Основы математического моделирования

Основы математического моделирования. Построение и анализ моделей с примерами на языке MATLAB: Учеб. пособие/Д. Л. Егоренков, А. Л. Фрадков, В. Ю. Харламов; Под ред. д-ра техн. наук А. Л. Фрадкова; БГТУ. СПБ, 1994. 4 с. ISBN 5-85546-010-Х.

Рассмотрены основные понятия и методы математического моделирования. Дана классификация основных структур математических моделей систем, а также подходов к выбору структуры и параметров модели. Описаны асимптотические и численные методы статического и динамического анализа моделей. Приведены описание и примеры применения программной среды MATLAB, ставшей международным стандартом учебного программного обеспечения в области математического моделирования, а также работающего в этой среде пакета ADAM для анализа дифференциально-алгебраических моделей.
Предназначено для аспирантов, слушателей факультетов повышения квалификации и студентов, изучающих курсы «Основы математического моделирования», «Методы исследования технических систем на ЭВМ», «Основы научных исследований», «Теоретические основы САПР», а также для преподавателей и инженеров, интересующихся вопросами математического моделирования.
Ил. 29, Табл. 9. Библиогр.: 85 назв.
Утверждено
редакционно-издательским
советом БГТУ
Рецензенты: кафедра автоматики и телемеханики СПИТМС
(зав. каф. д-р техн. наук, проф В. В. Григорьев);
д-р техн. наук, проф. Н. Д. Поляков


«Забудь начало - лишишься конца»
Б. Гребенщиков
ПРЕДИСЛОВИЕ
Математическое моделирование это методология научной и практической деятельности людей, основанная на построении, исследовании и использовании математических моделей объектов и процессов. Математическим моделированием занимался, в сущности, каждый, кто применял математику на практике, начиная от великих ученых древности и кончая школьником, решающим задачи «на составление уравнений». Однако в самостоятельную научную дисциплину математическое моделирование оформилось лишь в последние несколько десятилетий, в связи с распространением и широким применением ЭВМ. Нельзя отождествлять математическое моделирование с прикладной математикой, имеющей дело, как и любой раздел математики, лишь с математическими объектами. Предмет математического моделирования шире и связан, в первую очередь, с формализацией и интерпретацией формальных результатов. Иными словами, началом и концом процесса математического моделирования является окружающая действительность.
Центральным понятием математического моделирования является математическая модель (ММ) совокупность математических объектов и отношений, отображающих объекты и отношения некоторой области реального мира (предметной области). Выделяют три этапа математического моделирования: построение ММ (формализация задачи), исследование (анализ модели) и использование (синтез решения). Этап формализации тесно связан с научно-инженерной дисциплиной, именуемой системным анализом [13]. На этом этапе решаются так называемые «прямые» задачи: по заданным значениям входов системы определяются ее выходы. Для этапа синтеза, наоборот, характерны «обратные» задачи: определение входов системы по заданным (желаемым) знаниям ее выходов. Использование ММ возможно для различных целей: прогнозирования [4], исследования [5], проектирования [6, 7], управления [8, 9].
Сравнение большого числа различных подходов и методов показывает (см. [1019]), что многие ММ и методик: их применения не зависят от конкретной области приложения. Другими словами, одни и те же математические модели и методы могут одинаково применяться в различных областях и для различных целей. Это обстоятельство определяет внутреннее единство предмета математического моделирования и его место в системе подготовки специалиста. Курс «Математическое моделирование» («Применение математических методов для решения инженерных задач») должен опираться на курс высшей математики и предшествовать курсам специальной подготовки.
Однако подобные дисциплины в учебных планах большинства вузов появляются лишь на последних годах обучения или даже в планах постдипломной подготовки (аспирантура и переподготовки _(курсы повышения квалификации). Эта тенденция сохраняется и при переходе на многоступенчатую систему образования. С учетом этого и в силу ограниченности объема пособия выбран обзорный стиль изложения более подробно даются определения и свойства понятий, методы исследования (решения задач), как правило, лишь перечисляются со ссылкой на литературу. В то же время важной частью курса являются примеры. Ведь овладеть математическим моделированием это значит научиться решать задачи, а, как известно, единственный способ научиться решать задачи это решать их.
Пособие состоит из трех частей. Часть I является исправленным и дополненным вариантом [20] и посвящена вопроса: построения математических моделей, выбора ее структур и параметров. В части II излагаются методы асимптотического и численного анализа статических и динамических режимов непрерывных моделей, описываемых дифференциальными уравнениями. В пособии не затрагиваются вопрос анализа дискретных моделей, с которыми можно ознакомиться, например, по книгам [12, 13, 24, 26, 32], а также вопросы синтеза решения, которым посвящена обширная литература по методам оптимизации и принятия решений (см. например, [1, 69, 2531]).
Третья часть посвящена программной поддержке математического моделирования. Современный подход к этой проблеме состоит в применении так называемых программы сред, предоставляющих пользователю набор функциональных (расчетных) и сервисных возможностей, допускающих расширение с учетом специфики решаемых задач. Описывается одна из наиболее популярных программных сред MATLAB, разработанная фирмой The MathWorks, Inc. и ставшая фактически международным стандартом учебного программного обеспечения в областях линейной алгебры, теории систем, теории управления, обработки сигналов и ряда других. Приводятся примеры решения задач в среде MATLAB, в том числе с применением пакета анализа дифференциально-алгебраических моделей ADAM. Пакет ADAM является оригинальной разработкой [61, 62] и обладает полной языковой и программной совместимостью с системой MATLAB. Язык пакета ADAM позволяет описывать нелинейные непрерывные и дискретные динамические системы со связями и задания на имитационное моделирование, линеаризацию и дискретизацию систем.
Материал учебного пособия основан на лекциях и практических занятиях, проводившихся авторами в течение ряда лет для студентов, аспирантов и на ФПК преподавателей по информатике Балтийского государственного технического университета. Главы 1, 2 части II написаны Д. Л. Егоренковым; часть I и глава 3 части IIА.Л. Фрадковым; часть III (кроме главы 5) В.Ю. Харламовым; глава 5 части III Д.Л. Егоренковым, А. А. Спиридоновым и А. Л. Фрадковым. В учебном пособии отражены также некоторые результаты НИР, проводившихся по гранту 9301316322 Российского фонда фундаментальных исследований и по проекту НДС-10 программы «Нелинейные динамические системы: качественный анализ и управление» Госкомитета Российской Федерации по высшему образованию.
Учебное пособие может быть использовано при подготовке бакалавров, магистров и докторов, а также при переподготовке и повышении квалификации специалистов в курсах «Основы математического моделирования», «Основы научных исследований», «Применение математических методов в инженерных расчетах», «Теоретические основы САПР». Оно может оказаться полезным для инженеров и преподавателей, интересующихся применением математических методов и компьютеров в различных областях науки и технологии.

Часть I ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ

1. МЕТОДОЛОГИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ. СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ

1.1. Понятие системы. Примеры систем

Базовым понятием математического моделирования является понятие системы [13, 21, 22]. Система в широком смысле эквивалент понятия математической модели и задается парой множеств U, Y (U множество входов, Y множество выходов) и отношением на 13 QUOTE 1415, формализующим связь (зависимость) между входами и выходами.
Соединение систем также является системой и задается отношением. Например, последовательное соединение систем 13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415 есть отношение 13 QUOTE 1415 такое, что 13 QUOTE 1415, если существуют 13 QUOTE 1415 ,13 QUOTE 1415 удовлетворяющие условиям13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415, где 13 QUOTE 1415 отношение, определяющее связь между 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415. Таким образом можно определять сколь угодно сложные системы, исходя из простых.
Приведенное определение отражает в абстрактном виде атрибуты (свойства), присущие нашему интуитивному представлению о системе: целостность и структурированность [1].
Целостность (единство) означает, что система отделена от внешней среды; среда может оказывать на нее действие (акцию) через входы и воспринимать отклик (реакцию) на эти действия через выходы.
Структурированность означает, что система разделена внутри на несколько подсистем, связанных и взаимодействующих между собой так же, как целая система взаимодействует с внешней средой.
Третье свойство, присущее системе, целенаправленность требует задания некоторой цели, достижение которой говорит о правильной работе системы.
Приведем для сравнения другие, менее формальные определения системы.
Система объективное единство закономерно связанных друг с другом предметов, явлений, а также знаний о природе и обществе (БСЭ. Т. 39. С. 158).

Рис. 1.1
Система совокупность взаимосвязанных элементов (объектов, отношений), представляющих единое целое. Свойства системы могут отсутствовать у составляющих ее элементов [4].
Приведенное выше формальное определение весьма общо; под него подпадают практически все виды математических моделей систем: дифференциальные и разностные уравнения, регрессионные модели, системы массового обслуживания, конечные и стохастические автоматы, дедуктивные системы (исчисления) и т.д. Можно трактовать как систему любой преобразователь входных данных в выходные («черный ящик») (рис. 1.1,а). Например, системой можно назвать процесс решения любой задачи. При этом входами будут являться исходные данные, выходами результаты, а целью правильное решение (рис. 1.1,б). Такой подход к системе подчеркивает ее целенаправленность и ведет свое происхождение от исследования операций [14] научной дисциплины, занимающейся разработкой количественных методов обоснования решений. Основное понятие здесь операция: действие, которое подвергается исследованию (проектирование, конструирование, управление, экономическая деятельность и т.д.). Операция соответствует некоторой системе. Входами этой системы являются элементы принимаемого решения, о проводимой операции, выходами результаты проведения операции (показатели ее эффективности (рис. 1.1,в)). Для развития навыков системного подхода полезно искать примеры систем в окружающем мире. Некоторые примеры представлены в табл. 1.1.
Подчеркнем, что функционирование системы это процесс, разворачивающийся во времени, т. е. множества возможных входов и выходов U, Y это множества функций времени со значениями соответственно в множествах U, Y:
13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415,
где Т множество моментов времени, на котором рассматривается система.
Система называется функциональной (определенной), если каждой входной функции u(t) соответствует единственная выходная функция y(t). В противном случае система называется неопределенной. Неопределенность обычно возникает из-за неполноты информации о внешних условиях работы системы. Важным свойством, присущим реальным системам, является причинность. Она означает, что если входные функции 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415 совпадают при 13 QUOTE 1415, т.е. 13 QUOTE 1415 при 13 QUOTE 1415, то соответствующие выходные функции удовлетворяют условию 13 QUOTE 1415, т. е. «настоящее не зависит от будущего при заданном прошлом».
Числовые величины, связанные с системой, делятся на переменные и параметры. Параметры это величины, которые можно считать постоянными на промежутке времени рассмотрения системы. Остальные числовые величины являются переменными. Значения переменных и параметров определяют количественную информацию о системе. Оставшаяся информация, т.е. качественная, определяет структуру системы. Различие между переменными и параметрами, а также между параметрами и структурой может быть условным, однако оно полезно в методическом отношении. Так, типовым приемом построения ММ системы является параметризация выбор в качестве ММ семейства функций, зависящих от конечного (обычно небольшого) количества чисел параметров.

Таблица 1.1

Примеры систем


п/п
Система
Вход
Выход
Цель

1
Радиоприемник
Радиоволны
Звуковые волны
Неискаженный звук

2
Проигрыватель
Колебания иглы
"
"

3
Термометр
Т° воздуха (Т)
Высота столбика (h)
Верное показание

4
Водопроводный, кран
Поворот ручки (угол
·)
Струя воды (расход G)
Заданный расход

5
Ученик
Лекция учителя, текст в учебнике, книги, кино, телевизор
Отметки, знания, поступки
Хорошие отметки, хорошие поступки, хорошие знания

6
Учитель
План урока, ответы учеников
Лекции, задачи для контрольной, отметки
"

7
Робот
Команды
Движения
Точное исполнение команд

8
Популяция зайцев в лесу
Пища
Численность
Максимальная численность

9
Популяция лис в лесу
"
"
"

10
Программа ЭВM решения
уравнения ax2+bx + c=0
Коэффициенты а, b, с. Точность Е
13 QUOTE 1415.
Решение с заданной точностью

11
Задача решения уравнения ахг+bх + с=0
а, b, с
Формула


Правильная формула

12
Электромотор
Электрический ток
Вращение ротора
Вращение с заданной частотой

13
Костер
Дрова
Тепло, свет
Заданное количество тепла и света

14
Торговля
Продукты, вещи
Деньги
Получение суммы денег = стоимости товара

15
Бюрократ
Бумажка
Бумажка
Зарплата


1.2. Этапы системного анализа

Системный анализ в широком смысле это методология (совокупность методических приемов) постановки и решения задач построения и исследования систем, тесно связанная с математическим моделированием. В более узком смысле системный анализ методология формализации сложных (трудно формализуемых, плохо структурированных) задач. Системный анализ возник как обобщение приемов, накопленных в задачах исследования операций и управления в технике, экономике, военном деле.
Остановимся на различии в употреблении терминов «системный анализ» и «системный подход» [4]. Системный анализ это целенаправленная творческая деятельность человека, на основе которой обеспечивается представление исследуемого объекта в виде системы. Системный анализ характеризуется упорядоченным составом методических приемов исследования. Что касается термина «системный подход», то традиция его применения связывает его с исследованиями проводимыми многоаспектно, комплексно, с разных сторон изучая предмет или явление. Этот подход предполагает, что все частные задачи, решаемые на уровне подсистем, должны быть увязаны между собой и решаться с позиции целого (принцип системности). Системный анализ более конструктивное направление, содержащее методику разделения процессов на этапы и подэтапы, систем на подсистемы, целей на подцели и т.д.
В системном анализе выработана определенная последовательность действий (этапов) при постановке и решении задач, которую будем называть алгоритмом (методикой) системного анализа (рис. 1.2). Эта методика помогает более осмысленно и грамотно ставить и решать прикладные задачи. Если на каком-то этапе возникают затруднения, то нужно вернуться на один из предыдущих этапов и изменить (модифицировать) его.

Рис. 1.2
Если и это не помогает, то это значит, что задача оказалась слишком сложной и ее нужно разбить на несколько более простых подзадач, т.е. провести декомпозицию (см. подразд. 1.3). Каждую из полученных подзадач решают по той же методике. Для иллюстрации применения методики системного анализа приведем пример [18].
Пример. Рассмотрим автомобиль, находящийся перед гаражом на некотором расстоянии от него (рис. 1.3, а). Требуется поставить автомобиль в гараж и сделать это, по возможности, наилучшим образом. При решении попытаемся руководствоваться алгоритмом системного анализа (см. рис. 1.2).

Рис. 1.3
Этап 1. Система: автомобиль и гараж (автомобиль, приближающийся к гаражу).
Этап 2. Вход: сила тяги двигателя. Выход: пройденный путь.
Этап 3. Цель: автомобиль должен проехать заданный путь и затормозить.
Этап 4. Построение ММ начинается с обозначения всех величин (переменных и постоянных), существенных для задачи. Введем следующие обозначения:
u(t) сила тяги в момент времени t (вход);
y(t) путь, пройденный к моменту t (выход);
у* расстояние от автомобиля до гаража (параметр).
Затем выписываются все уравнения и соотношения, существующие между введенными величинами, как в школьных задачках на составление уравнений. Если возможных уравнений несколько, выбирают простейшее. В нашей задаче это уравнение динамики (2-й закон Ньютона):
13 QUOTE 1415, (1.1a)
где m масса автомобиля, а также начальные условия
13 QUOTE 1415=0, 13 QUOTE 1415=0. (1.1б)
Этап 5. Модель (1.1) достаточно хорошо изучена и в детальном анализе не нуждается. Укажем лишь, что она адекватна, если можно пренебречь размерами автомобиля, ограничением на его мощность, силами трения и сопротивления и другими более второстепенными факторами.
Этап 6. Простейший вариант формализации цели
13 QUOTE 1415 , (1.2)
где 13 QUOTE 1415 момент остановки оказывается неудовлетворительным, поскольку в (1.2) не формализовано само требование остановки 13 QUOTE 1415(13 QUOTE 1415)=0 и, значит, неясно, как система будет вести себя при 13 QUOTE 1415. Правильнее задать цель соотношением
13 QUOTE 1415 при 13 QUOTE 1415, (1.3)
из которого следует, в частности, что y(t)0 при t>t*.
На первый взгляд, задача поставлена и можно переходить к ее решению, т.е. к этапу 8. Но, оказывается, однозначного решения задача не имеет: здравый смысл говорит о том, что существует бесконечно много способов достичь цели (1.3). Значит, нужно дополнить цель правилом отбора способов, позволяющим отвечать на вопрос: какой способ лучше. Зададимся следующим разумным правилом: тот способ считается лучшим, который быстрее приводит к цели. Формально новую цель можно записать так:
13 QUOTE 1415 при 13 QUOTE 1415, (1.4)
Но теперь физические соображения показывают, что решение поставленной задачи тривиально: искомый минимум в (1.4) равен нулю! Действительно, выбрав достаточно большую силу тяги, можно придать автомобилю как математическому объекту, описываемому ММ (1.1), сколь угодно большое ускорение и сколь угодно быстро переместить его на любое заданное расстояние. Видимо, требуется ввести какие-то ограничения, исключающие бессмысленные решения. Можно было бы усложнить ММ системы: учесть ограниченную мощность двигателя, его инерционность, силы трения и т.д. Однако разумнее попытаться остаться в рамках ММ (1.1) (1.4), введя дополнительно лишь ограничения на силу тяги
13 QUOTE 1415 (1.5)
Таким образом, чтобы придать задаче смысл, нам пришлось возвратиться на этап 7.
Этап 8. Для решения задачи можно было бы применить мощный и хорошо разработанный аппарат теории оптимального управления (вариационное исчисление, принцип максимума Понтрягина и др., см., например [9, 35]). Однако сначала надо попытаться решить задачу элементарными средствами. Для этого часто бывает полезно перейти к геометрической интерпретации задачи, чтобы привлечь нашу геометрическую интуицию. Естественная интерпретация (рис. 1.3, б) не дает ключа к решению, так как не позволяет в удобной форме представить ограничения на допустимые траектории движения автомобиля. Дело меняется коренным образом, если перейти к другой ММ. Введем новую переменную: 13 EMBED Equation.3 1415 (скорость). Тогда вместо (1.1) возникает уравнение
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, (1.6)
цель (1.4) запишется в виде
13 QUOTE 1415, (1.7)
а ограничения (1.5) превратятся в ограничения на скорость изменения новой переменной:
13 QUOTE 1415 (1.8)
Итак, мы изменили выход системы, из-за чего пришлось заново пройти этапы 27.
Геометрическая интерпретация движения системы (1.6) (1.8) в плоскости {13 EMBED Equation.3 1415,t} изображена на рис. 1.3, в. Из него видно, что для решения задачи нужно найти кривую 13 EMBED Equation.3 1415 13 QUOTE 1415 с заданной площадью фигуры F под ней и наименьшей возможной координатой правого конца 13 QUOTE 1415, лежащую в треугольнике OMN с заданными углами наклона 13 EMBED Equation.3 1415 боковых сторон (в соответствии с (1.8) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415). Геометрическое решение очевидно: фигура F должна заполнять весь треугольник ОМК. Это значит, что автомобиль должен двигаться с максимальным ускорением до некоторого момента 13 QUOTE 1415, затем включить максимальное торможение и в момент 13 QUOTE 1415, выключить двигатель. Формулы для определения момента переключения 13 QUOTE 1415 выводятся из элементарного расчета треугольника ОМК по заданной площади и углам. Они имеют вид
13 QUOTE 1415 , 13 QUOTE 1415 (1.9)
Рассмотренная геометрическая модель позволяет решать и более сложные задачи. Например, если по соображениям безопасности нужно учесть ограничение на максимальную скорость: 13 EMBED Equation.3 1415, то решение легко усмотреть из рис.1.3,г: график оптимальной траектории представляет собой трапецию.
Еще более сложные задачи (например, при введении ограничений на расход топлива в виде 13 EMBED Equation.3 1415 не имеют простого аналитического решения, подобного (1.9), и практически решаются лишь численно, с привлечением математического аппарата приближенной минимизации функционалов см., например, [35. Гл. 9]). Однако и для них решение упрощенной задачи не теряет важности, поскольку оно позволяет получить начальное приближение к решению сложной задачи, установить качественные свойства решения сложной задачи, выявить факторы, наиболее сильно влияющие на решение сложной задачи, и, главное, соотнести результаты математического исследования со здравым смыслом.
Резюмируя сказанное, можно дать совет изучающему математическое моделирование: «не решай сложную задачу, не решив сначала более простую!».

1.3. Сложные системы и декомпозиция

Как известно, системный анализ родился как метод исследования и проектирования сложных систем. Что же такое сложная система? Понятие это неформальное, и обычно, говоря о сложных системах, перечисляют их основные особенности:
наличие большого числа разнородных элементов (подсистем);
сложный характер, неоднородность связей между подсистемами;
сложность функций, выполняемых системой;
наличие неопределенности в описании системы;
сложность определения (организации) требуемого управляющего воздействия на систему и т.д.
Однако понятно, что каждая из этих особенностей может оказаться существенной или несущественной, все зависит от конкретной ситуации и целей исследования. Поэтому более универсальный способ выделения класса сложных систем связан со сложностью самого процесса исследования системы.
Если методика системного анализа (см. рис. 1.2) непосредственно приводит к успеху, то нет оснований называть систему «сложной». Введение этого термина оправдано, если решить задачу в исходном виде не удается. В этом случае она разбивается на несколько вспомогательных подзадач, решаемых по отдельности. Такой прием называется декомпозицией является основным методом исследования сложных систем.
При декомпозиции исходная система делится на подсистемы, а цель на подцели. Далее для решения каждой подзадачи пользуются той же методикой, что и для всей системы. Если в ходе решения (а возможно, и до того) какие-то из подзадачи окажутся слишком сложными, то снова проводится декомпозиция: возникают подзадачи следующего уровня и т.д. Результатом этого процесса является структуризация: исходная система приобретает иерархическую (многоуровневую) структуру [13, 21]. Соответствующая структура возникает и в множестве подцелей; она называется деревом целей (рис. 1.4), поскольку представляет собой граф* типа дерева (без циклов).
Вообще теория графов является естественным математическим аппаратом описания сложных систем [3, 23, 24]. Действительно, каждой сложной системе ставится в соответствие граф (структурный), вершинами которого являются подсистемы, а дугами имеющиеся между ними связи. Если связи направленные, т.е. наличие связи 13 EMBED Equation.3 1415 означает, что воздействие 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415 не вызывает обратного воздействия или им можно пренебречь, то граф системы является ориентированным (направленным). К этому классу относятся, например, структурные схемы (граф-схемы) систем автоматического управления. У других систем влияние связанных подсистем обоюдно, и они описываются неориентированными графами (например, сложные электрические и электронные схемы).

Рис. 1.4
Приведенное понятие декомпозиции вполне соответствует идее структурного программирования. Создание сложных программных систем одна из важнейших областей применения системного анализа. Вопросы математического обоснования декомпозиции рассматривались в [1, 2, 24]. Отметим лишь, что раздробление системы на подсистемы обычно проводится по принципу «слабых» связей, т.е. так, чтобы связи между подсистемами были слабее, чем связи между элементами каждой подсистемы.
В сложных системах часто приходится проводить несколько вариантов декомпозиции и соответственно строить несколько деревьев целей. Это обычно связано с наличием нескольких критериев функционирования системы. Возникающие при этом задачи многокритериального выбора изучаются в теории принятия решений [25]. Успех декомпозиции часто определяется интуицией и опытом исследователя. Человек, по данным психологов, может мысленным взором охватить структуру декомпозированной системы, если на каждом уровне возникает не более чем 5±2 подзадач.
Пример. Система подготовки специалиста в вузе.
Пусть перед нами поставлена цель повысить эффективность подготовки специалистов в вузе. Как ее достичь сразу неясно, нужно проводить декомпозицию. Но как? Напрашивается разбиение по курсам, на шесть подсистем. Входы и выходы подсистем показатели (например, показатели успеваемости, контрольных проверок и т.д.) в начале и конце соответствующего года обучения; подцели обеспечение высоких значений показателей эффективности на выходах. Если оказывается, что принимаемые меры по курсам (в деканатах) малоэффективны, то проводится дальнейшая декомпозиция: по группам и по дисциплинам, выделяются группы и предметы, требующие применения воздействий. Следующий шаг декомпозиции индивидуальный подход к студенту: возможные меры воздействия проведение дополнительных занятий, использование ТСО и т.д.
Можно проводить декомпозицию и по-другому: сначала по факультетам и кафедрам, а затем по специализациям, дисциплинам и преподавателям. Подцели при этом связаны с повышением квалификации преподавателей и соответственно требуются другие меры воздействия, приводящие к улучшению других показателей функционирования системы.
В перечисленных вариантах способ декомпозиции был определен сложившейся структурой системы, (процесса обучения). Но так бывает не всегда. Например, если анализировать ту же систему по критериям гуманитарной подготовки студента, то разбиение на подсистемы оказывается неоднозначным, а показатели функционирования подсистем не вполне определенными.

1.4. Экспертные оценки

На начальных этапах, связанных с формализацией и предварительной алгоритмизацией решаемой задачи, исследователю, как правило, приходится иметь дело с неточной, неполной и субъективной информацией. Поэтому важно уметь пользоваться существующими методами ее сбора, согласования и обработки. Наиболее развитыми из подобных методов на сегодня оказались методы экспертных оценок [19, 25, 38].
Теория экспертных оценок зародилась в психологии и социологии, но в настоящее время применяется далеко за их пределами, позволяя решать широкий класс практических задач, требующих привлечения знаний и опыта экспертов, от которых поступает интересующая исследователя субъективная информация. Использование экспертных оценок, включающих в себя специально разработанные приемы сбора, согласования и математической обработки сведений, получаемых от эксперта или целенаправлено сформированной группы экспертов, является одним из наиболее простых, доступных и достаточно надежных способов получения и дальнейшего анализа априорной информации. Результаты, полученные с привлечением методов экспертных оценок, оказываются весьма полезными (например, на стадии разработки эскизного проекта и технического задания на проектирование АСУП и АСУ ТП). В ряде случаев в условиях существенной априорной неопределенности они могут представлять самостоятельный практический интерес в связи с отсутствием либо значительной сложностью получения объективных сведений о поведении объекта исследования.
Экспертные оценки следует трактовать шире, чем просто сбор и усреднение произвольно собранных точек зрения, что действительно является некорректным. Кроме того, необходимо иметь в виду, что последнее слово всегда остается за исследователем, принимающим окончательное решение об использовании результатов экспертизы, которую следует рассматривать как способ получения дополнительной информации, позволяющей уменьшить неопределенность, имеющую место при решении задачи.
В большинстве прикладных исследований методы экспертных оценок используются для выделения существенных (в том или ином смысле) факторов и их ранжирования. При этом чаще всего применяют методы опроса, основанные на прямом (непосредственном) ранжировании, а полученные субъективные мнения обрабатывают методами ранговой корреляции. Однако область применения экспертных оценок, как и арсенала методов сбора согласования и обработки субъективной информации, намного шире. Можно указать следующие технико-экономические задачи, в которых их использование дает определенную практическую пользу:
Выбор целей исследования.
Выбор и построение критериев в задачах векторной оптимизации.
Принятие решений при управлении производством и выбор наилучшего варианта решения любой достаточно сложной проблемы в условиях неопределенности.
Задачи идентификации, начиная от выбора структуры модели и определяющих факторов и кончая приближенным построением зависимостей и их интерпретацией.
Построение эвристических алгоритмов управления.
Эргонометрические исследования.
Оценка качества продукции.
Системы обучения, основанные на построении различного вида сценариев и целенаправленном использовании результатов опроса.
Планирование производства, НИР и ОКР.
Классификация однотипных объектов по степени выраженности тех или иных характерных свойств.
Прогнозирование научно-технического прогресса.
Экспертные оценки не следует рассматривать как некоторый «нулевой» цикл исследования; ему предшествует (по крайней мере должен предшествовать) детальный априорный крайней мере, должен предшествовать) детальный априорный сведений позволяет целенаправленно и планомерно организовать экспертизу, ориентированную на извлечение новой информации. Экспертизу чаще всего следует рассматривать как последний, наиболее формальный шаг априорного анализа. При этом получают приближенную информацию по данной задаче на языке ее окончательного решения, которая в дальнейшем может использоваться в виде ограничений, отправных точек процесса оптимизации и т.д. Однако в некоторых случаях результаты экспертизы могут быть использованы и как самостоятельные решения.
Существует большое количество методов сбора и последующей обработки субъективной информации, которой располагают опытные специалисты, выбранные в качестве экспертов. Классификация методов получения экспертных оценок показана на рис. 1.5 [38].
Методы коллективной работы экспертной группы (иногда их называют способами прямого получения коллективного мнения) предполагают получение обобщенного мнения в ходе совместного обсуждения и решения поставленных проблем группой специалистов, которые находятся в непосредственном контакте.
Всем методам получения коллективных экспертных оценок присущи недостатки, возникающие из-за всевозможных трудностей организационного характера. Очевидно, решение многих проблем требует участия в экспертизе ведущих специалистов в данной области. Однако собрать их вместе для участия в коллективном обсуждении практически не представляется возможным. Решить многие организационные проблемы удается путем получения коллективного мнения на основании совместной обработки независимых индивидуальных мнений членов экспертной группы специальными методами опроса. Следует отметить, что использование методов получения индивидуального анонимного мнения членов экспертной группы способствует также устранению недостатков, обусловленных влиянием различных психологических факторов, при непосредственном контакте с экспертами. Правильное применение методов опроса позволяет повысить количество и качество исходной информации, используемой для получения обобщенного мнения. Существуют два основных вида опроса: интервью и анкетные опросы. Третий, промежуточный, который мы условно назвали «анкетированием с участием интервьюера», сочетает идеи первых двух.
Наиболее характерной особенностью интервью как специфической формы опроса является то, что исследователь и эксперт находятся в непосредственном контакте. Необходимая информация извлекается в ходе беседы, направление и организация которой определяются проблемой, представляющей собой область конкретного исследования.
Метод анкетирования заключается в том, что эксперту предлагается для заполнения анкета, содержащая набор вопросов, каждый из которых логически связан с главной задачей исследования.
Сравнительную оценку предлагаемых для анализа объектов можно осуществлять несколькими приемами. Один из них предполагает оценивание экспертами вероятности предпочтения (вероятностные оценки) одного из вариантов (объектов) другим.
Однако использование подобного способа на практике часто приводит к определенным затруднениям, поскольку если маловероятные или, напротив, весьма вероятные события оценить довольно легко, то варианты с вероятностью предпочтения около 0,5 сложно. Кроме того, следует иметь в виду, что понятие вероятности является весьма абстрактным и может в ряде случаев запутать эксперта, так как он обычно не представляет область своих, зачастую строго детерминированных понятий в вероятностной трактовке. Указанные трудности ограничивают использование этого способа в экспертных оценках. Улучшения результатов при оценке субъективных вероятностей можно достичь, используя процедуры, основанные на косвенном получении информации о вероятностях, либо осуществляя перед основным экспериментом ряд специально продуманных тренировочных опросов, позволяющих выработать у экспертов необходимые навыки.


Рис. 1.5
В некоторых работах описываются методы, при использовании которых экспертам предлагается указать меру ценностей или различия в ценности анализируемых альтернатив путем их «взвешивания», скажем, по 10-балльной шкале. Наиболее важному, с точки зрения эксперта, фактору дается полная оценка 10, а остальным определенная доля полной оценки. Однако в данном случае возникает проблема обеспечения единообразного понимания всеми участниками опроса критерия оценки и достижения сопоставимости оценочных шкал отдельных экспертов, без чего невозможно получить обобщенные мнения. Эта проблема возникает потому, что эксперты неоднозначно воспринимают искусственно навязанную им балльную шкалу. В связи с этим метод «взвешивания» представляется недостаточно надежным и эффективным.
В ряде случаев заполнение анкеты требует от эксперта количественных заключений на безразмерной шкале или в единицах какого-то параметра. В первом случае имеют место те же трудности, что и при получении балльных оценок, во втором существенно усложняется работа экспертов, так как при решении достаточно сложных проблем нередко даже высококвалифицированные эксперты не располагают необходимыми субъективными количественными оценками. Это приводит их к необходимости «переводить» свои сложившиеся в результате накопленного опыта качественные представления о существе вопросов в количественную форму.
Хотя получение такого рода оценок бывает наиболее трудоемким, в ряде случаев, например, при прогнозировании научно-технического прогресса, они оказываются необходимыми.
Подробнее с различными методами экспертиз, основанными на получении количественных, балльных и вероятностных оценок, можно познакомиться в [19].
Представляется наиболее приемлемым использование методов анкетирования, основанных на элементарных суждениях о предпочтении объектов (будь то признаки или варианты решения), предъявляемых экспертам для оценки (см. рис. 1.5).
Важно отметить, что методы элементарных суждений являются достаточно надежными приемами получения экспертных оценок, так как они в наибольшей степени свободны от влияния побочных факторов на качество получаемой информации и требуют от специалиста только высказывания его мнений об оцениваемом объекте, не отвлекая его внимания на решение других задач, например, определения вероятностных оценок исследуемых объектов и т.п. С нашей точки зрения, методы, основанные на элементарных суждениях о предпочтении объектов, предъявляемых экспертам для анализа, наиболее перспективны для получения индивидуальных экспертных оценок. Естественно, что описываемые здесь подходы не исчерпывают всего богатого арсенала методов анкетирования, предназначенных для решения весьма широкого круга задач. Описание других процедур анкетирования дано, например, в работах [19, 38].
На рис. 1.5 показана группа методов, основанная на частично коллегиальной работе экспертов. Эти приемы экспертизы сочетают положительные качества коллективной работы и методов опроса. Смысл их заключается в том, что сбор субъективной информации осуществляется по одному из выбранных методов опроса (при этом, очевидно, более подходящими будут приемы анкетирования), но роль отдельных экспертов в этом случае выполняют небольшие коллективы специалистов, работа внутри которых может быть организована по одному из указанных выше принципов.
Из приведенной классификации выпало большое количество процедур типа Дельфи, Квест, Поспелова, Глушкова и т.д. Это специализированные методы, предназначенные для решения задач научно-технического прогнозирования и планирования производства, НИР и ОКР. Каждый из них представляет собой некоторую комплексную экспертизу, осуществляемую в несколько этапов (туров). Многоэтапность преследует цель добиться декомпозиции общей сложной проблемы на ряд подзадач, решение которых осуществляется с привлечением простых процедур экспертного опроса. Кроме того, она направлена на повышение согласованности мнений экспертов и может способствовать получению аргументированных суждений о правомерности отдельных мнений.

2. ВЫБОР СТРУКТУРЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

2.1. Классификация моделей

Этап построения ММ системы разбивается на две части: выбор структуры и выбор параметров. Как было сказано в подразд. 1.1, структура сложной системы определяется типами моделей каждой ее подсистемы и характером связей (отношений) между ними. Все многообразие имеющихся типов ММ можно классифицировать по нескольким основным признакам (см. табл. 1.2): статические динамические; дискретные непрерывные; детерминированные стохастические нечеткие; сосредоточенные распределенные; стационарные нестационарные; линейные нелинейные и т.д.

Таблица 1.2
Математические модели систем


Статические

Динамические


Дискретные (U, Y, Т конечные (счетные) множества)
Непрерывные (U, Y, Т континуумы (прямые, отрезки, тела в многомерных пространствах))

Детерминированные
Стохастические
Нечеткие

Сосредоточенные (конечные уравнения, разностные уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения)
Распределенные (уравнения с запаздыванием, в частных производных, интегральные уравнения)

Линейные
Нелинейные

Стационарные (параметры не меняются во времени)
Нестационарные (параметры изменяются во времени)


Кроме того, структура модели определяется также набором размерностей: количеством переменных (входа, выхода, состояния) и параметров. Остановимся на задаче выбора типа ММ. Прежде всего, следует дать краткую характеристику основным типам ММ.


2.1.1. Статические и динамические модели


Математическая модель системы называется статической, если значение выхода y(t) зависит от значения входа u(t) только в тот же момент времени t. Символически это свойство записывается так:
y(t)=F(u(t)), (2.1)
где F символ некоторого преобразования (оператора).
Кроме явных функциональных зависимостей (2.1), статические модели могут задаваться неявно, в виде уравнения или системы:
13 QUOTE 1415 (2.2)
Так обычно записываются уравнения статических режимов радиоэлектронных схем, многих механических, энергетических систем и т.д. Уравнение (2.2) должно быть однозначно разрешимо относительно y(t).
Статическими моделями пользуются, когда в рамках поставленной задачи (с точки зрения достижения выбранной цели) инерционностью и «памятью» реальной системы можно пренебречь. Это возможно при выполнении ряда условий, в число которых входят следующие:
система устойчива, т.е. переходные процессы после скачкообразного изменения входов затухают. Конечное время затухания с заданной точностью обозначим через tnep.
входы меняются медленно, т.е. 13 QUOTE 1415, где 13 QUOTE 1415 время между изменениями входных воздействий;
выходы измеряются редко, т.е. 13 QUOTE 1415, где 13 QUOTE 1415 промежутки между измерениями входных величин.
В динамических моделях значение y(t) может зависеть от всего прошлого (предыстории) входного процесса:
y(t)=F({u(s), s13 QUOTE 1415t}). (2.3)
Динамические модели позволяют учесть наличие «памяти», инерционности системы. Математическим аппаратом описания динамических систем являются дифференциальные, разностные уравнения, конечные автоматы, случайные процессы. Некоторые классы динамических моделей рассмотрены в подразд. 2.2.

2.1.2. Дискретные и непрерывные модели

Система может быть дискретной или непрерывной по входам, по выходам и по времени в зависимости от того, дискретными или непрерывными являются множества U, У, Т соответственно. Под дискретным понимается конечное или счетное множество. Под непрерывным будем понимать множество объектов, для которого адекватной моделью служит отрезок, луч или прямая линия, т. е. связное числовое множество. Если система имеет несколько входов и выходов, то это значит, что соответствующие множества U, Т лежат в многомерных пространствах, т. е. непрерывность и дискретность понимаются покомпонентно.
Удобство числового множества как модели реальных совокупностей объектов состоит в том, что на нем естественным образом определяются несколько отношений, формализующих реально встречающиеся отношения между реальными объектами. Например, отношения близости, сходимости формализуют понятия похожести, сходства объектов и могут быть заданы посредством функции расстояния (метрики) d(x, у) (например, d(x, y)= Іx-yІ. Числовые множества являются упорядоченными: отношение порядка следования (х13 QUOTE 1415у) формализует предпочтение одного объекта другому. Наконец, над элементами числовых множеств определены естественные операции, например, линейные: х+у, х-у. Если для реальных объектов на входе и выходе также имеют смысл аналогичные операции, то естественным образом возникают требования к моделям (2.1) (2.3): быть согласованными с этими операциями, сохранять их результаты. Так мы приходим, например, к линейным моделям: 13 QUOTE 1415, du/dt = ay + bu и т.д., являющимся простейшими моделями многих процессов.
Как правило, дискретность множества U влечет за собой дискретность Y. Кроме того, для статических систем исчезает разница между непрерывным и дискретным временем. Поэтому классификация детерминированных систем по признакам «статические динамические», «дискретные непрерывные» включает шесть основных групп, представленных в табл. 1.3, где для каждой группы указан математический аппарат описания систем, методы численного анализа и оценки их параметров, методы синтеза (оптимизации), а также типичные области применения.
Пример 1. Рассмотрим работу турникета на входе в метро. В первом, «грубом» приближении множество значений входа этой системы имеет два элемента: человек с жетоном (u1) и человек без жетона13 QUOTE 1415, т.е. U={ u1}. После небольшого размышления становится ясно, что следует включить еще отсутствие пассажира (u0), т.е. U={u0, u1,13 QUOTE 1415}. Множество значений выхода содержит элементы «открыто» (y0) и «закрыто» (y1). Таким образом, Y={y0, y1} и система является дискретной. В простейшем случае можно пренебречь памятью системы и описывать ее статической моделью, имеющей вид таблицы или графа:

При необходимости хранить ММ системы в ЭВМ ее можно представить (закодировать) в виде матрицы 13 QUOTE 1415 или более экономно, в виде списка (0, 0, 1), в котором на i-м месте стоит j, если значению входа 13 QUOTE 1415 соответствует значение выхода yi.
Пример 2. Если нас интересует более детально устройство самого турникета (т.е. системой является турникет), то придется учесть, что входными воздействиями (сигналами) для него являются опускание пятака и прохождение человека через турникет. Таким образом, система имеет два входа, каждый из которых может принимать два значения («есть» или «нет»).




Пренебрегая возможностью одновременного опускания жетона и прохождения, вводим три значения входа: и0 «нет воздействия», и1 «опускание жетона», и2 «прохождение». Множество Y можно задать так же, как и в примере 1. Однако теперь значение выхода y(t) не определяется только значением входа и(t), а зависит еще и оттого, был ли опущен жетон раньше, т.е. от значений u(s) при sx(k+1)=F(x(k), и(k)), y(k) = G(x(k), и(к)), (2.4]
где k номер момента времени такта. Отметим, что, выделив «текущий» и «следующий» моменты времени, мы незаметно ввели предположение о дискретности времени, которое при более детальном исследовании может оказаться неправомерным см. ниже п. 2.2.3). Функцию переходов F (х, и) и функцию выходов G(x, и) можно задать таблично:

Можно также построить графы переходов и выходов:

Пример 3. Рассмотрим простейшую электрическую цепь RС-цепочку (рис. 1.6). Входом системы является напряжение источника u(t)=E0(t), выходом напряжение на конденсаторе y(t)=E1(t). Закон Ома дает ММ системы в виде дифференциального уравнения 1-го порядка
13 QUOTE 1415у=и - у, (2.5)
где 13 QUOTE 1415RC постоянная времени цепочки. ММ (2.5) полностью непрерывна: U==Y=T=R1. Если исследователя интересует поведение системы в статических режимах, т.е. при E0(t)= const, то нужно положить в (2.5) у=0 и получить статическую модель
y(t)=u(t). (2.6)
Моделью (2.6) можно пользоваться как приближенной в I случае, когда вход E0(t) изменяется достаточно редко или медленно (по сравнению с 13 QUOTE 1415).

Рис. 1.6
Пример 4. Рассмотрим экологическую систему, состоящую из двух взаимодействующих популяций [9],существующих на некоторой территории. Предположим, что система автономна, т.е. внешними воздействиями (входами) можно пренебречь; за выходы системы примем численности популяций (видов) y1(t), y2(t). Пусть 2-й вид является пищей для 1-го, т.е. система относится к классу «хищник жертва» (например, у1 численность лис в лесу, а у2 численность зайцев; или у1 концентрация бактерий-возбудителей заболевания в городе, а у2 число заболевших и т.д.). В данном случае у1, у2 целые числа и, на первый взгляд, в ММ системы множество Y должно быть дискретным. Однако для построения ММ удобнее считать, что у1, у2 могут принимать произвольные вещественные значения, т.е. перейти к непрерывной модели (при достаточно больших у1, у2 этот переход не внесет существенной погрешности). При этом мы сможем пользоваться такими понятиями, как скорости изменения выходных переменных у1, у2. Простейшая модель динамики популяции получается, если предположить, что:
при отсутствии хищников численность жертв растет экспоненциально;
при отсутствии жертв численность хищников убывает экспоненциально;
численность «съеденных» жертв пропорциональна величине у1, у2.
При этих предположениях динамика системы, как нетрудно видеть, описывается так называемой моделью Лотки Вольтерра:
13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415 (2.7)
где а, Ь, с, d положительные параметры. Если есть возможность изменять параметры, то они превращаются во входные переменные, например, когда изменяются коэффициенты рождаемости и смертности видов, коэффициенты размножения бактерий (при введении лекарств) и т.д.

2.2. Модели состояния динамических систем

2.2.1. Модели общего вида

Важнейшую роль при описании динамических систем играет понятие состояния. Состояние это совокупность величин (вектор) х соl(х1..., хn), которые определяют (вместе с входным воздействием) будущее поведение системы. Например, для RС-цепочки переменная состояния есть Е1 поскольку значение Е1(t) и входного воздействия E0(s) при 13 QUOTE 1415 однозначно определяет (в силу (2.5)) значение Е1(s) при s = t. Для модели динамики популяций (2.7) со стоянием является вектор х=соl (у1, y2).
В общем случае уравнения состояния это системы дифференциальных или разностных уравнений первого порядка вместе с уравнениями для выходных величин. Начальное со стояние представляет «память» системы о прошлом. Модель состояния непрерывной динамической системы записывается в виде [9, 21, 60]




где u1,..., um входные переменные, y1,..., yl выходные переменные, х1,..., хn переменные состояния. Вводя векторные обозначения, можно записать (2.8) в более компактном виде:
13 QUOTE 1415 (2.9)
где u = col(u1,..., um), y=col(y1,..., уl), л:=со1(х1,,хn).
Для моделей состояния справедлив следующий факт: любая нелинейная динамическая система может быть представлена как соединение линейных динамических и нелинейных статических звеньев. Доказательство очевидно из рис. 1.7, где в качестве линейного звена взят интегратор.

Рис. 1.7
Еще более общей формой описания динамических систем являются сингулярные дифференциальные (алгебро-дифференциальные) системы
Ф(13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415, u, t)=0, G(x, у, и, t)=0, (2.10)
частным случаем которых являются неявные системы
Ф(13 QUOTE 1415, у, u, t) =0. (2.11)

2.2.2. Линейные модели

Часто вместо (2.8) используют упрощенные ММ, основанные на том, что процессы в системе протекают, мало отклоняясь от некоторой так называемой опорной траектории
13 QUOTE 1415,удовлетворяющей уравнениям
13 QUOTE 1415. (2.12)
Тогда можно записать приближенную линеаризованную модель в отклонениях от этого режима:
(2.13)
где 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415

Пример, 13 QUOTE 1415Линеаризуем вблизи траектории, соответствующей 13 QUOTE 1415 Имеем 13 QUOTE 1415 откуда либо x(t) = 0 (при 13 QUOTE 1415(0) =0), либо 13 QUOTE 1415(t) = l/(tа). Рассмотрим второй случай:


В отклонениях 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415=13 QUOTE 1415 линеаризованное уравнение имеет вид
13 QUOTE 1415.
Если расчетный режим является установившимся, т.е. не зависит от времени, то коэффициенты в (2.13) также не зависят от времени: A(t)13 QUOTE 1415A, B(t)13 QUOTE 1415B и т.д.Такие системы называются стационарными. Особенно часто на практике встречаются стационарные линейные непрерывные системы, описываемые более простыми уравнениями
13 QUOTE 1415 (2.14)
Матрицы А, В, С являются параметрами модели (2.14).
Если линеаризация приводит к большим погрешностям, то стараются по возможности выбрать ММ, линейную по параметрам:

где А матрица параметров порядка 13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415 RN нелинейная вектор-функция. К этому классу относятся в частности, билинейные объекты, например, 13 QUOTE 1415=а1х + а2хи + а3и, где А=[а1, а2, а3], 13 QUOTE 1415 (x, u)=col(x, хи, и).
Сказанное выше относится и к уравнениям дискретных по времени систем. Уравнения дискретной системы в общем случае имеют вид
xk+1 = F(xk, uk), yk = G(xk, ик). (2.15)
Дискретным аналогом уравнений линейной стационарной системы (2.14) являются уравнения:
xk+1 = Pxk + Quk, yk Rxk. (2.16)
Наряду с уравнениями состояния широкое применение находят также модели в переменных «входвыход» и модели, описываемые передаточными функциями. Для непрерывного времени уравнение «входвыход» имеет вид
A(p)y(t)=B(p)u(t), (2.17)
где p=d/dt символ дифференцирования по времени, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415причем в (2.17) всегда т<п. Дробно-рациональная функция 13 EMBED Equation.3 1415 называется передаточной функцией системы (2.17), а полином 13 EMBED Equation.3 1415 ее характеристическим полиномом. Если уравнение (2.17) получено из (2.14), то
13 EMBED Equation.3 1415 (2.18)
13 EMBED Equation.3 1415. (2.18а)
Они справедливы и в случае, когда вход и выход системы (2.14) являются векторами, при этом 13 EMBED Equation.3 1415 (К) матрица. Пользуясь (2.18), можно показать, что замена переменных состояния в (2.14) по формуле х'=Тх, где Т неособая 13 EMBED Equation.3 1415матрица (det T==0), не приводит к изменению передаточной функции (2.18а). Это значит, что обратный переход от описания «вход выход» к уравнениям состояния (2.14) неоднозначен: при сохранении передаточной функции базис в пространстве состояний можно выбирать по-разному. На практике применяются несколько типовых способов перехода от передаточной функции к уравнениям состояния. Эти способы соответствуют так называемым каноническим представлениям системы [9]. Опишем один из них, приводящий к управляемому каноническому представлению. Вместо (2.16) вводятся два уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415 (2.19а)
13 EMBED Equation.3 1415 (2.19б)
где 13 EMBED Equation.3 1415 вспомогательная переменная. Очевидно, что передаточные функции (2.17) и (2.19) совпадают. В качестве вектора состояния в уравнении (2.16) берется х=со1(13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,,13 EMBED Equation.3 1415), так что 13 EMBED Equation.3 1415 Из (2.19а) и соотношений 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 n1, выводится форма матрицы A и вектора В в (2.14), а из (2.19б), записанного в виде 13 EMBED Equation.3 1415, получаем строку С:

(2.20)
Если для системы (2.17) наблюдению доступна производная yi от величины у при 13 QUOTE 1415, то она может быть получена, если в найденных уравнениях сохранить А, В в форме (2.20) и взять С=[bo , bm,..., 0].
Если в (2.17) 13 EMBED Equation.3 1415 (такие передаточные функции называются несобственными), то систему (2.17) нельзя привести к виду (2.14), но можно привести к виду
13 QUOTE 1415, y=Cx+Du, (2.21)
где А, В имеют вид (2.20), С=[bo –a0bn,..., bn-1 an-1bn].
13 EMBED Equation.3 1415.

2.2.3. Дискретизация и континуализация

Дискретизация. Если исходное описание линейной системе непрерывно, часто можно перейти к дискретному описании с помощью следующей процедуры.
Пусть состояние x(t) системы (2.14) доступно измерению в дискретные моменты времени tk = kh, k=0, 1,..., где h>0 шаг дискретности. Пусть u(t) постоянно на промежутках между моментами коррекции tk. Тогда динамику векторов xk=x(tk) можно описать разностными уравнениями (2.16), в которых матрицы Р и Q определяются соотношениями
Р = еАh , Q=A-1(P-In)B. (2.22)
Здесь eAh экспоненциал матрицы А, определяемый формулой
13 EMBED Equation.3 1415 (2.23)
Если предположение о кусочном постоянстве u(t) не выполняется, то переход от (2.14) к (2.16) является приближенным, но его точность растет по мере уменьшения шага h. При достаточно малых h для вычисления eAh можно удерживать лишь первые несколько членов ряда (2.23) или аппроксимировать сумму (2.23) каким-либо способом.
Например, при переходе от (2.14) к (2.16) можно пользоваться формулой еАН13 EMBED Equation.3 14151п+Аh, соответствующей численному интегрированию (2.14) методом Эйлера. При такой аппроксимации передаточные функции дискретной и непрерывной систем будут связаны соотношением
13 EMBED Equation.3 1415 (2.24)
т.е. при переходе к дискретному времени в передаточной функции W(p) системы (2.17) нужно заменить р на (1z)/h. Если матрица А гурвицева, т.е. Re13 EMBED Equation.3 1415(А)<0, то метод Эйлера дает устойчивую аппроксимацию лишь при
13 EMBED Equation.3 1415 (2.25)
где 13 EMBED Equation.3 1415 собственные числа матрицы А (корни полинома А(13 EMBED Equation.3 1415)). Целый ряд способов перехода от (2.14) к (2.17) основан на аппроксимации матрицы еАh дробями Падэ. Частными случаями этих способов является метод Тастина (формула Падэ порядка (1,1)):
13 EMBED Equation.3 1415 (2.26)
приводящий к соотношению между передаточными функциями
13 EMBED Equation.3 1415 (2.27)
а также метод Дэвисона (формула порядка(2,2)):
13 EMBED Equation.3 1415 (2.28)
Отметим, что формулы (2.26) и (2.28) дают устойчивые аппроксимации при любом 13 EMBED Equation.3 1415>0 (разумеется, если А гурвицева).
Если непрерывная система нелинейна, то для переход к его дискретному описанию также можно использовать методы численного интегрирования. Например, метод Эйлера дает для системы (2.9) дискретное описание:
xk+1 = xk + hF(xk, uk, tk), yk = G(xk, uk, tk). (2.29)
Континуализация это переход от дискретной математической модели системы к непрерывной. Если дискретная модель системы имеет вид (2.16), то перейти к непрерывной модели (2.14) можно по формулам
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 (2.30)
вытекающим из (2.22), где 13 EMBED Equation.3 1415 логарифм матрицы функция, обратная к экспоненциальной и также определяема* через ряд

сходящийся при 13 QUOTE 1415. С точностью до величины порядка 13 QUOTE 1415 можно ограничиться формулами

соответствующими методу Эйлера. Однако удобнее всего переходить от дискретной передаточной функции к непрерывной по формулам (2.24) и (2.27). Например, по методу Эйлера (2.24) достаточно заменить в передаточной 13 QUOTE 1415 функции переменную 13 QUOTE 1415 на 13 QUOTE 1415.
При исследовании линейных систем получили распространите также методы упрощения описаний систем путем редукции (понижения порядка) [2, 39]. Взаимосвязь различных писаний динамических систем представлена на рис. 1.8.

Рис 1.8

2.3. Детерминированные и стохастические модели

Модели систем, о которых мы говорили до сих пор, были детерминированными (определенными), т.е. задание входного воздействия определяло выход системы однозначно. Однако на практике так бывает редко: описанию реальных систем обычно присуща неопределенность. Например, для статической модели неопределенность можно учесть, записывая место (2.1) соотношение
13 QUOTE 1415 (2.31)
где 13 QUOTE 1415 погрешность, приведенная к выходу системы.
Причины неопределенности разнообразны:
погрешности и помехи измерений входов и выходов системы (естественные погрешности);
неточность самой модели системы, что заставляет искусственно вводить в модель погрешность;
неполнота информации о параметрах системы и т.д.
Среди различных способов уточнения и формализации неопределенности наибольшее распространение получил хаотический (вероятностный) подход, при котором неопределенные величины считаются случайными. Развитый понятийный и вычислительный аппарат теории вероятностей и математической статистики позволяет дать конкретные рекомендации по выбору структуры системы и оценке ее параметров. Классификация стохастических моделей систем и методов их исследования представлена в табл. 1.4. Выводы и рекомендации основаны на эффекте усреднения: случайные отклонения результатов измерений некоторой величины от ее ожидаемого значения при суммировании взаимно уничтожаются, и среднее арифметическое большого числа измерений оказывается близким к ожидаемому значению. Математические формулировки этого эффекта даются законом больших чисел и центральной предельной теоремой. Закон больших чисел гласит, что если 13 EMBED Equation.3 1415 случайные величины с математическим ожиданием (средним значением) 13 EMBED Equation.3 1415и дисперсией 13 EMBED Equation.3 1415, то
13 EMBED Equation.3 1415 (2.32)
при достаточно больших N. Это говорит о принципиальной возможности сколь угодно точной оценки 13 EMBED Equation.3 1415по измерениям. Центральная предельная теорема, уточняющая (2.32) утверждает, что
13 EMBED Equation.3 1415 (2.32)
где 13 EMBED Equation.3 1415 стандартная нормально распределенная случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415
Поскольку распределение величины 13 EMBED Equation.3 1415 хорошо извести и затабулировано (например, известно, что 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 то соотношение (2.33) позволяет вычислять погрешность оценки. Пусть, например требуется найти, при каком числе измерений погрешность оценки их математического ожидания с вероятностью 0,95 окажется меньше, чем 0,01, если дисперсия каждого измерения равна 0,25. Из (2.33) получаем, что должно выполняться неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 откуда N> 10000.



Разумеется, формулировкам (2.32), (2.33) можно придать более строгий вид, и это легко может быть сделано с помощью понятий вероятностной сходимости. Трудности возникают при попытке проверить условия этих строгих утверждений. Например, в законе больших чисел и централь ной предельной теореме требуется независимость отдельных измерений (реализаций) случайной величины и конечность ее дисперсии. Если эти условия нарушаются, то могут нарушаться и выводы. Например, если все измерения совпадают: 13 EMBED Equation.3 1415 то, хотя все остальные условия выполняются об усреднении не может быть и речи. Другой пример: закон больших чисел несправедлив, если случайные величины 13 EMBED Equation.3 1415 распределены по закону Коши (с плотностью распределения 13 EMBED Equation.3 1415 не обладающему конечными математическими ожиданием и дисперсией. А ведь такой закон встречается в жизни! Например, по Коши распределена интегральная освещенность точек прямолинейного берега равномерно вращающимся прожектором, находящимся в море (на корабле) и включающимся в случайные моменты времени.
Но еще большие трудности вызывает проверка обоснованности самого употребления термина «случайный». Что такое случайная величина, случайное событие и т.д. Часто говорят, что событие А случайно, если в результате эксперимента оно может наступить (с вероятностью р) или не наступить (с вероятностью 1р). Все, однако, не так просто. Само понятие вероятности может быть связано с результатами экспериментов лишь через частоту его наступления в некотором ряде (серии) экспериментов: 13 EMBED Equation.3 1415, где NA число экспериментов, в которых событие наступило, N общее число; экспериментов. Если числа 13 EMBED Equation.3 1415 при достаточно большом N приближаются к некоторому постоянному числу рА:
13 EMBED Equation.3 1415 (2.34)
то событие А можно назвать случайным, а число р его вероятностью. При этом частоты, наблюдавшиеся в различных сериях экспериментов, должны быть близки между собой (это свойство называется статистической устойчивостью или однородностью). Сказанное относится и к понятию случайной величины, поскольку величина 13 EMBED Equation.3 1415 является случайной, если случайными являются события 13 EMBED Equation.3 1415{а<Ј<Ь} для любых чисел а, Ь. Частоты наступления таких событий в длинных сериях экспериментов должны группироваться около некоторых постоянных значений.
Итак, для применимости стохастического подхода должны выполняться следующие требования:
массовость проводимых экспериментов, т.е. достаточно большое число;
повторяемость условий экспериментов, оправдывающая сравнение результатов различных экспериментов;
статистическая устойчивость.
Стохастический подход заведомо нельзя применять к единичным экспериментам: бессмысленны выражения типа «вероятность того, что завтра будет дождь», «с вероятностью 0.8 «Зенит» выиграет кубок» и т.п. Но даже если массовость и повторяемость экспериментов имеются, статистической устойчивости может и не быть, а проверить это непростое дело. Известные оценки допустимого отклонения частоты от вероятности основаны на центральной предельной теореме или неравенстве Чебышева и требуют дополнительных гипотез о независимости или слабой зависимости измерений. Опытная же проверка условия независимости еще сложнее, так как требует дополнительных экспериментов.
Более подробно методология и практические рецепты применения теории вероятностей изложены в поучительной книге В.Н. Тутубалина [40], представление о которой дают приводимые ниже цитаты:
«Чрезвычайно важно искоренить заблуждение, встречающееся иногда у недостаточно знакомых с теорией вероятностей инженеров и естествоиспытателей, что результат любого эксперимента можно рассматривать как случайную величину. В особо тяжелых случаях к этому присоединяется вера в нормальный закон распределения, а если уже сами случайные величины не нормальны, то верят, что их логарифмы нормальны».
«По современным представлениям область применения теоретико-вероятностных методов ограничена явлениями, которым присуща статистическая устойчивость. Однако проверка статистической устойчивости трудна и всегда неполна к тому же часто она дает отрицательный вывод. В результате в целых областях знания, например, в геологии, нормой стал такой подход, при котором статистическая устойчивость вовсе не проверяется, что неизбежно приводит к серьезным ошибкам. К тому же пропаганда кибернетики, предпринятая нашими ведущими учеными, дала (в некоторых случаях!) несколько неожиданный результат: теперь считается, что только машина (а не человек) способна получать объективные научные результаты.
В таких обстоятельствах долг каждого преподавателя вновь и вновь пропагандировать ту старую истину, которую еще Петр I пытался (безуспешно) внушить русским купцам: что торговать надо честно, без обмана, так как в конечном счете это для самих же себя выгоднее».
Как же построить модель системы, если неопределенность в задаче есть, но стохастический подход неприменим? Ниже кратко излагается один из альтернативных подходов, основанный на теории нечетких множеств.




 Напоминаем, что отношением 13 QUOTE 1415 (отношением между 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415) называется подмножество множества 13 QUOTE 1415. т.е. некоторая совокупности пар R={(x, у)}, где 13 QUOTE 1415,13 QUOTE 1415. Например, функциональная связь (зависимость) 13 QUOTE 1415 может быть представлена как отношение между множествами 13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415, включающее пары (х, у), для которых 13 QUOTE 1415.
 В простейшем случае может быть 13 QUOTE 1415, a R отношение тождества 13 QUOTE 1415 , если 13 QUOTE 1415.
 Примеры 1215 в табл. 1. 1 придуманы в 1988 г. учеником 86 класса 292 школы М. Коротеевым.
 Здесь и далее через y(t) будет обозначаться производная по времени от функции y(t). Будет также использоваться обозначение y(t) =py(t).
 Математик здесь, конечно, заметит, что минимум в (1.4), строго говоря, может не достигаться и в формулировке (1.4) нужно заменить rnin на inf («инфимум» точная нижняя грань множества). Однако ситуация от этого не изменится: формализация в данном случае не отражает существа задачи, т.е. проведена неверно. В дальнейшем, чтобы не «пугать» инженера, мы будем пользоваться обозначениями min, max; имея в виду, что при необходимости их следует заменить на более общие inf, sup.
 Здесь термин «структура» используется в смысле, несколько более узком, нем в подразд. 1.1, и означает состав подсистем в системе и типы связей между ними.
 Графом называется пара (G, R), где G={g1... gn} конечное множество вершин, a 13 QUOTE 1415 бинарное отношение на G. Если 13 EMBED Equation.3 1415, тогда и только тогда, когда 13 EMBED Equation.3 1415, то граф называется неориентированным, в противном случае ориентированным. Пары 13 EMBED Equation.3 1415 называются дугами (ребрами), а элементы 13 EMBED Equation.3 1415 множества G вершинами графа.
 То есть алгебраические или трансцендентные.
 Строго говоря, счетное множество представляет собой некоторую идеализацию, которую невозможно реализовать практически из-за конечности размеров технических систем и пределов человеческого восприятия. Такие идеализированные модели (например, множество натуральных чисел N={1, 2,...}) имеет смысл вводить для множеств конечных, но с заранее не ограниченным (или неизвестным) числом элементов.
 Формально понятие операции является частным случаем понятия отношения между элементами множеств. Например, операция сложения Двух чисел задает 3-местное (тернарное) отношение R: тройка чисел (х, у, z) z) принадлежит отношению R (пишем (х,у,z)13 QUOTE 1415), если z = х+у.
 Здесь и далее вектор (столбец) с компонентами х1 х2,..., хn обозначается x = col(х1..., хn).
 13 EMBED Equation.3 1415 комплексное число, аргумент полиномов А(13 EMBED Equation.3 1415), В(13 EMBED Equation.3 1415).
 Это предположение часто выполняется на практике.
 Если величина 13 EMBED Equation.3 1415неизвестна, то следует заменить в (2.33) 13 EMBED Equation.3 1415на оценку 13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415 При этом величина 13 EMBED Equation.3 1415 будет распределена уже не нормально, а по закону Стьюдента, который при 13 EMBED Equation.3 1415 практически неотличим от нормального.
 Легко заметить, что (2.34) есть частный случай (2.32), когда берется 13 EMBED Equation.3 1415, если событие А наступило в j-м эксперименте, 13 EMBED Equation.3 1415 в противном случае. При этом 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
 А сегодня можно добавить «... и информатики» (прим. автора).











Рисунок 1Рисунок 6Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 99Рисунок 223Рисунок 356Рисунок 236Рисунок 242Рисунок 271Рисунок 33Рисунок 36Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativelEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native2Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 8961102
    Размер файла: 3 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий