Лекция МПС №2 от 29.10.2012

1 Предприятие как сложная производственно-экономическая система

Управление предприятием как сложной производственно-экономической системой

Управление в широком понимании есть функция некоторой системы, направленная на:
сохранение основного качества системы (утеря которого приводит к ее разрушению);
на выполнение программы, обеспечивающей устойчивость функционирования системы и достижение ею заданной цели;
на развитие системы.
Установлением для управления единой теоретической основы занимается кибернетика наука об общих законах управления в природе, живых организмах и машинах. С позиции кибернетики системам управления различной природы присуща принципе одинаковая структура; математическое описание процессов, протекающих в системах управления различной природы, оказывается подобным.
Кибернетика рассматривает управление как циклический информационный процесс, осуществляемый в замкнутом контуре для достижения установленной цели действий. Управление всегда протекает в определенной материальной среде. В процессе управления участвуют орган управления, объект управления и соединяющие их каналы связи. От органа управления к объекту управления проходит канал прямой связи для передачи управляющих воздействий. От объекта управления к органу управления проходит канал обратной связи для передачи сведений о состоянии объекта управления, среды и других факторов обстановки.
Цель действий достигается функционированием объекта управления. Для достижения цели действий объект управления должен быть приведен в необходимое состояние с помощью управляющего информационного воздействия.
Сведения о состоянии объекта управления субъекта воздействия и среды принято называть информацией состояния. Управляющие воздействия представляют собой информацию о том, что, как и когда надлежит сделать объекту управления, и их принято называть командной информацией.
Контуром управления называют замкнутую цепь, состоящую из органа управления и объекта управления, связанных каналами прямой и обратной связи, по которым циклически циркулирует соответственно командная информация и информация состояния (рис. 1.7).


Рис.1.7 -

Командная информация в общем зависит от информации состояния. Эта зависимость может быть выражена формулой:
13 EMBED Equation.3 1415. (1.8)
где  t - момент, к которому относится информация состояния; 
13 EMBED Equation.3 1415- информация состояния на момент времени t ; 
13 EMBED Equation.3 1415 - работное время органа управления;
Ф - функция преобразования информации состояния в командную информацию; 
13 EMBED Equation.3 1415 командная информация, относящаяся к моменту времени 13 EMBED Equation.3 1415, выработанная на основании информации состояния 13 EMBED Equation.3 1415.
Функция органа управления заключается в преобразовании информации состояния в командную информацию в соответствии с поставленной целью действий. Функция объекта управления состоит в реализации командной информации, заключающейся в определении действия для достижения поставленной цели, а также в сборе информации состояния. Функция каналов прямой и обратной связи заключается в передаче информации состояния от объекта управления к органу управления и командной информации в обратном направлении.
Сущность процесса переработки информации в системе управления составляет то, что мы обычно называем выработкой и принятием решения. В качестве непосредственной цели управления выступает достижение системой показателей, характеризующих состояние и функционирование системы. Достижение заданных значений критериев эффективности осуществляется путем выбора органом управления управляющих воздействий на объект управления.
Возникновение управления как особого вида общественной деятельности обусловлено прежде всего появлением и развитием разделения общественного труда. Общественное разделение труда проявляется в двух основных формах: в образовании крупных специализированных производств и дифференциации в их границах технологических процессов. В результате дробления конкретного труда на специализированные части образуется широкая сеть периферийных ячеек производства, каждая из которых представляет экономическую клеточку. Разделение и обособление специализированных частей труда обусловливает количественную зависимость между всеми частями производства, и в результате образуется сеть экономических связей, которая тем шире, чем глубже разделение труда.
Управление в производственной сфере можно, таким образом, определить как целенаправленное воздействие на коллективы людей для организации и координации их деятельности в процессе производства. Можно выделить три основные области управления:
управление системами машин и технологическими процессами;
управление процессами, происходящими в живых организмах;
управление деятельностью человеческих коллективов, решающих ту или иную задачу.


Для нормальной работы система управления производством должна располагать следующими данными:
целью управления;
идеальной моделью будущего функционирования объекта, рассчитанной так, чтобы цель достигалась оптимальным образом;
моделью фактического состояния объекта для сравнения ее с идеальной моделью и нахождения отклонений;
информацией, направленной на устранение отклонений фактического состояния модели от идеального.
Наличие этих данных обеспечивается выполнением следующих трех основных фаз управления: планирования, учета и анализа, регулирования.
Планирование делится на технико-экономическое и оперативно-производственное. Технико-экономическое планирование объединяет перспективное и текущее планирование и строится применительно к отдельным элементам объекта управления (производственные мощности, трудовые ресурсы, материальные ресурсы и т. д.). Оно обосновывает конечные результаты и потребные ресурсы. Оперативно-производственное планирование ставит своей главной задачей спланировать осуществление производственных процессов (разработку календарных нормативов, выдачу заданий на рабочие места и т. д.) с целью увязки во времени и пространстве отдельных элементов производства.
Фаза планирования является в управлении ведущей, ибо с ее помощью предприятиям задаются цель, смысл и методы управления. Через нее осуществляется связь предприятия с внешней средой, увязка с хозяйственной политикой в стране, системами финансирования, стимулирования и т. д.
От планирования зависят учет и регулирование: учет ведется по показателям плана, а задачей регулирования является постоянное поддержание фактических показателей объекта на уровне плановых заданий. Выполнение плана гарантируется фазой регулирования, которая сводится к устранению текущих рассогласований (возмущений) в производстве. Фаза регулирования связана с планирующей через учет.
Анализ фаз планирования и регулирования показывает, что организация производственных процессов многовариантна. Среди множества вариантов планирования и регулирования производства, как правило, имеется наилучший, оптимальный. Нахождение его является одной из главных задач управления производством.
Структура системы управления отражает, как правило, структуру объекта управления в том смысле, что основным подразделением предприятия соответствуют аналогичные подразделения системы управления. Под системой управления ПЭС следует понимать организованный коллектив специалистов, выполняющий все функции управления, обеспечивающие достижение целей деятельности предприятия, с использованием необходимой информации, методов и техники управления.
В качестве основных системных функций управления производственных предприятием целесообразно принять:
планирование производственно-экономической деятельности предприятия;
оперативное управление производством;
управление развитием предприятия и технической подготовкой производства;
управление материально-техническим снабжением производства;
управление сбытом готовой продукции;
контроль качества продукции;
учет производства и осуществление финансовой деятельности предприятия;
управление техническим обеспечением и организационно-хозяйственным обслуживанием производства;
подбор, расстановку, воспитание и повышение культурно-технического уровня кадров;
управление социальным развитием предприятия;
совершенствование организации производства, труда и управления.
Система управления ПЭС является многоуровневой. Иерархия уровней представлена на рис. 1.8. Материальное производство изображено в виде потока преобразования ресурсов, подверженного стохастическому влиянию внешней среды. Функцией управления, непосредственно связанной с материальным потоком, является функция обеспечения производственного процесса необходимыми ресурсами: предметами труда, орудиями труда и людьми, преобразующими предмет труда с помощью орудия труда в готовую продукцию.
Для циклического осуществления данной функции необходима реализация продукции. Таким образом, в эту функцию входят наем и увольнение работников, поддержание запасов и реализация готовой продукции, обеспечение энергией, инструментом и ремонтом, поддержание на уровне основных производственных фондов.
Для поддержания на каждый данный момент уровня ресурсов в должном состоянии необходимо управлять процессом их обеспечения во времени. Это выполняют два следующих уровня иерархии управления: оперативно-производственное планирование и оперативное регулирование. Они играют основную роль в процессе стабилизации деятельности промышленного предприятия. Функция оперативного регулирования принимает информацию о требуемом и фактическом состоянии процесса, вырабатывает управляющие воздействия и реализует их. Информация о требуемом состоянии процесса подается ей от функции оперативно-производственного планирования, которая по существу дает текущие установки регулируемых параметров объекта управления (на месяц, сутки, смену).
Эти установки можно задавать исходя из нормативных данных и годовой производственной программы. Годовая производственная программа является функцией следующего уровня иерархии функции технико-экономического планирования. Она составляется исходя из заданий, поступающих от вышестоящей инстанции, информации о состоянии производства и внешней среды, а также исходя из результатов функционирования подсистемы прогнозирования и развития предприятия, занимающей самое высокое положение в иерархии управления предприятием.


Рис.1.8 -

Функцией системы прогнозирования является анализ и оценка эффективности всей хозяйственной деятельности предприятия и предсказания о перспективах его развития в зависимости от требований всей экономической системы общества и состояния среды.
Результат действий этой подсистемы влияет на состояние годовых планов и на специальное и техническое развитие предприятия. Рассмотрим один из рациональных вариантов взаимосвязи основных задач управления функционированием ПЭС, приведенной на рис. 1.9. Каждый блок в этом рисунке представляет собой не чисто формализованную, а человеко-машинную процедуру, в которой решающее слово остается за человеком.



Рис.1.9 -

Итоги рассмотрения производственно-экономических систем как объектов управления позволяют сделать выводы о том, что это типичные сложные системы. Основным инструментом их исследования служит системный анализ, а управлять ими можно только с позиций системного подхода. Рассматривая любой элемент производственно-экономической системы и принимая любое решение, следует всегда предвидеть возможные изменения во всех звеньях системы, как бы далеко они ни отстояли друг от друга.

Моделирование производственно-экономических систем

Моделирование является основным методом исследования производственно-экономических систем. Под моделированием понимается такой способ отображения объективной реальности, при котором для изучения оригинала применяется специально построенная модель, воспроизводящая определенные (как правило, лишь существенные) свойства исследуемого реального явления (процесса).
Модель это объект любой природы, который способен замещать исследуемый объект так, что его изучение дает новую информацию об исследуемом объекте. В соответствии с этими определениями в понятие моделирования входит построение модели (квазиобъекта) и операции над ней для получения новой информации об исследуемом объекте. С позиций использования под моделью можно понимать удобное для анализа и синтеза отображение системы. Между системой и ее моделью существует отношение соответствия, которое и позволяет исследовать систему посредством исследования модели.
Тип модели определяется в первую очередь вопросами, на которые желательно получить ответ при помощи модели. Возможна различная степень соответствия модели и моделируемой системы. Часто модель отображает только функции системы, а структура модели (и ее адекватность системе) не играет роли, она рассматривается как «черный ящик».
Существует ряд принципов классификации моделей разной природы, из которых наиболее существенными представляются следующие:
по способу отображения действительности, а следовательно и по аппарату построения (форма);
по характеру моделируемых объектов (содержание).
По способу отображения или аппарату построения различают два вида моделей (рис. 1.10): материальные и мысленные (или идеальные).
Материальные модели это модели, которые построены или отобраны человеком и существуют объективно, будучи воплощены в металле, дереве, стекле, электрических элементах, биологических организациях и других материальных структурах.
Материальные модели делятся на три подвида:
Пространственно-подобные модели сооружения, предназначенные для отображения пространственных свойств или отношений объекта (макеты домов, заводов, районов города, транспортной сети, расположения оборудования в цехе и т. д.). Обязательным условием таких моделей является геометрическое подобие.
Физически подобные модели материальные модели, имеющие целью воспроизвести различного рода физические связи и зависимости изучаемого объекта (модели плотин электростанций, кораблей и самолетов). Основой построения таких моделей является физическое подобие одинаковость физической природы и тождественность законов движения.
Математически подобные модели модели, обладающие в той или иной степени одинаковым математическим формализмом, описывающим поведение объекта и модели (аналоговые ЭВМ, кибернетические функциональные модели). Математически подобные материальные модели это вещественные или физические оболочки некоторых математических отношений, но не сами отношения.

Рис.1.10 -

Мысленные (или идеальные) модели делятся на три подвида:
Описательные (концептуальные) модели, в которых отношения выражены в образах языка.
Наглядно-образные модели модели, образы которых в сознании построены из чувственно-наглядных элементов.
Знаковые (в том числе математические) модели мысленные модели, в которых элементы объекта и их отношения выражены при помощи знаков (в том числе автоматических символов и формул).
В общем случае целесообразна следующая последовательность моделирования систем: концептуальное описание (исследование) системы, ее формализация и, наконец, если это необходимо, алгоритмизация и квантификация системы.
При моделировании производственно-экономических систем наряду с формализованными, математическими методами анализа, используемыми для отдельных подсистем или частных процессов, приходится использовать также и эвристические методы анализа производства в тех его элементах и связях, которые не поддаются формализации. А при использовании математических методов вследствие множества переменных приходится зачастую прибегать к упрощениям, использовать методы декомпозиции и агрегирования переменных, в силу чего решения приобретают приближенный, качественный характер.
Из-за наличия в больших сложных системах организационно-производственного управления звеньев и связей, которые трудно или вообще не формализуются, для их исследования приходится использовать в основном описательные модели. Производя декомпозицию системы на отдельные функциональные подсистемы, необходимо искать затем те подсистемы, которые поддаются математической формализации, моделируя таким образом отдельные элементы общего производственного процесса. Конечной целью моделирования производственно-экономической системы является подготовка и принятие руководителем предприятия управленческого решения.
С позиций автоматизации управления производственно-экономическими системами используемые модели можно различать по следующим признакам:
по целям моделирования;
по задачам (функциям) управления;
по этапам (процедурам) управления;
по математическим методам моделирования.
В зависимости от целей моделирования различают модели, предназначенные для:
проектирования систем управления;
оценки эффективности;
анализа возможностей предприятия в различных условиях его деятельности;
выработки оптимальных решений в различных производственных ситуациях;
расчета организационных структур системы управления;
расчета информационного обеспечения и т. д.
Специфика моделей этого классификационного подразделения выражается в первую очередь в выборе соответствующих критериев эффективности, а также в процедуре реализации результатов моделирования.
В зависимости от задач (функций) управления различают модели
календарного планирования,
управления развитием предприятия,
контроля качества продукции и т. д.
Модели этого подразделения ориентированы на конкретные производственно-экономические задачи и, как правило, должны обеспечивать получение результатов в численном виде.
В зависимости от этапа (процедуры) автоматизации управления модели могут быть:
информационными,
математическими,
программными.
Модели этого подразделения нацелены на соответствующие этапы движения и переработки информации.
В зависимости от применяемого математического аппарата модели можно разбить на следующие пять больших групп:
экстремальные,
математического программирования (планирования),
вероятностные,
статистические,
теоретико-игровые.
К экстремальным моделям относятся модели, дающие возможность отыскания экстремума функции или функционала. Сюда относятся модели, построенные с помощью графических методов, метода Ньютона и его модификаций, методов вариационного исчисления, принципа максимума Понтрягина и др. Исходя из возможностей этих методов, они применяются в первую очередь для решения задач оперативного регулирования.
Модели математического программирования (планирования) включают модели линейного программирования, нелинейного программирования, динамического программирования. Сюда же обычно относят и модели сетевого планирования. Математическое программирование объединяет ряд математических методов, предназначенных для наилучшего распределения имеющихся в наличии ограниченных ресурсов: сырья, топлива, рабочей силы, времени, а также для составления соответствующих наилучших (оптимальных) планов действий.
Линейное программирование применяется в тех случаях, когда условия производства описываются системой линейных уравнений или неравенств. В случае, если указанные уравнения носят нелинейный характер, применяются методы нелинейного (выпуклого, квадратичного) программирования. Динамическое программирование служит для выбора наилучшего плана выполнения многоэтапных действий, в которых результат каждого последующего шага зависит от предыдущих шагов, например при решении задач планирования производственной деятельности предприятия. Сетевое планирование предназначено для планирования, подготовки и выполнения различных видов производственной деятельности, а также для управления этими мероприятиями в ходе их проведения.
К вероятностным моделям относятся модели, построенные с помощью аппарата теории вероятностей, модели случайных процессов марковского типа (марковские цепи), модели теории массового обслуживания и другие. Вероятностные модели описывают явления и процессы случайного характера, например связанные со всевозможными несистематическими отклонениями и ошибками (производственный брак и др.), влиянием стихийных явлений природы, возможными неисправностями оборудования и т. п. Теория марковских случайных процессов разработана для описания операций, развивающихся случайным образом во времени, таких, например, как передача информации по каналам связи. Теория массового обслуживания рассматривает массовые повторяющиеся явления, такие, например, как выход из строя и ремонт оборудования.
К статистическим моделям относятся модели последовательного анализа, метода статистических испытаний (Монте-Карло), методы случайного поиска и др. Последовательный анализ дает возможность принимать решения на основе гипотез, каждая из которых сразу же последовательно проверяется, например при оценке качества партии изделий, при постановке всевозможных экспериментов и т. п. Метод статистических испытаний заключается в том, что ход той или иной операции проигрывается, как бы копируется с помощью ЭВМ, со всеми присущими данной операции случайностями, например при моделировании организационных задач, сложных форм кооперации различных предприятий и т. п. Применение данного метода называют имитационным моделированием. Методы случайного поиска применяются для нахождения экстремальных значений сложных функций, зависящих от большого числа аргументов. В основе этих методов лежит использование механизма случайного выбора аргументов, по которым осуществляется минимизация. Методы случайного поиска находят применение, например, при моделировании организационных структур управления.
Теоретико-игровые модели предназначены для обоснования решений в условиях неопределенности, неясности (неполноты информации) обстановки и связанного с этим риска. К теоретико-игровым методам относятся теория игр и теория статистических решений. Теория игр это теория конфликтных ситуаций. Она применяется в тех случаях, когда неопределенность обстановки вызывается возможными действиями конфликтующих сторон. Теоретико-игровые модели могут найти применение при обосновании управленческих решений в условиях производственных, трудовых конфликтов, при выборе правильной линии поведения по отношению к заказчикам, поставщикам, контрагентам и т. п. Теория статистических решений применяется тогда, когда неопределенность обстановки вызывается объективными обстоятельствами, которые либо неизвестны (например, некоторые характеристики новых материалов, качества новой техники и т. п. ), либо носят случайный характер (состояние погоды, возможное время выхода отдельных узлов изделия из строя и т. п.).
Все математические модели могут быть подразделены также на модели оценки эффективности и модели оптимизации. Модели оценки эффективности предназначены для выработки характеристик производства и управления. К этой группе относятся все вероятностные модели. Модели оценки эффективности являются «входными» по отношению к моделям оптимизации. Модели оптимизации предназначены для выбора наилучших в данных условиях способов действий или линии поведения. К этой группе относятся экстремальные и статистические модели, модели математического программирования, а также теоретико-игровые модели.

Линейное программирование

2.1 Математические модели задач планирования и управления. Общая постановка задачи оптимизации

Математическое программирование – это область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения задач на экстремум многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных.
Для практического решения экономической задачи математическими методами ее прежде всего следует записать с помощью математических выражений (уравнений, неравенств и т.п.), т.е. составить экономико-математическую модель данной задачи.
Для этого необходимо:
Ввести переменные величины 13 EMBED Equation.3 1415, числовые значения которых однозначно определяют одно из возможных состояний исследуемого явления.
Выразить взаимосвязи (присущие исследуемому параметру) в виде математических ограничений (уравнений, неравенств), налагаемых на неизвестные величины. Эти отношения определяют систему ограничений задачи, которая образует область допустимых решений (область экономических возможностей). Решение (план) 13 EMBED Equation.3 1415, удовлетворяющее системе ограничений задачи, называют допустимым (базисным).
Записать критерий оптимальности в форме целевой функции 13 EMBED Equation.3 1415, которая позволяет выбрать наилучший вариант из множества возможных.
Составить математическую формулировку задачи отыскания экстремума целевой функции при условии выполнения ограничений, накладываемых на переменные. Допустимый план, доставляющий целевой функции экстремальное значение, называется оптимальным и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 1.
Пошивочный цех изготавливает три вида обуви из поступающих из раскройного цеха заготовок. Расход заготовок на пару обуви каждого вида, запасы заготовок, а также прибыль, получаемая фабрикой при реализации пары обуви каждого вида, заданы в таблице 2.1. Сколько пар обуви каждого вида следует выпускать фабрике для получения максимальной прибыли при условии, что заготовки II вида необходимо израсходовать полностью?

Таблица 2.1 –
Обувь вида
A
B
C
Запасы заготовок, ед.

Виды заготовок





I
1
2
-
12

II
1
-
1
4

III
2
2
-
14

Прибыль, ден.ед.
3
2
1



Решение.
Переменные задачи: 13 EMBED Equation.3 1415 - количество пар обуви соответственно видов A, B, C, которое необходимо выпускать фабрике для получения максимальной прибыли.
Целевая функция 13 EMBED Equation.3 1415
Система ограничений
13 EMBED Equation.3 1415
Ограничения на переменные
13 EMBED Equation.3 1415.

2.2 Формы записи задач линейного программирования и их эквивалентность. Приведение задачи к каноническому виду.

Каноническая форма записи задач линейного программирования
Целевая функция 13 EMBED Equation.3 1415 (2.1)
Система ограничений
13 EMBED Equation.3 1415 (2.2)
Ограничения на переменные
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. (2.3)
или
13 EMBED Equation.3 1415 (2.4)
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (2.5)
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. (2.6)
В эквивалентном матричном виде
13 EMBED Equation.3 1415 (2.7)
13 EMBED Equation.3 1415 (2.8)
13 EMBED Equation.3 1415 (2.9)
где
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

Симметрическая форма записи задач линейного программирования
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.


Общая задача линейного программирования
13 EMBED Equation.3 1415 (2.10)
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (2.11)
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (2.12)
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (2.13)
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (2.14)
13 EMBED Equation.3 1415 - произвольного знака, 13 EMBED Equation.3 1415 (2.15)

Приведение задачи линейного программирования к каноническому виду

Приведем произвольную задачу (2.10) - (2.15) к каноническому виду, используя следующие правила:
минимизация целевой функции Z равносильна максимизации целевой функции (-Z), или если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415;
ограничения неравенства вида 13 EMBED Equation.3 1415 преобразуются в ограничения равенства путем прибавления к левым частям дополнительных (балансовых) неотрицательных переменных 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
ограничения неравенства вида 13 EMBED Equation.3 1415 преобразуются в ограничения равенства путем вычитания от левых частям дополнительных (балансовых) неотрицательных переменных 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
дополнительные переменные в целевую функцию вводятся с коэффициетами, равными нулю:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
переменные любого знака заменяются разностью двух других неотрицательных переменных:
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2.
Привести математическую модель задачи из примера 1 к каноническому виду:
Решение.
Целевая функция 13 EMBED Equation.3 1415
Система ограничений
13 EMBED Equation.3 1415
Ограничения на переменные
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Геометрическая интерпретация и графическое решение задач линейного программирования

Рассмотрим задачу линейного программирования симметричного вида относительно двух переменных:
13 EMBED Equation.3 1415 (2.16)
13 EMBED Equation.3 1415 (2.17)
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. (2.18)
Геометрическая интерпретация области допустимых значений
любое из неравенств (2.17) на плоскости 13 EMBED Equation.3 1415 определяет некоторую полуплоскость;
система ограничений (2.17)-(2.18) определяет выпуклое множество, которое совпадает с многогранником решений D.
Геометрическая интерпретация целевой функции
уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 при фиксированном значении 13 EMBED Equation.3 1415определяет на плоскости 13 EMBED Equation.3 1415 прямую 13 EMBED Equation.3 1415, при изменении z0 получают семейство прямых, называемых линиями уровня.
вектор коэффициентов целевой функции 13 EMBED Equation.3 1415 называется градиентом функции и перпендикулярен линиям уровня;
градиент функции 13 EMBED Equation.3 1415 показывает направление наибольшего возрастания целевой функции;
антиградиент функции 13 EMBED Equation.3 1415 показывает направление наибольшего убывания целевой функции;
Графическое решение задач линейного программирования
Суть графического метода решения задач ЛП основывается на следующих утверждениях:
совокупность опорных планов задачи ЛП совпадает с системой вершин многогранника решений;
целевая функция достигает оптимального значения в вершине многогранника решений.
Для практического решения задачи (2.16)-(2.18) необходимо:
построить с учетом сиcтемы ограничений область допустимых решений D;
построить вектор градиента 13 EMBED Equation.3 1415;
построить перпендикулярно к нему в области допустимых решений одну из прямых семейства 13 EMBED Equation.3 1415;
искомая точка экстремума найдется параллельным перемещением вспомогательной прямой 13 EMBED Equation.3 1415 в направлении вектора 13 EMBED Equation.3 1415, если ищется 13 EMBED Equation.3 1415, и в направлении вектора13 EMBED Equation.3 1415, если ищется 13 EMBED Equation.3 1415;
координаты точки 13 EMBED Equation.3 1415 можно определить, решим совместно уравнения прямых, пересекающихся в этой точке, или по чертежу.
Если оптимальное значение целевая функция принимает более чем в одной вершине, то она принимает его во всякой точке, являющейся выпуклой комбинацией этих вершин. Выпуклой линейной комбинацией точек 13 EMBED Equation.3 1415называется сумма 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 3.
Решить задачу из примера 1 графическим способом:
Решение.
Выразим 13 EMBED Equation.3 1415.
Получим
Целевая функция 13 EMBED Equation.3 1415
Система ограничений
13 EMBED Equation.3 1415
Ограничения на переменные
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.




13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415





Рисунок 164

Приложенные файлы

  • doc 8981823
    Размер файла: 619 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий