Теория вероятностей и математическая статистика..

ГОУ ВПО Самарский государственный экономический университет
филиал в г. Тольятти
2012-2013 уч. г.
Специальность: ФиКр
Курс: 2
Форма обучения: заочная
Наименование дисциплины: «Теория вероятностей и математическая статистика»
Преподаватель: Кротов Евгений Ильич
Контрольная работа

Требования к выполнению и оформлению контрольной работы

Номер варианта контрольной работы выбирается по последней цифре номера зачетной книжки или студенческого билета (они должны совпадать). Например, если последняя цифра номера зачетной книжки «0»13 EMBED Equation.3 1415 то выбирается вариант №10, если «1», то выбирается вариант №1, и так далее до варианта №9. (В контрольной работе всего 10 вариантов).
На контрольной работе должен быть стандартный титульный лист, где указано название учебного заведения, фамилия, имя, отчество студента, специальность, группа, название дисциплины, по которой выполняется контрольная работа, номер варианта выполненной работы, фамилия, имя13 EMBED Equation.3 1415 отчество преподавателя.
Решение каждой задачи должно быть написано с новой страницы аккуратным, разборчивым почерком (допускается выполнение и распечатка работы на компьютере).
Для каждой задачи должен быть указан ее номер, полностью записано ее условие, затем слово «Решение», после чего должно следовать само решение, затем слово «Ответ», после которого приведены ответы на все вопросы задачи и сформулированы требуемые выводы.

При несоблюдении перечисленных требований работа не проверяется и отправляется на доработку!




























Вариант 1

Теория вероятностей.
1. В партии готовой продукции, состоящей из 25 деталей, 5 бракованных. Определить вероятность того, что при случайном выборе четырех деталей: а) все они окажутся не бракованными; б) бракованных и не бракованных изделий будет поровну.
2. В автопробеге участвуют 3 автомобиля. Первый может сойти с маршрута с вероятностью 0,15; второй и третий автомобили не дойдут до финиша соответственно с вероятностями 0,05 и 0,1. Требуется определить вероятность того, что к финишу прибудут: а) только один автомобиль; б) два автомобиля; в) по крайней мере, два автомобиля.
3. Машиносчетное бюро оснащено десятью суммирующими, двадцатью вычислительными и семью табличными машинами. Известно, что за время выполнения некоторых расчетов из строя выходит одна суммирующая машина, а количество вышедших из строя вычислительных и табличных машин соответственно в 3 и 5 раз больше. Найти вероятность того, что наудачу выбранная из имеющихся машина не выйдет из строя до окончания расчетов.
4. Случайная величина X распределена равномерно в интервале (5;9). Составить дифференциальную и интегральную функции распределения этой случайной величины, и построить их графики. Наши числовые характеристики и вероятность попадания случайной величины в интервал (6;8). Показать эту вероятность на графике.
5. Диаметр деталей, изготовленных автоматом, представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону. Дисперсия ее равна 4, а математическое ожидание равно 20,5 мм. Найти вероятность брака, если допустимые размеры диаметра детали должны быть 20 ± 3 мм.

Математическая статистика.

1. Две группы рабочих изготавливают одинаковую продукцию. Для каждой из этих групп даны ряды распределения рабочих по числу изготавливаемых за смену деталей (см. таблицу). Вычислить для каждой группы выборочные характеристики: среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Дать характеристику среднего уровня производительности труда в группах.

Группа
Количество


деталей
рабочих


1
16
3


18
5


20
2


2
16
2



19
6



22
2


2. Для определения среднего возраста учащихся учебного заведения методом случайной повторной выборки обследовано 200 чел. Определить вероятность, с которой можно ожидать, что отклонение в ту или другую сторону средней выборочной от средней генеральной не превысит 0,5 года. Полагать дисперсию равной 6,25 и считать распределение возраста учащихся нормальным,
3. Экономический анализ производительности труда предприятия отрасли позволил выдвинуть гипотезу о наличии (в совокупности) двух типов предприятий с различной средней величиной показателя производительности труда. Для первой группы (12 объектов) средняя производительность труда 13 EMBED Equation.3 1415=119 деталей, исправленная выборочная дисперсия s13 EMBED Equation.3 1415= 126,91; для второй группы (12 объектов) соответственно 13 EMBED Equation.3 1415 =107 деталей, s13 EMBED Equation.3 1415 =136,10. Считая, что выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей X и Y, при уровне значимости 13 EMBED Equation.3 1415= 0,05 проверить, случайно ли полученное различие средних показателей производительности труда в группах, или же имеются два типа предприятий с различной средней величиной производительности труда.
4. В результате длительных наблюдений установлено, что вероятность полного выздоровления больного, принимающего лекарство 13 EMBED Equation.3 1415, равна 0,7. Новое лекарство 13 EMBED Equation.3 1415 назначено 1800 больным, причем 1700 из них полностью выздоровели. Можно ли считать лекарство 13 EMBED Equation.3 1415 эффективнее лекарства 13 EMBED Equation.3 1415 на пятипроцентном уровне значимости?
5. По данным 27 предприятий для нормирования труда проведено статистическое исследование связи между количеством изготавливаемых изделий (X, шт.) и затраченным на это рабочим временем (Y, мин.). Установили, что имеет место прямая корреляционная связь между ними: выборочный коэффициент корреляции r13 EMBED Equation.3 1415= 0,85. Проверить значимость этой связи при 13 EMBED Equation.3 1415= 0,02. Построить уравнение линейной регрессии если известно, что выборочные средние равны соответственно 13 EMBED Equation.3 1415 = 8 шт., 13 EMBED Equation.3 1415 =40 мин., а выборочные средние квадратические отклонения равны s13 EMBED Equation.3 1415= 3,3 и s13 EMBED Equation.3 1415 = 8. Объяснить уравнение регрессии.




Вариант 2.

Теория вероятностей.

1. Среди 20 студентов группы, из которых 12 девушек, разыгрывается 5 билетов. Какова вероятность того, что: а) все они достанутся девушкам; б) среди обладателей билетов окажутся 3 юноши.
2. В цехе работают 3 станка. Вероятность отказа в течение смены для первого станка равна 0,1; для второго станка - 0,2 и для третьего - 0,15. Найти вероятность того, что в течение смены безотказно проработают: а) только один станок; б) два станка; в) хотя бы один станок.
3. Литье в болванках поступает из трех заготовительных цехов: 60 шт. из первого цеха, а из второго и третьего цехов соответственно в 2 и 4 раза больше, чем из первого. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, второго - 20% , а третьего - 25%. Найти вероятность того, что наудачу взятая болванка окажется без дефектов,
4. По данным длительной проверки качества выпускаемых запасных частей брак составляет 6%. Определить вероятность того, что в партии из 150 запасных частей пригодных окажется 140 штук.
5. На автомате изготавливают заклепки, диаметр головок которых распределяется по нормальному закону с математическим ожиданием 3 мм и дисперсией 0,01. Какую точность диаметра головок заклепок можно гарантировать с вероятностью 0,9216.

Математическая статистика.

1.Дано распределение месячной заработной платы рабочих:

Месячная зарплата, руб.
220
230
240
250

Число рабочих
11
7
5
2

Вычислить выборочные среднюю, размах, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации ряда распределения.
2. Методом случайной повторной выборки производится обследование возраста читателей одной библиотеки. Сколько карточек необходимо взять для обследования, чтобы с вероятностью 0,99 можно было бы утверждать, что выборочная средняя отклоняется от генеральной средней не более чем на 1 год? Среднее квадратическое отклонение принять равным 5 годам. Считать распределение возраста читателей нормальным.
3. Для испытания шерстяной материи на прочность произведены две выборки объемом в 10 и 12 образцов. Средняя прочность оказалась равной 135 г и 136 г при исправленных дисперсиях 4 и 6. Считая выборки извлеченными из нормальных генеральных совокупностей, определить при уровне значимости 0,01 существенность расхождения между средними в обеих выборках.
4. Завод рассылает рекламные каталоги возможным заказчикам. Как показал опыт, вероятность того, что организация, получившая каталог, закажет рекламируемые изделия, равна 0,08. Завод разослал 1000 каталогов новой улучшенной формы и получил 100 заказов. Можно ли считать, что новая форма рекламы оказалась эффективнее первой на пятипроцентном уровне значимости?
5. Определите тесноту связи возраста самолета (X, лет) и стоимости его эксплуатации (Y, тыс. р.) по следующим данным:

13 EMBED Equation.3 1415
1
2
3
4
5

13 EMBED Equation.3 1415
2
4
5
8
10

Установите значимость коэффициента корреляции. Если коэффициент корреляции значим, то постройте уравнение регрессии и объясните его. Спрогнозируйте стоимость эксплуатации самолета, если его возраст 1,5 года. (Принять уровень значимости равным 0,05).

















Вариант №3.

Теория вероятностей.

1. Среди 50 лампочек 4 нестандартных. Найти вероятность того, что из трех наудачу взятых лампочек: а) стандартных окажется не менее двух; б) по крайней мере одна нестандартная.
2. К испытываемому устройству подключены три прибора. Вероятности выхода из строя приборов соответственно равны 0,3; 0,2; 0,15. Требуется найти вероятность того, что за время проведения испытания останутся работоспособными: а) один прибор; б) два прибора; в) хотя бы два прибора.
3. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый дает в среднем 98% годных деталей, второй - 99%, а третий - 97%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если она выбрана случайным образом, а производительность автоматов одинакова.
4. Поезда метрополитена идут с интервалом в 2 мин. Пассажир приходит на платформу в некоторый момент времени. Время, в течение которого ему приходится ждать поезда, является случайной величиной, распределенной равномерно. Найти для этой случайной величины: а) дифференциальную функцию распределения и построить ее график; б) математическое ожидание и дисперсию; в) вероятность того, что пассажир будет ждать поезд менее 1 мин., указать эту вероятность на графике.
5. Детали, изготовленные автоматом, по размеру диаметра распределяются по нормальному закону. Известно, что математическое ожидание размера диаметра равно 4,5 см, а дисперсия – 0,09. Определить границы, в которых следует ожидать размер диаметра детали, если вероятность невыхода за эти границы принять равной 0,95.

Математическая статистика.

1. Две группы рабочих изготавливают одинаковую продукцию. Для каждой из этих групп даны ряды распределения рабочих по числу изготавливаемых за смену деталей (см. таблицу):

Группа
Количество


деталей
рабочих


1
15
2


18
1


20
7


2
15
2


18
2


20
10

Вычислить выборочные: среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации для каждой группы. Дать характеристику среднего уровня и вариации производительности труда в каждой группе.
2. Методом случайной повторной выборки было взято для проверки на вес 200 деталей. В результате проверки установлено, что распределение веса деталей можно считать нормальным со средним квадратическим отклонением 4 г; средний вес деталей 30 г. С надежностью 0,9544 требуется определить интервал, в котором находится средний вес деталей в генеральной совокупности.
3. Выход мяса крупного рогатого скота (в центнерах на 100 структурных голов) по 100 колхозам сельскохозяйственного района задан рядом (см. таблицу). Там же даны теоретические частоты, найденные в предположении о нормальном законе распределения. С помощью критерия Пирсона при 13 EMBED Equation.3 1415=0,05 проверить гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности.

Выход мяса, ц
250
270
290
310
330
350
370
390
более 390

Число колхозов
6
25
21
17
12
6
6
5
2

Теоретические частоты
12
13
18
20
17
6
6
2
1


4. Партия изделий принимается, если вероятность того, что изделие окажется бракованным, не превышает 0,02. Среди случайно отобранных 250 изделий оказалось 8 дефектных. Можно ли принять партию? (13 EMBED Equation.3 1415=0,01)
5. В опытном хозяйстве на протяжении 32 месяцев отмечали расходы на механизацию работ (X , тыс. р.) и полученные привесы всего скота (Y, ц). Установили, что имеет место прямая корреляционная зависимость между ними: r13 EMBED Equation.3 1415= 0,8. Проверить значимость этой связи при 13 EMBED Equation.3 1415= 0,05. Написать уравнение линейной регрессии и объяснить его, если известно, что выборочные средние квадратические отклонения соответственно равны: s13 EMBED Equation.3 1415=3,2 тыс. р., s13 EMBED Equation.3 1415= 8 ц, а средние значения: 13 EMBED Equation.3 1415 = 8 тыс. p., 13 EMBED Equation.3 1415 = 40 ц.





Вариант №4.

Теория вероятностей.

1. В читальном зале имеется 7 учебников по теории вероятностей, из которых 3 в переплете. Библиотекарь наугад взял 3 учебника. Какова вероятность того, что среди них окажется: а) не более одного учебника в переплете; б) по крайней мере один учебник в переплете?
2. На участке установлены 3 станка. Вероятности выхода из строя первого станка при его включении составляет 0,02; для второго станка подобная вероятность равна 0,03, а для третьего - 0,05. Чему равна вероятность того, что при одновременном включении всех станков останутся работоспособными: а) только один станок; б) два станка; в) хотя бы один станок?
3. На трех поточных линиях производятся одинаковые изделия, которые поступают в ОТК. Производительность первой поточной линии вдвое больше производительности второй и вдвое меньше производительности третьей поточной линии, причем первая линия в среднем производит 50% изделий высшего сорта, вторая - 80%, третья - 30%. Наугад взятое ОТК на проверку изделие оказалось высшего сорта. Какова вероятность того, что это изделие произведено на второй поточной линии?
4. Вероятность повреждения радиоаппаратуры при транспортировке равна 0,002. Какова вероятность того, что при транспортировке 3000 изделий будет повреждено не более трех?
5. Размер гайки задан полем допуска 60-65 мм; В некоторой партии гаек средний размер оказался равным 62,8 мм, а среднее квадратическое отклонение - 1,1 мм. Считая, что размер гайки подчиняется закону нормального распределения, вычислить вероятность брака по размеру гайки.

Математическая статистика.

1. Две группы рабочих изготавливают одинаковую продукцию. Для каждой из этих групп даны ряды распределения рабочих по числу изготавливаемых за смену деталей (см. таблицу):

Группа
Количество


деталей
рабочих


1
10
3


12
5


15
10


17
2


2
8
1


10
4


12
10


14
5


Вычислить выборочные среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации для каждой из групп. Дать характеристику среднего уровня и вариации производительности труда в каждой группе.
2. Для проверки срока службы электроламп методом случайной повторной выборки взято 25 ламп. Средний срок их службы оказался равным 980 ч. Определить с надежностью 0,9876 границы доверительного интервала для генеральной средней в предположении, что срок службы ламп распределен по нормальному закону со средним квадратическим отклонением 20 ч.
3. В результате специального обследования получено выборочное распределение стажа работников завода (X - стаж работы, годы; m13 EMBED Equation.3 1415 - эмпирические частоты; m13 EMBED Equation.3 1415-теоретические частоты нормального распределения):

x13 EMBED Equation.3 1415
5
7
9
11
13
15
17
19
21

m13 EMBED Equation.3 1415
15
26
25
30
26
21
24
20
13

m13 EMBED Equation.3 1415
9
16
25
32
34
30
22
14
7

Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,01 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки.
4. Партия изделий принимается, если вероятность того, что изделие окажется бракованным, не превышает 0,01. Среди случайно отобранных 1600 изделий оказалось 20 бракованных. Можно ли принять партию? (13 EMBED Equation.3 1415= 0,05).
5. Для установления зависимости между стажем работы X и выработкой рабочих Y проведено специальное обследование и получены следующие выборочные данные: количество наблюдений n = 11, среднее значение13 EMBED Equation.3 1415= 4 года, среднее значение 13 EMBED Equation.3 1415= 10 шт., выборочные средние квадратические отклонения s13 EMBED Equation.3 1415= 0,5 года, s13 EMBED Equation.3 1415 = 0,4 шт., коэффициент парной корреляции r13 EMBED Equation.3 1415= 0,9. Можно ли считать полученную корреляционную связь достоверной? Если да, то построить уравнение регрессии, объяснить его и вычислить предполагаемую среднюю выработку при стаже 4,5 года (13 EMBED Equation.3 1415= 0,05).
Вариант №5.

Теория вероятностей.

1. Из партии, в которой 34 детали без дефектов и 6 с дефектами, берут наудачу 3 детали. Чему равна вероятность того, что окажутся; а) все три детали без дефектов; б) по крайней мере одна деталь без дефектов?
2. Вероятность того, что в течение года в радиоприемнике выйдет из строя лампа №1 равна 0,25. Вероятность выхода из строя ламп №2 и №3 соответственно 0,15 и 0,1. Найдите вероятность того, что вышедший из строя радиоприемник не работает из-за неисправности: а) только одной лампы; б) двух ламп; в) по крайней мере одной лампы.
3. В сборочный цех завода поступили однотипные детали, изготовленные на трех автоматах. Известно, что первый автомат дает 3% брака, второй - 1%, а третий - 2% брака. Найти вероятность попадания на сборку годной детали, если с первого автомата поступило 600 деталей, со второго и третьего - соответственно в 2 и 3 раза меньше, чем с первого. Деталь отбирается случайным образом.
4. Непрерывная случайная величина X имеет показательное распределение с параметром 13 EMBED Equation.3 1415= 0,6. Найти дифференциальную и интегральную функции распределения, числовые характеристики этой случайной величины и вероятность того, что случайная величина принимает значения в интервале (5; 10).
5. Диаметр подшипников, выпускаемых заводом, представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием 16 мм и дисперсией 0,16. Найти вероятность брака при условии, что для диаметра подшипника разрешается допуск ±0,7 мм.



Математическая статистика.

1.Имеются данные о распределении рабочих по числу обслуживаемых станков:

Количество обслуживаемых станков
6
7
8
9
10

Число рабочих
22
33
89
40
16

Вычислить выборочную среднюю, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.
2. В порядке случайной повторной выборки проведено обследование 10000 пассажиров пригородных поездов, в результате которого установлена средняя дальность поездки пассажиров, равная 24,2 км. Определить с надежностью 0,6827 возможные пределы средней дальности поездки пассажиров, считая распределение дальности поездки пассажиров нормальным со средним квадратическим отклонением 12 км.
3. На заводе имеются центробежные насосы, закупленные на предприятиях А и В по 10 шт. Насосы, закупленные на предприятии А , проработали до поломки в среднем 100 дней, исправленное среднее квадратическое отклонение равно 10 дней; насосы, закупленные на предприятии В, проработали до поломки в среднем 105 дней, исправленное среднее квадратическое отклонение равно 9 дней. Заводу требуется приобрести еще насосы. Специалист по материально-техническому снабжению решил, что надо закупать насосы на предприятии В. Считая, что выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей, проверить, действительно ли насосы, выпущенные предприятием В лучше? (13 EMBED Equation.3 1415 = 0,01)
4. Партия изделий принимается, если вероятность того, что изделие окажется бракованным, не превышает 0,01. Среди случайно отобранных 600 изделий оказалось 8 бракованных. Можно ли принять партию? (13 EMBED Equation.3 1415 = 0,05
·)
5. Имеются выборочные данные о глубине вспашки нолей под пшеницу (X, см) и урожайности пшеницы (Y, ц/га):

13 EMBED Equation.3 1415
10
15
20
25
30

13 EMBED Equation.3 1415
5
10
16
20
24

При 13 EMBED Equation.3 1415 = 0,05 установить значимость статистической связи между признаками X и Y. Если признаки коррелированны, то построить уравнение регрессии, объяснить его и спрогнозировать урожайность пшеницы при глубине вспашки 22 см.










Вариант №6.

Теория вероятностей.

1. Для 30 студентов для производственной практики предоставлено 10 мест в Саратове, 8 в Казани, остальные в Самаре. Какова вероятность того, что три определенных студента попадут на практику в один город?
2. В цехе 3 участка. Вероятность невыполнения плана первым участком составляет 0,02; для второго и третьего участков эта вероятность соответственно равна 0,05 и 0,01.Найти вероятность того, что к моменту подведения итогов работы плановое задание будет выполнено: а) только одним участком; б) двумя участками; в) хотя бы одним участком.
3. Электролампы поставляются магазину тремя заводами. В очередной раз первый завод поставил 100 шт., второй завод - 150 шт., а третий - 200 шт. Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго - 80%. Продукция третьего завода содержит только стандартные изделия. Определить вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется нестандартной.
4. На некотором предприятии доля брака составляет в среднем 0,2%. Какова вероятность того, что в партии, состоящей из 500 изделий этого предприятия, окажется не более трех бракованных изделий?
5. Цех выпускает детали двух типов. Распределение их длины - нормальное. Для деталей I типа - математическое ожидание равно 40 мм, а дисперсия равна 0,25. Для деталей II типа - математическое ожидание 25 мм, а дисперсия 4. Что вероятнее: попадание размера детали типа I в интервал (38; 43) или детали типа II в интервал (24; 27)?

Математическая статистика.

1. Группа рабочих изготавливает одинаковую продукцию. Дан ряд распределения рабочих по числу изготавливаемых за смену деталей (см. таблицу). Вычислить выборочную среднюю, размах, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Количество деталей
18
20
22
25
26

Число рабочих
5
6
10
4
5


2. В порядке случайной повторной выборки проведено обследование 400 рабочих некоторого предприятия, в результате чего установлено, что средняя заработная плата рабочих составляет 190 руб. Определить с надежностью 0,9544 возможные пределы заработной платы рабочих, считая распределение заработной платы рабочих нормальным со средним квадратическим отклонением 60 руб.
3. В результате специального обследования получено выборочное распределение времени простоя фрезерных станков одного цеха (x13 EMBED Equation.3 1415 - время простоя, мин. , m13 EMBED Equation.3 1415-эмпирические частоты; m13 EMBED Equation.3 1415- теоретические частоты нормального распределения):

13 EMBED Equation.3 1415
5,5
10,5
15,5
20,5
25,5
30,5
35,5

13 EMBED Equation.3 1415
6
8
15
40
16
8
7

13 EMBED Equation.3 1415
5
10
20
27
21
11
6

Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,01 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки.
4. Для определения качества продукции на двух электроламповых заводах взяли на выборку по 10 электроламп и проверили продолжительность их горения. При этом получили характеристики вариации продолжительности горения электроламп: на первом заводе выборочная дисперсия составила s13 EMBED Equation.3 1415 = 0,17; на втором заводе - s13 EMBED Equation.3 1415 = 0,25. При уровне значимости 0,05 проверить существенность различия вариации продолжительности горения электроламп на заводах, считая, что выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей X и Y.
5. По данным двенадцати однотипных мясомолочных совхозов исследуется влиянии электровооруженности (X, кВт) на производительность труда (Y, тыс. руб./чел). Статистические расчеты дали следующие результаты: выборочные средние: 13 EMBED Equation.3 1415= 70, 13 EMBED Equation.3 1415= 30, 13 EMBED Equation.3 1415= 2235; выборочные средние квадратические отклонения: s13 EMBED Equation.3 1415 = 21,22; s13 EMBED Equation.3 1415 = 9. Определить коэффициент корреляция между электровооруженностью и производительностью труда. Проверить его значимость при 13 EMBED Equation.3 1415 = 0,05. Построить уравнение линейной регрессии и объяснить его.









Вариант №7.

Теория вероятностей.

1. Из 25 лотерейных билетов 4 выигрышных. Наудачу вынимают 3 билета. Какова вероятность того, что среди них окажется: а) не более одного выигрышного билета; б) хотя бы один выигрышный билет?
2. Известно, что первый станок простаивает 5%, второй станок - 10%, а третий -15% рабочего времени. Какова вероятность того, что в случайно выбранный момент времени окажутся работающими: а) один станок; б) два станка; в) хотя бы два станка?
3. В ящике находятся изделия, которые изготовили на трех станках, причем 20 изготовлено на первом станке, 18 - на втором и 14 - на третьем. Вероятности того, что изделия, изготовленные на первом, втором и третьем станках, отличного качества соответственно равны 0,7; 0,85 и 0,9. Извлеченное наудачу изделие оказалось отличного качества. Какова вероятность того, что оно изготовлено на втором станке?
4. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Время, в течение которого пассажиру приходится ждать автобус, представляет собой случайную величину, распределенную равномерно. Найти: а) дифференциальную функцию распределения случайной величины и ее график; б) математическое ожидание и дисперсию; в) вероятность того, что пассажир будет ожидать очередной автобус менее 3 мин.; указать эту вероятность на графике.
5. Размер диаметра детали задан полем допуска 20-25 мм. В некоторой партии деталей средний размер их диаметра оказался равным 23,2мм, а среднее квадратическое отклонение 1мм. Считая, что размер диаметра детали подчиняется закону нормального распределения, вычислить вероятность брака.

Математическая статистика.

1. Имеются выборочные данные о дневном сборе хлопка (X, кг):

х
20-25
25-30
30-35
35-40
40-45

Число сборщиков
8
18
42
20
12


Вычислить выборочные среднюю, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
2. Методом случайной повторной выборки проведено обследование 900 рабочих одного предприятия, в результате чего установлена средняя месячная выработка на одного рабочего - 400 деталей. Найти с надежностью 0,95 границы, в которых находится средняя месячная выработка одного рабочего в генеральной совокупности, считая распределение месячной выработки одного рабочего нормальным со средним квадратическим отклонением 45 деталей.
3. С целью увеличения срока службы разработана новая конструкция пресс-формы. Старая пресс-форма в 10 испытаниях прослужила в среднем 4,4 месяца с исправленным средним квадратическим отклонением 0,05 месяца. Предлагаемая новая пресс-форма при 6 испытаниях требовала замены в среднем после 5,5 месяца с исправленным средним квадратическим отклонением 0,09 месяца. Считая, что выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей, проверить, действительно ли новая конструкция лучше? (13 EMBED Equation.3 1415= 0,01)
4. Партия изделий принимается, если вероятность того, что изделие окажется бракованным, не превышает 0,03. Среди случайно отобранных 400 изделий оказалось 18 бракованных. Можно ли принять партию? (13 EMBED Equation.3 1415 = 0,05)
5. Определить тесноту связи выпуска продукции (X, тыс. шт.) и себестоимости одного изделия (Y, руб.) на основе следующих данных:

13 EMBED Equation.3 1415
3
4
5
6
7

13 EMBED Equation.3 1415
10
8
7
5
2

Проверить значимость выборочного коэффициента корреляции при 13 EMBED Equation.3 1415 = 0,05. Построить линейное уравнение регрессии и объяснить его.














Вариант №8.

Теория вероятностей.

1. В партии из 300 деталей 200 деталей I сорта, 60 деталей II сорта, остальные - III сорта. Какова вероятность того, что наугад отобранные две детали будут одного сорта?
2. 3 студента сдают нормы ГТО. Вероятность того, что первый студент сдаст нормативы равна 0,9; второй - 0,85; третий 0,75. Определить вероятность того, что: а) все три студента сдадут нормы ГТО; б) только один студент сдаст нормы ГТО; в) хотя бы два студента сдадут нормы ГТО.
3. Первый заготовительный цех изготовил 1000 деталей. Второй - в 2 раза больше деталей, чем первый, а третий - столько, сколько два первых цеха вместе взятые. При этом продукция первого цеха содержит 0,3% брака, второго - 0,2% и третьего - 0,4% брака. Все детали общей партией поступают на сборку. Наудачу берут одну деталь. Найти вероятность того, что она годная.
4. В результате наблюдения за качеством продукции, выпускаемой заводом, установлено, что доля брака составляет в среднем 0,3% всей продукции. Какова вероятность того, что в партии, состоящей из 1000 изделий, окажется не более четырех бракованных изделий?
5. Диаметр стальных стержней, выпускаемых цехом, представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием 75 мм и средним квадратическим отклонением 0,3 мм. Найти вероятность брака по размеру диаметра, если допустимые размеры диаметра стержня составляют 7513 EMBED Equation.3 14150,5 мм.

Математическая статистика.

1. Дано распределение времени простоя одного фрезерного станка за смену (X, мин):

x
20-30
30-40
40-50
50-60
60-70

Количество станков
10
15
8
5
2

Вычислить выборочные среднюю, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации этого распределения.
2. Методом случайной повторной выборки обследуется средняя продолжительность телефонного разговора, которая имеет нормальный закон распределения. Определить, сколько телефонных разговоров должно быть зафиксировано чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что отклонение выборочной средней от генеральной средней не превосходит 10 сек. при среднем квадратическом отклонение 2 мин.?
3. В результате обследования получено выборочное распределение дневной выручки от продажи продукции в промтоварных магазинах (X - дневная выручка, тыс. руб.; m13 EMBED Equation.3 1415 - эмпирические частоты, число магазинов; m13 EMBED Equation.3 1415 - теоретические частоты, рассчитанные в предположении о нормальном законе распределения):

13 EMBED Equation.3 1415
2
3
4
5
6
7
8

13 EMBED Equation.3 1415
7
15
20
25
18
14
4

13 EMBED Equation.3 1415
5
14
19
26
20
12
4

Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.
4. На двух токарных станках обрабатываются втулки. Взяты выборочно 12 втулок, обработанных на первом станке и 13 втулок обработанных на втором. По данным этих выборок рассчитаны исправленные выборочные дисперсии размеров втулок: s13 EMBED Equation.3 1415= 0,76 (для первого станка), s13 EMBED Equation.3 1415 = 0,52 (для второго станка). При уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о том, что станки обладают одинаковой точностью. Размеры втулок подчиняются нормальному закону.
5. Получено 11 наблюдений выпуска продукции за каждый месяц (Y, тыс. шт.) и внутрицеховых расходов (X, тыс. руб.). Статистические расчеты дали следующие результаты: выборочные средние равны 13 EMBED Equation.3 1415 = 8, 13 EMBED Equation.3 1415 = 30, 13 EMBED Equation.3 1415= 248,64; выборочные средние квадратические отклонения равны s13 EMBED Equation.3 1415= 2,4; s13 EMBED Equation.3 1415= 4,5. Проверить значимость коэффициента корреляции при 13 EMBED Equation.3 1415 = 0,05. Построить и объяснить уравнение регрессии.








Вариант №9.

Теория вероятностей.

1. Из 25 студентов группы 15 направлены на сельскохозяйственные работы, остальные в составе стройотряда уехали в другой город на стройку. Какова вероятность того, что два друга из группы окажутся либо на стройке, либо на сельскохозяйственных работах?
2. На склад с трех предприятий поступает продукция первого и второго сорта. В продукции первого предприятия содержится 15% изделий второго сорта, в продукции второго - 25% и третьего - 30% второсортных изделий. Чему равна вероятность того, что среди трех изделий (по одному из продукции каждого предприятия) окажутся первосортными: а) одно изделие; б) два изделия; в) хотя бы два изделия?
3. В цехе 3 автоматические станка производят одни и те же детали. Их производительность относится как 1:2:3. Известно, что первый станок производит 90% деталей первого сорта, второй - 80%, а третий - 70%. Определить вероятность того, что наудачу взятая из общего количества деталь окажется первосортной.
4. Найти вероятность одновременной остановки 35 машин из 100 работающих, если вероятность остановки для каждой машины равна 0,3.
5. Продолжительность горения электроламп в некоторой партии оказалась нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 1200 часов и средним квадратическим отклонением 50 часов. Найти с вероятностью 0,95 границы продолжительности горения наугад взятой электролампы.

Математическая статистика.

1. В результате проведенного выборочного обследования получено распределение времени на выполнение технологической операции (X, с) 20 рабочими:

х
25-30
30-35
35-40
40-45
45-50

Число рабочих
3
8
4
3
2

Вычислить выборочные среднюю, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации этого распределения.
2. В порядке случайной повторной выборки произведено обследование производительности труда на земляных работах у 150 рабочих, в результате которого средняя выработка определена в 5,5 м13 EMBED Equation.3 1415на одного рабочего. Найти с надежностью 0,99 возможные пределы производительности труда рабочих в генеральной совокупности, считая распределение выработки нормальным со средним квадратическим отклонением 1,5 м13 EMBED Equation.3 1415.
3. В результате обследования получено выборочное распределение времени, затрачиваемого операторами бухгалтерских машин на обработку документов складского учета (X - время, с; m13 EMBED Equation.3 1415- эмпирические частоты, количество документов; m13 EMBED Equation.3 1415- теоретические частоты, рассчитанные в предположении о нормальном законе распределения):

13 EMBED Equation.3 1415
100
105
110
115
120
125

13 EMBED Equation.3 1415
2
6
25
14
17
6

13 EMBED Equation.3 1415
5
11
18
21
17
12

С помощью критерия согласия Пирсона при 13 EMBED Equation.3 1415 = 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном законе распределения генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки?
4. Для исследования влияния двух типов удобрений на урожайность пшеницы было засеяно по 10 опытных участков. Исправленные выборочные дисперсии, характеризующие вариацию урожайности на участках, соответственно равны s13 EMBED Equation.3 1415 = 0,25 и s13 EMBED Equation.3 1415= 0,49. Считая, что выборки извлечены из нормально распределенных совокупностей X и Y, проверить при 13 EMBED Equation.3 1415= 0,01, зависит ли вариация урожайности пшеницы от типа внесенных удобрений?
5. В результате исследования зависимости выпуска валовой продукции (Y, тыс.руб.) от основных фондов (X, тыс. руб.) однотипных предприятий получены следующие данные:

x13 EMBED Equation.3 1415
0,9
2,2
3,5
4,8
6,1

y13 EMBED Equation.3 1415
0,3
0,8
0,9
1,4
2


Полагая, что между X и Y имеет место линейная зависимость, определить выборочный коэффициент корреляции, объяснить его смысл, проверить значимость коэффициента корреляции при 13 EMBED Equation.3 1415 = 0,05. Построить уравнение регрессии и объяснить его.



Вариант №10.

Теория вероятностей.
1. Группа студентов-спортсменов, состоящая из 5 студентов II курса и 4 студентов III курса, проводит тренировку. Одновременно тренируются двое. Какова вероятность того, что, войдя случайно на тренировку, мы застанем тренирующимися двух студентов одного курса?
2. ОТК проверяет партии деталей, изготовленные тремя рабочими. Вероятность того, что партия, изготовленная первым рабочим, будет признана годной, составляет 0,97. Аналогичные вероятности для партий, изготовленных вторым и третьим рабочим, равны соответственно 0,95 и 0,92. Какова вероятность того, что из трех партий деталей (по одной, изготовленной каждым рабочим) окажутся забракованными: а) одна партия деталей; б) две партии деталей; в) хотя бы одна партия деталей?
3. На склад поступает продукция трех фабрик. Причем продукция первой фабрики составляет 20%, второй - 45%, а третьей - 35%. В продукции первой фабрики 5% нестандартных деталей, в продукции второй - 2%, в продукции третьей - 1%. Наудачу взятое изделие оказалось стандартным. Найти вероятность того, что оно произведено на второй фабрике.
4. Время между двумя сбоями электронной вычислительной машины распределено по показательному закону с интенсивностью, равной четырем. Найти дифференциальную и интегральную функции распределения, числовые характеристики этой случайной величины. Вычислить вероятность того, что время между двумя сбоями заключено в интервале (1; 2).
5. При обследовании работы автоматической линии оказалось, что длина выпускаемой ею детали является нормально распределенной случайной величиной, математическое ожидание которой равно 30 см, среднее квадратическое отклонение 0,5 см.
Для стандартной детали отклонение длины от 30 см не должно превышать 0,8 см. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь не будет удовлетворять этим требованиям.

Математическая статистика.
1. Дано распределение расхода сырья на изготовление одного изделия (X, г):

x
380-390
390-400
400-410
410-420
420-430

Число изделий
4
5
6
2
3

Вычислить выборочные среднюю, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации этого распределения.
2. В порядке случайной повторной выборки обследовано 800 коров, имеющихся в личном владении колхозников, и установлено, что у этой группы коров средний годовой удой равен 3000 кг. С какой вероятностью можно гарантировать, что средний годовой удой всех отличается от 3000 кг по абсолютной величине меньше чем на 10 кг, считая, что распределение годового удоя нормальное со средним квадратическим отклонением 250 кг?
3. В результате обследования опытных участков одинакового размера получено выборочное распределение урожайности ржи (X - урожайность, ц/га; m13 EMBED Equation.3 1415-эмпирические частоты, число участков; m13 EMBED Equation.3 1415- теоретические частоты, рассчитанные в предложении о нормальном законе распределения):

x13 EMBED Equation.3 1415
16
18
20
22
24
26
28

m13 EMBED Equation.3 1415
2
3
6
10
7
5
1

m13 EMBED Equation.3 1415
1
2
5
8
6
3
2

Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,01 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки?
4. Сравнили точность измерения диаметра деталей двумя методами. Первым методом проконтролировано 10 деталей, вторым - 8 деталей. Предполагается, что результаты измерения диаметра распределены нормально. По результатам контроля получены исправленные выборочные дисперсии: s13 EMBED Equation.3 1415= 0,00064 (для первого метода), s13 EMBED Equation.3 1415= 0,00039 (для второго метода). При 13 EMBED Equation.3 1415= 0,05 проверить гипотезу о том, что оба метода обладают одинаковой точностью.
5. Изучается зависимость себестоимости одного изделия (Y, руб.) от величины выпуска продукции (X, тыс. шт.) по группе предприятий за отчетный период. Экономист обследовал 5 предприятий и получил следующие данные:

x13 EMBED Equation.3 1415
2
3
4
5
6

y13 EMBED Equation.3 1415
1,9
1,7
1,8
1,6
1,4

Полагая, что между X и Y имеет место линейная зависимость, определить выборочное уравнение линейной регрессии и объяснить его. Предварительно сделайте вывод о значимости коэффициента корреляции, о направлении и тесноте связи между показателями X и Y. Уровень значимости взять равным 0,05.
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 8959382
    Размер файла: 362 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий