Курсовой проект по ТАУ. Методические указания

Министерство образования Российской Федерации


КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ


Кафедра систем управления и технологических комплексов







Линейные и нелинейные системы управления



Методические указания и задания на курсовой проект по курсу "Теория управления" для студентов дневной и заочной формы обучения специальности 2102 – Автоматизация технологических процессов и производств





















Краснодар 2000
Составители:
к.т.н., доц. Денисенко С.Г.


к.т.н., доц. Кичкарь Ю.Е.






УДК 82 –50.007 07





Линейные и нелинейные системы управления. Методические указания и задания на курсовой проект по курсу "Теория управления" для студентов дневной и заочной форм обучения специальности 2102 – Автоматизация технологических процессов и производств / Сост. С.Г. Денисенко, Ю.Е. Кичкарь. - Куб. гос. технол. ун – т. – Краснодар: Издательство КубГТУ, 2000. 19 с.



Представлены задания и методические указания на курсовой проект. Рассмотрены вопросы определения оптимальных параметров непрерывных систем управления и существования автоколебаний в нелинейных системах управления.
Ил. 7.. Табл. 3.. Библиограф.: 5 назв.

В курсовом проекте использованы результаты НИР по теме 01.10.01

Печатается по решению Редакционно – издательского совета Кубанского государственного технологического университета.
Рецензенты: Генеральный директор АО СКБАЛ Сухоносов Н.И.
Доцент кафедры Автоматизации производственных процессов и производств, к.т.н. доц., Шелишпанский Б.В.








Введение

Основной задачей курсового проекта является практическое использование знаний, полученных студентами в процессе изучения курса, развитие навыков в расчете и выборе оптимальных параметров настройки регуляторов одноконтурных систем регулирования при проектировании.
Курсовой проект комплексно решает инженерное обеспечение проектируемых систем управления, проверки их на наличие автоколебаний при использовании реальных исполнительных механизмов, имеющих заведомо нелинейную характеристику. Содержание проекта отвечает разделам курса, что позволяет выполнить его непосредственную после проработки и усвоения определенного раздела, используя при этом соответствующие нормативные материалы.
Курсовой проект оформляется в виде пояснительной записки и графической части. Пояснительная записка выполняется на листах формата А4. Графическая часть выполняется на листах формата А1.
При выполнении курсового проекта рекомендуется придерживаться последовательности, предложенной в методических указаниях.

























I Задание на курсовой проект.

Для линейной системы, изображенной на рисунке:
1) определить оптимальные параметры настройки П, ПИ, ПИД – регуляторов по расширенным амплитудно – фазовым характеристикам;
2) найдя выражения переходных функций замкнутых систем аналитически и путем моделирования проектируемой системы, выполнить их сравнительную оценку, проанализировать влияние интегральной и дифференциальной составляющей в законе регулирования на длительность переходного процесса и статическую ошибку регулирования;
3) для случая, когда регулирующий орган имеет нелинейную характеристику определить возможность возникновения автоколебаний в нелинейной системе регулирования, с ПИ регулятором, определить параметры этих автоколебаний;
4) построить графики переходных процессов в рассматриваемых системах управления.
При оформлении курсового проекта необходимо приводить метод решения, результаты расчетов в виде таблиц и графиков, аналитические выкладки.
Вариант курсовой работы выдает преподаватель ведущий консультации. Предпоследняя цифра зачетной книжки определяет коэффициенты по таблице № 1, последняя цифра – по таблице 2 и 3, вид нелинейного элемента входящего в систему регулирования – по четной последней цифре – вариант 2, по нечетной – вариант 1.
Передаточная функция объекта

13 EMBED Equation.3 1415 (1)

Регуляторы с независимыми параметрами имеют передаточную функцию

13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 (2)
где Kp – коэффициент усиления;
Tи – время интегрирования;
Tg – время дифференцирования.
Если для заданного Tg / Tи решение найти нельзя, то необходимо уменьшить заданное Tg/Tи в два раза и т.д., пока не будет найдено решение.



2. Методические указания по выполнению курсовой работы.

2.1 Расчет оптимальной настройки одноконтурных систем регулирования.
Рисунок 1. Структурная схема непрерывной САУ.

Задача выбора параметров настройки в САУ состоит в том, чтобы найти такие параметры регулятора при которых переходный процесс в системе удовлетворял следующим требованиям:
- затухание переходного процесса должно быть интенсивным;
- максимальное отклонения регулируемой величины должно быть наименьшим;
- продолжительность переходного процесса должна быть минимальной.
Количественной оценкой интенсивности затухания переходного процесса является степень устойчи-вости и степень колеба-тельности процесса регулирования. Система обладает определенной степенью ус-тойчивости если все корни характеристического урав-нения находятся левее некоторой прямой, прове-денной через ближайший к мнимой оси корень и параллельно ей.


Рисунок 2. Плоскость корней характеристического уравнения

Величина ( характеризует интенсивность затухания и называется степенью устойчивости переходного процесса.
Степень колебательности процесса m характеризует затухание колебательных составляющих и численно равна абсолютному значению отношения действительной части к коэффициенту при мнимой части корня характеристического уравнения с наименьшим абсолютным значением этого соотношения. Поясним это.
Решение диффере6нциального уравнения системы имеет вид

13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 (3)

Характер колебания системы зависит от корней Sk характеристического уравнения.
Наложим на корень Sк ограничение следующего вида

13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 (4)

где m – положительное число.
Этому корню соответствует колебательная составляющая переходного процесса вида

13 EMBED Equation.3 1415, (5)
где ( - частота колебаний


Рисунок 3. Колебательный переходный процесс.

Тогда в момент времени ti, когда например (ti = к( (к – целое число), амплитуда колебаний величины Хк будет иметь следующее значение

13 EMBED Equation.3 1415, (6)
а в момент времени ti + 2, что соответствует 13 EMBED Equation.3 1415 амплитуда 13 EMBED Equation.3 1415 будет равна
13 EMBED Equation.3 1415 (7)

Степенью затухания ( называется отношение разности двух соседних положительных амплитуд наиболее слабо затухающей составляющей переходного процесса (в конце процесса регулируемая величина практически определяется только наиболее слабо затухающей составляющей) к первой из соседних амплитуд
13 EMBED Equation.3 1415, (8)
Степень затухания равна нулю, если (i + 2) – я амплитуда равна i – й амплитуде, т.е. когда процесс незатухающий.
Степень затухания ( равна единице в том случае, если (i + 2) – я амплитуда равна нулю, что соответствует апериодической форме переходного процесса. В соответствии с выражениями (3) ( (8) степень затухания процесса определяется как
13 EMBED Equation.3 1415 (9)
где 2(m – логарифмический дикремент затухания.

Таблица 1. Зависимость степени затухания ( и величины m
Рисунок 4. Плоскость корней характеристического уравнения с ограничением на корень.
Наложенные на корень 13 EMBED Equation.3 1415 ограничение геометрически интеркретируется так: степень затухания рассматриваемой составляющей процесса будет определяться значением m = tg13 EMBED Equation.3 1415; если корень характеристического уравнения системы будет лежать в плоскости комплексного переменного на линии АОВ, то степень затухания ( будет одна и та же.
Частные выражения передаточной функции звеньев или системы, для которых р находится на линии АОВ, называются расширенными амплитудно – фазовыми характеристиками и обозначаются 13 EMBED Equation.3 1415
Если m = 0, то расширенные амплитудно – фазовые характеристики 13 EMBED Equation.3 1415 совпадают с нормальными амплитудно – фазовыми характеристиками 13 EMBED Equation.3 1415 и линия АОВ совместится с мнимой осью.
На основании изложенного, на корень 13 EMBED Equation.3 1415 накладывается условие, чтобы корень лежал внутри контура АОВ. Тогда совокупность настроечных пара-метров регулятора, соответству-ющих контуру АОВ в комплек-сной плоскости корней, образует в плоскости параметров настройки регулятора внутри области устой-чивости линию ровного затухания (заданной степени колебательно-сти).


Рисунок 5. Плоскость параметров настройки регулятора.

Таким образом, для расчета системы регулирования на заднюю степень затухания необходимо располагать расширенными амплитудно – фазовыми характеристиками объекта и регулятора.
Исходным условием является соотношение

13 EMBED Equation.3 1415 (10)

где 13 EMBED Equation.3 1415 - расширенная амплитудно – фазочастотная характеристика объекта;
13 EMBED Equation.3 1415 - расширенная амплитудно – фазочастотная характеристика регулятора.
Расширенные частотные характеристики объекта получают либо аналитическим путем (по дифференциальному уравнению или по передаточной функции), либо графически (по заданным графикам нормальных частотных характеристик).
Аналитические выражения расширенных частотных характеристик распространенных регуляторов имеют вид:

П – регулятор 13 EMBED Equation.3 1415 (11)

ПИ – регулятор 13 EMBED Equation.3 1415 (12)
Рассмотрим последовательность расчета системы автоматического регулирования на заднюю степень затухания ( и приемы построения линии равной степени затухания.
1. Дана расширенная амплитудно – фазовая характеристика объекта, выраженная в зависимости от выбранного значения 13 EMBED Equation.3 1415, частоты ( и параметров объекта Т1, Т2,

13 EMBED Equation.3 1415 (13)
где
13 EMBED Equation.3 1415 (14)

2. Дана расширенная амплитудно – фазовая характеристика регулятора, выраженная в зависимости от степени затухания ( (через m), частоты ( и параметров настройки С0, С1 и С2

13 EMBED Equation.3 1415 (15)
где
13 EMBED Equation.3 1415 (16)

3. Исходя из условия

13 EMBED Equation.3 1415 (17)
имеем
13 EMBED Equation.3 1415 (18)
Равенство двух комплексных чисел возможно, если равны модули векторов, а аргументы отличаются на 2 ( n (обычно ограничиваются случаем n = 0),т.е.
13 EMBED Equation.3 1415
и
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда с учетом уравнений (14) и (16) имеем

13 EMBED Equation.3 1415 (19)
4. Решают систему уравнений (19) с двумя неизвестными, в качестве которых выбирают настроечные параметры регулятора С0 и С1

13 EMBED Equation.3 1415 (20)
5. Подставляя уравнения (20) численные параметры объекта Т1, Т2,, выбранную величину m, получают окончательно

13 EMBED Equation.3 1415 (21)
Если расчет ведут для регулятора с двумя параметрами настройки, например С0 и С1, то в уравнениях (21) полагают С2 = 0. Если же регулятор с тремя параметрами настройки, то определяют С0 и С1 в зависимости от частоты для разных значений С2.
6. Подставляют в уравнениях (21) численные значения частоты от нуля до значения, при котором С0 становится отрицательной величиной, или частоты "среза" (ср = 0,1 рад/сек, если при этом значении частоты параметр С0 продолжает оставаться положительной величиной.
7. Строят в координатах С0, С1 зависимость С0 = f (С1). Если же регулятор с тремя параметрами настройки, то строят несколько зависимо-стей С0 = f (С1) для разных значений С2, начиная с С2 = 0.


Рисунок 6 Кривая равной степени затухания.
Полученная кривая является линией равной степени затухания ( = Const процесса регулирования. Таким образом, все значения С0 и С1, лежащие на этой кривой, обеспечивают определенную заданную степень затухания.
Значения С0 и С1, лежащие внутри области, ограниченной кривой и осями координат, обеспечат процесс регулирования со степенью затухания больше заданной ((1 ( (), а лежащие вне этой области – со степенью затухания меньше заданной ((2 ( ().
Значения настроечных параметров, лежащие на пересечении указанной кривой с осью абсцисс (С0 = 0), соответствуют П – регулятору, а на пересечении с осью ординат (С1 = 0) соответствуют И – регулятору.
Оптимальная степень затухания находится в пределах ( = 0,75 ( 0,9, а параметры настройки регуляторов следует выбирать несколько правее максимума кривой заданного затухания.


Рисунок 7 Структурная схема нелинейной системы регулирования

2.2 Определение параметров автоколебаний в автоматической системе регулирования.

Предложим, что система автоматического регулирования, рассмотренная выше, имеет регулирующий орган с нелинейной характеристикой. Вид этой характеристики определяется по приложению.
Метод гармонической линеаризации основан на предложении, что колебания на входе нелинейного звена является синусоидальными, т.е. что

13 EMBED Equation.3 1415 (22)

где А – амплитуда; (а – частота этих автоколебаний.
Колебания на выходе нелинейного звена будут так же гармоническими. Разложим выходные колебания у (t) в ряд Фурье и отбросим высшие гармонии (предполагая, что линейная часть системы пропускает только первую гармонику колебаний).

13 EMBED Equation.3 1415 (23)
Здесь
13 EMBED Equation.3 1415 (24)
Из уравнения (22) имеем

13 EMBED Equation.3 1415 (25)

Продифференциировав это равенство, получим

13 EMBED Equation.3 1415 (26)
Подставляя значения из (25) и (26) в (23), имеем

13 EMBED Equation.3 1415 (27)

здесь введены обозначения
13 EMBED Equation.3 1415 (28)
Дифференциальное уравнение (27) справедливо для синусоидального входного сигнала (22) и определяет выходной сигнал нелинейного звена без учета высших гармоник.
Постоянная составляющая у0 и коэффициенты Кг и К'г в соответствии с выражениями (24) являются функциями амплитуды А и частоты (а автоколебаний на выходе нелинейного звена. При фиксированных А и (а уравнение (27) является линейным.
Таким образом, если отбросить высшие гармоники, то для гармонического сигнала исходное нелинейное звено может быть заменено эквивалентным линейным, описываемым уравнением (27)
Коэффициенты Кг и К'г определяются нелинейностью ( (х) и значениями А и (а по формулам (24). Для типовых нелинейных звеньев имеются табличные значения этих коэффициентов.
Постоянная составляющая у0 согласно (24), появляется в уравнении (27) только в случае нелинейностей, несимметричных относительно начала координат. В этом случае имеется эффект выпрямления чисто переменного сигнала. При симметричной относительности начала координат характеристике ( (х) постоянная составляющая у0 = 0 и уравнение (27) принимает вид

13 EMBED Equation.3 1415, (29)
или
13 EMBED Equation.3 1415 (30)
где
13 EMBED Equation.3 1415 - передаточная функция эквивалентного линейного звена, которую можно назвать гармонической передаточной функцией нелинейного звена.
В соответствии с (27) и (28) коэффициент Кг определяет выходную гармоническую составляющую, а коэффициент К'г – выходную составляющую сдвинутую по фазе относительно входного сигнала на (/2, вперед или назад, в зависимости от знака К'г.
В общем случае автоколебания могут быть несимметричными, т.е. содержать постоянную составляющую. Тогда колебания на выходе нелинейного звена следует искать в виде

13 EMBED Equation.3 1415 (31)

где х0 – постоянная составляющая х.
В этом случае коэффициенты Фурье и, следовательно, значения у0, Кг и К'г в уравнении (27) оказываются уже функциями трех величин: (а, А и (а.
Наличие постоянной составляющей на входе нелинейного звена приводит к появлению постоянной составляющей на его выходе. Пи этом уравнение (27) удобно представить в виде

13 EMBED Equation.3 1415 (32)

где Кг0 = у0/х0 – коэффициент передачи постоянной составляющей автоколебаний.
Рассмотрим методику определения возможных автоколебаний в системе регулирования.
Рассмотрим вначале более простой случай, когда отыскиваются автоколебания в виде

13 EMBED Equation.3 1415 (33)

т.е. без постоянной составляющей. Применив гармоническую линеаризацию, заменим нелинейное звено линейным, описываемым уравнением

13 EMBED Equation.3 1415 (34)

В результате получим линейную САУ с передаточной функцией

13 EMBED Equation.3 1415 (35)

где 13 EMBED Equation.3 1415

Входящие в Wнл величины Кг (А, (а) и К'г (А, (а) выражаем как линейные функции искомых неизвестных А и (а. В случае типовых нелинейностей используем готовые формулы.
Получаемая система является линейной только при фиксированных значениях А и (а. При их изменении система по прежнему нелинейна, т.к. содержит коэффициенты Кг и К'г, являющиеся функциями этих величин.
Искомые параметры А и (а, входящих в передаточную функцию (35) линейной САУ, соответствуют наличию в этой системе незатухающих колебаний, т.е. нахождению ее на границе устойчивости. Это соответствует наличию у характеристического уравнения пары сопряженных чисто мнимых корней. Другими словами, значения А и (а могут быть найдены как значение переменных, при которых система автоматического регулирования находится на границе устойчивости. Для этого можно воспользоваться известными критериями устойчивости.
Условие наличия у характеристического уравнения мнимых корней по критерию Гурвица сводится к равенству

13 EMBED Equation.3 1415 (36)

где 13 EMBED Equation.3 1415 - предпоследний минор определителя Гурвица
По критерию Найквиста то же условие имеет вид

13 EMBED Equation.3 1415 (37)

или с учетом (35)

13 EMBED Equation.3 1415 (38)

Из критерия Михайлова это условие можно получить в виде

13 EMBED Equation.3 1415 (39)

где 13 EMBED Equation.3 1415 - характеристический полином замкнутой системы.
В результате находятся параметры возможных автоколебаний в системе, например, в виде зависимости А ((а).
Нелинейный характер зависимостей коэффициентов Кг и К'г гармонической линеаризации от А и (а делает задачу нахождения искомых значений А и (а значительно более сложной, чем в случае определения границ устойчивости линейных систем. Поэтому обычно прибегают к методу последовательных приближений или к графическим методам.
Если характеристика нелинейного звена несимметрична относительно начала координат, автоколебания будут содержать постоянную составляющую (31). В этом случае в результате гармонической линеаризации нелинейное звено описывается линейным уравнением (32).
Постоянные составляющие х0 и у0 связаны передаточной функцией линейной части системы

13 EMBED Equation.3 1415 (40)

В результате гармонической линеаризации у0 определяется в виде функции А, (а и Х0.
Для гармонической составляющей система по прежнему описывается передаточной функцией

13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415
Методика нахождения параметров автоколебаний остается принципиально прежней с той только разницей, что к А и (а прибавился третий параметр Х0 и соответственно новое уравнение (40), которое следует решать совместно с прежними уравнениями, определяющими условия существования мнимых корней.
Если к системе автоматического регулирования приложенное постоянное воздействие F0, оно создает постоянный сигнал на входе нелинейного звена, и автоколебания в системе будут несимметричными даже в случае симметричной нелинейной характеристики. Уравнение для постоянной составляющей в этом случае имеет вид

13 EMBED Equation.3 1415 (41)

где WFX – передаточная функция между точкой приложения F0 и Х, а F0 - известное постоянное воздействие.


3. Состав и объем курсового проекта.

3.1 Курсовой проект состоит из курсовой (пояснительной записки) и графических частей.
3.2 Пояснительная записка должна обосновывать и подтверждать правильность принятых решений, содержать расчетные и другие материалы по всем рассматриваемым вопросам.
3.3 Объем расчетно–пояснительной записки 20-30 страниц формата А4 по ГОСТ 2.301-68.
Пояснительная записка содержит:
- титульный лист (смотри приложение 1);
- задание на курсовой проект (смотри приложение 2);
- реферат (объем пояснительной записки, количество таблиц, рисунков, перечень чертежей, приложений, краткая характеристика и результаты работы);
- содержание;
- введение;
- пояснительная часть (расчетная часть, исследовательская);
- заключение (основные результаты работы);
- список использованной литературы.
3.4 Объем графической части курсового проекта составляет два листа формата А1, в состав которых должны входить:
- структурные схемы проектируемых систем автоматического управления;
- расширенные амплитудно – фазовые характеристики объема;
- амплитудно – фазовые характеристики объема;
- кривые равной степени затухания;
- кривые переходных процессов для "П", "ПИ" и "ПИД" регуляторов, полученные в результате моделирования;
- методика получения и графо – аналитическая кривая переходного процесса с использованием метода трапеций;
- Если в нелинейной системе присутствуют автоколебания, переходную характеристику в данной системе.







Приложение 1
Титульный лист курсового проекта

Министерство образования Российской Федерации


КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ


Кафедра систем управления и технологических комплексов



КУРСОВОЙ ПРОЕКТ



по курсу "Теория управления""
Тема курсовой работы "Анализ и синтез оптимальной линейной и нелинейной одноконтурной системы автоматического управления.




Вариант работы ___________
Выполнил студент _________


Номер зачетной книжки _______
Проверил_____________________











Краснодар, 200___г.
Приложение 2

Таблица 2. Варианты коэффициентов


Т0
Т1
Т2
Т3
Тg/T4

0
0,5
6
11
6
0,1

1
0,6
9
26
24
0,16

2
0,7
11
36
36
0,17

3
0,8
12
47
60
0,13

4
0,9
13
54
72
0,11

5
1,0
15
74
120
0,12

6
1,1
18
107
210
0,15

7
1,3
20
131
280
0,25

8
1,2
21
146
336
0,2

9
1,4
22
155
350
0,3



№ п.п
(
К0
Т4
Т5
В
b
((0)

0
0.75
1.0
0
0

1
45

1
0.77
1.5
0
0
1
1


2
0.76
2.0
1
0.2

2.1
40

3
0.78
3.0
2.5
0.4
3
3


4
0.78
2.5
1.4
0.3

2.64
60

5
0.79
3.5
3.6
0.5
4
4


6
0.8
4.0
4.7
0.64


30

7
0.82
3.4
5.8
0.75
3.8
3.8


8
0.84
3.1
6.9
0.86

3.3
48

9
0.86
2.2
7.0
0.9
2.4
2.4

















Таблица. 3. Типовые нелинейные звенья

№ п.п
Статическая характеристика
Наименование
Звена и уравнение
Коэффициенты гармонической линеаризации

1.
а)
Звено с насыщение (ограничением)
13 EMBED Equation.3 1415
где К = tg (

13 EMBED Equation.3 1415 К'г = 0 при А ( = b

2.
б)
Звено с зоной нечувствительности
У=13 EMBED Equation.3 1415
к = tg (

13 EMBED Equation.3 1415
Кг1 = 0 при А ( b

а)
б)
Список использованной литературы.

1. Стефани Е.П. Основы расчета настройки регуляторов теплоэнергетических процессов. – М.: Энергия, 1972. – 376 с.
2. Ротач В.Я. Расчет динамики промышленных автоматических систем регулирования. – М.: Энергия, 1973. – 440 с.
3. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления ч. I. М.: Энергия, 1968. – 396 с.
4. Воронов А.А. Теории автоматического управления ч. II. М.: Выс. школа, 1977. – 288 с.
5. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления ч. I. М.: Энергия, 1966. – 372 с.































Содержание

Введение
3

1.
Задание на курсовой проект
4

2.
Методические указания по выполнению курсового проекта..
5

2.1
Расчет оптимальной настройки одноконтурных систем регулирования..

5

2.2
Определение параметров автоколебаний в автоматической системе регулирования

11

3.
Состав и объем курсового проекта.
16

4.
Приложение 1...
17

5.
Приложение 2...
18

6.
Список использованной литературы..
20
































Теория автоматического управления



Составители:
Денисенко Сергей Григорьевич


Кичкарь Юрий Ефимович























Редактор А.В. Снагощенко


Технический редактор Т.П. Горшкова



Подписано в печать

Формат 60х84/16

Бумага оберточная № 1

Печать офсетная

Печ. л. 1,5

Изд. № 260

Усл. печ. л.1,3

Тираж 75 экз.

Уч.-изд. л. 0,9

Заказ №

Цена р


350072, г. Краснодар, Московская, 2, кор. А
Кубанский государственный технологический университет
350058, г. Краснодар, Старокубанская, 88/4, Типография КубГТУ








13PAGE 141815


13PAGE 141015



13 EMBED AutoCAD.Drawing.14 1415

13 EMBED AutoCAD.Drawing.14 1415

13 EMBED AutoCAD.Drawing.14 1415

13 EMBED AutoCAD.Drawing.14 1415

13 EMBED AutoCAD.Drawing.14 1415

13 EMBED AutoCAD.Drawing.14 1415

13 EMBED AutoCAD.Drawing.14 1415

13 EMBED AutoCAD.Drawing.14 1415

13 EMBED AutoCAD.Drawing.14 1415

13 EMBED AutoCAD.Drawing.14 1415









Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native Заголовок 915

Приложенные файлы

  • doc 9100428
    Размер файла: 595 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий