Вопросы к экзамену по геометрии МПР 111


Вопросы к экзамену по геометрии МПР 111
А) Контрольные работы 3 семестр:
Вариант 1.
Напишите уравнение касательной плоскости и нормали в точке М(1, 3, 4) поверхности x = u, y = u2 – 2uv, z = u3 – 3u2v.
Найдите угол между линиями 1: u = v + и 2: u = на сфере
x = R cos u cos v; y = R cos u sin v; z = R sin u.
Найдите периметр треугольника 1: u = v, 2: u = 3 – v, 3: v = 4 на поверхности x = R cos v; y = R sin v; z = u.
Найдите площадь треугольника 1: u = v + 1, 2: u = – v, 3: v = 3 на поверхности x = R cos v; y = R sin v; z = u.
Вариант 2.
На поверхности x = u cos v; y = u sin v; z = u дана линия : u = 2. Написать уравнение касательной прямой к линии в точке М(u = 2, v = /4) поверхности.
Найдите угол между линиями 1: u = 1 и 2: u = /2 на поверхности x = u + cos v; y = u – sin v; z = a u, для a = const.
Вычислите длину дуги кривой : u = – v, заключенной между точками пересечения с линиями 1: u = 1 и 2: u = 2 на поверхности x = u2 + v2, y = u2 – v2, z = uv.
Найдите площадь четырехугольника 1: u = 0, 2: v = /4, 3: v = 0 и 4: v = 1 на сфере x = R cos u cos v; y = R cos u sin v; z = R sin u.
Вариант 3.
Напишите уравнение касательной плоскости и нормали в точке М(1, 3, 4) поверхности x = u, y = u2 – 2uv, z = u3 – 3u2v.
Найдите угол между линиями 1: u = v + и 2: u = на сфере x = R cos u cos v; y = R cos u sin v; z = R sin u.
Найдите периметр треугольника 1: u = v, 2: u = 3 – v, 3: v = 4 на поверхности x = R cos v; y = R sin v; z = u.
Найдите площадь треугольника 1: u = v + 1, 2: u = – v, 3: v = 3 на поверхности x = R cos v; y = R sin v; z = u.
Б) Экзаменационные вопросы по дисциплине:
Понятие линии. Гладкие линии. Касательная к линии.
Длина дуги линии. Репер Френе,
Кривизна и кручение линии.
Понятие поверхности. Гладкие поверхности.
Касательная плоскость и нормаль поверхности.
Первая квадратичная форма поверхности.
Вопросы геометрии поверхности связанные с первой квадратичной формой.
Вторая квадратичная форма поверхности.
Гауссова кривизна поверхности.
Геодезическая кривизна кривой на поверхности.
Геодезические линии. Дефект геодезического треугольника.
Топологическое пространство. Отделимость.
Компактность.
Связность
Непрерывное отображение. Гомеоморфизм.
Топологическое многообразие.
Клеточное разложение и эйлерова характеристика многообразия.
Теорема Эйлера о многогранниках
Классификация двумерных компактных многообразий.
В)Вопросы для контроля самостоятельной работы по дисциплине:
Варианты заданий для самостоятельной работы студентов за 3 семестр:
Вариант 1.
Углом между кривыми 1 и 2 в их общей точке называется любой из углов между касательными к этим кривым в этой точке. Докажите, что линии 1: y2 = 2ax + a2 и 2: y2 = – 2bx + b2 пересекаются под прямым углом.
Вычислите длину дуги кривой x = , заключенной между двумя ее точками пересечения с осью ординат.
На линии : x = 2 t –1, y = ln t, z = – t2 найти точки, в которых бинормаль будет параллельной плоскости П: x – y + 8z + 2 = 0.
Найдите угол между линиями 1: u = v + и 2: u = на сфере
x = R cos u cos v; y = R cos u sin v; z = R sin u.
Напишите уравнение касательной плоскости и нормали в точке
М(1, 3, 4) поверхности x = u, y = u2 – 2uv, z = u3 – 3u2v.
Вариант 2.
В какой точке касательная к параболе : y = x2 – 6x + 5 перпендикулярна прямой l: x – 2y + 8 = 0?
Перейти к параметризации длиной дуги в уравнениях кривой
: x = cos3t, y = sin3t, z = cos2t.
Докажите, что векторы репера Френе кривой : x = t, y = t2,
z = t3 в точке О(0, 0, 0) совпадают с векторами координатных осей.
Найдите периметр треугольника 1: u = v, 2: u = 3 – v, 3: v = 4 на геликоиде x = R cos v; y = R sin v; z = u.
На поверхности x = u cos v; y = u sin v; z = u дана линия : u = 2. Написать уравнение касательной прямой к линии в точке М(u = 2, v = /4) поверхности.
Вариант 3.
Углом между кривыми 1 и 2 в их общей точке называется любой из углов между касательными к этим кривым в этой точке. Докажите, что следующие кривые пересекаются под прямым углом 1: y = x – x2, 2: y = x2 – x.
Перейти к параметризации длиной дуги в уравнениях циклоиды : x = a(t – sin t) + b, y = a(1 – cos t).
Найдите векторы репера Френе кривой : x = t sin t, y = t cos t, z = t et в начале координат О(0, 0, 0).
Вычислите длину дуги кривой : u = – v, заключенной между точками пересечения с линиями 1: u = 1 и 2: u = 2 на поверхности x = u2 + v2, y = u2 – v2, z = uv.
Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к тору x = (7 + 5 cos u) cos v, y = (7 + 5 cos u) sin v, z = 5 sin u в точке М, где cos u = 3/5, cos v = 4/5.

Приложенные файлы

  • docx 8981527
    Размер файла: 25 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий