26 Уравнения математической физики. Уравнения в…

Уравнения математической физики. Уравнения в частных производныхпервого порядка Уравнения математической физики. Уравнения в частных производных.
 
  Определение. Дифференциальным уравнением в частных производных называется уравнение относительно неизвестной функции нескольких переменных, ее аргументов и ее частных производных различных порядков.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
  Порядком дифференциального уравнения в частных производных называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение. Решением уравнения будет некоторая функция [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], которая обращает уравнение в тождество.
 
Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Примеры решения и оформления задач контрольной работы
Дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка от функции [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] можно в общем виде записать как
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
 Линейное уравнение в частных производных имеет вид:
  [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], (1)
где Xi – некоторые заданные функции.
 
  Очевидно, что одним из решений такого уравнения будет функция u = C.
 
Рассмотрим систему уравнений:
  [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (2)
или [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- такая система называется нормальной.
Общее решение этой системы имеет вид:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
 
Если разрешить эти уравнения относительно постоянных С, получим:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Каждая из функций 
· является интегралом системы (2).
 
  Теорема. Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]  - интеграл системы (2), то функция [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] - решение уравнения (1).
 
Классификация основных типов уравнений математической физики.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Математика Примеры решения задач
1) Волновое уравнение. (Уравнение колебаний струны, электроколебания, крутильные колебания вала и др.) Это простейшее уравнение гиперболического типа.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
 
2) Уравнение теплопроводности. (Уравнение Фурье) Это простейшее уравнение параболического типа. Описывает процессы теплопроводности, фильтрации жидкости и газа, некоторые вопросы теории вероятностей.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
 
3) Уравнение Лапласа. Это простейшее уравнение эллиптического типа. Описывает магнитные и электрические поля, гидродинамику, диффузию и др.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
 
В этих уравнениях функция u зависит от двух переменных, однако, задача может быть расширена для случая трех переменных:
 
1) Волновое уравнение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
2) Уравнение теплопроводности: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
3) Уравнение Лапласа: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рассмотрим подробнее каждое из этих уравнений.

Заголовок 1 Заголовок 2 Заголовок 415

Приложенные файлы

  • doc 8959651
    Размер файла: 48 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий