Методичка Методы принятия управ. решений





МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Брянский государственный технический университет








УТВЕРЖДАЮ
Ректор университета
______________ О. Н. Федонин
"____"____________ 2013 г.






МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

Методические указания к изучению дисциплины
для студентов заочной формы обучения направления 080200 – "Менеджмент"













Брянск 2013
УДК 338.24.01
Методы принятия управленческих решений: методические указания к изучению дисциплины для студентов заочной формы обучения направления 080200 – "Менеджмент" . – Брянск: БГТУ, 2013. – 44 с.






Разработали:
В. В. Нагоркина, канд. техн. наук, доц.
К. В. Логвинов, канд. экон. наук,
доц.





Рекомендовано кафедрой "Экономика и менеджмент" БГТУ
(протокол № 8 от 3.04.13)
















Предисловие

Курс "Методы принятия управленческих решений" является обязательным для профессионального обучения будущих специалистов в области менеджмента. Конечная цель курса – сформировать у студентов теоретические знания и практические навыки разработки, принятия и реализации управленческих решений.
Основные задачи дисциплины заключаются в следующем:
– сформировать представление о теоретических основах принятия решений;
– приобрести теоретические знания и практические навыки разработки, принятия и реализации управленческих решений как основного элемента профессиональной деятельности менеджера;
– выработать умение идентификации и классификации проблем организации; выбора наиболее рациональных методологических и организационных схем, разработки принятия и реализации решений, умение анализа альтернатив действий;
– изучить модели, методы, алгоритмы и детерминанты (факторы) принятия решений;
– изучить влияние внешней среды на реализацию альтернатив;
– уметь применять критерии разработки и выбора решений в условиях неопределенности и риска;
– уметь обосновывать эффективность решений;
– овладеть инновационными подходами принятия творческих нестандартных (уникальных) решений.
В результате изучения данной дисциплины студент должен:
знать:
– принципы принятия и реализации экономических и управленческих решений;
– роль и место управленческих решений в процессе управления организацией;
– нормативную структуру процесса принятия управленческих решений;
– психологические особенности и эффекты процессов принятия индивидуальных и коллективных решений.
уметь:
– разрабатывать и обосновывать варианты эффективных хозяйственных решений;
– обосновывать выбор оптимального варианта исходя из критериев социально-экономической эффективности и экологической безопасности;
– избегать негативных психологических эффектов и «ловушек», сопровождающих процессы принятия решений.
владеть:
– методами диагностики проблем экономического характера при анализе конкретных ситуаций, предлагать способы их решения и оценивать ожидаемые результаты;
– методами организации процесса рационального решения проблем в организациях;
– количественными методами принятия управленческих решений.
Знания, полученные по данному курсу, реализуются при принятии управленческих решений.
Процесс изучения дисциплины предусматривает проведение установочных лекций, выполнение контрольной работы, собеседование по ней и сдачу зачёта. В соответствии с этим составлена рабочая программа дисциплины и разработаны контрольные задания, выполнение которых необходимо для сдачи зачета.

1. Рабочая программа дисциплины

Дисциплина «Методы принятия управленческих решений» является базовой дисциплиной математического и естественнонаучного цикла дисциплин Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) по направлению 080200 (Бакалавр менеджмента).
Раздел 1. технология и процедуры разработки
и принятия управленческих реешний
Тема 1. Введение в теорию принятия решений
Многодисциплинарный характер науки о принятии решений. Примеры задач принятия решения. Основные понятия теории принятия решений: лицо, принимающее решение (ЛПР); цели; ресурсы; альтернативы; риски и неопределенности; критерии оценки решения. Процесс принятия решений, его этапы. Системный подход при принятии решений. Современные методы принятия решений.
Тема 2. Принятие решений – работа менеджера
Основные функции управления. Классификация решений, принимаемых менеджером. Роль прогнозирования при принятии решений. Виды прогнозов. Методы прогнозирования. Планирование как управленческое решение. Этапы планирования. Методы планирования. Управление людьми и принятие решений. Принятие решений при контроле.
Тема 3. Принятие решений в стратегическом менеджменте
Пирамида планирования в стратегическом менеджменте: миссия фирмы, стратегические цели, задачи и конкретные задания. Сравнение стратегического и оперативного менеджмента. Методы принятия решений в стратегическом менеджменте: матрица портфеля Бостонской консалтинговой группы; методы списка и суммарной оценки. Способы выбора весовых коэффициентов в задачах стратегического менеджмента.
Тема 4. Принятие решений при управлении инновационными
и инвестиционными проектами
Новшества и инновации. Уровни изменения. Инструменты инновационного менеджмента. Инвестиционный менеджмент. Управление инвестициями. Критерии анализа инвестиционной деятельности: чистая текущая стоимость NPV; индекс рентабельности инвестиций PI; внутренняя норма доходности IRR; дисконтированный срок окупаемости инвестиций DPP; срок окупаемости инвестиций PP; коэффициент эффективности инвестиции ARR.
Оценки погрешностей характеристик финансовых потоков инвестиционных проектов и проблема горизонта планирования. Практические вопросы реализации инновационных и инвестиционных проектов: неопределенность и риски будущего развития; экспертные оценки при сравнении инвестиционных проектов; технико-экономические обоснования проектов и бизнес-планы.
Тема 5. Принятие решений на основе информационных систем
и контроллинга
Роль информации при принятии решений в стратегическом менеджменте. Сущность контроллинга. Информационные системы управления предприятием (ИСУП). Задачи ИСУП. Место ИСУП в системе контроллинга. Перспективы совместного развития ИСУП и контроллинга. Роль интернета и корпоративных компьютерных систем в управлении предприятием.


Раздел 2. Методы принятия решений
Тема 6. Простые методы принятия решений
Оперативные приемы принятия решений. Примеры. Декомпозиция задач принятия решения. Классификация постановок задач декомпозиции в теории и практике принятия решений. Дерево решений. Использование весовых коэффициентов в задачах принятия решений. Агрегирование показателей.
Тема 7. Основы теории измерений
Теория измерений как научная дисциплина. Основные типы шкал измерений: шкала наименований (номинальная); порядковая шкала; шкала интервалов; шкала отношений; шкала разностей; абсолютная шкала. Показатели разброса, связи, показатели различия. Инвариантные алгоритмы и средние величины.
Тема 8. Задачи оптимизации при принятии решений
Классификация оптимизационных задач принятия решений. Методы и модели линейного программирования. Двойственность в линейном программировании. Транспортная задача линейного программирования. Задача о назначениях. Целочисленное программирование. Динамическое программирование. Сетевые модели в планировании и управлении. Многокритериальные задачи принятия решений. Различные методы сверки критериев. Методы теории игр.
Тема 9. Описание неопределенностей в теории принятия решений
Вероятностно-статистические методы описания неопределенностей. Задачи оценивания. Случайные величины и их характеристики. Распределения случайных величин. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема. Описание данных, оценивание и проверка гипотез. Многомерный статистический анализ. Статистика случайных процессов и временных рядов. Статистика интервальных данных. Интервальные данные в оценивании параметров. Подход к проверке гипотез в статистике интервальных данных.
Описание неопределенностей с помощью теории нечетких множеств. Нечеткие множества как проекции случайных множеств. Сведение последовательности операций над нечеткими множествами к последовательности операций над случайными множествами. Описание данных для выборок, элементы которых – нечеткие множества. Регрессионный анализ нечетких переменных.
Тема 10. Вероятностно-статистические методы принятия решений
Теория вероятностей и математическая статистика в принятии решений. Вероятностно-статистические методы и оптимизация. Статистические методы прогнозирования. Эконометрические методы в контроллинге и управлении. Методы оценивания рисков и подходы к управлению рисками. Принятие решений в условиях рисков.
Тема 11. Экспертные методы принятия решений
Основные идеи методов экспертных оценок. Примеры методов экспертных оценок. Индивидуальные и коллективные экспертные оценки. Основные стадии экспертного опроса. Подбор экспертов. Разработка регламента сбора и анализа экспертных мнений. Теория измерений и экспертные оценки. Математические методы анализа экспертных оценок: методы средних баллов; метод средних арифметических рангов; метод медиан рангов. Сравнение ранжировок по методу средних арифметических и методу медиан. Метод согласования кластеризованных ранжировок. Проверка согласованности мнений экспертов и классификация экспертных мнений. Нахождение итогового мнения комиссии экспертов.
Раздел 3. Моделирование в теории принятия решений
Тема 12. Основы моделирования
Понятие и свойства моделей. Моделирование. Математические модели при принятии решений. Переменные в математических моделях. Основные этапы моделирования. Классификация математических моделей по общему целевому назначению, по степени агрегирования объектов, по конкретному предназначению, по учету фактора неопределенности, по характеристике математических объектов или математического аппарата.
Тема 13. Экономико-математические методы и принятие решений
Экономико-математическое моделирование при принятии решений. Проблемы использования экономико-математических моделей.
Модель межотраслевого баланса (модель В.Леонтьева); эконометрические модели народного хозяйства; паутинообразные модели; модель экономического роста; модель мировой торговли; моделирование процессов налогообложения.
Модель функционирования промышленного предприятия. Принятие решений в малом бизнесе на основе экономико-математического моделирования. Маркетинговые модели принятия решений. Моделирование потока проектов. Принятие решений в задачах логистики. Классическая модель управления запасами.
Тема 14. Принятие решений на основе моделей обеспечения качества
Основы принятия решений о качестве продукции. Планы статистического контроля и правила принятия решений. Предел среднего выходного уровня дефектности. Асимптотическая теория одноступенчатых планов статистического контроля. Некоторые практические вопросы принятия решений при статистическом контроле качества продукции и услуг. Отбор случайной выборки при статистическом контроле качества продукции. Оценка необходимого объема выборки.

2. Список рекомендуемой литературы

Основная
1. Дорогов, В.Г., Теплова, Я.О. Введение в методы и алгоритмы принятия решений: учеб. пособие для вузов/под ред. Л. Г. Гагариной. -М.:Форум : Инфра-м, 2012.-239 с.
2. Зуб, А.Т. Принятие управленческих решений. Теория и практика: учеб. пособие.-М.:Форум : Инфра-м, 2010.-397 с.
3. Катулев, А.Н., Северцев, Н.А. Математические методы в системах поддержки принятия решений: учеб. пособие для вузов.-М.:Высш. шк., 2005.-310с.
4. Петровский, А.Б. Теория принятия решений: учеб. для вузов.-М.: Академия, 2009.-398 с.
5. Счерноруцкий, И.Г. Методы принятия решений: учеб. пособие для вузов.-СПб.:Бхв-петербург, 2005.-408 с.
6. Мухин, В. И. Исследование систем управления. Анализ и синтез систем управления: учеб. для вузов. / В. И. Мухин. – 2-е изд. доп. и перераб. – М.: Экзамен, 2006. – 477 с.

Дополнительная
7. Виноградова, З. И. Логика науки управления. / З. И. Виноградова. – М.: Мысль, 1998. – 206 с.

8. Грешилов, А.А. Математические методы принятия решений:учеб. пособие.-М.:изд-во Мгту им. Н. Э. Баумана, 2006.-584 с.
9. Кириллов, С. Н. Разработка управленческого решения / С. Н. Кириллов, Н. А. Овчинникова, И. А. Морозова. – Волгоград: Офсет, 1998. – 129 с.
10. Розен В.В. Математические модели принятия решений в экономике: учеб. пособие для вузов.-М.:Университет : высш. шк., 2002.-286с.
11. Томпсон, А. А. Стратегический менеджмент. Искусство разработки и реализации стратегии: учеб. для вузов: [пер. с англ.] / А. А. Томпсон, А. Дж. Стрикленд. – М.: Банки и биржи; ЮНИТИ, 1998. – 576 с.
12. Шеннон, Р. Имитационное моделирование систем – искусство и наука / Р. Шеннон / Под ред. Е. К. Масловского. – М.: Мир, 1978. – 424 с.
13. Шикин, Е. В. Математические методы в управлении: учеб. пособие. / Е. В. Шикин, А. Г. Чхартишвили. – М.: Дело, 2000. – 440 с.

3. ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЗАЧЕТУ
Основные понятия теории принятия решений.
Этапы процесса принятия решений.
Системный подход при принятии решений.
Роль прогнозирования при принятии решений. Методы прогнозирования.
Планирование как управленческое решение. Методы планирования.
Управление людьми и принятие решений.
Принятие решений на основе информационных систем и контроллинга.
Оперативные приемы принятия решений.
Декомпозиция задач принятия решений. Дерево решений.
Использование весовых коэффициентов в задачах принятия решений.
Теория измерений как научная дисциплина. Основные типы шкал.
Методы и модели линейного программирования.
Двойственность в линейном программировании.
Транспортная задача линейного программирования.
Задача о назначениях.
Целочисленное программирование.
Динамическое программирование.
Сетевые модели в планировании и управлении.
Многокритериальные задачи принятия решений.
Методы теории игр.
Вероятностно-статистические методы описания неопределенностей в задачах принятия решений.
Описание неопределенностей с помощью теории нечетких множеств.
Теория вероятностей и математическая статистика принятия решений.
Статистические методы прогнозирования.
Эконометрические методы в контроллинге и управлении.
Методы оценивания рисков и подходы к управлению рисками.
Принятие решений в условиях рисков.
Экспертные методы принятия решений.
Понятие и свойства моделей. Математические модели при принятии решений. Классификация математических моделей.
Экономико-математическое моделирование при принятии решений. Проблемы использования экономико-математических моделей.
Маркетинговые модели принятия решений.
Принятие решений в задачах логистики.
Классическая модель управления запасами.
Принятие решений на основе моделей обеспечения качества.


3. СОДЕРЖАНИЕ И УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ
КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Контрольная работа состоит из пяти заданий, одно из которых представляет расширенный письменный ответ на заданные вопросы, а четыре посвящены практическим основам дисциплины "Методы принятия управленческих решений".

ЗАДАНИЕ 1

Ответьте на вопросы.
Номера вопросов выбираются из табл. 1 по последним двум цифрам номера зачётной книжки.
Например, номер зачётной книжки – 57849. В этом случае первый вопрос задания – № 18, а второй вопрос – № 7.
1. Перед ответом на вопрос дайте его точную формулировку с соответствующим номером согласно перечню вопросов к заданию 1.
2. В ответах на вопрос необходимо привести схемы, рисунки, таблицы и ссылки на источники.
3. Ответ излагается в объёме не менее 2-х станиц.
4. В конце ответов на вопросы дать перечень использованной литературы.
Таблица 1
Варианты к заданию 1

Последняя цифра шифра
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Номер первого вопроса
1
4
5
2
6
12
14
15
16
18

Предпоследняя цифра
шифра
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Номер второго вопроса
13
9
3
10
7
19
11
8
17
20



Вопросы к заданию 1

1. Общая характеристика организационно-управленческих решений.
2. Основные свойства организационно-управленческих решений и требования к их разработке.
3. Классификация управленческих решений.
4. Алгоритм принятия управленческих решений.
5. Условия и факторы качества управленческих решений.
6. Формы подготовки и реализации управленческих решений.
7. Основные этапы процесса разработки, принятия и реализации управленческих решений.
8. Целевая ориентация управленческих решений.
9. Диагностика и идентификация проблем.
10. Анализ альтернатив.
11. Критерии и ограничения выбора альтернатив.
12. Моделирование процессов принятия управленческих решений.
13. Основная модель принятия решений.
14. Факторы решения (детерминанты) как целевые компоненты управления.
15. Модели теории принятия решений.
16. Методы планирования.
17. Методы организации выполнения решений.
18. Методы контроля выполнения решений.
19. Ответственность в системе принятия и реализации управленческих решений.
20. Эффективность управленческих решений и ее составляющие.

ЗАДАНИЕ 2
ПРИНЯТИЕ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Большое количество принятия управленческих решений сводится к методам линейного программирования. Традиционно оптимизационные линейные математические модели называются моделями линейного программирования, являющегося одним из разделов прикладной математики и изучающего задачи условной оптимизации. Типичными экономическими и производственными задачами являются задачи планирования производства, формирования минимальной потребительской продовольственной корзины, расчёт оптимальной загрузки оборудования, составления плана реализации товара и др.
В задаче линейного программирования требуется найти экстремум (максимум или минимум) линейной целевой функции f(X):
f(X) = c1x1 + c2x2 + + cnxn ( max (min)
при ограничениях (условиях):


a11x1 + a12x2 + + a1nxn {(, =, (} b1;
a21x1 + a22x2 + + a2nxn {(, =, (} b2;

am1x1 + am2x2 + + amnxn {(, =, (} bm;
xj ( 0; j = 1, n,
где xj – управляющие переменные (решения задачи); aj, bj, cj – заданные постоянные величины. Ограничения определяют область допустимых решений. В указанной системе уравнений общее число неизвестных N = n + m, где n – число основных неизвестных xj; m – число уравнений.
( Если число неизвестных N меньше числа уравнений m, то система решения не имеет и является несовместной.
( Линейная система, в которой число неизвестных N равно числу уравнений m, имеет одно решение.
( Если в системе число неизвестных N больше числа уравнений m, то такая система имеет бесчисленное множество решений.
Системы уравнений из n неизвестных удобно решать с использованием элементов теории матриц, в частности метода Крамера.
Если число переменных в задаче линейного программирования равно двум, а ограничениями является система неравенств, то задачу можно решить графическим методом.

Задача 2.1

Главная цель этой задачи – научиться строить математические модели, позволяющие обеспечить правильное её решение.
Небольшая фирма производит два вида продукции: А и В.
Для изготовления единицы продукции вида А требуется а кг сырьевого материала, для изготовления единицы продукции В – b кг сырья. Для изготовление единицы продукции вида А требуется с часов рабочего времени; единицы продукции В – d часов рабочего времени. Прибыль от сбыта единицы продукции вида А – составляет е рублей; единицы продукции вида В – f рублей.
Сколько единиц продукции вида А и В должна изготовить фирма, если на складе имеется в наличии q кг сырья, а рабочего времени на изготовление товара даётся h часов.
Решить задачу, построив её математическую модель.
Вариант и числовые значения исходных данных, представленные в табл. 2, выбираются по последней цифре шифра зачётной книжки.
Исходные данные представлены в табл. 2.
Таблица 2
Исходные данные для решения задачи 2.1

Вариант
Исходные данные


a
b
c
d
e
f
g
h

1
3
7
2
8
1
3
420
400

2
1
6
3
6
3
5
380
410

3
2
8
4
5
4
7
410
420

4
4
5
3
7
2
4
390
430

5
5
9
2
9
1
6
450
390

6
1
5
3
10
1
4
430
380

7
2
7
4
7
4
5
370
370

8
4
9
1
6
2
6
400
440

9
5
8
2
9
3
7
440
360

0
3
6
3
8
2
5
360
450


Решение

Рассмотрим конкретный пример построения математической модели.
Фирма изготовляет два вида краски: для внутренних (Е) и наружных (F) работ. Для производства красок используются два исходных продукта – А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 т соответственно. Расходы А и В на 1 т соответствующих красок приведены в табл. 3.
Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску F никогда не превышает спроса на краску E более чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску F никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны 3 тыс. долл. для краски E, 2 тыс. долл. для краски F.
Таблица 3
Расходы красок
Исходный продукт
Расход исходных продуктов
(в тоннах) на тонну краски
Максимально
возможный запас, т


Краска E
Краска F


А
В
1
2
2
1
6
8


Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?
Построение математической модели заключается в идентификации переменных и последующем представлении цели и ограничений в виде математических функций этих переменных.
Нахождение переменных. В задаче требуется определить объёмы производства каждого вида краски, поэтому переменными в модели являются xE – суточный объём производства краски Е; хF – суточный объём производства краски F.
Определение целевой функции. Стоимость 1 т краски Е равна 3 тыс. долл., суточный доход от её продажи составит 3xE тыс. долл. Доход от реализации хF тонн краски F составит 2хF тыс. долл. в сутки. При допущении независимости объёмов сбыта каждой из красок общий доход z равен сумме двух слагаемых – доходов от продажи краски Е и F. Математическая формулировка целевой функции: определить значения xE и хF, позволяющие получить максимальную величину общего дохода.
Установление ограничений. При решении должны быть учтены ограничения на расход исходных продуктов и спрос на изготовляемые краски. Ограничение на расход исходных продуктов можно записать следующим образом:

Расход исходного
продукта для
производства обоих видов краски
(
Максимально
возможный запас
данного исходного
продукта

Это приводит к следующим двум ограничениям (см. условие задачи):
xE + 2хF ( 6 (для А), 2xE + хF ( 8 (для В).
Ограничения на величину спроса на продукцию имеют следующий вид:
Превышение спроса на краску F
относительно спроса на краску Е
(
1 тонна / сутки

(Спрос на краску F) ( 2 тонны / сутки
Математически эти ограничения записываются следующим образом:
хF – xE ( 1 (соотношение величин спроса на краску F и краску Е),
хF ( 2 (максимальная величина спроса на краску F).
Для предотвращения получения недопустимых решений требуется выполнение условия неотрицательности переменных, т. е. вводятся ограничения на их знак:
xE ( 0 (объём производства краски Е),
хF ( 0 (объём производства краски F).
Итак, математическая модель записывается следующим образом. Определить суточные объёмы производства краски Е и краски F, при которых достигается максимальное значение целевой функции
z =3xE + 2хF ( max
при ограничениях
xE + 2хF ( 6;
2xE + хF ( 8;
– xE + хF ( 1;
хF ( 2;
xE ( 0, хF ( 0.
Полученная система уравнений решается по известным алгебраическим методам.
Задача 2.2

Решить задачу линейного программирования графическим методом.
Задание выбирается из табл. 4 по предпоследней цифре шифра зачётной книжки.
Таблица 4
Исходные данные для решения задачи 2.2

Вариант
Задание


Найти
Функция
Ограничения

1
max
L = x1 + 3x2
x1 + 4x2 ( 4; x1 + x2 ( 6; x1 ( 1; x
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·x2
x1 + x2 ( 3; 3x1 + x2 ( 15; x1 – x2 ( 0; x2 ( 1

0
min
L = 12x1 + 4x2
x1 + 4x2 ( 8; 2x1 + 3x2 ( 12; x1 ( 6; x2 ( 1

Пример решения

В качестве примера рассмотрим графическое решение математической модели, полученной в задаче 1. Требуется построить область допустимых решений, в которой одновременно удовлетворяются все ограничения модели. Искомая область решений показана на рис. 3.
Задачу можно решить графически, так как модель содержит только две переменные. В случае трёх переменных графическое решение задач становится менее наглядным, а при большем числе переменных – даже невозможным.
Условия неотрицательности переменных xE ( 0 и хF ( 0 ограничивают область их допустимых значений первым квадрантом, представляющим собой часть плоскости, расположенную над осью xE и правее оси хF.

13 EMBED Visio.Drawing.5 1415

Ограничения:
1) xE + 2хF ( 6;
2) 2xE + хF ( 8;
3) – xE + хF ( 1;
4) хF ( 2;
5) xE ( 0;
6) хF ( 0 .




Рис. 1 Построение области допустимых решений и
нахождение оптимального решения

Другие границы пространства решений изображены на плоскости xE хF прямыми линиями, построенными по уравнениям, которые получаются при замене знака ( на знак = в остальных ограничениях. Области, в которых выполняются соответствующие ограничения в виде неравенств, указываются стрелками, направленными в сторону допустимых значений переменных. Полученный многоугольник ABCDEF является областью допустимых решений.
Оптимальное решение находится, если выяснить, в каком направлении возрастает целевая функция модели z = 3xE + 2хF. Эта операция осуществляется следующим образом (рис. 3).
На график наносят ряд параллельных линий, соответствующих уравнению целевой функции при нескольких произвольно выбранных и последовательно возрастающих значениях z, что позволяет определить наклон целевой функции и направление, в котором она возрастает.
Чтобы найти оптимальное решение, следует перемещать прямую, характеризующую доход, в направлении возрастания целевой функции до тех пор, пока она не сместится в область недопустимых решений. На рис. 3. видно, что оптимальному решению соответствует точка С. Так как точка С является точкой пересечения прямых (1) и (2), значения xE и хF в этой точке определяются решением системы двух уравнений:
xE + 2хF ( 6; 2xE + хF ( 8.
Решение даёт следующий результат: xE = 3,33; хF = 1,33. Это обозначает, что для получения максимального дохода суточный объём производства краски Е должен составлять 3,33 т, краски F – 1,3 т.

ЗАДАНИЕ 3

СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

Современное сетевое планирование начинается с разбиения программы работ по выполнению какого-либо проекта на этапы (операции, мероприятия). Оценивается продолжительность этапов работ и строится сетевая модель (график) последовательности их выполнения. Построение такой модели позволяет проанализировать все этапы и внести улучшения в структуру модели до начала её реализации. Строится календарный график, определяющий начало и окончание каждого этапа проекта, а также взаимосвязи с другими этапами. Календарный график выявляет критические этапы, которым надо уделять особое внимание, чтобы закончить все виды работ в установленный срок. Что касается некритических этапов, то календарный план позволяет определить резервы времени, которые можно выгодно использовать при задержке выполнения проекта или эффективном применении как трудовых, так и финансовых ресурсов.
Сетевая модель – графическое изображение плана выполнения комплекса действий (проекта), состоящего из нитей (работ, операций) и узлов (событий), которые отражают логическую взаимосвязь всех работ (операций). В основе сетевого моделирования лежит изображение планируемого комплекса работ (операций) в виде графа.
Граф – схема, состоящая из точек (вершин), соединённых линиями. Линии (отрезки), соединяющие вершины, называются рёбрами (дугами) графа. Ориентированным называется такой граф, на котором стрелкой указаны направления всех его рёбер (дуг), что позволяет определить, какая из двух его вершин является начальной, а какая – конечной.
Сетевая модель – это ориентированный граф без контуров. Контур означает такой путь, у которого начальная вершина совпадает с конечной. В сетевом моделировании используются следующие понятия – работа, событие, путь, критический путь.
Работа – это активный процесс, требующий затрат ресурсов, либо пассивный (ожидание), приводящий к достижению намеченного результата. Фиктивная работа – это связь между результатами работ (событиями), не требующая затрат времени и ресурсов.
Событие – это результат (промежуточный или конечный) выполнения одной или нескольких предшествующих работ.
Путь – это любая непрерывная последовательность (цепь) работ и событий.
Критический путь – это путь, не имеющий резервов и включающий самые напряжённые работы комплекса. Работы, расположенные на критическом пути, называют критическими. Все остальные работы являются некритическими (ненапряжёнными) и обладают резервами времени, которые позволяют передвигать сроки их выполнения, не влияя на общую продолжительность выполнения всего комплекса работ.

Задача 3.1

Для улучшения финансового состояния фирме необходимо увеличить спрос на выпускаемую продукцию и расширить потребительский рынок. Фирма считает целесообразным размещать продукцию в специализированной таре. Для переоснащения цеха необходимо установить оборудование по производству специализированной тары. Предполагается выполнить следующие работы:
1) подготовить техническое задание на переоборудование цеха – a1 дн.;
2) разработать мероприятия по технике безопасности – a2 дн.;
3) подобрать кадры – a3 дн.;
4) заказать и поставить необходимое оборудование – a4 дн.;
5) заказать и поставить электрооборудование – a5 дн.;
6) установить оборудование – a6 дн.;
7) установить электрооборудование – a7 дн.;
8) обучить персонал – a8 дн.;
9) испытать и сдать в эксплуатацию линии – a9 дн.
Необходимо составить график работ и определить критический путь.
Исходные данные для решения задачи представлены в табл. 5. Номер варианта определяется по последней цифре номера зачётной книжки.
Таблица 5
Исходные данные для решения задачи 3.1

Продолжительность работ
Вариант


1
2
3
4
5
6
7
8
9
0

a1
20
18
22
15
17
19
23
16
21
24

a2
18
19
21
16
18
21
20
15
19
22

a3
19
17
20
17
16
20
22
17
20
23

a4
21
23
22
24
20
25
25
27
29
28

a5
15
14
11
10
12
13
16
15
16
17

a6
33
35
30
32
33
36
37
36
38
36

a7
22
26
19
21
19
24
29
24
25
29

a8
14
17
13
13
11
18
18
19
17
20

a9
22
28
24
26
25
27
25
28
24
21


Пример решения
Предприятие решило для улучшения финансового состояния наладить выпуск конкурентоспособной продукции. Для переоборудования производства под выпуск этой продукции необходимо выполнить следующие работы:
1) подготовить техническое задание на переоборудование участка производства нового вида продукции – 30 дн.;
2) заказать и поставить новое оборудование – 60 дн.;
3) заказать и поставить новое электрооборудование – 50 дн.;
4) демонтировать старое и установить новое оборудование – 90 дн.;
5) демонтировать старое и установить новое электроборудование – 80 дн.;
6) переобучить персонал – 30 дн.;
7) испытать и сдать в эксплуатацию оборудование для производства новой продукции – 20 дн.

1. Составим график проведения работ по переоборудованию производства:
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415

На проведение переоборудования необходимо
30 + 60 + 50 + 90 + 80 + 30 + 20 = 360 дн.
2. Порядок проведения работ можно оптимизировать, выполняя некоторые работы параллельно. Для этого составляется граф работ по переоборудованию (рис. 1).

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415

Рис. 2 Граф работ по переоборудованию

На этом графе обозначены следующие этапы работ:
0 ( 1 – подготовка технического задания;
1 ( 2 – заказ и поставка нового оборудования;
1 ( 3 – заказ и поставка нового электрооборудования;
2 ( 4 – установка нового оборудования;
3 ( 4 – установка нового электрооборудования;
1 ( 4 – переобучение персонала;
4 ( 5 – сдача в эксплуатацию новой линии.
Граф на рис. 1 позволяет выделить три пути реализации работ и уточнить время их реализации:
( путь (0 ( 1), (1 ( 2), (2 ( 4), (4 ( 5) – 200 дн.;
( путь (0 ( 1), (1 ( 3), (3 ( 4), (4 ( 5) – 180 дн.;
( путь (0 ( 1), (1 ( 4), (4 ( 5) – 80дн.
Критическим путём графика является путь, на котором находятся работы (0 ( 1), (1 ( 2), (2 ( 4), (4 ( 5) продолжительностью
30 + 60 + 90 + 20 = 200 дн.
 "$0246BD
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Срок выполнения работ уменьшился на 360 – 200 = 160 дн.

Задача 3.2

Транспортному предприятию требуется перевезти груз из пункта 1 в пункт 14. На рис. 3 представлен граф, имитирующий сеть дорог и показывающий стоимость перевозки единицы груза между отдельными пунктами.

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415

Рис. 3 Сеть дорог

Определите маршрут доставки груза, которому соответствуют наименьшие затраты.
Исходные данные для решения задачи представлены в табл. 6. Номер варианта определяется по последней цифре номера зачётной книжки.






Таблица 6
Исходные данные для решения задачи 3.2

Стоимость
перевозки
Вариант


1
2
3
4
5
6
7
8
9
0

a1
20
18
22
15
17
19
23
16
21
24

a2
18
19
21
16
18
21
20
15
19
22

a3
19
17
20
17
16
20
22
17
20
23

a4
11
13
12
14
10
15
20
17
19
18

a5
15
14
11
10
12
13
16
15
16
17

a6
13
15
10
12
13
16
17
16
18
16

a7
12
16
9
11
9
14
19
14
15
19

a8
14
17
13
13
11
18
18
19
17
20

a9
12
18
14
16
15
17
15
18
14
21

a10
24
21
20
18
17
16
19
16
22
23

a11
21
19
20
21
22
18
23
17
18
19

a12
20
22
19
23
18
17
24
16
20
21

a13
22
21
18
22
21
19
20
18
19
18

a14
23
23
21
20
19
16
22
15
21
20

a15
24
18
17
24
20
15
21
19
22
22

a16
20
21
23
19
22
18
20
16
17
21

a17
22
17
19
23
18
17
19
22
20
21

a18
31
32
30
35
37
36
33
36
31
34

a19
32
33
29
31
36
37
34
35
32
33

a20
35
37
32
33
34
38
36
31
36
30

a21
37
36
31
34
36
35
40
37
39
38

a22
45
41
43
42
44
40
46
45
47
45

a23
28
32
30
25
26
28
33
31
29
27

a24
30
31
32
24
25
29
32
33
30
29



Пример решения
Определите маршрут доставки груза, которому соответствуют наименьшие затраты по графу на рис. 3.
Задача состоит в нахождении связанных между собой дорог на транспортной сети, которые в совокупности имеют минимальную длину от исходного пункта до пункта назначения.

Введем обозначения:
dij – расстояние на сети между смежными узлами i и j;
Uj – кратчайшее расстояние между узлами i и j, U1 = 0. Значение Uj рассчитывается по зависимости





13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415{Ui + dij}.

Из формулы следует, что кратчайшее расстояние Uj до узла j можно вычислить лишь после того, как определено кратчайшее расстояние до каждого предыдущего узла i, соединённого дугой с узлом j. Процедура завершается, когда получено Ui последнего звена.
Определим кратчайшее расстояние между узлами 1 и 7 графа, представленного на рис. 4.

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
Рис. 4 Сеть дорог транспортной сети

Находим минимальные расстояния:
U1 = 0;
U2 = U1 + d12 = 0 + 2 = 2;
U3 = U1 + d13 = 0 + 4 = 4;
U4 = min{U1 + d14; U2 + d24; U3 + d34} =
= min{0 + 10; 2 + 11; 4 + 3} = 7;
U5 = min{U2 + d25; U4 + d45} = min{2 + 5; 7 + 8} = 7;
U6 = min{ U3 + d36; U4 + d46} = min{4 + 1; 7 + 7} = 5,
U7 = min{ U5 + d57; U6 + d67} = min{7 + 6; 5 + 9} = 13.
Минимальное расстояние между узлами 1 и 7 равно 13, а соответствующий маршрут: 1 ( 2 ( 5 ( 7.


ЗАДАНИЕ 4
Системы массового обслуживания

Часто приходится сталкиваться с ситуациями возникновения очередей покупателей в кассах магазинов; колонн автомобилей, остановленных светофором; рядов станков, вышедших из строя и ожидающих ремонта, и т. д. Все эти ситуации объединяет то обстоятельство, что системам необходимо пребывать в состоянии ожидания. Ожидание является следствием вероятностного характера возникновения потребностей в обслуживании и разброса показателей обслуживающих систем, которые называют системами массового обслуживания (СМО). Цель изучения СМО состоит в том, чтобы взять под контроль некоторые характеристики системы, установить зависимость между числом обслуживаемых единиц и качеством обслуживания. Качество обслуживания тем выше, чем больше число обслуживающих единиц. Но иметь лишние обслуживающие единицы экономически невыгодно.
В промышленности СМО применяются при поступлении сырья, материалов, комплектующих изделий на склад и выдаче их со склада; обработке широкой номенклатуры деталей на одном и том же оборудовании; организации наладки и ремонта оборудования; определении оптимальной численности обслуживающих отделов и служб предприятий и т. д.
Основными элементами СМО являются источники заявок, их входящий поток, каналы обслуживания и выходящий поток.
В зависимости от характера формирования очереди СМО различают:
1) системы с отказами, в которых при занятости всех каналов обслуживания заявка не встает в очередь и покидает систему необслуженной;
2) системы с неограниченными ожиданиями, в которых заявка встает в очередь, если в момент её поступления все каналы были заняты.
Существуют и системы смешанного типа с ожиданием и ограниченной длиной очереди: заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все места в очереди заняты. Заявка, попавшая в очередь, обслуживается обязательно.
По числу каналов обслуживания СМО делятся на однока-нальные и многоканальные.
В зависимости от расположения источника требований системы могут быть разомкнутыми (источник заявок находится вне системы) и замкнутыми (источник находится в самой системе).
Рассмотрим в отдельности элементы СМО.
Входящий поток: на практике наиболее распространенным является простейший поток заявок, обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия.
Стационарность характеризуется тем, что вероятность поступления определенного количества требований (заявок) в течение некоторого промежутка времени зависит только от длины этого промежутка.
Ординарность потока определяется невозможностью одновременного появления двух или более заявок.
Отсутствие последействия характеризуется тем, что поступление заявки не зависит от того, когда и сколько заявок поступило до этого момента. В этом случае вероятность того, что число заявок, поступивших на обслуживание за промежуток времени t, равно k, определяется по закону Пуассона
13 EMBED Equation.3 1415,
где ( – интенсивность потока заявок, то есть среднее число заявок в единицу времени:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – среднее значение интервала времени между двумя соседними заявками.
Для такого потока заявок время между двумя соседними заявками распределено экспоненциально с плотностью вероятности
f(t) = (e–(t.
Случайное время ожидания в очереди начала обслуживания считают распределенным экспоненциально:
f(t) = (e–(t,
где ( – интенсивность движения очереди, то есть среднее число заявок, приходящих на обслуживание в единицу времени:
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – среднее значение времени ожидания в очереди.
Выходящий поток заявок связан с потоком обслуживания в канале, где длительность обслуживания 13 EMBED Equation.3 1415 является случайной величиной и часто подчиняется показательному закону распределения с плотностью
f(tобс) = (e–(t,
где ( – интенсивность потока обслуживания, то есть среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – среднее время обслуживания.
Важной характеристикой СМО, объединяющей ( и (, является интенсивность нагрузки
13 EMBED Equation.3 1415.
Рассмотрим n-канальные разомкнутые СМО.

СМО с отказами
Заявка, поступившая в систему с отказами и нашедшая все каналы занятыми, получает отказ и покидает систему необслуженной. Показателем качества обслуживания выступает вероятность получения отказа. Предполагается, что все каналы доступны в равной степени всем заявкам, входящий поток является простейшим, длительность (время) обслуживания одной заявки (tобс) распределена по показательному закону.
Для расчёта установившегося режима работы СМО с отказами используют следующие зависимости:
1. Вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок (k = 0)
13 EMBED Equation.3 1415.
2. Вероятность отказа в обслуживании, когда поступившая на обслуживание заявка найдет все каналы занятыми (k = n)
Ротк = Рn = 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Вероятность обслуживания
Робс = 1 – Ротк.
4. Среднее число занятых обслуживанием каналов
13 EMBED Equation.3 1415 = (Робс.
5. Доля каналов, занятых обслуживанием
13 EMBED Equation.3 1415.
6. Абсолютная пропускная способность СМО
А = ( Робс.

СМО с неограниченным ожиданием
Заявка, поступившая в систему с неограниченным ожиданием и нашедшая все каналы занятыми, становится в очередь, ожидая освобождения одного из каналов.
Основной характеристикой качества обслуживания является время ожидания (время пребывания заявки в очереди).
Для таких систем характерно отсутствие отказа в обслуживании, то есть Ротк = 0 и Робс = 1.
Для систем с ожиданием существует дисциплина очереди:
1) обслуживание в порядке очереди по принципу "первым пришел – первым обслужен";
2) случайное неорганизованное обслуживание по принципу "последний пришел – первым обслужен";
3) обслуживание с приоритетами по принципу "генералы и полковники вне очереди".
Для расчёта установившегося режима работы СМО с неограниченным ожиданием используют следующие зависимости.
1. Вероятность простоя каналов, когда нет заявок (k = 0)
13 EMBED Equation.3 1415.
Предполагается, что (/n < 1.
2. Вероятность занятости обслуживанием k заявок
13 EMBED Equation.3 1415, 1 ( k ( n.
3. Вероятность занятости обслуживанием всех каналов
13 EMBED Equation.3 1415
4. Вероятность того, что заявка окажется в очереди
13 EMBED Equation.3 1415.
5. Среднее число заявок в очереди:
13 EMBED Equation.3 1415.
6. Среднее время ожидания заявки в очереди
13 EMBED Equation.3 1415.
7. Среднее время пребывания заявки в СМО
13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415.
8. Среднее число занятых обслуживанием каналов
13 EMBED Equation.3 1415 = (.
9. Среднее число свободных каналов
13 EMBED Equation.3 1415 = n – 13 EMBED Equation.3 1415.
10. Коэффициент занятости каналов обслуживания:
13 EMBED Equation.3 1415.
11. Среднее число заявок в СМО:
13 EMBED Equation.3 1415

Задача 4.1

Контроль готовой продукции фирмы осуществляют А контролёров. Если изделие поступает на контроль, когда все контролеры заняты проверкой готовых изделий, то оно остаётся непроверенным. Среднее число изделий, выпускаемых фирмой, составляет В изд./ч. Среднее время на проверку одного изделия – С мин.
Определить вероятность того, что изделие пройдет проверку, насколько загружены контролеры и сколько их необходимо поставить, чтобы обеспечивалось условие Робс ( D.
Исходные данные для решения задачи представлены в табл. 7. Номер варианта определяется по последней цифре номера зачётной книжки.



Таблица 7
Исходные данные для решения задачи 4.1

Значения
переменных
Вариант


1
2
3
4
5
6
7
8
9
0

А
3
4
5
6
3
5
4
2
3
5

В
20
22
25
30
18
28
24
14
16
26

С
7
6
5
8
6
4
3
5
6
7

D
0,97
0,98
0,96
0,97
0,98
0,96
0,98
0,97
0,96
0,98


Задача 4.2

Приходная касса городского района с временем работы А часов в день проводит приём от населения коммунальных услуг и различных платежей в среднем от В человек в день.
В приходной кассе работают С операторов-кассиров. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента составляет D мин.
Определить характеристики работы приходной кассы как объекта СМО.
Исходные данные для решения задачи представлены в табл. 8. Номер варианта определяется по последней цифре номера зачётной книжки.
Таблица 8
Исходные данные для решения задачи 3.2

Значения
переменных
Вариант


1
2
3
4
5
6
7
8
9
0

А
11
10
10
9
8
9
8
11
7
7

В
220
220
300
300
280
270
240
300
200
240

С
2
2
3
3
4
4
3
3
2
4

D
4
3
4
3
4
3
5
5
2
5




ЗАДАНИЕ 5
Принятие решений при управлении на основе теории игр

В экономике иногда приходится сталкиваться с ситуацией, когда при наличии многих участников эффективность решения одного из них зависит от того, какие решения приняли другие участники. Например, доход предприятия от продажи изделия зависит не только от установленной на него цены, но и от количества купленных покупателем изделий. Или при выборе ассортимента товаров, выпускаемых предприятием, нужно учитывать, какой ассортимент товаров выпускают другие предприятия.
Все ситуации, когда эффективность действия одного из участников зависит от действий других, можно разбить на два типа: интересы участников совпадают, и они могут договориться о совместных действиях; интересы участников не совпадают. В этом случае может оказаться невыгодным сообщать другим участникам свои решения, так как кто-нибудь из них сможет воспользоваться знанием чужих решений и получит больший выигрыш за счет других участников. Ситуации такого типа называются конфликтными. Построением математических моделей конфликтных ситуаций и разработкой методов решения возникающих в этих ситуациях задач занимается теория игр.
В игре могут сталкиваться интересы двух или нескольких противников, поэтому игры разделяются на парные и множественные. Если во множественной игре интересы игроков совпадают, то они могут объединяться, создавая коалиции. Такие игры называются коалиционными.
Задачей теории игр является выработка рекомендаций для игроков, то есть определение для них оптимальной стратегии. Стратегией игрока называется система правил, однозначно определяющих поведение игрока на каждом ходе в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры. Оптимальной называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным или бесконечным, в зависимости от этого игры подразделяются на конечные и бесконечные.


Игры с "природой"
В некоторых задачах, приводящихся к игровым, имеется неопределённость, вызванная отсутствием информации об условиях, в которых осуществляется действие (покупательский спрос, погода и т. д.). Эти условия зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективной действительности. Такие игры называются играми с "природой". Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, второй игрок (покупательский спрос, природа) действует случайно.
Условия игры задаются матрицей
(aij)m(n.
Существует ряд критериев, которые используются при выборе оптимальной стратегии.
1. Критерий Вальде рекомендуется применять при максиминной стратегии. Она достигается из условия
max (min aij)
и совпадает с нижней ценой игры. Критерий является пессимистическим, считается, что природа будет действовать наихудшим для человека образом.
2. Критерий максимума выбирается из условия
max (max aij).
Критерий является оптимистическим, считается, что природа будет наиболее благоприятна для человека.
3. Критерий Гурвица рекомендует стратегию, определяемую по формуле
max{( min aij + (1 – () max aij},
где ( – степень оптимизма, изменяющаяся в диапазоне [0, 1].
Критерий придерживается некоторой промежуточной позиции, учитывающей возможность как наихудшего, так и наилучшего для человека поведения природы. При ( = 1 критерий превращается в критерий Вальде, при ( = 0 – в критерий максимума. На ( оказывает влияние степень ответственности лица, принимающего решение по выбору стратегии. Чем хуже последствия ошибочных решений, больше желания застраховаться, тем ( ближе к единице.
4. Критерий Сэвиджа. Суть критерия состоит в выборе такой стратегии, чтобы не допустить чрезмерно высоких потерь, к которым она может привести. Находится матрица рисков, элементы которой показывают, какой убыток понесет человек (фирма), если для каждого состояния природы он не выберет наилучшей стратегии.
Элемент матрицы рисков (rij) находится по формуле
rij = max (aij – aij),
где max aij – максимальный элемент в столбце исходной матрицы.
Оптимальная стратегия находится из выражения
min{max(max aij – aij)}.

Задача 5.1
Фирма производит пользующиеся спросом детские платья и костюмы, реализация которых зависит от состояния погоды. Затраты фирмы в течение апреля-мая на единицу продукции составят: платья – А ден. ед., костюмы – В ден. ед. Цена реализации составит С ден. ед. и D ден. ед. соответственно.
По данным наблюдений за несколько предыдущих лет фирма может реализовать в условиях тёплой погоды Е шт. платьев и К шт. костюмов, при прохладной погоде – М шт. платьев и N шт. костюмов.
В связи с возможными изменениями погоды определить стратегию фирмы в выпуске продукции, обеспечивающую ей максимальный доход.
Задачу решить графическим методом и с использованием критериев игр с природой, приняв степень оптимизма (, указанную в табл. 9.
Номер варианта определяется по последней цифре номера зачётной книжки.
Таблица 9
Исходные данные для решения задачи 5.1

Значения
переменных
Вариант


1
2
3
4
5
6
7
8
9
0

А
5
10
7
12
45
9
11
13
6
8

В
25
35
28
40
42
32
38
41
26
30

С
10
18
12
22
28
15
20
24
24
11

D
40
80
55
95
115
70
85
105
5
60

E
1220
1370
1340
1430
1460
1310
1390
1510
1480
1550

K
550
530
490
510
570
560
580
605
590
600

M
410
450
430
460
470
440
465
475
480
490

N
930
970
950
920
980
990
960
910
940
880

(
0,4
0,6
0,3
0,7
0,5
0,4
0,3
0,7
0,6
0,5

Пример решения
Определить производственную программу предприятия в условиях риска и неопределённости для фирмы-производителя медикаментов и биомедицинских изделий в регионе. Известно, на летний период приходится пик спроса на лекарственные препараты сердечно-сосудистой группы и анальгетики, на осенний и весенний периоды – на препараты антиинфекционной группы.
Затраты на 1 усл. ед. продукции за сентябрь-октябрь составили: по первой группе (препараты сердечно-сосудистые и анальгетики) – 20 р.; по второй группе (антиинфекционные препараты) – 15 р.
Маркетинговые исследования позволили установить, что фирма может реализовать в течение этих месяцев в условиях теплой погоды 3050 усл. ед. продукции первой группы и 1100 усл. ед. продукции второй группы; в условиях холодной погоды – 1525 усл. ед. продукции первой группы и 3690 усл. ед. второй группы.
В связи с возможными изменениями погоды ставится задача – определить стратегию фирмы в выпуске продукции, обеспечивающую максимальный доход от реализации при цене продажи 40 р. за 1 усл. ед. продукции первой группы и 30 р. – второй группы.

Решение

Устанавливается две стратегии:
А1 – в этом году будет теплая погода;
А2 – погода будет холодная.
Если фирма примет стратегию А1 и в действительности будет теплая погода (стратегия природы B1), то выпущенная продукция (3050 усл. ед. препаратов первой группы и 1100 усл. ед. второй группы) будет полностью реализована и доход составит
3050 ( (40 – 20) +1100 ( (30 – 15) = 77 500 р.
В условиях холодной погоды (стратегия природы В2) препараты второй группы будут проданы полностью, а первой группы только в количестве 1525 усл. ед. и часть препаратов останется нереализованной. Доход составит
1525 ( (40 – 20) + 1100 ( (30 – 15) – 20 ( (3050 – 1525) = 16500 р.
Аналогично, если фирма примет стратегию А2 и в действительности будет холодная погода, то доход составит
1525 ( (40 – 20) + 3690 ( (30 – 15) = 85 850 р.
При теплой погоде доход составит
1525 ( (40 – 20) + 1100 ( (30 – 15) – (3690 – 1100) ( 15 = 8150 р.
Рассматривая фирму и погоду в качестве двух игроков, получим платежную матрицу
В1 В2
А1 77 500 16 500
А2 8 150 85 850

( = max(16 500, 8150) = 16 500 р.,
( = min(77 500, 85 850) = 77 500 р.
Цена игры лежит в диапазоне 16 500 р. ( ( ( 77 500 р.
Из платежной матрицы (1) видно, что при всех условиях доход фирмы будет не меньше 16 500 р., но если погодные условия совпадут с выбранной стратегией, то доход фирмы может составить 77 500 р.
Найдём решение игры графическим методом (2 ( n).
Для этого обозначаем вероятность применения фирмой стратегии А1 через x1, стратегии А2 – через х2, причём x2 = 1 – х1.
Ожидаемые выигрыши рассчитываются по платёжной матрице (1), в которой доходы обозначаются как коэффициенты aij.


2 игрок – "Природа"


В1
В2

1 игрок
(производитель
А1
x1
a11
a12


А2
x2 = 1 – х1
a21
a22


При этом ожидаемые выигрыши первого игрока (производителя) в зависимости от стратегии второго игрока (состояния "Природы") рассчитываются по зависимостям:
( для 1-й стратегии – (a11 – a12)х1 + a21;
( для 2-й стратегии – (a12 – a22)х1 + a22.
Следовательно для платёжной матрицы (1)
Стратегии
2-го игрока
Ожидаемые выигрыши 1-го игрока

1
(77 500 – 8 150) ( x1 + 8 150 = 69 350 ( x1 + 8 150

2
(16 500 – 85 850) ( x1 + 85 850 = –69 350 ( x1 + 85 850

Для графического поиска оптимального значения 13 EMBED Equation.3 1415 через точки x1 = 0 и x1 = 1 на оси X1 проводятся перпендикулярные линии (рис. 5). Подставляя значения x1 = 0 и x1 = 1 выражения ожидаемых выигрышей 1-го игрока, находят значения, которые откладывают на соответствующих перпендикулярах, и соответствующие точки соединяют прямыми.
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
Рис. 5 Графический поиск оптимального значения 13 EMBED Equation.3 1415

Оптимальная стратегия первого игрока определяется из равенства выражений (69 350 ( x1 + 8 150) и (–69 350 ( x1 + 85 850).
x1 = 0,56; x2 = 0,44.
Цена игры определяется из выражения
( = 69 350 ( x1 + 8 150 = 46 986 р.
Оптимальный план производства лекарственных препаратов составит
0,56 ( (3050; 1100) + 0,44 ( (1525; 3690) = (2379; 2239,6).
Таким образом, фирме целесообразно производить в течение сентября и октября 2379 усл. ед. препаратов первой группы и 2239,6 усл. ед. препаратов второй группы, тогда при любой погоде она получит доход не менее 46 986 р.

В условиях неопределённости, если не представляется возможным фирме использовать смешанную стратегию (договоры с другими организациями), для определения оптимальной стратегии фирмы используем критерии природы и платежную матрицу (1).
1. Критерий Вальде
max (min aij) = max (16 500, 8 150) = 16 500 р.
Фирме целесообразно использовать стратегию А1.
2. Критерий максимума
max (max aij) = max (77 500, 85 850) = 85 850 р.
Фирме целесообразно использовать стратегию А2.
3. Критерий Гурвица
Для определённости примем критерий оптимизма ( = 0,4, тогда для стратегии фирмы А1.
( min aij + (1 – () max aij = 0,4 ( 16500 + (1 – 0,4) ( 77500 = 53100 р.;
для стратегии А2
( min aij + (1 – () max aij = 0,4 ( 8150 + (1 – 0,4) ( 85850 = 54770 p.,
max(53 100, 54 770) = 54 770 p.
Фирме целесообразно использовать стратегию А2.
4. Критерий Сэвиджа.
Максимальный элемент в первом столбце платёжной матрицы (1) – 77 500, во втором столбце – 85 850.
Элементы матрицы рисков находятся из выражения
rij = max (aij – aij),
откуда
r11 = 77 500 – 77 500 = 0; r 12 = 85 850 – 16 500 = 69 350;
r21 = 77 500 – 8 150 = 69 350; r22 = 85 850 – 85 850 = 0.
Матрица рисков имеет вид
0 69350
69350 0
min{max(max aij – aij)} = min(69 350, 69 350) = 69 350 p.
Итак, можно использовать любую стратегию А1 или А2.
Каждый из рассмотренных критериев не может быть признан вполне удовлетворительным для окончательного выбора решений, однако их совместный анализ позволяет наглядно представить последствия принятия тех или иных управленческих решений.
При известном распределении вероятностей различных состояний природы критерием принятия решения является максимум математического ожидания выигрыша.

"Дерево" решений
На практике результат одного решения приводит к необходимости принятия следующего решения и т. д. Эту последовательность принятия решений нельзя выразить таблицей доходов, поэтому приходится использовать другой алгоритм принятия управленческих решений.
Графически подобные процессы могут быть представлены с помощью "дерева" решений. Такое представление облегчает описание многоэтапного процесса принятия управленческого решения в целом.
Рассмотрим "дерево" решений, которое применяют тогда, когда нужно принять несколько взаимосвязанных решений в условиях неопределённости в случае принятия решения, зависящего от исхода предыдущего или исходов испытаний.
Составляя дерево решений, рисуют "ствол" и "ветви", отображающие структуру проблемы. "Дерево" решений располагают слева направо. "Ветви" обозначают возможные альтернативные решения, которые могут быть приняты, и возможные исходы, возникающие в результате этих решений.
Квадратные "узлы" на дереве решений обозначают места, в которых принимаются решения, круглые "узлы" – места исходов. Так как не представляется возможным влиять на появление исходов, то в круглых узлах вычисляют вероятности их появления. Когда все решения и их исходы указаны, оценивается каждый из вариантов и проставляются денежные доходы. Все расходы, вызванные решениями, проставляются на соответствующих "ветвях".


Задача 5.2

Решить задачу с использованием "дерева" решений.
Фирма планирует построить среднее или малое предприятие по производству пользующейся спросом продукции. Решение о строительстве определяется будущим спросом на продукцию, которую предполагается выпускать на планируемом предприятии.
Строительство среднего предприятия экономически оправдано при высоком спросе, но можно построить малое предприятие и через 2 года его расширить.
Фирма рассматривает данную задачу на десятилетний период. Анализ рыночной ситуации, проведенный службой маркетинга, показывает, что вероятности высокого и низкого уровней спроса составляют А и В соответственно.
Строительство среднего предприятия составит С млн р., малого – D млн р. Затраты на расширение малого предприятия оцениваются в Е млн р.
Ожидаемые ежегодные доходы для каждой из возможных альтернатив:
( среднее предприятие при высоком (низком) спросе – F (K) млн р.;
( малое предприятие при низком спросе – L млн р.;
( малое предприятие при высоком спросе – М млн р.;
( расширенное предприятие при высоком (низком) спросе дает N (P) млн р.;
( малое предприятие без расширения при высоком спросе в течение первых двух лет и последующем низком спросе дает R млн р. за остальные 8 лет.
Определить оптимальную стратегию фирмы в строительстве предприятий по выпуску продукции.
Исходные данные для решения задачи представлены в табл. 10. Номер варианта определяется по последней цифре номера зачётной книжки.
Таблица 10
Исходные данные для решения задачи 5.2

Значения
переменных
Вариант


1
2
3
4
5
6
7
8
9
0

А
0,7
0,8
0,75
0,6
0,65
0,7
0,8
0,75
0,6
0,65

В
0,3
0,2
0,25
0,4
0,35
0,3
0,2
0,25
0,4
0,35

С
10
9
8
7
6
8,5
7,5
9,5
6,5
7,5

D
3
2,5
2
1,5
1
2,8
1,7
2,6
1,2
1,8

E
6
5
4
3
2
4,6
3,8
5,2
2,3
3,4

F
2
1,8
1,6
1,4
1,2
1,7
1,5
1,9
1,3
1,4

K
0,5
0,45
0,4
0,3
0,2
0,4
0,35
0,5
0,25
0,38

L
0,4
0,35
0,3
0,2
0,15
0,32
0,22
0,36
0,15
0,25

M
0,5
04
0,3
0,25
0,2
0,33
0,28
0,45
0,25
0,27

N
1,8
1,7
1,6
1,5
1,3
1,65
1,55
1,75
1,4
1,6

P
0,4
0,3
0,25
0,2
0,15
0,26
0,22
0,35
0,18
0,24

R
0,4
0,35
0,28
0,18
0,1
0,32
0,21
0,37
0,15
0,2



Пример решения

Например, требуется принять решение о замене старого оборудования на новое того же вида или его ремонте. Отремонтированное оборудование впоследствии можно частично заменить на новое, более современное, или отремонтировать его заново.
Решение определяется будущим спросом на продукцию, которую производят на этом оборудовании.
Полная замена оборудования экономически оправдана при высоком уровне спроса. С другой стороны, можно отремонтировать старое оборудование и через один год, например, заменить его на новое, более совершенное, или заново его отремонтировать.
В данной задаче процесс принятия решения состоит из двух этапов: решение в настоящий момент времени о замене или ремонте оборудования и решение, принимаемое через один год, относительно частичной его замены и ремонта.
Предполагается, что спрос может оказаться высоким, средним и низким.
Дерево решений имеет два типа вершин: "решающие" и "случайные" (рис. 6).
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415

Рис. 6 Дерево решений

Начиная с "решающей" вершины 1 необходимо принять решение о полной замене оборудования или его ремонте.
Вершины 2 и 3 являются "случайными". Фирма будет рассматривать возможность установления более совершенного оборудования или повторного ремонта старого в том случае, если спрос по истечении одного года установится на высоком уровне. Поэтому в вершине 4 принимается решение о частичной замене старого оборудования более совершенным или ремонте старого. Вершины 5 и 6 "случайные".
Допускается, что фирма рассматривает эту задачу на пятилетний период. Анализ рыночной ситуации показывает, что вероятности высокого, среднего и низкого уровней спроса составляют соответственно 0,6, 0,3 и 0,1. Замена новым оборудованием того же вида, что и старое, обойдется в 2,5 млн р., а ремонт старого – в 0,8 млн р.
Затраты на частичную замену оборудования более совершенным оцениваются в 1,5 млн р., а повторный ремонт старого – в 0,8 млн р.
Ежегодные доходы для каждой стратегии фирмы следующие.
1. Замена старого оборудования на новое того же вида при высоком, среднем и низком уровнях спроса даёт соответственно 0,95; 0,7 и 0,45 млн р..
2. Ремонт старого оборудования при высоком, среднем и низком уровнях спроса оценивается соответственно в 0,3; 0,15 и 0,1 млн р..
3. Частичная замена оборудования на более совершенное при высоком, среднем и низком уровнях спроса составит соответственно 0,9; 0,6 и 0,4 млн р.
4. Повторный ремонт старого оборудования при высоком, среднем и низком уровнях спроса предполагает 0,3; 0,2 и 0,1 млн р. соответственно.
Определим оптимальную стратегию фирмы в замене оборудования.

Решение

Оценим результаты каждой стратегии и определим, какие решения следует принимать в "решающих" вершинах 1 и 4.
Вычисления начнем с этапа 2. Для последних 4 лет альтернативы, относящиеся к вершине 4, оцениваются так:
ДЧЗ = (0,9 ( 0,6 + 0,6 ( 0,3 + 0,4 ( 0,1) ( 4 – 1,5 = 1,54 млн р.,
ДДР = (0,3 ( 0,6 + 0,2 ( 0,3 + 0,1 ( 0,1) ( 4 – 0,8 = 0,2 млн р.,
где ДЧЗ – доход от частичной замены оборудования на более совершенное, ДДР – доход от замены оборудования, прошедшего дважды ремонт.
Так как ДЧЗ > ДДР, то в вершине 4 выгоднее произвести частичную замену оборудования на более совершенное, при этом доход составит 1,54 млн р.
Для дальнейших расчетов в вершине 4 можно оставить одну ветвь, которой соответствует доход в 1,54 млн р. за 4 года.
Вычислим доходы на 1-м этапе для "решающей" вершины 1:
ДЗН = (0,95 ( 0,6 + 0,7 ( 0,3 + 0,45 ( 0,1) ( 5 – 2,5 = 1,625 млн р.,
ДЗО = 0,3 ( 0,6 ( 1 + 0,15 ( 0,3 ( 5 + 0,1 ( 0,1 ( 5 +
+ 1,54 – 0,8 = 1,195 млн р.,
где ДЗН – доход от замены старого оборудования на новое того же вида, ДЗО доход от отремонтированного оборудования и дальнейшей замены на более совершенное.
Так как ДЗН > ДЗО, то оптимальным решением в вершине 1 является полная замена старого оборудования на новое того же вида.
Итак, оптимальной стратегией фирмы в замене оборудования является полная замена старого оборудования на новое того же вида, при этом доход составит 1,625 млн р.
















Методы принятия управленческих решений: методические указания к изучению дисциплины для студентов заочной формы обучения направления 080200 – "Менеджмент". – Брянск: БГТУ, 2013. – 44 с.







Нагоркина Виктория Владимировна
Логвинов Константин Владимирович











Научный редактор Д. В. Ерохин
Редактор издательства Л. И. Афонина
Компьютерный набор В. В. Нагоркина




Темплан 2013 г., п. 54
Подписано в печать 10.13. Формат 60(84. 1/16. Бумага офсетная. Офсетная печать. Усл. печ. л. 2,55. Уч.-изд. л. 2,55. Тираж 50 экз. Заказ Бесплатно
Брянский государственный технический университет.
241035, Брянск, бульвар 50-летия Октября, 7, БГТУ. 58-82-49.
Лаборатория оперативной полиграфии БГТУ, ул. Институтская, 16.








13PAGE 15


13PAGE 144415

















(1)

Кратчайшее расстояние до
предыдущего узла i плюс
расстояние между текущим
узлом j и предыдущим узлом i



Root Entry 
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
· !
·
·
·
·
·&'()
·
·
·
·
·./01
·
·
·
·
·6789
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Ь Х TIMES NEW ROMAN
Times New Roman 
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·
·
·
·ч
·
·
·S PG
·
·
·
·
·
·
·
·
·{
·
·
·
·
·я
·
·
·
·
·Ё
·
·
·
·a Ne
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·S Fa
·
·
·
·
·
·
·
·р
·
·
·
·o 9
·
·
·
·
·
·
·
·ow
·
·rm
·р
·
·
·
·Vi
·
·o
·
·o 0
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 1
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 1
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 2
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o
·
·o 5
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 5
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 7
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Fl
·
·
·
·ark
·
·ow G
·
·
·
·TIMES NEW ROMAN
Times New Roman 
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·
·
·
·ч
·
·
·o 0
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 0
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o
·
·o 1
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 2
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 2
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 5
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 5
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 8
·
·
·
·
·
·
·
·ow M
·
·
·
·
·
·
·
·Fl
·
·
·
·ra
·рTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w Roman 
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·
·
·
·ч
·
·
·S PG
·
·
·
·
·
·
·
·
·{
·
·
·
·
·я
·
·
·
·
·Ё
·
·
·
·a Ne
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·S Fa
·
·
·
·
·
·
·
·р
·
·
·
·o 9
·
·
·
·
·
·
·
·ow
·
·rm
·р
·
·
·
·Vi
·
·o
·
·o 0
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 1
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 1
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 2
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o
·
·o 5
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 5
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 7
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Fl
·
·
·
·ark
·
·ow G
·
·
·
·Equation NativeEquation NativeTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New Roman 
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·
·
·
·ч
·
·
·o 0
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 0
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o
·
·o 1
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 2
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 2
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 5
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 5
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Vi
·
·o 8
·
·
·
·
·
·
·
·ow M
·
·
·
·
·
·
·
·Fl
·
·
·
·ra
·рEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 8969864
    Размер файла: 830 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий