поступившее из цеха. а) Найти вероятность того, что оно окажется бракованным. б) Изделие оказалось бракованным. Какова вероятность того, что его изготовил мастер?
3.22. В магазине имеются телевизоры импортной и отечественной сборки в соотношении 2:9. Вероятность выхода из строя в течение гарантийного срока телевизора импортной сборки равна 0,005; отечественной – 0,01. а) Найти вероятность того, что купленный в магазине телевизор выдержит гарантийный срок. б) Известно, что телевизор выдержал гарантийный срок. Какова вероятность того, что этот телевизор собран в России?
3.23. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит пост ДПС, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе, как 3:2. Вероятность того, что будет остановлена для досмотра грузовая машина, равна 0,2; для легковой машины эта вероятность равна 0,1. а) Найти вероятность того, что проезжающая по шоссе машина будет остановлена для досмотра. б) Для досмотра была остановлена машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.
3.24. В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием K, 30% - с заболеванием L, 20% - с заболеванием M. Вероятность полного излечения болезни K равна 0,7; для болезней L и M эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. а) Найти вероятность того, что больной, поступивший в больницу, выписан здоровым. б) Больной был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием K.
3.25. Среди 30 сотрудников отдела 18 имеют техническое образование, а остальные – экономическое. В среднем 20% документов, подготовленных сотрудниками с экономическим образованием, и 35% документов, подготовленных сотрудниками с техническим образованием, отправляются на доработку. а) Найти вероятность того, что подготовленный в отделе документ будет отправлен на доработку. б) Документ был отправлен на доработку. Найти вероятность того, что он подготовлен сотрудником с экономическим образованием.
Задание 4. Формула Бернулли. Формула Пуассона
4.1. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 13 EMBED Equation.3 1415 и не зависит от порядкового номера выстрела. Найти вероятность того, что при 7 выстрелах произойдет: а) 5 попаданий в мишень; б) хотя бы одно попадание в мишень.
4.2. Монета подброшена 10 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) 4 раза; б) от 4 до 6 раз.
4.3. Среди выпускников военного училища в среднем 2% становятся генералами. Найти вероятность того, что из 100 выпускников одного года генералами станут: а) 3 человека; б) хотя бы один человек.
4.4. Найти вероятность того, что при пяти бросаниях игральной кости одно очко выпадет: а) 3 раза; б) от 2 до 4 раз.
4.5. В среднем в течение года преступники угоняют 1% зарегистрированных в городе автомобилей. Найти вероятность того, что из 300 автомобилей, принадлежащих сотрудникам организации, в течение года будет угнано: а) 2 автомобиля; б) не более 2 автомобилей.
4.6. Вероятность того, что станок в течение часа не потребует внимания рабочего, равна 0,6. Предполагая, что неполадки в станках независимы, найти вероятность того, что в течение часа внимания рабочего потребует: а) 2 из 5 обслуживаемых им станков; б) хотя бы один обслуживаемый им станок.
4.7. На автотранспортном предприятии каждый месяц нуждаются в ремонте в среднем 30% имеющихся автобусов. Найти вероятность того, что из 8 автобусов, обслуживающих данный маршрут, в течение месяца потребуют ремонта: а) 2 автобуса; б) менее 3 автобусов.
4.8. Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет 20%. Найти вероятность того, что из пяти случайно отобранных изделий окажется: а) 2 изделия высшего сорта; б) не более 2 изделий высшего сорта.
4.9. Вероятность выигрыша крупной суммы по лотерейному билету равна 0,0025. Найти вероятность того, что из 800 человек, купивших по одному лотерейному билету, крупные суммы выиграют: а) ровно 2 человека; б) менее 3 человек.
4.10. Производится 6 независимых испытаний. При каждом испытании событие А появляется с одной и той же вероятностью 13 EMBED Equation.3 1415. Найти вероятность того, что в данной серии испытаний событие А произойдет: а) 5 раз; б) не менее 5 раз.
4.11. Проверка качества выпускаемых деталей показала, что в среднем брак составляет 10%. Найти вероятность того, что в партии из 8 деталей окажется: а) 3 бракованных детали; б) 3 или 4 бракованных детали.
4.12. Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 80% случаев. Найти вероятность того, что из пяти больных поправятся: а) 4 человека; б) не менее четырех человек.
4.13. Вероятность того, что изготовленная деталь не пройдет технический контроль из-за допущенного при обработке брака, равна 0,004. Найти вероятность того, что из 500 выпущенных за смену деталей не пройдут контроль: а) 2 детали; б) более 2 деталей.
4.14. Подбрасывается 5 монет. Найти вероятность того, что: а) выпадет 4 герба; б) выпадет более трех гербов.
4.15. На предприятии 90% сотрудников имеют высшее образование. Найти вероятность того, что из 6 случайно отобранных по списку сотрудников высшее образование имеют: а) 5 человек; б) 4 или 5 человек.
4.16. В среднем 2,5% мониторов персональных компьютеров выходят из строя до истечения гарантийного срока. Найти вероятность того, что из 160 купленных мониторов до истечения гарантийного срока сломаются: а) 3 монитора; б) менее 2 мониторов.
4.17. Вероятность того, что покупатель сделает покупку на сумму свыше 10000 рублей, равна 0,4. Найти вероятность того, что из 7 покупателей такую покупку сделают: а) 3 человека; б) хотя бы один человек.
4.18. Среди студентов математического факультета 70% получают стипендию. Найти вероятность того, что среди 6 случайно отобранных по списку студентов не получают стипендию: а) 2 человека; б) от 2 до 4 человек.
4.19. Вероятность получения высшего балла за ЕГЭ по математике равна 0,002. Найти вероятность того, что из 1500 старшеклассников города, которым предстоит сдавать экзамен, высший баллов получат: а) 4 ученика; б) хотя бы один ученик.
4.20. Найти вероятность того, что при семи бросаниях игральной менее 3 очков выпадет: а) 4 раза; б) хотя бы один раз.
4.21. Нарушения техники пожарной безопасности фиксируются, в среднем, в 40% организаций. Случайным образом для проверки выбирается 8 организаций. Найти вероятность того, что нарушения будут зафиксированы: а) в 3 организациях; б) в 2 или 3 организациях.
4.22. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7 и не зависит от порядкового номера выстрела. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах произойдет: а) 3 попадания в мишень; б) больше двух попаданий в мишень.
4.23. Вероятность того, что секретарь допустит орфографическую ошибку в слове, равна 0,004. Найти вероятность того, что в тексте из 750 слов будет допущено: а) 4 ошибки; б) от 3 до 5 ошибок.
4.24. По статистике каждый третий год в данной местности бывает неурожайным. Найти вероятность того, что из следующих 7 лет будет: а) 5 урожайных лет; б) не менее 5 урожайных лет.
4.25. Вероятность неправильного заполнения налоговой декларации консультантом по налогообложению равна 0,005. Найти вероятность того, что из 800 заполняемых им в течение квартала деклараций неправильно будут заполнены: а) 5 деклараций; б) не более одной декларации.
Задание 5. Локальная и интегральная формулы Лапласа
5.1. При эпидемии гриппа 40% населения заражены вирусом (болеют). В лаборатории 40 сотрудников. Какова вероятность того, что заболевших среди них будет: а) 10 человек; б) 20 человек; в) от 10 до 17 человек?
5.2. На факультете 20% студентов – из сельской местности. Какова вероятность того, что на курсе из 84 человек городских жителей будет: а) 55 человек; б) 70 человек; в) от 50 до 70 человек?
5.3. В партии из 768 арбузов каждый арбуз оказывается спелым с вероятностью 0,75. Найти вероятность того, что спелых арбузов будет: а) 564 штуки; б) 590 штук; в) от 564 до 600 штук.
5.4. Кандидата на пост главы муниципального образования поддерживают 80% опрошенных граждан. В выборах принимают участие 450 человек. Какова вероятность того, что за него проголосуют: а) 345 человек; б) 385 человек; в) от 350 до 385 человек?
5.5. При социологическом опросе 1 человек из 10 дает неискренние ответы. Опрошено 400 человек. Какова вероятность того, что неискренних ответов будет: а) 36; б) 50; в) от 30 до 50?
5.6. Вероятность приема каждого из 100 передаваемых сигналов равна 0,7. Найти вероятность того, что будет принято: а) 50 сигналов; б) 75 сигналов; в) от 61 до 75 сигналов.
5.7. Отдел технического контроля проверяет детали на стандартность. Вероятность того, что деталь стандартная, равна 0,9. Проверено 900 деталей. Найти вероятность того, что среди них стандартными будут: а) 700 деталей; б) 830 деталей; в) от 700 до 800 деталей.
5.8. Вероятность того, что дилер продаст ценную бумагу, равна 0,7. Он предлагает для продажи 100 ценных бумаг. Какова вероятность того, что дилер сможет продать: а) 60 ценных бумаг; б) 75 ценных бумаг; в) не меньше 65 ценных бумаг?
5.9. Игральную кость подбрасывают 400 раз. Какова вероятность того, что число очков, кратное 3, выпадет: а) 70 раз; б) 150 раз; в) от 120 до 150 раз?
5.10. Известно, что из 100 семей 70 имеют компьютер. Найти вероятность того, что из 500 семей имеют компьютер: а) 330 семей; б) 400 семей; в) от 330 до 360 семей.
5.11. Отличником является каждый пятый студент университета. Найти вероятность того, что на курсе из 65 человек: а) 12 отличников; б) 19 отличников; в) от 12 до 22 отличников.
5.12. В организации 300 автомобилей. Вероятность того, что в течение определенного промежутка времени автомобиль потребует ремонта, равна 0,3. Найти вероятность того, что в течение этого промежутка времени ремонта потребуют: а) 65 автомобилей; б) 105 автомобилей; в) от 65 до 120 автомобилей.
5.13. Покупателям торгового центра предлагается принять участие в лотерее. Выигрышным являются 30% билетов. Найти вероятность того, что из 264 участников лотереи выиграют приз: а) 30 человек; б) 84 человека; в) от 70 до 84 человек.
5.14. Поступающие на базу яблоки сортируются на I и II категории. В среднем ко второй категории сортировщики относят 75% яблок. Какова вероятность того, что из 600 поступивших на сортировку яблок ко второй категории будут отнесены: а) 425 яблок; б) 470 яблок; в) от 410 до 470 яблок?
5.15. В организации установлено 160 компьютеров. Вероятность того, что в течение дня компьютер потребует внимания специалиста, равна 0,35. Найти вероятность того, что внимания в течение дня потребуют: а) 45 компьютеров; б) 98 компьютеров; в) от 45 до 75 компьютеров.
5.16. Вероятность того, что работник пройдет проверку на соответствие занимаемой должности, равна 0,9. Какова вероятность того, что из 320 работников проверку пройдут: а) 280 человек; б) 350 человек; в) от 280 до 300 человек?
5.17. В результате испытаний установлено, что 85% стиральных машин работают без поломок в течение гарантийного срока. Найти вероятность того, что из 200 случайно отобранных стиральных машин весь гарантийный срок будут работать: а) 160 машин; б) 185 машин; в) от 160 до 180 машин.
5.18. Найти вероятность того, что при 225 бросаниях игральной кости число очков, большее двух, выпадет: а) 146 раз; б) 160 раз; в) от 146 до 220 раз.
5.19. В 60% случаев по результатам проверки предприятия составляется акт о нарушении трудового законодательства. Найти вероятность того, что по результатам проверки 430 предприятий будет составлено: а) 240 актов; б) 290 актов; в) от 250 до 290 актов.
5.20. Известно, что 60% пассажиров пользуется дополнительными услугами, стоимость которых не включена в стоимость билета. Найти вероятность того, что из 250 пассажиров поезда этими услугами воспользуются: а) 130 человек; б) 175 человек; в) от 140 до 175 человек.
5.21. Вероятность поступления выпускника гимназии в высшее учебное заведение равна 0,8. Какова вероятность того, что из 200 учащихся, закончивших гимназии города, в вузы поступят: а) 145 человек; б) 170 человек; в) от 110 до 170 человек?
5.22. Сотрудниками УВД раскрывается 55% зарегистрированных преступлений. В течение месяца зарегистрировано 350 преступлений. Найти вероятность того, что из них будут раскрыты: а) 182 преступления; б) 220 преступлений; в) от 104 до 220 преступлений.
5.23. Вероятность того, что фирма-покупатель вовремя рассчитается с фирмой-поставщиком, равна 0,5. Какова вероятность того, что из 90 покупателей с поставщиком вовремя рассчитаются: а) 32 покупателя; б) 80 покупателей; в) от 32 до 50 покупателей?
5.24. По статистике 45% обращений граждан в приемную администрации города связано с получением социальных льгот. Найти вероятность того, что из 80 граждан, записавшихся на прием, вопросами получения льгот будут интересоваться: а) 30 человек; б) 40 человек; в) от 25 до 40 человек.
5.25. Вероятность успешной сдачи экзамена по вождению автомобиля с первой попытки равна 0,4. В течение недели экзамен будут сдавать 120 человек. Найти вероятность того, что экзамен сдадут: а) 35 человек; б) 55 человек; в) более 34 человек.
Случайные величины
Задание 6. Дискретная случайная величина
1) Найти закон распределения дискретной случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415.
2) Найти функцию распределения дискретной случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415 и построить ее график.
3) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины13 EMBED Equation.3 1415.
6.1. Команда университета участвует в олимпиадах по математике, информатике и физике. Вероятность того, что команда займет первое место по математике, равна 0,4; по информатике – 0,3; по физике – 0,2. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415– число первых мест, занятых командой.
6.2. В партии из 9 деталей имеется 7 стандартных. Наудачу выбирают 3 детали. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415 - число стандартных деталей в выборке.
6.3. Монета бросается четыре раза. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415– число появлений цифры.
6.4. Центр города соединяется со «спальными» районами тремя автомобильными дорогами. Вероятность того, что в утренние часы возникнет затруднение движения на первой дороге, равна 0,8; на второй – 0,3; на третьей – 0,4. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415– число дорог, на которых возникли затруднения в данное утро.
6.5. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в течение некоторого промежутка времени равна 0,3. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415– число не отказавших элементов за данный промежуток времени.
6.6. Из стоящих на полке шести книг две написаны зарубежными авторами. Наудачу с полки берутся три книги. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415– число книг зарубежных авторов среди взятых с полки.
6.7. Вероятность того, что в данной местности июнь будет дождливым, равна 0,2. Для июля и августа эти вероятности равны, соответственно, 0,3 и 0,7. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415– число дождливых летних месяцев в наступившем году.
6.8. Из 10 контрольных работ, среди которых 8 оценены отметкой «хорошо», наудачу извлекают 3 работы. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415– число хороших работ среди извлеченных.
6.9. Вероятность того, что в магазине при проверке обнаруживаются нарушения правил торговли, равна 0,4. Для проверки случайным образом выбраны 3 магазина. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415– число магазинов среди выбранных, в которых не выявлены нарушения.
6.10. Три стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания равны, соответственно, 0,5; 0,6 и 0,7. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415– число промахов.
6.11. В урне 2 красных и 6 синих шаров. Наудачу вынимаются 4 шара. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415– число синих шаров в выборке.
6.12. Гражданин подал заявления с просьбой о получении кредита в три банка. Вероятности положительного ответа в этих банках равны, соответственно, 0,8; 0,9; 0,6. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415– число отказов в выдаче кредита, полученных гражданином.
6.13. Экзамен сдают 3 студента. Вероятность того, что студент сдаст экзамен, равна 0,8. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415 - число студентов, сдавших экзамен.
6.14. Из 9 лотерейных билетов выигрышными являются 2. Гражданин купил 3 билета. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415 - число выигрышных билетов среди купленных.
6.15. Каждый из трех сотрудников отдела получил задание подготовить документ. Вероятности того, что они успеют выполнить эту работу в течение дня, равны, соответственно, 0,7; 0,5; 0,9. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415– число подготовленных к концу рабочего дня документов.
6.16. Вероятность того, что человек имеет полис добровольного медицинского страхования, равна 13 EMBED Equation.3 1415. В медицинское учреждение обратились 3 человека. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415– число людей, не имеющих полиса ДМС, среди обратившихся.
6.17. В фирме работают 4 женщины и 5 мужчин. Среди них разыгрываются 3 различных приза. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415– число женщин, которым достанется приз.
6.18. Риэлтор предлагает для продажи 3 квартиры в разных районах города. Вероятности того, что он продаст их в течение месяца, равны, соответственно, 0,2; 0,8; 0,6. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415– число непроданных в течение месяца квартир.
6.19. Вероятность подписания контракта по результатам проведенных руководителем фирмы переговоров равна 13 EMBED Equation.3 1415. Руководитель провел переговоры с представителями трех предприятий. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415– число подписанных контрактов.
6.20. Из 7 работающих в отделе специалистов 4 имеют высшую категорию. По жребию отбирают 2 человек в комиссию по проверке деятельности другого отдела. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415– число специалистов без высшей категории, включенных в комиссию.
6.21. Орудие делает три выстрела по учебной цели с разного расстояния. Вероятности поражения цели при первом, втором и третьем выстрелах равны, соответственно, 0,85; 0,7; 0,4. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415– число поражений учебной цели.
6.22. В коробке 7 карандашей, из них 2 красных. Из коробки наудачу извлекают 4 карандаша. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415– число красных карандашей среди извлеченных.
6.23. Игральный кубик бросается три раза. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415– число выпадений двух очков.
6.24. Студент знает ответы на 5 вопросов из 8. Преподаватель задает ему 4 вопроса. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415– число вопросов, на которые ответит студент.
6.25. 70% автомобилей нуждаются в регулировке выброса углекислого газа. На станцию технического обслуживания прибыли 3 автомобиля. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415– число автомобилей среди прибывших, нуждающихся в регулировке выброса углекислого газа.
Задание 7. Непрерывная случайная величина
7.1. Непрерывная случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415 задана плотностью вероятностей 13 EMBED Equation.3 1415. Найти: а) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415. Построить график 13 EMBED Equation.3 1415.
7.2. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415 имеет нормальный закон распределения с параметрами a = 2 и 13 EMBED Equation.3 1415. Написать плотность вероятностей случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415. Построить нормальную кривую. Найти 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Найти вероятность попадания значений случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415 в интервал 13 EMBED Equation.3 1415.
7.3. Непрерывная случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415 задана функцией распределения 13 EMBED Equation.3 1415. Найти: а) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415; б)13 EMBED Equation.3 1415. Построить график 13 EMBED Equation.3 1415.
7.4. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415 равномерно распределена в интервале 13 EMBED Equation.3 1415, ее математическое ожидание равно 3. Найти 13 EMBED Equation.3 1415. Написать плотность вероятностей и функцию распределения случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415 и построить их графики. Найти 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Найти вероятность попадания значений случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415 в интервал 13 EMBED Equation.3 1415.
7.5. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415 задана плотностью вероятностей 13 EMBED Equation.3 1415. Определить вид распределения. Построить график плотности вероятностей. Найти 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Найти вероятность попадания значений случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415 в интервал 13 EMBED Equation.3 1415.
7.6. Математическое ожидание случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415, распределенной по показательному закону, равно 2,5. Написать плотность вероятностей и функцию распределения случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415 и построить их графики. Найти 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Найти вероятность попадания значений случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415 в интервал 13 EMBED Equation.3 1415.
7.7. Непрерывная случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415 задана плотностью вероятностей 13 EMBED Equation.3 1415. Найти: а) постоянный параметр 13 EMBED Equation.3 1415; б) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415. Построить график 13 EMBED Equation.3 1415.
7.8. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415 задана плотностью вероятностей 13 EMBED Equation.3 1415. Определить вид распределения. Написать функцию распределения случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415. Построить графики плотности вероятностей и функции распределения. Найти 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Найти вероятность попадания значений случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415 в интервал 13 EMBED Equation.3 1415.
7.9. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415 имеет нормальный закон распределения, причем 13 EMBED Equation.3 1415. Написать плотность вероятностей случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415. Построить нормальную кривую. Найти 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Найти вероятность попадания значений случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415 в интервал 13 EMBED Equation.3 1415.
7.10. Непрерывная случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415 задана плотностью вероятностей 13 EMBED Equation.3 1415. Найти: а) постоянный параметр 13 EMBED Equation.3 1415; б) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415. Построить график 13 EMBED Equation.3 1415.
7.11. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415 задана плотностью вероятностей 13 EMBED Equation.3 1415. Определить вид распределения. Написать функцию распределения случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415. Построить графики плотности вероятностей и функции распределения. Найти 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Найти вероятность попадания значений случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415 в интервал 13 EMBED Equation.3 1415.
7.12. Непрерывная случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415 задана плотностью вероятностей 13 EMBED Equation.3 1415. Найти: а) постоянный параметр 13 EMBED Equation.3 1415; б) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415. Построить график 13 EMBED Equation.3 1415.
7.13. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415 задана плотностью вероятностей 13 EMBED Equation.3 1415. Определить вид распределения. Построить график плотности вероятностей. Найти 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Найти вероятность попадания значений случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415 в интервал 13 EMBED Equation.3 1415.
7.14. Непрерывная случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415 задана плотностью вероятностей 13 EMBED Equation.3 1415. Найти: а) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415. Построить график 13 EMBED Equation.3 1415.
7.15. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415 равномерно распределена в интервале (a;4), ее дисперсия равна 3. Найти a. Написать плотность вероятностей и функцию распределения случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415 и построить их графики. Найти 13 EMBED Equation.3 1415. Найти вероятность попадания значений случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415 в интервал 13 EMBED Equation.3 1415.
7.16. Непрерывная случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415 задана функцией распределения 13 EMBED Equation.3 1415. Найти: а) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415; б)13 EMBED Equation.3 1415. Построить график 13 EMBED Equation.3 1415.
7.17. Дисперсия случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415, распределенной по показательному закону, равна 0,04. Написать плотность вероятностей и функцию распределения случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415 и построить их графики. Найти 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Найти вероятность попадания значений случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415 в интервал 13 EMBED Equation.3 1415.
7.18. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415 имеет нормальный закон распределения, причем 13 EMBED Equation.3 1415. Написать плотность вероятностей случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415. Построить нормальную кривую. Найти 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Найти вероятность попадания значений случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415 в интервал 13 EMBED Equation.3 1415.
7.19. Непрерывная случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415 задана плотностью вероятностей 13 EMBED Equation.3 1415. Найти: а) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415. Построить график 13 EMBED Equation.3 1415.
7.20. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415 задана функцией распределения 13 EMBED Equation.3 1415. Определить вид распределения. Написать плотность вероятностей случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415. Построить графики плотности вероятностей и функции распределения. Найти 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Найти вероятность попадания значений случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415 в интервал 13 EMBED Equation.3 1415.
7.21. Непрерывная случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415 задана плотностью вероятностей 13 EMBED Equation.3 1415. Найти: а) постоянный параметр 13 EMBED Equation.3 1415; б) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415. Построить график 13 EMBED Equation.3 1415.
7.22. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415 задана плотностью вероятностей 13 EMBED Equation.3 1415. Определить вид распределения. Построить график плотности вероятностей. Найти 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Найти вероятность попадания значений случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415 в интервал 13 EMBED Equation.3 1415.
7.23. Непрерывная случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415 задана плотностью вероятностей 13 EMBED Equation.3 1415. Найти: а) постоянный параметр 13 EMBED Equation.3 1415; б) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415. Построить график 13 EMBED Equation.3 1415.
7.24. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415 задана функцией распределения 13 EMBED Equation.3 1415. Определить вид распределения. Написать плотность вероятностей случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415. Построить графики плотности вероятностей и функции распределения. Найти 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Найти вероятность попадания значений случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415 в интервал 13 EMBED Equation.3 1415.
7.25. Непрерывная случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415 задана плотностью вероятностей 13 EMBED Equation.3 1415. Найти: а) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415. Построить график 13 EMBED Equation.3 1415.
Основы математической статистики
Методические указания по выполнению заданий этого раздела можно найти в методических указаниях по выполнению типового расчета «Математическая статистика»
Задание 8. Выборочный метод. Точечные и интервальные оценки параметров распределения
Для изучения некоторого количественного признака 13 EMBED Equation.3 1415 генеральной совокупности получена выборка. Необходимо:
задать статистическое распределение выборки в виде интервальной таблицы частот;
построить гистограмму частот и полигон относительных частот (на разных рисунках);
найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;
найти несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности 13 EMBED Equation.3 1415;
используя критерий согласия Пирсона (13 EMBED Equation.3 1415), проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности 13 EMBED Equation.3 1415 при уровне значимости 13 EMBED Equation.3 1415;
найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения генеральной совокупности 13 EMBED Equation.3 1415 с надежностью 13 EMBED Equation.3 1415.
8.1.
8,3
7,2
6,2
6,7
7,3
5,7
7,7
8,2
6,1
7,2
5,3


6,3
5,4
8,2
7,5
6,2
5,9
6,2
6,7
5,2
7,4
6,5


7,1
6,7
7,3
6,2
7,2
6,6
6,5
5,7
6,0
6,7
7,9


5,7
6,7
7,0
6,9
4,7
8,7
4,2
4,7
8,7
6,2
6,7


5,1
6,5
6,7
5,2
8,9
5,5
7,1
6,8
4,9
8,1
5,8


8.2.
14
11
12
13
10
17
11
9
7
6
9
14
10


15
14
12
17
19
9
6
16
14
7
17
16
15


14
11
11
12
14
16
14
12
10
8
5
18
20


8
13
12
12
14
9
17
11
16
19
15
16
8


8.3.
56
52
65
60
48
69
69
71
55
65
61


63
66
54
58
57
64
73
53
62
59
64


57
71
60
67
72
50
56
67
70
52
61


60
63
55
56
63
72
64
49
63
57
53


65
60
62
59
68
73







8.4.
50
52
140
138
170
165
210
169
170
142
150


168
103
63
68
88
85
155
110
112
131
193


126
161
148
92
99
82
95
115
118
125
151


118
130
184
141
182
199
205
127
132
135
190


105
119
115
125
124
214
109
91
194




8.5.
11
15
20
25
29
34
19
25
16
21
29
32
44


20
28
35
21
22
23
30
28
30
43
19
34
32


17
22
29
26
33
36
39
14
20
24
27
39
30


25
35
32
14
37
23
27
34
37
38
42
38
27


8.6.
16
13
11
15
18
19
21
18
11
15
14
16


18
17
21
22
13
12
15
16
17
20
17
17


20
20
18
22
23
13
15
10
10
12
12
18


18
19
21
23
20
22
23
17
16
14
15
18


15
11
16
17
15
13
16
17
18
14
15
20


8.7.
1,22
1,13
1,16
1,12
1,01
1,06
1,05
1,10
1,11
1,13
1,20


1,08
1,10
1,15
1,11
1,02
1,04
1,07
1,22
1,14
1,05
1,07


1,13
1,14
1,15
1,06
1,22
1,19
1,13
1,12
1,16
1,19
1,17


1,15
1,16
1,13
1,10
1,14
1,19
1,21
1,17
1,18
1,23
1,10


1,03
1,04
1,10
1,10
1,19








8.8.
3
4
17
12
14
19
18
23
2
21
18


15
10
13
6
14
10
7
11
15
19
12


14
16
5
15
11
7
13
10
6
11
7


12
9
12
9
14
13
16
18
16
10
12


9
15
13
22
12
9
10
8
9




8.9.
30
27
21
23
26
27
29
31
24
25
28


23
26
32
34
26
24
22
19
23
23
30


25
18
18
22
20
24
28
31
29
25
18


26
30
32
34
29
20
26
20
23
25
27


28
25
27
29
21
30







8.10.
147
154
156
157
157
160
187
164
183
176
184


161
177
168
178
171
174
157
184
155
177
169


178
168
178
148
148
163
174
150
171
168
180


164
166
154
168
166
170
166
162
167
162
161


167
171
174
171
179
172






8.11.
0,90
0,94
0,84
0,86
0,88
0,90
0,92
0,89
0,85
0,91
0,89


0,80
0,87
0,89
0,88
0,78
0,84
0,81
0,85
0,95
0,94
0,86


0,86
0,91
0,78
0,82
0,91
0,95
0,97
0,88
0,83
0,82
0,84


0,82
0,87
0,94
0,90
0,96
0,94
0,89
0,87
0,99
0,85
0,91


0,80
0,90











8.12.
0,90
0,88
0,79
0,86
0,93
0,96
0,98
0,96
0,90
0,92
0,94


0,93
0,91
0,86
0,92
0,91
0,94
0,90
0,86
0,90
0,93
0,90


0,95
0,99
0,91
0,84
1,00
0,83
0,93
0,95
0,96
0,91
0,99


0,85
0,97
0,90
0,93
0,95
1,00
0,83
0,85
0,87
0,90
0,89


0,92
0,88
0,97
0,91
0,92








8.13.
48
27
36
58
37
39
50
67
68
78
72
68


37
22
18
12
59
48
58
71
37
26
85
30


31
34
55
72
57
25
46
52
65
48
39
58


56
53
23
42
85
47
44
45
80
19
54
28


13
62












8.14.
264
263
258
263
257
260
264
259
261
263
264


265
263
263
263
266
263
259
264
258
265
263


261
268
263
263
263
262
264
268
263
263
266


263
266
262
263
262
264
259
262
262
261
266


262
261
259
265
259








8.15.
48
29
48
18
24
30
35
25
17
23
27
33


28
19
14
34
24
36
42
47
40
28
12
24


28
27
15
6
41
25
34
40
27
20
6
18


28
37
43
27
38
53
24
41
21
34
17
25


46
51












8.16.
140
62
82
100
110
119
91
136
140
80
95


90
102
116
105
102
118
120
140
159
117
122


43
59
63
85
101
170
30
152
75
87
136


90
104
119
101
131
51
54
70
88
96
106


83
130
145
156
50
112







8.17.
19,1
18,1
18,4
18,2
19,5
19,7
19,0
19,7
19,1
19,2
18,4


18,5
18,3
18,7
19,2
19,1
18,5
19,7
19,1
19,7
19,3
19,5


18,2
18,7
19,4
19,3
18,5
18,6
18,8
19,1
18,7
19,1
19,6


18,8
19,1
19,0
19,5
19,3
18,8
19,0
19,3
18,9
19,0
19,8


19,3
19,2
18,6
19,9
18,7
20,0
19,5
18,8





8.18.
20,8
20,8
20,0
19,8
20,0
20,2
20,4
20,8
19,6
19,9
20,4


19,9
20,0
20,3
20,2
21,0
20,1
20,3
20,5
20,4
19,8
20,6


19,7
19,8
20,0
20,1
19,7
20,3
20,2
20,1
20,4
20,5
20,7


20,3
20,5
20,2
20,5
20,7
21,0
21,1
19,5
20,2
20,4
20,9


19,5
19,8
20,0
20,1
20,4
20,5
20,3
20,6





8.19.
26
20
31
45
62
60
35
15
65
33
47
55


56
61
54
30
65
22
32
44
53
41
52
69


36
42
26
32
45
50
64
25
39
42
42
67


34
46
59
37
44
43
55
45
52
38
48
45


55
17
53
51
62
36
40
49
21
30
54
29


8.20.
32
53
10
22
28
34
39
29
21
27
31


37
32
23
43
12
28
40
46
51
44
32


16
11
33
31
19
17
41
29
38
44
31


24
9
17
32
41
47
31
42
57
28
45


25
15
21
35
50
55







11. Перечень рекомендуемых учебных изданий, дополнительной литературы интернет-ресурсов.
основная литература:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].  Теория вероятностей и ее инженерные приложения : учебное пособие / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. - 4-е изд., стер. - М. : Высш. шк., 2007. - 491 с. - (Учебники для вузов. Математика). - ISBN 978-5-06-005714-0
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].  Теория вероятностей : учебное пособие / В. Ф. Шириков, С. М. Зарбалиев. - М. : КолосС, 2008. - 389 с. - (Учебники и учеб. пособия для студентов высш. учеб. заведений). - ISBN 978-5-9532-0621-1
Прохоров, Ю.В. Вероятность и математическая статистика : энциклопедический словарь / ред. Ю. В. Прохоров. - Репр. воспроизведение изд. - М. : Большая Российская Энциклопедия, 2003. - 910 с. - (Золотой фонд). - ISBN 5-7107-7433-2
Ермакова, В.И. Теория вероятностей и математическая статистика : учебное пособие / ред. В. И. Ермакова. - М. : Инфра-М, 2004. - 287 с. - (Высшее образование). - ISBN 5-16 001561-2
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Теория вероятностей и математическая статистика : учебное пособие / В. Е. Гмурман. - 12-е изд., перераб. - М. : Высш. образование, 2006. - 479 с. : ил. - (Основы наук).
дополнительная литература:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]  Курс высшей математики : учебник для вузов / Под ред. А. Н. Тихонова. - 3-е изд., испр. - М. : ОНИКС, 2007. - 600 с.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. : учебное пособие / А. А. Юрьева. - 2-е изд., испр. - Саратов : ФГОУ ВПО "Саратовский ГАУ", 2009. - 208 с.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]  Элементы математической статистики / Т. В., Хучраева Т.С. Кириллова. - Саратов : Сарат. гос. агр. ун-т, 2004. - 60 с. - ISBN 5-7011-0394-3
Интернет-ресурсы:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] -Википедия;
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] - новая электронная библиотека;
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] – федеральный портал российского образования;
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] – общероссийский математический портал;
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] – научная электронная библиотека;
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] – матбюро: решения задач по высшей математике;
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] - электронная библиотека учебных материалов.











































ПРИЛОЖЕНИЯ

Таблица значений функции Лапласа

Приложение 1
13 EMBED Equation.3 1415
X
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)

0,00
0,0000
0,43
0,1664
0,86
0,3051
1,29
0,4015

0,01
0,0040
0,44
0,1700
0,87
0,3078
1,30
0,4032

0,02
0,0080
0,45
0,1736
0,88
0,3106
1,31
0,4049

0,03
0,0120
0,46
0,1772
0,89
0,3133
1,32
0,4066

0,04
0,0160
0,47
0,1808
0,90
0,3159
1,33
0,4082

0,05
0,0199
0,48
0,1844
0,91
0,3186
1,34
0,4099

0,06
0,0239
0,49
0,1879
0,92
0,3212
1,35
0,4115

0,07
0,0279
0,50
0,1915
0,93
0,3238
1,36
0,4131

0,08
0,0319
0,51
0,1950
0,94
0,3264
1,37
0,4147

0,09
0,0359
0,52
0,1985
0,95
0,3289
1,38
0,4162

0,10
0,0398
0,53
0,2019
0,96
0,3315
1,39
0,4177

0,11
0,0438
0,54
0,2054
0,97
0,3340
1,40
0,4192

0,12
0,0478
0,55
0,2088
0,98
0,3365
1,41
0,4207

0,13
0,0517
0,56
0,2123
0,99
0,3389
1,42
0,4222

0,14
0,0557
0,57
0,2157
1,00
0,3413
1,43
0,4236

0,15
0,0596
0,58
0,2190
1,01
0,3438
1,44
0,4251

0,16
0,0636
0,59
0,2224
1,02
0,3461
1,45
0,4265

0,17
0,0675
0,60
0,2257
1,03
0,3485
1,46
0,4279

0,18
0,0714
0,61
0,2291
1,04
0,3508
1,47
0,4292

0,19
0,0753
0,62
0,2324
1,05
0,3531
1,48
0,4306

0,20
0,0793
0,63
0,2357
1,06
0,3554
1,49
0,4319

0,21
0,0832
0,64
0,2389
1,07
0,3577
1,50
0,4332

0,22
0,0871
0,65
0,2422
1,08
0,3599
1,51
0,4345

0,23
0,0910
0,66
0,2454
1,09
0,3621
1,52
0,4357

0,24
0,0948
0,67
0,2486
1,10
0,3643
1,53
0,4370

0,25
0,0987
0,68
0,2517
1,11
0,365
1,54
0,4382

0,26
0,1026
0,69
0,2549
1,12
0,3686
1,55
0,4394

0,27
0,1064
0,70
0,2580
1,13
0,3708
1,56
0,4406

0,28
0,1103
0,71
0,2611
1,14
0,3729
1,57
0,4418

0,29
0,1141
0,72
0,2642
1,15
0,3749
1,58
0,4429

0,30
0,1179
0,73
0,2673
1,16
0,3770
1,59
0,4441

0,31
0,1217
0,74
0,2703
1,17
0,3790
1,60
0,4452

0,32
0,1255
0,75
0,2734
1,18
0,3810
1,61
0,4463

0,33
0,1293
0,76
0,2764
1,19
0,3830
1,62
0,4474

0,34
0,1331
0,77
0,2794
1,20
0,3849
1,63
0,4484

0,35
0,1368
0,78
0,2823
1,21
0,3869
1,64
0,4495

0,36
0,1406
0,79
0,2852
1,22
0,3883
1,65
0,4505

0,37
0,1443
0,80
0,2881
1,23
0,3907
1,66
0,4515

0,38
0,1480
0,81
0,2910
1,24
0,3925
1,67
0,4525

0,39
0,1517
0,82
0,2939
1,25
0,3944
1,68
0,4535

0,40
0,1554
0,83
0,2967
1,26
0,3962
1,69
0,4545

0,41
0,1591
0,84
0,2995
1,27
0,3980
1,70
0,4554

0,42
0,1628
0,85
0,3023
1,28
0,3997
1,71
0,4564


x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)

1,72
0,4573
1,94
0,4738
2,32
0,4898
2,76
0,4971

1,73
0,4582
1,95
0,4744
2,34
0,4904
2,78
0,4973

1,74
0,4591
1,96
0,4750
2,36
0,4909
2,80
0,4974

1,75
0,4599
1,97
0,4756
2,38
0,4913
2,82
0,4976

1,76
0,4608
1,98
0,4761
2,40
0,4918
2,84
0,4977

1,77
0,4616
1,99
0,4767
2,42
0,4922
2,86
0,4979

1,78
0,4625
2,00
0,4772
2,44
0,4927
2,88
0,4980

1,79
0,4633
2,02
0,4783
2,46
0,4931
2,90
0,4981

1,80
0,4641
2,04
0,4793
2,48
0,4934
2,92
0,4982

1,81
0,4649
2,06
0,4803
2,50
0,4938
2,94
0,4984

1,82
0,4656
2,08
0,4812
2,52
0,4941
2,96
0,4985

1,83
0,4664
2,10
0,4821
2,54
0,4945
2,98
0,4986

1,84
0,4671
2,12
0,4830
2,56
0,4948
3,00
0,49865

1,85
0,4678
2,14
0,4838
2,58
0,4951
3,20
0,49931

1,86
0,4686
2,16
0,4846
2,60
0,4953
3,40
0,49966

1,87
0,4693
2,18
0,4854
2,62
0,4956
3,60
0,499841

1,88
0,4699
2,20
0,4861
2,64
0,4959
3,80
0,499928

1,89
0,4706
2,22
0,4868
2,66
0,4961
4,00
0,499968

1,90
0,4713
2,24
0,4875
2,68
0,4963
4,50
0,499997

1,91
0,4719
2,26
0,4881
2,70
0,4965
5,00
0,499997

1,92
0,4726
2,28
0,4887
2,72
0,4967



1,93
0,4732
2,30
0,4893
2,74
0,4969




Приложение 2

Таблица критических точек распределения хи-квадрат

Число степеней свободы
Уровень значимости
·


0,01
0,025
0,05
0,95
0,975
0,99

1
6,6
5,0
3,8
0,039
0,00098
0,00016

2
9,2
7,4
6,0
0,103
0,051
0,020

3
11,3
9,4
7,8
0,352
0,216
0,115

4
13,3
11,1
9,5
0,711
0,484
0,297

5
15,1
12,8
11,1
1,15
0,31
0,554

6
16,8
14,4
12,6
1,64
1,24
0,872

7
18,5
16,0
14,1
2,17
1,69
1,24

8
20,1
17,5
15,5
2,73
2,18
1,65

9
21,7
19,0
16,9
3,33
2,70
2,09

10
23,2
20,5
18,3
3,94
3,25
2,56

11
24,7
21,9
19,7
4,57
3,82
3,05

12
26,2
23,3
21,0
5,23
4,40
3,57

13
27,7
24,7
22,4
5,89
5,01
4,11

14
29,1
26,1
23,7
6,57
5,63
4,66

15
30,6
27,5
25,0
4,26
6,26
5,23

16
32,0
28,8
26,3
7,96
6,91
5,81

17
33,4
30,2
27,6
8,67
7,56
6,41

18
34,8
31,5
28,9
9,39
8,23
7,01

19
36,2
32,9
30,1
10,1
8,91
7,63

20
37,6
34,2
31,4
10,9
9,59
8,26

21
38,9
35,5
32,7
11,6
10,3
8,90

22
40,3
36,8
33,9
12,3
11,0
9,54

23
41,6
38,1
35,2
13,1
11,7
10,2

24
43,0
39,4
36,4
13,8
12,4
10,9

25
44,3
40,6
37,7
14,6
13,1
11,5

26
45,6
41,9
38,9
15,4
13,8
12,2

27
47,0
43,2
40,1
16,2
14,6
12,9

28
48,3
44,5
41,3
16,9
15,3
13,6

29
49,6
45,7
42,6
17,7
16,0
14,3

30
50,9
47,0
43,8
18,5
16,8
15,0



Приложение 3
Таблица значений функций 13 EMBED Equation.3 1415


0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

0,0
0,3989
3989
3989
3988
3986
3984
3982
3980
3977
3973

0,1
3970
39655
3961
3956
3951
3945
3939
3932
3925
3918

0,2
3910
3902
3894
3885
3876
3867
3857
3847
3836
3825

0,3
3814
3802
3790
3778
3765
3752
3739
3726
3712
3697

0,4
3683
3668
3652
3637
3621
3605
3589
3572
3555
3538

0,5
3521
3503
3485
3467
3448
3429
3410
3391
332
3352

0,6
3332
3312
3292
3271
3251
3230
3209
3187
3166
3144

0,7
3123
3101
3079
3056
3034
3011
2989
2966
2943
2920

0,8
2807
2874
2850
2827
2800
2780
2756
2732
2700
2685

0,9
2661
2637
2613
2589
2565
2541
2516
2492
2468
2444

1,0
0,2420
2396
2371
2347
2323
2299
2275
251
2227
2203

1,1
2179
2155
2131
2107
2083
2059
2036
2012
1989
1965

1,2
1942
1919
1895
1872
1849
1826
1804
1781
1758
1738

1,3
1714
1691
1669
1647
1626
1604
1582
1561
1529
1518

1,4
1497
1476
1456
1435
1415
1394
1374
1354
1334
1315

1,5
1295
1276
1257
1238
1219
1200
1182
1163
1145
1127

1,6
1109
1092
1074
1057
1040
1023
1006
0989
0973
0957

1,7
0940
0925
0909
0893
0878
0863
0848
0833
0818
0804

1,8
0790
0775
0761
0748
0734
0731
0707
0694
0681
0669

1,9
0656
0644
0632
0620
0608
0596
0584
0573
0562
0551

2,0
0,0450
0529
0519
0508
0498
0488
0478
0468
0459
0449

2,1
0440
0431
0422
0413
0404
0396
0387
0379
0371
0363

2,2
0355
0347
0339
0332
0325
0317
0310
0303
0297
0290

2,3
0283
0277
0270
0264
0258
0252
0246
0241
0235
0229

2,4
0224
0219
0213
0208
0203
0198
0194
0189
0184
0180

2,5
0175
0171
0167
0163
0158
0154
0151
0147
0143
0139

2,6
0136
0132
0129
0126
0122
0119
0116
0113
0110
0107

2,7
0104
0101
0099
0096
0093
0091
0088
0086
0084
0081

2,8
0079
0077
0075
0073
0071
0069
0067
0065
0063
0061

2,9
0060
0056
0056
0055
0053
0051
0050
0048
0047
0046

3,0
0,0044
0043
0042
0040
0039
0038
0037
0036
0035
0034

3,1
0033
0032
0031
0030
0029
0028
0027
0026
0025
0025

3,2
0024
0023
0022
0022
0021
0020
0020
0019
0018
0018

3,3
0017
0017
0016
0016
0015
0015
0014
0014
0013
0013

3,4
0012
0012
0012
0011
0011
0010
0010
0010
0009
0009

3,5
0009
0008
0008
0008
0008
0007
0007
0007
0007
0006


0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

3,6
0006
0006
0006
0005
0005
0005
0005
0005
0005
0004

3,7
0004
0004
0004
0004
0004
0004
0003
0003
0003
0003

3,8
0003
0003
0003
0003
0003
0002
0002
0002
0002
0002

3,9
0002
0002
0002
0002
0002
0002
0002
0002
0001
0001



Приложение 4
Таблица значений функции 13 EMBED Equation.3 1415
m
(
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

0,1
0,9048
0905
0045
0002
0000







0,2
8187
1637
0164
0011
0001







0,3
7408
2222
0333
0033
0003
0000






0,4
6703
2681
0536
0072
0007
001






0,5
6065
3033
0758
0126
0016
0002






0,6
5488
3293
0988
0198
0030
0004
0000





0,7
4966
3476
1217
0284
0050
0007
0001





0,8
4493
3595
1438
0383
0077
0012
0002





0,9
4066
3659
1647
0494
0111
0020
0003
0000




1
3679
3679
1839
0613
0153
0031
0005
0001
0000
0000


2
1353
2707
2707
1805
0902
0361
0120
0034
0009
0002
0000

3
0498
1494
2240
2240
1680
1008
0504
0216
0081
0027
0008

4
0183
0733
1465
1954
1954
1563
1042
0595
0298
0132
0052

5
0067
0337
0842
1404
1755
1755
1462
1044
0653
0363
0181

6
0025
0149
0146
0892
1339
1606
1606
1337
1033
0688
0413

7
0009
0064
0223
0521
0921
1277
1490
1490
1304
1014
0710

8
0003
0027
0107
0286
0573
0916
1221
1396
1396
1241
0993

9
0001
0011
0050
0150
0337
0607
0911
1171
1318
1318
1186

10
0000
0004
0023
0076
0189
0378
0631
0901
1126
1251
1251


Приложение 5
Таблица значений функции 13 EMBED Equation.3 1415
X
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)

0,00
0,0000
0,43
0,1664
0,86
0,3051
1,29
0,4015

0,01
0,0040
0,44
0,1700
0,87
0,3078
1,30
0,4032

0,02
0,0080
0,45
0,1736
0,88
0,3106
1,31
0,4049

0,03
0,0120
0,46
0,1772
0,89
0,3133
1,32
0,4066

0,04
0,0160
0,47
0,1808
0,90
0,3159
1,33
0,4082

0,05
0,0199
0,48
0,1844
0,91
0,3186
1,34
0,4099

0,06
0,0239
0,49
0,1879
0,92
0,3212
1,35
0,4115

0,07
0,0279
0,50
0,1915
0,93
0,3238
1,36
0,4131

0,08
0,0319
0,51
0,1950
0,94
0,3264
1,37
0,4147

0,09
0,0359
0,52
0,1985
0,95
0,3289
1,38
0,4162

0,10
0,0398
0,53
0,2019
0,96
0,3315
1,39
0,4177

0,11
0,0438
0,54
0,2054
0,97
0,3340
1,40
0,4192

0,12
0,0478
0,55
0,2088
0,98
0,3365
1,41
0,4207

0,13
0,0517
0,56
0,2123
0,99
0,3389
1,42
0,4222

0,14
0,0557
0,57
0,2157
1,00
0,3413
1,43
0,4236

0,15
0,0596
0,58
0,2190
1,01
0,3438
1,44
0,4251

0,16
0,0636
0,59
0,2224
1,02
0,3461
1,45
0,4265

0,17
0,0675
0,60
0,2257
1,03
0,3485
1,46
0,4279

0,18
0,0714
0,61
0,2291
1,04
0,3508
1,47
0,4292

0,19
0,0753
0,62
0,2324
1,05
0,3531
1,48
0,4306

0,20
0,0793
0,63
0,2357
1,06
0,3554
1,49
0,4319

0,21
0,0832
0,64
0,2389
1,07
0,3577
1,50
0,4332

0,22
0,0871
0,65
0,2422
1,08
0,3599
1,51
0,4345

0,23
0,0910
0,66
0,2454
1,09
0,3621
1,52
0,4357

0,24
0,0948
0,67
0,2486
1,10
0,3643
1,53
0,4370

0,25
0,0987
0,68
0,2517
1,11
0,365
1,54
0,4382

0,26
0,1026
0,69
0,2549
1,12
0,3686
1,55
0,4394

0,27
0,1064
0,70
0,2580
1,13
0,3708
1,56
0,4406

0,28
0,1103
0,71
0,2611
1,14
0,3729
1,57
0,4418

0,29
0,1141
0,72
0,2642
1,15
0,3749
1,58
0,4429

0,30
0,1179
0,73
0,2673
1,16
0,3770
1,59
0,4441

0,31
0,1217
0,74
0,2703
1,17
0,3790
1,60
0,4452

0,32
0,1255
0,75
0,2734
1,18
0,3810
1,61
0,4463

0,33
0,1293
0,76
0,2764
1,19
0,3830
1,62
0,4474

0,34
0,1331
0,77
0,2794
1,20
0,3849
1,63
0,4484

0,35
0,1368
0,78
0,2823
1,21
0,3869
1,64
0,4495

0,36
0,1406
0,79
0,2852
1,22
0,3883
1,65
0,4505

0,37
0,1443
0,80
0,2881
1,23
0,3907
1,66
0,4515

0,38
0,1480
0,81
0,2910
1,24
0,3925
1,67
0,4525

0,39
0,1517
0,82
0,2939
1,25
0,3944
1,68
0,4535

0,40
0,1554
0,83
0,2967
1,26
0,3962
1,69
0,4545

0,41
0,1591
0,84
0,2995
1,27
0,3980
1,70
0,4554

0,42
0,1628
0,85
0,3023
1,28
0,3997
1,71
0,4564


Продолжение приложения 5

x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)

1,72
0,4573
1,94
0,4738
2,32
0,4898
2,76
0,4971

1,73
0,4582
1,95
0,4744
2,34
0,4904
2,78
0,4973

1,74
0,4591
1,96
0,4750
2,36
0,4909
2,80
0,4974

1,75
0,4599
1,97
0,4756
2,38
0,4913
2,82
0,4976

1,76
0,4608
1,98
0,4761
2,40
0,4918
2,84
0,4977

1,77
0,4616
1,99
0,4767
2,42
0,4922
2,86
0,4979

1,78
0,4625
2,00
0,4772
2,44
0,4927
2,88
0,4980

1,79
0,4633
2,02
0,4783
2,46
0,4931
2,90
0,4981

1,80
0,4641
2,04
0,4793
2,48
0,4934
2,92
0,4982

1,81
0,4649
2,06
0,4803
2,50
0,4938
2,94
0,4984

1,82
0,4656
2,08
0,4812
2,52
0,4941
2,96
0,4985

1,83
0,4664
2,10
0,4821
2,54
0,4945
2,98
0,4986

1,84
0,4671
2,12
0,4830
2,56
0,4948
3,00
0,49865

1,85
0,4678
2,14
0,4838
2,58
0,4951
3,20
0,49931

1,86
0,4686
2,16
0,4846
2,60
0,4953
3,40
0,49966

1,87
0,4693
2,18
0,4854
2,62
0,4956
3,60
0,499841

1,88
0,4699
2,20
0,4861
2,64
0,4959
3,80
0,499928

1,89
0,4706
2,22
0,4868
2,66
0,4961
4,00
0,499968

1,90
0,4713
2,24
0,4875
2,68
0,4963
4,50
0,499997

1,91
0,4719
2,26
0,4881
2,70
0,4965
5,00
0,499997

1,92
0,4726
2,28
0,4887
2,72
0,4967



1,93
0,4732
2,30
0,4893
2,74
0,4969




Приложение 6
Таблица значений 13 EMBED Equation.3 1415

n
(
n
(


0,95
0,99
0,999

0,95
0,99
0,999

5
2,78
460
861
20
2,093
2,861
3,883

6
2,57
4,03
6,86
25
2,064
2,797
3,745

7
2,45
3,71
5,96
30
2,045
2,756
3,659

8
2,37
3,50
5,41
35
2,032
2,720
3,600

9
2,31
3,36
5,04
40
2,023
2,708
3,555

10
2,26
3,25
4,78
45
2,016
2,692
3,527

11
2,23
3,17
4,59
50
2,009
2,679
3,502

12
2,20
3,11
4,44
60
2,001
2,662
3,464

13
2,18
3,06
4,32
70
1,996
2,646
3,439

14
2,16
3,01
4,22
80
1,001
2,640
3,418

15
2,15
2,98
4,14
90
1,987
2,633
3,403

16
2,13
2,95
4,07
100
1,984
2,627
3,392

17
2,12
2,92
4,02
120
1,980
2,617
3,374

18
2,11
2,90
3,97
(
1,960
2,576
3,291

19
2,10
2,88
3,92






Приложение 7
Таблица значений 13 EMBED Equation.3 1415

n
(
n
(


0,95
0,99
0,999

0,95
0,99
0,999

5
1,37
2,67
5,64
20
0,37
0,58
0,88

6
1,09
2,01
3,88
25
0,32
0,49
0,73

7
0,92
1,62
2,98
30
0,28
0,43
0,63

8
0,80
1,38
2,42
35
0,26
0,38
0,56

9
0,71
1,20
2,06
40
0,24
0,35
0,50

10
0,65
1,08
1,80
45
0,22
0,32
0,46

11
0,59
0,98
1,60
50
0,21
0,30
0,43

12
0,55
0,90
1,45
60
0,188
0,269
0,38

13
0,52
0,83
1,33
70
0,174
0,245
0,34

14
0,48
0,78
1,23
80
0,161
0,226
0,31

15
0,46
0,73
1,15
90
0,151
0,211
0,29

16
0,44
0,70
1,07
100
0,143
0,198
0,27

17
0,42
0,66
1,01
150
0,115
0,160
0,211

18
0,40
0,63
0,96
200
0,099
0,136
0,185

19
0,39
0,60
0,92
250
0,089
0,120
0,162






Приложение 8
Критические точки распределения 13 EMBED Equation.3 1415

Число степеней свободы0
Уровень значимости
·


0,01
0,025
0,05
0,95
0,975
0,99

1
6,6
5,0
3,8
0,039
0,00098
0,00016

2
9,2
7,4
6,0
0,103
0,051
0,020

3
11,3
9,4
7,8
0,352
0,216
0,115

4
13,3
11,1
9,5
0,711
0,484
0,297

5
15,1
12,8
11,1
1,15
0,31
0,554

6
16,8
14,4
12,6
1,64
1,24
0,872

7
18,5
16,0
14,1
2,17
1,69
1,24

8
20,1
17,5
15,5
2,73
2,18
1,65

9
21,7
19,0
16,9
3,33
2,70
2,09

10
23,2
20,5
18,3
3,94
3,25
2,56

11
24,7
21,9
19,7
4,57
3,82
3,05

12
26,2
23,3
21,0
5,23
4,40
3,57

13
27,7
24,7
22,4
5,89
5,01
4,11

14
29,1
26,1
23,7
6,57
5,63
4,66

15
30,6
27,5
25,0
4,26
6,26
5,23

16
32,0
28,8
26,3
7,96
6,91
5,81

17
33,4
30,2
27,6
8,67
7,56
6,41

18
34,8
31,5
28,9
9,39
8,23
7,01

19
36,2
32,9
30,1
10,1
8,91
7,63

20
37,6
34,2
31,4
10,9
9,59
8,26

21
38,9
35,5
32,7
11,6
10,3
8,90

22
40,3
36,8
33,9
12,3
11,0
9,54

23
41,6
38,1
35,2
13,1
11,7
10,2

24
43,0
39,4
36,4
13,8
12,4
10,9

25
44,3
40,6
37,7
14,6
13,1
11,5

26
45,6
41,9
38,9
15,4
13,8
12,2

27
47,0
43,2
40,1
16,2
14,6
12,9

28
48,3
44,5
41,3
16,9
15,3
13,6

29
49,6
45,7
42,6
17,7
16,0
14,3

30
50,9
47,0
43,8
18,5
16,8
15,0










13PAGE \* MERGEFORMAT142615




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 8959189
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий