Задачи экономики в курсе математического анализа_Л13_1 (Восстановлен) (Восстановлен)


Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ»
Задачи экономики в курсе математического анализа
Методические указания
по курсу «Математика», «Математический анализ» для студентов экономических специальностей
Екатеринбург 2008

УДК 517.1
Составители: О.Я. Шевалдина
Научный редактор: канд. физ.-мат. наук В.И. Максимов
Задачи экономики в курсе математического анализа: Методические указания по курсу «Математика», «Математический анализ» для студентов экономических специальностей / О.Я. Шевалдина. Екатеринбург: ГОУ ВПО «УГТУ – УПИ», 2008. 34 с.
Учебно-методическое пособие содержит кратко изложенный теоретический материал, типовые задачи, рекомендации к их решению по теме «Исследование функций с помощью производных. Приложение производной в экономической теории» курса «Математика». Приводятся простейшие приложения математики в экономике (предельный анализ, эластичность функций, максимизация прибыли, оптимизация налогообложения предприятий и др.). Предлагаются задачи для самостоятельной работы студентов (в том числе, с экономическим содержанием). Наряду с традиционными упражнениями приводятся тестовые задания открытой и закрытой формы. Теоретические сведения, а также набор предлагаемых задач можно использовать в процессе аудиторной и самостоятельной работы студентов, при проведении контрольных работ, собеседований и экзаменов. Учебно-методическое пособие предназначается для студентов экономических специальностей университета.
Подготовлено кафедрой «Моделирования управляемых систем»
ГОУ ВПО «Уральский государственный
технический университет – УПИ» , 2008
Глава 6. Применение производной в экономике
6.1. Определение суммарных, средних и предельных величин в экономике
Под суммарной (совокупной) величиной понимают любую функцию независимой переменной . Как правило, в экономике под суммарными понимаются абсолютные величины: доход (выручка) () или издержки как функции объема выпуска (), объем выпуска как функция количества переменного ресурса, например, труда, , полезность как функция количества потребляемого блага и другие экономические показатели.
Средняя величина () определяется как отношение суммарной величины к независимой переменной: . Буква – сокращение от Average (средняя). Средняя величина может обозначаться также . Примеры средних величин в экономике: средняя выручка (доход) , средний продукт труда и т. д.
Маржинальная (предельная) величина определяется как производная суммарной величины по независимой переменной : в случае, когда независимая переменная меняется непрерывно. Если суммарная величина меняется дискретно, то под маржинальной (предельной) величиной понимают отношение изменения суммарной величины к изменению (приращению) независимой переменной : . Примеры предельных величин в экономике: предельная выручка (доход) или , предельный продукт труда или , предельная полезность или и т.д.
6.2. Примеры использования функций из области экономики
Функция полезности (функция предпочтений)
Для анализа потребительских предпочтений используется понятие полезности. Полезность какого-либо блага есть его способность удовлетворять какие-либо потребности человека или общества.
Совокупная полезность TU (total utility) есть совокупное удовлетворение, получаемое человеком в результате потребления данного количества товаров или услуг за данное время.
Функция полезности (функция предпочтений) показывает количественную зависимость совокупной полезности блага от объема потребления каждого из благ за данный промежуток времени.
Математически функция полезности задается как функция, зависящая от потребления за определенный период времени -го количества товаров:
,
где – - й товар, включенный в потребительский набор.
Предельная полезность (marginal utility) – это дополнительная полезность, получаемая человеком от потребления одной дополнительной единицы данного блага за единицу времени.
Математически предельная полезность является первой производной функции совокупной полезности по количеству данного блага:
,
где – приращение совокупной полезности, – количество потребляемого блага. Одним из простых и наиболее часто применяемых примеров функции совокупной полезности является кубическая функция:
,
где – количество потребляемого товара, – положительные константы.
Начиная с некоторого момента (точка насыщения) дополнительная полезность от потребления одного дополнительного блага уменьшается по мере того, как возрастает объем потребления данного блага. Эта закономерность носит универсальный характер и называется законом убывания предельной полезности. Математически это означает, что вторая производная общей полезности по количеству данного блага является отрицательной величиной.
Задача 1. Определение точки насыщения
Пусть дана функция полезности отдельного потребителя: .
Определить точку, при которой совокупная полезность является максимальной и человек достигает насыщения.
Решение. Функция совокупной полезности достигает своего максимума при условии :
.
Таким образом, точка является искомой точкой насыщения.
Задача 2. Закон убывания предельной полезности
Пусть функция полезности задана уравнением:
.
Найти объем потребления, при котором начинает действовать закон убывания предельной полезности, то есть предельная полезность начинает уменьшаться.
Решение. Найдем функцию предельной полезности:
.
Очевидно, что начнет уменьшаться в точке, в которой функция предельной полезности имеет максимальное значение. Приравняв к нулю и решая это уравнение относительно , получаем:
,
Отсюда – степень потребления, при которой начинается уменьшение предельной полезности.
Производительность труда
Рассмотрим однофакторную, или одноресурсную производственную функцию , которая дает объем производимой продукции за единицу времени в зависимости от объема х затраченного ресурса (например, от количества труда). Предположим, что число работников фирмы равно L . Для оценки эффективности производства часто используется средняя производительность труда, которая равна .
Если считать, что производственная функция дифференцируема, то . Если число L велико, то . Поэтому приближенно равна объему добавочной продукции, производимой новым («еще одним») сотрудником за единицу времени.
Производную производственной функции в точке L экономисты называют предельной или маржинальной производительностью труда (предельной эффективностью ресурса L).
Пусть р – цена единицы продукции, – зарплата работника за единицу времени. Тогда, если
,
то надо нанять еще одного сотрудника, так как он приносит фирме больше, чем она ему платит. Это несложное правило имеет универсальный характер и называется золотым правилом экономики.
Задача 1. Закон убывающей эффективности производства
Этот закон утверждает, что при увеличении одного из основных факторов производства, например, затрат живого труда L, прирост производства начиная с некоторого значения L является убывающей функцией. Иными словами, объем произведенной продукции описывается графиком со сменой выпуклости вниз на выпуклость вверх.
Пример 6.1. Пусть эта функция задана уравнением . Проследим за производственным процессом (Рис. 6.1).
L
L
0 4 6 8
0 4 6 8
AQ
MQ, AQ

MQ
Рис. 6.1. Суммарный, средний и предельный продукты труда

Найдем предельную эффективность (предельную производительность) ресурса L:
.
Далее находим вторую производную
. Приравнивая ее нулю, получаем . При L от 0 до 4 работников происходит ускоренный рост совокупного объема выпуска. Повышается средняя производительность труда , предельная производительность труда также увеличивается и достигает своего максимального значения при работника. Этот этап называют этапом возрастающей отдачи. Заметим, что в этом случае и график является выпуклым вниз.
Следующий этап – этап убывающей отдачи при L от 4 до 8 работников. При продолжающемся росте объема выпуска наблюдается постепенное сокращение предельной производительности труда до нулевого уровня: при .
В этих условиях объем производства становится максимально возможным, и его дальнейшее увеличение за счет прироста только численности персонала становится невозможным.
Наконец, последний этап – этап отрицательной отдачи (при L от 9 работников и более). Сокращается объем выпуска продукта, а предельный продукт становится отрицательным. Использование дополнительных трудовых ресурсов становится экономически неоправданным.
Задача 2. Вычисление производительности труда, скорости и темпа ее изменения
Пример 6.2. Объем продукции Q (тыс. руб.) в течение рабочего дня, выпускаемой некоторой фирмой, можно выразить функцией где – время. Найти производительность труда, скорость и темп ее изменения:
а) в начале дня (); б) в середине дня (); в) в конце дня ().
Решение. Производительность труда выражается производной
,
а скорость и темп ее изменения – соответственно производной

и логарифмической производной
.
Для заданной производственной функции находим:
(ед./ч),
(ед./ч2),
(ед./ч).
В заданные моменты времени имеем:
;
;
.
Итак, к концу рабочего дня производительность труда снижается; при этом изменение знака с плюса на минус свидетельствует о том, что увеличение производительности в начале рабочего дня сменяется ее снижением в последние часы.
Издержки производства
Если издержки производства (стоимость изготовления q экземпляров некоторого продукта), то будет выражать предельные издержки производства и приближенно характеризовать прирост переменных затрат на производство дополнительной единицы продукции: Средние издержки являются издержками на единицу выпуска продукции: .
Пример 6.3. Функция издержек фирмы задана формулой . По какой цене реализует фирма свою продукцию, если производство 10 единиц обеспечивает фирме прибыль в размере 60 тыс. у. е.?
Суммарная выручка фирмы равна произведению , поэтому суммарная прибыль
.
При прибыль тыс. у. е. Поэтому , и, следовательно, тыс. у. е. Таким образом, фирма реализует свою продукцию по цене тыс. у. е.
Пример 6.4. Зависимость между издержками производства и объемом продукции выражается функцией . При каком объеме продукции предельные и средние издержки совпадают? Определить средние и предельные издержки: а) при ед; б) при ед. В каком случае выгодно увеличивать объем производства?
Предельные и средние издержки, соответственно, равны:
, .
Приравнивая их, находим .
Итак, при ед. предельные и средние издержки совпадают.
Предельные издержки меньше средних при , наоборот, при .
Так, при : , . Предельные издержки превышают средние, и поэтому при увеличивать объем производства невыгодно.
При имеем: , . Предельные издержки меньше средних, и поэтому при выгодно расширять объем производства.
Функция спроса – зависимость спроса (demand) на некоторый товар от его цены р (price). Например, функция спроса на какой-либо товар может определяться следующим выражением:
,(6.1)
где . Чем меньше цена р, тем больше величина спроса на товар при постоянной покупательной способности населения. Ввиду того, что функция спроса – убывающая функция цены, ее производная отрицательна, и абсолютное значение производной показывает уменьшение спроса со стороны покупателей на товар при повышении его цены на одну единицу.
Функция предложения – зависимость предложения (supply) некоторого товара от его цены р. Предложение растет с увеличением цены на товар, и потому зависимость предложения S от цены р может быть смоделирована равенством:
,(6.2)
Е





Рис. 6.2. Точка равновесия
где . Производная функции предложения дает приблизительно увеличение предложения товара со стороны продавцов (производителей) при увеличении цены на одну единицу.
Для экономики представляет интерес условие равновесия, т. е. когда спрос
равен предложению; это условие задается уравнением
(6.3)
и соответствует точке Е пересечения кривых , называемой точкой равновесия (рис. 6.2). Цена , при которой выполняется условие (6.3), называется равновесной ценой.
Спрос и предложение не всегда являются уравновешенными на реальном рынке, однако можно говорить о существовании тенденции к равновесию.
Предположим, что фактическая цена, установившаяся на рынке , превышает по какой-либо причине цену равновесия (рис. 6.3). Предприятия готовы продать большее количество товаров, чем могут приобрести при этой цене покупатели:
.
Возникает избыток предложения, постепенно приводящий к понижению рыночной цены до уровня равновесия.
Напротив, если фактическая цена ниже цены равновесия, то на рынке образуется дефицит товаров, возникает тенденция цены к повышению до уровня равновесия.



Е





Рис. 6.3. Установление рыночного
равновесия

Пример 6.5. Спрос и предложение на некоторый товар на рынке описываются линейными зависимостями вида: , . При каких значениях появляется дефицит товара и при каких значениях цены появляются излишки товара? Что можно в каждом из этих случаев сказать об изменении рыночных цен?
Решение. Равновесная цена определяется из уравнения . Решая его, находим . Если , то предприятия готовы продать большее количество товаров, чем могут приобрести при этой цене покупатели, появляются излишки товара, в этом случае рыночные цены нужно понижать до уровня равновесия. Если же , то на рынке предложение недостаточно, образуется дефицит товаров, появляется тенденция повышения рыночных цен до уровня равновесия.
Паутинная модель рынка



0
Рис. 6.4. Поиск равновесной цены


Рассмотрим простейшую задачу поиска равновесной цены. Это одна из проблем рынка, так как стабильность рыночного равновесия позволяет определять границы целесообразности государственного вмешательства в рыночный механизм. Пусть сначала цену назначает производитель (в простейшей схеме он же и продавец). Цена на самом деле выше равновесной (всякий производитель стремится получить максимум выгоды из своего производства). Покупатель оценивает спрос при этой цене и определяет свою цену , при которой этот спрос равен предложению. Цена ниже равновесной (всякий покупатель стремится купить подешевле). В свою очередь, производитель оценивает спрос , соответствующий цене , и определяет свою цену , при которой спрос равен предложению: эта цена выше равновесной. Процесс торга продолжается и при определенных условиях приводит к устойчивому приближению к равновесной цене, т.е. к «скручиванию» спирали. Если рассматривать последовательность чисел, состоящую из называемых в процессе торга цен, то она имеет своим пределом равновесную цену : (рис. 6.4).



Рис. 6.5. «Раскручивание» спирали цен
0
Однако поиск равновесной цены не всегда приводит к «скручиванию» спирали. Кривые спроса и предложения могут иметь вид, отличающийся от кривых, описываемых уравнениями (6.1) и (6.2). Например, пусть предложение явно недостаточно и в формуле (6.2) , т. е. , а покупательная способность населения чрезвычайна низка и в формуле (6.1) . В этом случае процесс торга «раскручивает» спираль цен и уводит от (рис. 6.5).
Функция потребления и сбережения
Если х – национальный доход, – функция потребления (часть дохода, которая тратится), а – функция сбережения (сбережения населения), то . Дифференцируя, получим
,
где – предельная склонность к потреблению; – предельная склонность к сбережению.
6.3. Эластичность функции и ее свойства
Пусть величина у зависит от х, и эта зависимость описывается функцией . Встает вопрос, как измерить чувствительность зависимой переменной у к изменению х. Одним из показателей реагирования одной переменной на изменение другой служит производная. Однако в экономике этот показатель неудобен тем, что он зависит от выбора единиц измерения. Поэтому для измерения чувствительности изменения функции к изменению аргумента в экономике изучают связь не абсолютных переменных х и у, а их относительных изменений.
Определение. Эластичностью функции по аргументу в точке х называется предел отношения относительного изменения функции у к относительному изменению переменной х при :
.
Если эластичность представить в виде
,
то легко видеть, что она показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция при изменении независимой переменной на 1%. Перепишем формулу эластичности в виде
,
где – маржинальное значение функции f в точке х, – среднее значение функции в точке х. То есть эластичность функции может быть представлена в виде отношения предельной () и средней () величин.
Так как , а , то эластичность можно представить в форме «логарифмической производной»
.
Геометрическая интерпретация эластичности
Эластичность функции можно найти из графика этой функции. По определению эластичности


N
М
А
В




Рис. 6.6.
,
где – угол наклона касательной к графику функции в точке (рис. 6.6) . Из треугольника . Треугольники и подобны, поэтому .
Рис. 6.7.

N
К
М
В
А




Т. е. эластичность возрастающей функции равна отношению расстояний по касательной от данной точки графика функции до точек ее пересечения с осями ординат и абсцисс. Если точки и лежат по одну сторону от точки , то , если по разные стороны, то .
Рассмотрим случай убывающей функции. . Так как треугольники и подобны, то , т. е. эластичность убывающей функции равна отношению расстояний по касательной от точки до точек ее пересечения с осями ординат и абсцисс, взятому со знаком минус (рис. 6.7).
Свойства эластичности функции
Пусть функция имеет конечную или бесконечную производную на промежутке. Вспомним, что производная есть отношение дифференциалов и .
Эластичность – безразмерная величина, значение которой не зависит от того, в каких единицах измерены величины у и х:
.
Доказательство очевидно: .
Эластичности взаимно обратных функций – взаимно обратные величины:
.
Действительно, .
Эластичность произведения двух функций и , зависящих от одного и того же аргумента х, равна сумме эластичностей:
. .
Эластичность частного двух функций и , зависящих от одного и того же аргумента х, равна разности эластичностей:
.
Доказательство аналогично.
Эластичность суммы двух функций может быть найдена по формуле:
.
Доказательство. .
Эластичность элементарных функций
Вычислим эластичности некоторых элементарных функций.
1. Степенная функция . Ее эластичность
.
2. Показательная функция . Ее эластичность
.
3. Логарифмическая функция . Ее эластичность
.
4. Линейная функция . Ее эластичность
.
Функция в зависимости от величины своей эластичности может быть
совершенно эластичная;
эластичная;
неэластичная;
совершенно неэластичная.
13.4 Применение эластичности в экономическом анализе
Виды эластичностей в экономике
Эластичность спроса по цене , показывающая относительное изменение (выраженное в процентах) величины спроса (объема потребления) на какое-либо благо при изменении цены р этого блага на 1%. Производная функции спроса отрицательна (функция убывает) и эластичность спроса имеет также отрицательный знак.
Различают три вида спроса в зависимости от величины :
Если , то спрос считается эластичным. В этом случае повышению цены на 1% соответствует понижение спроса более чем на один процент, и наоборот, понижение цены на один процент приводит к росту покупок более чем на 1%.
Если , то спрос неэластичный. В этом случае повышение цены на 1% влечет за собой понижение спроса менее чем на 1%, и наоборот, уменьшение цены на 1% приводит к росту покупок более чем на 1%.
Если , то спрос нейтрален.
Пример 13.1. Пусть .
.
Важно отметить, что при всех значениях р , т.е. кривая спроса , имеет постоянную эластичность, равную b.
Пример 13.2. В экономике цена обычно откладывается по вертикальной оси, а величина спроса по горизонтальной оси, уравнение спроса обычно записывается так, что цена р является функцией спроса , а не – функцией р. Рассмотрим уравнение спроса: . Какова эластичность спроса по цене при продаже 10 единиц продукции?
При q = 10, р = 940 – 480 +100= $560. Найдем . При получим . Поэтому . Таким образом, изменение цены на 1% от текущей цены $560 изменит величину спроса в обратном направлении на 2%. Мы приходим к выводу, что при цене $560 спрос эластичен.
Эластичность спроса по доходу характеризующая относительное изменение (в процентах) величины спроса q на какое-либо благо при изменении дохода потребителей этого блага на 1% .
Положительная эластичность спроса по доходу характеризует качественные товары, а отрицательная величина – некачественные товары.
Так, высокий положительный коэффициент спроса по доходу в отрасли указывает, что ее вклад в экономический рост больше, чем доля в структуре экономики, и она имеет шансы на расширение. Наоборот, если коэффициент эластичности спроса на продукцию отрасли по доходу имеет небольшое положительное или отрицательное значение, то ее может ожидать застой и перспектива сокращения производства.
Эластичность предложения по цене , показывающая относительное изменение (выраженное в процентах) величины предложения какого-либо товара при изменении цены этого товара на 1%. Производная функции предложения положительна и эластичность предложения также положительна; при имеем неэластичное предложение, при – эластичное.
Связь эластичности с выручкой продавцов (расходами покупателей)
Выручка (доход) равна произведению цены на товар на величину спроса :
.
Используя формулу для эластичности произведения функций, получим
,
так как эластичность спроса по цене всегда отрицательна (поскольку ). Теперь проанализируем все варианты эластичности спроса, приведенные выше.
; тогда эластичность выручки по цене отрицательна . Это означает, что при эластичном спросе изменение выручки происходит в направлении, противоположном изменению цены и для повышения выручки продавцам выгодно понижать цену. Аналогично, повышение налога на товар с эластичным спросом повлечет за собой сокращение дохода от налогообложения.
; тогда для товаров с неэластичным спросом. Это означает, что изменение цены вызывает изменение выручки в том же направлении и продавцам выгодно повышать цену (что приводит к увеличению их выручки).
. В этом случае , т.е. при нейтральном спросе изменение цены на товар не влияет на выручку.
При эластичном спросе выручка растет с увеличением количества или уменьшения цены, а при неэластичном – падает. Например, доходы фермеров сократятся при хорошем урожае, поскольку эластичность спроса на сельскохозяйственную продукцию достаточно низка. Аналогично, повышение цен на государственных предприятиях с целью увеличения поступлений в бюджет, например, повышение цен на железнодорожные билеты, может привести к сокращению поступлений в бюджет, если спрос на соответствующий товар или услугу окажется эластичным.
Таблица 1. Изменение цены, эластичности по цене и выручки
Изменение цены Эластичный спрос: Неэластичный спрос: Единичная эластичность спроса:
Доход не меняется
Доход не меняется
Пример 13.3. Дана функция спроса по цене . Найти цену , при которой спрос будет эластичным.
Решение: Найдем эластичность функции : . Спрос будет эластичным, если , т. е. .
Пример 13.3. Функции спроса и предложения от цены выражаются соответственно уравнениями: Найти:
равновесная цену;
эластичность спроса при равновесной цене;
эластичность предложения при равновесной цене;
эластичность дохода при равновесной цене.
Решение: Равновесная цена находится из уравнения :
. Сделаем замену . Корнями уравнения являются числа . Поэтому равновесная цена .
Вычислим эластичность спроса при равновесной цене для функции по формуле . Имеем .
Так как , спрос эластичный. Увеличение цены на 1% влечет уменьшение спроса на 2 %.
Эластичность предложения при равновесной цене для функции находим аналогично по формуле : .
Увеличение цены на 1 % приводит к увеличению предложения на 0,64 %.
Вычислим эластичность дохода при равновесной цене. Доход, получаемый фирмой, равен произведению цены единицы товара на количество проданных единиц товара: . Поэтому .
Таким образом, увеличение цены на 1 % приводит к снижению дохода на 1% .
Пример 13.3. Фармацевтическая компания предлагает на рынок новый лекарственный препарат. Рыночный спрос оценивается как , где – объем спроса (в тыс. ед.); – цена (в у. е.). При какой эластичности спроса доходы фирмы будут максимально возможными? При какой цене фирма получит наибольший доход?
Решение. Доход, получаемый компанией, равен произведению цены единицы товара на величину спроса: . Поэтому
доход фирмы достигает своего максимума при условии , т. е. фирма получит максимальный доход при цене (у. е.). Соответствующая эластичность спроса равна: .
Пример 13.3. Первоначально билеты в кино продавали по 400 руб., количество посетителей составляло 800 человек в неделю. Как изменится посещаемость кинотеатра после сокращения цен до 300 руб., если известно, что эластичность спроса по цене равна – 2,5? Как изменится суммарный доход кинотеатра?
Величина спроса описывается уравнением вида: . По условию при цене спрос , т. е. , при цене спрос , т. е. . Эластичность спроса по цене равна – 2,5:
. Отсюда и, с учетом уравнения , получаем . Таким образом, доход присоставляет
. Спрос при цене составит .
Выручка кинотеатра будет равна: .
Таким образом, суммарный доход вырос на 70000 руб., что составляет приближенно 22 % от первоначального дохода.
Пример 13.3. Найти среднюю и предельную выручку фирмы при линейной убывающей кривой спроса. Какова эластичность спроса по цене в средней точке кривой спроса?
Решение. Кривая спроса может быть представлена формулой:
.
В данном выражении величина – это цена, при которой
Спрос за период (q)
Спрос за период (q)
MR


0
а
Доход за
период
(R)
Цена (р)




Рис. 13.3
кривая спроса пересекает ось цен (рис. 13.3). Экономически это цена, по которой никто не будет приобретать товар фирмы. Кривая спроса имеет отрицательный наклон, цена р и количество товара q изменяются в разных направлениях. Суммарная выручка от реализации, получаемая фирмой, равна произведению средней выручки (или цены единицы товара) на количество проданных единиц товара:
.
Как мы отметили, средняя выручка совпадает с ценой единицы товара: . Функция предельной выручки есть производная от функции суммарной выручки: .
Наклон функции вдвое круче наклона кривой спроса, причем MR обращается в ноль при максимуме TR. Геометрически (рис. 13.3) отношение между тремя этими функциями таково, что цена и количество, при которых MR= 0, а TR максимальна, пересекаются на середине кривой спроса. Найдем . Подставляя , и q в формулу эластичности в точке, получаем: . Так как , то значение q в средней точке кривой спроса равно: , соответствующее значение цены есть . Поэтому .
Таким образом, коэффициент эластичности спроса по цене в средней точке линейной (убывающей) функции спроса, вне зависимости от значений а и b в уравнении , имеет значение (–1).
Эластичность спроса по цене меняется от минус бесконечности в точке a пересечения графиком оси p () до нуля в точке пересечения оси q , проходя через значение в средней точке. Таким образом, линейная кривая спроса эластична в своей верхней половине и неэластична в нижней половине. Спрос эластичен по цене, когда положительна и неэластичен по цене при отрицательном значении .
Заметим еще, что эластичность спроса по цене не связана с наклоном кривой спроса.
Упражнения
Горизонтальная кривая спроса совершенно эластична при текущей рыночной цене. Почему?
Вертикальная кривая спроса совершенно неэластична. Почему?
Приведите пример кривой спроса с единичной эластичностью.
Рассмотрите кривую спроса, заданную уравнением: . Найдите среднюю, суммарную и предельную выручку этой кривой. Исследуйте связь между кривыми спроса и суммарной выручки и эластичностью по цене. Приведите геометрическую иллюстрацию.
Издательство обнаружило, что при исходной цене книги 12 у. е. оно могло продать 100 экз. в неделю, а после того как цены поднялись до 16 у. е. – только 90 экз. Как изменилась эластичность спроса по цене?
Дана функция спроса по цене . Выяснить, при каких значениях цены спрос является эластичным, нейтральным и неэластичным.
Бизнесмен Вася решил основать небольшое предприятие по выпуску изделий народного потребления. Ознакомившись со статистикой, он увидел, что зависимость между спросом и ценой за единицу изделия выражается формулой . Найти эластичность спроса. Выяснить, при каких значениях цены спрос является эластичным, нейтральным и неэластичным. Какие рекомендации о цене за единицу продукции можно дать Васе при и при ден. ед.?
По оценке «Tastee Food Company» отношения спроса-дохода на ее продукцию описывается уравнением , где q – единицы продукции, а R – средний семейный доход.
Определите эластичность спроса по доходу при .
Результат предыдущих вычислений должен показать, что увеличивается при увеличении дохода. Почему это так? Сохранилось бы это отношение при ?
13.5 Исследование функций в экономике. Максимизация прибыли
Пусть q – количество реализованного товара, – функция дохода (выручки), – издержки производства, связанные с выпуском q единиц продукции. Рассмотрим задачу выбора оптимального объема производства фирмой. Функция прибыли от реализации произведенного товара может быть смоделирована зависимостью
.(13.5.1)
В микроэкономике известно утверждение: для того чтобы прибыль была максимальной, необходимо, чтобы предельный доход и предельные издержки были равны, так что этот принцип можно записать в виде
.(13.5.2)
Действительно, из необходимого условия экстремума для функции (13.5.1) следует, что , откуда и получается основной принцип.
Найдем связь между предельным доходом и эластичностью спроса по цене:

Рассмотрим примеры.
Пример 13.4. Найти максимум прибыли, если текущая рыночная цена товара равна $20, а функция суммарных издержек имеет вид
.
Решение. Суммарная выручка равна произведению , и так как , то суммарная прибыль
.
Предельная прибыль принимает вид:
.
Приравнивая производную прибыли к нулю, получаем уравнение . Корни этого уравнения . Проверка показывает, что максимальная прибыль достигается при : .
Пример 13.5. В соответствии с прогнозами прибыль предприятия описывается функцией , где q – величина, характеризующая объем производства (в млн. руб.). Найти оптимальный объем выпуска продукции, производимой фирмой.
Решение. Предельная прибыль фирмы . Приравниваем производную нулю . Является ли объем выпуска, равный четырем, оптимальным для фирмы? Исследуем характер изменения знака производной. При и прибыль убывает. При и прибыль возрастает.
Следовательно, в точке экстремума прибыль принимает минимальное значение, и таким образом этот объем производства не является оптимальным для фирмы.
Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Ответ на этот вопрос зависит от дополнительного исследования производственных мощностей фирмы. Если фирма не может производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции , то оптимальным решением для фирмы будет вообще ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений и/или оборудования. Если же фирма способна производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции, то оптимальным решением для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных мощностей.
Пример 13.6. На начальном этапе производства фирма минимизирует средние издержки, причем функция издержек имеет вид . В дальнейшем цена на единицу товара устанавливается равной усл. ед. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск? На сколько при этом изменятся средние издержки?
Решение. Средние издержки .
Предельные средние издержки равны . Для того чтобы средние издержки были минимальными, необходимо, чтобы производная . Решая уравнение , находим . Минимальное значение средних издержек при равно: . Предельные издержки . При установившейся цене оптимальное значение прибыли: . Для того чтобы прибыль была максимальной, необходимо, чтобы предельный доход и предельные издержки были равны (13.5.2):
.
Таким образом, выпуск продукции следует увеличить на 20 единиц, при этом средние издержки увеличатся: .
Пример 13.6. Прибыль фирмы и объем поступления налогов государству при данной налоговой ставке. Пусть цена на продукцию , а издержки , где – положительные константы. Пусть налог является акцизом со ставкой t, т.е. с каждой проданной единицы товара платится налог t, и вся налоговая сумма равна . Итак, фирма получает прибыль . Желая ее максимизировать, фирма ищет оптимальный объем производства. Необходимое условие максимума прибыли ; отсюда получаем значение , при этом , т.е. действительно точка максимума. Так как , то, очевидно, что такая налоговая система приводит к снижению оптимального выпуска продукции.
Вычислим суммарный налоговый доход правительства (государства) при объеме производства : . Возникает вопрос: каким должен быть налог t, чтобы величина суммарного налога T со всей продукции была наибольшей? Кривая доходов правительства представляет параболу, ветви которой направлены вниз. Ясно, что максимум достигается при и равен , а оптимальный выпуск продукции при этом значении равен , и прибыль фирмы равна . Прибыль же фирмы при налоговой ставке t равна , откуда следует, что с ростом t прибыль уменьшается . Хотя доходы правительства при указанных t положительны, существует область значений налоговой ставки (а именно, при ), при которой прибыль фирмы отрицательна. При происходит резкое сокращение деловой активности предприятий. Понятно, почему производители прикладывают столько усилий, чтобы снизить ставку налога.
Упражнения
Объем реализации продукции зависит от цены : . При этом издержки определяются формулой . Найти оптимальный объем производства и соответствующие ему значения прибыли и издержек.
Зависимость между доходом фермерского хозяйства (ден. ед./день) и количеством его работников имеет вид: Найти оптимальный размер фермерского хозяйства и его прибыль, если дневная зарплата рабочего равна 360 (ден. ед.), а прочие расходы хозяйства составляют (ден. ед.).
У фермера имеется стадо в 100 коров, каждая массой в 200 кг. Содержание одной коровы обходится в 92 цента в день. Корова прибавляет 2 кг в день. Рыночная цена коров составляет 10 долларов за 1 кг и падает на 1 цент в день. Как долго фермер должен откладывать продажу, чтобы получить наибольший доход? Сколько он выиграет по сравнению с немедленной продажей?
Бизнесмен Вася купил две автомашины по 20 тыс. долларов и перепродал их. При перепродаже первой автомашины прибыль составила , второй – , причем . О второй сделке Вася не сообщил в налоговую инспекцию, и с него взяли штраф, составляющий прибыли, полученной от продажи второго автомобиля. Выгодной ли оказалась сделка Васи? Каковы его максимально возможные потери?
Приведите анализ прибыли фирмы и ее налоговой политики, если издержки фирмы , доход , налог является акцизом со ставкой t.
Функции спроса и предложения
1. Дана функция предложения , где – цена товара. Если равновесный объем спроса-предложения равен 8, то функция спроса может иметь вид
1)
2)
3)
4)
Решение:
Вычислим равновесную цену спроса-предложения из условия : . Решив это уравнение, получим . Тогда в качестве функции спроса можно взять убывающую функцию, которая проходит через точку с координатами . Этим условиям удовлетворяет, например, функция . (), точка удовлетворяет уравнению , однако , т. е. функция не может быть функцией спроса, т. к. она возрастает.
2. Функции спроса и предложения от цены выражаются соответственно уравнениями: Соответствие эластичности и равновесной цены их значениям:
Эластичность спроса при равновесной цене
Эластичность предложения при равновесной цене 0,64
Равновесная цена 64
Эластичность дохода при равновесной цене
Решение:
Равновесная цена находится из уравнения :
. Сделаем замену . Корнями уравнения являются числа . Поэтому равновесная цена .
Вычислим эластичность спроса при равновесной цене для функции по формуле . Имеем .
Эластичность предложения при равновесной цене для функции находим аналогично по формуле : .
Вычислим эластичность дохода при равновесной цене. Доход, получаемый фирмой, равен произведению цены единицы товара на количество проданных единиц товара: . Поэтому .
3. Кривая спроса по цене с постоянной эластичностью спроса может иметь вид
1)
2)
3)
4)
Решение:
Вычислим коэффициенты эластичности спроса по цене для данных функций по
формуле.
Тогда для функции ;
для функции ;
для функции ;
для функции .
Следовательно, правильным будет ответ .
4. Функция спроса по цене характеризуется неэластичным спросом. Тогда значение параметра может быть равно …
1)
2)
3)
4)
Решение:
Значения и не могут быть ответами, так как при них функция возрастает и не является функцией спроса. Найдем эластичность функции : .
Если , то спрос неэластичный. Поэтому правильный ответ .
5. Даны функция спроса и предложения , где q и s – количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, р – цена единицы товара. Тогда равновесная цена спроса-предложения равна…
1)
2)
3) 1,96
4) 2
6. Дана функция спроса по цене . Тогда спрос будет эластичным при …
1)
2)
3)
4)
Решение:
Найдем эластичность функции : .
Если , то спрос эластичный, т. е. . Поэтому правильный ответ .
7. Дана функция спроса по цене на товар . Коэффициент эластичности спроса при цене 6 ден. ед. составит…
1)
2)
3) 1
4)
8. Дана функция спроса по цене . Эластичность спроса по цене составит , если цена равна…
1) 80
2) 160
3) 40
4) 20
9. Спрос на некоторые товары народного потребления зависит от их стоимости следующим образом: Спрос будет нейтральным (с единичной эластичностью) при …
1)
2)
3)
4)
Решение:
Найдем эластичность функции : .
Тогда: .
10. Функции спроса и предложения на некоторые фрукты от их цены имеют соответственно вид Эластичность спроса в точке равновесной цены равна…
1)
2)
3)
4) 1
11. Функция потребления некоторой страны имеет вид: , где х – совокупный национальный доход. Если национальный доход составляет 256 единиц, то эластичность потребления по доходу равна…
1)
2)
3)
4) 1
12. Функция потребления некоторой страны имеет вид: , где х – совокупный национальный доход. Если национальный доход составляет 32 единицы, то эластичность потребления по доходу равна…
1)
2)
3)
4) 1
13. Если зависимость между объемом выпуска готовой продукции (млн руб.) и объемом производственных фондов (млн руб.) выражается уравнением , то эластичность выпуска продукции для предприятия, имеющего фонды в размере 36 млн руб. равна…
1)
2)
3)
4) 1
14. Зависимость между спросом и ценой за единицу продукции дается соотношением Спрос будет нейтральным (с единичной эластичностью) при …
1)
2) 216
3)
4)
15. Зависимость между себестоимостью продукции C и объемом производства Q выражается как . Коэффициент эластичности себестоимости при объеме производства равен . Тогда значение параметра равно …
1) 180
2)
3)
4) 300
Решение:
Найдем эластичность функции : . При объеме производства имеем .
16. Дана функция спроса по цене . Тогда спрос будет неэластичным при …
1)
2)
3)
4)
Решение:
Найдем эластичность функции : .
Если , то спрос неэластичный. Поэтому . Этому условию удовлетворяет ответ .
17. Дана функция спроса по цене . Тогда спрос будет нейтральным при …
1)
2)
3)
4)
18. Функция совокупной полезности товара для потребителя имеет вид: , где – количество потребленного в единицу времени товара. Точка, при которой совокупная полезность является максимальной и потребитель достигает насыщения, равна…
1) 26
2) 0
3) 52
4) 2,5
19. Пусть функция полезности задана уравнением: . Тогда объем потребления (), при котором начинает действовать закон убывания предельной полезности, равен…
1) 7
2) 0
3) 15
4)
20. Дана функция спроса , где – цена товара. Если равновесный объем спроса-предложения равен 3,75, то функция предложения  может иметь вид …




Зависимость между себестоимостью продукции C и объемом производства Q выражается как . Коэффициент эластичности себестоимости при объеме производства  равен . Тогда значение параметра  равно …
Дана функция спроса по цене . Тогда спрос будет неэластичным при …
 Дана функция спроса по цене . Тогда спрос будет эластичным при …///
 Дана функция спроса по цене . Тогда спрос будет эластичным при …
Зависимость между себестоимостью продукции C и объемом производства Q выражается как . Коэффициент эластичности себестоимости при объеме производства  равен . Тогда значение параметра  равно …90
Дана функция спроса по цене . Тогда спрос будет нейтральным при …*
Дана функция спроса по цене . Тогда спрос будет нейтральным при …*
Дана функция предложения , где – цена товара. Если равновесный объем спроса-предложения равен 10, то функция спроса может иметь вид …
1) ; 2) ; 3) ; 4) *
Пусть есть функция спроса на товар. Тогда обратная к ней функция определения цены в зависимости от спроса имеет вид… *
Дана функция спроса и предложения , где  – цена товара. Если равновесный объем спроса-предложения равен , то значение параметра  равно …0,5
Даны функция спроса и предложения , где q и s – количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, р – цена единицы товара. Тогда равновесная цена спроса-предложения равна…4
Функция совокупной полезности товара для потребителя имеет вид: , где – количество потребленного в единицу времени товара. Точка, при которой совокупная полезность является максимальной и потребитель достигает насыщения, равна…12
Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.: Издательство “ДИС”, 1997. – 368 с.
Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. – М.: ИНФРА-М, 1997. – 208 с.
Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. – М.: Дело, 2001. – 688 с.
Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов. - М.: ЮНИТИ, 1998. – 472 с.
Малыхин В.И. Математика в экономике. – М.: ИНФРА-М, 2001. – 356 с.
Томпсон Артур, Формби Джон. Экономика фирмы / Пер. с англ. – М.: ЗАО «Издательство БИНОМ», 1998. – 544 с.

Приложенные файлы

  • docx 8959865
    Размер файла: 893 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий