лекции смо и мпр

Введение
Сложный характер рыночной экономики и современный уровень предъявляемых к ней требований стимулируют использование более глубоких методов анализа ее теоретических и практических проблем. В последние десятилетия значительный вес в экономических исследованиях приобрели математические методы. Математическое моделирование все более и более становится одним из основных и наиболее плодотворных методов изучения экономических процессов и объектов. Математический анализ экономических задач органично превращается в часть экономики. Положительная оценка этого подтверждается и тем, что начиная с 1969 г. Нобелевские премии в области экономики присуждаются, как правило, за экономико-математические исследования.
Одним из важных разделов экономико-математического моделирования является теория массового обслуживания, представляющая собой теоретические основы эффективного конструирования и эксплуатации систем массового обслуживания. Системы массового обслуживания (СМО) встречаются во многих областях экономики (производство, техника, военная область, быт и др.) и предназначены для многократного использования при выполнении однотипных задач.
В борьбу за клиента в современной экономике вкладываются огромные средства. По оценкам западных экономистов, завоевание фирмой нового клиента обходится ей в 6 раз дороже, чем удержание существующих покупателей. А если клиент ушел неудовлетворенным, то на его возвращение приходится потратить в 25 раз больше средств. Во многих случаях неудовлетворенность клиента вызвана неудачной организацией его обслуживания (слишком долгое ожидание в очереди, отказ в обслуживании и т.д.). Использование теории массового обслуживания позволяет фирме избежать подобных неприятностей.
Основоположником теории массового обслуживания считается датский ученый А. К. Эрланг. Являясь сотрудником Копенгагенской телефонной компании, он опубликовал в 1909 году работу «Теория вероятностей и телефонные переговоры», в которой решил ряд задач по теории систем массового обслуживания с отказами.
Значительный вклад в создание и разработку общей теории массового обслуживания внес выдающийся советский математик Александр Яковлевич Хинчин (1984 1959), который предложил сам термин теория массового обслуживания. В зарубежной литературе чаще используется название теория очередей.
1.Предмет, цель и задачи теории массового обслуживания
Во многих областях производства, бытового обслуживания, экономики и финансов важную роль играют системы специального вида, реализующие многократное выполнение однотипных задач. Подобные системы называют системами массового обслуживания (СМО). В качестве примеров СМО в финансово-экономической сфере можно привести системы, представляющие собой банки, страховые организации, налоговые инспекции, аудиторские службы. В сфере производства и обслуживания примерами СМО могут служить: различные системы связи (в том числе телефонные станции), погрузочно-разгрузочные комплексы (порты, товарные станции), автозаправочные станции, магазины, парикмахерские, билетные кассы, пункты обмена валюты, ремонтные мастерские, больницы и т.д. Такие системы как компьютерные сети, системы сбора, хранения и обработки информации, транспортные системы, автоматизированные производственные участки и, в военной области, системы противовоздушной или противоракетной обороны также могут рассматриваться как своеобразные СМО.
Каждая СМО включает в свою структуру некоторое число обслуживающих устройств (единиц, приборов, линий), которые называют каналами обслуживания. Роль каналов могут играть лица, выполняющие те или иные операции (кассиры, операторы, продавцы, парикмахеры и т.д.), линии связи, автомашины, краны, ремонтные бригады, железнодорожные пути, бензоколонки и т.д.
Каждая СМО предназначена для обслуживания (выполнения) некоторого потока заявок (или требований), поступающих на вход системы большей частью не регулярно, а в случайные моменты времени. Обслуживание заявок, в общем случае, также длится не постоянное, заранее известное, а случайное время. После обслуживания заявки канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания приводит к неравномерной загруженности СМО: в некоторые промежутки времени на входе СМО могут скапливаться необслуженные заявки (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО необслуженными), в другие же периоды при свободных каналах на входе СМО заявок не будет, что приводит к недогрузке СМО, т.е. к простаиванию каналов.
Схема СМО изображена на рисунке 1.

Рис. 1.
Таким образом, во всякой СМО можно выделить следующие основные элементы:
1) входящий поток заявок;
2) каналы обслуживания;
3) выходящий поток обслуженных заявок.
Каждая СМО в зависимости от своих параметров: характера потока заявок, числа каналов обслуживания и их производительности, а также от правил организации работы, обладает определенной эффективностью функционирования (пропускной способностью), позволяющей ей более или менее успешно справляться с потоком заявок.
Предметом изучения теории массового обслуживания являются СМО.
Цель теории массового обслуживания – выработка рекомендации по рациональному построению СМО, рациональной организации их работы и регулированию потока заявок для обеспечения высокой эффективности функционирования.
2.Потоки требований
Потоком требований (событий) называется последовательность однородных требований, появляющихся одно за другим в случайные моменты времени. Примеры: поток вызовов на телефонной станции; прибытие поездов на станцию; поток сбоев ЭВМ; поток заявок на проведение регламентных работ в вычислительном центре и т.п.
Потоки требований имеют такие свойства, как стационарность, ординарность и отсутствие последствия.
Свойство стационарности означает, что с течением времени вероятностные характеристики не меняются. Поток можно назвать стационарным, если для любого числа k требований, поступивших за промежуток времени длиной
· t , вероятность поступления требований зависит только от величины промежутка и не зависит от его расположения на оси времени.
Свойство ординарности означает практическую невозможность группового поступления требований. Поэтому поток требований можно назвать ординарным тогда, когда вероятность поступления двух или более требований за любой бесконечно малый промежуток времени
· t есть величина бесконечно малая более высокого порядка, чем
· t .
Свойство отсутствия последствия означает независимость вероятностных характеристик потока от предыдущих событий. Иными словами, вероятность поступления k требований в промежуток13 EMBED Equation.3 1415 зависит от времени поступления и длительности обслуживания требований до момента 13 EMBED Equation.3 1415.
К основным характеристикам случайного потока относят ведущую функцию и интенсивность.
Ведущая функция случайного потока 13 EMBED Equation.3 1415 есть математическое ожидание числа требований в промежутке [0,t). Функция13 EMBED Equation.3 1415- неотрицательная, неубывающая и в практических задачах теории распределения информации непрерывна и принимает только конечные значения.
Интенсивностью 13 EMBED Equation.3 1415потока событий называется среднее число (математическое ожидание числа) событий, приходящееся на единицу времени. Для стационарного потока 13 EMBED Equation.3 1415; для нестационарного потока интенсивность в общем случае зависит от времени: 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415(t).
Потоки требований различают по многим видам, но мы рассмотрим наиболее встречающиеся, а именно простейшие потоки и их модификации, потоки Пальма и потоки Эрланга.
Простейшие потоки. Если поток требований обладает свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последствия, то такой поток называется простейшим (или пуассоновским) потоком требований.
Вероятность поступления k требований за промежуток времени t в пуассоновском потоке определяется из выражения
13 EMBED Equation.3 1415.
Интервал времени Т между двумя соседними событиями простейшего потока имеет показательное распределение
13 EMBED Equation.3 1415(при t>0).
Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение промежутка Т:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Полученное совпадение величин М и 13 EMBED Equation.3 1415 характерно для показательного распределения. Это свойство на практике используют как критерий для первоначальной проверки соответствия гипотезы о показательном распределении полученном по статистическим данным.
Пример. По шоссе мимо наблюдателя движется в одном направлении простейший поток машин. Известно, что вероятность отсутствия машин в течение 5 минут равна 0,5. Требуется найти вероятность того, что за 10 минут мимо наблюдателя пройдёт не более 2-х машин.
Решение. Примем за единицу времени 5 мин. В задаче требуется найти
13 EMBED Equation.3 1415.
Из условия следует 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, в предыдущее равенство подставляем 13 EMBED Equation.3 1415и получим 13 EMBED Equation.3 1415.
Простейший поток с возможной не стационарностью. Простейшим потоком с возможной не стационарностью (нестационарным простейшим потоком) является поток, обладающий свойствами ординарности, отсутствием последствия и имеющий в каждый момент времени t конечное мгновенное значение параметра 13 EMBED Equation.3 1415.
Мгновенная интенсивность нестационарного простейшего потока 13 EMBED Equation.3 1415 определяется как предел отношения среднего числа событий, которые произошли за элементарный интервал времени 13 EMBED Equation.3 1415, к длине13 EMBED Equation.3 1415 этого интервала, когда 13 EMBED Equation.3 1415. Среднее число событий, наступающих в интервале времени13 EMBED Equation.3 1415, следующим непосредственно за моментом 13 EMBED Equation.3 1415, равно 13 EMBED Equation.3 1415. Если поток событий стационарный, то 13 EMBED Equation.3 1415
Тогда вероятность наступления k требований для рассматриваемого вида потока будет
13 EMBED Equation.3 1415.
ПРИМЕР. Рассмотрим простейший поток с параметром, изменяющимся по закону 13 EMBED Equation.3 1415. Параметр является периодическим, его период равен1/3. Найти вероятность отсутствия требований на отрезке [1,5].
Решение. Длина отрезка равна 4. Вычислим среднее число событий, наступающих в начале времени 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
Простейший поток с возможной неординарностью. Простейший поток с возможной неординарностью обладает свойствами стационарности и отсутствием последствия. Требования в таком потоке могут поступать не по одному, а сразу группами (пакетами).В этом случае все требования, приходящие одновременно, объединяются в пакеты, вероятность поступления двух и более числа пакетов за промежуток времени t есть величина, бесконечно малая по отношению к t. Каждый пакет, исходя из определения, содержит хотя бы одно требование.
Вероятность поступления k требований для потока с возможной неординарностью с учётом вероятности 13 EMBED Equation.3 1415нахождения m требований в пакете вычисляется:
13 EMBED Equation.3 1415, при 13 EMBED Equation.3 1415
Простейшие потоки с возможным последствием. Поток, имеющий конечное значение параметра и обладающий свойствами стационарности и ординарности является простейшим потоком с возможным последействием. Условная вероятность поступления некоторого числа требований на заданном промежутке времени t такого потока вычисляется в предположении о предыстории потока
(о поступлении требований до этого промежутка времени) и может отличаться от безусловной вероятности того же события.
Вероятность поступления требований k за данный промежуток времени t для потока с возможным последействием будет выглядеть следующим образом
13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415- функция Пальма-Хинчина.
Функция 13 EMBED Equation.3 1415представляет собой вероятность поступления k требований за время t при условии, что в начальный момент этого промежутка t поступает хотя бы одно (а в силу ординарности потока ровно одно) требование (это начальное требование не входит в число k требований за время t).
Потоки Пальма. Ординарный поток событий называется потоком Пальма (или рекуррентным потоком, или потоком с ограниченным последействием), если интервалы времени 13 EMBED Equation.3 1415между последовательными событиями представляют собой независимые, одинаково распределённые случайные величины.
В связи с одинаковостью распределений 13 EMBED Equation.3 1415 поток Пальма всегда стационарен. Если промежутки времени 13 EMBED Equation.3 1415 распределены по показательному закону, то поток Пальма становится простейшим потоком. Примером потока Пальма может служить движение колонны автомобилей. Пусть движется колонна автомобилей, каждый из которых, двигаясь с одинаковой скоростью, стремится держаться на некотором заданном расстоянии от впереди идущего автомобиля. Однако, вследствие воздействия множества случайных факторов, это расстояние выдерживается не точно. Тогда времена пересечения каждым автомобилем определенного рубежа 13 EMBED Equation.3 1415 будут независимыми случайными величинами и образуют поток Пальма. Отметим, что если автомобили будут стремиться выдерживать заданное расстояние не от соседней машины, а от головной, то моменты пересечения этого рубежа уже не будут образовывать поток Пальма.
Поток Пальма часто получается в качестве выходного потока систем массового обслуживания.
Теорема Пальма. Пусть на систему массового обслуживания поступает поток заявок типа Пальма, причем заявка, заставшая все каналы занятыми, получает отказ (не обслуживается). Если при этом время обслуживания имеет показательный закон распределения, то поток не обслуженных заявок является также потоком типа Пальма.
Этот факт важен, так как на практике получившие отказ заявки обычно перенаправляются на другую систему массового обслуживания, т. е. образуют для этой системы входной поток.
Так, если на систему массового обслуживания поступает простейший входной поток, то поток заявок, получивший отказ, уже не будет простейшим, однако, будет потоком с ограниченным последействием.
Потоки Эрланга. Потоком Эрланга n-го порядка называется поток событий, получающийся «прореживанием» простейшего потока, когда сохраняется каждая n-я точка (событие) в потоке, а все промежуточные выбрасываются. Интервал времени между двумя соседними событиями в потоке Эрланга n-го порядка представляет собой сумму n независимых случайных величин 13 EMBED Equation.3 1415, имеющих показательное распределение с параметром 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415.
Закон распределения случайной величины T называется законом
n-го порядка и имеет плотность
13 EMBED Equation.3 1415(при t>0).
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины T соответственно равны:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Для потоков Эрланга n-го порядка вероятность поступления k требований за промежуток времени t равняется
13 EMBED Equation.3 1415, для k > 0.
При k=0 13 EMBED Equation.3 1415 .
Суммирование и разъединение простейших потоков. При объединении нескольких независимых простейших потоков образуется также простейший поток с параметром, равным сумме параметров исходных потоков. При разъединении поступающего простейшего потока с параметром 13 EMBED Equation.3 1415 на n направлений так, что каждое требование исходного потока с вероятностью 13 EMBED Equation.3 1415поступает на i-е направление, поток i-го направления также будет простейшим с параметром 13 EMBED Equation.3 1415. Эти свойства простейшего потока широко используются на практике, поскольку значительно упрощаются расчёты.
Показательный закон распределения времени обслуживания. Временем обслуживания называется время, затраченное каждым узлом обслуживания на одно требование.
Время обслуживания характеризует пропускную способность каждого узла обслуживания, не связано с оценкой качества обслуживания и является случайной величиной. Это объясняется не идентичностью узлов обслуживания и различием в спросе на обслуживание отдельных требований. Например, поступающие на ремонт вагоны имеют неисправности самого различного характера, попадают в различные ремонтные бригады, поэтому время на обслуживание для различных вагонов не будет одинаковым.
Во многих задачах теории массового обслуживания закон распределения времени обслуживания предполагается показательным и описывается функцией 13 EMBED Equation.3 1415.
Параметр 13 EMBED Equation.3 1415 характеризует среднюю скорость обслуживания требований.
3. Классификация систем массового обслуживания

Системы массового обслуживания делятся на типы (классы) по ряду признаков.
По числу каналов СМО подразделяют на одноканальные (когда имеется один канал обслуживания) и многоканальные, точнее n-канальные (когда количество каналов n 13 EMBED Equation.3 1415). Здесь и далее будем полагать, что каждый канал одновременно может обслуживать только одну заявку и, если не оговорено специально, каждая находящаяся под обслуживанием заявка обслуживается только одним каналом. Многоканальные СМО могут состоять из однородных каналов, либо из разнородных, отличающихся длительностью обслуживания одной заявки. Практически время обслуживания каналом одной заявки Т13 EMBED Equation.3 1415 является непрерывной случайной величиной. Однако при условии абсолютной однородности поступающих заявок и каналов время обслуживания может быть и величиной постоянной (Тоб = const).
По дисциплине обслуживания СМО подразделяют на три класса:
1. СМО с отказами, в которых заявка, поступившая на вход системы в момент, когда все каналы заняты. получает «отказ» и покидает ее («пропадает»). Чтобы эта заявка все же была обслужена, она должна снова поступить на вход СМО и рассматривается при этом как заявка, поступившая впервые. Примером СМО с отказами может быть работа АТС: если набран телефонный номер (заявка, поступившая на вход) занят, то заявка получает отказ, и чтобы дозвониться по этом номеру, следует его набрать еще раз (заявка поступает на вход как новая).
2. СМО с ожиданием (неограниченным ожиданием или очередью). В таких системах заявка, поступившая в момент занятости всех каналов, становится в очередь и ожидает освобождения канала, который примет ее к обслуживанию. Каждая заявка, поступившая на вход, в конце концов, будет обслужена. Такие СМО часто встречаются в торговле, в сфере бытового и медицинского обслуживания на предприятиях (например, обслуживание станков бригадой наладчиков).
3. СМО смешанного типа (с ограниченным ожиданием). Это такие системы, в которых на пребывание заявки в очереди накладываются некоторые ограничения.
Эти ограничения могут накладываться на длину очереди, т.е. максимально возможное число заявок, которые одновременно могут находиться в очереди. В качестве примера такой системы можно привести мастерскую по ремонту автомобилей, имеющую ограниченную по размерам стоянку для неисправных машин, ожидающих ремонта.
Ограничения ожидания могут касаться времени пребывания заявки в очереди, по истечению которого она выходит из очереди и покидает систему, либо касаться общего времени пребывания заявки в СМО (т.е. суммарного времени пребывания заявки в очереди и под обслуживанием).
В СМО с ожиданием и в СМО смешанного типа применяются различные схемы обслуживания заявок из очереди. Обслуживание может упорядоченным, когда заявки из очереди обслуживаются в порядке их поступления в систему, и неупорядоченными, при котором не каждые заявки из очереди считаются приоритетными, поэтому обслуживаются в первую очередь.
По ограничению потока заявок СМО делятся на замкнутые и открытые.
Если поток заявок ограничен и заявки, покинувшие систему, могут в нее возвращаться, то СМО является замкнутой, в противном случае - открытой. Классическим примером замкнутой СМО служит работа бригады наладчиков в цеху. Станки являются источниками заявок на обслуживание, и их количество ограничено, наладчики – каналы обслуживания.
После проведения ремонтных работ вышедший из строя станок снова становится источником заявок на обслуживание. В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО – зависят. Так, в рассмотренном выше примере интенсивность потока «заявок» со стороны станков (т.е. количество заявок в единицу времени) зависит от того, сколько их неисправно и ждет наладки
По количеству этапов обслуживания СМО делятся на однофазные и многофазные системы. Если каналы СМО однородны, т.е. выполняют одну и ту же операцию обслуживания, то такие СМО называются однофазными. Если каналы обслуживания расположены последовательно и они неоднородны, так как выполняют различные операции обслуживания (т.е. обслуживание состоит из нескольких последовательных этапов или фаз), то СМО называется многофазной. Примером работы многофазной СМО является обслуживание автомобилей на станции технического обслуживания (мойка, диагностирование и т.д.). Далее будем рассматривать только однофазные СМО.
Процессы, протекающие в СМО, носят случайный характер, поэтому теория массового обслуживания базируется на теории случайных процессов.

4. Элементы теории случайных процессов
4.1 Понятие случайного процесса. Марковские случайные процессы.
Определение. Случайным процессом (или случайной функцией) называется соответствие, при котором каждому значению аргумента (в данном случае – моменту из промежутка времени проводимого опыта) ставится в соответствие случайная величина (в данном случае – состояние СМО).
Поэтому для решения задач теории массового обслуживания необходимо изучить случайный процесс, протекающий в СМО, т. е. необходимо построить и проанализировать его математическую модель. Математический анализ работы СМО существенно упрощается, если этот случайный процесс является Марковским, то есть удовлетворяет определенным требованиям.
Определение. Случайный процесс, протекающий в какой – либо системе S
называется Марковским, если он обладает следующим свойством: для любого момента времени 13 EMBED Equation.3 1415 вероятность любого состояния системы в будущем ( при 13 EMBED Equation.3 1415) не зависит от того, когда и каким образом система S пришла в это состояние.
Классификация Марковских случайных процессов производится в зависимости от непрерывности и дискретности множества значений функции Х(t) и параметра t.
Различают следующие основные виды Марковских случайных процессов:
- с дискретными состояниями и дискретным временем (цепи Маркова);
- с непрерывными состояниями и дискретным временем (Марковские последовательности);
- с дискретными состояниями и непрерывным временем (непрерывная цепь
Маркова);
- с непрерывным состоянием и непрерывным временем.
Далее рассмотрим Марковские процессы с дискретными состояниями и дискретным временем (цепи Маркова), а также Марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем (непрерывная цепь Маркова).
Если все потоки событий, переводящие систему S из состояния в состояние,
· простейшие, то процесс, протекающий в системе, будет Марковским. Это и естественно, так как простейший поток не обладает последействием: в нем «будущее» не зависит от «прошлого».

4. 2 Цепи Маркова
(Андрей Андреевич Марков (1856-1922) – русский математик, академик)
Определение. Цепью Маркова называется последовательность испытаний, в каждом из которых появляется только одно из k несовместных событий Ai из полной группы. При этом условная вероятность pij(s) того, что в s –ом испытании наступит событие Aj при условии, что в (s – 1) – ом испытании наступило событие Ai, не зависит от результатов предшествующих испытаний.
Независимые испытания являются частным случаем цепи Маркова. События называются состояниями системы, а испытания – изменениями состояний системы.
Определение. Однородной называется цепь Маркова, если условная вероятность pij перехода системы из состояния i в состояние j не зависит от номера испытания. Вероятность pij называется переходной вероятностью.
Допустим, число состояний конечно и равно k.
Тогда матрица, составленная из условных вероятностей перехода будет иметь вид:
13 EMBED Equation.3 1415.
Эта матрица называется матрицей перехода системы.
Так как в каждой строке содержаться вероятности событий, которые образуют полную группу, то, очевидно, что сумма элементов каждой строки матрицы равна единице.
На основе матрицы перехода системы можно построить так называемый граф состояний системы, его еще называют размеченный граф состояний. Это удобно для наглядного представления цепи. Порядок построения граф рассмотрим на примере.

Пример. По заданной матрице перехода построить граф состояний:
13 EMBED Equation.3 1415.

Решение.
Данная матрица четвертого порядка, поэтому система имеет 4 возможных состояния.



·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
На графе не отмечаются вероятности перехода системы из одного состояния в то же самое. При рассмотрении конкретных систем удобно сначала построить граф состояний, затем определить вероятность переходов системы из одного состояния в то же самое (исходя из требования равенства единице суммы элементов строк матрицы), а затем составить матрицу переходов системы.
Пусть Pij(n) – вероятность того, что в результате n испытаний система перейдет из состояния i в состояние j, r – некоторое промежуточное состояние между состояниями i и j, pij(1) =13 EMBED Equation.3 1415
· вероятность перехода системы за один шаг.
Тогда вероятность Pij(n) может быть найдена по формуле, называемой равенством Маркова:
13 EMBED Equation.3 1415.
Здесь т – число шагов (испытаний), за которое система перешла из состояния i в состояние r.
В принципе, равенство Маркова есть видоизменая формула полной вероятности.
Зная переходные вероятности (т.е. зная матрицу перехода Р1), можно найти вероятности перехода из состояния в состояние за два шага Pij(2), т.е. матрицу Р2, зная ее – найти матрицу Р3, и т.д.
Непосредственное применение полученной выше формулы не очень удобно, поэтому, можно воспользоваться приемами матричного исчисления (ведь эта формула по сути – не что иное как формула перемножения двух матриц).
Тогда в общем виде можно записать: 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. Задана матрица переходов Р1. Найти матрицу Р3.
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Определение. Матрицы, суммы элементов всех строк которых равны единице, называются стохастическими. Если при некотором п все элементы матрицы Рп не равны нулю, то такая матрица переходов называется регулярной.
Другими словами, регулярные матрицы переходов задают цепь Маркова, в которой каждое состояние может быть достигнуто через п шагов из любого состояния. Такие цепи Маркова также называются регулярными.
Теорема. (теорема о предельных вероятностях) Пусть дана регулярная цепь Маркова с п состояниями и Р – ее матрица вероятностей перехода. Тогда существует предел 13 EMBED Equation.3 1415 и матрица Р(() имеет вид:










Т.е. матрица состоит из одинаковых строк.
Числа u1, u2, , un называются предельными вероятностями. Эти вероятности не зависят от исходного состояния системы и являются компонентами собственного вектора матрицы РТ (транспонированной к матрице Р).
Этот вектор полностью определяется из условий:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример. Найдем предельные вероятности для рассмотренного [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] примера.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
C учетом того, что u1 + u2 = 1, получаем:
13 EMBED Equation.3 1415
Получаем: 13 EMBED Equation.3 1415.

4.3 Непрерывные цепи Маркова. Уравнения Колмогорова.
Рассмотрим математическое описание Марковского случайного процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем на следующем примере.
Пример. Техническое устройство S состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя (отказать), после чего мгновенно начинается ремонт узла, продолжающийся заранее неизвестное случайное время.
Возможные состояния системы можно перечислить: S0 - оба узла исправны; S] -первый узел ремонтируется, второй исправен; S2 - второй узел ремонтируется, первый исправен; S3 - оба узла ремонтируются.
Будем полагать, что все переходы системы из состояния 13 EMBED Equation.3 1415 в 13 EMBED Equation.3 1415 происходят
под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями
13 EMBED Equation.3 1415 так, переход системы из состояния S0 в S1 будет происходить под воздействием потока отказов первого узла, а обратный переход из состояния S1 в S0 - под воздействием потока «окончаний ремонтов» первого узла и т.п. Граф состояний системы с проставленными у стрелок интенсивностями называют размеченным (рис. 2).

Рис. 2.
На графе отсутствуют стрелки из S0 в S3 и из S1 в S2. Это объясняется тем, что выходы узлов из строя предполагаются независимыми друг от друга и, например, вероятностью одновременного выхода из строя двух узлов (переход из S0 в S3) или одновременного окончания ремонтов двух узлов (переход из S3 в S0) можно пренебречь.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415
· вероятность того, что в момент t система будет находится в состоянии 13 EMBED Equation.3 1415. При этом для любого t 13 EMBED Equation.3 1415.
Рассмотрим систему в момент t и, задав малый промежуток , найдем вероятность p0(t + t) того, что система в момент t + t будет находиться в состоянии S0. Это достигается разными способами: 1) система в момент t с вероятностью p13 EMBED Equation.3 1415(t) находилась в состоянии S0, а за время t не вышла из него; 2) система в момент t с вероятностями p1(t) (или p2(t) находилась в состоянии S1 или S2 и за время перешла в состояние S13 EMBED Equation.3 1415.
1) Найдем вероятность первого варианта. Вывести систему из состояния S13 EMBED Equation.3 1415 (см. рис.2) можно суммарным простейшим потоком (при наложении двух простейших потоков, как уже отмечалось, получается опять простейший поток) с интенсивностью 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. с вероятностью, приближенно равной (13 EMBED Equation.3 1415)13 EMBED Equation.3 1415. А вероятность того, что система не выйдет из состояния S0, равна 1 (13 EMBED Equation.3 1415)13 EMBED Equation.3 1415. . Вероятность того, что система будет находиться в состоянии S0 и не выйдет из него за время (т.е. вероятность первого варианта), равна по теореме умножения вероятностей:

2) Найдем вероятность второго варианта. Под действием потока интенсивностью 13 EMBED Equation.3 1415 (или 13 EMBED Equation.3 1415 ) (см. рис. 2) система перейдет в состояние S0 с вероятностью, приближенно равной . Вероятность того, что система будет находиться в состоянии S0 по этому способу равна13 EMBED Equation.3 1415 (или 13 EMBED Equation.3 1415).
Применяя теорему сложения вероятностей (для попарно несовместимых событий), получим:
13 EMBED Equation.3 1415 откуда

13 EMBED Equation.3 1415
Переходя к пределу при 13 EMBED Equation.3 1415(приближенные равенства перейдут в точные), получим левой части уравнения производную 13 EMBED Equation.3 1415
(обозначим ее для простоты 13 EMBED Equation.3 1415):
13 EMBED Equation.3 1415.
Получено дифференциальное уравнение первого порядка. Рассуждая аналогично для других состояний системы S ,можно получить систему дифференциальных уравнений Колмогарова для вероятностей состояний:
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Сформулируем правило составления уравнений Колмогорова. В левой части каждого из них стоит производная вероятности i-го состояния. В правой части – сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых идут стрелки в данное состояние ,умноженные на интенсивности соответствующих потоков событий ,минус суммарная интенсивность всех потоков выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного (i-го) состояния.
Дифференциальные уравнения Калмогорова можно составить по матрице плотностей вероятностей переходов. Для составления дифференциального уравнения Колмогорова для функции pi(t), i=1,2, ,n необходимо в левой части уравнения записать производную 13 EMBED Equation.3 1415 функции pi(t), а в правой части уравнения – произведение 13 EMBED Equation.3 1415 суммы 13 EMBED Equation.3 1415элементов i-ой строки матрицы плотностей вероятностей на вероятность pi(t) состояния Si (номер которой совпадает с номером взятой строки) со знаком минус, плюс сумму 13 EMBED Equation.3 1415 произведений 13 EMBED Equation.3 1415 элементов i-ого столбца на соответствующие им вероятности pi(t). Система дифференциальных уравнений Колмогорова составленная, например, по матрице плотностей вероятностей переходов 13 EMBED Equation.3 1415 имеет
следующий вид: 13 EMBED Equation.3 1415
Итак, составлять систему дифференциальных уравнений Колмогорова можно либо по размеченному графу состояний, либо по матрице плотностей вероятностей переходов.
В системе (1) независимых уравнений на единицу меньше общего числа уравнений. Поэтому для решения системы необходимо добавить уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
Уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени.
Особый интерес представляют вероятность системы 13 EMBED Equation.3 1415 в предельном стационаром режиме, т.е. при 13 EMBED Equation.3 1415, которые называются предельными (финальными) вероятностями состояний.
В теории случайных процессов доказывается, что если число состояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют.
Предельная вероятность состояний Si имеет четкий смысл: она показывает среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии. Например, если предельная вероятность состояния S0, т.е 13 EMBED Equation.3 1415=0,5, то это означает, что в среднем половину времени система находится в состоянии S0.
Так как предельные вероятности постоянны, то, заменяя в уравнениях Колмогорова их производные нулевыми значениями, получим систему линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим. Для системы S с графом состояния на рис.2, такая система уравнений имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415 (2)

Систему можно составить непосредственно по размеченному графу состояний, если руководствоваться правилом, согласно которому слева в уравнениях стоит предельная вероятность данного 13 EMBED Equation.3 1415, умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния ,а справа – сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в i
·ое состояние , на вероятностей тех состояний, из которых эти потоки исходят.
Эту систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415, казалось бы, вполне можно решить. Но вот беда: уравнения (2) однородны ( не имеют свободного члена) и, значит, определяют неизвестные только с точностью до произвольного множителя. К счастью, мы можем воспользоваться нормировочным условием 13 EMBED Equation.3 1415 и с его помощью решить систему. При этом одно (любое) из уравнений можно отбросить (оно вытекает как следствие из остальных).
Пример1. Найти предельные вероятности для системы S при 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Система алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим для данной СМО, имеет вид (2) или
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
(Здесь вместо одного «лишнего» уравнения системы (2) записали нормировочное условие). Решив систему (3), получим 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415, т.е. в предельном стационарном режиме система S в среднем 40% времени будет находиться в состоянии S0 (оба узла исправны), 20% - в состоянии 13 EMBED Equation.3 1415(первый узел ремонтируется, второй работает), 27% - в состоянии 13 EMBED Equation.3 1415(второй узел ремонтируется, первый работает) и 13% времени – в состоянии 13 EMBED Equation.3 1415 (оба узла ремонтируются).
Пример 2. Найти средний чистый доход от эксплуатации в стационарном режиме системы S в условиях предыдущего примера, если известно ,что в единицу времени исправная работа первого и второго узлов приносит доход соответственно в 10 и 6 ден.ед ., а их ремонт требует затрат соответственно в 4 и 2 ден.ед. Оценить экономическую эффективность имеющейся возможности уменьшения вдвое среднего времени ремонта каждого из двух узлов, если при этом придется вдвое увеличить затраты на ремонт каждого узла(в единицу времени).
Решение. Из предыдущего примера следует, что в среднем первый узел исправно работает долю времени, равную 13 EMBED Equation.3 1415,а второй узел - 13 EMBED Equation.3 1415. В то же время первый узел находится в ремонте в среднем долю времени, равную 13 EMBED Equation.3 1415,а второй узел - 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому средний чистый доход за единицу времени от эксплуатации системы, т.е. разность между доходами и затратами, равен
13 EMBED Equation.3 1415ден.ед.
Уменьшение вдвое среднего времени ремонта каждого из узлов будет означать увеличение вдвое интенсивностей потока «окончаний ремонтов» каждого узла. Это следует из равенства 13 EMBED Equation.3 1415 для показательного распределения (потоков) с параметром 13 EMBED Equation.3 1415, о котором упоминалось ранее. Напомним, что а – это математическое ожидание случайной величины Т – промежутка времени между произвольными двумя соседними событиями в простейшем потоке. Таким образом, теперь интенсивности потоков событий будут равны: 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415(остальные остались прежними).
При этом система линейных алгебраических уравнений примет вид: 13 EMBED Equation.3 1415
Решив систему, получим, 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Учитывая, что 13 EMBED Equation.3 1415
а затраты на ремонт первого и второго узлов составляют теперь соответственно 8 и 4 ден.ед., вычислим средний чистый доход в единицу времени:
13 EMBED Equation.3 1415ден.ед.
Так как Д13 EMBED Equation.3 1415 больше Д13 EMBED Equation.3 1415 примерно на 21% (13 EMBED Equation.3 1415), то экономическая целесообразность ускорения ремонтов узлов очевидна.



5. Процессы гибели и размножения

В теории массового обслуживания широко распространен специальный класс случайных процессов – так называемые процессы гибели и размножения. Название это связано с рядом биологических задач, где этот процесс служит математической моделью изменения численности биологических популяций.
Граф состояний процесса гибели и размножения имеет вид показанный на рисунке 3.

Рис. 3.
Рассмотрим упорядоченное множество состояний системы 13 EMBED Equation.3 1415.Переходы могут осуществляться из любого состояния только в состояния с соседними номерами, т.е. из состояния Sk возможны переходы либо в состояние Sk-1 , либо в состояние S k+1.
Предположим ,что все потоки событий ,переводящие систему по стрелкам графа, простейшие с соответствующими интенсивностями 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
По графу, представленному на рис.3, составим и решим алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний (их существование вытекает из возможности перехода из каждого состояния в каждое другое и конечности числа состояний).
В соответствии с ранее сформулированным правилом составления таких уравнений получим:
для состояния 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (4)
для состояния 13 EMBED Equation.3 1415-
13 EMBED Equation.3 1415
с учетом (4) приводится к виду 13 EMBED Equation.3 1415
Аналогично, записывая уравнения для предельных вероятностей других состояний, можно получить следующую систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415 (5)
к которой добавляется нормировочное условие
13 EMBED Equation.3 1415. (6)
Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения (5) выразим p13 EMBED Equation.3 1415
через p13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415 . (7)
Из второго, с учетом (7), получим:
13 EMBED Equation.3 1415 (8)
Из третьего, с учетом (8), получим:
13 EMBED Equation.3 1415
И вообще, для любого k (от 1 до n), имеем:
13 EMBED Equation.3 1415
Обратим внимание на формулы для вероятностей 13 EMBED Equation.3 1415: числители представляют собой произведения всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо ( от начала и до данного состояния Sk ); знаменатели – произведения всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево ( из состояния Sk и до начала ).
Таким образом ,все вероятности состояния 13 EMBED Equation.3 1415 выражены через одну из них (p0). Подставим эти выражения в нормировочное условие (6). Получим: 13 EMBED Equation.3 1415
откуда можно получить выражение для p0:
13 EMBED Equation.3 1415 (9)
Заметим, что слагаемые в правой части (9) представляют собой не что иное, как последовательные коэффициенты при p0 в формулах для вероятностей 13 EMBED Equation.3 1415.
6. Простейшие системы массового обслуживания
и их характеристики.

6.1 . Показатели эффективности СМО.
Предметом теории массового обслуживания является построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО с показателями эффективности, описывающими её способность справиться с потоком заявок.
Показатели эффективности делятся на показатели:
Характеризующие качество и условия работы обслуживающей системы;
Отражающие экономические особенности системы.
Показатели первой группы формируют на основе полученных из расчетов значений вероятностей состояний системы.
Показатели второй группы рассчитывают на основе показателей первой группы.
Среди показателей первой группы можно выделить следующее:
Вероятность того, что поступающее в систему требование откажется присоединиться к очереди и теряется;
Среднее количество требований, ожидающих начало обслуживания (Lоч);
Относительная (q) и абсолютная (А) пропускные способности системы:
q = 1- Pотк, A =
· . q;
Среднее число занятых обслуживанием каналов;
Общее среднее количество требований, находящихся в системе (Lсист);
Среднее время ожидания требования начала обслуживания (Tоч);
Среднее время пребывания требования в системе (Tсист ).
Все показатели СМО на практике рассчитываются по формулам, полученным в предположении, что входящий поток требований простейший (пуассоновский), с интенсивностью
·, а интервал времени между двумя следующими одно за другим требованиями в простейшем потоке распределены по показательному закону с параметром
·.
Эти обстоятельства позволяют приписывать происходящему в СМО процессу основное свойство Марковских случайных процессов, а именно для любого момента времени вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.
Для любой СМО, при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе равно среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивнисть потока требований:
13 EMBED Equation.3 1415 (10) и 13 EMBED Equation.3 1415 . (11)
Формулы (10) и (11) называются формулами Латтла.
Показатели, характеризующие экономические особенности, формируют в соответствии с конкретным видом системы. Одним из общих экономоческих показателей является экономическая эффективность
E = Pобсл
· С Т-Gn ,
где Pобсл – вероятность обслуживания, C – средний экономический эффект, полученный при обслуживании одного требования, Т – рассматриваемый интеграл времени, Gn – величина потерь в системе.
6.2 Система массового обслуживания с отказами
Показателями эффективности СМО с отказами являются:
А - абсолютная пропускная способность системы, т. е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;
q - относительная пропускная способность системы, т. е. средняя доля пришедших заявок, обслуживаемых системой;
Pотк - вероятность отказа, т. е. того, что заявка покинет систему не обслуженной;
r – среднее число занятых каналов ( для многоканальной системы).
Это показатели находятся по формулам, приведенным в табл. 6.1, где

· – интенсивность входящего потока требований;

· – интенсивность потока обслуживания;
t обс - среднее время обслуживания требования и 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - интенсивность нагрузки канала; r – число каналов.
Табл. 6.1.
Вид системы

Показатель
Одноканальная
Многоканальная

q = 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

P13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

А
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
· вероятность простоя.
Замечание. 13 EMBED Equation.3 1415 (4.1.)
и 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 (4.2.)
Формулы (6.1.) и (6.2.) называются формулами Эрланга.
Задача 6.1.
В вычислительный центр, с тремя ЭВМ, поступают заказы на вычислительные работы. Если работают все три машины, то вновь поступающий заказ не принимается. Пусть среднее время работы с одним заказом составляет 3 часа. Интенсивность потока заявок 0,25 (1/ч). Найти вероятность отказа и среднее число занятых ЭВМ.
Решение:
Имеем: r=3;
·=0.25 (1/ч), Тобс=3(ч).
Находим: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Итак, Pотк=0,033, 13 EMBED Equation.3 1415.

6.3 Система массового обслуживания с ожиданием (очередью)

Показателями эффективности СМО с неограниченной очередью являются:
А – абсолютная пропускная способность;
q – относительная пропускная способность;
Pотк – вероятность отказа;
13 EMBED Equation.3 1415 среднее число занятых каналов;
Lсист – среднее число заявок в системе;
Тсист – среднее время пребывания заявки в системе;
Lоб – среднее число заявок, находящихся под обслуживанием;
Lоч – среднее число заявок в очереди (длина очереди);
Точ – среднее время пребывания заявки в очереди;
Pзан – вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).
Необходимые для расчетов формулы представлены в таблице 6.2.

Таблица 6.2
Виды системы

Показатель
Одноканальная
с неограниченной очередью
Многоканальная
с неограниченной
очередью

Lсист
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Lоч
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Lоб
13 EMBED Equation.3 1415


Тсист
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Точ
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Pзан
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


Замечание. Для многоканальной СМО
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415 ,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 , , 13 EMBED Equation.3 1415 , .
где Pr+1 – вероятность того, что все каналы заняты, l – заявок стоит в очереди.
Показатели эффективности СМО с ограниченной очередью находятся по формулам, представленным в таблице 6.3, где m – число заявок в очереди (длина очереди).
Таблица 6.3.
Виды
системы

Показатель
Одноканальная СМО
с ограниченной
очередью
Многоканальная СМО
с ограниченной очередью

Предельные вероятности
Вероятность простоя
13 EMBED Equation.3 1415
P1=
·P0, P2=
·2P0,

Pk=
·kP0
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
(n=1, m)

Верояность отказа
pотк.=Pm+1=
·m+1p0
13 EMBED Equation.3 1415

Абсолютная пропускная спосоность
A=
·q=
·(1-
·m+1p0)
13 EMBED Equation.3 1415

Отностельная пропускная способность
q=1-Pотк.=1-
·m+1p0

13 EMBED Equation.3 1415

Среднее число заявок в очереди
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


Среднее число заявок под обслуживанием (среднее число занятых каналов)
Lоб.=1-p0
13 EMBED Equation.3 1415

Среднее число заявок в системе

Lсист.= Lоч.+ Lоб.
13 EMBED Equation.3 1415



Задача 6.2. В порту имеется один причал для разгрузки судов. Интенсивность потока судов равна 0,4 (судов в сутки). Среднее время разгрузки одного судна составляет 2 суток. Предполагается, что очередь может быть неограниченной длины. Найти показатели эффективности работы причала, а также вероятность того, что ожидают разгрузки не более чем два судна.
Решение. Имеем
·=
·/
·=
·13 EMBED Equation.3 1415= 0,4·2 = 0,8. Так как
· = 0,8 < 1, то очередь на разгрузку не может бесконечно возрастать и предельные вероятности существуют. Найдем их.
Вероятность того, что причал свободен, р0 = 1 - 0,8 = 0,2 ,
а вероятность того, что он занят, Pзан. = 1 - 0,2 = 0,8.
Вероятности того, что у причала находятся 1,2,3 судна (т.е. ожидают разгрузки 0,1,2 судна), равны
р1 = 0,8 (1-0,8) = 0,16; р2 = 0,82 (1-0,8) = 0,128; р3 = 0,83 (1-0,8) = 0,1024.
Вероятность того, что ожидают разгрузку не более чем 2 судна, равна
Р = р1 + р2 + р3 = 0,16 + 0,128 + 0,01024 = 0,3904.
Среднее число судов, ожидающих разгрузки
Lоч. = 0,82/(1-0,8) = 3,2,
а среднее время ожидания разгрузки
Точ. = 3,2/0,8 = 4 (сутки).
Среднее число судов, находящихся у причала,
Lсист. = 0,8/(1-0,8) = 4 (судов) или
Lсист. = 3,2 + 0,8 = 4 (судов),
а среднее время пребывания судна у причала по формуле
Тсист. = 4/0,8 = 5 (сутки).
Очевидно, что эффективность разгрузки судов невысокая. Для её повышения необходимо уменьшение среднего времени разгрузки судна 13 EMBED Equation.3 1415 либо увеличение числа причалов r.
Задача 6.3. По условию задачи 6.2. найти показатели эффективности работы причала. Известно, что приходящее судно покидает причал (без разгрузки), если в очереди на разгрузку стоит более 3 судов.
Решение. По условию m = 3. Используем формулы, приведенные во второй графе табл. 6.2
Вероятность того, что причал свободен
13 EMBED Equation.3 1415.
Вероятность того, что приходящее судно покинет причал без разгрузки:
Ротк.=0,83+10,297=0,122.
Относительная пропускная способность причала:
q=1-0,122=0,878.
Абсолютная пропускная способность примяла А = 0,4·
·0,0878 = 0,351, т.е. в среднем в сутки разгружается 0,35 судна.
Среднее число судов, ожидающих разгрузку
13 EMBED Equation.3 1415,
а среднее время ожидания разгрузки
13 EMBED Equation.3 1415.
Среднее число судов, находящихся у причала
Lсист.=0,861 + (1-0,297) = 1,564
а среднее время пребывания судна у причала по (6.2):
13 EMBED Equation.3 1415.
6.4 Замкнутые СМО
В замкнутых системах массового обслуживания поступление потока требований зависит от самой системы. Элемент системы после выполнения своего требования не покидает систему, а возвращается назад и в любой момент может опять послать очередную заявку, то есть требования движутся по циклу, а источники заявок являются не внешними, а внутренними. Замкнутые СМО типичны для таких производственных ситуаций, когда рассматриваются организационные формы обслуживания технологического оборудования. Источником требований обычно выступают машины (потоки, станки, выпуски), число которых ограничено и равно m. Обслуживание этих машин осуществляется r (r > 1) рабочими, причем каждый рабочий обслуживает одновременно только одну машину.

Показателями эффективности системы служат:
Средняя длина очереди (среднее число требований, ожидающих обслуживания)
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
где n - число машин, стоящих в очереди на обслуживание или уже обслуживаемых (число простаивающих машин), Рn - вероятность нахождения n постаивающих станков, причем
13 EMBED Equation.3 1415, (2) 13 EMBED Equation.3 1415 и
13 EMBED Equation.3 1415.

Для практических расчетов удобно пользоваться формулами
Рn = anP0, n = 1, 2, m (3)
где 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
2) Среднее число незагруженных каналов обслуживания
13 EMBED Equation.3 1415. (4)
3) Среднее число требований, находящихся в обслуживании
13 EMBED Equation.3 1415 (5)
4) Среднее число требований в системе Lсист. = Lоч. + Lоб.. (6)
5) Коэффициент простоя оборудования из-за ожидания обслуживания
13 EMBED Equation.3 1415. (7)
и процент простоя из-за совпадения операций Пс = kс·100 . (8)
6) Коэффициент простоя рабочего, обслуживающего систему 13 EMBED Equation.3 1415 (9)
и соответственно коэффициент загруженности рабочего 13 EMBED Equation.3 1415. (10)
7) Среднее время ожидания машиной обслуживания
13 EMBED Equation.3 1415 . (11)
8) Среднее время совпадения операций Тс = dТоч. . (12)
где d - число требований (остановок), приведенное к единице продукции.
Задача 6.4. Рабочий обслуживает группу из трех станков. Каждый станок останавливается в среднем два раза в час. Процесс наладки занимает в среднем 10 мин. Определить абсолютную пропускную способность наладки рабочих станков.
Решение. Имеем: r = 1, m = 3,
· = 2, Тобс. = 1/6,
· = 6.
Находим: 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Находим вероятность того, что рабочий будет занят обслуживанием Рз = 1-Р0 = 0,654.
Если рабочий занят обслуживанием, то он обслуживает 6 станков в час, поэтому А = µ·Р0 = 6·0,654 = 4, т.е. пропускная способность наладки рабочим станков равна 4 (станка в час).
Задача 6.5. Ткач обслуживает пять ткацких автоматических станков. Производительность одного станка П = 3 м/ч, число самоостановок станка по данным наблюдений d = 2 на 1 м ткани; средняя продолжительность устранения причины остановки 13 EMBED Equation.3 1415 = 30 сек. Время обслуживания распределено по показательному закону. Требуется найти характеристики работы системы.
Решение. Имеем: r = 1, m = 5, 13 EMBED Equation.3 1415 требований в минуту; 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 требования в минуту. Следовательно, коэффициент обслуживания (интенсивность загрузки канала) 13 EMBED Equation.3 1415Вычислим вероятность Рn станков, для чего воспользуемся формулами
a0 = 1,
13 EMBED Equation.3 1415

а2 = (5 – 2 + 1) · 1,25 = 1,25
а3 = (5 – 3 + 1) · 0,25 · 1,25 = 0,938,

а4 = (5 – 4 + 1) · 0,25 · 0,938 = 0,469,
а5 = (5 – 5 + 1) · 0,25 · 0,469 = 0,117,


13 EMBED Equation.3 1415
Находим Р0 = (1 + 4,024)-1 = 0,199; Р1 = а1Р0 = 0,249; Р2 = а2Р0 = 0,249;
Р3 = а3Р0 = 0,187; Р4 = а4Р0 = 0,093; Р5 = а5Р0 = 0,023.
Проверим условие 13 EMBED Equation.3 1415 - оно выполняется.
Рассчитаем остальные характеристики системы:
Lоч. = (2 - 1) · 0,249 + (3 - 1) · 0,187 + (4 - 1) · 0,093 + (5 - 1) · 0,024 = 0,994
доля свободного времени ткача (среднее число незагруженных каналов)
r0 = (1-0) · 0,199 + (1-1) · 0,0249 = 0,199
среднее число требований в обслуживании Lоч. = 1 – 0,0199 = 0,0801;
среднее число требований в системе Lсист. = 0,0994 = 0,801 = 1,795;
коэффициент простоя станков из-за ожидания обслуживания
kc = 0,0994/5 = 0,199 19.9% = П
коэффициент простоя рабочего, обслуживающего систему
kr = 0,199/1 = 0,0199;
коэффициент загруженности рабочего kз = 1-0,199 = 0,801 или 80,1%;
среднее время ожидания обслуживания 13 EMBED Equation.3 1415
среднее время совпадения операций Тс = 2·0,62 = 1,24 мин. на I м ткани.
Анализ найденных характеристик показывает высокую загруженность системы при средней очереди 0,994 станки, величина простом станков из-за ожидания 19,9% и загруженность рабочего 80,1 %.



13 EMBED Equation.3 1415



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativepEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native.Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 8981559
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий