МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ (матриал для собес..


МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ (МАТЕРИАЛ ДЛЯ СОБЕСЕДОВАНИЯ)
Математическое моделирование. Математическая модель в задачах оптимизации. Элементарные математические моделиНевозможно представить себе современную науку без широкого применения математического моделирования. Сущность этой методологии состоит в замене исходного объекта его "образом" — математической моделью — и дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов. Этот "третий метод" познания, конструирования, проектирования сочетает в себе многие достоинства, как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях (преимущества теории). В то же время вычислительные (компьютерные, симуляционные, имитационные) эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и технических инструментов информатики, подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам (преимущества эксперимента). Неудивительно, что методология математического моделирования бурно развивается, охватывая все новые сферы - от разработки технических систем и управления ими до анализа сложнейших экономических и социальных процессов.
Элементы математического моделирования использовались с самого начала появления точных наук, и не случайно, что некоторые методы вычислений носят имена таких корифеев науки, как Ньютон и Эйлер, а слово "алгоритм" происходит от имени средневекового арабского ученого Аль-Хорезми. Второе "рождение" этой методологии пришлось на конец 40-х—начало 50-х годов XX века и было обусловлено по крайней мере двумя причинами. Первая из них — появление ЭВМ (компьютеров), хотя и скромных по нынешним меркам, но тем не менее избавивших ученых от огромной по объему рутинной вычислительной работы. Вторая - беспрецедентный социальный заказ — выполнение национальных программ СССР и США по созданию ракетно-ядерного щита, которые не могли быть реализованы традиционными методами.
Сейчас математическое моделирование вступает в третий, принципиально важный этап своего развития, "встраиваясь" в структуры так называемого информационного общества. Впечатляющий прогресс средств переработки, передачи и хранения информации отвечает мировым тенденциям к усложнению и взаимному проникновению различных сфер человеческой деятельности. Без владения информационными "ресурсами" нельзя и думать о решении все более укрупняющихся и все более разнообразных проблем, стоящих перед мировым сообществом. Однако информация как таковая зачастую мало что дает для анализа и прогноза, для принятия решений и контроля за их исполнением.

На первом этапе выбирается (или строится) "эквивалент" объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства - законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, и т.д. Математическая модель (или ее фрагменты) исследуется теоретическими методами, что позволяет получить важные предварительные знания об объекте.
Второй этап — выбор (или разработка) алгоритма для реализации модели на компьютере. Модель представляется в форме, удобной для применения численных методов, определяется последовательность вычислительных и логических операций, которые нужно произвести, чтобы найти искомые величины с заданной точностью. Вычислительные алгоритмы должны не искажать основные свойства модели и, следовательно, исходного объекта, быть экономичными и адаптирующимися к особенностям решаемых задач и используемых компьютеров.
На третьем этапе создаются программы, "переводящие" модель и алгоритм на доступный компьютеру язык. К ним также предъявляются требования экономичности и адаптивности. Их можно назвать "электронным" эквивалентом изучаемого объекта, уже пригодным для непосредственного испытания на "экспериментальной установке" — компьютере.
Создав триаду "модель—алгоритм—программа", исследователь получает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале отлаживается, тестируется в "пробных" вычислительных экспериментах. После того как адекватность (достаточное соответствие) триады исходному объекту удостоверена, с моделью проводятся разнообразные и подробные "опыты", дающие все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта. Процесс моделирования сопровождается улучшением и уточнением, по мере необходимости, всех звеньев триады.
Будучи методологией, математическое моделирование не подменяет собой математику, физику, биологию и другие научные дисциплины, не конкурирует с ними. Наоборот, трудно переоценить его синтезирующую роль. Создание и применение триады невозможно без опоры на самые разные методы и подходы — от качественного анализа нелинейных моделей до современных языков программирования. Оно дает новые дополнительные стимулы самым разным направлениям науки.
Постоянное совершенствование триады математического моделирования и ее внедрение в современные информационно-моделирующие системы - методологический императив.
Элементарные математические модели
Рассмотрим некоторые подходы к построению простейших математических моделей, иллюстрирующие применение фундаментальных законов природы, вариационных принципов, аналогий, иерархических цепочек. Несмотря на простоту, привлекаемый материал даст возможность начать обсуждение таких понятий, как адекватность моделей, их "оснащение", нелинейность, численная реализация и ряда других принципиальных вопросов математического моделирования.
1. Фундаментальные законы природы. Наиболее распространенный метод построения моделей состоит в применении фундаментальных законов природы к конкретной ситуации. Эти законы общепризнанны, многократно подтверждены опытом, служат основой множества научно-технических достижений. Поэтому их обоснованность не вызывает сомнений, что, помимо всего прочего, обеспечивает исследователю мощную психологическую поддержку. На первый план выдвигаются вопросы, связанные с тем, какой закон (законы) следует применять в данном случае и как это делать.
а) Сохранение энергии. Этот закон известен почти двести лет и занимает, пожалуй, наиболее почетное место среди великих законов природы. Полагаясь на него, эксперт по баллистике, желающий быстро определить скорость револьверной пули и не имеющий поблизости специальной лаборатории, может воспользоваться относительно простым устройством типа маятника — груза, подвешенного на легком жестком и свободно вращающемся стержне (рис. 1.2).

Рис. 1.2.
Пуля, застрявшая в грузе, сообщит системе "пуля—груз" свою кинетическую энергию, которая в момент наибольшего отклонения стержня от вертикали полностью перейдет в потенциальную энергию системы.
Эти трансформации описываются цепочкой равенств .
Здесь — кинетическая энергия пули массы , имеющей скорость , — масса груза, — скорость системы "пуля—груз" сразу после столкновения, — ускорение свободного падения, — длина стержня, — угол наибольшего отклонения. Искомая скорость определяется формулой
,(1)
которая будет вполне точной, если не учитываемые нами потери энергии на разогрев пули и груза, на преодоление сопротивления воздуха, разгон стержня и т. д. невелики. Это, на первый взгляд, разумное рассуждение на самом деле неверно. Процессы, происходящие при "слипании" пули и маятника, уже не являются чисто механическими. Поэтому примененный для вычисления величины закон сохранения механической энергии несправедлив: сохраняется полная, а не механическая энергия системы. Он дает лишь нижнюю границу для оценки скорости пули (для правильного решения этой простой задачи надо воспользоваться также законом сохранения импульса).
Сходные рассуждения может применить и для оценки времени сверления слоя металла толщины лазером с мощностью , излучение которого перпендикулярно поверхности материала (рис. 1.3).

Рис. 1.3.  Начальная, промежуточная и конечная стадии сверления металла лазером
Если энергия лазера полностью идет на испарение столбика металла массы ( — облучаемая площадь, — объем столбика, — плотность вещества), то закон сохранения энергии выражается равенством
,(2)
где — энергия, требуемая для испарения единицы массы.
Величина имеет составную структуру: , поскольку материал необходимо последовательно нагреть до температуры плавления , а затем расплавить и превратить в пар ( — исходная температура, - удельная теплоемкость, и , — соответственно, удельная теплота плавления и парообразования).
Изменение глубины выемки со временем определяется из детального баланса энергии в промежутке времени от до . На испаренную за это время массу

тратится энергия , равная энергии , сообщаемой веществу лазером:

откуда получается дифференциальное уравнение
.
Его интегрирование (с учетом того, что начальная глубина выемки равна нулю) дает
,(3)
где — вся энергия, выделенная лазером к моменту времени . Следовательно, глубина выемки пропорциональна затраченной энергии (причем величина , когда , совпадает с вычисленной по формуле (2)).
б) Сохранение материи. Именно этим соображением руководствуется школьник, решающий задачу о заполнении бассейна водой, втекающей и вытекающей из двух труб. Конечно же, область применения этого закона несравненно шире.
Пусть, например, имеется небольшое количество радиоактивного вещества (урана), окруженного толстым слоем "обычного" материала (свинца), — ситуация типичная либо при хранении делящихся материалов, либо при их использовании в энергетике (рис. 1.4).

Рис. 1.4.
Под словом "небольшой" подразумевается упрощающее обстоятельство, а именно то, что все продукты распада, не испытывая столкновений с атомами вещества, беспрепятственно покидают область . Другими словами, длина свободного пробега продуктов распада в первом веществе значительно больше характерных размеров самого материала , т.е. . Слова "толстый слой" означают, что в согласии с целями хранения продукты деления полностью поглощаются в области II. Это гарантируется при выполнении противоположного условия , где — длина пробега продуктов распада во втором веществе, — его характерный размер.
Итак, все, что вылетает из области I, поглощается в области II, и суммарная масса обоих веществ со временем не меняется. Это и есть закон сохранения материи, примененный к данной ситуации. Если в начальный момент времени массы веществ были равны MI(0) и MII(0), то в любой момент времени справедлив баланс
.(4)
Одного уравнения (4), очевидно, недостаточно для определения текущих значений двух масс - и . Для замыкания математической формулировки необходимо привлечь дополнительное соображение о характере распада. Оно гласит, что скорость распада (число атомов, распадающихся в единицу времени) пропорционально общему числу атомов радиоактивного вещества. За небольшое время между моментами и всего распадется
, , ,
атомов. Здесь вторично использован закон сохранения вещества, но применительно не ко всему процессу, а к отрезку времени . В этом уравнении, описывающем баланс атомов, в правой части стоит знак минус (вещество убывает), а величина отвечает некоторому среднему значению числа атомов за рассматриваемое время. Перепишем его в дифференциальной форме:
.
Учитывая, что , где — атомный вес вещества I, получаем
.(5)
При самопроизвольной радиоактивности любой атом имеет некоторую не зависящую от состояния окружающего вещества вероятность распада. Поэтому чем больше (меньше) самого радиоактивного вещества, тем больше (меньше) выделяется продуктов распада в единицу времени. Коэффициент пропорциональности (постоянная распада) определяется конкретным веществом.
Уравнения (4), (5) вместе с условиями , , а также величинами , , и составляют математическую модель рассматриваемого объекта.
Интегрируя (5), получаем, что масса делящегося материала убывает по экспоненциальному закону
,
и при в области I вещество полностью исчезает.
Так как суммарная масса в соответствии с (4) остается постоянной, то в области II количество вещества растет:
,
и при продукты распада полностью переходят из области I в область II.
в) Сохранение импульса. Неподвижно стоящая в безветренную погоду на поверхности озера лодка начнет двигаться вперед, если сделать несколько шагов от ее носа к корме. Так проявляет себя закон сохранения импульса, утверждающий: полный импульс системы, не испытывающей действия внешних сил, сохраняется. На передвижение гребца лодка реагирует смещением в противоположную сторону.
Принцип реактивного движения положен в основу многих замечательных технических устройств, например, ракеты, выводящей на орбиту вокруг Земли искусственный спутник, для чего ей требуется развить скорость примерно 8 км/с. Простейшая математическая модель движения ракеты получается из закона сохранения импульса в пренебрежении сопротивлением воздуха, гравитацией и другими силами, исключая, конечно, тягу реактивных двигателей.Пусть продукты сгорания ракетного топлива покидают расположенные в кормовой части выхлопные сопла со скоростью (для современных топлив величина и равна 3-5 км/с). За малый промежуток времени между моментами и часть топлива выгорела, и масса ракеты изменилась на величину . Изменился также импульс ракеты, однако суммарный импульс системы "ракета плюс продукты сгорания" остался тем же, что и в момент , т.е. ,
где — скорость ракеты, , - средняя за промежуток скорость истекающих из сопел газов (обе скорости берутся относительно Земли). Первый член в правой части этого равенства - импульс ракеты в момент , второй — импульс, переданный истекающим газом за время .
Учитывая, что , закон сохранения импульса можно переписать в виде дифференциального уравнения
,
в котором член , очевидно, не что иное, как сила тяги ракетных двигателей, и которое, будучи преобразованным к виду ,
легко интегрируется:
,
где , - соответственно скорость и масса ракеты в момент .
Если , то максимальная скорость ракеты, достигаемая при полном сгорании топлива, равна

(6)
Здесь - полезная масса (масса спутника), - структурная масса (масса собственно ракетной конструкции - топливных баков, двигателей, систем управления и т.д.).Простая формула Циолковского (6) позволяет сделать фундаментальный вывод о конструкции ракеты для космических полетов.
Введем величину
,
которая характеризует при отношение структурной и начальной масс ракеты.
Тогда для практически реальных значений , км/с получаем при
км/с,
Отсюда следует, что даже в самой идеальной ситуации (полезная масса равна нулю, отсутствуют гравитация и сопротивление воздуха и т.д.) ракета рассматриваемого типа не способна достичь первой космической скорости. Тем самым необходимо использовать многоступенчатые ракеты - вывод, к которому пришли основоположники космонавтики.
Данный пример иллюстрирует также своего рода принцип "наибольшего благоприятствия", часто используемый на начальной стадии математического моделирования сложных объектов: если объект, поставленный в наилучшие условия, не в состоянии достичь требуемых характеристик, то надо изменить сам подход к объекту, либо смягчить требования к нему; если же требования в принципе достижимы, то следующие шаги связаны с исследованием влияния на объект дополнительных осложняющих факторов.
2. Вариационные принципы. Еще один подход к построению моделей, по своей широте и универсальности сопоставимый с возможностями, даваемыми фундаментальными законами, состоит в применении так называемых вариационных принципов. Они представляют собой весьма общие утверждения о рассматриваемом объекте (системе, явлении) и гласят, что из всех возможных вариантов его поведения (движения, эволюции) выбираются лишь те, которые удовлетворяют определенному условию. Обычно согласно этому условию некоторая связанная с объектом величина достигает экстремального значения при его переходе из одного состояния в другое.
Допустим, автомобиль, движущийся с постоянной скоростью , должен попасть из точки А в точку В и при этом коснуться некоторой прямой линии С (рис. 2.1).

Рис. 2.1.  Различные траектории движения из точки А в точку В с касанием прямой С. Жирной линией выделен быстрейший путь
Водитель автомобиля очень торопится и выбирает из множества траекторий путь, требующий минимальных затрат времени. Представим затраченное время как функцию величины - угла между прямой и отрезком пути от точки А до прямой:
.
Здесь и - длины перпендикуляров, опущенных из точек А и В на прямую, - угол между прямой и отрезком пути из точки касания до точки В.
Условие экстремальности по аргументу означает, что

или
.(7)
Для любых значений справедливо равенство
,
где с — расстояние между проекциями точек А и В на прямую (одинаковое для всех траекторий).
Дифференцируя его, получаем соотношение
,(8)
которое вместе с условием минимальности (7) означает
,
т.е. равенство углов и .
Далее нетрудно найти сами значения , через заданные величины а, b, с. Однако сейчас важно другое - условие минимальных затрат времени привело к выбору соответствующей траектории по правилу "угол падения равен углу отражения". Но ведь такому закону подчиняется и ход светового луча, попадающего на отражающую поверхность! Может быть, и в общем случае лучи света движутся по траекториям, обеспечивающим быстрейшее попадание сигнала из одной точки в другую? Да, именно так и происходит согласно известному вариационному принципу Ферма, опираясь на который, можно получить все основные законы геометрической оптики.
Покажем это, рассмотрев преломление лучей на границе двух сред (рис. 2.2).

Рис. 2.2
Свет, выходящий из точки А, движется в первой среде со скоростью , преломляется и, переходя через линию раздела, двигается во второй среде со скоростью и попадает в точку . Если — угол падения луча, а — угол его преломления, то время прохождения из в равно

Условие минимальности записывается в виде
,
а продифференцированное по условие постоянства величины по-прежнему выражается формулой (8). Здесь величины а, b, с имеют тот же смысл, что и в предыдущем случае.
Исключая из последней формулы производную , приходим к равенству
,(9)
т.е. к известному закону преломления света.
Сформулированные применительно к какому-либо классу явлений вариационные принципы позволяют единообразно строить соответствующие математические модели. Их универсальность выражается также в том, что, используя их, можно в определенной степени отвлекаться от конкретной природы процесса. Так, водитель автомобиля, следующий принципу "минимального времени" и желающий попасть из точки А, находящейся на песчаной почве (одна скорость), в точку В, расположенную на травянистом лугу (другая скорость), обязан поехать не по прямой, соединяющей А и B, а по ломанной траектории, сделав необходимое "преломление" на линии, разделяющей песок и траву.
3. Применение аналогий при построении моделей. В огромном числе случаев при попытке построить модель какого-либо объекта либо невозможно прямо указать фундаментальные законы или вариационные принципы, которым он подчиняется, либо, с точки зрения наших сегодняшних знаний, вообще нет уверенности в существовании подобных законов, допускающих математическую формулировку. Одним из плодотворных подходов к такого рода объектам является использование аналогий с уже изученными явлениями. Что, казалось бы, общего между радиоактивным распадом и динамикой популяций, в частности изменением численности населения нашей планеты? Однако на простейшем уровне такая аналогия вполне просматривается, о чем свидетельствует одна из простейших моделей популяций, называемая моделью Мальтуса. В ее основу положено простое утверждение - скорость изменения населения со временем пропорциональна его текущей численности , умноженной на сумму коэффициентов рождаемости и смертности . В результате приходим к уравнению
,(10)
весьма похожему на уравнение радиоактивного распада и совпадающего с ним при (если и постоянные). Это неудивительно, так как при их выводе использовались одинаковые соображения. Интегрирование уравнения (10) дает
,
где — начальная численность.
На рис. 3.1 приведены графики функции при постоянных и (разным подобным друг другу кривым соответствуют разные — значения времени начала процесса). При численность остается постоянной, т.е. в этом случае решением уравнения является равновесная величина . Равновесие между рождаемостью и смертностью неустойчиво в том смысле, что даже небольшое нарушение равенства приводит с течением времени ко все большему отклонению функции от равновесного значения . При численность населения убывает и стремится к нулю при , а при растет по некоторому экспоненциальному закону, обращаясь в бесконечность при . Последнее обстоятельство и послужило основанием для опасений Мальтуса о грядущем перенаселении Земли со всеми вытекающими отсюда последствиями.

Рис. 3.1.  Изменение численности популяции со временем в модели Мальтуса
Как в данном примере, так и в ряде рассмотренных выше случаев можно указать немало очевидных ограничений применимости построенной модели. Конечно же, сложнейший процесс изменения численности населения, зависящий к тому же от сознательного вмешательства самих людей, не может описываться какими-либо простыми закономерностями. Даже в идеальном случае изолированной биологической популяции предложенная модель не отвечает реальности в полной мере хотя бы из-за ограниченности ресурсов, необходимых для ее существования. Сделанное замечание, тем не менее, нисколько не умаляет роли аналогий в построении математических моделей очень сложных явлений.
Применение аналогий основано на одном из важнейших свойств моделей - их универсальности, т. е. их увязке к объектам принципиально различной природы. Так, предположения типа "скорость изменения величины пропорциональна значению самой величины (или некоторой функции от нее)" широко используются в далеких друг от друга областях знаний.
4. Иерархический подход к получению моделей. Лишь в редких случаях бывает удобным и оправданным построение математических моделей даже относительно простых объектов сразу во всей полноте, с учетом всех факторов, существенных для его поведения. Поэтому естествен подход, реализующий принцип "от простого — к сложному", когда следующий шаг делается после достаточно подробного изучения не очень сложной модели. При этом возникает цепочка (иерархия) все более полных моделей, каждая из которых обобщает предыдущие, включая их в качестве частного случая.
Построим такую иерархическую цепочку на примере модели многоступенчатой ракеты. Как было установлено, реальная одноступенчатая ракета неспособна развить первую космическую скорость. Причина этого - затраты горючего на разгон ненужной, отработавшей части структурной массы. Следовательно, при движении ракеты необходимо периодически избавляться от балласта. В практической конструкции это означает, что ракета состоит из нескольких ступеней, отбрасываемых по мере их использования.
Пусть — общая масса ступени, - соответствующая структурная масса (при этом масса топлива равна величине ), - масса полезной нагрузки. Величины и скорость истечения газов одинаковы для всех ступеней. Возьмем для определенности число ступеней .
Начальная масса такой ракеты равна

Рассмотрим момент, когда израсходовано все топливо первой ступени и масса ракеты равна величине

Тогда по формуле (6) первоначальной модели скорость ракеты равна
.
После достижения скорости структурная масса отбрасывается и включается вторая ступень. Масса ракеты в этот момент равна

Начиная с этого момента и до момента полного выгорания топлива второй ступени, ничто не мешает пользоваться уже построенной моделью, применив ее к рассматриваемому случаю. Все рассуждения о сохранении суммарного импульса и соответствующие выкладки остаются в силе (следует только учесть, что у ракеты уже есть начальная скорость ). Тогда по формуле (6) после выгорания топлива во второй ступени ракета достигает скорости
.
Такие же рассуждения применимы и к третьей ступени ракеты. После отключения ее двигателей скорость ракеты равна
.
Эту цепочку нетрудно продолжить для любого числа ступеней и получить соответствующие формулы. В случае же для окончательной скорости имеем
,
или, вводя величины
, , ,
получаем

Данное выражение симметрично по отношению к величинам и нетрудно показать, что его максимум достигается в симметричном случае, т.е. при .При этом для
, .
Произведение , как легко проверить, равно отношению , или
.
Для многоступенчатой ракеты, аналогично, имеем
, ,(11)
где — число ступеней.
Проанализируем формулу (11). Примем км/с, .
Тогда для получаем , , соответственно. Это значит, что двухступенчатая ракета пригодна для выведения на орбиту некоторой полезной массы (однако при одной тонне полезного груза необходимо иметь ракету весом 149 тонн). Переход к третьей ступени уменьшает массу ракеты почти в два раза (но, конечно же, усложняет ее конструкцию), а четырехступенчатая ракета не дает заметного выигрыша по сравнению с трехступенчатой.
Построение иерархической цепочки позволило относительно просто прийти к этим важным выводам. Иерархия математических моделей часто строится и по противоположному принципу "от сложного к простому". В этом случае реализуется путь "сверху вниз" - из достаточно общей и сложной модели при соответствующих упрощающих предположениях получается последовательность все более простых (но имеющих уменьшающуюся область применимости) моделей.
5. О нелинейности математических моделей. Простота рассмотренных выше моделей во многом связана с их линейностью. В математическом плане это важное понятие означает, что справедлив принцип суперпозиции, т. е. любая линейная комбинация решений (например, их сумма) также является решением задачи. Пользуясь принципом суперпозиции, нетрудно, найдя решение в каком-либо частном случае, построить решение в более общей ситуации. Поэтому о качественных свойствах общего случая можно судить по свойствам частного - различие между двумя решениями носит лишь количественный характер. Например, увеличение в два раза скорости истечения ракетного топлива ведет также к двукратному увеличению скорости ракеты, уменьшение угла падения светового луча на отражающую поверхность означает такое же изменение угла отражения и т.д. Другими словами, в случае линейных моделей отклик объекта на изменение каких-то условий пропорционален величине этого изменения.
Для нелинейных явлений, математические модели которых не подчиняются принципу суперпозиции, знание о поведении части объекта еще не гарантирует знания поведения всего объекта, а его отклик на изменение условий может качественно зависеть от величины этого изменения. Так, уменьшение угла падения луча света на границу раздела двух сред приводит к уменьшению угла преломления, но только до определенного предела. Если угол падения становится меньше критического (см. формулу (9)), то происходит качественное изменение - свет перестает проникать через границу раздела во вторую среду, если она менее плотная, чем первая. Тем самым преломление света - пример нелинейного процесса.
Большинство реальных процессов и соответствующих им математических моделей нелинейны. Линейные же модели отвечают весьма частным случаям и, как правило, служат лишь первым приближением к реальности. Например, популяционные модели сразу становятся нелинейными, если принять во внимание ограниченность доступных популяции ресурсов. При их выводе считается, что:
1) существует "равновесная" численность популяции , которую может обеспечить окружающая среда;
2) скорость изменения численности популяции пропорциональна самой численности, умноженной (в отличие от модели Мальтуса) на величину ее отклонения от равновесного значения, т.е.
, .(12)
Член в этом уравнении обеспечивает механизм "насыщения" численности - при скорость роста положительна (отрицательна) и стремится к нулю, если .

Рис. 5.1
Представляя уравнение (12) в виде

и интегрируя его, получаем
.
Постоянная интегрирования определяется из условия , т.е.
.
В результате находим
,
или, в окончательном виде,
.
Поведение функции описывается так называемой логистической кривой (рис. 5.1). При любом численность стремится к равновесному значению , причем тем медленней, чем величина ближе к . Тем самым равновесие, в отличие от случая модели (10), устойчиво.
Логистическая модель более реалистично отражает динамику популяции в сравнении с моделью Мальтуса, но сама она с необходимостью становится нелинейной и поэтому более сложной. Заметим, что предположения о механизмах насыщения используются при построении многих моделей в различных областях знаний.
6. Предварительные выводы. Процесс построения моделей может быть условно разбит на следующие этапы.
Конструирование модели начинается со словесно-смыслового описания объекта или явления. Помимо сведений общего характера о природе объекта и целях его исследования эта стадия может содержать также некоторые предположения (невесомый стержень, толстый слой вещества, прямолинейное распространение световых лучей и т.д.). Данный этап можно назвать формулировкой предмодели.
Следующий этап - завершение идеализации объекта. Отбрасываются все факторы и эффекты, которые представляются не самыми существенными для его поведения. Например, при составлении баланса материи не учитывался, ввиду его малости, дефект масс, которым сопровождается радиоактивный распад. По возможности идеализирующие предположения записываются в математической форме, с тем чтобы их справедливость поддавалась количественному контролю.
После выполнения первых двух этапов можно переходить к выбору или формулировке закона (вариационного принципа, аналогии и т.п.), которому подчиняется объект, и его записи в математической форме. При необходимости используются дополнительные сведения об объекте, также записываемые математически (например, постоянство величины с для всех траекторий лучей света, вытекающее из геометрии задачи). Следует иметь в виду, что даже для простых объектов выбор соответствующего закона отнюдь не тривиальная задача.
Завершает формулировку модели ее "оснащение". Например, необходимо задать сведения о начальном состоянии объекта (скорость ракеты и ее массу в момент ) или иные его характеристики, без знания которых невозможно определить поведение объекта. И, наконец, формулируется цель исследования модели (найти закон преломления света, достичь понимания закономерностей изменения популяции, определить требования к конструкции ракеты, запускающей спутник, и т. д.).
Построенная модель изучается всеми доступными исследователю методами, в том числе с взаимной проверкой различных подходов. В отличие от рассматриваемых простейших случаев, большинство моделей не поддаются чисто теоретическому анализу, и поэтому необходимо широко использовать вычислительные методы. Это обстоятельство особенно важно при изучении нелинейных объектов, так как их качественное поведение заранее, как правило, неизвестно.
В результате исследования модели не только достигается поставленная цель, но и должна быть установлена всеми возможными способами (сравнением с практикой, сопоставлением с другими подходами) ее адекватность - соответствие объекту и сформулированным предположениям. Неадекватная модель может дать результат, сколь угодно отличающийся от истинного, и должна быть либо отброшена, либо соответствующим образом модифицирована.
Примеры моделей, получаемых из фундаментальных законов природы
1. Траектория всплытия подводной лодки. Пусть подводная лодка, находящаяся в момент времени на глубине от поверхности моря и движущаяся с постоянной горизонтальной скоростью (рис. 1.1), получает приказ подняться на поверхность. Если промежуток времени, за который цистерны подлодки освобождаются от воды и заполняются воздухом, с тем чтобы ее средняя плотность стала меньше плотности воды , невелик, то можно считать, что в момент на подлодку начинает действовать выталкивающая сила, большая, чем вес лодки. По закону Архимеда выталкивающая сила равна , где - ускорение свободного падения, - объем подлодки. Суммарная сила, действующая на подлодку в вертикальном направлении, - разность между и весом тела , а сообщаемое ею ускорение по второму закону Ньютона равно
.

Рис. 1.1
Координата I, характеризующая горизонтальное положение подлодки, изменяется по закону движения тела с постоянной скоростью:
.
Решая эти уравнения, находим, что
, ,(1)
и что лодка всплывет на поверхность в момент , когда
, .
При этом в горизонтальном направлении подлодка пройдет расстояние
.
Исключая из (1) время, найдем траекторию движения подлодки в координатах ,
,
которая оказывается параболой с вершиной в точке , (при выводе (1) вертикальная скорость лодки, а также величины и принимались равными нулю в момент ). Считалось также, что никакие другие вертикальные силы, кроме и , на подлодку не действуют. Это предположение верно лишь при малых скоростях всплытия, когда можно пренебречь сопротивлением воды движению лодки. Итак, непосредственное применение закона Архимеда, определяющего величину выталкивающей силы, и закона Ньютона, связывающего силу, действующую на тело, и его ускорение, позволило легко найти траекторию подлодки.
Очевидно, что параболической траекторией обладает любое движущееся в плоскости тело, имеющее по одному из направлений постоянную скорость и на которое в другом направлении действует постоянная сила (уравнения (1) фактически дают параметрическую запись параболы). К таким движениям относятся, например, полет камня, брошенного с высоты с горизонтальной скоростью или полет электрона в электрическом поле плоского конденсатора. Однако в последнем случае получить траекторию тела непосредственно из фундаментальных законов нельзя, требуется применить более детальную процедуру.
2. Отклонение заряженной частицы в электронно-лучевой трубке. Будем считать, что обкладки конденсатора электроннолучевой трубки (рис. 2.1) представляют собой бесконечные плоскости

Рис. 2.1
(предположение справедливо в случае, если расстояние между обкладками много меньше их размеров, а электрон движется на большом удалении от их краев). Очевидно, что электрон будет притягиваться к нижней обкладке и отталкиваться от верхней. Сила притяжения двух разноименных зарядов элементарно определяется из закона Кулона
,
где и - величины зарядов, - расстояние между ними. Сложность заключается в том, что в данном примере на обкладке находится бесконечно много зарядов, каждый из которых расположен на своем расстоянии от движущегося электрона. Поэтому необходимо, сначала найти силу, индуцируемую каждым зарядом, и затем, просуммировав все элементарные силы, определить результирующее действие обкладок на электрон.
Разобьем всю плоскость нижней обкладки на элементарные "полоски", характеризующиеся координатами ; ; (см. рис. 2.1).
Подсчитаем силу притяжения электрона зарядом, находящемся на элементарной площадке и равным , где - поверхностная плотность заряда на обкладке.
Если частица находится на расстоянии от заряженной плоскости, то

(здесь учитывается малость величины ).
Для определения величины имеем
, .
Из последних двух формул находим
,
где, аналогично предыдущему, учтена также и малость величины .
Умножая на и отбрасывая член более высокого порядка малости, получаем
.
Сила притяжения электрона с зарядом к элементарной площадке равна
,
где - "среднее" расстояние от электрона до площадки, которое с учетом малости величин вычисляется по формуле .
В итоге для элементарной силы имеем
,
а для ее вертикальной составляющей
.
Проинтегрировав выражение для по от до , найдем силу притяжения электрона к части элементарной "полоски", расположенной в квадранте : .
Просуммировав по от до , т.е. по всем полоскам квадранта , определим силу притяжения, индуцируемую зарядами, расположенными в этом квадранте:
.
Учитывая действие всех четырех квадрантов плоскости нижней обкладки и проводя аналогичные рассуждения для верхней обкладки, получим результирующую силу притяжения (отталкивания) электрона ко всем зарядам конденсатора
.(2)
Сила направлена вдоль оси к нижней обкладке (составляющие по осям , очевидно, равны нулю в силу симметрии - чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть действие заряда, находящегося на площадке, расположенной в квадранте и симметричной площадке ).
Поскольку сила не зависит от , а по горизонтальной оси частица движется с постоянной скоростью , то приходим к ситуации предыдущего пункта - применив второй закон Ньютона, легко получить формулы, аналогичные (1), описывающие движение электрона по параболической траектории и дающие возможность вычислить все ее параметры. Однако в отличие от случая с подлодкой прямое применение фундаментального закона Кулона для получения модели движения электрона оказывается невозможным. Потребовалось, опираясь на фундаментальный закон, сначала описать элементарный акт взаимодействия зарядов, и уж затем, просуммировав все эти акты, удалось найти результирующую силу.
Подобная ситуация и последовательность действий весьма типичны при построении моделей, так как многие фундаментальные законы устанавливают взаимоотношения как раз между элементарными частями исходного объекта. Это, разумеется, справедливо не только для электрических сил, но, например, и для сил тяготения.
3. Колебания колец Сатурна. Построим модель движения точечной массы в поле сил тяготения, создаваемом материальным кольцом с радиусом линейной плотностью . Кольцо считается бесконечно тонким, движение происходит вдоль оси кольца (рис. 2.3).

Рис. 2.3
Данная схема может рассматриваться как идеализация процесса колебаний колец Сатурна. Тем не менее, несмотря на существенные упрощения, непосредственное использование закона всемирного тяготения
,
где - сила притяжения двух тел, имеющих массы и , - расстояние между ними, - постоянная тяготения, не может дать окончательной модели движения колец Сатурна, так как массы должны быть точечными.
Поэтому вычислим, сначала силу притяжения между точечной массой и массой , содержащейся в малом элементе кольца , которую уже можно считать точечной:
.
Здесь - соответственно расстояние от массы до кольца и до центра кольца.
Очевидно, что при (для выкладки аналогичны)
, .
Поскольку
,
то

Найдем проекцию силы на ось (именно эта проекция определяет интересующее нас движение):

Просуммировав теперь силы тяготения, создаваемые всеми элементами кольца, т.е. взяв интеграл от по от до , найдем результирующую силу:
,(3)
где - полная масса кольца. Как и в предыдущем пункте, горизонтальная проекция результирующей силы равна нулю из-за симметричного расположения кольца относительно массы .
Сила тяготения (3) существенно отличается от выражения, даваемого законом для точечных масс, переходя в него лишь при , когда кольцо можно уподобить точечной массе благодаря большому, в сравнении с размерами кольца, расстоянию между тяготеющими телами.
Если же , то
,
и сила притяжения, в противоположность случаю точечных масс, убывает с уменьшением расстояния между объектами.
Применив к массе второй закон Ньютона, получим уравнение ее движения вдоль оси :

которое, в отличие от п.1 и п.2, существенно нелинейно и становится линейным лишь при :
.(4)
4. Движение шара, присоединенного к пружине
Пусть - координата шарика вдоль оси пружины, лежащей на горизонтальной плоскости, и направление движение шарика совпадает с его осью. Тогда по второму закону динамики
,
где - масса шарика, - его ускорение. Будет считать плоскость идеально гладкой (то есть движение происходит без трения), пренебрежем также сопротивление воздуха и примем во внимание то, что вес шарика уравновешивается реакцией плоскости (рис. 4.1).

Рис. 4.1
Единственная сила, действующая на шарик в направлении оси , очевидно, сила упругости пружины. Определим ее, используя закон Гука, гласящий, что для растяжения (сжатия) пружины необходимо приложить силу
,
где коэффициент , характеризует упругие свойства пружины, а - величину ее растяжения или сжатия относительно нейтрального, ненагруженного положения .
Уравнение движения шарика принимает вид (уравнение элементарного осциллятора)
, .(5)
Данное уравнение описывает гармонические колебания шара и имеет общее решение
,(6)
где - собственная частота колебаний системы «пружина-шарик». Значения и легко определяются из начального состояния объекта, т.е. и ( - скорость шарика), причем при . Заметим, что уравнение (4) с точностью до обозначений совпадает с (5), поэтому, в пункте 3., речь шла также о процессе колебаний, но применительно к системе «Сатурн-кольцо».
Подходы, с помощью которых строятся модели, не должны противоречить фундаментальным законам природы. Соответствующая проверка непротиворечивости (если она возможна) весьма полезна для установления правильности моделей. Поясним это, используя для вывода уравнения (5) не закон Ньютона, а закон сохранения энергии. Поскольку точка крепления пружины неподвижна, то стенка не совершает работу над системой «пружина-шарик» (и наоборот), и ее полная механическая энергия остается постоянной. Вычислим ее. Кинетическая энергия определяется движением шарика (пружина считается невесомой):
.
Потенциальная энергия системы «содержится» в пружине, ее нетрудно найти, определив работу необходимую для растяжения (сжатия) пружины на величину :
.
Для неизменной со временем величины (интеграла энергии) получаем
.
Так как , то, продифференцировав интеграл энергии по , приходим к выражению
,
т.е. к уравнению (5), проверив тем самым правильность его получения. Подобную процедуру нетрудно провести и для других примеров.
5. Основные выводы.
Даже в простейших ситуациях для построения модели может потребоваться использование не одного, а нескольких фундаментальных законов.
Прямое формальное применение фундаментальных законов к объекту, рассматриваемому как целое, не всегда возможно. В этих случаях требуется просуммировать элементарные акты взаимодействия между его частями, принимая во внимание свойства объекта (например, его геометрию).
Одними и теми же моделями могут описываться совершенно разные по своей природе объекты, подчиняющиеся разным фундаментальным законам, и, наоборот, данному закону могут отвечать принципиально разные модели (например, линейные и нелинейные).
Необходимо использовать все возможности для проверки правильности построения модели.
Вариационные принципы и математические модели
Дадим упрощенную формулировку вариационного принципа Гамильтона для механической системы. На его основе выведем уравнения движения на пружине и маятника в поле сил тяжести. Сопоставим результаты получения моделей из фундаментальных законов и вариационного принципа.
Общая схема принципа Гамильтона.
Пусть имеется механическая система, формального или строгого определения которой пока давать не будем, имея в виду, что все взаимодействия между элементами такой системы определяются законами механики (один из простейших примеров, система «шарик – пружина»). Ведем понятие обобщенных координат , полностью определяющих положение механической системы в пространстве. Величина может быть декартовой координатой (например, координата в системе «шарик – пружина»), радиусом-вектором, угловой координатой, набором координат материальных точек, составляющих систему и т.д. Величину естественно называть обобщенной скоростью механической системы в момент времени . Набор величин и определяет состояние механической системы во все моменты времени.
Для описания механической системы вводится функция Лагранжа, которая, в простейших случаях, имеет явный смысл и записывается в следующем виде
,(1)
где и - кинетическая и потенциальная энергии соответственно.
Введем величину , называемой действием:.(2)
Интеграл (2), очевидно, является функционалом от обобщенной координаты , т.е. функции , заданной на отрезке , он ставит в соответствие некоторое число (действие).
Принцип Гамильтона для механической системы гласит: если система движется по законам механики, то - стационарная функция для, или
.(3)
Фигурирующая в принципе наименьшего действия (3) функция - некоторая пробная функция, обращающаяся в ноль, в моменты и удовлетворяющая тому условию, что - возможная координата данной системы (в остальном произвольна).
Смысл принципа (3) в том, что из всех априори мыслимых (допускаемых) траекторий (движений) системы между моментами выбирается (реализуется) движение, доставляющее минимум функционалу действие (отсюда и происходит название принципа). Функция называется вариацией величины .
Итак, схема применения принципы Гамильтона (3) для построения моделей механических систем состоит в следующем: определяются обобщенные координаты и обобщенные скорости системы, строятся функция Лагранжа и функционал действия , минимизация которого на вариациях координаты и дает искомую модель.
Третий способ получения модели системы «шарик – пружина».
Воспользуемся принципов Гамильтона для построения модели движения шарика, соединенного с пружиной. В качестве обобщенной координаты системы естественно выбрать обычную эйлерову координату шарика . Тогда обобщенная скорость - обычная скорость шарика. Функция Лагранжа (1), равная , записывается через значения кинетической и потенциальной энергии системы:.
Для величины действия получаем выражение
.
Теперь в соответствии со схемой, вычислим действия на вариациях координаты:
.
Последнюю формулу необходимо продифференцировать по (учитывая, что функции от не зависят):
,
и положить в нее :
.
Правая часть этого выражения (равного нулю в согласии с принципом Гамильтона) с помощью интегрирования ее первого члена по частям и с учетом того, что в моменты , преобразуется к виду:
.
Поскольку пробная функция , фигурирующая в формулировке принципа наименьшего действия, произвольна, то часть выражения, стоящая под знаком интеграла в квадратных скобках, должна быть равна нулю во все моменты времени :
,
т.е. движение системы должно описываться уравнением, полученным из закона Ньютона (первый способ) и закона сохранения энергии (второй способ). Все три подхода эквивалентны.
3. Колебания маятника в поле сил тяжести
Рассмотрим более сложный пример применения принципа Гамильтона с подробным рассмотрение начальной стадии построения модели – описанием механической системы.
Пусть на неподвижном шарнире повешен маятник – груз массы , находящийся на конце стержня длины (рис. 3.1).

Рис. 3.1
Шарнир считается идеально гладким в том смысле, что на нем не происходят потери энергии на трение. Неподвижность шарнира означает, что от него энергия в систему «стержень – груз» не поступает, такой шарнир не способен совершить над ней какую-либо работу. Стержень считается невесомым и абсолютно жестким, т.е. его кинетическая и потенциальные энергии равны нулю, а груз не может совершить движения вдоль оси стержня. Груз имеет небольшие размеры по сравнению с длиной стержня (материальная точка), ускорение свободного падения постоянно, сопротивлением воздуха пренебрегается, колебания происходят в фиксированной вертикальной плоскости (для чего, очевидно, вектор начальной скорости груза должен лежать в этой плоскости).
После всех этих упрощающих предположений ясно, что положение маятника определяется лишь одной обобщенной координатой, в качестве которой выберем угол , отклонения стержня от вертикали. Обобщенная скорость в данном случае – угловая скорость .
Кинетическая энергия системы дается формулой
,
а потенциальная энергия выражением
,
где - отклонение маятника от наинизшего положения по вертикали.
В дальнейших выкладках, величину в опустим, так как потенциальная энергия определяется с точностью до постоянной.
Теперь нетрудно вычислить функцию Лагранжа (1) и действие (2):
,
.
Находя действие на вариациях :
,
дифференцируя его по и полагая, что , получаем
.
Как и в предыдущем случае, интегрируем первым член выражения в скобках по частям и, учитывая, что в моменты , приходим к следующему уравнению:
,
которое в силу произвольности может удовлетворяться лишь если для всех справедливо равенство
.(4)
Заметим, что уравнение колебаний маятника (4) в отличие от уравнения нелинейно. Это обстоятельство связано с более сложной геометрией системы «стержень – груз», а именно: ускорение, испытываемое грузом, не пропорционально координате, как в случае закона Гука, а является более сложной функцией отклонения от положения равновесия (угол ). Если же эти отклонения малы, то , и модель малых колебаний линейна:.
Они описываются формулой (аналогичной , ), где - собственная частота малых колебаний, а величины и определяются через , .
4. Заключение
Примеры использования принципа Гамильтона для построения моделей механических систем рисуют весьма четкую программу действий. Универсальность, строго формализованные и последовательные процедуры, не зависящие от деталей конкретной системы, безусловно, весьма привлекательная черта вариационных принципов. В приведенных выше простых случаях модели могут быть получены и иными способами. Однако, для многих других, более сложных объектов, вариационные принципы оказываются фактически единственным методом построения моделей. Так, например, механические части большинства робототехнических устройств, состоят из большого количества разнообразных элементов, связанных между собой различными способами. Их математические модели включают большое количество уравнений, единообразно получаемых в основном с помощью вариационных принципов. Этот подход успешно применяется также и для систем иной природы (физических, химических, биологических), для которых формулируются соответствующие общие утверждения о характере их эволюции (поведения).
То обстоятельство, что принцип Гамильтона и другие подходы дают совпадающие модели, естественно, что они описывают один и тот же исходный объект. Разумеется, такое совпадение гарантировано, только при одних и тех же предположениях об объекте. Если же идеализация (как один из первых этапов построения модели) проводится одинаково, то разные способы получения моделей должны давать тождественные результаты. Пусть, например, в системе «шарик – пружина» появляется дополнительная постоянная сила некоторого внешнего воздействия на шарик . Тогда из второго закона Ньютона нетрудно получить уравнение движения шарика
.
Применяя принцип Гамильтона к такой системе, необходимо учесть наличие этой силы. Очевидно, что определения обобщенной координаты, обобщенной скорости и кинетической энергии останутся неизменными. В тоже время выражение для потенциальной энергии существенно изменяется на величину, равную работе, произведенной этой силой над системой:
.
Проводя аналогичные выкладки с соответствующим образом измененными величинами и , нетрудно убедиться в том, что принцип Гамильтона дает написанное выше уравнение с внешней силой .
Универсальность математических моделей
Рассмотрим процессы колебаний в объектах различной природы. Покажем, что несмотря на разную сущность объектов, им соответствуют одни и те же математические модели.
1. Жидкость в U – образном сосуде.

Жидкость занимает часть сосуда U – образной формы, представляющего собой изогнутую трубку радиуса . Масса жидкости , ее плотность . Стенки сосуда идеально гладкие, поверхностным натяжением пренебрегается, атмосферное давление и ускорение свободное падение постоянны.
В состоянии равновесия жидкость, очевидно, покоится, ее высота в обоих коленах сосуда одинакова. Если ее вывести из равновесия, то начнется движение, характер которого установим с помощью закона сохранения энергии, поскольку в силу сделанных предположений ее потери в системе отсутствуют.
Потенциальную энергии системы вычислим через работу, которую необходимо совершить, чтобы переместить ее из состояния равновесия (где ) в положение неравновесия.
Она равна
, , ,
где - вес той части жидкости в левом колене, уровень которой превышает величину . Работа сил атмосферного давления равна нулю, так как для разных колен соответствующие перемещения направлены в разные стороны.
Неизвестные величины и связаны очевидным соотношением , выражающим постоянство полной длины столба жидкости в сосуде с постоянным сечением. Поставляя последнее равенство в выражение для , получаем после интегрирования
.
При вычислении кинетической энергии учтем постоянство сечения трубки и несжимаемость жидкости. Это означает, что столб жидкости движется как целое, и ее скорость одинакова во всех сечениях. Примем за величину , и тогда
,
а из закона сохранения энергии следует
.
Так как , то продифференцировав это выражение, получаем
,
что с учетом такого же соотношения для величины , дает уравнение
,
где - отклонение уровня жидкости от положения равновесия. Оно с точностью до обозначений совпадает с уравнением для системы «шарик – пружина» (в данном случае аналогом шарика служит столб жидкости, а роль пружины играет тяготение). Последовательный отказ от идеализации объекта дает более полные его модели.
2. Колебательный электрический контур.
Это устройство представляет собой конденсатор, соединенный проводами с индуктивной катушкой. В момент цепь замыкается, и заряд с обкладок конденсатора начинает распространяется по цепи.

Сопротивление проводов будем считать равным нулю, емкость конденсатора равна , индуктивность катушки . Для изменяющейся со временем величины , где - заряд на обкладках конденсатора, необходимо получить соответствующее уравнение. Очевидно, что ток и напряжение также являются функциями времени. По физическому смыслу величины в любой момент времени имеет место равенство (емкость равна величине заряда, который необходимо поместить на обкладки конденсатора для увеличения разности потенциалов между ними на единицу).
Так как электрическое сопротивление в цепи отсутствует, то падение напряжения на проводах нет, и разность потенциалов , существующая на конденсаторе, подается непосредственно на катушку. При переменном токе в катушке возникает электродвижущая сила самоиндукции, равная . Закон Ома в цепи в отсутствие сопротивления выглядит следующим образом
,
или
.
Так как по определению (при изменении заряда на конденсаторе в цепи возникает ток), то из последнего соотношения получаем выражение
,
описывающее процесс колебаний величины (а, следовательно, и величин и ) в простейшем электрическом контуре. В системе «емкость – индуктивность» колебания происходят также, как и в системе «шарик – пружина».
3. Малые колебания при взаимодействии двух биологических популяций.
Пусть на одной и той же территории проживают две биологических популяции с численностями и , причем первая растительноядная, а вторая употребляет в пищу представителей первой популяции. Скорость изменения определяется скоростью убывания благодаря соседству со второй популяцией
,(1)
где , , член описывает вынужденное убывание (естественной смертностью популяции пренебрегаем).
Численность второй популяции растет тем быстрее, чем больше численность первой популяции, а при ее отсутствии уменьшается со скорость, пропорциональной численности (тем самым ее рождаемость не учитывается, как эффект насыщения):
,(2)
где , .
Очевидно, что система находится в равновесии при и , когда . Рассмотрим малые отклонения системы от равновесных значений, т.е. представим решение в виде , , , . Подставляя и в уравнения (1) и (2), получим, отбрасывая члены более высокого порядка малости,
,(3)
.(4)
Дифференцируя (3) по подставляя в полученное уравнение функция , определяемую из (4), придем к уравнению
.
Следовательно, в системе происходят малые колебания численности с частотой , зависящей только от коэффициентов рождаемости и смертности и . Нужно заметить, что величина подчиняется такому же уравнению, причем если отклонение равно нулю в начальный момент , то имеет максимальную амплитуду, и наоборот. Эта ситуация, когда численности и находятся в противофазе, воспроизводится для всех моментов , ( - период колебаний) и отражает запаздывание реакции численности одной популяции на изменение численности другой.
4. Заключение.
Построенные модели в одних случаях основаны на точно известных законах, в других – на наблюдаемых фактах, либо на аналогиях, либо на правдоподобных представлениях о характере объекта. Хотя и сущность рассматривавшихся явлений, и подходы к получению отвечающих им моделей совершенно различны, построенные модели оказались идентичны друг другу. Это свидетельствует о важнейшем свойстве математических моделей – их универсальности, - широко используемом при изучении объектов самой различной природы.
Сохранение массы вещества
На основе сохранения баланса массы вещества и некоторых дополнительных соображений построим модели потока невзаимодействующих частиц и движения грунтовых вод в пористой среде.
1. Поток частиц в трубе.
В цилиндрической трубе с поперечным сечением движутся частицы вещества (пылинки, электроны) (рис. 1.1).

Рис.1.1
Скорость их движения вдоль оси , вообще говоря, изменяется со временем. Например, заряженные частицы могут ускоряться или замедляться под действием электрического поля. Для построения простейшей модели рассматриваемого движения введем следующие предположения:
а) частицы между собой не взаимодействуют (не сталкиваются, не притягиваются и т.д.). Для этого, очевидно, плотность частиц должна быть достаточно малой (в этом случае, заряженные частицы не только не сталкиваются, но и не оказывают друг на друга влияния из-за большого расстояния между ними);
б) начальная скорость всех частиц, находящихся в одном и том же поперечном сечении с координатой , одинакова и направлена вдоль оси ;
в) начальная плотность частиц также зависит только от координаты ;
г) внешние силы, действующие на частицы, направлены вдоль оси .
Предположение а) означает, что скорость частиц может изменяться лишь под действием внешних сил, предположения б) - г) обеспечивают одномерность процесса переноса, т.е. зависимость искомой плотности потока частиц только от координаты и времени .
Итак, по заданной начальной плотности , необходимо найти плотность частиц в любой момент времени для любых (скорость движения задана). Прибегнем к закону сохранения массы, подсчитав баланс вещества в малом элементе трубы от до за время (рис. 1.2).

Рис. 1.2
Слева в элементарный объем входит количества вещества с массой, равной
, ,
где - объем вошедшего за промежуток времени вещества.
Через правое сечение за то же время выходит масса, равная
, ,
т.е. суммарное изменение массы равно
.
В силу малости промежутка скорость считается постоянной. Величины , - средние по времени значения плотности в сечения и . Другой способ подсчета изменений в фиксированном объеме очевиден из смысла величины :, ,
где и - средние по пространству значения плотности по и .
Приравнивая оба полученные для выражения и устремляя и к нулю, приходим к уравнению для , отвечающему закону сохранения массы,
, , ,(1)
с начальным условием
, .(2)
Величина (поток вещества или поток массы) равна количеству вещества, проходящему в единицу времени через единичную поверхность поперечного сечения трубы. Как видно из (1), скорость изменения плотности вещества со временем в любом сечении определяется «скоростью» изменения потока вещества по координате . Схожим свойством обладают многие модели, отвечающие законам сохранения и описывающие совсем другие процессы.
В случае постоянной скорости приходим к простейшему линейному уравнению в частных производных
, , .(3)
Его общее решение нетрудно найти, приняв во внимание, что уравнение (3) имеет характеристики – линии , на которых значения искомой функции постоянны во времени, т.е. , или, в эквивалентной записи,
, .
Выбирая , получим
.(4)
Интеграл (4) является общим решением уравнения (3). Из формулы (4) и начальных данных (2) легко найти искомую функцию, причем она зависит не по отдельности от переменных , а от их комбинации (бегущая волна). Пространственный профиль плотности без искажений переносится вдоль потока (рис. 1.3) с постоянной скоростью (уравнение (3) называют также уравнением переноса).

Рис. 1.3
Это основное свойства решения уравнения (3) несколько модифицируется в случае, когда скорость частиц зависит от времени - профиль плотности переносится за равные промежутки времени на разные расстояния. Если по каким-то причинам скорость потока зависит от плотности (), то уравнение (1) становится нелинейным и поведение его решения может иметь качественно иной характер.
Математическое программирование. Понятие линейного программирования. Виды задач линейного программирования. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования
1. Понятие математического программирования
Математическое программирование – это математическая дисциплина, в которой разрабатываются методы отыскания экстремальных значений целевой функции среди множества ее возможных значений, определяемых ограничениями.
Наличие ограничений делает задачи математического программирования принципиально отличными от классических задач математического анализа по отысканию экстремальных значений функции. Методы математического анализа для поиска экстремума функции в задачах математического программирования оказываются непригодными.
Для решения задач математического программирования разработаны и разрабатываются специальные методы и теории. Так как при решении этих задач приходится выполнять значительный объем вычислений, то при сравнительной оценке методов большое значение придается эффективности и удобству их реализации на ЭВМ.
Математическое программирование можно рассматривать как совокупность самостоятельных разделов, занимающихся изучением и разработкой методов решения определенных классов задач.
В зависимости от свойств целевой функции и функции ограничений все задачи математического программирования делятся на два основных класса:
задачи линейного программирования,
задачи нелинейного программирования.
Если целевая функция и функции ограничений – линейные функции, то соответствующая задача поиска экстремума является задачей линейного программирования. Если хотя бы одна из указанных функций нелинейна, то соответствующая задача поиска экстремума является задачей нелинейного программирования.
2. Понятие линейного программирования. Виды задач линейного программирования
Линейное программирование (ЛП) – один из первых и наиболее подробно изученных разделов математического программирования. Именно линейное программирование явилось тем разделом, с которого и начала развиваться сама дисциплина "математическое программирование". Термин "программирование" в названии дисциплины ничего общего с термином "программирование (т.е. составление программы) для ЭВМ" не имеет, т.к. дисциплина "линейное программирование" возникла еще до того времени, когда ЭВМ стали широко применяться для решения математических, инженерных, экономических и др. задач.Термин "линейное программирование" возник в результате неточного перевода английского "linear programming". Одно из значений слова "programming" - составление планов, планирование. Следовательно, правильным переводом английского "linear programming" было бы не "линейное программирование", а "линейное планирование", что более точно отражает содержание дисциплины. Однако, термины линейное программирование, нелинейное программирование, математическое программирование и т.д. в нашей литературе стали общепринятыми и поэтому будут сохранены.
Итак, линейное программирование возникло после второй мировой войны и стало быстро развиваться, привлекая внимание математиков, экономистов и инженеров благодаря возможности широкого практического применения, а также математической стройности.
Можно сказать, что линейное программирование применимо для решения математических моделей тех процессов и систем, в основу которых может быть положена гипотеза линейного представления реального мира.
Линейное программирование применяется при решении экономических задач, в таких задачах как управление и планирование производства; в задачах определения оптимального размещения оборудования на морских судах, в цехах; в задачах определения оптимального плана перевозок груза (транспортная задача); в задачах оптимального распределения кадров и т.д.
Задача линейного программирования (ЛП), как уже ясно из сказанного выше, состоит в нахождении минимума (или максимума) линейной функции при линейных ограничениях.
Общая форма задачи имеет вид: найти при условиях
, ,
, ,
, ,
где
, , , ,
, , .
Здесь и далее нам удобнее считать и вектор - строками, а и - вектор - столбцами.
Наряду с общей формой широко используются также каноническая и стандартная формы. Как в канонической, так и в стандартной форме

т.е. все переменные в любом допустимом решении задачи должны принимать неотрицательные значения (такие переменные принято называть неотрицательные в отличие от так называемых свободных переменных, на область значений которых подобное ограничение не накладывается). Отличие же между этими формами состоит в том, что в одном случае , а в другом .
Задача ЛП в канонической форме:
,(2.1)
,(2.2)
.(2.3)
Задача ЛП в стандартной форме:
,
,
.
В обоих случаях есть матрица размерности , строка которой совпадает с вектором .
Задача ЛП в общей форме сводится (в определенном смысле) к задаче ЛП в канонической (стандартной) форме. Под этим понимается существование общего способа построения по исходной задаче (в общей форме) новой задачи ЛП (в нужной нам форме), любое оптимальное решение которой "легко" преобразуется в оптимальное решение исходной задачи и наоборот. (Фактически, связь между этими задачами оказывается еще более тесной). Тем самым, имеется возможность, не теряя общности, заниматься изучением задач ЛП, представленных либо в канонической, либо в стандартной форме. 3. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования
Рассмотрим такой пример:
максимизировать , при условиях
, , , .

Рис. 4.1
Каждое из этих неравенств определяет полуплоскости, пересечение которых дает многоугольник, «заштрихованный» на рис. 4.1. Этот многоугольник (выпуклый многогранник) и представляет собой допустимое множество решений задачи ЛП.
Теперь рассмотрим целевую функцию
,
пусть ее значения
.
График уравнения - прямая с отрезками на осях , .
.
При получим прямую .
Прямая параллельная прямой , но расположена выше от нее. Передвигая прямую вверх параллельно самой себе, приходим к такому ее положению, когда прямая и множество будут иметь только одну общую точку .
Очевидно, что точка - оптимальное решение, так как она лежит на прямой с максимально возможным значением . Заметим, что эта точка оказалась крайней точкой множества .
При векторной форме ограничения задачи ЛП записываются так:
,(3.1)
где
, , …, .
Рассмотрим допустимое множество в пространстве данных векторов.
Поскольку в формуле (3.1) , , то все положительные комбинации векторов образуют конус. Поэтому вопрос о существовании допустимых решений равнозначен вопросу о принадлежности вектора этому конусу.
Поскольку векторы , то среди них всегда обнаружится линейно-независимых векторов, образующих базис пространства и содержащих конус, образованный векторами .
Поэтому справедливо следующее утверждение. Если задача ЛП содержит переменных и ограничений, записанных в форме неравенств , не считая ограничений неотрицательности переменных , то в оптимальное решение входит не более чем ненулевых компонент вектора .
Расширенная форма задачи ЛП. Для решения задач ЛП необходимо переходить от ограничений - неравенств к ограничениям в форме уравнений. Для этого в каждое неравенство вводят по одной свободной переменной ,,…,, чтобы превратить его в равенство.
В таком виде задачу ЛП называют расширенной и записывают так:
максимизировать
,(3.2)
при ограничениях
,
,
…………………………………………………………………
.
В матричной форме эта задача имеет следующий вид:
максимизировать ,
при ограничениях
,
где
, .(3.3)
Наконец, векторная форма записи расширенной задачи ЛП:
максимизировать ,
при ограничениях
.(3.4)

Рис. 3.1

Рис. 3.2
Пусть и - допустимые множества решений исходной и расширенной задач соответственно. Тогда любой точке допустимого множества решений соответствует единственная точка множества , и наоборот.
Установим отношение между элементами и :
исходная задача: ,
расширенная задача: .
На рис. 3.1 и 3.2 изображены допустимые множества решений обеих задач.
Очевидно, что треугольник ОСА (рис. 3.1) - допустимое множество - есть проекция допустимого множества (рис. 3.2) на подпространство .
В общем случае допустимое множество решений исходной задачи есть проекция допустимого множества решений расширенной задачи на подпространство исходных переменных .
Нелинейное программирование. Классификация методов нелинейного программирования. Задача нелинейного программирования при ограничениях неравенствах. Геометрическая интерпретация задач нелинейного программирования
1. Понятие нелинейного программирования
В большинстве инженерных задач построение математической модели не удается свести к задаче линейного программирования.
Математические модели в задачах проектирования реальных объектов или технологических процессов должны отражать реальные протекающие в них физические и, как правило, нелинейные процессы. Переменные этих объектов или процессов связанны между собой физическими нелинейными законами, такими, как законы сохранения массы или энергии. Они ограничены предельными диапазонами, обеспечивающими физическую реализуемость данного объекта или процесса. В результате, большинство задач математического программирования, которые встречаются в научно-исследовательских проектах и в задачах проектирования – это задачи нелинейного программирования (НП).
Пусть в математической модели проектируемого объекта или процесса непрерывная функция представляет собой функцию цели (функцию качества),
, ,
задают ограничения в виде равенств
, ,
задают ограничения в виде неравенств, где , -- вектор параметров проектируемого объекта, процесса или системы, оптимальные значения которых должны быть найдены.
Тогда задача нелинейного программирования может быть сформулирована следующим образом: найти вектор , , доставляющий минимум (максимум) целевой функции при линейных и (или) нелинейных ограничений в виде равенств
, ,
и линейных и (или) нелинейных ограничений в виде неравенств
, .
В течение последних двух десятилетий из нелинейного программирования выделились самостоятельные разделы:
выпуклое программирование,
квадратичное программирование,
целочисленное программирование,
стохастическое программирование,
динамическое программирование и др.
Задачи выпуклого программирования – это задачи, в которых определяется минимум выпуклой функции (или максимум вогнутой), заданной на выпуклом замкнутом множестве. Эти задачи среди задач нелинейного программирования наиболее изучены.
Среди задач выпуклого программирования более подробно изучены задачи квадратичного программирования. В этих задачах целевая функция – квадратичная, а ограничения – линейны.
В задачах целочисленного программирования неизвестные параметры могут принимать только целочисленные значения.
В задачах стохастического программирования в целевой функции или в функциях ограничений содержатся случайные величины, которые подчиняются законам теории вероятностей.
В задачах динамического программирования ограничения содержат как параметр время и при этом описываются дифференциальными уравнениями. Процесс нахождения решений в задачах динамического программирования является многоэтапным.
2. Классификация методов нелинейного программирования
Для решения задачи нелинейного программирования было предложено много методов, которые можно классифицировать по различным признакам.
По количеству локальных критериев в целевой функции методы нелинейного программирования делятся на:
однокритериальные,
многокритериальные.
По длине вектора методы делятся на:
однопараметрические или одномерные ,
многопараметрические или многомерные .
По наличию ограничений методы нелинейного программирования делятся на:
без ограничений (безусловная оптимизация),
с ограничениями (условная оптимизация).
По типу информации, используемой в алгоритме поиска экстремума методы делятся на:
методы прямого поиска, т.е. методы, в которых при поиске экстремума целевой функции используются только ее значения;
градиентные методы первого порядка, в которых при поиске экстремума функции используются значения ее первых производных;
градиентные методы второго порядка, в которых при поиске экстремума функции наряду с первыми производными используются и вторые производные.
Ни один метод нелинейного программирования не является универсальным. В каждом конкретном случае необходимо приспосабливать применяемый метод к особенностям решаемой задачи.
2.1. Задача нелинейного программирования при ограничениях – неравенствах
Теорема Куна-Таккера. Рассмотрим случай задачи с ограничениями-неравенствами:
(2.1)
при ограничениях
, . (2.2)
В точке минимума неравенства могут выполняться как равенства или строгие неравенства.
Ограничение называется активным в точке , если оно выполняется в ней как строгое равенство, то есть если .
Используя геометрические свойства допустимой области, найдем необходимые условия экстремума для задач минимизации с ограничениями. Для этого сначала рассмотрим случай, когда все линейны. Итак, пусть требуется найти при условии
, .(2.3)
Здесь каждое ограничение (2.3) определяет полупространство в . Допустимая область задана пересечением полупространств, определяемых неравенствами (2.3), и следовательно, является выпуклым многогранником. Вектор является нормалью к гиперплоскости, определяемой уравнением , и направлен внутрь области .
Пусть точка является точкой минимума задачи (2.1) с ограничениями (2.3). Обозначим множество индексов активных ограничений через
. (2.4)
Например, на рис. 2.1 приведен пример минимизации с линейными ограничениями. Выберем любую допустимую точку из . Вектор направлен из внутрь области . Такой вектор будем называть входящим. Для этого вектора с учетом того, что , можно записать следующее условие:
,
или
, (2.5)
для всех и .

Рис. 2.1.
Таким образом, входящий вектор определяет допустимое направление перемещения из точки . Но так как минимальна в точке , то при любом , удовлетворяющем (2.5), будем иметь:
, . (2.6)
Применим теперь теорему, которая есть следствием леммы Фаркаша. Из условий (2.5), (2.6) на основании леммы Фаркаша следует, что существует множество неотрицательных скаляров , для которых
. (2.7)
Если принять, что при (то есть для неактивных ограничений), (2.7) можно переписать в виде
. (2.8)
Кроме того, получим, что
. (2.9)
поскольку при , а при . Поэтому уравнения ограничений можно включить в целевую функцию следующим образом:
(2.10)
Следовательно, удовлетворяет следующим условиям:
, (2.11)
, , . (2.12)
При рассмотрении задачи минимизации при условиях может случиться так, что не будет существовать таких , , для которых без дополнительных предположений о природе функций были бы справедливы уравнения (2.9), (2.10), где - оптимальное решение. Эти дополнительные предположения называют условиями регулярности ограничений. В частности, в рассмотренном случае, в качестве таких условий использовали линейную независимость векторов-градиентов ограничений , .
Теорема Куна-Таккера. Выше найдены условия оптимальности (2.9), (2.10) для задачи НП с линейными ограничениями. Обобщим эти условия на случай задачи (2.1), (2.2), когда все ограничения нелинейны.
Условия оптимальности решения задачи НП формулируются в следующей теореме, имеющей исключительно важное значение в теории нелинейного программирования.
Теорема 1.1. (Куна-Таккера). Пусть функции , , имеют непрерывные частные производные на некотором открытом множестве , содержащем точку . Если является точкой минимума функции при ограничениях , , удовлетворяющих условию регулярности в виде линейной независимости векторов , то существуют такие неотрицательные множители Лагранжа, что
, (2.13)
, , . (2.14)
Определим функцию Лагранжа следующим образом:
. (2.15)
Тогда теорему Куна-Таккера можно записать в виде
, (2.16)
, (2.17)
. (2.18)
Заметим, что множители Лагранжа в задаче НП с ограничениями-равенствами являются знаконеопределенными, тогда как в теореме Куна-Таккера они должны быть положительными.
4. Геометрическая интерпретация задач нелинейного программирования
Задачи нелинейного программирования самого различного физического смысла допускают геометрическую интерпретацию. Рассмотрим такую интерпретацию для наиболее наглядного и простого случая двух переменных, , - плоскость.
Пример.
Найти вектор , доставляющий минимум
, (4.1)
при ограничениях
.
Строим область допустимых решений . Для этого преобразуем ограничения.
Ограничение будет иметь вид:
.
Тогда ограничение отсекает на плоскости круг радиусом .
Ограничение будет иметь вид:
.
Тогда ограничение отсекает на плоскости полуплоскость, ограниченную уравнением .
В результате область допустимых решений будет иметь вид, представленный на 4.1.
Строим линии уровня целевой функции (4.1). Линией уровня называется множество точек, с координатами для которых целевая функция имеет постоянное значение, т.е.
.
Отсюда .
Меняя значения , получим различные линии уровня.
Если .
Как видно, линии уровня целевой функции (4.1) - это квадратичные параболы, симметричные относительно. Положение каждой параболы зависит от значения константы (рис. 4.1). Исследуя полученные линии уровня, получим, что минимальное значение целевой функции (4.1) находится на границе области , в точке с координатами .

Рис. 4.1 (Локальный минимум в точке (0,-3).

Приложенные файлы

  • docx 8960583
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий