Методические указания и контрольные задания по курсу Теория вероятностей и математическая статистика


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕД
Е
РАЦИИ


ФЕДЕРАЛЬНОЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ У
Ч
РЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САНКТ
-
ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ»


КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ











МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ


И

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ


ПО КУРСУ


«
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТА
ТИСТИКА
»


дл
я студентов
з
аочной форм
ы

обучения



















ИЗДАТЕЛЬСТВО

САНКТ
-
ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

ЭКОНОМИКИ И ФИНАНС
ОВ

20
12


2

Рекомендовано научно
-
методическим советом

университета




Методические указания
и контрольные задания
по
курсу

«
Теория

вероятностей и мат
е
матическая статистика
» для студентов заочно
й формы

о
бучен
ия
.


СПб.

:

Изд
-
во СПбГУЭФ, 2012
.


2
6

с.


Методи
ческие указания содержат
:

список тем

раздела высшей математики «Теория
вероятностей и математическая статистика»
,

необходимый для самостоятельной работы ст
у-
дента

при выполнении контрольных заданий
;

список необходимой литературы, рекоменд
а-
ции дл
я выполнения

контрольной работы;

решения некоторых задач и набор вариантов ко
н-
трольных з
а
даний.

Предназначены для студентов заочной формы обучения по направлению 080100
«
Экономика
»

в соответствии с квалификацией бакалавра.







Составители:

канд. эк
он
. наук, доц
.

Ю.Г
. Ермаченко


ст. преп.
И.В. Кондратьева



ст. преп.
Ю.В. Молчанова





Рецензент

канд. физ
.
-
мат. наук, доц.
В.Ю. Дорофеев






























©
СПбГУЭФ, 2012


3

1. Цели и задачи дисциплины

по направлению 080100 Экономика
:
накопление необходимого зап
аса сведений по математике (основные опр
е-
деления, теоремы, правила), а также освоение математического аппарата,
помога
ю
щего моделировать, анализировать и решать экономические задачи,
помощь в усвоении математических методов, дающих возможность изучать
и пр
огнозировать процессы и явления из области будущей деятельности ст
у-
дентов; развитие логического и алгоритмического мышления, способствов
а-
ние формированию умений и навыков самостоятельного анализа исследов
а-
ния экономических проблем, развитию стремления к на
учному п
о
иску путей
совершенствования своей работ
ы
.


2. Место дисциплины в структуре ООП

по направлению 080100
Эк
о
номика
:

дисциплина «Теория вероятностей и математическая статист
и-
ка» относится к циклу Б.2.1 Математический цикл, Базовая часть
.

Входные
зн
а
ни
я, умения и компетенции студентов должны соответствовать первому
ку
р
су математики. Дисциплина «Теория вероятностей и математическая ст
а-
т
и
стика» является предшествующей для следующих дисциплин: «Теория
ри
с
ков», «Математические методы и модели», «Статистика»
, «Экономика
фи
р
мы», «Статист
и
ческие пакеты прикладных программ», «Бизнес
-
плани
-
рование», «Рынок це
н
ных бумаг», «Экспертные методы и системы», «Теория
выборки и оценка рисков», «Финансовая статистика», «Финансовая матем
а-
тика», «Анализ временных рядов и про
гнозирование», «Многомерные ста
т-
методы», «Демография и статистика населения», «Статистика фирм и отра
с-
лей», «Эконометрическое моделирование», «Статистика цен», «Соц
и
альная
статистика», «Статистика природопользования», «Статистика страх
о
вания»,
«Страхование
», «Социальное страхование», «Инвестиции», «Теория и мет
о-
ды экономического прогнозирования», «Теория игр», «Методы соц
и
ально
-
экономического прогнозирования», «Теория рисков и моделирование риск
о-
вых ситуаций», «Многомерная стат
и
стика в экономике».


В соотве
тствии с балльно
-
рейтинговой системой оценка знаний студе
н-
т
ом

материала курса «Математика» проводится в виде теста. Баллы, пол
у-
ченные на тесте, соответствуют сл
е
дующим оценкам:

«не удовлетворительно»


от 0 до 49 баллов включ
и
тельно;

«удовлетворительно»


от 50 до 64 баллов включ
и
тельно;

«хорошо»


от 65 до 79 баллов включительно;

«отлично»


от 80 баллов и выше.




4

Общие правила выполнения
и оформления

контрольной работы


В данном семестре студенты изучают раздел «Теория вероятностей и
математ
и
ческая стат
истика» и выполняют контрольную работу.

Перед выполнением контрольной работы следует изучить теорет
и
ческий
материал этого курса математики по указанной литературе, приобрести н
а-
выки решения задач по теме, разобрать решение типовых задач.

При выполнении кон
трольной работы необходимо придерживаться сл
е-
дующих правил:

1.

Контрольная работа должна быть выполнена студентом в отдельной
тетради в клетку, чернилами любого цвета (кроме красного и зеленого), о
с-
тавляя поля для замечаний пр
е
подавателя.

2.

Номер варианта выпол
няемой контрольной работы студент выбир
а
ет
в соответствии с последней цифрой номера зачетной книжки.

3.

На обложке тетради необходимо указать фамилию, имя, отчество
студента, шифр (номер зачетной книжки или студенческого билета), курс,
факультет, специальност
ь, по которой студент обучается, его адрес, номер
контрольной работы, номер варианта выполня
е
мой работы, название и год
издания методических указаний из которых взято контрольное задание.

4. При выполнении контрольной работы указывается номер решаемой
зада
чи, полностью переписывается ее условие, после чего приводится по
д-
робное решение со ссылками на используемые при решении опред
е
ления,
теоремы, формулы. В конце решения указывается ответ. Необходимые че
р-
тежи и рисунки выполняются аккуратно. Задачи решаются
по поря
д
ку их
следования в м
е
тодических указаниях.

5. В контрольной работе должны быть решены все задачи, указанные в
задании соответствующего варианта. Контрольные работы, соде
р
жащие не
все задачи своего варианта или содержащие задачи не своего варианта,

не
зачит
ы
ваются.

6. Если в работе имеются ошибки, студент должен исправить их, в
ы-
полнив все требования преподавателя, изложенные в рецензии. Все испра
в-
ления записываются после рецензии преподавателя с указанием даты испо
л-
нения и номера задачи, к которой
относятся дополнения и исправления. И
с-
правления в тексте уже проверенной работы не допускаются. После испра
в-
ления всех ошибок контрольную работу необходимо сдать на повто
р
ную
проверку.

7. Контрольная работа должна быть выполнена, проверена и зачтена з
а-
благ
о
временно
,

до экзамена.

К экзамену допускаются только те студенты, которые получили полож
и-
тельную оценку за контрольную работу.




5

Темы для повторения

р
аздел
а

«
Т
еория вероятностей и математическая статистика»



Случайные события


Предмет теории вероятностей
и ее значение для экономической науки.
Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Понятие случайн
о-
го события.


Частота события, ее свойства. Аксиомы теории вероятностей. Пр
о-
стейшие следствия из аксиом.


Классическое и геометрическое определения
вероятности случайного
события.

Ко
м
бинаторика.


Теорема сложения вероятностей.

Условная вероятность события. Фо
р-
мула умножения вероятностей. Независимые события.


Формула полной вероятности и формула Байеса.


Схема Бернулли. Формула Бернулли. Теоремы Муав
ра
-
Лапласа.



Случайные величины


Понятие случайной величины. Дискретные случайные величины
(ДСВ). Ряд распр
е
деления.


Математическое ожидание ДСВ, его вероятностный смысл. Свойства
математическ
о
го ожидания случайной величины.


Дисперсия случайной величины
, ее свойства. Среднее квадратическое
отклон
е
ние. Моменты случайных величин.


Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Независимые
случайные в
е
личины. Системы случайных величин.


Непрерывные случайные величины (НСВ). Функция распреде
ления
случайной величины, ее свойства. Плотность распределения вероятност
и

случа
й
ной величины, ее свойства.


Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое о
т-
клонение НСВ. Равномерное распределение. Нормальное распределение.
Мода, медиана, аси
мметрия, эк
с
цесс. Правило трех стандартов.


Статистическое распределение нескольких случайных величин.

Ко
р-
реляционный момент и коэффициент корреляции. Статистическая

завис
и-
мос
ть
. Функция ре
г
рессии.



Закон больших чисел


Понятие о законе больших

чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Ч
е-
бышева. Теор
е
ма Берну
лли. Понятие о теореме Ляпунова
.




Основы выборочного метода и элементы статистический теории
оц
е
нивания


Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд, инте
р-
вальный вариационный ряд.
Полигон, гистограмма. Выборочная функция
распред
е
ления.


6


Точечное оценивание параметров распределения. Несмещенность, с
о-
стоятельность и эффективность оценки. Выборочная средняя как оценка г
е-
неральной средней. Оценка ген
е
ральной дисперсии.


Интервальное оц
енивание параметров распределения. Доверительный
интервал и доверительная вероятность. Интервальное оценивание генерал
ь-
ной средней и ген
е
ральной дисперсии.



Статистическое исследование зависимостей


Корреляционный и регрессионный анализ. Корреляционная таб
лица.
Выборочный к
о
эффициент корреляции.


Построение выборочных линейных уравнений регрессии. Экономич
е-
ские пр
и
меры.



Методы статистической проверки гипотез


Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая гипотезы. Крит
е-
рий проверки статистической гипо
тезы, критическая область. Ошибки пе
р-
вого и второго рода, уровень значимости
. Понятие о критерии согласия.
Мощность критерия. Критерий согласия Пирсона.



Б
ИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИ
СОК


1.

Солодовников А.С. Теория вероятностей.


М.: Просвещение, 1983.

2.

Гмурман В.
Е. Теория вероятностей и математическая статистика.


М.:
Высшая школа, 1997.

3.

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математ
и
ческой статистике.



М.: Высшая школа, 1979.

4.

Виленкин Н.Я. Индукция. Комбинаторика.


М.
:
Просвещение, 1
976.

5.

Чистяков В.П. Курс теории вероятностей.


М.: Наука, 1982.

6.

Венцель Е.С. Теория вероятностей.


М.:
Наука, 1969.

7.

Свешников А.А. Сборник задач по теории вероятностей, математич
е-
ской статистике и теории случайных функций.


М.: Наука, 1970.

8.

Гурский Е.И.
Сборник задач по теории вероятностей и математической
стат
и
стике.


Минск: Высшая школа, 1975.

9.

Авдушева Н.Е., Варфоломеева Г.
Б., Ключикова О.А.
Методические ук
а-
зания и контрол
ьные домашние задания по теме «С
лучайные события»
.



СПб.:

Изд
-
во СПбГ
У
ЭФ, 2006.

10.

Методические указания по курсу высшей математики. Раздел «Теория
вероятностей и математическая статистика. Аксиомы теории вероятн
о-
стей».


Л.
:

ЛФЭИ, 1990
.

11.

Гаштольд Л.П., Авдушева Н.Е. Случайные события и их вероятности.


СПб.: Изд
-
во СП
б
ГУЭФ, 2001.

12.

Ковбас
а С.И., Ивановский В.Б. Теория вероятностей и математическая
статист
и
ка.


СПб.:

Альфа, 2001.


7

Примеры решения задач


Задача 1.



Вероятность попадания в цель при одном выстреле из
орудия равна 0,9. Имея запас из
трех снарядов, ведут стрельбу по цел
и до первого попадания.
Выстрелы считаются незав
и-
симыми.
Найти вероятность следующих событий
:

=

(
произведено два выстрела),

=

(весь запас снарядов израсходован),

= (стрельба произведена
без промахов),

= (
попадание произошло при первом выстреле
),

= (в запасе осталось не менее одного патрона).


Решение.


Рассмотрим с
обытия
-

попадание при выстреле и

-

промах.
Вероятность попад
а-
ния в цель при одном выстреле

равна
. Вероятность промаха при одном выстреле
(как вероятность противоположного попаданию события) равна
.



Событие

равносильно промаху при первом выстреле и попаданию при втором,

т.е.
. Выстрелы независимы,
поэтому

соб
ытия

и

для разных выстрелов
также
независимы.

Откуда



Событие

равносильно промаху при
первых двух

выстрелах
независимо от результ
а-
та третьего выстрела, поэтому




Событие
означает попадание в цель при

первом выстреле
,

и его вероятность равна

.


Событие


имеет вероятность, равную вероятности события
.
.


Событие

равноси
льно
попаданию при первом выстреле (
в запасе осталось два п
а-
трона) или промаху при первом выстреле и попаданию при втором
(
в запасе остался один
патрон), поэтому


Ответ
:
,
,

,
,
.








Задача 2.



По линии связи передаются два сигнала А и В
,

соответственно
,

с вероятностями
0,84 и
0,16. Из
-
за помех

сигналов А искажается и п
ринимается как сигнал В, а

часть переда
н-
ных сигналов В принимается как сигнал А.

а)
Найти вероятность того, что при приеме появится сигнал А.

б)
Найти вероятность того, что при приеме появится сигнал В.

в)
Известно, что принят сиг
нал А. Какова вероятность, что он же и был передан
?





8

Решение.

а) Для решения задачи вспомним формулу полной вероятности
:

, где



произвольное событие,


-

ги
потезы


соб
ы-
тия, удовлетворяющие условиям
:

а)
(достоверное событие)


в сов
о-
купности гипотезы образуют достоверное событие.

б)
,

-

различные гипотезы попарно

несовм
е
стны.

Введем гипотезы
:

-

передан сигнал А,

-

передан сигнал В. Событие

означает
принятие сигнала А, событие

-

принятие сигнала В.

По условию вероятно
сти гипотез
равны:
,
.

Вероятность того, что принят сигнал А, при условии,
что он же и послан,
.


Вероятность того, что принят сигнал А при условии, что послан сигнал
В,
. По формуле полной вероятности получим
:

.


б) Решение данной задачи аналогично решению задачи
(
а).

Введем гипотезы
:

-

п
е-
редан сигнал А,

-

передан сигнал В.
Событие

означает принятие сигнала А, событие

-

принятие сигнала В. По условию вероятности гипотез равны:
,
.

Вероятность того, что принят сигнал В при условии
, что он

же и послан,
.


Вероятность того, что принят сигнал В при условии, что послан сигнал А,
. По формуле полной вероятности получим
:


.


в) Вероятность того, что

был передан сигнал А при условии, что он же был принят, в
ы-
числим по формуле Бейеса
:



.



Ответ
: 0,72; 0,28; 0,97.




9

Задача 3.


Баскетболист попадает мячом в корзину при о
дном броске с вероятностью
.
Найти вероятность того, что из пят
и

бросков ровно в четырех случаях произойдет попадание.

Решение.

По формуле Бернулли
:


. Здесь


-

общее число исп
ы-
таний,

-

число испытаний

из общего количества исходов
, благоприятных искомому с
о-
бытию

.
,
. Имеем
:

,
.

В
ычислим

.


Ответ
:

0,41.



Задача 4.



Найти вероятность того, что в условиях предыдущей задачи баскетболист попадет в
корзину хотя бы два раза.

Решение.


В данной задаче событие
-

попадание мяча в корзину при отдельном броске.
Надо
найти вероятность


,
. Видим, что придется
вычислять сумму четырех слагаемых, что невыгодно, т.к. знаем формулу


.



Ответ
:

0,93
.



Задача 5
.



Обычную монету бросили четыре раза.


а) Найти вероятность того, что герб выпал дважды.


б) Найти вероятность того, что герб выпал не менее двух раз.


Решени
е.


а) Для решения задачи используем формулу Бернулли.

В данной задаче

-

выпадение герба при отдельном броске.
.
;

;
.

По ф
ормуле Бернулли
:




б) Событие
-

герб выпал не менее двух раз при четырех бросках монеты равносильно
появлению одного из исходов
:
-


герб выпал два раза, или


-

герб в
ыпал три раза, или


-

герб выпал все четыре раза.



Ответ
:

0, 375
;

0,6875.


10

Задача 6.

Ученик

штампует детали. Вероятность то
го, что деталь бракованная


0,
1. Найти

вер
о-
я
тность того, что среди 20 деталей окажется ровно
6 бракованных.

Решение.

Так как число деталей велико (в таких задачах числа
,

большие 10
,

считаются больш
и-
ми), в
оспользуемся

локальной

теоремой Муавра
-
Лапласа
:


, где

.


,
,
,
,
,


.

Ответ
: 0
,0035
.



Задача 7
.

Вероятность поражения мишени при одно
м выстреле равна 0,8. Найти вероятность т
о-
го, что при 100 выстрелах мишень будет поражена от 75 до 100 раз.

Решение.

Воспользуемся интегральной теоремой Муавра
-
Лапласа
:

, где
;


для решения данной зад
а-
чи.

Имеем
:

,
,
,
,
,


Ответ
:

0,89.



Задача 8
.



На пути движения автомаши
ны четыре светофора. Каждый из них с вероятностью 0,5
либо разрешает, либо запрещает автомашине дальнейшее движение. Составить закон ра
с-
пределения случайной величины




числа светофоров, пройденных автомашиной без о
с-
тановки. Найти

и


11


Решение.



Случайная величина




число светофоров, пройденных автомашиной без остановки,
может принимать значения
:

,
,
,
,
. В
ероятности, соотве
т-
ствующие данным значениям
:

.


-

автомашина пройдет 0 светофоров без остановки ( встанет на первом свет
о-
форе)
,

.



-

автомашина про
йдет 1 светофор без остановки (
первый светофор пройдет
без остановки и встанет на втором)
,

.


-

автомашина пройдет 2 светофора

без о
становки (
первые два светофора
пройдет без остановки и встанет на третьем)
,

.


-

автомашина пройдет 3 светофора

без остановки (первые три светофора
пройдет без остановки и встанет на четвертом)
,

.


-

автомашина пройдет 4 светофор
а

без остановки (все светофоры пройдет без
остановки)
,

.





0

1

2

3

4











Ответ
:

0,9375
; 1,43359.




12

Задача
9
.


Плотность распределения непрерывной случайной величины

имеет в
ид
:


Найти
.




Решение.

Параметр

найдем из формулы основного свойства плотности вероятности
:
.
Подставляем в это равенство заданн
ую
плотность распределени
я, учитывая, что ненулевой
она является только на промежутке от

до
.




Математическое ожидание найдем
по формуле
:

Снова учитывая, что

только

на
полу
интервале

, получаем

.

Для вычисления дисперсии используем не определение

, а р
а-
бочую формулу для вычисления


13

Математическое ожидание уже сосчитали,

. Вычислим

по формуле


.

.

Функцию распределения найдем по формуле
:

Если
0
, то

и
.

Если


, то
=
.

Если

, то
.






14

Найдем вероятность попадания
непрерывной
случайной величины в заданный инте
рвал.

,

.


Ответ
:

,
,
,
,
.


Задача

1
0
.


Найти коэффициент корреляции между величинами

и


и уравнения линейной ре
г-
рессии

на

и

на
.




-

экспорт радиоэлектронной продукции из США в год за 5 лет (в млн долл.),


-

потребление этой продукции за год в расчете на одну семью за 5 лет.


Решение.


Напишем уравнение линейной регрессии с.в.

на с.в.
:

,
где

-

средневзвешенное значение случайной величины

,


-

средневзвешенное значение случайной величины
,
,
, где
,


-

дисперсии случайных величин
и


,



.


Вычислим

по формуле:
.

.
.



15

Дисперсию

удобнее считать по вычислительной формуле
:
.


.

;

;

;
;
.


Коэффициент корреляции между случайными величинами

и

вычислим по формуле
:


.

Полученные данные подставим в уравнение регрессии случайной величины

на
.

;
;
.

Уравнение линейной регрессии

на
:

;
;
;

;
.
















16

Построим графики функций на одном чертеже
:

,
.




Найдем
точку пересечения

графиков функций


и
:

,
,
,
.

Случайные величины

и

являются лине
йно
-
зависимыми, так как

близок к
единице.



Ответ
:

,
,
.

y
1

y
2


17

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ


ВАРИАНТ 0


1.

В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли
три че
ловека. Каждый из них с
одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероя
т-
ности следу
ющих событий:

А = {все пассажиры выйдут на четвертом этаже},

В = {все пассажиры выйдут на одном и том же этаже},

С = {все п
ассажиры выйдут на разных этажах},

D = {хотя бы один из пассажиров выйдет на втором этаже},

Е = {два пассажира выйдут выше пятого этажа
}.


2.

В цехе работают 20 станков. Из них 10 станков
-

марки А,

6
-

марки В и 4
-

марки С.
Вероятность того, что качеств
о детали окажется отличным, для ста
н
ка марки А равна 0.9;
для станка мар
ки В
-

0.8; марки С
-

0.7. Каково процентное содержание числа деталей отли
ч-
ного качества во всей продукции цеха?


3.

Монета бросается 80 раз. Какова вероятность того, что герб вы
па
де
т не менее 35 раз?


4.

Из ящика, в котором 4 белых и
6

черных шаров, вынимают

шары по одному без во
з-
врата до появления черного шара. Соста
вить закон распределения случайной
в
еличины X
-

числа появив
шихся белых шаров. Найти М(Х) и D(X).


5.

Вес мотка пря
жи
-

случайная величина, подчиненная нор
мальному закону с матем
а-
тическим ожиданием 100 г. Найти ее

дисперсию, если отклонение веса мотка от среднего,
превышаю
щее 10 г, происходит с вероятностью 0.05.


6.

Плотность распределения вероятностей непрерывно
й случай
ной величины X имеет
вид:



f
(
x
)=



Найти а, М
(
Х) , D(X), Р(
-
1/2 X 1/2).


7.

Найти коэффициент корреляции между величинами X (вес
алмазов в каратах) и
Y

(оптовая цена плоских шлифовальных ал
мазных кругов в

тысячах рублей) на основании сл
е-
дующих данных:

X

1.55

2.49

4.6

6.0

7,7

Y

230

245

290

325

360

Найт
и уравнения линейной регрессии
Y

на X и X на
Y
. Начер
тить графики этих
у
равн
е-
ний в одной системе координат. Сделать вывод о силе линейной зависимости между X

и Y.


18

ВАРИАНТ 1


1.

Из партии, содержащей 10 деталей, среди которых 4 бра
кованные, наудачу извлек
а-
ются

последовательно без возврата 3

детали. Найти вероятности следующих событий:


А = {все выбранные детали бракованные},


В
=

{среди выбранных деталей хотя

бы одна бракованная},


С = {среди выбранных деталей ровно две бракованные},


D = {среди оставшихся деталей большинство бракованных},


Е

=

{две последние извлеченные детали бракованные}.


2.

На фабрике, изготовляющей болты, первая машина произво
дит 25%
, вторая
-

35%,
третья
-

40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2%. Какова
вероятность то
го, что случайно выбранный болт является дефектным?


3.

Игральная кость бросается 120 раз. Какова вероятность того, что 6 очков выпаду
т от
18 до 24 раз?


4.

В ящике находятся 3 белых и 2 черных шара. Шары из
влекаются по одному без во
з-
врата до появления черного шара. Составить закон распределения случайной величины X
-

числа извлеченных шаров. Найти М(Х) и D
(
X).


5.

Процент содержания кр
ахмала в картофеле является нор
мально распределенной сл
у-
чайной величиной с математическим ожиданием 18% и средним квадратическим отклонен
и-
ем 3%. Найти вероятность того, что обе наудачу взятые картофелины содержат от 16% до
22% крахмала.


6.

Да
н
а функция р
аспределения не
прерывной случайной вели
чины X
:



F
(
)=





Найти а, М(X), D
(
X), Р(3


X 6)

.


7.

Найти коэффициент корреляции между вел
ичинами X (рост производительности тр
у-
да в промышленности СССР в процентах за 5 лет с 1950 года) и Y (рост национального д
о-
хода в СССР в процентах за 5 лет с 1950 года) на основании следующих данных:


годы

1950

1951

1952

1953

1954

1955

X

100

110

117

125

13
3

144

Y

100

112

125

136

153

168


Найти уравнения линейной регрессии
Y

на X и X на
Y
. Начер
тить графики этих
у
равнений
в
о
д
н
ой системе координат. Сделать вывод о силе линейной зависимости между X и
Y
.


19

ВАРИАНТ 2


1.

Из ящика, содержащего 5 деталей, среди к
оторых 2 брако
ванные, наудачу
,

последов
а-
тельно и без возврата извлекаются де
тали до появления бракованной.

Найти вероятности
следующих
событий:

А = {извлечено ровно две детали},

В = {извлечено не более трех деталей},

С = {извлечено более двух деталей}
,

D = {среди извлеченных деталей нет стандартной},

Е = {бракованных и стандартных деталей извлечено поровну}.


2.

Д
ва стрелка независимо друг от друга стреляют по одной

мишени, делая каждый по
одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стр
елка равна 0.8, для вт
о-
рого
-

0.4.

После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти ве
роятность того,
что в мишень попал первый стрелок.


3.

Вероятность рождения мальчика равна 0.5. В семье 5 детей. Найти вероятность того,
что в рассматриваемой се
мье мальчиков больше, чем девочек.


4.

Буквы слова "ОГОРОД" рассыпаны в беспорядке. Из них выбирают 4 буквы. Найти
математическое ожидание и дисперсию

случайной величины X
-

числа букв "О" среди в
ы-
бранных. Найти М(Х) и D(X).


5.

Размер детали подчинен но
рмальному закону с параметрами

α

= 30 микрон и

σ = 5 микрон. Д
етали считаются годными, если

размер детали
н
аходится в пределах от 20

до
40 микрон. Если

размер детали больше 40 микрон, она подлежит переделке. Найти

среднее число деталей, подлежащих переде
лке, из произведенных

1000 деталей.


6.

Плот
н
ость распределения вероятностей непрерывной случай
ной величины X имеет
вид:







Найти а, М
(
Х) , В(Х), Р(

-
1 X 1

).


7.

Найти ко
эффициент корреляции между величинами X (вес изделия в килограммах) и
Y (оптовая цена изделия из прозрачно
го кварцевого стекла в тысячах рублей) на основании
следующих данных:


X

1.5

1.8

2.1

2.4

2.9

Y

625

669

768

801

833


Найти уравнения линейной регресси
и Y на X и X на Y. Начер
тить графики этих уравнений в
одной системе координат. Сделать в
ыв
од о силе линейной зависимости между X и Y.


20

ВАРИАНТ 3


1.

Вы останавливаете на улице наудачу трех человек и выясня
ете, в какой день недели
они родились. Найти веро
ятности следу
ющих событий:

А = {все родились в четверг},

В = {ни один не родился в воскресенье},

С = {все родились в различные дни недели},

D = {хотя бы один из опрошенных родился в понедельник},

Е = {все родились в один и тот же день недели},


2.

Вероятн
ость того, что студент А решит задачу, равна 1/2; для студента В эта вероя
т-
ность равна 1/3. Вызванный наудачу студент решил задачу. Какова вероятность того, что
это был А?


3.

Вероятность того, что саженец клена приживется, равна 0.6.

Найти вероятность т
ого,
что из 600 саженцев число прижившихся

окажется в пределах от 340 до 365.


4.

Стрелок имеет 4 патрона и стреляет в цель до первого по
падания. Вероятность поп
а-
дания при каждой выстреле равна 0.8. Составить закон распределения случайной величины
X


чис
ла использованных патронов. Найти М
(
Х) и D(X).


5.

Заряд охотничьего пороха отвешивают на весах. Вес заряда
-

нормально

р
аспред
е-
ленная случайная величина с параметрами α = 2.3 г

и σ =

150 мг. Найти вероятность повре
ж-
дения ружья при выстреле, если максимал
ьно допустим
ый вес заряда пороха равен 2.5

г



6.

Дана функция распределения непрерывной случайной вели
чины X:



;

Найти
α
,
f
(х), М
(
Х), Р(
π
/4


X
π
) .


7.

Найти коэффициен
т корреляции между величинами X (основ
ные фонды пяти заводов
СССР в 1950 г, в млн рубле
й), и

(выпуск продукции этих заводов в млн рублей) на осн
о-
вании сле
дующих данных
:



X

6

8

9

9

10


Y

4

4

5

7

5


Найти уравнения линейной регр
ессии
Y

на X и X на
Y
. Начер
тить графики этих уравнений в
одной системе координат. Сделать вывод о силе линейной зависимости между X и
Y
.



21

ВАРИАНТ 4


1.

С площади уезжают четыре автомобиля. Каждый автомобиль может с равной вероя
т-
ностью поехать по любой и
з четырех улиц, начинающихся от этой площади. Найти вероя
т-
ности следующих событий:

А = {все автомобили поедут по одной и той же улице},

В = {по каждой из улиц поедет автомобиль},

С = {по одной из улиц не поедет ни один из автомобилей},

D = {хотя бы по одно
й из улиц поедут более одного автомобиля},

Е = {хотя бы по одной из улиц поедут два автомобиля}


2.

Первый стрелок попадает в цель с вероятностью 0.8; второй с вероятностью 0.6; тр
е-
тий
-

с вероятностью 0.5. Кто
-
то из них выстрелил в цель, но не попал. Како
ва вероятность
того, что это был третий стрелок?


3.

На каждые 10 изделий приходится в среднем одно дефектное. Найти вероятность т
о-
го, что среди 36 взятых наудачу изделий 30 будут без дефектов.


4.

Из ящика, в котором 8 белых и 2 черных шара, извлекаются с
разу 3 шара. Составить
закон распределения случайной величи
ны X
-

числа извлеченных черных шаров. Найти М(Х)
и D
(
X).


5.

Размер детали подчинен нормальному закону с параметрами α = 33 микрона и

σ = 4 микрона. Поле допуска
-

от 20 микронов до 40 микронов
. Найти вероятность брака.

6.

Плотность распределения вероятностей непрерывной случай
ной величины X имеет
вид:








Найти
α
, М(Х) , D(X), Р(
-
1 X 1).


7.

Найти коэффициент
корреляции между величинами X (глубина вспашки в см) и Y
(величина урожая с 1 га) на основании следующих данных:

X

8

9

10

11

12

Y

9.0

8.5

9.2

9.6

9.4

Найти уравнения линейной регрессии Y на X и X на Y. Начертить графики этих уравнений в
одной системе коорд
инат. Сделать вывод о силе линейной зависимости между X и
Y
.



22

ВАРИАНТ 5


1.

Наудачу набирается семизначный телефонный номер. Найти вероятности следующих
событий:

А = {все цифры набранного номера различны},

В = {три последние цифры набранного номера совпад
ают},

С = {набранный номер начинается с цифры 5},

D = {хотя бы две цифры набранного номера совпадают},

Е = {все цифры набранного номера четные}.


2.

Производственные мощности трех швейных фабрик относят
ся как 1:3:5. Процент
брака изделий на фабриках рав
ен соответ
ственно 10%, 15%, 20%. Купленное изделие оказ
а-
лось бракованным. Какова вероятность того, что это изделие изготовлено на второй фабр
и-
ке?


3.

Производится 240 выстрелов с вероятностью попадания при каждом выстреле, равной
0.7. Какова вероятность т
ого, что про
изойдет не менее 160 попаданий?


4.

Монета бросается до появления герба, но не более пяти раз. Составить закон распр
е-
деления случайной величины X


числа бросаний монеты. Найти М(Х)

и

D
(Х).


5.

Автомат изготовляет шарики. Диаметр шарика


случ
айная величина, подчиненная
нормальному закону. Известно, что в среднем у 92% шариков абсолютное отклонение ди
а-
метра от расчетного диаметра меньше 0.7 мм. Найти число шариков, у которых это отклон
е-
ние будет меньше 1.08 мм, если изготовлено 1000 шариков.


6
.

Дана функция распределения непрерывной случайной величи
ны X:




;


Найти
α
, М(Х), D(X), Р(1/3


X 4) .


7.

Найти коэффициент корреляции между величинами X (энерговооруже
нность труда в
квт/час на 1 человека) и
Y

(годовая вы
работка на одного работника в млн рублей) на основ
а-
нии следу
ющих данных:

X

2

3

4

5

6

Y

2,5

3.0

3.5

4.2

5.1


Найт
и уравнения линейной регрессии
Y

на X и X на
Y
. Начер
тить графики этих
у
равнений в
одной

системе координат. Сделать вывод о силе линейной зависимости между X и
Y
.



23

ВАРИАНТ 6


1.

Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна 0.9. Имея запас
из пяти снарядов, ведут стрельбу по цели до первого попадания. Найти вероятности с
л
е-
дующих событий:

А = {произведено четыре выстрела},

В =

{число промахов и число попаданий совпадают},

С = {попадание произошло не позже, чем при третьем выстреле},

D = {весь запас снарядов израсходован},

Е = {стрельба произведена без промахов}.


2.

Партия

беретов уложена в 100 коробках, причем 10 коро
бок содержат по 60% белых
беретов, 50 коробок содержат по 70% белых беретов, остальные
-

по 20% белых беретов.
Из наудачу взятой коробки наудачу вынули берет. Он оказался белым. Найти вероятность
того, что

он вынут из коробки, содержащей 20% белых беретов.


3.

Наблюдениями в некоторой местности установлена вероятность того, что день будет
безоблачным. Она равна 0.25. Найти вероятность того, что в течение недели число безо
б-
лачных дней будет не больше тре
х.


4.

В
I

ящике
-

2 белых и 3 черных шара, во
II

ящике
-

3 белых и 3 черных шара. Из к
а-
ждого ящика вынимают по одному без возврата 2 шара. Случайная величина X
-

число вын
у-
тых белых шаров. Найти М(Х) и D
(
X).


5.

Рост человека из некоторой совокупности
подчинен нормаль
ному закону с параме
т-
рами
α

= 176 см и
σ

= 8см. Какова вероят
ность того, что двое выбранных наудачу людей
имеют рост выше
-

172 см?


6.

Плотность распределения вероятностей непрерывной случай
ной величины X имеет
вид:






Найти
α
, М(Х) , D(X), Р(
-
2 X 1).


7.

Найти коэффициент корреляции между величинами X (основные фонды во всех о
т-
раслях народного хозяйства СССР в процен
тах к 1950 году) и Y (численность раб
о
чих и
служащих, занятых в народном хозяйстве СССР
,

в процентах к 1950 году) на основании сл
е-
дующих данных:


годы 1950

1951

1952

1953

1954

1955

X


100


110

121

133

147

164

Y


100


105

109

112

122

124

Найт
и уравнения линейной регрессии
Y

на
X и X на
Y
. Начер
тить графики этих уравнений в
одной системе координат. Сделать вывод о силе
линейной зависимости между X и
Y
.



24

ВАРИАНТ 7


1.

Два баскетболиста по очереди бросают мяч в корзину, при этом каждый может сд
е-
лать не более трех бросков. Выигрыв
ает тот, кто первым забросит мяч. Вероятности попад
а-
ния при одном броске для первого и второго баскетболиста равны соответственно 0.8 и 0.6.
Найти вероятности следующих событий:

А= {выиграл первый баскетболист},

В= {второй баскетболист сделал не менее одно
го броска},

С= {каждый из баскетболистов сделал ровно по одному промаху},

D = {баскетболисты сделали одинаковое число бросков},

Е = {при игре было произведено меньше пяти бросков}
.


2.

Имеются 2 ящика
I

типа, 3 ящика II типа и 4 ящика
III

типа. Ящик
I

типа

содержит
5

шаров: 2 белых и 3 черных; ящик
II

типа
-

4 шара: 3 белых и 1 черный;
III

типа
-

6 шаров:
2

белых и 4 черных. Из наудачу взятого ящика наудачу вынули шар. Он оказался белым.

Найти вероятность того, что он был вынут из

ящика III типа.


3.

В ср
еднем в час происходят 120 обрывов на 1000 веретен. Найти вероятность того,
что на 100 веретенах в час произойдет от 10 до 14 обрывов.


4.

Игральная кость бросается 4 раза. Составить закон распре
деления случайной велич
и-
ны X
-

числа появлений четного числа

очков. Найти М(Х) и D(X).


5.

Производится стрельба
-

по полосе шириной 20 м с прице
ливанием по ее средней л
и-
нии. Отклонение от средней линии
-

нормально распределенная случайная величина со
средним квадратическим отклонением 16 м. Найти вероятност
ь попадания в полосу при о
д-
ном выстреле.


6.

Плотность распределения вероятностей непрерывной случай
ной величины X имеет
вид
:






Найти
α
, М(Х), Р(0 < X <
π
).


7.

Найти коэффиц
иент корреляции между величинами X (основ
ные фонды во всех о
т-
раслях народного хозяйства СС
С
Р в процентах к 1950 году) и
Y

(валовая продукция всей
промышленности СССР в процентах к 1950 году) на основании следу
ющих данных:

годы

1950

1951

1952

1953

1954

1955

X

100

110

121

133

147

164

Y

100

116

130

145

165

185

Найт
и уравнения линейной регрессии
Y

на X и X на
Y
. Начер
тить графики этих уравнений в
одной системе координат. Сделать вывод о силе линейной зависимо
сти

между X и
Y
.



25

ВАРИАНТ 8


1.


Игральная кос
ть бросается четыре раза. Найти вероятно
сти следующих событий:


А = {ни разу не выпало 6 очков},

В = {каждый раз выпадало одно и то же число очков},

С = {хотя бы один раз выпало 2 очка},

D = {сумма выпавших очков равна пяти},

Е = {все числа выпавших о
чков оказались различными}.


2.

В коробке 10 револьверов, среди которых 6 пристрелянных. Вероятность попасть в
цель при одном выстреле из пристрелянного револьвера равна 0.9, из не пристрелянного
-

0.7. Найти вероят
ность того, что в результате выстрела
из наудачу взятого револь
вера пр
о-
изойдет попадание.


3.

Семена данного сорта всходят с вероятностью 0.8. Какова вероятность того, что из
90 посеянных семян взойдут не менее 70?


4.

В соревнованиях участвуют 3 спортсмена. Вероятности вы
игрыша для них р
авны с
о-
ответственно 0.4; 0.7; 0.8. Найти матема
тическое ожидание и дисперсию числа выигравших
спортсменов.


5.

Вес изделия распределен по нормальному закону. Известно, что абсолютные отклон
е-
ния веса изделия от его расчетного веса, превосходящие 150 г, вст
речаются в среднем 31 раз
на 1000 изде
лий. Найти параметр
σ

распределения веса изделия.


6.

Плотность распределения вероятностей непрерывной случай
ной величины X имеет
вид:





Найти
α
, М
(
Х) , D(X), Р(
-
1 X 1).


7.

Найти коэффициент корреляции между величинами X (вало
вой отечественный пр
о-
дукт в млрд франков) и
Y

(импорт в млрд франков) по данным периода 1949

1966 гг
.

во
Франции, представленным в следующей таблице:

X

149.3

161.2 171.5 175.5 180.8 190.7

Y

15.9


16.4 19.0 19.1 18.8 20.4

Найти уравнения линейной регрессии
Y

на X и X на
Y
. Начер
тить графики этих уравнений в
одной системе координат. Сделат
ь вывод о силе линейной зависимости между X и
Y
.



26

ВАРИАНТ 9


1.

В лотерее из 10 билетов 4 выигрышных. Пять человек при
обрели по одному
б
илету.
Найти вероятности следующих событий:

А = {никто из игравших не выиграл},

В = {хотя бы один из игравших выиграл
},

С = {выиграли ровно двое из игравших},

D = {число проигравших меньше числа выигравших},

Е = {среди оставшихся билетов большинство выигрышных}.


2.

В первой колоде 32 карты, во второй
-

52 карты. Из первой колоды во вторую перел
о-
жили 2 карты. После это
го из второй колоды вынули 1 карту. Найти вероятность того, что
вынут туз.


3.

Вер
оятность попадания баскетболиста

в корзину при одном броске равна 2/3. Прои
з-
ведено 4 броска по корзине. Найти вероятность того, что произошло не менее трех попад
а-
ний.


4.

Вер
оятности попадания в цель при одном выстреле для стрел
ков А, В,С равны соо
т-
ветственно 0.9; 0.7; 0.6. Каждый стрелок произвел по одному выстрелу. Составить закон
распределения случайной величины X
-

числа происшедших при этом попаданий в цель. В
ы-
числить
М(Х) и D
(
X).


5.

Вес рыб, вылавливаемых из пруда, подчинен нормальному закону с параметрами

α = 375 г и σ
-

25 г. Найти вероятность того, что вес выловленной рыбы не менее 300 г.


6.

Плотность распределения веро
ятностей

непрерывной случай
ной величины X

имеет
вид:






Найти
α
, М
(
Х) ,
D
(
Х), Р(0 < X < 3/4).


7.

Найти коэффициент корреляции между величинами X (темпы прироста производ
и-
тельности труда) и
Y

(тем
п
ы прироста продук
ци
и по данным Госкомстата СССР за 1987

г
.
)
на основании данных, приведенных в следующей таблице:


Х

3.9

3.1

6.1

3.5

1.9

3 0

Y

3.3

2.6

6.4

3.7

2.5

4.4


Найти уравнения линейной регрессии
Y

на X и X
н
а
Y
. Начер
тить графики этих уравнений в
одной системе коорд
инат. Сделать вывод о силе линейной зависимости между X и
Y
.













27
















































Методические указания и контрольные задания по курсу


«Теория вероятностей и мат
е
матическая статистика»


для студентов заочной формы об
учения



Редактор
Е.Д. Груверман


Подписано в печать
13
.
11
.
12. Формат 60х84 1/16.

Усл. п
еч. л. 1,
75
. Тираж
5
0 экз. Заказ
545
. РТП изд
-
ва СПбГУЭФ.


Издательство СПб
ГУЭФ.
191023, Санкт
-
Петербург, Cадовая ул., д. 21.


Приложенные файлы

  • pdf 8959324
    Размер файла: 670 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий